Một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình dạng divergence

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Quỳnh Như

MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM
CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG DIVERGENCE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Quỳnh Như

MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM
CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG DIVERGENCE

Chun ngành: Tốn giải Tích
Mã số

: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ với tên đề tài: “Một số kết quả chính
quy nghiệm cho phương trình dạng Divergence” là do tơi thực hiện, dưới sự
hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thành Nhân. Các nội dung nghiên cứu
và kết quả trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong tài liệu
tham khảo.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 3 năm 2019
Học viên

Nguyễn Thị Quỳnh Như


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này, lời đầu tiên tơi xin tỏ lịng biết ơn chân thành
và sâu sắc nhất đến thầy TS. Nguyễn Thành Nhân đã hướng dẫn tơi hết sức
tận tình và đầy nhiệt tâm trong suốt quá trình viết luận văn. Những nhận xét
và đánh giá của thầy, đặc biệt là những gợi ý về hướng giải quyết vấn đề
trong suốt quá trình nghiên cứu, thực sự là những bài học vô cùng quý giá đối
với tơi khơng chỉ trong q trình viết luận văn mà cả trong hoạt động nghiên
cứu chuyên môn sau này.
Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu nhà trường Đại học Sư Phạm Thành phố
Hồ Chí Minh, ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, các thầy cơ giáo trong bộ mơn
Tốn cùng q thầy cơ giáo đã tận tình truyền đạt kiến thức trong thời gian tôi
học tập và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi trong suốt q trình học tập và
nghiên cứu thực hiện đề tài.
Cuối cùng tôi kính chúc q thầy, cơ giáo dồi dào sức khỏe và thành công
trong sự nghiệp cao quý. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia

đình và tất cả bạn bè đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt q trình học tập và
thực hiện đề tài.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
TP.Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 3 năm 2019
Học viên

Nguyễn Thị Quỳnh Như


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan ..................................................................................................... 1
Lời cảm ơn ......................................................................................................... 2
Mục lục .............................................................................................................. 3
Danh mục các kí hiệu ........................................................................................ 4
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
Chương 1. KHÁI QUÁT VÀ CÁC KÝ HIỆU .............................................. 4
1.1. Tính giải được của bài tốn divergence .................................................. 4
1.2. Định nghĩa một số miền có liên quan ...................................................... 6
1.3. Một số kết quả tương đương trong các miền chính quy ......................... 7
Chương 2. BÀI TỐN DIVERGENCE TRÊN MIỀN HOLDER-𝜶 ......... 9
2.1. Bất đẳng thức dạng Korn trên miền Holder-𝛂 ........................................ 9
2.2. Nghiệm của bài toán divergence trong miền Holder-𝛂......................... 13
2.2.1. Hàm trọng bên trái........................................................................... 14
2.2.2. Hàm trọng ở cả hai bên ................................................................... 16
2.3. Một số miền Holder-𝛂 đặc biệt với đỉnh bên ngoài .............................. 17
Chương 3. BÀI TỐN DIVERGENCE TRÊN MIỀN CHÍNH QUY..... 22
3.1. Lớp hàm Muckenhoupt 𝐀𝐩 ................................................................... 22
3.2. Tốn tử divergence có trọng trên miền hình sao ................................... 22
Chương 4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG ............................................................... 28

4.1. Sự tương đương với bất đẳng thức Korn............................................... 28
4.1.1. Bài toán divergence kéo theo bất đẳng thức Korn .......................... 30
4.1.2. Bất đẳng thức Korn kéo theo bài toán divergence .......................... 31
4.2. Ứng dụng vào phương trình Stokes....................................................... 33
KẾT LUẬN..................................................................................................... 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................. 39


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
Div u / ∇ . u

divergence của hàm vector u

𝜕Ω

biên của miền Ω

𝜕u

đạo hàm của hàm u

Diam 𝐹

đường kính của tập 𝐹

rot/curl

rota của trường vector

∆u

tốn tử Laplace của hàm vector u

∇u

gradient của hàm vector u

∇u ∶ ∇ũ

tích tensor của u và ũ

ℝ≥0

tập hợp các số thực không âm

ℝ>0

tập hợp các số thực dương

𝑠𝑢𝑝𝑝 u

support của hàm u

𝐴𝑝

các lớp hàm Muckenhoupt

𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝜔)

khơng gian Sobolev có hàm trọng

𝐿𝑝 (Ω, 𝜔)

khơng gian Lebesgue có hàm trọng

𝐿20 (𝛀)

khơng gian 𝐿2 với tích phân bằng 0

𝐿1𝑙𝑜𝑐 (𝛀)

khơng gian 𝐿1 khả tích địa phương

𝑝

𝐿𝑠𝑦𝑚 (Ω, 𝛾)2×2

khơng gian con của tensơ đối xứng của
khơng gian 𝐿𝑝 (Ω, 𝛾)2×2

‖.‖ 𝑘,𝑝(𝛀)
𝑘,𝑝
∞
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑊
𝑊0 (Ω) :=𝐶
0 (Ω)

𝑊 𝑘,2 (𝛀) ≔ 𝐻𝑘 (𝛀)
H10 (Ω)𝑛 = 𝐻

⏟01 × 𝐻01 × ⋯ × 𝐻01
n lần

bao đóng của 𝐶0∞ (Ω) trong 𝑊 𝑘,𝑝 (Ω)


1

MỞ ĐẦU
Ngày nay, lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng được rất nhiều nhà toán
học quan tâm nghiên cứu bởi tính ứng dụng rộng rãi của nó. Các
phương trình này thường được xây dựng từ các mơ hình thực tế nên đơi
khi phức tạp và chưa tìm được nghiệm giải tích. Thay cho việc tìm
nghiệm của phương trình này, các đánh giá định tính về sự tồn tại, cấu
trúc tập nghiệm, các tính chất về dáng điệu tiệm cận, sự ổn định, tính
chính quy của nghiệm trở nên có ích. Một trong các lớp phương trình
đạo hàm riêng cơ bản được khảo sát là phương trình dạng divergence.
Luận văn này tập trung khảo sát một số kết quả chính quy nghiệm của
phương trình đạo hàm riêng dạng divergence. Các kết quả này có thể
ứng dụng vào phương trình Stokes.
Mục tiêu thứ nhất của đề tài là chứng minh sự tồn tại nghiệm của
phương trình div u = 𝑓 trong khơng gian Sobolev có trọng trên một số
miền đặc biệt, có biên không trơn.
Cụ thể, với Ω ⊂ ℝ𝑛 là miền bị chặn, ta muốn tìm hàm trọng 𝜔1 và
𝜔2 sao cho với mọi 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (Ω, 𝜔2 ) có tích phân bằng khơng, tồn tại một
1,𝑝

nghiệm u ∈ 𝑊0 (Ω, 𝜔1 )𝑛 của
div u = 𝑓
thỏa mãn

‖u‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝜔1)𝑛 ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝 (Ω,𝜔2 ) ,
với 𝐶 là hằng số dương chỉ phụ thuộc Ω, 𝑝, 𝜔1 , 𝜔2 .
Trong đó, với hàm trọng 𝜔 ∶ ℝ𝑛 → ℝ≥0 là hàm khả tích địa phương,
khơng gian Lebesgue có trọng 𝐿𝑝 (Ω, 𝜔) ứng với chuẩn
1

‖𝜑‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) =(∫Ω|𝜑(𝑥)|𝑝 𝜔(𝑥)𝑑𝑥 )𝑝 ,


2

và khơng gian Sobolev có trọng 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝜔) ứng với chuẩn
1
𝑝

𝑛

‖𝜑‖𝑊 𝑝(Ω,𝜔) = (∫ |𝜑(𝑥)|𝑝 𝜔(𝑥)𝑑𝑥 ) + (∑ ∫ |
Ω

𝑖=1 Ω

𝑝

1
𝑝

𝜕𝜑(𝑥)
| 𝜔(𝑥)𝑑𝑥 ) .
𝜕𝑥𝑖

1,𝑝

Ta kí hiệu 𝑊0 (Ω, 𝜔1 ) là bao đóng của 𝐶0∞ (Ω) trong 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝜔).
Mục tiêu thứ hai là ứng dụng các kết quả tìm được trong khơng gian có
hàm trọng vào việc đánh giá tính chính quy nghiệm của phương trình
Stokes và bất đẳng thức Korn.
Trong luận văn này, tác giả sẽ đọc hiểu, tổng hợp và trình bày một cách
chi tiết một số bài báo khoa học liên quan đến tính chính quy nghiệm
của phương trình divergence. Từ đó hướng đến một vài ý tưởng mở
rộng kết quả dựa trên các nghiên cứu đã được công bố gần đây. Cơng
việc địi hỏi phải vận dụng các kiến thức đã học về phương trình vi
phân, phương trình đạo hàm riêng và giải tích hàm.
Nội dung luận văn tập trung khảo sát một số kết quả về tính chính quy
nghiệm của phương trình dạng divergence cùng với một số ứng dụng.
Luận văn được trình bày gồm 4 chương:
Chương 1. Khái quát và ký hiệu.
Nội dung chương 1 trình bày về phương trình divergence, trong đó
với một số định nghĩa cơ bản về khơng gian có hàm trọng, một số miền
như miền Lipschitz, miền hình sao, miền John, miền Holder-𝛼, bất
đẳng thức Korn, bổ đề Lions để làm tiền đề sử dụng cho các chương
tiếp theo. Nội dung chương 1 được tham khảo trong tài liệu [1], [3], [5].
Chương 2. Nghiệm có trọng của bài toán divergence trên miền phẳng.
Nội dung chương 2 là nội dung chính của luận văn này giới thiệu về
nghiệm của phương trình Divergence trên miền Holder-𝛼, hàm trọng
bên trái, hàm trọng ở cả hai bên và một số miền Holder-𝛼 đặc biệt với


3

đỉnh bên ngoài. Nội dung chương 2 được tham khảo trong tài liệu [1],
[2], [5].
Chương 3. Nghiệm có trọng của bài tốn divergence trên miền chính
quy.
Chương 3 giới thiệu về Lớp hàm Muckenhoupt 𝐴𝑝 , tốn tử
Divergence có trọng trên miền hình sao. Nội dung chương 3 được tham
khảo trong tài liệu [6].
Chương 4. Một số ứng dụng.
Cuối cùng ta nói về sự tương đương giữa bất đẳng thức Korn và bài
tốn Divergence có trọng tổng qt, bài tốn Divergence kéo theo bất
đẳng thức Korn, bất đẳng thức korn kéo theo bài tốn Divergence và
ứng dụng vào phương trình Stokes. Nội dung chương 4 được tham
khảo trong tài liệu [2], [4], [7].


4

Chương 1. KHÁI QUÁT VÀ CÁC KÝ HIỆU
Trong luận văn này ta nói về tính giải được của bài tốn divergence
trong khơng gian Sobolev có trọng với miền bị chặn. Ta giới thiệu các định
nghĩa về hàm trọng, không gian Sobolev có hàm trọng, tập m-chính quy, mặt
nón, miền Lipschitz, miền hình sao ứng với quả cầu, miền John, miền
Holder−𝛼, bổ đề Korn, bổ đề Lions.
1.1. Tính giải được của bài toán divergence
Cho Ω ⊂ ℝn là một miền bị chặn và 1 < p < ∞. Ta nói rằng (div)p là giải
1,p

được trong Ω nếu tồn tại một nghiệm u ∈ W0 (Ω)n của phương trình
div u = 𝑓,

(1.1)

với 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (Ω) có trung bình tích phân bằng 0, sao cho
‖u‖𝑊 1,𝑝(Ω)
0

≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω),

(1.2)

với hằng số 𝐶 chỉ phụ thuộc Ω và 𝑝.
Bây giờ ta sẽ giới thiệu không gian Sobolev có hàm trọng.
Định nghĩa 1.1 ([5]) Ta nói hàm 𝜔 trong ℝ𝑛 là một hàm trọng nếu nó khả
tích địa phương và nhận giá trị trong (0, ∞) hầu khắp nơi. Vì thế, hàm trọng
chỉ có thể bằng khơng trong tập Lebesgue có độ đo khơng.
Cho một tập Ω ⊂ ℝ𝑛 , khơng gian Lebesgue có hàm trọng 𝐿𝑝 (Ω, 𝜔) với 1 <
𝑝 < ∞ là không gian có các hàm khả tích địa phương 𝜑: Ω → ℝ được trang
bị chuẩn như sau
1

‖𝜑‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) =

(∫Ω|𝜑(𝑥)|𝑝 𝜔(𝑥)d𝑥)𝑝.

Tương tự, cho hàm trọng 𝜔1 , 𝜔2 ∶ ℝ𝑛 → [0, ∞] ta định nghĩa khơng gian
Sobolev có hàm trọng như sau


5

𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝜔1 , 𝜔2 )
= {𝜑 ∈ 𝐿𝑝 (Ω, 𝜔1 ): 𝜑 khả tích địa phương và

với đạo hàm riêng

𝜕𝜑
𝜕𝑥𝑖

𝜕𝜑
∈ 𝐿𝑝 (Ω, 𝜔2 ), ∀𝑖},
𝜕𝑥𝑖

theo hướng phân phối với chuẩn là
‖𝜑‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝜔1 ,𝜔2 )
𝑛

= (∫ |𝜑(𝑥)|𝑝 𝜔(𝑥)d𝑥 + ∑ ∫ |
Ω

𝑖=1 Ω

1
𝑝

𝑝

𝜕𝜑(𝑥)
| 𝜔2 (𝑥)d𝑥 ) .
𝜕𝑥𝑖

(1.3)

Trong trường hợp 𝜔1 = 𝜔2 = 𝜔 ta viết 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝜔) thay vì 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝜔, 𝜔).
Ta sẽ làm việc với hai lớp khác nhau của hàm trọng, lớp đầu tiên là lũy thừa
của khoảng cách tới một tập con 𝑀. Ta ký hiệu
𝛽

𝜔(𝑥) = 𝑑𝑀 (𝑥) = (dist(𝑥, 𝑀))𝛽 ,
với 𝛽 là một số thực. Trong trường hợp đặc biệt 𝑀 là biên của miền Ω, ta viết
𝑑(𝑥) thay cho 𝑑𝜕Ω (𝑥). Ngoài ra, với số thực 𝛽 ta ký hiệu
𝛽

𝛽

𝐿𝑝 (Ω, 𝛽) = 𝐿𝑝 (Ω, 𝑑𝜕Ω ) và

𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝛽) = 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝑑𝜕Ω ).

(1.4)

Lớp thứ hai của hàm trọng là lớp Muckenhoupt 𝐴𝑝, với 1 < 𝑝 < ∞. Nhắc
lại rằng hàm trọng 𝜔 được gọi là hàm trọng 𝐴𝑝 nếu nó thỏa mãn
𝑝−1

−1
1
1
sup ( ∫ 𝑤(𝑥)𝑑𝑥) ( ∫ 𝑤(𝑥)𝑝−1 𝑑𝑥 )
|𝐵| 𝐵
𝐵⊂ℝ𝑛 |𝐵| 𝐵

< ∞,

(1.5)

với |𝐵| là độ đo Lebesgue của 𝐵.
Để phân tích tính giải được của bài tốn Divergence trong các miền xác định
khi (div)𝑝 không giải được, ta thay điều kiện (1.2) bằng một điều kiện khác
tổng quát hơn liên quan đến chuẩn hàm trọng. Do đó, ta nói rằng (div)p,w là
giải được trong Ω đối với hàm trọng 𝜔1 và 𝜔2 nếu tồn tại một nghiệm
1,𝑝

u ∈𝑊0 (Ω, 𝜔1 )𝑛 của phương trình
div u = 𝑓,


6
𝑝

với 𝑓 ∈ 𝐿0 (Ω, 𝜔2 )𝑛 , sao cho
‖u‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝜔1 )
≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝜔2) ,

(1.6)

với 𝐶 chỉ phụ thuộc Ω, 𝜔1 , 𝜔2 và 𝑝.
1.2. Định nghĩa một số miền có liên quan
Ta giới thiệu định nghĩa và một số tính chất quan trọng của các miền khác
nhau được xét trong luận văn này.
Định nghĩa 1.2 ([5]) Với 0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛, một tập compact 𝐹 ⊂ ℝ𝑛 là một tập mchính quy nếu tồn tại hằng số dương 𝐶 sao cho

𝐶 −1 𝑟 𝑚 < ℋ 𝑚 (𝐵(𝑥, 𝑟) ∩ 𝐹) < 𝐶𝑟 𝑚 ,
với mọi 𝑥 ∈ 𝐹, 0 < 𝑟 ≤ 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐹, ℋ 𝑚 là độ đo Hausdorff m-chiều và 𝐵(𝑥, 𝑟)
là hình cầu bán kính 𝑟, tâm 𝑥.
Định nghĩa 1.3 ([1]) Ta nói rằng một tập 𝒞 ⊂ ℝ𝑛 là một mặt nón nếu tồn tại
𝑟1 , 𝑟2 ∈ ℝ>0 sao cho nếu trong một số hệ trục tọa độ trực giao (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ),
𝒞 = {(𝑥 ′ , 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ𝑛−1 × ℝ ∶ 0 < 𝑥𝑛 < 𝑟1 và 𝑥𝑛−1 𝑥 ′ ∈ 𝐵𝑟2 },

(1.9)

với 𝐵𝑟2 là hình cầu với tâm là điểm gốc của ℝ𝑛−1 và bán kính 𝑟2 .
Định nghĩa 1.4 ([1]) Miền bị chặn Ω ⊂ ℝ𝑛 là Lipschitz nếu với mọi 𝑥0 ∈ 𝜕Ω,
tồn tại một mặt nón 𝒞 ⊂ ℝ𝑛 và lân cận 𝑈 của 𝑥0 sao cho 𝑥 + 𝒞 ⊂ Ω với
mọi 𝑥 ∈ 𝑈 + Ω .
Định nghĩa 1.5 ([1]) Một miền Ω ⊂ ℝ𝑛 là một miền hình sao ứng với quả
cầu 𝐵 ⊂ ℝ𝑛 nếu với mọi 𝑥 ∈ Ω và 𝑦 ∈ 𝐵, đoạn nối 𝑥 và 𝑦 nằm trong Ω.
Miền này chứa các miền lồi và được chứa trong miền Lipschitz. Do đó, tính
giải được của phương trình divergence cho miền hình sao có thể được suy
rộng từ Lipschitz.
Định nghĩa 1.6 ([3]) Một miền bị chặn Ω là miền John đối với 𝑥0 ∈ 𝛺 nếu
với mọi 𝑥 ∈ 𝛺 tồn tại đường cong 𝜎 ∶ [0, 𝑙] → 𝛺 sao cho 𝜎(0) = 𝑥 và 𝜎(𝑙) =
𝑥0 thỏa mãn


7

dist(𝜎(𝑡), 𝜕𝛺) ≥ 𝐶𝑡.
Định nghĩa 1.7 ([1]) Cho 0 < 𝛼 ≤ 1, có thể định nghĩa lớp của các miền
Holder- 𝛼 là miền Lipschitz thay thế mặt nón trong phương trình (1.9) bởi
𝛼 − 𝑐𝑢𝑠𝑝.
Một tập 𝒞 ⊂ ℝ𝑛 là một 𝛼 − 𝑐𝑢𝑠𝑝 nếu tồn tại 𝑟1, 𝑟2 ∈ ℝ>0 sao cho trong hệ

trục tọa độ trực giao (𝑥1 , … , 𝑥2 ),
−𝛾
𝒞 = {(𝑥 ′ , 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ𝑛−1 × ℝ ∶ 0 < 𝑥𝑛 < 𝑟1 và 𝑥𝑛 𝑥 ′ ∈ 𝐵𝑟2 },

với 𝛾 = 1⁄𝛼 và 𝐵𝑟2 là hình cầu với tâm là điểm gốc của ℝ𝑛−1 và bán kính 𝑟2 .
Trong trường hợp đặc biệt 𝛼 = 1 ta có miền Lipchitz.
1.3. Một số kết quả tương đương trong các miền chính quy
Trong phần này chúng ta sẽ nhắc lại một vài kết quả tương đương về sự tồn
tại một nghiệm của phương trình (1.1) thỏa mãn phương trình (1.2).
Bất đẳng thức Korn. ([5]) Cho 𝐵 là quả cầu nhỏ chứa trong Ω, tồn tại hằng
số 𝐶 chỉ phụ thuộc Ω, 𝐵 và 𝑝 sao cho
‖𝐷v‖𝐿𝑝(Ω)𝑛×𝑛 ≤ 𝐶{ ‖𝜀(v)‖𝐿𝑝(Ω)𝑛×𝑛 + ‖v‖𝐿𝑝(B)𝑛 },
với v trong 𝑊 1,𝑝 (Ω)𝑛 , 𝜀(v) là phần đối xứng của ma trận vi phân của v với
1 𝜕v

𝜕v𝑗

𝜀(v)𝑖𝑗 = ( 𝑖 + ).
2 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝑗

𝑖

Bổ đề Lions. ([5]) Bổ đề Lions cũng tương đương với sự tồn tại nghiệm của
bài toán divergence với 𝑝 = 2. Kết quả này khẳng định rằng
‖𝑓‖𝐿2 (Ω) ≤ 𝐶(‖∇𝑓‖𝐻 −1(Ω)𝑛 + ‖𝑓‖𝐻 −1(Ω) ),
với 𝑓 ∈ 𝐿2 (Ω), 𝐶 chỉ phụ thuộc vào Ω và 𝐻 −1 (Ω) là đối ngẫu của không gian
Sobolev 𝐻01 (Ω). Trong trường hợp đặc biệt của hàm số với giá trị trung bình
bằng 0, ta có bất đẳng thức sau

‖𝑓‖𝐿2(Ω) ≤ 𝐶‖∇𝑓‖𝐻 −1(Ω)𝑛.
Viết lại bổ đề Lions cho hàm số với giá trị trung bình bằng khơng ta có đánh
giá sau


8

∫Ω 𝑞 div u
≥𝐶
0≠𝑞∈𝐿0 (Ω) 0≠u∈𝐻 1 (Ω)𝑛 ‖𝑞‖𝐿2 (Ω) ‖u‖𝐻 1 (Ω)𝑛
0
0
0
inf2

sup

(1.10)

với 𝐶 là hằng số dương. Trên thực tế, phương trình (1.10) bao hàm sự tồn tại
của nghiệm duy nhất (u, 𝑝) trong 𝐻01 (Ω)𝑛 × 𝐿20 (Ω) của hệ phương trình sau
∫ 𝐷u : 𝐷v − ∫ 𝑝 div v = ∫ f ∙ v
Ω

∫ 𝑞 div u
{ Ω

Ω

∀v ∈𝐻01 (Ω)𝑛

Ω

∀q ∈ 𝐿20 (Ω),

=0

với 𝑓 ∈ 𝐻−1 (Ω)𝑛 , 𝐷v là ma trận của các đạo hàm từng phần của v và tích giữa
hai ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) và 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ) trong ℝ𝑛×𝑛 được định nghĩa bởi
𝑛

𝐴∶𝐵= ∑
𝑖,𝑗=1

𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑖𝑗 .

Hơn nữa, bất đẳng thức phương trình (1.10) được gọi là điều kiện inf-sup.


9

Chương 2. BÀI TOÁN DIVERGENCE
TRÊN MIỀN HOLDER-𝜶
Trong chương này ta nghiên cứu bài tốn Divergence trong miền liên thơng
thỏa mãn điều kiện Holder-𝛼, với 𝛼 là số thực trong (0,1]. Để chứng minh sự
tồn tại nghiệm trong các không gian có hàm trọng Sobolev ta sử dụng các kết
quả của bất đẳng thức Korn và Poincare.
2.1. Bất đẳng thức dạng Korn trên miền Holder-𝜶
Bất đẳng thức Korn cổ điển phát biểu rằng một trường vectơ u = (u1 , … , u𝑛 )
xác định trong Ω và thỏa mãn một số điều kiện ta có bất đẳng thức sau

‖𝐷u‖𝐿𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(Ω) ,
với 𝐷u là ma trận Jacobian, (𝐷u)𝑖𝑗 =
1 𝜕𝑢𝑖
(
2 𝜕𝑥𝑗

+

𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗

(2.1)

và thành phần của 𝜀(u) là 𝜀(u)𝑖𝑗 =

). Hai điều kiện Korn xét là u(𝑥) = 0 trong 𝜕Ω (gọi là trường
𝜕𝑢

𝜕𝑢

hợp thứ nhất) và ∫Ω rot u = 0 (trường hợp thứ hai), với rot u = − 1 + 2 .
𝜕𝑥
𝜕𝑥
2

1

Nhận xét rằng bất đẳng thức Korn trong trường hợp thứ nhất đúng trong miền
tùy ý nhưng trường hợp thứ hai thì khơng, chẳng hạn như miền có một đỉnh.
Mặt khác, tồn tại bất đẳng thức khác tương đương với (2.1) trong cả hai
trường hợp cho miền Lipschitz là
‖𝐷u‖𝐿𝑝(Ω)
≤ 𝐶{‖u‖𝐿𝑝(Ω) + ‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(Ω) },

(2.2)

với mọi trường u ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω)𝑛 .
Cho Ω ⊂ ℝ𝑛 là tập mở bị chặn và 𝑑(𝑥) là khoảng cách từ 𝑥 ∈ Ω tới biên 𝜕Ω.
Ta kí hiệu 𝐿𝑝 (Ω, 𝛾) là khơng gian Banach cho bởi chuẩn
‖𝑢‖𝐿𝑝(Ω,𝛾) ≔ ‖𝑢 𝑑 𝛾 ‖𝐿𝑝(Ω)


10

và tương tự, 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝛾) là không gian Banach với chuẩn
‖𝑢‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝛾) ≔ ‖𝑢 𝑑 𝛾 ‖𝐿𝑝(Ω) + ‖∇𝑢 𝑑 𝛾 ‖𝐿𝑝(Ω) .
𝑝

Khi 𝐿𝑝 (Ω, 𝛾) ⊂ 𝐿1 (Ω) thì 𝐿0 (Ω, 𝛾) là khơng gian con của 𝐿𝑝 (Ω, 𝛾).
Bất đẳng thức Poincare. ([1]) Nếu Ω là một miền Holder-𝛼, 0 < 𝛼 ≤ 1, 𝐵 ⊂
Ω là một hình cầu và 𝜙 ∈ 𝐶0∞ (𝐵) sao cho ∫𝐵 𝜙(𝑥)𝑑𝑥 = 1 thì với 𝛼 ≤ 𝛽 ≤ 1
và 𝑓 thỏa mãn ∫𝐵 𝑓(𝑥) 𝜙(𝑥)𝑑𝑥 = 0 tồn tại một hằng số 𝐶 chỉ phụ thuộc vào
Ω, 𝐵 và 𝜙 sao cho
‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) ≤ 𝐶‖∇𝑓‖𝐿𝑝 (Ω,𝑝(1+𝛼−𝛽)) .

(2.3)

Định lí 2.1 ([1]) Cho Ω ⊂ ℝ𝑛 là một miền Holder-𝛼, 𝐵 ⊂ Ω là một hình cầu
và u ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝛾) với 1 < 𝑝 < ∞.
Khi đó, với 𝛼 ≤ 𝛽 ≤ 1 ta có bất đẳng thức sau
‖𝐷u‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) ≤ 𝐶 {‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) + ‖u‖𝐿𝑝(Ω) },
với hằng số 𝐶 chỉ phụ thuộc vào Ω, 𝐵 và 𝑝.
Chứng minh. Ta cần chỉ ra rằng tồn tại v ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω)𝑛 sao cho
trong Ω

∆v = ∆u

(2.4)

và
‖v‖𝑊 1,𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(Ω).

(2.5)

Xét 𝜙 ∈ 𝐶0∞ (𝐵) sao cho ∫𝐵 𝜙(𝑥)𝑑𝑥 = 1. Với 𝑖 = 1, … , 𝑛 định nghĩa hàm
tuyến tính
𝐿𝑖 (𝑥) ∶= (∫ ∇(u𝑖 − v𝑖 )𝜙 (𝑥)𝑑𝑥 ) . 𝑥
𝐵

và L(𝑥) là vectơ với các thành phần là 𝐿𝑖 (𝑥).
Khi đó,
𝐷L = ∫ D(u − v) 𝜙(𝑥)𝑑𝑥
𝐵

lấy tích phân từng phần và áp dụng bất đẳng thức Holder ta có

11

|𝐷L| ≤ ‖u − v‖𝐿𝑝(𝐵) ‖∇𝜙‖𝐿𝑞(𝐵) .
Từ (2.5) tồn tại một hằng số 𝐶 chỉ phụ thuộc Ω, 𝑝 và 𝜙 sao cho
‖𝐷L‖𝐿𝑝(Ω)
≤ 𝐶{‖u‖𝐿𝑝(𝐵) + ‖ε(u)‖𝐿𝑝(Ω) }.

(2.6)

Đặt
w ≔ u−v−L
Theo (2.5) và (2.6), ta chỉ cần đánh giá w. Từ (2.4) và do L tuyến tính nên
∆w = 0
tương đương với
∆𝜀𝑖𝑗 (w) = 0.
Nhưng, nếu 𝑓 là một hàm điều hòa trong Ω thì ta có đánh giá sau
‖∇𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝑝−𝜇) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝 (Ω,−𝜇) ,
với mọi 𝜇 ∈ ℝ.
Lấy 𝜇 = 𝑝(𝛽 − 𝛼) ta thu được
‖∇𝜀𝑖𝑗 (w)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1+𝛼−𝛽)) ≤ 𝐶‖𝜀𝑖𝑗 (w)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽))
sử dụng đồng nhất thức
𝜕 2 w𝑖
𝜕𝜀𝑖𝑘 (w) 𝜕𝜀𝑖𝑗 (w) 𝜕𝜀𝑗𝑘 (w)
=
+
−
𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑗
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑖

ta kết luận rằng
𝜕 2 w𝑖
‖
‖
𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑘 𝐿𝑝(Ω,𝑝(1+𝛼−𝛽))
≤ 𝐶‖𝜀(w)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) ,

(2.7)

với 𝑖, 𝑗, 𝑘 bất kỳ.
Vì ∫

𝜕𝑤𝑖
𝜕𝑥𝑗

𝜙 = 0 (do định nghĩa L) nên từ bất đẳng thức Poincare (2.3) ta có
𝜕w𝑖
𝜕w𝑖
≤ 𝐶 ‖∇
.
‖
‖
‖
𝜕𝑥𝑗 𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽))
𝜕𝑥𝑗 𝐿𝑝(Ω,𝑝(1+𝛼−𝛽))


12

Áp dụng (2.7) ta thu được

‖𝐷w‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) ≤ 𝐶‖ε(w)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) ≤ 𝐶‖ε(u)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽))
Suy ra điều phải chứng minh.□
Trong hệ quả sau ta đưa ra bất đẳng thức Korn có hàm trọng trong miền
Holder-𝛼, nó là sự tổng quát hóa trường hợp thứ hai của bất đẳng thức Korn.
Để phát biểu bất đẳng thức này ta xét không gian sau
𝒩 = {v ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω)𝑛 ∶ ε(v) = 0}.
Hệ quả 2.2 Cho Ω ⊂ ℝ𝑛 là một miền Holder-𝛼 và 1 < 𝑝 < ∞.
Khi đó, với 𝛼 ≤ 𝛽 ≤ 1 ta có bất đẳng thức sau
inf ‖u − v‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽))

v∈𝒩

≤ 𝐶‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) .

(2.8)

Chứng minh. Cho 𝐵 và 𝜙 như các định lí trước với 𝐵 ⊂ Ω. Định nghĩa 𝑥𝑖 =
∫𝐵 𝑥𝑖 𝜙(𝑥)𝑑𝑥 và v ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω) xác định bởi
𝑛

v𝑖 (𝑥) = 𝑎𝑖 + ∑ 𝑏𝑖𝑗 (𝑥𝑗 − 𝑥𝑗 )
𝑗=1

với
𝑎𝑖 = ∫ u𝑖 𝜙(𝑥)𝑑𝑥
𝐵

và

𝑏𝑖𝑗 =

1
𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑗
∫(
−
) 𝑑𝑥.
2|𝐵| 𝐵 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑖

Dễ dàng kiểm tra v ∈ 𝒩. Bây giờ, khi ∫𝐵(u − v)𝜙(𝑥)𝑑𝑥 = 0, từ (2.3) và
định lí 1.1 ta có
‖u − v‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) ≤ 𝐶 {‖u − v‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) + ‖u − v‖𝐿𝑝(𝐵) }
sử dụng bất đẳng thức Poincare trong 𝐵 ta có
‖u − v‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) ≤ 𝐶 {‖𝜀(u − v)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) + ‖𝐷(u − v)‖𝐿𝑝(𝐵) }.
(2.9)
Nhưng,


13

𝜕(u − v)𝑖 𝜕(u − v)𝑗
∫(
−
)=0
𝜕𝑥𝑗
𝜕𝑥𝑖
𝐵
do đó, áp dụng trường hợp thứ hai của bất đẳng thức Korn trong 𝐵 ta có
‖𝐷(u − v)‖𝐿𝑝(𝐵) ≤ 𝐶‖𝜀(u − v)‖𝐿𝑝(𝐵) .
Sử dụng bất đẳng thức này trong (2.9) và cho 𝜀(v) = 0 ta được
‖u − v‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) ≤ 𝐶 {‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) + ‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(𝐵) }.

điều này dẫn đến (2.8) do 𝐵 ⊂ Ω. □
2.2. Nghiệm của bài toán divergence trong miền Holder-𝜶
Trong phần này Ω là miền liên thông thỏa mãn điều kiện Holder-𝛼. Cho
hàm vô hướng 𝜓 với curl 𝜓 = (

𝜕𝜓

𝜕𝑥2

,−

𝜕𝜓
𝜕𝑥1

) và trường vectơ Ψ =

(𝜓1 , 𝜓2 ), Curl Ψ là ma trận có thành phần là curl 𝜓𝒊 theo hàng. Hơn nữa, nếu
𝜎 ∈ 𝐿𝑝 (Ω)2×2 , Div 𝜎 là trường vecto với thành phần tìm được bằng cách lấy
vi phân theo hàng của 𝜎.
Để giải bài toán (div)𝑝 tìm một nghiệm u của div u = 𝑓 sao cho giới hạn tới
𝜕Ω của cả hai thành phần của u là hằng số ta thế đánh giá (2.2) như sau
‖𝐷u‖𝐿𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω) .
Giả sử rằng Ω là một miền Lipschitz. Khi đó, nếu 𝜓 ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω) thỏa mãn
∫Ω 𝐜𝐮𝐫𝐥 𝜓 . ∇ 𝜙 = 0

∀𝜙 ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω)

(2.10)

lấy tích phân từng phần ta thu được

𝜕𝜓

∫𝜕Ω 𝜕𝑡 𝜙 = 0
với

𝜕𝜓
𝜕𝑡

∀𝜙 ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω)

là đạo hàm tiếp tuyến của 𝜓. Vì vậy

𝜕𝜓
𝜕𝑡

= 0 và hạn chế của 𝜓 lên 𝜕Ω là

hằng số.
Xét không gian
1,𝑝

𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (Ω) ⊂ 𝑊 1,𝑝 (Ω)
xác định bởi

(2.11)


14
1,𝑝

𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (Ω) = {𝜓 ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω) ∶ ∫Ω 𝐜𝐮𝐫𝐥 𝜓 . ∇ 𝜙 = 0

∀𝜙 ∈ 𝑊 1,𝑞 (Ω)}
(2.12)

Tổng quát hơn, với bất kỳ 𝛾 ∈ ℝ,
1,𝑝

𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (Ω) = {𝜓 ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝛾) ∶ ∫Ω 𝐜𝐮𝐫𝐥 𝜓 . ∇ 𝜙 = 0

∀𝜙 ∈ 𝑊 1,𝑞 (Ω, (1 −

𝑞)𝛾)}.
Trong suốt mục này chúng ta sẽ phân tích tính giải được của bài tốn
1,𝑝

Devergence div u = 𝑓 trong khơng gian Sobolev có trọng 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (Ω, 𝛾1 )2 với
điều kiện
‖𝐷(u)‖𝐿𝑝(Ω,𝛾1) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝛾2) ,

(2.13)

Với 𝛾1 và 𝛾2 là số thực và là lũy thừa trong hàm trọng được giới thiệu trong
(1.4).
2.2.1. Hàm trọng bên trái
Để thỏa mãn đánh giá và điều kiện trên miền, đầu tiên ta sẽ xét 𝛾2 = 0 trong
(2.13).
𝑝

Cho 1 < 𝑝 < ∞ và 𝛾 ∈ ℝ, 𝐿𝑠𝑦𝑚 (Ω, 𝛾)2×2 là khơng gian con của tensơ đối

xứng trong 𝐿𝑝 (Ω, 𝛾)2×2 .
Bổ đề 2.3 Cho Ω ⊂ ℝ2 là miền Holder-𝛼 và u ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝑝(𝛽 − 1))2 , với
𝑝

𝛼 ≤ 𝛽 ≤ 1, sao cho ∫Ω div u = 0. Khi đó, tồn tại 𝜎 ∈ 𝐿𝑠𝑦𝑚 (Ω, 𝑝(𝛽 −
𝛼))2×2 thỏa mãn
∫ 𝜎 ∶ 𝐷w = ∫ Curl u : 𝐷w,
Ω

∀w ∈ 𝑊 1,𝑞 (Ω, 𝑞(𝛼 − 𝛽))2

Ω

và
‖𝜎‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛽−𝛼)) ≤ 𝐶‖Curl u‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛽−1)) .
Bổ đề 2.4 Cho Ω ⊂ ℝ2 là một miền bị chặn và 𝜔 ∶ Ω → ℝ>0 là hàm trọng
sao cho 𝜔−1 bị chặn địa phương. Cho một trường vecto v ∈ 𝐿𝑝 (Ω, 𝜔)2 sao
1,𝑝

cho div v = 0, tồn tại 𝜙 ∈ 𝑊𝑙𝑜𝑐 (Ω) sao cho curl 𝜙 = v.


15

Định lí 2.5 ([1]) Cho Ω ⊂ ℝ2 là miền liên thơng hồn tồn bị chặn thỏa mãn
𝑝

điều kiện Holder-𝛼, 0 < 𝛼 ≤ 1. Khi đó với 𝑓 ∈ 𝐿0 (Ω), 1 < 𝑝 < ∞, tồn tại u ∈
1,𝑝

𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (Ω, 𝑝(1 − 𝛼))2 là nghiệm của phương trình divergence sao cho
‖𝐷u‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛼))
≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω) .

(2.16)

Chứng minh. Lấy v ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω)2 sao cho
div v = 𝑓

(2.17)

và
‖v ‖𝑊 1,𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝 (Ω) .

(2.18)

Ta chỉ ra rằng tồn tại w ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝑝(1 − 𝛼))2 sao cho div w = 0 và
1,𝑝

v − w ∈ 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (Ω, 𝑝(1 − 𝛼))2
và
‖𝐷w ‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛼)) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝 (Ω) .

(2.19)

Thật vậy, xét trong (2.17), u ≔ v − w là nghiệm cần tìm.
Vì div v có giá trị trung bình tích phân bằng khơng nên theo Bổ đề 2.3 tồn
𝑝

tại 𝜎 ∈ 𝐿𝑠𝑦𝑚 (Ω, 𝑝(1 − 𝛼))2×2 thỏa mãn

‖𝜎‖𝐿𝑝 (Ω,𝑝(1−𝛼) ≤ 𝐶‖Curl v‖𝐿𝑝(Ω) .

(2.20)

và
∫ 𝜎 ∶ 𝐷r = ∫ Curl v : 𝐷r ,
Ω

∀r ∈ 𝑊 1,𝑞 (Ω, 𝑞(𝛼 − 1))2 .

Ω

Khi đó,
∫ Div 𝜎 ∙ r = − ∫ 𝜎 ∶ 𝐷r = − ∫ Curl v : 𝐷r = ∫ 𝜎 ∶ 𝐷r
Ω

Ω

Ω

= ∫ Div Curl v ∙ r = 0 ,
Ω

với mọi r ∈ 𝐶0∞ (Ω)2 và Div 𝜎 = 0.

Ω


16
1,𝑝

Theo Bổ đề 2.4 tồn tại w ∈ 𝑊𝑙𝑜𝑐 (Ω)2 sao cho Curl w = 𝜎. Do đó, khi Ω là
miền Holder-𝛼 với 𝛽 = 𝛼 ta có
‖w ‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛼)) ≤ 𝐶‖𝐷w ‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛼))
= 𝐶‖Curl w ‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛼)) ≤ 𝐶‖𝜎‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛼)) .
(2.21)
Ta kiểm tra rằng div w = 0, thật vậy vì 𝜎 là một tensơ đối xứng ta có
div w =

𝜕w1 𝜕w2
+
= −𝜎12 + 𝜎21 = 0.
𝜕𝑥1 𝜕𝑥2

Từ (2.18), (2.20) và (2.21) ta có (2.19). □
2.2.2. Hàm trọng ở cả hai bên
Nhắc lại rằng hàm trọng 𝜔 ∶ ℝ𝑛 → ℝ thuộc lớp 𝐴𝑝 khi và chỉ khi toán tử cực
đại Harly-Littlewood liên tục trong 𝐿𝑝 (ℝ𝑛 , 𝜔).
Trong những vấn đề sau ta xét khoảng cách đến 𝜕Ω, 𝑑(𝑥), xác định với mọi
𝑥 ∈ ℝ𝑛 không chỉ cho 𝑥 ∈ Ω. Ta sẽ đưa điều kiện đủ trên 𝜕Ω và số mũ 𝜇 ∈ ℝ
sao cho 𝑑 𝜇 thuộc lớp 𝐴𝑝 .
Bổ đề 2.6 Cho Ω ∈ ℝ2 là một miền bị chặn sao cho 𝜕Ω chứa trong tập mchính quy, với 𝑛 − 1 ≤ 𝑚 < 𝑛. Nếu
−(𝑛 − 𝑚) < 𝜇 < (𝑛 − 𝑚)(𝑝 − 1),
thì 𝑑 𝜇 thuộc lớp 𝐴𝑝 với 1 < 𝑝 < ∞.
Bổ đề 2.7 Cho Ω ∈ ℝ2 là một miền bị chặn sao cho 𝜕Ω chứa trong tập mchính quy, với −(2 − 𝑚) < 𝛾 < (2 − 𝑚)(𝑝 − 1) và 1 < 𝑝 < ∞, tồn tại v ∈
𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝛾)2 sao cho
div v = 𝑓
và
‖v‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝛾)2 ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝 (Ω,𝛾) .

17

Định lí 2.8 ([2]) Cho Ω ∈ ℝ2 là miền liên thơng hồn tồn bị chặn thỏa mãn
điều kiện Holder-𝛼, 0 < 𝛼 ≤ 1, được chứa trong một tập m-chính quy, với
1 ≤ 𝑚 < 2.
𝑝

Cho 𝑓 ∈ 𝐿0 (Ω, 𝑝(𝛽 − 1)), với 1 < 𝑝 < ∞, 𝛼 ≤ 𝛽 ≤ 1 và −(2 − 𝑚) <
1,𝑝

𝑝(𝛽 − 1), tồn tại u ∈ 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (Ω, 𝑝(𝛽 − 𝛼))2 sao cho
div u = 𝑓
và
‖𝐷u ‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛽−𝛼)) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝 (Ω,𝑝(𝛽−1)) .

(2.22)

Chứng minh.
Vì −(2 − 𝑚) < 𝑝(𝛽 − 1), theo Bổ đề 2.7 tồn tại v ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝑝(𝛽 − 1))2 sao
cho
div v = 𝑓

(2.23)

và
‖v‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝑝(𝛽−𝛼)) ≤ 𝐶‖v‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝑝(𝛽−1)) ≤ ‖𝑓‖𝐿𝑝 (Ω,𝑝(𝛽−1)).

(2.24)

Phần còn lại của chứng minh ta phải chỉ ra tồn tại w ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝑝(𝛽 −
2

𝛼)) thỏa mãn div w = 0 và
1,𝑝

v − w ∈ 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (Ω, 𝑝(𝛽 − 𝛼))2
và
‖𝐷w ‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛽−𝛼)) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝 (Ω,𝑝(𝛽−1)) .
Có thể dễ dàng kiểm tra sự tồn tại của w bằng cách sử dụng Bổ đề 2.3 như
trong Định lí 2.5.
2.3. Một số miền Holder-𝜶 đặc biệt với đỉnh bên ngoài
Trong mục này ta xét trường hợp đặc biệt của miền Holder-𝛼 xác định như
sau
Ω = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 0 < 𝑥 < 1, 0 < |𝑦| < 𝑥 1/𝛼 },
với 0 < 𝛼 ≤ 1.

(2.25)


18

Chúng ta sẽ chỉ ra trong trường hợp đặc biệt của Định lí 2.8 tương đương
với điều kiện yếu hơn, cụ thể, nghiệm của bài toán divergence thu được trong
định lí có thể thay đổi bằng cách thêm một trường vecto không đổi để thu
được một nghiệm bằng không trên biên.
Ta xét trường hợp đặc biệt của Định lí 2.8 với 𝛽 = 𝛼 và 𝑚 = 1. Sự mở rộng
của các đối số trong trường hợp khác có thể khả thi nhưng nó phức tạp .
Định lí 2.9 ([5]) Cho Ω ⊂ ℝ2 là một miền được định nghĩa trong (2.25) và
1

𝑝

1 < 𝑝 < ∞. Nếu 1 − < 𝛼 ≤ 1 thì, cho 𝑓 ∈ 𝐿0 (Ω, 𝑝(𝛼 − 1)) tồn tại u ∈
𝑝

1,𝑝
𝑊0 (Ω)2 sao cho

div u = 𝑓

(2.26)

và
‖u ‖𝑊 1,𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−1)) ,
0

(2.27)

với hằng số 𝐶 chỉ phụ thuộc Ω, 𝑝, và 𝛼.
Chứng minh. Ta thấy rằng Ω thỏa mãn các giả thiết của Định lí 2.8. Do đó tồn
1,𝑝

tại u ∈ 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (Ω)2 thỏa (2.26).
1,𝑝

Ta sẽ chứng minh với bất kỳ 𝜓 ∈ 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (Ω) tồn tại hằng số 𝜓0 ∈ ℝ sao cho
1,𝑝
𝜓 − 𝜓0 ∈ 𝑊0 (Ω) ∶= 𝐶0∞ (Ω).

Do đó, u có thể thay đổi bằng cách thêm một hằng số vào mỗi thành phần
của nó để thu được nghiệm mong muốn. Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức
Poincare vào (2.22) ta có (2.27).
1,𝑝

Cho 𝜓 ∈ 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (Ω), ta sẽ chỉ ra 𝜓 là hằng số trên 𝜕Ω. Từ định nghĩa của
1,𝑝

𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (Ω) ta có
∫ curl 𝜓 ∙ ∇𝜙 = 0

∀𝜙 ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω).

Ω

Cho (𝑥0 , 𝑦0 ) là một điểm trong 𝜕Ω và 𝐵 là một hình cầu mở, tâm tại (𝑥0 , 𝑦0 )
sao cho 0 ∉ 𝐵. Lấy 𝜙 ∈ 𝐶0∞ (𝐵) ta có


19

0 = ∫Ω curl 𝜓 ∙ ∇𝜙 = − ∫𝑩⋂𝝏Ω 𝜓
với

𝜕𝜙
𝜕𝑡

Vì thế

𝜕𝜙

∀𝜙 ∈ 𝐶 ∞ (𝐵),

𝜕𝑡

là đạo hàm tiếp tuyến của 𝜙.
𝜕𝜙
𝜕𝑡

= 0 theo hướng phân phối trên 𝐵⋂𝜕Ω, vì 𝜕Ω − (0,0) là một tập

1,𝑝
liên thông nên tồn tại một hằng số 𝜓0 = 0. Do đó 𝜓 ∈ 𝑊0 (Ω).

Cho 𝜁 ∈ 𝐶 ∞ (ℝ+ ) sao cho
𝜁 ≡ 1 trong [0,1]

𝜁 ≡ 0 trong ℝ+ (0,2)

0 ≤ 𝜁 ≤ 1.

Ta phân tích 𝜓 như sau
𝜓(𝑥, 𝑦) = 𝜁(3𝑥)𝜓(𝑥, 𝑦) + (1 − 𝜁(3𝑥))𝜓(𝑥, 𝑦) =: 𝜓1 + 𝜓2 .
1,𝑝
Dễ thấy rằng 𝜓2 ∈ 𝑊0 (Ω2 ) với Ω2 là miền Lipschitz

1
Ω2 ∶= Ω⋂ {𝑥 > }.
3
Do đó, ta có thể giả sử 𝜓 = 𝜓1 . Bây giờ cho 𝜙𝑛 ∈ 𝐶 ∞ (Ω) là một dãy thỏa

1,𝑝
mãn 𝜙𝑛 → 𝜓 trong 𝑊0 (Ω) và cho 𝛾 ∶= 1/𝛼.

Dễ dàng kiểm tra rằng, với 𝑦 ∈ (0,1),
𝑦
𝛾

|𝜙𝑛 (𝑥, 𝑥 − 𝑦)| ≤ |𝜙𝑛 (𝑥, 𝑥

𝛾 )|

+∫ |
0

𝜕𝜙𝑛
(𝑥, 𝑥 𝛾 − 𝑡)| 𝑑𝑡.
𝜕𝑦

Lấy tích phân và sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
1

∫ |𝜙𝑛 (𝑥, 𝑥 𝛾 − 𝑦)|𝑝 𝑑𝑥
𝑦𝛼

1

𝑝
𝜕𝜙𝑛
𝛾
(𝑥, 𝑥 − 𝑡)| 𝑑𝑡𝑑𝑥 ) .

∫ ∫ |
𝜕𝑦
𝑦𝛼 0
1

≤ 𝐶 (∫ |𝜙𝑛 (𝑥, 𝑥

𝛾 )|𝑝

𝑦𝛼

+𝑦

𝑝−1

𝑦

Sử dụng tính liên tục của vết trong miền Lipschitz Ω ∩ (𝑥 > 𝑦 𝛼 ) ta có
1

1
𝛾

∫ |𝜓(𝑥, 𝑥 − 𝑦)| 𝑑𝑥 = lim ∫ |𝜙𝑛 (𝑥, 𝑥 𝛾 − 𝑦)|𝑝 𝑑𝑥
𝑦𝛼

𝑝

𝑛→∞ 𝑦 𝛼