6 đề THI môn XÁC SUẤT THÔNG kê bậc đại học (có GIẢI CHI TIẾT TỪNG đề)

ĐỀ THI MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Thời lượng: 90 phút.
Đêề gồm 2 m t tờ A4

Bộ môn Toán ứng dụng

- Thí sinh chỉ được dùng bang tra số và máy tính bỏ túi
- Các giá trị gần đúng được lấy 4 chữ số phần thập phân
Câu 1. (2 đ).
Một người viết n bức thư cho n người bạn (mỗi người một bức thư khác
nhau). Trong mỗi phong bì anh ta bỏ một bức thư , rồi ghi ngẫu nhiên đđịa chỉ
của một trong n người bạn ( mỗi đñịa chỉ ghi một lần) . Hãy tính xác suất để có ít
nhất một bức thư ghi đúng địa chỉ.
Câu 2. (2 đ).
Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến chừng nào một
người ném lọt rổ thì dừng lại. Người thứ nhất ném trước. Lập bảng phân phối
xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ số lần ném bóng của người thứ nhất, biết
xác suất ném lọt rổ của người thứ nhất là 0,45 và của người thứ hai là 0,36. Tính
kỳ vọng E(X), phương sai D(X).
Câu 3. (3 đ)
Khi nghiên cứu về sự ảnh hưởng của thu nhập X(triệu đồng ) đối với mức
độ tiêu dùng Y(kg) về một loại thực phẩm hàng tháng , người ta điều tra ở các
gia đình và thu được bảng số liệu sau đây:
Y
15
25
35
45
55

X

10
7

20
8
6

30
8
15
6

40

50

60

14
11
9

9
7
7

6
8

a) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu của X đối với Y và tính hệ số tương

quan mẫu .


b) Với độ tin cậy 0,95, hãy tìm các khoảng tin cậy cho phương sai của mức thu
nhập và mức độ tiêu dùng đối với loại thực phẩm này của các gia đình trên .
c) Có tài liệu nói tỷ lệ gia đình có thu nhập cao ( từ 50 triệu trở lên) là 31%. Với
mức ý nghóa 0,05 hãy cho nhận xét về độ tin cậy của tài liệu trên.
Câu 4. (3 đ)
Trong một thí nghiệm khoa học người ta nghiên cứu độ dày của lớp mạ
kền thu được khi dùng ba loại bể mạ khác nhau. Sau một thời gian mạ, người ta
đo độ dày của lớp mạ nhận được ở các bể và được số liệu sau:
Độ dày lớp mạ
kền

A

Số lần đo ở bể mạ
B

C

tính bằng m
4–8

35

51

68

8 – 12

100

95

85

12 - 16

34

32

26

16 - 20

41

24

28

20 - 24

25

28

28

Với mức ý nghóa  = 0,01, hãy kiểm định giả thiết: độ dày lớp mạ sau khoảng
thời gian nói trên không phụ thuộc loại bể mạ được dùng.

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN


HƯỚNG DẪN
Câu 1: (2đ)
Gọi Ai là biến cố lá thư thứ i ghi đúng địa chỉ. i = 1,2,…n.
Gọi B là biến cố có ít nhất 1 lá thư đến đúng địa chỉ.
B = A1 + A2 + ….. + An .


n



n



i=1

Xác suất cần tìm: P(B) = P   Ai  = P(Ai )- P(A1A j )+.....+(-1)n-1P(A1A2 ...An )
 i1

i

1
1 1
1 1 1
1
1 1
1
= n. - C2n . .
+C3n . .
.
- ....+(-1) n-1
= 1- + -.....+(-1) n-1
n
n n-1
n n-1 n-2
n!
2! 3!
n!
Lưu ý là các biến cố Ai không xung khắc và không độc lập đôi một.

Câu 2: (2đ)
Gọi Ai là biến cố người thứ nhất ném trúng ở lần thứ i; i= 1,2,3…
Gọi Bi là biến cố người thứ hai ném trúng ở lần thứ i; i= 1,2,3…
( a= 0,45; b= 0,36 )
P(X=1) = P(A1) + P( A1 B1) = a+ (1-a)b = 0,648
P(X=2) = P( A1B1 A2) + P( A1B1A 2 B2) = (1-a)(1-b)[ a+ (1-a)b] = 0,352*0,648
P(X=3) = …. = (1-a)2(1-b)2[ a+ (1-a)b] = 0,3522*0,648
……

P(X=k) = …. = (1-a)k-1(1-b)k-1[ a+ (1-a)b] = 0,352k-1*0,648
…

+

E(X)= k.p.q k-1 =
k=1

1
1
( công thuc)=
=1,5432 .
p
0,648

p = 0,648; q = 1- 0,648.

2

1
1 1
1
1
D(X)= k .p.q -   = 2 - ( công thuc)=

=0,8383 .
2
0,648 0,648
k=1
p p p
+

2

k-1

Câu 3: (3đ)
a) Các đặc trưng mẫu (tham khảo):
x  37, 7686

s X  13,5138

s X  13,5700

n  121

y  37,8099

sY  12,5457

sY  12,5978

( xy  1560, 7438)

Hệ số tương quan: rXY  0,7828 .
Phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu: X  5,8868  0,8432 Y
b) Tra bảng:  20.025 (120)  152, 21
 20.975 (120)  91,58
 Khoảng ƯL cho phương sai của X:
 120*13,57002 120*13,57002 
;

  145,1770; 241, 2905

152, 21
91,58



 Khoảng ƯL cho phương sai của Y:
 120*12,59782 120*12,59782 
;

  125,1202; 207,9553
152, 21
91,58




c) Gọi p là tỉ lệ gia đình có thu nhập cao.
Giả thiết kiểm định H0 : p = 31%. Giả thiết đối H1 : p  31%.
Tra bảng z  1,96
37
 0,31
121
Tính tckđ: z0 
121  0,1002
0,31*0, 69

KL: Chấp nhận H0.

Câu 4: (3đ)
Giả thiết kiểm định H0: Độ dày lớp mạ không phụ thuộc loại bể mạ được dùng.

H1: Độ dày lớp mạ phụ thuộc loại bể mạ được dùng.
Bảng tần số thực nghiệm:

35

51

68

154

100

95

85

280

34

32

26

92

41

24

28

93

25

28

28

81

235

n=700

230
235
Bảng tần số lý thuyết:

51.7

50.6

51.7

94

92

94

30.8857 30.2286

30.8857

31.2214 30.5571

31.2214

27.1929 26.6143

27.1929

 02 =

  
2

18.1449

(8) 

2
0,01

20.09

Cách khác để tính tckđ  02 :



h


 352

512
282
 1  700* 

 ... 
 1
235*81 
j 1 ni * m j

 235*154 230*154
 700*1.02592 1  18,1449
k

02  n. 
 i 1

nij2

Chấp nhận giả thiết H0.


ĐỀ THI XÁC SUẤT THỐNG KÊ

BỘ MÔN T0ÁN ỨNG DỤNG

THỜI LƯỢNG : 90 PHÚT

4
( SV CHỈ ƯỢC DÙNG MÁY TÍNH CÁ NHÂN VÀ BẢNG TR THƠNG DỤNG)

CÂU I Trong hộp có 16 sản phẩm, trong đó mỗi sản phẩm đều có thể là chính
phẩm hoặc phế phẩm với xác suất như nhau. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 6 sản phẩm
theo phương thức có hoàn lại thì được toàn chính phẩm. Tính xác suất để hộp có
chứa toàn chính phẩm.

CÂU II Cho vec ơ n ẫu nhiên (X,Y) có hà

2
a x  y
  x, y   
0






ậ độ đ n

h i

x
1

.
2
ở nơi khác

khi 0  y 

a) Xác định a.
b) Tính covarian của vec ơ n ẫu nhiên (X,Y).

CÂU III Thốn kê điể
I có bản hốn kê sau:
Y

X

4
5
6
7

kiể

3

4

1

2
3

ra

ơn tốn 1(X) và toán 2 (Y) của

5

6

7

5

4

6

9

4

7

17

7

4

8

9

8

6

8
9
mj

8

9

ộ số SV nă

ni

n

1) Hãy ính các đ c rưn của ẫu rên , viế phươn rình ươn quan uyến ính
của Y heo X và ính hệ số ươn quan uyến ính ẫu.
2) Hãy ước lượn điể run bình của các ơn ốn rên với độ in cậy γ=0,95.

1


3) Qui định SV có điể run bình ≥8 hì đạ loại ố , phịn đào ạo cơn bố ỷ
lệ SV đạ loại ố của ơn ốn I là 0,39. Hãy cho nhận xé v cơn bố đó với

ức ý n hĩa α=0,01.
CÂU IV
• Thống kê về chiều cao của một loại cây sau hai tháng tuổi cho kết

•

quả sau
Độ cao (cm)

4-6

6-8

8-10

10-12

12-14

14-16

16-18

18-20

20-22

Số lượng

12

25

27

30

26

22

24

20

14

Với mức ý nghóa  = 0,01 hãy kiểm định xem mẫu trên có phù hợp với phân phối
chuẩn không?
•
CHỦ NHIỆM BỘ MƠN

2


HƯỚNG DẪN
BÀI 1: CM Tổn quá : Gọi Hi là biến cố hộp có i chính phẩ , i=0,..,n.
P  Hi 

1

C  
2

n

i
n

Gọi F là biến cố k sản phẩ
Xác suấ cần ì :

lấy ra đ u là chính phẩ .
1

P( H n | F ) 

 n 1 
2 n2
n2  2 
n 1  1 
1 C 
  Cn 
  ...  Cn .    Cn .  
 n 
 n 
n
n
k
n
 k

k
k
1
2
n  Cn  n  1  Cn  n  2   ...  Cnn 2 .2k  Cnn 1
k

k

k

k

1
n

n=16; k=6 thì

S: 0,000463.

BÀI 2:
a) a=2/3.
 x 2 ( x  12)
x  [0; 2]

f X ( x)  
36
0
x  [0; 2]


68
2
29
E( X ) 
E (Y ) 
E ( XY ) 
45
5
45

b)

 4 4 y3
 
fY ( y )   3
3
0


BÀI 3:
a)
n  100
x  6,97 s X  1.3073 sX  1.3139
y= 0.2824 + 0.9523x
RXY = 0.8646
b) KƯL Toán 1:
KƯL Toán :

y  [0; 1]
y  [0; 1]

COV ( X , Y ) 

y  6,92

sY  1.44 sY  1.44725

1.96 1.3139
 6.97  0.2575 hay (6,7125; 7,2275)
100
1.96 1.447
6.92 
 6.92  0.2836 hay (6,6364; 7,2036)
100
6.97 

c) H0: “ p=0.39 ”….
z0 

0.04
100  0.820
0.39  0.61



z  2.58

Chấp nhận H0.
BÀI 4:
n  200

x  12,79

1
25

s X  4,636

GTK H0: Chi u cao của cây non có phân phối chuẩn.
X N (a  12,79,  2  (4,636)2 ) ….
p1 = 0.07215 p2 = 0.07936 p3=0.12274 p4=0.158256 p5=0.170064
p6=0.15233 p7=0.11374 p8=0.07079 p9=0.06057
2
0.01
(6)  16.81
02  13.00314 
2 nên chấp nhận H0.
3


ĐE À THI HỌC KỲ MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
THỜI LƯNG 90 phút
ĐỀ THI GỒM 02 TRANG.
(Thí sinh được dùng bảng thông dụng và máy tính cá nhân, không dùng tài liệu )

BỘ MÔN TOÁN ƯD

Câu 1. Một túi chứa 4 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Hai người chơi A và B

lần lượt rút một quả cầu trong túi (rút xong không trả lại vào túi). Trò chơi

kết thúc khi có người rút được quả cầu đen. Người đó xem như thua cuộc và
phải trả cho người kia số tiền là số quả cầu đã rút ra nhân với 5 USD. Giả sử
A là người rút trước và X là số tiền A thu được.
a) Lập bảng phân bố xác suất của X.
b) Tính EX. Nếu chơi 150 ván thì trung bình A được bao nhiêu?
Câu 2. Cho X , Y là véc tơ ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là:

 1

f ( x, y)   k.x2 y
0


nếu x  1 và

1
 yx
x

nếu trái lại

a)

Tìm hằng số k .

b)

Tìm hàm mật độ lề của X và của Y.

c)

Tính kỳ vọ ng của Y.

Câu 3: Bán kính của một số sản phẩm như sau
Bán kính xi 3,4

Số lượng ni

1

3,6

3,8

4,0

4,2

4,4

4,6

4,8

5

4

18

42

14

6

1

Với mức ý nghóa   0,05 , có thể coi bán kính các sản phẩm này tuân theo quy luật
chuẩn ?
Câu 4: Nghiên cứu sự phát triển của một loại cây người ta tiến hành đo đường kính
X(cm) và chiều cao Y(m) của một số cây. Số liệu ghi trong bảng sau:
Y

2

3

3

5

4

5

6

7

X
20
22

2

10

24

3

8

12

7

4

16

7

5

8

10

26
28


a) Ước lượng đường kính trung bình của cây với độ tin cậy 99% .
b)Viết phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu của Y theo X.
c)Những loại cây cao 6m trở lên là cây loại I. Hãy ước lượng tỉ lệ cây loại I với độ
tin cậy 90%.
d)Trước đây chiều cao trung bình của loại cây này là 5 m. Số liệu trên lấy ở
những cây áp dụng một biện pháp chăm sóc mới. Với mức ý nghóa 5%, hãy nhận
xét về tác dụng của biện pháp chăm só c đó.
PHO CHỦ NHIỆM BỘ MÔN


Câu 1:
a) Bảng PPXS cho số quả cầu được rút ra (Z):
Z
1
2
3
P
3
2
6
7
7
35
Bảng PPXS cần tìm:
X
P

-25
-15
1
6
35
35
6
b) E(X)=
 - 0,8571.
7
900
150*E(X) =
.
7
Câu 2:
a) k=2.
 x dy
ln x
 2  2
x
b) f X ( x)   1 x 2 x y

 0
  dx
1
  2  2
 y 2x y 2 y

fY ( y )    dx

1

2

 2x y 2
 1y
0


-5
3
7

4
3
35

5
1
35

10
2
7

20
3
35

x 1

x 1
y 1
0  y 1
y0

c) Khơng có E(Y)
Câu 3:
n=91; x  4,1648;
s  0, 2473
GTKĐ H0 : X  N(a=4,1648; (0,2473)2 ).
GT H1 : X khơng có phân phối chuẩn.
 3,5  4,1648 
p1 =  
  0,5  0, 4964  0,5 = 0,0036
 0, 2473 

 3, 7  4,1648 
 3,5  4,1648 
 
p2 =  

  0, 4700  0, 4964 = 0,0265
 0, 2473 
 0, 2473 
p3 = 0,1120
p4 =0,2545
p5 =0,3111
p6 =0,2047
p7 =0,0724
p8 =0,0152.

2
02  17,0137 
0,05
(8  2  1)  11,07
Bác bỏ H0 .


Câu 4:
Số liệu bấm máy ( đề không yêu cầu hết):
n  100;
x  24,8
s X  2, 2978

y  24,8

sY  1,3076

sY  1,3142

xy  126, 66

r  0,8027

A  6,3191 B  0, 4568

2,58*2,3094
 0,5958
100
b) Y = -6,3191 + 0,4568 * X
a)  

s X  2,3094

. Khoảng UL: 24,8  0,5958

1, 64* 0,37*0, 63
Khoảng UL tỷ lệ: 0,37  0,0792
 0, 0792 .
100
d) GTKĐ
H0 : a= 5 m
H1: a  5 m.
5, 01  5
z0 
100  0, 0761  z  1,96.
1,3142
Chấp nhận H0 .

c)  


Bộ môn Toán ứng dụng

ĐỀ THI MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Thời gian: 90 phút.
4
(Thí sinh được dùng
Câu 1(2đ).

và máy tính cá nhân )

Ba công nhân cùng sản xuất một loại sản phẩm. Xáùc suất để người
thứ nhất và người thứ hai làm ra chính phẩm bằng 0,92. Còn xác suất để
người thứ 3 làm ra chính phẩm bằng 0,85. Một người trong số đó làm ra 8
sản phẩm, thấy có 2 phế phẩm. Tìm xác suất để trong 8 sản phẩm tiếp
theo cũng do người đó sản xuất sẽ có 6 chính phẩm.

Câu 2 (2đ).
Thời gian đi từ nhà tới trường của sinh viên A là một đại lượng ngẫu
nhiên T (đơn vị là phút) có phân bố chuẩn. Biết rằng 68% số ngày A đến
trường mất hơn 20 phút và 9% số ngày An đi mất hơn 30 phút.
a) Tính thời gian đến trường trung bình của sinh viên A và độ lệch
tiêu chuẩn.
b) Giả sử sinh viên A xuất phát từ nhà trước giờ vào học 26 phút.
Tính xác suất để A bị muộn học.

Câu 3 (3đ).
Để nghiên cứu về sự ảnh hưởng của mức thu nhập X (triệu đồng) của
các hộ gia đình đối với mức độ tiêu dùng Y (kg) về một loại thực phẩm
hàng tháng, người ta điều tra ở một số gia đình và thu được bảng số liệu
sau đây:
Y
15
20
25
30
35

X

10
4

20
5
15

30
21
11
8

40

50

60

17
10
7

8
6
3

4
2

a) Tinh cac đ c trưng cua mẫu trên. Tìm phương trình hồi quy tuyến tính

mẫu của X đối với Y và tính hệ số tương quan mẫu .


b) Với độ tin cậy 0,99, tìm các khoảng tin cậy cho phương sai của mức thu
nhập và mức độ tiêu dùng của loại thực phẩm của các gia đình.
c) Có tài liệu nói tỷ lệ gia đình có thu nhập cao ( từ 50 triệu trở lên) là
25%. Với mức ý nghóa 0,01 hãy cho nhận xét về độ tin cậy của tài liệu
trên.

Câu 4 (3đ).
Khảo sát điểm trung bình học tập của một số sinh viên, người ta có số
liệu:
Lớp

ni

(0; 3)

6

(3; 5)

22

(5; 7)

44

(7; 8)

18

(8; 10)

10

Với mức ý nghóa 0,01, hãy kiểm định giả thiết điểm trung bình học
tập của các sinh viên trên tuân theo luật phân phối chuẩn.

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN


ÁP ÁN
Các chữ số gần đúng phải lấy làm tròn 4 chữ số phần thập phân.
Các bài kiểm định phải có đầy đủ giả thiết Ho và H1.
Câu 1: ( đ)
Gọi F1 là biến cố lần đầu người đó sản xuất ra 8 sản phẩm thì có 2 phế phẩm.
Gọi F2 là biến cố lần sau người đó sản xuất ra 8 sản phẩm thì có 2 phế phẩm.
1 2
6
2
.C8  0,92   0, 08 
3
0, 238852
P(CN1/F1)= P(CN2/F1) =
2 2
1 2
6
2
6

2
.C8  0,92   0, 08   C8  0,85   0,15 
3
3
1 2
6
2
.C8  0,85   0,15 
3
0,522297
P(CN3/F1) =
2 2
1 2
6
2
6
2
.C8  0,92   0, 08   C8  0,85   0,15 
3
3
6
2
6
2
2
P(F2/F1) = 2*0, 238852* C8  0,92  0,08  0.522297* C82  0,85  0,15  0,176007

Câu 2: ( đ)
20  a


 20  a
P(T  20)  0,5  (
)  0, 68 (
)  0,18   (0, 47)





2
T  N(a,  ) thỏa: 

 P(T  30)  0,5   ( 30  a )  0, 09
  ( 30  a )  0, 41   (1,34)






 20  a
   0, 47 a  22,5967
Dẫn đến hệ 

30

a
   5,5249

 1,34

 

Xác suất sinh viên A đi học trễ:
 26  22,5967 
  0,5  0, 231053  0.26895
 5,5247 

P(T >26) = 0,5   
Câu 3: (3đ)

a) Các đ c trưng mẫu:
x  34, 7934

s X  11, 6491

s X  11, 6975

n  121

y  24,9174

sY  5,5292

sY  5,5526

( xy  914, 0496)

Hệ số tương quan: rXY  0,7311 .
Phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu: X  3,5875  1,5403Y
b) Tra bảng:  20.005 (120)  163,65

 20.995 (120)  83,85


 Khoảng ƯL cho phương sai của X:
 120*11, 69752 120*11, 69752 
;

  100,3350; 195,8239 
163, 65
83,85



 Khoảng ƯL cho phương sai của Y:
 120*5,55222 120*5,55222 
;

   22, 6042; 44,1166 
163,
65
83,85



c) Gọi p là tỉ lệ gia đình có thu nhập cao.
Giả thiết kiểm định H0 : p = 25%.
Giả thiết đối H1 : p  25%.
Tra bảng z  2,58
23
 0, 25

121
121  1,5221
Tính tckđ: z0 
0, 25*0, 75

KL: Chấp nhận H0. (Chưa đủ cơ s để bác bỏ H0 )

Câu 4: (3đ)
Các đ c trưng mẫu: x  5,86
sX  1,8386
(sX  1,8478)
n  100
Giả thiết Kiểm định H0 : Mẫu phù hợp phân phối chuẩn.
H1: Mẫu không phù hợp phân phối chuẩn.
2
Tra bảng 0,01 (2)  9, 21 .
p1 = 0.05991
p2 = 0.260073
p3 = 0.412401
p4 =0.14539 p5 =0.122226
2
2
Tính tckđ: 0  2,0302   nên chấp nhận H0.


ĐỀ THI HỌC KỲ
MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Thời gian: 90 phút.

Bộ môn Toán ứng dụng

- Đề thi gồm 2 trang.
- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi.
- Các số gần đúng làm tròn đến 4 chữ số phần thập phân.

Câu 1 (2,5 đ) Một hệ thống kỹ thuật gồm n bộ phận mắc nối tiếp nhau. Xác
suất hoạt động tốt của mỗi bộ phận trong khoảng thời gian T là p. Hệ
thống sẽ ngừng hoạt động khi có ít nhất một bộ phận bị hỏng.
Để nâng cao độ tin cậy của hệ thống, người ta dự trữ thêm n bộ phận nữa
theo phương thức a) hoặc phương thức b) như sau:
a)
P

P

P

P

P

P

b)
P

P

P

P

P

P

a) Tìm xác suất hoạt động tốt của các hệ thống dự trữ theo 2 phương
thức trên trong khoảng thời gian T.
b) Hỏi phương thức dự trữ nào mang lại độ tin cậy cao hơn cho cả hệ
thống?
Câu 2 ( 2,5 đ) Một nhà máy bán một loại sản phẩm với giá 1 USD một sản
phẩm. Trọng lượng của sản phẩm là một ĐLNN có phân bố chuẩn với kỳ
vọng a kg và độ lệch tiêu chuẩn  2  1 kg2. Giá thành làm ra một sản
phẩm là: c = 0,051a + 0,32. Nếu sản phẩm có trọng lượng bé hơn 8kg
thì phải loại bỏ vì không bán được.
Hãy xác định a để lợi nhuận của nhà máy là lớn nhất.
Câu 3 ( 3 đ) Khi nghiên cứu về sự ảnh hưởng của mức thu nhập X của các hộ
gia đình (đơn vị: triệu đồng/ tháng) đối với mức độ tiêu dùng Y đối với một

1


loại thực phẩm (đơn vị: kg/ tháng), người ta khảo sát ngẫu nhiên 168 gia
đình trong vùng và thu được bảng số liệu sau đây:
X

Y
2
4
6

8
10

10
5

20
7
13

30
18
25
15

40

50

60

27
11
9

2
20
7

6

3

a) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu của X đối với Y và tính hệ số tương quan
mẫu.
b) Với độ tin cậy 95%, hãy tìm các khoảng tin cậy cho trung bình của mức thu nhập và
trung bình của mức tiêu dùng loại thực phẩm này của các gia đình trong vùng.
c) Có tài liệu nói tỷ lệ gia đình có thu nhập cao ( từ 50 triệu trở lên) là 28%. Với mức
ý nghóa 3%, hãy cho nhận xét về độ tin cậy của tài liệu trên.
Câu 4:. ( 2 đ) Dưới đây là một mẫu thống kê về chiều cao của một loại cây sau hai
tháng tuổi:
Độ cao (cm)
Số lượng

6-8

8-10

10-12

12-14

14-16

16-18

6

27

52

68

33

14

Với mức ý nghóa  = 0,01 hãy kiểm định xem mẫu trên có phù hợp với phân phối
chuẩn không?

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

2


ĐÁP ÁN
Câu 1: 2đ + 0,5 đ
a) Theo phương thức a): Pa = (1- q2)n .
q=1-p
n 2
Theo phương thức b): Pb = 1- (1- p )
b) Pa = pn * ( 2- p )n
> Pb = pn * ( 2 – pn). ( tính chất hàm mũ)
Câu 2:
Gọi X là trọng lượng sản phẩm. Y là số tiền thu được khi sản xuất 1 sản phẩm.
E(Y) = -c * P(X<8) + (1- c) * P(X>=8)
= - 0,051 a + 0,18 - (8-a)
E’a = - 0,051 + f(8-a)

f(x) : hàm mật độ Gauss.

E’a = 0 khi f(8-a) = 0,051  8-a =  2,02 ( tra bảng)  a= 5,98 ; a= 10,02.
Xét dấu E’ dựa vào hàm f ….. E(Y) đạt GTLN tại a= 10,02.
Caâu 3: 1đ + 1đ+ 1đ
a) R = 0,7538.

Phương trình hồi quy x = 10,5681 +3,9746 y

b) Khoảng ƯL cho mức thu nhập trung bình:
36,0714  1,96 11,5316/168 =
36,0714  1,7438
 (34,3277 ; 37,8152 )
Khoảng ƯL cho nhu cầu trung bình:
6,4167  1,96 2,2187/168 = 6,4167  0,3307  (6,0859 ; 6,7474 )
c) Ho : p= 28%; H1: p ≠ 28%
z= 2,17
Miền bác bỏ W = ( -; -2,17) ( 2,17; +)
f = 38/168 = 0,2262
zqs = (0,2262 – 0,28)* 168/ (0,28* 0,72) = -1,5533  W.
Chấp nhận Ho. Tài liệu được coi như đáng tin.

Caâu 4: 2 đ
Ho: Mẫu phù hợp phân phối chuẩn a = 12,37 ;  = 2,3797.
H1: Mẫu không phù hợp phân phối chuẩn.
Tra bảng 2= 11,34 . Miền bác bỏ W = (11,34 ; +)
Pi
Ei =n*pi

0.033152
6.630356

0.126492 0.278577 0.315095
25.29836 55.71544 63.01895

0.183105 0.063579
36.62102 12.71588

2qs = 1,3036  W. Chấp nhận Ho. Mẫu phù hợp với phân phối chuẩn.
3


ĐỀ THI HỌC KỲ
MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Bộ môn Toán ứng dụng

Thời gian: 90 phút.
- Đề thi gồm 2 trang.
- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi.
- Không sử dụng tài liệu.

Câu 1:
Một nhà ăn phải phục vụ bữa trưa cho 1000 khách trong hai đợt liên tiếp. Số chỗ
ngồi của nhà ăn phải ít nhất là bao nhiêu để xác suất của biến cố: “không đủ chỗ
cho khách đến ăn” là bé hơn 1%? Giả thiết rằng mỗi khách có thể đến ngẫu
nhiên một trong hai đợt.
Câu 2:
Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5%. Tất cả các sản phẩm của máy sẽ được kiểm
tra chất lượng bởi một thiết bị tự động. Tuy nhiên tỷ lệ kết luận sai của thiết bị
này đối với chính phẩm là 4%, còn đối với phế phẩm là 1%. Nếu sản phẩm bị

thiết bị kết luận là phế phẩm thì sẽ bị loại.
a) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị thiết bị kiểm tra đó kết luận nhầm.
b) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị thiết bị loại sai.
Câu 3:
Bán kính của một số sản phẩm được khảo sát ngẫu nhiên như sau:
Bán kính

3,5 – 3,7

3,7 – 3,9

3,9 – 4,1

4,1 – 4,3

4,3 – 4,5

4,5 – 4,7

8

12

28

42

14

6

xi (mm)
Soá lượng
ni
Với mức ý nghóa   0,05 , có thể coi bán kính các sản phẩm này tuân theo quy
luật chuẩn đđược không ?
Câu 4:
Tiến hành khảo sát số gạo bán ra hằng ngày ở một cửa hàng, người ta có kết
quả:
Số gạo bán ra
(kg)

130

150

160

180

190

210

220

Số ngày

9

12

25

30

20

13

4


Ông chủ cửûa hàng cho rằng nếu trung bình một ngày bán ra không quá 170 kg
thì tốt hơn là nghỉ bán. Từ số liệu trên, với mức ý nghóa 5%, hãy cho biết cửûa
hàng nên quyết định thế nào ?
Câu 5:
Khi nghiên cứu sự phát triển của một loại cây, người ta tiến hà nh đo đường
kính X(cm) và chiều cao Y(m) của một số cây. Số liệu ghi trong bảng sau:
Y

2

3

3

5

4

5

6

7

X
20
22

2

10

24

3

8

12

7

4

16

7

5

8

10

26
28

a) Những cây cao từ 5 m và có đường kính từ 26 cm trở lên là cây loại I. Hãy
ước lượng tỉ lệ cây loại I với độ tin cậy 90%.
b) Ước lượng đường kính trung bình của cây loại 1 với độ tin cậy 99%.
c) Trước đây chiều cao trung bình của loại cây này là 5,2 m. Số liệu trên lấy ở
những cây áp dụng một biện pháp chăm sóc mới. Với mức ý nghóa 5%, hãy nhận
xét về tác dụng của biện pháp chăm sóc đó.
PHÓ CHỦ NHIỆM BỘ MÔN


ĐÁP ÁN
Câu 1: (2 đ)
Gọi m là số ghế ngồi trong nhà ăn. ( 500 < m <1000)
Gọi X là số khách vào nhà ăn trong đợt 1.
X có phân phối Nhị thức với n =1000, p=1/2.
Xác suất đủ chỗ ngồi cho khách = P( số khách đến ca 1 ≤ m và số khách đến ca 2 ≤ m )
 m  500 
 1000  m  500 
 m  500 
= P(1000-m ≤ X ≤ m)   
 

  2  

250
 250 


 250 
Từ giả thiết XS đủ chỗ ngồi cho khách > 0,99 
 m  500 
 m  500 
2  
  0,99   
  0, 495  (2,58)
 250 
 250 
m  500

 2,58
 m  2,58  250  500  m  541
250
Câu 2: ( 2 đ)
a) Tỷ lệ KL sai của thiết bị: 95%* 4% + 5% *1% = 3,85%.
0,95*4%
b) P(sản phẩm là chính phẩm/ sản phẩm bị loại)=
 43, 43%
0,95*4%  0,05*99%
Câu 3: (2 đ)
Ho: Bán kính phù hợp với phân phối chuẩn.
H1: Bán kính không phù hợp với phân phối chuaån.
x  4,1091

s  0, 2437
2 (3)  7,81 n  110;
Các giá trị trung gian:
Pi
Ei =n*pi
0.0466
5.1265
0.1488 16.3719
0.2897 31.8633
0.2982 32.7998
0.1624 17.8595
0.0544
5.9790

02  6,6612  2

(Oi-Ei)^2/Ei
1.6106
1.1674
0.4684
2.5806
0.8340
0.0001
6.6612

Chấp nhận Ho.

Câu 4: ( 1 đ)
Ho: a = 170 kg
H1: a  170 kg

z  1,96
n  113;
x  175, 0442 s  23, 2657
TCKĐ Zo 

x  a0

n = 2,3047
s
Bác bỏ Ho. Chấp nhận H1.
Do khối lượng gạo bán TB hàng ngày x >170 kg nên ta coi như a > 170 kg.
Neân cửa hàng cần tiếp tục bán.
Cách khác:


Ho: a = 170 kg
( hay a<=170 kg , dấu = phải ở biểu thức của Ho)
H1: a > 170 kg
Do   5%  z2  1,645
 W  (1,645;  )

n  113;

x  175,0442 s  23, 2657

x  a0
n = 2,3047 W nên bác bỏ Ho. Chấp nhận H1.
s
Cửa hàng nên tiếp tục bán.
TCKĐ Zo 

Câu 5: ( 3 đ)
a) z  1, 64

n  100;

f  0, 46

Khoảng Ư L: (0,3783; 0,5413)
n  46;
x  26, 7826
b) z  2,58
Khoaûng UL: (26,4072; 27,1580)
c) Ho: a=5,2m H1: a 5,2 m
z  1,96
n  100;
y  0,51
TCKñ: Zo= -1,4457.
Chấp nhận Ho.
Cách 2 cũng tương tự.

  0, 0817
s  0,9869

s  1,3142

  0,3754


1. Ba công nhân cùng sản xuất một loại sản phẩm. Xác suất người thứ nhất và người thứ hai làm ra

chính phẩm bằng 0,9; cịn xác suất người thứ ba làm ra chính phẩm bằng 0,8. Một người trong số đó
làm ra 8 sản phẩm, thấy có hai phế phẩm. Tìm xác suất để trong 8 sản phẩm tiếp theo cũng do người
đó sản xuất sẽ có 6 chính phẩm.
2. Thời gian đi từ nhà đến trường của sinh viên A là một đại lượng ngẫu nhiên T ( đơn vị: phút) có
phân phối chuẩn. Biết rằng 65% số ngày đến trường của sinh viên A mất hơn 20 phút và 8% số ngày
đến trường mất hơn 30 phút.
a) Tính thời gian đến trường trung bình của sinh viên A và độ lệch chuẩn.
b) Giả sử sinh viên A xuất phát từ nhà trước giờ vào học 25 phút. Tính xác suất để sinh viên A bị
muộn học.
c) Sinh viên A cần phải xuất phát trước giờ học bao nhiêu phút để xác suất bị muộn học của
sinh viên A bé hơn 0,02 ?
3. Trong hộp có 12 sản phẩm, trong đó mỗi sản phẩm đều có thể là chính phẩm hoặc phế phẩm với
xác suất như nhau. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 8 sản phẩm theo phương thức có hồn lại thì được tồn
chính phẩm. Tính xác suất để hộp đó chứa tồn chính phẩm.
4. Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến khi có người ném trúng rổ thì dừng lại với
xác suất ném trúng của từng người tương ứng là 0,3 và 0,4. Người thứ nhất ném trước. Gọi X là biến
ngẫu nhiên chỉ số lần ném của người thứ nhất, Y là biến ngẫu nhiên chỉ số lần ném của người thứ
hai.
a) Tìm bảng phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên X và Y.
b) Tìm kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Y.
5. Một hộp đựng 6 bi đỏ, 2 bi xanh và 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra từng bi cho đến khi lấy được bi đỏ
thì dừng lại. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số bi xanh và Y là biến ngẫu nhiên chỉ số bi vàng đã lấy ra.
a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của véc tơ ngẫu nhiên (X, Y).
b) Tính hệ số tương quan RXY. Tìm ma trận tương quan D(X, Y).
6. Một nhà máy bán một loại sản phẩm với giá 20 ngàn đồng một sản phẩm. Trọng lượng của sản
phẩm là một đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với kỳ vọng a kg và độ lệch tiếu chuẩn 1 kg. Giá
thành làm ra một sản phẩm là c = 0,048a +0,31. Nếu sản phẩm có trọng lượng bé hơn 8kg thì phải
hủy bỏ vì khơng bán được. Hãy tím a để lợi nhuận của nhà máy là lớn nhất.
7. Xét trong khoảng thời gian T, xác suất hỏng của một loại thiết bị điện là 2%. Trên một tuyến dây
cao thế có 1000 thiết bị loại này hoạt động độc lập. Kinh phí sửa chữa cho một thiết bị hỏng là 30

triệu đồng.
a) Tính xác suất cần phải dùng 90 triệu đồng để sửa chữa.
b) Trung bình cần dự trữ bao nhiêu tiền cho hoạt động của đường dây này trong khoảng thời
gian nói trên?
c) Gọi X là số thiết bị hỏng và Z = X2 -1, tính P( Z ≥ 3).
8. Một tin tức điện báo tạo thành từ các tín hiệu (.) và vạch (-). Qua thống kê cho biết là do tạp âm
nên khi truyền tin, bình quân 2/5 tín hiệu chấm và 1/3 tin hiệu vạch bị méo. Biết rằng tỉ số các tín
hiệu chấm và vạch trong truyền tin đi là 5: 3. Tính xác suất sao cho nhận đúng tín hiệu đi nếu:
a) Nhận được chấm (.) ;
b) Nhận được vạch (-) .
9. Gieo đồng xu n lần. Tìm xác suất tổng số chấm nhận được trong các lần tung không dưới 6n-1.