Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình Maxwell trong lý thuyết tán xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Tú

SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM
CHO PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL
TRONG LÝ THUYẾT TÁN XẠ
Chuyên ngành: Tốn giải tích
Mã số: 846 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2020


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tơi thực hiện dưới sự hướng dẫn
khoa học của TS. Nguyễn Thành Nhân. Các nội dung nghiên cứu và kết quả
tham khảo trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong mục Tài liệu
tham khảo.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 05 năm 2020
Học viên

Nguyễn Thanh Tú


Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy TS. Nguyễn
Thành Nhân, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ để tơi có thể hồn thành
luận văn này. Tơi xin cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc
và góp ý giúp cho luận văn được hồn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn quý
thầy cô Khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh
đã truyền đạt cho tơi những kiến thức quý báu trong suốt những năm học vừa
qua, tạo cho tôi một nền tảng vững chắc để thực hiện luận văn. Cuối cùng, tôi
cũng gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể lớp Tốn giải tích K28 đã hết
lòng ủng hộ và động viên, giúp đỡ tơi trong q trình học tập cũng như trong
q trình thực hiện luận văn này. Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên luận văn
cịn nhiều hạn chế và khơng tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tơi rất mong nhận
được sự đóng góp ý kiến của q thầy cơ và các bạn để luận văn được hoàn
thiện hơn. Xin chân thành cám ơn.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 05 năm 2020
Học viên

Nguyễn Thanh Tú


Một số kí hiệu
R

Tập số thực.

C

Tập số phức.

Re a

Phần thực của a.

Im a

Phần ảo của a.

Ω

Miền bị chặn.

Γ, ∂Ω

Biên của miền Ω.

E

Cường độ điện trường.

Ei

Sóng tới của trường điện.

Es

Sóng tán xạ của trường điện.

H

Cường độ từ trường.

Hi

Sóng tới của trường từ.

Hs

Sóng tán xạ của trường từ.

F+

Giới hạn từ bên ngồi cho trường vectơ hoặc hàm F .

F−

Giới hạn từ bên trong cho trườngvectơ hoặc hàm F .

ε

Hằng số điện môi của mơi trường.

µ

Hằng số từ mơi của mơi trường.

β

Tính chiral của mơi trường.

∇·, div

Tốn tử divergence. Trong tọa độ Descartes,
∇·a=

∂ax ∂ay ∂az
+
+
.
∂x
∂y
∂z

∇×, curl, rot Tốn tử vectơ mơ tả độ xoáy của trường vectơ. Trong tọa

độ Descartes, với i, j , k là vectơ đơn vị của các trục x, y, z,
curl a =

∂az ∂ay
−
∂y
∂z

i+

∂ax ∂az
−
∂z
∂x

j+

∂ay ∂ax
−
∂x
∂y

k.


ν

(= ν(x)) Vectơ pháp tuyến đơn vị tại x ∈ Γ hướng ra ngồi miền Ω.

k

Số sóng (mang giá trị thực).

κ

Số sóng (mang giá trị phức). κ sẽ có các giá trị k hoặc ik.

Π

Tập hợp các số sóng phức
Π := {κ ∈ C : κ = 0, Re κ ≥ 0, Im κ ≥ 0}.

Φκ

Nghiệm cơ bản.

u

Trường sóng tán xạ.

∆u

Tốn tử Laplace của u.

∇

Tốn tử Gradient.

L2 (D)

Các hàm có giá trị vô hướng theo cách thông thường, được trang
bị chuẩn u

L2 (D)

:=

|u(x)|2 dx
D

1
2

,

với D ⊂ R3 là tập con đo được bất kì có độ đo dương.
C0∞

Khơng gian các hàm trơn có giá compact.

ε0

Độ điện thẩm chân khơng.

µ0

Độ từ thẩm chân khơng.

ρ

Mật độ điện tích.

J

Mật độ dịng điện.

c

Vận tốc ánh sáng.

ω

Tần số góc.

F

Tốn tử trường sóng xa.

QL , QR

Các trường Beltrami.
QL := E + iH và QR := E − iH .

E∞

Phổ điện trường của trường sóng xa.

H∞

Phổ từ trường của trường sóng xa.

S2

Hình cầu đơn vị.

m
pm
n , qn

Các hệ số Fourier.


Mục lục
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Một số kí hiệu
MỞ ĐẦU

1

1 Phương trình tích phân Lippmann-Schwinger

3

1.1

1.2

1.3

Bài tốn từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Giới thiệu bài toán từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Công thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Bài toán điện trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Giới thiệu bài toán điện trường . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Công thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Phương trình vi tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

19

2.1

Chứng minh sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2

Chứng minh tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Biểu diễn nghiệm qua chuỗi các hàm cầu điều hịa

3.1

32

Phương trình Maxwell trong hệ vectơ cầu điều hịa . . . . . . . . . 33
3.1.1

Phổ trường sóng xa và tốn tử trường sóng xa . . . . . . . 33

3.1.2

Vectơ hàm cầu điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


3.2

3.1.3

Phương trình Maxwell trên miền achiral . . . . . . . . . . . 41

3.1.4

Bài toán truyền sóng trong quả cầu chiral . . . . . . . . . . 44

Tốn tử trường sóng xa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1

Chuỗi khai triển của sóng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.2

Trường hợp achiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.3

Trường hợp chiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Kết luận

56

Tài liệu tham khảo

57


MỞ ĐẦU
Phương trình Maxwell là một trong những phương trình có nhiều ứng dụng
trong Vật lý, đặc biệt là trong lý thuyết tán xạ điện từ. Phương trình này nhận
được khá nhiều sự quan tâm của các nhà Toán học. Cho đến nay, nhiều bài
tốn xung quanh phương trình này vẫn là các vấn đề mở. Các nghiên cứu về
phương trình này liên quan đến sự tồn tại và duy nhất nghiệm, các tính chất
nghiệm, các phương pháp giải tích và phương pháp số để giải phương trình. Một
trong những kết quả hữu ích gần đây là chứng minh sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của phương trình Maxwell bằng cách đưa về phương trình tích phân
Lippmann-Schwinger. Từ đó, thay cho việc nghiên cứu phương trình Maxwell,
các nhà tốn học tập trung vào phương trình tích phân Lippmann-Schwinger.
Nghiên cứu về phương trình tích phân này có một số thuận lợi nhất định.
Luận văn tập trung tìm hiểu việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của phương trình Maxwell tổng qt bằng cách khảo sát phương trình tích phân

Lippmann-Schwinger, dựa trên các tài liệu tham khảo chính [6], [8], [10], [11],
[15], [16]. Bên cạnh đó, tác giả trình bày lại biểu diễn nghiệm của phương trình
Maxwell thơng qua chuỗi các hàm cầu điều hòa trong cả trường hợp achiral và
chiral. Các biểu diễn này sẽ mang lại giá trị cho người nghiên cứu về phương
pháp số giải phương trình Maxwell.
Nội dung chính của luận văn được trình bày thành 3 chương:
• Trong Chương 1, đầu tiên tác giả giới thiệu một số ký hiệu và kiến thức

cơ bản về phương trình Maxwell trong lý thuyết tán xạ điện từ, đồng thời
mơ tả hai bài tốn tương ứng với q trình truyền sóng điện trường và
sóng từ trường. Các lớp cơng thức biến phân tương ứng với hai bài tốn
1


2

này cũng được đưa ra ngay sau đó. Tiếp theo, tác giả trình bày kết quả
về sự tương đương của các dạng biến phân với phương trình tích phân
Lippmann-Schwinger.
• Ở Chương 2, tác giả trình bày các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

của phương trình tích phân Lippmann-Schwinger, từ đó thu được sự tồn
tại và duy nhất nghiệm của bài tốn ban đầu.
• Chương 3 của luận văn tập trung xây dựng công thức biểu diễn của các đại

lượng sóng tới, sóng tán xạ thơng qua chuỗi các hàm vectơ cầu điều hịa.
Cơng thức khai triển cụ thể trong trường hợp sóng tới là sóng phẳng trong
cả trường hợp achiral và chiral được đưa ra trong phần cuối cùng của luận
văn.

Chương 1
Phương trình tích phân
Lippmann-Schwinger
1.1

Bài tốn từ trường

1.1.1

Giới thiệu bài tốn từ trường

Trong luận văn này, chúng tơi khảo sát hệ phương trình Maxwell có dạng
như sau:
curl H = −ikε(E + βcurl E),

(1.1)

curl E = ikµ(H + βcurl H),

(1.2)

E s, H s

ε = µ = 1, β = 0

E i, H i

Ω
ε(x), µ(x), β(x)

Xây dựng bài tốn thuận.
trong miền Rn \ Γ, trong đó Γ ∈ C 2 là biên của miền bị chặn Ω ⊂ R3 , k > 0 là
số sóng, các hàm ε, µ, β ∈ C 1 (R3 \ Γ) lần lượt đặc trưng cho hằng số điện mơi,
hằng số từ mơi và tính chiral của môi trường. Lưu ý rằng các đại lượng này
là các hàm phức khơng phụ thuộc thời gian và sẽ có giá trị là hằng số khi các
vật liệu là đồng nhất. Môi trường được gọi là achiral trong trường hợp β = 0,
3


4

và ngược lại gọi là môi trường chiral. Các đại lượng E và H là nghiệm của hệ
phương trình, lần lượt đặc trưng cho sóng điện trường và sóng từ trường.
Q trình tán xạ sóng điện trường và sóng từ trường xảy ra khi sóng tới
được truyền qua một vật, giả sử được đặt trong môi trường chân không, nghĩa
là ε = µ = 1 và β = 0 nằm bên ngoài miền Ω. Giả sử ε = 0 và µ = 0, đặt qµ := µ−1
và qε := 1 − ε−1 . Các đại lượng sóng tới và sóng tán xạ của trường điện và trường
từ lần lượt được ký hiệu là E i , H i , E s , H s . Khi đó sóng tồn phần E , H chính
là sóng tổng hợp của sóng tới và sóng tán xạ, tức là
E = E i + E s và H = H i + H s .

Bằng cách thay trường điện E trong (1.1) vào trường từ H trong (1.2), ta
thu được phương trình sau
1
− k 2 µβ 2 curl H − k 2 [curl (µβH) + µβ curl H] − k 2 µH = 0,
ε

curl

(1.3)

trong miền Rn \ Γ. Theo định nghĩa của các hàm tham số ε, µ và β , phương trình
trên biểu thị các phương trình Maxwell dạng achiral bên ngồi Ω và các phương
trình dạng chiral bên trong Ω. Khi đó trường sóng tới H i thỏa mãn phương trình
Maxwell trong chân không, nghĩa là
curl2 H i − k 2 H i = 0, trong R3 .

(1.4)

Phân tích sóng tổng hợp trong (1.3) thành sóng tới H i và sóng tán xạ H s , ta
được
curl2 H i − k 2 H i − curl

1
− k 2 µβ 2 curl(H i + H s )
ε

+ k 2 curl µβ(H i + H s ) + µβ curl(H i + H s ) + k 2 µ(H i + H s ) = 0.

Rút gọn biểu thức trên và sử dụng 1.4, ta nhận được
curl

1
− k 2 µβ 2 curl H s − k 2 [curl (µβH s ) + µβ curl H s ] − k 2 µH s
ε
= curl

qε + k 2 µβ 2 curl H i + k 2 curl µβH i + µβ curl H i + k 2 qµ H i , (1.5)

trong miền R3 \ Γ với qµ = µ − 1 và qε = 1 − ε−1 .


5

Tiếp theo ta xác định các điều kiện truyền sóng. Kí hiệu ν = ν(x) là vectơ
pháp tuyến đơn vị tại x ∈ Γ = ∂Ω hướng ra ngoài miền Ω. Trong phần tiếp theo,
tất cả các phương trình liên quan đến vectơ tiếp tuyến được phát biểu trên Γ.
Ta ký hiệu F+ và F− lần lượt là giới hạn từ bên ngoài và bên trong cho trường
vectơ hoặc hàm F .
Các thành phần tiếp tuyến của E và H liên tục trên các mặt phân cách,
nghĩa là
ν × H+ = ν × H−

ν × E+ = ν × E−

và

trên Γ.

(1.6)

Điều này dẫn đến các điều kiện truyền sóng trên biên Γ của Ω. Ví dụ tiếp
theo minh họa việc xác định các điều kiện truyền sóng.
Ví dụ 1.1. (Điều kiện truyền sóng trong trường hợp achiral)
Trong mơi trường khơng từ tính achiral (β = 0, µ = 0) các phương trình
Maxwell (1.1), (1.2) có dạng
curl H = −ikεE

và

trong R3 \ Γ.

curl E = ikH

Giả sử cho ε như trên, nghĩa là ε = 1 trong R3 \ Ω. Ta có thể viết các điều
kiện liên tục (1.6) theo H dưới dạng các phương trình Maxwell như sau
E− = −

1
curl H−
ikε−

và

E+ = −

1
curl H+
ik

Khi đó
ν × H+ = ν × H−

và

ν × curl H+ =

1
ν × curl H− .

ε−

Đây là các điều kiện truyền sóng cho trường sóng tổng hợp. Do đó điều kiện
truyền cho trường sóng tán xạ H s = H − H i được suy ra từ phép trừ của trường
sóng tổng hợp cho điều kiện
i
i
= ν × H−
ν × H+

và

i
i
ν × curl H i = ν × curl H+
= ν × curl H−

ta được
s
s
= ν × H−
ν × H+

và

1
s
s
ν × curl H−
− ν × curl H+

=ν×
ε−

1−

1
ε−

curl H.i


6

Bây giờ, ta sẽ xác định các điều kiện truyền sóng cho trường hợp chiral. Các
giới hạn của E xuất hiện trong điều kiện liên tục (1.6) có thể được biểu diễn
bằng H theo các phương trình chiral (1.1) và (1.2). Các điều kiện miền bên
ngồi, ta có β = 0 và ε = 1. Từ đó ta suy ra
E+ =

i
curl H+
k

và

E− = i

1
− kµβ 2
kε

−

curl H− − ik(µβ)− H−

và điều kiện truyền tương ứng là
ν × H+ = ν × H− và ν × curl H+ = ν ×

1
− k 2 à 2




curl H ì k 2 (à) H

hay
ì H+ = ì H v × curl H+ =

1
− k 2 µβ 2
ε

−

ν × curl H k 2 (à) ì H .

Bng phộp trừ ta có được các điều kiện truyền theo trường sóng tán xạ
H s = H − H i:
s

s
ν × H+
= ì H

v
1
k 2 à 2




s
s
s
ì curl H
k 2 (à) ì H
ì curl H+

= (q + k 2 à 2 ) ì curl H i + k 2 (à) ì H i . (1.7)

Các cơng thức này có vẻ khá phức tạp. Nhưng để phát triển các công thức biến
phân ta sẽ sử dụng những biểu thức này, chúng xuất hiện trong các tích phân
trên biên khi ta thực hiện tích phân từng phần.

1.1.2

Công thức biến phân

Giả sử rằng

1
1
, ε|Ω ,
, µ|Ω , β|Ω ∈ L∞ (Ω). Về ý tưởng, ta sẽ nhân phương
ε|Ω
µ|Ω

trình (1.5) với hàm thử và sử dụng tích phân từng phần ta suy ra cơng thức


7

biến phân cho H s . Đặt:
M s :=

1
− k 2 µβ 2 curl H s − k 2 µβH s ,
ε

ms := k 2 µβ curl H s + k 2 µH s ,
M i := (qε + k 2 µβ 2 ) curl H i + k 2 µβH i ,
mi := k 2 qµ H i + k 2 µβ curl H i .

Lưu ý rằng M i và mi bị triệt tiêu trong R3 \ Ω. Khi đó điều kiện truyền (1.7)
chỉ cịn
ν × M−s − ν × M+s = ν × M−i

trên Γ

và phương trình tán xạ (1.5) là

curl M s − ms = curl M i + mi .

Trên cả hai vế của phương trình này, ta hình thành tích vơ hướng với hàm
thử ψ ∈ C0∞ (B, C3 ) cho quả cầu B ⊃ Ω bất kỳ. Khi đó tích phân trên B là
curl M s · ψ − ms · ψ dx =

curl M i · ψ + mi · ψ dx.

B

Ω

Ta chia miền lấy tích phân của biểu thức bên trái thành B \ Ω và Ω, và áp
dụng định lý Green dưới dạng
curl v · w − v · curl w dx =
D

ν · (v × w) ds =
∂D

(ν × v) · w ds
∂D

với lần lượt D = B \ Ω và D = Ω. Khi đó, ta có
M s · curl ψ − ms · ψ dx +

M s · curl ψ − ms · ψ dx
Ω

B\Ω

(ν × M+s ) · ψ ds +

−
Γ

(ν × M−s ) · ψ ds
Γ

M i · curl ψ − mi · ψ dx +

=
Ω

(ν × M i ) · ψ ds.
Γ

Các tích phân trên biên bị triệt tiêu do điều kiện truyền sóng. Tức là
M s · curl ψ − ms · ψ dx =
R3

M i · curl ψ − mi · ψ dx
Ω


8

với mọi hàm thử ψ có giá compact. Thay các biểu thức cho M s , ms , M i và mi ta
có dạng biến phân của phương trình tán xạ:

R3

1
− k 2 µβ 2 curl H s · curl ψ − k 2 µH s · ψ dx
ε
− k2

µβ [H s · curl ψ + curl H s · ψ] dx
Ω

(qε + k 2 µβ 2 ) curl H i · curl ψ + k 2 qµ H i · ψ dx

=
Ω

+ k2

µβ H i · curl ψ + curl H i · ψ dx (1.8)
Ω

với mọi ψ có giá compact. Ta xác định các không gian hàm cho H s , H i và ψ sau
khi hình thành điều kiện truyền sóng yếu tương ứng.

1.2
1.2.1

Bài tốn điện trường
Giới thiệu bài tốn điện trường

Ta có thể thấy rằng các phương trình bậc hai cho E và H là giống nhau

khi ta đổi chỗ ε và µ. Tương tự như trường hợp từ trường, ta có thể xây dựng
bài tốn truyền sóng cho trường điện. Ta tóm tắt đưa ra kết quả. Một lần nữa
trường sóng tới E i là một nghiệm giải tích cho các phương trình Maxwell trong
chân không
curl2 E i − k 2 E i = 0

trong R3

và phương trình cho trường sóng tán xạ E s = E − E i là
curl

1
− k 2 εβ 2
µ
= curl

curl E s − k 2 [curl (εβE s ) + εβ curl E s ] − k 2 εE s
pµ + k 2 εβ 2 curl E i + k 2 curl εβE i + εβ curl E i + k 2 pε E i
1
µ

trong R3 \ Γ với pε := ε − 1 và pµ = 1 − . Điều kiện truyền là
s
s
ν × E+
= ν × E−


9

v
1
k 2 2
à

s
s
s
ì curl E
k 2 () ì E
ì curl E+


= (pà + k 2 εβ 2 )− ν × curl E i + k 2 (εβ)− ν × E i

trên Γ. Nhắc lại rằng kí hiệu ν là vectơ pháp tuyến đơn vị trên Γ hướng ra bên
ngồi miền Ω.

1.2.2

Cơng thức biến phân

Tương tự bài toán từ trường, ta cũng giả sử rằng

1
1
, ε|Ω ,
, µ|Ω , β|Ω ∈
ε|Ω
µ|Ω

L∞ (Ω). Một lần nữa, ta có thể thu được cơng thức biến phân của phương trình

tán xạ bằng cách nhân với hàm thử và tích phân từng phần,

R3

1
− k 2 εβ 2
µ

curl E s · curl ψ − k 2 εE s · ψ dx
− k2

εβ [E s · curl ψ + curl E s · ψ] dx
Ω

(pµ + k 2 εβ 2 ) curl E i · curl ψ + k 2 pε E i · ψ dx

=
Ω

+ k2

εβ E i · curl ψ + curl E i · ψ dx (1.9)
Ω

với mọi ψ có giá compact. Ta đã trình bày hai phương trình biến phân cho
bài tốn tán xạ. Ta phải xác định không gian để giải chúng. Định nghĩa đầu
tiên dưới đây giải thích ý nghĩa của tốn tử curl yếu trong bài toán này. Định

nghĩa thứ hai đưa ra khái niệm về tính chất hướng ngoại của nghiệm (outgoing
solutions).
Như trong [14], với bất kỳ tập con đo được D ⊂ R3 với độ đo dương, không
gian hàm L2 (D) được xác định cho các hàm có giá trị vơ hướng theo cách thông
thường, được trang bị chuẩn
1
2

u

L2 (D)

|u(x)|2 dx

:=

.

D

Ở đây và trên toàn luận văn, ký hiệu | · | là giá trị tuyệt đối tương ứng với đại
lượng vô hướng và | · | là chuẩn Euclid tương ứng với đại lượng vectơ.


10

Định nghĩa 1.2. ([11])(Curl yếu)
Cho D ⊂ R3 là miền bị chặn.
(a) L2 (D, C3 ) := v = (v1 , v2 , v3 )T vj ∈ L2 (D), j = 1, 2, 3 .
(b) Với v ∈ L2 (D, C3 ), ta nói v ∈ H(curl, D) nếu tồn tại hàm w ∈ L2 (D, C3 ) sao

cho
w · ψ − v · curl ψ dx = 0,

với mọi ψ ∈ C0∞ (D, C3 ).

D

Khi đó, ta ký hiệu curl v := w, được gọi là curl yếu của v .
(c) Hloc (curl, R3 ) := {v : R3 → C3 ∀B ⊂ R3 : v|B ∈ H(curl, B)}, trong đó B ký
hiệu quả cầu trong R3 .
(d) Khơng gian hàm thử:
Hc (curl, R3 ) := ψ : R3 → C3 | ∃B ⊂ R3 : supp ψ ⊂ B, ψ|B ∈ H(curl, B) .

Định nghĩa 1.3. ([11]) (Nghiệm Radiating (Radiating solution))
Một nghiệm (E s , H s ) cho các phương trình Maxwell trong R3 \ Ω được gọi là
RADIATING nếu nó thỏa mãn một trong các điều kin bc x Silver Măuller
E s (x) ì x + H s (x) = O(|x|−2 )

khi |x| → ∞

H s (x) × xˆ − E s (x) = O(|x|−2 )

khi |x| → ∞

(1.10)

hoặc

đều theo biến xˆ = x/|x|, với x ∈ R3 .
Ở đây | · | là chuẩn Euclid. Vì ta sẽ làm việc với một trong các trường nên ta

đưa ra các biểu thức tương đương bằng cách sử dụng trường và curl của nó.
Mệnh đề 1.4. ([11]) Một nghiệm U cho các phương trình Maxwell có dạng
curl2 U − k 2 U = 0

được gọi là radiating nếu và chỉ nếu U thỏa mãn một trong hai điều kiện:
curl U × xˆ − ikU = O(|x|−2 )

khi |x| → ∞


11

hoặc
ikU × xˆ + curl U = O(|x|−2 )

khi |x| → ∞

đều theo biến xˆ = x/|x| trong đó x ∈ R3 .
Để chứng minh, ta nhân (1.10) với −ik và dùng curl H s = −ikE s . Điều này
cho ta điều kiện đầu tiên của mệnh đề. Tương tự với điều kiện thứ hai (nhân
điều kiện thứ hai trong định nghĩa với ik và dùng curl H s = −ikE s ).
Trong các phần tiếp theo, ta khảo sát sự tồn tại nghiệm của phương trình,
được tập trung vào một trong hai công thức - cụ thể là công thức cho H . Nhưng
đối với kết quả duy nhất và các phần chuẩn bị cho phương pháp Nhân tử hóa,
ta sẽ làm việc với cả điện trường và từ trường và nói về một nghiệm (E s , H s )
cho bài tốn truyền sóng. Bổ đề tiếp theo chỉ ra rằng với một nghiệm H s trong
bài tốn truyền sóng từ trường cho trước, ta có thể xác định trường điện tương
ứng và ngược lại.
Bổ đề 1.5. ([11]) (Sự tương đương của công thức biến phân)
Hai công thức biến phân là tương đương nhau theo nghĩa sau.

(a) Cho H i là trường sóng tới. Nếu H s ∈ Hloc (curl, R3 ) là một nghiệm radiating
của phương trình (1.8) với mọi ψ ∈ Hc (curl, R3 ) thì E s ∈ Hloc (curl, R3 ) được
xác định bởi
−ikE s :=

1
− k 2 µβ 2 curl H s −k 2 µβH s −(qε +k 2 µβ 2 ) curl H i −k 2 µβH i (1.11)
ε

là một nghiệm radiating của (1.9) với mọi ψ ∈ Hc (curl, R3 ) với
− ikE i := curl H i .

(1.12)

(b) Cho E i là trường sóng tới. Nếu E s ∈ Hloc (curl, R3 ) là một nghiệm radiating
của phương trình (1.9) với mọi ψ ∈ Hc (curl, R3 ) thì H s ∈ Hloc (curl, R3 ) được
xác định bởi
ikH s :=

1
− k 2 εβ 2
µ

curl E s − k 2 εβE s − (pµ + k 2 εβ 2 ) curl E i − k 2 εβE i

là một nghiệm radiating của (1.8) với mọi ψ ∈ Hc (curl, R3 ) với
ikH i := curl E i .


12

Chứng minh.
(a) Theo định nghĩa của E s phương trình (1.8) chỉ ra rằng curl E s tồn tại địa
phương theo nghĩa yếu và
− ik curl E s = k 2 µ(β curl H s + H s ) + k 2 µβ curl H i + k 2 qµ H i

(1.13)

theo nghĩa yếu. Với mọi x ∈
/ Ω ta có −ikE s = curl H s và
−ik curl E s = k 2 H s ⇔ curl E s = ikH s .

Theo Mệnh đề 1.4, ta dễ dàng kiểm tra được với H s cũng như E s là radiating.
Sử dụng các trường sóng tổng hợp H = H s + H i và E = E s + E i , phương trình
(1.11) - (1.13) cho ta






E
=
− ik 
curl E

1−k2 εµβ 2
 ε

−k 2 µβ

k 2 µβ

k2µ




curl H



H

.

(1.14)

Định thức của ma trận hệ số là
µ
µ
det = k 2 (1 − k 2 εµβ 2 ) + k 4 µ2 β 2 = k 2 ∈ L∞ (Ω)
ε
ε

và ma trân nghịch đảo được đưa ra bởi



ε



−εβ

εβ
2

1−k εµβ
k2 µ

2

= 1 
k2

k2ε

k 2 εβ

−k 2 εβ

1−k2 εµβ 2
µ


.

Ta nhân phương trình (1.14) với ma trận nghịch đảo:





curl H



H

k2ε

k 2 εβ

−k 2 εβ

2

 = −i 
k

1−k εµβ
µ


E

2



curl E

.

Đưa vào định nghĩa của curl yếu, ta được
H · curl ψ − curl H · ψ dx = 0

với mọi ψ ∈ C0∞ (R3 , C3 ),

R3

và sử dụng lại E = E s + E i với curl2 E i − k 2 E i = 0 cho ta phương trình (1.9).
Chứng minh tương tự cho mệnh đề (b).
Chúng ta kết thúc phần này với một cơng thức chính xác của bài tốn truyền
sóng từ trường mà ta muốn giải. Đây là sự mở rộng của bài tốn truyền sóng từ
trường (1.8) ở hai phương diện:


13
• Trong đạo hàm của cơng thức biến phân, ta thấy sự hỗ trợ ở vế phải của

phương trình tán xạ chứa trong Ω. Ta có thể hiểu đây là một dữ liệu đầu
vào và cho phép các dữ liệu đầu vào tổng qt hơn (g, h).
• Số sóng (thực) k 2 = ω 2 ε0 µ0 > 0 xuất hiện trong một vài số hạng của phương

trình (1.8). Khi phân tích bài tốn truyền sóng trong các phần sau, ta phải
cho phép các giá trị phức tại một số vị trí. Đó là lý do tại sao ta giới thiệu
tham số có giá trị phức κ thay thế số sóng khi cần thiết. (κ sẽ có các giá
trị k hoặc ik.)
Kí hiệu Π := {κ ∈ C : κ = 0, Re κ ≥ 0, Im κ ≥ 0}.

Giả thiết 1.6. ([11]) (Các tham số vật liệu)
Cho Ω ⊂ R3 là miền Lipschitz bị chặn. Ta thừa nhận các hằng số điện môi
phức ε và hằng số từ môi phức µ nhưng giả sử tính chiral β nhận giá trị thực.
1
ε

Chính xác hơn, , µ ∈ L∞ (R3 , C) và β ∈ L∞ (R3 , R) sao cho ε = 1, µ = 1 và β = 0
trong R3 \ Ω.
Bài tốn 1. ([11]) (Bài tốn truyền sóng từ yếu)
Cho k > 0 và κ ∈ Π. Cho trước dữ liệu g, h ∈ L2 (Ω, C3 ). Với giả thiết 1.6, xác
định v ∈ Hloc (curl, R3 ) sao cho v là radiating và thỏa mãn

R3

1
− k 2 µβ 2 curl v · curl ψ − κ2 µv · ψ dx
ε
µβ k 2 v · curl ψ + κ2 curl v · ψ dx

−
Ω

κ2 g · ψ + h · curl ψ dx (1.15)

=
Ω

với mọi ψ ∈ Hc (curl, R3 ).
Thêm nữa, ta phát biểu bài toán truyền sóng điện yếu. Trong trường hợp
này ta khơng cần tổng qt hóa bài tốn cho các số sóng phức.

Giả thiết 1.7. ([11]) (Các tham số vật liệu)
Cho Ω ⊂ R3 là miền Lipschitz bị chặn. Ta thừa nhận các hằng số điện môi
phức ε và hằng số từ môi phức µ nhưng giả sử tính chiral β nhận giá trị thực.


14

Chính xác hơn, ε,

1
∈ L∞ (R3 , C) và β ∈ L∞ (R3 , R) sao cho ε = 1, µ = 1 và β = 0
µ

trong R3 \ Ω.
Bài tốn 2. ([11]) (Bài tốn truyền sóng điện yếu)
Cho k > 0 và κ ∈ Π. Cho trước dữ liệu g, h ∈ L2 (Ω, C3 ). Với giả thiết 1.7, xác
định v ∈ Hloc (curl, R3 ) sao cho v là radiating và thỏa mãn
1
− k 2 εβ 2
µ

R3

curl v · curl ψ − k 2 εv · ψ dx
− k2

εβ [v · curl ψ + curl v · ψ] dx
Ω

k 2 g · ψ + h · curl ψ dx (1.16)

=
Ω

với mọi ψ ∈ Hc (curl, R3 )

1.3

Phương trình vi tích phân

Người ta sử dụng phương trình vi tích phân để đưa ra một cơng thức thay
thế cho bài tốn truyền sóng tổng qt ở trên. Mục đích là áp dụng lý thuyết
Fredholm. Vì lý do đó ta giới thiệu các thế vị vectơ nhất định, để dẫn đến
phương trình vi tích phân và chứng minh sự tương đương.
Nghiệm cơ bản cho phương trình vơ hướng Helmholtz đóng một vai trị quan
trọng. Nó sẽ là hàm hạt nhân cho các thế vị vectơ của chúng ta.
Định nghĩa 1.8. ([11]) (Nghiệm cơ bản)
Với κ ∈ Π nghiệm cơ bản Φκ của phương trình vơ hướng Helmholtz trong R3
∆u + κ2 u = 0

được xác định bởi
Φκ (x, y) :=

exp(iκ|x − y|)
,
4π|x − y|

x = y.

Bổ đề tiếp theo cung cấp các thế vị vectơ cơ bản để giải các phương trình

Maxwell.


15

Bổ đề 1.9. ([11])
Cho κ ∈ Π.
(a) Với f ∈ L2 (Ω, C3 ), trường vectơ
u(x) = curl

x ∈ R3 ,

f (y)Φκ (x, y) dy,
Ω

xác định một hàm trong Hloc (curl, R3 ) thỏa mãn curl2 u − κ2 u = curl f theo
nghĩa biến phân; tức là,
curl u · curl ψ − κ2 u · ψ dx =
R3

f · curl ψ dx
Ω

với mọi ψ ∈ Hc (curl, R3 ). Hơn nữa u là radiating và thu hẹp u|Ω của u trên
Ω xác định toán tử bị chặn từ L2 (Ω, C3 ) vào H(curl, Ω).

(b) Với f ∈ L2 (Ω, C3 ), trường vectơ
u(x) = (κ2 + ∇ div)

x ∈ R3 ,

f (y)Φκ (x, y) dy,
Ω

xác định một hàm trong Hloc (curl, R3 ) thỏa mãn curl2 u−κ2 u = κ2 f theo nghĩa
biến phân; tức là,
curl u · curl ψ − κ2 u · ψ dx = κ2
R3

f · ψ dx
Ω

với mọi ψ ∈ Hc (curl, R3 ). Hơn nữa u là radiating và thu hẹp u|Ω của u trên
Ω xác định toán tử bị chặn từ L2 (Ω, C3 ) vào H(curl, Ω).

Ta sẽ đưa ra một phương trình vi tích phân từ bổ đề trên. Do đó, ta xây
dựng lại bài tốn truyền sóng (1.15) sao cho dạng biến phân của phương trình
Maxwell trên tồn khơng gian xuất hiện ở vế trái.
curl v · curl ψ − κ2 v · ψ dx
R3

= κ2

[qµ v + µβ curl v + g] · ψ dx
Ω

(qε + k 2 µβ 2 ) curl v + k 2 µβv + h · curl ψ dx

+
Ω

16

với mọi x ∈ Ω.
Ta nhận ra các phương trình từ bổ đề trước với lần lượt là
f = (qε + k 2 µβ 2 ) curl v + k 2 µβv + h

và f = qµ v + µβ curl v + g.

Lưu ý suppf ⊂ Ω trong cả hai trường hợp. Điều chỉnh các thế vị trong bổ đề
trước cho ta phương trình vi tích phân cho v .
v(x) = (κ2 + ∇ div)

[qµ v + µβ curl v + g] Φκ (x, ·) dy
Ω

(qε + k 2 µβ 2 ) curl v + k 2 µβv + h Φκ (x, ·) dy (1.17)

+ curl
Ω

với x ∈ Ω. Ta viết gọn
ϕ Φκ (x, ·) dy :=
Ω

ϕ(y)Φκ (x, y) dy.
Ω

Chúng ta phải chỉ ra rằng việc giải phương trình vi tích phân này tương

đương với giải bài tốn truyền sóng.
Định lý 1.10. ([11]) (Sự tương đương)
(a) Cho v ∈ Hloc (curl, R3 ) là một nghiệm radiating của (1.15). Khi đó v|Ω ∈
H(curl, Ω) là nghiệm của (1.17).

(b) Cho v ∈ H(curl, Ω) là một nghiệm của (1.17). Khi đó v có thể được thác triển
thành một nghiệm radiating của (1.15).
Chứng minh.
Trong chứng minh này, tất cả các phương trình vi phân từng phần phải được
hiểu theo nghĩa yếu.
(a) Định nghĩa v1 và v2 bởi
v1 (x) := (κ2 + ∇ div)

[qµ v + µβ curl v + g] Φκ (x, ·) dy,
Ω

(qε + k 2 µβ 2 ) curl v + k 2 µβv + h Φκ (x, ·) dy

v2 (x) := curl
Ω


17

với x ∈ R3 . Từ đó v ∈ Hloc (curl, R3 ) là một nghiệm yếu của bài toán truyền sóng,
các hàm
qµ v + µβ curl v + g

và

(qε + k 2 µβ 2 ) curl v + k 2 µβv + h

là khả tích bậc 2 trên Ω và theo Bổ đề 1.9, v1 và v2 lần lượt là các nghiệm
radiating trong Hloc (curl, R3 ) của
curl2 v1 − κ2 v1 = κ2 [qµ v + µβ curl v + g]

và
curl2 v2 − κ2 v2 = curl (qε + k 2 µβ 2 ) curl v + k 2 µβv + h .

Do đó, ta được
curl2 (v1 + v2 ) − κ2 (v1 + v2 )
= κ2 [qµ v + µβ curl v + g] + curl (qε + k 2 µβ 2 ) curl v + k 2 µβv + h
= curl2 v − κ2 v

trong R3 . Do cả v1 + v2 và v đều là nghiệm radiating nên w = v − v1 − v2 là
radiating và là nghiệm của phương trình curl2 w − κ2 w trong R3 . Ta kết luận
rằng w = 0 và do đó v = v1 + v2 thỏa mãn phương trình vi tích phân (1.17).
(b) Cho v ∈ H(curl, Ω) là một nghiệm của (1.17). Ta khai triển v theo vế phải
thành hàm v˜ trên R3 . Khi đó v˜|Ω = v và theo Bổ đề 1.9, v˜ ∈ Hloc (curl, R3 ) là một
nghiệm radiating của
curl2 v˜ − κ2 v˜ = κ2 [qµ v + µβ curl v + g] + curl (qε + k 2 µβ 2 ) curl v + k 2 µβv + h .

Trên Ω ta có v˜ = v nên ta có thể viết
curl2 v˜ − κ2 v˜ = κ2 [qµ v˜ + µβ curl v˜ + g] + curl (qε + k 2 µβ 2 ) curl v˜ + k 2 µβ˜
v+h .

Từ đó suy ra v˜ là một nghiệm radiating của (1.15).
Định lý này cho phép chúng ta tập trung vào phương trình vi tích phân khi
nghiên cứu tính giải được của bài toán. Theo cách tương tự, chúng ta có thể xây
dựng một phương trình vi tích phân cho bài tốn truyền sóng điện, như sau:

18

Hệ quả 1.11. ([11])
Phương trình vi phân tích phân tương đương với bài tốn truyền sóng điện
trường (Bài tốn 2) được hiểu là
v(x) = (k 2 + ∇ div)

[pε v + εβ curl v + g] Φk (x, ·) dy,
Ω

(pµ + k 2 εβ 2 ) curl v + k 2 εβv + h Φk (x, ·) dy

+ curl
Ω

với x ∈ Ω.