Mô hình hóa động cơ áp điện bằng phương pháp phần tử hữu hạn

-2-

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 4
Chương I: Tổng quan về vật liệu áp điện
I.1
I.2

Hiệu ứng thuận và nghịch ........................................................ 10
Vật liệu áp điện........................................................................ 11

Chương II: Các phương trình chủ đạo và rời rạc hoá phương trình
II.1
II.2

Các phương trình cơ bản của vật liệu áp điện ......................... 16
Rời rạc hoá phương trình.......................................................... 17
II.2.1 Công thức tích phân.......................................................... 17
II.2.2 Bài toán xấp xỉ và rời rạc hoá .......................................... 19
II.2.3 Ký hiệu kỹ sư .................................................................... 21

Chương III: Mô hình phần tử hữu hạn
III.1

Phần tử tổng quát ..................................................................... 24
III.1.1 Các phép biến đổi ............................................................. 24
III.1.1.1 Tổng quát.................................................................. 24
III.1.1.2 Ma trận Jacobi.......................................................... 26
III.1.1.3 Tính toán các ma trận phần tử hữu hạn .................... 27
III.1.1.4 Tích phân Gauss ....................................................... 29
III.1.2 Thành lập ma trận độ cứng K .......................................... 30

III.1.2.1 Công thức tính KUU ................................................... 30
III.1.2.2 Tính ma trận Kφφ ....................................................... 30
III.1.2.3 Tính ma trận KUφ....................................................... 31
III.1.3
Thành lập ma trận khối lượng MUU .......................... 31

III.2

Phần tử tam giác ....................................................................... 32
III.2.1 Tổng quan ........................................................................ 32
III.2.2 Ma trận độ cứng phần tử tam giác.................................... 33
III.2.2.1 Ma trận độ cứng cơ................................................... 33
III.2.2.2 Ma trận tương tác cơ điện ......................................... 34
III.2.2.3 Ma trận độ cứng điện ............................................... 35
III.2.3 Ma trận khối lượng .......................................................... 35

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


-3-

Chương IV: Đặc tính vật liệu áp điện PZT-5 và giải bài toán động lực học
IV.1

Đặc tính của vật liệu áp điện PZT-5........................................ 37
IV.1.1 Trường hợp tổng quát ....................................................... 37
IV.1.2 Vật liệu áp điện PZT-5 trong không gian ba chiều .......... 37
IV.1.3 Vật liệu áp điện PZT-5 trong không gian hai chiều .......... 39
IV.2
Phương pháp Time Newmark................................................... 39

Chương V: Động cơ áp điện dùng sóng truyền
V.1
V.2

Giới thiệu.................................................................................. 43
Nguyên lý hoạt động................................................................ 47

Chương VI: Ứng dụng trên mô hình động cơ hai chiều
VI.1
VI.2

Mô tả bài toán ......................................................................... 50
Chương trình NAAME-PIEZO ................................................. 52
VI.2.1 Phần mềm GMSH ............................................................. 52
VI.2.2 Phần mềm MATLAB ......................................................... 55
VI.2.3 Công cụ CALFEM ............................................................ 55
VI.2.4 Cấu trúc chương trình tính toán........................................ 56
VI.3
Modes dao động, tần số dao động, mode trùng ....................... 57
VI.4
Đáp ứng theo thời gian............................................................. 59
Chương VI: Kết luận và hướng phát triển ................................................ 63
Tài liệu tham khảo ...................................................................................... 64
Phuï luïc
.................................................................................................. 65

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


- 10 -

CHƯƠNG I

TỔNG QUAN VỀ VẬT LIỆU ÁP ĐIỆN
I.1 Hiệu ứng thuận và nghịch
Như chúng ta đã biết vật liệu áp điện là loại vật liệu đặc biệt, trong nó tồn
tại hai sự chuyển đổi qua lại giữa biến dạng và điện áp [4], ta gọi hai hiệu ứng
đó là hiệu ứng thuận và hiệu ứng nghịch:
• Hiện ứng thuận (direct effect): khi vật liệu áp điện bị biến dạng do
ngoại lực tác dụng thì chúng sẽ sinh ra điện áp trên các điện cực của
chúng (electrodes), xem Hình 1 (b) & (c). Hiệu ứng này được ứng
dụng trong lãnh vực chế tạo cảm biến áp điện (cảm biến lực, cảm
biến gia tốc).
• Hiệu ứng nghịch (inverse effect): khi cấp cho vật liệu áp điện một
điện trường (nhờ vào các điện cực) thì chúng bị biến dạng, xem Hình
1 (d) & (e). Hiệu ứng này được ứng dụng trong lãnh vực chế tạo
động cơ áp điện (piezomotor), bộ tác động áp điện (piezoelectric
actuator), bộ tạo cộng hưởng (piezoelectric resonator),....

Hình 1.1: Hiệu ứng áp điện thuận (b)(c) và nghịch (d)(e).


- 11 -

I.2 Vật liệu áp điện
Vào năm 1880, hai anh em Pierre và Jacques Curie là những người đầu tiên
khám phá ra hiệu ứng áp điện trên một số tinh thể [4], với khả năng tạo ra điện
áp thay đổi tương ứng với sự thay đổi của lực tác dụng. Như ta đã biết đó là hiệu
ứng thuận.
Vào năm 1922, Langvin cho trình làng cơ cấu chấp hành đầu tiên dựa trên

tinh thể thạch anh. Các khám phá về vật liệu áp điện (PZT – Titano-ziranate de
plomb) đã mở ra các ứng dụng mới trong công nghiệp. Các cảm biến sử dụng vật
liệu áp điện được phát triển và ứng dụng trong lónh vực sóng âm sử dụng dưới
nước (sonar), kiểm tra mối hàn bằng sóng siêu âm, làm sạch bằng sóng siêu âm,
v.v… Các kỹ thuật dùng cho cảm biến (đo lực, đo gia tốc, …) cũng được hòan
thiện. Việc sử dụng vật liệu áp dụng trong cơ cấu chấp hành về vị trí cũng được
nghiên cứu, tuy nhiên để điều khiển được nó với khoảng cách 0.5mm cần đến
điện thế hàng ngàn vôn.
Cơ cấu chấp hành đa lớp (MLAS-Multilayer Actuators), dựa trên kỹ thuật
cao của tụ điện đa lớp, xuất hiện trên thị trường từ năm 1988. Vì MLAS dễ sử
dụng nên chúng nhanh chóng được ứng dụng cho nhiều lónh vực khác nhau. Áp
điều khiển cho chúng chỉ đến 200V.
Vật liệu áp điện là các tinh thể kết tinh có cấu trúc bất đối xứng tạo ra
moment lưỡng cực điện và nó chịu ảnh hưởng của biến dạng đàn hồi và điện
trường cung cấp.
Vật liệu áp điện là vật liệu ferroelectric [5] khi ở nhiệt độ dưới điểm Curie:
quá trình phân cực làm vật liệu phân cực chính nó. Khi quá trình phân cực xảy ra
vật liệu chịu một điện trường cao tại nhiệt độ Curie. Nếu vật liệu ở nhiệt độ cao
hơn nhiệt độ Curie thì nó không còn là vật liệu áp điện nữa. Nó có thể phân cực
trở lại nếu có thêm một số điều kiện.


- 12 -

Trong vật liệu gọi là điện môi (dielectric material) [4], các nguyên tử cấu
thành được xem là bị ion hoá với một mức độ nào đó và tích điện dương hoặc
âm. Trong các tinh thể ion như thế, khi tác động một điện trường, các cation bị
thu hút bởi cathode và các anion bị thu hút bởi anode do tương tác tónh điện. Các
đám mây điện tử cũng biến dạng, tạo nên các lưỡng cực điện (electric dipole).
Hiện tượng này được biết đến như là sự phân cực điện của chất điện môi, và sự

phân cực được mô tả một cách định lượng như là tổng các lưỡng cực điện trên
một đơn vị thể tích. Hình 1.2 chỉ ra một cách hệ thống nguồn gốc của phân cực
điện. Có ba loại: phân cực điện tử (a), phân cực ion (b) và phân cực liên quan
đến sự sắp xếp lại các lưỡng cực điện (c).

Hình 1.2: Nguồn gốc vi mô của các phân cực điện.

Vật liệu áp điện có nhiều cách biến dạng khác nhau [10] tùy theo chiều
phân cực của vật liệu (xem Hình 1.3).


- 13 -

Hình 1.3: Các kiểu biến dạng cơ bản của vật liệu áp điện dưới tác dụng của điện
trường theo các phân cực khác nhau.


- 14 -

CHƯƠNG II

CÁC PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐẠO
VÀ RỜI RẠC HÓA PHƯƠNG TRÌNH
II.1 Các phương trình cơ bản của vật liệu áp điện
Trước tiên, xem xét một vật liệu cách điện một chiều không chịu tác
động của ngoại lực. Ta biết rằng chuyển vị D (C/m2) quan hệ với điện trường E
(V/m) qua hệ số điện môi ε [2]. Mối quan hệ được thể hiệïn như sau:
D=εE

(2.1)

trong đó:
D là đại lượng đặc trưng cho chuyển vị điện (C/m2),
ε là hệ số điện môi của vật liệu áp điện (F/m),
E là điện trường (V/m).
Nếu bây giờ xem xét một vật liệu đàn hồi một chiều, ứng suất T (N/m2)
và biến dạng S, chúng có mối quan hệ theo định luật Hooke như sau:
S=

1
T = sT
E

(2.2)

trong đó:
T là ứng suất,
E là suất đàn hồi Young,
S là biến dạng,
s là nghịch đảo của E, gọi là độ mềm.
Trong trường hợp đối với vật liệu áp điện, các phương trình cơ học và
điện trường tương tác nhau như sau:
⎧S = s E T + dE
⎨
T
⎩D = dT + ε E

(2.3)
(2.4)

trong đó d là hằng số áp điện có thể được diễn dịch theo hai cách sau:
9 Trong phương trình (2.3) d thể hiện mối quan hệ của biến dạng S và điện
trường E khi không kể đến ứng suất cơ học,


- 15 -

9 Trong phương trình (2.4) d thể hiện mối quan hệ giữa chuyển vị điện D và
ứng suất cơ học T, khi không kể điện trường E. εT là hằng số điện môi xét
ở ứng suất T không đổi.
Phương trình (2.3) và (2.4) có thể viết lại dưới dạng sau:
T=

1
d
S− E E,
E
s
s

D=

d2
d
T⎛
⎜
ε
+
−
1

S
⎜ sEε T
sE
⎝

(2.5)
⎞
⎟⎟ E .
⎠

(2.6)

hoặc có thể viết gọn hơn nữa:
T = cES – eE

(2.7)

D = eS + εSE

(2.8)

trong đó chúng ta đã đặt:
cE =
e=

1
là môdul Young dưới điện trường không đổi,
sE

d

biểu hiện liên hệ của chuyển vị điện với biến dạng khi điện
sE

trường bằng không,

⎛

ε S = ε T ⎜⎜1 −
⎝

d2 ⎞
⎟ là hằng số điện khi biến dạng không đổi.
s E ε T ⎟⎠

Đối với vật liệu áp điện được xem xét trong không gian ba chiều, dạng
các phương trình cơ bản vẫn giữ nguyên nhưng các số hạng không còn là vô
hướng nữa mà là ở dạng tensơ. Vì vậy, đối với vật liệu áp điện dược xem xét
trongkhông gian ba chiều, các phương trình tensơ được viết lại như sau:
T = C E .S − e t .E

(2.9)

D = e.S + ε S .E

(2.10)

trong đó:
T là tensor ứng suất (bậc hai),
S là tensor biến dạng (bậc hai),
E là vectơ điện trường,

D là vector chuyển vị điện,


- 16 -

CE là tensor đàn hồi (bậc bốn),
e là tensor các hệ số áp điện (bậc 3), et∗ là chuyển vị của e,
εS là tensor của các hằng số điện môi (bậc 2).
Có thể viết tường minh hơn hai phương trình trên như sau:
E
Tij = Cijkl
Skl − ekij Ek

(2.11)

Di = eikl Skl + ε ijs E j

(2.12)

Cùng với hai phương trình trên chúng ta xem xét các phương trình liên
quan đến phần cơ học và điện.
Các phương trình chủ đạo trong cơ học đàn hồi liên quan đến vấn đề cân
bằng lực được thể hiện dưới dạng phương trình Newton xem xét trong môi
trường liên tục:
ρ

∂2U
= ∇⋅T
∂t 2

(2.13)

trong đó
U là vector chuyển vị,
⎛r ∂ r ∂ r ∂ ⎞
+j
+ k ⎟⎟ , là toán tử divergence.
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x

∇⋅ ≡ ⎜⎜ i

Các chuyển vị này liên quan đến tensơ biến dạng (trong trường hợp biến
dạng bé) theo quan hệ sau nay (viết theo chỉ số Einstein)
1 ⎛ ∂U ∂U j
Sij = ⎜ i +
2 ⎜⎝ ∂x j ∂x i

⎞
⎟
⎟
⎠

(2.14)

Để đơn giản hoá cách viết chúng ta có thể biểu diễn quan hệ ở (2.14)
dưới dạng vectơ:
ˆU
S =∇

(2.15)

ˆ là toán tử gradient đối xứng.
trong đó ∇

Các phương trình chủ đạo liên quan đến phần điện được diễn tả bởi định
luật Gauss (liên quan đến điện tích). Chúng ta giả thuyết rằng vật liệu áp điện
không tích luỹ điện tích. Hay nói cách khác môi trường áp điện được giả thuyết

∗

Để tránh nhầm lẫn giữa ký hiệu T là ứng suất và ký hiệu của chuyển vị ma trận, từ đây về sau ta dùng
()t để chỉ chuyển vị của ma trận.


- 17 -

là môi trường cách điện lý tưởng, điều này có nghóa rằng không có điện tích tự
do. Điều này dẫn đến phương trình sau:
(2.16)

∇⋅D = 0

Hơn nữa, chúng ta biết rằng điện trường liên hệ với điện thế φ theo quan
hệ sau:
E = -∇φ

(2.17)

Tóm lại, ta có thể viết lại các phương trình chủ đạo cho vật liệu áp điện
như sau:
T = CE⋅S - et⋅E

(2.18)

D = e⋅S + εS⋅E

(2.19)

∂2U
= ∇⋅T
∂t 2

(2.20)

ρ

(2.19)

∇⋅D = 0

với S = ∇ˆ U và E = -∇φ.
II.2 Rời rạc hóa phương trình
Để chuyển bài toán vi phân được định nghóa ở trên sang bài toán tuyến
tính để có thể giải được bằng phương pháp số, chúng ta lần lượt thực hiện hai
bước sau [2]:
¾ Chuyển sang bài toán tích phân
¾ Chuyển sang bài toán xấp xỉ bằng cách rời rạc hoá
II.2.1 Công thức tích phân

Trong phần này chúng ta chuyển bài toán vi phân sang bài toán tích phân.
Việc này đồng nghóa với việc chuyển dạng mạnh của bài toán sang dạng yếu
(weak formulation), để làm được điều này chúng ta xem xét các hàm thử vector
ν và các hàm thử vô hướng ϑ . Gọi ξ và ζ là các không gian của các hàm thử,
chúng ta có thể dẫn ra các biểu thức sau từ các bài toán vi phân: Lấy tích phân
theo thể tích ta được:

∫ρ

V

∂2U
νdV = ∫ (∇ ⋅ T) νdV,
∂t 2
V

∀v∈ξ

(2.20)


- 18 -

(2.21)

∀ϑ∈ζ

∫ (∇ ⋅ D) ϑdV = 0,

V

T = C E .S − e t .E

(2.22)

D = e.S + ε s .E

(2.23)

với S = ∇ˆ U và E = - ∇φ, chú ý rằng V là thể tích tính toán.
Chúng ta sẽ biến đổi vế phải của (2.20) bằng cách sử dụng công thức
Green:
⎛

∫ (∇ ⋅ T) νdV = − ∫ ⎜⎜ ∑ T

V

V

⎝

ij

i,j

∂vi
∂x j

⎞

⎛
⎞
⎟dV + ⎜ ∑ Tij n j vi ⎟dS
∫
⎜
⎟
⎟
δV ⎝ i , j
⎠
⎠

(2.24)

với ∂V là biên của thể tích V và n là pháp tuyến ngoài của thể tích V.
Ngoài ra lợi dụng tính đối xứng của tensor ứng suất, ta có thể viết:

∑T

ij

i,j

∂v j ⎞
∂vi 1 ⎛⎜ ∂vi
ˆv
⎟ = T⋅∇
+ T ji
= ∑ Tij
⎜
∂xi ⎟⎠

∂x j 2 i , j ⎝ ∂x j

(2.25)

Phương trình (2.20) được viết lại như sau:

∫ρ

V

∂2U
νdV + ∫ T ⋅ ∇ˆ νdV = ∫ Tn ⋅ νdS
∂t 2
V
δV

(2.26)

Áp dụng công thức Green vào phương trình (2.21) ta được:

∫ D ⋅ ∇ϑdV = δ∫ (D ⋅ n ) ϑdS

V

(2.27)

V

Bây giờ chúng ta sử dụng các phương trình (2.25) và (2.26) (các phương
trình áp điện). Nếu chúng ta thay phương trình áp điện thuận D = e.S + ε s .E và

phương trình (2.27), ta được:

∫ (e.S + ε

s

.E) ⋅ ∇ϑdV =

∫ (D ⋅ n ) ϑdS

(2.28)

δV

V

Tiếp tục sử dụng các quan hệ S = ∇ˆ U và E = -∇φ để diễn tả phương trình
(2.28) theo điện thế và trường chuyển vị, ta có:

∫ e ⋅ ∇ˆ U ⋅ ∇ϑdV − ∫ ε

V

V

S

⋅ ∇ φ ⋅ ∇ϑdV =

∫ (D ⋅ n ) ϑdS

(2.29)

δV

Nếu sử dụng phương trình áp điện nghịch (2.22) T = C E ⋅ S − e t ⋅ E vào
phương trình (2.26) và bằng việc sử dụng S = ∇ˆ U và E = -∇φ , ta được:


- 19 -

∫ρ

V

∂2U
νdV + ∫ C ⋅ ∇ˆ U ⋅ ∇ˆ νdV + ∫ e t ⋅ ∇ φ ⋅ ∇ˆ νdV = ∫ Tn ⋅ νdS
∂t 2
V
V
δV

(2.30)

Tóm lại chúng ta có thể biểu diễn bài toán yếu tương quan đến các bài
toán vi phân bên trên như sau:

∫ e ⋅ ∇ˆ U ⋅ ∇ϑdV − ∫ ε

V

∫ρ

V

S

⋅ ∇ φ ⋅ ∇ϑdV =

∫ (D ⋅ n ) ϑdS

∀ν∈ξ

(2.31)

∀ϑ∈ζ

(2.32)

δV

V

∂2U
νdV + ∫ C ⋅ ∇ˆ U ⋅ ∇ˆ νdV + ∫ e t ⋅ ∇ φ ⋅ ∇ˆ νdV = ∫ Tn ⋅ νdS
∂t 2
V
V
δV

II.2.2 Bài toán xấp xỉ và rời rạc hóa
Trước tiên ta xây dựng hai công thức xấp xỉ cho điện thế và chuyển vị
điện như sau:
N

ϕ~ = ∑ϕ i a i

(2.33)

i =1

~
U=

∑

r =1, 3
i =1, N

r

U ir bi

(2.34)

Với ai và bir lần lượt là hàm dạng vô hướng của ϕ và U
Lưu ý rằng: bi1 = bi1i , bi2 = bi2j , bi3 = bi3k với i, j, k là các vector đơn vị.
Nếu chúng ta chọn đúng các hàm dạng này, các giá trị φi và U ir tương ứng
là thế (potential) và các thành phần chuyển vị của nút. Trong lý thuyết phần tử
hữu hạn chúng gọi các số hạng sau cùng này là bậc tự do hoặc connector. Bằng

cách thay thế vào bài toán yếu các điện thế và các chuyển vị bằng các xấp xỉ
tương ứng của chúng và bằng việc thay ν và ϑ (bất kỳ) bằng các hàm dạng
tương ứng là bir và ak chúng ta có:
¾ Cho phần cơ:
~r⎡

∑ U ⎢∫ ρb
⎣

i =1, 3
r =1, 3

i

V

r
i

⎤
⎡
ˆ br ⋅∇
ˆ b r ' dV ⎤⎥ + ∑ φ ⎡⎢ e t ⋅ ∇a ⋅ ∇
ˆ b r ' dV ⎤⎥
⋅ b rk' dV ⎥ + ∑ U ir ⎢ ∫ C E ⋅ ∇
i
k
i ∫
i
k

⎦ ir==11,,33 ⎣ V
⎦ i=1,3 ⎣ V
⎦

~
= ∫ Tn ⋅ b rk' dS,
δV

¾ Cho phần điện:

∀r ' = 1,3

và

∀k = 1, N

(2.35)


- 20 -

⎡

∑ U ⎢∫ e ⋅ ∇ˆ b
⎣

i =1, 3
r =1, 3

r

i

r
i

V

⎤
⎡
⎤
~
⋅ ∇a k dV ⎥ − ∑ φi ⎢ ∫ e S ⋅ ∇a i ⋅ ∇a k dV ⎥ = ∫ D ⋅ n a k dS, ∀k = 1, N
⎦ i=1, N ⎣V
⎦ δV

(

)

(2.36)

Chú ý rằng hai phương trình sau cùng (2.35) và (2.36) tương đương với 4N
phương trình tuyến tính và chúng ta có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau:
⎡ M UU
⎢ 0
⎣

0⎤ ⎡U&& ⎤ ⎡ K UU
⎢ ⎥+⎢
0⎥⎦ ⎣ φ&& ⎦ ⎣ K φU

K Uφ ⎤ ⎡U ⎤ ⎡ F ⎤
=
K φφ ⎥⎦ ⎢⎣ φ ⎥⎦ ⎢⎣Q ⎥⎦

(2.37)

trong đó:
(MUU) (k-1)⋅3+r’,(i-1)⋅3+r = ∫ ρ bir bkr’dV

(2.38)

ˆ bir ∇
ˆ bkr’dV
(KUU) (k-1)⋅3+r’,(i-1)⋅3+r = ∫ C E ⋅ ∇

(2.39)

ˆ bkr’dV
(KUφ) (k-1)⋅3+r’,i = ∫ e t ⋅ ∇ ai ∇

(2.40)

(Kφφ)k,i = − ∫ ε S ⋅ ∇ ai ∇ akdV

(2.41)

V

V

V

V

Chúng ta cũng có thể dẫn ra các công thức dạng ma trận các vectơ F và Q
tương ứng với các lực cơ tác động lên các nút và các điện tích tác động cũng trên
nút đó. Các định nghóa F và Q được cho như sau:
~
(F ) (k −1).3+r ' = ∫ Tn ⋅ b rk' dS

(2.42)

δV

(Q) k =

∫ (D ⋅ n )akdS
δ
~

(2.43)

V

Cũng cần lưu ý rằng, để việc xác định các ma trận đúng theo các tương quan
của nó, các bậc tự do cũng cần được xắp xếp theo đúng thứ tự:

U = [ chuyển vị của nút 1 theo phương x
chuyển vị của nút 1 theo phương y

chuyển vị của nút 2 theo phương x
chuyển vị của nút 2 theo phương y
…..
chuyển vị của nút k theo phương x

chuyển vị của nút k theo phương y
…..


- 21 -

chuyển vị của nút N theo phương x
chuyển vị của nút N theo phương y];
φ = [ thế tại nút 1
thế tại nút 2
….
thế tại nút k
….
thế tại nút N ];
II.2.3 Ký hiệu kỹ sư
Thực tế chúng ta không làm việc với các tensor bậc ba và bậc bốn (như
tensor CE và e). Chúng ta thường sử dụng các ma trân hai chiều. Để làm được
điều này, cần thiết phải sử dụng các ký hiệu mới. Cụ thể, thay vì viết:
ˆU
S=∇

trong đó:
S là tensor bậc hai (có chín thành phần)

∇ˆ là tensor bậc ba (có 27 thành phần)

U là vector (có 3 thành phần)
Nhờ tính đến đối xứng của biến dạng, ta có thể viết lại như sau:
S’ = BU
trong đó:
S’ là vector (có 6 thành phần)
B là ma trận (6×3)
U vẫn giữ nguyên là vector
Chúng ta viết B và S’ mới một cách tường minh như sau:


- 22 -

⎡∂
⎢ ∂x
⎢
⎢0
⎢
⎢
⎢0
B= ⎢ ∂
⎢
⎢ ∂y
⎢
⎢0
⎢
⎢∂
⎣⎢ ∂z

0
∂

∂y
0
∂
∂x
∂
∂z
0

⎤
0⎥
⎥
0⎥
⎥
∂⎥
∂z ⎥⎥
0⎥
⎥
∂⎥
⎥
∂y ⎥
∂⎥
∂x ⎦⎥

⎡εx ⎤
⎢ε ⎥
⎢ y⎥
⎢ε ⎥
S’ = ⎢ z ⎥
⎢γ xy ⎥
⎢γ yz ⎥

⎢ ⎥
⎢⎣γ zx ⎥⎦

Tương tự thay vì viết:
T = CE ⋅ S − e t ⋅ E

trong đó:
S là tensor bậc 2 (có 9 thành phần)
CE là tensor bậc 4 (có 81 thành phần)
T là tensor bậc 2 (có 9 thành phần)
et là tensor bậc 3 (có 27 thành phần)
E là điện trường (có 3 thành phần)
Tính đến sự đối xứng của tensor, ta viết lại như sau:
T’ = H⋅S’ - e’t⋅E
trong đó:
S’ là vector (có 6 thành phần)
H là ma trận (6×6)
T’ là vector (có 6 thành phaàn)


- 23 -

e't là ma trận (6×3)
E vẫn giữ nguyên là vector (có 3 thành phần)
Chúng ta có thể viết T’ một cách tường minh như sau:
⎡ σx ⎤
⎢σ ⎥
⎢ y⎥
⎢σ ⎥
T’ = ⎢ z ⎥

⎢σ xy ⎥
⎢σ yz ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣σ xz ⎥⎦

Trong khi đó quan hệ D = e⋅S+εs⋅E được chuyển thành:
D = e’.S’+εs.E
với e’ và S’ giống như trên.
Chú ý: để giản lược các ký hiệu từ đây về sau khi viết T, S, e ta hiểu
ngầm là T’, S’ vaø e’.


- 24 -

CHƯƠNG III

MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN
III.1 Phần tử tổng quát
Trong phần này chúng ta sẽ xây dựng một phần tử khối (6 mặt). Điều này
cho phép dễ dàng tiếp cận các mô hình phần tử giản dị hơn, ví dụ phần tử tam
giác, tứ giác (hai chiều). Một phần tử khối này có 8 nút và sử dụng một trường
xấp xỉ tuyến tính (các hàm dạng tuyến tính). Mỗi nút có 3 bậc tự do, do đó phần
tử cơ này có tất cả là 24 bậc tự do. Ngoài ra khi xét nó là phần tử điện, tại mỗi
nút có một bậc tự do của thế, do đó có thêm 8 bậc tự do về thế. Như vậy phần tử
này có tất cả là 32 bậc tự do, gồm cả cơ và điện.
III.1.1 Các phép biến đổi
III.1.1.1 Tổng quát
Để chuyển từ phần tử thực sang phần tử tham chiếu xác định trong không
gian tham chiếu, chúng ta phải thực hiện một biến đổi thoả mãn [2]:
¾ Là song ánh

¾ Nút và biên tương ứng với nhau
Gọi x, y và z là các toạ độ của một điểm trong không gian mô hình hoá
(thực) và ξ, η, ζ là các toạ độ của một điểm trong không gian tham chiếu.
Gọi:

ξ là vector có các thành phần (ξ, η, ζ).
x là vector có các thành phần (x, y, z).
F là hàm chuyển đổi được định nghóa như sau:
x = F(ξ)

(3.1)


- 25 -

Với mục đích đơn giản hóa, ta luôn xét hàm F là hàm đa thức và miền
(diện tích) tham chiếu đơn giản nhất. Ví dụ, ta xét phần tử khối có miền:
ξ ∈ [-1,1]; η ∈ [-1,1]; ζ ∈ [-1,1]
là một miền đơn giản.
Nếu hàm chuyển đổi là hàm đa thức thì có thể viết, ví dụ, cho biến x,
x = Nα , với α được xác định nhờ vào vị trí các nút theo phương x chứa trong

vector xc.
Trong trường hợp phần tử khối, ta chọn trường nội suy tuyến tính có dạng
như sau:
x = [1 x y z xy yz xyz][ α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7 α8 ]T

(3.2)

Vì quan hệ này cũng phải xác định cho tất cả các nút phần tử, chúng ta có thể

viết :
xc = Qα

⇒

α = Q-1xc

(3.3)

với xcT = [x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8].
Kết quả, ta có :
x = NQ-1xc = W’xc
Cùng cách viết như vậy, ta có thể viết chuyển vị theo x như sau:
U = NQ-1Uc = W’Uc
với

(3.4)

UcT = [u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8];
Các đa thức xác định hình học cũng giống như các đa thức được sử dụng

trong trường chuyển vị. Các phần tử được xem xét trong điều kiện như vậy gọi là
phần tử đẳng tham số (isoparametric elements). W’ là vectơ các hàm dạng.


- 26 -

Ngoài ra, chúng ta giả sử thêm rằng trường xấp xỉ là như nhau theo x, y,
và z. Theo cách này, trong các phần phát triển trước, bir là như nhau cho tất cả
r=1,2,3. Nói cách khác, bi1 = bi2 = bi3 với i = 1,…,8. Do đó ta chỉ có 8 hàm nội suy.

Cũng vậy, nếu ta không chỉ xem xét biến x , mà là vector x=[x y z]T, quan
hệ nối kết x với các giá trị nút được viết như sau:
x=Wxc

(3.5)

với xcT = [x1 y1 z1 x2 y2 z2 … x8 y8 z8]
Với lý do tương tự đối với vectơ chuyển vị U = [u v w]T, ta có thể viết:
U=WUc

(3.6)

với UcT = [u1 v1 w1 u2 v2 w2 … u8 v8 w8]
W là một ma trận có kích thước 3×24 có dạng như sau:
⎡ b1
W = ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0

0

0

b2

0

0

. . . b8

0

b1
0

0
b1

0
0

b2
0

0
b2

. . .
. . .

b8
0

0
0

0⎤
0 ⎥⎥
b 8 ⎥⎦

(3.7)

Một cách tương tự, thế bên trong của phần tử có thể được nội suy từ thế
tại các nút. Các thế tại các nút này được sắp xếp trong một vectơ cột có 8 thành
phần φc. Chúng ta dùng cùng hàm dạng để nội suy thế như trong nội suy trường
chuyển vị. Vì vậy, chúng ta có thể tính thế bên trong của phần tử như sau:
φ = W’φc

(3.8)

trong đó W’ là vector cột chứa tất cả các hàm dạng
W’ = [b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8].
III.1.1.2 Ma trận Jacobi
Chúng ta có thể mô tả ma trận chuyển đổi Jacobi theo các điểm của phần
tử như sau:


- 27 -

⎡ δx
⎢ δξ
⎢
δx
J = [∂ ξ x ] = ⎢
⎢ δη
⎢ δx
⎢
⎣ δζ

δy

δξ
δy
δη
δy
δζ

δz ⎤
δξ ⎥⎥
δz ⎥
δη ⎥
δz ⎥
⎥
δζ ⎦

(3.9)

Chúng ta có thể tính toán ma trân này theo phương pháp số tại tất cả các
điểm của phần tử biết rằng x = Wxc. Điều này đòi hỏi chỉ cần biết các đạo hàm
của các hàm dạng theo ξ, η và ζ vì xc là hằng số. Vì vậy chúng ta dễ dàng tính
được J-1 bằng phương pháp số.

III.1.1.3 Tính toán các ma trận phần tử hữu hạn
Một cách tổng quát, ta có thể đưa các ma trận KUU, KUφ, Kφφ và MUU ở
dạng công thức sang dạng tương đương [2] như sau:
X = ∫ FdV

(3.10)

V

với

X là một ma trận ở dạng công thức
F phụ thuộc vào ma trận X đang xem xét (dạng của nó được tường minh

về sau).
Chuyển qua phần tử tham chiếu, bằng cách sử dụng công thức chuyển đổi
ta có thể viết:
X=

∫ ∫ ∫

F(ξ,η,ζ )det(J)dξ dη dζ

(3.11)

[ −1,1] [ −1,1] [ −1,1]

Hàm F tuỳ thuộc vào ma trận tính toán X. F phụ thuộc vào ξ, η, vàζ . Vì
vậy chúng ta nên chuyển đổi các toán tử đạo hàm B và ∇. Điều này được thực
hiện như sau:


- 28 -

Trước tiên, chúng ta viết các đạo hàm theo các biến x, y và z theo hàm
các biến ξ, η, ζ .
Chúng ta có:
∂ ∂ξ ∂ ∂η ∂ ∂ζ
∂

=
+
+
∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ζ ∂x
∂
∂ ∂ξ ∂ ∂η ∂ ∂ζ
=
+
+
∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂ζ ∂y
∂
∂ ∂ξ ∂ ∂η ∂ ∂ζ
=
+
+
∂z ∂ξ ∂z ∂η ∂z ∂ζ ∂z

Chuùng ta có thể đặt các công thức này dưới dạng rút gọn như sau:
⎡∂ ⎤
⎡∂ ⎤
⎢ ∂ξ ⎥
⎢ ∂x ⎥
-1
⎢∂ ⎥ =J ⎢∂ ⎥
⎢ ∂η⎥
⎢ ∂y ⎥
⎢∂ ⎥
⎢∂ ⎥
⎢⎣ ∂ζ ⎥⎦
⎣ ∂z ⎦

Từ đó, chúng ta biết biểu thức tính các đạo hàm trong hệ toạ độ của mô
hình hoá phần tử hữu hạn.
Chúng ta chú ý rằng các hàm dạng đã được viết theo các biến ξ, η vàζ .
Một cách tổng quát, chúng ta có tất cả các thông tin để tính ma trận X.
Tuy nhiên phải thấy rõ rằng: chúng ta không biết một cách tường minh J-1 và
detJ. Vì vậy, chúng ta phải buộc tích phân số để có ma trận X.
Để làm được điều này, X được tính theo cách sau:
X = ∑ Pi Pj Pk F(ξ, η, ζ ) det J

(3.12)

i , j, k

Công thức này sẽ được chi tiết hoá ở phần tiếp theo.
Chúng ta thấy rằng ma trận X được tính như là một tổng có các trọng số Pi
Pj Pk của các giá trị F⋅detJ được tính toán trên một số điểm của miền (phần tử).


- 29 -

Chúng ta, vì vậy phải đi xác định các điểm tính toán và các trọng số. Có
rất nhiều phương pháp để tích phân. Tuy nhiên, trên thực tế, người ta sử dụng
phương pháp Gauss có độ chính xác khá tốt với một số điểm tích phân hữu hạn.
III.1.1.4. Tích phân Gauss
Trong phương pháp này, vị trí của các điểm tích phân cũng như các trọng
số (đôi khi còn gọi là trọng số tích phân [2]) được xác định theo cách cực tiểu
hoá sai số do tích phân số. Chúng ta không đi sâu vào chi tiết tính toán chỉ đưa ra
kết quả của tích phân một chiều với 1, 2 và 3 điểm tích phân.
1 điểm:

ξ1=0

P1=2

2 điểm:

ξ1=-0,5773502691

P1=1

ξ2=+0,5773502691

P2=1

ξ1=-0,7745966692

P1=0,5555555556

ξ2=0

P2=0,8888888889

ξ2=+0,7745966692

P3=0,5555555556

3 điểm:

Liên quan đến tích phân cho các bài toán ba chiều (tổng quát), chúng ta

lần lượt viết:

X=

∫ ∫ ∫ F(ξ, η, ζ) det Jdξdηdζ

[ −1,1] [ −1,1] [ −1,1]

≅

⎤

⎡

∫ ∫ ⎢⎣∑ P F(ξ, η, ζ) det J⎥⎦dηdζ
i

[ −1,1] [ −1,1]

≅

⎡

⎤⎤

⎡

∫ ⎢⎣∑ P ⎢⎣∑ P F(ξ, η, ζ) det J⎥⎦ ⎥⎦dζ
j

[ −1,1]

≅

i

j

i

i

⎡

⎤

∫ ⎢⎣∑ P P F(ξ, η, ζ) det J⎥⎦dζ

[ −1,1]

i, j

j i

≅ ∑ Pi PjPk F(ξ, η, ζ ) det J
i , j, k

(3.13)

- 30 -

Trong tích phân ba chiều này, các hệ số P cũng giống như các hệ số trong
trường hợp một chiều.

III.1.2. Thành lập ma trận độ cứng phần tử K
III.1.2.1. Công thức tính KUU

Ma trận KUU được viết dưới daïng sau (2.39):
ˆ bir ∇
ˆ bkr’dV
KUU (k-1)⋅3+r’,(i-1)⋅3+r = ∫ C E ⋅ ∇
V

Vì là phần tử khối có 8 nút và mỗi nút có ba bậc tự do chuyển vị, ma trận
độ cứng KUU có kích thước là 24×24.
Xem xét theo ký hiệu kỹ sư, ma trận độ cứng có thể viết dưới dạng:

KUU = ∫ (BW)tHBWdV

(3.14)

V

Nếu chuyển qua phần tử tham chiếu, ta được:
KUU =

∫ ∫ ∫

(BW)tHBW detJdξdηdζ

[ −1,1] [ −1,1] [ −1,1]

Theo giải thích ở phần trước, tích phân này được tính theo phương pháp
(tích phân Gauss):
F = (BW)tHBW

III.1.2.2 Tính ma trận Kφφ

Chúng ta đã có (2.41) :

(K φφ ) k,i = − ∫ ε S ⋅ ∇ ai ∇ akdV
V

Sử dụng ký hiệu kỹ sư, dạng ma trận của Kφφ có dạng như sau:
(K φφ ) k,i = − ∫ (∇W)tεS∇WdV
V

(3.15)


- 31 -

Tích phân này cũng được thực hiện dễ dàng bằng phương pháp số khi
chuyển qua phần tử tham chiếu. Chúng ta viết lại:
K φφ = −

∫ ∫ ∫ (∇W' )

t

εS ∇W' det J dξdηdζ

[ −1,1] [ −1,1] [ −1,1]

Trong trường hợp này, ma trận F chính là:
F = -(∇W’)t εS∇W’

III.1.2.3 Tính ma trận KUφ:
Ở (2.40) ta đã có:
ˆ bkr’dV
(K Uφ ) (k-1)⋅3+r’,i = ∫ e t ⋅ ∇ ai ∇
V

thành:
K Uφ = ∫ (BW)tet∇W’dV

(3.16)

V

Ma trận trên có kích thước 24×8, nó diễn tả sự mối liên quan của các bậc
tự do thế và chuyển vị cơ của phần tử.
F = (BW)tet∇W’

III.1.3 Thành lập ma trận khối lượng phần tử MUU

Trong phần này, chúng ta chỉ thiết lập ma trận khối lượng MUU có kích
thước 24×24. Theo lý thuyết ở trên (2.38) ta có:
r

r’
(M UU ) (k-1)⋅3+r’,(i-1)⋅3+r = ∫ ρ bi bk dV
V

Ma trận này được diễn tả dưới dạng:
M UU = ∫ ρ Wt WdV
V

Sau khi tích phân số, ta được:

(3.17)


- 32 -

F = ρ Wt W

III.2 Phần tử tam giác
III.2.1 Tổng quan

Ở phương trình (3.1) chúng ta đã phân tích phần tử hữu hạn cho vật liệu
áp điện và thu được biểu thức tổng quát cho phần tử khối. Tuy nhiên biểu thức
này thì chưa thể sử dụng trực tiếp cho động cơ áp điện tuyến tính (hai chiều).
Theo yêu cầu của bài toán, chúng ta phải có một phần tử tam giác ứng suất
phẳng. Việc này có thể được thực hiện nhanh chóng nhờ vào các kết quả đã phát
triển cho phần tử ba chiều (tổng quát).
Trong bài toán hai chiều thì vectơ T và S được diễn tả dưới dạng:
⎡σ x ⎤
T = ⎢⎢ σ z ⎥⎥
⎢⎣σ xz ⎥⎦

(3.18)

⎡ε x ⎤
S = ⎢⎢ ε z ⎥⎥
⎢⎣γ xz ⎥⎦

(3.19)

Lúc đó toán tử đạo hàm B (Mục ?) trở thành:
⎡∂
⎢ ∂x
⎢
B= ⎢ 0
⎢
⎢∂
⎢⎣ ∂z

0
∂
∂z
∂
∂x

⎤
0⎥
⎥
0⎥
⎥
0⎥⎥

⎦

(3.20)

Hàm dạng trong không gian hai chiều được suy ra từ (3.7) và (3.8) trở
thành: