Tài liệu tự học lượng giác 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.96 MB, 105 trang )

GV. TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và Biên tậ
tập)
Ll20202020v

1

,.

Chuyên đề 1

LƯỢNG GIÁC

Phần 1 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Hàm số y = sin x và y = cos x
y = cos x

y = sin x
Tập xác định
Chu kỳ
Tính chẵn lẻ

Sự biến thiên

D=ℝ
T = 2π

D=ℝ

T = 2π

Lẻ

Chẵn

 π

π
HSĐB trên:  − + k2π ; + k2π 
2
 2


HSĐB trên: ( −π + k 2π ; k 2π
HSĐB trên: ( k 2π ; π + k 2π

π

3π
+ k2π ;
+ k2π 
2
2


HSNB trên: 

x
Bảng biến

thiên

–π −

y = sin x

π
2

0

0

π

π

2
1

–π

x

)
π

0
1

y = cos x

0

)

–1

0

–1

–1

Đồ thị

2. Hàm số y = tan x và y = cot x

y = tan x

y = cot x

π

D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ 
2


Tập xác định

D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ}

Tập giá trị
Chu kỳ
Tính chẵn lẻ

ℝ
T =π

ℝ
T =π

Lẻ

Sự biến thiên

Đồng biến trên  −

Lẻ
Nghịch

π
 π

+ kπ ; + kπ 
2
 2


x

Bảng biến
thiên

−

π

π

2

2
+∞

y = tan x
–∞

Đồ thị

biến

trên

mỗi

khoảng:

( kπ ; π + kπ )
x

0
+∞

π

y = cot x
–∞

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 11 – CHỦ
CHỦ ĐỀ 1: LƯ
LƯỢNG GIÁC

2

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tập xác định của hàm số y = f ( x ) là tập hợp tất cả các giá trị của biến số x sao cho f(x) có nghĩa.
f ( x)
có nghĩa
g ( x)

⇔ g ( x) ≠ 0

•

y=

•

y = 2 n f ( x ) có nghĩa

⇔ f ( x ) ≥ 0, (n ∈ ℕ)

•

y = 2 n +1 f ( x) có nghĩa

⇔ f ( x ) có nghĩa (n ∈ ℕ)

•

y = tan f ( x ) có nghĩa

⇔ cos f ( x ) ≠ 0 ⇔ f ( x ) ≠

•

y = cot f ( x) có nghĩa

⇔ sin f ( x ) ≠ 0 ⇔ f ( x ) ≠ kπ ,(k ∈ ℤ)

π
2

+ kπ ,( k ∈ℤ )

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
1 − sin x
1 − cos x
a) y =
b) y =
sin x
1 + cos x

π

c) y = tan  x − 
3


π

d) y = cot  x + 
6


.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

f) y = tan  2 x + 
e) y = 3 − sin x
3


c) y =

3
2 cos x

g) y = cos x

2x
x −1
π

h) y = cot  2 x − 
4


d) y = cos

D. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 2.

Tìm tập xác định của mỗ i hàm số sau:
sin x + 2
1+ x
b) y =
a) y = sin

cos x + 1
1− x
2
1
f) y =
e) y = sin 2
x −1
cos x − cos 3x

c) y =

cot x
cos x − 1

g) y = tan x + cot x

d) y = tan
h) y =

Bài 3.

Tìm m để hàm số sau xác định ∀x ∈ ℝ : y = sin 4 x + cos4 x − 2m sin x cos x

Bài 4.

Tìm tập xác định của các hàm số:
a) y = 2 + tan 2 x − cos x

x
3

3
sin x − cos 2 x
2

b) y = sin 2 x − sin x + 3

Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Sử dụng phương pháp miền giá trị của hàm số lượng giác. ∀x ∈ ℝ :
0 ≤ sin 2 x ≤ 1 , 0 ≤ cos 2 x ≤ 1
−1 ≤ sin x ≤ 1 , −1 ≤ cos x ≤ 1
0 ≤ sin x ≤ 1 ,

0 ≤ sin x ≤ 1 , 0 ≤ cos x ≤ 1 (khi sin x ≥ 0 , cos x ≥ 0 )

0 ≤ cos x ≤ 1

• Sử dụng các tính chất của bắt đẳng thức:
a ≤ b
⇔ a≤c
b ≤ c
a ≤ b
a ≤ b ⇔ a + c ≤ b + c (cộng 2 vế với c)
⇔a+c≤b+d
c ≤ d
a ≤ b ⇔ a.c ≤ b.c (nếu c > 0: giữ nguyên chiều) a ≤ b ⇔ a.c ≥ b.c (nếu c < 0: đổi chiều)
a≤b⇔b≥a

a > b > 0

 ⇔ a.c > b.d
c > d > 0
a > b > 0 ⇔ a 2 n > b 2 n (n ∈ ℕ* )
• Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc: Cô-si, BCS, …

a>b>0⇔

1 1
<
a b

a > b ⇔ a 2 n +1 > b 2 n +1 ( n ∈ ℕ* )

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗ i hàm số sau:
π

b) y = 3 – 2sin x
c) y = 2cos  x +  + 3
a) y = 2 cos x + 1
3


d) y = 1 − sin( x 2 ) − 1

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 11 – CHỦ
CHỦ ĐỀ 1: LƯ
LƯỢNG GIÁC

4

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 5.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗ i hàm số sau:
1 + 4cos2 x
a) y =
b) y = 4sin x
c) y = 2(1 + cos x ) + 1
3
d) y = cos2 x + 2cos 2 x
e) y = 2 + 3cos x

f) y = 3 – 4sin 2 x cos2 x
g) y = 2sin 2 x – cos 2 x
h) y = 3 – 2 sin x
i) y = 3 – 4sin x

π

j) y = 3sin  x −  − 2
6


π

l) y = cos x + cos  x − 
3


k) y = 5 − 2cos2 x sin 2 x

D. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 6.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
a) y = sin x + cos x

b) y = sin x (1 − 2 cos 2 x )

Bài 7.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = cot 4 x + cot 4 y + 2 tan 2 x tan 2 y + 2 .

Bài 8.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
 π 2π 
a) y = sin x trên đoạn  − ;  .
 3 3 
π
π


 π π
b) y = cos  2 x +  − cos  2 x −  trên đoạn  − ;  .
4
4


 3 6

Dạng 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên D :
∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D
a) Hàm số chẵn trên D nếu 
 f (− x ) = f ( x )
∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D
b) Hàm số lẻ trên D nếu 
 f (− x ) = − f ( x )
 ∀x ∈ D ⇒ − x0 ∉ D
c) Hàm số không chẵn, không lẻ trên D nếu:  0

 ∀x0 ∈ D : f (− x0 ) ≠ f ( x0 ) ≠ − f ( x0 )

Nhận xét:
Chú ý:

Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung
Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
x = −x
(a − b) 2 n = (b − a) 2 n , n ∈ ℝ

(a − b) 2 n +1 = −(b − a) 2 n +1 , n ∈ ℝ

5

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của mỗ i hàm sồ sau:
b) y = 3sin x – 2
a) y = x – sin x
cos x
e) y =
d) y = sin x cos x + tan x
x

c) y = sin x – cos x
f) y = 1 − cos x

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

g) y =

x
sin x + tan x

h) y =

c) y = x 3 sin 2 x
f) y =

x3 − sin x
cos 2 x

sin 4 1 − x 2 − cos 6 x 2 − 1
1− x

Dạng 4. Tính tuần hồn của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để xét tính tuần hồn của các hàm số ta dựa vào khái niệm sau:
Hàm số y = f ( x ) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu
∀x ∈ D ⇒ x ± T ∈ D
.
∃T ≠ 0 sao cho 
 f ( x + T ) = f ( x ) , ∀x ∈ D

Nếu tồn tại số T > 0 nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T được gọi là chu kỳ của
hàm số tuần hoàn y = f ( x ) .
Chú ý: ● y = sin ( ax + b ) có chu kỳ T0 =
● y = tan ( ax + b ) có chu kỳ T0 =

2π
.
a

● y = cos ( ax + b ) có chu kỳ T0 =

2π
.
a

π

● y = cot ( ax + b ) có chu kỳ T0 =

π

a

.

a

.

● y = f1 ( x ) có chu kỳ T1 và y = f 2 ( x ) có chu kỳ T2 thì hàm số y = f1 ( x ) ± f 2 ( x ) có

chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 .

C. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 4. Xét tính tuần hồn và tìm chu kỳ của các hàm số sau

a) y = 1 + sin 2 2 x .

b) y =

1
.
sin 2 x

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

7

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

Ví dụ 5. Xét tính tuần hồn và tìm chu kỳ của các hàm số sau
b) y = sin 2 2 x + cos 2 2 x .
a) y = x + sin x .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Bài 10.
Bài 11.

Xét tính tuần hồn và tìm chu kỳ của các hàm số sau ( a ≠ 0 ):
b) y = cos ( ax + b )
c) y = tan ( ax + b )
a) y = sin ( ax + b )
Xét tính tuần hồn và tìm chu kỳ của các hàm số:
a) y = cos3x. (1 + cos x ) b) y = sin 6 x + cos6 x c) y = sin( x 2 )

d) y = cot ( ax + b )

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 11 – CHỦ
CHỦ ĐỀ 1: LƯ
LƯỢNG GIÁC

8

Dạng 5. Sử dụng đồ thị
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Vẽ đồ thị hàm số trên miền đã chỉ ra.
• Dựa vào đồ thị xác định giá tị cần tìm.

B. BÀI TẬP MẪU
3π 

Ví dụ 6. Hãy xác định giá trị của x trên đoạn  −π ;
để hàm số y = tan x nhận giá trị:
2 

a) bằng 0 .
b) bằng 1 .
c) dương.
d) âm.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

 3π

Ví dụ 7. Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x , tìm những giá trị của x trên đoạn  −
; 2π  để hàm số đó:
 2


a) Nhận giá trị bằng –1 .

b) Nhận giá trị âm.

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

9

B. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1
.
2

Bài 12.

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x , tìm các giá trị của x để cos x =

Bài 13.

Cho các hàm số f ( x ) = sin x , g ( x ) = cos x , h ( x ) = tan x và các khoảng:
3π 
610π 

 π π
 31π 33π 
 452π
J1 =  π ;
;
;−
 , J 2 =  − ;  , J3 = 
 , J4 =  −

3
4 
2 
4 

 4 4
 4

Hỏi hàm nào trong ba hàm trên đồng biến trên khoảng J1 ? Trên khoảng J 2 ? Trên khoảng J 3 ?
Trên khoảng J 4 ? (Trả lời bằng cách lập bảng biến thiên)

Bài 14.

Trong mỗi khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai? Giải thích vì sao?
a) Trên mỗ i khoảng mà hàm số y = sin x đồng biến thì hàm số y = cos x nghịch biến.
b) Trên mỗ i khoảng mà hàm số y = sin 2 x đồng biến thì hàm số y = cos2 x nghịch biến.

Bài 15.

Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x hãy vẽ đồ thị hàm số y = sin x .

Bài 16.

Cho hàm số y = f ( x ) = 2 sin 2 x
a) Chứng minh rằng với số ngun dương k tùy ý, ln có f ( x + kπ ) = f ( x ) với mọ i x .
 π π
b) Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin 2 x trên đoạn  − ;  .
 2 2
c) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin 2 x

Bài 17.

CMR: sin 2( x + kπ ) = sin 2 x với mọ i số nguyên k . Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin 2 x .

Bài 18.

x
1
x
CMR: cos ( x + k 4π ) = cos với mọ i số nguyên k . Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = cos rồi suy
2
2

2
x
ra đồ thị hàm số y = cos .
2

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 11 – CHỦ
CHỦ ĐỀ 1: LƯ
LƯỢNG GIÁC

10

Phần 2 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Dạng 1. Phương trình cơ bản
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Chú ý:
Khi gặp dấu trừ ở trước thì:
– sin x = sin ( – x ) – cos x = cos (π – x )

– tan x = tan ( – x )

– cot x = cot ( – x )
0

Khi giải phải dùng đơn vị là rad nếu đề bài không cho độ ( ).

11

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:
3
a) sin x = −
2

π
3

d) cot  x +  =
3 3


π
2

b) cos  3 x −  = −
6
2

1
e) sin x =
4

c) tan ( 3 x – 30° ) = –1
f) cos ( x + 3) =

1
3

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

3
2


π
x π
g) tan  −  = tan
8
2 4
2
j) sin 4 x =
3
3
m) sin ( 2 x –15° ) = −
2

c) cos ( x – 2 ) =

b) sin 2 x = –1
e) cos ( 2 x + 50° ) =

1
2

3
x

h) cot  + 20°  = −
3
3


3
k) cos ( 3x – 45° ) =
2
1
x

n) sin  + 10°  = −
2
2


2
5

π

f) cot  4 x −  = 3
6

2π
i) tan 2 x = tan
7
3
2
3
o) sin 2 x =
2
l) sin 3x = –

Dạng 2. Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác là các phương trình có dạng:
asinx + b = 0 ; acosx + b = 0 ; atanx + b = 0 ; acotx + b = 0

Phương pháp giải: Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản.

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:
a) 3sin 4 x = 2

b) 2sin 2 x − 1 = 0

c)

d) 2cos ( x + 50° ) = − 3

e) 2cos x – 3 = 0

f)

π

3 cot  x +  − 1 = 0
3

3 tan 3x – 3 = 0

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

3 
2 

d) ( cot x + 1) .sin 3 x = 0

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

Ví dụ 11. Giải các phương trình sau:

a) cos 3x – sin 2 x = 0

b) tan x. tan 2 x = –1

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 11 – CHỦ
CHỦ ĐỀ 1: LƯ
LƯỢNG GIÁC

14

C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 20.

Giải các phương trình sau:

a) sin 2 x.cot x = 0

b) tan ( x – 30° ) .cos ( 2 x –150° ) = 0

c) ( 2cos 2 x –1) (2sin 2 x – 3 ) = 0

d) 3tan x + 3 ( 2sin x –1) = 0

e) tan ( 2 x + 60° ) cos ( x + 75° ) = 0

f)

(

)

g) ( sin x + 1) 2cos 2 x – 2 = 0

(

h)

)

( 2 + cos x )( 3cos 2 x – 1) = 0
( sin 2 x – 1)( cos x + 1) = 0

C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 21.

Giải các phương trình sau:
a) sin 3x = cos 2 x
c) sin 3x + sin 5 x = 0
e) sin x – cos ( x + 60° ) = 0

b) cos x = – sin 2 x
d) cot 2 x.cot 3x = 1
f) cos ( x –10° ) + sin x = 0

π
π


g) sin  x +  = − sin  2 x − 
3
4


i) tan 3 x + tan x = 0
k) sin 2 x + cos 3x = 0
m) cot 2 x cot ( x + 45° ) = 1

π

h) cos  2 x −  = − cos x
4

f) tan 3 x + tan ( 2 x – 45° ) = 0
l) tan x.tan 3 x = 1
n) tan ( 3 x + 2 ) + cot 2 x = 0

π

π

o) cos  2 x −  − sin  − x  = 0
4

3


π
π


p) cos  2 x +  + cos  x − 
3
6



(

)

q) ( sin x + 1) 2cos 2 x – 2 = 0

Bài 22.

Giải các phương trình sau:

1
a) sin 2 x =
4
2
d) sin ( x – 45° ) = cos 2 x

r)

( sin 2 x – 1)( cos x + 1) = 0

b) 4cos 2 x – 3 = 0

c) sin 2 3 x – cos 2 x = 0

e) 8cos3 x –1 = 0

f) tan 2 ( x + 1) = 3

Dạng 3. Tìm nghiệm phương trình lượng giác trên
khoảng, đoạn cho trước
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước 1. Giải phương trình lượng giác đã cho và tìm các họ nghiệm (nếu có)
Bước 2. Với mỗi họ nghiệm tìm được, cho thuộc khoảng, đoạn đề cho và tìm k

(k ∈ℤ)

Bước 3. Ứng với mỗi giá trị k vừa tìm được, thế vào họ nghiệm tìm nghiệm tương ứng.

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 12. Giải các phương trình sau:

2
a) sin ( 2 x –15° ) =
với –120° < x < 90°
2

π
3

b) tan  2 x +  = −
với 0 < x < π
4
3


.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

15

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

2

e) tan ( x – 10° ) = 1

π
1

b) sin  2 x −  = −
3
2

2
2

với –π < x < 0

d) cos ( x – 2 ) =

với –15° < x < 15°

π

f) sin  x +  = 1
4


với 0 < x < 2π
với x ∈ [0; π ]
với x ∈ [π ; 2π ]

C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 24.

Tìm nghiệm thuộc đoạn [ 0;14] của phương trình: cos 3x − 4 cos 2 x + 3cos x − 4 = 0

Bài 25.

sin 2 x − cos 2 x
 π 
Tính giá trị của x ∈  − ; 0  thỏa mãn phương trình: cot x =
2 + sin 2 x
 2 

Bài 26.

cos 3x + sin 3 x 

Tìm nghiệm thuộc ( 0; 2π ) của phương trình: 5  sin x +
 = cos 2 x + 3
1 + 2sin 2 x 


TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 11 – CHỦ
CHỦ ĐỀ 1: LƯ
LƯỢNG GIÁC

16

Dạng 4. Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Là các phương trình mà sau khi biến đổi ta được một trong các dạng sau ( a ≠ 0 ) :

•

asin 2 u + bsinu + c = 0 ( 1)

•

Đặt t = sinu
Điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1
(1) ⇔ at 2 + bt + c = 0

•

a tan 2 u + b tan u + c = 0 ( 1)

acos 2 u + bcosu + c = 0 ( 1)

Đặt t = cosu
Điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1

(1) ⇔ at 2 + bt + c = 0
•

acot 2 u + bcotu + c = 0 ( 1)

Điều kiện: cos u ≠ 0 .
Đặt t = tanu ,

Điều kiện: sinu ≠ 0
Đặt t = cotu ,

(1) ⇔ at 2 + bt + c = 0

(1) ⇔ at 2 + bt + c = 0
B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 13. Giải các phương trình sau:
a) 2sin 2 x + 3sin x − 2 = 0
c) 3cos 2 x − 5cos x + 2 = 0

b) 3cot 2 x + 3cot x − 2 = 0
d) 3 tan 2 x − 2 3 tan x + 1 = 0

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 27.

Giải các phương trình sau:
a) 2cos 2 x + 2 cos x – 2 = 0
c) 6sin 2 x – 5sin x – 4 = 0

(

)

e) tan 2 3 x + 1 − 3 tan 3x − 3 = 0

f) 4cot 2

x
x
− 2 2 + 1 cos + 2 = 0
2
2
2
i) 2sin x − 3sin x − 5 = 0

h) 2sin 2

g) 4cos 2

Bài 28.

b) 2cos 2 x – 3cos x + 1 = 0

d) 3 tan 2 x − 1 + 3 tan x + 1 = 0

(

)

(
x
− 2(
3

)
x
3 − 1) cot −
3

3=0

x
x
+ 2 sin − 2 = 0
2
2
2
j) 2 tan x + 3tan x + 1 = 0

Giải các phương trình sau:
a) sin 2 x – 2cos x + 2 = 0

b) cos2 x + sin x + 1 = 0

c) 2cos 2 x + 4sin x + 1 = 0

d) 2cos 2 x – 2

e) cos 2 x + 9 cos x + 5 = 0

f) cos5 x.cos x = cos 4 x.cos 2 x + 3cos 2 x + 1
π

π
 5
h) cos 2  x +  + 4cos  − x  =
3

6
 2
1
j)
– 1 + tan x – 3 ( tan x + 1) = 0
cos 2 x
1 − tan 2 x
l) cos 4 x – 3
+2=0
1 + tan 2 x

g) cot 4 x – 4cot 2 x + 3 = 0
i) tan 2 x –

4

+5 = 0
cos x

k) tan x − 2 cot x + 1 = 0

(

)

3 + 1 cos x + 3 + 2 = 0

C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 29.

Giải các phương trình sau:
π
π 9


a) sin 4 x + sin 4  x +  + cos 4  x +  =
4
4 8


π
π


b) cos  2 x +  + cos  2 x −  + 4sin x = 2 + 2 (1 − sin x )
4

4



Bài 30.

Giải các phương trình sau:
1
π

+ 2cot  − x  = 3
a) tan 3 x –1 +
2
cos x
3

c) 1 + sin 3x = sin x + cos 2 x
e) cos 2 x +

1
1
7
+ cos x −
− =0
2
cos x
cos x 4

b) 2sin 2 x = 1 + sin 3 x
d) tan 2 x + cot 2 x + 2 ( tan x + cot x ) = 6

f)

1
5
+ cot 2 x + ( tan x + cot x ) + 2 = 0
2
cos x
2

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 11 – CHỦ
CHỦ ĐỀ 1: LƯ
LƯỢNG GIÁC

18

Dạng 5. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
(Phương trình cổ điển)
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a sin x + b cos x = c

(1)

với a, b, c ∈ ℝ , và a 2 + b 2 ≠ 0

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a 2 + b 2 ≥ c 2

Chia 2 vế phương trình cho a 2 + b 2 , ta được:
a
b
c
.s inx +
.cos x =
a 2 + b2
a 2 + b2
a 2 + b2
2

2


 

a
b
b
a
Vì 
+
, sin α =

 = 1 nên đặt cos α =
2
2
2
2
2

2
2
a +b
a + b2
 a +b   a +b 
c
Khi đó ta được:
sin ( x + α ) =
rồi giải như phương trình cơ bản.
2
a + b2
Chú ý: Nếu a = b có thể dùng công thức sau để giải:

π
π


sin x ± cos x = 2 sin  x ±  = ± 2 cos  x ∓ 
4
4


B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 15. Giải các phương trình sau:
a) sin x + 3 cos x = 1
c) 3sin 3 x – 4cos 3x = 5

b) cos x – 3 sin x = 2
d) 2sin x + 2cos x − 2 = 0

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

19

Ví dụ 16. Giải các phương trình sau:
a) cos x – 3 sin x = 2cos 3x

b) sin 9 x + 3 cos 7 x = sin 7 x + 3 cos9 x

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

l) 2sin x + 2cos x = 2

b)

3 cos x + sin x = – 2

C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 32.

Giải các phương trình sau:
a) 2sin 2 2 x + 3 sin 4 x = –3

π
π 3 2


c) 2sin  x +  + sin  x −  =
4
4
2


1
e) sin 2 x + sin 2 x =
2
2
2
g) 3cos x – sin x – sin 2 x = 0
i) 2cos 2 x – sin 2 x = 2 ( sin x + cos x )

h) 4sin x cos x = 13 sin 4 x + 3cos 2 x
j) 2sin17 x + 3 cos5 x + sin 5 x = 0

k) sin 5 x + cos5 x = 2 cos13x

l) 8sin 2

m)

Bài 33.

π

b) cos x + 3 sin x = 2cos  − x 
3


1 + sin x 1
=
1 + cos x 2

π
π 5 2


d) 2cos  x +  + 3cos  x −  =
6
3
2



f) 2sin 2 x + 3 sin 2 x = 3

x
– 3sin x – 4 = 0
2
1 − cos 4 x
sin 4 x
n)
=
2sin 2 x 1 + cos 4 x

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các hàm số sau:
c) y = 2sin 2 x + 4sin x cos x + 3
a) y = 2sin x + 3 cos x + 1
sin x + cos x − 1
d) y =
b) y = sin 2 x + cos 2 x – 2
sin x − cos x + 3

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 11 – CHỦ
CHỦ ĐỀ 1: LƯ
LƯỢNG GIÁC

20

Dạng 6. Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sin x và cos x
(Phương trình đẳng cấp)
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0
Hoặc

( 2)

a′ sin 2 x + b′ sin x cos x + c′ cos2 x = d

(1)
( 2)

⇔ a′ sin 2 x + b′ sin x cos x + c′ cos 2 x = d ( sin 2 x + cos 2 x )
⇔ ( a ′ – d ) sin 2 x + b′ sin x cos x + ( c ′ – d ) cos 2 x = 0

( 2′ )

Phương trình ( 2′ ) cũng là dạng (1) , nên ta chỉ xét dạng (1) . Nếu gặp dạng ( 2 ) thì ta đưa
về dạng (1) như trên.
Sau đây là cách giải dạng (1) :
 cos x = 0
Nếu a = 0 và b, c ≠ 0 thì (1) ⇔ cos x. ( b sin x + c cos x ) = 0 ⇔ 
b sin x + c cos x = 0
sin x = 0
Nếu c = 0 và b, a ≠ 0 thì (1) ⇔ sin x. ( a sin x + b cos x ) = 0 ⇔ 
 a sin x + b cos x = 0
Nếu a, b, c ≠ 0 :
Kiểm tra xem với cos x = 0 thì (1) có thỏa hay khơng? ( cos x = 0 thì sin x = ±1 ). Nếu

π

+ kπ ( k ∈ ℤ ) .
2
Với cos x ≠ 0 , chia 2 vế của (1) cho cos 2 x , ta được phương trình:

thỏa thì kết luận rằng phương trình có 1 họ nghiệm là x =

a tan 2 x + b tan x + c = 0

(1′)

(1′ ) là phương trình bậc 2 theo tanx , ta đã biết cách giải (Xem phần 2).
Nghiệm của (1) là nghiệm của (1′ ) và x =

π

+ kπ (nếu có).
2
Chú ý: Ngồi ra ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa (1) về dạng phương trình

bậc nhất theo sin 2x và cos 2x (Phần 3). Với:
1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
1
sin 2 x =
, cos 2 x =
, sin x.cos x = sin 2 x
2

2
2
3
2
☺ Phương trình đẳng cấp bậc 3: a sin x + b sin x cos x + c.sin x cos2 x + d cos3 x = 0
Giải tương tự như đẳng cấp bậc 2.

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 17. Giải các phương trình sau:
a) 2sin 2 x − 5sin x cos x − cos 2 x = −2
c) 3 sin 2 x + 2cos 2 x –1 = 0

b) 4sin 2 x – 3 3 sin 2 x – 2cos 2 x = 4
d) 2 cos 2 x + 3sin 2 x – 8sin 2 x = 0

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

21

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

b) 3sin 2 x – 4sin x cos x + 5cos 2 x = 2
d) 2cos 2 x + sin 2 x – 4sin 2 x = –4
f)
h)
j)
l)
n)

cos 2 x – 3sin x cos x + 1 = 0
2cos 2 x – 3sin x cos x + sin 2 x = 0
3cos 2 x + sin x cos x + 2sin 2 x = 2
3 cos 2 x – sin 2 x – 3 sin 2 x = 1
2cos 2 x + 3sin 2 x – 8sin 2 x = 0

C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 35.

Giải các phương trình sau:
a) sin 3 x + cos3 x = sin x + cos x
c) 3cos 4 x − 4cos 2 x sin 2 x − sin 4 x = 0
π

e) 2 2 cos3  x −  − 3cos x − sin x = 0
4


b) sin 3 x + 2sin 2 x cos x – 3cos 3 x = 0
d) sin x − 4sin 3 x + cos x = 0

Dạng 7. [NC] Phương trình đối xứng – Phản đối xứng

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1:

a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x = c

(1)

π

Đặt t = sin x + cos x = 2 sin  x +  , Điều kiện: – 2 ≤ t ≤ 2
4

t 2 −1
2
⇔ t = 1 + 2sin x cos x ⇔ sin x cos x =
2
2
t −1
= c ⇔ bt 2 + 2at – b – 2c = 0
(1) ⇔ at + b.
( 2)
2
Giải phương trình ( 2 ) , chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 ≤ t ≤ 2
π

Giải phương trình sin  x +  = t để tìm x .
4

Dạng 2: a ( sin x – cos x ) + b sin x cos x = c

(1)

π

Đặt t = sin x – cos x = 2 sin  x –  , Điều kiện: –
4

1− t2
⇔ t 2 = 1 − 2sin x cos x
⇔ sin x cos x =
2
2
1− t
= c ⇔ bt 2 − 2at – b + 2c = 0
(1) ⇔ at + b.
2
Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện:
π

Giải phương trình sin  x −  = t để tìm x .
4

Dạng 3: a sin x ± cos x + b sin x cos x = c
π

Đặt t = sin x ± cos x = 2 sin  x ± 
4

Giải tương tự như trên.

2 ≤t≤ 2

( 2)
– 2 ≤t≤ 2

(1)
Điều kiện: 0 ≤ t ≤ 2

23

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 18. Giải các phương trình sau:
a) 5sin 2 x – 12 ( sin x – cos x ) + 12 = 0

b) 3 ( sin x + cos x ) – sin 2 x – 3 = 0

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

1
1
10
+ sin x +
=
cos x
sin x 3

Dạng 8. [NC] Phương trình lượng giác khơng mẫu mực
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
A ≥ 0 ∧ B ≥ 0
⇔
A + B = 0

a. Trường hợp 1: Tổng hai số không âm: 

A = 0

B = 0

A ≤ M ≤ B
A = M
⇔ 

A = B
B = M
 A ≤ M va B ≤ N
A = M
⇔ 

c. Trường hợp 3: Sử dụng tính chất: 
A + B = M + N
B = N

b. Trường hợp 2: Phương pháp đối lập:

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 11 – CHỦ
CHỦ ĐỀ 1: LƯ
LƯỢNG GIÁC

24

• sin u + sin v = 2

sin u = 1
⇔
sin v = 1

•

sin u – sin v = 2

sin u = 1
⇔
sin v = −1

• sin u + sin v = –2

sin u = −1
⇔
sin v = −1

•

sin u – sin v = –2

sin u = −1
⇔
sin v = −1

• Tương tự cho các trường hợp: cos u ± cos v = ±2 và cos u ± sin v = ±2
d. Trường hợp 4: Sử dụng tính chất:
 A ≤ M va B ≤ N
A = M
⇔ 

 A.B = M .N
B = N
sin u = 1 sin u = −1
⇔
∨
sin v = 1 sin v = −1

• sinu.sinv = 1
• sinu.sinv = –1

 A = −M
∨ 
B = −N

sin u = −1 sin u = 1
⇔
∨
sin v = 1
sin v = −1

• Tương tự cho các trường hợp: cos u.cos v = ±1 , sin u.cos v = ±1 , cos u.sin v = ±1 .
B. BÀI TẬP
Bài 37.

Giải các phương trình sau:
a) sin 2 5 x + 1 = cos 2 3 x
c) sin x + cos x = 2 ( 2 – sin 3 x )

b) sin 2 x – 2sin x + 2 = sin 2 3 x
d) 2cos 2 x = 3sin 2 5 x + 2

2

e) ( cos 4 x – cos 2 x ) = 4 + cos 2 3x
g) cos 5 x.sin 3 x = 1

f) sin x + cos x = tan x + cot x
h) sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = 3

Dạng 9. Phương trình lượng giác có tham số

A. BÀI TẬP
Bài 38.

Tìm m để các phương trình sau:
a) m sin x – 2m + 1 = 0
b) m cos x – 2m + 1 = ( 2m – 1) cos x

có nghiệm

c) m sin x + 1 = 2 ( sin x + m )

vô nghiệm

d) cos x – sin x.cos x – 2sin x = m
e) ( m + 2 ) sin x – 2m cos x = 2 ( m + 1)

có nghiệm
có nghiệm

f) m cos 2 x + ( m + 1) sin 2 x = m + 2
g) sin x + m cos x = 1
h) ( m + 2 ) sin x + m cos x = 2

có nghiệm
vơ nghiệm
vơ nghiệm

2

i)

(m

2

2

+ 2 ) cos 2 x – 2m sin 2 x + 1 = 0

j) sin 2 x – 4 ( cos x – sin x ) = m

Bài 39.

có nghiệm

có nghiệm
có nghiệm

Xác định m để phương trình: 2(sin 4 x + cos 4 x) + cos 4 x + 2sin 2 x − m = 0 có ít nhất một
 π
nghiệm thuộc đoạn  0 ;  .
 2

Bài 40.

2sin x + cos x + 1
= a (1)
sin x − 2cos x + 3
1
a) Giải phương trình (1) khi a =

3

Cho phương trình:

b) Tìm a để phương trình (1) có nghiệm.

25

Bài 41.

cos 6 x + sin 6 x
= m tan 2 x (1)
cos 2 x − sin 2 x
13
b) Tìm m để phương trình (1) vơ nghiệm.
a) Giải phương trình (1) khi m =
8

Cho phương trình:

Dạng 10. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương pháp biến đổi đưa về dạng cơ bản
Ví dụ 19. Giải phương trình
2

x
x


a)  sin + cos  + 3 cos x = 2 .
2
2


b) ( 2 cos x − 1)( sin x + cos x ) = 1 .

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

Tài liệu tự học lượng giác 11

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về