Tổng hợp kiến thức và bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết chuyên đề Cung và góc lượng giác

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.54 MB, 42 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

LƯỢNG GIÁC

§1. GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Đơn vị đo góc và cung trịn, độ dài cung trịn

a) Đơn vị rađian: Cung trịn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian.
Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian

1 rađian cịn viết tắt là 1 rad.

Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc.
b) Độ dài cung trịn. Quan hệ giữa độ và rađian:

Cung trịn bán kính R có số đo 0 2 , có số đo a0 0 a 360 và có độ dài là l thì:

.
180

a

l R R do đó

180

a

Đặc biệt:

0
0

180

1 , 1

180

rad rad.

2. Góc và cung lượng giác.

a) Đường trịn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường trịn trên đó ta đã chọn một chiều
chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều
quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm).

b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng.

Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou Ov, lần lượt cắt đường
tròn tại U và V . Tia Om cắt đường tròn tại M, tia Om chuyển động
theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng
chuyển động theo một chiều trên đường tròn.

 Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với tia
Ov thì ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia đầu 
là Ou, tia cuối là Ov. Kí hiệu Ou Ov,

 Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với điểm
V thì ta nói điểm M đã vạch nên mộtcung lượng giácđiểm

u U, im cui V . Kớ hiu l

ỵ
UV

Tia Om quay đúng một vịng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 3600 (hay 2 ), quay
hai vịng thì ta nói nó quay góc 2.3600 7200 (hay 4 ), quay theo chiều âm một phần tư vịng
ta nói nó quay góc 900(hay

2), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy(
25

7 vịng) thì nói

nó quay góc 25.3600

7 (hay
50

7 )…

 Ta coi số đo của góc lượng giác Ou Ov, là số đo của cung lng giỏc
ỵ
UV
c) H thc Sa-l.

Vi ba tia Ou Ov, ,Ow tùy ý ta có:

Sđ Ou Ov, Sđ Ov Ow, Sđ Ou Ow, k2 k Z
Sđ Ou Ov, Sđ Ou Ow, Sđ Ow Ov, k2 k Z

 Với ba điểm tùy ý U V W, , trên đường tròn định hướng ta cú :

6

Chng

u
v

m
M

V
O

U

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

S
ỵ

UV S

ỵ

VW S

ỵ

UW k k Z

S
ỵ

UV S

ỵ

UW S

ỵ

WV k k Z

Cõu 1: Góc có số đo o

108 đổi ra radian là

A.3 .
5



B. .



C. 3 .
2



D. .
4


Lời giải

Chọn A.

Cách 1: áp dụng công thức đổi độ ra rad .

180

n

  .
Cách 2:

3
5



tương ứng o

108 .



tương ứng o

18 .

3
2



tương ứng o

270 .

.
4



tương ứng o

45 .

Câu 2: Biết một số đo của góc





3 2001

Ox Oy    . Giá trị tổng quát của góc



Ox Oy,



là

A.





3
2

Ox Oy   k . B.



Ox Oy,



  k2.

C.





Ox Oy   k. D.





Ox Oy   k  .

Lời giải 
Chọn A.

Câu 3: Góc có số đo 2



đổi sang độ là

A.240o. B.135o. C.72o. D. 270o.
Lời giải

Chọn C.

Áp dụng công thức đổi rad sang độ n .180



 .

Câu 4: Góc có số đo



đổi sang độ là

A.15o. B.18o. C.20o. D. 25o.

Lời giải 
Chọn C.

Áp dụng công thức đổi rad sang độ n .180



 .

o
o

180

. 20 .

n 



 

Câu 5: Cho



Ox Oy,



22 30 'o k360o. Với k bằng bao nhiêu thì



Ox Oy,



1822 30 'o ?

A.k. B.k3. C.k 5. D. k5.

Lời giải 
Chọn D.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>





o o o
, 1822 30 ' 22 30 ' 5.360

Ox Oy     k 5.

Câu 6: Góc có số đo



đổi sang độ là
A. o

7 . B. o

7 30 '. C. o

8 . D. o

8 30 '.
Lời giải

Câu 7:

Chọn B.

áp dụng công thức đổi rad sang độ n .180



 .

o o

180

. 7, 5 7 30 '.

n 



  

Câu 8: Góc có số đo o

120 đổi sang rađian là góc
A. .



B.3 .
2



C. .
4



D.2 .
3


Lời giải

Chọn D. 
o
o

120 . 2

120 .

180 3

 

 

Câu 9: Số đo góc 22 30o  đổi sang rađian là:
A. .



B.7 .
12



C. .
6



D. .
5


Lời giải

Chọn A. 
o
o

22 30 .
22 30

180 8

 



   .

Câu 10: Đổi số đo góc o

105 sang rađian bằng
A.5 .



B.7 .
12



C.9



D.5 .
8


Lời giải

Chọn B. 
o
o

105 . 7

105

180 12

 

  .

Câu 11: Giá trị k để cung 2

2 k



    thỏa mãn 10  11 là

A.k4. B.k6. C.k7. D.k 5.

Lời giải 
Chọn D.

19 21 19 21

10 11 10 .2 11 2 5

2 k 2 k 2 4 k 4 k

  

                    .

Câu 12: Cho hình vng ABCD có tâm O và một trục

 

l đi qua O. Xác định số đo của các góc giữa tia
OA với trục

 

l , biết trục

 

l đi qua đỉnh Acủa hình vng.

A. 180o  360k o. B. 90o 360k o. C.90o 360k o. D. k360o.
Lời giải

Chọn D.

Vì trục

 

l đi qua đỉnh Avà tâm Ocủa hình vng nên trục

 

l OA nên số đo của các góc
giữa tia OA với trục

 

l bằng 0o  360k o k360o.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Câu 13: Một đường trịn có bán kính R 10cm



 . Tìm độ dài của cung



trên đường tròn.

A. 10cm. B. 5cm. C.202 cm

 . D.

m
20c


.
Lời giải

Chọn B.

Độ dài của cung o

rad 90

 

trên đường tròn được tính bằng cơng thức:
o

. 10

. .90. 5 cm

180 180

a
R

 



  .

Câu 14: Một đường trịn có bán kínhR10cm. Độ dài cung 40o trên đường tròn gần bằng:

A. 7 cm. B. 9 cm. C.11cm. D. 13cm.

Lời giải 
Chọn A .

Độ dài của cung o

40 trên đường trịn được tính bằng cơng thức:
o

. .40.10 7 cm

180 180

a
R

 

  .

Câu 15: Góc 18o có số đo bằng rađian là
A.



. B.



. C.

360



. D. .
Lời giải

Chọn B.

Ta có: 1o rad 18o 18. rad rad

180 180 10

  

    .

Câu 16: Góc



có số đo bằng độ là:

A. 18o. B. 36o. C. 10o. D. 12o.

Lời giải 
Chọn C.

Ta có:

o o

180 180

1rad rad . 10

18 18

 

   

     

    .

Câu 17: Một đường trịn có bán kính20 cm. Tìm độ dài của cung trên đường trịn đó có số đo
15


(tính
gần đúng đến hàng phần trăm).

A.4,19 cm. B.4,18cm. C.95, 49 cm. D.95,50cm.

Lời giải 
Chọn B.

Độ dài của cung o

rad 12

 

trên đường trịn được tính bằng công thức:
o

. .12.20 4,18 cm

180 180

a
R

   

Câu 18: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Số đo của một cung lượng giác luôn là một số không âm.
B. Số đo của một cung lượng giác luôn không vượt quá 2 .

C. Số đo của một cung lượng giác luôn là một số thực thuộc đoạn [0; 2 ] .
D. Số đo của một cung lượng giác là một số thực.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Lời giải

Chọn C.

Câu 19: Chọn điểm A

 

1; 0 làm điểm đầu của cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Tìm điểm cuối

M của cung lượng giác có số đo 25


.

A. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ I.
B.M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ II.
C. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ III.
D. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứIV .

Lời giải 
Chọn A.

Theo giả thiết ta có: 25 6

4 4

AM    

ỵ

, suy ra im M l im chớnh giữa của cung phần tư
thứ I.

Câu 20: Một đường trịn có bán kính 15 cm. Tìm độ dài cung trịn có góc ở tâm bằng 300 là :
A. 5



. B. 5



. C. 2



. D.


.
Lời giải

Chọn B.

Theo cơng thức tính độ dài cung trịn ta có .

180

a

lR   R nên
Ta có . 30.15 5

180 180 3

a

l  R   .

Câu 21: Cho đường trịn có bán kính 6 cm. Tìm số đo (rad ) của cung có độ dài là 3 cm:

A. 0, 5. B. 3 . C. 2. D. 1.

Lời giải 
Chọn A.

Theo cơng thức tính độ dài cung trịn ta có .
180

a

lR   R nên
Ta có 3 0, 5

l
R

    .

Câu 22: Góc có số đo 3



 được đổi sang số đo độ là :

A. 33 45'o . B. 29 30 'o . C. 33 45'o . D. 32 55'o .

Lời giải 
Chọn C.

Lời giải 
Vì

180
1rad



 

   nên

o o

3 3 180 135

. 33.75 33 45'.

16 16 4

 



        

   

   

Câu 23: Số đo radian của góc o

30 là :
A.



. B.



. C.



. D.


.
Lời giải

Chọn A.

Vì 1o rad
180



 nên 30o 30.

180 6

 

  .

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Câu 24: Số đo độ của góc


là :

A. 60o. B. 90o. C. 30o. D. 45o.

Lời giải 
Chọn D.

Theo công thức đổi đơn vị độ sang radial ta có số đo độ của góc



là 45o.
Câu 25: Số đo radian của góc 270olà :

A. . B. 3



. C. 3



. D. 5

 .

Lời giải 
Chọn B.

Theo công thức đổi đơn vị số đo radian của góc 0

270 là 3


.

Câu 26: Góc o

63 48' bằng (với  3,1416)

A. 1,114 rad. B. 3

 . C. 2. D. 1,113rad.

Lời giải 
Chọn A.

Theo công thức đổi đơn vị, ta có số đo cung đã cho có số đo bằng 63 48 . 1.114

180 




 radial, với

3,1416

 .

Câu 27: Cung trịn bán kính bằng 8, 43 cm có số đo 3,85rad có độ dài là:
A. 2 cm

 . B. 32, 45 cm. C. 1 cm

2 . D. 32,5 cm.

Lời giải 
Chọn D.

Theo công thức tính độ dài cung ta có độ dài cung có số đo 3,85rad là

. 8, 43.3,85 32, 4555 cm

lR  . Làm tròn kết quả thu được ta có đáp án là D.

III .
Lời giải

Chọn B.

Dựa theo định nghĩa các giá trị lượng giác trên đường tròn lượng giác.
Câu 29: Cho  là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây đúng?

A.sin0. B.cos 0. C. tan0. D.cot0.
Lời giải

Chọn C.

Vì  là góc tù, nên sin0, cos 0 tan0

Câu 30: Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng): 5


   ,



  , 25



  , 19


  . Các
cung nào có điểm cuối trùng nhau:

A.  và ; và  . B.  và  ;  và  . C. , ,  . D. ,  ,  .
Lời giải

Chọn B.

5 7

6 6

 

     ; 25 8

3 3

 

     ; 19 7 2

6 6

 

    .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

 và ;  và  là các cặp góc lượng giác có điểm cuối trùng nhau.

Câu 31: Cho 2





a  k  k . Để a



19; 27



thì giá trị của k là

A.k2, k 3. B.k3, k4. C. k4, k5. D. k5, k 6.
Lời giải

a 

   ;

k  21



19; 27

có số đo bằng



. Hỏi trong các số sau, số nào là số đo của một
góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác



OA OB,



A.6 .
5



B. 11 .
5



 C. 9 .



D. 31 .
5


Lời giải

Chọn D.

*6 .

5   5

* 11 2 .

5 5

  

   

*9 4 .

5 5

   
*31 6 .

5 5

   

Câu 33: Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M thì số đo của  là

A.3 .

4 k

  

B. 3 .

4 k

 

  C. 3 2 .

4 k

  

D. 3 2 .

4 k

 

 

Lời giải
Chọn D.

Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M theo chiều dương có số đo là 5 2

4 k

  

nên loại
A,C.

Cung  có mút đầu là A và mút cuối là Mtheo chiều âm có số đo là 3



 và chỉ có duy nhất
một điểm M trên đường tròn lượng giác nên loại B.

x
A
y
B
A’

B’
M

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

i

 là đường phân giác của góc AOB nên

 

OA i,

 

45o.

Câu 35: Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là

A.30 .o B.40 .o C.50 .o D.60 .o

Lời giải 
Chọn C.

Một bánh xe có 72 răng nên 1 răng tương ứng
o

360
5

72 

Khi di chuyển được 10 răng là o o

10.5 50 .
Câu 36: Tìm khẳng định sai:

I .


.

 

II . 7



 .

 

III . 13


.

 

IV . 5



 .

Hỏi các cung nào có điểm cuối trùng nhau?

(i)

I

O

C
B
A

D

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ta có: 7 2

4 4

  

   ; 13 5 2

4 4

    

; 5 3 2

4 4

  

   .

Suy ra chỉ có hai cung



và 7



 có điểm cuối trùng nhau.

Câu 38: Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vịng.Tính độ dài quãng đường xe gắn

máy đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6,5 cm (lấy

3,1416

  ).

A. 22054 cm. B. 22063 cm. C. 22054 mm. D. 22044 cm. 
Lời giải

Chọn A.

Lời giải

Theo cơng thức tính độ dài cung trịn ta có .
180

a

lR   R nên
Trong 3 phút bánh xe quay được60.180 540

20  vòng, bánh xe lăn được:

 

6,5.540.2 6,5.540.2.3,1416 cm 22054 cm

l    .

Câu 39: Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông OABC vẽ theo chiều ngược với chiều

quay của kim đồng hồ, biết sđ



Ox OA,



30ok360 ,o k . Khi đó sđ



OA AC,



bằng:

A. 120ok360 ,o k . B. 45ok360 ,o k .

C. 450k360 ,0 k . D. 90ok360 ,o k .

Lời giải 
Chọn B.

Tia AOquay một góc 45 độ theo chiều âm( cùng chiều kim đồng hồ ) sẻ trùng tia ACnên góc

sđ





o o

Ox Ou,



k2 , k .
Hệ thức nào là hệ thức Sa- lơ về số đo các góc:

Hệ thức Sa-lơ: Với ba tia tùy ý Ou Ov Ox, , , ta có

Câu 41: Góc lượng giác có số đo  (rad ) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối với nó có số đo
dạng :

A. o

180

k

 (k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k).

B. o

360

k

 (k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k).
C. k2(k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k).
D. k(k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k).

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Lời giải 
Chọn C.

Nếu một góc lượng giác



Ou Ov,



.
Lời giải

Chọn A.

Ta có:sđ





5 2 2 2



1 2



2 2 2

Ox Ou    m      m     m  m .

Vậy n m 1 do đó Ou và Ov trùng nhau.

Câu 43: Nếu góc lượng giác có





Ox Oz

sđ    thì hai tia Ox và Oz
A. Trùng nhau. B. Vng góc.
C. Tạo với nhau một góc bằng 3

o o

, 135 360 ,

Ox Ov   n n . Ta có hai tia Ou và Ov
A. Tạo với nhau góc o

45 . B. Trùng nhau.

C. Đối nhau. D. Vng góc.

Lời giải 
Chọn C.





o o o o o o o

, 135 360 225 360 45 180 360

Ox Ov   n  n   n



n



Vậy, Ta có hai tia Ou và Ovđối nhau

Câu 45: Sau khoảng thời gian từ 0 giờ đến 3 giờ thì kim giây đồng hồ sẽ quay được số vòng bằng:
A. 12960. B. 32400. C. 324000. D. 64800.

Lời giải 
Chọn B.

Từ 0 đến 3 giờ kim giờ quay 9 vịng(tính theo chiều ngược kim đồng hồ)
Kim phút quay 9.60540 vòng

Kim giây 540.6032400 vịng

Câu 46: Góc có số đo 120o được đổi sang số đo rad là :
A. 120. B. 3



. C. . D. 2


.
Lời giải

Chọn D.

o o 120 2

180 120

180 3

 



    .

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Câu 47: Biết góc lượng giác  có số đo là 137

5 

 thì góc



Ou Ov,



có số đo dương nhỏ nhất là:

A. 0, 6 . B. 27, 4. C. 1, 4 . D. 0, 4 .

Lời giải
Chọn A.

Ta có 137 27, 4

5  

   . Vậy góc dương nhỏ nhất là 28 27, 4 0, 6.
Câu 48: Cung nào sau đây có mút trung với B hoặc B

A. 2 .

2 k



    B. 2 .

2 k



    

C. o o

90 360 .

a  k D. –90o o

.
180

a  k

Lời giải 
Chọn D.

180

B B  

Cung có mút trùng với B hoặc B có chu kì  hoặc o

180 .

Câu 49: Trên đường tròn định hướng gốc A có bao nhiêu điểm M thỏa mãn

2 2 2 2

1 1 1 1

sin xcos xtan xcot x  , với x là số đo của cung AM?

A. 6 . B. 4. C. 8 . D. 10 .

Lời giải 
Chọn C.

ĐK: sin 2x0

2 2 2 2

1 1 1 1

6
sin xcos xtan xcot x 

2 2

1 1

cot tan 8

sin x cos x x x

    

2 2

sin x cos x

   2 2 2 8

sin x.cos x

  42 8

sin 2x

  2 1

sin 2 cos 4 0

x x

    .

Biểu diễn trên vòng trịn lượng giác ta thấy có 8 điểm cuối M thỏa ycbt.

Câu 50: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác nào trong các cung lượng giác có
số đo dưới đây có cùng ngọn cung với cung lượng giác có số đo o

4200 .

A. 130o. B. 120o. C. 120o. D.


.
Lời giải

Chọn C.

Ta có 4200  12012.360nên cung có số đo o

120

 có ngọn cung trùng với ngọn cung có
số đo 4200.

Câu 51: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57 cm và kim phút dài 13,34 cm.Trong 30 phút mũi

kim giờ vạch lên cung trịn có độ dài là:

A. 2, 77 cm. B. 2,9 cm. C. 2, 76 cm. D. 2,8 cm.

Lời giải 
Chọn A.

Trong 30 phút mũi kim giờ chạy trên đường trịn có bán kính 10,57 cm và đi được cung có số
đo là



nên độ dài đoạn đường mũi kim giờ đi được là 10, 57. 2, 77 cm
24



Câu 52: Có bao nhiêu điểm M trên đường tròn định hướng gốc A thoả mãn sđ ,

3 3

k

AM    k ?

A. 6. B. 4. C. 3. D. 12.

Lời giải 
Chọn A.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

k  AM  ; 1, 2

k  AM   ; 2, 3

k AM   ; 3, 4

k AM   ; 4, 5

k  AM   ;

5, 2

k  AM  ; 6, 7

k AM   .

Câu 53: Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vng OABC vẽ theo chiều ngược với chiều

quay của kim đồng hồ, biết sđ



Ox OA,



300k360 ,0 k . Khi đó sđ



Ox BC,



bằng:

A. 175oh360 ,o h . B. 210oh360 ,o h .

C. sin 5 ; cos 3 ; 0

13 5 2 2

a b   a   b 

 . D.

o o

210 h360 ,h . 
Lời giải

Chọn D.









o o

, , 210 360 ,

sđ Ox BC sđ Ox OA  h h .
Câu 54: Xét góc lượng giác



, trong đó M là điểm biểu diễn của góc lượng giác. Khi đó M thuộc góc
phần tư nào ?

A. I. B. II. C. III. D.IV .
Lời giải

Chọn A. 
Ta có 4 1

2 8



  . Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau.
Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo


.

Câu 55: Cho L M N P, , , lần lượt là các điểm chính giữa các cung AB BC CD DA, , , . Cung  có mút
đầu trùng với A và có số đo 3 .

4 k



     Mút cuối của  trùng với điểm nào trong các
điểm L M N P, , , ?

B'
B

A' O A

x
y

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

A.L hoặc N. B.M hoặc P. C.M hoặc N. D.L hoặc P.
Lời giải

Chọn A.

Vì L là điểm chính giữa AB nên

AL

Vì N là điểm chính giữa CD nên 3

AN  

Ta có 3

AN    và ALAN

Vậy L hoặc N là mút cuối của 3 .

4 k


    

Câu 56: Cung  có mút đầu là A và mút cuối trùng với một trong bốn điểm M N P Q, , , . Số đo của 
là

A. o o

45 .180 .k

   B. o o

135 .360 .k

   C. .

4 k 4

 

   D. .

4 k 2

 

  

Lời giải 
Chọn D.

Số đo cung 0

45
4

AM  

Ta có 900

MN NPPQ 

Để mút cuối cùng trùng với một trong bốn điểm M N P Q, , , thì
chu kì của cung  là


Vậy số đo cung

4 k 2

 

   .

Câu 57: Biết OMB và ONB là các tam giác đều. Cung  có mút đầu là A và mút cuối là B hoặc M

hoặc N. Tính số đo của  ?

A. .

2 k 2

 

   B. .

6 k 3

 

    C. 2 .

2 k 3

 

   D. 2 .

6 k 3

 

  

Lời giải 
Chọn C.

Cung  có mút đầu là A và mút cuối là B nên



 

 

1
OMB và ONB là các tam giác đều nên

MOBNOB

2
3

BA M MB N 

  

Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M hoặc N nên

2
3

AM  ABBM  AB  , 2

AN  AMMN AM  

 

Chu kì của cung  là 2



Từ

   

1 , 2 ta có 2 .

2 k 3

 

  

Câu 58: Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vng OABC vẽ theo chiều ngược với chiều

quay của kim đồng hồ, biết sđ



Ox OA,



30ok360 ,o k . Khi đó sđ



Ox AB,



bằng

A. 120on360 ,o n . B. 60on360 ,o n .

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

C. 0 0

30 n360 ,n

   . D. o o

60 n360 ,n .
Lời giải

Chọn B.

Xét tam giác OBD, ta có OBD45 ,o BOD75o o



o o



o
180 45 75 60
BDO

     .

x
y

D
C

O
30.0°

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

LƯỢNG GIÁC

§ 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC (CUNG) LƯỢNG GIÁC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác.

a) Đường trịn lượng giác: Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng và trên đó chọn
điểm A làm gốc.

b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác. 
Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho OA OM, gọi là
điểm xác định bởi số (hay bởi cung , hay bởi góc ). Điểm M
cịn được gọi là điểm trên đường trịn lượng giác biểu diễn cung(góc)
lượng giác có số đo .

Nhận xét: Ứng với mỗi số thực có một điểm nằm trên đường trịn
lượng(điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số. Tuy nhiên,
mỗi điểm trên đường trịn lượng giác ứng với vơ số thực. Các số thực
có dạng là k2 ,k Z.

d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: Cho hệ trục tọa độ
gắn với đường tròn lượng giác. Với mỗi góc lượng giác Ou Ov, có

số đo , xác định điểm M x y; trên đường tròn lượng giác sao cho sđ... Khi đó ta định nghĩa

cos x, sin y

sin
tan

cos 2 k

cos
cot

sin k

Ý nghĩa hình học: Gọi K H, lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox Oy, . Vẽ trục số At gốc A cùng
hướng với trục Oy và vẽ trục số Bs gốc B cùng hướng với trục Ox, gọi T S, lần lượt là giao điểm của
đường thẳng OM cắt với các trục sơ At Bs, . Khi đó ta có:

sin OH, cos OK, tan AT, cot BS

e) Tính chất:

 sin , cos xác định với mọi giá trị của và 1 sin 1, 1 cos 1.
 tan được xác định khi

2 k , cot xác định khi k

 sin sin k2 , cos cos k2

tan tan k , cot cot k
f) Dấu của các giá trị lượng giác:

Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác.
Bảng xét dấu

Phần tư

Giá trị lượng giác I II III IV

cos + – – +

sin + + – –

tan + – + –

cot + – + –

6

Chương

x

y t

s
S

T
B

O A

M(x;y)

K
H

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

g) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

Góc 0 6 4 3 2

2
3

3
4

2 2

00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600

sin

0 1

2
2

2 1

3
2

2 0 –1 0

cos

1 3

2 0

1
2

2 –1 0 1

tan

0 3

3 1 3 || 3 –1 0 || 0

cot

|| 3 1 3

3 0

3 –1 || 0 ||

2. Các hệ thức lượng giác cơ bản

2 2

2
2

1) sin cos 1

2) 1 tan ( )

2
cos

3) 1 cot ( )

sin

4) tan .cot 1 ( )

k

k
k
3. Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt.

Góc đối nhau ( và ) Góc bù nhau( và ) Góc phụ nhau( và

2 )

cos( ) cos sin( ) sin sin cos

sin( ) sin cos( ) cos cos sin

tan( ) tan tan( ) tan tan cot

cot( ) cot cot( ) cot cot tan

Góc hơn kém ( và ) Góc hơn kém

2 ( và 2 )

sin( ) sin sin cos

cos( ) cos cos sin

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

tan( ) tan tan cot

cot( ) cot cot tan

Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ chéo hơn kém tang côtang,
hơn kém

2 chéo sin". Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng cịn khơng nhắc thì đối.

Câu 1. Giá trị cot89


là

A. 3. B.  3. C. 3

3 . D. –

3
3 .

Lời giải 
Chọn B

Biến đổi c 89 cot 15 cot cot 3
6

6 6

t
6

          

   

    .

Câu 2. Giá trị của tan180 là

A. 1. B. 0 . C. –1. D. Không xác định.
Lời giải

Chọn B

Biến đổi tan180 tan 0



180



tan 0 0.

Câu 3. Cho

2 a

  

. Kết quả đúng là

A. sina0, cosa0. B. sina0, cosa0. C. sina0, cosa0. D. sina0, cosa0.
Lời giải

Chọn C 
Vì

2 a

  

sina 0

  , cosa0.

Câu 4. Cho 2 5

a 

   . Kết quả đúng là

A. tana0, cota0. B. tana0, cota0.
C. tana0, cota0. D. tana0, cota0.

Lời giải
Chọn A

Vì 2 5
2

a 

   tana0, cota0.

Câu 5. Đơn giản biểu thức



1– sin2



.cot2



1– cot2



,

A x x x ta có

A. 2

sin

A x. B. 2

cos

A x. C. – sin2

A x. D. – cos2

A x.



– cos

a  a. B. sin 180 –





sin

a   a.

C. sin



180 –0 a



sina. D. sin



180 –0 a



cosa.
Lời giải

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Chọn C. 
Theo công thức.

Câu 7. Chọn đẳng thức sai trong các đẳng thức sau

A. sin cos

2 x x



  

 

  . B. sin 2 x cosx



  

 

  .

C. tan cot

2 x x



  

 

  . D. tan 2 x cotx



  

 

  .

Lời giải 
Chọn D.

Câu 8. Giá trị của biểu thức









0 0

cos 750 sin 420
sin 330 cos 390

A 

   bằng

A.  3 3. B. 2 3 3 . C. 2 3

3 1 . D.

1 3



.
Lời giải

Chọn A.

0 0

cos 30 sin 60 2 3

3 3

sin 30 cos 30 1 3

A     

  .

Câu 9. Đơn giản biểu thức A cos sin cos sin

2 2 2 2

       

       

            

       , ta có :

A. A2sina. B. A2cosa. C. Asin – cosa a. D. A0.
Lời giải

Chọn A .

sin cos sin cos

A      A 2sin.

Câu 10. Giá trị của cot1458 là

A. 1. B. 1. C. 0 . D. 5 2 5 .
Lời giải

Chọn D





cot1458 cot 4.360   18 cot18  5 2 5 .

Câu 11. Trong các giá trị sau, sin có thể nhận giá trị nào?

A. 0, 7. B. 4

3 . C.  2. D.

5
2 .

Lời giải 
Chọn A.

Vì  1 sin1 . Nên ta chọn A.

Câu 12. Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A. sin2cos21. B. 1 tan2 12 ,

cos 2 k k



  

 

      

 .

C. 2





1 cot ,

sin k k

  



    . D. tan cot 1 ,

k
k



      

 .

Lời giải 
Chọn D

D sai vì : tan .cot 1 ,
2

k
k



     

 .

Câu 13. Cho biết tan 1

  . Tính cot

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

A. cot 2. B. cot 1
4

  . C. cot 1
2

  . D. cot  2.
Lời giải

Chọn A

Ta có : tan .cot  1 cot 1 1 2
1
tan



    .

Câu 14. Cho sin 3

  và

    . Giá trị của cos là :
A. 4

5 . B.

4
5

 . C. 4

 . D. 16

25.

Lời giải

Chọn B.

Ta có : sin2cos21 cos2 =1 sin2 1 9 16

25 25

 

    

4
cos

5
4
cos

5



 


 

  



Vì

    cos 4
5



   .

Câu 15. Cho sin 3

  và 900   1800. Giá trị của biểu thức cot 2 tan

tan 3cot

E  

 




 là :

A. 2

57. B.

2
57

 . C. 4

57 . D.

4
57

 .

Lời giải 
Chọn B.

2 2

sin cos 1 cos2 =1 sin2 1 9 16

25 25

 

    

cos

5
4
cos




 


 

  



Vì 900   1800 cos 4
5



   . Vậy tan 3
4

   và cot 4
3

   .

4 3

cot 2 tan 3 4 2

3 4

tan 3cot 57

4 3

E  

 

 

   

  

   

    

 

 

Câu 16. Cho tan 2. Giá trị của 3sin cos

sin cos

A  

 




 là :

A.5. B. 5

3. C.7 . D.

7
3 .

Lời giải

Chọn C.

3sin cos 3 tan 1

sin cos tan 1

A   

  

 

  

  .

Câu 17. Các cặp đẳng thức nào sau đây đồng thời xảy ra?

A. sin1 và cos1. B. sin 1
2

  và cos 3
2

   .
C. sin 1

  và cos 1
2

   . D. sin 3 và cos0.
Lời giải

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Chọn B 
B đúng vì:

2
2

2 2 1 3

sin cos 1

2 2

         

    .

Câu 18. Cho cos 4

  với 0




  . Tính sin.
A. sin 1

  . B. sin 1

   . C. sin 3
5

  . D. sin 3

   .
Lời giải

Chọn C 
Ta có:

2 2 4 9

sin 1 cos 1

5 25

       
 

3
sin



   .

Do 0




  nên sin 0. Suy ra, sin 3
5

  .

Câu 19. Tính  biết cos1

A.  k



k



. B. k2



k



C. 2





2 k k



     . D.     k2



k



.
Lời giải

Chọn C

Ta có: cos1 2

2 k



 

  



k



Câu 20. Giá trị của A cos2 cos23 cos25 cos27

8 8 8 8

   

    bằng

A. 0 . B. 1. C. 2. D. 1.

Lời giải 
Chọn C.

2 23 23 2

cos cos cos cos

8 8 8 8

A        2 cos2 cos2 3

8 8

A    

    

 

2 2

2 cos sin 2

8 8

A    

    

  .

Câu 21. Cho tam giác ABC. Hãy tìm mệnh đề sai

A. sin cos

2 2

A C B

 . B. cos sin

2 2

A C B

 .





  

 

    

  , ta có

A. Acosas ni a. B. A2sina. C. Asina–cosa. D. A0.
Lời giải

Chọn D.





cos sin

A     

  Asinsin0.

Câu 23. Rút gọn biểu thức





0 0

sin 234 cos 216

. tan 36

sin144 cos126

A  

 , ta có A bằng

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

A. 2. B. 2. C. 1. D. 1.
Lời giải

Chọn C.

0 0

sin 234 sin126

. tan 36

cos 54 cos126

A  







0 0

2 cos180 .sin 54

.tan 36
2sin 90 sin 36

A 

 

 





0 0

0
0

1.sin 54 sin 36
.

cos 36
1sin 36

A 

 

  A 1.

Câu 24. Biểu thức





0 0 0

0 0

cot 44 tan 226 .cos 406

cot 72 .cot18
cos 316

B   có kết quả rút gọn bằng

A. 1. B. 1. C. 1



. D. 1

2 .

Lời giải 
Chọn B.



0 0



0 0

cot 44 tan 46 .cos 46

cot 72 .tan 72
cos 44

B  

0 0

2 cot 44 .cos 46
1
cos 44

B

      B 2 1 1.

Câu 25. Cho cos

13
–12

  và

    . Giá trị của sin và tan lần lượt là
A. 5

 ; 2

3 . B.

2
3 ;

5
12

 . C. 5

 ; 5

12. D.

5
13;

5
12

 .

Lời giải 
Chọn D

    nên sin0. Từ đó ta có

2 2 12 25

sin 1 cos 1

13 169

      

 

5
sin



 

sin 5

tan

cos 12






    .

Câu 26. Biết tan 2 và 180   270 . Giá trị cossin bằng

A. 3 5

 . B. 1– 5. C. 3 5

2 . D.

5 1
2



.
Lời giải

Chọn A

Do 180   270 nên sin0 và cos0. Từ đó

Ta có 2

1 tan 5

cos     

2 1

cos



  cos 1



   .

1 2

sin tan .cos 2.

5 5

      

 

Như vậy, cos sin 2 1 3 5
5

5 5

       .

Câu 27. Biểu thức Dcos .cot2x 2x3cos2x– cot2x2sin2x không phụ thuộc x và bằng

A. 2. B. –2. C. 3. D. –3 .

Lời giải
Chọn A

2 2 2 2 2

cos .cot 3cos – cot 2sin

D x x x x x cos2x 2 cot2x



cos2x1



2 2 2

cos x 2 cot x.sin x

   2 2

cos x 2 cos x 2

    .

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Câu 28. Cho biết cot 1
2

x . Giá trị biểu thức 2 2 2

sin sin .cos cos

A

x x x x



  bằng

A. 6. B. 8. C. 10. D. 12.

Lời giải
Chọn C





2 2 2 2

2 2 1

2 1 cot

2 sin 4

10.

1 1

sin sin .cos cos 1 cot cot 1 cot cot

2 4

x
x

A

x x x x x x x x

  

 

  

    

       

Câu 29. Biểu thức







 







0 0 0 0

0 0

sin 328 .sin 958 cos 508 .cos 1022

cot 572 tan 212

A    

 rút gọn bằng:

A. 1. B. 1. C. 0 . D. 2.

Lời giải 
Chọn A







 







0 0 0 0

0 0

sin 328 .sin 958 cos 508 .cos 1022

cot 572 tan 212

A    



0 0 0 0

0 0

sin 32 .sin 58 cos 32 .cos 58

cot 32 tan 32

A

   

0 0 0 0

2 0 2 0

0 0

sin 32 .cos 32 cos 32 .sin 32

sin 32 cos 32 1.

cot 32 tan 32

A       

Câu 30. Biểu thức:









2003









cos 26 2sin 7 cos1, 5 cos cos 1, 5 .cot 8

A              

  có

kết quả thu gọn bằng :

A. sin. B. sin. C. cos . D. cos.
Lời giải

Chọn B





















cos 26 2sin 7 cos 1, 5 cos 2003 cos 1, 5 .cot 8

A              

 





cos 2sin cos cos( cos .cot

2 2 2

A             

     

cos 2sin 0 sin sin .cot cos sin cos sin .

A          

Câu 31. Cho tan 4

   với 3 2

2    . Khi đó :

A. sin 4
41

   , cos 5
41

   . B. sin 4

  , cos 5
41

  .

C. sin 4
41

   cos 5

  . D.sin 4

  , cos 5

   .
Lời giải

Chọn C 
2

1
1 tan

cos



  1 16 12

25 cos 

   12 41

cos  25

  2 25

cos



  cos 5



  

2 2 25 16

sin 1 cos 1

41 41

       sin 4



  

2
2   

5
cos 0 cos

41
4
sin 0 sin

 

   





    

 .

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Câu 32. Cho cos150 2 3
2



 . Giá trị của tan15 bằng :

A. 32 B. 2 3



C. 2 3 D. 2 3



Lời giải 
Chọn C





2 0

1 4

tan 15 1 1 2 3

cos 15 2 3

     



tan15 2 3

   .

Câu 33. Biểu thức









0 0 0 0

sin 515 .cos 475 cot 222 .cot 408

cot 415 .cot 505 tan197 . tan 73

A  

  có kết quả rút gọn bằng

A. 1 2 0

sin 25

2 . B.

2 0

cos 55

2 . C.

2 0

cos 25

2 . D.

2 0

sin 65

2 .

Lời giải 
Chọn C .





0 0 0 0

sin155 .cos115 cot 42 .cot 48
cot 55 .cot 145 tan17 .cot17

A 

 





0 0 0 0

0 0

sin 25 . sin 25 cot 42 . tan 42
cot 55 . tan 55 1

A  

 



2 0

sin 25 1

A  

  cos 252 0

A

  .

Câu 34. Đơn giản biểu thức

2 cos 1

sin cos

x
x
A

x



 ta có

A. Acosxsinx. B. Acos – sinx x. C. Asin – cosx x. D. A sin – cosx x.
Lời giải

Chọn B

Ta có





2 2 2

2 2 cos sin cos 2 2

2 cos 1 cos sin

sin cos sin cos sin cos

x x x

x x x x

A

x x

      

  



cos sin



cos sin



cos sin

sin cos

x x x x

x x

 

  



Như vậy, Acos – sinx x.

Câu 35. Biết sin co 2

2
s

  . Trong các kết quả sau, kết quả nào sai ?



2 2

4 4 2 2 2 2 1 7

sin cos sin cos 2sin cos 1 2

4 8

       

         

 

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

4 4

2 2

sin cos 8

tan cot 14

sin cos 1

 



    

 
 
 

Như vậy, 2 2

tan cot 12 là kết quả sai.

Câu 36. Tính giá trị của biểu thức 6 6 2 2

sin cos 3sin cos

A x x x x.

A. A–1. B. A1. C. A4. D. A–4.
Lời giải

Chọn B

Ta có Asin6xcos6x3sin2 xcos2x



sin2x

 

3 cos2x



33sin2 xcos2x



2 2



3 2 2



2 2



2 2

sin x cos x 3sin x.cos x sin x cos x 3sin xcos x 1

      .

Câu 37. Biểu thức





2
2

2 2 2

1 tan 1

4 tan 4sin cos
x

x x x

A   không phụ thuộc vào x và bằng

A. 1. B. –1. C. 1

4 . D.

1
4

 .

Lời giải 
Chọn B

Ta có









2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 tan 1 1 tan 1 1

4 tan 4sin cos 4 tan 4 tan cos

x x

x x x x x x

A      



 

4 tan 4 tan 4 tan

x x x x

x x x

    



  4 tan22 1

4 tan

x
x


   .

Câu 38. Biểu thức

2 2

cos sin

cot .cot
sin .sin

x y

B x y

x y



  không phụ thuộc vào x y, và bằng

A. 2. B. –2. C. 1. D. –1.

Lời giải 
Chọn D

Ta có

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

cos sin cos sin cos .cos

cot .cot

sin .sin sin sin sin .sin

x y x y x y

B x y

x y x y x y

 

   













2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

cos 1 cos sin cos sin sin sin cos 1

sin sin sin sin 1 cos sin

x y y x y y y x

x y x y x y

   

    

 .

Câu 39. Biểu thức C2 sin



4xcos4xsin2xcos2x

 

2 – sin8 xcos8x



có giá trị khơng đổi và bằng

A. 2. B. –2. C. 1. D. –1.

Lời giải 
Chọn C

Ta có C 2 sin



4xcos4xsin2 xcos2x

 

2– sin8xcos8x







2 2





2

2 2 2 2 4 4 4

2 sin x cos x sin xcos x – sin x cos x 2 sin xcos x

      

     





2
2

2 2

2 2 4 4

2 2

2 1 sin xcos x – sin x cos x 2sin xcos x 2 sin xcos x

       

 



2
2

2 2 4

2 4

1 sin

2 1 sin xcos x – 2 xcos x 2 sin xcos x

       



2 2 4 4

 

2 2 4 4



4 4

2 sin cos 1 sin cos 4sin cos 2sin cos

2 1 sin xcos x x x – 4 x x x x x x

     

 .

Câu 40. Hệ thức nào sai trong bốn hệ thức sau:

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

A. tan tan tan . tan
cot cot
x y
x y
x y



 . B.

1 sin 1 sin

4 tan

1 sin 1 sin

a a
a
a a
   
 
 
   
  .
C. 
2
2

sin cos 1 cot

cos sin cos sin 1 cot

  

    



 

   . D.

sin cos 2 cos

1 cos sin cos 1

  
  
 
   .
Lời giải
Chọn D

A đúng vì tan tan tan .tan

1 1

tan tany

x y

VT x y VP

x


  



B đúng vì



 



2 2

2 2

1 sin 1 sin

1 sin 1 sin 2 2sin

2 2 2 4 tan

1 sin 1 sin 1 sin cos

a a

a a a

VT a VP

a a a a

  

  

        

  

C đúng vì

2 2 2 2 2

sin cos sin cos 1 cot

cos sin sin cos 1 cot

VT      VP

    

   

   

   .

Câu 41. Nếu biết 3sin4 2 cos4 98

x x thì giá trị biểu thức 4 4

2sin 3cos

A x x bằng
A. 101

81 hay
601

504. B.

103
81 hay

603

405. C.

105
81 hay

605

504. D.

107
81 hay

607
405.

Lời giải
Chọn D

Ta có sin4 cos4 98
81

x x A cos 2 98

x A

  



4 4



5 sin cos

x x  A 1 1sin 22 1 98

2 x 5 81 A

 

     

 

1 1 1 98

cos 2

2 2 x 5 81 A

 

     

 

98 2 98 2 98 392

81 5 81 5 81 405

A A A

     

         

     

Đặt 98

A t 2 2 13 0

5 405
t t
   
13
45
1
9
t
t
 

 
 


+) 13 607

45 405

t  A

+) 1 107.

9 81

t  A

Câu 42. Nếu sin cos 1

x x thì 3sinx2cosx bằng
A. 5 7



hay 5 7



. B. 5 5



hay 5 5



.
C. 2 3



hay 2 3



. D. 3 2



hay 3 2



.
Lời giải

Chọn A





1 1

sin cos sin cos

2 4

x x  x x  sin .cos 3

x x

    sin .cos 3

x x

  

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Khi đó sin , cosx x là nghiệm của phương trình 2 1 3

2 8

X  X  

1 7

sin

1 7

sin

x
x

 






 





Ta có sin cos 1 2 sin



cos



1
2

x x  x x 

+) Với sin 1 7
4

x  3sin 2 cos 5 7

x x 

  

+) Với sin 1 7 3sin 2 cos 5 7

4 4

x   x x  .

Câu 43. Biết tanx 2b

a c



 . Giá trị của biểu thức

2 2

cos 2 sin .cos sin

Aa x b x x c x bằng

A. –a. B. a. C. –b. D. b.

Lời giải
Chọn B

2 2

cos 2 sin .cos sin

Aa x b x x c x 2 2 tan tan2

cos

A

a b x c x

x

   





1 tan 2 tan tan

A x a b x c x

    

2 2

2 2 2

1 b 2 b b

A a b c

a c a c a c

     

        

  

   

 



  













2 2 2 2 2

2 2

2 4 4

a c b a a c b a c c b

A

a c a c

     

 

 



  





















2 2

2 2 2 2

2 2 2

. 4

2 4 a a c b

a c b a a c b a

A

a c a c a c

 

   

  

    A a.

Câu 44. Nếu biết

4 4

sin cos 1

a b a b

   

 thì biểu thức

8 8

3 3

sin cos

A

a b

 

  bằng

A.





a b

. B. 2 1 2

a b . C.





a b

. D. 31 3

a b

Lời giải
Chọn C

Đặt





2 2

2 1 1

cos t t t

a b a b

     







2 2

1 ab

b t at

a b

   



2 2

2 ab

at bt bt b

a b

    







2 ab

a b t bt b

a b

    







2 2





2

2 0

a b t b a b t b

      t b

a b
 



Suy ra cos2 b ;sin2 a

a b a b

   

 

Vậy:



 



8 8

4 4 3

3 3

sin cos 1

a b

a b a b a b a b

 

   

  

Câu 45. Với mọi , biểu thức : cos + cos ... cos 9

5 5

A       

    nhận giá trị bằng :

A.–10 . B.10 . C.0 . D.5 .
Lời giải

Chọn C

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

cos + cos ... cos

5 5

A       

   

9 4 5

cos cos ... cos cos

5 5 5

A         

     

   

9 9 9 7 9

2 cos cos 2 cos cos ... 2 cos cos

10 10 10 10 10 10

A               

     

9 9 7 5 3

2 cos cos cos cos cos cos

10 10 10 10 10 10

A             

  

9 2

2 cos 2 cos cos 2 cos cos cos

10 2 5 2 5 2

A          

  

2 cos .0 0.

A   

     

 

Câu 46. Giá trị của biểu thức 2 2 3 25 2 7

sin sin sin sin

8 8 8 8

A        bằng

A. 2. B. 2. C. 1. D. 0 .
Lời giải

Chọn A

3 5 7

1 cos 1 cos 1 cos 1 cos

4 4 4 4

2 2 2 2

A

   

   

    2 1 cos cos3 cos5 cos7

2 4 4 4 4

   

 

      

 

1 3 3



 







0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

2 sin 30 7.360 .cos 8 180

tan 8 360 2 cos 82 2.360 cos 90 8

A  

  

    

0 0

0 0 0

1 2 sin 30 .cos 8

tan 8 2 cos 82 sin 8

A 

  







0 0

0 0 0 0

1 2sin 30 .cos8
tan 8 2 cos 90 8 sin 8
A

  

 

0 0

0 0 0

1 2 sin 30 .cos 8
tan 8 2 sin 8 sin 8

A

  



0 0 0

1.cos 8

cot 8 cot 8 cot 8 0

sin 8

A

      .

Câu 48. Cho tam giác ABC và các mệnh đề :

 

I cos sin

2 2

BC A



 

II tan . tan 1

2 2

AB C



 

III cos



A B C –



– cos 2C0
Mệnh đề đúng là :

III .
Lời giải

Chọn C

+) Ta có:A B C      B C  A

2 2 2

B C  A

  

 

I cos cos sin

2 2 2 2

B C  A A

    

   

    nên

 

I đúng

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

+) Tương tự ta có:

2 2 2

AB  C

 

tan tan cot

2 2 2 2

AB   C C

 

  tan 2 . tan 2 cot 2. tan 2 1

AB C C C

  

nên

 

II đúng.
+) Ta có



 

cos A B C cos 2C 0

    

nên

 

III sai.

Câu 49. Cho cot  3 2 với

    . Khi đó giá trị tan cot

2 2

 

 bằng :

A. 2 19. B. 2 19. C.  19. D. 19.

Lời giải 
Chọn A

2
2

1 cot 1 18 19

sin       

2 1

sin



  sin 1



  

Vì

    sin 0 sin 1
19



 

Suy ra

2 2

sin cos

2 2

tan cot 2 19

2 2 sin cos sin

2 2

 

  



    .

Câu 50. Biểu thức rút gọn của A =

2 2

tan sin

cot cos

a a



 bằng :

A. 6

tan a. B. 6

cos a. C. 4

tan a . D. 6

sin a .
Lời giải

Chọn A

2 2

tan sin

cot cos

a a

A

a a






2 2

6
2

2
2
1

sin 1

tan . tan
cos

tan

1 cot

cos 1

sin
a

a a

a

A a

a
a

  

 

 

   

  

 

 

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

LƯỢNG GIÁC

§3. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn

1 rađian cịn viết tắt là 1 rad.

Vì tính thơng dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc.
b) Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian:

Cung tròn bán kính R có số đo 0 2 , có số đo a0 0 a 360 và có độ dài là l thì:

.
180

a

l R R do đó

180

a

Đặc biệt:

0
0

180

1 , 1

180

rad rad.

2. Góc và cung lượng giác.

a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường trịn trên đó ta đã chọn một chiều
chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều
quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm).

b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng.

 Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với tia
Ov thì ta nói tia Om đã qt được một góc lượng giác tia đầu 
là Ou, tia cuối là Ov. Kí hiệu Ou Ov,

 Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với điểm
V thì ta nói điểm M đã vạch nên mộtcung lượng giácđiểm 
đầu U, điểm cuối V . Kớ hiu l

ỵ
UV

Tia Om quay ỳng mt vịng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 3600 (hay 2 ), quay
hai vịng thì ta nói nó quay góc 2.3600 7200 (hay 4 ), quay theo chiều âm một phần tư vịng
ta nói nó quay góc 900(hay

2), quay theo chiều âm ba vịng bốn phần bảy(
25

7 vịng) thì nói

nó quay góc 25.3600

7 (hay
50

7 )…

 Ta coi số đo của góc lượng giác Ou Ov, l s o ca cung lng giỏc
ỵ
UV
c) H thc Sa-lơ.

 Với ba tia Ou Ov, ,Ow tùy ý ta có:

Sđ Ou Ov, Sđ Ov Ow, Sđ Ou Ow, k2 k Z
Sđ Ou Ov, Sđ Ou Ow, Sđ Ow Ov, k2 k Z

 Với ba điểm tùy ý U V W, , trên đường trịn định hướng ta có :

6

Chương

u
v

m
M

V
O

U

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

S
ỵ

UV S

ỵ

VW S

ỵ

UW k k Z

S
ỵ

UV S

ỵ

UW S

ỵ

WV k k Z

Đ3. MT S CễNG THC LNG GIC 
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1. Cơng thức cộng:

sin( ) sin .cos sin .cos

cos( ) cos .cos sin .sin

tan tan

tan( )

1 tan .tan

tan tan

tan( )

1 tan .tan

a b a b b a

a b a b a b

a b

2. Công thức nhân đôi, hạ bậc: 
a) Công thức nhân đôi.

sin 2 2 sin .cos

2 2 2 2

cos2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin

tan 2 2 tan 2

1 tan

b) Công thức hạ bậc.

1 cos 2
sin

2
1 cos 2
cos

2
1 cos 2
tan

1 cos 2

3. Cơng thức biến đổi tích thành tổng.

cos cos cos( ) cos( )

2
1

sin sin cos( ) cos( )

2
1

sin cos sin( ) sin( )

a b a b a b

4. Cơng thức biển đổi tổng thành tích.

cos cos 2 cos .cos

2 2

a b a b

a b

cos cos 2 sin .sin

2 2

a b a b

a b

sin sin 2 sin .cos

2 2

a b a b

a b

sin sin 2 cos .sin

2 2

a b a b

a b

tan tan sin( )

cos .cos

a b

sin( )

tan tan

cos .cos

a b

sin( )

cot cot

sin .sin

a b

sin( )

cot cot

sin .sin

b a

a b

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Câu 1. Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A.

cot 1

cot 2

2 cot

x
x

x


 . B. tan 2 2 tan2

1 tan

x
x

x



 .

C. 3

cos 3x4 cos x3cosx. D. 3

sin 3x3sinx4sin x

Lời giải. 
Chọn B.

Công thức đúng là tan 2 2 tan2
1 tan

x
x

x


 .

Câu 2. Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A. cos 2 cos2 – sin .2

a a a B. 2 2

cos 2acos asin a.

C. cos 2a2cos2a–1. D. cos 2a1– 2sin .2a

Lời giải. 
Chọn B.

sin .cosa bcos .sin .a b
Câu 4. Trong các công thức sau, công thức nào đúng?

A. tan





tan tan .

1 tan tan

a b

a b

a b



 

 B. tan



a b–



tanatan .b

C. tan





tan tan .

1 tan tan

a b



 

 D. tan



a b



tanatan .b

Lời giải. 
Chọn B.

Ta có tan





tan tan .
1 tan tan

a b



 



Câu 5. Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A. cos cos 1 cos



–



cos



a b  a b  a b  D. sin cos 1 sin





a b  a b  a b 

Câu 6. Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A. cos c 2cos .co .

2 2

os a b sa b

a b   B. cos – co sin .sin

s 2 .

a b

a b  a b

C. sin s 2sin .co .

2 2

in a b sa b

a b   D. sin – si cos .sin

n 2 .

a b

a b  a b

Lời giải. 
Chọn D.

Ta có cos sin .sin
2

s 2 .

– co a b a

a b  b

Câu 7. Rút gọn biểu thức : sin



a–17 .cos





a 13 – sin





a13 .cos





a–17



, ta được :

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

A. sin 2 .a B. cos 2 .a C. 1.
2

 D. 1.

Lời giải. 
Chọn C.

Ta có: sin



a–17 .cos





a 13 – sin





a13 .cos



sin 30 .

    

Câu 8. Giá trị của biểu thức cos37
12



bằng

A. 6 2.



B. 6 2.



C. – 6 2.



D. 2 6.



Lời giải. 
Chọn C.

cos



cos 2


 

 

    

  cos 12




 

   

  cos 12



 

   

  cos 3 4

 

 

    

 

cos .cos sin .sin

3 4 3 4

   

 

   

 

6 2



  .

Câu 9. Giá trị sin47
6


là :

A. 3.

2 B.

3
.

2 C.

2
.

2 D.

1
.
2



Lời giải. 
Chọn D.

47 1

sin sin 8 sin 4.2 sin

6 6 6 6 2

           

     

      .

Câu 10. Giá trị cos37
3


là :

A. 3.

2 B.

3
.
2

 C. 1.

2 D.

1
.
2



Lời giải. 
Chọn C.

37 1

cos cos 12 cos 6.2 cos

3 3 3 3 2

         

   

    .

Câu 11. Giá trị tan29
4


là :

A. 1. B. –1. C. 3.

3 D. 3.

Lời giải. 
Chọn A.

tan tan 7 tan 1

4 4 4

      

 

  .

Câu 12. Giá trị của các hàm số lượng giác sin5
4



, sin5
3



lần lượt bằng

A. 2

2 ,
3

2 . B.

2
2



, 3

2 . C.

2
2 ,

3
2

 D. 2

 , 3

 .

Lời giải. 
Chọn D.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

5 2

sin sin sin

4 4 4 2

       

 

  .

5 2 2 3

sin sin sin

3 3 3 2

        

 

  .

Câu 13. Giá trị đúng của cos2 cos4 cos6

7 7 7

    

bằng :

A. 1.

2 B.

1
.
2

 C. 1.

4 D.

1
.
4



Lời giải. 
Chọn B.

Ta có cos2 cos4 cos6

7 7 7

    

2 4 6

sin cos cos cos

7 7 7 7

sin
7

   



   

 

 



3 5 3 5

sin sin sin sin sin sin

7 7 7 7 7

2sin
7

     



     

        

     



sin

1
7

2
2 sin




 

 

 

   .

Câu 14. Giá trị đúng của tan tan7

24 24

  

bằng :

Lời giải. 
Chọn A.





sin

7 3 3

tan tan 2 6 3

24 24

cos .cos cos cos

24 24 3 4



 

   

    



Câu 15. Biểu thức 0

2 sin 70
2 sin10

A  có giá trị đúng bằng :

A. 1. B. –1. C. 2. D. –2.

Lời giải. 
Chọn A.

0 0 0 0

1 1 4 sin10 .sin 70 2 sin 80 2 sin10

2 sin 70 1

2 sin10 2 sin10 2 sin10 2 sin10

A       .

Câu 16. Tích số cos10 .cos30 .cos50 .cos70    bằng :

A. 1 .

16 B.

1
.

8 C.

3
.

16 D.

1
.
4

Lời giải. 
Chọn C.



o o



cos10 .cos 30 .cos 50 .cos 70 cos10 .cos 30 . cos120 cos 20

 

     

3 cos10 cos 30 cos10

4 2 2

   

 

   

 

3 1 3

4 4 16

  .

Câu 17. Tích số cos .cos4 .cos5

7 7 7

  

bằng :

A. 1.

8 B.

1
.
8

 C. 1.

4 D.

1
.
4



</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Lời giải. 
Chọn A.

4 5

cos .cos .cos

7 7 7

   sin27 .cos47 .cos57

2 sin
7

  





2 2 4

sin .cos .cos

7 7 7

2 sin
7

  



 

4 4

sin .cos

7 7

4 sin
7

 



 

8
sin

1
7

8
8sin




   .

Câu 18. Giá trị đúng của biểu thức tan 30 tan 40 tan 50 tan 60

cos 20

A       

 bằng :

A. 2 .

3 B.

4
.

3 C.

6
.

3 D.

8
.
3

Lời giải. 
Chọn D.

tan 30 tan 40 tan 50 tan 60

cos 20

A       



sin 70 sin110

cos 30 .cos 40 cos 50 .cos 60
cos 20

  

   





1 1

cos 30 .cos 40 cos 50 .cos 60

 

   

2 2

cos 50
3 cos 40

 




cos 50 3 cos 40

3 cos 40 .cos 50

   

  

 

 

sin 40 3 cos 40

3 cos 40 .cos 50

   

  

 

 





sin100
4

cos10 cos 90
2




  

8 cos10 8

3 cos10 3



 

 .

Câu 19. Giá trị của biểu thức 2 25

tan tan

12 12

A    bằng :

A. 14. B. 16. C. 18. D. 10.

Lời giải. 
Chọn A.

2 2 2 2

5 1

tan tan tan cot tan tan

12 12 12 12 3 4

tan tan

3 4

A      

 

 

      

    

 

 











2 3 14

2 3

   

 .

Câu 20. Biểu thức M cos –53 .sin –337









 



sin 307 .sin113  có giá trị bằng :

A. 1.

 B. 1.

2 C.

3
.
2

 D. 3.

Lời giải. 
Chọn A.









cos –53 .sin –337 sin 307 .sin113

M      

















cos 288 .cot 72

tan18

tan 162 .sin108

A     

  

 là

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

A. 1. B. –1. C. 0. D. 1.
2

Lời giải. 
Chọn C.









cos 288 .cot 72

tan18

tan 162 .sin108

A     

  















cos 72 360 .cot 72

tan18

tan 18 180 .sin 90 18

   

  

     

cos 72 .cot 72

tan18
tan18 .cos18

 

  

 

2
o

cos 72

tan18
sin 72 .sin18



  



2 o

o o

sin 18

tan18 0

cos18 .sin18

   

Câu 22. Rút gọn biểu thức : cos54 .cos 4 – cos36 .cos86   , ta được :

A. cos50 . B. cos58 . C. sin 50 . D. sin 58 .
Lời giải.

Chọn D.

Ta có: cos54 .cos 4 – cos36 .cos86    cos54 .cos 4 – sin54 .sin 4    cos58 .
Câu 23. Tổng Atan9cot 9tan15cot15 – tan 27 – cot 27   bằng :

A. 4. B. –4. C. 8. D. –8.

Lời giải. 
Chọn C.

tan9 cot 9 tan15 cot15 – tan 27 – cot 27

A      

tan9 cot 9 – tan 27 – cot 27 tan15 cot15

      

tan9 tan81 – tan 27 – tan 63 tan15 cot15

      .

Ta có

sin18 sin18

tan 9 – tan 27 tan 81 – tan 63

cos 9 .cos 27 cos 81 .cos 63

  

      

   

cos 9 .cos 27 cos 81 .cos 63
sin18

cos 81 .cos 63 .cos 9 .cos 27

    

 

  

   

 





sin18 cos 9 .cos 27 sin 9 .sin 27
cos 81 .cos 63 .cos 9 .cos 27

     



   



cos 72 cos 904 sin18 .cos 36



cos 36 cos 90



 



     

4 sin18
4
cos 72



 

 .

2 2

sin 15 cos 15 2

tan15 cot15 4

sin15 .cos15 sin 30

  

     

   .

Vậy A8.

Câu 24. Cho A, B, C là các góc nhọn và tan 1
2

A , tan 1

B , tan 1

C  . Tổng A B C  bằng :

A. .



B. .



C. .



D. .


Lời giải.

Chọn C.













tan tan

tan

tan tan 1 tan . tan

tan 1

tan tan

1 tan . tan

. tan

1 tan . tan

A B

C

A B C A B

A B C

A B

A B C

C

A B

 

  

    



 



suy ra

A  B C  .

Câu 25. Cho hai góc nhọn a và b với tan 1
7

a và tan 3

b . Tính a b .

A. .



B. .



C. .



D. 2 .


Lời giải.

Chọn B.





tan tan

tan 1

1 tan . tan

a b



  

 , suy ra a b 4



 

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Câu 26. Cho x y, là các góc nhọn, cot 3
4

x , cot 1

y . Tổng xy bằng :

A. .



B. 3 .



C. .



D. .
Lời giải.

Chọn C. 
Ta có :





4
7

tan tan 3

tan 1

4
1 tan . tan

1 .7

x y



    

  , suy ra

3
4

x y  .

Câu 27. Cho cota15, giá trị sin 2a có thể nhận giá trị nào dưới đây:

A. 11 .

113 B.

13
.

113 C.

15
.

113 D.

17
.
113

Lời giải. 
Chọn C.

cota15 12 226
sin a

 

2
1
sin

226
225
cos

226
a

a

 


 

 



15
sin 2

113

a

   .

Câu 28. Cho hai góc nhọn a và b với sin 1
3

a , sin 1

b . Giá trị của sin 2



a b



là :

A. 2 2 7 3.



B. 3 2 7 3.



C. 4 2 7 3.



D. 5 2 7 3.



Lời giải. 
Chọn C.

Ta có
0

2 2
2

cos

1 3

3
sina

a



  

  



 

;
0

3
2

cos
1

s n 2

2
i b

b



  

  



 













sin 2 a b 2sin a b .cos a b 2 sin .cos



a bsin .cosb a



cos .cosa bsin .sina b



4 2 7 3



 .

Câu 29. Biểu thức 2 2 2

cos cos cos

3 3

x x

A      x

  

 

 không phụ thuộc x và bằng :

A. 3.

4 B.

4
.

3 C.

3
.

2 D.

2
.
3

Lời giải. 
Chọn C.

Ta có :

2 2 2

cos cos cos

3 3

A x  x  x

   



2 3 1 3 1

cos cos sin cos sin

2 2 2 2

x  x x  x x

      

   

3
2

 .

Câu 30. Giá trị của biểu thức



cot 44 tan 226 .cos 406



cot 72 .cot18
cos 316

A      

 bằng

A. –1. B. 1. C. –2. D. 0.

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Chọn B.



cot 44 tan 226 .cos 406



cot 72 .cot18
cos 316

A      















tan 46 tan 180 46 cos 360 46

cot 72 .tan 72
cos 360 44

       

 

 

   

  

2 tan 46 .cos 46 2 tan 46 .cos 46

1 1 1.



sin sin cos cos sin

a b a b a b

  

  (Chia cả tử và mẫu cho cos cosa b)

tan tan

a b




 .

Câu 32. Cho A, B , C là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức SAI.

A. sin 3 cos .

A B C

C

  

B. cos



A B C –



– cos 2 .C

C. tan 2 cot3 .

2 2

A B C  C

D. cot 2 tan .

2 2

A B C  C

Lời giải.

Chọn D.

Ta có:

A B C   3

2 2

A B C

C



 

   sin 3 sin cos .

2 2

A B C

C C



   

    

  A đúng.

A B C    Ccos



A B C –



cos



2C



 cos 2 .C B đúng.

2 3

2 2 2

A B C  C

  tan 2 tan 3 cot3 .

2 2 2 2

A B  C  C C

    

  C đúng.

2 2 2

A B C  C

  cot 2 cot tan .

2 2 2 2

A B  C  C C

     

  D sai.

Câu 33. Cho A, B , C là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức SAI.

A. cos sin .

2 2

AB C

 B. cos



A B 2C



– cos .C

C. sin



A C



– sin .B D. cos



A B



– cos .C
Lời giải.

Chọn C. 
Ta có:

2 2 2

AB  C

  cos cos sin .

2 2 2 2

AB  C C

    

  A đúng.

A. cos cos sin sin sin .

2 2 2 2 2

B C B C A

 

B. tanAtanBtanCtan .tan .tan .A B C

C. cotAcotBcotCcot .cot .cot .A B C

D. tan . tan tan . tan tan . tan 1.

2 2 2 2 2 2

A B B C C A

  

Lời giải. 
Chọn C.

Ta có :

+ cos cos sin sin cos cos sin .

2 2 2 2 2 2 2 2 2

B C  B C  BC  A A

   

    A đúng.

+ tanAtanBtanCtan .tan .tanA B C  tanA



1 tan BtanC



tanBtanC

tan tan

tan

1 tan tan

B C

A

B C



  

 tanA tan



B C



. B đúng.

+ cotAcotBcotCcot .cot .cotA B C cotA



cotBcotC 1



cotBcotC

1 cot cot 1

cot cot cot

B C

A B C



 

 tanAcot



B C



. C sai.

+ tan . tan tan . tan tan . tan 1

2 2 2 2 2 2

A B B C C A

   tan . tan tan 1 tan . tan

2 2 2 2 2

A  B C B C

    

 

tan tan

1 2 2

tan 1 tan . tan

2 2 2

B C

A B C



 



cot tan

2 2 2

A B C

    

 . D đúng.

Câu 35. Biết sin 4
5

  , 0




  và k . Giá trị của biểu thức :





4 cos





3 sin

3
sin

A

 
 










không phụ thuộc vào  và bằng

A. 5.

3 B.

5
.

3 C.

3
.

5 D.

3
.
5

Lời giải. 
Chọn B.

Ta có 2
4
5
0

3
cos

5
sin








  

  



 



, thay vào biểu thức





4 cos





3 sin

5
3

sin 3

A

 
 









 .

Câu 36. Nếu tan 4 tan

2 2

  

thì tan
2

 

bằng :

A. 3sin .

5 3cos




 B.

3sin
.
5 3cos




 C.

3cos
.
5 3cos




 D.

3cos
.
5 3cos






Lời giải. 
Chọn A.

Ta có:

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

2 2

tan tan 3 tan 3sin .cos

3sin

2 2 2 2 2

tan .

2 5 3cos

1 tan . tan 1 4 tan 1 3sin

2 2 2 2

    

  

    




   



  

Câu 37. Biểu thức

2 cos 2 3 sin 4 1

2sin 2 3 sin 4 1



sin 4 30




 
 

Lời giải. 
Chọn C.

Ta có :
2

2 cos 2 3 sin 4 1

2sin 2 3 sin 4 1

A  

 

  

 

cos 4 3 sin 4

3 sin 4 cos 4

 














sin 4 30




 


  .

Câu 38. Kết quả nào sau đây SAI ?

A. sin 33cos 60cos3. B. sin 9 sin12 .
sin 48 sin 81

  

 

C. cos 202 sin 552   1 2 sin 65 . D. 1 1 4 .

cos 290 3 sin 250 3

Lời giải. 
Chọn A.

Ta có : sin 9 sin12

sin 48 sin 81

  

  sin 9 .sin 81 sin12 .sin 48  0









1 1

cos 72 cos 90 cos 36 cos 60 0

2 2

         2cos 722cos36 1 0
2

4cos 36 2cos 36 1 0

      (đúng vì cos 36 1 5



  ). Suy ra B đúng.
Tương tự, ta cũng chứng minh được các biểu thức ở C và D đúng.

Biểu thức ở đáp án A sai.

Câu 39. Nếu 5sin 3sin



2



thì :





  



 

 tan



 



4 tan.

Câu 40. Cho cos 3
4

a ; sina0; sin 3

b ; cosb0. Giá trị của cos



a b



. bằng :

A. 3 1 7 .

5 4

 



 

  B.

3 7

1 .

5 4

 

   

  C.

3 7

1 .

5 4

 



 

  D.

3 7

1 .

5 4

 

   

 

Lời giải. 
Chọn A.

Ta có :

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

2
3

cos 7

sin 1 cos
4

4
sin 0

a

a a

a

 

    



 



sin 4

cos 1 sin .

cos 0

b

b b

b

 

      



 







3 4 7 3 3 7

cos cos cos sin sin . . 1 .

4 5 4 5 5 4

ab  a b a b       

   

Câu 41. Biết cos 1

2 2

b
a

  

 

  và sin 2 0

b
a

  

 

  ;

3
sin

2 5

a
b

  

 

  và cos 2 0

a
b

  

 

  . Giá trị





cos a b bằng:

A. 24 3 7.



B. 7 24 3.



C. 22 3 7.



D. 7 22 3.



Lời giải. 
Chọn A.

Ta có :

1
cos

2 2

sin 0

b
a

b

a

   

 

  



 

   

  



2 3

sin 1 cos

2 2 2

b b

a a

   

       

    .

3
sin

2 5

cos
2

a
b
a

b

   

 

  



 

   

  



2 4

cos 1 sin

2 2 5

a a

b b

   

       

    .

cos cos cos sin sin

2 2 2 2 2

a b b a b a

a b a b

             

       

       

1 4 3 3 3 3 4

. . .

2 5 5 2 10



  





2 24 3 7

cos 2 cos 1 .

2 50

a b

a b     







cos 120 –  x cos 120  – cosx x 1cos 3sin 1cos 3sin cos

2 x 2 x 2 x 2 x x

     

2cosx
 

Câu 43. Cho biểu thức Asin2



a b



– sin2a– sin2b. Hãy chọn kết quả đúng :

.
Lời giải.

Chọn D. 
Ta có :





2 2 2

sin – sin – sin

A a b a b 2





1 cos 2 1 cos 2

sin

2 2

a b

a b  

   

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>









2 1

sin 1 cos 2 cos 2

a b a b

     2







 



cos a b cos a b cos a b

     













cos a b cos a b cos a b

       2sin sin cosa b



a b



.
Câu 44. Cho sin 3

a ; cosa0; cos 3

b ; sinb0. Giá trị sin



a b



bằng :

A. 1 7 9 .

5 4

 

   

  B.

1 9

7 .

5 4

 

   

  C.

1 9

7 .

5 4

  

 

  D.

1 9

7 .

5 4

  

 

 

Lời giải. 
Chọn A.

Ta có :

3
sin

cos 0

a
a

 




 



2 4

cos 1 sin

a a

      .

3
cos

4
sin 0

b
b

 




 



2 7

sin 1 cos

b b

    .





3 3 4 7 1 9

sin sin cos cos sin . . 7

5 4 5 4 5 4

a b  a b a b       

   .

Câu 45. Cho hai góc nhọn a và b. Biết cos 1
3

a , cos 1

b . Giá trị cos



a b



.cos



a b



bằng :

A. 113.

144

 B. 115.

144

 C. 117.

144

 D. 119.

144



Lời giải. 
Chọn D.

Ta có :













2 2 1 2 1 2 119

cos .cos cos 2 cos 2 cos cos 1 1 .

2 3 4 144

a b a b  a b  a b         

   

Câu 46. Xác định hệ thức SAI trong các hệ thức sau :

A. cos 40 tan .sin 40 cos 40





cos






 

   

B. sin15 tan 30 .cos15 6.

    

C. cos – 2cos .cos .cos2 x a x



a x



cos2



ax



sin .2a

D. sin2x2sin



a–x



.sin .cosx asin2



a–x



cos .2a
Lời giải. 
Chọn D.

Ta có :

sin

cos 40 tan .sin 40 cos 40 .sin 40

cos






       cos 40 cos sin 40 sin cos 40





cos cos



 

 

  

 

A đúng.

sin15 .cos 30 sin 30 .cos15 sin 45 6

sin15 tan 30 .cos15 .

cos 30 cos 30 3

     

      

  B đúng.









2 2

cos – 2cos .cos .cosx a x ax cos ax



        C đúng.

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>









2 2

sin x2sin a–x .sin .cosx asin a–x sin2xsin



ax





2sin cosx asin



ax





 



sin x sin a x sin a x

    2 1





sin cos 2 cos 2

x x a

  

2 2 2 2

sin x cos a sin x 1 sin a

     . D sai.

Câu 47. Rút gọn biểu thức sin sin 2 sin 3

cos cos 2 cos 3

x x x

A

x x x

 



 

A. Atan 6 .x B. Atan 3 .x

C. Atan 2 .x D. Atanxtan 2xtan 3 .x
Lời giải.

Chọn C. 
Ta có :

sin sin 2 sin 3

cos cos 2 cos 3

x x x

A

x x x

 



 

2 sin 2 .cos sin 2
2 cos 2 .cos cos 2

x x x














sin 2 2 cos 1

tan 2 .

cos 2 2 cos 1

x x

x

x x



 



Câu 48. Biến đổi biểu thức sina1 thành tích.

A. sin 1 2sin cos .

2 4 2 4

a a

a       

    B. sin 1 2 cos 2 4 sin 2 4 .

a a

a       

   

C. sin 1 2sin cos .

2 2

a  a  a 

    D. sina 1 2 cos a 2 sin a 2 .

 

   

       

   

Lời giải. 
Chọn D.

Ta có sina1 2 2

2 sin cos sin cos

2 2 2 2

a a a a

  

sin cos

2 2

a a

 

  

 

2sin

2 4

a 

 

   

 

2sin cos

2 4 4 2

a   a

   

      

    2sin 2 4 cos 2 4 .

a  a 

   

      

   

Câu 49. Biết

     và cot , cot , cot   theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tích số

cot .cot  bằng :

A. 2. B. –2. C. 3. D. –3.

Lời giải. 
Chọn C.

Ta có :

     , suy ra cot tan





tan tan

1 tan tan

 

  

 



  



cot cot 2 cot

cot cot 1 cot cot 1

  

   



 

 

cotcot 3.

 

Câu 50. Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau.

A. 2 2 2

cos Acos Bcos C 1 cos .cos .cos .A B C

B. cos2 cos2 cos2 1– cos .cos .cos .

A B C A B C

C. cos2Acos2Bcos2C 1 2cos .cos .cos .A B C

D. cos2 cos2 cos2 1– 2cos .cos .cos .

A B C A B C

Lời giải. 
Chọn C.

Ta có :

2 2 2

cos Acos Bcos C 1 cos 2 A 1 cos 2 cos2

2 2

B

C

 

  



 



1 cos A B cos A B cos C

      1 cosCcos

        1 2cos cos cos .A B C

</div>

Tổng hợp kiến thức và bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết chuyên đề Cung và góc lượng giác

<b>§1. GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC </b>

<b>6 </b>

<b>Chng</b>





































 

 

 

 

 

 

 





 

 

 

 

 





























 









 

 

 

 

 

 

 

 

































