Toán ứng dụng trong kinh doanh MS07-R06bV

Cao Hào Thi 66
Chương 6
LẤY MẪU VÀ PHÂN PHỐI MẪU
(Sampling and Sampling Distribution)
6.1. LẤY MẪU TỪ TẬP HỢP CHÍNH (Sampling from a Population)
6.1.1. Tập hợp chính (Population)
Tập hợp chính là tập hợp tất cả các đối tương mà ta quan tâm nghiên cứu trong một vấn
đề nào đó. Số phần tử của tập hợp chính được ký hiệu là N.
- Nếu N là số hữu hạn ta có tập hợp chính hữu hạn (finite population)
- Nếu N là số vô hạn ta có tập hợp chính vô hạn (infinite population)
6.1.2. Mẫu (Sample)

Mẫu là tập hợp con của tập hợp chính. Số phần tử của mẫu đã ký hiệu là n (cỡ mẫu).
6.1.3. Lấy mẫu ngẫu nhiên đơn giản (Simple Random Sampling)

Đó là cách chọn n phần tử từ tập hợp chính gồm N phần tử sao cho mỗi tổ hợp trong
n
N
C

tổ hợp đều có cùng khả năng được chọn như nhau. Kết quả của việc chọn này cho ta các
mẫu ngẫu nhiên (random sample).
Việc lấy mẫu ngẫu nhiên có thể tiến hành theo cách lấy mẫu không hoàn trả lại (sampling
without replacement) hay theo cách lấy mẫu có hoàn trả lại (sampling with replacement).
6.1.4. Phân phối mẫu (Sampling Distribution)
Các mẫu đều có các đặc trưng thống kê của mẫu như số trung bình
X
, phương sai
2
x

S
.
Phân phối xác suất của các đặc trưng thống kê của mẫu được gọi là phân phối mẫu.
Trong chương này ta khảo sát phân phối mẫu của
X
,
2
x
S
.
Suy diễn thống kê (Statistic Inference) : Dựa vào các đặc trưng thống kê của mẫu ta có
thể suy rộng ra cho các đặc trưng thống kê của tập hợp chính.
6.2. PHÂN PHỐI MẪU CỦA SỐ TRUNG BÌNH CỦA MẪU
X

(Sampling Distribution of the Sample Mean)

Phân phối mẫu của số trung bình của mẫu là phân phối xác suất của đại lượng
X

6.2.1. Kỳ vọng của số trung bình mẫu E (
X
)
Giả sử tập hợp chính có N phần tử, có trung bình là µ
x
và phương sai là
2
x
σ
. Ta có:

N
X
N
i
i
x
∑
=µ
=1

N
)X(
N
i
i
x
∑
µ−
=σ
=1
2
2

Cao Hào Thi 67
Gọi X
1
, X
2
... X
n

là mẫu ngẫu nhiên có cỡ mẫu là n, được chọn từ tập hợp chính. Số
trung bình của mẫu là :

∑
=
i
X
n
X
1

•

Kỳ vọng của số trung bình mẫu của số trung bình mẫu E (X
)
là giá trị trung bình của
tập hợp chính µ
x
. Nói cách khác, phân phối mẫu của X

có số trung bình là µ
x.

E(
X ) = µ
x


Thí dụ:
Giả sử tập hợp chính gồm 5 học sinh có số tuổi là 2, 4, 6, 8 và 10. Trong trường

hợp này số trung bình của tập hợp chính sẽ là
µ
x
= 1/5(2+4+6+8+10) = 6
Giả sử lấy mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại với cỡ mẫu là 2. Ta sẽ có
2
5
C
= 10 mẫu khác
nhau (với cỡ mẫu là 2). Và mỗi mẫu sẽ có số trung bình của mẫu
X như sau :
Sample 2,4 2,6 2,8 2,10 4,6 4,8 4,10 6,8 6,10 8,10
X

3 4 5 6 5 6 7 7 8 9
Phân phối mẫu của số trung bình
X
là :
(Phân phối xác suất của đặc trưng thống kê của mẫu
X

Sample 3 4 5 6 7 8 9 10
X
0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,1 0,1 0,1
Kỳ vọng của X
E(
X
) = Σ
X
* p(

X
)
= 3 * 0,1 + 4 * 0,1 + 5 * 0,2 + 6 * 0,2 + 7 * 0,2 + 8 * 0,1 + 9 * 0,1
E(
X ) = 6 = µ
x

6.2.2. Phương sai của số trung bình mẫu (
2
X
σ
)
a) Trường hợp tập hợp chính vô hạn (Infinite Polulation)
Phương sai của số trung bình mẫu
X
được ký hiệu là
σ
2
x

Var (
X ) =
σ
2
x
=
n
x
σ
2

Đúng khi n < N
Với
σ
2
x
là phương sai của tập hợp chính, n là cỡ mẫu.
Var (
X ) =
σ
2
x
= )(
1N
nN
n
2
x
−
−
σ

Cao Hào Thi 68
b) Trường hợp tập hợp chính hữu hạn (Finite Population)
Thí dụ:
Tính phương sai của
X
trong thí dụ trên
Phương sai của tập hợp chính
σ
2

x
= E[(Xi - µ
x
)² = Σ(xi - µ
x
)² * P(X
i
) µ
x
= 6; P(X
i
) = 1/5
= 1/5[(2-6)² + (4 - 6)² + (6 -6 )² + (8-6)² + (10 - 6)²]
σ
2
x
= 8
Phương sai của
X tính từ định nghĩa
Var (
X ) = E [(X

- E( X ))
2
] = E [( X - 6)
2
] vì E ( X ) = µ
x
= 6
= [(3-6)

2
*0,1 + (4-6)
2
*0,1 + (5-6)
2
*0,2 + (6-6)
2
*0,2 + (7-6)
2
*0,2 + (8-6)
2
*0,1 + (9-6)
2
*0,1]
Var (
X
) =
σ
2
x
= 3
Nếu áp dụng công thức :
Var (
X
) =
3
15
25

2

8

1N
nN

n

2
x
2
X
=
−
−
=
−
−
σ
=
σ
**
6.2.3. Độ lệch chuẩn của số trung bình mẫu (
X
σ
)
Độ lệch chuẩn của X được ký hiệu (
X
σ )
σσ
σ

xx
x
n
==
2
Đối với tập hợp chính vô hạn
hay
1N
nN

n

x
x
−
−
σ
=σ *
Đối với tập hợp chính hữu hạn
x
σ được xem như sai số chuẩn (Standard Error) của số trung bình mẫu
X
.
6.2.4. Lấy mẫu từ tập hợp chính tuân theo phân phối chuẩn
(Sampling From Normal Population)
Luật phân phối của số trung bình mẫu
X

Nếu tập hợp chính của biến X tuân theo phân phối chuẩn với số trung bình là µ
x

và
phương sai σ
x
thì số trung bình mẫu
X
sẽ tuân theo phân phối chuẩn với số trung trình là
µ
x
và phương sai là n
2
x
/
σ
.
X ~
X N
2
xX
==>σµ
),( ~ N
n
X
X
(, )
µ
σ
2

Cao Hào Thi 69
6.2.5. Chuẩn hóa số trung bình mẫu

X

Đặt :
Z
X
X
X
=
−µ
σ

Nếu
X
có số trung bình là µ
x
và phương sai là
σ
2
X
thì Z có số trung bình là 0 và
phương sai là 1.
Nếu
()
( )
10
2
,N~Z ,N~X
X
x
==>

σ
µ

6.2.6. Định lý giới hạn trung tâm (Central Limit Theorem)
Khi n lớn thì
n
X
Z
X
X
σ
µ−
=
sẽ gần đúng có phân phối chuẩn chuẩn hóa hay
X
có
phân phối chuẩn với số trung bình là
µ
x
phương sai
n
x
2
σ

Khi n lớn ==> Z ~ N(0, 1) hay
XN
n
X
X

~,
µ
σ
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

Thí dụ :
Chiều dài của các cây thước kẻ trong dây chuyền sản xuất thước tuân theo phân phối
chuẩn với
µ
= 30cm. Độ lệch chuẩn xung quanh số trung trung bình là
σ
= 0,1cm. Nhân
viên thanh tra lấy mẫu với cỡ mẫu n = 4 và nhận thấy số trung bình của mẫu là
X
=
29875cm. Tìm xác suất để số trung bình của mẫu nhỏ hơn hoặc bằng 29875cm.
Giải
:

()
⎥
⎥
⎥
⎦

⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
≤
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=〈
4
0,1
3029875

n
σ
30X
P 29875 XP
= P (Z ≤ - 350) = 0,062
Thí dụ :

Một nhà sản xuất phụ tùng xe ôtô cho biết tuổi thọ của phụ tùng xe tuân theo luật phân
phối chuẩn với số trung bình là 36.000 dặm và độ lệch chuẩn là 4.000 dặm. Đối với một
mẫu được chọn một cách ngẫu nhiên với cỡ mẫu là 16 thì tuổi thọ trung bình của mẫu là
34.500 dặm. Nếu nhà sản xuất nói đúng thì xác suất để số trung bình mẫu nhỏ hơn hoặc
bằng giá trị
của mẫu đã đo là bao nhiêu.

Giải :

()
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
〈
−
=〈
16
4000
000.36500.34
500.34

X
X
X
PXP
σ
µ
= P (Z < -1,5) = 0,0668
Cao Hào Thi 70
Thí dụ:
Giả sử tập hợp chính tuân theo phân phối chuẩn với µ = 40, σ
2
= 100

.
X
µ = 40
f(x)

Lấy 1.000 mẫu ngẫu nhiên với cỡ mẫu 5. Gọi
X
là số trung bình của mẫu.
X

tuân theo
phân phối chuẩn với số trung bình là µ = 40 phương sai
σ
2
100
5
20

n
==.
Lấy 1.000 mẫu ngẫu nhiên với cỡ mẫu 10. Gọi
X
là số trung bình của mẫu.
X
tuân theo
phân phối chuẩn với số trung bình là µ = 40, phương sai
σ
2
100
10
10
n
==.
X
µ = 40
f(x)
Ν = 10
Ν=5

Nhận xét :
Phương sai của phân phối mẫu sẽ giảm khi cỡ mẫu tăng.
6.3. PHÂN PHỐI MẪU CỦA PHƯƠNG SAI MẪU
2
x
S
.
(Sampling Distribution Of The Sample Variance)
Phân phối mẫu của phương sai mẫu

là phân phối xác suất của phương sai mẫu
2
x
S
.

6.3.1. Kỳ vọng của phương sai mẫu E (
2
x
S
)
Phương sai mẫu ký hiệu là S
2
x
.
()
2
1
2
1
1
∑
=
−
−
=
n
i
X

XX
N
S
i