Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về đường đối trung trong tam giác

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

ĐỖ NGỌC BÍCH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG
TRONG TAM GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, 6/2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

ĐỖ NGỌC BÍCH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG
TRONG TAM GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp tốn sơ cấp
Mã số:

8640113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. TRẦN VIỆT CƯỜNG

Thái Nguyên, 6/2018


i

Mục lục
Danh mục ký hiệu

ii

Danh sách hình vẽ

iii

Mở đầu

1

Chương 1. Một số vấn đề về đường đối trung

3

1.1

1.2

Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Một số định lý trong hình học . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Đường đối song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3

Đường đẳng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Đường đối trung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.1

Định nghĩa và cách dựng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.2

Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Chương 2. Một số ứng dụng của đường đối trung

22

2.1

Bài toán chứng minh quan hệ bằng nhau . . . . . . . . . . . . .

22

2.2

Bài toán liên quan đến yếu cố cố định . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3

Bài toán chứng minh đồng quy . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.4

Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng . . . . . . . . . . . .

41

2.5

Bài toán chứng minh các điểm cùng thuộc một đường trịn . . .

45

2.6

Một số bài tốn khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Kết luận

61

Tài liệu tham khảo

62


ii

Danh mục ký hiệu
SABC

Diện tích tam giác ABC

AB

Cạnh có hướng từ A tới B

(ABCD) = −1

A, B, C, D là hàng điểm điều hòa

O(ABCD) = −1

OA, OB, OC, OD là chùm điều hòa

d(L; AB)

Khoảng cách từ điểm L tới đường thẳng AB

AB

Đường thẳng AB song song với CD

CD

ABC ∼

DEF

Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF

iii

Danh sách hình vẽ
1.1

Định lý Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Định lý Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

AP BQ là tứ giác điều hòa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

M N là đường đối song với BC

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

AM và AH là hai đường đẳng giác . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.6

AO và AH là hai đường đẳng giác . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.7

AD và AE là hai đường đẳng giác . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.8

d1 và d2 là hai đường đẳng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.9

A1 , A2 , B1 , B2 cùng nằm trên một đường tròn . . . . . . . . . .

12

1.10 AD là đường đối trung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.11 AM và AD đẳng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.12 AN là đường đối trung của tam giác ABC . . . . . . . . . . . .

17

1.13 AQ là đường đối trung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.14 AQ là đường đối trung của tam giác ABC . . . . . . . . . . . .

21

2.1

AD là đường đối trung của tam giác ABC . . . . . . . . . . . .

23

2.2

AM là trung tuyến của tam giác ABC . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3

AF là đường đối trung của tam giác ABC . . . . . . . . . . . .

26

2.4

AA là trung tuyến của tam giác AB C

. . . . . . . . . . . . .

28

2.5

Đường đối song DM và DN bằng nhau . . . . . . . . . . . . . .

28

2.6

Đường đối song P N và QM bằng nhau . . . . . . . . . . . . . .

29

2.7

A là trung điểm BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.8

D đối xứng với A qua KM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.9

R không phụ thuộc vào đường tròn Γ . . . . . . . . . . . . . . .

32


iv

2.10 R khơng phụ thuộc vào đường trịn Γ . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.11 M C đi qua trung điểm N P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.12 Q luôn nằm trên đường đối trung từ góc A . . . . . . . . . . . .

36

2.13 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C luôn nằm trên AL .

38

2.14 I ln nằm trên đường thẳng vng góc với AB tại H . . . . .

39

2.15 AD, BN, CM đồng quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.16 S, A, H thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.17 BE chia đôi AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.18 Đường tròn Lemoine thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.19 Đường tròn Lemoine thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.20 Tứ giác EF N P nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.21 L là trọng tâm tam giác P QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.22 Các tiếp tuyến với (O) tại A, C và BD đồng quy tại S . . . . .

49

2.23 CD = 3F P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.24 AO là đường đối trung của tam giác BAD . . . . . . . . . . . .

52

2.25 Tam giác ABC có đường đối trung AS . . . . . . . . . . . . . .

55

2.26 AD là đường đối trung, AM là trung tuyến . . . . . . . . . . .

56

2.27 AH là đường cao của tam giác ABC . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.28 AD là đường đối trung ngoài của tam giác ABC . . . . . . . . .

59


1

Mở đầu
Trong nội dung Hình học ở bậc phổ thơng, tam giác có một vai trị đặc biệt.
Việc chứng minh các tính chất hình học, giải bài tốn hình học đòi hỏi chúng
ta phải vận dụng những kiến thức về tam giác một cách linh hoạt.
Trong tam giác, đường thẳng đối xứng với đường trung tuyến qua đường
phân giác trong được gọi là đường đối trung của tam giác. Đường đối trung là
một trong những vấn đề hấp dẫn của hình học phẳng. Nó có một số tính chất
hình học thú vị như: đường đối trung chia cạnh đối diện thành những phần tỉ
lệ với bình phương các cạnh kề; đường đối trung xuất phát từ một đỉnh của
tam giác và đi qua giao điểm của hai tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp của
tam giác tại hai đỉnh kia; Ba đường đối trung của tam giác đồng quy tại một
điểm... Vận dụng những tính chất này, ta có thể giải được nhiều bài tốn hình
học thú vị.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề đường đối trung, chúng tôi lựa
chọn đề tài “Một số vấn đề về đường đối trung trong tam giác” dưới sự hướng
dẫn của PGS.TS. Trần Việt Cường.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai
chương.
Chương 1. Một số vấn đề đường đối trung. Ngồi việc trình bày một
số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến trong đề tài, chương này được chúng
tơi giành để trình bày định nghĩa, cách dựng và cùng một số tính chất thú vị

của đường đối trung. Các nội dung được trình bày trên cơ sở tham khảo các
tài liệu [2, 3, 1, 7, 9].
Chương 2. Một số ứng dụng của đường đối trung. Trong chương này,
chúng tơi áp dụng các tính chất của Đường đối trung trong quá trình giải một


2

số bài tốn hình học phẳng. Các nội dung được trình bày trên cơ sở tham khảo
các tài liệu [2, 3, 1, 5].
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên. Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lịng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS.
Trần Việt Cường. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp
các thắc mắc của học trị trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và giúp đỡ
tác giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cơ giáo khoa
Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo
điều kiện cho tơi trong suốt q trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, lãnh đạo Trường Trung
học phổ thông Vũ Văn Hiếu, Hạ Long, Quảng Ninh đã động viên, cổ vũ, tạo
điều kiện để tác giả có thể hồn thành nhiệm vụ của mình.
Cuối cùng, tác giả xin gửi làm cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp
đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên
cứu.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2018
Người viết luận văn

Đỗ Ngọc Bích

3

Chương 1
Một số vấn đề về đường đối trung
Chương 1, trình bày một số kiến thức chuẩn bị như hai đường thẳng đẳng
giác trong tam giác, đường đối song của một cạnh tam giác và trình bày định
nghĩa, cách dựng và cùng một số tính chất thú vị của đường đối trung. Các nội
dung được trình bày trên cơ sở tham khảo các tài liệu [1, 2, 3, 7, 9].

1.1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1.1

Một số định lý trong hình học

Định lý 1.1.1 (Định lý Thales, [2]). Nếu một đường thẳng song song với một
cạnh của tam giác và cắt hai cạnh cịn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những
đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Định lý 1.1.2 (Định lý Menelaus, [2]). Cho tam giác ABC. D, E, F lần lượt
nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho ba điểm có một số chẵn điểm
thuộc cạnh tam giác ABC. Khi đó, D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi
F A DB EC
·
·
= 1.
F B DC EA

4

Hình 1.1: Định lý Menelaus

Định lý 1.1.3 (Định lý Pascal, [2]). Cho sáu điểm bất kỳ trên một conic (elip,
parabol hoặc hyperbol) khi đó giao điểm của các cặp cạnh đối diện thẳng hàng.
Đường thẳng này gọi là đường thẳng Pascal.

Hình 1.2: Định lý Pascal

Định lý 1.1.4 (Định lý Ceva, [2]). Cho tam giác ABC và ba đường thẳng
AA , BB , CC xuất phát từ các đỉnh của tam giác và cắt đường thẳng chứa
cạnh đối diện tại A , B , C sao cho: hoặc cả ba điểm A , B , C đều nằm trên ba
cạnh của tam giác hoặc một trong ba điểm đó nằm trên một cạnh của tam giác
còn hai điểm kia nằm trên phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Điều kiện cần và
đủ để AA , BB , CC đồng quy hoặc song song với nhau là ta có hệ thức:
AB CA BC
·
·
= 1.
BC AB CA
Người ta thường gọi ba đường thẳng AA , BB , CC xuất phát từ các đỉnh
của tam giác ABC và đồng quy tại một điểm là ba đường thẳng Ceva; Các


5

đoạn thẳng AA , BB , CC gọi là các đoạn thẳng Ceva; Giao điểm của các
đường thẳng Ceva gọi là điểm Ceva. Từ định lý Ceva, có thể suy ra rằng:
Trong một tam giác ABC:

1. Ba đường trung tuyến đồng quy (tại trọng tâm của tam giác).
2. Ba đường phân giác đồng quy (tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác).
3. Ba đường cao đồng quy (tại trực tâm của tam giác).
4. Ba đường trung trực đồng quy (tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác).
Dạng lượng giác của định lý Ceva như sau:
sin ∠ABB sin ∠BCC sin ∠CAA
·
·
= 1.
sin ∠CBB sin ∠ACC sin ∠BAA
hoặc
sin ∠ABB · sin ∠BCC · sin ∠CAA = sin ∠CBB · sin ∠ACC · sin ∠BAA .
Định nghĩa 1.1.5 ([4]). Trên một đường thẳng lấy bốn điểm A, B, C, D. Khi
đó, ta gọi bốn điểm A, B, C, D là hàng điểm điều hịa nếu nó thỏa mãn hệ thức
CA
DA
=−
. Ký hiệu là (ABCD) = −1.
CB
DE
Bốn điểm được gọi là hàng điểm điều hòa khi và chỉ khi một trong các hệ
thức sau được thỏa mãn:
2
1
1
1.
=
+
(hệ thức Descarter).
AB

CA DA
2
2. IA = IC · ID (với I là trung điểm AB) (hệ thức Newton).
3. Gọi J là trung điểm CD, ta có AC · AD = AB · AJ (hệ thức Maclaurin).
Cho hàng điểm điều hịa (ABCD) = −1 và O nằm ngồi hàng điểm điều
hịa trên. Khi đó ta gọi bốn tia OA, OB, OC, OC là một chùm điều hịa và kí
hiệu O(ABCD) = −1. Cho O(ABCD) = −1. Một đường thẳng bất kì cắt các
cạnh OA, OB, OC, OD lần lượt tại E, F, G, K, khi đó ta có (E, F, G, K) = −1.
Định nghĩa 1.1.6 ([4]). Tứ giác ABCD nội tiếp và thỏa mãn
được gọi là tứ giác điều hòa.

CB
AB
=
AD
CD


6

Định lý 1.1.7. Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngồi đường trịn. M A
và M B là tiếp tuyến vẽ từ M đến (O). Một cát tuyến qua M cắt (O) tại P và
Q. Khi đó AP BQ là tứ giác điều hịa (Hình 1.3).

Hình 1.3: AP BQ là tứ giác điều hịa.

Chứng minh. Ta có

QAM ∼

AP M vì ta có AM 2 = P M · M Q (theo định

nghĩa phương tích của đường trịn). Do đó, ta có
AQ
AM
=
.
AP
MP
Tương tự, ta có

QBM ∼

(1.1)

BP M vì ta có BM 2 = P M · M Q. Do đó, ta có
BQ BM
=
.
BP
MP

(1.2)

Vì M A và M B là tiếp tuyến kẻ từ M đến (O) nên ta có M A = M B. Do đó,
từ (1.1) và (1.2) ta có
AM
BM
BQ
AQ

=
=
=
.
AP
MP
MP
BP
Do đó, theo định nghĩa ta có AP BQ là tứ giác điều hịa.
Tứ giác điều hịa có một số tính chất như sau:
1. ABCD là tứ giác điều hịa thì AC · BD = 2AB · CD = 2BC · AD.
2. Xét tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O), tiếp tuyến tại B và D cắt nhau
tại M, I là giao điểm của AC và BD. Khi đó, (M IAC) = −1.
3. Xét tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp O, gọi M là giao của hai tiếp tuyến
của (O) tại B và D. Gọi I là giao điểm của OM và BD. Khi đó, IB là
phân giác của góc AIC.


7

1.1.2

Đường đối song

Định nghĩa 1.1.8 ([7]). Một cát tuyến cắt hai cạnh AB, AC của tam giác
ABC theo thứ tự tại M , N . Nếu ∠AM N = ∠ACB thì ta nói rằng M N đối
song với BC.

Hình 1.4: M N là đường đối song với BC

Hệ quả 1.1.9 ([7]).
1) Nếu tứ giác CBM N nội tiếp thì M N đối song với BC và ngược lại.
2) Nếu M N đối song với BC thì M N cũng đối song với mọi đường thẳng
song song với BC.
3) Nếu từ M kẻ cát tuyến M P sao cho ∠BM P = ∠ACB thì M P đối song
với AC.
Vậy, từ một điểm trên một cạnh của một tam giác, có thể kẻ được hai
đường thẳng lần lượt đối song với hai cạnh cịn lại của tam giác.
4) Một cát tuyến vng góc với cạnh huyền của một tam giác vng thì đối
song với cả hai cạnh của góc vng.
Đặt biệt, đường cao tương ứng với cạnh huyền đối song với cả hai cạnh
góc vng.


8

1.1.3

Đường đẳng giác

Định nghĩa 1.1.10 ([3]). Cho góc ∠xOy. Ta nói hai đường thẳng d1 và d2 là
các đường đẳng giác trong góc đã cho nếu chúng cùng đi qua đỉnh O và đối
xứng với nhau qua phân giác của góc đó.
Ví dụ 1.1.11.
(a) Một trường hợp tầm thường là: Đường phân giác là đẳng giác với chính
nó.
(b) Trong một tam giác vuông, đường cao và đường trung tuyến xuất phát
từ đỉnh góc vng là hai đường đẳng giác.

Hình 1.5: AM và AH là hai đường đẳng giác

Thật vậy, cho tam giác ABC vng tại A, có đường cao AH, đường phân giác
AD, trung tuyến AM (Hinh 1.5). Ta có
M AC = M CA = HAB
DAC = DAB (AD là phân giác)
⇒ M AD = DAH
Vậy AM và AH đối xứng nhau qua AD hay AM và AH là hai đường đẳng
giác.
(c) Nếu tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn (O) thì AO và đường cao
AH hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC là hai đường đẳng giác của góc ∠BAC
(Hình 1.6).


9

Hình 1.6: AO và AH là hai đường đẳng giác

Chú ý 1.1.12. Góc giữa các đường đẳng giác với hai cạnh của góc đã cho là
bằng nhau. Cho nên nói hai đường thẳng đẳng giác là đối với đường phân giác
hoặc đối với hai cạnh của góc.
Định lý 1.1.13 (Định lý Steiner, [8]). Cho tam giác ABC và hai điểm D, E
trên cạnh BC. Khi đó, AD và AE là hai đường đẳng giác của góc ∠BAC khi
và chỉ khi

BD BE
AB 2
·
=
.
DC EC

AC 2

(1.3)

Hình 1.7: AD và AE là hai đường đẳng giác

Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử AD và AE là hai đường đẳng giác của góc


10

∠BAC, AH là đường cao. Ta có
1
BD · AH
BD
SBAD
AD · AB · sin ∠BAD
AB · sin ∠BAD
= 21
=
=
=
.
DC
S
AD
·
AC
·
sin

∠DAC
AC
·
sin
∠DAC
DC
·
AH
DAC
2
(1.4)

Tương tự, ta cũng có
BE
AB · sin ∠BAE
=
.
(1.5)
EC
AC · sin ∠EAC
Mặt khác, do AD, AE là hai đường đẳng giác của góc ∠BAC nên ta có
∠BAD = ∠EAC,

∠DAC = ∠BAE.

Từ đây kết hợp với (1.4) và (1.5), ta thu được ngay đẳng thức (1.3).
Điều kiện đủ. Giả sử AD, AE thỏa mãn (1.3), ta chứng minh AD và AE là hai
đường đẳng giác ứng với góc A. Vẽ AD là đường đẳng giác của AE, D ∈ BC.
Khi đó, ta có hệ thức
BD BE

AB 2
·
=
.
D C EC
AC 2
BD
BD
Kết hợp với (1.3), ta có
=
. Suy ra D ≡ D , tức AD và AE là hai
DC
DC
đường đẳng giác.
Nhận xét 1.1.14. Định lý 1.1.13 cho ta tiểu chuẩn để kiểm tra hai đường
thẳng có là đường đẳng giác của một góc hay khơng.
Định lý 1.1.15 ([3]). Cho góc ∠xOy và đường thẳng d1 qua O, A là một điểm
bất kỳ trên d1 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên Ox, Oy. Khi đó,
đường thẳng d2 là đường đẳng giác của d1 ứng với góc ∠xOy khi và chỉ khi d2
qua O và vng góc với HK.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử d2 là đường đẳng giác của d1 , ta sẽ chứng
minh d2 ⊥ HK. Ta có OHAK là tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính OA
nên
∠AOH = ∠AKH.
Mặt khác, do d1 và d2 là đẳng giác nên ta có ∠KOB = ∠AOH. Do đó, ta có
∠KOB = ∠AKH.


11

Hình 1.8: d1 và d2 là hai đường đẳng giác

Vì ∠AKH + ∠HKO = 90◦ nên ta có ∠KOB + ∠HKO = 90◦ , từ đó suy ra
OB ⊥ HK.
Điều kiện đủ. Giả sử d2 đi qua O và vuông góc với KH, ta sẽ chứng minh d2 là
đường đẳng giác của d1 . Gọi d là đường đẳng giác của d1 ứng với góc ∠xOy.
Theo phần điều kiện cần, ta có d ⊥ HK, suy ra d trùng d2 . Vậy d2 là đường
đẳng giác của d1 .
Hệ quả 1.1.16. Cho góc ∠xOy và đường thẳng d1 qua O, A là một điểm bất
kỳ trên d1 . Gọi A và A1 lần lượt là điểm đối xứng của A qua Ox và Oy. Khi
đó, đường trung trực của đoạn A A1 là đường đẳng giác của OA.
Định lý 1.1.17 ([3]). Cho góc ∠xOy. A và B là hai điểm sao cho OA và OB
là hai đường đẳng giác ứng với góc ∠xOy. A1 và A2 lần lượt là hình chiếu của
A lên Ox và Oy và B1 , B2 lần lượt là hình chiếu của B trên Ox, Oy. Khi đó,
ta có các điều sau:
(a) Bốn điểm A1 , A2 , B1 , B2 cùng nằm trên một đường trịn có tâm là trung
điểm của AB.
(b) AA1 · BB1 = AA2 · BB2 .


12

Hình 1.9: A1 , A2 , B1 , B2 cùng nằm trên một đường trịn

Chứng minh. (a) Ta có
OA1 = OA cos ∠AOA1 ,

OB1 = OB cos ∠BOB1

OA2 = OA cos ∠AOA2 ,

OB2 = OB cos ∠BOB2 .

và

Vì OA và OB là hai đường đẳng giác nên ∠AOA1 = ∠BOB2 và ∠AOA2 =
∠BOB1 . Suy ra OA1 · OB1 = OA2 · OB2 . Do đó, bốn điểm A1 , A2 , B1 và B2
cùng thuộc một đường tròn. Hơn nữa, tâm của đường trịn này chính là trung
điểm của AB.
(b) Ta có
AA1 = OA sin ∠AOA1 ,

AA2 = OA sin ∠AOA2

BB1 = OB sin ∠BOB1 ,

BB2 = OB sin ∠BOB2 .

và

Vì OA và OB là hai đường đẳng giác nên ∠AOA1 = ∠BOB2 và ∠AOA2 =
∠BOB1 . Suy ra AA1 · BB1 = AA2 · BB2 .
Định lý 1.1.18 ([3]). Trong một tam giác, những đường thẳng đẳng giác với
bộ đường thẳng Ceva cũng là một bộ ba đường thẳng Ceva.


13

Chứng minh. Gọi AA , AA ; BB , BB ; CC , CC là những cặp đường thẳng
đẳng giác. Theo định lý Steiner, ta có

AB 2
AB AB
·
=
,
CB CB
BC 2
BC 2
BC BC
·
=
AC AC
AC 2

CA CA
AC 2
·
=
BA BA
AB 2

Nhân vế với vế các đẳng thức trên, ta có
AB AB CA CA BC BC
·
·
·
·
·
= 1.
CB CB BA BA AC AC

Theo giả thiết, AA , BB , CC cắt nhau tại một điểm nên ta có
AB CA BC
·
·
= 1.
CB BA AC
Từ đó, ta có
AB CA BC
·
·
= 1.
B C A B C A
Vậy AA , BB , CC đồng quy.
Định nghĩa 1.1.19 ([3]). Hai điểm được gọi là hai điểm đẳng giác nếu các
cặp đường thẳng nối chúng với mỗi đỉnh là những cặp đường đẳng giác.
Ví dụ 1.1.20. Trong một tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm là
điểm đẳng giác.
Định lý 1.1.21 ([3]). Cho P và P là hai điểm đẳng giác đối với tam giác
ABC. Gọi X, Y, Z lần lượt là các hình chiếu của P trên các cạnh BC, AC, AB
và X , Y , Z lần lượt là các hình chiếu của P trên các cạnh BC, AC, AB. Khi
đó, sáu điểm X, Y, Z, X , Y , Z cùng nằm trên một đường tròn.
Định lý 1.1.22 ([3]). Trong một tam giác, chân các đường cao và trung điểm
các cạnh thì cùng thuộc một đường trịn, cịn gọi là đường trịn Euler, tâm đường
trịn chính là trung điểm của đoạn thẳng nối trực tậm và tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác.


14

1.2

Đường đối trung

1.2.1

Định nghĩa và cách dựng

Định nghĩa 1.2.1 ([5]). Trong một tam giác, đường đẳng giác với trung tuyến
xuất phát từ một đỉnh được gọi là đường đối trung của tam giác.
Ví dụ 1.2.2. Trong một tam giác vng, đường cao xuất phát từ đỉnh chính
là đường đối trung.
Định lý 1.2.3 ([5]). Cho tam giác ABC và (O) là đường trịn ngoại tiếp tam
giác ABC có tâm O. Cho D là giao điểm của hai đường tiếp tuyến của (O) tại
điểm B và C. Khi đó AD là đường đối trung của tam giác ABC.
Chứng minh thứ nhất. Ký hiệu M là giao của đường đẳng giác của AD với
BC. (Hình 1.10). Khi đó, ta có
∠BAM
AM sin
sin ∠BAM sin ∠ABD
BM
sin ∠ABC
=
=
∠CAM
MC
sin ∠ACD sin ∠CAM
AM sin
sin ∠ACB
sin ∠CAD sin ∠ABD
CD AD

=
= 1.
=
sin ∠ACD sin ∠BAD
AD BD

Do đó, AM là đường trung tuyến. Vì vậy AD là đường đối trung.

Hình 1.10: AD là đường đối trung


15

Chứng minh thứ hai. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC
và ký hiệu ω là đường trịn có tâm tại D với bán kính BD. Ký hiệu P và Q
lần lượt là giao điểm của AB và AC với ω. Xét tam giác ABQ, ta có ∠P BQ
là góc ngồi của ∠ABQ nên ta có
∠P BQ = ∠BQC + ∠BAC.
Mặt khác, ta có
1
1
∠BQC = ∠BDC và ∠BAC = ∠BOC.
2
2
Từ đó, ta có
1
∠P BQ = ∠BQC + ∠BAC = (∠BDC + ∠BOC) = 90◦ .
2
Suy ra P Q là đường kính của ω và đi qua D. P BCQ là tứ giác nội tiếp đường
tròn tâm D, có tổng các góc bằng 360◦ . Do P BD, DBC, CDQ là các tam giác

cân tại D nên ta có
∠DP B = ∠P BD, ∠DBC = ∠BCD, ∠DCQ = ∠CQD.
Từ đó, ta có
360◦ = ∠DP B + ∠P BC + ∠BCQ + ∠CQD
= ∠DP B + ∠P BD + ∠DBC + ∠BCD + ∠DCQ + ∠CQD
= 2∠P BD + 2∠DBC + 2∠CQD.
Vậy, ta có
∠P BC + ∠AQP = ∠P BD + ∠DBC + ∠CQD = 180◦ .

(1.6)

Mặt khác, góc ∠P BC là góc ngồi của tam giác ABC tại B nên
∠ABC + ∠P BC = 180◦ .

(1.7)

Từ (1.6) và (1.7), suy ra ∠ABC = ∠AQP .
Tương tự, ta có ∠ACB = ∠AP Q. Suy ra hai tam giác ABC và AQP đồng
dạng.


16

Hình 1.11: AM và AD đẳng giác

Nếu M là trung điểm của BC và D là trung điểm của QP , tính đồng dạng
kéo theo ∠BAM = ∠QAD. Từ đó, suy ra AM là phản xạ của AD qua đường
phân giác.
Nhận xét 1.2.4. Định lý 1.2.3 cho ta cách dựng đường đối trung một tam
giác thơng qua việc tìm giao điểm của hai tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp. Để

tìm đường đối trung góc A của tam giác ABC, đầu tiên ta dựng đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC, sau đó dựng tiếp tuyến của đường trịn tại tiếp điểm
B và C. Gọi giao điểm của hai tiếp tuyến này là D. Khi đó ta có AD là đường
đối trung của tam giác.
Mệnh đề 1.2.5 ([8]). Cho tam giác ABC. Trên đường thẳng AB lấy một điểm
D và trên đường thẳng AC là một điểm E sao cho DE là đường đối song của
BC thì trung tuyến của tam giác ADE là đường đối trung của tam giác ABC.
Chứng minh. Vì DE là đường đối song của BC nên ta có ∠ADE = ∠ACB và
∠AED = ∠ABC. Suy ra tam giác ABC đồng dạng với tam giác AED. Gọi M
là trung điểm của BC, gọi N là trung điểm của ED. Do tính đồng dạng của
ABC và ∠AED, kéo theo ∠M AC = ∠N AD. Vậy AN đẳng giác với AM .
Hay AN là đường đối trung ứng với A của tam giác ABC.


17

Hình 1.12: AN là đường đối trung của tam giác ABC

Nhận xét 1.2.6. Từ mệnh đề trên ta thấy, để dựng đường đối trung ứng với
đỉnh A của tam giác ABC, ta tìm đường đối song DE của cạnh đối diện BC,
khi đó đường thẳng AN đi qua trung điểm của N của DE là đường đối trung
của tam giác. Đó chính là cách 2 đường đối trung của tam giác.
Hệ quả 1.2.7 ([8]). Đường đối trung ứng với đỉnh A của tam giác ABC là
quỹ tích các trung điểm của các đường đối song với BC bị chặn bởi AB và AC.
Chứng minh. Trung điểm của đường đối song ứng với BC bị chặn bởi AB và
AC nằm trên trung tuyến của tam giác hợp bởi đỉnh A và đường đối song. Nên
theo định lý trên, trung điểm này sẽ nằm trên đường đối trung ứng với đỉnh
A. Vậy quỹ tích các trung điểm này chính là đường đối trung.
1.2.2

Một số tính chất

Định lý 1.2.8 ([1], [8]). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), D là
điểm thuộc cạnh BC. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
1) AD là đường đối trung kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
DB
AB 2
2)
=
.
DC
AC 2
sin ∠DAB
AB
3)
=
.
sin ∠DAC
AC
DH
AB
4)
=
(H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC).
DK
AC


18

5) A, D, P thẳng hàng, trong đó P là giao điểm của các tiếp tuyến kẻ từ các
đỉnh B và C của đường trịn (O).
Chứng minh. Tính chất thứ hai phát biểu rằng đường đối trung chia trong
cạnh đối diện thành những phần tỉ lệ với bình phương các cạnh kề. Áp dụng
định lý Steiner 1.1.13 cho trường hợp E là trung điểm của BC ta suy ra sự
tương đương của 1) và 2).
Áp dụng định lý hàm số sin, ta có
sin ∠ABD
sin ∠ABC
sin ∠DAB
=
=
,
DB
AD
AD
và
sin ∠ACD
sin ∠ACB
sin ∠DAC
=
=
.
DC
AD
AD
Chia hai hệ thức trên cho nhau ta được
sin ∠ABC DB
sin ∠DAB
=

sin ∠DAC
sin ∠ACB DC
AC AB 2
AC DB
AB
=
.
=
=
2
AB DC
AB AC
AC
Ta suy ra sự tương đương của 2) và 3).
Với H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC, ta có
sin ∠DAB =

DH
,
AD

sin ∠DAC =

DK
.
AD

Suy ra
DH
sin ∠DAB

AB
=
=
.
DK
sin ∠DAC
AC
Vậy 3) và 4) là tương đương nhau.
Sự tương đương của 1) và 5) được suy ra từ cách dựng đường đối trung ở
phần trên.
Định lý 1.2.9 ([2], [8]). Các đường đối trung giao nhau tại một điểm, gọi là
điểm Lemoine.
Chứng minh. Đây là một trường hợp riêng của Định lý 1.1.18. Vì các đường
trung tuyến giao nhau tại một điểm nên các đường đẳng giác của chúng là các
đường đối trung cũng giao nhau tại một điểm.


19

Hệ quả 1.2.10. Nếu L là điểm Lemoine của tam giác ABC, thì
d(L; BC) d(L; AC) d(L; AB)
=
=
,
a
b
c
trong đó a, b, c lần lượt là độ dài của BC, CA, AB.
Định lý 1.2.11 ([2], [8]). Đường đối trung là quỹ tích các điểm mà khoảng
cách đến hai cạnh của một tam giác tỉ lệ với các cạnh đó.

Chứng minh. Gọi P là một điểm của quỹ tích, tức là một điểm mà các khoảng
cách P I, P H đến hai cạnh AB, AC thỏa mãn điều kiện
PI
c
= .
PH
b

Hình 1.13: AQ là đường đối trung

Gọi Q là giao điểm của AP với BC. Từ Q kẻ những đường thẳng QM vng
góc với AB, QN vng góc với AC. Ta có
QM
PI
c
=
=
QN
PH
b
nên

SABQ
AB · QM
c2
=
= 2.
SAQC
AC · QN
b

Mặt khác,
SABQ
BQ
=
.
SAQC
QC