Một số phương pháp cơ bản giải bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Thị Vân

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Thị Vân

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
GIẢI BÀI TỐN CÂN BẰNG

Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số:

60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU

Hà Nội - Năm 2017


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Lê Dũng Mưu, người đã tận tình hướng dẫn để em
có thể hồn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy cơ giáo
trong khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia
Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
và các thành viên trong lớp Cao học tốn 2015-2017 đã ln quan tâm, động
viên, giúp đỡ em trong thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Hà Nội, ngày 21 tháng 11 năm 2017
Học viên

Vũ Thị Vân

i


Mục lục

Lời cảm ơn

i

Lời nói đầu

1

Một số kí hiệu và chữ viết tắt

3

Chương 1. Tổng quan

4

1.1

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Sự tồn tại nghiệm và các tính chất cơ bản của bài toán cân bằng 11

1.3

Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . .

19

1.3.1

Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3.2

Bài toán điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3.3

Bài toán điểm bất động Kakutani . . . . . . . . . . . . .

21

1.3.4

Cân bằng Nash trong trị chơi khơng hợp tác . . . . . . .

21

1.3.5

Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Chương 2. Hai phương pháp cơ bản giải bài toán cân bằng

4

25

2.1

Các dạng tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2

Phương pháp điểm bất động và hàm đánh giá . . . . . . . . . .

28

2.2.1

Phương pháp điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.2

Phương pháp hàm đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3

Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

44

ii


Lời nói đầu
Cho H là một khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng ., . và chuẩn ||.||
tương ứng. Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong H và f là song hàm
từ C × C vào R sao cho f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Trong bản luận văn này ta
sẽ xét bài toán cân bằng sau đây, được ký hiệu là EP(C, f): Tìm x∗ ∈ C sao
cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C. Bài tốn EP(C,f) cịn được gọi là bất đẳng thức Ky
Fan để ghi nhận sự đóng góp của ơng trong lĩnh vực này. Bài tốn cân bằng
đơn điệu có liên quan chặt chẽ với bài tốn tính điểm bất động của một ánh xạ
khơng giãn. Về mặt lý thuyết bài toán cân bằng đơn điệu và bài tốn điểm bất
động của ánh xạ khơng giãn có mối quan hệ tương hỗ lẫn nhau, theo nghĩa,
với một vài giả thiết tự nhiên, bài toán này có thể mơ tả dưới dạng bài tốn
kia và ngược lại.
Về mặt hình thức bài tốn cân bằng khá đơn giản, tuy nhiên nó bao hàm
được nhiều lớp bài tốn quan trọng khác nhau thuộc nhiều lĩnh vực. Một số
trường hợp riêng của bài toán cân bằng là bài toán tối ưu, bài toán điểm bất
động Kakutani, bất đẳng thức biến phân, cân bằng Nash trong trị chơi khơng
hợp tác, bài toán điểm yên ngựa. Như vậy, nhiều bài toán quan trọng, nhiều
mơ hình thực tế, trong đó có các bài tốn rất khó về mặt tính tốn, ví dụ như
bài tốn tính điểm bất động Kakutani, ... đều có thể quy về dạng bài tốn cân

bằng. Do đó, vấn đề giải bài toán cân bằng là một đề tài hấp dẫn, thu hút sự
quan tâm của nhiều người.
Luận văn này sẽ trình bày một vài cách tiếp cận cơ bản giải bài tốn cân
bằng. Đó là cách tiếp cận dựa trên phương pháp điểm bất động, cách tiếp cận
theo nguyên lý bài toán phụ, tiếp cận theo tối ưu hóa dựa trên kĩ thuật hàm
đánh giá. Cơ sở để xây dựng các phương pháp giải là dựa trên các dạng tương
1


đương của bài toán cân bằng.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mục
tài liệu tham khảo.
Chương 1. Trình bày một số khái niệm cơ bản liên quan đến bài toán cân
bằng, sự tồn tại nghiệm, các tính chất cơ bản và các trường hợp riêng của bài
tốn cân bằng.
Chương 2. Trình bày cơ sở để xây dựng các phương pháp giải bài tốn cân
bằng. Từ đó giới thiệu một vài thuật tốn để giải bài toán cân bằng, đặc biệt
đi sâu vào phương pháp điểm bất động và phương pháp hàm đánh giá. Sự hội
tụ của từng thuật tốn cũng được trình bày cụ thể trong chương này.
Hà Nội, ngày 21 tháng 11 năm 2017
Học viên

Vũ Thị Vân

2


Một số kí hiệu và chữ viết tắt
H: Khơng gian Hilbert thực;
X: Không gian Banach thực;

R: Tập các số thực;
∅: Tập rỗng;
a, b = Tích vơ hướng của 2 véc-tơ a và b;
x = Chuẩn của x;
∂f (x): Dưới vi phân của hàm f tại x;
∀x: Với mọi x;
xn → x: Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x;
xn

x: Dãy {xn } hội tụ yếu tới x;

x := y: Nghĩa là, x được định nghĩa bằng y.

3


Chương 1
Tổng quan
Chương này trình bày các khái niệm liên quan đến bài toán cân bằng, sự
tồn tại nghiệm, các tính chất cơ bản và các trường hợp riêng quan trọng của
bài toán cân bằng. Các kiến thức trong chương được trích từ tài liệu [1-5], [12].

1.1

Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1. Không gian định chuẩn thực là một khơng gian tuyến tính
thực X trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số x gọi là chuẩn của
x, thỏa mãn các điều kiện sau:
1. x > 0, ∀x = 0; x = 0 ⇔ x = 0;

2. x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X;
3. αx = |α| . x , ∀x ∈ X, α ∈ R.
Định nghĩa 1.1.2. Cặp (H, , ) trong đó H là một khơng gian tuyến tính thực
, :H ×H →R

và

(x, y) → x, y
thỏa mãn các điều kiện:
1. x, x ≥ 0, ∀x ∈ H; x, x = 0 ⇔ x = 0;
2. x, y = y, x , ∀x, y ∈ H;
3. λx, y = λ x, y , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H;
4. x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H.
4


được gọi là không gian tiền Hilbert.
Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là khơng gian Hilbert.
Ví dụ 1.1.1. L2 [a,b] là khơng gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b] với
f ∈ L2 [a,b] sao cho

b
a

f 2 (x) dx < +∞ là một không gian Hilbert với tích vơ

hướng
b
a

f, g =

f (x) g (x) dx;

và chuẩn
f

L2 [a,b]

b
a

=

2

f (x) dx

1
2

.

Trên H có hai kiểu hội tụ chính sau:
Định nghĩa 1.1.3. Xét dãy {xn }n≥0 và x thuộc khơng gian Hilbert thực H.
Khi đó:
• Dãy {xn } được gọi là hội tụ mạnh tới x, ký hiệu {xn } → x, nếu như
lim

n→+∞

xn − x = 0.

• Dãy {xn } được gọi là hội tụ yếu tới x, ký hiệu {xn }
lim

n→+∞

x, nếu như

ω, xn = ω, x , ∀ω ∈ H.

Ta nhắc lại các kết quả trong giải tích hàm (xem [2]) liên quan đến hai loại
hội tụ này.
Mệnh đề 1.1.1. Ta có các khẳng định sau đây:
• Nếu {xn } hội tụ mạnh đến x thì cũng hội tụ yếu đến x.
• Mọi dãy hội tụ mạnh (yếu) đều bị chặn và giới hạn theo sự hội tụ mạnh
(yếu) nếu tồn tại là duy nhất.
• Nếu không gian Hilbert thực H là không gian hữu hạn chiều thì sự hội tụ
mạnh và sự hội tụ yếu là tương đương.
• Nếu {xn }n≥0 là một dãy bị chặn trong khơng gian Hilbert thực H thì ta
trích ra được một dãy con hội tụ yếu.
• Nếu {xn }n≥0 là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert thực hữu hạn
chiều H thì ta trích ra được một dãy con hội tụ mạnh.
5


Tiếp theo, ta sẽ nêu một số định nghĩa và kết quả cơ bản của giải tích lồi
được phát biểu trong [1], [12].
Xét C là tập con khác rỗng trong không gian Hilbert thực H.

Định nghĩa 1.1.4. Tâp C trong không gian Hilbert thực H được gọi là một
tập lồi nếu
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C.
Định nghĩa 1.1.5. Điểm a được gọi là điểm biên của C nếu mọi lân cận của
a đều có điểm thuộc C và điểm khơng thuộc C;
Tập C được gọi là tập đóng nếu C chứa mọi điểm biên của nó;
Tập C được gọi là một tập compact yếu nếu C là một tập đóng và bị chặn.
Định nghĩa 1.1.6. Cho C là một tập lồi và x ∈ C. Ký hiệu:
NC (x) := {w| w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C}.
Nón này được gọi là nón pháp tuyến ngồi của C tại x.
Định nghĩa 1.1.7. Xét hàm f : H → R ∪ {+∞}. Khi đó:
(i) Hàm f được gọi là hàm lồi trên H nếu
f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1);
(ii) Hàm f được gọi là hàm lồi chặt trên H nếu
f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀x = y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1);
(iii) Hàm f được gọi là hàm lồi mạnh trên H với hệ số η > 0 nếú
2

f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) − η λ(1−λ)
x−y ,
2
∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1) .
Dưới đây là một số ví dụ quen thuộc về hàm lồi.
Ví dụ 1.1.2. Xét các ví dụ sau:
1. Hàm affine. f (x) = aT x + b, trong đó a ∈ Rn , b ∈ R là hàm lồi. Nó thỏa
mãn đẳng thức
f (λx + (1 − λ) y) = λf (x) + (1 − λ) f (y), ∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1) .
6

Do đó nó khơng lồi chặt.
Cho C = ∅ là một tập lồi.
2. Hàm chỉ. Đặt
δC :=



0

khi x ∈ C


+∞ khi x ∈
/C
Ta nói δC là hàm chỉ của C. Do C lồi nên δC là hàm lồi.
3. Hàm khoảng cách. Giả sử C là một tập đóng, khác rỗng. Hàm khoảng cách
dC (y) được định nghĩa như sau:
dC (y) = inf x − y .
x∈C

Khi đó, nếu C là tập lồi thì dC là hàm lồi.
Thật vậy, xét x, y ∈ H và λ ∈ (0, 1) bất kỳ. Đặt z = λx + (1 − λ) y . Theo
định nghĩa tồn tại các dãy {xk }, {yk } trong C sao cho
lim x − xk = dC (x) và lim y − yk = dC (y).

k→∞

k→∞

Do C lồi nên zk := λxk + (1 − λ) yk ∈ C. Ta có

dC (z) ≤ z − zk
= λ (x − xk ) + (1 − λ) (y − yk )
≤ λ x − xk + (1 − λ) y − yk .
Cho k → ∞ ta có dC (z) ≤ λdC (x) + (1 − λ) dC (y).
Vậy dC là hàm lồi.
Nếu tồn tại π ∈ C sao cho π − y = dC (y) thì π được gọi là hình chiếu
khoảng cách của y trên C. Khi đó, π là nghiệm của bài toán tối ưu
min
y∈C

x−y 2
.
2

Định nghĩa 1.1.8. Cho f : H → R ∪ {+∞}. Ta nói x∗ ∈ H là dưới đạo hàm
của f tại x nếu
x∗ , z − x + f (x) ≤ f (z) , ∀z.
Ký hiệu tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là ∂f (x).
Khi ∂f (x) = ∅ thì ta nói hàm f khả dưới vi phân tại điểm x.
7


f được gọi là khả dưới vi phân trên một tập nếu f khả dưới vi phân tại mọi
điểm trên tập đó.
Ví dụ 1.1.3. Xét các ví dụ sau:
1. f (x) = x , x ∈ Rn . Tại điểm x = 0 hàm này khơng khả vi, nhưng nó
khả dưới vi phân và
∂f (0) = {x∗ | x∗ , x ≤ x , ∀x};
2. f = δC là hàm chỉ của một tập lồi C = ∅. Khi đó, với x0 ∈ C,
∂δC (x0 ) = {x∗ | x∗ , x − x0 ≤ δC (x) , ∀x}.

Với x ∈
/ C thì δC (x) = +∞, nên bất đẳng thức này luôn đúng. Vậy
∂δC (x0 ) = {x∗ | x∗ , x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ C} = NC (x0 ).
Ta có mệnh đề sau nói lên tính khả dưới vi phân của hàm lồi.
Mệnh đề 1.1.2. Nếu f : H → R là hàm lồi thì ∂f (x) = ∅ với mọi x ∈ X hay
f khả dưới vi phân khắp nơi.
Mệnh đề này là trường hợp riêng của Định lý 23.4, trang 217 trong tài liệu
[12].
Định nghĩa 1.1.9. Hàm f : H → R được gọi là nửa liên tục dưới đối với E tại
một điểm x, nếu như với mọi dãy {xk } ⊂ E; xk → x ta có lim inf f xk ≥ f (x);
Hàm f được gọi là nửa liên tục trên đối với E tại một điểm x, nếu −f nửa
liên tục dưới đối với E tại điểm x. Hay là với mọi dãy {xk } ⊂ E; xk → x thì
lim sup f xk ≤ f (x);
Hàm f được gọi là liên tục đối với E tại một điểm x nếu như nó vừa nửa
liên tục trên và vừa nửa liên tục dưới đối với E tại x.
Khi E là tồn khơng gian, ta nói đơn giản là nửa liên tục dưới, nửa liên tục
trên hay liên tục.
Định nghĩa 1.1.10. Một hàm số thực ϕ được gọi là tựa lồi trên tập lồi C, nếu
với mọi số thực γ tập mức dưới
8


{x ∈ C|ϕ (x) ≤ γ}
lồi.
Tương tự, một hàm ϕ được gọi là tựa lõm trên C, nếu −ϕ là hàm tựa lồi trên
C.
Nếu ϕ là hàm tựa lồi trên C thì ∀x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có
ϕ (λx + (1 − λ) y) ≤ max (ϕ (x) , ϕ (y));
Tương tự, nếu ϕ là hàm tựa lõm trên C thì ∀x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có
ϕ (λx + (1 − λ) y) ≥ min (ϕ (x) , ϕ (y)).

Các định nghĩa về tính đơn điệu của song hàm và ánh xạ được sử dụng
trong việc trình bày tính duy nhất nghiêm của bài toán cân bằng. Trong các
định nghĩa sau xét C là tập khác rỗng, đóng, lồi trong không gian Hilbert thực
H.
Định nghĩa 1.1.11. Giả sử f : C × C → R. Ta nói
(i) f đơn điệu mạnh trên C với hệ số τ > 0, nếu
f (x, y) + f (y, x) ≤ −τ x − y

2

, ∀x, y ∈ C;

(ii) f đơn điệu chặt trên C, nếu
f (x, y) + f (y, x) < 0, ∀x, y ∈ C, x = y;
(iii) f đơn điệu trên C, nếu
f (x, y) + f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;
(iv) f giả đơn điệu trên C, nếu
f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;
(v) f liên tục có tính chất kiểu Lipschitz trên C với hằng số c1 > 0 và c2 > 0,
nếu
f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − c1 x − y

2

− c2 y − z

2

, ∀x, y ∈ C.

Từ định nghĩa ta có (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv). Tuy nhiên, điều ngược lại
khơng đúng. Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.1.4. Xét hàm h : H → R. Khi đó:
9


1. f (x, y) := h (x) − h (y) là đơn điệu nhưng không đơn điệu chặt.
2. g (x, y) := h (x) − h (y) − 1 là đơn điệu chặt nhưng không đơn điệu mạnh.
Thật vậy, xét g (x, y) + g (y, x) = −2 < 0 với mọi x, y ∈ H nên g đơn điệu
chặt.
Giả sử tồn tại hệ số τ > 0 thỏa mãn điều kiện đơn điệu mạnh, suy ra
τ x−y

2

≤ 2, ∀x, y ∈ H.

Chọn x = 0 và y = tv với v là một véc-tơ khác 0 trong H, ta được
τ≤

2
|t|· v

, ∀t ∈ R.

Cho t → ∞ thì điều kiện trên chỉ xảy ra khi τ ≤ 0 (mâu thuẫn).
Các khái niệm về đơn điệu đối với song hàm có liên quan chặt chẽ với các
khái niệm về đơn điệu của ánh xạ (toán tử), rất quen thuộc trong giải tích phi
tuyến.

Định nghĩa 1.1.12. Ánh xạ F : C → R được gọi là
(i) đơn điệu mạnh trên C với hệ số τ > 0, nếu
F (x) − F (y) , x − y ≥ τ x − y

2

, ∀x, y ∈ C;

(ii) đơn điệu chặt trên C, nếu
F (x) − F (y) , x − y > 0, ∀x, y ∈ C;
(iii) đơn điệu trên C, nếu
F (x) − F (y) , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C;
(iv) giả đơn điệu trên C, nếu
F (y) , x − y ≥ 0 ⇒ F (x) , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C;
(v) liên tục L−Lipschitz trên C, nếu
F (x) − F (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ C.
Từ định nghĩa ta có (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv).
Ví dụ 1.1.5. Cho C là tập lồi, hàm f : C → R. Khi đó:
• ∂f là đơn điệu trên C.

10


Thật vậy, lấy tùy ý x, y ∈ C và do f là hàm lồi nên
f (x) ≥ f (y) + v, x − y , ∀v ∈ ∂f (y),
f (y) ≥ f (x) + u, y − x , ∀u ∈ ∂f (x).
Cộng hai bất đẳng thức trên với nhau, suy ra
v − u, y − x ≥ 0, ∀x, y ∈ C.
Vậy ∂f là đơn điệu trên C.
• Nếu f là hàm khả vi, lồi mạnh trên C thì đạo hàm của f là đơn điệu

mạnh trên C.
• Nếu f là hàm khả vi, lồi chặt trên C thì đạo hàm của f là đơn điệu chặt
trên C.
Nhận xét 1.1.1. Nếu F là L− Lipschitz trên C thì với mỗi x, y ∈ C, f (x, y) =
F (x) , y − x có tính chất liên tục kiểu Lipschitz với hằng số c1 = c2 =

L
2

trên

C.
Thật vậy,
f (x, y) + f (y, z) − f (x, z) = F (x) , y − x + F (y) , z − y − F (x) , z − x
= − F (y) − F (x) , y − x
≥ − F (x) − F (y)
≥ −L x − y
≥−

L
x−y
2

= c1 x − y

2

y−z

y−z

2

−

L
y−z
2

− c2 y − z

2

2

.

Do vậy, f là liên tục có tính chất kiểu Lipschitz trên C.

1.2

Sự tồn tại nghiệm và các tính chất cơ bản của
bài toán cân bằng

Trong phần này ta nhắc lại một số định lý quen thuộc trong giải tích phi
tuyến. Các định lý này là công cụ sắc bén để nghiên cứu, đặc biệt là để chứng
11


minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng.
Bài tốn cân bằng

Ta nhắc lại bài tốn cân bằng (cịn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan):
Xét H là khơng gian Hilbert thực, C là tập lồi, đóng, khác rỗng của H và
f : C × C → R ∪ {+∞}. Khi đó, bài tốn cân bằng là bài tốn:
Tìm x ∈ C sao cho f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C .
(EP)
Tập nghiệm của bài toán cân bằng được ký hiệu là Sol (C, f ).
Dưới đây ta sẽ luôn giả thiết f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Một song hàm
thỏa mãn điều kiện này được gọi là song hàm cân bằng. C được gọi là tập chấp
nhận được hay tập chiến lược và f là hàm cân bằng của bài toán (EP).
Tiếp theo, ta xét sự tồn tại nghiệm và các tính chất cơ bản của bài toán
cân bằng. Để chứng minh kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán ta sử dụng
định lý minimax quan trọng sau đây:
Định lý 1.2.1. Cho C ⊆ H, D ⊆ H là các tập lồi, đóng, khác rỗng và
f : C × D → R. Giả sử với mọi y ∈ D, hàm f (., y) tựa lồi, nửa liên tục dưới
trên C và với mọi x ∈ C, hàm f (x, .) tựa lõm, nửa liên tục trên trên D. Khi
đó, nếu có một trong hai điều kiện sau:
(A) Có một tập hữu hạn N∗ ⊂ D và một số η∗ > γ = sup inf f (x, y) sao
y∈D x∈C

cho tập
C (N∗ ) :=

x ∈ C| max f (x, y) ≤ η∗
y∈N∗

compact;
(B) Có một tập hữu hạn M∗ ⊂ C và một số γ∗ < η := inf sup f (x, y) sao
x∈C y∈D

cho tập

D (M∗ ) :=

y ∈ D| min f (x, y) ≥ γ∗
x∈M∗

compact.
Thì
12


sup inf f (x, y) = inf sup f (x, y);
y∈D x∈C

x∈C y∈D

Cụ thể hơn, ta có
sup min f (x, y) = inf sup f (x, y);
x∈C y∈D

y∈D x∈C(N∗ )

nếu có (A) và
inf sup f (x, y) = max inf f (x, y).

x∈C y∈D

y∈D(M∗ ) x∈C

nếu có (B).
Dưới đây ta sẽ chứng minh một kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán

cân bằng (EP) dựa trên Định lý minimax 1.2.1.
Mệnh đề 1.2.1. Cho C ⊆ H là tập lồi, đóng, khác rỗng và song hàm cân bằng
f có tính chất: hàm f (x, .) tựa lồi, nửa liên tục dưới trên C, hàm f (., y) tựa
lõm, nửa liên tục trên trên C. Giả sử:
(A1) Có một tập hữu hạn N∗ ⊂ C sao cho tập
C (N∗ ) :=

x ∈ C| min f (x, y) ≥ 0
y∈N∗

compact, hoặc
(B1) Có một tập hữu hạn M∗ ⊂ C sao cho tập
D (M∗ ) :=

y ∈ C| max f (x, y) ≤ 0
x∈M∗

compact. Khi đó bài tốn (EP) có nghiệm.
Chứng minh:
Đặt φ (x, y) := −f (x, y) và D ≡ C. Khi đó hàm φ thỏa mãn mọi điều kiện của
Định lý 1.2.1. Do đó, ta có
sup inf φ (x, y) = inf sup φ (x, y) .

(1.1)

inf sup φ (x, y) = 0.

(1.2)

inf sup φ (x, y) ≥ inf φ (x, x) = 0;

(1.3)

y∈C x∈C

x∈C y∈C

Ta sẽ chứng minh
x∈C y∈C

Thật vậy, ta có:
x∈C y∈C

x∈C

13


đẳng thức cuối là do φ (x, x) = 0.
Mặt khác, ta lại có:
sup inf φ (x, y) ≤ sup φ (y, y) = 0.
y∈C x∈C

(1.4)

y∈C

đẳng thức cuối là do φ (y, y) = 0.
Từ (1.1), (1.3), (1.4) ta suy ra:
sup inf φ (x, y) = inf sup φ (x, y) = 0.

y∈C x∈C

x∈C y∈C

(1.5)

Giả sử điều kiện (A1) được thỏa mãn, theo Định lý 1.2.1 tồn tại x thuộc
C (N∗ ) ⊂ C sao cho
min sup φ (x, y) = 0.
x∈C(N∗ ) y∈C

Đặt s := sup φ (x, y). Do φ (., y) nửa liên tục dưới trên C, nên s cũng nửa
y∈C

liên tục dưới trên C. Do C (N∗ ) là tập compact, nên tồn tại x∗ ∈ C (N∗ ), sao
cho
s (x∗ ) = min s (x) = 0.
x∈C(N∗ )

Hay
s (x∗ ) = sup φ (x∗ , y) = 0.
y∈C
∗

Suy ra φ (x , y) ≤ 0 với mọi y ∈ C.
Vậy f (x∗ , y) = −φ (x∗ , y) ≥ 0 với mọi y ∈ C. Chứng tỏ x∗ là nghiệm của bài
toán cân bằng (EP).
Mệnh đề đã được chứng minh.
Trong mệnh đề trên, ta địi hỏi tính tựa lõm trên C của hàm f (., y) với mọi
y ∈ C. Trên thực tế, điều này có thể loại bỏ. Để chứng minh sự tồn tại nghiệm

của bài toán cân bằng, khi song hàm cân bằng không cần tựa lõm theo biến
thứ nhất, ta cần đến các định lý điểm bất động trong giải tích hàm là Định lý
Kakutani và một trường hợp riêng quan trọng của nó là Định lý Brouwer. Để
tiện theo dõi, ta nhắc lại các định lý này trong không gian Euclide hữu hạn
chiều, mặc dù các định lý này đã được chứng minh trong không gian vô hạn
14


chiều.
Định lý 1.2.2. (điểm bất động Kakutani). Cho C là một tập lồi, compact trong
không gian Rn và F : C → 2C là một ánh xạ đa trị, nửa liên tục trên và F (x)
lồi, đóng, khác rỗng với mọi x ∈ C. Khi đó, F có điểm bất động, tức là tồn tại
x∗ ∈ C, thỏa mãn x∗ ∈ F (x).
Một trường hợp riêng quan trọng của định lý trên là Định lý điểm bất động
Brouwer như sau:
Định lý 1.2.3. (điểm bất động Brouwer). Cho C là một tập lồi, compact trong
không gian Rn và F là một ánh xạ (đơn trị) liên tục từ C vào C. Khi đó, tồn
tại x∗ ∈ C, thỏa mãn x∗ = F (x).
Ta cũng sẽ sử dụng định lý quen thuộc sau, là Định lý cực đại Berge.
Định lý 1.2.4. Cho X, Y là các không gian tô-pô, F : X → 2Y là ánh xạ nửa
liên tục trên trên X sao cho F (x) compact, hơn nữa F (X) compact. Giả sử
f : X × X → R là hàm số nửa liên tục trên trên X. Khi đó hàm giá trị tối ưu
g (x) := max {f (x, y) : y ∈ F (x)}
nửa liên tục trên và ánh xạ tập nghiệm tối ưu
S (x) := {y ∈ F (x) : f (x, y) = g (x)}
nửa liên tục trên.
Dựa vào Định lý điểm bất động Kakutani và Định lý cực đại Berge, ta có
mệnh đề sau nói về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng.
Mệnh đề 1.2.2. Cho C là một tập lồi, compact, khác rỗng và song hàm cân
bằng f : C × C → R ∪ {+∞} có các tính chất:

(i) f (., y) nửa liên tục trên với mọi y ∈ C;
(ii) f (x, .) lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên C với mọi x ∈ C.
Khi đó, bài tốn (EP) có nghiệm.

15


Chứng minh:
Với mỗi x ∈ C, ta gọi S (x) là tập nghiệm của bài toán
min {f (x, y) : y ∈ C} .

(CO)

Do C compact và f (x, .) nửa liên tục dưới nên theo Định lý Weistrass, bài
toán này tồn tại nghiệm. Hơn nữa, do C lồi, compact, f (x, .) lồi, nên S (x) lồi,
compact. Theo Định lý cực đại Berge, ánh xạ S nửa liên tục trên, với S là một
ánh xạ từ C vào C. Vậy theo Định lý điểm bất động Kakutani, tồn tại x∗ ∈ C
thỏa mãn x∗ ∈ S (x∗ ).
Bây giờ, ta sẽ chỉ ra x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng (EP).
Thật vậy, do f (x, .) lồi, khả dưới vi phân trên C, theo điều kiện cần và đủ tối
ưu của quy hoạch lồi, ta có:
0 ∈ ∂2 f (x∗ , x∗ ) + NC (x∗ ).
Theo định nghĩa của dưới vi phân và nón pháp tuyến, từ đây ta có v ∗ ∈
∂2 f (x∗ , x∗ ) thỏa mãn:
v ∗ , y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ C.
Do v ∗ ∈ ∂2 f (x∗ , x∗ ) nên
v ∗ , y − x∗ ≤ f (x∗ , y) − f (x∗ , x∗ ) = f (x∗ , y) , ∀y ∈ C.
Vậy f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C. Điều này chứng tỏ x∗ là nghiệm của (EP).
Mệnh đề đã được chứng minh.
Hệ quả 1.2.1. Cho C là một tập lồi, đóng (không cần compact) và song hàm

cân bằng f như ở mệnh đề trên. Giả sử điều kiện (C1) sau đây được thỏa mãn:
Tồn tại tập compact B sao cho
C ∩ B = ∅, ∀x ∈ C\B, ∃y ∈ C : f (x, y) < 0.
Khi đó, bài tốn (EP) có nghiệm.
Chứng minh:
Theo mệnh đề trên, bài toán cân bằng trên tập compact C ∩ B với hàm cân
bằng f có nghiệm, tức là tồn tại x∗ ∈ C ∩ B. Từ điều kiện (C1) và tính lồi của
16


tâp C, ta suy ra nghiệm x∗ cũng là nghiệm của bài toán (EP).
Hệ quả trên là một trường hợp riêng của Định lý Ky Fan sau đây:
Định lý 1.2.5. (Ky Fan). Cho f : C × C → R ∪ {+∞} là một song hàm cân
bằng có các tính chất sau:
(i) f (., y) nửa liên tục trên với mọi y ∈ C;
(ii) f (x, .) tựa lồi trên C với mọi x ∈ C.
Khi đó, bài tốn cân bằng (EP) có nghiệm, nếu như C compact, hoặc điều kiện
(C1) được thỏa mãn.
Bây giờ, ta xét tính duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng.
Mệnh đề 1.2.3. Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng và song hàm cân bằng
f : C × C → R ∪ {+∞}. Khi đó:
(i) Nếu f là đơn điệu chặt trên C, thì bài tốn cân bằng (EP) có nhiều nhất
một nghiệm;
(ii) Nếu f (., y) nửa liên tục trên với mọi y ∈ C, f (x, .) lồi, nửa liên tục
dưới với mỗi x ∈ C và f đơn điệu mạnh trên C, thì bài tốn (EP) ln có và
có duy nhất nghiệm.
Chứng minh:
(i) Giả sử (EP) có hai nghiệm x∗ và y ∗ . Khi đó f (x∗ , y ∗ ) ≥ 0 và f (y ∗ , x∗ ) ≥
0. Thế nhưng, nếu f (x∗ , y ∗ ) ≥ 0, thì theo tính đơn điệu chặt, ta phải có
f (y ∗ , x∗ ) < 0. Điều này mâu thuẫn với f (y ∗ , x∗ ) ≥ 0.

Vậy điều giả sử là sai và ta có điều phải chứng minh.

(ii) Lấy x0 ∈ C bất kỳ. Do f (x0 , .) nửa liên tục dưới và f (x0 , x0 ) = 0, nên
tồn tại µ sao cho
f (x0 , v) ≥ µ, ∀v ∈ B (x0 , 1) ∩ C,
trong đó B (x0 , 1) là hình cầu đóng tâm x0 , bán kính bằng 1. Ta sẽ chỉ ra f
thỏa mãn điều kiện (C1).
Thật vây, với bất kỳ x ∈ C\B (x0 , 1), thì λ =
17

1
x0 −x

< 1.


Vậy
v = λx + (1 − λ) x0 ∈ C ∩ B (x0 , 1).
Theo tính lồi của f (x0 , .) ta có
f (x0 , v) ≤ λf (x0 , x) + (1 − λ) f (x0 , x0 ) = λf (x0 , x).
Vì λ =

1
x0 −x

, nên từ đây suy ra f (x0 , x) ≥ µ x0 − x .

Áp dụng tính chất đơn điệu mạnh (với hệ số τ ) của f , ta có:
f x, x0 ≤ −f x0 , x − τ x − x0

2

≤ −µ x0 − x − τ x − x0
= − x0 − x

2

µ + τ x0 − x

.

Do đó, nếu x0 − x > −µ/τ , thì
f (x, x0 ) ≤ −µ x0 − x − τ x − x0

2

< 0.

Bây giờ, lấy tập compact U := C ∩ B (x0 , ε) với ε > max {1, −µ/τ }, ta sẽ
có f (x, x0 ) < 0 khi x ∈ C\U . Vậy f thỏa mãn điều kiện (C1).
Theo Hệ quả 1.2.1, bài tốn (EP) có nghiệm. Tính duy nhất nghiệm được suy
ra từ phần (i) do tính đơn điệu mạnh kéo theo đơn điệu chặt.
Mệnh đề đã được chứng minh.

Bài tốn cân bằng (EP) có mối liên hệ chặt chẽ với bài toán sau, được gọi
là bài tốn đối ngẫu của (EP).
Tìm y ∗ ∈ C : f (x, y ∗ ) ≤ 0, ∀x ∈ C.
(DEP)
Ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán đối ngẫu là DS. Mối quan hệ giữa hai bài
toán này được thể hiện ở mệnh đề dưới đây.

Mệnh đề 1.2.4. Giả sử f : C × C → R ∪ {+∞} là song hàm cân bằng. Khi
đó:
(i) Nếu f (x, .) là hàm lồi trên C với mọi x ∈ C thì tập nghiệm DS lồi;
18


(ii) Nếu f giả đơn điệu trên C, f (., y) là nửa liên tục trên với mỗi y ∈ C
và f (x, .) lồi với mỗi x ∈ C thì
DS = Sol (C, f ).
Chứng minh:
(i) Theo định nghĩa của bài toán (DEP), ta thấy
DS = {y ∈ C : f (x, y) ≤ 0, ∀x ∈ C}.
Do C lồi và f (x, .) lồi với mọi x ∈ C, nên DS là giao của một họ vô hạn các
tập lồi, do đó nó cũng là một tập lồi.
(ii) Do tính giả đơn điệu của f , ta có Sol (C, f ) ⊆ DS. Ta chỉ cần chứng
minh chiều ngược lại.
Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán đối ngẫu, tức là f (x, x∗ ) ≤ 0 với mọi
x ∈ C. Nếu x∗ không phải là nghiệm của bài tốn gốc (EP), thì sẽ tồn tại
y ∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y ∗ ) < 0.
Lấy yt := ty ∗ + (1 − t) x∗
Do C lồi, nên yt ∈ C với mọi 0 ≤ t ≤ 1.
Do tính nửa liên tục trên của f (., y ∗ ), ta có:
lim f (ty ∗ + (1 − t) x∗ ) ≤ f (x∗ , y ∗ ) < 0.
t→0

Vậy tồn tại t∗ ∈ [0, 1] thỏa mãn f (yt∗ , y ∗ ) < 0. Khi đó, theo tính chất lồi
của hàm f (yt∗ , .) ta viết được:
0 = f (yt∗ , yt∗ ) ≤ t∗ f (yt∗ , y ∗ ) + (1 − t∗ ) f (yt∗ , x∗ ).
Vì f (yt∗ , y ∗ ) < 0, nên từ đây suy ra f (yt∗ , x∗ ) > 0. Điều này mâu thuẫn với
việc x∗ là nghiệm của bài toán đối ngẫu (DEP).

Mệnh đề đã được chứng minh.

1.3

Các trường hợp riêng của bài tốn cân bằng

Về mặt hình thức bài tốn cân bằng khá đơn giản, tuy nhiên nó bao hàm
được nhiều lớp bài toán quan trọng khác nhau thuộc nhiều lĩnh vực. Dưới đây
19


là một số trường hợp riêng của bài toán này.
1.3.1

Bài toán tối ưu

Xét bài toán
min {ϕ (x) |x ∈ C}.
Đặt
f (x, y) := ϕ (y) − ϕ (x).
Khi đó
ϕ (x) ≤ ϕ (y) , ∀y ∈ C ⇔ f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C .
Vậy bài toán tối ưu trên là một trường hợp riêng của bài toán (EP).
1.3.2

Bài toán điểm yên ngựa

Cho A ⊆ H, B ⊆ H và L : A × B → R. Bài tốn điểm n ngựa là bài tốn
tìm (x∗ , y ∗ ) ∈ A × B sao cho
L (x∗ , y) ≤ L (x∗ , y ∗ ) ≤ L (x, y ∗ ), ∀ (x, y) ∈ A × B.

Một điểm (x∗ , y ∗ ) ∈ A × B thỏa mãn bất đẳng thức trên được gọi là điểm
yên ngựa của L trên A × B. Ta sẽ chỉ ra rằng, bài tốn điểm n ngựa có thể
mơ tả dưới dạng bài toán cân bằng.
T

T

Thật vậy, với mỗi u = (x, y) , v = (x , y ) , ta đặt
C := A × B, f (u, v) := L (x , y) − L (x, y ).
Khi đó, nếu u∗ là nghiệm của bài tốn cân bằng với C và f , tức là
u∗ ∈ A × B, f (u∗ , v) ≥ 0, ∀v ∈ C = A × B,
thì
L (x , y ∗ ) ≥ L (x∗ , y ), ∀x ∈ A, y ∈ B.
Với x = x∗ và sau đó với y = y ∗ , ta có:
L (x∗ , y ) ≤ L (x∗ , y ∗ ) ≤ L (x , y ∗ ), ∀x ∈ A, y ∈ B.
Vậy (x∗ , y ∗ ) là điểm yên ngựa.
Điều ngược lại là nếu (x∗ , y ∗ ) là điểm n ngựa của L trên A × B, thì u∗ =
T

(x∗ , y ∗ ) là lời giải của bài toán cân bằng được suy ra từ định nghĩa.
20


1.3.3

Bài toán điểm bất động Kakutani

Cho F : C → 2C . Điểm x được gọi là điểm bất động của F nếu x ∈ F (x).
Giả sử với mọi x ∈ C, F (x) lồi, compact, khác rỗng. Khi đó bài tốn tìm một
điểm bất động của F có thể mơ tả dưới dạng bài tốn cân bằng (EP). Để chứng

tỏ điều này, với mỗi x, y ∈ C, ta đặt
f (x, y) := max x − v, y − x .
v∈F (x)

Thật vậy, nếu x ∈ F (x), thì theo định nghĩa của f (x, y) ta có
f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Ngược lại, giả sử x là nghiệm của bài toán (EP), tức là x ∈ C và f (x, y) ≥ 0,
với mọi y ∈ C. Khi đó, lấy y là hình chiếu của x lên tập lồi, đóng F (x), ta có:
x − y, y − x = max x − v, y − x .
v∈F (x)

Do x là nghiệm của (EP) nên
2

0 ≤ f (x, y) = x − y, y − x = − x − y .
Suy ra x = y ∈ F (x). Vậy x là điểm bất động của F .
1.3.4

Cân bằng Nash trong trị chơi khơng hợp tác

Xét một trị chơi có p người chơi (đấu thủ). Giả sử Cj ⊂ Rpj là tập phương
án mà đấu thủ thứ j có thể lựa chọn trong đó (gọi là tập chiến lược).
Đặt C := C1 × C2 × ... × Cp và gọi ϕj : C → R là hàm lợi ích của đấu thủ j
khi đấu thủ này chọn phương án chơi xj ∈ Cj , còn các đấu thủ k khác chọn
phương án chơi là xk ∈ Ck với mọi k = j.
Định nghĩa 1.3.1. (Điểm cân bằng Nash) Ta gọi x∗ = x∗1 , ..., x∗p là điểm cân
bằng của ϕ = (ϕ1 , ..., ϕp ) trên tập C := C1 × C2 × ... × Cp nếu với mọi j và mọi
yj ∈ Cj , ta có:
ϕj x∗1 , ..., x∗j−1 , yj , x∗j+1 , ..., x∗p ≤ ϕj x∗1 , ..., x∗j−1 , x∗j , x∗j+1 , ..., x∗p .
Định nghĩa này cho thấy rằng nếu một đấu thủ j nào đó rời khỏi phương

án cân bằng, trong khi các đấu thủ khác vẫn giữ phương án cân bằng thì đấu
thủ j sẽ bị thua thiệt. Đây chính là lý do mà khái niệm cân bằng này được
21