Hình học giải tích không gian

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (932.55 KB, 42 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ

12:

HÌNH H

Ọ

C GI

Ả

I TÍCH TRONG KHƠNG

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2></div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

CÁC CƠNG THỨC CẦN NHỚ

Tích vơ hướng của hai véc tơ v1( ,x y z1 1, )1 và véc tơ v2 ( ,x y z2 2, 2)là một số

1. 2 1 2 1 2 1 2

v v x x y y z z



Tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ được xác định bởi

1 1 1 1 1 1

1 2

2 2 2 2 2 2

, y z ,z x , x y

v v

y z z x x y

 

    
 

 



Có v1v v 1, 2;v2v v1, 2  ; v v1, 2  v 1.v2.sin.

Diện tích của tam giác tạo bởi ba điểm A B C, , không thẳng hang

1
,
2

ABC

S   AB AC.

Tích hỗn tạp của ba véc tơ ( ,  v v v1 2, )3 là một sốvà được ký hiệu là





1 1 1

1 2 3 2 2 2

3 3 3
, ,

x y z
D v v v x y z
x y z



  

Ba véc tơ đồng phẳng khi và chỉ khi D v v v



  1, 2, 3



0.

Thể tích tứ diện tạo bởi 4 đỉnh A B C D, , , được tính bởi công thức

1 1

( , , ) , .

6 6

ABCD

V  D AB AC AD      AB AC AD

Thể tích của hình hộp dựng trên ba véc tơ v v v  1, 2, 3được xác định bởi công thức

1 2 3 1 2 3

( , , ) ( , ).
V  D v v v    D v v  v .

Cho đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương u( , , )a b c


và mặt phẳng ( )P có véc tơ pháp

tuyến n( , , )A B C


, khi đó góc tạo bởi

   

d , P được xác định bởi

2 2 2 2 2 2

.
sin =

. .

u n Aa Bb Cc
u n A B C a b c

   

   

 

  .

Cho hai đường thẳng

 

d1 có véc tơ chỉphương u



a b c, ,





và đường thẳng

 

d2 có véc tơ

chỉphương v( ', ', ')a b c , khi đó góc  giữa

   

d1 , d2 được xác định bởi

2 2 2 2 2 2

. ' ' '

. . ' ' '

u v aa bb cc
c

u v a b c a b c

    

   

 

  .

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

 



;



MM u
d M d

u

 
 


 

 ( lưu ý là tử thức là độdài véc tơ không phải trị tuyệt đối).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 

d1 đi qua điểm M , có véc tơ chỉphương u
và đường thẳng

 

d2 đi qua điểm N, có véc tơ chỉphương vđược xác định bởi

   



1 2



, .
,

,
u v MN

d d d

u v

 
 


 
 

  

  ( lưu ý dưới mẫu là độdài véc tơ, tử thức là giá trị tuyệt đối).
Tất cả các công thức trên đều được áp dụng tính trực tiếp trong bài thi.

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG, GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT 
PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Cho đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương avà mặt phẳng

 

P có véc tơ pháp tuyến nvà
cặp véc tơ chỉphương a a 1, 2.

+ Đường thẳng

 

d và mặt phẳng

 

P khơng có điểm chung ta nói

   

d / / P .
Vậy

   

d / / P xảy ra khi thỏa mãn một trong các điều kiện:

(i). Hệphương trình tạo bởi đường thẳng

 

d và mặt phẳng

 

P vô nghiệm.
(ii). anvà tồn tại một điểm A

 

d ,A

 

P .

(iii). alà một véc tơ chỉphương của

 

P và tồn tại một điểm A

 

d nhưng không thuộc

 

P .

+ Đường thẳng

 

d và mặt phẳng

 

P có hai điểm chung phân biệt ta nói

   

d  P , xảy ra

khi thỏa mãn một trong các điều kiện:

(i). Hệphương trình tạo bởi đường thẳng

 

d và mặt phẳng

 

P vô số nghiệm.
(ii). Mặt phẳng

 

P đi qua hai điểm phân biệt A B, 

 

d .

(iii). Mặt phẳng

 

P đi qua điểm A

 

d và nhận a



làm một véc tơ chỉphương.

+ Đường thẳng

 

d có một điểm chung duy nhất với

 

P ta nói

 

d cắt

 

P , xảy ra khi hệ
phương trình tạo bởi đường thẳng

 

d và mặt phẳng

 

P có nghiệm duy nhất.

Đường thẳng

   

d  P a/ /n.

Cho hai đường thẳng

   

d1 , d2 phân biệt theo thứ tựcó các véc tơ chỉphương là a a 1, 2. Lấy

hai điểm A

 

d1 ,B

 

d2 ;AB.

Khi đó xét tích hỗn tạp của 3 véc tơ D a a AB( , , 1 2 )

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

+ Giữa hai đường thẳng song song

   

d1 , d2 trong khơng gian có các dạng bài tốn sau:
(i). Viết phương trình mặt phẳng

 

P chứa hai đường thẳng song song

   

d1 , d2

(ii). Viết phương trình đường thẳng

 

d song song, cách đều

   

d1 , d2 và thuộc mặt phẳng
chứa

   

d1 , d2 .

(iii). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

   

d1 , d2 .

+ Giữa hai đường thẳng cắt nhau

   

d1 , d2 trong không gian có các dạng bài tốn sau:
(i). Viết phương trình mặt phẳng

 

P chứa

   

d1 , d2 .

(ii). Viết phương trình đường phân giác tạo bởi

   

d1 , d2 .

+ Giữa hai đường thẳng chéo nhau

   

d1 , d2 trong khơng gian có các dạng bài tốn sau:
(i). Viết phương trình đường vng góc chung của

   

d1 , d2 .

(ii). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

   

d1 , d2 .
(iii). Viết phương trình của mặt phẳng cách đều

   

d1 , d2 .

(iv). Viết phương trình hai mặt phẳng

   

P , Q song song với nhau và lần lượt chứa

   

d1 , d2 .

(v). Viết phương trình mặt phẳng

 

P cách đều

   

d1 , d2 .

(vi). Viết phương trình đường thẳng

 

d đi qua điểm M cho trước và cắt cả

   

d1 , d2 .

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Cho mặt phẳng

 

P và đường thẳng

 

d có phương trình lần lượt là

 

P : 4x3y7z 7 0và

 

: 5 3 2 5 0

2 1 0

x y z

d

x y z

   




   


Chứng minh rằng

   

d  P .

Lời giải:

Cách 1: Xét hệphương trình tạo bởi

 

d và

 

P .

5 3 2 5 0 5 3 2 5 0

5 3 2 5 0

2 1 0 9 5 7 0

9 5 7 0

4 3 7 7 0 18 10 14 0

x y z x y z

x y z

x y z x y

x y

x y z x y

       

 

   


 

        

  

  


        

 

hệ này vô số nghiệm, do

đó

   

d  P đpcm.

Cách 2: Lấy hai điểm phân biệt 7, 0,5 ; 0, 7 2,

 

9 9 5 5

A  B   d

    thay tọa độ của A B, vào

phương trình của

 

P ta được:

7 5

4. 3.0 7. 7 0

9 9

7 2

4.0 3. 7. 7 0

5 5



   





 

     
 

  


</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 2. Biện luận theo tham số m vịtrí tương đối của mặt phẳng

 

P và đường thẳng

 

d ,
biết:

 

P :m x2 2y z 1 3m 0

     ,

 

: 1 ,

3 2

x t
d y t t

z t





  



  



Lời giải:

Thay x y z, , từphương trình của

 

d vào phương trình của

 

P ta được phương trình:





4 3 6(*)

m  t m

+ Nếu 2

4 0 2

m   m 

- Với m2(*)vô số nghiệm, khi đó

   

d  P .
- Với m  2 (*)vơ nghiệm, khi đó

   

d / / P .

+ Nếu m  2 (*)có nghiệm duy nhất, khi đó

   

3 , 1, 3

2 2 2

m m

d P A

m m m



 

   

  

 .

Bài 3.Cho đường thẳng









: ,

1 0

m

x mz m
d

m x my

  





  




m là tham số

Chứng minh rằng



dm



luôn đi qua một điểm cốđịnh và nằm trong một phẳng cốđịnh.

Lời giải:

Giả sửđiểm M x y z



0, 0, 0



là điểm cốđịnh mà



dm



luôn đi qua, khi đó













0 0 0 0

0 0 0 0 0

0
0

0 1 0

, , 0

1 0 0

x

x mz m x z m

m m y

m x my x m x y

z



      



  

    

  

     

 

   



Vậy



dm



luôn đi qua điểm cốđịnh M



0, 0,1



.
Từphương trình đường thẳng



dm



, ta suy ra

 

0 1 0 : 1 0

mxmymz m   x y  z  P xy  z là mặt phẳng mà



dm



luôn
thuộc

 

P .

Bài 4. Cho mặt phẳng

 

P : 2xmy  z 5 0,

 

: 3 2 4 0

2 7 0

x y z

d

x y z

   




   


Tìm giá trị của m để:

a.

   

d / / P .

b.

   

d  P .

Lời giải:

Đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương 1 2 2 3 31, ,



4, 4, 4



12 21 1 1

a   

 

 



Mặt phẳng

 

P có véc tơ pháp tuyến n



2, ,1m



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

b.

   

/ / 2 1

4 4 4

m

d  P a n  

 

 

vô lý. Vậy không tồn tại m để

   

d  P .

Bài 5.Cho đường thẳng

 

: 3 4 27 0

6 3 7 0

x y z

d

x y z

   





   


và mặt phẳng

 

P : 2x5y z 170.

Xác định phương trình đường thẳng đi qua giao điểm Acủa

 

d và

 

P và vng góc với

 

d , nằm trong mặt phẳng

 

P .

Lời giải:

+ Xét hệphương trình tạo bởi

 

d và

 

P

   





2 4 27 0 2

6 3 7 0 5 2, 5, 4

2 5 17 0 4

x y z x

x y z y d P A

x y z z

    

 

 

          

 

      

 

.
+ Gọi alà véc tơ chỉphương của

 

d , ta được a 



11, 27,15



Gọi

 

Q là mặt phẳng qua Avà vng góc với

 

d , khi đó

 

Q nhận alàm véc tơ pháp

tuyến, nên

 

Q : 11



x2



27



y5



15



z4



0

 

Q : 11 x27y15z970.

Khi đó, đường thẳng cần tìm chính là giao của hai mặt phẳng

 

P và

 

Q .
Vậy đường thẳng cần tìm là

 

: 2 5 17 0

11 27 15 97 0

x y z

z y z

   


 

    


Bài 6.Cho hai đường thẳng

 

1

2 1

: 2

3 3

x t
d y t

z t

 



 


  



và

 

2

: 3 2

3 1

x u

d y u

z u

 



  


  


Chứng minh rằng

 

d1 và

 

d2 chéo nhau và xác định phương trình mặt phẳng

 

P song song

và các đều

   

d1 , d2 .

Lời giải:

 

d1 có véc tơ chỉphương a1



2,1, 3





và

 

d2 có véc tơ chỉphương a2 



1, 2, 3





.
Lấy điểm A



1, 2, 3

  

 d1 ;B



2, 3,1

  

 d2 suy ra AB



1, 5, 4



Ta có



1 2



21 3

, , 12 3 24 0

1 5 4

D a a AB   


  

. Vậy

 

d1 và

 

d2 chéo nhau.
+ Gọi Ilà trung điểm của 3, 1, 1

2 2

ABI   

 khi đó mặt phẳng cần tìm đi qua Ivà có cặp

véc tơ chỉphương

 





1 2

1 2 1 2 1 2

1 2

3
2
2

, : 2 ,

2
1 3 3

x t t

a a P y t t t t

z t t



  





      


   





 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 7. Viết phương trình đường thẳng

 

d song song, cách đều hai đường thẳng

 

2 5 9

3 1 4

x y z

d     

 ,

 

3 7

3 1 4

x y z

d    

 và thuộc mặt phẳng chứa

   

d1 , d2 .

Lời giải :

   

d1 / / d2 ,

 

d1 có véc tơ chỉphương a



3, 1, 4



Lấy điểm A



2,5,9

  

 d1 ;B



0; 3; 7 

  

 d2 suy ra trung điểm của ABlà I



1,1,1



. Khi

đó đường thẳng cần tìm đi qua Ivà có véc tơ chỉphương là a

Vậy

 

: 1 1 1

3 1 4

x y z

d     

 .

Bài 8.Cho hai đường thẳng

 

1

: 1

x
d y

z t







  


và

 

2

2 2

: 1

x u
d y

z

 





 


Chứng mỉnh rằng

 

d1 và

 

d2 cắt nhau. Xác định tọa độgiao điểm của chúng. Viết phương

trình đường phân giác tạo bởi

   

d1 , d2 .

Lời giải :

+ Xét hệphương trình tạo bởi

   

d1 , d2 , ta có

   

1 2





0 2 2

1 1 0,1, 0

1 0

u

d d I

t
t

 






    

 




  



+ Lấy điểm A



0,1, 2

  

 d1 ,B



2u2,1, 0

  

 d2 sao cho





2 2

4 2 2 0 2

IA IB   u u u

+ Với u 0 B1



2,1, 0



, ta có tọa độtrung điểm của AB1là I1



1,1,1



II1 



1, 0,1



khi đó đường phân giác cần tìm là đi qua Ivà có véc tơ chỉphương II1 :

 

1 : 1

x t
y
z t

 


  

 


+ Với u2B2



2,1, 0



tương tựta có đường phân giác



2



: 1

x t
y
z t




  

 


Bài 9.Cho hai đường thẳng

 

1 : 2 1

4 6 8

x y z

d    

  và

 

7 2

6 9 12

x y z

d    



Chứng minh rằng

 

d1 song song với

 

d2 , viết phương trình mặt phẳng

 

P chứa

   

d1 , d2

và tính khoảng cách giữa

   

d1 , d2 .

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

+ Đường thẳng

 

d1 có véc tơ chỉphương u



4, 6, 8 



và đường thẳng

 

d2 có véc tơ chỉ
phương v 



6, 9,12





, suy ra u / /v. Lấy điểm A



2, 0, 1 

  

d1 thay vào phương trình của

 

2 7 0 2 1

6 9 12

d     

 vô lý. Từđó suy ra

   

d1 / / d2 Ta có đpcm.

+ Lấy điểm B



7, 2, 0

  

 d2 . Mặt phẳng

 

P chứa

   

d1 , d2 nên

 

P đi qua điểm Avà có
cặp véc tơ chỉphương u AB,

 

nên

 

2 2 5

: 3 2

1 4

x u v

P y u v

z u v

  




 


    



+ Do

   

d1 / / d2 nên



   

1 2





 

2



, 854

, ,

AB v
d d d d A d

v

 
 

  

 


Bài 10.Cho hai đường thẳng

 

1 : 1 2 4

2 1 3

x y z

d     

 và

 

1
:

2 3

x t

d y t

z t

  



 


   


Chứng minh rằng

 

d1 và

 

d2 cắt nhau và xác định tọa độgiao điểm Icủa chúng. Viết

phương trình mặt phẳng chứa

   

d1 , d2 .

Lời giải :

+ Thay x y z, , ởphương trình của

 

d2 vào phương trình của

 

d1 ta được

1 1 2 2 3 4

2 1 3

t t t

t

       

   

 , thay vào phương trình của

 

d2 I



1, 2, 4



Vậy

   

d1  d2 I



1, 2, 4



. Ta có đpcm.

+ Đường thẳng

 

d1 có véc tơ chỉphương u 



2,1, 3



và

 

d2 có véc tơ chỉphương



1, 1, 3



v 



Khi đó mặt phẳng

 

P chứa

   

d1 , d2 đi qua điểm Ivà có véc tơ pháp tuyến





1 3 3 2 21

, , , 6,9,1

13 31 1 1

nu v   

 

 

  

Vậy

  

P : 6 x1



9



y2

 

 z4



0

 

P : 6x9y  z 8 0.

Bài 11. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

 

1 : 3 0
1 0

x y z
d

y z

   




  


và

 

2 2 9 0

1 0

x y z

d

y z

   




  


Viết phương trình đoạn vng góc chung của

   

d1 , d2 .

Lời giải :

Đường thẳng

 

d1 có véc tơ chỉphương 11 11 1 1, ,



0, 1,1



11 10 01

u  

 

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Đường thẳng

 

d2 có véc tơ chỉphương 2 2, 21 1 2,



4,1,1



1 1 1 0 01

v     
 

 



Gọi

 

d là đương vng góc chung của

   

d1 , d2 khi đó

 

d có véc tơ chỉphương a thỏa
mãn , 11 10 0 1, ,



2, 4, 4



1 1 14 41

au v    

 

  

, chọn a 



1, 2, 2



+ Gọi

 

P là mặt phẳng chứa

   

d , d1 , khi đó

 

P có véc tơ pháp tuyến





11 1 0 0 1

, , , 4, 1, 1

2 2 2 1 12

nu a      
 

 

  

, lấy điểm A



2,1, 0

  

 d1
Khi đó

 

P : 4



x2

 

 y1



  z 0

 

P : 4 x   y z 9 0

+ Gọi

 

Q là mặt phẳng chứa

   

d , d2 , khi đó

 

Q có véc tơ pháp tuyến





1 1 1 4 4 1

' , , , 0, 9,9

2 2 2 1 12

n v a  
 

 

  

, lấy điểm B



3, 2,1

  

 d2
Khi đó

 

Q :



y2

 

 z1



0

 

Q :   y z 1 0

Và

 

d là giao tuyến của hai mặt phẳng

   

P , Q

Vậy phương trình đoạn vng góc chung của

   

d1 , d2 là

 

: 4 9 0

1 0

x y z

d

y z

    




   



Bài 12.Cho hai đường thẳng

 

1

2 1

: 2

3 3

x t
d y t

z t

 



 


  


và

 

2

: 3 2

3 1

x u

d y u

z u

 



  


  


Viết phương trình đường vng góc chung của

   

d1 , d2 .

Lời giải :

Đường thẳng

 

d1 có véc tơ chỉphương u



2,1, 3





và đường thẳng

 

d2 có véc tơ chỉ
phương v



1, 2, 3



Lấy điểm A



2t1,t2, 3t3

  

 d1 ;B u



2, 3 2 ,3  u u1

  

 d2 suy ra



2 1, 2 5, 3 3 4



AB u t u t u t

       , và ABlà đoạn vng góc chung của

   

1 2

. 0
,

. 0

AB u
d d

AB v

 

 






 

















2 2 1 2 5 3 3 3 4 0 9

2 1 2 2 5 3 3 3 4 0

u

u t u t u t

t




        


 

 

        

 

 




Từđó suy ra 67 47 20, , ; 43 23 84, , ; 24, 24 24, 24



1, 1,1



9 9 3 9 9 9 9 9 9 9

A  B  AB    

     

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Vậy phương trình đoạn vng góc chung của

   

d1 , d2 đi qua Avà có véc tơ chỉphương



 1, 1,1



Vậy

67
9
47
:

9
20

x t

AB y t

z t



 





 





 




BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
Bài 1.Cho đường thẳng









4 3 0

1 0

m

x mz m
d

m x my

  





  




Chứng minh rằng



dm



luôn thuộc một mặt phẳng cố định và luôn đi qua một điểm cốđịnh.

Bài 2.Cho đường thẳng

 

: 1 2

2 1 3

x y z

d    

 và mặt phẳng

 

P : 2x  y z 0

Xác định phương trình đường thẳng đi qua giao điểm Acủa

 

d và

 

P và vng góc với

 

d , nằm trong mặt phẳng

 

P .

Bài 3. Trong không gian Oxyzcho mặt phẳng

 

P : 2x y 20và đường thẳng

















2 1 1 1 0

2 1 4 2 0

m

m x m y m

d

mx m z m

     





    




Xác định m để



dm

  

/ / P .

Bài 4. Trong không gian Oxyzcho hai đường thẳng

 

1 : 5 1 5

2 1 1

x y z

d     

 

Và

 

2

3 2

: 3

x t

d y t

z t

 



  


  


Chứng minh rằng

   

d1 / / d2 . Viết phương trình đường thẳng song song, cách đều và nằm
trong mặt phẳng chứa

   

d1 , d2 .

Bài 5.Cho hai đường thẳng

 

1

3 2

: 2 3

6 4

x t

d y t

z t

  




  


  


và

 

2 : 4 19 0
15 0

x y

d

x z

  




  


Chứng minh rằng

 

d1 cắt

 

d2 . Viết phương trình đường phân giác tạo bởi góc nhọn giữa

   

d1 , d2 .

Bài 6.Cho hai đường thẳng

 

1 : 8 23 0
4 10 0

x z

d

y z

  




  


và

 

2 : 2 3 0

2 2 0

x z

d

y z

  




</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Chứng minh rằng

 

d1 và

 

d2 chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng

 

P song song và các

đều

   

d1 , d2 .

Bài 7.Cho hai đường thẳng

 

1 : 3 1 2

1 4 3

x y z

d      và

 

2 : 4 2 0

3 0

x y

d

x z

  




 


Chứng minh rằng

 

d1 song song với

 

d2 . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng

 

P

chứa

   

d1 , d2 . Viết phương trình đường thẳng

 

d nằm trong

 

P và các đều

   

d1 , d2 .
Tính khoảng cách giữa

   

d1 , d2 .

Bài 8.Cho hai đường thẳng

 

1 : 2 1 0
1 0

x y

d

x y z

  




   



và

 

2 : 3 3 0

2 1 0

x y z

d

x y

   




  


Chứng minh rằng

 

d1 và

 

d2 cắt nhau, xác định tọa độgiao điểm của chúng. Viết phương

trình mặt phẳng chứa

   

d1 , d2 .

Bài 9.Cho điểm A



1, 1,1



và hai đường thẳng

 

1 : 3 3 0

2 1 0

x y z

d

x y

   




  


và

 

2 : 1 2
3

x t

d y t

z t





  


  


Chứng minh rằng

   

d1 , d2 ,Acùngg thuộc một mặt phẳng.

Bài 10. Trong không gian Oxyzcho hai đường thẳng

 

d1 :x    y 1 z 1 và

 

d2 :  x 1 y 1 z.

Tìm tọa độđiểm A

 

d1 và điểm B

 

d2 sao cho đường thẳng ABvng góc với cả

   

d1 , d2 .

Bài 11.Cho hai đường thẳng

 

1 : 2 0
1 0

x y z

d

x y z

  




   


và

 

2

2 2

: 5

x t

d y t

z t

  



 

  


Chứng minh rằng

   

d1 , d2 chéo nhau. Tính khoảng cách giữa

   

d1 , d2 . Viết phương trình

đoạn vng góc chung của

   

d1 , d2 . Viết phương trình mặt phẳng

 

P chứa

 

d1 và song
song với

 

d2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M



1,1,1



và cắt cả

   

d1 , d2 .

ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Xét các dạng bài toán sau

Dạng 1:Đường thẳng cắt cảhai đường thẳng

   

d1 , d2 và thỏa mãn điều kiện cho trước.

(i). Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm Avà cắt cảhai đường thẳng

   

d1 , d2 .

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Viết phương trình mặt phẳng

 

P đi qua Avà chứa

 

d1 .
Viết phương trình mặt phẳng

 

Q đi qua Avà chứa

 

d2 .
+ Nếu

   

P  Q , bài tốn có vơ số nghiệm.

+ Nếu

   

P / / Q , bài tốn vơ nghiệm.

+ Nếu

     

P  Q  d , đây chính là đường thẳng cần tìm.

Cách 2:

Viết phương trình mặt phẳng

 

P đi qua Avà chứa

 

d1 .

Xác định giao điểm Bcủa

 

P và

 

d2

+ Nếu vơ nghiệm thì bài tốn vơ nghiệm.

+ Nếu có vơ số nghiệm thì bài tốn có vơ số nghiệm.

+ Nếu có nghiệm duy nhất thì phương trình đường thẳng

 

d cần tìm chính là AB, đi qua A
và có véc tơ chỉphương AB.

Cách 3:

Áp dụng khi cảhai đường thẳng cho ở dạng tham số

Giả sửđường thẳng cần tìm cắt

 

d1 tại Bvà cắt

 

d2 tại C, với tọa độ của B C, cho ở dạng

tham số.

Xét điều kiện A B C, , thẳng hàng.

(ii). Viết phương trình đường thẳng

 

d song song với đường thẳng

 

 và cắt cảhai đường
thẳng

   

d1 , d2 .

Phương pháp:

(iii). Viết phương trình đường thẳng

 

d vng góc với mặt phẳng

 

P và cắt cảhai đường
thẳng

   

d1 , d2 .

Phương pháp:

BÀI TẬP MẪU 
Bài 1.

Dạng 2:Đường thẳng đi qua một điểm và vng góc với cảhai đường thẳng cho trước.

(i). Viết phương trình đường thẳng

 

d đi qua điểm Avà vng góc với cảhai đường thẳng

   

d1 , d2 .

Cách 1:

Viết phương trình mặt phẳng

 

P đi qua A và vng góc

 

d1 .
Viết phương trình mặt phẳng

 

Q đi qua A và vng góc

 

d2 .

Khi đó

 

d chính là giao tuyến của

   

P , Q .

Cách 2:

Xác định các véc tơ chỉphương u v,

 

của

   

d1 , d2 , khi đó véc tơ chỉphương acủa

 

d thỏa
mãn au a ,  v au v , 

Đường thẳng

 

d sẽđi qua điểm Avà có véc tơ chỉphương a.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Dạng 3:Đường thẳng đi qua một điểm và vng góc với một đường thẳng và căt một đường
thẳng.

(i). Viết phương trình đường thẳng

 

d đi qua điểm Avà vng góc với đường thẳng

 

d1 và
cắt đường thẳng

 

d2 .

Phương pháp: 
Cách 1:

Viết phương trình mặt phẳng

 

P đi qua Avà vng góc với

 

d1 .
Viết phương trình mặt phẳng

 

Q đi qua Avà chứa

 

d2 .

Khi đó đường thẳng

 

d cần tìm là giao của

   

P , Q .

Cách 2:

Viết phương trình mặt phẳng

 

P đi qua Avà vng góc với

 

d1 .

Xác định giao điểm Bcủa

 

P và

 

d2 , khi đó đường thẳng

 

d cần tìm chính là AB, đi qua

Avà có véc tơ chỉphương AB.

BÀI TẬP MẪU 
Bài 1.

Dạng 4: Hình chiếu vng góc của điểm lên mặt phẳng

(i). Tìm tọa độ hình chiếu vng góc Hcủa một điểm Alên mặt phẳng

 

P .

Phương pháp:

Viết phương trình đường tham số của đường thẳng

 

d đi qua điểm Avà vng góc với mặt
phẳng

 

P

Tọa độ hình chiếu Hchính là giao điểm của

 

d và

 

P .

(ii). Tìm điểm đối xứng của điểm Aqua mặt phẳng

 

P .

Phương pháp:

Tìm tọa độ hình chiếu Hcủa Atrên

 

P .
Tìm điểm A1 đối xứng với Aqua H.

(iii).Xác định phương trình đường thẳng

 

 đối xứng với đường thẳng

 

d qua mặt phẳng

 

P .

Phương pháp:

Lấy hai điểm phân biệt A B, 

 

d .

Tìm tọa độhai điểm A B1, 1lần lượt đối xứng với A B, qua mặt phẳng

 

P .

Khi đó đường thẳng

 

 cần tìm chính là đường thẳng đi qua hai điểm A B1, 1.

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Cho điểm A



2,3, 1



và mặt phẳng

 

P : 2x   y z 5 0. Xác định tọa độđiểm A1
đối xứng với Aqua

 

P .

Lời giải:

Đường thẳng

 

d đi qua Avà vng góc với

 

P sẽ nhận véc tơ pháp tuyến n



2, 1, 1 



</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

 

2 2

: 3

x t

d y t

z t

 




 


   


Thay tọa độ x y z, , từphương trình của

 

d vào phương trình của

 

P ta được



 



   

5 3

2 2 2 3 1 5 0 3, ,

2 2 2

t t t t d P H 

               
 

Tọa độđiểm A1sẽđối xứng với Aqua H, suy ra A1



4, 2, 2



Bài 2. Cho mặt phẳng

 

P : 3x6y  z 2 0và đường thẳng

 

: 7 14 0
2 0

x y z

d

x y z

   




   


Xác định tọa độgiao điểm Acủa

   

d , P . Viết phương trình đường thẳng

 

 đối xứng với

 

d qua

 

P .

Lời giải:

Xét hệ tạo bởi

   

d , P , ta có:

   





7 14 0 0

2 0 0 0, 0, 2

3 6 2 0 2

x y z x

x y z y d P A

x y z z

    

 

 

         

 

       

 

Lấy điểm B



3, 6, 0

  

 d , ta tìm tọa độđiểm B1đỗi xứng với Bqua

 

P , khi đó đường
thẳng

 

 cần tìm chính là AB1.

Tìm được 1 10, 210 58, 1 10, 210 104, 2



5, 105, 52



23 23 23 23 23 23 23

B   AB    

   



Vậy

 

: 105

2 52

x t

y t

z t




   

   


Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng

 

Q đi qua A



2, 4, 3



và song song với mặt phẳng

 

P : 2x3y6z190. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

   

P , Q . Hạ AH

 

P ,

Xác định tọa độđiểm H.

Lời giải :

Mặt phẳng

 

Q sẽ nhận véc tơ pháp tuyến n



2, 3, 6



của

 

P làm véc tơ pháp tuyến, nên

  

Q : 2 x2



3



y4



6



z3



0

 

Q ; 2x3y6z 2 0.

Đường thẳng

 

d đi qua Avà vng góc với

 

P nhận nlàm véc tơ chỉphương nên,

 

2 2

: 4 3

3 6

x t

d y t

z t

  



 

  


</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

2 2 7

4 3 37 20 37 3

, ,

3 6 7 7 7 7

2 3 6 19 0

x

x t

y t

y H

z t

x y z z







  




  



   

  

     

 

 

     

 




BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
Bài 1. Cho bốn điểm A



4,1, 4 ;



B



3,3,1 ;



C



1,5,5 ;



D



1,1,1



Xác định tọa độ hình chiếu của Dtrên mặt phẳng



ABC



, tính thể tích tứ diện ABCD. Viết

phương trình đường vng góc chung của AC BD, .

Bài 2. Cho bốn điểm A a



, 0, 0 ;



B



0, , 0 ;b



C



0, 0,c a b c



, , , 0. Dựng hình hộp chữ nhật
nhận O A B C, , , làm bốn đỉnh và gọi Dlà đỉnh đối diện với Ocủa hình hộp đó.

(i). Tính khoảng cách từ Cđến mặt phẳng



ABD



(ii). Tính tọa độ hình chiếu vng góc của C xuống mặt phẳng



ABD



. Tìm điều kiện của

, ,

a b cđể hình chiếu đó nằm trong mặt phẳng



xOy



Bài 3.Cho điểm A



2,3,5



và mặt phẳng

 

P : 2x3y z 170.
(i). Lập phương trình đường thẳng

 

d đi qua Avà vng góc với

 

P .
(ii). Chứng minh rằng

 

d cắt trục Oz, tìm giao điểm M của chúng.

(iii). Xác định tọa độđiểm A1đối xứng với Aqua

 

P .

Dạng 5: Hình chiếu vng góc của đường thẳng lên mặt phẳng.

(i).Xác định phương trình hình chiếu vng góc

 

 của đường thẳng

 

d lên mặt phẳng

 

P .

Phương pháp:

Viết phương trình mặt phẳng

 

Q chứa

 

d và vng góc với

 

P .

Khi đó đường thẳng

 

 chính là giao tuyến của hai mặt phẳng

   

P , Q .

BÀI TẬP MẪU 
Bài 1. Cho đường thẳng

 

: 5 0

3 2 15 0

x y z

d

x y z

   




   


và mặt phẳng

 

P : 2 x3y  z 4 0.
Viết phương trình hình chiếu vng góc

 

 của

 

d trên mặt phẳng

 

P .

Lời giải:

Mặt phẳng

 

P có véc tơ pháp tuyến n  



2, 3,1



Đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương 11 ,1 1 1 1,



3, 4,1



2 1 13 3 2

u   
   

 



Lấy điểm A



25, 30, 0

  

 d

Gọi

 

Q là mặt phẳng chứa

 

d và vng góc với

 

P , khi đó

 

Q đi qua Avà có véc tơ

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>





31 1 2 2 3

' , , , 7,5,1

4 1 13 3 4

n n u      

 

  

Vậy

 

Q : 7



x25



5



y30



 z 0

 

Q : 7 x5y z 250

Khi đó đường thẳng

 

 cần tìm chính là giao tuyến của

   

P , Q

 

: 7 5 25 0

2 3 4 0

x y z

    


 

    


Bài 2.Cho đường thẳng





: 0

1 0

m

x my z m

d

mx y mz

   





   


(i). Viết phương trình hình chiếu vng góc

 

 của



dm



trên mặt phẳng



xOy



(ii). Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng

 

 ln tiếp xúc với một đường trịn cố
địnhnằm trong mặt phẳng



xOy



Lời giải:

(i). Khử ztừhai phương trình của



dm



ta được2mx



m21



ym21

Khi đó hình chiếu vng góc của



dm



trên mặt phẳng



xOy



là

 





2 2

2 1 1 0

:
0

mx m y m
z

     


 




(ii). Trong mặt phẳng



xOy



, Ta có



 







2 2

, 1

4 1

m
d O

m m

 

  

 

Từđó suy ra đường thẳng

 

 luôn tiếp xúc với đường trịn tâm O



0, 0



bán kính R1nằm
trong mặt phẳng



xOy



(đpcm).

Bài 3.Cho đường thẳng

 

: 1 1 3

1 2 2

x y z

d     

 và mặt phẳng

 

P : 2x2y  z 3 0.

(i). Tìm tọa độgiao điểm Acủa

   

d , P . Tính góc giữa

   

d , P .

(ii). Viết phương trình hình chiếu vng góc

 

 của

 

d lên mặt phẳng

 

P . Lấy điểm B

thuộc đường thẳng

 

d sao cho ABa0. Xét tỷ số AB AM
BM



với Mdi động trên mặt
phẳng

 

P . Chứng minh rằng tồn tại một vị trí của Mđể tỷ sốđó đạt giá trị lớn nhất và tìm
giá trị lớn nhất đó.

Lời giải:

(i). Tọa độgiao điểm A

   

d  P là nghiệm hệphương trình





2 2 3 0

1 2, 1, 5

1 1 3

1 2 2

x
x y z

y A

x y z

z

 


   



 

     
    

 

  

  

Góc giữa

   

d , P được xác định bởi

 

2 2 2 2 2 2

1.2 2. 2 2.1 4
sin

9
1 2 2 . 2 2 1

      

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

(ii).Xác định được

 

: 2 5 6 21 0

2 2 3 0

x y z

   


 

   


Lấy điểm B

 

d ;ABa0và điểm M

 

P .

Xét tam giác ABM, ta có 2 sin 2 sin sin sin

2 sin sin

AB AM R M R B M B

BM R A A

  

 

2sin os os 1 1

2 2 2

2 sin os sin sin sin

2 2 2 2 2

M B M B M B

c c

A A A A

c 

  

   

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

cos 1

2
sin sin

2 2

M B

A M B

A

 









 



   


 



Vậy giá trị lớn nhất của AB AM

BM



bằng 1
sin
2

 .

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
Bài 1. Cho đường thẳng

 

: 3 0

2 3 0

x z
d

y z

  




 


và mặt phẳng

 

P :x   y z 3 0

Lập phương trình hình chiếu vng góc

 

 của

 

d trên

 

P .

Bài 2. Cho ba mặt phẳng

 

P : 3x   y z 2 0;

 

Q :x4y 5 0;

 

R : 2x  z 7 0

Viết phương trình đường thẳng

 

 là hình chiếu vng góc của đường thẳng

 

d trên mặt
phẳng

 

R , trong đó

 

d là giao tuyến của hai mặt phẳng

   

P , Q .

Bài 3. Cho mặt phẳng

 

P :xy  z 1 0 và hai đường thẳng

 

1 : 2 1 0

2 0

x z

d

x y

  




 


và

 

3 12 0

2 0

y z

d

x z

  




  


(i). Viết phương trình mặt phẳng

 

Q chứa

 

d1 và vng góc với mặt phẳng

 

P .

(ii). Viết phương trình hình chiếu vng góc

  

1 , 2



lần lượt của

   

d1 , d2 trên mặt phẳng

 

P . Tìm tọa độgiao điểm Icủa

  

1 , 2



Bài 4.Cho hai đường thẳng

 

1 : 5 2 6

2 1 3

x y z

d      và

 

2 : 2 11 0

5 0

x y

d

x y z

  




   


Chứng minh rằng

   

d1 , d2 đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng

 

 là hình chiếu song song của

 

d2 theo

phương của

 

d1 trên mặt phẳng

 

P : 3x2y2z 1 0.

Bài 5. Cho tứ diện có 4 đỉnh O



0, 0, 0 ;



A



6,3, 0 ;



B



2, 9,1 ;

 

S 0,5,8



</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

(ii). Chứng minh rằng hình chiếu của cạnhSBtrên mặt phẳng



OAB



vng góc với cạnh OA

. Gọi Klà giao điểm của hình chiếu đó với OA. Xác định tọa đôk điểm K.

(iii). Gọi P Q, lần lượt là trung điểm của các cạnh SO AB, . Tìm tọa độđiểm M trên SBsao
cho PQvà KMcắt nhau.

Dạng 6: Hình chiếu vng góc của điểm lên đường thẳng.

(i). Tìm tọa độ hình chiếu Hcủa điểm Alên đường thẳng

 

d .

Phương pháp: 
Cách 1:

Viết phương trình mặt phẳng

 

P đi qua Avà vng góc với

 

d
Khi đó tọa độgiao điểm Hcủa

   

d , P chính là điểm cần tìm.

Cách 2:

Lấy điểm Hthuộc

 

d , tọa độdưới dạng tham số và Hlà hình chiếu của Atrên

 

d khi và
chỉ khi AH 

 

d  AH u. 0 H.

(ii). Tìm điểm A1đối xứng với Aqua

 

d .

Phương pháp:

Tìm tọa độ hình chiếu vng góc Hcủa Atrên

 

d
Điểm A1cần tìm đối xứng với Aqua H.

(iii). Viết phương trình đường thẳng

 

 đối xứng với một đường thẳng

 

d1 qua một đường
thẳng

 

d2 cho trước.

Phương pháp:

Lấy hai điểm phân biệtA B, 

 

d1

Tìm tọa độđiểm A B1, 1lần lượt đối xứng với A B, qua

 

d2 .

Khi đó đường thẳng

 

 vần tìm chính là đường thẳng đi qua hai điểm A B1, 1.

(iv). Viết phương trình đường thẳng

 

 đi qua Avng góc với đường thẳng

 

d và cắt

 

d

Phương pháp:

Xác định tọa độ hình chiếu vng góc Hcủa Atrên

 

d .

Đường thẳng

 

 cần tìm là đường thẳng đi qua hai điểm A H, .

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Cho điểm A



1, 2, 1



và đường thẳng

 

d có phương trình

 

: 3 0

1 0

x y z

d

y z

   




  


Xác định tọa độ hình chiếu vng góc của Alên đường thẳng

 

d và tạo độđiểm A1đối xứng
với Aqua

 

d .

Lời giải:

Đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương 11 11 1 1, ,



0, 1,1



11 10 01

u  

 

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Gọi

 

P là mặt phẳng đi qua Avà vng góc với

 

d khi đó

 

P nhận ulàm véc tơ pháp

tuyến, nên

 

P :



y2

 

 z1



0

 

P :   y z 3 0

Xét hệ tọa bởi

   

d , P :

3 0 2

1 0 2

3 0 1

x y z x

y z y

y z z

    

 

 

    

 

      

 

Vậy tọa độ hình chiếu của Atrên

 

d là điểm H



2, 2, 1



Điểm A1đối xứng với Aqua

 

d nhận Hlàm trung điểm của AA1nên A1



3, 2, 1



Bài 2.Cho điểm A



1, 2, 1



và đường thẳng

 

1
:

x t
d y t

z

 





  


Xác định tọa độ hình chiếu vng góc của Alên đường thẳng

 

d .

Lời giải:

Đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương u 



1,1, 0



Gọi Hlà hình chiếu vng góc của điểm Alên

 

d , do

 



1 , , 1





, 2, 0



H d H t t  AH  t t . Do

  







. 0 . 1 2 0 1 0,1, 1

AH u AH u  t   t    t H 

   

Bài 3.Cho điểm M



1, 2, 1



và đường thẳng

 

: 1 2 2

3 2 2

x y z

d     



Gọi Nlà điểm đối xứng của điểm M qua đường thẳng

 

d . Tính độdài đoạn MN.

Lời giải:

Đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương u



3, 2, 2



Phương trình của

 

d dạng tham số là

 

1 3

: 2 2

2 2

x t

d y t

z t

  



 

  


Gọi H



 1 3 , 2 2 , 2 2t  t  t

  

 d là hình chiếu vng góc của M trên

 

d , ta có



3 2, 2 , 2 3



MH  t  t t



Do MH u MH u . 0

















3 3t 2 2 2t 2 2t 3 0 t 0 MH 2, 0, 3

          

Điểm N đối xứng với Mqua Hnên MN 2MH 2 13.

Bài 4.Cho điểm A



2,3, 1



và đường thẳng

 

: 3

2 4 1

x y z

d   

Viết phương trình đường thẳng

 

 đi qua Avng góc với

 

d và cắt

 

d .

Lời giải:

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Đường thẳng

 

d ở dạng tham số là

 

: 4

x t
d y t

x t








  


Gọi H



2 , 4 ,3t t t

  

 d là hình chiếu vng góc của Atrên

 

d , ta có











 



2 2, 4 3, 4 4

2 2 2 4 4 3 4 0

AH t t t

t t t t

AH u

    


        







 

Suy ra 6, 5 32,

7 7 7

AH    

 



Vậy đường thẳng

 

 cần tìm đi qua điểm Avà có véc tơ chỉphương AHnên

 

6
2

7
5

: 3

7
32
1

x t

y t

z t


 



   




  




Bài 5.Cho hai đường thẳng

 

1 : 2 1 0
1 0

x y

d

x y z

  




   


và

 

2 : 1 2
4 5

x t

d y t

z t





 

  



Gọi B C, lần lượt là các điểm đối xứng của A



1, 0, 0



qua

   

d1 , d2 . Tính diện tích tam giác

ABC.

Lời giải:

Đường thẳng

 

d1 có véc tơ chỉphương 1 0 0 2 21, ,



1, 2, 3



11 1 1 1 1

u   

 

 



Đường thẳng

 

d2 có véc tơ chỉphương v



1, 2, 5



+ Gọi H1là hình chiếu vng góc của Atrên

 

d1

Gọi

 

P là mặt phẳng đia qua Avà vng góc với

 

d1 

 

P có véc tơ pháp tuyến u, nên

  

P : x1



2y3z0

 

P :x2y3z 1 0.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

1 1
1

2 1 0

12 1 12 3 15 12 3

1 0 , , , ,

14 14 14 14 14 14 14

2 3 1 0

3
14

x
x y

x y z y H AH

x y z

z


 

  

 

     

             

     

   

     

 







+ Gọi



  

2 ,1 2 , 4 5 2

H t  t  t  d là hình chiếu vng góc của Atrên

 

d2 , khi đó





2
2

1,1 2 , 4 5

AH t t t

AH v

    








 













7 17 4 5

1 2 1 2 5 4 5 0 , ,

10 10 10 10

t t t t AH  

               

 


Các điểm B C, đối xứng với Aqua H H1, 2

Ta có

1 2 1 2

5904

4 2 ,

ABC AH H

S  S  AH AH   .

Bài 6.Cho đường thẳng

 

: 0
0

x z

d
y

 







(i). Với mỗi điểm M x y z



0, 0, 0



trong khơng gian viết phương trình mặt phẳng

 

P0 đi qua M

và vng góc với

 

d . Tính khoảng cách từ Mđến

 

d .

(ii). Chứng minh rằng quỹtích các điểm trong mặt phẳng Oxymà khoảng cách từđiểm đó
đến

 

d bằng 2 là một elip. Xác định tọa độtiêu điểm của elip đó.

Lời giải :

(i). Đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương 0 1, 11 1 0,



1, 0,1



1 0 0 0 01

u   

 



Mặt phẳng

 

P0 cần tìm sẽ nhận ulàm véc tơ pháp tuyến, nên

  

P0 : xx0

 

 zz0



0

 

P :x z x0z0 0.

Khi đó tọa độgiao điểm Hcủa

   

P0 , d là nghiệm hệphương trình

0 0

0 0 0 0

0 2

0 0 , 0,

2 2

x z
x

x z

x z x z

y y H

x z x z x z

z







 



  

  

   

   

 

      

  



Khoảng cách từ Mđến

 

d chính là





2 2

0 0

2 2

0 0 0 0

2 2 2

x z

x z x z

MH    x  y   z     y

   

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Theo đề bài và áp dụng câu trên ta có,

 





 

2 2 2 2 2

, 2 1 : 1

2 8 4 8 4

x x y x y

d M d   y     M E   (đpcm).

Ta có tọa độtiêu điểm F1



2, 0 ,



F2



2, 0



BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1.Cho điểm A



1, 2,3



và đường thẳng

 

: 2 2 9 0
1 0

x y z
d

y z

   




  


Xác định tọa độ hình chiếu vng góc Hcủa Atrên

 

d . Xác định đọđộđiểm A1đối xứng
với Aqua

 

d . Tính độdài đoạn AA1.

Bài 2.Cho đường thẳng

 

: 4 0

2 2 0

y z

d

x y z

  




   


(i). Viết phương trình mặt phẳng

 

P đi qua điểm A



2, 1,1



và vng góc với

 

d .

(ii). Viết phương trình đường thẳng

 

 đi qua Avà vng góc, cắt

 

d .

(iii).Xác định tọa độđiểm A1đối xứng với Aqua

 

d .

Bài 3.Cho điểm A



2,1, 3



và đường thẳng

 

: 1 2 3

1 2 1

x y z

d     



(i). Tính khoảng cách từ Ađến

 

d .

(ii).Xác định tọa độđiểm A1đối xứng với Aqua

 

d . Tính độdài đoạn thẳng AA1.

(iii). Viết phương trình đường thẳng

 

 đi qua Avà vng góc , cắt đường thẳng

 

d .

Bài 4. Cho bốn đường thẳng

 

0 0 0 0

: mx y , : mx y , : mx y , : mx y

d d d d

z h z h z h z h

       

   

   

     

   

Chứng minh rằng bốn điểm A A A A1, 2, 3, 4đối xứng với Alần lượt qua

       

d1 , d2 , d3 , d4
đồng phẳng. Viết phương tình mặt phẳng đi qua bốn điểm đó.

BÀI TỐN VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

- Thường xác định mặt phẳng dưới dạng tổng quát

2 2 2

0, 0

AxByCzD A B C 

- Sau đó dựa vào giả thiết bài tốn, biểu diễn được C D, theo A B,

- Cuối cùng là giải phương trình với hai ẩn là A B,
BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Trong không gian với hệ toạđộ Oxyzcho điểm A



1, 2, 3



và B



2, 1, 6 



và mặt
phẳng

 

P :x2y  z 3 0. Viết phương trình mặt phẳng

 

Q chứa ABvào tạo với mặt
phẳng

 

P một góc thỏa mãn os 3

c   .

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Giả sửphương trình mặt phẳng cần tìm

 

Q :ax by czd 0



a2b2c2 0



Mặt phẳng

 

Q chứa AB nên A B, 

 

Q , từđó suy ra

2 3 0

(*)

2 6 0 4

a b c d c a b

a b c d d a b

      

 



 

     

 

Mặt phẳng

 

P có véc tơ pháp tuyến n



1, 2,1



. Từđó suy ra góc giữa hai mặt phẳng này là







2 2 2



2 2 2 2 2 2

2 3

os 2 2

6
. 1 2 1

a b c

c a b c a b c

a b c

         

   

Ta thay c d, ở hệ(*) vào phương trình trên ta suy ra:







2 2





2 2
2 2a3b  a b  a b 3a 11ab8b 0

0, 3

8 5 29

3 3 3

a b c d b

b b

a c b d

     





       


Vậy có hai phương trình mặt phẳng cần tìm

 

Q1 : x y 3 0;



Q2



: 8x3y5z290.

Bài 2.Cho hai điểm A



2, 1,1 ,



B



0,1, 2



và đường thẳng

 

: 3 1

1 1 2

x y z

d    

 . Viết

phương trình đường thẳng

 

 đi qua giao điểm của

  

d , OAB



và nằm trong mặt phẳng



OAB



hợp với đường thẳng

 

d một góc  thỏa mãn os 5
6
c   .

Lời giải:

Ta có OA



2, 1,1 ;



OB



0,1, 2



suy ra mặt phẳng



OAB



có véc tơ pháp tuyến





11 1 2 2 1

, , 1, 4, 2

1 2 2 0 01

n   
 

 



Vậy



OAB



:x4y2z0. Gọi M là giao điểm của

  

d , OAB



khi đó tọa độđiểm M là
nghiệm của hệ





3 1

13 10,13, 21

1 1 2

4 2 0 21

x
x y z

y M

x y z z

 

 


 

 

    


 

      

 

Giả sửđường thẳng

 

 cần tìm có véc chỉphương v



a b c, ,



, điều kiện 2 2 2

0
a b c  .
Do

  

  OAB



n v a4b2c0(1)

Đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương u



1, 1, 2



Yêu cầu bài toán tươngđương với

 









2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 5

cos 6 2 25 (2)

. 1 1 2

a b c

a b c a b c

a b c

          

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Rút a 4b2c từ(1) thay vào (2) ta được: 2 2

11 16 5 0 5 42

11 11

b c a c

b bc c

b c a c

   



   

    



Vậy có hai phương trình

 

 cần tìm là:

 

10 6

: 13

x t

y t

z t

  




   
   


và



2



11
5

: 13

11
21

x t

y t

z t



  





   


  





Bài 3. Trong khơng gian Oxyz. Viết phương trình đường thẳng

 

 đi qua điểm A



0,1, 2



vng góc với đường thẳng

 

: 3 2

1 1 1

x y z

d    

 và tạo với mặt phẳng

 

P : 2xy  z 5 0 một góc 300

  .

Lời giải:

Giả sửđường thẳng

 

 có véc tơ chỉphương u



a b c, ,



với a2b2c2 0

Đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương v



1, 1,1



và mặt phẳng

 

P có véc tơ pháp tuyến



2,1, 1



n  .

Theo đề bài ta có

2 2 2 2 2 2

. 1 2 1

sin

2 . 2 1 1

u v a b c

u n a b c

a b c
u n



     


 

  

 


 

 

   





 
 


Bài 4. Cho hai đường thẳng

 

1 :

1 2 1

x y z

d  

 và

 

1 1 1

1 1 3

x y z

d     



(i). Chứng minh rằng hai đường thẳng

   

d1 , d2 chéo nhau.

(ii). Viết phương trình mặt phẳng

 

P chứa đường thẳng

 

d2 và tạo với đường thẳng

 

d1

một góc 300.

Lời giải:

(i).Đường thẳng

 

d1 đi qua điểm O



0, 0,0



và có véc tơ chỉphương u



1, 2,1



Đường thẳng

 

d2 đi qua điểm A



1, 1,1



và có véc tơ chỉphương v



1, 1, 3



Ta có , 21 11 1 2, ,



5, 2,1



1 3 31 1 1

u v    

     
   

 

 

và OA



1, 1,1



Suy ra u v OA  , .  

 

5 .1 

   

2 . 1 1.1  2 0. Từđó suy ra

   

d1 , d2 chéo nhau.

(ii). Giả sử mặt phẳng

 

P :ax by czd0có véc tơ pháp tuyến n



a b c, ,





với

2 2 2

0
a b c 

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

   

d2  P nên

 





0 3
, (*)
2
2 0
3
b a
c
a b c d

A B P

b a
c d
d




   
 
  

  
  



Đường thẳng

 

d1 và

 

P tạo với nhau một góc 0

30 nên

 









0 2 2 2

2 2 2 2 2

2 1

sin 30 2 2 3

. 1 2 1

a b c

a b c a b c
a b c

 
       
    
Thay
3
b a

c  từ (*) vào biểu thức trên ta được : 2 2

11 17 10 0 5

a b

a ab b

a b
 


   
 


Với a 2b c b d, 2b. Từđó suy ra

 

P1 : 2 xy  z 2 0.

Với 5 2 , 4

11 11 11

a b c b d b. Từđó suy ra

 

P2 : 5x11y2z 4 0.
Vậy có hai mặt phẳng cần tìm thỏa mãn :

 

P1 : 2 x y  z 2 0 và

 

P2 : 5x11y2z 4 0.

Bài 5. Cho tứ diện ABCDcó A



1, 2,1 ;



B



2,1,3 ;



C



2, 1,1 ;



D



0,3,1



. Viết phương trình
mặt phẳng

 

P đi qua hai điểm A B, sao cho khoảng cách từđiểm Cđến

 

P bằng khoảng
cách từ Dđến

 

P .

Lời giải:

Giả sử mặt phẳng

 

P :ax by czd0,a2b2c20.
Do A B, 

 

P nên 2 0 (*)

2 3 0

a b c d

a b c d

   




    


Theo giả thiết ta có:

 







 



2a b c2 2 d2 3b c2 2 d 2

d C P d D P

a b c a b c

    
  
   
2 3
0
a b

a b c d b c d

a b c d



        

   


(i). Với ab, kết hợp với (*) ta có hệphương trình:

 

2 0

2 3 0 : 0 : 1 0

a b c d

a b

a b c d P cz c P z

d c
a b

   

 


           
 
 

 

.

(ii). Với a  b c d 0, kết hợp với (*) ta có hệphương trình:

 

2 0 0

2 3 0 : 2 0 : 2 0

0 2

a b c d b

a b c d c a P ax az a P x z

a b c d d a

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Bài 6. Trong không gian Oxyzcho đường thẳng

 

: 3 1

1 1 2

x y z

d    

 và hai điểm



2, 1,1 ,





0,1, 2



A  B  . Tìm tọa độđiểm M

 

d sao cho tam giác ABMcó diện tích nhỏ

nhất.

Lời giải:

Giả sửđiểm M t



, 3t t, 2 1

  

 d là điểm cần tìm.

Ta có:









2, 4 , 2 2
, 2 , 2 1

AM t t t
BM t t t

    




  











4 2 2 2 2 2 2 4

, , , 8, 2, 4

2 2 1 2 1 2

t t t t t t

AM BM t t

t t t t t t

       

 

     

   

 

 

Khi đó 1 , 1









2 16 1 2





2 34 34

2 2 2 2

ABM

S   AM BM  t  t   t  

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t  5 M



5, 8, 11



.
Vậy M



5,8, 11



là điểm cần tìm.

Bài 7.Cho hai điểm A



4, 9, 9 ,



B



10,13,1



và mặt phẳng. Tìm tọa độđiểm

 

: 5 7 5 0

M P x y z  sao cho MA2MB2 nhỏ nhất.

Lời giải:

Giả sửđiểm M x y z



, ,

  

 P  x 5y7z 5 0, khi đó

























2 2

4 9 9 10 13 1

MA MB  x  y  z  x  y  z













2
2 x 3 y 11 z 4  156

      

 

Ta có x5y7z 5 0



x3



5



y11



7



z4



 75

Theo bất đẳng thức Cauchyshar ta có:



75



2 



x3



5



y11



7



z4



2



1 25 49 

 



x3



2



y11



2



z4















3 11 4 75

x y z

       .

Từđó suy ra MA2MB22.75 156 306.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

3 11 4 50 192 75 50 192 75

; ; , ,

1 5 7 17 17 17 17 17 17

x y z

x y z M

    

           

  

Là điểm cần tìm.

Bài 8. Cho ba điểm A



4,1,5 ;



B



3, 0,1 ;



C



1, 2, 0



. Tìm tọa độđiểm M thuộc mặt phẳng

 

P : 3x3y2z370 để biểu thức MA MB     . MB MC. MC MA. đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi M x y z



, ,

  

 P 3x3y2z370. Khi đó



4, 1, 5 ;





3, , 1 ;





1, 2,



MA x y z MB x y z MC x y z

  

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>













2
3 x 2 y 1 z 2 5

      

 .

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchyshart ta có:



















 











44 3 x 2 3 y 1 2 z 2 9 9 4  x 2 y 1 z 2 

              

 

Suy ra



x2



2



y1



2



z2



288. Suy ra





. . . 3 88 5 249

MA MBMB MCMC MA  

     

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi





2 1 2

4; 7; 2 4,7, 2

3 3 2

x y z

x y z M

  

        

 là điểm cần tìm.

Bài 9.Cho hai điểm A



0,1, 2 ;



B



1,1, 0



. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng

 

P :x  y z 0

sao cho tam giác MAB vuông cân tại B.

Lời giải:

Giả sửđiểm M x y z



, ,

  

 P là điểm cần tìm suy ra x  y z 0(*)

Ta có: BA



1, 0, 2 ;



BM



x1,y1,z



. Tam giác MABvuông cân tại Bkhi và chỉ khi









2 2

. 0 5 1 1

1 0

BA BM x y z

BA BM y z



      

 



 

   

 

 

 

kết hợp với (*) ta có hệphương trình:









2 2

1 10 4 10

3 3

5 1 1

4 10 2 10

1 0

6 6

2 10 2 10

6 6

x x

x y z

y z y y

x y z

z z

     

 

 

       

      

  

      

  

     

  

    

 

 

 

Bài 10.Cho hai đường thẳng

 

1 : 1 1 3

1 1 1

x y z

d     

  và

 

1 2

: 1

x t

d y
z t

  





 


Đường thẳng

 

 đi qua điểm I



0,3, 1



cắt

 

d1 tại Avà cắt

 

d2 tại B. Tính IA

IB.

Lời giải:

Do A

 

d1 A



 1 t', 1 t',3t'



và B

 

d2 B



 1 2 ,1,t t



Ta có: IA  



1 t t', ' 4, 4 t' ;



IB  



1 2 , 2,t  t1



. Do , ,A I Bthẳng hàng nên









1 ' 1 2 1

' 4 2 ' 6 5

4 ' 1

t k t t

IA

IA k IB t k t k

IB
k

t k t

    

  

 

          
     




 

Bài 11. Cho mặt phẳng

 

P :x2y  z 5 0 và đường thẳng

 

: 3 1 3
2

x

d   y  z và

điểm A



2,3, 4



. Gọi

 

 là đường thẳng nằm trong

 

P và đi qua giao điểm của

   

d , P

và vng góc với

 

d . Tìm điểm M 

 

sao cho khoảng cách AMnhỏ nhất.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Giả sử

   

d  P B, khi đó tọa độ của Blà nghiệm của hệ





1
3

1 3

0 1, 0, 4
2

2 5 0 4

x
x

y z

y B

x y z z

 





   

 

   

 

      

 

Mặt phẳng

 

P có véc tơ pháp tuyến n



1, 2, 1





và đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương



2,1,1



u .

Ta có: , 2 1, 11 1 2,



3, 3, 3



1 1 1 2 21

n u    

     
 

 

 

   

  P và vng góc với

 

d nên có véc tơ chỉphương u/ /n u ,    u



1, 1, 1 



.
Vậy

 

 có véc tơ chỉphương u và đi qua điểm B.

Vậy

 

1
:

x t

y t
z t

  



   

  


Giả sửđiểm cần tìm M



  1 t, t, 4t

  

  , khi đó













2 2 2 1 26 26

2 2 1 3

3 3 3

MA t  t  t  t   
 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2, 1 11,

3 3 3 3

t M  

  là điểm cần tìm.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1.Cho hai điểm A



1,5, 0 ,



B



3,3, 6



và đường thẳng

 

: 1 1

2 1 2

x y z

d    

 . Tìm tọa độ

điểm M thuộc đường thẳng

 

d để tam giác MABcó diện tích nhỏ nhất.

Bài 2.Cho điểm A



1, 4, 2 ;



B



1, 2, 4



. Tìm điểm M thuộc đường thẳng

 

: 1 2

1 1 2

x y z

d    

 sao cho

2 2

MA MB  .

Bài 3.Cho ba điểm A



0,1, 2 ;



B



2, 2,1 ;



C



2, 0,1



. Viết phương trình mặt phẳng



ABC



và
tìm điểm M thuộc mặt phẳng

 

P : 2x2y  z 3 0 sao cho MAMBMC.

Bài 4.Cho điểm A



1, 0, 1



và đường thẳng

 

: 2
1

x t
d y t

z







 


. Tìm tọa độhai điểm M N, thuộc

 

d sao cho tam giác AMNđều.

Bài 5.Cho mặt phẳng ( ) : 2P  x3y  z 7 0. Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua
(1;1;0)

A và B( 1; 2;7) và vng góc với mặt phẳng ( )P .

Bài 6. Trong không gian Oxyz, xác định mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng : 2
1
y

d x  z



và tạo với đường thẳng ': 2 3 5

2 1

x z

d   y  

 một góc

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Bài 7. Trong không gian Oxyzviết phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng
2 0

2 6 0

x y

d

x z

  




  


sao cho giao tuyến của mặt phẳng ( )P và mặt cầu

2 2 2

( ) :S x y z 2x2y2z 1 0 là đường trịn có bán kính bằng 1.

Bài 8. Trong không gian Oxyzcho ba điểm A(1; 2; 0), (0; 4;0), (0; 0;3)B C . Viết phương trình
mặt phẳng ( )P chứa OAsao cho khoảng cách từ Bđến ( )P bằng khoảng cách từ C đến ( )P .

BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHƠNG GIAN 
Dưới dây xin đề cập một số bài toán cực trị lien quan đến phương trình tổng quát của mặt 
phẳng

Phương pháp:

Giả sử phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng: 2 2 2

0, 0

AxByCzD A B C 

Khi đó dựa vào điều kiện bài tốn để tìm ra mối lien hệ giữa A B C D, , ,
Thường thỉ biểu diễn được A D, theo B C, .

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Trong không gian Oxyzcho hai điểm M



0; 1; 2 ;



N



1;1;3



. Viết phương trình mặt
phẳng ( )P đi qua M N, sao cho khoảng cách từ K(0; 0; 2)đến mặt phẳng ( )P là lớn nhất.
Lời giải:

Giả sử mặt phẳng ( )P có dạng: AxByCzD0,A2B2C20
Do ( )P đi qua M N, nên ta có:

2 0 2

( ) : (2 ) 2 0

3 0 2

B C D A B C

P B C x By Cz B C

A B C D D B C

     

 

       

 

      

 

Khi đó khoảng cách từ Kđến mặt phẳng ( )P là





2 2

, ( )

4 2 4

B
d K P

B C BC



 

 Nếu B 0 d K P



,( )



0.

 Nếu





1 1

0 , ( )

2 1 2

B d K P

C
B

   

 
 
 
 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi C B, chọn C1;B 1;A 1;D 3.

Vậy mặt phẳng cần tìm là ( ) :P xy  z 3 0.

Bài 2. Trong không gian Oxyzcho đường thẳng ( )d và mặt phẳng ( )P lần lượt có phương

trình: : 1 1 3
2

x

d   y  z và ( ) :P x2y  z 5 0. Viết phương trình mặt phẳng ( )Q
chứa đường thẳng ( )d và tạo với mặt phẳng ( )P một góc nhỏ nhất.

Lời giải:

- Giả sử mặt phẳng 2 2 2

( ) :Q AxByCzD0,A B C 0
- Chọn hai điểm M( 1; 1;3);  N(1; 0; 4)( )d

- Mặt phẳng ( )Q chứa ( )d nên , ( ) 3 0 2

4 0 7 4

A B C D C A B

M N Q

A C D D A B

       

 

  

    

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Suy ra mặt phẳng ( )Q có véc tơ pháp tuyến nQ ( ; ; 2A B  AB) và mặt phẳng ( )P có véc tơ
pháp tuyến nP (1; 2; 1) . Khi đó góc  giữa hai mặt phẳng ( ),( )P Q là

2 2

cos .

6 5 2 4

A B

A B AB

  

 

 Nếu 0 cos 3

2 6

A    .

 Nếu

2
1
3

0 cos .

5 2 4

B
A
A

B B

A A




  

 
   

 

, đặt x B
A

 xét hàm số

2
2

9 2 1

( ) .

6 5 2 4

x x
f x

x x

 


  , dễ thấy

cos  f x( ). Góc lớn nhất ứng với cosnhỏ nhất.
Khảo sát tính đơn điệu của hàm số này suy ra min ( ) ( 1) 0

x f x  f   . Suy ra

cos

min 0

2 6



 



    .

Vậy



  và A0 chọn B 1 C1;D4.

Vậy mặt phẳng cần tìm ( ) :Q y  z 4 0.

Bài 3. Trong không gian Oxyzcho đường thẳng

: 2

x t

d y t

z t

 



  


 



Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng dvà tạo với trục Oymột góc lớn nhất.
Lời giải:

- Giả sử mặt phẳng 2 2 2

( ) :P AxByCzD0,A B C 0
- Chọn hai điểm M(1; 2; 0); N(0; 1; 2) d

- Mặt phẳng ( )P chứa dnên , ( ) 2 0 2

2 0

2
A B

A B D C

M N P

B C D

D A B




   

 

  
   

    

- Suy ra mặt phẳng ( )P có véc tơ pháp tuyến ( ; ; )
2

P

A B

n  A B 



. Gọi là góc giữa mặt
phẳng ( )P và trục Oy, ta có

2 2 2

2 2

2
sin

5 5 2

B B

A B AB
A B

A B

 

 


 
   
 

Góc 0;
2


  

  lớn nhất ứng với sin lớn nhất.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

 Nếu

2 2

2 2 5

0 sin

1 24

5 5 2 5

5 5

B

A A A

B B B



    

   

   

   

   

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1
5
A

B  , chọn

1; 5 2; 9 ( ) : 5 2 9 0

A B C  D  P x y z  là mặt phẳng cần tìm.

Bài 4. Trong không gian Oxyzcho điểm A(2;5;3)và đường thẳng : 1 2

2 1 2

x y z

d     . Viết

phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng dsao cho khoảng cách từ Ađến ( )P lớn nhất.

Lời giải:

- Giả sử mặt phẳng ( ) :P AxByCzD0,A2B2C2 0có véc tơ pháp tuyến
( ; ; )

P

n  A B C



- Đường thẳng dđi qua điểm M(1; 0; 2)và có véc tơ chỉ phương ud (2;1; 2). Do ( )P
chứa dnên ta có

2 2 0

. 0

2 0

( )

P d

A B

A B C C

n u

A C D

M P D A B




       

 

 

  

  


 

   



Suy ra mặt phẳng ( ) : 2P Ax2By(2AB z) 2A2B0

 Nếu B 0 ( ) :P x   z 1 0 d A P



, ( )



0.

 Nếu B0, chọn B1, khi đó ( ) : 2P Ax2y(2A1)z2A 2 0

Khi đó





2 2

9 9

, ( ) 3 6

8 4 5 1 3

2 2

d A P

A A

A

  

   
 
 
 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 1; 3

4 4 4

A  C  D .

Vậy mặt phẳng cần tìm ( ) :P x4y  z 3 0.

Bài 5. Trong không gian Oxyzcho đường thẳng

1 2
:

1 3

x t

d y t

z t

 





  


. Viết phương trình mặt phẳng

( )P chứa điểm A(10; 2; 1) song song với dvà cách dmột khoảng lớn nhất.
Lời giải:

- Giả sử mặt phẳng 2 2 2

( ) :P AxByCzD0,A B C 0có véc tơ pháp tuyến
( ; ; )

P

n  A B C



</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

10 2 0 3

2 3 0 32 7

A B
C

A B C D

A B C A B

D




 

   

 



 

   

  




Khi đó mặt phẳng ( ) : 3P Ax3By(2A B z ) 32A7B0 và ta có









2 2

33 6
, ( ) , ( )

13 10 4

A B

d d P d M P

A B AB



 

 

 Nếu 0



, ( )



33 13
13

B d d P 

 Nếu





2
33 6
0 , ( )

13 10 4

A
B
B d d P

A A

B B



  

 
 
 
 

, đặt x A
B

 và xét hàm số

2
2
(33 6)
( )

13 4 10

x
f x

x x




  suy ra mxax f x ( ) f(7). Từ đó chọn A7,B 1 C 5;D 77.

Vậy mặt phẳng cần tìm ( ) : 7P xy5z770.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1.Trong các mặt phẳng đi qua hai điểm A(1; 2; 1) và B( 1;1; 2) . Tìm mặt phẳng tạo với
mặt phẳng (xOy)một góc nhỏ nhất.

Bài 2.Trong các mặt phẳng đi qua A(1;1; 1) và vng góc với mặt phẳng
( ) : 2P xy  z 2 0. Tìm mặt phẳng tạo với Oymột góc lớn nhất.

Bài 3.Trong các mặt phẳng đi qua điểm A(2; 1;0) và song song với đường thẳng

1 2 1

1 1 1

x y z

d     

 . Xác định mặt phẳng tạo với mặt phẳng (xOy)một góc nhỏ nhất.

Bài 4.Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng : 1 1 2

2 1 5

x y z

d      sao cho

khoảng cách từ A(5;1; 6)đến ( ) là lớn nhất.

TAM GIÁC TRONG KHÔNG GIAN 
BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Cho tam giác ABC, đỉnh A



1, 2,5



và phương trình hai đường trung tuyến:

3 6 1

2 2 1

x y z

 

 và

4 2 2

1 4 1

x y z

 
 .

(i). Viết phương trình chính tắc các cạnh của tam giác ABC.

(ii). Viết phương trình chính tắc của đường phân giác trong góc A.

Lời giải:

(i). Nhận thấy Akhông thuộc hai đường trung tuyến, nên ta giả sửđó là:





: 3 6 1

2 2 1

x y z

BN     

 và





4 2 2

1 4 1

x y z

CP     

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Từđó suy ra B



2t3, 2t6,t1 ;



C u



4, 4 u2,u2



Tọa độ trọng tâm G



BN

 

 CP



là nghiệm của hệ:





3 6 1 3

2 2 1 6 3, 6,1

4 2 2

1 4 1

x y z x

y G

x y z

z

  

  

 


  

  

 

  

    



 

Ta có GA  



2, 4, 4 ;



GB 



2 , 2 ,t t t



;GC



u 1, 4u4,u1



2 2 1 0

0 4 2 4 4 0

4 1 0

t u

t

GA GB GC t u

u
t u

    


 



         
 

    



   

















7, 2, 1 6, 0, 6
1,14, 1 0,12, 6

B AB

C AC



  



 

 

  

 

 




Cạnh ABđi qua Avà có véc tơ chỉphương





: 1 2 5

1 0 1

x y z

AB AB     





.
Một cách tương tự, ta có:





: 1 2 5;





: 7 2 1

0 2 1 1 2 0

x y z x y z

AC      BC     

  .

(ii). Lấy điểm C1



1, 2v2, v 5

 

 AC



AC1



0, 2 ,v v



sao cho AC1k AC k, 0. Và
1

AB AC . Điều này tương đương với

1
2

2 12

6 6 10 10 12 10 25 6 10

1, ,

0 5 5 5

5 6 2

v k
v k

v C

k
v



  

   



    

   

 


 


Tọa độtrung điểm M của BC1là M

 

Đường phân giác trong của góc Achính là đường thẳng AM.

Bài 2.Cho hai điểm A



0, 0, 3 ,



B



2, 0, 1



và mặt phẳng

 

P : 3x8y7z 1 0.

(i). Tìm tọa độgiao điểm Icủa đường thẳng đi qua hai điểm A B, với mặt phẳng

 

P .

(ii). Tìm tọa độđiểm Cnằm trên mặt phẳng

 

P sao cho tam giác ABCđều.

Lời giải:

(i).Đường thẳng



AB



đi qua Avà có véc tơ chỉphương AB



2, 0, 2



, nên





: 0

3 2

x t
AB y

z t








   


Thay x y z, , từphương trình của



AB



vào phương trình của

 

P , ta được:







  

11 4

3.2 8.0 7 3 2 1 0 , 0,

10 5 5

t    t    t  AB  P I  

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

(ii). Gọi C x y z



, ,

  

 P sao cho tam giác ABCđều, khi đó

















2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

3 8 7 1 0

3 2 1

3 2 2

x y z
x y z

AC BC x y z x y z

AC AB x y z

    
   





 

         

 

  

    

 

2
3
2

2
2

3
3

1
3

x
x

y y

z


 



 

 

     
   

 

 



Vậy có hai điểm 1



2, 2, 3 ;



2 2, 2, 1

3 3 3

C   C    

 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 3. Cho tam giác ABC có đỉnh C



3, 2,3



và phương trình đường cao

2 3 3

1 1 2

x y z

AH     

 và đường phân giác trong

1 4 3

1 2 1

x y z

BM     



Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Lời giải:

Ta có



 





 







2 , 3 , 3 2

1 , 4 2 , 3 2, 2 2,

A t t t AH

B u u u BM BC u u u

    




        






Do AHBC BC AH. 0



2 u

 

2 2u



2u 0 u 0 B



1, 4,3



          .
Ta có BA



1   t, 1 t, 2 ;t



BM 



1, 2,1 ;



BC



2, 2, 0



Vì BMlà đường phân giác trong của góc B, do đó

























 

2 2 2

1 2 1 2 1.2 2. 2 1.0

os , os ,

1
4 4

1 1 4

t

t t t

c BA BM c BM BC

t

t t t


        

    

 

 

    

   

+
với t 0 A



2,3,3



A B C, , thẳng hang, nên loại.

+ Với t  1 A



1, 2,5



, khi đó ABACBC2 2.

Bài 4. Cho ba điểm A



1, 4,5 ;



B



0,3,1 ;



C



2, 1, 0



và mặt phẳng

 

P : 3x3y2z150.
Gọi Glà trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủđểđiểm M

thuộc mặt phẳng

 

P có tổng các bình phương khoảng cách đến các điểm A B C, , nhỏ nhất là

điểm M phải là hình chiếu vng góc của Gtrên mặt phẳng

 

P . Xác định tọa độđiểm đó.
Lời giải:

Ta có 2 2 2



 



MA MB MC  MG GA   MG GB   MG GC













2 2 2 2 2 2 2 2

3MG GA GB GC 2MG GA GB GC. 3MG GA GB GC

              Từđó

suy ra 2 2 2

MA MB MC nhỏ nhất, khi và chỉ khi MGnhỏ nhất, điều này tương đương với

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Dễ thấy G



1, 2, 2



Đường thẳng

 

d đi qua Gvà vng góc với mặt phẳng

 

P nhận véc tơ pháp tuyến



3, 3, 2



n  



của

 

P làm véc tơ chỉphương, nên

 

1 3

: 2 3

2 2

x t

d y t

z t

 



 

  


Khi đó điểm M cần tìm chính là giao điểm của

   

d , P M



4, 1, 0



BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
Bài 1.

MẶT CẦU

Phương trình chính tắc của mặt cầu

 

S có tâm I a b c



, ,



và bán kính Rlà

  

S : xa



2



yb



2



zc



2 R2.

Phương trình tổng quát của mặt cầu

 

S :x2y2z22ax2by2czd0.
Các dạng bài tốn

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối đa diện hoặc có tâm thỏa mãn

điều kiện nào đó.

(i). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Phương pháp:

Giả sử mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDcó phương trình là

 

2 2 2

: 2 2 2 0

S x y z  ax by czd .

Từđiều kiện A B C D, , , thuộc

 

S , ta thay tọa độ của A B C D, , , lần lượt vào phương trình
của

 

S , giải hệ 4 ẩn a b c d, , , .

(ii). Mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.

(iii). Mặt cầu có đường kính là đoạn vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

   

d1 , d2 .

Phương pháp:

Tìm tọa độtrung điểm của đoạn vng góc chung của

   

d1 , d2 và độdài đoạn vng góc
chung.

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A



0,1, 0 ,



B



1, 0, 0 ,



C



0, 0,1



và có tâm I

nằm trên mặt phẳng

 

P :xy  z 3 0.

Lời giải:

Giả sử mặt cầu

 

S có phương trình:

 

S :x2y2z22ax2by2czd0.

Điểm A



0,1, 0

  

 S  1 2b d 0(1).

Tương tự có :

1 2 0(2)

1 2 0(3)

3 0(4)

a d
c d
a b c

  




  


    



</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Vậy

 

S :x2y2z22x2y2z 1 0.

Bài 2.Cho hai đường thẳng

 

1

2 1

: 2

3 3

x t
d y t

z t

 



 


  


và

 

2

: 3 2

3 1

x u

d y u

z u

 



  


  


Viết phương trình đường vng góc chung của

   

d1 , d2 . Và viết phương trình mặt cầu

 

S
có đường kính là đoạn vng góc chung của

   

d1 , d2 .

Lời giải :

(i).Đường thẳng

 

d1 có véc tơ chỉphương u



2,1, 3



và đường thẳng

 

d2 có véc tơ chỉ
phương v



1, 2, 3



Lấy điểm A



2t1,t2, 3t3

  

 d1 ;B u



2, 3 2 ,3  u u1

  

 d2 suy ra



2 1, 2 5, 3 3 4



AB u t u t u t

       , và ABlà đoạn vng góc chung của

   

1 2

. 0
,

. 0

AB u
d d

AB v

 

 






 

















2 2 1 2 5 3 3 3 4 0 9

2 1 2 2 5 3 3 3 4 0

u

u t u t u t

t




        


 

 

        

 

 




Từđó suy ra 67 47 20, , ; 43 23 84, , ; 24, 24 24, 24



1, 1,1



9 9 3 9 9 9 9 9 9 9

A  B  AB    

     



Vậy phương trình đoạn vng góc chung của

   

d1 , d2 đi qua Avà có véc tơ chỉphương



 1, 1,1



Vậy

67
9
47
:

9
20

x t

AB y t

z t



 





 





 




(ii). Tọa độtrung điểm I của AB là 55 35, ,8
9 9

I 

  và

8 3
3

AB

Khi đó mặt cầu cần tìm là

 





2 2

55 35 48

: 8

9 9 9

S x  y   z 

    .

Dạng 2: Vịtrí tương đối của điểm, đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu với mặt cầu và các bài

toán liên quan.

(i). Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng.

(ii). Mặt cầu cắt mặt phẳng.

(iii). Mặt cầu cắt, tiếp xúc với đường thẳng.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Bài 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng

 

: 2 4 7 0

4 5 14 0

x y z

d

x y z

   




   


và tiếp
xúc với hai mặt phẳng

 

P :x2y2z 2 0 và

 

Q :x2y2z 4 0.

Bài 2.Cho đường thẳng

 

: 1 2

3 1 1

x y z

d     và mặt phẳng

 

P : 2x y 2z 2 0.
Viết phương trình mặt cầu

 

S có tâm nằm trên

 

d , tiếp xúc với

 

P và có bán kính bằng 1.

Bài 3.Cho đường thẳng

 

: 2 3 0

3 0

x y z

d

x y z

   




   


và hai mặt phẳng

 

P : 5x4y  z 6 0 và

 

Q : 2x   y z 7 0.

Viết phương trình mặt cầu

 

S có tâm tại giao điểm của

   

d , P , biết

 

Q cắt

 

S theo thiết
diện là hình trịn có diện tích 20 2

 .

Bài 4. Viết phương trình mặt cầu

 

S có tâm I



3, 2, 4



và tiếp xúc với đường thẳng

 

: 3

2 4 1

x y z

d    .

Bài 5. Viết phương trình mặt cầu tâm I



1,1,1



cắt đường thẳng

 

: 2 9 0

2 5 0

x y z

d

y z

   




  


tại hai

điểm phân biệt A B, sao cho độ dài AB16.

Bài 6. Cho mặt cầu

 

S :x2 y2 z2 2x 2z 2 0

      và mặt phẳng

 

P : 2x2y  z 6 0.
Tìm điểm M

 

S sao cho khoảng cách từ M đến

 

P đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 7. Chứng minh rằng mặt cầu x2y2z24x6y6z170cắt mặt phẳng

2 2 1 0

x y z  theo giao tuyến là một đường tròn

 

C . Viết phương trình mặt cầu

 

S

chứa

 

C và có tâm thuộc mặt phẳng

 

P :xy  z 3 0.

Bài 8. Viết phương trình mặt phẳng

 

P tiếp xúc với mặt cầu

 

2 2 2

: 10 2 26 113 0

S x y z  x y z  , đồng thời song song với hai đường thẳng

 

5 1 13

2 3 2

x y z

d     

 và

 

7 1 8

3 2 0

x y z

d     

 .

Bài 9. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng

 

: 8 11 8 30 0

2 0

x y z

d

x y z

   




  


và tiếp
xúc với mặt cầu

 

S :x2 y2z22x6y4z150.

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1.Cho hai điểm A



2,1,1 ;



B



0, 1,3



và đường thẳng

 

: 3 2 11 0

3 8 0

x y

d

y z

  




  


(i). Viết phương trình mặt phẳng

 

P đi qua trung điểm Icủa ABvà vng góc với AB. Gọi

Klà giao điểm của

   

d , P . Chứng minh rằng IKvng góc với

 

d .

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Bài 2.Cho hai đường thẳng

 

1 :

1 2 2

x y z

d   và

 

2

1 2
:

x t

d y t
z t

  





  


(i). Chứng minh rằng

   

d1 , d2 chéo nhau.

(ii). Tìm điểm M

 

d1 ,N

 

d2 sao cho MNsong song với mặt phẳng

 

P :x  y z 0và

độ dài MN 2.

Bài 3. Cho hình lập phương ABCD A B C D. 1 1 1 1 có A



0, 0, 0 ;



B



2, 0, 0 ;



D1



0, 2, 2



. Gọi M là

trung điểm của BC. Chứng minh rằng tỷ số khoảng cách từđiểm NAC N1,  Atới hai mặt
phẳng



AB D1 1

 

, AMB1



khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm N.

Bài 4.Cho hai điểm A



4, 0, 0 ;



B



0, 4, 0



và mặt phẳng

 

P : 3x2y  z 4 0. Gọi Ilà

trung điểm của AB. Tìm điểm Kcách đều gốc tọa độ và mặt phẳng

 

P sao cho IK

 

P .

Bài 5.Cho hai đường thẳng

 

1
1

: 1

x t

d y t

z

 



  


 


và

 

2 : 3 1

1 2 1

x y z

d    



Tìm điểm A

 

d1 ,B

 

d2 sao cho độ dài ABnhỏ nhất.

Bài 6.Cho đường thẳng

 

: 3 2 1

2 1 1

x y z

d     

 và mặt phẳng

 

P :xy  z 2 0.

Xác định giao điểm M của

   

d , P . Viết phương trình đường thẳng

 

 nằm trong mặt
phẳng

 

P , vng góc với

 

d sao cho khoảng cách từ M đến

 

 bằng 42.

Bài 7.Cho hai đường thẳng

 

1 : 1 3

2 3 2

x y z

d    

 và

 

5 5

6 4 5

x y z

d    

 và mặt phẳng

 

P :x2y2z 1 0. Tìm tọa độđiểm M

 

d1 ,N

 

d2 sao cho MNsong song với

 

P

và cách

 

P một khoảng bằng 2.

Bài 8. Viết phương trình mặt phẳng

 

P đi qua điểm M



 4, 9,12



và cắt các trục tọa độ
, ,

Ox Oy Ozlần lượt tại A B C, , sao cho 4 1 1

OC OA OB

OC OA OB

 





 




Bài 9.Cho điểm I



0,1,3



và hai đường thẳng

 

1 : 3 3 3

2 2 1

x y z

d      và

 

5 6 6 13 0

6 6 7 0

x y z

d

x y z

   




   


(i). Chứng minh rằng

   

d1 , d2 chéo nhau.

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Bài 10.Cho điểm A



0,1, 2



và hai đường thẳng

 

1 : 1 1

2 1 1

x y z

d    

 và

 

: 1 2

x t

d y t

z t

 



  


  


Tìm tọa độđiểm M

 

d1 ,N

 

d2 sao cho A M N, , thẳng hàng.

Bài 11.Cho điểm A



0,1, 0 ;



B



2, 2, 2 ;



C



2, 3,1



và đường thẳng

 

: 1 2 3

2 1 2

x y z

d     

 .

(i). Tìm điểm M

 

d để thể tích tứ diện MABC bằng 3.

(ii). Tìm điểm N

 

d để cho diện tích tam giác NABnhỏ nhất.

Bài 12. Cho mặt phẳng

 

P : 2x   y z 5 0. Viết phương trình mặt phẳng

 

Q đi qua giao

tuyến của

 

P và mặt phẳng



xOy



và

 

Q tạo với ba mặt phẳng tọa độ một tứ diện có thể

tích bằng 125

36 .

Bài 13. Tìm trên đường thẳng Oxđiểm Acách đều đường thẳng

 

: 1 2

1 2 2

x y z

d     và

mặt phẳng

 

P : 2x y 2z0.

Bài 14.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyzcho mặt cầu

 

2 2 2

: 4 2 4 0

S x y z  x y  và mặt phẳng ( ) :P x2y2z 9 0. Viết phương trình
đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu

 

S , nằm trên ( )P và cắt trục hồnh.

Bài 15.Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyzcho điểm A(3; 2;1), 2 điểm B D, nằm trên

đường thẳng : 1 2 2

1 2 1

x y z

  

 , điểm Cnằm trên mặt phẳng ( ) : 2P xy  z 3 0.

Tìm tọa độ điểm Bbiết tứ giác ABCDlà hình chữ nhật.

Bài 16.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyzcho hai mặt phẳng

   

P1 , P2 có các

phương trình tuuowng ứng là 2x y 2z 1 0và 2x y 2z 5 0và điểm A



1;1;1



nằm

trong khoảng giữa hai mặt phẳng đó. Gọi

 

S là mặt cầu bất kỳ qua Avà tiếp xúc với cả hai
mặt phẳng

   

P1 , P2 . Gọi Ilà tâm của mặt cầu

 

S . Chứng tỏ rằng Ithuộc một đường tròn
cố định. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường trịn đó.

MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA 
ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

Bài 1. Cho hình lập phương ABCD A B C D. 1 1 1 1cạnh bằng a.

(i). Tính theo a khoảng cách giữa A B1 và B D1 .

(ii). Gọi M N P, , theo thứ tựlà trung điểm các cạnh BB CD A D1, , 1 1. Tính góc giữa MPvà
1

C N.

Bài 2. Cho hình lập phương ABCD A B C D. 1 1 1 1cạnh bằng a. Gọi M N, theo thứ tựlà trung điểm
các cạnh AD CD, . Lấy điểm PBB BP1, 3PB1. Tính diện tích thiết diện do mặt phẳng

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. 1 1 1 1 có ABa AD, 2 ,a AA1a.

(i). Tính theo a khoảng cách giữa AD B C1, 1 .

(ii). Gọi M là điểm chia đoạn ADtheo tỷ số AM 3

MD  . Tính khoảng cách từ Mđến mặt

phẳng



AB C1



(iii). Tính thể tích tứ diện AB D C1 1 .

Bài 4. Cho tứ diện ABCDcó ADvng góc với mặt phẳng



ABC



. Và có

4, 3, 5

AC AD AB BC . Tính khoảng cách từ Ađến mặt phẳng



BCD



Bài 5. Cho hình lập phương ABCD A B C D. 1 1 1 1cạnh bằng a. Gọi M N, lần lượt là trung điểm
của BC DD, 1.

(i). Chứng minh rằng MN/ /



A BD1



(ii). Tính khoảng cách giữa BDvà MNtheo a.

Bài 6. Cho hình lập phương ABCD A B C D. 1 1 1 1cạnh bằng 1. Lấy M N P, , theo thứ tự thuộc
1, , 1 1

BB CD A Dsao cho B M1 CN D P1 a(0a1).

Chứng minh rằng MNa AB AD



a1



AA1 và AC1vng góc với mặt phẳng



MNP



</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42></div>

Hình học giải tích không gian

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>

<b> 12: </b>

<b>HÌNH H</b>

<b>Ọ</b>

<b>C GI</b>

<b>Ả</b>

<b>I TÍCH TRONG KHƠNG </b>









 

<sub>   </sub>

 

<sub></sub>

<sub></sub>

 

<sub>   </sub>

 





<sub> </sub>

 

   





<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub>   </sub>

   

 

 

 

 

<sub> </sub>

<sub> </sub>

 

 

 

   

<sub> </sub>

<sub> </sub>

 

 

<sub> </sub>

<sub> </sub>

 

 

 

 

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub>   </sub>

<sub>   </sub>

 

 

   

<sub> </sub>

<sub>   </sub>

<sub> </sub>

<sub>   </sub>

   

<sub>   </sub>

   

<sub> </sub>

<sub>   </sub>

   

<sub>   </sub>

   

<sub>   </sub>

<sub>   </sub>

   

   

 

   

 

   