Tính toán mô phỏng dòng chảy bằng phương pháp không lưới

Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
--------------------------

NGUYỄN DUY KHƯƠNG

TÍNH TỐN – MƠ PHỎNG DỊNG CHẢY
BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI
Chuyên ngành: CƠ HỌC KỸ THUẬT

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 6 năm 2010

i 


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trương Tích Thiện

Cán bộ chấm nhận xét 1 :

Cán bộ chấm nhận xét 2 :

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN
THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày . . . . . tháng . . . . năm . . . . .

ii

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
----------------

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHIÃ VIỆT NAM
Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc
---oOo--Tp. HCM, ngày . . . . . tháng . . . . . năm . . . . . .

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: NGUYỄN DUY KHƯƠNG

Phái: Nam

Ngày, tháng, năm sinh: 16-09-1984

Nơi sinh: Tp. Hồ Chí Minh

Chuyên ngành: Cơ học Kỹ thuật
MSHV: 02307198
1- TÊN ĐỀ TÀI:
TÍNH TỐN – MƠ PHỎNG DỊNG CHẢY
BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI
2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN:
- Tổng quan về tính tốn động lực học lưu chất.
- Tìm hiểu về phương pháp số không chia lưới (MeshFree method)
- Thiết lập giải thuật, thực hiện chương trình tính tốn, mơ phỏng dịng chảy phương pháp
khơng lưới.
- So sánh kết quả của phương pháp này với lời giải giải tích và phương pháp số khác.

3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 19-02-2009
4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 30-6-2010
5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN
Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua.

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
(Họ tên và chữ ký)

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH
(Họ tên và chữ ký)

iii

KHOA QL CHUYÊN NGÀNH
(Họ tên và chữ ký)


LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập và nghiên cứu, tơi đã gặp phải rất nhiều khó khăn và trở ngại. Tuy
nhiên, với sự nỗ lực không ngừng của bản thân cộng thêm nhận được sự giúp đỡ vô cùng q
báu từ phía các thầy cơ trong bộ mơn Cơ Kỹ Thuật cũng như nguồn động viên từ phía gia
đình và bạn bè, tôi đã vượt qua những trở ngại đó để có thể hồn thành tốt luận văn này. Sự
thành công của luận văn là nguồn động viên to lớn đối với tơi, để tơi có thể tiếp tục theo đuổi
con đường nghiên cứu và truyền đạt lại kiến thức cho thế hệ mai sau.
Trong thời gian học cao học tại trường Đại học Bách Khoa, tôi học được nhiều kiến thức từ
các thầy cô trong bộ môn Cơ Kỹ Thuật. Nhờ đó, tơi có thể bổ sung thêm những kiến thức mới
và giờ đây tơi đã có thể tự cập nhật kiến thức cũng như tự nâng cao trình độ của mình.
Nhân dịp này, tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS.Trương Tích Thiện - là người

thầy đã dìu dắt tơi những bước đi đầu tiên trên con đường khoa học này. Và tôi cũng muốn
gửi lời cảm ơn chân thành TS. Vũ Cơng Hịa - chủ nhiệm bộ môn Cơ Kỹ Thuật đã giúp đỡ tơi
rất nhiều, tạo mọi điều kiện cho tơi hồn thành tốt luận văn thạc sỹ. Tôi cũng muốn gửi lời
cảm ơn đến GS.TS.Ngô Kiều Nhi cùng các thầy cô, đồng nghiệp trong bộ mơn Cơ Kỹ Thuật,
phịng Thí Nghiệm Cơ Học và phịng Tính Tốn Khoa Học đã hỗ trợ và truyền đạt những kiến
thức quý báu để tôi có thể hồn thành tốt luận văn này.
Cũng nhân đây, tôi xin gửi lời cảm ơn đến bạn bè tôi - tập thể lớp Cao học ngành Cơ Kỹ
Thuật khóa 2007 đã hỗ trợ tơi trong q trình học tập và thực hiện luận văn. Cuối cùng, tôi
xin gửi lời cảm ơn đến gia đình tơi đã cổ vũ và động viên tơi trong q trình học tập và thực
hiện luận văn thành cơng.

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2010
Học viên thực hiện

iv


TĨM TẮT LUẬN VĂN

Để giải bài tốn động lực học lưu chất, ta sẽ dùng phương trình Navier-Stocks. Muốn có được
lời giải tốt, các nhà nghiên cứu phải sử dụng đến phương pháp số như phương pháp sai phân
hữu hạn (FDM) và phương pháp thể tích hữu hạn (FVM). Các phương pháp kể trên đều sử
dụng lưới kết nối các nút để tạo thành các phần tử. Trong luận văn này, tác giả sẽ sử dụng
phương pháp số khác đó là phương pháp không lưới (Meshless Method) cụ thể là phương
pháp Smoothed Particle Hydrodynamics – SPH để giải phương trình Navier – Stocks. Sử
dụng phương pháp SPH, việc giải bài tốn động lực học lưu chất khơng cần phải chia lưới bài
toán như trong phương pháp FDM và FVM mà tính tốn dựa trên các nút gọi là các hạt
(particle). Tác giả sẽ xây dựng chương trình tính tốn sử dụng ngôn ngữ Matlab dựa trên giải
thuật của phương pháp SPH, để làm một số bài ví dụ điển hình mà ta thường sử dụng để đánh
giá sai số của phương pháp là “Poiseuille flow”, “Couette flow” và “Shear driven cavity”.

Lời giải của các bài tốn trên có so sánh với lời giải giải tích và lời giải thu được từ chương
trình ANSYS Multiphysics sử dụng phương pháp FVM.
Luận văn về đề tài “Tính tốn – mơ phỏng dịng chảy bằng phương pháp khơng lưới” được
trình bày trong 5 chương.

v


DANH SÁCH HÌNH VẼ

STT
1

Hình số
Hình 2.1

Tên hình

Trang

Mơ phỏng ứng xử của dịng nước và tường chắn

6

trong q trình tương tác
2

Hình 2.2

Mơ phỏng tương tác giữa cát và nước có tường

6

chắn
3

Hình 2.3

Mơ phỏng dịng nước tương tác với đập chắn

7

4

Hình 2.4

Mơ phỏng dịng nước chảy qua vật thể

7

5

Hình 2.5

Mơ phỏng sự trộn lẫn giữa lưu chất và chất rắn

7

6

Hình 2.6

Mơ phỏng tên lửa bay với vận tốc siêu âm

8

7

Hình 2.7

Mơ phỏng va chạm vật rắn

8

8

Hình 2.8

Mơ phỏng va chạm trong bài tốn cắt

8

9

Hình 2.9

Mơ phỏng dịng chảy trong ống

8

10

Hình 2.10

Miền hỗ trợ có hình dáng và kích thước khác

12

nhau tại các điểm khác nhau
11

Hình 2.11

Miền ảnh hưởng cho nút 1, 2, 3 và 4 khi xấp xỉ

13

biến tại điểm x
12

Hình 2.12

Mơ hình phân tán sử dụng cho khái niệm miền

14

ảnh hưởng với vòng tròn biểu diễn miền ảnh
hưởng tương ứng với hạt thứ i
13

Hình 2.13

Mơ hình tập trung sử dụng cho khái niệm miền

14

hỗ trợ với vòng tròn biểu diễn miền hỗ trợ của
hạt thứ i
14

Hình 2.14

Hàm trọng số spline bậc ba và đạo hàm bậc nhất
của nó

vi
vi

16

Ghi chú


15

Hình 2.15

Hàm trọng số Gaussian và đạo hàm bậc nhất của

17

nó
16

Hình 2.16

Hàm trọng số spline bậc 5 và đạo hàm bậc nhất

18

của nó
17

Hình 2.17

Miền hỗ trợ của hàm mịn hóa W nằm bên trong

21

miền bài tốn
18

Hình 2.18

Miền hỗ trợ của hàm mịn hóa W giao với miền

21

bài tốn tại biên bài tốn
19

Hình 2.19

Xấp xỉ hạt sử dụng các hạt bên trong miền hỗ trợ

22

của hàm mịn hóa W cho hạt thứ i
20

Hình 2.20

Thể tích kiểm sốt hữu hạn V dạng Lagrangian

24

và bề mặt bao quanh S
21

Hình 2.21

Phần tử lưu chất vi phân dạng Lagrangian

25

22

Hình 2.22

Sự thay đổi thể tích của thể tích kiểm sốt dạng

26

Lagrangian
23

Hình 2.23

Lực tác động theo phương x lên phần tử lưu chất

28

vi phân dạng Lagrangian
24

Hình 3.1

Nhân và xấp xỉ hạt SPH cho những hạt nằm bên

41

trong và trên biên
25

Hình 3.2

Hình ảnh hạt thực và hai loại hạt ảo được dùng

42

để mơ phỏng biên rắn
26

Hình 3.3

Kích thước miền hỗ trợ và những hạt gần hạt thứ

44

i
27

Hình 3.4

Lưu đồ giải thuật sử dụng phương pháp SPH cho

46

bài toán động lực học lưu chất
28

Hình 4.1

Mơ hình bài tốn “Couette flow”

47

29

Hình 4.2

Mơ hình hạt thực và hạt ảo trong miền bài toán

49

vii
vi


30

Hình 4.3

Vận tốc ban đầu của hạt ảo nằm ở biên trên

50

31

Hình 4.4

Những hạt lân cận

51

32

Hình 4.5

Vector vận tốc tại các thời điểm

52

33

Hình 4.6

Phân bố vận tốc tại các thời điểm

54

34

Hình 4.7

Đồ thị so sánh vận tốc giữa lời giải SPH và lời

55

giải chuỗi theo thời gian
35

Hình 4.8

Phân bố vector vận tốc khi dịng ổn định trong

58

chương trình ANSYS
36

Hình 4.9

Mơ hình bài tốn “Poiseuille flow”

61

37

Hình 4.10

Mơ hình hạt thực và hạt ảo trong miền bài tốn

63

38

Hình 4.11

Gia tốc của tất cả các hạt nằm trong miền bài

64

tốn
39

Hình 4.12

Vector vận tốc tại các thời điểm

65

40

Hình 4.13

Phân bố vận tốc tại các thời điểm

67

41

Hình 4.14

Đồ thị so sánh sai số giữa lời giải SPH và lời giải

68

chuỗi
42

Hình 4.15

Phân bố vector vận tốc khi dịng ổn định trong

71

chương trình ANSYS
43

Hình 4.16

Mơ hình bài tốn “Shear driven cavity”

74

44

Hình 4.17

Mơ hình hạt thực và hạt ảo trong miền bài tốn

76

45

Hình 4.18

Vận tốc của hạt ảo nằm ở biên trên

77

46

Hình 4.19

Những hạt lân cận

77

47

Hình 4.20

Trường vector vận tốc ở bước thứ 2500

78

48

Hình 4.21

Phân bố vận tốc tại bước thứ 2500

81

viii
vi


49

Hình 4.22

Phân bố vector vận tốc khi dịng ổn định trong

83

chương trình ANSYS
50

Hình 4.23

Đồ thị so sánh kết quả Vx tại x=0,00055 giữa

84

phương pháp SPH và chương trình ANSYS
51

Hình 4.24

Đồ thị so sánh kết quả Vy tại y=0,0005 giữa
phương pháp SPH và chương trình ANSYS
Multiphysics

ix
vi

85


DANH SÁCH BẢNG BIỂU
STT Bảng số
Tên bảng
Trang
Bảng
thống
kê
sai

số
của
hạt
có
tọa
độ
1
Bảng 3.1
56
ban đầu x=0 ở các bước thứ 100
(t=0,01s), 1000 (t=0,1s) và 6000
(t=0.6s)
2
Baûng 3.2 Bảng thống kê số liệu vận tốc và sai số
59
của lời giải SPH với lời giải chuỗi và
với lời giải phương pháp FVM khi
dòng ổn định
Bảng
thống kê sai số của hạt có tọa độ
3
Bảng 3.3
69
ban đầu x=0 ở các bước thứ 100
(t=0,01s), 1000 (t=0,1s) và 6000
(t=0.6s)
4
Baûng 3.4 Bảng thống kê số liệu vận tốc và sai số
72
của lời giải SPH với lời giải chuỗi và

với lời giải phương pháp FVM khi
dịng ổn định

x

Ghi chú


MỤC LỤC
Đề mục

Trang

Trang bìa

i

Phiếu chấm nhận xét

ii

Nhiệm vụ luận văn

iii

Lời cảm ơn

iv

Tóm tắt luận văn

v

Danh sách hình vẽ

vi

Danh sách bảng biểu

x

Mục lục

xi

CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI

1

1.1. Giới thiệu đôi nét sự ra đời của phương pháp khơng lưới

1

1.2. Tình hình nghiên cứu trong và ngồi nước

2

1.3. Mục tiêu của đề tài

3

CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

5

2.1. Phương pháp không lưới – Phương pháp mịn hóa hạt thủy động lực học (Smoothed
5

Particle Hydrodynamics-SPH)
2.2. Động lực học lưu chất – Phương trình Navier-Stocks dưới dạng Lagrangian
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

24
32

3.1. Áp dụng phương pháp SPH trong việc giải phương trình Navier-Stocks

32

3.2. Những khái niệm khác trong phương pháp SPH

39

3.3. Các bước tính tốn sử dụng phương pháp SPH để mơ phỏng – tính tốn dịng chảy
45
CHƯƠNG 4. KẾT QUẢ TÍNH TỐN

47

4.1. Bài tốn 1: Couette flow

47

4.2. Bài tốn 2: Poiseuille flow

61

4.3. Bài toán 3: Shear driven cavity

74

CHƯƠNG 5. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

86

5.1. Kết luận đề tài

86

5.2. Kiến nghị, định hướng nghiên cứu

87

TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC

89
90

xi

Chương 1. Giới thiệu đề tài

CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI

1.1. Giới thiệu đôi nét sự ra đời của phương pháp khơng lưới
Mơ hình và mơ phỏng ngày càng trở nên quan trọng trong việc tạo nên hệ thống kỹ thuật cao
cấp một cách nhanh chóng và có tính hiệu quả kinh tế cao. Hàng trăm năm qua, con người đã
sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference Method – FDM) để thực hiện mơ
hình và mơ phỏng của hệ thống kỹ thuật, cụ thể là dùng để giải hệ thống các phương trình đạo
hàm riêng. Điều này chỉ được thực hiện tốt cho bài tốn có hình học đơn giản. Hàng chục năm
trở lại đây, phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) được sử dụng
nhằm đáp ứng tính linh động, hiệu quả và tính chính xác trong những bài tốn có hình học
phức tạp hơn. Ngoài những phương pháp số vừa kể trên, ta không thể không kể đến những
phương pháp như phương pháp thể tích hữu hạn (Finite Volume Method – FVM), phương
pháp phần tử biên (Boundary Element Method – BEM), phương pháp không lưới (Meshfree
Methods – MFM). Tất cả những phương pháp số trên đã đóng một vai trị vơ cùng quan trọng
trong việc tính tốn mơ phỏng trong nhiều lĩnh vực như cơ học, điện từ, nhiệt và lưu chất.
Trong việc mơ phỏng và phân tích, bài tốn động lực học lưu chất được thực hiện bằng các
phương pháp phổ biến như phương pháp sai phân hữu hạn (FDM), phương pháp thể tích hữu
hạn (FVM) và phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). Những phương pháp số thông dụng này
được sử dụng một cách rộng rãi và chiếm ưu thế trong lĩnh vực tính tốn động lực học lưu
chất. Điều quan trọng là tương ứng với lưới Eulerian (cho FDM và FVM) hoặc là lưới
Lagrangian (cho FEM) hoặc dùng cả hai (như ALE) để làm khung tính tốn cho việc giải
phương trình chủ đạo. Các phương pháp trên đều có ý tưởng chung là chia nhỏ mơ hình phức
tạp thành nhiều mơ hình nhỏ gọi là lưới. Lưới được định nghĩa như là dạng kết nối giữa các
nút. Trong nhiều bài tốn phức tạp địi hỏi phải cập nhật lưới lại trong q trình giải ra kết quả
bài tốn, nếu mơ hình hình học phức tạp thì việc chia lưới lại thực sự khó khăn và mất rất
nhiều thời gian. Đây chính là nhu cầu cấp thiết để một loạt phương pháp số mới ra đời nhằm

giảm thiểu việc chia lưới để có thể giải bài tốn tốt hơn như phương pháp phần tử biên (BEM)
và đặc biệt là phương pháp không lưới (MFM).
Phương pháp không lưới được sử dụng để thiết lập hệ thống của các phương trình đại số cho
tất cả các miền của bài tốn mà khơng cần phải sử dụng đến việc chia lưới. Phương pháp
không lưới sử dụng tập các nút phân bố trên biên và trên miền bài toán làm đại diện. Tập các
GVHD: PGS.TS. Trương Tích Thiện

1

HVTH: Nguyễn Duy Khương


Chương 1. Giới thiệu đề tài

nút phân bố này không phải là một dạng lưới, điều này có nghĩa là khơng có bất kì u cầu
nào về thơng tin mối liên hệ giữa các nút.
1.2. Tình hình nghiên cứu trong và ngồi nước
Một cách tổng qt, phương pháp khơng lưới có rất nhiều phương pháp như phương pháp nội
suy điểm (The point interpolation method – PIM) (G.R.Liu và Gu, 1999), phương pháp lắp
ráp nút (The point assembly method – PAM) (G.R.Liu, 1999), phương pháp không lưới cục bộ
Petrov-Galerkian (the meshless local Petrov–Galerkian method – MLPG) (Atluri và Zhu,
1998), phương pháp phương trình tích phân biên cục bộ (Local Boundary Integral Equation
method – LBIE) (Zhu, Zhang và Atluri, 1998), phương pháp sự phân chia đồng nhất (Partition
of Unity method – PUM) (Babuska và Melenk, 1997), phương pháp những đám mây HP (hpclouds method) (Duarte và Oden, 1996), phương pháp nút hữu hạn (Finite Point Method –
FPM) (O˜nate, Idelsohn, Zienkiewicz và Taylor, 1996), phương pháp không phần tử
Galerkian (Element Free Galerkian method – EFG) (Belytschko, Lu, và Gu, 1994), phương
pháp phần tử lõi tái tạo (Reproducing Kernel Particle Method – RKPM) (Liu, Jun và Zhang,
1993), phương pháp phần tử khuếch tán (Diffuse Element Method – DEM) (Nayroles, Touzot
và Villon, 1992), phương pháp sai phân hữu hạn với lưới bất quy tắc (Finite Difference
method with arbitrary irregular grids) (Liszka, Orkisz và Jensen, 1980), phương pháp mịn

hóa thủy động lực học hạt (Smoothed Particle Hydrodynamics – SPH) (Lucy, Gingold và
Monaghan, 1977).
Phương pháp không lưới đã được ứng dụng trong việc tính tốn mơ phỏng ở rất nhiều lĩnh
vực trong kỹ thuật như tính tốn bài toán biến dạng dẻo kim loại, bài toán nứt, động lực học
va chạm, kỹ thuật truyền nhiệt, điện từ, âm học, lưu chất … Sử dụng phương pháp không lưới
để tính bài tốn động lực học lưu chất mở ra một cơ hội mới cho lĩnh vực tính tốn mơ phỏng
bài tốn động lực học lưu chất. Trong các phương pháp khơng lưới kể trên, có 3 loại phương
pháp cơ bản được sử dụng cho bài toán động lực học lưu chất như phương pháp đại diện cho
tích phân hữu hạn bao gồm phương pháp SPH (Monaghan, 1988) và RKPM (Liu, 1995),
phương pháp đại diện cho chuỗi hữu hạn bao gồm phương pháp MLPG(Atluri, 2001) và
LRPIM(G.R.Liu, 2001) và phương pháp đại diện cho sai phân hữu hạn bao gồm phương pháp
nút hữu hạn (Onate, 1996) và phương pháp sai phân hữu hạn với lưới bất quy tắc (Jensen,
1980).
Trong thực tế, các phương pháp khơng lưới có thể kết hợp cặp đơi với nhau hoặc có thể kết
hợp với phương pháp số khác để có thể tận dụng hết những ưu điểm của từng phương pháp
GVHD: PGS.TS. Trương Tích Thiện

2

HVTH: Nguyễn Duy Khương


Chương 1. Giới thiệu đề tài

mang lại. Ví dụ như phương pháp SPH có thể kết hợp với FEM (Attaway và cộng sự, 1994;
Johnson, 1994; Century Dynamics, 1997), EFG có thể kết hợp với phương pháp phần tử biên
(BEM) (Gu và Liu, 2001) và MPLG kết hợp với BEM hoặc FEM (Liu và Gu, 2000).
Hiện nay, Liu và Gu đang nghiên cứu một phương pháp không lưới mới là phương pháp
không lưới dạng mạnh và dạng yếu (meshfree weak-strong form method – MWS). Đây là
phương pháp kết hợp cả dạng mạnh và dạng yếu của bài toán. Trong phương pháp MWS, cơng

thức dạng mạnh được sử dụng để tính tốn cho các nút nằm bên trong bài toán và những nút
nằm ở vị trí có tính chất là biên của bài tốn. Cịn dạng yếu chỉ được sử dụng để tính tốn các
nút gần biên tự nhiên. Vì thế, khơng cần thiết phải tính tích phân số cho các nút nằm bên
trong miền bài tốn và những nút có tính chất như biên bài tốn. Việc tính tốn tích phân số
chỉ áp dụng cục bộ cho các nút gần biên tự nhiên và chỉ những phần tử nền cục bộ dành cho
nút ở trên biên tự nhiên được yêu cầu. Phương pháp MWS là phương pháp khơng lưới sử dụng
ít lưới nhất trong lúc tính tốn và cho ra được lời giải ổn định cho bài toán cơ học vật rắn sử
dụng phân bố nút khơng có ngun tắc. Đây là một bước tiến rất dài trong việc nghiên cứu
xây dựng một phương pháp tính tốn khơng lưới mới có tính ổn định và cho ra được lời giải
có tính chính xác cao.
1.3. Mục tiêu của đề tài
Theo Liu, lý thuyết của hàm xấp xỉ được sử dụng trong phương pháp khơng lưới có thể được
phân loại thành ba loại chính là phương pháp biểu diễn dạng tích phân, phương pháp biểu
diển dạng chuỗi, phương pháp biểu diễn dạng đạo hàm.
Trong luận văn này tập trung vào phương pháp phần tử không lưới và ra đời sớm nhất trong
các phương pháp không lưới, đặc biệt dựa trên phương pháp mịn hóa thủy động lực học hạt
(Smoothed Particle Hydrodynamics – SPH), sử dụng phương pháp biểu diễn dưới dạng tích
phân cho hàm xấp xỉ. Phương pháp SPH rất giống với phương pháp dạng yếu. Sự khác biệt
chính là SPH là sử dụng giai đoạn xấp xỉ hàm dạng yếu, còn phương pháp dạng yếu thơng
thường (EFG, MLPG, RKPIM, PIM …) thì phân mảnh ra thành các hệ phương trình. Dùng
phương pháp biểu diễn dưới dạng tích phân trên một miền sẽ chuyển thành phép lấy vi phân
trên miền đó dựa trên hàm mịn hóa (hay cịn gọi là hàm trọng số).
Vì thế, phương pháp SPH đưa ra được sự ổn định cho việc xây dựng các nút bất kì cho nhiều
bài tốn biến dạng cực lớn. Sự chính xác của phương pháp SPH phần lớn phụ thuộc vào việc
chọn hàm mịn hóa thích hợp.

GVHD: PGS.TS. Trương Tích Thiện

3

HVTH: Nguyễn Duy Khương


Chương 1. Giới thiệu đề tài

Trong phạm vi giới hạn của luận văn, tác giả sẽ xây dựng chương trình tính tốn sử dụng
phương pháp khơng lưới SPH để giải các bài toán động lực học lưu chất nén được trong
khơng gian hai chiều có hệ số Reynolds thấp (dịng chảy tầng).
Chương 1 được tham khảo từ tài liệu [1], [2] và [4].

GVHD: PGS.TS. Trương Tích Thiện

4

HVTH: Nguyễn Duy Khương


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Sử dụng phương pháp không lưới SPH để giải bài toán động lực học lưu chất dựa trên hai cơ
sở lý thuyết là lý thuyết về toán học của phương pháp SPH và lý thuyết động lực học lưu chất
sử dụng phương trình Navier-Stockes dưới dạng Lagrangian.
2.1. Phương pháp khơng lưới – Phương pháp mịn hóa thủy động lực học hạt (Smoothed
Particle Hydrodynamics - SPH)
Phương pháp SPH là một phương pháp không lưới ra đời sớm nhất (Lucy, 1977; Gingold và
Monaghan, 1977). Phương pháp này đã được sử dụng để giải các bài toán đáp ứng động lực
học trong sức bền vật liệu một cách khá tốt tương tự như việc giải bài toán động lực học lưu
chất với chuyển vị lớn. Ưu điểm của phương pháp này so với các phương pháp khơng lưới
khác đáng kể nhất là tính tương thích một cách tự nhiên. Khả năng tương thích cho việc xấp

xỉ biến tại mỗi thời điểm dựa trên tập các dữ liệu cục bộ của việc xây dựng phần tử ở thời
điểm hiện tại. Cũng do tính tương thích này nên ta khơng cần xây dựng phần tử để kết nối các
nút. Vì thế, ta có thể áp dụng cho các loại bài tốn có biến dạng lớn vì ta khơng cần quan tâm
đến việc phải chia lưới lại cho mơ hình như ở các phương pháp có lưới khác như FEM hoặc
FDM. Ngồi tính tương thích cịn có sự phối hợp hài hịa của cơng thức Lagrangian và xấp xỉ
hạt.
2.1.1. Giới thiệu đôi nét về phương pháp SPH
Trong phương pháp SPH, mơ hình bài tốn sẽ được biểu diễn dưới dạng các hạt. Những hạt
này có thuộc tính vật liệu riêng và cách di chuyển của hạt tùy thuộc vào phương trình chủ đạo
của bài tốn. Kể từ khi việc tìm ra cách giải bài tốn thiên văn học trong không gian mở ba
chiều (Lucy, 1977; Gingold và Monaghan, 1977) thì phương pháp SPH được phổ biến rộng
rãi và áp dụng mở rộng cho bài toán đáp ứng động lực học trong sức bền vật liệu thì cũng tốt
như áp dụng cho bài toán động lực học lưu chất.

GVHD: PGS.TS. Trương Tích Thiện

5

HVTH: Nguyễn Duy Khương


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

¾ Những ứng dụng của phương pháp SPH:
•

Tương tác giữa đất và vật rắn

 

 

Hình 2.1. Mơ phỏng ứng xử của dịng nước và tường chắn trong q trình tương tác
•

Tương tác giữa cát và nước

 

Hình 2.2 Mơ phỏng tương tác giữa các và nước có tường chắn
GVHD: PGS.TS. Trương Tích Thiện

6

HVTH: Nguyễn Duy Khương


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

•

Bài tồn đập nước

 

Hình 2.3 Mơ phỏng dịng nước tương tác với đập chắn
•

Tương tác giữa lưu chất và vận rắn

 

Hình 2.4 Mơ phỏng dịng nước chảy qua vật thể
•

Sự trộn lẫn giữa lưu cất và chất rắn

 

Hình 2.5 Mơ phỏng sự trộn lẫn giữa lưu chất và chất rắn

GVHD: PGS.TS. Trương Tích Thiện

7

HVTH: Nguyễn Duy Khương


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

•

Chuyển động với vận tốc siêu âm

 

Hình 2.6 Mơ phỏng tên lửa bay với vận tốc siêu âm
•

Bài tốn va chạm giữa vật rắn và vật rắn

 

Hình 2.7 Mơ phỏng va chạm vật rắn

 

Hình 2.8 Mơ phỏng va chạm trong bài tốn cắt
•

Bài tốn dịng chảy trong ống

 

 

Hình 2.9 Mơ phỏng dịng chảy trong ống

GVHD: PGS.TS. Trương Tích Thiện

8

HVTH: Nguyễn Duy Khương


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

Phương pháp SPH có những ưu điểm so với những phương pháp sử dụng lưới nền để thu
được kết quả. Ưu thế tuyệt đối của phương pháp này là mơ phỏng mặt thống dịng lưu chất.
Ở bài toán mặt thoáng, Nếu xử dụng phương pháp FDM hoặc FVM thì rất khó khăn trong

việc chia lưới lại mơ hình, hơn nữa việc giải lặp theo thời gian cũng là vấn đề không nhỏ
trong hai phương pháp dựa trên lưới nên phổ biến kể trên.
Phương pháp SPH là một phương pháp không lưới dưới dạng Lagrangian và cũng là một
phương pháp hạt nên mang đầy đủ những tính chất về hạt. Một vài ưu điểm đặc biệt hơn hẳn
những phương pháp số dựa trên lưới nền thông thường là khả năng thích ứng một cách tự
nhiên của phương pháp SPH. Khả năng thích ứng của SPH là thu được kết quả ở giai đoạn rất
sớm của biến xấp xỉ. Biến xấp xỉ này được thực hiện tại mỗi bước thời gian dựa trên một tập
hạt được phân bố bất kỳ ở thời điểm hiện tại. Do khả năng thích ứng tự nhiên của xấp xỉ SPH
mà cơng thức của SPH không bị ảnh hưởng bởi sự phân bố hạt một cách bất kỳ. Vì thế, SPH
có thể giải bài toán một cách tự nhiên với chuyển vị cực lớn. Đây là điều thú vị nhất mà ta có
được từ phương pháp SPH.
Để có được tính tự nhiên của phương pháp SPH cũng là do những công thức có tính thích ứng
như đề cập ở trên và do sử dụng một tập các hạt để biểu diễn miền bài tốn. Phép xấp xỉ SPH
khơng cần u cầu phải định nghĩa trước lưới để kết nối các hạt trong q trình xử lý tính tốn
và khơng cần phải làm mịn hạt trong q trình giải. Phương pháp khơng lưới có tính tự nhiên
này là rất hấp dẫn vì nó đã giải quyết được những vấn đề khó khăn gặp phải trong phương
pháp FEM hay FDM như đã đề cập ở phần trước.
Bên cạnh việc không cần chia lưới và khả năng thích ứng tự nhiên, phương pháp SPH cịn là
sự kết hợp hài hịa giữa cơng thức Lagrangian và phép xấp xỉ hạt. Không giống như những
phương pháp không lưới khác mà các nút chỉ được sử dụng để nội suy điểm, các hạt SPH
cũng mang những thuộc tính vật liệu và có khả năng di chuyển trong điều kiện tương tác bên
trong và ngoại lực tác động.
Phần chính và cũng là phần cốt lõi của phương pháp SPH này là mang ý nghĩa một cách đầy
đủ của ba từ “SMOOTHED PARTICLE HYDRODYNAMICS”. Từ thứ nhất là “SMOOTHED”
là biểu diễn sự mịn hóa của phép xấp xỉ bằng cách lấy trung bình có trọng số trên các hạt
xung quanh để ổn định. Từ thứ ba là “HYDRODYNAMICS” là phương pháp này áp dụng cho
bài toán động lực học lưu chất.

GVHD: PGS.TS. Trương Tích Thiện

9

HVTH: Nguyễn Duy Khương


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

2.1.2. Ý tưởng cơ bản của phương pháp SPH
Như đã đề cập ở trên, phương pháp SPH phát triển để giải bài toán động lực học lưu chất. Bài
toán động lực học lưu chất dựa trên các phương trình đạo hàm riêng của các biến như là khối
lượng riêng, vận tốc, năng lượng … Việc thu được lời giải giải tích là điều khơng phải lúc nào
cũng làm được ngoại trừ một số ít trường hợp đơn giản. Hơn nữa phải cố gắng tìm lời giải
bằng phương pháp số. Việc làm đầu tiên là phải chia nhỏ miền bài toán ở những nơi định
nghĩa các phương trình đạo hàm riêng. Kế đến, phương pháp phải cung cấp sự xấp xỉ cho giá
trị của các hàm và đạo hàm tại mọi điểm. Hàm xấp xỉ sau đó được áp dụng cho các phương
trình đạo hàm riêng để tạo ra một tập các phương trình vi phân dưới dạng bài toán đã được
chia nhỏ theo thời gian. Tập các phương trình vi phân được chia nhỏ này có thể sau đó được
giải bằng cách sử dụng một trong những phép lấy tích phân thơng thường như của phương
pháp sai phân hữu hạn.
Những ý tưởng chính khi sử dụng phương pháp SPH là:
1. Miền bài toán được biểu diễn bởi tập các hạt phân bố bất kỳ. Không cần sự kết nối
giữa các hạt. (tính khơng lưới)
2. Biểu diễn dưới dạng tích phân để lấy phép xấp xỉ của một hàm. (biểu diễn hàm dưới
dạng tích phân)
3. Phép xấp xỉ tại nhân trong phương pháp SPH cũng là phép xấp xỉ hạt. Điều này có
nghĩa là ta có thể xấp xỉ tích phân và các đạo hàm thành tổng tất cả các giá trị của hạt
lân cận trong miền cục bộ gọi là miền hỗ trợ (support domain). (miền gắn kết)
4. Phép xấp xỉ hạt được thực hiện tại mỗi thời điểm và việc sử dụng các hạt hoàn toàn
phụ thuộc dựa trên phân bố cục bộ hiện tại của các hạt. (tính tương thích)
5. Các phép xấp xỉ phần tử được thực hiện có liên quan đến hệ các phương trình vi phân

dưới dạng chia nhỏ chỉ phụ thuộc vào thời gian. (hàm Lagrangian)
6. Giải các hệ phương trình vi phân bằng giải thuật tích phân dạng hiện được thực hiện
một cách nhanh chóng tại các bước thời gian và thu được kết quả của các biến của tất
cả các hạt theo thời gian. (bài toán động lực học)
Ý thứ nhất xác định đây là một phương pháp khơng lưới có tính tự nhiên. Khơng phải là q
khó để có được cơng thức của phương pháp số mà khơng cần sử dụng lưới. Nhưng cái khó
chính là làm thế nào để chắc chắn có được sự ổn định của lời giải của phương pháp số, nhất là
với tập nút khơng có ngun tắc bên trong miền hỗ trợ gắn kết được sử dụng trong bài toán
với điều kiện biên Neumann.
GVHD: PGS.TS. Trương Tích Thiện

10

HVTH: Nguyễn Duy Khương


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

Ý thứ hai, về mặc toán học, sự ổn định cần thiết cho phương pháp SPH. Khi phép biểu diễn
dưới dạng tích phân có hiệu quả của việc mịn hóa thì có ứng xử như là cơng thức dạng yếu.
Cơng thức dạng yếu thì thường xuyên cho kết quả ổn định cũng như là phép lấy tích phân số
được thực hiện một cách chính xác.
Ý thứ ba là xây dựng một hệ thống ma trận dạng băng hoặc là dạng vuông. Điều này cực kỳ
quan trọng ảnh hưởng đến việc tính tốn bởi vì một bài tốn biến dạng lớn thì cần một số
lượng lớn các hạt để biểu diễn miền bài toán. Điều này có thể sẽ làm thời gian tính tốn lâu
hơn một cách khơng thể chấp nhận được của máy tính do phải giải một hệ thống phương trình
lớn nếu là ma trận đầy đủ.
Khả năng tương thích của SPH là đạt được bằng ý thứ tư tại mỗi bước thời gian dựa trên các
hạt được phân bố một cách bất kỳ nằm bên trong miền hỗ trợ hiện tại. Lưu ý rằng phép xấp xỉ
hạt là một phương pháp để tính tích phân số đã được yêu cầu trong ý thứ hai. Để chắc chắn về

tính chính xác của tích phân và tính ổn định của phương pháp số thì các hạt phải được dùng
trong phép lấy tổng một cách đầy đủ. Các hạt này sẽ mang khối lượng sau phép xấp xỉ hạt,
điều này có nghĩa là các hạt vật liệu mang tính vật lý.
Việc sử dụng mơ hình Lagrangian ở ý thứ năm cho phép phương pháp SPH tất cả các đặc
tính của phương pháp Lagrangian.
Ý thứ sáu mang ý nghĩa thơng thường để giải bài tốn động lực học thay đổi theo thời gian.
Tất cả những điều phải làm trong phương pháp SPH là chỉ ra một cách hợp lý để xác định
bước thời gian để phép lấy tích phân theo thời gian được ổn định.
Kết hợp sáu ý trên sẽ tạo ra được phương pháp SPH vừa có tính chất khơng lưới, tính tương
thích, tính ổn định và lời giải Lagrangian cho bài toán động lực học.
2.1.3. Những khái niệm trong phương pháp SPH
2.1.3.1. Miền hỗ trợ và miền ảnh hưởng
Theo định nghĩa, miền hỗ trợ cho một điểm tại x = ( x, y, z ) là một miền mà tại đó ta có thơng

tin của tất cả các điểm nằm bên trong miền này và được sử dụng cho việc tính các thơng số tại
điểm x . Miền ảnh hưởng được định nghĩa là một miền mà tại đó một nút sử dụng sự ảnh
hưởng của miền đó. Do đó, miền ảnh hưởng được gắn với một nút trong phương pháp khơng
lưới, cịn miền hỗ trợ sẽ được gắn với điểm có tọa độ x nhưng khơng cần thiết phải là một
nút.
GVHD: PGS.TS. Trương Tích Thiện

11

HVTH: Nguyễn Duy Khương


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

Từ những định nghĩa trên, ta có những nhận xét sau:
•

Khái niệm miền hỗ trợ được xét dựa trên điểm có tọa độ x . Khái niệm miền ảnh
hưởng được xét chỉ dựa trên các tập nút.

•

Nếu nút i nằm trong miền hỗ trợ của điểm x thì nút i sử dụng sự ảnh hưởng với điểm
x và điểm x nằm bên trong miền ảnh hưởng của nút i.

•

Nếu điểm x trùng với nút i thì nút này sẽ có cả miền hỗ trợ lẫn miền ảnh hưởng
(giống như các hạt trong phương pháp SPH). Trong tình huống như vậy, miền hỗ trợ
của nút i tại điểm x có thể được hiểu như là miền ảnh hưởng của nút i đó.

Miền hỗ trợ trong phương pháp không lưới cho một điểm là cục bộ khi là miền con của tồn
miền bài tốn hoặc là tồn cục khi là tồn miền bài tốn. Trong trường hợp cuối cùng, lời giải
của điểm đó có liên quan đến tất cả các nút hoặc phần tử trong miền bài tốn. Để tiết kiệm
thời gian tính tốn, ta thường dùng miền hỗ trợ cục bộ vì các nút và phần tử nằm bên trong
miền cục bộ của miền kích thước hữu hạn của điểm được sử dụng cho việc xấp xỉ của các
biến tại điểm đó. Kích thước và hình dạng của miền hỗ trợ cho nhiều điểm khác nhau thì có
thể khác nhau. Theo hình 2.10, các miền hỗ trợ thơng thường được sử dụng có hình dạng ê-líp
hoặc hình trịn và hình chữ nhật hoặc hình vng.

r3x

3

r3y
r1

r2y
2

1
r2x

Hình 2.10 Miền hỗ trợ có hình dáng và kích thước khác nhau tại các điểm khác nhau
Miền ảnh hưởng cho nút cũng có thể là tồn cục trên tồn miền bài tốn hoặc là cục bộ trên
một miền con của tồn miền bài tốn với hình dáng và kích thước hữu hạn. Hình dáng và kích
thước của miền ảnh hưởng cho các nút khác nhau thì có thể khác nhau như hình 2.11. Điểm
x nằm trong miền ảnh hưởng của nút 1, 3 và 4. Tuy nhiên, nó khơng nằm trong miền ảnh

hưởng của nút 2 mặc dù khoảng cách giữa x và nút 2 ngắn hơn là khoảng cách giữa x và nút
1.
GVHD: PGS.TS. Trương Tích Thiện

12

HVTH: Nguyễn Duy Khương


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

4

3

r1

x

1
2

Hình 2.11 Miền ảnh hưởng cho nút 1, 2, 3 và 4 khi xấp xỉ biến tại điểm x
Phương pháp SPH chỉ xấp xỉ các biến nằm trên các hạt và điểm x thường biểu diễn là một
hạt (nút). Vì vậy, một hạt trong phương pháp SPH có cả miền hỗ trợ lẫn miền ảnh hưởng.
Trong phương pháp SPH, khái niệm miền hỗ trợ và miền ảnh hưởng dành cho một hạt có
quan hệ với độ dài mịn hóa h của hạt đó. Để xác định kích thước của miền hỗ trợ và miền
ảnh hưởng, ta lấy kích thước mịn hóa h nhân với hệ số κ khi muốn tìm hàm mịn hóa. Chú ý
rằng hàm mịn hóa rất đa dạng như là số vơ hướng trong 1 chiều, dạng vector trong 2 chiều
hoặc dạng tensor trong 3 chiều. Miền hỗ trợ và miền ảnh hưởng của hạt trong phương pháp
SPH có quan hệ trực tiếp đến miền κ h của hạt đó.
Sử dụng khái niệm miền hỗ trợ và miền ảnh hưởng trong phương pháp SPH là do hai mơ hình
lần lượt là mơ hình phân tán (hình 2.12) và mơ hình tập trung (hình 2.13) trong việc xấp xỉ
biến tại phần tử thứ i (Hernquist và Katz, 1989). Trong mơ hình phân tán, việc xấp xỉ hạt tại
hạt thứ i được tiến hành trên hạt của miền ảnh hưởng xung quanh hạt thứ i. Trong mơ hình tập
trung, việc xấp xỉ trên hạt thứ i được thực hiện ở các hạt nằm bên trong miền hỗ trợ của hạt
thứ i.

GVHD: PGS.TS. Trương Tích Thiện

13

HVTH: Nguyễn Duy Khương


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

κ hm
m

κ hn
n

i

κ hj
j

κ hl
l

Hình 2.12 Mơ hình phân tán sử dụng cho khái niệm miền ảnh hưởng với vòng tròn biểu diễn
miền ảnh hưởng tương ứng với hạt thứ i

i

κ hi

 

Hình 2.13 Mơ hình tập trung sử dụng cho khái niệm miền hỗ trợ với vòng tròn biểu diễn miền
hỗ trợ của hạt thứ i
Độ dài mịn hóa cho hai hạt khơng cần thiết phải giống nhau, hạt thứ i nằm trong miền ảnh
hưởng của hạt thứ j nhưng nó khơng ảnh hưởng đến kết quả của hạt thứ j. Ở khía cạnh khác,
hạt thứ j ảnh hưởng đến hạt thứ i trong khi đó hạt thứ i lại khơng ảnh hưởng đến hạt thứ j.
Trong phương pháp SPH, sự ảnh hưởng mất cân bằng hoặc không cân xứng này sẽ cho ra lời
giải không phù hợp với tự nhiên và hi nhỏ hơn h j thì miền ảnh hưởng của hạt thứ j có thể bao
GVHD: PGS.TS. Trương Tích Thiện

14

HVTH: Nguyễn Duy Khương