de-thi-hoc-sinh-gioi-lop-9-mon-toan-nam-hoc-2014-20151

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (427.99 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014-2015

Mơn: TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC - VỊNG I
Bài 1 (2,0 điểm):

a) Cho

2 2

x x x x

x x 1 x x 1

 

 

    .

Hãy rút gọn: B 1  A x 1  (Với 0 x 1).

b) Cho x32 3 32 3. Thực hiện tính 2 3
64 3x
(x  3)  .
Bài 2 (2,0 điểm):

Giải các phương trình sau:

a) x 2 2x 5 + x23 2x 5 = 7 2
b) x4  x2 2014 2014

Bài 3 (2,0 điểm):

Cho đường tròn tâm O và hai điểm B, C thuộc đường tròn. Các tiếp tuyến
của đường tròn tại B và C cắt nhau ở A. M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp
tuyến của đường tròn tại M cắt AB, AC theo thứ tự ở D và E. BC cắt OD ở I và cắt
OE tại K. Chứng minh rằng:

a) DB.DE = DI.DO
b) OM, DK, EI đồng quy.
Bài 4 (2,0 điểm):

Cho đường tròn (O, R) đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By của
đường tròn. Gọi M là một điểm tuỳ ý trên cung AB. Tiếp tuyến tại M của đường
tròn cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D.

a) Chứng minh: AC.BD = R2

b) Tìm vị trí của M để chu vi tam giác OCD nhỏ nhất.
Bài 5 (2,0 điểm):

Cho x là số nguyên. Chứng minh rằng:
a) A(x) = x5 – x chia hết cho 5.

b) M =

x x x

 

5 3 2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014-2015

Mơn: TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I

Bài 1 (2,0 điểm):

x( x 1)(x x 1) x( x 1)(x x 1)
A

x x 1 x x 1

     

 

   

0,25

A x( x 1)  x( x 1) 2 x 0,25





B 1  2 x x 1 1    x 1 0,25





1 x 1 1 x 1 1 (1 x) x

          0,25

3 3 3 3

x  4 3( 2 3  2 3) 2 3. 2 3 4 3x  . 0,50

Từ x3 = 4 + 3x được: x3 – 3x = 4  (x3 – 3x)3 = 43  x3(x2 – 3)3 = 43 =64. 0,25

Thay được

3 2 3

2 3 2 3

64 3x x (x 3) 3x x 3x
(x 3) (x 3)



    

  =4 0,25

Bài 2(2,0 điểm): Giải các phương trình sau:

Nhân hai vế với 2được: 2x 4 2 2x 5   + 2x 4 6 2x 5 14    0,25



2x 5 1 







2x 5 3  14 0,25

2x 5 1   2x 5 3 14    2x 5 5  0,25
x = 15. Đặt điều kiện rồi đối chiếu hoặc thử lại để kết luận nghiệm. 0,25

Cộng hai vế với x

2 1

4


được: x x x x

4 2 1 2 2014 2 2014 1

4 4

      

0,25

x x

2 2

2 1 2 2014 1

2 2

   

   

   

    

x x

2 2

1 2014 1

2 2

1 2014 1

2 2



   




    



0,25

x2 1 x2 2014 1

2 2

   

x2  x2 2014 . PT vô nghiệm do VT0;

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

VP <0.

x2 1 x2 2014 1 x2 1 x2 2014 x4 x2 2013 0

2 2

           

Giải phương trình được nghiệm: x1 x2

8053 1 8053 1

2 2

 

 ; 

0,25

Bài 3 (2,0 điểm):

Hai tam giác DBI và DOE có:

 

BDI ODE (DB, DM là các tiếp tuyến) 0,25

sđ DBI= sđ

BC

2 ; sđDOE sđ

BOC
2 =sđ

BC
2
DBI DOE    DBI đồng dạng DOE

0,50



DB DO

DB.DE DI.DO

DI DE   0,25

Từ: DBI DOE   và DIB OIK   (Đ.đỉnh)

 IKO IDB  

 Tứ giác DBOK nội tiếp đường tròn.

Do DBO = 900 nên DKO = 900 hay DKOE

0,50

Tương tự: EIO = 900 hay EI  DO 0,25

OM DE (DE là tiếp tuyến tại M)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 4(2,0 điểm):

- AC = CM; BD = DM nên AC.BD = MC.MD. 0,25

- Chứng tỏ được OCD vuông tại O. 0,25

- MC. MD = OM2 = R2. 0,25

Đặt AC = x; BD = y có:

OC = x2R2 ; OD = y2R2 .

CV= OC+OD+CD = x2R2 + y2R2 + x+y

0,25
Do x.y = R2 nên x + y nhỏ nhất khi x = y = R (1) 0,25

Xét A= x2R2 + y2R2

A2 = x2 + y2 + 2R2 + 2 x y2 2R (x2 2y ) R2  4

= x2 + y2 +2R2 + 2 R2R (x2 2y ) R2  4 .

Để A nhỏ nhất  A2  x2 + y2 nhỏ nhất.

x2 + y2  2xy =2R2. Dấu "=" xảy ra khi x = y = R

(2)

0,50

Từ (1) và (2) CV nhỏ nhất khi x = y  M là điểm
chính giữa của cung AB.

Lúc đó CV = 2R + 2R 2

0,25

Bài 5(2,0 điểm):

n5 – n = n(n2 -1)(n2 + 1). 0,25

Xét số dư khi chi n cho 5:

n = 5k: n chia hết cho 5 nên n5 – n.

n = 5k1: n2 -1 = 25k2 10k + 1-1 = 5(5k2 2k) chia hết cho 5.

n = 5k2: n2 +1 = 25k2 20k + 4+1 = 5(5k2 4k+1) chia hết cho 5.

Vậy với mọi n Z thì n5 – n chia hết cho 5.

0,50

M =

x5 x3 2x x5 5x3 4x
30 6 15 30

 

  

M Z  M(x) =x5 5x3 4xchia hết cho 30.

0,25

M(x) =x5 x 5x35x chia hết cho 5. (1) 0,25
M(x) =x(x4 1 5) x(x2  1) x(x  1)(x1)(x21 5) x(x 1)(x 1)

x(x 1)(x 1)(x2 1 5)

    

Tích ba số nguyên liên tiếp x(x-1)(x+1) chia hết cho 2; 3 và ƯCLN(2,3)=1
nên x(x-1)(x+1) chia hết cho 6  M(x) chia hết cho 6. (2)

0,50

Kết hợp (1), (2) và ƯCLN(5,6) = 1 M(x) chia hết cho 30 hay M nhận giá trị

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014-2015

Mơn: TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VỊNG II

Bài 1 (2,0 điểm):

a) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng:
1 1 4

a b a b   ;     
1 1 1 9
a b c a b c

b) Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 1

a b c b c a c a b a b c           .
Bài 2 (2,5 điểm):

a) Cho hàm số y x 2có đồ thị (P). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d)
có phương trình y x m  cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A x y( ; )1 1 , ( ; )B x y2 2

thoả mãn: (x2  x1)4 (y2  y1)4 18

b) Giải hệ phương trình:

x (x x y)
y (y y x)

3 2

1 2
1 2

    




   




Bài 3 (2,5 điểm):

Cho hình thang cân ABCD (AB//CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB, CD. Trên tia NC lấy điểm G. Đường thẳng GM cắt DB tại H và cắt DA tại K.
KN cắt AB tại E; NH cắt AB tại F.

a) Chứng minh NM là phân giác của góc ENF.

b) Khi G là trung điểm của NC. Chứng minh GA, DB, KN đồng quy.
Bài 4 (2,0 điểm):

Cho tam giác nhọn ABC và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO,
BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh:

a) OMAM+ON
BN+

OP
CP=1
b)

AM BN CP
+ +

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Tìm các số nguyên x, y để: 2x2 3xy 2y2 7

UBND HUYỆN QUẾ SƠN

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014-2015

Mơn: TỐN

HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II

Bài 1 (2,0 điểm):

2 2

1 1 4 a b 4 (a b) 4ab (a b) 0
a b a b ab a b



         

  0,50



 



             

 

1 1 1 1 1 1

a b c 9 1 1 1 (a b c ) 9

a b c a b c

Có:  

a 2

a ;    

1 1

b 2;c 2

b c nên           

1 1 1

1 1 1 a b c 6 3 9

a b c

0,50

b) Do a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a+b-c > 0; b+c-a > 0. 0,25
Áp dụng a) có:

1 1 4

a b c b c a 2b      ;

Tương tự:

1 1 4

a b c c a b 2a      ;      

1 1 4

a b c c a b 2a

0,50

Cộng được:

1 1 1 2 2 2

a b c b c a c a b a b c

 

    

 

     

 



1 1 1 1 1 1

a b c b c a c a b a b c          

0,25

Bài 2 (2,5 điểm):

Các điểmA x y( ; ), ( ; )1 1 B x y2 2 thuộc (d) và thuộc (P) nên x1; x2 là hai nghiệm của

phương trình: x2  x m  x2  x m 0 (1) 0,25
Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi (1) có hai

nghiệm phân biệt.

  1 4m0

1
.
4

 m

0,25

Các điểm A x y( ; ), ( ; ) 1 1 B x y2 2 thuộc (d) nên y1x1m y, 2 x2 m

Thay vào: (x1 x2)4(y1 y2)4 18 được:

4 4 4 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

( ) ( ) 18 ( ) 9 [( ) 4 ] 9
 x  x  x m x  m   x  x   x x  x x 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Theo định lí Viet x1x2 1, x x1 2 m. Ta có

(1+4m)2 = 9

+ Tìm được

1
1
2



 

m
m

. Đối chiếu ĐK kết luận m =
1

2 0,25

Trừ được:





3 3 2 2

x – y  2 x – y – 2 x – y











 











2 2

x – y x xy y 2 x – y x y – 2
x – y x xy y – 2 x y 4 0

    

     

2 2





x y

x xy y – 2 x y 4=0



 
   

0,25

Với x = y: x3 + 1 = 2(x2 – x + y)

x3 – 2x2 + 1 = 0

(x – 1) (x2 - x - 1) = 0

Giải được x1 = 1; x2 =

1 5
2


; x3 =

1 5
2


Nghiệm của hệ là:
x
;
y
1

1





x
;
y
 





 


1 5
2
1 5
2
x
y
 






 


1 5
2
1 5
2
0,50

Với: x2  xy y – 2 x y 4=0 2













2 2

x 2xy 2y – 4 x y =0
x y (x y) (x y)

x y (x y )

2 2 2

2 8

4 4 4 0

2 4 0

    

        
      

PT vô nghiệm do VT luôn lớn hơn 0.

0,50

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Nối NA, NB. Chứng minh được AND
=BNC  NA = NB  NAB cân 
MN  AB

Có: ME/GN = KM/KG (EM//GN)
KM/KG = AM/DG

 ME/GN = AM/DG
MF/NG = HM/HG
HM/HG = MB/DG
 MF/NG = MB/DG

Mà MA = MB nên ME/GN = MF/GN
ME=MF

Tam giác ENF có NM vừa là đường cao
vừa là trung tuyến nên NM là phân giác
của ENF.

0,50

0,25

0,25
0,25
Từ DN = 2NG chứng minh được AE = 2EM.

Gọi I là giao điểm của EN và DB. Có IE/IN = EB/DN = 4EM/DN.

Gọi J là giao điểm của AG và EN, Có JE/JN=AE/NG = 2EM/NG = 4EM/DN
 IE/IN =JE/JN  I  J hay GA, DB, KN đồng quy.

0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 4 (2,0 điểm):

Lần lượt hạ AH, OK vng góc với BC. Có:

OM OK

AM AH . 0,25

Lại có

OBC

ABC
S
OK

AH S nên OBCABC
S
OM

AM S . 0,50

Tương tự:

OAC
BAC
S
ON

BN S ; OABCAB
S
OP

CP S 0,25

Cộng được:

OBC OCA OAB ABC
ABC ABC ABC ABC

S S S S

OM ON OP 1

AM BN CP S   S S S  0,25

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

a+

b+

c≥

a+b+c  1 1 1 a b c 9a b c





 

    

 

 

Có:

AM BN CP
+ +
OM ON OP =

AM BN CP
+ +

OM ON OP . 1
=(

AM BN CP
+ +

OM ON OP). (

OM ON OP
AM BN CP  )  9

0,50

Bài 5 (1,0 điểm):

Đưa về phương trình tích

x xy xy y x(x y) y(x y)
(x y)( x y)

2 2

2 4 2 7 2 2 2 7

2 2 7

         

   

0,50
Lập và giải các hệ phương trình:

x y x y x y x y

; ; ;

x y x y x y x y

2 1 2 7 2 1 2 7

2 7 2 1 2 7 2 1

       

   

   

       

   

Giải được nghiệm: (3; -1); (-3; 1)

</div>

de-thi-hoc-sinh-gioi-lop-9-mon-toan-nam-hoc-2014-20151







































 































Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về