Kỹ thuật phễu tìm đường đi ngắn nhất từ một đỉnh tới tất cả các đỉnh trên bề mặt khối đa diện lồi trong ba chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

PHẠM QUANG KHẢI

CƠNG THỨC BLACK – SCHOLES TRONG
TỐN TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà nội – Năm 2013

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

PHẠM QUANG KHẢI

CƠNG THỨC BLACK – SCHOLES TRONG
TỐN TÀI CHÍNH
Chun ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê tốn học
Mã số
: 604615

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. TRẦN HÙNG THAO

Hà nội – Năm 2013

2


LỜI MỞ ĐẦU
Trong việc định giá các gói tài sản tài chính trong một thị trƣờng
chứng khốn thì mơ hình Black – Sholes ra đời vào năm 1973 đƣợc đánh
dấu nhƣ một bƣớc ngoặt có tính chất cách mạng, làm thay đổi hẳn q trình
tính tốn và đầu tƣ trên các thị trƣờng tài chính Mỹ và Châu Âu kể từ đó.
Mơ hình định giá quyền chọn này đƣợc gắn liền với tên tuổi của
Fischer Black, Myron Scholes và Merton Miller và là cơ sở cho một giải
thƣởng Nobel về kinh tế năm 1986. Để đi tới phƣơng trình giá và cơng thức
định giá, các tác giả của mơ hình này đã giả thiết rằng sự biến đổi của giá
chứng khoán cơ sở S  t  theo thời gian t là một quá trình chuyển động
Brown hình học:


2 
S  t   S  0  exp   
 t   dWt  ,
2 



(0.1)

hay dƣới dạng vi phân

dS  t    S t  dt   S t  dWt ,

(0.2)

trong đó các hệ số  và  đƣợc định giả thiết là các hằng số,  biểu thị
tốc độ biến đổi trung bình của giá chứng khốn S  t  còn  đƣợc gọi là độ
biến động, thể hiện mức độ tham gia của nhiễu ngẫu nhiên dWt .
Trong quá trình ứng dụng về sau, mơ hình Black – Sholes cổ điển tỏ
ra có nhiều hạn chế, chƣa phản ánh tốt sự phát triển thực tế việc định giá
các hợp đồng quyền chọn. Các nhà nghiên cứu toán học và kinh tế tài chính
đã mở rộng mơ hình này cho phù hợp hơn với thực tế.

3


Sự mở rộng đã đƣợc phát triển theo hai hƣớng chính:
1. Hƣớng thứ nhất nhằm thay thế q trình điều khiển Wiener (chuyển
động Brown) Wt bởi một quá trình khác, chẳng hạn một q trình khuếch
tán có bƣớc nhảy hay một quá trình Lévy, hay một quá trình tổng hợp nhiều
loại chuyển động ngẫu nhiên hay một quá trình phân thứ. Đã có rất nhiều
thành cơng theo hƣớng này, trong đó phải kể đến các cơng trình của
E.Eberlein, T.Bjork, D.Nualart….
2. Một khuynh hƣớng tự nhiên thứ hai là không xem tốc độ biến đổi 
và tốc độ biến động  của chứng khoán là hằng số nữa mà phải xem chúng
biến đổi hoặc theo thời gian t :     t  ,     t  , hoặc là các biến ngẫu
nhiên hoặc là các hàm ngẫu nhiên.
Theo hƣớng này, gần đây đã xuất hiện cơng trình đặc biệt của hai tác
giả Richard J.Criego và Anatoly V.Swishchuk, nghiên cứu mơ hình Black –
Scholes với các hệ số  và  phụ thuộc vào một xích Markov: ở mỗi
trạng thái của xích Markov này thì có thể xem giá chứng khốn tn theo

mơ hình Black – Scholes cổ điển, nhƣng theo thời gian với sự chuyển trạng
thái của xích Markov thì giá chứng khốn lại ứng với một mơ hình Black –
Scholes cổ điển khác. Ta có thể nói một cách sơ lƣợc rằng ta có một mơ
hình Black – Scholes đƣợc “nhúng” trong một mơi trƣờng ngẫu nhiên tạo
ra bởi một xích Markov.
Luận văn này đã tổng hợp một cách có hệ thống những kết quả chính
của cơng trình này. Luận văn gồm 3 chƣơng:
Chương I gồm các kiến thức mở đầu, trình bày một số khái niệm cơ
bản về Tốn Tài Chính và Giải tích ngẫu nhiên liên quan
đến đề tài luận văn nhƣ Quyền chọn, Trái phiếu và lãi
suất, Toán tử sinh cực vi, cơng thức Feynman – Kac …
Chương II trình bày chung về các phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên mà
hệ số dịch chuyển (drift)  và hệ số khuếch tán (diffusion)

 phụ thuộc vào một xích Markov.

4


Chương III trình bày mơ hình Black – Scholes với các hệ số  và 
phụ thuộc vào một xích Markov, dẫn giải cách đi tìm cơng
thức định giá Black – Scholes cho mơ hình quyền chọn này
thơng qua phƣơng pháp Feynman – Kac.
Phần cuối của luận văn, ngoài Kết luận cịn có một Phụ lục liên quan tới
kĩ thuật tính tốn trong nội dung của luận văn, đó là
Phụ lục 1 gồm Phương pháp độ đo xác suất rủi ro trung tính.
Phụ lục 2 gồm Các định lý Girsanov về biến đổi độ đo.
Luận văn này đã đƣợc hoàn thành sau một thời gian dài nỗ lực của tác
giả với sự hƣớng dẫn nhiệt tình và sự động viên liên tục của thầy hƣớng
dẫn PGS – TS Trần Hùng Thao.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Trần Hùng Thao,
ngƣời đã hết lòng chỉ bảo, động viên, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến trƣờng Đại học Khoa học Tự
nhiên nơi tác giả đƣợc học tập, nghiên cứu trong suốt quá trình học Cao
học và trong quá trình làm luận văn, cảm ơn trƣờng Đại học Hàng hải Việt
Nam nơi tác giả đang công tác đã luôn tạo điều kiện tốt nhất để tác giả có
thể tập trung học tập và hồn thành luận văn này. Tác giả cũng xin gửi lời
cảm ơn đến gia đình, bạn bè, động nghiệp đã giúp đỡ và động viên tác giả
trong suốt thời gian qua.
Tuy có nhiều cố gắng nhƣng do khả năng còn hạn chế, thời gian không
dài nên luận văn này không tránh khỏi những sai sót. Tác giả mong nhận
đƣợc sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp. Hy vọng sau luận
văn này tác giả sẽ có cơ hội phát triển thêm những nội dung khoa học thú vị
trong luân văn.
Ngày 30 tháng 10 năm 2013
Học viên
Phạm Quang Khải

5


MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1
MỤC LỤC ..................................................................................................... 6
CHƢƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................ 8
1.1 Trái phiếu, cổ phiếu, lãi suất. ................................................................. 8
1.1.1 Trái phiếu ............................................................................................. 8
1.1.2 Cổ phiếu .............................................................................................. 8
1.1.3 Lãi suất ................................................................................................ 9
1.2 Thị trƣờng đầy đủ và khơng đầy đủ ...................................................... 11

1.2.1 Cơ hội có độ chênh thị giá ................................................................. 11
1.2.2 Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trƣờng đầy đủ. ......................... 15
1.3 Quyền chọn mua kiểu Châu Âu ............................................................ 16
1.4 Q trình Markov, xích Markov và toán tử sinh cực vi ........................ 18
1.4.1 Quá trình Markov ............................................................................... 18
1.4.2 Xích Markov ...................................................................................... 18
1.4.3 Tốn tử sinh cực vi ............................................................................. 21
1.5 Quá trình Poisson và chuyển động Brown ............................................ 25
1.5.1 Quá trình Poisson ............................................................................... 25
1.5.2 Quá trình Poisson phức hợp ............................................................... 27
1.5.3 Chuyển động Brown ( hay q trình Wiener ) ................................... 28
1.6 Cơng thức Feynman – Kac.................................................................... 30
CHƢƠNG II QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ĐIỀU KHIỂN BẰNG XÍCH
MARKOV……………………………………………………………….. 30
2.1 Q trình ngẫu nhiên đƣợc điều khiển bởi xích Markov. ..................... 32
2.2 Các kết quả ............................................................................................ 35
CHƢƠNG III MƠ HÌNH BLACK – SCHOLES ĐỐI VỚI THỊ TRƢỜNG
KHƠNG ĐẦY ĐỦ (B,S,X) ........................................................................ 39

6


3.1 Cơng thức Feynman-Kac cho q trình tiến hóa ngẫu nhiên Z ............ 39
3.2 Phƣơng trình Black – Scholes cho thị trƣờng chứng khốn khơng đầy
đủ  B, S , X  . ............................................................................................... 42
3.3 Quyền chọn mua kiểu Châu Âu trong thị trƣờng  B, S , X  ............... 44
3.4 Công thức Black – Sholes cho thị trƣờng  B, S , X  .............................. 45
Kết luận ....................................................................................................... 48
PHỤ LỤC .................................................................................................... 49
Tài liệu tham khảo ....................................................................................... 56

7


CHƢƠNG I
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản về Tốn Tài chính và
Giải tích ngẫu nhiên liên quan đến đề tài của luận văn.
Trƣớc tiên, ta nêu ra khái niệm về các tài sản cơ sở là trái phiếu và cổ
phiếu trên cơ sở đó tạo ra các gói tài sản mà nhà đầu tƣ muốn thiết lập.Các
gói tài sản này gọi là các tài sản phái sinh. Tài sản phái sinh đặc biệt mà ta
đề cập tới ở đây là một loại hợp đồng tài chính mà ta gọi là các quyền chọn,
gồm quyền chọn mua và quyền chọn bán. Và mơ hình Black-Scholes chính
là một mơ hình cho phép định giá quyền chọn mua (hoặc bán) mà ta sẽ nói
tiếp theo ở chƣơng này và đƣợc phát triển ở các chƣơng sau với sự tham
gia của một xích Markov. Phần sau của chƣơng nói về xích Markov và
những vấn đề liên quan đến luận án,
1.1 Trái phiếu, cổ phiếu, lãi suất.
1.1.1. Trái phiếu
1. Khái niệm
Trái phiếu là một loại chứng khoán quy định nghĩa vụ của ngƣời phát
hành (ngƣời vay tiền) phải trả cho ngƣời nắm giữ chứng khoán (ngƣời
cho vay) một khoản tiền xác định, thƣờng là trong những khoảng thời
gian cụ thể, và phải hoàn trả khoản cho vay ban đầu khi nó đáo hạn.
2. Đặc điểm
a. Một trái phiếu thơng thƣờng có ba đặc trƣng chính, đó là
- Mệnh giá.
- Lãi suất định kỳ (coupon).
- Thời hạn.

8


b. Trái phiếu thể hiện quan hệ chủ nợ – con nợ giữa ngƣời phát
hành và ngƣời đầu tƣ
Phát hành trái phiếu là đi vay vốn. Mua trái phiếu là cho ngƣời phát
hành vay vốn và nhƣ vậy, trái chủ là chủ nợ của ngƣời phát hành. Là chủ
nợ, ngƣời nắm giữ trái phiếu (trái chủ) có quyền địi các khoản thanh toán
theo cam kết về khối lƣợng và thời hạn, song khơng có quyền tham gia vào
những vấn đề của bên phát hành.
c. Lãi suất của các trái phiếu rất khác nhau, đƣợc quy định bởi
các yếu tố:
Cung cầu vốn trên thị trƣờng tín dụng. Lƣợng cung cầu vốn đó lại tuỳ
thuộc vào chu kỳ kinh tế, động thái chính sách của ngân hàng trung ƣơng,
mức độ thâm hụt ngân sách của chính phủ và phƣơng thức tài trợ thâm hụt
đó.
Mức rủi ro của mỗi nhà phát hành và của từng đợt phát hành. Cấu trúc
rủi ro của lãi suất sẽ quy định lãi suất của mỗi trái phiếu. Rủi ro càng lớn,
lãi suất càng cao.
Thời gian đáo hạn của trái phiếu. Nếu các trái phiếu có mức rủi ro nhƣ
nhau, nhìn chung thời gian đáo hạn càng dài thì lãi suất càng cao.
1.1.2 Cổ phiếu
Cổ phiếu là chứng chỉ do công ty cổ phần phát hành hoặc bút toán ghi
sổ xác nhận quyền sở hữu một hoặc một số cổ phần của cơng ty đó. Cổ
phiếu có thể ghi tên hoặc khơng ghi tên. Cổ phiếu phải có các nội dung chủ
yếu sau đây:
Tên, địa chỉ trụ sở chính của cơng ty;
Số và ngày cấp Giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh;
Số lƣợng cổ phần và loại cổ phần;

9


Mệnh giá mỗi cổ phần và tổng mệnh giá số cổ phần ghi trên cổ phiếu;
Họ, tên, địa chỉ thƣờng trú, quốc tịch, số Giấy chứng minh nhân dân,
Hộ chiếu hoặc chứng thực cá nhân hợp pháp khác của cổ đông là cá nhân;
tên, địa chỉ thƣờng trú, quốc tịch, số quyết định thành lập hoặc số đăng ký
kinh doanh của cổ đông là tổ chức đối với cổ phiếu có ghi tên;
Tóm tắt về thủ tục chuyển nhƣợng cổ phần;
Chữ ký mẫu của ngƣời đại diện theo pháp luật và dấu của công ty;
Số đăng ký tại sổ đăng ký cổ đông của công ty và ngày phát hành cổ
phiếu;
Các nội dung khác theo quy định dƣới đây đối với cổ phiếu của cổ
phần ƣu đãi.
1.1.3 Lãi suất
Lãi suất là tỷ lệ của tổng số tiền phải trả so với tổng số tiền vay trong
một khoảng thời gian nhất định. Lãi suất là giá mà ngƣời vay phải trả để
đƣợc sử dụng tiền không thuộc sở hữu của họ và là lợi tức ngƣời cho vay
có đƣợc đối với việc trì hỗn chi tiêu.
Có nhiều loại lãi suất nhƣ: lãi suất tiền vay; lãi suất tiền gửi; lãi suất tái
cấp vốn; lãi suất liên ngân hàng, v.v.
Theo John Maynard Keynes lãi suất là một hiện tƣợng tiền tệ phản ánh
mối quan hệ giữa cung và cầu về tiền. Cung tiền đƣợc xác định một cách
ngoại sinh, cầu tiền phản ánh các nhu cầu đầu cơ, phòng ngừa và giao dịch
về tiền.
Trái với Keynes, các nhà kinh tế học cổ điển trƣớc đó đã coi lãi suất là
một hiện tƣợng thực tế, đƣợc xác định bởi áp lực của năng suất - cầu về
vốn cho mục đích đầu tƣ - và tiết kiệm.
Tác động tới nền kinh tế
Thông qua vay nợ

10


Lãi suất tăng làm giảm vay nợ. Cá nhân giảm đi vay và tăng gửi tiết
kiệm, do đó giảm tiêu dùng và tác động tiêu cực tới tổng cầu.
Doanh nghiệp giảm vay mới và do đó giảm đầu tƣ mới, nên tác động tiêu
cực tới tổng cầu. Mặt khác, lãi suất tăng cịn có nghĩa là giá cả các khoản
vay hiện thời của doanh nghiệp tăng, có nghĩa là giá vốn tăng hay chi phí
sản xuất tăng. Điều này làm giảm lợi nhuận của doanh nghiệp, khiến doanh
nghiệp có xu hƣớng thu hẹp sản xuất; do đó tác động tiêu cực tới tổng cầu.
Giãn thợ còn làm giảm thu nhập của ngƣời lao động. Điều này khiến họ
giảm tiêu dùng. Tổng cầu lại chịu tác động tiêu cực.
Đối với hoạt động vay cầm cố, khi lãi suất tăng ngƣời ta sẽ giảm nhu
cầu vay để xây hay mua nhà, do đó đầu tƣ xây nhà giảm, ảnh hƣởng tiêu
cực tới tổng cầu. Nó cịn khiến cho việc trả nợ các khoản vay cầm cố hiện
thời trở nên khó khăn hơn khiến ngƣời đi vay phải giảm tiêu dùng để còn
trả nợ. Tổng cầu vì thế chịu tác động tiêu cực.
Lãi suất trong nƣớc tăng tƣơng đối so với lãi suất ở nƣớc ngồi sẽ
khiến cho dịng vốn từ nƣớc ngồi tăng cƣờng chảy vào trong nƣớc. Điều
này làm cho tỷ giá hối đoái giữa nội tệ với ngoại tệ giảm xuống. Xuất khẩu
rịng vì thế giảm đi, khiến cho tổng cầu giảm theo.
1.2 Thị trƣờng đầy đủ và không đầy đủ
1.2.1 Cơ hội có độ chênh thị giá
Cho một thị trƣờng, giả sử là một thị trƣờng chứng khoán nào đó.
Một phƣơng án đầu tƣ trong thị trƣờng là tổ hợp của một số hữu hạn các
chứng khoán với các trọng số nào đó. Giả sử có n+1 chứng khốn với các
giá trị tại thời điểm t là X i  t  ,0  i  n . Mỗi phƣơng án đầu tƣ là mỗi cách
chọn ra i  t  chứng khoán Xi, 0  i  n tại mỗi thời điểm t để đầu tƣ. Vì
vậy có thể hiểu rằng

Định nghĩa 1

11


Một phƣơng án đầu tƣ trong thị trƣờng  X  t t 0,T là một quá trình




ngẫu nhiên đo đƣợc n + 1 chiều và thích nghi với F t ( m ) :

  t ,   0  t ,  ,...,n  t ,   ,0  t  T

(1.1)

Một phƣơng án đầu tƣ sẽ đƣợc gọi là phƣơng án bán đối với chứng
khoán Xi, 0  i  n nếu i  t   0 và đƣợc gọi là phƣơng án mua đối với
chứng khốn đó nếu i  t   0 .
Định nghĩa 2
Giá trị của phƣơng án đầu tƣ   t  tại thời điểm t đƣợc xác định là:
V



n

 t   V  t ,     t .X t   i t  X i t 


(1.2)

i 0

Định nghĩa 3
Tại một thời điểm t, phƣơng án đầu tƣ có thể đƣợc cân đối lại, tức là
điều chỉnh lại việc mua và bán các chứng khoán X i  0  i  n  . Điều đó có
nghĩa là thay đổi các trọng số của phƣơng án đầu tƣ từ i  t  sang

 i  t  ,0  i  n . Nếu sau sự cân đối lại đó, giá của của phƣơng án đầu tƣ
không đổi, tức là ta có hệ thức:
n

n

i 0

i 0

i  t  X i  t    i  t  X i t 
thì ta gọi sự cân đối lại đó là sự cân đối tự tài trợ. Phƣơng án đầu tƣ   t 
khi đó gọi là phƣơng án đầu tƣ tự tài trợ.
Điều này có nghĩa là   t  sẽ là phƣơng án đầu tƣ tự tài trợ nếu
dV  t     t  dX  t  .

(1.3)

Thật vậy, giả sử ta đang xét mơ hình thị trƣờng với thời gian rời rạc.
Khi đó nếu có X  t   X  t   X  s  , 0  s  t , là sự thay đổi giá cả vào

12


thời điểm t,   t  là phƣơng án đầu tƣ tại thời điểm t, vậy sự thay đổi giá
trị của phƣơng án đầu tƣ cho bởi:
V  t   V t   V  s    t .X t 

(1.4)

tức là khơng có nguồn tiền nào đƣợc thêm vào cũng nhƣ rút ra từ hệ thống,
cũng có nghĩa là phƣơng án đầu tƣ của ta là tự tài trợ.
Mơ hình thời gian liên tục đƣợc hiểu là giới hạn của mơ hình thị trƣờng
với thời gian rời rạc khi t – s dần tới 0, do đó, theo định nghĩa của tích phân
Itơ, ta có (1.3).
Nhận xét:
i) Nếu phƣơng án đầu tƣ  là tự tài trợ đối với X  t  thì  cũng là tự
tài trợ đối với thị trƣờng chuẩn X  t  , trong đó: X  t   X 0  t  . X  t  .
1

Thật vậy, giả sử  là phƣơng án đầu tƣ tự tài trợ đối với thị trƣờng X  t  .
Gọi V



 t  là quá trình giá của 

V



đối với thị trƣờng chuẩn. Khi đó:

 t     t .X t    t .X 01 t .X t   X 01 t .V  t 

Áp dụng công thức Itô, ta có:
dV



 t   X 01  t  dV   t   V  t  d  X 01 t  
 X 01  t   t  dX  t     t  X 01  t V   t  dt
 X 01  t   t   dX  t     t  X  t  dt     t  d X  t 

Điều này dẫn đến   t  là phƣơng án đầu tƣ tự tài trợ đối với X  t  .

13


ii) Kết hợp (1.2) và (1.3), ta suy ra :
n

n

0  t  X 0  t   i  t  X i  t   V  t    0  s  dX 0  s     i  s  dX i  s 
t



0

i 1

i 1

Giả thiết rằng   t  là một q trình Itơ. Khi đó, nếu đặt

t

0

Y0  t   0  t . X 0  t  , ta đƣợc:
n
t
t


dY0  t   d V   t    0  s  dX 0  s      i  s  dX i  s   i  t  X i  t   .
 0
 
0
i 1 


n

t
Đặt A  t      i  s  dX i  s   i  t  X i  t  , ta có:
 0

i 1 

dY0  t   0  t  dX 0  t   dA t     t Y0 t  dt  dA t  .
t

Phƣơng trình vi phân này có nghiệm   t Y0  t   0  0      t  dA  s  , với
0

t

  t   X 01  t   0  t   0  0      s  dA  s  . Lấy tích phân từng phần vế
0

phải, ta suy ra
t

0  t   V   0     t  A  t      s   s  A  s  ds
0

(1.5)

Định nghĩa 4
Một phƣơng án đầu tƣ tự tài trợ đƣợc gọi là một phƣơng án đầu tƣ
chấp nhận đƣợc nếu q trình giá tƣơng ứng của nó là  t ,   bị chặn dƣới
hầu chắc chắn, tức là tồn tại K  K     sao cho V   t ,    K với hầu
hết  t ,  0,T    .
(Điều kiện này có thể đƣợc hiểu là cần phải có một giới hạn cho số
tiền nợ nhà đầu tƣ có khả năng thanh tốn)
Định nghĩa 5
Một phƣơng án đầu tƣ tự tài trợ gọi là một cơ hội có độ chênh thị giá
nếu q trình giá V   t  của nó thỏa mãn:

14


i) P V   0   0   1
ii) P V   t   0   1, t > 0, P V   t   0   0 .
Nhƣ vậy, một cơ hội có độ chênh thị giá là một phƣơng án đầu tƣ có số vốn
ban đầu bằng 0 mà kiếm đƣợc lợi nhuận vào thời điểm kết thúc. Đó là điều
mà các nhà đầu tƣ không mong muốn.
Định nghĩa 6
Thị trƣờng  X  t t 0,T gọi là một thị trƣờng khơng có độ chênh thị




giá nếu khơng tồn tại một phƣơng án đầu tƣ tự tài trợ nào có độ chênh thị
giá.
Giả thiết “khơng có độ chênh thị giá” đƣợc gọi là nguyên lý AAO
( Absence of Arbitrage Opportunity)
Định nghĩa 7
Gọi X là một biến ngẫu nhiên bất kì FT - đo đƣợc. Một hợp đồng tài
chính chỉ thực thi tại thời điểm đáo hạn T với giá trị là X T đƣợc gọi là một
tài sản phái sinh kiểu châu Âu và đƣợc kí hiệu là X .
1.2.2 Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trƣờng đầy đủ.
Định nghĩa 8
Chiến lược đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn X T tại
thời điểm đáo hạn T là một phƣơng án đầu tƣ tự tài trợ  sao cho
VT    X T

(1.6)

tức là sao cho giá trị lúc đáo hạn của phƣơng án đầu tƣ ấy bằng đúng với
giá trị đáo hạn X T đã định trƣớc và đã ghi trong hợp đồng.
Quá trình Vt   của phƣơng án ấy đƣợc gọi là q trình đáp ứng. Kí
hiệu  X là lớp tất cả các phƣơng án đầu tƣ  đáp ứng cho phái sinh X .

15


Trong hợp đồng phái sinh ngƣời ta đã định trƣớc giá đáo hạn X T rồi,
phƣơng án đầu tƣ phải đƣợc lựa chọn thế nào để giá trị cuối cùng phải đáp
ứng đƣợc điều kiện (1.6). Điều kiện (1.6) đƣợc gọi là nguyên lý đáp ứng.
Định nghĩa 9 Phái sinh đạt đƣợc trong thị trƣờng M
Một tài sản phái sinh X đƣợc gọi là đạt đƣợc trong thị trƣờng M nếu có
ít nhất một phƣơng án đáp ứng cho nó. Điều đó cũng có nghĩa là  X   .
Định nghĩa 10 Thị trƣờng đầy đủ.
Một thị trƣờng M đƣợc gọi là đầy đủ nếu mọi tài sản phái sinh X đều
đạt đƣợc trong

M, hay nói một cách tƣơng đƣơng, nếu với mọi biến ngẫu

nhiên X đo đƣợc đối với FT thì tồn tại ít nhất một phƣơng án đầu tƣ

  sao cho VT    X T .
Ngƣợc lại, một thị trƣờng không thỏa mãn điều kiện trên đƣợc gọi là
thị trƣờng không đầy đủ.
Ngƣời ta cũng chứng minh đƣợc rằng: Một thị trường là đầy đủ nếu
và chỉ nếu tồn tại một độ đo xác suất rủi ro trung tính duy nhất.
1.3 Quyền chọn mua kiểu Châu Âu
Hợp đồng quyền chọn mua (Call option) là một loại hợp đồng tài chính

diễn ra giữa hai bên, cho phép ngƣời mua hợp đồng có quyền mua một số
lƣợng xác định cổ phần của một chứng khoán, chỉ số chứng khốn nào đó ở
một mức giá ấn định trƣớc, gọi là giá thực thi (strike price hoặc exercise
price) - vào hoặc trƣớc ngày đáo hạn của hợp đồng. Đổi lại, ngƣời mua hợp
đồng (holder) phải trả cho ngƣời bán hợp đồng quyền chọn (writer) một
khoản lệ phí (call premium). Lúc mua bán hợp đồng này ban đầu không hề
diễn ra việc chuyển giao chứng khoán thực tế mà đúng hơn chỉ là sự trao
quyền mua một loại tài sản tài chính để đổi lại một khoản phí.

16


Nếu giá chứng khốn tăng nhƣ dự đốn thì ngƣời mua hợp đồng sẽ thu
đƣợc lợi nhuận trong khi chỉ phải đầu tƣ một khoản nhỏ (phí hợp đồng)
hơn là phải bỏ tiền ra mua tồn bộ số chứng khốn đó, trƣờng hợp này
ngƣời ta nói hợp đồng quyền chọn mua có lãi (in-the-money call option),
ngƣợc lại hợp đồng quyền chọn mua bị lỗ (out-of-the money call option).
Về phía ngƣời bán, anh ta cũng thu thêm đƣợc một khoản lợi tức phụ tƣơng
ứng.
Nếu hợp đồng đƣợc thực hiện thì ngƣời bán sẽ phải từ bỏ quyền sở hữu
với số chứng khoán đã xác định trong hợp đồng. Nếu ngƣời mua hợp đồng
cảm thấy khơng có lợi anh ta có thể từ chối việc thực thi hợp đồng.
Trong hợp đồng quyền chọn mua, ngƣời mua bao giờ cũng kì vọng giá
chứng khốn tăng trong khi ngƣời bán kì vọng giá chứng khốn đứng hoặc
giảm hoặc cũng có trƣờng hợp là do ngƣời bán sẵn sàng từ bỏ khoản lợi
nhuận từ giá chứng khốn tăng để đổi lấy khoản phí thực hiện hợp đồng
(đƣợc thanh tốn ngay) cùng với cơ hội có đƣợc một khoản lợi nhuận =
(giá ấn định - giá hiện tại của chứng khốn). Do có những nguồn thơng tin
khác nhau, cách phân tích, đánh giá khác nhau cho nên mới nảy sinh những
kì vọng khác biệt giữa ngƣời mua và ngƣời bán, dẫn đến việc các hợp đồng

quyền chọn (call option, put option) nhƣ thế này diễn ra.
Có 2 kiểu hợp đồng quyền chọn mua chính là:
Quyền chọn mua kiểu Châu Âu - European call option: theo đó ngƣời
mua chỉ có thể thực hiện quyền mua của mình vào ngày đáo hạn đã định
trƣớc và cũng không bắt buộc phải thực thi vào ngày đó.
Quyền chọn mua kiểu Mỹ (American call option): theo đó ngƣời mua
có thể thực hiện quyền chọn mua của mình bất cứ lúc nào không vƣợt quá
ngày đáo hạn hợp đồng.

17


1.4 Q trình Markov, xích Markov và tốn tử sinh cực vi
1.4.1 Quá trình Markov





Một quá trình ngẫu nhiên X  X t , t  0 gọi là quá trình Markov nếu
với mọi thời điểm t bất kì: 0  t0  t1  ...  tn , ta có:



 

P X tn  xn | X t1  x1 ,..., X tn1  xn1  P X tn  xn | X tn1  xn1



Đặc tính của quá trình Markov là đặc tính mất trí nhớ, tức là diễn biến
tƣơng lai của quá trình khi biết hiện tại thì khơng phụ thuộc vào diễn biến
của q trình đó trong q khứ.
1.4.2 Xích Markov
Trong tốn học, một xích Markov (thời gian rời rạc), đặt theo tên nhà
toán học ngƣời Nga Andrei Andreyevich Markov, là một quá trình ngẫu
nhiên với thời gian rời rạc và có tính Markov (mà ta sẽ định nghĩa dƣới
đây). Trong một quá trình nhƣ vậy, q khứ khơng liên quan đến việc tiên
đốn tƣơng lai mà tƣơng lại chỉ phụ thuộc vào những thông tin về hiện
tại.Ngƣời ta gọi tính chất này là tính chất mất trí nhớ hay tính Markov.
Dãy các biến ngẫu nhiên X 0 , X1, X 2 , ...
đƣợc gọi là xích Markov nếu với mọi dãy trạng thái i0 , i1,..., in1 thì
P  X n1  in1 | X 0  i0 , X1  i1,..., X n  in   P  X n1  in1 | X n  in 

(1.7)

Nói một cách khác, xác suất để chuyển từ trạng thái thứ n là in sang trạng
thái thứ n  1 là in1 không phụ thuộc gì vào cách thức nào mà trƣớc đó hệ
đã chuyển tới trạng thái thứ n , tức là không phụ thuộc gì vào i0 , i1,..., in1 .
Các xác suất có điều kiện
P  X n1  j | X n  i 

đƣợc gọi là các xác suất chuyển.

18


Nếu xác suất này khơng phụ thuộc vào n thì ta nói xích Markov có xác
suất chuyển dừng và ta kí hiệu
Pij  P  X n1  j | X n  i 

Một quá trình ngẫu nhiên  X n  thỏa mãn điều kiện (1.7) thì ta nói rằng q
trình đó có tính Markov.
Kí hiệu P là ma trận gồm xác suất chuyển 1- bƣớc
 P01 P01 P01 ... 


 P10 P11 P12 ... 
P   ... ...
... ... 


 Pn 0 Pn1 Pn 2 ... 
 ... ... ... ... 



Vì các Pij đều là các xác suất, nên ta có
Pij  0, i, j  0,1,...,2;



P
j 0

ij

 1, i  0,1,..., n.

Ta nhận thấy xích Markov hồn tồn đƣợc xác định một khi ta biết

đƣợc ma trận P và phân phối xác suất ban đầu X 0 . Thực vậy ta có
P  X 0  i0 , X1  i1 ,..., X n  in 

= P  X n  in | X 0  i0 ,..., X n1  in1 .P  X 0  i0 ,..., X n1  in1 
= Pin1in P  X 0  i0 , X1  i1,. x   rx 

t x   rx  
1


r
s
s
s
s
 Zt  exp  
dW  s    
 ds 

0
0

  xs 
2 
  xs 







 Pt  P / Ft

(3.13)

Ta kí hiệu Ft : F0t . Giả thiết rằng
2



T

0

   xs   r  xs  

 ds  

x


s



và

 1 t    x   r  x  2  
s
s

Ex , y exp   
 ds    
0
2 
  xs 







Ta có thể chỉ ra rằng Zt r  0, E  Zt r   1, Pt  r là một độ đo xác suất và

P0  P là độ đo ban đầu.
Từ một công thức Girsanov, ta thấy quá trình

  xs   r  xs 
ds
0
  xs 

Wt  r  Wt  

t

(3.14)

là một chuyển động Brown tƣơng ứng với P  r . Do đó
Luật phân phối xác suất W  r / P  r 

= Luật phân phối xác suất W / P 

(3.15)

ở đó W0  W và P0  P .
Từ các kết quả (3.12) – (3.15) ta thấy rằng với    C  E  , nếu

43


dSt  St  r  xt  dt    xt  dWt  r 

(3.16)

Luật phân phối xác suất  S  / P  r 

thì

= Luật phân phối xác suất  S r / P 

(3.17)

Cho X là một xích Markov trên E với ma trận cực vi Q và cho Bt và Str
đƣợc xác định tƣơng ứng bởi (3.11) và (3.16). Cho L  x  là một toán tử vi
phân
2
d 1 2
2 d
L x  r  x  s     x  s  2
ds 2

ds

Định lý 6 Bài toán Cauchy lùi cho C  t , x, y  ,
 C
 L  x  C  r  x  C  QC  0

 t
C T , x, S     x, S 


(3.18)

ở đó   x, S  là hàm bị chặn trên và liên tục trên E  S , có nghiệm là





T
C  t , x, S   Et , x ,S   xt T  , Str T   exp  r  xt    d 


t

(3.19)

Chứng minh. Định lý đƣợc suy ra trực tiếp từ Định lý 5 với
r  t , x, y   r  x  với t  0 và y  R .

Chúng ta gọi (3.18) là phương trình Black – Scholes cho thị trƣờng

khơng đầy đủ ( B, S , X ) .
3.3 Quyền chọn mua kiểu Châu Âu trong thị trƣờng  B, S , X 
Bây giờ chúng ta xem xét một quyền chọn mua kiểu Châu Âu trong thị
trƣờng không đầy đủ  B, S , X  với hàm chi phí fT  fT  St T  . Từ (3.8)
ta có:

44



= Luật phân phối xác suất  f  S

Luật phân phối xác suất fT  St T   / P  r
T



t



T   / P 

(3.20)

Cho bài toán Cauchy ngƣợc
 C
 L  x  C  r  x  C  QC  0

 t

C T , x, S   fT  S 


(3.21)

Từ (3.18) và (3.19) ta có:





T
C  t , x, S   Et , x ,S  fT  Str T   exp   r  xt    d 


t





T
 Et, x,rS  fT  Str T   exp   r  xt    d  .


t

Diễn biến của vốn xtr T  trong thị trƣờng  B, S , X  đƣợc xác định bởi
công thức sau:





T
xtr T   Et , x ,S  fT  Str T   exp   r  xt    d Ft  .

t


Chúng ta chú ý rằng
xtr T   fT  St T   và STr T   S0r T 

(xem (3.23) ở bên dƣới).

3.4 Công thức Black – Sholes cho thị trƣờng  B, S , X 
Cho fT  S    ST  K   max ST  K ,0 , ở đó T là thời gian đáo hạn


và K là giá thực thi quy định trên hợp đồng cho tài sản rủi ro.
Cho một quyền chọn mua chuẩn kiểu Châu Âu với hàm chi phí
fT  S    ST  K  , chi phí hợp lý CTx ,S đƣợc định nghĩa bởi công thức






T


CTx ,S  E0, x ,S  S0r T   K  exp   r  x    d 


0

ở đó

45

(3.22)






T
 r
1
 T

S
T

S
exp
r
x
ds
exp

  xs  dW  s    2  xs  ds 




s
 0



0
2
 0


x  x  s, S  S
0
0
 s

(3.23)

Công thức cho CTx ,S là suy ra đƣợc từ Định lý 6 bằng cách đặt
fT  S    ST  K  . Giá trị của CTx ,S có thể đƣợc tính tốn trong những


trƣờng hợp khá đơn giản; ví dụ nhƣ cho r  x   0 với mọi x  E , từ (3.22),
(3.23) ta có
CTx,S  E0, x,S  max  S0 T   K ,0  ,

ở đó
1
 T

S0 T   S exp     xs  dW  s    2  xs  ds 
2
 0


Chúng ta kí hiệu hàm
C (t , x, S )  Ex,S  f  ST t 

(3.24)

là nghiệm của bài toán Cauchy
2
 C 1 2
2  C
   x s
 QC  0

s 2
 t 2
C T , x, S   f  S 


(3.25)

ở đó dSt    xt  St dW  t  , S0  S .
T

Cho FTx là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên ZTx    2  xs  ds . Khi
0

đó từ (3.24) và (3.25) ta có
CTx,S : C T , x, S   E  f  ST 


y 1  

    f  y  y 1  z ,ln  z  dy  FTx  dz 
s 2  



ở đó   z, v    2 z 



1
2

 v2 
exp  .
 2z 

46

(3.26)

Đặc biệt với f  s    s  K  , từ (5.5) chúng ta có với mọi x  E ,


x ,S
T

C

  z 1/ 2  x
  C    ,T  FT  dz 
 T 



BS
T

ở đó CTBS  ,T  là một giá trị Black – Sholes cho quyền chọn mua kiểu
Châu Âu với hệ số biến động  , thời gian đáo hạn T và lãi suất r  0 .

47


Kết luận
Nhƣ vậy trong luận văn này, tơi đã trình bày:
1/ Những kiến thức cơ bản về trái phiếu và lãi suất trong Tốn Tài
chính, cùng với những khái niệm cơ bản về xích Markov, tốn tử sinh cực
vi, và mối liên hệ giữa một bài toán Cauchy đối với một phƣơng trình đạo
hàm riêng và lời giải của một phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên qua Đinh lý

Feynman-Kac.
2/ Một lý thuyết mới về Phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên phụ thuộc vào
hai nguồn ngẫu nhiên, mà ngoài chuyển động Brown, nguồn ngẫu nhiên
thứ hai là một xích Markov xuất hiện trong hệ số chuyển dịch và hệ số
khuếch tán (độ biến động).
3/ Mơ hình Black-Scholes trong khung cảnh của lý thuyết trên, tức là
mơ hình quyền chọn châu Âu kiểu Black-Scholes trong một thị trƣờng
không đầy đủ do sự tham gia của một xích Markov.Cơng thức định giá cho
mơ hình này đã đƣợc trình bày rõ ràng.
Tác giả hy vọng rằng, sau luận văn này, sẽ học hỏi thêm để đi sâu vào
hƣớng này cho các mơ hình Tốn Tài chính khác.

48


PHỤ LỤC
Phụ lục 1.
Phƣơng pháp độ đo xác suất rủi ro trung tính
Giả sử Vt là giá của một phƣơng án đầu tƣ tại một thời điểm t nhằm
thực hiện một hợp đồng phái sinh có giá trị đáo hạn là X . Đó là một q
trình ngẫu nhiên xét trên một không gian đƣợc lọc

 , F ,  F ,0  t  T  , P  ,
t

trong đó  F t  là một luồng thơng tin thị trƣờng với F 0  ,  và P là
xác suất ban đầu.
Nói chung, dƣới độ đo ban đầu P thì Vt  khơng phải là martingale
đối với F t . Ngƣời ta đi tìm một độ đo xác suất mới Q và một hệ số tất
định k  t  sao cho:

(a) Q tƣơng đƣơng với độ đo xác suất P .
(b) Dƣới độ đo Q thì quá trình Vt  k  t Vt là một martingale đối với
luồng thông tin thị trƣờng F t , tức là





EQ Vt F s  Vs với mọi s  t .

trong đó EQ là kí hiệu kỳ vọng lấy theo độ đo xác suất mới Q . Đặc biệt,
nếu ta lấy s  0 (thời điểm ban đầu) và t  T (thời điểm đáo hạn), thì hệ
thức cho ta:





EQ VT F 0  V0 ,

Nhƣng vì F 0  ,  nên EQ  F 0   EQ  , tức là kỳ vọng có điều kiện
F 0 cũng nhƣ khơng điều kiện. Vậy ta có

 

EQ VT  V0

49