Luận Văn Tốt Nghiệp Đường Tán Sắc Của Exciton-Polariton Hai Chiều Trong Tương Tác Với Phonon Âm Học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM
KHOA VẬT LÝ

TRẦN DƯƠNG ANH TÀI

ĐƯỜNG TÁN SẮC CỦA EXCITON-POLARITON
HAI CHIỀU TRONG TƯƠNG TÁC VỚI
PHONON ÂM HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ

TP. HỒ CHÍ MINH – 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM
KHOA VẬT LÝ

TRẦN DƯƠNG ANH TÀI

ĐƯỜNG TÁN SẮC CỦA EXCITON-POLARITON
HAI CHIỀU TRONG TƯƠNG TÁC VỚI
PHONON ÂM HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ
MÃ NGÀNH: 102

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. PHẠM NGUYỄN THÀNH VINH

TP. HỒ CHÍ MINH – 2018


Lời cảm ơn
Đầu tiên, tôi xin dành lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy hướng
dẫn khoa học của tôi, TS. Phạm Nguyễn Thành Vinh. Trong quá trình học tập
tại khoa Vật Lí, Trường Đại học Sư Phạm TPHCM, tôi may mắn được làm việc
với thầy khi còn là một sinh viên năm nhất. Thầy đã kiên trì hướng dẫn và tận
tình giúp đỡ khi tơi vừa bắt đầu thực hiện đề tài nghiên cứu đầu tiên, một điều
hoàn toàn mới mẻ với một sinh viên năm nhất khi đó. Thầy khơng chỉ dạy tơi
những kiến thức Vật Lí và kĩ năng cần thiết cho cơng việc nghiên cứu, trong quá
trình làm việc dưới sự hướng dẫn của thầy, thầy cịn dạy tơi nhiều bài học q giá
trong cuộc sống và luôn tạo điều kiện để tôi có thể phát triển bản thân một cách
tốt nhất. Những bài học bổ ích ấy đã giúp tơi gặt hái được nhiều thành tích và có
những trải nghiệm đáng nhớ trong suốt bốn năm đại học. Ngồi ra, tơi cũng học
tập ở thầy về thái độ làm việc nghiêm túc, cách làm hiệu quả, và một số kĩ năng
mềm. Suốt quãng thời gian thực hiện đề tài khoá luận tốt nghiệp, thầy ln động
viên, khích lệ tinh thần, giúp tơi vượt qua những khó khăn để hồn thành khố
luận tốt nghiệp.
Khố luận tốt nghiệp này có thể sẽ khơng hồn chỉnh nếu thiếu những nhận
xét, góp ý của TS. Nguyễn Duy Vỹ, Viện Vật Liệu Tiên Tiến, Trường Đại học
Tôn Đức Thắng và TS. Tomotake Yamakoshi, Viện Khoa học LASER, Trường
Đại học Điện Tử–Viễn Thông (Institute for Laser Science, University of Electro–
Communications). Những nhận xét phản biện này không chỉ góp phần đảm bảo
tính chính xác về mặt khoa học cho khố luận tốt nghiệp của tơi mà cịn giúp tơi
hiểu rõ hơn về bức tranh Vật Lí của đề tài mà tơi đang thực hiện. Ngồi ra, trong
q trình thảo luận với TS. Tomotake Yamakoshi, tôi học hỏi thêm về kĩ thuật lập
trình với ngơn ngữ FORTRAN 77 và một số phương pháp tốn lý mới.

Tơi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cơ trong khoa Vật Lí, Trường Đại học Sư
Phạm TPHCM, những người đã tận tình giảng dạy, truyền đạt những kiến thức,
i


và kinh nghiệm quý giá trong bốn năm qua để tơi có thể hồn thành khố luận tốt
nghiệp này và có được hành trang tốt nhất cho cơng việc trong tương lai của tơi.
Ngồi ra, tơi cũng xin gửi lời cảm ơn riêng đến TS. Phan Thị Ngọc Loan, người đã
dạy tôi học phần “Phương pháp nghiên cứu khoa học”, những bài giảng của cô đã
tạo cho tôi cảm hứng với việc nghiên cứu Vật Lí và thầy cố vấn học tập, TS. Hồng
Văn Hưng, nhờ những buổi nói chuyện với thầy, tơi học hỏi thêm được nhiều điều
bổ ích bên cạnh giải toả áp lực trong học tập và nghiên cứu.
Tơi cũng cảm ơn những thành viên trong nhóm nghiên cứu của TS. Phạm
Nguyễn Thành Vinh. Trong quá trình làm việc, tơi ln nhận được sự hỗ trợ tận
tình và động viên kịp thời từ các thành viên trong nhóm. Cùng với các thành viên
trong nhóm, tơi có những hành trình đáng nhớ, đặc biệt là chuyến đi tham quan
Vũng Tàu năm 2018 cùng với TS. Tomotake Yamakoshi.
Trong bốn năm học tập tại trường Đại học Sư Phạm TPHCM, tơi may mắn
được quen biết nhiều bạn bè cùng khố và các anh chị khố trên, những người
ln bên cạnh và giúp đỡ tôi những lúc tôi gặp những vấn đề khó giải quyết. Tơi
trân trọng khoảng thời gian ơn tập cho những kì thi kết thúc học phần căng thẳng
cùng với các bạn Hồ Hoàng Huy, Nguyễn Tấn Phú, Nguyễn Thành Nhân, Trương
Ngơ Bích Trâm. Tơi muốn gửi lời cảm ơn đến anh Trần Cơng Hiếu vì đã giúp đỡ
tơi trong kì thi tuyển sinh đại học năm 2014, hỗ trợ tơi hồn tất thủ tục nhập học
và cung cấp tài liệu những học phần đại cương dành cho sinh viên năm nhất. Tơi
cũng xin cảm ơn chị Hồng Khánh Linh, chị Nguyễn Mai Khanh đã lắng nghe và
cho tơi những lời khun để tơi vượt qua nhiều khó khăn trong lúc hồn thành
khố luận tốt nghiệp này. Tơi sẽ không quên những lời khuyên về cách học Vật Lí
và kinh nghiệm nghiên cứu được chia sẻ từ CN. Lê Đại Nam.
Cuối cùng nhưng không kém phần quan trọng, tôi xin cảm ơn ba mẹ của tôi.

Ba và mẹ tơi đã tạo mọi điều kiện để tơi có thể tập trung vào việc học tập suốt
bốn năm qua và luôn ủng hộ những quyết định của tôi. Tôi không thể thành cơng
như ngày hơm nay nếu khơng có sự hi sinh của ba, mẹ tôi.
Tp.HCM, ngày 02 tháng 05, năm 2018
Sinh viên

Trần Dương Anh Tài

ii


Mục lục
Trang
Danh sách hình vẽ

ii

Danh mục chữ viết tắt

iii

Mở đầu

1

1 Cơ sở lý thuyết

4

1.1 Toán tử sinh và huỷ trong cơ học lượng tử . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Giả hạt Polariton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Định lý Floquet

12

3 Kết quả và thảo luận

15

3.1 Hướng tiếp cận sử dụng phương pháp gần đúng sóng quay . . . . . .

15

3.2 Hướng tiếp cận sử dụng định lý Floquet . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Kết luận và hướng phát triển

22

Tài liệu tham khảo

23

i


Danh sách hình vẽ
Trang
Hình 1.1:

Hình vẽ thể hiện sự phụ thuộc năng lượng của LP và UP
theo độ lệch năng lượng giữa exciton và photon. . . . . . . .

Hình 1.2:

11

Hình vẽ thể hiện đường tán sắc năng lượng của LP và UP
và sự phụ thuộc vào vector sóng song song của các hệ số
Hopfield tương ứng với các trường hợp a) ∆ = 2g0 , b) ∆ = 0,
c) ∆ = −2g0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

11


Danh mục chữ viết tắt

Chữ viết tắt

Tiếng Việt

Tiếng Anh

BEC

Ngưng tụ Bose – Einstein

Bose–Einstein Condensation

HHG

Sóng điều hồ bậc cao

High Harmonic Generator

LA

Sóng âm học dọc

Longtitudinal Acoustic

LP

Polariton nhánh dưới

Lower Polariton

LASER

La–de

RWA

Phép gần đúng sóng quay

Rotating Wave Approximation

SAW

Sóng âm học bề mặt

Surface Acoustic Wave

TA

Sóng âm hc ngang

Tranverse Acoustic

TDSE
UP

Light Amplification by Stimulated
Emisson Radiation

Phng trỡnh Schroădinger
ph thuc thi gian

TimeDependent Schroădinger Equation
Upper Polariton

Polariton nhỏnh trờn

iii


Mở đầu
Từ khi ra đời vào năm 1960, LASER (viết tắt của cụm từ Light Amplification
by Stimulated Emisson Radiation) là một công cụ đắc lực giúp các nhà vật lý
nghiên cứu cấu trúc của nguyên tử, phân tử thông qua các hiệu ứng phi tuyến như
phát xạ sóng điều hịa bậc cao (HHG – High Harmonic Generation ) [1], quá trình
ion hóa ngun tử, phân tử [2, 3] hay được dùng trong bẫy từ-quang (MOTs) [4,
5] để bẫy các nguyên tử cho các nghiên cứu sự biến đổi trạng thái của vật chất ở
pha ngưng tụ Bose–Einstein (BEC) [6–8] từ đó giúp chúng ta hiểu thêm về thế giới
tự nhiên. Với những tính chất đặc biệt như tính đơn sắc, kết hợp và có cường độ
cao, LASER được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác trong cuộc sống.
Tuy nhiên, các LASER được dùng trong các phịng thí nghiệm hiện nay đều được
tạo ra bằng cách tạo môi trường đảo mật độ sao cho electron trong các nguyên
tử chủ yếu ở trạng thái kích thích, khi các electron này trở về trạng thái cơ bản,
các photon phát ra phản xạ nhiều lần qua hệ cộng hưởng quang học và tạo thành
LASER. Phương pháp này đòi hỏi phải tạo ra môi trường đảo mật độ, và giữ các
electron ở trạng thái kích thích đủ lâu để có thể phát ra LASER, việc này tương
đối khó khăn vì thời gian sống của electron ở trạng thái kích thích ngắn, vào cỡ
10−8 s. Ngoài ra, ngưỡng năng lượng để xảy ra sự phát xạ này tương đối lớn, chúng

ta phải cung cấp nhiều năng lượng để q trình có thể xảy ra, do đó việc này gây
tốn kém.
Năm 1996, A. Imamoglu và cộng sự đã đưa khái niệm về một loại LASER
hoàn tồn mới mà khơng cần đến mơi trường đảo mật độ [9]. Các tác giả đã sử
dụng các giả hạt polariton là sự kết hợp giữa exciton (cặp electron và lỗ trống)

và photon trong cấu trúc tinh thể của chất bán dẫn được cấu hình sẵn. Các hạt
polariton có spin nguyên do đó chúng có thể có cùng trạng thái lượng tử đơn (single
quantum state), như các hạt boson trong pha BEC, . . . và phát ra những photon
kết hợp và đơn sắc, đây chính là cơ sở để tạo nên polariton LASER. Quá trình
1


phát xạ polariton LASER xảy ra ở nhiệt độ thấp khoảng 4K, được quan sát lần
đầu tiên bởi L. S. Dang và các cộng sự vào năm 1998 [10]. Đến năm 2007, LASER
polariton với bơm quang học lần đầu tiên được tạo ra ở nhiệt độ phòng [11]. Tuy
Polartion LASER có nhiều ưu điểm như ngưỡng phát xạ thấp, khơng cần đến môi
trường đảo mật độ, tần số của LASER có thể kiểm sốt một cách dễ dàng bằng
việc thay đổi tính chất của giếng lượng tử và vật liệu bán dẫn nhưng do công suất
phát xạ ở nhiệt độ phòng vẫn còn rất nhỏ [11], nên chưa thể ứng dụng vào thực tế.
Chúng tôi nhận thấy rằng việc tạo ra polariton LASER ở nhiệt độ phịng
có cường độ cao có ý nghĩa vơ cùng to lớn. Nhằm thực hiện điều này, chúng tôi
thêm vào hệ các phonon âm học thơng qua sóng âm học bề mặt (SAWs - Surface
Ascoustic Waves). Khi các hạt polariton tương tác với các phonon âm học, đường
tán sắc năng lượng bị thay đổi [12], do đó q trình ngưng tụ BEC của các hạt
polariton có thể bị thay đổi từ đó làm tăng nhiệt độ chuyển pha và cường độ của
polariton LASER. Trong công trình [12], Ivanov và các cộng sự đã đưa ra phương
trình đường tán sắc năng lượng của các hạt polariton khi có mặt sóng âm học
(phương trình (4) [12]). Tuy nhiên, các tác giả chỉ trình bày kết quả cuối cùng mà
thiếu đi quy trình tốn học chặt chẽ để đưa ra kết quả này. Do đó, việc tìm ra một
quy trình tốn học phù hợp, chi tiết để dẫn dắt đến kết quả của Ivanov và cộng
sự [12] là vô cùng cần thiết cho việc thực hiện các nghiên cứu tiếp theo của chúng
tôi.
Với những nhận xét nêu trên, chúng tôi thực hiện đề tài “Đường tán sắc
của các exciton-polariton hai chiều trong tương tác với phonon âm học”
cho khóa luận tốt nghiệp này nhằm đưa ra quy trình tốn học chặt chẽ để đưa ra

lại phương trình đường tán sắc năng lượng được nêu trong [12].
Khoá luận tốt nghiệp được trình bày thành ba chương, nội dung từng chương
như sau:
• Chương 1: Những tìm hiểu về hình thức luận lượng tử hoá lần hai trong cơ

học lượng tử, q trình phát xạ polariton LASER và sóng âm học bề mặt
được trình bày trong chương này.
• Chương 2: Chúng tơi trình bày các phương pháp tính tốn được sử dụng để

chéo hố Hamiltonian mơ tả sự tương tác giữa polariton và phonon âm học,
cụ thể là định lý Floquet.
2


• Chương 3: Các kết quả của khoá luận tốt nghiệp được trình bày trong chương

này. Kết quả tính tốn cho thấy khi ta sử dụng phương pháp gần đúng sóng
quay để chéo hố Hamiltonian thì kết quả thu được hoàn toàn khác với kết
quả được đưa ra bởi Ivanov và các cộng sự [12]. Do đó chúng tơi sử dụng
hướng tiếp cận khác, đó là sử dụng định lý Floquet kt hp vi phng trỡnh
Schrăodinger ph thuc thi gian, để kiểm tra lại các kết quả trước đó của
chúng tơi. Chúng tơi lại thu được kết quả hồn tốn khác hai kết quả trước
đó. Đồng thời, chúng tơi cũng phát hiện ra rằng kết quả sau khi chéo hoá
Hamiltonian trong cơng trình của Ivanov năm 2003 [12] hồn tồn khác với
kết quả của chính tác giả nó được cơng bố vào năm 2001 [13].

3


Chương 1

Cơ sở lý thuyết
1.1

Toán tử sinh và huỷ trong cơ học lượng tử
Trong cơ học lượng tử, ngoài cách tiếp cận theo hướng giải tích, chúng ta có

thể tiếp cận theo hướng đại số, sử dụng toán tử sinh và huỷ. Hướng tiếp cận này
giúp ta tiết kiệm thời gian tính tốn, thuận tiện trong việc tính tốn các hệ nhiều
hạt do đó nó cũng thường được sử dụng nhiều bởi các nhà vật lý. Trong phần này,
chúng tôi trình bày tóm tắt về các tính tốn với tốn tử sinh và huỷ trong cơ học
lượng tử.
Đặt a và a† là hai toán tử tác động lên những trạng thái trong khơng gian
Hilbert, và thoả mãn giao hốn tử
[a, a† ] = 1

(1.1)

trong đó “1” kí hiệu cho tốn tử đơn vị trong khơng gian Hilbert. Tốn tử a và a†
là các tốn tử khơng tự liên hợp, hay nói cách khác các tốn tử này khơng có tính
chất Hermitic. Toán tử a† được gọi là toán tử sinh và a được gọi là toán tử huỷ.
Ta gọi |α là trạng thái được chọn sao cho vector riêng của tốn tử Hermitic,
a† a, có trị riêng là số thực α
a† a|α = α|α .

(1.2)

α = α|a† a|α = ||a|α ||2 ≥ 0,

(1.3)

Do đó

trong đó chúng tơi sử dụng tiên đề cơ bản của cơ học lượng tử, rằng “norm” của
tất cả các trạng thái trong không gian Hilbert đều dương. Kết quả là trị riêng α
của trạng thái riêng của a† a là một số thực không âm.
4


Thêm vào đó, với các tốn tử A, B, C , ta ln có
[AB, C] = A[B, C] + [A, C]B,

(1.4)

từ đây ra suy các giao hoán tử quan trọng của các toán tử sinh và huỷ
[a†i ai , aj ] = −aj δi,j ,

(1.5)

[a†i ai , a†j ] = a†j δi,j ,

(1.6)

trong đó δi,j là Kronecker delta.
Một trạng thái bất kỳ |n được biễu diễn thông qua trạng thái cơ bản |0 ,
trạng thái bị huỷ bởi toán tử huỷ
a|0 = 0,

(1.7)

1

|n = √ (a† )n |0 ,
n!

(1.8)

m|n = n!δm,n .

(1.9)

qua biểu thức sau

và nội tích của nó thoả

Tóm lại, các toán tử sinh và huỷ phải tuân theo các phương trình sau
a† |n =
a|n =

√
√

n + 1|n + 1

(1.10)

n|n − 1

(1.11)

a† a|n = n|n

(1.12)

và do đó, các yếu tố ma trận lần lượt là
√
m|a|n = nδm,n−1
√
m|a† |n = n + 1δm,n+1

(1.13)
(1.14)

Để minh hoạ việc vận dụng toán tử sinh và huỷ vào các bài toán vật lý lượng
tử, chúng tơi trình bày lời giải bài tốn dao động tử điều hồ một chiều bằng cách
sử dụng tốn tử sinh huỷ. Tốn tử Hamilton mơ tả một dao động tử điều hồ có
dạng như sau
2
ˆ = pˆ + 1 mω 2 xˆ2
H
2m 2

5

(1.15)


trong đó pˆ = −i

d
là tốn tử động lượng, xˆ là toán tử toạ độ, m và ω lần lượt là
dx

khối lượng và tần số của dao động tử điều hồ. Ta định nghĩa các tốn tử sinh và
tốn tử huỷ cho dao động tử điều hoà như sau
a† = √

1
2mω
1

mω
2

(mωx − ip) =

mω
2

(mωx + ip) =
a= √
2mω

x−
x+

d
mω dx

d
mω dx

,
.

(1.16)
(1.17)

Với định nghĩa toán tử sinh và huỷ như trên, các tốn tử toạ độ và động lượng
được biểu diễn thơng qua các toán tử sinh và huỷ như sau
xˆ =
pˆ =

2mω
mω
2

a + a† ,

(1.18)

a† − a i.

(1.19)

Khi này, phương trình (1.15) được viết lại thành
ˆ = ω a† a + 1 .
H
2

(1.20)

Với Hamiltonian biểu diễn theo các toán tử sinh và huỷ, trị riêng năng lượng của
dao động tử điều ho c tỡm phng trỡnh Schrăodinger dng

H|n
= En |n
1
a† a +
|n = En |n
2
1
⇔ ω n+
|n = En |n
2

(1.21)

từ phương trình (1.21), ta suy ra trị riêng năng lượng của dao động tử điều hoà
En = ω n +

1
,
2

(1.22)

kết quả này tương tự như kết quả thu được khi tính theo phương pháp giải tích.
Để đưa ra hàm sóng của dao động tử điều hồ, ta cần định nghĩa trạng thái chân
không trước, trạng thái chân không của dao động tử điều hoà được định nghĩa bởi
a|0 = 0,

(1.23)

hay
x+

d
mω dx

6

ψ0 (x) = 0.

(1.24)


Phương trình (3.1) có nghiệm
ψ0 (x) = A exp −

mωx2
2

(1.25)

,

với A là hệ số chuẩn hoá được xác định từ điều kiện chuẩn hố
∞

|ψ0 (x)|2 dx = 1.

(1.26)

−∞

Hàm sóng chuẩn hố trạng thái chân khơng của dao động tử điều hồ có dạng
ψ0 (x) =

4

mω
mωx2
exp −
π
2

(1.27)

.

Một trạng thái bất kỳ |n của dao động tử điều hoà được xây dựng bằng cách tác
động tốn tử sinh lên hàm sóng trạng thái chân không
1
ψn = √
n!

1.2

mω
2

d
x−
mω dx

n
4

mωx2
mω
exp −
π
2

.

(1.28)

Giả hạt Polariton
Polariton là một giả hạt trong chất rắn, được tạo ra bởi sự tương tác của ánh

sáng (photon) và vật chất. Hàm sóng của polariton là sự chồng chập lượng tử từ
hàm sóng mơ tả photon và exciton, một sự kết cặp của một electron và một lỗ
trống trong chất bán dẫn
|ψ = X|ψx + C|ψc ,

(1.29)

trong đó ψc kí hiệu cho photon và ψx kí hiệu exciton. Các hệ số X, C được gọi là
hệ số Hopfield đặc trưng cho tính chất của polariton. Chúng tơi giải thích cặn kẽ
hệ số Hopfield ở bên dưới. Tiếp theo, chúng tơi trình bày chi tiết cách xây dựng

đường tán sắc năng lượng của các hạt polariton.
Hamiltonian đặc trưng cho tương tác giữa photon và exciton trong vi hốc
quang học (optical microcavity) là tổng của Hamiltonian mô tả photon trong vi
ˆ cav , Hamiltonian biểu diễn cho exciton H
ˆ exc và thành phần Hamilotonian thể
hốc H
ˆ coupling . Theo hình thức luận
hiện sự kết cặp (coupling) giữa photon và exciton H

lượng tử hoá lần hai, Hamiltonian này có dạng như sau
ˆ pol = H
ˆ cav + H
ˆ exc + H
ˆ coupling
H
ωpc a
ˆ† a
ˆ + ωpxˆb†ˆb + g0 (ˆ
a†ˆb + a
ˆˆb† )

=
p

7

(1.30)


với aˆ† là toán tử sinh photon trong vi hốc quang học, ˆb† là toán tử sinh exciton,

ωpx và ωpc lần lượt là tần số của photon và exciton, g0 là độ lớn lưỡng cực tương tác

giữa exciton và photon và có độ lớn khác “khơng” với những mode có cùng vector
sóng song song p. Lưu ý, ở đây chúng tơi dùng kí hiệu p để mơ tả vector sóng song
song, một số tài liệu khác có thể dùng kí hiệu p hoặc k . Hamiltonian trên có thể
được chéo hố thơng qua phép biến đổi tuyến tính sau của các toán tử huỷ
Pˆ
X C
=
ˆ
−C X
Q

ˆb

(1.31)

a
ˆ

ˆ là các toán tử huỷ của một giả hạt (quasiparticle)
trong đó các tốn tử Pˆ và Q

mới, giả hạt này được đặt tên là polariton và X, C là các hệ số đặc trưng cho phép
ˆ , ta suy ra định nghĩa
biến đổi tuyến tính. Từ định nghĩa các tốn tử huỷ Pˆ và Q
ˆ † như sau
các toán tử sinh Pˆ † và Q
X∗ C∗
Pˆ †

=
ˆ†
−C ∗ X ∗
Q

ˆb†
a
ˆ†

(1.32)

.

Xét giao hoán tử [Pˆ , Pˆ † ], ta có
[Pˆ , Pˆ † ] = [X ˆb + Cˆ
a, X ∗ˆb† + C ∗ a
ˆ† ],

(1.33)

sử dụng các tính chất của giao hốn tử của các tốn tử sinh và huỷ cho bởi phương
trình (1.1), phương trình (1.33) được viết lại thành
[Pˆ , Pˆ † ] = |X|2 [ˆb, ˆb† ] + |C|2 [ˆ
a, a
ˆ† ] = |X|2 + |C|2

(1.34)

mặt khác, ta có [Pˆ , Pˆ † ] = 1 nên ta suy ra được
|X|2 + |C|2 = 1.

(1.35)

ˆ Q
ˆ † ]. Để biểu diễn
Ta cũng thu được kết quả tương tự nếu xét giao hốn tử [Q,

Hamiltonian trong phương trình (1.30) theo các toán tử mới, ta biễu diễn các toán
ˆ
tử aˆ, ˆb theo Pˆ , Q
−1

ˆb

=

a
ˆ

X

C

−C X

Pˆ
C X
=
ˆ
Q

X −C

Pˆ
,
ˆ
Q

(1.36)

ˆ†
và aˆ† , ˆb† theo các toán tử Pˆ † , Q
ˆb†
a
ˆ†

=

X∗

C∗

−C ∗ X ∗

−1

Pˆ
C∗ X∗
=
ˆ
Q

X ∗ −C ∗

8

Pˆ †
.
ˆ†
Q

(1.37)


Thay các phương trình (1.36) và (1.37) vào phương trình (1.30), và thu gọn ta
được
ˆ †Q
ˆ
(|C|2 ωpc + |X|2 ωpx + 2g0 XC)Pˆ † Pˆ + (|X|2 ωpc + |C|2 ωpx − 2XCg0 )Q

ˆ pol =
H
p

ˆ+Q
ˆ † Pˆ )
+ XC( ωpc − ωpx ) + g0 (|X|2 − |C|2 ) (Pˆ † Q

(1.38)

Theo cơng trình [14], Hamiltonian sau khi chéo hố sẽ có dạng như sau
ˆ †Q

ˆ ,
ωLP Pˆ † Pˆ + ωU P Q

ˆ pol =
H

(1.39)

p

trong đó tần số ωLP đặc trưng cho nhánh năng lượng dưới (lower eigenenergy)
tương ứng với polariton dưới (lower polariton) trong khi tần số ωU P đặc trưng cho
nhánh năng lượng trên (upper eigenenergy) tương ứng với polariton trên (upper
polariton), do đó, hệ số của biểu thức thứ ba trong phương trình (1.38) phải thoả
mãn
XC( ωpc − ωpx ) + g0 (|X|2 − |C|2 ) = 0.

(1.40)

ˆ hay Q
ˆ † Pˆ thể hiện việc thay đổi trạng thái của giả hạt thu được từ
Toán tử Pˆ † Q

việc chéo hoá Hamiltonian cho bởi phương trình (1.30), trong các thí nghiệm, hiện
tượng này chỉ xảy ra khi ta kích thích hệ rất “mạnh” và rất khó thực hiện, do đó
trong những tính tốn lý thuyết, số hạng này thường được bỏ qua, ta xem như
không có sự nhảy trạng thái này. Điều đó giải thích ý nghĩa của phương trình
(1.40). Phương trình (1.39) cho ta thấy rằng ta có thể biểu diễn Hamiltonian mơ
tả tương tác giữa các photon và exciton thơng qua các tốn tử là tổ hợp tuyến tính
của các tốn tử mơ tả photon và exciton. Do đó, các hạt polariton là sự chồng chất

của các hạt photon trong vi hốc và các hạt exciton trong cùng mặt phẳng vector
sóng. Ta có thể thấy rằng các hệ số X, C trong phép biến đổi tuyến tính đặc trưng
cho tỉ lệ pha trộn giữa photon và exciton. Bằng cách thay đổi tỷ lệ “trộn” photon
và exciton, người ta có thể điều khiển tương tác giữa ánh sáng và vật chất. Trong
thực nghiệm, điều này có thể là thực hiện được bằng cách dịch chuyển năng lượng
của vi hốc (bơm thêm một số loại khí) hoặc exciton (bằng cách thay đổi nhiệt độ
hoặc áp một điện trường ngồi). Từ phương trình (1.40), ta tìm được giá trị bình

9


phương module của các hệ số X, C
|X|2 =

1
2

1+

|C|2 =

1
2

1−

∆
∆2 + 4g02
∆
∆2 + 4g02

,

(1.41)

,

(1.42)

với ∆ = ωpx − ωpc là độ lệch năng lượng giữa exciton và photon. Khi |X|2 < |C|2 ,
điều này có nghĩa photon trong vi hốc đóng góp nhiều hơn các exciton trong việc
hình thành giả hạt polariton do đó, ta gọi các polariton này là photon-polariton
và ngược lại, ta sẽ gọi chúng là exciton-polariton. Trong giới hạn của khố luận
tốt nghiệp này, chúng tơi chỉ khảo sát các exciton-polartion. Khi ∆ = 0, tương ứng
1
2

với các giá trị |X|2 = |C|2 = , lúc này các photon và exciton đóng góp bằng nhau
để tạo thành các polariton. Đồng nhất hệ số phương trình (1.38) và (1.39) ta thu
được hệ thức biểu diễn đường tán sắc của các hạt polariton
ELP = ωLP =

1
2

ωpc + ωpx +

4g02 + ( ωpx − ωpc )2

,

(1.43)

EU P = ωU P =

1
2

ωpc + ωpx −

4g02 + ( ωpx − ωpc )2

.

(1.44)

Các phương trình (1.43) và (1.44) là phương trình mơ tả đường cong tán sắc của các
hạt polariton tương ứng với mức năng lượng nhánh dưới (LP - Lower Polariton)
và nhánh trên (UP – Upper Polariton). Khi các photon và exciton liên kết với
nhau tại tần số cộng hưởng, ωpx = ωpc , năng lượng của LP và UP sai khác nhau một
lượng có giá trị nhỏ nhất, ωpx − ωpc = 2g0 , sự phân tách này tương tự như sự phân
tách Rabi trong hệ hai mức năng lượng. Do đó, độ lớn lưỡng cực tương tác giữa
exciton và photon thường được đặc trưng bởi tần số Rabi, Ωc , theo công thức [12]
g0 =

i Ωc
.
2

(1.45)

Do sự kết cặp giữa exciton và photon, năng lượng của các polariton có xu hướng
chống lại sự dịch chuyển năng lượng từ photon sang năng lượng exciton. Đây là
một trong những dấu hiệu thể hiện sự kết cặp mạnh giữa photon và exciton và khi
| ωpx − ωpc |

g0 , ta không thể phân biệt exciton và photon một cách rõ ràng. Điều

này được thể hiện rõ trong hình 1.1.

10


Hình 1.1: Hình vẽ thể hiện sự phụ thuộc năng lượng của LP và UP theo độ lệch
năng lượng giữa exciton và photon [14]. (Lưu ý: kí hiệu Ω trong hình vẽ tương ứng
là tần số Rabi Ωc mà chúng tơi trình bày ở trên.)

Hình 1.2: Hình vẽ thể hiện đường tán sắc năng lượng của LP và UP và sự phụ
thuộc vào vector sóng song song của các hệ số Hopfield tương ứng với các trường
hợp a) ∆ = 2g0 , b) ∆ = 0, c) ∆ = −2g0 [14].(Lưu ý: kí hiệu k trong hình vẽ tương
ứng là vector sóng song song p mà chúng tơi trình bày ở trên.)
11


Chương 2
Định lý Floquet
Năm 1883, nhà toán học Floquet đề xuất cách giải phương trình vi phân có
dạng
dx
= A(t)x,

dt
với A(t) là một hàm số liên tục theo biến số t và tuần hồn với chu kì T ,
A(t) = A(t + T ).

(2.1)

(2.2)

Ngày nay, phương pháp này được gọi là định lý Floquet.
Từ phương trình (2.1), ta có thể thấy rằng nó tương đương về mặt tốn học
với phương trình Schrăodinger ph thuc thi gian (TDSE) cú Hamiltonian tun
hon theo thời gian với chu kì T
H(t) = H(t + T ).

(2.3)

Do đó, chúng tơi sử dụng định lý Floquet để giải quyết bài toán được đặt ra trong
khoá luận tốt nghiệp này theo đề xuất của TS. Tomotake Yamokoshi. Ngoài ra,
định lý Floquet là cơng cụ tốn học mạnh để giải quyết các bài toán trong các
nghiên cứu về hệ lượng tử tuần hồn do đảm bảo tính tuần hồn của sự nhiễu loạn
của tất cả các mức gần đúng và tránh được những biểu thức phụ thuộc tuyến tính
hoặc khơng tuần hồn theo thời gian. Ở đây, chúng tơi khơng trình bày chi tiết về
định lý Floquet mà chỉ đưa ra cách áp dụng vào việc giải TDSE có Hamiltonian
tuần hồn theo thời gian, những tìm hiểu sâu hơn về định lý Floquet có thể tham
khảo các tài liệu [15, 16]. Xột phng trỡnh Schrăodinger ph thuc thi gian (để
đơn giản chúng tôi chỉ xét hệ một chiều không gian)
H(x, t) − i

∂
Ψ(x, t) = 0,

∂t

12

(2.4)


trong đó
(2.5)

H(x, t) = H0 (x) + V (x, t).

Thành phần Hamiltonian không phụ thuộc thời gian H0 (x) tương ứng với hàm
riêng ψn (x) và trị riêng En và V (x, t) là thế năng tuần hoàn theo thời gian với chu
kì T
(2.6)

V (x, t) = V (x, t + T ).

Theo định lý Floquet, nghiệm của phương trình (2.4) có dạng như sau
(2.7)

Ψ(x, t) = exp(−iεα t/ )Φα (x, t),

trong đó Φα (x, t), Floquet mode, tuần hồn theo thời gian cùng chu kỳ với V (x, t)
(2.8)

Φα (x, t) = Φα (x, t + T ).

Ở đây, εα là một thông số thực đặc trưng cho thành phần mũ. Do εα bằng bội số

của ω với ω = 2π/T nên được gọi là giả năng lượng (quasienergy) tương tự như
giả động lượng (quasimomentum) k , đặc trưng cho hàm sóng Bloch trong chất rắn.
Thay phương trình (2.7), vào phương trình (2.4), ta suy ra phương trình để
tìm trị riêng εα
(2.9)

HF (x, t)Φα (x, t) = εα Φα (x, t).

với HF (x, t) = H(x, t) − i

∂
∂t

có tính chất Hermitic và được gọi là Hamiltonian

Floquet. Từ phương trình (2.9), ta thấy rằng các Floquet mode
|Φα (x, t) = exp(inωt)|Φα (x, t) ≡ Φαn (x, t),

(2.10)

có nghiệm tương tự như nghiệm của phương trình (2.4) với dịch chuyển trong giả
năng lượng bởi phương trình
εα = εα + n ω = εαn ,

(2.11)

với n ∈ Z. Điều này cho ta thấy rằng kí hiệu α đang được sử dụng liên quan đến
các lớp nghiệm tương ứng với α = (α, n) với n ∈ Z. Do đó nên ta có thể rút gọn
một giả năng lượng bất kỳ về vùng Brillouin thứ nhất, −

13

ω
ω
<ε<
. Các vector
2
2


riêng của toán tử HF (x, t) phải tuân theo điều kiện trực chuẩn trong khơng gian
Hilbert, do đó
+∞

T

1
Φα (t)|Φβ (t) =
T

dt
0

Φ∗α (t)Φβ (t)dx = δα β = δα,β δn,m ,

(2.12)

−∞

và tạo thành bộ đủ

Φ∗αn (x, t)Φαn (y, t) = δ(x − y)δ(t − t ).
α

n

14

(2.13)


Chương 3
Kết quả và thảo luận
3.1

Hướng tiếp cận sử dụng phương pháp gần đúng sóng
quay
Như đã đề cập ở trên, chúng tơi kích thích hệ photon và exciton bằng sóng âm

học bề mặt (SAWs – Surface Acoustic Waves) có vector sóng k , tần số Ωac
k = vs k ,
với vs là tốc độ truyền âm và cường độ Iac . Trong trường hợp này, Hamiltonian
tổng cộng của hệ được cho bởi [12]
ˆ =H
ˆ cav + H
ˆ exc + H
ˆ coupling + H
ˆ pump
H
ωpc a†p ap + ωpx b†p bp +

=
p

ac
ac
i Ωc †
(ap bp − b†p ap ) + imxk (b†p bp−k e−iΩk t − b†p−k bp eiΩk t ) ,
2

(3.1)
trong đó mxk = mdp/pe
x−ac (k)

N0ph (k) là tham số liên kết giữa exciton và sóng âm học

1/2 là yếu tố ma trận thế năng biến
được bơm vào hệ, với mdp
x−ac = Dx [ k/(2ρvs )]
3/2 là yếu tố ma trận
dạng (deformation potential matrix element), và mpe
x−ac ∝ e14 k

áp điện (piezoelectron matrix element) lần lượt đặc trưng cho sóng âm học dọc
(LA – Longtitudinal Acoustic) và sóng âm học ngang (TA – Tranverse Acoustic).
Với, ρ là khối lượng riêng, Dx là thế năng biến dạng của tương tác giữa exciton và
LA–phonon, e14 là tensor đặc trưng cho tương tác giữa TA–phonon và exciton. Số
lượng phonon kết hợp được xác định bởi N0ph = Iac /( vs Ωk ac).
Để biến đổi Hamiltonian phụ thuộc thời gian trong phương trình (3.1) thành
Hamiltonian không phụ thuộc thời gian, chúng tôi sử dụng phương pháp gần đúng
sóng quay – RWA theo đề xuất của Ivanov trong cơng trình [12]. Trong hệ qui

15


chiếu quay, thơng qua phép biến đổi chính tắc S = exp it

p

(vs · p)(b†p bp + a†p ap ) ,

2
với vs = vs k/k do đó vs · p = vs k · p/k = Ωac
k (k · p)/k , trong đó vs và p lần lượt

là tốc độ truyền âm và vector sóng song song mặt phẳng, Hamiltonian không phụ
thuộc thời gian được suy ra từ Hamiltonian phụ thuộc thời gian bởi phương trình
†

ˆ T I = S HS
ˆ † − iS ∂S .
H
∂t

(3.2)

Các toán tử trong phương trình (3.1) được biến đổi bằng cách áp dụng cơng thức
Baker–Hausdorff (Baker–Hausdorff identity)
exp(A)B exp(−A) = B + [A, B] +

1
1

[A, [A, B]] + ... + [A, [A, A[A, . . .[A, B] . . . ]. (3.3)
2!
n!
n

và các tính chất của giao toán tử của các toán tử sinh huỷ cho bởi phương trình
(1.1), từ đó, ta suy ra các biểu thức sau
bq → bq e−it(vs ·q) ,
aq → aq e−it(vs ·q) ,
a†q bq − b†q aq → a†q bq − b†q aq ,

(3.4)

ac
b†q bq−k → b†q , bq−k exp[it(Ωac
q − Ωq-k )],
ac
b†q−k bq →, b†q−k bq exp[it(Ωac
q-k − Ωq )],

và ta có
ˆ †=
S HS

ωpx b†p bp + ωpc a†p ap +
p
ac

i Ωc †
(ap bp − b†p ap )+

2

ac

ac

ac

ac

ac

+ imxk (b†p bp−k e−iΩk t eit(Ωp −Ωp−k ) − b†p−k bp eiΩk t eit(Ωp-k −Ωp ) )
i Ωc †
(ap bp − b†p ap )+
2

ωpx b†p bp + ωpc a†p ap +

=
p

ac

ac

ac

ac

ac

ac

+ imxk (b†p bp−k e−i(Ωk −Ωp +Ωp−k )t − b†p−k bp ei(Ωk −Ωp +Ωp-k )t ) .
it
∂S †
−iS
= − ie
∂t

(vs ·p)(b†p bp +a†p ap ) −it
p

e

(vs ·p)(b†p bp +a†p ap )
p

(vs · p)(b†p bp + a†p ap ).

=−

(vs · p)(b†p bp + a†p ap )

(−i)

p

(3.5)

(3.6)

p

16


Thay phương trình (3.5) và (3.6) vào phương trình (3.2), ta có
( ωpc − vs · p)b†p bp + ( ωpc − vs · p)a†p ap +

ˆT I =
H
p

ac

ac

i Ωc †
(ap bp − b†p ap )+
2

ac

ac

ac

ac

+imxk (b†p bp−k e−i(Ωk −Ωp +Ωp−k )t − b†p−k bp ei(Ωk −Ωp +Ωp-k )t ) . (3.7)

Theo định luật bảo tồn năng lượng, ta có
ac
ac
Ωac
p−k + Ωk = Ωp ,

(3.8)

từ đó, suy ra được Hamilonian khơng phụ thuộc thời gian có dạng được cho bởi
biểu thức
( ωpx − vs · p)b†p bp + ( ωpc − vs · p)a†p ap

ˆT I =
H
p

+

i Ωc †
(ap bp − b†p ap ) + imxk (b†p bp−k − b†p−k bp )
2

(3.9)

Từ phương trình (3.9), ta thấy rằng năng lượng của photon và exciton bị dịch
chuyển một lượng vs · p, để đơn giản ta đặt các biến số năng lượng mới cho exciton
và photon

ω
˜ px = ωpx − vs · p,

(3.10)

ω
˜ pc = ωpc − vs · p,

phương trình (3.9) được viết các biến số mới như sau
ω
˜ px b†p bp + ω
˜ pc a†p ap +

ˆT I =
H
p

i Ωc †
(ap bp − b†p ap ) + imxk (b†p bp−k − b†p−k bp ) . (3.11)
2

ˆ T I bằng phép biến đổi tuyến tính để
Một cách tương tự, chúng tơi chéo hố H

suy ra phương trình đường tán sắc năng lượng của polariton khi có thêm phonon
ωc†p cp bằng cách đặt

ˆ T I được chéo hoá thành H
ˆc =
âm học. Hamiltonian H

p

cp = ubp + vap ⇒ c†p = u∗ b†p + v ∗ a†p .

(3.12)

Sử dụng các tính chất của các giao hoán tử [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B và
[A, BC] = B[A, C] + [A, B]C , chúng tơi tính tốn các giao hốn tử sau
ˆ c/ ] =
[cq , H

p

ωcp δpq = ωcq = ω(ubq + vaq ),

ˆ T I / ] =[ubq + vaq , H
ˆ T I / ] = I0 ,
[cq , H

17

(3.13)
(3.14)


trong đó
[bq , ω
˜ px b†p bp −

I0 =u

p

iΩc
=u[˜
ωqx bq −
aq +
2

iΩc †
bp ap + imxk (b†p bp−k − b†p−k bp )] + v
2

[aq , ω
˜ pc a†p ap +
p

˜ qc +
imxk (δpq bp−k − δp−k,q bp )] + v(aq ω
p

iΩc †
a bp ]
2 p

iΩc
bq )
2

iΩc
iΩc

ωqc aq +
aq + imxk (bq−k − bq+k )] + v(˜
bq )
2
2
iΩc
iΩc
=(u˜
ωqx + v
)bq + (v ω
˜ qc − u
)aq + uimxk (bq−k − bq+k ).
2
2

=u[˜
ωqx bq −

Đồng nhất hệ số hai phương trình (3.13) và (3.14), ta có
ωubq =(u˜
ωqc + v
ωv = − u

iΩc
)bq + uimxk (bq−k − bq+k ),
2

iΩc
+ vω
˜ qc .

2

(3.15)
(3.16)

Với trường hợp k = 0 → mxk = 0, mxk ∝ k , ta có phương trình đường tán sắc thường
của polariton
iΩc
ω−ω
˜ qx −
u
0
2 

=
iΩc
v
0
ω−ω
˜ qc
2
Ω2c
⇒ ω − ωqx −
= 0.
4(ω − ωqc )





(3.17)
(3.18)

Phương trình (3.18) cho nghiệm phù hợp với các tính tốn tại mục 1.2, hai nghiệm
phân biệt này tương ứng với phương trình tán sắc mơ tả Polariton nhánh dưới
(phương trình (1.43)) và nhánh trên (phương trình (1.44)). Tuy nhiên, phương
trình chúng tơi đưa ra lại khác bậc so với phương trình mà Ivanov đã đưa ra vào
năm 2003 [12]. Kết quả trong cơng trình năm 2003 như sau
ω 2 − (˜
ωpx )2 −

(ωΩc )2
−
ω 2 − (˜
ωpc )2

4ωt2 |mxk |2
(ωΩc )2
x )2 −
ω 2 − (˜
ωp+k
c )2 − Mp+2k
ω 2 − (˜
ωp+k
−

với Mp±nk =

4ωt2 |mxk |2
= 0, (3.19)

(ωΩc )2
x
2
2
ω − (˜
ωp−k ) − 2
c )2 − Mp−2k
ω − (˜
ωp−k

4ωt2 |mxk |2
. Chúng tôi không thể giải
(ωΩc )2 /4
x
2
2
ω − (˜
ωp±nk ) − 2
− Mp±(n+1)k
c
ω − (ωp±nk
)2

thích được sự khác biệt này. Sau đó, chúng tơi phát hiện kết quả khác về phương
18