Binoid và đại số Binoid

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯU HOÀNG ANH

BINOID VÀ ĐẠI SỐ BINOID

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯU HOÀNG ANH

BINOID VÀ ĐẠI SỐ BINOID
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 84.60.104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2020


Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tôi. Tôi không sao
chép từ bất kỳ một cơng trình nghiên cứu nào khác.

Thái Ngun, ngày 10 tháng 6 năm 2020
Người viết luận văn

Lưu Hoàng Anh

Xác nhận

Xác nhận

của trưởng khoa chuyên môn

của người hướng dẫn khoa học

TS. Trần Nguyên An

i


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Nguyên
An - giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun.
Nhân dịp này tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi
cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc
và đã dành nhiều thời gian, cơng sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Tơi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cơ giáo của Viện Tốn
học và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động
viên tơi vượt qua những khó khăn trong học tập.
Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,
Khoa Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi

học tập.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, người thân đã giúp đỡ, động
viên, ủng hộ tơi để tơi có thể hồn thành tốt luận văn cũng như khóa học của
mình.
Thái ngun, ngày 10 tháng 6 năm 2020
Người viết Luận văn

Lưu Hoàng Anh

ii


Mục lục
Chương 1. Binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Binoid và đồng cấu binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Tập sinh binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Một số lớp binoid đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4. Quan hệ tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5. Tích smash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.6. Tác động của binoid trên tập định điểm . . . . . . . . . . . . .

22

1.7. Địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.8. Iđêan trong binoid giao hoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Chương 2. Đại số binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.1. Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2. Đại số binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.3. Iđêan trong đại số binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.4. R[N]–môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.5. Đại số binoid của N -binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

iii


MỞ ĐẦU
Năm 2015, Simone Bottger trong luận án tiến sĩ của mình “Monoids with
absorbing elements and their associated algebras” [3] đã giới thiệu khái niệm
binoid và đại số binoid mở rộng, khái niệm vị nhóm, đại số vị nhóm: Cho R là
vành giao hốn, cho M là một vị nhóm với phép cộng. Phần tử a ∈ M thỏa mãn
a + b = a, với mọi b ∈ M được gọi là phần tử hút (absorbing element). Phần tử

như vậy nếu tồn tại là duy nhất và được ký hiệu là ∞. Một vị nhóm có phần tử
hút được gọi là một binoid. Đại số kết hợp với binoid được gọi là đại số binoid
của M, ký hiệu là R[M ] và được xác định là đại số thương
R[M ] := RM/(X ∞ ),
trong đó RM =

a∈M

RX a là đại số vị nhóm, (X ∞ ) là iđêan của RM sinh bởi

X ∞ . Như vậy, đại số binoid là mở rộng của đại số vị nhóm. Đại số binoid là vành
thương của đại số đa thức bởi iđêan đơn thức hoặc iđêan nhị thức sinh bởi các
nhị thức thuần túy (pure difference binomial). Nhắc lại giả sử S = R [x1 , . . . , xn ] ,
n ≥ 1 là vành đa thức, đa thức dạng xa11 xa22 ...xann , ai ∈ N, i = 1, n được gọi là một
đơn thức, đa thức dạng
axa11 xa22 ...xann − bxb11 xb22 ...xbnn ; a, b ∈ R, ai , bi ∈ N
được gọi là một nhị thức, nhị thức mà a, b ∈ {0; 1} gọi là nhị thức thuần túy.
Các đại số binoid là đối tượng chính trong Tổ hợp, Đại số giao hốn và hình học
đại số. Các đại số phải kể đến là: Vành tọa độ của đa tạp affin (xạ ảnh), vành
Stanley-Reisner, vành Toric.
1


Mục đích của luận văn là tìm hiểu về binoid và đại số binoid theo hai tài liệu
chính [2], [3].
Luận văn bao gồm 2 chương.
Chương 1 tìm hiểu về binoid, đồng cấu binoid, tập sinh binoid, một số lớp
binoid đặc biệt, tích smash, tác động binoid trên tập định điểm, địa phương hóa
và iđêan trong binoid giao hốn.
Chương 2 tìm hiểu về đại số và đại số binoid, iđêan trong đại số binoid, cấu

trúc môđun của đại số.

2


Chương 1

Binoid
1.1. Binoid và đồng cấu binoid
Phần này giới thiệu định nghĩa binoid và một số tính chất của binoid. Trong
luận văn ta luôn quy ước R là vành giao hốn có đơn vị.
Định nghĩa 1.1.1. (1) Một nửa nhóm (M, ∗) là một tập hợp M và phép toán ∗
kết hợp.
∗ : M × M → M (a, b) → a ∗ b
Một vị nhóm (M, ∗, e) là một nửa nhóm tồn tại phần tử e thỏa mãn
a ∗ e = e ∗ a = a với mọi a ∈ M.
Một phần tử như vậy được gọi là phần tử đơn vị của M và phần tử đơn vị ln
là duy nhất.
(2) Một vị nhóm con của vị nhóm M là một nửa nhóm con có chứa phần tử
đơn vị của M. Trong phép toán cộng, phần tử đơn vị sẽ được ký hiệu là 0 và
trong phép toán nhân ta ký hiệu là 1.
(3) Một phần tử a ∈ M trong nửa nhóm là phần tử hút (absorbing) nếu
a ∗ x = x ∗ a = a với mọi x ∈ M . Một phần tử hút luôn là duy nhất nếu tồn tại.
(4) Một binoid (M, ∗, e, a) (nửa binoid (M, ∗, a)) là một vị nhóm (hay nửa
nhóm) với một phần tử hút a. Một binoid con (nửa binoid con) của M là một vị
nhóm con (hay nửa nhóm con) của M chứa phần tử hút của M . Trong phép toán
cộng, phần tử hút sẽ được ký hiệu bằng ∞ và trong phép toán nhân ta ký hiệu
là 0. Theo định nghĩa, nửa binoid và vị nhóm ln là tập khác rỗng, đặc biệt các
binoid cũng vậy.
3

Ta ký hiệu tập các binoid là B và tập các binoid giao hoán là com B.
Trong suốt luận văn này, nếu khơng nói gì thêm thì mọi binoid sẽ được trang
bị phép tốn cộng (kể cả binoid khơng giao hốn). Hơn nữa, trừ khi có sự nhầm
lẫn, chúng ta viết tắt là:
na = a + . . . + a và nA = {a1 + . . . + an | ai ∈ A} ,
với n ∈ N, a ∈ M, A ⊆ M, 0a = 0 và 0A = ∅.
Ví dụ 1.1.2.
(1) Binoid {∞}, tức là 0 = ∞ được gọi là binoid không và binoid {0, ∞} được
gọi là binoid tầm thường
(2) Thêm phần tử hút ∞ vào vị nhóm giao hốn (Nn , +, (0, . . . , 0)) , n ≥ 1,
∞

bằng cách xác định k + ∞ = ∞ tạo ra một binoid, ký hiệu là (Nn ) .
(3) Cho (R, +, ·) là một vành. Khi đó (R, ·) là một binoid.
Ví dụ 1.1.3. Cho V là tập tùy ý. Tập lũy thừa P (V ) là tập các tập con của V.
Khi đó ta có hai binoid sau:
P (V )∩ = (P (V ), ∩, V, ∅) và P (V )∪ = (P (V ), ∪, ∅, V )
Ta có P (∅) tạo ra binoid không và P ({1}) là binoid tầm thường. Nếu V là hữu
hạn, chúng ta viết tắt P ({1, . . . , n}) = Pn , n ≥ 1 và viết Pn,∩ và Pn,∪ cho các
binoid tương ứng. Các binoid con của P (V )∩ và P (V )∪ được cho bởi các tập hợp
con M ⊆ P (V ) chúng là đóng đối với phép toán ∪ và ∩, lần lượt chứa ∅ và V .
Nếu M là một binoid con của P (V )∪ (tương ứng P (V )∩ ), thì
M c = {U c | U ∈ M } ,
trong đó U c = V \ U là phần bù của U , là một binoid con của P (V )∩ (tương
ứng P (V )∪ ) vì U c ∪ W c = (U ∩ W )c (tương ứng U c ∩ W c = (U ∪ W )c ) với mọi
U, W ⊆ P (V ). Đặc biệt, mọi topo T = U | U ⊆ V mở trên tập khác rỗng V
xác định các binoid giao hoán liên quan đến phép hợp và phép giao, cụ thể là
(T , ∩, V, ∅) = T∩ và (T , ∪, ∅, V ) = T∪ , cũng như tập hợp tất cả các tập đóng

T c = {U c | U ∈ T } . Các binoid P (V )∪ và P (V )∩ sinh từ tôpô rời rạc trên V và
binoid do tơpơ tầm thường trên V chính là binoid tầm thường {V, ∅}.
4


Định nghĩa 1.1.4. Nửa binoid và vị nhóm thành lập bằng thêm một phần tử
hút và một phần tử đơn vị vào một nửa nhóm M sẽ được ký hiệu lần lượt là M ∞
và M 0 . Nếu M chứa phần tử hút, chúng ta viết M • = M \ {∞} .
Định nghĩa 1.1.5. Một tập định điểm (pointed set) (S, p) là tập S có phần tử
đặc biệt p ∈ S. Một ánh xạ (S, p) → (T, q) của các tập hợp điểm với p → q được
gọi là ánh xạ định điểm (pointed map). Tập hợp tất cả các ánh xạ định điểm
S → T sẽ được ký hiệu là mapp→q (S, T ) . Trong trường hợp T = S và p = q,
chúng ta chỉ cần viết mapp S. Tập mapp S là một binoid với phép hợp thành ánh
xạ S → S. Phần tử đơn vị được cho bởi idS và phần tử hút xác định bởi ánh xạ
không đổi cp : s → p, s ∈ S.
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra rằng mọi binoid có thể nhúng vào một
binoid gồm các ánh xạ
mapp S, ◦, idS , cp .
Đặc biệt, ta có một tập hợp M là một vị nhóm nếu và chỉ nếu nó là một nửa
nhóm định điểm (M, 0) với tính chất bổ sung của phần tử đơn vị 0. Tương tự,
nửa binoid M là một nửa nhóm định điểm (M, ∞) với tính chất xác định của ∞.
Khi quan sát điều này, một binoid M có thể được coi là một tập hợp định điểm
(M, p) theo hai cách khác nhau: Một tập hợp định điểm với p = 0 hoặc như một
tập hợp định điểm với p = ∞.
Tích và tổng trực tiếp của một họ (Si , pi )i∈I của các tập định điểm cũng là một
tập định điểm với phần tử (pi )i∈I và chúng trùng nhau nếu và chỉ nếu I là hữu
hạn; trong trường hợp này, chúng ta ký hiệu

i∈I

Si thay vì

i∈I

Si . Tương tự

các cấu trúc khác, ta có các khái niệm tổng, tích các binoid.
Định nghĩa 1.1.6. Cho M và N là binoids (hoặc nửa binoid). Một ánh xạ
ϕ : M → N là một đồng cấu binoid (nửa binoid) nếu nó là một đồng cấu (nửa
nhóm) và ϕ(∞M ) = ∞N . Hơn nữa, chúng ta gọi ϕ là một đơn cấu hoặc phép
nhúng nếu nó là đơn ánh, là một tồn cấu nếu nó là tồn ánh, là một đẳng cấu
nếu nó là song ánh, khi đó ta viết M ∼
= N. Tập im ϕ = ϕ (M ) là ảnh của ϕ và
tập ker(ϕ) = {a ∈ M | ϕ (a) = ∞N } là hạt nhân của ϕ . Tập hợp tất cả các đồng
cấu binoid từ M đến N được ký hiệu là hom(M, N )
5


Ghi chú 1.1.7. Một đồng cấu binoid thỏa mãn ker = {∞} khơng chắc là đơn
ánh. Ví dụ đồng cấu binoid: ϕ : N∞ → {0, ∞} với x → 0 nếu x = ∞ và ∞ → ∞
thỏa ker(ϕ) = {∞}, nhưng khơng phải là đơn ánh.
Ví dụ 1.1.8. Cho M là một binoid. Khi đó:
(1) Có đồng cấu binoid chính tắc {0, ∞} → M → {∞}.
(2) Nếu M là giao hoán, ánh xạ M → M với a → ka là đồng cấu binoid với mọi
k ∈ N.
(3) Mọi phần tử a ∈ M xác định đồng cấu binoid ϕa : N∞ → M với 1 → a.
Ngược lại, mọi đồng cấu binoid N∞ → M được xác định bằng ảnh của 1. Do đó,
hom (N∞ , M ) ∼
= M. Ảnh im ϕa được xác định bởi binoid con {∞, na | n ∈ N} và
ker ϕa = {∞} nếu và chỉ nếu a là lũy linh.

c
(4) P (V ) ∼
= P (V ) .

Ví dụ 1.1.9. Cho I = {1, . . . , n} , n ≥ 1.
n

(1) Các song ánh chính tắc Pn,∩ → {0, ∞} , A → (δi (A))i∈I và
n
Pn,∪ → {0, ∞} , A → δ¯i (A) i∈I , trong đó

 0, nếu i ∈ A,
δi (A) =
 ∞, nếu i ∈
/A
và


 ∞, nếu i ∈ A,
¯
δi (A) =
 0, nếu i ∈
/A

với i ∈ I là các đẳng cấu binoid.
(2) Cho (Mi )i∈I là một họ binoid và k ∈ I. Khi đó, phép chiếu trên thành phần
thứ k
Mi → Mk , (ai )i∈I → ak ,
i∈I

là toàn cấu binoid, tương ứng Mk

→

i∈I

Mi được xác định

bởi a → (∞, . . . , ∞, a, ∞, . . . , ∞) chỉ là một đồng cấu nửa binoid và tương ứng
a → (0, .., 0, a, 0, .., 0) chỉ là một đồng cấu vị nhóm (trong cả hai trường hợp a là
thành phần thứ k).
6


Bổ đề 1.1.10. Cho M là một binoid. Khi đó, tồn tại một phép nhúng binoid
M → map∞ M, a → (tx : y → x + y) .
Chứng minh. Ánh xạ này là một đồng cấu binoid vì
(tx ◦ tx ) (y) = x + x + y = tx+x (y),
với mọi x, y ∈ M, 0 → t0 = idM và ∞ → (t∞ : y → ∞) . Ánh xạ là đơn cấu vì
từ tx = tx tương đương với x + y = x + y với mọi y ∈ M, kéo theo x = x với
y = 0.

1.2. Tập sinh binoid
Định nghĩa 1.2.1. Cho M là một binoid và A là một tập con của M. Vì giao
của một họ các binoid con của M cũng là binoid con của M nên tồn tại một
binoid con nhỏ nhất của M chứa A và được gọi là binoid sinh bởi A, ký hiệu là
A.
Nếu M = A thì ta nói M sinh bởi A và A được gọi là một hệ sinh, các phần
tử của A được gọi là các phần tử sinh của M. Trong trường hợp này, A được gọi
là hệ sinh tối tiểu của M nếu khơng có tập con thực sự nào của A sinh ra M.

Một binoid được gọi là hữu hạn sinh nếu nó được sinh bởi một tập hữu hạn. Một
binoid hữu hạn sinh có hệ sinh (tối tiểu) có n phần tử và mọi hệ sinh khác của
M có nhiều hơn hoặc bằng n phần tử được gọi là n-phần tử sinh. Một binoid hữu
hạn chỉ chứa hữu hạn các phần tử. Định nghĩa này cũng được áp dụng cho nửa
binoid S và tập con A ⊂ S nếu các điều kiện trên đúng với binoid S 0 và A.
Một hệ sinh A của M sinh ra M như là một vị nhóm nếu và chỉ nếu tồn tại
các phần tử a, b ∈ M • sao cho a + b = ∞ (tính chất này sau này sẽ được gọi là
không tách rời). Mặt khác, A ∪ {∞} sinh ra M là một vị nhóm. Đặc biệt, một
binoid là hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu nó là một vị nhóm hữu hạn sinh.
Ví dụ 1.2.2. Từ định nghĩa ta có một số ví dụ đơn giản sau
(1) Binoid không ∞ là binoid hữu hạn sinh bởi ∅ là một vị nhóm và cũng là
một binoid. Binoid tầm thường {0, ∞} như binoid sinh bởi ∅ nhưng {∞} là vị
nhóm sinh của nó.
7


(2) N∞ = 1 như binoid nhưng là tập sinh của vị nhóm N∞ sinh bởi 1 và ∞.
Tổng quát (Nn )∞ với n ≥ 1 là binoid hữu hạn sinh với hệ sinh là với các phần tử
ei := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), i ∈ {1, . . . , n},
trong đó 1 ở vị trí phần tử thứ i và (Nn )∞ với n ≥ 1, còn là binoid hữu hạn sinh
bởi vị nhóm (∞, . . . , ∞) và ei , i ∈ {1, . . . , n}.
Bổ đề 1.2.3. Một binoid giao hoán M là hữu hạn nếu và chỉ nếu M hữu hạn
sinh và mọi binoid con 1-phần tử sinh của M là hữu hạn.
Chứng minh. Mọi binoid giao hoán hữu hạn sinh M = x1 , . . . , xr , r ∈ N đều
xác định một tồn cấu chính tắc
r

r

x −→ M với (n1 x1 , . . . , nr xr ) −→

i=1

ni xi .
i=1

Tích trên là hữu hạn vì các thành phần của nó là hữu hạn theo giả thiết. Vì ánh
xạ là tồn cấu nên M hữu hạn.
Nếu M là một binoid sinh bởi A (không nhất thiết phải hữu hạn) thì mọi phần
tử f ∈ M • có thể viết dưới dạng tổng hữu hạn các phần tử của M. Trong trường
hợp M giao hốn, ta có thể viết
na a với na ∈ N và na = 0 với hầu hết a ∈ A.

f=
a∈A

Hiển nhiên biểu diễn này không phải là duy nhất.
Định nghĩa 1.2.4. Cho V là một tập hợp các phần tử bất kỳ. Kí hiệu M (V ) là
vị nhóm tự do chứa tất cả các tổng hữu hạn các phần tử của V với phép toán
cộng xác định bởi
(x1 + . . . + xn ) + (y1 + . . . + ym ) := x1 + . . . xn + y1 + . . . + ym ,
trong đó xi , yj ∈ V, i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . , m} và tổng trên tập rỗng (:= 0) là
phần tử trung lập. Binoid M (V )∞ =: F (V ) được gọi là binoid tự do trên V.
Bổ đề 1.2.5. Mọi phần tử khác ∞ của F (V ) đều có thể được viết duy nhất dưới
dạng một tổng các phần tử của V.
8


Chứng minh. Điều này là hiển nhiên vì x1 + . . . + xn = (x1 ) + . . . + (xn ).
Rõ ràng F (V ) là giao hoán nếu và chỉ nếu V = {x} là một đơn thức. Trong
một binoid giao hốn có nhiều hơn một phần tử sinh, biểu diễn trên không là duy

nhất. Ta dễ kiểm tra được kết quả sau:
Bổ đề 1.2.6. Cho M là một binoid. Mọi tập con A = {ai | i ∈ I} ⊆ M đều cảm
sinh duy nhất một đồng cấu binoid
ε : F (I) −→ M, i −→ ai , i ∈ I
là toàn cấu khi và chỉ khi A sinh ra M.
Chứng minh. Chứng minh này là dễ dàng.
Bổ đề suy ra rằng: Với mọi tập sinh A = {ai | i ∈ I} của binoid M có tồn
cấu binoid chính tắc
ε : F (I) −→ M, i −→ ai , i ∈ I.
Định nghĩa 1.2.7. Cho M là một binoid giao hốn. Ta nói M là binoid giao
hoán tự do nếu tồn tại đồng cấu ε : N(I)

∞

→ M với mọi tập I (I có thể vơ hạn).

Họ các phần tử (ε(ei ))i∈I của M gọi là cơ sở của M . Binoid giao hoán tự do với
cơ sở V được ký hiệu là F C (V ) hoặc là F Cn nếu V = {1, ..., n} .
Bổ đề 1.2.8. Mọi phần tử f = ∞ của binoid giao hoán tự do hữu hạn sinh với
cơ sở (xi )i∈I xác định duy nhất một biểu thức f =

i∈I

ni xi với ni = 0 với hầu

hết mọi i ∈ I .
Ví dụ 1.2.9. Binoid giao hốn Z∞ khơng giao hốn tự do vì các phần tử nghịch
đảo không tầm thường, 0 ∈ Z∞ tạo ra các biểu thức khơng duy nhất. Tồn cấu
binoid chính tắc ϕ : N2

∞

→ Z∞ ; (1, 0) → 1; (0, 1) → −1 khơng là nội xạ vì

chẳng hạn như ϕ−1 (0) = {(m, n) | n ∈ Z} .
Bổ đề 1.2.10. Cho một họ các phần tử giao hoán (ai )i∈I của binoid M , i.e.ai +
aj = aj + ai với mọi i, j ∈ I; tồn tại duy nhất một đồng cấu binoid
ε : F C (I) → M, i → ai , i ∈ I
là toàn ánh nếu và chỉ nếu {ai | i ∈ I} hệ sinh của M.
9


Định nghĩa 1.2.11. Cho V là một tập tùy ý. Các binoid cảm sinh từ F(V ) và
FC(V) bằng cách trang bị phép toán cộng Ri , i ∈ I, giữa các phần tử của V, ký
hiệu bởi
F(V )/ (Ri )i∈I

and

FC(V )/ (Ri )i∈I

Ở đây, chúng ta ngầm thừa nhận các tính chất của một vị nhóm xác định bởi các
phần tử sinh với quan hệ được cho bởi định nghĩa trên một cách sơ sài.
Định nghĩa 1.2.12. Cho M là một binoid giao hốn khác khơng. Ta nói M là
một binoid nửa tự do với nửa cơ sở (ai )i∈I nếu M sinh bởi {ai |i ∈ I} , sao cho
mỗi phần tử f ∈ M • có thể viết được duy nhất dưới dạng f =

i∈I

ni ai , ni = 0

với hầu hết i ∈ I. Khi đó, tập {ai |ni = 0} =: supp(f ) được gọi là tập hỗ trợ của
f. Một nửa binoid giao hoán S là nửa tự do nếu binoid S 0 là nửa tự do.
Rõ ràng, mọi binoid giao hoán hữu hạn sinh tự do là nửa tự do (xem Hệ quả
1.3.17) và một nửa cơ sở luôn là hệ sinh tối tiểu. Binoid nửa tự do là lớp đại diện
quan trọng của các binoid giao hốn, xem Hệ quả 1.8.10.
Ví dụ 1.2.13.
(i) Binoid N(I)

∞

là nửa tự do với nửa cơ sở ei , i ∈ I.

(ii) Phần tử sinh 1 và −1 của Z∞ khơng là nửa cơ sở vì 0 = n · 1 + n · (−1) với
mọi n ≥ 1. Thật vậy, Z∞ không là nửa tự do. Mọi hệ sinh tối tiếu của Z∞ được
cho bởi hai số nguyên n, m ∈ Z với n > 0, m < 0, và gcd(n, −m) = 1. Do đó,
˜ + lm
˜ = −1 với k,
˜ ˜l > 0, cộng mn − nm = 0
kn + lm = 1 với k, l > 0 kéo theo kn
vào hai vế ta được −kn − lm = −1. Áp dụng cho phương trình trên ta thu được
một biểu diễn khơng duy nhất của 0 theo n và m.

1.3. Một số lớp binoid đặc biệt
Định nghĩa 1.3.1. Cho M là một binoid (hoặc nửa binoid). Một phần tử a ∈ M
được gọi là lũy linh nếu tồn tại n ≥ 1 sao cho
na = a + . . . a = ∞.
Tập hợp các phần tử lũy linh ký hiệu là nil(M ).
Ta nói M là rút gọn nếu nil(M ) = {∞} và M là rút gọn mạnh nếu a + a + b = ∞
kéo theo a + b = ∞, với a, b ∈ M.

10


Bổ đề 1.3.2. (1) Một binoid rút gọn mạnh là một binoid rút gọn.
(2) Một binoid giao hoán là rút gọn mạnh nếu và chỉ nếu nó là rút gọn.
Chứng minh. (1) Nếu tồn tại a và n ≥ 2 sao cho na = ∞ trong một binoid rút
gọn mạnh thì bằng cách áp dụng nhiều lần
∞ = na = a + a + (n − 2)a = a + (n − 2)a = (n − 1)a,
ta thu được ∞ = 2a = a + a + 0. Do đó ta có ∞ = a + 0 = a.
(2) Bằng cách cộng b vào hai vế của phương trình a + a + b = ∞ trong binoid
giao hoán, ta suy ra 2(a + b) = ∞. Do đó a + b = ∞ nếu binoid đó là binoid rút
gọn.
Định nghĩa 1.3.3. Cho M = {∞} là một binoid (hoặc nửa binoid). Một phần
tử a ∈ M • được gọi là nguyên nếu từ a + b = ∞ hoặc b + a = ∞ kéo theo b = ∞.
Tập các phần tử nguyên của M ký hiệu là int(M ) và phần bù M \ int(M ) ký hiệu
là intc (M ). Ta nói M là nguyên nếu M • là một vị nhóm con (hoặc tương ứng là
nửa nhóm con) của M, nghĩa là M • chỉ chứa các phần tử nguyên.
Ví dụ 1.3.4. (1) Theo định nghĩa (Nn )∞ là một binoid nguyên và (Zn )∞ là một
nhóm binoid. Mặt khác, binoid (N∞ )n , n ≥ 2 hiển nhiên là khơng ngun.
(2) Khái niệm về tính chất nguyên của vành R và binoid (R, ·, 1, 0) là trùng
nhau, nghĩa là các phần tử không nguyên chính là các ước của khơng trong R.
Do đó intc (R) = {0} nếu và chỉ nếu R là miền nguyên.
Bổ đề 1.3.5. Phần tử lũy linh là không nguyên, nghĩa là nil(M ) ⊆ intc (M ) đối
với mỗi binoid. Đặc biệt, mỗi binoid nguyên là một binoid rút gọn.
Chứng minh. Điều này được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Bổ đề 1.3.6. Tập con Mint := int(M ) ∪ {∞} ⊆ M là một binoid con nguyên với
mọi binoid M khác không.
Định nghĩa 1.3.7. Cho M là một vị nhóm (hoặc binoid khác khơng). Một phần
tử u ∈ M được gọi là phần tử đơn vị nếu tồn tại một phần tử a ∈ M sao cho
a + u = u + a = 0. Phần tử a được xác định duy nhất (đối với phép toán cộng) và

được gọi là phần tử đối của u, ký hiệu là −u. Tập tất cả các phần tử đơn vị M ×
11


là binoid con của M , là nhóm con đơn vị của M nếu M là nhóm. Tập các phần
tử khơng đơn vị M \ M × ký hiệu là M+ . Ta nói M là dương nếu nó có một nhóm
đơn vị tầm thường, nghĩa là M \ {0} = M+ . Một nhóm binoid là một binoid G
sao cho Gã = Gì , ngh l Gã l mt nhóm.
Trong phần này ta quy ước nếu R là một vành thì R∞ kí hiệu nhóm binoid
(giao hốn) được xây dựng bởi các phần tử hút liền kề của RF đối với cấu trúc
cộng. Chẳng hạn
(Zn )∞ = (Zn ∪ {∞}, +, (0, . . . , 0), ∞) và (Z/mZ)∞ = (Z/mZ ∪ {∞}, +, [0], ∞),
trong đó n ≥ 1 và m ≥ 2.
Ví dụ 1.3.8. Nếu (Mi )i∈I là một họ các binoid khác khơng thì
×

Mi

MI× .

=

i∈I

i∈I

Bổ đề 1.3.9. Mọi phần tử đơn vị của binoid khác khơng M đều ngun, nghĩa
là M × ⊆ int(M ).
Định nghĩa 1.3.10. Cho M là nửa nhóm. Một phần tử f ∈ M được gọi là lũy
đẳng nếu f + f = f. Một nửa nhóm được gọi là boolean nếu mọi phần tử của nó

là lũy đẳng. Tập các phần tử lũy đẳng ký hiệu là bool(M ). Một nửa nhóm giao
hốn và boolean được gọi là nửa lưới.
Ví dụ 1.3.11. Phần tử đồng nhất và phần tử hút luôn là phần tử lũy đẳng.
Đặc biệt, tập các phần tử lũy đẳng của binoid giao hoán M là binoid con vì
2(a + b) = 2a + 2b = a + b với các phần tử lũy đẳng a, b ∈ M. Chính xác hơn thì
bool(M ) là binoid con boolean lớn nhất của binoid giao hoán M.
Bổ đề 1.3.12. Mọi binoid boolean đều dương và rút gọn.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh tính dương của binoid boolean. Thật vậy,
giả sử a + b = 0 với a, b là hai phần tử lũy đẳng. Cộng a vào vế trái và cộng b vào
vế phải ta được a = a + b = b. Do đó a = b = 0.
Sau đây là khái niệm về tính xoắn và triệt tiêu.

12


Định nghĩa 1.3.13. Cho M là một binoid (hoặc nửa binoid). Một phần tử a ∈ M
là phần tử xoắn nếu a = ∞ hoặc tồn tại b ∈ M, b = a sao cho na = nb, với n ≥ 2.
Ta nói M là khơng xoắn nếu nó khơng có phần tử xoắn nào khác ngồi ∞, nghĩa
là na = nb kéo theo a = b, với mọi a, b ∈ M và n ≥ 1. Nếu na = nb = ∞ kéo
theo a = n với mọi a, b ∈ M và n ≥ 1 thì M được gọi là không xoắn đến bậc lũy
linh (torsion-free up to nilpotence).
Theo định nghĩa, một binoid là không xoắn nếu và chỉ nếu nó rút gọn và khơng
xoắn đến bậc lũy linh. Với khái niệm này, một vị nhóm khơng có phần tử hút là
không xoắn nếu M ∞ là một binoid khơng xoắn. Một nhóm G là một nhóm xoắn
nếu và chỉ nếu mọi phần tử của G∞ đều là phần tử xoắn. Đặc biệt, nhóm đơn vị
M × khơng là khơng xoắn.
Một ví dụ quan trọng về binoid khơng xoắn đến bậc lũy linh nhưng (nhìn
chung) khơng rút gọn được cho bởi Hệ quả 1.8.10. Tập tất cả các phần tử xoắn
trong một binoid là không xoắn đến bậc lũy linh chính là nil(M ). Nhìn chung,
tập tất cả các phần tử xoắn của M khơng có cấu trúc được chỉ ra trong ví dụ

sau.
Ví dụ 1.3.14. Xét binoid M = FC(x, y)/(10x + 2y = ∞). Phần tử x và y không
phải phần tử xoắn nhưng mọi phần tử nx + my với n, m ≥ 1 là phần tử xoắn.
Bổ đề 1.3.15. (1) Mọi phần tử lũy linh đều là phần tử xoắn.
(2) Binoid boolean là không xoắn.
Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Mệnh đề 1.3.16. Mọi binoid giao hoán hữu hạn sinh M là dương và có luật giản
ước đều nhận duy nhất một hệ sinh tối tiểu xác định bởi M+ \ 2M+ .
Chứng minh. Do M là binoid dương nên mọi hệ sinh của M đều được chứa trong
M+ = M \ {0}. Trước hết ta chứng minh M+ \ 2M+ chứa bất kỳ hệ sinh tối
tiểu nào của M, từ đó suy ra nó cũng là một hệ sinh của M. Thật vậy, lấy tùy ý
{x1 , . . . , xr } là hệ sinh tối tiểu của M và giả sử x1 ∈
/ M+ \ 2M+ . Khi đó tồn tại
y, z ∈ M+ sao cho x1 = y + z. Suy ra x1 = n1 x1 + · · · + nr xr với tối thiểu hai số
ni ≥ 1 hoặc một số ni ≥ 2, i ∈ I. Nếu n1 = 0 thì theo tính có luật giản ước của
13


M ta có một đẳng thức khơng tầm thường
0 = (n1 − 1)x1 + n2 x2 + · · · + nr xr .
Điều này mẫu thuẫn với M × = {0}. Do đó n1 = 0 và x1 có thể được loại bỏ
khỏi hệ sinh {x1 , . . . , xr }, mâu thuẫn với tính tối tiểu của {x1 , . . . , xr }. Vì vậy,
{x1 , . . . , xr } ⊆ M+ \ 2M+ . Ta có thể thấy ngay tính tối tiểu của M+ \ 2M+ vì
nếu x ∈ M+ \ 2M+ có thể được loại bỏ thì biểu thức x = n1 y1 + · · · ns ys , với
yi ∈ M+ \ 2M+ có ít nhất một số ni = 0, i ∈ {1, . . . , s}. Điều này có nghĩa là tồn
tại i ∈ {1, . . . , s} sao cho x = yi vì x ∈
/ 2M+ . Do đó x khơng thể bị loại bỏ. Lập
luận tương tự ta thấy M+ \ 2M+ phải chứa trong mọi hệ sinh của M.
Hệ quả 1.3.17. Một binoid hữu hạn sinh là giao hoán tự do nếu và chỉ nếu nó
là binoid giao hốn, ngun và nửa tự do.

Chứng minh. Tất cả các tính chất của binoid giao hoán tự do đều xuất phát từ
thực tế là (Nn )∞ có các tính chất này. Ngược lại, theo Mệnh đề 1.3.16 binoid M
với các tính chất đã cho nhận một hệ sinh tối tiểu là M+ \ 2M+ = {x1 , . . . , xn }.
Vì M là nửa tự do và ngun nên tồn cấu binoid chính tắc
(Nn )∞ −→ M với ei −→ xi , i ∈ {1, . . . , n}
là đơn ánh.
Chứng minh của Hệ quả 1.3.17 cho thấy tập M+ \ 2M+ hữu hạn. Ta có thể
tổng quát hóa như sau.
Bổ đề 1.3.18. Cho M là một binoid dương và giao hốn hữu hạn sinh. Khi đó
tập M+ \ nM+ là hữu hạn sinh với mọi n ≥ 1.
Chứng minh. Giả sử {x1 , . . . , xr } là hệ sinh tối tiểu của M. Khi đó, do tính dương
của M nên x1 , . . . , xr ∈ M+ . Do đó
r

nM+ =

n1 x1 + · · · + nr xr |

ni ≥ n .
k=1

Điều này dẫn đến
n−1

#(M+ \ nM+ ) ≤ {(n1 , . . . , nr ) | n1 + · · · + nr < n} =
k=1 n1 +···+nr =k

14

k

.
n1 , . . . , nr


Đặc biệt, M+ \ nM+ hữu hạn với mọi n ≥ 1.
Định nghĩa 1.3.19. Cho M là một binoid dương và giao hoán hữu hạn sinh.
Ánh xạ
H(−, M ) : N −→ N với H(n, M ) := #(M \ nM+ ) nếu n ≥ 1 và H(0, M ) := 0
được gọi là hàm Hilbert-Samuel của M và
H(n, M )T n

H(M ) :=
n∈N

là chuỗi Hilbert-Samuel của M.

1.4. Quan hệ tương đương
Định nghĩa 1.4.1. Một tương đương trên một binoid M là một quan hệ tương
đương ∼ trên M tương thích với phép cộng, nghĩa là nếu a, b ∈ M mà a ∼ b thì
a + c ∼ b + c và c + a ∼ c + b, với mọi c ∈ M. Ta ký hiệu lớp tương đương của
a ∈ M là [a] (hoặc a
¯) và tập tất cả các lớp tương đương ký hiệu là M/ ∼ . Giả sử
∼1 và ∼2 là hai tương đương trên một binoid. Khi đó giao của hai tương đương
∼1 ∩ ∼2 là một tương đương ∼ trên M xác định với a, b ∈ M
a ∼ b nếu a ∼1 b hoặc a ∼2 b.
Ta viết ∼1 ≤∼2 nếu a ∼1 b kéo théo a ∼2 b, với mọi a, b ∈ M.
Trên tập các tương đương của binoid xác định một quan hệ thứ tự toàn phần
≤ nên tồn tại tương đương lớn nhất và tương đương nhỏ nhất. Nghĩa là, tồn tại
tương đương ∼u và ∼id sao cho ∼id ≤∼≤∼u , với mọi ∼ trên binoid. Theo đó, tính
phổ dụng tương đương ∼u thể hiện mối liên hệ giữa hai phần tử phân biệt bất kỳ

với nhau và tính đồng nhất tương đương ∼id thể hiện mối liên hệ giữa hai phần
tử trùng nhau.
Mệnh đề sau mô tả khái niệm tương đương của đồng cấu và đẳng cấu của một
binoid trước khi nghiên cứu về binoid giao hoán tự do và binoid hữu hạn sinh.
Mệnh đề 1.4.2. Cho M là một binoid và ∼ là một tương đương trên M, thương
M/ ∼ là một binoid với phép toán cộng
[a] + [b] := [a + b]
15


sao cho ánh xạ chính tắc M −→ M/ ∼, a −→ [a] là toàn cấu binoid. Ngược lại,
nếu ϕ : M −→ N là tồn cấu binoid thì quan hệ ∼ϕ trên M định nghĩa bởi a ∼ϕ b
nếu ϕ(a) = ϕ(b) là tương đương trên M sao cho M/ ∼ϕ −→ N, a −→ ϕ(a) là
đẳng cấu binoid.
Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra được M/ ∼ là binoid với phép toán đã cho và ∼ϕ
là tương đương trên M. Chiều ngược lại được suy ra từ kết quả sau.
Bổ đề 1.4.3. Nếu ϕ : M −→ N là đẳng cấu và ∼ là một tương đương trên M
với ∼≤∼ϕ thì tồn tại duy nhất một đồng cấu ϕ˜ sao cho biểu đồ sau giao hoán
M
π

ϕ

/

;N

ϕ
˜



M/ ∼ .
Đặc biệt, với hai tương đương ∼1 và ∼2 trên M, quan hệ ∼1 ≤∼2 tương đương với
ánh xạ M/ ∼1 −→ M/ ∼2 , [a]1 −→ [a]2 được định nghĩa là tồn cấu binoid.
Ghi chú 1.4.4. Thơng thường, tương đương ∼ϕ được định nghĩa bởi đồng cấu
vị nhóm ϕ : M −→ N như trong Mệnh đề 1.4.2 thường được ký hiệu là ker ϕ,
xem ví dụ trong [6], [7], [10]. Những tính chất này chủ yếu được suy ra từ định
lý đẳng cấu nổi tiếng
M/ ∼ϕ ∼
= im ϕ
có thể phát biểu với định nghĩa chung, chẳng hạn xem [10], Mệnh đề 8.2. Hoặc
có thể do khơng có phần tử hút nào được đưa vào định nghĩa của ker . Chú ý
rằng (tiếp tục với định nghĩa của ta) đồng cấu binoid cảm sinh bởi ker ϕ không
nhất thiêt là đẳng cấu, xem Ghi chú 1.8.8 ở phía sau. Mặt khác, nếu ϕ là đồng
cấu binoid sao cho ϕ|M \ker ϕ là đơn ánh, nghĩa là ker ϕ được định nghĩa bởi tương
đương ∼ϕ thì đồng cấu cảm sinh là một đẳng cấu, xem Ghi chú 1.8.8.
Rất phổ biến để tìm đồng nhất của tương đương ∼ với tập
R(∼) := {(a, b) | a ∈ M } ⊆ M × M.
Chẳng hạn, R(∼i ) = M × M và R(∼id ) là đường chéo
D := {(a, a) | a ∈ M } ⊆ M × M.
16


Mặt khác, mọi tập con R ⊆ M × M sinh ra một tương đương trên M. Ví dụ tập
R := {(a + c, b + c) | (a, b) ∈ R ∪ R−1 ∪ D, c ∈ M },
trong đó R−1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R}. Quan hệ ∼R trên M được cho bởi
a ∼R b :⇔ ∃ a = a1 , a2 , . . . , an = b sao cho (a1 , ai+1 ) ∈ R , i ∈ {1, . . . , n − 1},
là tương đương trên M.
Định nghĩa 1.4.5. Cho M là một binoid và tập con R ⊆ M × M. Tương đương

∼R được định nghĩa như trong Ghi chú 1.4.4 là tương đương sinh bởi quan hệ R.
Một tương đương ∼ trên binoid M được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại một tập
con hữu hạn R ⊆ M × M sao cho ∼ là tương đương sinh bởi R.
Ghi chú 1.4.6. [Binoid Noether] Tập tất cả các tương đương trên một binoid
M là tập sắp thứ tự tồn phần với quan hệ ≤, trong đó ∼1 ≤∼2 tương đương với
R(∼1 ) ⊆ R(∼2 ).
Ví dụ 1.4.7. Cho M là một binoid giao hoán sinh bởi {ai | i ∈ I}. Nếu ε :
FC(I) −→ M là tồn cấu chính tắc i −→ ai thì M ∼
= FC(I)/ ∼ε theo Mệnh đề
1.4.2. Do đó M đã cho sinh bởi tập {ai | i ∈ I} và họ các quan hệ ε(yj ) = ε(zj )
(nghĩa là Rj : yj ∼ε zj , j ∈ J) cảm sinh ra ∼ε . Điều này đúng với phát biểu
trong Định nghĩa 1.2.1
M = FC(I)/(Rj )j∈J .
Nếu #I = r thì M ∼
= (Nr )∞ , trong đó ε : ei → ai , i ∈ {1, . . . , r}.
Tương tự như đối với nửa nhóm và vị nhóm, tập chỉ số J trong ví dụ trên có
thể thay bởi một tập con hữu hạn nếu M là binoid giao hoán hữu hạn sinh. Kết
quả này được biết đến là Định lý Resdei và chứng minh đối với binoid giống hệt
với nửa nhóm và vị nhóm.
Bổ đề 1.4.8. Cho ∼ là tương đương trên binoid giao hoán tự do Nn )∞ và J (∼) là
iđêan của vành đa thức Z[X1 , . . . , Xn ] là đại số binoid của (Nn )∞ trên Z, sinh bởi
các binoid X a − X b , trong đó a, b ∈ (Nn )∞ sao cho a ∼ b và X c = X1c1 · · · Xncn với
c = (c1 , . . . , cn ) ∈ Nn và X ∞ = 0. Khi đó a ∼ b nếu và chỉ nếu X a − X b ∈ J (∼).

17


Định lý 1.4.9. [Định lý Rédei] Mọi tương đương trên binoid giao hoán tự do
(Nn )∞ là hữu hạn sinh.
Chứng minh. Giả sử ∼ là tương đương trên (Nn )∞ . Nếu ∼ khơng hữu hạn sinh

thì tồn tại một dãy tăng dần R1 ⊂ R2 ⊂ · · · ⊂ Rk ⊂ · · · của các tập con hữu hạn
R(∼) = {(a, b) | a ∼ b}, cảm sinh ra chuỗi tăng dần các tương đương
∼R1 ≤ ∼R2 ≤ · · · ≤ ∼Rk ≤ · · ·
trên (Nn )∞ . Theo giả thiết của ∼ chuỗi này khơng thể dừng và do đó chuỗi tăng
dần các iđêan
J (∼R1 ) ⊆ J (∼R2 ) ⊆ · · · ⊆ J (∼Rk ) ⊆ · · ·
trong Z[X1 , . . . , Xn ] như trong Bổ đề 1.4.8 cũng không dừng. Điều này mâu thuẫn
với Định lý cơ sở Hilbert, xem [[9], Định lý 1.C.4].
Tương tự như định lý đối với vị nhóm, hệ quả của Định lý 1.4.9 có thể gọi là
Định lý Rédei cho binoid giao hoán hữu hạn sinh.
Hệ quả 1.4.10. Mọi binoid giao hoán hữu hạn sinh M với các phần tử sinh
x1 , . . . , xn đều có hữu hạn các quan hệ R1 , . . . , Rs sao cho
M∼
= FC(x1 , . . . , xr )/(Rj , j ∈ {1, . . . , s}).
Chứng minh. Điều này được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.4.9 khi
M∼
= (Nn )∞ / ∼ε ,
trong đó ε : (Nr )∞ −→ M là đồng cấu binoid chính tắc ei −→ xi , i ∈ {1, . . . , r}.

Định nghĩa 1.4.11. Một quan hệ tương đương ∼ trên M với tính chất π : M →
M/ ∼ là đơn ánh trên M \ ker π được gọi là một iđêan tương đương.
Ví dụ 1.4.12. Mọi đồng cấu binoid ϕ : M → N xác định một iđêan tương đương
(rất quan trọng) trên M, gọi là a ∼ker ϕ b nếu a = b hoặc a, b ∈ ker ϕ. Các phần
tử của M/ ∼ker ϕ được cho bởi [a] = {a} nếu a ∈
/ ker ϕ và [a] = [∞] trong trường
hợp còn lại. Khái niệm M/ ker ϕ với M/ ∼ker ϕ sẽ được sử dụng phía sau.

18

Bổ đề 1.4.13. Mọi đồng cấu binoid ϕ : M → N được phân tích duy nhất qua
M/ ker ϕ sao cho M/ ker ϕ là miền nguyên nếu N cũng là miền nguyên.
Dễ dàng chứng minh được kết quả sau.
Bổ đề 1.4.14. Nếu M là một binoid dương thì M/ ∼ cũng là binoid dương với
mọi iđêan tương đương ∼ .
Bổ đề 1.4.15. Cho M là một binoid giao hốn. Khi đó
(1) Quan hệ ∼int trên M được cho bởi a ∼int b nếu a = b hoặc a, b ∈ intc (M ),
là một iđêan tương đương sao cho M/ ∼int ∼
= Mint .
(2) Quan hệ ∼red trên M được cho bởi a ∼red b nếu a = b hoặc a, b ∈ nil(M ),
là một iđêan tương đương sao cho M/ ∼red =: Mred .
Chứng minh. Rõ ràng ∼int và ∼red là các quan hệ tương đương. Để chứng minh
∼int là một tương đương ta lấy a, b ∈ M với a ∼int b. Vì a = b nên a + c = b + c
với mọi c ∈ M. Do đó, ta xét trường hợp a, b ∈ intc (M ). Khi đó a + x = ∞ = b + y
với x, y ∈ M • . Do M giao hoán nên (a + c) + x = ∞ = (b + c) + y, với mọi c ∈ M
hay a + c ∼int b + c. Phát biểu cuối của (1) được suy ra từ tính chất [a] = [∞]
nếu và chỉ nếu a ∈ intc (M ) và [a] = {a} trong trường hợp còn lại. Chứng minh
phát biểu (2) tương tự như chứng minh (1).
Định nghĩa 1.4.16. Cho M là một binoid giao hoán. Hai phần tử a, b ∈ M được
gọi là liên kết của nhau nếu tồn tại phần tử đơn vị u của M sao cho a = b + u.
Bổ đề 1.4.17. Cho M là một binoid giao hoán. Quan hệ ∼pos trên M được
cho bởi a ∼pos b nếu a, b là liên kết của nhau, là một quan hệ tương đương nếu
M/ ∼pos =: Mpos là một binoid dương. Hơn nữa, Mpos ∼
= M khi và chỉ khi M
dương.
Chứng minh. Rõ ràng, ∼pos là một quan hệ tương đương. Lấy a ∼pos b, khi đó
a = b + u với u ∈ M × . Điều này kéo theo a + c = b + c + u với mọi c ∈ M do
tính chất giao hốn của M. Do đó, a + c ∼pos b + c. Khẳng định cuối cùng được
suy ra từ tính chất [u] = [0] với mọi phần tử đơn vị u. Chiều ngược lại là hiển
nhiên.

19


1.5. Tích smash
Định nghĩa 1.5.1. Cho (Si , pi )i∈I là một họ các tập định điểm và kí hiệu ∼∧ là
Si xác định bởi

quan hệ trên
i∈I

(si )i∈I ∼∧ (ti )i∈I :⇔ si = ti , ∀i ∈ I hoặc tồn tại k, l ∈ I sao cho sk = pk , tl = pl .
Khi đó tập định điểm
Si / ∼∧

Si :=
i∈I

i∈I

với điểm phân biệt [(pi )i∈I ] =: p∧ được gọi là tích smash của họ (Si , pi )i∈I . Lớp
[(si )i∈I ] ∈ ∧i∈I Si với (si )i∈I ∈

Si nào đó được ký hiệu là ∧i∈I Si .
i∈I

Ví dụ 1.5.2. Binoid M = FC(x, y)/(3x = x, 2y = 0) là một tích smash của
(M × )∞ và Mpos , nghĩa là M ∼
= (M × )∞ ∧ Mpos . Hơn nữa, với vành K ta có
K[M ] = K[X, Y ]/(X 3 − X, Y 2 − 1)

= K[X]/(X 3 − X) ⊗K K[Y ]/(Y 2 − 1)
= K[Mpos ] ⊗K K[(M × )∞ ].
Bổ đề 1.5.3. Cho (Mi )i∈I là một họ các binoid với quan hệ ∼∧ trên

Mi là một
i∈I

iđêan đồng dư sao cho

i∈I

Mi là một binoid với phần tử lũy linh ∧i∈I 0i =: 0∧ và

phần tử hút ∧i∈I ∞i =: ∞∧ . Hơn nữa phép nhúng chính tắc
ιk : Mk −→

Mi ,

a −→ ∧i∈I ai ,

i∈I

trong đó ak = a và ai = 0 với i = k là đồng cấu binoid
Chú ý rằng tích smash là binoid khơng nếu có một binoid không trong họ
binoid đã cho và i∈I {0, ∞} ∼
= {0, ∞}. Nhìn chung, ta có M ∧ {0, ∞} = M và
M ∧ {∞} = {∞∧ } với mọi binoid M. Do đó {0, ∞} là một yếu tố bất động và
{∞} là một yếu tố hút trong phạm trù của binoid B với quan hệ trên tích smash.
Ví dụ 1.5.4. Nếu (Mi )i∈I là một họ hữu hạn các binoid khác không và Ai ⊆ Mi
là hệ sinh của Mi , i ∈ I thì

i∈I

Mi được sinh bởi

aei := 0 ∧ · · · ∧ 0 ∧ a ∧ 0 ∧ · · · ∧ 0, a ∈ Ai , i ∈ I,
20