Tải Chuyên đề bài toán phương trình bậc hai chứa tham số - Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (398.19 KB, 29 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề

:Phương trình bậc hai chứa tham số
Bài tốn 1:Giải phương trình bậc hai có chứa tham số.

Phương pháp:Xét các trường hợp của hệ số a :
- Nếu a = 0 thì tìm nghiệm phương trình bậc nhất .
- Nếu a 0 thì tiến hành các bước sau:

+ TÝnh biÖt sè (').

+ Xét các trường hợp của (') ( Nếu (') chứa tham số ).

+ Tìm nghiệm của phương trình theo tham số.

Bài 1: Giải phương trình bậc hai (m là tham số ) sau :
a)x2- 2(3m - 1)x+ 9m2- 6m - 8 = 0

b)x2- 3mx + 2m2- m - 1 = 0
c) 3x2- mx+ m2= 0

d)x2- 2(m - 1)x+ m - 3 = 0

HDÉn : a/ '= 9 ; x

1= 3m + 2 , x2= 3m - 4

b/ = (m + 2)2: + m-2 : x

1= 2m + 1 , x2= m - 1

+ m =-2 : x = -3 ( nghiÖm kÐp)
c/ = -11m2 : + m = 0 : x = 0 ( nghiƯm kÐp)

+ m 0 : PT v« nghiƯm.
d/ '= m2 3m + 4 = (m

-2
3)2+

7> 0 :+ x

1= m - 1 + 23 74
2








 m

+ x2= m 1

-4
7
2
32 






 m

Bài 2: Giải phương trình (m là tham số) :
(m - 1)x2- 2mx+ m + 2 = 0

HDÉn : * m =1 : x =

2
3

* m 1 : ' = 2 - m

+ m > 2 : V« nghiÖm.

+ m = 2 : x = 2 (nghiÖm kÐp )
+ m < 2 :

1
2

1 





m
m
m

x ;

1
2

2 





m
m
m

x

Bài 3: Giải phương trình (m là tham số) :
(m - 1)x2+ 3mx+ 2m + 1 = 0

HDÉn : + m = 1 : x =-1

+ m1 :x1=-1 ; x2=

m

m
a

c






1
1
2
Bài 4: Giải phương trình (m là tham số) :

x2- 2(m + 1)x+ 2(m + 5) = 0

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

NÕu 








3
3

m

th× 








4
2

x
x

( nghiƯm kÐp)
NÕu 








3
3

m
m

th× 1 2 9

2
,

1 m  m 

x

Bài 5: Giải phương trình (m là tham số) :

(4m2+ 4m + 1)x2- 2m(2m + 1)x+ m2= 0

HDÉn : m

=-2

1 v« nghiƯm.

m 

-2

1 , '=0 : x =

1
2m

m (nghiƯm kÐp)

Bài tốn 2:Tìm giá trị của tham số để phương trình có nghiệm kép,có hai nghiệm
phân biệt, có nghiệm,vơ nghiệm.

Phương pháp:Điều kiện để phương trình bậc 2 có :
- Nghiệm kép

 











0
0

a

- Hai nghiƯm ph©n biƯt

 












0
'
0

a

- Cã nghiƯm :+XÐt a= 0 (NÕu a chøa tham sè )
+XÐt

 











0
'
0

a

- V« nghiƯm : + XÐt a= 0
+ XÐt

 











0
'
0

a

Bài 6: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt :
a) 2x2- 4x+ m = 0 (m < 2)
b) 5mx2- 4x- 3m = 0 (m0)
c) mx2- 3x+ m = 0

(-2

3
2

3 m , m 0)
Bài 7: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm kép :

a) 3x2- 2mx+ 1 = 0

(m =  3)

b) 4mx2- 6x- m - 3 = 0

(m =

-2
3 )

c) (m + 2)x2- 2(m - 1)x + 4 = 0 (m = 7 hc m = -1)

Bài 8: Tìm các giá trị của m để phương trình sau vô nghiệm :
a) 3x2+ 2mx + 4 = 0

(-2 3<m< 2 3)

b)x2- (2m + 3)x+ m2= 0

(m

<-4
3)

c) m2x2+ mx + 3 = 0 (m)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

b) (m2 - m)x2+ 2mx+ 1 = 0

HDÉn : a/ + m = 0 : x =

2
3

+ m 0 : m  1

b/ + m = 0 : V« nghiƯm.

+ m = 1 : x

=-2
1

+ m 0, m 1 : '0 m > 0

Bài 10: Cho phương trình : mx2+ 6(m - 2)x+ 4m - 7 = 0
Tìm các giá trị của m để phương trình :

a) Cã nghiƯm kÐp .
b) Có 2 nghiệm phân biệt.
c) Vô nghiệm .

HDẫn : a/

0
'

m

5
9
4

m
m

b/

0
'

m

0
,
5
9
4

m
m

m

c/ + m = 0 : Cã nghiÖm.

+ m 0 : 4

5
9
0

'   

 m

Bµi 11:

a) Tìm các giá trị nguyên dương của k để phương trình :

x2- 4x+ k = 0 có 2 nghiệm phân biệt. (k = 1; 2; 3)
b) Tìm các giá trị nguyên âm của m để phương trình :

2x2- 6x+ m + 7 = 0 cã 2 nghiƯm ph©n biƯt. (m = -3; - 4; - 5; ......)

Bài 12: Cho phương trình (m là tham số) :

(2m - 7)x2+ 2(2m + 5)x - 14m + 1 = 0

Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm kép.Tính nghiệm kép đó.

HDÉn :













2
5
2
'

0
7
2

2 m

m
m










2
1
2

m
m

+ Víi m = 2 : x = 3

*3*

+ Víi m =

1 : x = 1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

HDÉn :






































 









1
3
0

64
551
8

19
1

4
0
3

m
m
m

m
m

Bài tốn 3:Tìm giá trị của tham số để phương trình bậc 2 nhận một số k (kR) cho
trước làm nghiệm .

Phương pháp:

- Thay giá trị x = k vào phương trình tìm tham số.

- Thay giá trị của tham số vừa tìm được vào x1x2 hoặc x1.x2 để tìm nghiệm còn lại
(nếu cần).

Bài 14: Xác định giá trị của tham sốmđể phương trình :

a) (3m + 4)x2- (5m - 1)x + m - 3 = 0 nhËn 3 lµm nghiÖm. ( m =

-13
36)

b) (m2+ 1)x2+ (3m - 4)x + m - 11 = 0 nhËn - 2 lµm nghiƯm. (








4
1
1

m
m

)

Bài 15: Tìm giá trị củamđể phương trình :

a) mx2- 3x- 5 = 0 cã mét nghiÖm b»ng -1. ( m = 2 )
b)x2- 2(m - 1)x+ m - 5 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 3. ( m = 2 )

Bài 16: Tìm các giá trị củamđể phương trình có một nghiệm bằng 1.Tìm nghiệm cịn lại :

a) 2x2- 3x+ m = 0 ( m = 1 ,

2
1

2 

x )

b) 3x2+ 7x+ m = 0 ( m = -10 ,

3
10

2 

x )

Bài 17: Với giá trị nào củakthì phương trình :

a) 2x2+kx- 10 = 0 cã mét nghiƯm bằng 5.Tìm nghiệm còn lại .
b)k2x2- 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7.Tìm nghiệm còn lại .

c) (k- 4)x2- 2kx +k- 2 = 0 cã mét nghiÖm bằng 3.Tìm nghiệm còn lại .

HDẫn : a/ k = 8 , x2= - 1

b/ k =

7
7
4

 , x

16
7

2

c/ k = 7



2 3



, x

47
3
9
14

2



Bài 18: Cho phương trình (2m - 1)x2- 4mx+ 4 = 0 (1)

Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm bằng m.

HDÉn :+













0
)
2
2
(

0
1
2

2
' m

m











)
2
2
(

2
1

m
m

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Phương trình có nghiệm bằng m thì










1
2

2
2

m
m
m












4
17
1
2

m
m

+ m = 

1 phương trình (1) có nghiệm x = 2

1
2

1

m không thoả mÃn.

Bi 19: Cho phng trỡnh (m - 1)x2- 2mx+ m + 1 = 0 (1). Tìm tất cả các số nguyên m để
phương trình (1) có nghiệm nguyên.

HDÉn : * m = 1 : -2x + 2 = 0  x1

* m1: m - 1 + (-2m) +m +1 = 0 x1 1; 2 111 21




m
m

m
x



;10;2;3



2
;1

1    



m m

Bài 20: Cho phương trìnhx2+ (2m - 5)x- 3n = 0 . Xác định m và n để phương trình có 2
nghiệm là 3 và -2.

HDÉn :











14
3
4

6
3
6

n
m









2
2

n
m

Bài 21: Tìm m, n để phương trình bậc hai sau đây có nghiệm duy nhất là

2
1 :

mx2+ (mn + 1)x+ n = 0

HDÉn :






















0
2

1
.
1
4

0
0

n
mn

m













2
1
2

n
m

Bài 22: Xác định các số m, n của phương trình:x2+ mx+ n = 0 sao cho các nghiệm của
phương trình cũng là m và n.

HDÉn : *  = m2- 4n≥ 0 m 4n

*


















































0
2
:

2
1

0
:
0

0
.

. 2

2
1

x
x
PT
n

m

x
PT
n

m
n

n
m
x
x

m
n

m
x
x

Bài tốn 4:Chứng minh phương trình bậc 2 có nghiệm.
Phương pháp:

- C¸ch 1 : Chøng minh 

 

' 0

- C¸ch 2 : Chøng minh ac < 0

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 23: CMR các phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị củam:

a) x2+ (m+ 1)x+m = 0 d) x2+ 4x-m2 + 4m- 9 = 0
b) x2-mx+m- 4 = 0 e) (m+ 1)x2+x-m = 0

c) -3x2+ 2(m- 2)x+ 2m+ 5 = 0 f) x2- (3m2- 5m+ 1)x- (m2- 4m+ 5) = 0

( dïng ac < 0 )

Bài 24: CMR phương trìnhax2+bx+c= 0 (a 0) có nghiệm, biết rằng 5a+ 2c=b .

HDÉn :  = b2- 4ac = (5a + 2c)2- 4ac = ( 4a + 2c)2+ 9a2 0

Bài 25: Cho phương trìnhmx2- (2m- 1)x+m = 0 (1) .Gọi
2
1,x

x là 2 nghiệm của phương
trình (1) . Chứng minh rằng nếu x21x22 2 thì phương trình (1) có nghiệm kép.

HDÉn :+ x21x22 2

2
1
2

2
)

( 1  2 2  1 2   

 x x x x m












0
2
1

' m

m

2
1



m  kÕt ln ?

Bài 26: CMR phương trình sau có nghiệm với mọia, b, c:
a)x.(x-a) +x.(x-b) + (x-a).(x-b) = 0

b) (x-a).(x-b) + (x-b).(x-c) + (x-c).(x-a) = 0

c)a.(x-b).(x-c) +b.(x-c).(x-a) +c.(x-a).(x-b) = 0 (Víi a + b + c 0)

HDÉn : a/ 3x2- 2.(a + b + c)x + ab = 0
=(a

-2

b)2+ 0

4
3 2



b

b/ 3x2- 2.(a + b + c)x + ab + bc + ca = 0



 







1 2 2 2

2
2

2           



 a b c ab bc ca a b b c c a

c/ (a + b + c)x2- 2.(ab + bc + ca)x+ 3abc= 0
=a2b2+ b2c2+ c2a2- a2bc - ab2c - abc2





1 a b c bc a c a b 0

Bài 27: Cho phương trình (a, b là tham số) :

ax2+ (ab+ 1)x+b= 0

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm.

b) Tìm giá trị củaa, bđể phương trình có một nghiệm kép là

2
1.

HDÉn : a) a = 0 : x = b

a0 : = (ab-1)2  0

b)













2
1
2

1
0
1

a
ab
ab










2
1
2

b

a

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

HDÉn : 2= b2- 4ac = 0
1 


Bài 29: CMR phương trình sau có nghiệm với mọiavàb:

x2+ (a+b)x- 2(a2- ab+b2) = 0

HDÉn := (3a + b)2+ 8b20

Bài tốn 5:Chứng minh ít nhất 1 trong 2 phương trình đã cho có nghiệm .

Phương pháp:

- TÝnh c¸c biƯt sè 1;2.

- Chứng minh 12 0 hoặc 1.2 0 để suy ra một biệt số không âm (Chỳ ý kt

hợp giả thiết nếu có)

Bi 30: Cho hai phương trình :x2- 3x+ 2m+ 6 = 0 (1) và x2+x- 2m- 10 = 0 (2)
CMR : Với mọim, ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm .

HDÉn : 12  26 > 0  cã 1 biÖt số không âm .

Bi 31: Cho hai phng trỡnh bc hai :ax2+bx+c= 0 (1) vàax2+bx-c= 0 (2)
CMR với mọia, b, cít nhất 1 phương trình có nghiệm .

HDÉn : 12 2b2 0 có 1 biệt số không âm .

Bài 32: Cho hai phương trình :x2+ (m- 1)x+m2= 0 (1) và x2+ 2mx-m= 0 (2)
CMR với mọim, ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm .

HDÉn : 1 2 (m + 1)2 0  cã 1 biÖt số không âm .

Bi 33: Cho hai phng trỡnh :x2- 3x-a- 2 = 0 (1) và x2+ax +1 = 0 (2)

CMR với mọia trong 2 phương trình trên ln có ít nhất 1 phương trình có hai
nghiệm phân biệt.

HDÉn : 1 2  (a +2)2+ 9 > 0 cã 1 biƯt sè lín h¬n 0 .

Bài 34: Cho hai phương trình :x2+ (m- 2)x +

m=0 (1)

và 4x2- 4(m- 3)x+ 2m2- 11m+ 13 = 0 (2)
CMR với mọim, ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm .

HDÉn : 1 (m1)(m4) ; 2 16(1m)(m4)

0
)
4
(
)

1
(
16

. 2 2

1    

 m m có 1 biệt số không âm .

Bài 35: Chob, clà các số thoả mÃn : 11 2

c

b . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương

tr×nh sau cã nghiƯm :x2+ 2bx+c= 0 vµx2+ 2cx+b= 0 .

HDÉn : 2 ( ) 2 ( )2 0

2
'
1

'        

 b b c c b c có 1 biệt số không âm .

Bi 36: Cho hai phương trình bậc hai : x2+ax +b= 0 (1) và x2+cx +d= 0 (2)
Biếtb + d= ac

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

HDÉn : 12  (a - c)2  0 có 1 biệt số không âm .

Bi 37: Cho hai phương trình bậc hai :x2+ 0
1
1xb 

a vµ x2+ 0

2
2xb 

a có các hệ số thoả
mãn điều kiện : a1a2 2(b1b2). Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình trên có

nghiƯm .

HDẫn : Giả sử 2 phương trình vơ nghiệm :





1 2 a12 a22 4(b1b2)< 0 a12 a22 4(b1b2)

 2 1 2 1 2

1 ) 4( ) 2

(a a  b b  a a

 0 2 1 2 1 2

1 ) 4( ) 2

(a a  b b  aa

 a1a2 2(b1b2) ( m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt)

bài tốn 6:Tìm giá trị của tham số để 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung.
Phương pháp:

* C¸ch 1:

- Giả sử x0 là nghiệm chung, lập hệ 2 phương trình ( ẩn x và tham số )
- Giải hệ phương trình tìm x0, tìm tham số .

- Thử lại : Thay các giá trị của tham số vào từng phương trình, giải các
phương trình, tìm nghiệm chung.

-Rót kÕt luËn .

* Cách 2: - Rút tham số từ 1 phương trình đã cho

- Thế giá trị của tham số vào phương trình cịn lại tìm x .
- Thay giá trị của x tìm m .

- Rót kÕt luËn .

Bài 38: Với giá trị nào củakthì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung :

x2- (k+ 4)x+k+ 5 = 0

x2- (k+ 2)x+k+1 = 0

HDÉn : x0= 2 ; k = 1

Bài 39: Tìm giá trị củamđể hai phương trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.

x2+ 2x+m= 0

x2+mx+ 2 = 0

HDẫn : (m -2)x0= m - 2 : + m =2 : hai phương trình có dạng : x2+ 2x +2 = 0 ( vơ nghiệm)
+m 2 : x0= 1 ; m = -3

Bài 40: Tìm giá trị củamđể hai phương trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.

x2+ (m- 2)x+ 3 = 0
2x2+mx+ (m+ 2) = 0

HDẫn : (m - 4)x0= m - 4 : + m = 4 : hai phương trình có dạng : x2+ 2x +3 = 0 ( vơ nghiệm)

+m 4 : x0= 1 ; m = -2

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

2x2+ (3m- 5)x- 9 = 0 (1)
6x2+ (7m- 15)x- 19 = 0 (2)

HDÉn :

* Cách 1: m x0= 4 : + m = 0 : hai phương trình khơng có nghiệm chung.

+m 0 : x0=

m

4 ; m = 4 hoặc m =
3
8
* Cách 2:(1) m =

x
x
x

3
5
2

9 2

(x0) thay vµo (2) :
4x2- 10x + 6 = 0 ta cã x

1= 1 ; x2= 23

.x1= 1  m = 4 ( nghiƯm chung lµ 1)

.x2=

3  m =

8 ( nghiƯm chung lµ
2
3)

Bài 42: Với giá trị nào củamthì 2 phương trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
2x2- (3m+ 2)x+ 12 = 0 (1)

4x2- (9m- 2)x+ 36 = 0 (2)

HDÉn : (1)  m =

x
x
x

3
12

2 2  

(x0) thay vµo (2) :
x2- 4x = 0 ta cã x

1= 0 (lo¹i) ; x2= 4

.x = 4  m = 3 ( nghiƯm chung lµ 4)

Bài 43: Tìm giá trị củamđể 2 phương trình :

x2+x+m- 2 = 0 (1)

x2+ (m- 2)x+ 8 = 0 (2) cã nghiÖm chung.

HDÉn : (2)  m =

x
x

x 8

2  2 

(x0) thay vµo (1) :

x3- 8 = 0  x= 2  m = - 4 (nghiƯm chung lµ 2)

Bài 44: Tìm giá trị ngun củaađể 2 phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm chung.
2x2+ (3a- 1)x- 3 = 0 (1)

6x2- (2a- 3)x- 1 = 0 (2)

HDÉn : (11a - 6)x0 = 8 : + a =

6 cả hai phương trình vơ nghiệm.

+a 

11
6

6
11

0  


a

x khi đó :

(1) 99a2 164a680ta cã : a 2

1 ; a29934(loại)

.a= 2 nghiệm chung là

2
1

Bi toỏn 7:Khi phương trình bậc hai có nghiệm , hãy tìm một h thc liờn h gia 2

nghiệmx1 vàx2không phụ thuộc vào tham sè m.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm :

 











0
0

a

- TÝnh tỉng S, tÝch P cđa hai nghiƯm x1 vµ x2.

- TÝnh m theo S, P.

- Khử m tìm hệ thức chỉ còn S, P . Thay S = x1+ x2, P = x1. x2

Bài 45: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình :x2- (m+ 3)x+ 2m- 5 = 0
mà hệ thức này không phụ thuộc vào m.

HDÉn : . =(m -1)2+ 280

.m = S - 3 vµ m =

2
5



P ta cã hÖ thøc : 2(x ) 11

2
1
2

1x x x 

Bài 46: Cho phương trình : x2- 2(m+ 1)x+m- 4 = 0 . Khơng giải phương trình, hãy tìm 1
biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vàom.

HDÉn : . =(m

-2
1)2+

4
19 0

.m =

2
2



S vµ m = P + 4 ta cã hÖ thøc : x 2 10 0

2
1
2

1x  x x  

Bài 47: Cho phương trình : x2- 2(m+ 1)x+ 2m + 3 = 0 . Khi phương trình có nghiệm, hãy
tìm 1 hệ thức giữa x1 vàx2không phụ thuộc vào m.

HDÉn : .
















2
2
0

2
'

m
m
m

.m =

2
2



S vµ m =

2
3



P ta cã hƯ thøc : ( ) 1 0

2
1
2

1x  x x  

x

Bài 48: Cho phương trình : (m - 2)x2- 2(m + 2)x+ 2(m - 1) = 0 . Khi phương trình có nghiệm,
hãy tìm 1 hệ thức giữax1 vàx2không phụ thuộc vào m.

HDÉn :.' m2 10m00m10vµ m2

.m =

2
4
2





S

S vµ m =

2
2
2




p

P ta cã hƯ thøc : 4 ( ) 6 0

2
1
2

1x  x x  

x

Bài 49: Cho phương trình : (2m - 1)x2- 2(m + 4)x+ 5m + 2 = 0 . Khi phương trình có nghiệm,
hãy tìm 1 hệ thức giữax1 vàx2khơng phụ thuộc vào tham số m.

HDÉn : .















0
1
2

0
18
9
9 2
'

m

m
m













2
1

m
m

.m =

2
2




S

S vµ m =

5
2




P

p ta cã hƯ thøc : ( x ) 2 4 0

2
1
2

1x  x x  

Bài 50: Trong các phương trình sau, giả sử chúng có nghiệm x1vàx2. Hãy tìm một hệ thức liên
hệ giữa các nghiệm của mỗi phương trình khơng phụ thuộc vào tham số k.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

b) (k + 3)x2- 3(k + 4)x- k + 7 = 0 (k-3)
c) kx2- 2(k + 1)x+ (k - 4) = 0 (k0)

HDÉn : a/ .

4
0

4
5

'     

 k k

. k =



S

S vµ k =

1
4




P

P ta cã hÖ thøc : 3 ( x ) 2 8 0

2
1
2

1x  x x  

b/. 



















2 13

30
3

0
60
56
13 2

k
k
k

k

.k =

3
3
12




S

S vµ k =

1
3
7





P

P ta cã hƯ thøc : 10 (x ) 3 33 0

2
1
2

1x  x x  

c/.

6
1
0

0
1
6

'      

 k k

. k =

2
2



S vµ k = 1P

4 ta cã hƯ thøc : 2( ) 5 0

2
1
2

1x  x x  

x

Bài 51: Cho phương trình : (m+ 1)x2- (2m- 3)x+m+ 2 = 0 . Khi phương trình có hai nghiệm
2

1,x

x h·y tÝnh nghiƯm nµy theo nghiƯm kia.

HDÉn : +






















24
1

1
0

0
1

m
m
m

7
0

7
5

1
1
2

2
1
2

1 









x
x
x

x (hoặc ngược lại)

Bài 52: Cho phương trình :

3
1
1
1



 x

x =m. Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm

h·y biĨu diƠn nghiƯm nµy theo nghiÖm kia.

HDÉn : mx2- (4m + 2)x + 3m + 4 = 0 (x1; x3)

+













0
4
4
0

m
m

+

1
1
2

2
1
2

1 2 5 0 52 2

x
x
x

x
x
x
x










Bài tốn 8:Tìm giá trị của tham số để phương trình bậc hai có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn
một đẳng thức liên hệ giữa 2 nghiệm.

Phương pháp:

- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm:

 












0
0

a

- TÝnh tỉng S, tÝch P cđa hai nghiƯm x1 vµ x2.

- Kếthợpđẳngthứccủagiảthiếtlậphệphươngtrìnhgồm3phươngtrình.

- Giải hệ phương trình tìm tham số.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài 53: Cho phương trình : 3x2- 4x+m = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình có các
nghiệm x1,x2 thoả mãn : x1 3x2

HDÉn : *

3
4
0

3
4

'    

 m m *m = 1 (t/m)

Bài 54: Xác định giá trị của tham số k sao cho hai nghiệm x1,x2 ca phng trỡnh

x2- 6x+k = 0 thoả mÃn điều kiÖn : 3 2 20
2
1  x 

x

HDÉn : *'9k 0k 9 *k = -16 (t/m)

Bài 55: Cho phương trình :x2- (m+ 5)x- m+ 6 = 0. Xác địnhmđể giữa hai nghiệm
2
1,x

x ta

cã hÖ thøc : 2x1 3x2 13

HDÉn : *





















3
4
7

3
4
7
0

1
14

m
m
m

m * 







1
0

m
m

(t/m)

Bài 56: Cho phương trình :x2+ 2x+ 3k = 0 . Gọi
2
1,x

x là hai nghiệm của phương trình, khơng
giải phương trình hãy tìm giá trị của k để : x1 x2 14

HDÉn : *

3
1
0

3
1

'    

 k k *k = -16 (t/m)

Bài 57: Cho phương trình : 3x2- mx + 2 = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm
2
1,x

x ta cã
hÖ thøc : 3x1.x2 2x1 2

HDÉn : *















6
2

6
2
0

m
m

m * m = 7 (t/m)

Bài 58: Cho phương trình : (m + 3)x2- 3mx + 2m = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm
2

1,x

x ta cã hÖ thøc : 2x1x2 3

HDÉn : *




























24
0
3
0

24
0
3

m
m
m
m

m
m

* m = -1 (t/m)

Bài 59: Gọi x1 và x2 là những nghiệm của phương trình : 3x2- (3k - 2)x - (3k + 1) = 0 (1)
Tìm những giá trị của k để các nghiệm của phương trình (1) thoả mãn : 3x15x2 6

HDÉn : *

3
4
0

)
4
3

(  2   



 k k *








15
32
0

k
k

(t/m)

Bài 60: Cho phương trình :x2- (2m + 1)x + m2+ 2 = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm
2

1,x

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

HDÉn : *

4
7
0

4    



 m m *







3
4
2

m
m

lo¹i m =

3
4

Bài 61: Cho phương trình : x2+ (2 - 3m)x + m2 = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình
có các nghiệm x1,x2 thoả mãn : x1x2 x1x2

HDÉn : * 














25
2
0

4
12
5 2

m
m
m

m *







2
1

m
m

lo¹i m = 1

Bài 62: Cho phương trình bậc hai : (k + 1)x2- 2(k + 2)x + k - 3 = 0. Xác định k để giữa
hai nghiệm x1,x2 ta có hệ thức : (4x11).(4x2 1)18

HDÉn : *

6
7
0

7
6

'    

 k k * k = 7 (t/m)

Bài 63: Cho phương trình : x2- 2x + m = 0. Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm
phân biệtx1,x2 thoả mãn :

3
10

1
2
2

1  

x
x
x
x

HDÉn : * 1m0m1 *

3
10
2

4 

m

m (m0) m3 (t/m)

Bài 64: Cho phương trình : x2- 2(m- 2)x + (m2+ 2m - 3) = 0. Tìm m để phương trình có
hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn :

5
1

1 1 2

2
1

x
x
x
x





HDÉn : *

6
7
0

6
7

'    

 m m *








4
2

m
m

lo¹i m = 2

Bài 65: Tìm giá trị của m để phương trình : x2- 3mx + m2 = 0 có các nghiệm
2
1,x

x tho¶

m·n : x21x22  ,175

HDÉn : *5m2 0 *

2
1




m (t/m)

Bài 66: Xác định m để hai nghiệm x1,x2 của phương trình : x2+ 3x+ m = 0 thoả mãn
điều kiện : x21x22 34

HDÉn : *

4
9
0

9   



 m m * m =

2
25

 (t/m)

Bài 67: Tìm m để phương trình : x2- 5x+ 3m - 1 = 0 có hai nghiệm
2
1,x

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

HDÉn : *

12
29

29   



 m m * m =

5 (t/m)

Bài 68: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1,x2 của phương trình : mx2- 2(m - 2)x + m - 3 = 0
thoả mãn : x21x22 1

HDÉn : * 0 4

0
4

0   












m
m

m

*







8
2

m
m

lo¹i m = 8

Bài 69: Xác định m để phương trình : mx2- (12 - 5m)x- 4(1 + m) = 0 có tổng bình phương
các nghiệm là 13.

HDÉn : *















m
m

0
144
136

41
0

2 *







8
,1
4

m
m

(t/m)

Bài 70: Cho phương trình bậc hai :x2- 2(k - 2)x - 2k - 5 = 0 (k là tham số). Gọi
2
1,x

x lµ

hai nghiệm của phương trình, tìm giá trị của k sao cho : x21 x22 18

HDÉn : * '(k1)2 80 *








2
1

k
k

(t/m)

Bài 71: Xác định m sao cho phương trình : 3x2+ mx- 2 = 0 có các nghiệm
2
1,x

x tho¶

m·n :

9
13

2
2
1

2 x 

x

HDÉn : * m2 240 * m =1 (t/m)

Bài 72: Cho phương trình bậc hai : (2m - 1)x2+ 2(1 - m)x + 3m = 0. Xác định m để
giữa hai nghiệm x1,x2 ta có hệ thức : x21x22 4

HDÉn : *































10
21
1
10

21
1

2
1
0

1
5

0
1
2

m
m

m
m
m

* 







12
7
0

m
m

lo¹i m =

12
7

Bài 73: Cho phương trình :x2+ 2x + 3k = 0 . Gọi
2
1,x

x là hai nghiệm của phương trình,
khơng giải phương trình hãy tìm giá trị của k để :

a) x21 x22 10 b) x21x22 20

HDÉn : *

3
1
0

3
1

'    

 k k * a/ k = -16 (t/m) * b/ k = - 8 (t/m)

Bài 74: Cho phương trình :x2+ (m - 3)x - 2m + 1 = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm
2

1,x

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

HDÉn : * (m1)2 40 * m2- 14m + 13 = 0







13
1
m
m
(t/m)

Bài 75: Tìm giá trị củamđể phương trình : x2- 2mx+ 1 = 0 có hai nghiệm
2
1,x

x tho¶

m·n : x31x32 2

HDÉn : * 











1
1
0

1
' 2
m
m
m
*




















2
1
1
0
1
2
.
1
2
6

8 3 2

m
m
m

m
m

m lo¹i m =

-2
1

Bài 76: Cho phương trình :x2- 4x +m= 0. Tìm giá trị của mđể giữa hai nghiệm
2
1,x

x

tho¶ m·n : x31 x32 26

HDÉn : * '4m0m4 * m = 6

1 ( loại)
Bài 77: Cho phương trình :x2+mx +n- 3 = 0 (1)

Tìmmvànđể hai nghiệmx1, x2của phương trình (1) thoả mãn hệ thức








7
1
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x

HDÉn : *=m2–4n + 120
*







7
1

2
2
2
1
2
1
x
x
x
x






3
4
2
1
x
x

thay vµo (1):


















15
7
6
3
13
4
n
m
n
m
n

m (t/m)

Bài 78: Cho phương trình :x2+mx +n = 0 . Tìmm, nbiết phương trình có hai nghiệmx
1,

x2 tho¶ m·n








7
1
3
2
3
1
2
1
x
x
x
x

HDÉn : *=m2–4n 0 *








7
1

3
2
3
1
2
1
x
x
x

x

 






















2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x

+Tõ (1): 2( / )

3
2
1
m
t
n
m
n
m
n

m













; +Tõ (2): ( / )

2
3
1
4
2
m
t
n
m
n
m
n
m


















Bài 79: Xác định các hệ sốpvàqđể hai nghiệmx1, x2của phương trình:x2+px + q = 0
thoả mãn điều kiện








35
5
3
2

3
1
2
1
x
x
x
x

HDÉn : *=p2–4q 0 *






























)
/
(
6
1
)
/
(
6
1
90
15
25
4
2
m
t
q
p
m
t

q
p
q
q
p

Bài 80: Cho phương trình x2 2



m2



xm10. Gọix

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

trình. Tìm giá trị củamđể









2
1
2

1 1 2x x 1 2x m

x    

HDÉn : *'= 0

4
3
2

32  






 m



1
1
1

2
1

HDÉn : *=



m4



2 0

* m

x
x   1

1
1
1
2
1 4
33
7
0
2
7

2 2      

 m m m

Bài 82: Giải phương trình x2 mx60. Biết rng hai nghim

x và x2thoả mÃn hệ thức:

1029
3
9

3
9 3
2
2
2
1
3
1
2
2

1x x  x x  x 

x (*)

HDÉn : *=m2- 24 0








6
2
6
2
m
m

*






6
2
1
2
1
x
x
m
x
x

(*)



9 x

1

x

2



x

1



x

2

 



3 

x

1



x

2





3 x

1

x

2



x

1



x

2







1029





3 343

2
1  

 x x  x1 x2 7m7(t/m)

Phương trình:x2- 7x+ 6 = 0 có x

1=1; x2=6

Bài 83: Cho phương trìnhx2- ( 2m+ 1)x+m2+m= 0. Tìm các giá trị củamđể phương
trình có hai nghiệm thoả mãn: - 2<x1<x2<4

HDÉn : *= 1>0 *x1=m,x2=m+ 1  x1<x2

Do đó: 2 3

3
2
4

1   















m
m
m
x
x

Bài 84: Tìm các giá trị của tham sốasao cho phương trình:x2+ 2ax+ 4 = 0 (1) có các
nghiệmx1, x2 thoả mãn điều kiện 3

2
1
2
2
2
1 













x
x

x
x

HDÉn : *'=a2- 4 0







2
2
a
a

* 2 3

2
1
2
2
1
2
1
2
2
2

1  






















x
x
x
x
x
x
x

x





2 2 5

2
1
2
1
2
2
1 

 

x
x
x
x
x
x
5
4
8
4 2

a (vì

2
2
a
a

nên4a2- 8 > 0 )

)
/
(
5
2
5
2

2 a t m

a     



</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

x2+ax + 1 = 0 tho¶ m·n 7
2
1

2
2
2

1 















x
x
x

x

HDÉn : *'=a2- 4 0









2
2

a
a

* 2 7

2
1
2
2
1
2
1
2
2
2

1  


























x
x
x
x
x

x
x

x





2 2 9

2
1

2
1
2
2

1 








  



x
x

x
x
x

x



2 2

2 9

a

3
9
2

2

a (vì

2
2

a
a

nên a2- 2 > 0 )

)

/
(
5
5

2 a t m

a   



Bµi 86:

a) Cho hai phương trìnha2x2+bx+c= 0 (1) vàcx2+bx+a2= 0 (2) (Với a>c>0)
Giả sử phương trình (1) có hai nghiệmx1, x2;phương trình (2) có hai nghiệm x1',x2'
Chứng minh rằng:x1x2+ x1'.x2'2

b) Cho các phương trìnhax2+bx+c= 0 (a0) (1) vàcx2+dx+a= 0 (c0) (2)
Biết rằng phương trình (1) có các nghiệm làmvàn, phương trình (2) có các nghiệm làp

vµq. Chøng minh r»ngm2+n2+p2+q2 4.

HDÉn :

a) Điều kiện để 2 phương trình có nghiệm: b2- 4a2c0
-Ta có x1x2 + x1'.x2'2 . 2

2
2 c 

a
a

c

b)

a
c
mn
n

m2  2 2 2 ;

c
a
pq
q

p2  2 2 2
4
2
.
2
2

2
2
2

2  







 







c
a
a
c
q

p
n
m

Bài 87: Cho phương trình ax2 bxc0 (1) có 2 nghiệm dươngx

1, x2

a) Chứng minh rằng phương trình cx2 bxa0 (2) cũng có 2 nghiệm dương

4
3,x

x

b) Chøng minh r»ng S = x1 x2 x3 x4 4

HDÉn :

a)Phương trình (2) có 2 nghiệm dương khi và chỉ khi:








































0
0

0
4
0

0
0
4

4
3

ac
bc

ac
b

c

c
a
x
x

c
b
x

x

ac
b

(I)

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>


































0
0
0
4
0
0
0
0
4
2
2
1
2
1
2
ac
ab
ac
b
c
a

c
x
x
a
b
x
x
ac
b













0
0
0
4
0
2
ac
bc

ac
b
c
(II)

-Tõ(I)vµ (II) kết luận?

b) Cách 1: Nếu là nghiệm của (1) thì a2 b c0

Thay

x vào (2) ta có: 12 .1     2 0





  


 b a c b a

c



 là nghiệm của (2). Do đó nếu x1, x2là nghiệm của (1) thì

2
4
1

3 x1 ,x x1

x   lµ 2 nghiƯm cđa (2).

VËyS = 1 1 2 2 4

2
2
1

1   
















x
x
x

x (Bất đẳng thức Cơsi)

C¸ch 2:



x1x2

 

 x3 x4



2



x1x2  x3x4



=2 2.2 . 2.2.14







c
a
a
c
c
a
a
c

Bài tốn 9:So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0.

Phương pháp:Phương trình bậc hai ax2+bx+c = 0 ( a0)

1)PTB2 cã 2 nghiƯm tr¸i dÊu  P< 0 ac0

- Đặc biệt PTB2 có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm

dương

 









0
0
'

S hc 




0
0
S
P

2) PTB2 cã 2 nghiƯm cïng dÊu

 









0
0
'
P

a- PTB2 cã 2 nghiƯm cïng ©m

 












0

0
0
'
S
P

b- PTB2 có 2 nghiệm cùng dương

 












0
0
0
'
S
P

3) P TB2 có 2 nghiệm là 2 số nghịch đảo của nhau

 










1
0
'
P

4)P TB2 có 2 nghiệm là 2 số đối nhau ( 2nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt

đối)

 









0
0
'

S hc 




0
0
S
P

Bài 88: Tìm các giá trị củamđể phương trình:

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

b)x2-2mx + (m-1)2= 0 có 2 nghiệm dương. ( 1

1 m )

c) 2x2-2(m + 1)x +m = 0 có 2 nghiệm âm.

1
0

0
1

m
m
m

không xảy ra.

Bi 89: Tỡm cỏc giá trị củamđể phương trình:

a) x2-2(m+ 1)x +m - 4 = 0 có 2 nghiệm trái dấu. (m< 4)
b)x2-2(m+ 1)x +m2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt cùng dương. (- 0

xk50 cã 2 nghiƯm ©m. 







  2

1 k

x2 2mxm10 có 2 nghiệm dương.
















1
1

m
m

Bài 92: Tìm giá trị củamđể phương trình:

a) mx2 2



m1



xm2 0 cã 2 nghiƯm tr¸i dÊu. (0<m< 4)

b) x2-2(m+ 1)x +m2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt cùng âm.

1
02

m1



Bài 94: Tìm giá trịmđể phương trình:

a) 2x2+mx +m- 3 = 0 có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn

nghiệm dương. ( 0<m< 3)

b)x2- 2(m- 1)x +m- 3 = 0 có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt

i. (m= 1)

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

x7m10 có 2 nghiệm đối nhau. (m= 2)
Bài 96: Cho phương trình:x2- 2(m+ 1)x+ 3m+ 1 = 0. Xác định điều kiện của mđể 2

nghiệmx1vàx2là độ dài hai cạnh một hình chữ nhật.




















1
0
3
1
m
m

Bài 97: Xác địnhmđể phương trìnhx2- (m+ 1)x+ 2m= 0 có hai nghiệm phân biệt sao
chox1, x2là độ dài hai cạnh góc vng của một tam giác vng có cạnh huyền bằng 5.


















































6
4
;
6
0
1
8
3
;
8
3
5
0
0
0
2

2
2
2
1
m
m
m
m
m
m
m
x
x
P
S

Bài 98: Số đo hai cạnh góc vng của một tam giác vng là nghiệm của phương trình bậc hai



m2



x2 2



m1



xm0. Hãy xác định giá tr cam s o ng cao ng

với cạnh huyền là

5
2 .
*

































2
0
0
0

0
2
'
m
m
S
P
m

* 4( / )

5
2
1
1
1
2
2
2
2
1
m
t
m
x

x  










 khi đó x1= 1;x2= 2

Bài 99: Tìm các giá trị củamđể phương trình x2 mxm2 m30 (m>0) có hai nghiệm

x1, x2 tương ứng là độ dài hai cạnh AB, AC của ABC vuông ở A và BC = 2.
Bài tốn 10:Tìm giá trị của các tham số để hai phương trình bậc hai đã cho tương

đương với nhau.( Trong trường hợp mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt)

Phương pháp:- Chỉ ra một phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
- Lập hệ phương trình








4
3
2
1
4

3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x

- Giải hệ phương trình tìm giá trị của các tham số.
- Thử lại, rút kết luận.

Bài 100: Cho phương trình bậc hai x2 



mn



x



m2 n2



0 (1)

Tìm m và n để phương trình (1) tương đương với phương trình x2 x50 (2)

*Phương trình (2) có ac = - 5<0 (2) có 2 nghiệm phân biệt.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

*Thư l¹i, rót kÕt luËn.

Bài 101: Cho hai phương trình x2 



2mn



x3m0 (1) và x2 



m3n



x60 (2)
Tìmmvànđể các phương trình (1) và (2) tương đương.

*Phương trình (2) có ac = - 6<0 (2) có 2 nghiệm phân biệt.
*




















1
2
6

3
2

n
m
m

3
9

4
3
3




















n
m
n

m

*Thư l¹i, rót kÕt ln.

Bài tốn 11:Tính giá trị của biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc
hai theo tham số.

Phương pháp:- Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm

 











0
'
0

a

- TÝnh tæng S, tÝch P theo tham sè.

- Biến đổi biểu thc ó cho xut hin S, P.

- Thay giá trị S, P tính giá trị của biểu thức theo tham sè.

Bài 103: Cho phương trình



2m1



x2 2



m4



x5m20. Trong trường hợp phng

trình có nghiệm, tính theomtổng S và tích P của c¸c nghiƯm.

*























1 2

1
0

1
2

m
m
m

*S =





1
2

4
2




m

m ; P =

1
2

2
5




m
m

Bài 104: Cho phương trình x2 mxm70. Khơng tính nghiệm x

1, x2 theomh·y tÝnh:
a) A = x12 x22

b) B = x13 x23

*



















2
4
2

2
4
2
0

14
2

m
m
m

m *













2
1

m
x
x

m
x

x

* A = m2 2m14 ; B = m3 3m2 21m

Bài 105: Cho phương trình x2 (2m1)xm0. Tính A =

2
1
2
2
2

1 x 6x x

x   theom.

(x1, x2 là hai nghiệm của phương trình)

* 4m2 1 * A =



2m1



Bài 106: Cho phương trình



m4



x2 2mxm20. Khơng giải phương trình để tìmx

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

a) A = x12 x22 c) C =

2
1

1
1

x
x 

b) B = x13 x23 d) D = 2

2
2
1

1
1

x
x 

*





















3
4
4
0

8
6
4

m
m
m

m

* a) A =





2
2

4
16
12
2





m
m

m c) C =



m
m

b) B =









3
2

4
19
18
2





m
m
m

m d) D =





2
2

2
16
12
2





m
m
m

Bài 107: Cho phương trình x2 2



m1



xm40

Khơng giải phương trình tìm x1,x2 hãy tính giá trị các biểu thức sau theo m:
a) x1 x2 c) x31x32

b) x21 x22

* 0

4
19
2

1 2

'   






 


 m

* a)



 



4 4



2 5



2
1
2
2
1
2
2

1 x  x x  x x  m m

x 2 2 5

1    

 x x m m

b) x21x22= (x1 x2)(x1x2)4



m1



m2 m5

c) x31 x32= (x1x2)(x21 x1x2 x22) = (x1 x2)





x

1



x

2





x

1

x

2



= 2 m2 m5



4m2 7m8



Bài 108: Cho phương trình ax2 bxc0 (a0) có hai nghiệm

2
1,x

x . TÝnh theo a,b,c

c¸c biĨu thøc sau:

a) M =



5x13x2

x
x
x

x

x
x

x










Bài tốn 12:Tìm giá trị của tham số để một biểu thức của x1,x2 đạt giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất.

(x1,x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai chứa tham số)

Phương pháp: - Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm

 











0
'
0

a

- TÝnh tæng S, tÝch P theo tham sè.

- Biến đổi biểu thức đã cho xuất hiện S, P.

- Thay giá trị S, P tính giá trị của biểu thức theo tham sè.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

chất của bất đẳng thức tìm giá trị của tham số.
- Đối chiếu điều kiện rút kết luận.

Bài 109: Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình x2 2



m1



x2m100. Tìm giá

trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = 10x1x2 x21 x22

* 
















2
1
0

0
1

2m 2   Amin  m

Bài 112: Cho phương trình x2 2



m1



xm30. Tìm giá trị của m P =

2
2
1
2 x

x

Có giá trị nhỏ nhất.

* 0

4
7
2
3 2

'   






 


 m

* P =

4
5
4

15
4
15
2

2 min














 m P m

Bài 113: Cho phương trình x2 mxm10. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

2
1
2
2
1

2 x 6x x

x  

và giá trị tương ứng củam.
*



m2



2 0

* A =



m4



2 88 Amin 8m4
Bµi 114:

1) Cho phương trình x2 mxm10. Gi

2
1,x

x là các nghiệm, tìm giá trị nhỏ nhất
của A = x21 x22.

2) Cho phương trình 2x2 2(m3)xm10. Xác định giá trị củamđể

2
2
1
2 x

x 

đạt giá trị nhỏ nhất.

1) abc1mm10  phương trình ln có nghiệm.

A=1



m1



2 1 Amin 1m1

2 x x  x x

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

*' 



m1



2 0

8
9
8

9
8

9
8
9
4
9
2
2
9
18

8 2 2    min   






 






 m m m A m

A

Bài 116: Cho phương trình x2 2(m2)x6m0 (1). Gọi

2
1,x

x là các nghiệm của phương
trình (1) . Tìm giá trị nhỏ nhất của x21x22.

*' 



m1



2 30

* x21 x22=









2
1
15

15
15
1

2m 2    x21x22 min  m

Bài 117: Cho phương trình x2 2(m2 1)x5m10. Tìm các giá trị củamvà các nghiệm

2
1,x

x của phương trình sao cho tổng x21 x22 có giá trị nhỏ nhất.

* Giả sử phương trình có nghiệm ta có: x1x2 2m2 22(x1 x2)min 2
0


m

*m =0 : x2 2x10x1,2 1 2
Bài 118: Cho phương trình ax2 



ba1



xm2 1 (1)

a) Với a ;1b2. Chứng minh rằng phương trình (1) ln có hai nghiệm x1,x2 với
mọi giá trị củam.

b) Tìmmđể cho x21 x22 đạt giá trị nhỏ nhất và tính nghiệm trong trường hợp này.
a) x2 2xm2 10 có ' m2 20mR

b) *x21 x22= 2m2 66



x21x22



min 6m0
* m0:x2 2x10 x1,2 1 2

Bài 119: Cho phương trình 2x2 (2m1)xm10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = x21x22 x1x2
*



2m3



2 0

4
5
16

3
16

3
4

2
5
2

min
2














 

 A m

m
A

Bài 120: Gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình sau, tìm giá trị củamđể x21 x22 có giá trị
nhỏ nhất.

1) x2 



2m1



xm20

2) x2 2



m1

 

x m1



0

1) 4



m1



2 50

2
2
1
2 x

x  =    







 




4
11
4
11
2

3
2
5
6

4m2 m m 2





4
3
4

min
2
2

2 x  m

x

2) 4m2 50

2
2
1
2 x

x  =    






 




4
5
4
5
2

1
2
3
2
4

2 m m

m





4
1
4

min
2
2
1

2 x  m

x

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

nhá nhÊt.

1) x2 2



m2

 

x 2m7



0

2) x2 2



m2



x3m100

1) 














3
1
0

3
2

2
'

m
m

m

2
2
1
2 x

x  = 4m2 12m2



2m3



2 7

+ m3 A



2.33



2 72

+ m1 A



 

1 3



2 718

Suy ra Amin 2m3

2) 















3
2
0

2
'

m
m
m

m

2
2
1
2 x

x  =

4
41
2

5
2

4
10

4 2 2 






 



 m m

m

+ 2

4
41
2

5
3
.
2
3









 



 A

m

 

4
41
2

5
2
.
2

2    2  



 A

m

Suy ra Amin 2m3

Bài 122: Gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình sau, tìm giá trị củamđể x1x2 có giá trị
nhỏ nhất.

1) x2 

2 40



 

2 1



2 4

1x  m 

x









2 4

1   

 x x m





2 4 2

1     

 x x m



1  2



min 2 1

 x x m
















1 3
1
0

1
2
3 2
'

m
m
m

m ; 12 2 8 4

1 x  m  m

x

* 0

3
1

2
1 




 x x

m

*m1 x1x2 0

Suy ra

















1 3
1
0

min
2
1

m
m
x

x

Bài 123: Cho phương trình x2 2(m1)xm2 4m30. Xác địnhmđể hiệu giữa tổng

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>





2 2 5





2 6 6

2
1
2

1x x x m  m  m  

x







1 2  1 2



max 6 1

 x x x x m (t/m)

Bài 124: Cho phương trình x2 (m1)xm0 (1). Gọi

2
1,x

x là nghiệm của phương trình (1)

Tìm giá trị củamđể biểu thức B = x21x2 x1x22 đạt giá trị lớn nhất.





0
* m 2 

* B =

2
1
4

1
4

1
4
1
2
1
)

( max

2
2

2
1
2

1       






 






x m m m B m

x
x
x

Bài 125: Cho phương trình mx2 2mx3m10. Tìm giá trị củamđể các nghiệm

2
1,x

x

của phương trình trên có tích x1x2 lớn nhất.
*

2
1
0

0
2
0

2   












m
m

* x1x2=

m

m 1 3 1

3   

Do 0<m

2
1

 nªn x1x2 lín nhÊt 

m

1 nhá nhÊt m lín

nhÊt

2
1



m . Suy ra (x1x2)max1

Bài 126: Cho phương trình bậc hai (ẩn làx): x2 2



m1



x2m50. Tìmmsao cho

A =1210x1x2 



x21x22



đạt giá trị lớn nhất.

* 













2
2
0

2
'

m
m
m

*A=1210x1x2 



x21 x22



= 4m2 24m32



2m6



2 44

max  m

A

Bài 127: Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình x2 (m1)xm2 2m20. Tìmm

để x21x22 đạt GTNN, GTLN.

*

3
7
1

0
7
10

3 2      




 m m m

* A x21x22 m2 6m36



m3



2; Do

1m nªn

9
50
2 A

VËy Amin 2m1
3
7
9

max  m

A

Bài 128: Cho phương trình



m2 m1

 

x2  m2 8m3



x10 có hai nghiệm

2
1,x

x . Tìm
GTNN và GTLN của biểu thức S = x1x2

* 0

3
2
1
1

2   






 




m m m

a ,c= -1




ac 0 phương trình ln có nghiệm.





8 3









3 0

1
3

8 2 2 2

2
2


















 S m m m m S m S m S

m
m

m
m
S

3
13
2
3

13
2
3

52
0

3 2    2    




</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

VËy

3
13

3
4
13
3

13
2

min








 m

S

13
2
3

3
4
13

13
2

max






 m

S

Bài 129: Cho phương trình x2 mxm10

1) Chứng tỏ rằng phương trình ln có nghiệm.
2) Tìm GTNN và GTLN của biểu thức





2
3
2

2
1
2

2
1

2 1 2 



x
x
x

x

x
x
A

1) 



m2



0mR

2) 2 2 1 0

2
1

2 2

2      


 Am m A

m
m
A

1
2

1
0

2 2      




 A A A

VËy 2

2
1

min  m

A

max  m

A

Bài toán 13:Chứng minh một biểu thức giữa hai nghiệm x1,x2 của phương trình bậc
hai không phụ thuộc vào giá trị của tham số.

Phương pháp: - Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm

 











0
'
0

a

- Biến đổi biểu thức đã cho xut hin x1+x2, x1.x2

- Thay giá trị của x1+x2, x1.x2 (tính theo m)

-Rút gọn biểu thức có giá trị là mét h»ng sè.

Bài 130: Cho phương trình x2 2(m1)xm40 có hai nghiệm

2
1,x

x .Chøng minh r»ng
BiĨu thøc H = x1



1x2



x2



1x1



kh«ng phơ thc vµom.

* 0

4
19
2

' 2  





x2



20072008x1



kh«ng phụ thuộc vào giá trị
củam.

* 0

4
15
2

1
'

m

* Q2007

x1 x2

4014x1x2 2007



2m2



4014



m3



16056

Bài tốn 14:Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1,x2 thoả mãn một điều kiện

nào đó của giả thiết.

Phương pháp: - Tính tổng (S), tích (P) của hai nghiệm.

-áp dụng định lý đảo định lý Viét lập phương trình X2–SX + P=0

Bài 132: Cho phương trình x2  pxq0 có hai nghiệm

2
1,x

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

BËc hai cã c¸c nghiƯm lµ
2
1

x
x vµ

1
2

x
x .

* S =

q
q
p2 2

; P = 1

* Phương trình: qx2 



p2q



xq0

Bài 133: Cho phương trình ax2 bxc0



a0,c0



với các nghiệm  và . Hãy lập

một phương trình bậc hai có các nghiệm là


 vµ









0
,

0 

 







ac
ac

b 2

2 2

2
2

2 


























; . 1





* Phương trình : 2  2 2 x10acx2 



b2 2ac



xac0

ac
ac
b

x

Bài 134: Lập một phương trình bậc hai mà các nghiệm của nó bằng tổng và tích các nghiệm
của phương trình ax2 bxc0



a0



a

b
x
x

y1  1 2  ;

a
c
x
x
y2  1 2 

a
b
c
y

y1  2   ; 1 2 2

a
bc
y

y 

*Phương trình: 0 2 2





2     a y abc ybc

a
bc
y
a

b
c
y

Bài 135:Gọi x1 và x2là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax2 bxc0



a0



.

Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là x21 và x22.
* 21 22



1 2



2 2 1 2 2 22

a
ac
b

x
x
x

x
x

x       ; x21.x22 =





2

2
2
2
1x ac

x 

*Phương trình: 2 0 2 2



2 2



2
2
2

2     a x  b  ac xc

a
c
x
a

ac
b

x

Bài 136: Cho phương trình x2 5mx10 (1) có hai nghiệm

1,x

x .Lập phương trình bậc
hai có các nghiệm y1,y2 thoả mãn:

a) Là số đối các nghiệm của phương trình (1).
b) Là nghịch đảo các nghiệm của phương trình (1).

a/ y1 y2 



x1x2



5m; .y



121212xxxxy1

Phương trình: y2 5my10

b/ m

x
x

x
x
x
x
y

y 1 1 5

2
1

2
1
2

1 






 ; . 1 . 1 1 1

2
1
2
1
2

1 y  x x  x x 

y

Phương trình: y2 5my10

Bài 137: Cho phương trình bậc hai ax2 bxc0 (1)



a0



, có hai nghiệm khác 0. Tìm

một phương trình bậc hai mà các nghiệm của nó :
a) Khác dấu với nghiệm của phương trình (1).

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

3



b2 1





3 27



b2 1



</div>


PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 CHỨA THAM SỐ

Tài liệu Ôn tập môn Tư tưởng Hồ Chí Minh pptx

Phương Trình bậc cao chứa tham số .BDHSG

Tài liệu ôn tập môn tư tưởng Hồ Chí Minh pptx

Tài liệu ôn tập môn “Tư tưỏng Hồ Chí Minh” pdf

tài liệu ôn tập môn văn lớp 9

tài liệu ôn tập t a lớp 9

Bài tâp phương trình bậc 2 chứa tham số

Bảng hệ thống hóa các loại hợp chất vô cơ Tài liệu học tập môn Hóa lớp 9

Tài liệu ôn tập môn văn lớp 11 tham khảo

Tải Chuyên đề bài toán phương trình bậc hai chứa tham số - Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 9

Chuyên đề

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub></sub>

<sub></sub>













 



 

 



































<sub> </sub>

<sub> </sub>







 

 



































9

<i>x</i>

<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>

 



3



<i>x</i>



<i>x</i>





3

<i>x</i>

<i>x</i>



<i>x</i>