Đề thi HSG Tin học lớp 11 trại hè Hùng Vương 2015 - Học Toàn Tập

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Câu 1 </b><i>(4,0 điểm).</i> Cho dãy số thực

 

<i>u_n</i> được xác định bởi:
1

3
2

<i>u</i>  và ₁ 3 3 2 9 9 10 1

1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>

<i>n</i>




    

 với mọi <i>n</i>1.

a) Chứng minh

 

<i>u_n</i> là dãy bị chặn dưới.

b) Chứng minh dãy

 

<i>u_n</i> có giới hạn hữu hạn khi <i>n</i> . Hãy tìm giới hạn đó.
<b>Câu 2 </b><i>(4,0 điểm).</i> Cho tam giác <i>ABC</i> có ba góc nhọn, <i>AB</i> <i>AC</i> và nội tiếp đường trịn

 

<i>O</i> . Các đường cao <i>BE CF</i>, cắt nhau tại <i>H</i>



<i>E</i><i>AC F</i>, <i>AB</i>



. Đường thẳng <i>EF</i> cắt

<i>BC</i> tại <i>G</i>. Lấy điểm <i>T</i> trên

 

<i>O</i> sao cho ·<i>ATH</i> 90o. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
<i>GTO</i> cắt <i>EF</i> tại <i>K</i>



<i>K</i> <i>G</i>



. Chứng minh rằng

a) Ba điểm <i>G T A</i>, , thẳng hàng.

b) Đường thẳng <i>OK</i> vng góc với đường thẳng <i>AT</i>.

<b>Câu 3 </b><i>(4,0 điểm).</i> Tìm tất cả các đa thức <i>P x</i>

 

với hệ số thực, thỏa mãn điều kiện:

  

2015





 

2015



<i>P x P x</i>  <i>P P x</i>  <i>x</i> với mọi số thực <i>x</i>.

<b>Câu 4 </b><i>(4,0 điểm).</i> Cho <i>x</i>₁ 1,<i>x</i>₂ 1,<i>x</i>₃ 1 và <i>x_n</i>_₃  <i>x_n</i>_₂<i>x_n</i>_₁<i>x_n</i> với mọi số nguyên dương

.

<i>n</i> Chứng minh rằng với bất kỳ số nguyên dương <i>m</i>, tồn tại số nguyên dương <i>k</i> sao cho
<i>k</i>

<i>x</i> chia hết cho <i>m</i>.

<b>Câu 5 </b><i>(4,0 điểm).</i> Tìm tất cả các số nguyên dương <i>n</i> sao cho tồn tại các số nguyên dương
, ,

<i>x y z</i> thỏa mãn 11<i>n</i>



2 1

 

2 2



.

<i>xy z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

   

--- HẾT ---

 <i>Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. </i>

 <i>Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.</i>

Họ và tên thí sinh: ... Số báo danh: ...
<b>TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG </b>

<b>LẦN THỨ XI </b>

<b>ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI </b>
<b>MÔN: TOÁN - KHỐI:11 </b>
Ngày thi: 01 tháng 8 năm 2015

Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề)
(<i>Đề thi gồm 01 trang</i>)

</div>

<!--links-->