Sử dụng đạo hàm để giải toán phương trình - bất phương trình - hệ phương trình

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (182.12 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BÀI TẬP : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH( SỬ DỤNG ĐẠO HÀM) 
Bài 1: Giải phương trình

1
3

2
3

22x + 2x = x + x+1+x+
Giải:

Ta có f(x)=2x+3x+x tăng trên R, nên phương trình tương đương
)

1
(
)
2

( = f x+

f x ⇔2x =x+1
Hàm số g(x)=2x −(x+1)xác định trên R

(

e

)

x
x

g

x

g x 2 2

/( )=2 ln2−1⇒ ( )≥0⇔ ≥log log

Vậy phương trình có nhiều nhất 2 nghiệm trên

(

−∞ ; log2(log2e)

)

(

log2(log2e) ; +∞

)

Thử trực tiếp tìm được hai nghiệm là x=0 ; x=1
Bài 2: Giải phương trình

1
5

1
4
3
1

log5⎜⎛⎝ − − + + − − ⎠⎞⎟= x−2 x−1+ x+3−4 x−1−1−
x

x
x

x

Giải :

Điều kiện x≥1.Đặt t= x−2 x−1+ x+3−4 x−1−1≥0(chứng minh)
phương trình tương đương log5( +1)=5 −1

t
t

⎪⎩
⎪
⎨
⎧

⎩
⎨
⎧

=
+
=
⇔
−

=
−

+
=
⇔

⎩
⎨
⎧

+
=

+
=
⇔

t
y

t
t

y
y
t

y t

y
t

t
y

t 5 1

(*)
5

1
5

0
=
⇔t
0

1
1
4
3
1

2 − + + − − − =

−

⇔ x x x x

5
2≤ ≤

⇔ x

Bài 3: Giải phương trình

3 2 4 4 2 24 4

1 − + −

= x x x

x
Giải :

0
2
12
2

4 3 2

4 − − + − =

⇔ x x x x

Xét hàm số = 4 −4 3−2 2 +12 −2⇒ / =4 3−12 2 −4 +12
x
x
x
y
x

x
x
x
y

Lập bảng biến thiên, suy ra hàm số có trục đối xứng x =1
Do đó đặt x=X +1, ta có phương trình

⎢
⎢
⎣
⎡

+
±
=

−
±
=
⇔
=

+
−

11
4
1

11
4
1
0

5
8 2
4

x
x
X

X

Bài 4: Giải phương trình

(

x

)

x

x)2 4cos 3.4cos
cos

( + + =

Giải :

Đặt cosx=y −1≤ y≤1

(

y

)

y

y)2 4 3.4
1

( + + =

⇔

Đặt

(

2 4

)

4
.
4
ln
.
6
)
(
1
4

2
4
.
3
)

( / 2 −

+
=
⇒

−
−
+
=

y
y
y

y

y
f
y

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

(

)

2
/( ) 0 16.ln4.4y 2 4y

y

f = ⇔ = +

Đây là phương trình bậc hai theo 4y, nên có không quá 2 nghiệm. Vậy theo định lý Roolle
phương trình f(y)=0 có khơng q 3 nghiệm.

Ta có , 1

2
1
,

0 = =

= y y

y là 3 nghiệm của phương trình f(y)=0
Suy ra phương trình có nghiệm π π π π 2π

3
2
,

2
,

2 x k x k

k

x= = + =± +

Bài 5: Giải phương trình

1
3
1

2
4

log 6 2

2
6

2008 + + = − −

x
x
x

x
x

Giải :

2
4
1
2008

2008
1

4 6 2 2

2
6

2
2
4

1
2
6

+
=
+

+
⇔
=

+
+

+
+
+

x
x

x
x
x

vì hàm số x
x
x

f( )= .2008 tăng trên R
Giải phương trình 6−3 2 −1=0⇔ 3−3 −1 ≥0

u
u
u
x

x phương trình chỉ có nghiệm trong (0,2)

Đặt

2
0

cos

2 < <π

= t t

u

2
1
3
cos =

⇒ t

Suy ra phương trình có nghiệm

9
cos

2 π

±
=
x
Bài 6: Giải phương trình

x
x

cos
sin

2
5
.
sin
2

5
.

cos ⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Giải :

Cosx = 0 và sinx = 0 không là nghiệm . Xét
2

k
x≠

x
x

cos
2
5
sin

5 sin cos

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇔

Xét hàm số 2 1, 0

5
)

( < ≠

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

= t t

t
t
f

t

. Hàm số f(t)nghịch biến
Suy ra x= x⇔ x=π +kπ

4
cos

sin

Bài 7: Giải phương trình

3
2
2
3

5
4
log

)
2
(

2
2

2 = +

+
+
+
+

+ x

x
x
x
x

Giải :

Đk 2x+3>0

[

( 2) 1

]

2 2 3 log 2 2 3

log
1
)
2

( 2 2

2+ + + + = + + +

⇔ x x x x

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Phương trình có nghiệm x=−1
Bài 8: Giải phương trình

x
x

x

x 1975 2007 2007

1975

cos
1
sin

1
cos

sin − = −

Giải :

x
x

x

x 2007 1975 2007

1975

cos
1
cos

sin
1

sin − = −

cos
;
1

sinx = x = khơng là nghiệm của phương trình

Đặt hàm số ( )= 1975 − 20071 ∈(−1;0)∪(0;1)
t

t
t
t
f

Ta có /()=1975 1974 +20072008 >0
t

t
t

f nên hàm số tăng trên mỗi khoảng
)

(
:
)
0
;
1

( f t

t∈ − chỉ nhận giá trị dương
)

(
:
)
1
;
0

( f t

t∈ chỉ nhận giá trị âm

Nên f x = f x ⇔ x= x⇔ x=π +kπ

4
cos

sin
)
(cos
)

(sin

Bài 9: Giải phương trình

x
x

x
x
x

x 2 4 4

2 .cos 2 2sin .sin3 cos 2 cos

2
cos
sin

.
2

sin ⎟= + −

⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞

⎜

⎝

⎛π π

Giải :

(

x x

)

x x

x

x 2 2 2 4 4

2 .cos 2 2cos cos 2 cos 2 cos

2
cos
cos

.
2

cos ⎟= − + −

⎠
⎞
⎜

⎝

⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛

⇔ π π

⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
+
−

=
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛

+
−

⇔ 4 x 2 x 2 x 4 x 2x .cos2 x

2
cos
cos

2
cos
2

cos
.
2
cos
2
cos
2
2

cos π π

Xét hàm số . 0 1

2
cos
2
)

( 2 ⎟ ≤ ≤

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−

=t t t t

t

f π . f(t) giảm

3
cos

2
cos
)
(cos
)

(cos2 2 2 2 kπ

x
x
x

x
f

x

f = ⇔ = ⇔ =

Bài 10: Giải phương trình

[

34 376 3log ( 34 376)

]

)
376
34

(

2 2

2
2

3
2

=
+

−
+
+

+
−
+

−

+
−

x
x

x

x
 Giải :

Đặt = 2 −34 +376 ( ≥87)
t
x

x
t

)
256
.
256
(
log
256
.
2
2
.
35
)
.
2
(
log
.

2 3

2
3
256
283
3

3 t t

t

t = =

⇔

Hàm số ( ) 2. log (2. 3)

2
3

t
t

t

f = t t đồng biến trên

[

1; +∞

)

4
;
30
256

376
34

256⇔ 2 − + = ⇔ = =

⇔t x x x x

Bài 11: Giải phương trình

)
1
6
cos
2
cos
4
(
log
2
cos
2
1
2

1 3

4
2

sin
2

−
−

+
=

+
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

x
x

x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Đặt 1)
3

1
(
2

cos < ≤

= x y

y

)
1
3
(
log
2

2 4

1+ = + −

⇔ −

y

Đặt t =log2(3y−1)⇔2t =3y−1 (t≤1)

Ta có hệ y t

y
t

y y t

t
y

+
=
+
⇔
⎩

⎨
⎧

−
=

−
+

2
2

1
3
2

1
2

Xét hàm số g(u)=2u +u, hàm số đồng biến trên R
0

1
3
2
)
(
1
3

2 = − ⇔ = − + =

⇔ t t f t t t

Xét hàm số f(t)=2t −3t+1, sử dụng định lý Roll cm phương trình có khơng q 3 nghiệm

Phương trình có nghiệm t=1 t=3(L), suy ra phương trình có nghiệm x=kπ

Bài 12: Giải phương trình

1
1 8 12.4 .7

343
.
8

64x− x− = + x x−

Giải :

Đặt =2; =−4x ; =2.7x−1

c
b

a

0
3

3
3

3 + + − =

⇔a b c abc 0 0

)
(
)
(
)
(
)
(

2
2

=
+
+
⇔
=
⎥
⎦
⎤
⎢

⎣

⎡ − + − + −

+
+

⇔ a b c a b b c c a a b c

0
7
.
2
4

2− + 1 =

⇔ x x−

Xét hàm số .7 .ln7

7
2
4
ln
.
4
)
(
7

2
4
2
)

( x x 1 / x x

x
f
x

f = − + − ⇒ =− +

Phương trình /( )=0
x

f có nghiệm duy nhất nên theo định lí Lagrange phương trình f(x)=0
khơng có q 2 nghiệm phân biệt

Phương trình có nghiệm x=1 ; x=2
Bài 13: Giải phương trình

)
3
2
(
log
)
2
2

(

log 2

3
2
2

3
2

2 + x − x− = + x − x−

Giải :

Điều kiện x<−1v 3<x

)
3
2
(
log
)
2
2
(

log 2

4
7
2

3
4

8 − − = − −

⇔ + x x + x x

Đặt a=7+4 3 và t =x2 −2x−3
t

t a

a ( 1) log
log 1 + =

⇔ +

Đặt y=logat

1
1
1

1 ⎟⎠ =

⎞

⎜
⎝
⎛

+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

+
⇔

y
y

a
a

a

1
=

⇔ y là nghiệm duy nhất
Phương trình có nghiệm x=1± 11+4 3

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

(

)

(

)

(

)

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

+
=

4
log

log

4
log

log

4
log

log

3
5

x
z

z
y

y
x

Giải :

Hệ phương trình khơng đổi qua phép hốn vị vịng quanh⇒ x= y=z
Từ đó ta có log5 x=log3

(

x+4

)

, đặt t=log5 x

3
1
4
3

5 =

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⇔

t
t

Phương trình có đúng 1 ngiệm t =2 do hàm số 1
3
1
4
3

5
)

( ⎟ =

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=

t
t

t

f nghịch biến

Hệ phương trình có 1 nghiệm x= y=z=25
Bài 15: Giải hệ phương trình

(

)

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

=
−
+
−

−
−
=
−

−

0
4
1
2

3
2

2
2
2

2
2
1

x
y

x
x
y
x

xy
y

x
x

Giải :

Từ phương trình (2) ( 2) 1 1 22

x

x
y

xy

x + = ⇔ = −
⇔

(1) 22 2

2
2
1
2

2
1

2 2

2
1
2

2
1

x

x
x

x x x

x
x

−
=

−

⇔ +

−
+

−

xét hàm số 0

2
1
2
ln
2
)
(
2

2
)

( = t + ⇒ / = t + >
t

f
t
t

f

2
2

2
2
1
2

x
x
x

x = −

−

⇔

Hệ phương trình có 1 nghiệm

4
3
,

2 =−

= y

x

Bài 16: Giải hệ phương trình

⎪⎩
⎪
⎨
⎧

+
+
+
=

+ +

+
=

−

1
)
2
(

log
2
)
6
2
(
log
3

1
1

2
3

2
2
2

y
x
y

x

y
x
ey x

Giải :

Đk x+2y+6>0 và x+y+2>0

(1) ⇔ln( 2 +1)+ 2 +1=ln( 2 +1)+ 2 +1
y
y

x
x

Hàm số f(t)=lnt+t t>1 đồng biến trên (0 ; +∞)
y

x
y

x + = + ⇔ =±

⇔ 2 1 2 1

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

.Nếu x= y

(2)⇔3log3(x+2)=2log2(x+1)=6u
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇔
=
+
=
+
⇔ 1
9

8
9
1
2
1
3
2
3

2 u u

u
u

x
x

Hàm số

u
u
u
g ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
9
8
9
1
)

( nghịch biến trên R, suy ra u=1 là nghiệm duy nhất
Hệ phương trình có 2 nghiệm

4
3
,

2 =−

= y

x và x=7 ; y=7
Bài 17: Giải hệ phương trình

( )
⎪
⎪
⎩

⎪⎪
⎨
⎧
=
+
+
−
=
−
+
+
+
2
7
2
3
2
)
2
(
3
4
2
2
2
1
2
8
1
2

y
x
x
y
y
x
y
x

Giải :

Đk x ; y≥0

( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
+
+
=
+
⇔
+
+
+
+
7

3
2
4
3
2
3
2
1
2
1
2
)
4
(
1
2
y
x
y
x
y
x
y
x

Hàm số f(x)=2x2+1+3 x đồng biến trên

[

0;∞

)

⎪
⎪
⎩

⎪⎪
⎨
⎧
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
⇔
=
+
=
⇔
=
+
=
⇔
5
1
5
4
1

4
)
1
(
)
(
)
4
(
)
(
y
x
y
x
y
x
f
y
x
f
y
f
x
f

Bài 18: Giải hệ phương trình

⎪
⎩

⎪
⎨
⎧
−
−
=
−
−
=
−
−
=
)
5
2
cos
cos
8
(
log
cos
)
5
2
cos
cos
8
(
log
cos

)
5
2
cos
cos
8
(
log
cos
2
2
2
z
y
z
y
x
y
x
z
x

Giải :

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+

+
=
+
+
=
+
+
=
⇔
4
2
2
8
4
2
2
8
4
2
2
8
2
2
2
Z
Y
Y
X
X
Z

Z
Y
X

Hàm số

(

2 2 4

)

1
)

( = + 2 +

t
t

f t đồng biến trên ⎜ ⎥⎦⎤
⎝
⎛ ;1

2
1

(

2 2 4

)

1 + 2 +

=
=

⇔ X Y Z X X

Giải bằng đồ thị ⎢

⎣
⎡
=
=
=
=
=
=
⇔
)
(
2
1
l
Z
Y
X
Z
Y
X

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 19: Giải hệ phương trình

⎩
⎨
⎧

+
=

2
)
(cos
log
)
sin
3
1
(
log

2
)
(sin
log
)

cos
3
1
(
log

3
2

x
y

y
x

Giải :

Đk cosx ; siny≥0

)
(sin
log
)
sin
3
1
(

log
)
(cos
log
)
cos
3
1
(

log2 + x + 3 x = 2 + y = 3 y

⇒

Hàm số f(t)=log2(1+3t)+log3t 0
3
ln

2
2
ln
)
3
1
(

3
)

(

/ + >

+
=
⇒

t
t

t

f đồng biến trên ∀t >0
x

y cos
sin =
⇒

Thay vào phương trình (1) ⇒log2(1+3cosx)=log3(cosx)+2

Lập BBT hàm số g(v)=log2(1+3v)−log3v với v=cosx∈

(

0,1

]

phương trình chỉ có 2 nghiệm
3

1
cos
,
1

cosx= x=

Bài 20: Giải hệ phương trình

3 4

2 2 3

2 18 2

x y y
x y xy y

⎧ − =

⎪
⎨

+ + =

⎪⎩
Giải:

Hệ tương đương

(

3 3

)

28 (1)

( ) 18 2 (2)

y x y

x y
y x y

⎧ − =

⎪ ⇒ > >

⎨

+ =

⎪⎩
(2) x 3 84 y

y

⇒ = − , thay vào (1) được:

3
4

3 8

y y y

y

⎡⎛ ⎞ ⎤

⎢⎜⎜ − ⎟⎟ − ⎥=

⎢⎝ ⎠ ⎥

⎣ ⎦

(3)

Đặt t= y>0, (3) trở thành:

(

)

4 3

2 3 8 2 6 28 9 3 84 3 28 0

t t t t t t

t

⎡⎛ ⎞ ⎤

⎢⎜⎜ − ⎟⎟ − ⎥= ⇔ − − + =

⎢⎝ ⎠ ⎥

⎣ ⎦

Xét hàm ( ) 9

(

3 84 3

)

3 28

f t = −t −t + tta có:

(

)

8 2 4 3

'( ) 9 9 3 8 28 0, 0

f t = t + t −t + > ∀ >t

Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (0;+∞) phương trình f(t) = 0 nếu có nghiệm
trên Khoảng (0;+∞) thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất. Từđó suy ra hệ phương trình đă cho nếu
có nghiệm (x0, y0) thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất của hệ.

Nếu chọn x = 2y thì từ (1) ta có: 4 4 2 2 2

y = ⇔ =y ⇒ =x . Rỏ ràng cặp số(2 2; 2)
thỏa (2).

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2 2; 2).

Bài 21: Tìm số nghiệm của nằm trong khoảng (0;2π) của phương trình 
2

5
)

sin
10
sin

12
sin

( 6 4 2

cos
2 2

+
=
+

− x x e

x

e x

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

0 1

1
t

g'
g

1-3
6
0

+ _

-5 f

0 1

6
t

f' + 0 _

Đặt =sin2 = 0≤ ≤1
t
y

x
t

2
5
)

10
12

( 3 2

)
1
(

2 − + = +

⇔ −

e
t
x
t

x
t
e t

Xét hàm số ( ) 2(1 )(8 3 12 2 10)
t
t
t
e
x

f = −t − +

[

(24 24 10) 2(8 12 10)

]

2. . ()

)

( 2(1 ) 2 3 2 2(1 )

t
g
e
t

t
t
t

t
e

x

f = −t − + − − + =− −t

⇒

Với ( )=8 3 −24 2 +22 −5⇒ /( )=2(12 2 −24 +11)
t
t
t

g
t

t
t
t
g

Lập bảng biến thiên, suy ra phương trình g(t)=0 có nghiệm duy nhất

6
3
1
0

, < < −

=u u
t

Lập bảng biến thiên hàm số f(t), suy ra phương trình f(t)=0 có nghiệm duy nhất
u

v
v

t= ,0< <

</div>

Sử dụng đạo hàm để giải toán phương trình - bất phương trình - hệ phương trình

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

[

]

[

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

)

(

)

(

)

(

]

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về