Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bởi hàm Green đa cực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

VŨ KHẮC NGHỊ

XẤP XỈ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI
BỞI HÀM GREEN ĐA CỰC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

VŨ KHẮC NGHỊ

XẤP XỈ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI
BỞI HÀM GREEN ĐA CỰC
Ngành: Tốn giải tích
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN - 2018


LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả
nêu trong Luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì
cơng trình nào khác.
Tơi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã
được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, ngày 11 tháng 4 năm 2018
Tác giả

Vũ Khắc Nghị

i


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin trân trọng kính gửi đến PGS.TS. Phạm Hiến Bằng,
người thầy hết lịng vì học trò, tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất.
Thầy là người động viên, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình trong quá trình giảng dạy
cũng như trong quá trình hướng dẫn để em có thể hồn thành tốt luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến q thầy, cơ của khoa Tốn
trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên; các thầy, cô của khoa Toán trường Đại
học Sư phạm Hà Nội và các thầy, cơ của Viện Tốn học Việt Nam đã tận tình
giảng dạy để em có được những kiến thức quý báu làm hành trang trong quá
trình học tập và nghiên cứu sau này.
Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô thuộc phòng Đào tạo trường Đại học
Sư phạm Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho em về các thủ tục hành
chính trong suốt q trình học tập tại trường.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu, đặc biệt là
các thầy, cơ trong tổ Tốn, trường THPT Phú Bình, tỉnh Thái Nguyên đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi để em yên tâm hoàn thành tốt luận văn này.
Lời cuối cùng, tôi cũng không quên gửi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình

tơi và lời tri ân đến tất cả bạn bè tôi, những người đã luôn ở bên tôi động viên
và giúp tôi vượt qua mọi khó khăn trong q trình thực hiện luận văn này.
Vũ Khắc Nghị

ii


MỤC LỤC
Lời cam đoan .....................................................................................

i

Lời cảm ơn ........................................................................................

ii

Mục lục ..............................................................................................

iii

Mở đầu .............................................................................................

1

Chƣơng 1. Các kiến thức chuẩn bị ................................................

3

1.1. Hàm đa điều hòa dưới ..........................................................

3

1.2. Hàm đa điều hòa dưới cực đại .............................................

4

1.3. Hàm cực trị tương đối ..........................................................

5

1.4. Toán tử Monge-Ampère phức .............................................

7

1.5. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor .................................

9

1.6. Hàm Green đa phức .............................................................

12

Chƣơng 2. Xấp xỉ hàm đa điều hòa dƣới bởi hàm Green đa cực

19

2.1. Xấp xỉ các condenser bởi các hàm chỉnh hình ....................

19

2.2. Xấp xỉ các condenser bởi các hàm Green ...........................

27

2.3. Xấp xỉ của các hàm đa điều hòa dưới bởi các hàm Green
đa cực ................................................................................................

34

Kết luận ............................................................................................

38

Tài liệu tham khảo ..........................................................................

39

iii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết đa thế vị dùng để nghiên cứu các hàm đa điều hòa dưới đối
với giải tích phức nhiều biến có nhiều ứng dụng quan trọng hơn lý thuyết thế
vị đối với giải tích phức một biến, nhưng trong lý thuyết nhiều biến vẫn thiếu
nhiều phương pháp có thể sử dụng được trong trường hợp cổ điển. Tuy nhiên,
nhiều kết quả đẹp đẽ của lý thuyết thế vị vẫn chưa được chứng minh hoặc
không đúng trong lý thuyết đa thế vị. Chẳng hạn, định lý biểu diễn Riesz phát
biểu rằng, thứ nhất, một hàm điều hòa dưới trên một miền tốt D là tổng của
một hàm điều hòa dưới với giá trị biên bằng 0 và một hàm điều hòa. Thứ hai,

một hàm điều hòa dưới u với giá trị biên bằng 0 là giới hạn của một tổ hợp
tuyến tính với các hệ số dương của các hàm Green trong L1(D) . Do đó, định
lý quan trọng này cho một mơ tả đầy đủ về các hàm như vậy. Phát biểu thứ
nhất khơng xảy ra đối với các hàm đa điều hịa dưới nếu các hàm điều hòa
được thay thế bởi các hàm đa điều hòa. Đối với phát biểu thứ hai ta gặp một
số trở ngại. Đầu tiên, trong lý thuyết thế vị tổ hợp tuyến tính của các hàm
Green với hệ số dương là điều hịa ngồi các cực của nó. Trong lý thuyết đa
thế vị có sự tương tự của các hàm Green đã được giới thiệu bởi V. P.
Zahariuta trong [8] và được gọi là các hàm Green đa cực. Chúng là các hàm
cực đại, tức là, (dd cg )n

0 ngoài các cực, nhưng tổng u của các hàm Green

đa cực (dd cu )n , nói chung, khơng bằng 0 ngoài các cực. Trong [6], Poletsky
đã chứng minh rằng trong L1(D) , các hàm Green đa cực là trù mật trong nón
các hàm đa điều hịa dưới với giá trị biên bằng 0. Trường hợp đặc biệt của
định lý này là xấp xỉ của hàm cực trị tương đối

của một tập compact đa

chính qui K . Zahariuta [8] đã chỉ ra rằng tồn tại các xấp xỉ với sự hội tụ đều
ngoài K . Trong [9] Zahariuta và Skiba đã chỉ ra sự tồn tại xấp xỉ khi n

1.

Vấn đề tồn tại của các xấp xỉ nhiều biến đã được đặt ra bởi Zahariuta (xem

1

[8]). Gần đây, Aytuna, Rashkovskii và Zahariuta đã chứng minh điều đó cho
cặp miền Reinhardt (xem [2]).
Theo hướng nghiên cứu này chúng tơi chọn: “Xấp xỉ hàm đa điều hịa
dưới bởi hàm Green đa cực” là đề tài nghiên cứu. Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã
và đang được nhiều nhà tốn học trong và ngồi nước quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu bài tốn xấp xỉ của các hàm đa điều hòa dưới bởi các hàm
Green đa cực.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Trình bày một số tính chất và kết quả cơ sở trong lý thuyết đa thế vị.
+ Trình bày một số kết quả về xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bởi hàm
Green đa cực.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 39 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, được viết chủ yếu
dựa vào các tài liệu [1] và [6].
Chương 1: Trình bày một số tính chất và kết quả cơ sở trong lý thuyết
đa thế vị: hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới cực đại, hàm cực trị
tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford và Taylor, hàm
Green đa phức.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại chi tiết một số
kết quả của Poletsky về xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bởi hàm Green đa cực.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
2


CHƢƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Hàm đa điều hòa dƣới
Định nghĩa 1.1.1. Cho

n

là một tập con mở của

một hàm nửa liên tục trên và không trùng với
liên thông nào của
a

và b

n

và u :

,

là

trên bất kỳ thành phần

. Hàm u được gọi là đa điều hòa dưới nếu với mỗi
u(a

, hàm

b) là điều hòa dưới hoặc trùng

:a

mỗi thành phần của tập hợp

b

trên

.

Kí hiệu PSH ( ) là lớp tất cả các hàm đa điều hòa dưới trong

.

Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hịa dưới:
Mệnh đề 1.1.2. Nếu u, v

u

PSH ( ) và u

v hầu khắp nơi trong

, thì

v.

Mệnh đề 1.1.3. Hàm đa điều hịa dưới thỏa mãn nguyên lý cực trị trong miền
bị chặn, tức là nếu
u

là một tập con mở liên thông bị chặn của

PSH ( ) , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z

u(z )

Định lý 1.1.4. Cho

PSH ( ) , thì

v

,

y
y

n

là một tập con mở trong

u

và

sup lim sup u(y ) .

i ) Họ PSH ( ) là nón lồi, tức là nếu
u, v

n

PSH ( ) .

3

,

. Khi đó
là các số không âm và


ii ) Nếu

là liên thông và u j
u

lim u j
j

iii ) Nếu u :

PSH ( ) hoặc u

, và nếu u j

con compact của

, thì u

Định lý 1.1.5. Cho

PSH ( ) là dãy giảm, thì

j

.

PSH ( ) hội tụ đều tới u trên các tập

j

PSH ( ) .
n

là một tập con mở của

i ) Cho u, v là các hàm đa điều hịa trong

.

và v

lồi, thì v (u / v) là đa điều hòa dưới trong

.

ii ) Cho u

0 trong

PSH ( ) , v

PSH ( ) , và v

0 . Nếu

:

là

. Nếu

:

là

lồi và tăng dần, thì v (u / v) là đa điều hòa dưới trong

iii ) Cho u, v
: [0,

)

PSH ( ) , u

[0,

, và v

0 trong

0 , thì v (u / v)

PSH ( ) .

0 trong

) là lồi và (0)

.
. Nếu

1.2. Hàm đa điều hòa dƣới cực đại
n

Định nghĩa 1.2.1. Cho

là tập mở và u

PSH ( ) . Ta nói u là hàm

đa điều hịa dưới cực đại trên

và viết u

mở, compact tương đối G

và mọi hàm v nửa liên tục trên trên G ,

v

PSH (G ) và v

u trên G thì v

MPSH ( ) nếu với mọi tập con

u trên G .

Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hòa dưới cực đại:
Mệnh đề 1.2.2. Cho

n

là tập mở và u

PSH ( ) . Khi đó các khẳng

định sau là tương đương:

i ) Với mọi tập con mở compact tương đối G
4

và mọi hàm v

PSH ( ) ,


nếu lim inf(u(z ) v(z ))

ii ) Nếu v
cho u

iii ) Nếu v

\ K , thì u

trong

iv ) Nếu v

v trong

sao

.

PSH ( ) , G là một tập con mở compact tương đối của

v trên G thì u

u

v trong G ;

0 tồn tại một tập compact K

PSH ( ) và với mỗi

v

G , thì u

0, với mọi

z

, và

v trong G ;

PSH ( ) , G là một tập con mở compact tương đối của

lim inf(u(z )

v(z ))

z

G , thì u

0, với mỗi

, và

v trong G ;

v ) u là hàm cực đại.
1.3. Hàm cực trị tƣơng đối
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử

là một tập con mở của

. Hàm cực trị tương đối đối với E trong
uE , (z )

sup v(z ) : v

PSH ( ), v

n

và E là tập con của

được định nghĩa là :
1, v

E

(z

0

).

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối:
Mệnh đề 1.3.2. Nếu E1

E2

1

2

n

Định nghĩa 1.3.3. Miền bị chặn
hàm

:

(

1

uE ,

1

2

1

uE , .
2

2

gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một

, 0) đa điều hòa dưới âm, liên tục sao cho với c

z

Mệnh đề 1.3.4. Nếu
đối của

thì uE ,

, thì tại điểm

: (z )

c

0

.

là miền siêu lồi và E là một tập con compact tương
bất kỳ ta có lim uE , (z )
z

5

0.


n

Mệnh đề 1.3.5. Cho

là tập mở liên thông, và E

. Khi đó các

điều kiện sau tương đương :

i ) uE* ,

0;

ii ) Tồn tại hàm v

PSH ( ) âm sao cho E

Mệnh đề 1.3.6.

Cho

E

j

1,2,... . Nếu uE* ,

với j

. Giả sử

0 với mỗi j ,

j

sao cho

j

j 1

và K

1

Chứng minh. Lấy điểm z 0
rằng K

{z 0 }

1

PSH (

j0

((

) sao cho u

và K là một tập con

} là một dãy tăng những tập con mở của

. Khi đó lim uK , (z )
j

uK , (z ), z

j

.

. Khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả sử

0 là một hàm vét cạn đối với

(0,1) sao cho
1

v(z )

j

. Giả sử

1 trên K . Lấy
sao cho tập mở

n

là tập con siêu lồi của

. Giả thiết rằng {

compact của

,

(z 0 )

sao cho

. Khi đó tồn tại j0

)) là tập compact tương đối trong

0 trên

j0

và u

z
z

. Lấy

K

\

1 và v

uK , (z 0 ) . Vì u là một phần tử tùy ý của họ uK ,

6

j0

1 trên K . Khi đó

max {u(z ) , (z )},
(z ),

xác định một hàm đa điều hòa dưới; hơn nữa v

v(z 0 )

n

0.

Mệnh đề 1.3.7. Cho

u

: v(z )

là tập con mở liên thơng của

E j , trong đó E j

thì uE* ,

z

j0

0 . Như vậy

, nên ta có


uK , (z 0 )

uK , (z 0 )

j0

Do đó, ta có uK , (z 0 )

uK , (z 0 )

j

uK , (z 0 ) với mọi j

j0 và

j

nhỏ tùy ý, suy ra điều phải chứng minh.
1.4. Toán tử Monge-Ampère phức
Cho

là một miền trong
c

n

và u

2

n

dd u

u
dz
z j zk j

2i
j ,k 1

, dc

trong đó d

c

n

) , dd c

i(

c

c

(dd u ) : (dd u ) ... (dd u )

2i

dzk ,

. Toán tử:
2

n

4 n ! det

n

với dV là yếu tố thể tích trong

C 2( ) khi đó

PSH ( ) . Giả sử u

n

u
z j zk

dV ,
1 j ,k n

được gọi là toán tử Monge-Ampère. Tốn

tử này có thể xem như độ đo Radon trên

, tức là phiếm hàm tuyến tính liên

tục trên khơng gian các hàm liên tục với giá compact C 0 ( ) trên
(dd cu)n .

C 0( )

Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hòa dưới bị
chặn địa phương trên

um

thì tồn tại dãy {um }m

PSH ( ) C

1

u và {(dd cum )n } hội tụ yếu tới độ đo Radon
lim
m

Hơn nữa

(dd cum )n

d ,

trên

sao cho

tức là:

C 0( ) .

không phụ thuộc vào việc chọn dãy {um } như trên, ta ký hiệu:
7


(dd cu)n

và gọi là toán tử Monge-Ampère của u .
C p, p là (p, p)

Mệnh đề 1.4.1. Giả sử
n

và T là (q, q ) dòng với p
(dd cT )n

dd c

q

trên tập mở

1 . Khi đó

n

T

dạng lớp C

d cT

d(

dc

T).

Mệnh đề 1.4.2. Giả sử { j } là dãy các độ đo Radon trên tập mở
tụ yếu tới độ đo Radon

là tập mở thì (G )

b ) Nếu K

là tập compact thì (K )

lim inf
j

c ) Nếu E compact tương đối trong
(E )
n

Mệnh đề 1.4.3. Giả sử

0 trên

dương, đóng trên

(G ) .

lim sup
j

j

(K ) .

sao cho ( E )

lim
j

j

0 thì

(E ) .

là miền bị chặn và u, v

và lim u(z )

PSH ( ) Lloc ( )

0 . Giả sử T là (n

z

vdd cu T

z

j

. Khi đó

Đặc biệt, nếu lim v(z )

hội

. Khi đó

a ) Nếu G

sao cho u, v

n

0 thì

udd cv T .

vdd cu T

8

udd cv T .

1, n

1) dòng


1.5. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor
n

Định lý 1.5.1. Giả sử
sao cho lim inf(u(z )
z

v(z ))

là miền bị chặn và u, v

0 . Khi đó

(dd cv )n
u v

(dd cu )n .

v(z ))

z

thay u bởi u

sao cho z

\ K thì u(z )

, >0 , thì {u

đẳng thức (1.1) đúng trên {u

v}

v} . Vì vậy có thể giả sử

{u

v}

{u

và u

v trên

lim inf(u(z )

0 . Nếu bất

v(z ))

z

v(z )

v trên

{u

0 , đặt u

. Với

z

suy ra u(z )

v(z ) với z gần biên

0 . Vậy

v(z )

. Vậy u

v nên (dd cu )n

(dd cu )n

(dd cu )n , hay

(dd cu )n

(dd cu )n .
u v

(dd cv)n . Vậy ta có

9

v} là tập mở, u, v liên

max{u

. Theo cơng thức Stokes ta có

u v

Vì u

v} khi

.

Từ giả thiết lim inf(u(z ) v(z ))

và u

. Hơn nữa khi

0 suy ra (1.1) đúng trên

a ) Giả sử u, v là các hàm liên tục. Khi đó

u(z )

0 , nghĩa là với mọi

v(z )

v} thì cho

{u

tục trên

(1.1)

u v

Chứng minh. Theo giả thiết ta có lim inf(u(z )
0 tồn tại K

PSH ( ) L ( )

, v} .

hay
u(z )

gần biên


(dd cv )n

(dd cu )n

lim inf
0

u v

b ) Giả sử u, v tùy ý và

(dd cu)n .

u v

u v

là miền sao cho u

v

/2

. Tồn tại

hai dãy u j và vk các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của

u và v sao cho u j

vk trên

0 và giả sử G

Lấy

là tập mở sao cho C n (G, )

\G . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm

liên tục trên
cho v

với mọi i, k . Có thể coi

trên F

u v

v}

j

} G và vì {u j

(dd cv )n

uj v

sao

} là tập mở nên

(dd cv )n
G

uj

(dd cvk )n

lim

k

,

uj v

và (dd cvk )n hội tụ yếu tới (dd cv )n .

vì C n (G, )

}

{u j

v} G và {u j

(dd cvk )n
uj

liên tục trên

(dd cv)n .

lim

v}

(dd cvk )n

{u j

vk } suy ra

(dd cvk )n
G

uj v

(dd cvk )n
u j vk

Áp dụng a ) vào các hàm liên tục u j và vk ta thu được
(dd cvk )n
u j vk

(dd cu j )n .
u j vk

10

0.

, u, v là các hàm

uj v

{u j

(dd cv )n

Từ {u j

u j , vk

\ G . Ta có

(dd cv)n

Nhưng {u j

1

giảm tới

.


Do đó
(dd cv)n

(dd cu j )n

lim inf lim inf
j

u v

k

2

uj vj

(dd cu j )n

lim sup
j

2 .

uj v

Hơn nữa
(dd cu j )n

(dd cu j )n

uj v

và do {u

uj v

v} F là tập compact và {u j

v}

(dd cu j )n

lim sup
j

uj v

Do

F

{u

v} nên ta có

(dd cu)n
u v

F

(dd cu)n .

F

u v

0 tùy ý nên ta được
(dd cv )n
u v

u v

0 ta có

Từ đó với mọi

(dd cv )n
u

(dd cu )n .

v

(dd c (u
u

))n

v

(dd cu)n .
u

v

Nhưng

{u
khi

v}

{u

v} và {u

0 . Do đó
(dd cv )n
u v

(dd cu )n .
u v

11

v}

{u

v}


Hệ quả 1.5.2. Giả sử

n

sao cho lim inf(u(z )

v(z ))

z

trên

là miền bị chặn và u, v

0 , (dd cu)n

PSH ( ) L ( )

(dd cv )n trên

. Khi đó u

v

.
n

Hệ quả 1.5.3. Giả sử
cho lim inf(u(z )
z

v(z ))

là miền bị chặn và u, v
(dd cu )n

0 và

PSH ( ) L ( ) sao

0 . Khi đó u

v trên

.

u v

1.6. Hàm Green đa phức
n

Định nghĩa 1.6.1. Giả sử

,a

(z )

. Hàm Green đa

với cực tại a được xác định bởi

phức của
g

là một miền và a

g (z, a )
sup{u(z ) : u

PSH ( ), u(z )

g (z, a )

Chứng minh. Có thể coi a

log

0, R

log || z || . Giả sử

v(t )

g (t , 0)

|| z

a ||
R

1
||

a}

.

1. Từ định nghĩa, rõ ràng ta có
(0,1) \ {0} . Xét hàm

log | t |||

||, t

Hàm v(t ) là hàm điều hòa dưới trên

(0,

a || C (u) khi z

(a, R) thì

Mệnh đề 1.6.2. Nếu

g (a, 0)

log || z

) ta có lim sup v(t )
||
t

(0,

(0,

1
||

1
||

).
||

) \ {0} và với mỗi
||

0 . Từ định nghĩa hàm Green đa phức

12


0 . Do đó, dùng định lí khử kì dị

có thể thấy v bị chặn trong lân cận của t

(0,

suy ra v điều hịa dưới trên
g (z, 0)

log ||

và

1) Nếu

thì g (z, a )

2) Nếu

và

\

g (z, a )

r
log

) . Ta được g ( , 0)
||

là các miền trong

log ||

|| . Vậy

|| z

a ||
R

n

và a

,

z

. Khi đó

g (z, a ).

là tập cực thì
g (z, a ),

z

0 và (a, r )

bị chặn thì z

4) Nếu

||

|| .

Mệnh đề 1.6.3. Giả sử

3) Nếu R

1

.

(a, R) thì
g (z, a )

log

|| z

a ||
r

.

g (z, a ) là hàm điều hịa dưới âm có cực logarit

tại a .
5) Nếu f :

là một ánh xạ chỉnh hình thì
g (f (z ), f (a))

6) Nếu

là bị chặn thì z

g (z, a),

z

.

g (z, a ) là cực đại trong

(dd cg (z, a ))n

0,

z

\ {a} , nghĩa là

\ {a}

Chứng minh. 1) Suy từ định nghĩa.
2) Dùng định nghĩa và định lí khử kì dị đối với hàm đa điều hịa dưới.

13


3) Từ Mệnh đề 1.6.2 và tính chất 1) ta có
g

(z, a )

g (z, a)

(a,R)

g

(z, a)

(a,r )

và được điều phải chứng minh.
4) Do

là bị chặn và từ tính chất 3) suy ra hàm (g (, a )) là hàm đa điều

hịa dưới âm, có cực logarit tại a . Vậy (g (, a ))

g (, a) . Từ đó hàm

g (, a ) là hàm đa điều hòa dưới âm có cực logarit tại a .

5) Giả sử a

và u là hàm đa điều hòa dưới âm trên

f (a ) . Khi đó u

f

u(f (z ))

log || z

u(f (z ))

khi z

PSH ( ,[

a . Vậy u

có cực logarit tại

, 0)) và

a ||

log f (z )

f (a )

log

log || f (z ) f (a) ||
|| z a ||

f có cực logarit tại a . Do đó u

g (f (z ), f (a))

g (z, a),

z

6) Giả sử a

, G

\ {a} và v

u(z )

max(v(z ), g (z, a)),
g (z, a ),
z

f (z )

o(1) ,

g (z, a ). Từ đó

.

PSH ( \ {a}) sao cho v

g (, a )

trên G . Đặt

Hàm u thuộc lớp xác định g (, a ) . Do đó v
z

g (z, a ) là cực đại trên

\ {a} .

14

z

G
\G

g (, a ) trên G . Vậy hàm


Mệnh đề 1.6.4. Nếu {

n

}

j j

là dãy tăng và
j 1

Chứng minh. Lấy a

và có thể coi a

g (z, a ) với mọi z

g (z, a )
j

PSH (

dãy {g (, a )}j giảm và g(z )=lim j

thì kết quả

g (z, a ) với mọi z

j

.

0 và do tính chất 3) của Mệnh đề 1.6.3, g có cực logarit tại a .
g (z, a ) với mọi z

Mệnh đề 1.6.5. Giả sử r, R
log

Kí hiệu:

g .

) với mọi j . Từ Mệnh đề 1.6.3 1)

g (z, a )

j

với mọi 0

j

j

. Ta chứng minh

j

j

Vậy g(z )

1

thì g

. Nếu có j mà g (, a )

là hiển nhiên. Giả sử g (, a )

Mặt khác g

j

R

u

( , ),

r và z
PSH ( ;a )

C 0 ( ;a )

.

0 sao cho ( , r )

(z )

g (z, )

( , R) . Khi đó

r
log u

( , ),

(z )

\ ( , ).

PSH ( ) Lloc ( \ {a}) và

{

C 0 : sup p (d )

\ {a}} ; ta có

Bổ đề 1.6.6. Khơng gian C 0 ( ;a ) là trù mật trong C 0( ) .
Chứng minh. Giả sử a
nên có
Giả sử

0 và

0 sao cho với mọi z,

và có thể coi 0

(z )

C 0( ),

0. Do

, || z

||

d(supp ,

(0),

z

((1

|| z || 1)z ), z

15

liên tục đều trên
thì | (z )

) . Đặt

(0, )
\ (0, )

( )|

.


C 0( ),

Khi đó
Như vậy tập

là hằng số trong một lân cận của 0 và ||
C 0( ) :

{

||

.

là hằng số trong một lân cận của 0 } là trù

mật trong C 0( ) . Nhưng dùng tích chập, có thể xấp xỉ mỗi hàm thuộc

bởi

những hàm thuộc C 0 ( ; 0) . Do đó bổ đề được chứng minh.
n

Mệnh đề 1.6.7. Giả sử
độ

đo

{u j }j

Borel

dương

là tập mở và u

trên

sao

PSH ( ;a ) . Khi đó tồn tại

cho

PSH ( ) Lloc ( ) hội tụ điểm tới u trên

{(dd cu j )n }j hội tụ yếu tới

Chứng minh. Nếu

khi j

u j (dd cu j )n

dãy

giảm

.
\ {a} . Vậy

dd c

1

mỗi

, dãy độ đo Borel dương

. Khi đó đặt (dd cu)n

C 0 ( ;a ) thì supp dd c

(dd cu)n

với

u(dd cu)n

1

dd c

. Theo bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg và định lí Banach-

Alaoglu, tập {(dd cu j )n }j

1

là compact tương đối trong tơpơ yếu. Bởi vậy nó

hội tụ yếu trên C 0 ( ;a ) . Nhưng theo Bổ đề 1.6.6, C 0 ( ;a ) trù mật trong
C 0( ) nên nó hội tụ yếu trong C 0( ) tới độ đo
n

Mệnh đề 1.6.8. Giả sử a

z

n

thì (dd cu)n

(2 )n

a

và R

, ở đây

.

0 . Nếu u(z )

n

(dd cu )n . Mặt khác u(z )

log || 1 a / z ||

u

|| z

a ||
R

với

là độ đo Dirac tại a .

a

Chứng minh. Hàm u thuộc PSH (
log || z ||

log

;a ) và theo Mệnh đề 1.6.7, tồn tại

L . Do đó

16

log R , nên


n

(dd cu )n

(2 ) .

n

Nhưng trên mọi hình cầu (a, t ), t

0 , hàm u cực đại trên (a, t ) \ {a}.

Do đó

(dd cu )n

(dd cu )n .

(a ,t )

{a }

Từ đó
(2 )n

(dd cu )n . Vậy (dd cu )n

(dd cu)n
n

u

n

PSH ( ) C ( ,[
v trong

a

.

{a }

Định lí 1.6.9. Giả sử

u, v

(2 )n

)) sao cho u 1(

,

\ {a} , lim sup
z

a

là miền bị chặn và a

v(z )
u(z )

)

v 1(

1

. Giả sử
)

{a} và

(1.2)

Khi đó
(dd cu)n ({a})

Chứng minh. Thay
liên tục đến biên của

bằng một lân cận nhỏ hơn của a , có thể giả sử u, v
và u
|| u ||

Khi đó với
(0, ) ,

(dd cv)n ({a}).

(0, ), u / (1
0 sao cho

v

0 trên
1

1

1

)

z

v trên

(a, )

inf {v(z ) - u(z )}.

. Do giả thiết (1.2), với mỗi

và u / v

Đặt
17

0 sao cho

. Lấy

1

trên

(a, ) \ {a}.


{z

Tập

: u(z ) / (1

)

v(z )} {a}.

là một lân cận compact tương ứng với mỗi a trong

. Dễ thấy

{a} . Vậy do ngun lí so sánh ta có
(0, )

1
(1

Cho

c

n

(dd u ) ({a})
)n

dd

u

c

1

n

dd cv

0 ta được kết quả cần chứng minh.

Hệ quả 1.6.10. Giả sử

n

là miền bị chặn, a

(dd cg )n

(2 )n

18

a

.

. Khi đó

n

.

CHƢƠNG 2
XẤP XỈ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI
BỞI HÀM GREEN ĐA CỰC

2.1. Xấp xỉ các condenser bởi các hàm chỉnh hình
Định nghĩa 2.1.1. [6] Một tập mở D

n

một hàm đa điều hòa dưới liên tục

trên một lân cận V của D và

D

{

gọi là siêu lồi mạnh nếu tồn tại

được gọi là hàm vét cạn.

0} . Hàm

Một hàm âm u trên D có giá trị biên bằng 0 nếu
lim inf u(z )

z

Định nghĩa 2.1.2. [6] Cho W

0.

D

{w1,..., wm } là một tập hữu hạn trong D . Ta

nói rằng một hàm đa điều hịa dưới u là cực đại ngồi W và có các cực
logarit tại các điểm của W nếu với mỗi w j

W đều có một số a j

0 , gọi là

trọng của u tại w j , và một số c sao cho
a j log | z

wj | c

u(z )

a j log | z

wj | c

gần w j , u là bị chặn địa phương trên D \W và (dd cu)n

0 trên D \W .

Đối với các hàm như thế tốn tử Monge-Ampère vẫn có thể được định
nghĩa hợp lý. Chẳng hạn, nguyên lý so sánh vẫn xảy ra (xem [4, Ch.6]). Ta có
(dd cu )n

(2 )n

m
j 1

a nj

wj

,

và nếu các giá trị biên của u là lớn hơn c , thì
(dd c max{u, c})n

(2 )n

m
j 1

D

19

a nj .

(2.1)

Ví dụ: Lấy các hàm chỉnh hình f1,..., fn trên D sao cho f1

fn

...

0 có

các khơng điểm đơn tại các điểm của W . Khi đó hàm
v

log max | f1 |,...,| fn |

là cực đại ngồi W và có cực logarit có trọng bằng 1 tại mỗi điểm của W .
Định nghĩa 2.1.3. [6] Cho D là miền siêu lồi mạnh. Nếu với mỗi cách chọn
các trọng a j , đều có một hàm đa điều hịa dưới gD (z,W ) liên tục và cực đại
ngồi W , có cực logarit với trọng a j tại các điểm của W và có giá trị biên
bằng 0, thì gD (z,W ) được gọi là hàm Green đa cực (hay gọi là hàm Green).
Định nghĩa 2.1.4. [6] Một condenser đa chính qui K
một hệ các tập compact đa chính qui Km

...

1

K1

D

D

m

) là

K0

0:

(z )

liên tục với giá trị biên bằng 0, Ki

{

i

int Ki 1 \ Ki với mọi 1

(z, K, D) được gọi là hàm cực trị

và các số

m

m 1

...

Km

(K1,..., Km , 1,...,

i

1

0

m . Hàm

} và

(z, K, D)

PSH (D)

là cực đại trên

tương đối của condenser K trong D .
Chú ý rằng, không phải mỗi cách chọn các tập K i và các số

i

đều có thể

nhận được một condenser. Tuy nhiên, nếu u là một hàm đa điều hòa dưới liên
tục trên D và các tập Ki

{u

i

} là đa chính qui thì K có hàm cực trị

tương đối liên tục.
Hình cầu bán kính r tâm z được kí hiệu là B(z, r ) , S (z, r )
m(A) là độ đo Lebesgue của A .

20

B(z, r ) ,