Download Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

ONTHIONLINE.NET

<b>Sở Gd&Đt Nghệ an</b> <b>K thi ch n h c sinh gi i t nhỳ</b> <b>ọ</b> <b>ọ</b> <b>ỏ ỉ</b>
<b>N m h c 2012 - 2013ă</b> <b>ọ</b>

<b>hướng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức</b>
(Hướng d n v bi u i m ch m g m ẫ à ể đ ể ấ ồ <b>05</b> trang)

<b>Môn: Toán l p 12 - THPT - b ng Bớ</b> <b>ả</b>

<b>---B ià</b> <b>N i dungộ</b> <b>_{đ ể}Bi u_{i m}ể</b>

<b>B i 1:à</b> <b>_6,0</b>

<b>a.</b>

(m - 3)

x

+ ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1). <i><b>3,0</b></i>

K: x

Đ  0; Đặt t = x , t  0. 0,5

(1) tr th nh: (m - 3)t + (2 - m)tở à 2_{+ 3 - m = 0 <=> m =}
2
2

2t 3t 3
t t 1

 

  ₍₂₎ _0,5

Xét f(t) =
2
2

2t 3t 3
t t 1

 

  _{, t  0 ; f}/_{(t) =}
2

2 2

t 2t
(t t 1)



  _. _0,5

f/_{(t) = 0 <=>}
t 0
t 2




 _

 _0,5

B ng bi n thiênả ế

t 0 2 + 

0,5

f/_(t)  ₀ ₊

f(t)

3 ₂

5
3

Phương trình (1) có nghi m <=> phệ ương trình (2) có nghi m tho mãn t ệ ả 

0. 0,25

<=>

5

m 3

3  _. _0,25

<b>b.</b> ₃

sinx

cosx
x

 



 

  _(1). <i><b>_3,0</b></i>

(1) <=> tgx.sin2_{x - x}3_{> 0.}
Xét f(x) = tgx.sin2_{x - x}3_{; x}

(0; )
2




. 0,25

f/_{(x) = tg}2_{x + 2sin}2_{x - 3x}2_.
f//_{(x) = 2tgx.} 2

1

cos x _{+ 4sinx.cosx - 6x =} 3
2sin x

cos x _{+ 2sin2x - 6x.}

f///_{(x) =}

4 2 2

6

2cos x 6sin x.cos x

4cos2x 6
cos x



 

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

=

2 2

2
4

2cos x 6sin x

8cos x 10
cos x



 

=

6 4 2

4

8cos x 10cos x 4cos x 6
cos x

  

=

2 2 2

4

2(cos x 1) (4cos x 3)
0
cos x

 


;

x (0; )
2


 

. 0,5

=> f//_(x)đồ_{ng bi n trên}ế
(0; )

2



=> f//_{(x) > f}//_{(0) = 0 ,}

x (0; )
2


 

. 0,5

=> f/_(x)đồ_{ng bi n trên}ế
(0; )

2



=> f/_{(x) > f}/_{(0) = 0 ,}

x (0; )
2


 

. 0,5

=> f(x) đồng bi n trên ế

(0; )
2



=> f(x) > f(0) = 0 ,

x (0; )
2



 

. 0,5

<b>B i 2.à</b> <b>_6,0</b>

<b>a.</b>  <i><b>3,0</b></i>

K: - 1

Đ  x  1. 0,5

Xét h m s y = x + à ố 1 x 2 trên o n [-1; 1], ta có:đ ạ

y/_{= 1 -} 2
x
1 x ₌

2
2

1 x x

1 x

 

 _. _0,5

 y/_{không xác}đị_{nh t i x =}ạ _{ 1}

0,25

 y/_{= 0 <=>} 1 x 2 x _0,25

<=>

2 2

x 0 ₁

x
2

1 x x





 



 



 _0,5

Khi ó y(-1) = - 1 ; y(đ

1

) 2

2  _{; y(1) = 1.} _0,5

V y max y = ậ 2 khi x =

1
2

min y = - 1 khi x = - 1.

0,25
0,25

<b>b.</b> <i><b>_3,0</b></i>

x y sinx

e (1)

sin y

cos2y sin 2y sin x cos x 1 (2)

x, y 0; (3)

4










    



 _

 

 _ _

  



Ta có (1) <=>

/

x y

sin x sin y
(1 )

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Xét f(t) = t

sin t

e _{, t} 0;4



 

  

  _0,25

f/_{(t) =}
t

2t t t

2.cos(t )
e (cos t sin t) cos t sin t ₄

0 , t (0; )
4

e e e




  

    

. 0,25

=> f(t) đồng bi n trên ế

0;
4



 

 

 _{. Khi ó t (1}_{đ ừ} /_{) => x = y.} _0,5

Thay v o (2): - cos2x + sin2x = sinx + cosx - 1à
<=> 1 - cos2x + sin2x - (sinx + cosx) = 0

<=> 2sin2_{x + 2sinxcosx - (sinx + cosx) = 0}
<=> 2sinx(sinx + cosx) - (sinx + cosx) = 0

<=> (sinx + cosx) (2sinx - 1) = 0 0,5

<=> sinx =

1

2_{(do sinx + cosx > 0} x (0; )4


 

) 0,25

<=>

x k2

6
5

x k2

6




  






 _ _ _

 _0,25

Do x

(0; )
4




nên x = 6


. 0,25

V y h có nghi m: ậ ệ ệ

;
6 6

 

 

 

  _0,25

<b>B i 3.à</b>

Tìm nghi m nguyên c a phệ ủ ương trình:





2

cos 3x 9x 160x 800 1

8



 

   

 

 

(1) <b>2,5</b>

Ta có (1) <=>

2

(3x 9x 160 800) k2
8



    

, k  Z

<=> 9x2160 800 = 3x - 16k 0,5

<=>

2

169x 800 (3x 16k)
2

3x - 16k 0

9x







   




<=>

2

16k

x (1)

3

8k 25

x (2)

3k 5








 

 _

 _0,5

Ta có (2) <=> 9x = 24k - 40 -

25

3k 5 _0,5

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Suy ra 3k + 5  {- 1; 1; 5; - 5; 25; - 25}

Gi i ra ta ả được x = - 7 ; x = - 31. _0,5

<b>B i 4.à</b> <b>_5,5</b>

<b>a.</b> _{G i C(a; b)}_ọ <i><b>_2,5</b></i>

 S =

1

2_{CH.AB (1).}

Ta có: AB = 2 0,25

Phương trình AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) =

a b 5
2

 

do ó: (1) <=> đ

a b 5
3 1

. . 2 a b 5 3

2 2 2

 

    

.
<=>

a b 8
a b 2

 



 _ _



0,25

0,25
0,25

 To ạ độ G(

a 5 b 5
;

3 3

 

)
Ta có: G   <=>

3(a 5) b 5

8 0

3 3

 

  

<=> 3a - b = 4. 0,5

TH1:

a b 8 a 2

3a b 4 b 10

  

 



 

  

  _{=> C(-2; -10)} _0,25

Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 2 65 89
=> r =

2S 3

2p  2 65 89 _. _0,25

TH2:

a b 2 a 1

3a b 4 b 1

  

 



 

  

  _{=> C(1; -1)} _0,25

Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 2 5 2
=> r =

3

2 5 2 _. _0,25

<b>b</b> <b>_3,0</b>

Ta có tâm I(1; 2), bán kính R = 1.

d(I, ) =

2 2

1 2 1

2 R
1 ( 1)

 

 

 

=>  n m ngo i (C) => t M ằ à ừ  
luôn k ẻ được hai ti p tuy n v i (C).ế ế ớ

<i>(h c sinh ph i v hình)ọ</i> <i>ả ẽ</i> 0,5
Ta có: MT1  IT1, MT2  IT2 => T1, T2 thu c ộ đường trịn (C), đường kính MI

=> T1T2 l tr c à ụ đẳng phương c a (C) v (C).ủ à 0,5

I
M

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Do M   nên M(m + 1; m) => trung i m c a IM l K(đ ể ủ à

m 2 m 2
;

2 2

 

) 0,25

Phương trình đường trịn (C) l :à
(x -

2 2

2 2

m 2 m 2 m (m 2)

) (y )

2 2 4

   

  

<=> x2_{+ y}2_{- (m + 2)x - (m + 2)y + 3m + 1 = 0} _0,5

=> phương trình đường th ng Tẳ 1T2 l : mx + (m - 2) y - 3m + 3 = 0à 0,5
G i A(xọ 0; y0) l i m c à đ ể ố định m Tà 1T2 ln i qua.đ

Ta có: mx0 + (m - 2) y0 - 3m + 3 = 0 m  R.

<=>

0
0 0

0

0

3
x

x y 3 0 ₂

2y 3 0 3

y
2





  

 _



 

  

  _



 _0,5

=> đường th ng Tẳ 1T2 luôn i qua m t i m c đ ộ đ ể ố định A(
3 3

;

2 2 _). _0,25

</div>

<!--links-->