Tài liệu ôn tập toán lớp 12 và thi THPT Quốc gia lớp 12 - Chuyên đề 3. Dãy số - Học Toàn Tập

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

CHƯƠNG 3.

DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
---oOo---

A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I. DÃY SỐ

1. Dãy số

: *

( )
<i>u</i>

<i>n</i> <i>u n</i>


 



<i>Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … </i>

2. Dãy số tăng, dãy số giảm

 (u<i>n) là dãy số tăng </i>  u<i>n+1 > un với  n  N*. </i>

<i> </i>  u<i>n+1 – un > 0 với  n  N*  </i> <i>n</i> 1 1

<i>n</i>

<i>u</i>

<i>u</i>

 _ <i>_{với n  N* ( u}</i>

<i>n > 0). </i>

 (u<i>n) là dãy số giảm </i>  u<i>n+1 < un với n  N*. </i>

<i> </i>  u<i>n+1 – un< 0 với  n  N*  </i> <i>n</i> 1 1

<i>n</i>
<i>u</i>

<i>u</i>

 _ <i>_{với n  N* (u}</i>

<i>n > 0). </i>

<i>3. Dãy số bị chặn </i>

 (u<i>n) là dãy số bị chặn trên </i><i>M </i><i> R: un</i><i> M, </i><i>n  N*. </i>

 (u<i>n) là dãy số bị chặn dưới </i><i>m </i><i> R: un</i><i> m, </i><i>n </i><i> N*. </i>

 (u<i>n) là dãy số bị chặn </i><i>m, M </i><i> R: m </i><i> un</i><i> M, </i><i>n </i><i> N*. </i>

II. CẤP SỐ CỘNG

<i>1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai) </i>

2. Số hạng tổng quát: <i>u_n</i> <i>u</i>₁(<i>n</i>1)<i>d với n  2 </i>
3. Tính chất các số hạng: 1 1

2

<i>k</i> <i>k</i>
<i>k</i>

<i>u</i> <i>u</i>

<i>u</i> _    <i>_{với k  2}</i>

<i>4. Tổng n số hạng đầu tiên: </i> ₁ ₂ ... ( 1 )
2

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n u</i> <i>u</i>

<i>S</i> <i>u</i> <i>u</i>  <i>u</i>   <i>= </i> 2 1 ( 1)

2

<i>n</i>_ <i>u</i>  <i>n</i> <i>d</i>_
III. CẤP SỐ NHÂN

<i>1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân  un+1 = u</i> 1

1

<i>n</i>

<i>u</i>
<i>n</i>



 <i>n.q với n  N* </i> <i>(q: công bội) </i>

<i>2. Số hạng tổng quát: </i> <i>u_n</i> <i>u q</i>₁. <i>n</i>1<i> với n  2 </i>
3. Tính chất các số hạng: <i>u_k</i>2<i>u_k</i>_₁.<i>u_k</i>_₁<i> với k  2 </i>
<i>4. Tổng n số hạng đầu tiên:n</i>

1
1

1
(1 )

1
1

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>S</i> <i>nu</i> <i>với q</i>

<i>u</i> <i>q</i>

<i>S</i> <i>với q</i>

<i>q</i>

  





 _ _

 _


B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
CÂU HỎI NHẬN BIẾT (1-20)

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

A. 1 1 1, , .

2 3 4 B.

1 1
1, , .

2 3 C.

1 1 1
, , .

2 4 6 D.

1 1
1, , .

3 5
Câu 2.1. Cho dãy số ( )<i>u_n</i> , biết

3 1

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>
<i>u</i> 

 . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là

A. 1 1 3, ,

2 4 26 B.

1 1 1
, ,

2 4 8 C.

1 1 1
, ,

2 4 16 D.

1 2 3
, ,
2 3 4
Câu 3.1. Cho dãy số ( )<i>u_n</i> , biết 1

1

1
3

<i>n</i> <i>n</i>

<i>u</i>

<i>u</i> _ <i>u</i>

  


 


<i>với n </i> 0. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là:

A. -1,2,5 B. 1,4,7 C. 4,7,10 D. -1,3,7

Câu 4.1. Cho dãy số ( )<i>u_n</i> , biết
2

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

<i>u</i>  . Chọn đáp án đúng:

A. ₄ 1
4

<i>u</i>  B. ₅ 1

16

<i>u</i>  C. ₅ 1

32

<i>u</i>  D. ₃ 1

8
<i>u</i> 

Câu 5.1. Số hạng tổng quát của dãy số ( )<i>u_n</i> : 1 1 1 1, , , ,...
2 4 8 16 là:

A. 1

2

<i>n</i> <i>n</i>

<i>u</i>  B. 1

2

<i>n</i>

<i>u</i>
<i>n</i>

 C. <i>u_n</i> 1₂

<i>n</i>

 D. 1

4

<i>n</i>

<i>u</i>
<i>n</i>



Câu 6.1. Số hạng tổng quát của dãy số ( )<i>u_n</i> : 1, , , ,...1 1 1
2 3 4 là:
A. <i>u_n</i> 1

<i>n</i>

 B. 1

2

<i>n</i>

<i>u</i>
<i>n</i>

 C. <i>u_n</i> 1₂

<i>n</i>

 D. 1

1

<i>n</i>

<i>u</i>
<i>n</i>





Câu 7.1. Trong các dãy số ( )<i>u_n</i> cho bởi số hạng tổng quát u<i>_n</i>_{sau, dãy số nào là một cấp số cộng:}
A. 1,-3,-7,-11,-15. B. 1,-3,-6,-9,-12. C. 1,-2,-4,-6,-8. D. 1,-3,-5,-7,-9.

Câu 8.1. Cho cấp số cộng ( )<i>u_n</i> , biết: u₁ 3, u₂  1<i>. Lựa chọn đáp án đúng. </i>

A. <i>u</i>₃  5 B. <i>u</i>₃ 2 C. <i>u</i>₃ 4 D. <i>u</i>₃ 7

Câu 9.1. Cho cấp số cộng ( )<i>u_n</i> , biết: <i>u</i>₁ 1,<i>u</i>₅ 9<i>. Lựa chọn đáp án đúng. </i>

A. <i>u</i>₃ 4 B. <i>u</i>₃ 5 C. <i>u</i>₃ 6 D. <i>u</i>₃ 8

Câu 10.1. Cho cấp số cộng ( )<i>u_n</i> , biết: u₃  7, u₄ 8<i>. Lựa chọn đáp án đúng. </i>

A. <i>d</i>15 B. <i>d</i>1 C. <i>d</i> 3 <i>D. d = -15 </i>

Câu 11.1. Cho cấp số cộng ( )<i>u_n</i> , biết: <i>u</i>₁  1,<i>u</i>₄ 8<i>. Lựa chọn đáp án đúng. </i>

A. <i>d</i>3 B. <i>d</i>1 C. <i>d</i> 3 D. <i>u</i>₅ 10

Câu 12.1. Trong các số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

A. 1,-3,9,-27,81. B. 1,-3,-6,-9,-12. C. 1,-2,-4,-8,-16. D. 0,3,9,27,81.
Câu 13.1. Cho cấp số nhân ( )<i>u_n</i> có ₁ 1; 1

10

<i>u</i>   <i>q</i>  . Số 1₁₀₃

10 là số hạng thứ bao nhiêu?

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Câu 14.1. Cho cấp số nhân ( )<i>u_n</i> , biết: ₁ 12, 1
2

<i>u</i>   <i>q</i> <i>. Lựa chọn đáp án đúng. </i>

A. ₈ 3

64

<i>u</i>   B. ₈ 1

64

<i>u</i>   C. ₈ 1

64

<i>S</i>   D. ₈ 1

264
<i>S</i>  

Câu 15.1. Trong các dãy số ( )<i>u_n</i> cho bởi số hạng tổng quát <i>u_n</i>_{sau, dãy số nào là một cấp số}
nhân?

A. 1₂

3

<i>n</i> <i>n</i>

<i>u</i>  _ B. 1 1

3

<i>n</i> <i>n</i>

<i>u</i>   C. 1

3

<i>n</i>

<i>u</i> <i>n</i> D. 2 1

3

<i>n</i>

<i>u</i> <i>n</i> 

Câu 16.1. Cho cấp số nhân ( )<i>u_n</i> có <i>u</i>₁3;<i>q</i> 2. Số 192 là số hạng thứ bao nhiêu?

A. số hạng thứ 6 B. số hạng thứ 5 C. số hạng thứ 7 D. số hạng thứ 8
Câu 17.1. Cho cấp số nhân ( )<i>u_n</i> , biết: <i>u</i>₁2,<i>u</i>₃  8<i>. Lựa chọn đáp án đúng. </i>

A. <i>S</i>₆ 130 B. u₅ 256 C. <i>S</i>₅ 256 D. <i>q</i> 4

Câu 18.1. Cho cấp số nhân ( )<i>u_n</i> có ₂ 1; ₅ 16
4

<i>u</i>  <i>u</i>  . Tìm q và số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

A. 4, ₁ 1

16

<i>q</i> <i>u</i>  B. 1; ₁ 1

2 2

<i>q</i> <i>u</i>  C. 1, ₁ 1

2 2

<i>q</i>  <i>u</i>   D. 4, ₁ 1

16
<i>q</i>  <i>u</i>  

Câu 19.1. Cho cấp số cộng ( )<i>u_n</i> , biết <i>u</i>₁  5,<i>u</i>₅ 11<i>. Lựa chọn đáp án đúng. </i>

A. u₃ 3 B. u₃ 8 C. u₃ 6 D. u₃  8

Câu 20.1. Cho cấp số cộng có <i>u</i>₄  12,<i>u</i>₁₄ 18. Khi đó số hạng đầu tiên và công sai là
A. <i>u</i>₁  21,<i>d</i>3 B. <i>u</i>₁  20,<i>d</i> 3 C. <i>u</i>₁  22,<i>d</i>3 D. <i>u</i>₁  21,<i>d</i> 3
CÂU HỎI THÔNG HIỂU (21-35)

Câu 21.2. Cho dãy số ( )<i>u_n</i> , biết <i>u_n</i> 1
<i>n</i>

 . Chọn đáp án đúng.
A. Dãy số ( )<i>u_n</i> là dãy số giảm.

B. Dãy số ( )<i>u_n</i> là dãy số tăng.

C. Dãy số ( )<i>u_n</i> là dãy số không tăng không giảm.
D. Dãy số ( )<i>u_n</i> có ₃ 1

6
<i>u</i> 

Câu 22.2. Cho tổng 1 1 1 ... 1

1.2 2.3 3.4 .( 1)

<i>n</i>

<i>S</i>

<i>n n</i>

    

 với

*

<i>n N</i> . Lựa chọn đáp án đúng.
A. ₂ 2

3

<i>S</i>  B. ₂ 1

6

<i>S</i>  C. ₃ 1

12

<i>S</i>  D. ₃ 1

4
<i>S</i> 

Câu 23.2. Trong các dãy số ( )<i>u_n</i> cho bởi số hạng tổng quát <i>u_n</i> sau, dãy số nào là dãy số tăng?

A. 2 1

1

<i>n</i>

<i>n</i>
<i>u</i>

<i>n</i>




 B.

1

<i>n</i>

<i>u</i>
<i>n</i>

 C. 5

3 1

<i>n</i>

<i>n</i>
<i>u</i>

<i>n</i>




 D.

1

2

<i>n</i> <i>n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Câu 24.2. Trong các dãy số ( )<i>u_n</i> cho bởi số hạng tổng quát <i>u_n</i> sau, dãy số nào bị chặn trên?
A. <i>u_n</i> 1

<i>n</i>

 B. <i>u_n</i> 2<i>n</i> C. <i>u_n</i> <i>n</i>2 D. <i>u_n</i>  <i>n</i>1
Câu 25.2. Cho cấp số cộng ( )<i>u_n</i> , biết: <i>u_n</i> 1,<i>u_n</i>_₁ 8<i>. Lựa chọn đáp án đúng. </i>

A. <i>d</i>9 B. <i>d</i>7 C. <i>d</i> 9 D. u₅ 10

Câu 26.2. Cho cấp số cộng ( )<i>u_n</i> , biết <i>u</i>₁  5,<i>d</i>3. Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu?

A. Số thứ 15 B. Số thứ 20 C. Số thứ 25 D. Số thứ 30

Câu 27.2. Cho cấp số cộng ( )<i>u_n</i> , biết <i>u</i>₁  1,<i>d</i>3. Chọn đáp án đúng.

A. <i>S</i>₅ 25 B. <i>u</i>₁₅ 44 C. <i>u</i>₁₃ 34 D. <i>u</i>₁₀ 35

Câu 28.2. Cho cấp số cộng ( )<i>u_n</i> , biết u₁ 5,<i>d</i>3<i>. Chọn đáp án đúng. </i>

A. <i>u</i>₁₅ 34 B. <i>u</i>₁₅ 44 C. <i>u</i>₁₃ 34 D. <i>u</i>₁₀ 35

<i>Câu 29.2. Xác định x để 3 số 2x-1; x; 2x+1 lập thành một cấp số nhân. </i>

A. 1

3

<i>x</i>  B. 1

3
<i>x</i> 

C. <i>x</i>  3 <i>D. Khơng có giá trị nào của x </i>

Câu 30.2. Cho cấp số cộng ( )<i>u_n</i> có: <i>u</i>₁  1,<i>d</i>2,<i>s_n</i> 483. Hỏi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng?

<i>A. n = 23 </i> <i>B. n = 21 </i> <i>C. n = 22 </i> <i>D. n = 20 </i>

Câu 31.2. Cho dãy số ( )<i>u_n</i> , biết ( 1)<i>n</i>
<i>n</i>

<i>u</i>   <i>. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây? </i>
A. Dãy ( )<i>u_n</i> bị chặn. B. Dãy ( )<i>u_n</i> tăng. C. Dãy ( )<i>u_n</i> giảm. D. Dãy ( )<i>u_n</i> có

30 30

<i>u</i> 

<i>Câu 32.2. Cho tổng S_n</i>    1 2 3 ...<i>n. Khi đó S</i>₃<i> là bao nhiêu? </i>

A. 6 B. 4 C. 9 D. 3

<i>Câu 33.2. Xen giữa các số 2 và 22 ba số nào sau đây để được một cấp số cộng có 5 số hạng. </i>

A. 7;12;17 B. 6; 10; 14 C. 8; 13; 18 D. 5; 8; 11

Câu 34.2. Trong các dãy số ( )<i>u_n</i> cho bởi số hạng tổng quát <i>u_n_{sau, dãy số nào không phải là một}</i>
<i>cấp số cộng: </i>

A. <i>u_n</i>5 2 <i>n</i> B. 2<i>n</i>
<i>n</i>

<i>u</i>  C. 3

2

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>u</i>   D. 2 3

5

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>u</i>  

Câu 35.2. Trong các dãy số ( )<i>u_n</i> cho bởi số hạng tổng quát <i>u_n</i> sau, dãy số nào bị chặn?

A. 1

2

<i>n</i> <i>n</i>

<i>u</i>  B. <i>u_n</i> 3<i>n</i> C. <i>u_n</i>  <i>n</i>1 D. <i>u_n</i> <i>n</i>2

CÂU HỎI VẬN DỤNG THẤP (36-45)
Câu 36.3. Cho dãy số ( )<i>u_n</i> , biết 3 1

3 1

<i>n</i>

<i>n</i>
<i>u</i>

<i>n</i>




 . Dãy số ( )<i>un</i> bị chặn trên bởi

A. 1 B. 1

3 C.

1

2 D. 0

Câu 37.3. Cho dãy số ( )<i>u_n</i> , biết 1
1

<i>n</i>

<i>u</i>
<i>n</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

A. Dãy

 

<i>u_n</i> bị chặn. B. Dãy

 

<i>u_n</i> tăng.

C. <i>u</i>₃₀ 30 D. Dãy

 

<i>u_n</i> không bị chặn.

Câu 38.3. Cho tổng <i>S n</i>( ) 1 222...<i>n</i>2<i>. Khi đó cơng thức của S(n) là </i>

A. ( )



1 2



1



6

<i>n n</i> <i>n</i>

<i>S n</i>    B. ( ) ( 1)

2
<i>n</i>

<i>S n</i>  

C. ( ) ( 1)( 1)
6

<i>n n</i> <i>n</i>

<i>S n</i>    D. ( ) (2 1)(3 1)

6

<i>n n</i> <i>n</i>

<i>S n</i>   

Câu 39.3. Cho tổng ( ) 1 1 1 ... 1

1.2 2.3 3.4 ( 1)

<i>S n</i>

<i>n n</i>

    

 <i>. Khi đó cơng thức của S(n) là </i>

A. ( )

1
<i>n</i>
<i>S n</i>

<i>n</i>



 B. ( ) 2

<i>n</i>
<i>S n</i>

<i>n</i>



 C.

2
( )

2 1

<i>n</i>
<i>S n</i>

<i>n</i>



 D.

1
( )

2<i>n</i>
<i>S n</i> 

Câu 40.3. Cho cấp số cộng ( )<i>u_n</i> biết 7 3
2 7

8
75

<i>u</i> <i>u</i>

<i>u u</i>

  




 . Chọn đáp án đúng.

A. 1

2

<i>d</i> B. 1

3

<i>d</i> <i>C. d = 2 </i> <i>D. d = 3 </i>

Câu 41.3. Cho cấp số cộng ( )<i>u_n</i> biết 1 3 5

1 6

10
17

<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>

<i>u</i> <i>u</i>

   



 

 . Chọn đáp án đúng.

A. <i>u</i>₁ 16 B. <i>u</i>₁ 6 C. <i>u</i>₁7 D. <i>u</i>₁14

Câu 42.3. Cho cấp số cộng ( )<i>u_n</i> có <i>d</i> 2 và <i>s</i>₈ 72, khi đó số hạng đầu tiên là bao nhiêu?

<i>A. u</i>₁ 16 <i>B. u</i>₁  16 <i>C. </i> ₁ 1

16

<i>u</i>  D. ₁ 1

16
<i>u</i>  

Câu 43.3. Cho cấp số cộng ( )<i>u_n</i> có: ₁ 1, 1

4 4

<i>u</i>  <i>d</i>  . Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. ₅ 5

4

<i>s</i>   B. ₅ 4

5

<i>s</i>  C. ₅ 5

4

<i>s</i>  D. ₅ 4

5
<i>s</i>  

Câu 44.3. Cho cấp số nhân ( )<i>u_n</i> có 20 17

1 5

8
272

<i>u</i> <i>u</i>

<i>u</i> <i>u</i>

 


 


. Công bội của cấp số nhân là:

A. <i>q</i>2 B. <i>q</i> 4 C. <i>q</i>4 D. <i>q</i> 2

<i>Câu 45.3. Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các </i>
<i>số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với cơng sai khác 0. Tìm q? </i>

A. 1

3

<i>q</i> B. 1

9

<i>q</i> C. 1

3

<i>q</i>  D. <i>q</i> 3

CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO (46-50)
Câu 46.4. Cho dãy số ( )<i>u_n</i> , biết 1

1

u 5

<i>n</i> <i>n</i>

<i>u</i>  <i>u</i> <i>n</i>

 


 


</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

A. 5 ( 1)
2

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>u</i>    B. ( 1)

2

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>u</i>   C. 5 ( 1)

2

<i>n</i>

<i>n n</i>

<i>u</i>    D.

( 1)( 2)
5

2

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>u</i>    

<i>Câu 47.4. Xác định x để 3 số </i>₁_<i>_{x x}</i>_, 2_,1_<i>_x</i>_{lập thành một cấp số cộng.}

<i>A. x = 1 hoặc x = -1. </i> <i>B. x = 2 hoặc x = -2. </i>

<i>C. Khơng có giá trị nào của x. </i> <i>D. x = 0. </i>

<i>Câu 48.4. Cho a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Đẳng thức nào sau đây là đúng? </i>
A. <i>a</i>2<i>c</i>22<i>ac</i>4<i>b</i>2 B. <i>a</i>2<i>c</i>2 2<i>ab</i>2<i>bc</i> C. <i>a</i>2<i>c</i>2 <i>ab bc</i> D. <i>a</i>2<i>c</i>2 2<i>ab</i>2<i>bc</i>
Câu 49.4. Cho cấp số nhân ( )<i>u_n</i> có 1₂ 3 ₂

1 3

3
5

<i>u</i> <i>u</i>

<i>u</i> <i>u</i>

  




 




. Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:

A. ₁₀ 63 2

32( 2 1)
<i>S</i> 

 B. 10
63
32

<i>S</i>  C. ₁₀ 63 2

32(1 2)
<i>S</i> 

 D. 10

63
32( 2 1)
<i>S</i> 



Câu 50.4. Cho cấp số nhân ( )<i>u_n</i> <i>có tổng n số hạng đầu tiên là: </i> 3 ₁1
3

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>S</i>  _ . Số hạng thứ 5 của cấp
số nhân là

A. ₅ 2₅
3

<i>u</i>  B. ₅ 1₅

3

<i>u</i>  C. 5

5 3

<i>u</i>  D. ₅ 5₅

</div>

<!--links-->