trường tĩnh điện trong chân không vật lý 1 đại học bk hcm

1

Tóm tắt bài giảng Vật lý A1

CHƯƠNG 6: TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN
6.1 Khái niệm cơ bản

Điện tích nguyên tố là điện tích nhỏ nhất có trong tự nhiên e = 1,6 x 10-19 C.
Vật tích điện dương: khi nguyên tử hay phân tử trung hòa của vật bị mất electron.
Vật tích điện âm: khi nguyên tử hay phân tử trung hòa của vật nhận thêm electron.
Điện tích điểm: vật có kích thước rất nhỏ tích điện.
Hệ điện tích điểm: tập hợp nhiều điện tích điểm phân bố rời rạc.
Vật tích điện: là hệ điện tích điểm phân bố liên tục và có mối liên kết rắn.
Định luật bảo toàn điện tích:“ Trong 1 hệ cô lập, điện tích luôn được bảo toàn”.
-

.c
om

a)
b)
c)
d)
e)
f)

6.2 Định luật coulomb: Định luật tương tác giữa 2 điện tích điểm.

Phát biểu: Hai điện tích điểm q1 và q2 đặt cách nhau một đoạn r thì chịu tác dụngr tương tác
r
r

F2
r r
k q1 .q 2 r21
F
q2
bởi lực F1 , F2 .
F1 = . 2 .
1
r
r21
ε r
r21
r
k q .q r
F2 = . 1 2 2 . 12
q1
r12
ε r

co

ng

r
F1

g

1
Nm 2

=
2
4π .ε 0
C

du
on

k = 9.10 9

th

an

q1 , q2 : các điện tích điểm
r
r21
: vectơ đơn vị hướng từ điện tích gây ra tác dụng q2 đến điện tích chịu tác dụng q1 .
r21

C 2 : hằng số điện
Nm 2
ε : là hằng số điện môi của môi trường >1.
Môi trường chân không ε =1, không khí ε ~1

cu

u

⇒ ε 0 = 8.86.10 −12

⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩

* Điểm đặt: tại điện tích đang xét.
* Phương: đt nối từ q1 đến q2
* Chiều: q1.q2 > 0 lực đẩy
q1.q2 < 0 lực hút
k q .q
* Độ lớn: F1 = F2 = . 1 2 2
ε r

6.3 Điện trường

6.3.1 Điện trường của một điện tích điểm: điện tích điểm q tạo xung quanh nó một điện
r
trường và để xác định điện trường đó tại một vị trí thông qua một đại lượng hữu hướng E gọi
là vectơ cường độ điện trường.
r
r
k .q r
⎧ * Điểm đặt: điểr m đang xét M.
.
EM =
q
M

ε .r 2 r
i từ q đến M
⎪ * Phương: đt F2 nố
r
⎪
⎨ * Chiều: q > 0 Er hướng xa điện tích
q < 0 E hướng vào điện tích
⎪
⎪⎩ * Độ lớn: Er M = E M = k.q
ε .r 2

   1

ĐH Bách Khoa TP.HCM – Th.S TRẦN ANH TÚ 

CuuDuongThanCong.com

/>

2

Tóm tắt bài giảng Vật lý A1
6.3.2 Điện trường của một hệ điện tích điểm ( q1 , q2 ,..., q n ) tại M như sau:

q1

r
r
k .q1 r1
.

E1 =
ε .r12 r1

M

qn

r
r
k .qn rn
En =
.
ε .rn2 rn

M

(q1,…,qn)

n r
r
E = ∑ Ei

M

1

.c
om

Nguyên lý chồng chất điện trường: Điện trường của một hệ điện tích điểm bằng tổng

điện trường của từng điện tích điểm riêng lẻ của hệ.

n

n

n

1

1

1

an

n

E x = ∑ Eix , E y = ∑ Eiy , E z = ∑ Eiz

th

r r
r
r
E = E x + E y + E z vaø E = E x2 + E y2 + E z2

z Er

q1

g

du
on

n

y r
dE
z

M

x

cu

u

Ghi chú:
r
* Nếu các d E cùng phương ta cộâng đại số.
E = ∫ dE

r
E

qn

q2

6.3.3 Điện trường của một vậtä tích điện
r
dE
dq
M
r
r
E = ∫ dE
VTĐ
M
Vtd

r
E2 y r
E1

r
r1

co

E = ∑ Ei
1
r
* Nếu các Ei khác phương ta chiếu lên ba phương:

r
F1

ng

Ghi chú:
r
* Nếu các Ei cùng phương ta cộâng đại số.

vtd

r
* Nếu các dE khác phương ta chiếu lên ba phương:
E x = ∫ dE x , E y = ∫ dE y , E z = ∫ dE z
Vtd

Vtd

dq

Vtd

r r
r
r
E = E x + E y + E z vaø E = E x2 + E y2 + E z2

   2

ĐH Bách Khoa TP.HCM – Th.S TRẦN ANH TÚ 

CuuDuongThanCong.com

/>
x


3

Tóm tắt bài giảng Vật lý A1
Ghi chú:
- Nếu vật là 1 dây tích điện:
Trên 1 phần tử chiều dài dq = λ .dl
Nếu vật là 1 mặt tích điện:

Trên 1 phần tử điện tích : dq= σ .dS ⇒ σ =

-

dq
(C/m2): mật độ điện tích mặt
dS

Nếu vật là 1 khối tích điện:

Trên 1 đơn vị thể tích: dq= ρ .dV ⇒ ρ =

-

dq
(C/m): mật độ điện tích dài
dl

dq
(C/m3) : mật độ điện tích khối
dV

Nếu vật tích điện đều thì:
Q
Q
Q
;σ =
;ρ =
là hằng số.
L
S
V

cu

u

du
on

g

th

an

co

ng

λ=

.c
om

-

⇒λ=

   3

ĐH Bách Khoa TP.HCM – Th.S TRẦN ANH TÚ 

CuuDuongThanCong.com

/>

4

Tóm tắt bài giảng Vật lý A1

.c
om

p dụng:
r
1/ Xác định vectơ E do 1 lưỡng cực gây ra tại 1 điểm M trên trục đối xứng của lưỡng cực.

- Lưỡng cực điện là 1 hệ gồm 2 điện tích trái dấu, cùng độ lớn, đặt cách nhau 1 khoảng
l rất nhỏ.
r
r
Vectơ moment lưỡng cực điện : p e = q.l ( l hướng từ − q → + q )
q l
E = 2.E1 . cos α = 2 K 2 .
r
r1 2r1
EM
r
(vì r >> l)
k ql
k p
E M = − . 3 = − . 3e
ε r
ε r
r
r
EN
pe
r
k 2. p
-q
+q
Taïi N:
EN = . 3 e
l
ε r

cu

u

du
on

g

th

an

co

ng

2/ Điện trường gây ra bởi 1 đoạn dây thẳng L tích điện đều λ >0 gây ra tại 1 điểm M nằm trên
đường nối dài của dây và cách đầu gần nhất một đoạn a : dq = λ .dx
r
L
a
dE
dq
M
r r
r
r
dE E M x
E = ∫ dE

O
daây
M
day
x
λ .dx
k λ .dx k
r
dE =
=
2
2
ε r
ε ( L + a − x)
L
r
k .λ − d ( L + a − x)
k .λ ⎛ 1
1 ⎞
⎜⎜ −
⎟
⇒ E = ∫ d E ⇔ E = ∫ dE =
⇒ EM =
2
∫
ε 0 ( L + a − x)
ε ⎝ a ( L + a) ⎟⎠
dây
Tóm tắt:
⎧ * Điểm đặt: điểm đang xét M.

⎪ * Phương: đường thẳng sợi dây.
r ⎪ * Chiều: λ > 0 Er hướng xa sợi dây.
E M ⎨ * Độ lớn:
⎪ r
⎪⎩ E M = E M = k .λ .⎛⎜⎜ 1 − 1 ⎞⎟⎟
ε . ⎝ a ( L + a) ⎠
y
r
r
dE
dE y
3/ Điện trường gây ra bởi 1 đoạn dây thẳng tích điện
đều λ >0 gây ra tại 1 điểm M nằm ngoài dây và cách
dây một đoạn a : dq = λ .dx
r
r
x
d
E
d
E
dq
x
M
dây

M
k λ.dx
Với : dE =
ε r2

r
E =

r
d
E
∫

a

ϕ r

day

O

x
   4

ĐH Bách Khoa TP.HCM – Th.S TRẦN ANH TÚ 

CuuDuongThanCong.com

/>

5

Tóm tắt bài giảng Vật lý A1
r

* Các dEi khác phương ta chiếu lên hai phương:

∫ dE

Ex =

, Ey =

x

Vtd

∫ dE

y

,

Vtd

r r
r
E = E x + E y vaø E = E x2 + E y2

Với x = a.tgϕ ⇒ dx =

a.dϕ
a
vaø r =
2

cos ϕ
cos ϕ

a.dϕ
α
k .λ 2
cos 2 ϕ
E x = ∫ dE.(sin ϕ ) = ∫
. sin ϕ =
sin ϕ .dϕ
∫
2
ε
.
a
⎛
⎞
a
day
−α1
−α1
⎟⎟
ε ⎜⎜
2
⎝ cos ϕ ⎠
⇒ Ex =

k .λ .

k .λ

(cos α 1 − cos α 2 )
ε .a

a.dϕ
k .λ
cos 2 ϕ
E y = ∫ dE.(cos ϕ ) = ∫
.
cos
ϕ
=
ε .a
a2 ⎞
day
−α1 ⎛
⎟
ε ⎜⎜
2
⎟
⎝ cos ϕ ⎠
k .λ .

α2

∫ cos ϕ.dϕ

ng

α2

.c
om

α2

co

an

k .λ
[sin α 2 − sin(−α 1 )] = k.λ (sin α 2 + sin α 1 )
ε .a
ε .a

r
r
r
E M = E ⊥ + E // EM = E⊥ 2 + E// 2

Tóm tắt:

u

r
E //

du
on

r

E⊥

g

Chọn α2 > α1: giá trị số học
r
E

⎧
r ⎪⎪
E⊥ ⎨
⎪
⎪⎩

th

Ey =

−α1

cu

α2

α1

a

O

* Điểm đặt: điểm đang xét M.
* Phương: đt ⊥ dây tại M
* Chiều: hướng xa dây
k .λ
* Độ lớn: E ⊥ =
(sin α 2 + sin α 1 ) khi cM∈daây
ε .a
k .λ
(sin α 2 − sin α 1 ) khi hcM∉daây
E⊥ =
ε .a

⎧
r ⎪⎪
E // ⎨
⎪
⎪⎩

4/ Điện trường gây ra bởi 1 cung tròn (O,R) tích điện đều λ >0
gây ra tại tâm O: dq = λ .dx
góc chắn cung 2α
r
dE
dq
M
k λ.dl
r
r Với dE =
ε r2
E = dE

cung
M

* Điểm đặt: điểm đang xét M.
* Phương: đt ⊥ dây tại M
* Chiều: hướng về phía đoạn ngắn của
dây
k .λ
* Độ lớn: E // =
cos α 2 − cos α 1
ε .a
r
dE

∫

−α

α
ϕ

day

dq
   5

ĐH Bách Khoa TP.HCM – Th.S TRẦN ANH TÚ 

CuuDuongThanCong.com

/>

6

Tóm tắt bài giảng Vật lý A1
r
* Các dEi khác phương ta chiếu lên hai phương x, y:

∫ dE

Ex =

=0,

x

Vtd

Ey =

∫ dE

α

=

y

∫α

−

Vtd

k .λ.R.dϕ
. cos ϕ
ε .R 2

r
EO

2k .λ
. sin α
ε .R

⇒ E=

⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩

* Điểm đặt: điểm đang xét O.
* Phương: đường trung trực dây cung.
r
* Chiều: λ > 0 E hướng xa sợi dây.
r
2k .λ

* Độ lớn: EO = EO =
. sin α
ε .R

ng

.c
om

5/ Điện trường gây ra bởi 1 vành tròn (O,R) tích điện đều λ >0 gây ra tại điểm M nằm trên
r
trục của vành và cách O một ñoaïn h
EM
k .dq
h
, dE =
cos β =
2
2
ε .( R 2 + h 2 )
R +h
r β
dE
Tương tự ta có
M
E x = ∫ dE x = 0 ,

∫ dE

=

y

Vtd

day

k .Q.h
h.λ.R
=
3
2
2 3/ 2
ε .( R + h )
2.ε 0 .ε ( R 2 + h 2 ) 2

h
dq

O

R

th

⇒ EM =

k .dq
. cos β
2

+ h2 )

∫ ε .( R

an

Ey =

co

Vtd

cu

u

du
on

g

6/ Điện trường gây ra bởi 1 dóa tròn (O,R) tích điện đều σ >0 gây ra tại điểm M nằr m trên trục
EM
của đóa và cách O một đoạn h
r
r k .h
dq
d
E
M

vành dq = σ .dS = σ .2π .r.dr → M→ dE =
.
ε (r 2 + h 2 ) 3 / 2
R
M
r
k .h.σ .2π
r.dr
đóa → M → E M = ∫
. 2
ε
(r + h 2 ) 3 / 2
0
h
R
⎛
⎞
h.σ .2π
1
h.σ 1
1
⇒E =
(− 2
=
⎜ −
⎟
2 1/ 2
2
r
4π .ε 0 .ε (r + h ) 0 2ε 0 .ε ⎝ h

O
R + h2 ⎠

⎛
⎞
⎜
⎟
1
σ ⎜
σ
⎟
EM =
1−
R → ∞ : mặt phẳng vô hạn : R → ∞ : E =
⎜
⎟
2ε 0 .ε
2.ε 0 .ε
R2 ⎟
⎜
1
+
⎜
⎟
h2 ⎠
⎝
Vậy điện trường gây ra bởi 1 mặt phẳng rộng vô hạn: là điện trường đều có
phương vuông góc mặt phẳng, chiều hướng ra ngoài nếu mặt tích điện dương, không phụ
thuộc vào vị trí của điểm đang khảo sát.

   6

ĐH Bách Khoa TP.HCM – Th.S TRẦN ANH TÚ 

CuuDuongThanCong.com

/>
dq


7

Tóm tắt bài giảng Vật lý A1

6.4 Định lý Gauss:r

du
on

g

th

an

co

ng

.c

om

6.4.1 Đường sức của E :
a/ Định nghóa: là một đường cong mà tiếp tuyến tại mọi điểm trên đường cong có phương
r
r
trùng với E ,chiều của đường sức là chiều của E .
b/ Tính chất:
- Các đường sức không cắt nhau
- Đường sức của điện trường là đường cong hở. Xuất phát từ +q, kết thúc là –q.
- Tập hợp các đường sức của điện trường là điện phổ.
r
- Người ta qui ước vẽ số đường sức qua 1 đơn vị diện tích tiết diện có giá trị E .
r
- Đường sức của E khi qua mặt phân cách giữa 2 môi trường bị gián đoạn.

u

[ ]

cu

r
r
r
C 2
6.4.2 Vectơ điện cảm D :
D = ε .ε 0 .E
m
r

Đường sức của D không phụ thuộc ε ε0 nên không bị gián đoạn khi qua mặt phân cách.
r
6.4.3 Điện thông (thông lượng của D ) gửi qua 1 diện tích dS:
r r
r r
dφ = D.dS = D.dS .cos D, dS
ε

r
dS

r
D

(

)

⎧
r⎪
dS ⎨
⎪
⎩

Điểm đặt : với mọi điểm thuộc dS
Phương: vuông góc dS
Chiều: hướng ra ngoài mặt kín.
Độ lớn: dS

   7

ĐH Bách Khoa TP.HCM – Th.S TRẦN ANH TÚ 

CuuDuongThanCong.com

/>

8

Tóm tắt bài giảng Vật lý A1

(S )

i =1

.c
om

r
6.4.4 Định lý Gauss:
n
a/ Góc khối: Cho một diện tích vi phân dS (coi như phẳng) và một
dSn
điểm O ngoài dS; điểm M ∈ dS cách O một đoạn r. Góc khối từ O
α
r
nhìn diện tích dS :
M
O
dS. cos α dSn

dΩ =
= 2 (sr)(stêradian)
dS
r2
r
4π .R 2
Ω=
= 4π (sr)
Góc khối cả không gian:
R2
r
b/ Định lý Gauss đối với điện trường: Thông lựợng của D qua mặt kín S bằng tổng đại số các
r r n
Φ D = ∫ D.dS = ∑ qi
điện tích chứa trong mặt kín đó.
c/ Công thức dạng tích phân và vi phân của định lý Gauss:
r r
(V: thể tích phần có điện tích nằm trong mặt Gauss)
D
∫ .dS = ∫ ρ .dV
(V )

r
divD.dV =

∫

∫

r ∂Dx ∂Dy ∂Dz

r
r
+
+
divD = ∇.D = ρ với ∇.D =
∂x
∂y
∂z

ρ .dV ⇒

ng

(S )

(V )

(V )

(S )

∑q

an

r
E.dS =

r
r

ρ
= ∫ divE.dV ; divE =
ε .ε 0 V
ε .ε 0
i

th

∫

co

r
Tương tự với E :

du
on

g

r
6.4.5 p dụng định lý Gauss để tính D :
a/ Tại 1 điểm nằm ngoài dây tích điện đều (λ > 0 ) dài vô hạn.
Mặt kín S (mặt Gauss) là mặt trụ, trục là sợi dây bán kính R = a , độ cao h bất kỳ.
r r
r r
r r
r r
D
.

dS
=
D
.
dS
+
D
.
dS
+
D
1
2
∫
∫
∫
∫ .dS3 = ∫ D.dS3 = D ∫ dS3 = D.2π .a.h
S1

u

(S )

S2

cu

D.2π .a.h = ∑ qi = λ .h ⇒ D =

S3

r
dS1

r
D

( S3 )

r
dS 2

λ
2π .a

KL: Vậy điện trường do dây dài vô hạn gây ra tại M có phương vuông góc dây, chiều hướng
ra nếu λ > 0 , hướng vào nếu λ < 0 .

r
b/ Tính D tại M cách mặt phẳng vô hạn (σ > 0 ) tích điện đều gây ra tại M cách khoảng h.
E=

σ
σ
⇒D=
2ε .ε 0
2

Mặt Gauss là mặt trụ bán kính R bất kỳ, độ cao 2h vuông góc mặt phẳng.

   8

ĐH Bách Khoa TP.HCM – Th.S TRẦN ANH TÚ 

CuuDuongThanCong.com

/>
r
dS3


Tóm tắt bài giảng Vật lý A1
r r
D
∫ .dS =

(S )

r r
D
∫ .dS1 +

( S1 )

r r
D
∫ .dS 2 +

(S2 )

r
D

r r
D
∫ .dS 3

r
dS1

( S3 )

r
dS3

= D ∫ dS1 + D ∫ dS 2 = D.S1 + D.S 2 = 2 D.S1
( S1 )

(S2 )

2 DS1 = ∑ qi = σ .S1 ⇒ D =

σ
2

r
dS 2

(S )

.c
om

r
c/ Tính D tại M cách tâm quả cầu đặc tích điện đều (ρ > 0 ) 1 đoạn r.
⎡4
⎤
Q = ρ ⎢ π .R 3 ⎥
⎣3
⎦
Mặt Gauss là mặt cầu tâm 0, bán kính r.
r r
r r
2
∫ D.dS = ∫ D.dS = D ∫ dS = D.4π .r = ∑ qi
(S )

9

(S )

co
an

Q
ρ .R 3
=
4π .r 2
3r 2

r r
2
D
∫ .dS = D.4.π .r = ∑ qi

du
on

* Nếu cầu rỗng: Q = σ .4π .R 2

g

th

4
ρ .r
D.4π .r 2 = ρ π .r 3 ⇒ D =
3
3
o Xeùt r > R:
4
D.4π .r 2 = ρ π .R 3 = Q ⇒
D=
3

r
dS

ng

o Xeùt r < R:

r
D

cu

u

o r < R:
D.4.π .r 2 = 0 ⇒ D = 0
o r > R:
D.4.π .R 2 = Q = σ .4.π .R 2 ⇒
D
K .Q
⇒E=
= 2
r
ε .ε 0

D=

σ .R 2
r

2

=

r

D

r
dS

Q
4.π .r 2

Lưu ý
Khi 1 quả cầu tích điện đều đặc hay rỗng, với điện tích toàn thể là Q, thì ta coi
quả cầu đó tương đương như điện tích điểm đặt tại tâm O quả cầu khi xét điểm M nằm từ
mặt quả cầu ra ∞ .

   9

ĐH Bách Khoa TP.HCM – Th.S TRẦN ANH TÚ 

CuuDuongThanCong.com

/>

10

Tóm tắt bài giảng Vật lý A1

6.5. Lực tónh điện (lực điện): Một điện tích q0 đặt trong điện trường mà tại đó có vectơ
r
r
r
cường độ điện trường là E thì điện tích q 0 chịu 1 lực: FE = q 0 .E

r
r
r
6.5.1 Điện tích điểm q0 → E → FE = q0 .E

r
FE

r
E

6.5.2 Vật tích điện:
r
r
dq → E → dFE ⇒
r
r
r
Vtd → E → FE = ∫ dF
Vtd

Vd: Hai thanh L tích điện đều λ > 0 , cách khoaûng a.
r
k .λ ⎡ 1
1
⎤
→ E1 =
−
⎢

ε ⎣ a + x L + a + x ⎥⎦
r
r
dq2 → E1 → dF2 E
r
r
r
Thanh 1: Q2 → E1 → F2 E = ∫ dF2 E

.c
om
L

r
dFE

x
r
E

a

ng

dq2 = λ.dx

O

⎡ ( a + L )2 ⎤
F 1=

ln ⎢
⎥
L
a
a
+
ε
2
(
)
⎢⎣
⎥⎦

g

th

k .λ 2

an

co

L
L
k .λ 2 ⎡ 1
1
k .λ 2 ⎛ ⎛ a + x ⎞
⎤
dx =

⇒ F2 E =
−
⎜ ln
ε ∫0 ⎣⎢ a + x L + a + x ⎦⎥
ε ⎜⎝ ⎝⎜ L + a + x ⎠⎟ 0

du
on

6.6 Điện thế

u

6.6.1 Công của lực tónh điện:Điện tích q0 đặt trong điện trường của q chịu tác dụng của lực
r
r
tónh điện FE và di chuyển từ A → B :
F
E
A
Công nguyên tố:
α
B
B
rA
r
r r

cu

dA = FE .dl ⇒ A = ∫ dA = ∫ FE .dl.cos α
A

dl

A

Xét điện tích q > 0 và q0 > 0 di chuyển trong điện trường của q :
B

A = ∫ q0
A

k .q.q0
k .q
dl.cos α =
2
ε .r
ε

rB

dr

∫r

2

rA

(vì : dl.cos α = dr )
k .q.q0 ⎛ 1 ⎤ B k .q.q0 ⎛ 1 1 ⎞
−
=
A=
⎜ − ⎟
ε ⎜⎝ r ⎦⎥ rA
ε ⎝ rA rB ⎠
r

B

* Công của lực tónh điện khi di chuyển điện tích
đi từ A -> B chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí
cuối mà không phụ thuộc vào đường đi thì lực
tónh điện là lực thế và trường tónh điện là trường
thế.

  10

ĐH Bách Khoa TP.HCM – Th.S TRẦN ANH TUÙ 

CuuDuongThanCong.com

rB

/>

11

Tóm tắt bài giảng Vật lý A1

6.6.2 Thế năng: ( năng lượng phụ thuộc vào vị trí) Wt
WtB

B

∫ dA = ∫ −dW

t

A

k .q.q0 k .q.q0
−
ε .rA
ε .rB

= Wt A − WTB =

Wt A

k .q.q0
+ C .Chọn thế năng gốc ở ∞ :
ε .r
K .q.q0
Wt (r =∞ ) = 0 ⇒ C = 0 ⇒ Wt (r ) =
ε .r
Cũng chính là công di chuyển điện tích q 0 trong điện trường gây ra bởi điện tích q đi từ

⇒ Hàm thế năng: Wt =

co

ng

.c
om

r →∞.
6.6.3 Điện thế của 1 điện tích điểm đặt cách q một đoạn r:
Một điện tích điểm q sẽ tạo ra xung quanh nó 1 điện trường và điện thế (V) tại điểm M
được xác định baèng.
q > 0 → VM > 0
k .q
VM =
q < 0 → VM < 0
ε .r
* Điện thế này chính là công di chuyển 1 đơn vị điện tích q 0 từ M → ∞

th
g

⎧ q1 → M → V1
⎪q → M → V
⎪ 2
2
⎨
M
⎪

⎪⎩ qn → M → Vn

an

6.6.4 Điện thế của 1 hệ điện tích điểm ( q1 , q2 ,..., q n ) gây ra tại M:

n

du
on

q1 ,..., qn → M → VM = ∑ Vi
i =1

6.6.5 Điện thế của vật tích điện: Vật tích điện → M → V =

∫

dV

VTD

cu

u

Vd1: Điện thế tại điểm M gây ra bởi dây L tích điện đều λ > 0
r = x+a
dq = λ .dx
x

K .dq
K .λ .dx
⇒ dV =
=
ε .r
ε ( x + a)

L

a
x

Caû thanh:
K .λ .dx
K .λ dx
K .λ
ln ( x + a )
=
=
∫
ε ( x + a)
ε 0 x+a
ε
0

L

V =∫

L

L
0

⇒V =

r

K .λ

⎛ L+a⎞
ln ⎜
⎟
ε
⎝ a ⎠

Vd2: Điện thế tại điểm O gây ra bởi cung (O,R) tích điện đều Q chắn góc α
k
k .Q k .λ.R.α k .λ.α
⇒ V0 = ∫ dV =
=
=
dq =
∫
ε .R
ε .R
ε .R
ε
cong

O

α

dq
  11

ÑH Bách Khoa TP.HCM – Th.S TRẦN ANH TÚ 

CuuDuongThanCong.com

M

O

/>

12

Tóm tắt bài giảng Vật lý A1

6.6.6 Mặt đẳng thế:
a/ Định nghóa: là tập hợp mọi điểm có cùng điện thế
b/ Tính chất:
- Công di chuyển 1 điện tích q 0 trong mặt đẳng thế thì bằng 0.

⎛ K .q K .q ⎞
−
Aq0 ( A→ B ) = q0 ⎜
⎟ = q0 (VA − VB )

⎝ ε .rA ε .rB ⎠
- Vectơ cường độ điện trường tại 1 điểm nằm trên mặt đẳng thế thì vuông góc mặt đẳng
thế và theo chiều giảm của điện thế.
r

.c
om

6.7 Liên hệ giữa E vàø V:

r
Cho 2 điểm M, N rất gần nhau trong điện trường E : điện thế tại M là VM = V øvà tại

N là V+dV (dV>0) Ta di chuyển 1 điện tích q 0 đi từ M → N
r r
r r
dA = q0 .E.dl = q0 .E.dl.cos E , dl = q0 .El .dl

)

ng

(

co

dA( M → N ) = q0 (VM − VN ) = q0 ( − dV )

dV
r

dl
E
dV ⎞
dV
dV
⎛
Choïn : l ≈ x; l ≈ y; l ≈ z ⇒ ⎜ Ex = −
; ⎟ Ey = −
; Ez = −
dx ⎠
dy
dz
⎝
r
r
r
r
⎛ ∂V r ∂V r ∂V r ⎞
⎛ ∂ r ∂ r ∂ r⎞
Maø: E = Ex .i + E y . j + Ez .k = − ⎜
i+
j+
k ⎟ = −⎜ i +
j + k ⎟V
∂y
∂z ⎠
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
⎝ ∂x

uuuuur
r
r
E = − grad .V = −∇.V

M
r
El

* Từ

du
on

g

th

an

⇒ − dV = El .dl ⇒ El = −

N

r
dl

uuuuur
r
r

⎛ ∂ r ∂ r ∂ r⎞
V ⇒ E = − grad .V = −∇V = − ⎜ i +
j + k ⎟V
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x

u

Vd: Cho điện thế trong điện trường phân bố theo quy luật: V=x2+ y3+ z (V)
r
r
r r
V = x 2 + y 3 + z ⇒ E = − 2 x.i + 3 y 2 . j + k

cu

(

)

Vd: Điệân thế tại điểm M nằm trên đường nối dài của dây (trục x ) cách đầu gần nhất gốc O
một đoạn x là:
K .λ ⎡ L + x ⎤ K λ
ln
VM =
=
⎡ln ( L + x ) − ln x ⎤⎦
ε ⎢⎣
ε ⎣

x ⎥⎦
r
1⎤ r
1 ⎤
K .λ ⎡ 1
K .λ ⎡ 1
⇒E=−
−
−
.i hay : E =
⎢
⎥
⎢
ε ⎣L+ x x⎦
ε ⎣ x L + x ⎥⎦
r
r
r
* Từ: E → V : Chọn phương E là phương r ⇒ Tổng quát: − dV = Er .dr
⇒

VB

rB

rB

VA

rA

rA

∫ −dV = ∫ Er .dr ⇒ VA − VB = ∫ Er .dr
  12

ĐH Bách Khoa TP.HCM – Th.S TRẦN ANH TÚ 

CuuDuongThanCong.com

/>

13

Tóm tắt bài giảng Vật lý A1
Lưu ý:

K .q
(ta chọn thế năng Wt (r = 0 ) = 0, hay : V∞ = 0 ) thì điện tích phải
ε .r
hữu hạn (không được tiến ra ∞ ).
Khi điện tích phân bố vô hạn thì ta tính hiệu điện thế chứ không thể tính được
điện thế tại 1 điểm.
Công thức: V =

-

∫

VM

− dV = ∫ Er .dr =

⇔ VM − VN =

λ
2π .ε .ε 0

rN

∫

rM

dr
r

r
λ
λ
r
ln . r r =
ln N
2π .ε .ε 0
2π .ε .ε 0 rM
N

M

r

r
E

ng

VN

2.k .λ
1
λ
=
.
ε .r
2.π .ε .ε 0 r

co

E=

.c
om

Vd1: Dây dài vô hạn tích điện đều λ >0 tính hiệu điện thế giữa hai điểm M và N cách dây rM
và rN .
Hay hai mặt trụ dài vô hạn, đồng trục, tích điện đều có mật độ điện dài theo trục là + λ
và - λ tính hiệu điện thế hai mặt trụ. Dùng định lý Gauss ⇒ E ⇒ VM - VN

an

Vd2:
Mặt phẳng vô hạn tích điện đều σ tính hiệu điện thế giữa hai điểm M và N
cách mặt phẳng rM và rN :

N

th

M

σ
σ
σ
r
∫ dr.Er = ∫ 2ε .ε 0 dr = −∫ dV ⇒ V∫ −dV = 2.ε .ε 0 . r r ⇔ VM − VN = 2.ε .ε 0 ( rN − rM )
VN

g

N

M

du
on

M

Vd3: Quả cầu đặc: (0, R) tích điện đều ρ hay điện tích toàn thể là Q tính điện thế ở điểm O, A
∈ mặt cầu và M cách O một đoạn r .

0< r < R:

ρ .r
ρ R
ρ R 2 ρ .R 2
Er =
r
.
dr
V
V
.
⇒ ∫ − dV = ∫ Er .dr =
⇔
−
=
=
0
A
3.ε .ε 0
3.ε .ε 0 ∫0
3.ε .ε 0 2 6.ε .ε 0
V

cu

u

VA

0

VA =

K .Q
1
4
ρ .R 2
ρ .R 2 ρ .R 2
ρ .R 2
ρ . π .R 3 =
=
⇒ V0 =
+
=
3.ε .ε 0
6.ε .ε 0 3.ε .ε 0 2.ε .ε 0
ε .R 4π .ε .ε 0 .R 3

V0 − VM =

O M A
r

ρ .r
ρ .R
ρ .r
⇒ VM =
−
6.ε .ε 0

2.ε .ε 0 6.ε .ε 0
2

r > R : VM =

2

2

k .Q
ε .r

  13

ĐH Bách Khoa TP.HCM – Th.S TRẦN ANH TUÙ 

CuuDuongThanCong.com

/>
r