Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số dạng của định lý Stolz Cesàro và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ NGA

MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ STOLZ-CESÀRO
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ NGA

MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ STOLZ-CESÀRO
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 84 60 113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Trần Văn Thắng

THÁI NGUYÊN - 2018


i

Mục lục
MỞ ĐẦU

1

Chương 1. Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro

3

1.1

1.2

Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Một số dạng cổ điển của định lý Stolz-Cesàro . . .

8

1.2.2

Một số dạng mở rộng của định lý Stolz-Cesàro . .

14

1.2.3

Một số dạng mới của định lý Stolz-Cesàro . . . . .

22

Chương 2. Một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro

26

2.1

Tính giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2

Tổng các lũy thừa với số mũ nguyên . . . . . . . . . . . .

46

2.3

Bài toán 11174 của P. P. Dalyay . . . . . . . . . . . . . .

47

KẾT LUẬN

51

TÀI LIỆU THAM KHẢO

52


1

MỞ ĐẦU
Các định lý Stolz-Cesàro cổ điển được các nhà toán học Otto Stolz
(1842-1905) và Ernesto Cesàro (1859- 1906) đưa ra. Định lý đề cập tới
an+1 − an
an
sự tồn tại của các giới hạn lim
và lim
cùng các điều kiện
n→∞ bn+1 − bn
n→∞ bn
để các giới hạn này bằng nhau. Định lý được xuất bản lần đầu tiên trong
[11] và kể từ đó, đã được xuất bản lại trong nhiều tài liệu khác nhau có
chủ đề về dãy số và chuỗi số. Định lý được xem như là phiên bản rời
rạc của quy tắc L’Hopital trong giới hạn của hàm số và nó cho ta một
∞
phương pháp hữu hiệu để tính các giới hạn có dạng khơng xác định
∞
0
và trong các bài tốn tính giới hạn, đặc biệt là trong các bài tốn tính
0
giới hạn liên quan tới tổng. Gần đây, định lý được sử dụng tính hệ số của
đa thức được định nghĩa là tổng các lũy thừa của các số ngun ([7]) và
nghiên cứu tính chất tuần hồn của hàm số ([5]). Với những ứng dụng
kể trên, định lý Stolz-Cesàro ngày càng được các nhà toán học quan tâm

mở rộng, phát biểu ở những dạng khác nhau và có thêm được những ứng
dụng mới, điển hình là các kết quả của C. Mortici ([8]), G. Nagy ([9]) và
S. Puspană ([10]).
Luận văn này sẽ tổng hợp và trình bày một số dạng cổ điển của định
lý Stolz-Cesàro; một số dạng mở rộng của G. Nagy và S. Puspană; và
một số dạng mới được đưa ra bởi C. Mortici. Tiếp theo, luận văn trình
bày một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro trong việc tính giới hạn
của dãy số, trong đó có tính giới hạn của một tổng, đây là bài toán hay
thường xuất hiện trong các đề thi toán dành cho học sinh và sinh viên.
Một ứng dụng khác của định lý Stolz-Cesàro là tính tổng hữu hạn của
các lũy thừa ngun cũng được chúng tơi trình bày trong luận văn này.


2

Cuối cùng, chúng tôi sẽ sử dụng một dạng mở rộng định lý Stolz-Cesàro
của G. Nagy để nghiên cứu tính chất tuần hồn của hàm số trong bài
tốn 11147 của P. P. Dalyay.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 2 chương:
Chương 1. Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro.
Phần đầu của chương trình bày một số khái niệm cơ bản phục vụ cho
các mục sau của luận văn. Tiếp theo, chúng tơi trình bày các dạng cổ
điển, một số dạng mở rộng và mới của định lý Stolz-Cesàro.
Chương 2. Một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro.
Chương này tìm hiểu một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro trong
việc tính giới hạn của dãy số, tính tổng lũy thừa của các số nguyên và
nghiên cứu tính chất tuần hồn của hàm số trong bài tốn 11147 của P.
P. Dalyay.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Nguyên. Lời đầu tiên tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc

tới thầy giáo TS. Trần Văn Thắng. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng
dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tơi trong suốt q trình làm
luận văn. Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn tồn thể các thầy cơ trong Khoa Toán Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình hướng
dẫn, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian theo học, thực hiện và
hoàn thành luận văn.
Xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp tại trường THPT Tiên Du số 1 và
gia đình thân yêu đã tạo điều kiện về thời gian và luôn ủng hộ tơi trong
suốt q trình học tập.
Thái Ngun, tháng 05 năm 2018
Người viết luận văn

Nguyễn Thị Nga


3

Chương 1
Một số dạng của định lý
Stolz-Cesàro
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản, dạng cổ điển và một
số dạng mở rộng của định lý Stolz-Cesàro.

1.1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1.1

Dãy số

Định nghĩa 1.1.1. Dãy số là một hàm số từ N vào một tập hợp số
(N, Q, R). Các số hạng của dãy số thường được ký hiệu là un , vn , xn , yn
. . . Dãy số được ký hiệu là {un }, {vn }, {xn }, {yn }. . . .
Nhận xét 1.1.2. Vì dãy số là một trường hợp đặc biệt của hàm số nên
nó cũng có các tính chất của một hàm số.
Định nghĩa 1.1.3. (i) Dãy số {xn } được gọi là dãy giảm nếu xn+1 ≤ xn
với mọi n ∈ N∗ .
(ii) Dãy số {xn } được gọi là dãy tăng nếu xn+1 ≥ xn với mọi n ∈ N∗ .
(iii) Dãy số {xn } được gọi là dãy giảm ngặt nếu xn+1 < xn với mọi

n ∈ N∗ .
(vi) Dãy số {xn } được gọi là dãy tăng ngặt nếu xn+1 > xn với mọi n ∈ N∗ .
Dãy số tăng hoặc dãy số giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.
Định nghĩa 1.1.4. Dãy số {xn } được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số
thực M sao cho xn ≤ M với mọi n. Dãy số {xn } được gọi là bị chặn dưới


4

nếu tồn tại số thực m sao cho xn ≥ m với mọi n. Một dãy số vừa bị chặn
trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn.

Định nghĩa 1.1.5. (i) Ta nói dãy số {xn } có giới hạn hữu hạn a khi n
dần đến vô cùng nếu với mọi

> 0, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc

vào dãy số {xn } và ) sao cho với mọi n > N0 ta có |xn − a| nhỏ hơn .
Ta viết

lim xn = a ⇔ > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |xn − a| < .

n→∞

(ii) Dãy số {xn } dần đến dương vô cùng khi n dần đến vô cùng nếu với
mọi số thực dương M lớn tuỳ ý, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào
dãy số {xn } và M ) sao cho với mọi n > N0 ta có |xn | lớn hơn M . Ta viết

lim xn = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |xn | > M.

n→∞

(iii) Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ. Dãy số khơng có
giới hạn hoặc dần đến vơ cùng khi n dần đến vô cùng gọi là dãy phân kỳ.
Giả sử {xn } là một dãy bị chặn. Với mỗi n ta đặt

un = sup{xn+1 , xn+2 , ...} = sup xn+k ,
k=1,2,...

vn = inf{xn+1 , xn+2 , ...} = inf xn+k .
k=1,2,...

Dễ thấy un đơn điệu giảm và bị chặn dưới, nên tồn tại giới hạn. Giới
hạn này được gọi là giới hạn trên của dãy {xn } và ký hiệu là lim sup xn .
n→∞

Tương tự, dãy {vn } là dãy tăng và bị chặn trên, nên tồn tại giới hạn. Giới
hạn này được gọi là giới hạn dưới của dãy {xn } và ký hiệu là lim inf xn .
n→∞

Định lý 1.1.6. Điều kiện cần và đủ để dãy hội tụ là giới hạn trên và
giới hạn dưới của dãy đó bằng nhau.
Định lý 1.1.7. (Sự hội tụ của dãy đơn điệu)
Dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì
hội tụ.


5

Định lý 1.1.8. Nếu {xn }, {yn } là các dãy hội tụ và có giới hạn tương
xn
ứng là a, b thì các dãy số {xn + yn }, {xn − yn }, {xn yn },
cũng hội
yn
a
tụ và có giới hạn tương ứng là a + b, a − b, ab và (trong trường hợp
b
dãy số thương, ta giả sử yn và b khác không).
Định lý 1.1.9. Giả sử an ≤ bn ∀n ≥ N0 , N0 ∈ N và lim an = a,
n→∞

lim bn = b. Khi đó, ta có a ≤ b.

n→∞

Định lý 1.1.10 (Nguyên lý kẹp). Giả sử lim an = lim bn = a và
n→∞

n→∞

an ≤ zn ≤ bn với mọi n ∈ N. Khi đó, ta có lim zn = a.
n→∞

1.1.2

Chuỗi số

Định nghĩa 1.1.11. Cho dãy số u1 ; u2 ; . . . ; un ; . . .. Khi đó gọi tổng vơ
hạn

u1 + u2 + . . . + un + . . .
∞

un . un là số hạng tổng quát; sn = u1 + u2 +

là chuỗi số và ký hiệu là
n=1

. . . + un được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số; rn = un+1 + un+2 + . . .
được gọi là phần dư thứ n. Nếu lim sn = s (hữu hạn) thì chuỗi được gọi
n→∞

là hội tụ và s là tổng của chuỗi. Nếu sn khơng dần tới một giá trị hữu
hạn thì chuỗi đó gọi là phân kỳ.
∞

un hội tụ thì lim un = 0.

Định lý 1.1.12. Chuỗi số

n=1

n→∞

∞

un được gọi là chuỗi số dương nếu un > 0 với mọi n ∈ N.

Chuỗi số
n=1

∞

un và

Định lý 1.1.13. (Tiêu chuẩn so sánh) Cho 2 chuỗi số dương
n=1
∞

∞

vn nếu un ≤ vn với ∀n ≥ n0 (n0 ∈ N ) thì từ sự hội tụ của
n=1

∞
n=1

∞

vn .

n=1

∞

un và từ sự phân kỳ của

ra sự hội tụ của

vn suy

n=1

un suy ra sự phân kỳ của
n=1


6

Định lý 1.1.14. (Tiêu chuẩn tương đương) Cho hai chuỗi số dương
∞
∞
un
vn và lim
un và
= k . Khi đó, ta có:
n→∞ vn
n=1
n=1
Nếu (0 < k < +∞) thì hai chuỗi đã cho cùng hội tụ hoặc cùng phân
kỳ.

∞

Nếu k = 0 thì từ sự hội tụ của

∞

vn suy ra sự hội tụ của
n=1

un .
n=1

∞

Nếu k = +∞ thì từ sự phân kỳ của

vn , ta suy ra sự phân kỳ của
n=1

∞

un .
n=1

1.1.3

Hàm số

Cho hàm số thực f (x) xác định trên một miền trong R.
Định nghĩa 1.1.15. Cho hàm số y = f (x) có tập xác định D và (a; b)

là một khoảng con của D. Hàm số gọi là hàm số đồng biến trên khoảng

(a; b) nếu
x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu

x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a; b) gọi là đơn điệu
trên khoảng (a; b).
Định nghĩa 1.1.16. Cho hàm số y = f (x) xác định trong một lân cận
của a (có thể trừ điểm a). Số thực l hữu hạn được gọi là giới hạn của
hàm số f (x) khi x → a nếu:

∀ > 0, ∃δ > 0 : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − l| < .
Định nghĩa 1.1.17. Cho hàm số y = f (x) xác định trong một lân cận
của a (có thể trừ điểm a). Số thực l hữu hạn được gọi là giới hạn trái


7

(phải) của hàm số f (x) khi x → a nếu:

∀ > 0, ∃δ > 0 : −δ < x − a < 0(0 < x − a < δ) ⇒ |f (x) − l| < .
Định nghĩa 1.1.18. Cho hàm số y = f (x) xác định trong một lân cận
của x0 . Khi đó hàm f (x) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim f (x) = f (x0 ).
x→x0

Định nghĩa 1.1.19. Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trái (phải)
tại x0 nếu hàm f (x) xác định trong một lân cận trái (phải) của x0 (kể
cả x0 ) và

lim f (x) = f (x0 )( lim+ f (x) = f (x0 )).

x→x−
0

x→x0

Định nghĩa 1.1.20. Hàm f (x) được gọi là liên tục trong khoảng (a; b)
nếu f (x) liên tục tại mọi x thuộc khoảng (a; b). Hàm f (x) được gọi là
liên tục trên [a; b] nếu f (x) liên tục trong khoảng (a; b), liên tục phải tại

x = a và liên tục trái tại x = b.
Định nghĩa 1.1.21. Hàm f (x) được gọi là liên tục đều trên D nếu với
mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ D thỏa mãn |x − y| < δ
ta có |f (x) − f (y)| < ε.
Định lý 1.1.22. Hàm f (x) liên tục trên tập compact D thì liên tục đều
trên tập D.
Một hệ quả được suy ra từ định lý trên.
Hệ quả 1.1.23. Mọi hàm liên tục tuần hoàn trên R là liên tục đều.
Định lý 1.1.24 (Định lý giá trị trung gian). Cho f (x) là một hàm số
liên tục trên [a; b], f (a) = f (b). Khi đó f (x) đạt mọi giá trị trung gian
giữa f (a) và f (b) trên [a; b].
Định nghĩa 1.1.25. Hàm f (x) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ T > 0
trên miền D nếu x ± T ∈ D với mọi x ∈ D và

f (x ± T ) = f (x), ∀x ∈ D.


8

Định nghĩa 1.1.26. Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng (a; b),

x0 ∈ (a; b). Nếu giới hạn
f (x) − f (x0 )
x→x0
x − x0
lim

tồn tại hữu hạn thì giá trị giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số

y = f (x) tại điểm x0 , ký hiệu là f (x0 ).
Định lý 1.1.27 (Định lý giá trị trung bình Cauchy). Cho các hàm số

f và g cùng liên tục trên [a; b] và khả vi trên (a, b). Khi đó tồn tại một
điểm c ∈ (a; b) sao cho

(f (b) − f (a))g (c) = (g(b) − g(a))f (c).
Nếu g(a) = g(b) và g (c) = 0, điều này tương đương với

f (c) f (b) − f (a)
=
.
g (c)
g(b) − g(a)

1.2

Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro

Mục này trình bày một số dạng cổ điển, một số dạng mở rộng và một
số dạng mới của định lý Stolz-Cesàro.

1.2.1

Một số dạng cổ điển của định lý Stolz-Cesàro

Phần này, chúng tơi trình bày ba dạng cổ điển của định lý Stolz-Cesàro
được các nhà toán học Otto Stolz và Ernesto Cesàro đưa ra.

Định lý 1.2.1. Cho {an } và {bn } là hai dãy số thực, dãy {bn } tăng ngặt
và không bị chặn trên. Nếu tồn tại giới hạn

an+1 − an
= l ∈ R,
n→∞ bn+1 − bn
lim

an
= l.
n→∞ bn

thì lim


9

Chứng minh. Xét trường hợp l ∈ R và giả sử rằng {bn } là dãy tăng và

lim bn = ∞. Cho V là một lân cận của l, khi đó tồn tại α > 0 sao cho

an+1 − an
(l − α, l + α) ⊆ V . Cho β ∈ R sao cho 0 < β < α. Do lim
=l
n→∞ bn+1 − bn
nên tồn tại k ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ k thì
n→∞

an+1 − an
∈ (l − β, l + β),
bn+1 − bn
từ đó suy ra rằng:

(l − β)(bn+1 − bn ) < an+1 − an < (l + β)(bn+1 − bn ), ∀n ≥ k.
Ta lại có:

(l − β)(bk+1 − bk ) < ak+1 − ak < (l + β)(bk+1 − bk ),
(l − β)(bk+2 − bk+1 ) < ak+2 − ak+1 < (l + β)(bk+2 − bk+1 ),
......
(l − β)(bn − bn−1 ) < an − an−1 < (l + β)(bn − bn−1 ).
Cộng từng vế các bất đẳng thức này ta được:

(l − β)(bn − bk ) < an − ak < (l + β)(bn − bk ).
Vì lim bn = ∞ nên bắt đầu từ một chỉ số n nào đó ta có bn > 0. Do đó
n→∞

(l − β)(bn − bk ) < an − ak < (l + β)(bn − bk )
an ak
bk
bk
⇔(l − β)(1 − ) <

−
< (l + β)(1 − )
bn
bn
bn
bn
Do

ak + (β − l)bk
ak − (β + l)bk
= lim
= 0,
n→∞
n→∞
bn
bn
nên tồn tại một chỉ số p ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ p chúng ta có:
lim

ak + (β − l)bk ak − (β + l)bk
,
∈ (β − α, α − β).
bn
bn
Do vậy chúng ta có các bất đẳng thức sau:

ak + (β − l)bk
ak − (β + l)bk
> β − α,
< α − β.

bn
bn


10

Chọn m = max{k, p}, khi đó, ∀n ≥ m chúng ta có:
an
l−α<
< l + α.
bn
an
an
∈ V . Suy ra lim
= l.
Điều này có nghĩa
n→∞ bn
bn
Trong trường hợp l = ±∞ ta có thể chứng minh tương tự khi ta chọn

V = (α, +∞) và V = (−∞, α).

Nhận xét 1.2.2. Dạng phát biểu đảo của định lý Stolz-Cesàro sẽ khơng
an
cịn đúng, nghĩa là với giả thiết {bn } tăng, khơng bị chặn và lim
=l
n→∞ bn
thì chưa chắc có khẳng định
an+1 − an
= l.

lim
n→∞ bn+1 − bn
Để thấy điều này ta lấy an = 3n − (−1)n và bn = 3n + (−1)n , ta có
an
lim
= 1 và
n→∞ bn
3 + 2(−1)n
an+1 − an
=
.
bn+1 − bn
3 + 2(−1)n+1
Dễ dàng chỉ ra rằng không tồn tại giới hạn
an+1 − an
lim
.
n→∞ bn+1 − bn
Từ kết quả của định lý trên chúng ta thu được các hệ quả sau.
Hệ quả 1.2.3. Cho dãy số thực dương {un }. Nếu tồn tại giới hạn
un+1
lim
= l thì chúng ta có:
n→∞ un
√
un+1
lim n un = lim
.
n→∞
n→∞ un

Chứng minh. Chúng ta có

√
n

ln un
.
n→∞
n→∞ n
Đặt an = ln un và bn = n, áp dụng Định lý 1.2.1 cho hai dãy {an } và
lim ln

un = lim

{bn } ta thu được
an+1 − an
ln un+1 − ln un
un+1
= lim
= lim ln
= ln l.
n→∞ bn+1 − bn
n→∞ (n + 1) − n
n→∞
un
lim


11

Do đó

lim

√
n

n→∞

un = lim eln

√
n

n→∞

un

lim ln

√
n

= en→∞

un

= eln l = l.

Nhận xét 1.2.4. Hệ quả trên còn được phát biểu dưới dạng tương đương

sau:
Cho dãy số thực dương {un } với lim un = l. Khi đó chúng ta có
n→∞

lim

√
n

n→∞

u1 u2 . . . un = l.

Chứng minh. Đặt an = u1 u2 . . . un , ta có

an+1
= lim un+1 = l.
n→∞ an
n→∞
lim

Áp dụng Định lý trung bình nhân Stolz-Cesàro cho dãy {an } ta thu được

√
√
an+1
= lim n an = lim n u1 u2 . . . un = l.
n→∞
n→∞
n→∞ an

lim

Từ đây về sau chúng ta gọi Hệ quả 1.2.3 và dạng phát biểu tương
đương của nó là Định lý trung bình nhân Stolz-Cesàro.
Hệ quả 1.2.5 (Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro). Cho dãy số {un },

lim un = l. Khi đó chúng ta có

n→∞

u1 + u2 + . . . + un
= l.
n→∞
n
lim

Chứng minh. Đặt an = u1 + u2 + . . . + un và bn = n, ta có

an+1 − an
= lim un+1 = l.
n→∞ bn+1 − bn
n→∞
lim

Áp dụng Định lý 1.2.1 cho hai dãy {an } và {bn } ta thu được

an
u1 + u2 + . . . + un
= lim
= l.

n→∞ bn
n→∞
n
lim


12

Nhận xét 1.2.6. Bằng cách đặt vn = u1 + u2 + . . . + un ta thu được
phát biểu dưới dạng tương đương với hệ quả trên như sau.
Cho dãy số thực {vn }. Nếu tồn tại giới hạn lim (vn+1 − vn ) = l thì ta có
n→∞

vn
= lim (vn+1 − vn ).
n→∞ n
n→∞
lim

Từ đây về sau chúng ta gọi Hệ quả 1.2.5 và dạng phát biểu tương
đương của nó là Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro.
Tiếp theo chúng tơi trình bày một dạng khác của định lý Stolz-Cesàro.
Định lý 1.2.7 (Trường hợp

0
). Nếu {an } và {bn } là hai dãy số thực
0

thỏa mãn
i. lim an = lim bn = 0,

n→∞

n→∞

ii. {bn } là dãy số giảm,

an+1 − an
= l ∈ R,
n→∞ bn+1 − bn
an
= l.
thì lim
n→∞ bn

iii. lim

Chứng minh. Ta chia ba trường hợp sau:
an+1 − an
- Trường hợp 1: lim
= l ∈ R. Khi đó, với bất kỳ
n→∞ bn+1 − bn
tại một chỉ số N sao cho

l− <

> 0, tồn

an+1 − an
bn+1 − bn

với mọi n ≥ N . Vì {bn } là dãy số giảm, nên bn+1 − bn < 0 với mọi n.
Suy ra

(l − )(bn+1 − bn ) > an+1 − an > (l + )(bn+1 − bn ),
với mọi n ≥ N . Cố định số n, viết các bất đẳng thức trên tương ứng với

n, n + 1, . . . , n + p, ta được
(l − )(bn+2 − bn+1 ) > an+2 − an+1 > (l + )(bn+2 − bn+1 )
(l − )(bn+3 − bn+2 ) > an+3 − an+2 > (l + )(bn+3 − bn+2 )


13

......
(l − )(bn+p − bn+p−1 ) > an+p − an+p−1 > (l + )(bn+p − bn+p−1 ).
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta nhận được

(l − )(bn+p − bn ) > an+p − an > (l + )(bn+p − bn ).
Cho p → ∞, ta được

(l − )(−bn ) ≥ −an ≥ (l + )(−bn ).
Do vậy ta kết luận được rằng

an
≥ (l + ) với mọi n ≥ N.
bn
an+1 − an
= ∞. Khi đó với > 0, tồn tại một chỉ
+ Trường hợp 2: lim

n→∞ bn+1 − bn
số N sao cho
an+1 − an
> với mọi n ≥ N.
bn+1 − bn
(l − ) ≥

Với m > n ≥ N ta có:
m−1

m−1

(bk − bk+1 ) = (bn − bm ),

(ak − ak+1 ) >

an − am =

(1.1)

k=n

k=n

và do đó

an
>
bn

bm
bn

am
.
bn
an
Giữ n cố định và cho m → ∞, ta nhận được
> với mọi m > n ≥ N .
bn
an
Từ đó ta kết luận lim
= ∞.
n→∞ bn
an+1 − an
- Trường hợp 3: lim
= −∞. Trường hợp này được chứng minh
n→∞ bn+1 − bn
tương tự như ở Trường hợp 2.
1−

+

Nhận xét 1.2.8. Dạng phát biểu đảo của Định lý 1.2.7 sẽ không còn
đúng, nghĩa là với giả thiết lim an = lim bn = 0, {bn } là dãy số giảm
n→∞
n→∞
an
và lim
= l thì chưa chắc có khẳng định

n→∞ bn
an+1 − an
lim
= l.
n→∞ bn+1 − bn


14

Thực vậy, chọn an =

1
3n −(−1)n

và bn =

1
3n +(−1)n

an
= 1 và
n→∞ bn

, ta có lim

(3n + (−1)n )(3n + 3 + (−1)n+1 ) 3 + 2(−1)n
an+1 − an
=
·
.

bn+1 − bn
(3n − (−1)n )(3n + 3 − (−1)n+1 ) 3 + 2(−1)n+1
Dễ dàng chỉ ra rằng không tồn tại giới hạn

an+1 − an
.
n→∞ bn+1 − bn
lim

Dạng đảo của định lý Stolz-Cesàro được phát biểu như sau.
Định lý 1.2.9. Nếu {an } và {bn } là hai dãy số thực thỏa mãn
i. {bn } là dãy số dương, tăng ngặt và không bị chặn trên.
bn+1
n→∞ bn

ii. lim

an
n→∞ bn

iii. lim

= L ∈ R \ {1},

= l ∈ R,

an+1 − an
= l.
n→∞ bn+1 − bn

Khi đó, lim

Chứng minh. Chúng ta có

an+1
an+1 − an
bn+1
an bn
=
(1 −
)+
bn+1
bn+1 − bn
bn
bn bn+1
Lấy qua giới hạn hai vế của đẳng thức trên ta thu được:

an+1 − an
+ lL.
n→∞ bn+1 − bn

l = (1 − L) lim
an+1 − an
= l.
n→∞ bn+1 − bn

Suy ra lim

1.2.2

Một số dạng mở rộng của định lý Stolz-Cesàro

Phần đầu của mục này chúng tơi trình bày một số mở rộng của định
lý Stolz-Cesàro được đưa ra bởi Gabriel Nagy ([9]).

Định lý mở rộng của Định lý 1.2.1 được phát biểu như sau.


15
∞

Định lý 1.2.10. Nếu {bn } là dãy số thực dương sao cho

bn = ∞, thì
n=1

với bất kì dãy {an } ⊂ R ta có các bất đẳng thức

lim sup
n→∞

lim inf
n→∞

Đặc biệt, nếu dãy

a1 + a2 + . . . + an
an
≤ lim sup ;
b1 + b2 + . . . + bn

n→∞ bn

(1.2)

a1 + a2 + . . . + an
an
≥ lim inf .
n→∞ bn
b1 + b2 + . . . + bn

(1.3)

an
bn

có giới hạn, thì

an
a1 + a2 + . . . + an
= lim
.
n→∞ bn
n→∞ b1 + b2 + . . . + bn
lim

Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh (1.2), bất đẳng thức (1.3) được
chứng minh bằng cách thay thế an bởi −an .
Bất đẳng thức (1.2) là tầm thường, nếu vế phải là +∞. Giả sử rằng
an
giá trị L = lim sup

là hữu hạn hoặc −∞. Lấy l > L, theo định nghĩa
n→∞ bn
của lim sup, tồn tại một số chỉ số k ∈ N sao cho

an
≤ l, ∀ n > k.
bn

(1.4)

Sử dụng (1.4) ta có bất đẳng thức

a1 +a2 +. . .+an ≤ a1 +. . .+ak +l(bk+1 +bk+2 +. . .+bn ), ∀n > k. (1.5)
Đặt a1 + a2 + . . . + an = An và b1 + b2 + . . . + bn = Bn , bất đẳng thức
trên trở thành

An ≤ Ak + l(Bn − Bk ), ∀n > k.
Chia hai vế của bất đẳng thức trên cho Bn ta được

Ak − lBk
An
≤l+
.
Bn
Bn

(1.6)

Vì Bn → ∞, cố định k lấy giới hạn cận trên trong (1.6) ta nhận được
An

lim sup
≤ l. Nói cách khác, ta được bất đẳng thức
n→∞ Bn

lim sup
n→∞

a1 + . . . + an
≤ l, ∀l ≥ L,
b1 + . . . + bn


16

suy ra

lim sup
n→∞

a1 + . . . + an
≤ L.
b1 + . . . + bn

Để thấy rõ định lý trên là mở rộng của Định lý 1.2.1 chúng ta phát
biểu lại dưới dạng tương đương sau.
Định lý 1.2.11. Nếu {yn } là dãy tăng ngặt với lim yn = ∞, thì với bất
n→∞

kì dãy {xn } có các bất đẳng thức sau

lim sup
n→∞

lim inf
n→∞

Đặc biệt, nếu dãy

xn
xn − xn−1
≤ lim sup
;
yn
n→∞ yn − yn−1

(1.7)

xn
xn − xn−1
≥ lim inf
.
n→∞ yn − yn−1
yn

(1.8)

xn − xn−1
yn − yn−1

có giới hạn thì

xn − xn−1
xn
= lim
.
n→∞ yn − yn−1
n→∞ yn
lim

Chứng minh. Do lim yn = ∞, khơng mất tính tổng qt ta giả sử tất cả
n→∞

các yn đều dương. Xét các dãy {an } và {bn }, xác định bởi a1 = x1 , b1 = y1
và an = xn − xn−1 , bn = yn − yn−1 , ∀n ≥ 2, khi đó ta có xn = a1 + . . . + an
và yn = b1 + . . . + bn . Như vậy định lý được chứng minh.
Từ kết quả mở rộng trên chúng ta thu được các hệ quả sau.
Hệ quả 1.2.12. Bất kì dãy {an } ⊂ R ta có các bất đẳng thức sau

lim sup
n→∞

a1 + a2 + . . . + an
≤ lim sup an ;
n
n→∞

a1 + a2 + . . . + an
≥ lim inf an .
n→∞
n→∞

n
Đặc biệt, nếu dãy {an } có giới hạn thì
lim inf

a1 + a2 + . . . + an
= lim an .
n→∞
n→∞
n
lim

Chứng minh. Trường hợp đặc biệt của Định lý 1.2.10 với bn = 1.

(1.9)
(1.10)


17

Nhận xét 1.2.13. Bằng cách sử dụng phương pháp đổi biến thích hợp,
đặt xn = a1 + a2 + . . . + an ta thu được phát biểu dưới dạng tương đương
với hệ quả trên như sau:
Cho dãy bất kỳ {xn }, ta có các bất đẳng thức sau

xn
≤ lim sup(xn − xn−1 );
n
n→∞
n→∞
xn

lim inf
≥ lim inf (xn − xn−1 ).
n→∞ n
n→∞
Đặc biệt, nếu dãy (xn − xn−1 )∞
n=1 có giới hạn thì
lim sup

(1.11)
(1.12)

xn
= lim (xn − xn−1 ).
n→∞ n
n→∞
lim

Hệ quả 1.2.12 và dạng phát biểu tương đương của nó ta gọi chung là
Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro mở rộng.
Hệ quả sau là mở rộng cho định lý trung bình nhân.
Hệ quả 1.2.14. Với bất kì dãy số dương {an } có các bất đẳng thức sau

lim sup

√
n

a1 a2 . . . an ≤ lim sup an ;

lim inf

n→∞

√
n

a1 a2 . . . an ≥ lim inf an .
n→∞

Đặc biệt, nếu dãy {an } có giới hạn thì

lim

n→∞

√
n

a1 a2 . . . an = lim an .
n→∞

Chứng minh. Đặt bn = ln an , ta có

√
n

(1.13)

n→∞

n→∞

b1 + b2 + . . . + bn
n
a1 a2 . . . an = e
.

Theo Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro mở rộng, ta có

b1 + b2 + . . . + bn
n
lim sup e
≤ lim sup ebn ;
n→∞

n→∞

b1 + b2 + . . . + bn
n
lim inf e
≥ lim inf ebn .
n→∞

Từ đây ta có điều phải chứng minh.

n→∞

(1.14)


18

Nhận xét 1.2.15. Đặt xn = a1 a2 . . . an ta có phát biểu tương đương với
hệ quả trên: Đối với mỗi dãy số dương {xn }, ta có các bất đẳng thức sau
√
xn
lim sup n xn ≤ lim sup
;
(1.15)
n→∞
n→∞ xn−1
√
xn
.
(1.16)
lim inf n xn ≥ lim inf
n→∞ xn−1
n→∞
xn
Đặc biệt, nếu dãy
có giới hạn thì
xn−1
√
xn
lim n xn = lim
.
n→∞
n→∞ xn−1
Tếp theo, chúng tơi trình bày một số mở rộng của định lý Stolz-Cesàro
được đưa ra bởi S. Puspană ([10]).
S. Puspană đã mở rộng Định lý 1.2.1 qua định lý sau đây.

Định lý 1.2.16. Nếu {an }và {bn } là hai dãy số thực thỏa mãn
i. lim |bn | = ∞,
n→∞

ii.

1
|bn |

n−1

|bi+1 − bi |

bị chặn,

i=1

an+1 − an
= l ∈ R,
n→∞ bn+1 − bn
an
thì lim
= l.
n→∞ bn
iii. lim

Chứng minh. Cho ε > 0 và dãy ở (ii) bị chặn trên bởi M , khi đó, tồn tại

m ∈ N sao cho ∀n ≥ m ta có
an+1 − an

ε
−l <
,
bn+1 − bn
2M
tương đương với

|an+1 − an − l(bn+1 − bn )| <

ε
|bn+1 − bn |.
2M

Từ đây suy ra

ε
|an − am − l(bn − bm )| <
2M

n−1

ε
|bi+1 − bi | ≤ |bn |, ∀n ≥ m.
2
i=m


19

Do đó ta được

an − am
ε |bn |
−l <
, ∀n > m.
bn − bm
2 |bn − bm |
Cuối cùng ta có

an
am − lbm
−l =
+
bn
bn
|am − lbm |
+
<
|bn |
|am − lbm |
<
+
|bn |

an − am
bn − bm
−l
bn − bm
bn
|bn |

an − am
−l .
bn − bm
|bn − bm |
ε
ε ε
< + = ε, ∀n ≥ m.
2 2 2

Định lý được chứng minh.
Nhận xét 1.2.17. Cho {bn } là dãy đơn điệu tăng và khơng bị chặn trên.
Khi đó, ta dễ dàng chứng minh được các điều kiện (i) và (ii) trong Định
lý 1.2.16 được thỏa mãn. Mặt khác, dãy {−bn } đơn điệu giảm, bị chặn
trên và cũng thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) trong Định lý 1.2.16. Do
đó định lý trên là một mở rộng thực sự của Định lý 1.2.1.
Chúng ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.2.18. Nếu {an }và {bn } là hai dãy số thực thỏa mãn
i. {|bn |} tăng ngặt và không bị chặn;
ii.

|bn+1 − bn |
|bn+1 | − |bn |

bị chặn;

an+1 − an
= l ∈ R,
n→∞ bn+1 − bn
an
= l.

thì lim
n→∞ bn
|bn+1 − bn |
Chứng minh. Giả sử dãy
|bn+1 | − |bn |
iii. lim

bị chặn bởi M , nghĩa là

|bk+1 − bk |
≤ M, ∀k ∈ N∗ .
|bk+1 | − |bk |
Điều này cùng với (i) suy ra

|bk+1 − bk | ≤ M (|bk+1 | − |bk |), ∀k ∈ N∗ .


20

Áp dụng bất đẳng thức này với k = 1, 2, ..., n ta có

|b2 − b1 | ≤ M (|b2 | − |b1 |),
|b3 − b2 | ≤ M (|b3 | − |b2 |),
............................................
|bn+1 − bn | ≤ M (|bn+1 | − |bn |).
Cộng các bất đẳng thức trên ta thu được
n

|bk+1 − bk | ≤ M (|bn+1 | − |b1 |) ≤ M |bn+1 |.
k=1

Suy ra

n

1
|bn+1 |

|bk+1 − bk | ≤ M,
k=1

và do đó điều kiện (ii) trong Định lý 1.2.16 thỏa mãn. Điều kiện (i) trong
Định lý 1.2.16 hiển nhiên đúng. Hệ quả được chứng minh.
Mở rộng Định lý 1.2.7 S. Puspană thu được kết quả sau.
Định lý 1.2.19. Nếu {an }và {bn } là hai dãy số thực thỏa mãn:
i. lim an = lim bn = 0;
n→∞

ii.

1
|bn |

n→∞

n−1

|bi+1 − bi |

bị chặn;

i=1

an+1 − an
= l ∈ R,
n→∞ bn+1 − bn
an
thì lim
= l.
n→∞ bn
iii. lim

Chứng minh. Nếu ε > 0 và M là cận trên của dãy ở (ii), thì tồn tại

m ∈ N sao cho ∀n ≥ m ta có
an+1 − an
ε
−l < .
bn+1 − bn
M


21

Điều này tương đương với

|an+1 − an − l(bn+1 − bn )| <

ε
|bn+1 − bn |,

M

suy ra

ε
|an+1 − an − l(bn+1 − bn )| <
M

n+p−1

|bi+1 − bi | < ε|bn+p |, ∀n ≥ m, p ≥ 1.
i=n

Nhưng với n ∈ N bất kì, có một dãy số tự nhiên tăng ngặt {p(k)} sao
cho |bn+p(k) | ≤ |bn |, ∀k ≥ 1, vì thế ta có thể giả sử rằng

|bn+p | ≤ |bn |, ∀n ≥ m, p ≥ 1.
Do đó ta có

|an+p − an − l(bn+p − bn )| < ε|bn |, ∀n ≥ m, p ≥ 1.
Cho p → ∞ trong bất đẳng thức trên ta được
an
|an − lbn | < ε|bn | ⇔
− l < ε, ∀n ≥ m,
bn
an
= l. Định lý được chứng minh.
tương đương với lim
n→∞ bn
Nhận xét 1.2.20. Cho {bn } là dãy đơn điệu giảm thỏa mãn lim bn . Khi

n→∞

đó, ta dễ dàng chứng minh được điều kiện (ii) trong Định lý 1.2.16 được
thỏa mãn. Mặt khác, dãy {−bn } đơn điệu tăng thỏa mãn lim (−bn ) = 0
n→∞

và cũng thỏa mãn điều kiện (ii) trong Định lý 1.2.16. Điều này cho ta
thấy Định lý 1.2.16 là một mở rộng thực sự của Định lý 1.2.1.
Chúng ta dễ dàng chứng minh được hệ quả sau.
Hệ quả 1.2.21. Nếu {an }và {bn } là hai dãy số thực thỏa mãn:
i. lim an = lim bn = 0;
n→∞

n→∞

ii. {|bn |} giảm ngặt;

|bn+1 − bn |
bị chặn;
|bn+1 | − |bn |
an+1 − an
= l ∈ R,
iv. lim
n→∞ bn+1 − bn
an
thì lim
= l.
n→∞ bn
iii.

22

1.2.3

Một số dạng mới của định lý Stolz-Cesàro

Phần này, chúng tơi trình bày một số dạng mới của định lý StolzCesàro được đưa ra bởi Cristinel Mortici trong [8]. Cristinel Mortici quan
tâm tới sự tồn tại và giá trị của giới hạn

an+1 − an an
−
.
bn+1 − bn
bn

lim

n→∞

(1.17)

an
an+1 − an
và lim
tồn tại
n→∞ bn
n→∞ bn+1 − bn
và hữu hạn thì tồn tại giới hạn (1.17). Đặc biệt hơn, khi các giả thiết
an+1 − an

của định lý Stolz-Cesàro được thỏa mãn và các giới hạn lim
,
n→∞ bn+1 − bn
an
lim
hữu hạn thì giới hạn (1.17) bằng 0. Tuy nhiên điều ngược lại thì
n→∞ bn
chưa chắc đúng, nghĩa là tồn tại giới hạn (1.17) thì chưa chắc tồn tại
an
an+1 − an
và lim
. Để chỉ ra, chúng ta xét hai dãy
các giới hạn lim
n→∞ bn
n→∞ bn+1 − bn
số {an } và {bn } với an = 2n λn , bn = 2n , trong đó dãy {λn } được định
Chúng ta thấy rằng khi các giới hạn lim

nghĩa bởi

1
1
2
1
2
3
1
1
2
3

4
1, 1+ , 2, 2− , 2− , 1+ , 1+ , 1+ , 2, 2− , 2− , 2− , 2− , 2− , ···
2
3
3
4
4
4
5
5
5
5
5
Chúng ta có

an+1 − an an
lim
−
n→∞ bn+1 − bn
bn

2n+1 λn+1 − 2n λn
= lim
− λn
n→∞
2n
= lim (λn+1 − λn ) = 0.
n→+∞

an

= lim λn là không tồn tại.
n→∞ bn
n→+∞

Mặt khác lim

Định lý 1.2.22. Cho hai dãy số thực {an } và {bn }, {bn } là dãy số dương,
tăng ngặt và không bị chặn trên. Nếu tồn tại giới hạn

lim

n→∞

an+1 − an an
−
= 0,
bn+1 − bn
bn

thì chúng ta có

lim

n→∞

an+1 an
−
= 0.
bn+1
bn