Hướng dẫn giải các dạng toán đường thẳng và mặt phẳng trong không gian quan hệ song song

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.67 MB, 90 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHƯƠNG

7

ĐƯỜNG

THẲNG

VÀ

MẶT

PHẲNG

TRONG

KHÔNG

GIAN

BÀI

1.

ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT

PHẲNG

A

TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Mở đầu về hình học khơng gian.

Đối tượng cơ bản:

. Điểm: kí hiệuA,B,C, ...

. Đường thẳng: kí hiệua,b,c,d, ...

. Mặt phẳng: kí hiệu(P),(Q),(α),(β), ... A
B

Quan hệ cơ bản:

. Thuộc: kí hiệu∈. Ví dụA∈d,M∈(P)...

. Chứa, nằm trong: kí hiệu⊂. Ví dụ:d⊂(P),b⊂(α).
Hình biểu diễn của một hình trong không gian:

. Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng biểu diễn bởi đoạn thẳng.

. Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt
nhau).

. Hai đoạn thẳng song song hoặc bằng nhau được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng song song và bằng
nhau.

. Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn (- - - -) để biểu diễn
cho những đường bị che khuất.

2 Các tính chất thừa nhận trong hình học khơng gian.

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng
hàng cho trước.

Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng
thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Tồn tại bốn điểm khơng cùng thuộc một mặt phẳng.

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng cịn có
một điểm chung khác nữa.

Từ tính chất này suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm
chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung
ấy. Đường thẳng chung là duy nhất chứa tất cả các điểm chung của
hai mặt phẳng đó. Đường thẳng chung đó được gọi là giao tuyến
của hai mặt phẳng.

Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều
đúng.

B C

E G

α

A B

α

B C

α

3 Điều kiện xác định mặt phẳng.

. Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm khơng thẳng hàng.

. Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng khơng đi qua
điểm đó.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

4 Hình chóp và hình tứ diện.

Cho đa giác A1A2A3...An nằm trong mặt phẳng (α)và điểm S∉(α). Lần lượt nối điểm S với các đỉnh

A1A2A3...An ta đượcntam giácS A1A2,S A2A32, ...S AnA1. Hình gồm đa giácA1A2A3...Anvàntam giác

S A1A2,S A2A3, ...S AnA1được gọi là hình chóp, kí hiệu hình chóp này làS.A1A2A3...An. Khi đó ta gọi:

. Slà đỉnh của hình chóp.

. A1A2A3...An là mặt đáy của hình chóp.

. Các tam giácS A1A2,S A2A3, ...S AnA1được gọi là các mặt bên.

Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,..., lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác,
hình chóp ngũ giác, ....

Cho bốn điểmA,B,C,Dkhơng đồng phẳng. Hình gồm4tam giác ABC,ACD,BCD, ABDgọi là hình tứ
diện (hay ngắn gọn gọi là tứ diện) và được kí hiệu làABCD.

. Các điểmA,B,C,Dlà bốn đỉnh của tứ diện.

. Các đoạn thẳngAB,BC,CD,D A,C A,BDgọi là các cạnh của tứ diện.
. Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện của tứ diện.
. Các tam giácABC,ACD,ABD,BCDgọi là các mặt của tứ diện.
Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.

B C

A B

Hình chóp tam giác (Tứ diện) Hình chóp tứ giác

A B

Hình chóp tứ giác có đáy là hình thang Hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành

B

DẠNG TỐN VÀ BÀI TẬP

{DẠNG 1.1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

1

VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Cho tứ diệnS ABC. GọiM,N lần lượt là hai điểm trên cạnhABvàBCsao choM Nkhơng song song
vớiAC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau

(SM N)và(S AC);

1 2 (S AN)và(SCM).

Lời giải.

1 Trong(ABC), gọiK=M N∩AC, ta có

(

S∈(SM N)∩(S AC)S
K∈(SM N)∩(S AC).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳngSK.

2 Trong(ABC), gọiH=AN∩CM, ta có

(

S∈(S AN)∩(SCM)
H∈(S AN)∩(SCM).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳngSH.

B
M
S

ä
VÍ DỤ 2. Cho hình chópS.ABCD, trong đó mặt đáyABCDcó các cặp cạnh đối không song song. Gọi điểm M
thuộc cạnhS A. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau

(S AC)và(SBD);

1 2 (S AB)và(SCD); 3 (MBC)và(S AD).

Lời giải.

1 Trong(ABCD), gọiE=AC∩BD, ta có

(

S∈(S AC)∩(SBD)
E∈(S AC)∩(SBD).
Vậy đường thẳng giao tuyến làSE.
2 Trong(ABCD), gọiF=AB∩CD, ta có

(

S∈(S AB)∩(SCD)
F∈(S AB)∩(SCD).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng làSF.
3 Trong(ABCD), gọiK=AD∩CB, ta có

(

M∈(MBC)∩(S AD)
K∈(MBC)∩(S AD).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng làMK.

M
S

A D K

C
B

F
E

2

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Cho tứ diệnS ABC. GọiK,Mlần lượt là hai điểm trên cạnh S AvàSC. GọiN là trung điểm của cạnhBC.
Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau

(S AN)và(ABM);

1 2 (S AN)và(BCK).

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

1 Trong(SBC), gọiE=SN∩BM, ta có

(

A∈(S AN)∩(ABM)
E∈(S AN)∩(ABM).
Vậy đường thẳng giao tuyến là AE.

2 Ta có

(

N∈(S AN)∩(BCK)

K∈(S AN)∩(BCK).
Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng làK N.

M
S

E
K

ä
BÀI 2. Cho hình chópS ABCDcó đáyABCDlà hình thang vớiAB∥CDvàAB>CD. Lấy điểmMtrên đoạnBC. Tìm
giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(S AC)và(SBD);

1 2 (S AD)và(SBC);

(S AM)và(SBD);

3 4 (SD M)và(S AB).

Lời giải.

Trong(ABCD), gọiE=AC∩BD, ta có

(

S∈(S AC)∩(SBD)
E∈(S AC)∩(SBD).
Vậy đường thẳng giao tuyến làSE.
1

Trong(ABCD), gọiK=AD∩CB, ta có

(

S∈(SBC)∩(S AD)
K∈(S AD)∩(SBC).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng làSK.
2

Trong(ABCD), gọiF=AM∩DB, ta có

(

S∈(S AM)∩(SBD)
F∈(S AM)∩(SBD).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng làSF.
3

Trong(ABCD), gọi=D M∩AB, ta có

(

S∈(SD M)∩(S AB)
H∈(SD M)∩(S AB).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng làSH.
4

M
S

A B

C
D

K
F

ä
BÀI 3. Cho tứ diệnS ABC. GọiD,E,Flần lượt là trung điểm củaAB,BC,S A.

Tìm giao tuyếnSHcủa hai mặt phẳng(SCD)và(S AE);
1

Tìm giao tuyếnC I của hai mặt phẳng(SCD)và(BFC);
2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Lời giải.

Trong(ABC), gọiH=AE∩CD≡H.

Ta có giao tuyến của(SCD)và(S AE)làSH.
1

Trong(S AB), gọiI=SD∩BF.

Ta có giao tuyến của hai mặt phẳng(SCD)và(BFC)làC I.
2

Ta cóC IvàSHcùng nằm trong mặt phẳng(SCD).

Xét tam giácSCDcóI∈SD;H∈CDnênC I vàSHcắt nhau tạiO.
Ta cóIlà trọng tâm tam giácS ABsuy ra I D

SD=
1
3.
Hlà trọng tâm tam giácABCsuy ra DH

CD=
1
3.
Suy ra I D

SD=
DH

CD⇔I H∥SC.
Vậy OH

OS =
I H
SC=

I D
SD=

1
3.
3

E
F

H
I

3

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

BÀI 4. Cho hình chópS ABCDcó đáy ABCDlà tứ giác lồi. Trên cạnhS Alấy điểm M. Tìm giao tuyến của các cặp
mặt phẳng sau đây:

(S AC)và(SBD).

1 2 (BCM)và(S AD).

(CD M)và(S AB).

3 4 (BD M)và(S AC).

BÀI 5. Cho hình chópS ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. Trung điểm củaCDlàM. Tìm giao tuyến của các
cặp mặt phẳng sau đây:

(S AC)và(SBD).

1 2 (SBM)và(S AC).

(SBM)và(S AD).

3 4 (S AM)và(SBC).

BÀI 6. Cho hình chóp S ABCDcó đáy ABCDlà hình thang với AB∥CD và AB>CD. Lấy điểmM nằm trên đoạn
S A. Hãy tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(BD M)và(S AC).

1 2 (BCM)và(S AD).

(BCM)và(SCD).
3

BÀI 7. Cho hình chópS ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. Lấy điểmMtrên cạnhS A, trung điểmCD
làN. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(BM N)và(S AC).

1 2 (BM N)và(S AD).

(MCD)và(SBD).

3 4 (MCD)và(S AB).

BÀI 8. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là tứ giác có hai cạnh đối diện khơng song song. Lấy điểmM thuộc
miền trong tam giácSCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(SBM)và(SCD).

1 2 (ABM)và(SCD).

(ABM)và(S AC).
3

BÀI 9. Cho hình chópS ABCDcó đáy ABCDlà tứ giác lồi. LấyIthuộc cạnhS A,Jthuộc cạnhSBsao choI Jkhông

song song với AB. Lấy K là một điểm thuộc miền trong tứ giácABCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau
đây:

(I JK)và(ABCD).

1 2 (I JK)và(S AB).

(I JK)và(S AD).

3 4 (I JK)và(S AC).

(I JK)và(SBD).
5

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

316 CHƯƠNG 7. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

(M N K)và(ABC).

1 2 (M N K)và(S AB).

BÀI 11. Cho hình chópS ABC. Trên cạnhS A,SClấy điểmM,Nsao choM Nkhông song song vớiAC. GọiOlà điểm
thuộc miền trong của tam giácABC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(M NO)và(ABC).

1 2 (M NO)và(S AB).

(SMO)và(SBC).

3 4 (ONC)và(S AB).

BÀI 12. Cho tứ diệnABCDcóMlà điểm trên cạnhAB,Nlà điểm trên cạnhADsao choMB=2M A,AN=2N D. Gọi
Plà điểm nằm trong tam giácBCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(CM N)và(BCD).

1 2 (M N P)và(S AD).

(M N P)và(ABC).
3

BÀI 13. Cho tứ diệnABCD. GọiMlà điểm nằm trong tam giácABC,Nlà điểm nằm trong tam giácACD. Tìm giao
tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(CD M)và(ABD).

1 2 (BCN)và(ABD).

(CM N)và(BCD).
3

BÀI 14. Cho tứ diệnS AC. Lấy điểmE,F lần lượt trên đoạnS A,SBvà điểmGlà trọng tâm tam giácABC. Tìm giao
tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(EFG)và(ABC).

1 2 (EFG)và(SBC).

(EFG)và(SGC).
3

BÀI 15. Cho hình chópS.ABCD. Hai điểmG,Hlần lượt là trọng tâm4S AB,4SCD. Tìm giao tuyến của các cặp
mặt phẳng sau đây:

(SGH)và(ABCD).

1 2 (S AC)và(SGH).

(S AC)và(BGH).

3 4 (SCD)và(BGH).

BÀI 16. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang có AB∥CD. GọiI là giao điểm củaADvàBC. LấyM
thuộc cạnhSC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(S AC)và(SBD).

1 2 (S AD)và(SBC).

(AD M)và(SBC).
3

BÀI 17. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hành tâmO. GọiM,N,Qlần lượt là trung điểm của các cạnh
BC,CD,S A. Hãy tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(M N P)và(S AB).

1 2 (M N P)và(S AD).

(M N P)và(SBC).

3 4 (M N P)và(SCD).

BÀI 18. Cho hình chópS.ABC. Gọi H,K lần lượt là trọng tâm tam giácS AB,SBCvà M là trung điểm cạnh AC,
I∈SMsao choS I>SM. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(I HK)và(ABC).

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 317

{DẠNG 1.2. Tìm giao điểm của đường thẳngd và mặt phẳng(α)

u
I

α
β

Tìm một mặt phẳng phụ(β)chứa d sao cho dễ tạo giao tuyến với(α). Mặt phẳng này thường xác định
bởidvà một điểm của(α).

Tìm giao tuyếnucủa(α)và(β).

Trong(β),d cắtutạiI, màu⊂(α). Vậydcắt(α)tạiI.

1

VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Cho tứ diệnS ABCcóMlà điểm nằm trên tia đối của tiaS A,Olà điểm nằm trong tam giác ABC.

Tìm các giao điểm của

1 Đường thẳngBCvà mặt phẳng(SO A);
2 Đường thẳngMOvà mặt phẳng(SBC);
3 Đường thẳngABvà mặt phẳng(MOC);
4 Đường thẳngSBvà mặt phẳng(MOC).

Lời giải.

1 Trong mặt phẳng(ABC), kéo dàiAOcắtBCtạiI.
Ta có

(

I∈BC

I∈AO⊂(SO A)⇒Ilà giao điểm củaBCvà(SO A).

2 Chọn mặt phẳng phụ chứaMOlà(SO A), ta có(SO A)∩(SBC)=S I.
Trong(SO A)≡(SM I), gọiJlà giao điểm củaS IvàMO.

Ta có

(

J∈MO

J∈S I⊂(SBC)⇒Jlà giao điểm củaMOvà(SBC).
3 Trong mặt phẳng(ABC), kéo dàiCO cắtABtạiK.

Ta có

(

K∈AB

K∈CO⊂(MOC)⇒K là giao điểm của ABvà(MOC).

4 Chọn mặt phẳng phụ chứaSBlà(S AB), ta có(S AB)∩(MOC)=MK.
Trong(S AB)≡(M AB), gọiHlà giao điểm củaSBvàMK.

Ta có

(

H∈SB

H∈MK⊂(MOC)⇒Hlà giao điểm củaSBvà(MOC).

K O I

J
S

ä
VÍ DỤ 2. Cho tứ diệnS ABCcó hai điểmM, N lần lượt thuộc hai cạnhS A,SBvàOlà điểm nằm trong tam
giácABC. Xác định giao điểm của

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

3 Đường thẳngSOvà mặt phẳng(CM N).

Lời giải.

1 Trong mặt phẳng(ABC), kéo dàiCOcắtABtạiI.
Ta có

(

I∈AB

I∈CO⊂(SOC)⇒Ilà giao điểm củaABvà(SOC).

2 Chọn mặt phẳng phụ chứaM Nlà(S AB), ta có(S AB)∩(SOC)=S I.
Trong(S AB), gọiK là giao điểm củaS I vàM N.

Ta có

(

K∈M N

K∈S I⊂(SOC)⇒K là giao điểm củaM Nvà(SOC).

3 Chọn mặt phẳng phụ chứaSOlà(S IC), ta có(S IC)∩(CM N)=K C.
Trong(S IC), gọiHlà giao điểm củaK CvàSO.

Ta có

(

H∈SO

H∈K C⊂(CM N)⇒Hlà giao điểm củaSOvà(CM N).

I O

M
K

H
N

2

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Lấy điểm P trên cạnh BD sao cho
PB>P D. Tìm giao điểm của

CDvà(M N P).

1 2 ADvà(M N P).

Lời giải.

Q
D

P
C

B
N

1 Trong mặt phẳng(BCD), xét tam giácBCD có NB
NC=16=

PC nênN P vàDC cắt nhau giả sử tạiQ. Rõ ràng
Q∈CDtheo cách dựng. Lại cóQ∈N P⊂(M N P)nênQ∈(M N P). VậyQ=CD∩(M N P).

2 Trong mặt phẳng(ACD)nốiQ vớiM cắt ADtạiE. Dễ thấyE∈ADtheo cách dựng. Lại có E∈MQ⊂(M N P)
nênE∈(M N P). VậyE=AD∩(M N P).

ä
BÀI 2. Cho tứ diệnABCD. TrênACvà ADlần lượt lấy các điểm M,N sao choM Nkhông song song vớiCD. GọiO
là điểm thuộc miền trong4BCD. Tìm giao điểm của

BDvà(OM N).

1 2 BCvà(OM N). 3 M Nvà(ABO). 4 AOvà(BM N).

Lời giải.

Trong mặt phẳng(ACD), vìM Nkhơng song song vớiCDnên ta giả
sửM N cắtCDtạiE. Trong mặt phẳng(BCD), nốiE vớiOkéo dài
cắtBDvàBClần lượt tạiF vàG.

1 Ta cóF∈OE⊂(OM N)vàF∈BD. Suy raF=BD∩(OM N).
2 Theo cách dựng thìG∈BCvàG∈OE⊂(OM N). VậyG=BC∩

(OM N).

3 Trong mặt phẳng(BCD)kéo dàiBOcắtDCtạiH. Trong mặt
phẳng(ADC)nốiHvớiAcắtM NtạiI. VìH∈BO⊂(ABO)nên
AH⊂(ABO). Suy raI∈(ABO). VậyI=M N∩(ABO).

I
G

H
D

J
B

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

ä
BÀI 3. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. GọiMlà trung điểm SB, N là trọng tâm4SCD.
Xác định giao điểm của

M Nvà(ABCD).

1 2 M Nvà(S AC). 3 SCvà(AM N). 4 S Avà(CM N).

Lời giải.

Gọi Ivà J lần lượt là trung điểm của các cạnhSD và DC. Trọng
tâm của tam giácSCDlàN=S J∩C I.

1 Trong mặt phẳng(ABCD)nốiBvới J cắtACvàADlần lượt
tạiEvàK. VìDK∥BCnên theo Hệ quả của Định lý Talet ta
có

JB
JK =

JD =1⇒JC=JD.

Vậy 4SCD và4SBK có chung đường trung tuyến làS J. Vì
thế trọng tâm N của 4SCD cũng là trọng tâm của 4SBK.
Suy raK∈M N. Lúc đóK=M N∩(ABCD).

2 Trong mặt phẳng(SBJ)nốiS vớiEcắtM N tạiF. Ta cóF=
M N∩(S AC).

H
G

K
I

M N

J
E

3 Trong mặt phẳng (SCD) nối N với D kéo dài cắtSC tại H. VìD∈AK⊂(AM N) nên N D⊂(AM N). Suy ra
H∈(AM N). VậyH=SC∩(AM N).

4 Theo cách dựng ta thấy I K=(CM N)∩(S AD). Trong mặt phẳng(S AD)kéo dài I K cắtS A tạiG. Lúc đó G=
S A∩(CM N).

ä
BÀI 4. Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình bình hành tâmO. TrênS A,SBlần lượt lấy hai điểmMvàN.

Tìm giao điểm củaSOvà(CM N).

1 2 Tìm giao tuyến của(S AD)và(CM N).

Lời giải.

Trong mặt phẳng(S AC)nốiSvớiOcắtMCtạiI. Trong mặt phẳng(SBD)kéo dài
I NcắtSDtạiJ. Lúc đó

1 I=SO∩(CM N).

2 J∈(S AD)∩(CM N). Lại cóM∈(S AD)∩(CM N). VậyJ M=(S AD)∩(CM N).

D
J

C
N

O
M

ä
BÀI 5. Cho hình chópS.ABCD. GọiM,Nlần lượt là trung điểm của cạnhS A,SDvàPlà điểm thuộc cạnhSBsao
choSP=3PB.

Tìm giao điểmQcủaSCvà(M N P).

1 2 Tìm giao tuyến của(M N P)và(ABCD).

Lời giải.

GọiOlà giao điểm của ACvàBD. Trong mặt phẳng(SBD)gọiIlà giao điểm của
N PvớiSO. Lúc đóI∈(M N P)vàM I⊂(S AC).

1 Trong mặt phẳng(S AC)gọi Q là giao điểm của M I và SC. VìQ∈M I nên
Q=SC∩(M N P).

2 Trong mặt phẳng (S AC) gọi G là giao điểm của M I và AC. Lúc đó G∈
(M N P)∩(ABCD). Trong mặt phẳng(S AB), vì

1= MS
M A6=

P S
PB =3

nên MP và AB cắt nhau. Gọi H là giao điểm của MP và AB. Ta có H∈
(M N P)∩(ABCD). VậyGH=(M N P)∩(ABCD). .

H
M

O
A

D
N

G
B

Q
C

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Tìm giao điểmIcủaSDvới(AM N).

1 Tính tỉ số S I

I D.
2

Lời giải.

O
M

A
I

P N

D J

1 Trong mặt phẳng(ABCD)nối AvớiN kéo dài cắtDCtạiJ và cắtBCtạiL. Trong mặt phẳng(SDC)nối Jvới
M kéo dài cắtSDtạiI. VìJ∈AN⊂(AM N)nênM J⊂(AM N). Suy raI∈(AM N). VậyI=SD∩(AM N).

2 Trong mặt phẳng(ABCD), vìAB∥D Jnên4N ABđồng dạng với4N JD. Suy ra
D J

AB=
D N

NB=3⇒D J=3AB=3DC.

Trên cạnh SD lấy điểm P sao cho I là trung điểm của SP. Ta có I M là đường trung bình của 4SPC nên
I M∥PC⇒I M∥I J. Áp dụng Định lý Talet trong4D I J ta có

D I
DP=

D J

DC=3⇒D I=3DPvàS I=P I=2DP.

Vậy S I

I D=
2
3.

ä
BÀI 7. Cho hình chópS.ABCcóGlà trọng tâm tam giácABC. GọiM là điểm trên cạnhS Asao choM A=2MS,K
là trung điểmBCvàDlà điểm đối xứng củaGquaA.

Tìm giao điểmHcủaSK với(MCD).

1 Tính tỉ số HK

SK.
2

Lời giải.

1 Trong mặt phẳng(SDK)kéo dàiD M cắtSK tạiH. Lúc đóH=SK∩(MCD).

2 Trong mặt phẳng(SDK)vẽ đường thẳng quaAvà song song với
SK cắtDHtạiE. Vì AE∥SHnên theo Hệ quả của Định lý Talet ta
có

AE
SH=

M A

MS =2⇒SH=
1
2AE.

Trong4DHK ta cóAE∥HKnên theo Định lý Talet thì
AE

HK =
D A
DK =

5⇒HK=
5
2AE.
Ta cóSK=SH+HK=1

2AE+
5

2AE=3AE.Vậy
HK
SK =

5
6.

G
D

E
M

K
H

A C

ä
BÀI 8. Cho tứ diện ABCD. GọiI và J lần lượt là trung điểm của ACvà BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho
BK=2K D.

Tìm giao điểmEcủaCDvới(I JK). Chứng minh:DE=DC.
1

Tìm giao điểmF củaADvới(I JK). Chứng minh:F A=2F DvàF K∥I J.
2

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Lời giải.

N
P
M

J
H

Q
K

D C

1 Trong mặt phẳng(BCD)kéo dàiJKcắtCDtạiE. Lúc đó, dễ thấyE∈CDtheo cách dựng. Lại cóE∈K J⊂(I JK).
Suy raE=CD∩(I JK).

Trong mặt phẳng(BCD)lấy điểm E0 thuộc đường thẳngDCsao choD là trung điểm củaE0C. Xét4E0BCcó
BDvàE0Jlà các đường trung tuyến. VìBK=2K DnênKlà trọng tâm4E0BC. Suy raE0,K,Jthẳng hàng. Từ
đây cóE0=DC∩K J. VậyE0≡E. Suy raDE=DC.

2 Trong mặt phẳng(ACD), nối IvớiEcắt ADtạiF. Lúc đó rõ ràngF∈ADvà vì F∈E I⊂(I JK)nênF∈(I JK).
VậyF=AD∩(I JK).

Trong4AEC, vì các điểmD, Ilần lượt là trung điểm củaECvàACnênF=AD∩E Ichính là trọng tâm của
4AEC. Theo tính chất trọng tâm tam giác ta cóF A=2F D.

Vì I Jlà đường trung bình của tam giácABCnênI J∥AB. Mặt khác, vì DK
DB=

DF
D A=

3 nên theo Định lý Talet
ta cóF K∥AB. Từ đó suy raF K∥I J.

3 Trong mặt phẳng(BCD)nốiBvớiNcắtK JtạiQ. Ta cóQ∈(I JK). Trong mặt phẳng(ADC)nối AvớiNcắtE I
tạiP. Vì(I JK)≡(I E J)nênP∈E I⊂(I E J)⇒P∈(I JK). Trong mặt phẳng(ABN)nốiPvớiQcắtM NtạiH. Lúc
đó, vìH∈PQ⊂(I JK)nênH∈(I JK). VậyH=M N∩(I JK).

ä
BÀI 9. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang vớiAD∥BCvàAD=2BC,Elà trung điểm củaS A. Gọi
N là điểm thuộc đoạnABsao choNB=2N AvàMlà điểm thuộc đoạnCDsao choMD=2MC.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(EM N)và(S AD).
1

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(EM N)và(SCD).
2

Tìm giao điểmLcủa đường thẳngEMvà mặt phẳng(SBC).
3

Tìm giao tuyến của(CDE)và(S AB). Giao tuyến này cắtSBtạiP và cắtABtạiI. Chứng minh:2SB=3SP và
S4I DE=3S4ICP.

4

Lời giải.

1 Trong mặt phẳng(ABCD)kéo dàiM Nvà ADcắt nhau tạiJ. Lúc đó J∈AD⊂(S AD)và J∈M N⊂(EM N). Vì
thế J∈(S AD)∩(EM N). Dễ thấyE∈(S AD)∩(EM N). VậyE J=(EM N)∩(S AD).

2 Trong mặt phẳng (S AD) kéo dài JE cắt SD tại Q. Vì JE⊂(E J M)≡(EM N) nênQ∈(EM N). Lúc đó Q M=
(EM N)∩(SCD).

3 Trong mặt phẳng (S AB) kéo dài N E và SB cắt nhau tại K. Lúc đó K ∈(EM N)∩(SBC). Trong mặt phẳng
(ABCD)kéo dài M NvàBCcắt nhau tạiH. Ta cóH∈(EM N)∩(SBC). Suy raGH=(EM N)∩(SBC). Trong mặt
phẳng(EM N)kéo dàiK HvàEMcắt nhau tạiL. VìK H⊂(SBC)nênL∈(SBC). VậyL=EM∩(SBC).

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

I. Lúc đóI E=(CDE)∩(S AB).

Trong mặt phẳng(ABCD)vìBC∥ADnên áp dụng Định
lý Talet với4I ADta có

IB
I A =

IC
I D=

BC
AD=

2⇒IB=ABvàI D=2IC.

Trong mặt phẳng(S AB)xét4S I A cóB vàE lần lượt là
trung điểm các cạnhI AvàS A. Lúc đóP=I E∩SBlà trọng
tâm4S I A. Theo tính chất trọng tâm thì

I E=3

2I Pvà2SB=3SP.
Ta có

S4I DE=

2I E·I D·sinE I D=
1
2·

2I P·2IC·sinE I D
=3·1

2·I P·IC·sinP IC=3S4ICP.
VậyS4I DE=3S4ICP.

Q
K

A
N

H
D

L
B

P
E

ä
BÀI 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình thang, ABđáy lớn và AB=3CD. Gọi N là trung điểm của
CD,Mlà điểm trên cạnhSBthỏaSM=3MB, điểmItrên cạnhS Avà thỏa A I=3I S.

Tìm giao điểm của đường thẳngM Nvới(S AD).
1

GọiHlà giao điểm củaCBvới(I M N). Tính tỉ số HB
HC.
2

Lời giải.

Trong mặt phẳng(S AB)vì1
3=

I S
A I6=

MB=3nênI MvàABcắt nhau. GọiJ là giao điểm củaI Mvà AB. Trong mặt
phẳng(ABCD)nốiJ,N cắtADtạiP. Trong mặt phẳng(I M N)nốiM,NcắtI PtạiK.

1 Theo cách dựng, dễ thấyK∈M N. VìK∈I P⊂(S AD)nênK∈(S AD). VậyK=M N∩(S AD).

2 VìHlà giao điểm củaCBvới(I M N)nênH=CB∩N J.

Ta cóNC=1
2DC=

1
6AB.

VìNC∥BJnên theo Hệ quả của Định lý Talet ta có:
HB

HC=
BJ
NC⇒

HB
HC=6·

BJ
AB=6·

BJ
J A−BJ=6·

1
J A
BJ−1

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Trong mặt phẳng(S AB)vẽ đường thẳng quaB
và song song vớiS AcắtI JtạiO.

Vì BO∥S I nên áp dụng Hệ quả Định lý Talet
ta có

BO
S I =

BM
MS =

Vì BO∥ A I nên áp dụng Định lý Talet trong
4J A I ta có

JB
J A=

BO
I A =

1
3·

BO
S I =

1
9⇒

J A
BJ=9.
Từ đó có HB

HC=6·
1
J A
BJ−1

=6· 1

9−1=

3
4.

O
S

J
A

M
I

3

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 11. Cho hình chópS.ABC. Trên cạnhS AlấyMsao choS A=3SM, trên cạnhSClấy điểmNsao choSC=2SN.
ĐiểmP thuộc cạnhAB. Tìm giao điểm của:

M Nvà(ABC).

1 2 BCvà(M N P).

ĐS:

M N∩(ABC)=I.
1

BC∩(M N P)=J.
2

P
S

I
J
M

C
A

BÀI 12. Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình bình hành tâmO. GọiGlà trọng tâm tam giácS AB. Hãy tìm:

(SGC)∩(ABCD)=?.

1 2 AD∩(SGC)=?. 3 SO∩(SGB)=?. 4 SD∩(BCG)=?.

ĐS:

(SGC)∩(ABCD)=MC.
1

AD∩(SGC)=N.
2

SO∩(SGB)=S.
3

SD∩(BCG)=J.
4

G
A

J
I

M
N

B C

BÀI 13. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang, đáy lớn AB. GọiI,Jlần lượt là trung điểmS AvàSB.
Lấy điểmMtùy ý trênSD. Tìm giao điểm của

I Mvới(SBC).

1 2 J Mvới(S AC). 3 SCvới(I J M).

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

I M∩(SBC)=H.
1

J M∩(S AC)=K.
2

SC∩(I J M)=P.
3

P
M

C
K

G
H

D O

A B

BÀI 14. Cho tứ diệnO ABC. GọiM, N,P lần lượt là trung điểm củaO A,OBvà AB. Trên cạnhOC lấy điểmQsao
choOQ>QC. GọiGlà trọng tâm tam giác ABC. Tìm giao điểm

E=BC∩(M NQ).

1 2 F=CP∩(M NQ). 3 K=BG∩(M NQ).

ĐS:

Q H

G C

A
M

E
N

B
P

BÀI 15. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO. GọiMlà trung điểm củaSBvàGlà trọng
tâm của tam giácS AD. Tìm giao điểm:

K=G M∩(ABCD).

1 2 F=AD∩(OMG). 3 E=S A∩(OMG).

ĐS:

O
N

G
E

B
M

D C

BÀI 16. Cho tứ diệnS.ABC, lấy điểmMlà trung điểmS A, lấy điểmNlà trọng tâm4SBCvàPnằm trong4ABC.
Tìm giao điểm củaM Nvà(ABC).

1 2 SB∩(M N P)=?.

SC∩(M N P)=?.

3 4 N P∩(S AB)=?.

Tứ giácABIClà hình gì ?
5

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

M N∩(ABC)=I.
1

SB∩(M N P)=J.
2

SC∩(M N P)=K.
3

N P∩(S AB)=O.

4

Tứ giác ABIClà hình bình hành.
5

Q
K

C
P
H

A
S

B
J

BÀI 17. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành,Mlà trung điểm củaSD.
TìmI=BM∩(S AC). Chứng minh:BI=2I M.

1

TìmE=S A∩(BCM). Chứng minh:Elà trung điểm củaS A.
2

ĐS:

O
E

I
A

D
M

BÀI 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâmO. Gọi M là trung điểm của SB, N là điểm
thuộc đoạnSDsao choSN=2N D.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SBD)và(S AC).
1

Tìm giao điểmEcủa đường thẳngM Nvà mặt phẳng(ABCD). Tính EN
EM.
2

Tìm giao điểmK của đường thẳngSCvà mặt phẳng(AM N). GọiJ giao điểm củaAKvàSO. Tính tỉ số: JK
J A.
3

ĐS:

(SBD)∩(S AC)=SO.
1

EN
EM =

2
3.
2

JK
J A=

2
5.
3

D C

A
O
J
N

K M

BÀI 19. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. GọiM,N, lần lượt là trung điểm củaS AvàCD.
Tìm giao điểmEcủaADvới(BM N).

1

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

ĐS:

A
F

N
D

C
M

BÀI 20. Cho tứ diệnABCD. GọiI,Mlần lượt là trung điểm củaABvàBC,Glà trọng tâm tam giác ACD.

Tìm giao điểmP củaCDvà(I MG).

1 Tính tỉ số: PC

P D.
2

ĐS:
PC

P D=
1
2.
•

P
C
B

M
J

BÀI 21. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của ACvà BC. Trên cạnh BD lấy điểmK sao cho
BK=2K D.

Tìm giao điểmEcủa đường thẳngCDvà(I JK). Chứng minh:DE=DC.
1

Tìm giao điểmF của đường thẳngADvà(I JK). Tính tỉ số F A
F D.
2

ĐS:
F A

F D =2.
•

D
K

B C

{DẠNG 1.3. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng(α).

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

1

VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Cho tứ diện ABCD, trên các đoạnC A, CB,BD lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho M N không
song song vớiAB. Gọi(α)là mặt phẳng xác định bởi ba điểmM, N,P. Xác định thiết diện tạo bởi(α)và tứ
diệnABCD?

Lời giải.

Trong mặt phẳng(ABC), doM N và ABkhông song
song nên chúng cắt nhau giả sử tạiE. Khi đó điểmE
nằm ngồi đoạnAB.

Trong mặt phẳng(ABD), gọiQlà giao điểm củaEP
vàAD. Ta có

• (M N P)∩(ABC)=M N.
• (M N P)∩(BCD)=MP.
• (M N P)∩(ABD)=PQ.
• (M N P)∩(ACD)=Q N.

Vậy thiết diện cắt tứ diện ABCD bởi mặt phẳng
(M N P)là tứ giác M NQP. Hay hiết diện cắt tứ diện
ABCDbởi mặt phẳng(α)là tứ giácM NQP.

C
M

P
A

B
N

D
Q

E C

P
A

B
N

D
Q

ä
VÍ DỤ 2. Cho tứ diệnS ABCvàOlà một điểm thuộc miền trong tam giácABC. GọiM,N lần lượt là hai điểm
nằm trên cạnhS AvàSCsao choM Nkhông song song vớiAC. Xác định thiết diện cắt tứ diệnS ABCbởi mặt

phẳng(M NO)?

Lời giải.

Trong mặt phẳng(S AC), doM N vàACkhông song song nên chúng cắt nhau
giả sử tạiE. Khi đó điểmEnằm ngoài đoạn AC.

Trong mặt phẳng(ABC), gọiP,Qlần lượt là giao điểm củaEOvớiBCvàAB.
Ta có

• (M NO)∩(S AC)=M N.
• (M NO)∩(SBC)=N P.
• (M NO)∩(ABC)=PQ.
• (M NO)∩(S AB)=Q M.

Vậy thiết diện cắt tứ diệnS ABCbởi mặt phẳng(M NO)là tứ giácM N PQ.

Q O

A
M

C
E

2

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Cho hình chópS.ABC. Trên các cạnhS A,SBlần lượt lấy các điểm M,N sao cho M N không song song với
AB. GọiP là điểm thuộc miền trong tam giácABC. Xác định giao tuyến của(M N P)và(ABC)từ đó suy ra thiết diện
khi cắt hình chópS.ABCbởi mặt phẳng(M N P).

Lời giải.

Trong mặt phẳng(S AB), doM Nkhông song song với ABnên chúng cắt nhau giả sử
tạiE. Khi đóEnằm ngồi đoạnAB.

Trong mặt phẳng(ABC), gọiK,Hlần lượt là giao điểm củaEPvới các đoạnBC, AC
(VìPthuộc miền trong tam giác(ABC)). Khi đó ta có

• (M N P)∩(S AB)=M N.
• (M N P)∩(SBC)=N K.
• (M N P)∩(ABC)=K H.
• (M N P)∩(S AC)=H M.

Vậy thiết diện cắt hình chópS.ABCbởi mặt phẳng(M N P)là tứ giácM N K H.

B
A

C
P

E
K
H

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

BÀI 2. Cho tứ diện S ABC. Gọi K, N lần lượt là trung điểm của S A, BC và M là điểm thuộc đoạn SC sao cho
3SM=2MC.

1 Tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng(K M N).

2 Mặt phẳng(K M N)cắtABtạiI. Tính tỉ số I A

IB. ĐS:

I A
IB=

2
3

Lời giải.

E A

N
C
H

1 Trong mặt phẳng(S AC), vì SM
MC=

2
3⇒

SM
SC =

2
56=

S A nênK Mkhơng song song với AC. GọiElà giao điểm
củaK M vàAC.

Trong mặt phẳng(ABC), gọiIlà giao điểm củaENvàAB, khi đóIlà giao điểm củaABvới(K M N). Ta có
• (K M N)∩(S AC)=MK.

• (K M N)∩(S AB)=K I.
• (K M N)∩(ABC)=I N.
• (K M N)∩(SBC)=N M.

Vậy thiết diện cắt tứ diệnS ABCbởi mặt phẳng(K M N)là tứ giácM N I K.
2 TrênSClấy điểmPsao choMlà trung điểm củaSP. Khi đó ta có

• AP∥K Mtheo tính chất đường trung bình của tam giácS APnênAP∥EM⇒AC
AE=

PC
P M =

1
2.
• GọiHlà trung điểm củaAB, khi đóN H∥AC(Tính chất đường trung bình).

Do đó I H
I A =

N H
AE =

4⇒A I=
4
5AH=

2
5AB⇒

A I
BI =

2
3.

ä
BÀI 3. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình thang thỏa mãn AB∥CD, AB>CD. Gọi I, J theo thứ tự là
trung điểm của các cạnhSB,SC.

1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng(S AD)và(SBC).
2 Tìm giao điểm của đường thẳngSDvới(A I J).

3 Xác định thiết diện của hình chópS.ABCDcắt bởi mặt phẳng(A I J).

Lời giải.

B C

I J

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

1 Hai mặt phẳng(S AD)và(SBC)cóSlà một điểm chung.

Lại có AD∥BCtheo giả thiết vàS∉(ABCD)nên giao tuyến của(S AD)và(SBC)là đường thẳngdđi quaSvà
song song với AD,BC.

2 DoI Jlà đường trung bình của tam giácSBCnênI J∥BCmàI∉(ABCD)⇒I J∥AD. Vì vậyA,D,I,Jxác định
mặt phẳng(AD J I)hayD∈(A I J).

Mặt khácD∈SDnênDlà giao điểm củaSDvới(A I J).
3 Từ kết quả trên ta có

• (A I J)∩(ABCD)=AD.
• (A I J)∩(SCD)=D J.
• (A I J)∩(SBC)=J I.
• (A I J)∩(S AB)=I A.

Vậy thiết diện của hình chópS.ABCDcắt bởi mặt phẳng(A I J)là hình thangAD J I.

ä
BÀI 4. Cho hình chóp S.ABCD. Lấy một điểmM thuộc miền trong tam giácSBC. Lấy điểm N thuộc miền trong
tam giácSCD.

1 Tìm giao điểm củaM Nvà mặt phẳng(S AC).
2 Tìm giao điểm củaSCvà mặt phẳng(AM N).

3 Tìm thiết diện của hình chópS.ABCDcắt bởi mặt phẳng(AM N).

Lời giải.

C
E

R M

I
P

F
N

1 Trong mặt phẳng(ABCD), gọiOlà giao điểm củaACvàEF. Khi đóSO=(S AC)∩(SEF).

Trong mặt phẳng(SEF), gọi{I}=M N∩SO. Ta cóI∈SO⇒I∈(S AC). MàI∈M Nnên{I}=M N∩(S AC).
2 Theo chứng minh trên ta suy ra A I=(AM N)∩(S AC).

Trong mặt phẳng (S AC) gọi P là giao điểm của A I và SC. Khi đó do P∈A I⇒P∈(AM N). Mà P∈SC nên
{P}=SC∩(AM N).

3 Do M,P ∈(SBC)nên trong mặt phẳng (SBC), gọi R là giao điểm của P M với SB. Ta có P M⊂(AM N) nên
R∈(AM N).

Tương tự, trong mặt phẳng(SCD), gọiQlà giao điểm củaP N vớiSDta cóQ∈(AM N). Vì vậy
• (AM N)∩(S AB)=AR.

• (AM N)∩(SBC)=RP.
• (AM N)∩(SCD)=PQ.
• (AM N)∩(S AD)=Q A.

Vậy thiết diện cắt hình chópS.ABCDbởi mặt phẳng(AM N)là tứ giácARPQ.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

1 Tìm giao điểmIcủaG Mvới(ABCD). Chứng minhIthuộc đường thẳngCDvàIC=2I D.

2 Tìm giao điểmJ củaADvà(OMG). Tính tỉ số J A

JD. ĐS:

J A
JD =2
3 Tìm giao điểmK củaS Avà(OMG). Tính tỉ số K A

K S. ĐS:

K A
K S =2
4 Tìm thiết diện cắt hình chópS.ABCDbởi mặt phẳng(OMG).

Lời giải.

B C

P
F

G
H

A
M

D
N

1 GọiE,Nlần lượt là trung điểm củaAD,S A. Ta cóMlà trung điểm củaSB,Glà trọng tâm của tam giácS AD.
Trong mặt phẳng(SBE)có SM

SB =
1
26=

2
3=

SE suy raMGvàBEkhơng song song. Do đóMGvàBEcắt nhau.
Lại doBE⊂(ABCD),{I}=MG∩(ABCD)nênI∈BE.

Vậy giao điểmIcủaMGvà(ABCD)là giao điểmIcủaMGvàBE.

DoM Nlà đường trung bình của tam giácS ABnênM N∥AB⇒M N∥CD. Suy raM N,CDxác định mặt phẳng
(M N DC).

Lại doGlà trọng tâm tam giácS AD nênG∈N D⇒G∈(M N DC),I∈MG⇒I∈(M N DC).
Mặt khác(M N DC)∩(ABCD)=CD,I∈(M N DC),I∈(ABCD)nênI∈CD.

MàAD∥BCnênED∥BC⇒I D
IC=

ED
BC =

2⇒IC=2I D.

2 Dễ thấyI∈(OMG). Trong mặt phẳng(ABCD), gọiJ0là giao điểm củaADvàOI. VìOI⊂(OMG)⇒J0∈(OMG)
nênAD∩(OMG)={J0}.

MàJ là giao điểm củaADvà(OMG)(gt) nênJ0≡J. VậyJ là giao điểm củaIOvàAD.
Dễ thấyJlà trọng tâm4I ACnên J A

JD =2.

3 Trong mặt phẳng(ABCD), gọiF là giao điểm củaBIvàACsuy ra(SBI)∩(S AC)=SF.
Trong mặt phẳng(SBI), gọiHlà giao điểm củaM IvàSF. Ta cóH∈MG⇒

OH⊂(OMG)vàHthuộc(S AC).

Trong mặt phẳng(S AC), gọi K0 là giao điểm củaOH và S A. Khi đó do
K0∈OH⇒K0∈(OMG)⇒S A∩(OMG)={K0}hayK0≡K. VậyK là giao điểm
củaOHvớiS A.

Lại cóK,G,Jlà các điểm chung của hai mặt phẳng(OMG)và(S AD)nên
K,G,Jthẳng hàng.

GọiQlà trung điểm củaSD, vìJ là trọng tâm4I AC. Xét4S AD có
AG

AQ=
2

A J

AD⇒G J∥SD⇒K J∥SD⇒
K A
K S =

J A
JD=2.

A E J D

Q
K

4 Từ chứng minh trên ta suy ra
• (OMG)∩(S AB)=K M.
• (OMG)∩(SBC)=MP.
• (OMG)∩(ABCD)=P J.
• (OMG)∩(S AD)=JK.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

ä
BÀI 6. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO. GọiM,N,P lần lượt là trung điểm củaSB,
SDvàOC.

1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng(M N P)với các mặt phẳng(S AC)và(ABCD).

2 Tìm giao điểm củaS Avới mặt phẳng(M N P).

3 Xác định thiết diện của hình chópS.ABCDvới mặt phẳng(M N P). Tính tỉ số mà mặt phẳng(M N P)chia các

cạnhS A,BCvàCD. ĐS: ES

E A=
1
3,

HB
HC=

K D
K C=1

Lời giải.

B C

K
P

N
I

D
E

A
M

1 DoM,Nlần lượt là trung điểm củaSB,SDnênM Nlà đường trung bình của tam giácSBD, suy raM N∥BD.
Ta có(P M N)∩(SBD)=M N.

Trong mặt phẳng(SBD), gọiI là giao điểm củaM N vàSO. Khi đó vìI∈SO⇒I∈(S AC),P∈AC⇒P∈(S AC)
suy ra(P M N)∩(S AC)=P I.

Hai mặt phẳng(P M N)và(ABCD)cóP là một điểm chung. MàM N∥BD,P∉M N,P∉BD nên giao tuyến của
(P M N)và(ABCD)là đường thẳng quaP, song song vớiM Nvà song song vớiBD, cắt các cạnhBC,CDlần lượt
tạiHvàK.

2 Trong mặt phẳng(S AC), gọiElà giao điểm củaP IvàS A. Ta có

• E∈P I,P I⊂(P M N)⇒E∈(P M N).

• MàE∈S AnênElà giao điểm củaS Avới(P M N).

3 Ta có(P M N)lần lượt giao với các cạnhS A,SB,BC,CD,SDtại các điểmE,M,H,K,Nnên

• (P M N)∩(S AB)=EM.
• (P M N)∩(SBC)=MH.
• (P M N)∩(ABCD)=HK.
• (P M N)∩(SCD)=K N.
• (P M N)∩(S AD)=N E.

Vậy thiết diện của hình chópS.ABCDvới mặt phẳng(P M N)là ngũ giácEMHK N. VìM Nlà đường trung bình
trong tam giác ABDnênIlà trung điểm củaSO.

Trong tam giácSOC cóI Plà đường trung bình nênI P∥SC.
Do đó trong tam giácS ACcóP E∥SCsuy ra ES

E A=
PC
P A=

1
3.

Lại cóPlà trung điểm củaOC,HKquaP vàHK∥BDnênHKlà đường trung bình của tam giácBCD.
Do đó HB

HC=
K D
K C =1.

ä
BÀI 7. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. Trên các cạnhSB, SDta lần lượt lấy các

điểmM,N sao cho SM

SB =
1
3,

SN
SD =

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(AM N)và(SCD).

2 Tìm giao điểmIcủaSCvà mặt phẳng(AM N). Suy ra thiết diện của mặt phẳng(AM N)và hình chópS.ABCD.

3 GọiK là giao điểm củaI NvàCD. Tính tỉ số K C

K D. ĐS:

K C
K D=5

Lời giải.

B C

E
N

A
M

1 Trong mặt phẳng(SBD). Theo bài ra ta có SM
SB =

1
3,

SN
SD =

2
3⇒

SM
SB 6=

SD. Do đóM NcắtBDgiả sử tạiE.
Hai mặt phẳng(AM N)và(ABCD)có hai điểm chungAvàEnên(AM N)∩(ABCD)=AE.

Trong mặt phẳng(ABCD), gọiK là giao điểm củaAEvàCD. Khi đó
• K∈AE⇒K∈(AM N).

• K∈CD⇒K∈(SCD). Suy raK là một điểm chung của(AM N)và(SCD).
• Mặt khác(AM N)và(SCD)có điểmNchung (vìN∈SD).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng(AM N)và(SCD)là đường thẳngK N.

2 Trong mặt phẳng(SCD), gọi Ilà giao điểm củaK NvàSC. Khi đóI∈K N⇒I∈(AM N). VậyIlà giao điểm của
SCvà(AM N).

Do(AM N)cắt các cạnhS A,SB,SC,SDlần lượt tại các điểmA,M,I,Nnên
• (AM N)∩(S AB)=AM.

• (AM N)∩(SBC)=M I.
• (AM N)∩(SCD)=I N.
• (AM N)∩(S AD)=N A.

Suy ra thiết diện của mặt phẳng(AM N)và hình chópS.ABCDlà tứ giácAM I N.
3 Ta cóK∈CDvàK,I,N thẳng hàng.

Lấy điểmP trên cạnhSBsao choP D∥M N.
Khi đó ta có SM

SP =
SN
SD =

2
3⇒

MP
M M=

1
2⇒

MP
MB=

4vìBM=2SM.
Xét tam giácBME, ta cũng cóP D∥MEnên ED

EB =
MP
MB=

1
4.
Xét tam giácABE, cóK D∥ABnên K D

AB=
ED
EB=

1
4.
Suy ra K D

DC =
K D

AB=
1
4⇒

K D
K C =

K D
K D+DC=

1
1+4=

1
5⇒

K C
K D=5.

B D E

N
M

3

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Thiết diện là tứ giácM N PQ. A

P
C

E
D

BÀI 9. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang đáy lớnAD. Lấy điểmMtrên cạnhSB. Tìm thiết diện

của hình chóp cắt bởi mặt phẳng(AMD). ĐS:

Thiết diện là hình thangAM N D. S

B C

M N

A D

BÀI 10. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. GọiM, N, P là các điểm lần lượt nằm trên các
cạnhBC,CD,S A. Tìm thiết diện của hình chópS.ABCDcắt bởi mặt phẳng(M N P). ĐS:

Thiết diện là ngũ giácM N HPG. S

D
N

C
M

B
E

A F

H
P

BÀI 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình thang đáy lớnAD. GọiH,K lần lượt là trung điểm của các
cạnhSBvàABvàM là một điểm nằm trong hình thang ABCDsao cho đường thẳngK M cắt hai đường thẳngAD
vàCD. Tìm thiết diện của hình chópS.ABCDkhi cắt bởi mặt phẳng(HK M). ĐS:

Thiết diện là ngũ giácHK PQ J. S

B C

K I

P
M

A D

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

C
D

O
A

B
M

Q
I

J
P

Hình1

C
D

A B

N
M
I

Hình2
Thiết diện cắt bởi(ABM)là hình thangABMP.

Nếu SM
SC >

SD thì thiết diện cắt hình chópS.ABCDbởi(AM N)là tứ giácAN MQ(Hình1).
Nếu SM

SC <
SN

SD thì thiết diện cắt hình chópS.ABCDbởi(AM N)là tứ giácAN MQ(Hình2).

BÀI 13. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. GọiH,K lần lượt là trung điểm củaBCvàCD.
Lấy điểmMbất kỳ trên cạnhS A. Tìm thiết diện của hình chópS.ABCDvới mặt phẳng(MHK). ĐS:

Thiết diện là ngũ giácP MQK H. S

C
H

P A

BÀI 14. Cho tứ diện đềuABCDcó cạnh bằnga. Gọi Ilà trung điểm của AD,J là điểm đối xứng vớiDquaC,K là
điểm đối xứng vớiD quaB. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng(I JK)và tính diện tích

của thiết diện này. ĐS:

Thiết diện là tam giácI EF cân tạiI.
S4I EF=

a2
6.

B
I

D F K

BÀI 15. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành. GọiK là trọng tâm của tam giác S AC. GọiI, J
lần lượt là trung điểm củaCDvàSD.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

2 Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(I JK).

ĐS:
1 {H}=SP∩I K.

2 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (I JK) là ngũ giác
I JG MF.

I C

F
P

B
K

A
J

M
G

BÀI 16. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDkhơng là hình thang, điểm P nằm trong tam giácS AB và điểm M
thuộc cạnhSDsao choMD=2MS.

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(S AB)và(PCD).
2 Tìm giao điểm củaSCvới mặt phẳng(ABM).

3 GọiNlà trung điểm củaAD. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng(M N P)và hình chópS.ABCD.

ĐS:

E
C

D
A

B
P

Hình1.

C
O

D
M

F
A

Hình2.

C
I0

L
G
H

P
R

N
Q

D
M

Hình3.

1 Giao tuyến của hai mặt phẳng(S AB)và(PCD)là đường thẳngP E.
2 Giao điểm củaSCvới mặt phẳng(ABM)là điểmF.

3 Thiết diện tạo bởi mặt phẳng(M N P)và hình chópS.ABCDlà ngũ giácM N HQR.

{DẠNG 1.4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Phương pháp giải

Giả sử chứng minh ba điểmI,J,K thẳng hàng.

Xét hai mặt phẳng(P)và(Q). Chứng minh ba điểmI,J,K là ba điểm chung của(P)và(Q).
Khi đóI,J,K thuộc giao tuyến của(P)và(Q)hayI,J,K thẳng hàng.

1

VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Cho tứ diệnS ABC. Trên các cạnhS A,SB,SC lần lượt lấy M,N, P sao choM N cắtABtạiI,N P
cắtBCtạiJvàMP cắtACtạiK. Chứng minh rằng ba điểmI,J,K thẳng hàng.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Xét hai mặt phẳng(ABC)và(M N P). Ta có

(

I∈AB⊂(ABC)

I∈M N⊂(M N P)⇒I∈(ABC)∩(M N P). (1)

(

J∈BC⊂(ABC)

J∈N P⊂(M N P)⇒J∈(ABC)∩(M N P). (2)

(

K∈AC⊂(ABC)

K∈MP⊂(M N P)⇒K∈(ABC)∩(M N P). (3)
Từ(1), (2), (3)suy ra I, J,K cùng thuộc đường thẳng giao tuyến của
(ABC)và(M N P).

Vậy ba điểmI,J,K thẳng hàng.

P
N

C K

ä
VÍ DỤ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâmOhai điểm, M, N lần lượt là trung
điểm củaSB,SD, điểmPthuộcSCvà không là trung điểm củaSC.

1 Tìm giao điểmIcủaSOvới mặt phẳng(M N P).
2 Tìm giao điểmQcủaS Avới mặt phẳng(M N P).

3 GọiF,G,Hlần lượt là giao điểm củaQ Mvà AB,QP và AC,Q N và AD. Chứng minh ba điểmF,G,H
thẳng hàng.

1 Trong mặt phẳng(SBD), gọiI=SO∩M N.
Ta có

(

I∈SO

I∈M N⊂(M N P)⇒I=SO∩(M N P).
2 Trong mặt phẳng(S AC), gọiQ=S A∩I P.

Ta có

(

Q∈S A

Q∈I P⊂(M N P)⇒Q=S A∩(M N P).
3 Xét hai mặt phẳng(ABCD)và(M N PQ). Ta có

(

F∈AB⊂(ABCD)
F∈Q M⊂(M N PQ)

⇒F∈(ABCD)∩(M N PQ). (1)

(

G∈AC⊂(ABCD)
G∈QP⊂(M N PQ)

⇒G∈(ABCD)∩(M N PQ). (2)

(

H∈AD⊂(ABCD)
H∈Q N⊂(M N PQ)

⇒H∈(ABCD)∩(M N PQ). (3)
Từ(1),(2),(3)suy raF,G,Hcùng thuộc đường thẳng giao

tuyến của(ABCD)và(M N PQ).

Vậy ba điểmF,G,Hthẳng hàng.

A
M

Q
F

C
B

O
G

D
N

H
P

2

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Cho tứ diệnABCDcóGlà trọng tâm tam giácBCD. GọiM,N,P lần lượt là trung điểm củaAB,BC,CD.
Tìm giao tuyến của(AD N)và(ABP).

1

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Lời giải.

Ta có A∈(AD N)∩(ABP). (1)

Mặt khác

(

G∈D N∈(AD N)
G∈BP∈(ABP)

⇒G∈(AD N)∩(ABP). (2)

Từ(1)và(2)suy ra(AD N)∩(ABP)=AG.
1

Xét hai mặt phẳng(CD M)và(AD N). Ta có

+D∈(CD M)∩(AD N). (3)

(

I∈JD⊂(CD M)
I∈AG⊂(AN D)

⇒I∈(CD M)∩(AD N). (4)

(

J∈CM⊂(CD M)
J∈AN⊂(AN D)

⇒J∈(CD M)∩(AD N). (5)

Từ(3),(4),(5)suy raD,I, Jthẳng hàng.
2

N
M

B
J

C
G

D
I

BÀI 2. Cho tứ diệnABCDcóK là trung điểm củaAB. LấyI,Jlần lượt thuộcAC,BDsao choI A=2ICvàJB=3JD.

Tìm giao điểmEcủaADvà(I JK).
1

Tìm giao tuyếndcủa(I JK)và(BCD).
2

GọiOlà giao điểm củadvớiCD. Chứng minhI,O,Ethẳng hàng.
3

Tính các tỉ số OI
OE và

OD. ĐS:

OI
OE=

2
3 và

OC
OD=

2.
4

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Trong(ABD), gọiAD∩K J=E. Ta có

(

E∈AD

E∈K J⊂(I JK)
⇒E=AD∩(I JK).

1

Trong(ABC), gọiK I∩BC=F. Ta có
+

(

J∈(I JK)

J∈BD⊂(BCD)⇒J∈(I JK)∩(BCD). (1)
+

(

F∈K I⊂(I JK)

F∈BC⊂(BCD)⇒F∈(I JK)∩(BCD). (2)
Từ(1)và(2)suy ra(I JK)∩(BCD)=F Jhayd≡F J.

2

Trong(BCD),O=F J∩CD.

Xét hai mặt phẳng(I JK)và(ACD). Ta có
+

(

I∈(I JK)

I∈AC⊂(ACD)⇒I∈(I JK)∩(ACD). (3)
+

(

O∈F J⊂(I JK)

O∈CD⊂(ACD)⇒O∈(I JK)∩(ACD). (4)
+

(

E∈K J⊂(I JK)

E∈AD⊂(ACD)⇒E∈(I JK)∩(ACD). (5)
Từ(3),(4),(5)suy raI,O,Ethẳng hàng.

3

Áp dụng định lí Menelaus trong các tam giác sau.
Tam giácABCcóK,I,F thẳng hàng

⇒FC
FB·

K B
K A·

I A
IC=1⇔

FB·1·2=1⇒
FC
FB=

1
2
⇒Clà trung điểm củaBF.

Tam giácBCDcóF,O,J thẳng hàng
⇒OC

OD·
JD
JB·

FB
FC=1⇔

OC
OD·

3·2=1⇔
OC
OD =

3
2.
Tam giácABDcóK,J,Ethẳng hàng

⇒EDE A·K AK B·JDJB=1⇔ED

E A·1·3=1⇔
ED
E A =

1
3.
Tam giácA I EcóC,O,Dthẳng hàng

⇒OEOI ·DED A·C AC I =1⇔ OI
OE·

2·3=1⇔
OI
OE=

2
3.
Vậy OI

OE=
2
3 và

OC
OD=

3
2.
4

J
K

E
D

ä
BÀI 3. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang,ADlà đáy lớn vàAD=2BC. GọiM,Nlần lượt là trung
điểm củaSB,SCvàO=AC∩BD.

Tìm giao tuyến của(ABN)và(SCD). ĐS:(ABN)∩(SCD)=ENvớiE=AB∩CD
1

Tìm giao điểmP củaD N và(S AB). ĐS:P=D N∩SE

2

GọiK=AN∩D M. Chứng minhS,K,Othẳng hàng. Tính tỉ số K S

K O. ĐS:

K S
K O=

3
2
3

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Ta cóN∈(ABN)∩(SCD).

Trong(ABCD), gọiAB∩CD=E⇒E∈(ABN)∩(SCD).
Suy ra(ABN)∩(SCD)=EN.

1

Trong(SCD), gọiD N∩SE=P
⇒P=D N∩(S AB).

2

Xét hai mặt phẳng(S AC)và(SBD)có

+S∈(S AC)∩(SBD). (1)

(

K∈AN⊂(S AC)
K∈MD⊂(SBD)

⇒K∈(S AC)∩(SBD). (2)

(

O∈AC⊂(S AC)

O∈BD⊂(SBD)

⇒O∈(S AC)∩(SBD). (3)

Từ(1),(2),(3)suy raS,K,Othẳng hàng.
Vì AD∥BCnên4O AD∼ 4OCB

⇒OC
O A=

BC
AD=

1
2.

Áp dụng định lí Menenalus vào4SOCcóA,K,Nthẳng hàng
⇒K S

K O·
AO
AC·

NC
N S=1⇔

K S
K O·

3·1=1⇔
K S
K O=

3
2.
3

A
M

C
O

K N

ä
BÀI 4. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. GọiM, N lần lượt là trung điểm củaS A,
SC.

Tìm giao tuyến của(BM N)với các mặt phẳng(S AB)và(SBC). ĐS:(BM N)∩(S AB)=BMvà
(BM N)∩(SBC)=BN

1

TìmI=SO∩(BM N)vàK=SD∩(BM N). ĐS:SO∩M N=IvàSD∩BI=K
2

TìmE=AD∩(BM N)vàF=CD∩(BM N). ĐS:MK∩AD=EvàN K∩CD=F
3

Chứng minh rằng ba điểmB,E,F thẳng hàng. ĐS:B,E,F là điểm chung của(ABCD)và(M N P)
4

Lời giải.

Ta có(BM N)∩(S AB)=BMvà
(BM N)∩(SBC)=BN.

1

Trong(S AC), gọiSO∩M N=I
⇒I=SO∩(BM N).

Trong(SBD), gọiSD∩BI=K
⇒K=SD∩(BM N).

2

Trong(S AD), gọiMK∩AD=E
⇒E=AD∩(BM N).

Trong(SCD), gọiN K∩CD=F
⇒F=CD∩(BM N).

3

Xét hai mặt phẳng(ABCD)và(BM N)có
+

(

B∈(ABCD)

B∈(BM N) ⇒B∈(ABCD)∩(BM N). (1)
+

(

E∈AD⊂(ABCD)
E∈(BM N)

⇒E∈(ABCD)∩(BM N). (2)
+

(

F∈CD⊂(ABCD)
F∈(BM N)

⇒F∈(ABCD)∩(BM N). (3)
Từ(1),(2),(3)suy raB,E,F thẳng hàng.

4

A
M

C
B

D
N

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

BÀI 5. Cho hình chópS.ABCD. GọiIvàJ là hai điểm trên hai cạnhAD,SB.
Tìm giao tuyến của(SBI)và(S AC). Tìm giao điểmK củaI J và(S AC).
1

Tìm giao tuyến của(SBD)và(S AC). Tìm giao điểmLcủaD Jvà(S AC).
2

GọiO=AD∩BC,M=O J∩SC. Chứng minh rằngA,K,L,Mthẳng hàng. ĐS: A,K,L,Mlà điểm chung của
(S AC)và(AO J)

3

Lời giải.

Ta cóS∈(SBI)∩(S AC).

Trong(ABCD), gọiBI∩AC=E
⇒E∈(SBI)∩(S AC)

Suy ra(SBI)∩(S AC)=SE.
Trong(SBI), gọiI J∩SE=K
⇒K=I J∩(S AC).

1

Ta cóS∈(SBD)∩(S AC).
Trong(ABCD), gọiAC∩BD=F
⇒F∈(SBD)∩(S AC).

Suy ra(SBD)∩(S AC)=SF.
Trong(SBD), gọiD J∩SF=L
⇒L=D J∩(S AC).

2

Xét(S AC)và(AO J)có

+A∈(S AC)∩(AO J). (1)
+

(

K∈SE⊂(S AC)
K∈I J⊂(AO J)

⇒K∈(S AC)∩(AO J). (2)
+

(

L∈SF⊂(S AC)
L∈JD⊂(AO J)

⇒L∈(S AC)∩(AO J). (3)
+

(

M∈SC⊂(S AC)
M∈O J⊂(AO J)

⇒M∈(S AC)∩(AO J). (4)
Từ (1),(2), (3), (4)suy ra A, K, L, M

thẳng hàng.

3

B
J

C
I

F
E

O
L

ä
BÀI 6. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC,BD lần lượt lấy ba điểmE,F,Gsao choAB=3AE, AC=2AF,
DB=4DG.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(EFG)và(BCD).
1

Tìm giao điểmHcủa đường thẳngCDvới(EFG). Tính tỉ số HC

HD. ĐS:

HC
HD =

3
2
2

Tìm giao điểmIcủa đường thẳngADvới(EFG). Tính tỉ số I A

I D. ĐS:

I A
I D=

3
2.
3

Chứng minh ba điểmF,H,Ithẳng hàng.
4

GọiJlà trung điểm củaBC, A JcắtEFtạiK. Tính tỉ số AK

A J. ĐS:

AK
A J =

2
5
5

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Trong(ABC), gọiEF∩BC=M⇒(EFG)∩(BCD)=MG.
1

Trong(BCD), gọiMG∩CD=H⇒H=CD∩(EFG).
Áp dụng định lí Menenalus với các tam giác sau.
Tam giácABCcóE,F,Mthẳng hàng

⇒MCMB·EBE A·F AFC=1⇔MC

MB·2·1=1⇔
MC
MB=

1
2.
Tam giácBCDcóM,H,Gthẳng hàng

⇒HCHD·GDGB·MBMC=1⇔HC
HD·

3·2=1⇔
HC
HD =

3
2.
2

Trong(ABD), goijAD∩EG=I⇒I=AD∩(EFG).
Tam giacsABDcosE,G,Ithẳng hàng

⇒I A
I D·

GD
GB·

EB
E A =1⇔

I A
I D·

3·2=1⇔
I A
I D=

3
2.
3

Xét hai mặt phẳng(ACD)và(EFG)có
+

(

F∈AC⊂(ACD)

F∈(EFG) ⇒F∈(ACD)∩(EFG). (1)
+

(

H∈CD⊂(ACD)

H∈(EFG) ⇒H∈(ACD)∩(EFG). (2)
+

(

I∈AD⊂(ACD)

I∈(EFG) ⇒I∈(ACD)∩(EFG). (3)
Từ(1),(2),(3)suy raF,H, Ithẳng hàng.

4

Tam giácA JCcóK,F,Mthẳng hàng
K A

K J·
M J
MC·

FC
F A=1⇔

K A
K J·

2·1=1⇔
K A
K J =

2
3
⇒AK

A J =
2
5.
5
A
G
B

E
F
K
C
J
I
M
D
H
ä

3

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 7. Cho hình chópS.ABCDcóADkhơng song song vớiBC. LấyMthuộcSBvàOlà giao điểmACvớiBD.
Tìm giao điểmN củaSCvới(AMD).

1

GọiI=AN∩D M. Chứng minhS,I,Othẳng hàng.
2

Lời giải.

Trong(ABCD), gọiAD∩BC=E.
Trong(SBC), gọiSC∩ME=N
⇒N=SC∩(AMD).

1

Xét(S AC)và(SBD)có
+S∈(S AC)∩(SBD).

(

I∈AN⊂(S AC)
I∈D M⊂(SBD)
⇒I∈(S AC)∩(SBD).
+

(

O∈AC⊂(S AC)
O∈BD⊂(SBD)
⇒O∈(S AC)∩(SBD).
Suy raS,I,Othẳng hàng.
2
S
A
B
M
D
C
O
E
N
I
ä
BÀI 8. Cho hình chópS.ABCD. GọiE,F,Hlần lượt là các điểm thuộc cạnhS A,SB,SC.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

GọiO=AC∩BDvàI=EH∩F K. Chứng minhS,I,Othẳng hàng.

2

GọiM=AD∩BCvàN=EK∩F H. Chứng minhS,M,N thẳng hàng.
3

GọiP=AB∩CDvàQ=EF∩HK. Chứng minhS,P,Qthẳng hàng.
4

Lời giải.

Trong(S AC), gọiI=EH∩SO.
Trong(SBD), gọiF I∩SD=K
⇒K=SD∩(EF H).

1

Hiển nhiênS,I,Othẳng hàng.
2

Chứng minhS,M,Nlà điểm chung của(S AD)
và(SBC).

3

Chứng minhS,P,Qlà điểm chung của(S AB)
và(SCD).

4

B
E

C
O

M
N

ä
BÀI 9. Cho tứ diệnABCD. GọiM,N,P lần lượt là các điểm thuộc cạnhAB,AC,BDvàM N∩BC=I,MP∩AD=J,
N J∩I P=K. Chứng minhC,D,K thẳng hàng.

Lời giải.

Chứng minhC,D,K là điểm chung của hai mặt phẳng(ACD)
và(BCD).

C
M

I J

ä
BÀI 10. Cho tứ giác ABCDcó các cạnh đối đôi một không song song và điểmS∉(ABCD). Lấy điểm I thuộc cạnh
AD, lấy điểmJthuộc cạnhSB.

TìmK=I J∩(S AC).
1

TìmL=D J∩(S AC).

2

GọiO=AD∩BC,M=O J∩SC. Chứng minh rằngK,L,Mthẳng hàng.
3

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

GọiAC∩BI=E;I J∩SE=K
⇒K=I J∩(S AC).

1

GọiAC∩BD=F;D J∩SF=L
⇒L=D J∩(S AC).

2

Chứng minhK,L,Mlà điểm chung của(S AC)
và(AO J).

3

B
J

E
K

C
I

O
M

ä
BÀI 11. Cho hình chópS.ABCD. GọiM,Nlà2điểm lần lượt nằm trên2cạnhBCvàSD.

Tìm giao điểmIcủaBN và(S AC).
1

Tìm giao điểmJ củaM Nvà(S AC).
2

Chứng minhI, J,Cthẳng hàng.
3

Xác định thiết diện của mặt phẳng(BCN)với hình chóp.
4

Lời giải.

GọiAC∩BD=O;BN∩SO=I

⇒I=BN∩(S AC).

1

GọiAC∩MD=E;M N∩SE=J
⇒J=M N∩(S AC).

2

Chứng minhI, J,Clà điểm chung của(S AC)và(BCN).
3

GọiC I∩S A=P.

Thiết diện của mặt phẳng(BCN)với hình chóp là tứ giácBCN P.
4

I
P

C
M

E
O

ä
BÀI 12. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. GọiM,N lần lượt là trung điểm củaS A,
SC. Gọi(P)là mặt phẳng quaM,N vàB.

Tìm giao tuyến của(P)với các mặt phẳng(S AB),(SBC),(S AD),(SDC).
1

TìmI=SO∩(P),K=SD∩(P),E=D A∩(P),F=DC∩(P).
2

Chứng minh rằng ba điểmE,B,F thẳng hàng. ĐS:E,B,Flà điểm chung của(P)và(ABCD)
3

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Ta có(P)∩(S AB)=BM;(P)∩(SBC)=BN;
(P)∩(S AD)=MK;(P)∩(SCD)=N K.
1

I=SO∩M N;K=BI∩SD;E=D A∩MK;F=DC∩
N K.

2

Chứng minh E, B, F là điểm chung của (P) và
(ABCD).

3

A
M

C
B

D
N

ä
BÀI 13. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối khơng song song nhau. Gọi M,E là
trung điểmS A, ACvàF∈CDsao choCD=3CF.

Tìm giao tuyến của(S AB)và(SCD).
1

Tìm giao điểmNcủaSDvà(MEF). Tính tỉ số N S

N D. ĐS:

N S
N D =

1
2
2

GọiH=SE∩CM vàK=MF∩N E. Chứng minhD,H,K thẳng hàng.
3

Tính các tỉ số sau H M
HC;

HS
HE;

K M
K F;

K N
K E;

K H

K D. ĐS:

H M
HC =

1
2;

HS
HE=2;
K M

K F =
1
2;

K N
K E =1;

K H
K D=

1
4
4

Lời giải.

GọiAB∩CD=I

⇒(S AB)∩(SCD)=S I.
1

GọiAD∩EF=J,
SD∩J M=N
⇒N=SD∩(MEF).

N S
N D =

1
2
2

Chứng minhD,H,K là điểm
chung của(MCD)và(SED).
3

Ta có
H M

HC =
1
2;

HS
HE=2;
K M

K F =

1
2;

K N
K E =1;
K H

K D =
1
4.
4

B
J

C
E

F
N

{DẠNG 1.5. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

1

VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Cho tứ diện ABCD. LấyM,N,P lần lượt trên các cạnh AB, AC,BD sao choM N cắtBCtại I, MP
cắtADtạiJ. Chứng minhP I,N J,CDđồng quy.

Lời giải.

Trong(BCD) :GọiK=P I∩CD ⇒

(

K∈P I,P I⊂(M I J)
K∈CD,CD⊂(ACD)
⇒ K∈(M I J)∩(ACD)
⇒ K∈N J.

VậyP I,N J,CDđồng quy tạiK.

C
I
B

J
K

2

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Cho hình chóp S.ABCDcóABkhơng song songCD. GọiM là trung điểmSCvàOlà giao điểm của ACvà
BD.

1 Tìm giao điểmN củaSDvà(M AB).

2 Chứng minh ba đường thẳngSO, AM,BNđồng quy.

Lời giải.

1 Trong(S AC): GọiK=AM∩SO.

Trong(SBD) :GọiN=BK∩SD ⇒

(

N∈BK,BK⊂(M AB)
N∈SD

⇒ N=SD∩(M AB).
2 Ta cóK=AM∩SO⇒SO, AMđi quaK.

MàN=BK∩SD⇒BN cũng đi quaK.

Vậy ba đường thẳngSO,AM,BN đồng quy tạiK.

O
B

C
K

A D

M
N

ä
BÀI 2. Cho hình chópS.ABCD. Trên cạnhSClấy một điểmEkhơng trùng vớiSvàC.

1 Tìm giao điểmFcủa đường thẳngSDvà(ABE).

2 Giả sửABkhông song songCD. Chứng minh ba đường thẳngAB,CD,EF đồng quy.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

1 Trong(ABCD): GọiI=AC∩BD.
Trong(S AC): GọiJ=AE∩S I.
Trong(SBD) :GọiF=BJ∩SD ⇒

(

F∈BJ,BJ⊂(ABE)
F∈SD

⇒ F=SD∩(ABE).
2 Ta có

(

E∈(ABE)∩(SCD)

F∈(ABE)∩(SCD)⇒(ABE)∩(SCD)=EF.

Trong(ABCD) :GọiK=AB∩CD ⇒

(

K∈AB,AB⊂(ABE)
K∈CD,CD⊂(SCD)
⇒ K∈(ABE)∩(SCD)
⇒ K∈EF.

VậyAB,CD,EFđồng quy tạiK.

K
A

B
J

D
E

ä
BÀI 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là tứ giác lồi. Lấy điểmMtrên cạnhSC. GọiN là giao điểm củaSB
và(AD M). GọiOlà giao điểm của ACvàBD. Chứng minhSO,AM,D N đồng quy.

Lời giải.

Ta cóS∈(S AB)∩(SCD). (1)

Trong(ABCD) :GọiI=AB∩CD ⇒

(

I∈AB,AB⊂(S AB)
I∈CD,CD⊂(SCD)

⇒I∈(S AB)∩(SCD). (2)

Từ(1)và(2)⇒(S AB)∩(SCD)=S I.
Trong(S I D): GọiJ=D M∩S I.
Trong(S A I) :GọiN=A J∩SB ⇒

(

N∈A J,A J⊂(AD M)
N∈SB

⇒ N=SB∩(AD M).

Ta có:

(

S∈(S AC)∩(SBD)

O∈(S AC)∩(SBD)⇒(S AC)∩(SBD)=SO.

Trong(A JD) :GọiK=AM∩D N ⇒

(

K∈AM,AM⊂(S AC)

K∈D N,D N⊂(SBD)
⇒ K∈(S AC)∩(SBD)
⇒ K∈SO.

VậySO, AM,D N đồng quy tạiK.

O
J

I
K

B
N

ä
BÀI 4. Cho hình chópS.ABCDcó AB∩CD=EvàAD∩BC=K. GọiM,N,Plần lượt là trung điểm củaS A,SB,SC.

1 Tìm giao tuyến của(S AC)và(SBD).

2 Tìm giao tuyến của(M N P)và(SBD).

3 Tìm giao điểmQcủaSDvà(M N P).

4 GọiH=M N∩PQ. Chứng minhS,H,Ethẳng hàng.

5 Chứng minhSK,Q M,N Pđồng quy.

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

1 Ta cóS∈(S AC)∩(SBD). (1)

Trong(ABCD) :I=AC∩BD ⇒

(

I∈AC,AC⊂(S AC)
I∈BD,BD⊂(SBD)
⇒I∈(S AC)∩(SBD). (2)

Từ(1)và(2)⇒(S AB)∩(SCD)=S I.

2 Ta cóN∈(M N P)∩(SBD). (3)

Trong(S AC) :GọiJ=MP∩S I ⇒

(

J∈MP,MP⊂(M N P)
J∈S I,S I⊂(SBD)
⇒J∈(M N P)∩(SBD). (4)

Từ(3)và(4)⇒(M N P)∩(SBD)=N J.

3

Trong(SBD) :GọiQ=N J∩SD ⇒

(

Q∈N J,N J⊂(M N P)
Q∈SD

⇒ Q=SD∩(M N P).
4

Trong(M N PQ) :H=M N∩PQ ⇒

(

H∈M N,M N⊂(S AB)
H∈PQ,PQ⊂(SCD)
⇒ H∈(S AB)∩(SCD)
⇒ H∈SE.

Suy raS,H,Ethẳng hàng.

5 Ta cóS∈(S AD)∩(SBC). (5)

Trong(ABCD) :K=AD∩BC ⇒

(

K∈AD,AD⊂(S AD)
K∈BC,BC⊂(SBC)
⇒K∈(S AD)∩(SBC). (6)

Từ(5)và(6)⇒(S AD)∩(SBC)=SK.
Trong(M N PQ) :GọiF=Q M∩P N ⇒

(

F∈Q M,Q M⊂(S AD)
F∈P N,P N⊂(SBC)
⇒ F∈(S AD)∩(SBC)
⇒ F∈SK.

Suy raSK,Q M,N Pđồng quy tạiF.

I
J

E
C
B

N
F

K D

H
P

3

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 5. Cho tứ diệnS.ABCvới Ilà trung điểm củaS A,J là trung điểm củaBC. GọiM là điểm di động trênI Jvà
N là điểm di động trênSC.

1 Xác định giao điểmPcủaMCvà(S AB).
2 Tìm giao tuyến của(SMP)và(ABC).
3 Tìm giao điểmEcủaM Nvà(ABC).

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

BÀI 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của AB,CD. Gọi J là một điểm trên đoạn ADsao cho
AD=3JD.

1 Tìm giao điểmF củaI Jvà(BCD).

2 Tìm giao điểmEcủa(I JK)và đường thẳngBC. Tính tỉ số EB

EC. ĐS:

EC=2
3 Chứng minh ba đường thẳng AC,K J,I Eđồng quy tại điểmH. Tính tỉ số HC

H A. ĐS:

HC
H A=2
4 Chứng minhE J∥HFvà đường thẳngI K đi qua trung điểm của đoạnHF.

5 GọiOlà trung điểmI K vàGlà trọng tâm của tam giácBCD. Chứng minh ba điểm A,O,Gthẳng hàng. Tính
tỉ số O A

OG. ĐS:

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

CHƯƠNG

8

ĐƯỜNG

THẲNG

VÀ

MẶT

PHẲNG

TRONG

KHÔNG

GIAN.

QUAN

HỆ

SONG

BÀI

1.

HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.

A

TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt
Cho hai đường thẳng phân biệta,b.

I a

Định nghĩa 1.

•Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.
•Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.

•Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và khơng có điểm chung.
2 Tính chất hai đường thẳng song song

Định lí 1. Trong khơng gian, qua một điểm khơng nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một
đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Định lí 2 (Định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng). Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau
theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

α

β

γ

b
c

α

β

γ

b
c

Hệ quả 1. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

α

β

d d00

α

β

d00

α

β

d d0

d00

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

α

β

γ

b
c

B

DẠNG TỐN VÀ BÀI TẬP

{DẠNG 1.1. Chứng minh hai đường thẳng song song.

Phương pháp giải:

Cách1. Chứng minh hai đường thẳng a, bđồng phẳng, rồi dùng các định lí trong hình học phẳng, chẳng
hạn định lí đường trung bình, định lí đảo Thales, . . . để chứng minha∥b.

Cách2. Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba. Chẳng hạn, chứng minh

(

c∥a

c∥b⇒a∥b.

Cách3. Áp dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả của nó. Chẳng hạn, chứng minh








b∥c

b⊂(α), c⊂(β)
(α)∩(β)=a

⇒






a∥b∥c
a≡b
a≡c.

1

VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng
I J∥CD.

Lời giải.

GọiElà trung điểmAB. Ta có

(

I∈CE

J∈DE⇒I JvàCDđồng phẳng.
VìI,Jlần lượt là trọng tâm của tam giácABCvà ABDnên

E I
EC=

E J
ED=

3.
Theo định lí đảo Thales suy raI J∥CD(đpcm).

D
I

B
E

C
ä
VÍ DỤ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD.
Chứng minhMP NQlà hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn thẳngM N,PQ,RScắt nhau tại trung điểmG
của mỗi đoạn.

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

VìMP là đường trung bình của4ABCnên






MP∥AC
MP=1

2AC.

(1)

VìNQlà đường trung bình của4ACDnên






NQ∥AC
NQ=1

2AC.
(2)

Từ(1)và(2)suy ra

(

MP∥NQ
MP=NQ.

Do đó,MP NQlà hình bình hành. Suy raM N,PQ cắt nhau tại trung điểm
Gcủa mỗi đoạn.

Chứng minh tương tự ta được P SQR là hình bình hành nên PQ, RS cắt
nhau tại trung điểmGcủa mỗi đoạn.

VậyM N,PQ,RScắt nhau tại trung điểmGcủa mỗi đoạn.

D
B

S
N
P

Q
M

ä
Nhận xét. ĐiểmGnói trên được gọi là trọng tâm của tứ diện.

Trọng tâm của tứ diện là điểm đồng qui của các đoạn nối trung điểm của các cạnh đối, nó cũng là trung điểm của
các cạnh này.

2

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. GọiM, N lần lượt là trung điểm củaS A,
SD. Chứng minh

M N∥ADvàM N∥BC;

1 2 MO∥SCvàNO∥SB.

Lời giải.

1 Xét tam giácS AD có

Mlà trung điểm củaS A(giả thiết);
Nlà trung điểm củaSD(giả thiết).

Suy ra M N là đường trung bình của4S AD. Do đó
M N∥AD.

Ta có

(

M N∥AD(chứng minh trên)

BC∥AD(ABCDlà hình bình hành)⇒M N∥
BC.

2 Xét tam giácASCcó

O
A

Mlà trung điểm củaS A(giả thiết);

Olà trung điểm củaAC(Olà tâm của hình bình hành ABCD).

Suy raOMlà đường trung bình của4S AC. Do đóMO∥SC.

Tương tự,NOlà đường trung bình của4SDBnênNO∥SB. ä

BÀI 2. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. Gọi M,N lần lượt là trung điểm củaAB,
AD. GọiI,J,Glần lượt là trọng tâm của các tam giácS AB,S ADvàAOD. Chứng minh

I J∥M N;

1 2 I J∥BDvàG J∥SO.

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

1 Xét tam giácSM N có

S I=2

3SM(Ilà trọng tâm của4S AB);
S J=2

3SN(Jlà trọng tâm của4S AD).
suy raI J∥M N(định lý Ta-lét đảo).

2 VìM Nlà đường trung bình của4ABDnênM N∥BD.
MàI J∥M N(chứng minh trên) nênI J∥BD.

Xét tam giácSONcó
NG=1

3NO(Glà trọng tâm của4AOD);
N J=1

3SN(J là trọng tâm của4S AD).
suy raG J∥SO(định lý Ta-lét đảo).

N
B

A
M

D
O

3

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 3. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmOvàIlà một điểm trên cạnhSO.
Tìm giao điểmEvàFcủa mặt phẳng(ICD)lần lượt với các đườngS A,SB. Chứng minhEF∥AB;
1

GọiK là giao điểm củaDEvàCF. Chứng minhSK∥BC.
2

Lời giải.

1 Vì I∈SOmà SO⊂(SBD)nên I∈(SBD). Do đó
F=D I∩SBvàE=C I∩S A.

Ta có

(CD I)∩(ABCD)=CD;
(S AB)∩(ABCD)=AB;
(CD I)∩(S AB)=EF.

Mà AB∥CD (ABCD là hình bình hành) nên
EF∥AB∥CD(tính chất giao tuyến của ba mặt
phẳng).

O
B

D
I

A
2 Cách 1.Ta có

(

K∈ED⊂(S AD)

K∈F E⊂(SBC) ⇒K là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng(S AD)và(SBC).

(

S∈(S AD)

S∈(SBC) ⇒Slà điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng(S AD)và(SBC).
Suy raSK là giao tuyến của hai mặt phẳng(S AD)và(SBC).

Ta có














(S AD)∩(ABCD)=AD
(SBC)∩(ABCD)=BC
(S AD)∩(SBC)=SK
AD∥BC

⇒SK∥BC∥AD.

VậySK∥BC.

Cách 2.Trong4SCDcóEF∥CDnên theo định lý Ta-lét ta có
K F

K C=
EF

CD. (1)

Tương tự, trong4S ABcóEF∥ABnên
SF
SB=

EF
AB=

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Từ (1) và (2) suy ra

K F
K C=

SF
SB⇔

K F
FC=

SF
FB.
Xét4F SK và4FBCcó

K F
FC=

FB (chứng minh trên);

SF K=BFC (đối đỉnh).

Do đó4F SKv4FBC(cạnh - góc - cạnh) suy raSK∥BC.

ä
BÀI 4. Cho hình chópS ABCDcó đáy ABCDlà hình thang đáy lớnAB. GọiE,F lần lượt là trung điểm củaS Avà
SB.

Chứng minhEF∥CD.

1 2 TìmI=AF∩(SCD). 3 Chứng minhS I∥AB∥CD.

Lời giải.

A B

C
D

1 Ta cóEFlà đường trung bình của tam giácS ABnênEF∥AB
màAB∥CD(hai đáy của hình thang)

nênEF∥CD.

2 Hai mặt phẳng(S AB)và(SCD)cóAB∥CDnên giao tuyến là đường thẳngSx∥AB∥CD.
Kéo dài AFcắtSxtạiI.

Ta thấyIlà điểm chung củaAFvà(SCD).
3 Theo ý 2.

{DẠNG 1.2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.

Phương pháp giải:








A∈(α)∩(β)
a⊂(α), b⊂(β)
a∥b

⇒(α)∩(β)=AxvớiAx∥a∥b.

1

VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCD là hình bình hành. ĐiểmM thuộc cạnhS A. ĐiểmE,F lần
lượt là trung điểm củaABvàBC.

Tìm(S AB)∩(SCD).

1 2 Tìm(MBC)∩(S AD).

Tìm(MEF)∩(S AC).

3 4 Tìm AD∩(MEF).

TìmSD∩(MEF).

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Lời giải.

1








S∈(S AB)∩(SCD)

AB⊂(S AB),CD⊂(SCD)
AB∥CD

⇒(S AB)∩(SCD)=SxvớiSx∥AB∥CD.

2








M∈(MBC)∩(S AD)
BC⊂(MBC), AD⊂(S AD)
BC∥AD

⇒(MBC)∩(S AD)=M yvớiM y∥BC∥AD.

3








M∈(MEF)∩(S AC)

EF⊂(MEF), AC⊂(S AC)
EF∥AC

⇒(MEF)∩(S AC)=M zvớiM z∥EF∥AC.
4 Trong(ABCD), gọiI=EF∩AD.

MàEF⊂(MEF)nênAD∩(MEF)=I.
5 Trong(S AD), gọiN=SD∩I M.

MàI M⊂(MEF)nênSD∩(MEF)=N.

6 Thiết diện của hình chóp cắt bởi (MEF) là ngũ giác
M N K F E.

D
K

I A

B F C

ä
VÍ DỤ 2. Cho hình chópS.ABCD. Mặt đáy là hình thang có cạnh đáy lớn AD,ABcắtCDtại điểmK. GọiM
là điểm nằm trên cạnhSD.

1 Tìmd=(S AD)∩(SBC)vàN=K M∩(SBC).
2 Chứng minh rằngAM,BN vàd đồng qui.

Lời giải.

1 •








S∈(S AD)∩(SBC)
AD⊂(S AD),BC⊂(SBC)
AD∥BC

⇒(S AD)∩(SBC)=dvớiS∈d, d∥AD∥BC.
•Trong(SCD), gọiN=K M∩SC.

MàSC⊂(SBC)nênN=K M∩(SBC).

2








(SBC)∩(S AD)=d
(SBC)∩(M AB)=BN
(M AB)∩(S AD)=AM

Theo định lí về giao tuyến của3mặt phẳng, suy raAM,BN
vàdhoặc đồng qui hoặc đôi một song song.

MàAM,dcắt nhau nênAM,BN vàd phải đồng qui.

S E d

D
N

C
B

2

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. GọiM,N lần lượt là trung điểm củaS A,SB. Gọi
Plà một điểm trên cạnhBC. Tìm giao tuyến của

(SBC)và(S AD);

1 2 (S AB)và(SCD); 3 (M N P)và(ABCD).

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

1 Ta có

(SBC)∩(ABCD)=BC;
(S AD)∩(ABCD)=AD;

AD∥BC(ABCDlà hình bình hành).

Mà Slà điểm chung của 2 mặt phẳng(SBC)và(S AD)
nên giao tuyến của 2 mặt phẳng (SBC) và (S AD) là
đường thẳngSx∥BC∥AD.

O
y

Q
M

B P

D
A

2 Giao tuyến của hai mặt phẳng(S AB)và(SCD)là đường thẳngS y∥AB∥CD.

3 Vì M N∥AB(M Nlà đường trung bình của4S AB) nên quaP kẻPQ∥AB(Q∈AD). Khi đó giao tuyến của hai
mặt phẳng(M N P)và(ABCD)là đường thẳngPQ.

ä
BÀI 2. Cho tứ diệnS ABC. GọiEvàF lần lượt là trung điểm của các cạnhSBvà AB,Glà một điểm trên cạnh AC.
Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau

(S AC)và(EFC);

1 2 (S AC)và(EFG).

Lời giải.

1 Ta có

(S AC)∩(S AB)=S A;
(EFC)∩(S AB)=EF;

S A∥EF(EFlà đường trung bình của4S AB).

Do đó giao tuyến của 2 mặt phẳng(S AC)và(EFC)sẽ song
song vớiS AvàEF.

MàC là điểm chung của 2 mặt phẳng(S AC)và(EFC)nên
giao tuyến của chúng là đường thẳngCx∥S A∥EF.

2 VìEF∥S A(EF là đường trung bình của4S AB) nên quaG
kẻGH∥S A(H∈SC). Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng
(S AC)và(EFG)là đường thẳngGH.

A C

x
H

F
G

ä
BÀI 3. Cho hình chópS.ABCDcóOlà tâm của hình bình hànhABCD, điểmMthuộc cạnhS Asao choSM=2M A,
N là trung điểm củaAD.

1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng(S AD)và(MBC).

2 Tìm giao điểmIcủaSBvà(CM N), giao điểmJcủaS Avà(ICD).

3 Chứng minh ba đường thẳngI D,JC,SOđồng quy tạiE. Tính tỉ số SE
SO.

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

S
F

A
I

B C

D
P

1 Vì








M∈(MBC)∩(S AD)

BC⊂(MBC)và AD⊂(S AD)
BC∥AD

nên(S AD)∩(MBC)=MP∥BC∥AD(vớiP∈SD).

2 Vì








S∈(S AD)∩(SBC)

AD⊂(S AD)vàBC⊂(SBC)
AD∥BC

nên(S AD)∩(SBC)=St∥AD∥BC.
GọiF=M N∩St;I=CF∩SB.
Vì

(

I∈SB

I∈CF⊂(CM N) nênI=SB∩(CM N).

QuaIkẻ đường thẳng song song vớiABcắtS AtạiJ.
Vì

(

J∈S A

J∈J I⊂(ICD)(vìI J∥CD⇒(I JCD)≡(ICD)) nênJ=S A∩(ICD).
3 Xét3mặt phẳng(S AC),(SBD)và(CD J I), ta có









SO=(S AC)∩(SBD)
I D=(SBD)∩(CD J I)
JC=(S AC)∩(CD J I).
Do đó ba đường thẳngI D, JC,SOđồng quy. Gọi điểm đồng quy làE.
Trong mặt phẳng(SF AD), áp dụng định lý Thales (để ý rằngAN∥SF) ta có

M A
MS =

AN
SF =

1
2.
Suy raSF=AD=BCvàSFBClà hình bình hành.

I=SB∩CFnênIlà trung điểm củaSB.

4SBDcóD I vàSOlà trung tuyến nênElà trọng tâm của4SBD.
Vậy SE

SO=
2
3.

ä
BÀI 4. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình thang với ADlà đáy lớn và AD=2BC. GọiM, N, P lần lượt
thuộc các đoạnS A,AD,BCsao choM A=2MS,N A=2N D,PC=2PB.

1 Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:(S AD)và(SBC),(S AC)và(SBD).

2 Xác định giao điểmQcủaSBvới(M N P).

3 GọiK là trung điểm củaSD. Chứng minhCK=(MQK)∩(SCD).

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

N
K

t
F≡F0

C
P

D
Q

B
M

1 Vì








S∈(S AD)∩(SBC)

AD⊂(S AD)vàBC⊂(SBC)
AD∥BC

nên(S AD)∩(SBC)=St∥AD∥BC.
GọiO=AC∩BD⇒

(

O∈AC⊂(S AC)

O∈BD⊂(SBD) suy raSO=(S AC)∩(SBD).

2 GọiE=N P∩ABvàQ=EM∩SB. Vì

(

Q∈SB

Q∈ME⊂(M N P) nênQ=SB∩(M N P).

3 GọiF=MK∩StvàF0=QC∩St. Dựa vào các vị trí các điểmQ,C,M vàK của giả thiết cho, dễ thấyF vàF0
cùng nằm về một phía so với mặt phẳng(S AB).

Trong mặt phẳng(SF0BC), áp dụng định lý Thales (để ý rằngSF0∥BC) ta có
QS

QB=
BC
SF0 =

2. (1)

GọiK0là trung điểm củaS A. suy ra MK0
MS =

1
2.

Trong mặt phẳng(SF AD), áp dụng định lý Thales (để ý rằngSF∥K K0) ta có
MK0

MS =
K K0

SF =

2. (2)

Từ (1), (2) vàAD=2BCsuy raSF=SF0. Do đóF≡F0, suy ra bốn điểmQ,C,MvàK đồng phẳng.
VậyCK=(MQK)∩(SCD).

3

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 5. Cho tứ diệnABCD. GọiG,J lần lượt là trọng tâm tam giácBCDvàACD.
Chứng minhG J∥AB.

1 2 Tìm(ABD)∩(G JD).

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

M
G

B D

1 GọiMlà trung điểmCD.

Xét tam giácABMcó MG

MB=
M J
M A=

1
3
Suy raG J∥AB.

2 Hai mặt phẳng(ABD)và(G JD)có điểmDchung vàG J∥ABnên giao tuyến là đường thẳngD x∥G J∥AB.

ä
BÀI 6. Cho tứ diệnABCD. GọiI,J lần lượt là trọng tâm4ABC,4ABDvàE,Flần lượt là trung điểmBC, AC.

Chứng minhI J∥CD.

1 2 Tìm(DEF)∩(ABD).

Lời giải.

C
B

D
J

M
F

1 GọiMlà trung điểmBD.
Tam giácAEMcó A I

AE=
A J
AM=

3nênI J∥ME.
MàME∥CD(đường trung bình)

Suy raI J∥CD.

2 Hai mặt phẳng(DEF)và(ABD)có điểm chungDvàEF∥ABnên giao tuyến là đường thẳngD x∥AB∥EF.

ä
BÀI 7. Cho hình chópS ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. GọiMlà trung điểm củaSCvàNlà trọng tâm tam
giácABC.

TìmI=SD∩(AM N).

1 2 Chứng minhN I∥SB. 3 Tìm(AM N)∩(S AD).

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

B C

N O

D
M

A
E

1 GọiOlà giao điểmACvàBD,Elà giao điểmSOvà AM.
Khi đóN EvàSDcắt nhau tạiI.

Ta thấyI∈SDvàI∈N E⊂(AM N)nênI=SD∩(AM N).
2 Tam giácSOBcó OE

OS=
ON

OB =
1

3 nênN E∥SB.
Suy raN I∥SB.

3 Hai mặt phẳng(AM N)và(S AD)có hai điểm chungA,Inên(AM N)∩(S AD)=A I.

ä
BÀI 8. Cho hình chópS ABCDcó đáy ABCDlà hình thang (AB∥CD) vớiCD=2AB. GọiOlà giao điểm của ACvà
BD,K là trung điểmSC,Glà trọng tâm tam giácSCD.

Chứng minhOG∥BK.

1 2 Tìm(ACG)∩(SBC).

Lời giải.

O
S

B
A

1 Ta có4OCDv4O ABdoCOD=AOBvàODC=OB A.

Suy ra OD
OB =

OC
O A =

CD
AB=2.
Suy raOD=2

3DB.
Tam giácDBKcó DG

DK =
DO
DB=

3 nênOG∥BK.

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(S AB)và(SCD)

2 Tìm giao điểmM của đường thẳng AE và mặt phẳng(SBD). Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng
SO.

Lời giải.

1 Vì








S∈(S AB)∩(SCD)

AB⊂(S AB)vàCD⊂(SCD)
AB∥CD

nên(S AB)∩(SCD)=St∥AB∥CD.
2 GọiM=AE∩SO.

Vì

(

M∈AE

M∈SO∩(SBD) nênM=AE∩(SBD).
GọiIlà trung điểmSC, suy ra E I

ES=
1
2.

GọiF=OI∩AE. Trong mặt phẳng(S AC), áp dụng

định lý Thales (để ý rằngOI∥S A)

F I
S A=

E I
ES=

1
2.

B C

D
M

Suy raF I=OI=S A

2 , từ đó dẫn đếnSFO Alà hình bình hành. VậyMlà trung điểm củaSO.

ä
BÀI 10. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành, gọiM, N,P lần lượt là trung điểm củaSD,CD,
BC.

1 Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:(S AC)và(SBC),(AM N)và(SBC).

2 Tìm giao điểmIcủa(P M N)và AC,K của(P M N)vàS A.

3 GọiF là trung điểm củaP M, chứng minh ba điểmK,F,Ithẳng hàng.

Lời giải.

B P C E

N
D

1 Dễ thấySC=(S AC)∩(SBC).
GọiE=BC∩AN

Ta có








E∈(SBC)∩(AM N)

SC⊂(SBC)vàM N⊂(AM N)
SC∥M N

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

2 GọiI=AC∩P N⇒

(

I∈AC

I∈P N⊂(P M N)⇒I=AC∩(P M N).

GọiK là giao điểm củaS Avới đường thẳng đi quaIvà song song vớiSC.

Vì

(

K∈S A

K∈I K⊂(P M N)(vìM N∥SC)nênK=S A∩(P M N).

3 Theo cách dựng ta cóI K∥M N. (1)

ABCDlà hình bình hành nênACvàBDcắt nhau tại trung điểm mỗi đường. MàP Nlà đường trung bình của
4CBDnênACcũng cắtP N tạiIlà trung điểm củaP N.

Suy raI Flà đường trung bình của4P M N⇒I F∥M N. (2)

(1) và (2) suy raK,F,Ithẳng hàng.

BÀI

2.

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

A

TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệtCho đường thẳng dvà mặt phẳng(P). Có ba trường
hợp xảy ra:

Đường thẳngdvà(P)có2điểm chung phân biệt⇒d⊂(P).
Đường thẳngdvà(P)có1điểm chung duy nhất⇒d∩(P)=A.
Đường thẳngdvà(P)khơng có điểm chung nào⇒d∥(P).

Định nghĩa 1. Đường thẳngdvà mặt phẳng(P)gọi là song song với nhau nếu chúng khơng có điểm chung.
2 Các định lý

Định lí 1. Nếu đường thẳng d khơng nằm trong mặt phẳng(α)và d song song với đường thẳng d0 nằm
trong(α)thìdsong song với(α).

Định lí 2. Cho đường thẳngasong song với mặt phẳng(α). Nếu mặt phẳng(β)chứaavà cắt(α)theo giao
tuyếnbthìbsong song với(α).

Hệ quả 1. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và cùng song song với một đương thẳng thì giao tuyến
của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Định lí 3. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song
song với đường thẳng kia.

B

DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

{DẠNG 2.1. Chứng minh dường thẳng a song song với mặt phẳng (P)

Phương pháp: Chứng minh








a∥b
b⊂(P)

a∉(P)

⇒a∥(P).

1

VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Cho tứ diệnABCD. Gọi MvàNlần lượt là trọng tâm của các tam giác ACDvàBCD. Chứng minh
rằngM Nsong song với các mặt phẳng(ABC)và(ABD).

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

GọiP,Qlần lượt là trung điểm củaBCvàCD.
Khi đó, ta có Q M

M A=
Q N
NB=

3⇒M N∥AB.
Vì






M N6⊂(ABC)
AB⊂(ABC)
M N∥AB

nênM N∥(ABC).

Tương tự, ta có








M N6⊂(ABD)
AB⊂(ABD)
M N∥AB

nênM N∥(ABD).

A
B
P
N
D
M
C
Q
ä
VÍ DỤ 2. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. GọiM,N lần lượt là trung điểm của các
cạnhABvàCD.

Chứng minhM Nsong song với các mặt phẳng(SBC)và(S AD).

1

GọiElà trung điểm củaS A. Chứng minhSBvàSCđều song song với mặt phẳng(M N E).
2

Lời giải.

Từ giả thiết, ta suy raM N∥BCvàM N∥AD.
Vì






M N6⊂(SBC)
BC⊂(SBC)
M N∥BC

nênM N∥(SBC).

Tương tự, ta có








M N6⊂(S AD)
AD⊂(S AD)
M N∥AD

nênM N∥(S AD).
1

Từ giả thiết, ta có AE
AS =

AM
AB =

2⇒ME∥SB.
Vì






SB6⊂(M N E)
ME⊂(M N E)
ME∥SB

nênSB∥(M N E).

Tương tự, gọiOlà tâm của hình bình hành.

Khi đó AO

AC=
AE
AS=

2⇒EO∥SC.
Vì






SC6⊂(M N E)
EO⊂(M N E)
EO∥SC

nênSC∥(M N E).
2
S
O
C
D
N
E
A
B

M
ä

{DẠNG 2.2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp: Áp dụng một trong hai cách sau

Cách 1:








a∥(P)
a⊂(Q)
M∈(P)∩(Q)

⇒(P)∩(Q)=M x∥a.
1

Cách 2:









a∥(P)
a∥(Q)
M∈(P)∩(Q)

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

VÍ DỤ 1. Cho tứ diệnABCDcóGlà trọng tâm4ABC,M∈CDvớiMC=2MD.
Chứng minhMG∥(ABD).

1 2 Tìm(ABD)∩(BG M). 3 Tìm(ABD)∩(AG M).

Lời giải.

GọiN là trung điểm củaAB. Trong tam giácCD N, ta có CM
CD =

CG
CN=
2

3⇒G M∥N D. VìN D⊂(ABD),G M6⊂(ABD)nênG M∥(ABD).
1

Vì

(

G M∥(ABD)

B∈(ABD)∩(BG M)⇒(ABD)∩(BG M)=Bx∥G M∥N D.

2

Vì

(

G M∥(ABD)

A∈(ABD)∩(AG M)⇒(ABD)∩(BG M)=A y∥G M∥N D.
3

D
M

x
B

{DẠNG 2.3. Tìm thiết diện song song với một đường thẳng

Phương pháp:Để tìm thiết diện của mặt phẳng song song với mặt phẳng(α)đi qua một điểm và song song
với hai đường thẳng chéo nhau hoặc (α)chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng sử dụng
tích chất sau:








M∈(α)∩(β)
d∥(α)
d⊂(β)

⇒(α)∩(β)=a∥d, (vớiM∈a).

VÍ DỤ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, Ilần lượt là trung điểm của BC, AC. Mặt phẳng (P)đi qua điểm M,
song song vớiBI vàSC. Xác định trên hình vẽ các giao điểm của(P)với các cạnhAC,S A,SB. Từ đó suy ra
thiết diện của(P)cắt hình chóp.

Lời giải.

Vì

(

(P)∥SC

M∈(P)∩(SBC)⇒(P)∩(SBC)=M N∥SC,N∈SB (1)
Tương tự,

(

(P)∥BI

M∈(P)∩(ABC)⇒(P)∩(ABC)=MH∥BI,H∈AC (2)
Mặt khác,

(

(P)∥(SC)

N∈(P)ca p(S AC)⇒(P)∩(S AC)=HK∥SC,K∈S A(3)Từ(1),(2)
và(3)ta có thiết diện của(P)với tư diệnABCDlà tứ giácM N K H.

M
I
S

H
A

1

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 550. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO. GọiM,Nlần lượt là trung điểmS A,SD.
Chứng minh rằng:

BC∥(S AD).

1 2 AD∥(SBC). 3 M N∥(ABCD).

M N∥(SBC).

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Lời giải.

A
M

D
N

B C

BC∥(S AD)

Ta có








BC∥AD
AD⊂(S AD)
BC6⊂(S AD)

⇒BC∥(S AD).
1

Ta có








AD∥BC
BC⊂(SBC)
AD6⊂(SBC)

⇒AD∥(SBC).

2

Ta có SM
S A =

SN
SD =

2⇒M N∥AD. Khi đó








M N∥AD
AD⊂(ABCD)
M N6⊂(ABCD)

⇒M N∥(ABCD).
3

Ta có SM
S A =

SD ⇒M N∥AD, vìAD∥BCnênM N∥BCKhi đó








M N∥BC
BC⊂(SBC)
M N6⊂(SBC)

⇒M N∥(SBC).
4

Ta có AM
AS =

AO
AC=

2⇒MO∥SC. Vì








MO∥SC
SC⊂(SCD)
MO6⊂(SCD)

⇒MO∥(SCD).
5

Ta có D N
DS =

DO
DC=

2⇒NO∥SB. Vì








NO∥SB
SB⊂(SBC)

NO6⊂(SBC)

⇒NO∥(SBC).
6

ä
BÀI 551. Cho hình chópS.ABCD có dáy ABCDlà hình chữ nhật. GọiG là trọng tâm tam giácS AD vàElà điểm
trên cạnhDCsao choDC=3DE,Ilà trung điểm AD.

Chứng minhOI∥(S AB)vàOI∥(SCD).
1

Tìm giao điểmP củaI Evà(SBC). Chứng minhGE∥(SBC).
2

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Ta có








OI∥AB
AB⊂(S AB)
OI6⊂(S AB)

⇒OI∥(S AB).

Tương tự,








OI∥CD
CD⊂(SCD)
OI6⊂(SCD)

⇒OI∥(SCD).
1

Vì D I
D A=

1
26=

1
3=

DCnênI Ekhơng song song vớiAC. Trong hình
chữ nhật ABCD, gọiP=I E∩BC⇒P=I E∩(SBC).

GọiK là trung điểm củaBC,G0là trọng tâm tam giácSBC.
Khi đó SG

0
SK =

SG
S I =

G0G
K I =

3,suy ra G

0G∥K I∥CE và ⇒G0G=
2

3K I=
2

3CD=CE. Do dó tứ giácG

0GEClà hình bình hành, suy
raCG0∥CE⇒CG∥(SBC).

2

D
E

B C

O
I

ä
BÀI 552. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. GọiM,Nlần lượt là trung điểmABvàCD.

Chứng minhM N∥(SBC)vàM N∥(S AD).
1

GọiP là trung điểm cạnhS A. Chứng minhSB∥(M N P)vàSC∥(M N P).
2

GọiG,Ilà trọng tâm của tam giác ABCvàSBC. Chứng minhG I∥(M N P).
3

Lời giải.

Từ giả thiết, ta có M N∥AD∥BC. VìM N6⊂(SBC), M N6⊂(S AD)
nênM N∥(SBC)vàM N∥(S AD).

1

Ta có AP
AS=

AM
AB =

2⇒SB∥P M⇒SB∥(M N P).
Tương tự, AO

AC =
AP
AS =

2 ⇒PO∥SC vì OP ⊂(M N P) nên SC∥
(M N P).

2

3

G
A

M
P

D
N

B C

ä
BÀI 553. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình thang đáy lớn AB, với AB=2CD. GọiOlà giao điểm của ACvà
BD,Ilà trung điểm củaS A,Glà trọng tâm của tam giácSBCvàElà một điểm trên cạnhSDsao cho3SE=2SD.
Chứng minh:

D I∥(SBC).

1 2 GO∥(SCD). 3 SB∥(ACE).

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

GọiN là trung điểmSB, khi đó I N∥ABvàI N=1

2AB. Suy ra
I N∥CD, I N=DC suy ra tứ giácI NCD là hình bình hành, do

đóI D∥NC. VậyI D∥(SBC).

1

GO∥(SCD)

GọiPlà trung điểm củaSC, khi đóGO∥P D, suy raGO∥(SCD).
2

Ta cóEO∥SB, suy raSB∥(ACE).
3

C
D

O
A

B
E

ä
BÀI 554. Cho hình chópS.ABCD có đáy là hình bình hành tâmO. Gọi M,N là trung điểm của các cạnh AB,AD.
GọiI,J thuộcSM,SNsao cho S I

SM=
S J
SN=

3. Chứng minh
M N∥(SBD).

1 2 I J∥(SBD). 3 SC∥(I JO).

Lời giải.

1

Ta cóM,Nlà trung điểm của các cạnhAB,AD.
Suy raM N∥BD, màBD⊂(SBD).

NênM N∥(SBD).
2 Ta có S I

SM=
S J
SN=

3⇒I J∥M N. HayI J∥BD.
MàBD⊂(SBD). NênI J∥(SBD).

3 Trong mặt phẳng(ABCD), gọiH là giao điểm củaM N và
AC.

Trong mặt phẳng(SM N)gọiK là giao điểm củaI JvàSH.
Dễ thấyHlà trung điểm củaAO, suy ra HO

HC=
1
3.
Lại cóI J∥M N⇒I K∥MH⇒HK

SH =
M I
SM=

1
3.
Do đó HK

HS =
HO
HC=

3⇒K O∥SC.
MàK O⊂(I JO)⇒SC∥(I JO).

B
M

D
J

C
N
H

ä
BÀI 555. Cho tứ diệnABCD,Glà trọng tâm của tam giácABDvàIlà điểm trên cạnhBCsao choBI=2IC. Chứng
minhIG∥(ACD).

Lời giải.

GọiHlà trung điểm củaBD. Trong mặt phẳng(BCD), gọiKlà
giao điểm củaH IvàCD.

Theo định lý Menelaus có BH
HD ·

IC
BI·

K D

K C =1⇔1·
1
2·

K D
K C =1⇔
K D

K C=2.

Suy raClà trung điểm củaK D, suy raBClà trung tuyến của
4BDK.

MàBI=2IC, suy raIlà trọng tâm của4BDK.
Suy ra H I

HK=
1

3. Lại cóGlà trọng tâm của4ABD⇒
HG
HK=

1
3.
Do đó,G I∥AK, màAK⊂(ACD)⇒IG∥(ACD).

I
B

H
G

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Lời giải.

GọiK,Hlần lượt là trung điểm củaBCvàCD. Suy raK H∥BD (1).
Ta cóG,P lần lượt là trọng tâm của4ACD,4ABC.

Suy ra AP
AK =

2
3,

AG
AH =

3⇒PG∥HK (2).
Từ (1) và (2), suy raGP∥BD.

MàBD⊂(BCD),BD⊂(ABD), suy raGP∥(BCD),GP∥(ABD).

C
B

K
P

D
H

ä
BÀI 557. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hành,Olà giao điểm củaACvàBD,Mlà trung điểm củaS A.

1 Chứng minhOM∥(SCD).

2 Gọi(α)là mặt phẳng đi quaM, đồng thời song song vớiSCvà AD. Tìm thiết diện của mặt phẳng(α)với hình
chópS.ABCD.

Lời giải.

1

Ta cóM,Olà trung điểm củaS Avà AC, suy raMO∥SC.
MàSC⊂(SCD)⇒OM∥(SCD).

2 VìMO∥SC⇒O∈(α).
Ta có








O∈(α)∩(ABCD)
AD∥(α)

AD⊂(ABCD)

⇒(α)∩(ABCD)=PQ.
VớiPQ∥AD,O∈PQ,Q∈AB,P∈CD.

Lại có








P∈(α)∩(SCD)
SC∥(α)
SC⊂(SCD)

⇒(α)∩(SCD)=P N, vớiP N∥SC.
Có(α)∩(S AD)=M N, (α)∩(S AB)=MQ.

Nhận thấyP,Qlà trung điểm củaCDvàAB. Suy raNlà trung điểm
củaSD.

Suy raM N∥PQ. Vậy thiết diện là hình thang M N PQ.

O
C
A

B
Q

P
M

ä
BÀI 558. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang đáy lớnAB. GọiM là trung điểm củaCD,(α)là mặt
phẳng quaM, đồng thời song song vớiS AvàBC. Tìm thiết điện của(α)với hình chóp S.ABCD. Thiết diện là hình
gì?

Lời giải.

Ta có








M∈(α)∩(ABCD)
BC∥(α)

BC⊂(ABCD)

⇒(α)∩(ABCD)=MK,
vớiMK∥BC,K∈AB.

Có








K∈(α)∩(S AB)
S A∥(α)
S A⊂(S AB)

⇒(α)∩(S AB)=K H, vớiK H∥S A.

Lại có








H∈(α)∩(SBC)
BC∥(α)
BC⊂(SBC)

⇒(α)∩(SBC)=H I, vớiH I∥BC.
Do đó,α∩(SCD)=I M, màMK,H Iđều song song vớiBC.
Vậy thiết diện của hình chóp là hình thangMK H I.

D C

K
A

ä
BÀI 559. Cho hình chópS.ABCD. GọiM,N thuộc cạnhAB,CD. Gọi(α)là mặt phẳng quaM Nvà song song vớiS A.

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

2 Tìm điều kiện củaM Nđể thiết diện là hình thang.
Lời giải.
1
Ta có






M∈(α)∩(S AB)

S A∥(α)
S A⊂(S AB)

⇒(α)∩(S AB)=MP, vớiMP∥S A.
Trong mặt phẳng(ABCD), gọiR=M N∩AC.

Ta có






R∈(α)∩(S AC)
S A∥(α)
S A⊂(S AC)

⇒(α)∩(S AC)=RQ, vớiRQ∥S A.
Ta có(α)∩(SCD)=Q N. Vậy thiết diện là tứ giácM NQP.
2 Ta cóM NQPlà hình thang⇒

MP∥Q N (1)
M N∥PQ (2).
Xét (1) ta có

(

S A∥MP

MP∥Q N ⇒S A∥Q N.
Do đó

(

S A∥Q N

Q N⊂(SCD)⇒S A∥(SCD)(vơ lý).

S
D
N
Q
M
P
B
C
R
A

Xét (2) ta có








BC=(ABCD)∩(SBC)
M N⊂(ABCD)
PQ⊂(SBC)

⇒M N∥BC.

Ngược lại, nếuM N∥BCthì








PQ=(α)∩(SBC)
M N⊂(α)
BC⊂(SBC)

⇒M N∥PQ.
Vậy để thiết diện là hình thang thìM N∥PQ.

ä
BÀI 560. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnhSC.(P)là mặt
phẳng quaAMvà song song vớiBD.

1 Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng(P).

2 GọiE,F lần lượt là giao điểm của (P)với các cạnh SB,SD. Tìm tỉ số diện tích của4SMEvới4SBCvà tỉ số
diện tích của4SMFvới4SCD.

3 GọiK là giao điểm củaMEvàCB,J là giao củaMF vàCD. Chứng minhK,A,J nằm trên đường thẳng song
song vớiEFvà tìm tỉ số EF

K J.

Lời giải.

1

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi
AC∩BD=O,

trong mặt phẳng (S AC), gọi
AM∩SO=I.

Ta có






I∈(P)∩(SBD)
BD∥(P)
BD⊂(SBD)

⇒ (P)∩(SBD) = EF, với I ∈
EF,E∈SB,F∈SD.

Ta có (P)∩(S AB) = AE, (P)∩
(SBC)=EM, (P)∩(SCD)=MF.
Vậy thiết diện là tứ giácAEMF.

S
J
K
D
C
O
B
I
A
E
F
M

2 Trong4S AC, có Ilà trọng tâm của tam giác⇒SOS I =23⇒SESB=SDSF =EFBD=23 (1).

Do đó S4AME
S4SBC =

2
3·
1
2=
1
3,

S4SMF

S4SCD =

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

3 Ta có

(

(MEF)∩(ABCD)=AK

(MEF)∩(ABCD)=A J ⇒K,A,J thẳng hàng.
Theo định lý Menelaus, xét4SBCta có MS

MC·
EB
ES·

K C

K B=1⇔1·
1
2·

K C
K B=1⇔

K C
K B=2.
HayBlà trung điểm củaK C. Tương tự, ta cóDlà trung điểm củaC J.

Do đó,BDlà đường trung bình của4K C J⇒






BD∥K J
BD=1

2·K J (2)
.
MàBD∥EF. VậyA,K,J nằm trên đường song song vớiEF.
Từ (1) và (2), suy ra EF

K J =
2
3·
1
2=
1
3.
ä
BÀI 561. Cho tứ diện ABCD. Gọi Mvà N là hai điểm lần lượt nằm trên cạnhBCvà AD. Xác định thiết diện của
tứ diện cắt bởi mặt phẳng(α)quaM Nvà song song vớiCD. Xác định vị trí của hai điểmM,Nđể thiết diện là hình
bình hành.
Lời giải.
Ta có







M=(α)∩(BCD)
CD∥(α)

CD⊂(BCD)

⇒(α)∩(BCD)=M I, vớiM I∥CD.








N=(α)∩(ACD)
CD∥(α)
CD⊂(ACD)

⇒(α)∩(ACD)=N K, vớiN K∥CD.
Ta có(α)∩(ABD)=N I, (α)∩(ABC)=MK.

Vậy thiết diện là hình thangM I N K, (vìM I∥N K).
Lại có

(

M I∥CD

K N∥CD⇒








M I
CD=
BM
CB
K N
CD =
AN
AD
.
A
C
I
B
M
K
D
N

Để thiết diệnM I N Klà hình bình hành khi và chỉ khiM I=N K⇔BM
CD =

AN
AD.
VậyM,Nlần lượt là hai điểm nằm trênBCvàADvà BM

CD =
AN
AD.

ä
BÀI 562. Cho tứ diệnABCD. GọiI,J lần lượt là trung điểm củaABvàCD,Mlà một điểm trên đoạnI J. Gọi(P)là
mặt phẳng quaMvà song song với ABvàCD.

1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng(P)và(ICD).

2 Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng(P). Thiết diện là hình gì?

Lời giải.

1 Gọi∆1=(P)∩(ICD), ta có

(

M∈(P)

M∈I J,I J⊂(ICD)⇒M∈∆1.








(P)∥CD
CD⊂(ICD)
(P)∩(ICD)=∆1

⇒∆1∥CD.

Vậy∆1là đường thẳng quaMvà song song vớiCD.

GọiE=∆1∩IC,F=∆1∩T D, ta được(P)∩(ICD)=EF.

2 Gọi∆2=(P)∩(ABD), ta có

(

F∈(P)

F∈I D,I D⊂(ABD)⇒F∈∆2.








(P)∥AB
AB⊂(ABD)

(P)∩(ABD)=∆2

⇒∆2∥AB.

Vậy∆2là đường thẳng quaF và song song vớiAB.

GọiG=∆2∩BD,P=∆2∩AD, ta được(P)∩(ICD)=GP.

C
J
A
M
I
F
H
G D
P
B
E
Q

Gọi∆3=(P)∩(ABC), ta có

(

E∈(P)

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

Ta có









(P)∥AB
AB⊂(ABC)
(P)∩(ABC)=∆3

⇒∆3∥AB.

Vậy∆3là đường thẳng quaEvà song song với AB.

GọiH=∆3∩BC,Q=∆3∩AC, ta được(P)∩(ABC)=HQ.

Giao tuyến của(P)với các mặt phẳng (BCD), (ABD), (ACD), (ABC) lần lượt làGH,GP,PQ,QH. Do đó thiết
diện của tứ diện với mặt phẳng(P)là tứ giácHGPQ.

Ta có








(P)∥CD
CD⊂(ACD)

(P)∩(ACD)=PQ

⇒PQ∥CD
và








(P)∥CD
CD⊂(BCD)
(P)∩(BCD)=HG

⇒HG∥CD.

Ta có

(

HG∥PQ(cùng song song vớiCD)

HQ∥PG(cùng song song vớiAB)⇒tứ giácHGPQlà hình bình hành.

ä
BÀI 563. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO. GọiK vàJ lần lượt là trọng tâm của các
tam giácABCvàSBC.

1 Chứng minhK J∥(S AB).

2 Gọi(P)là mặt phẳng chứaK Jvà song song với AD. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng(P).

Lời giải.

1 Gọi H là trung điểm BC, theo tính chất trọng tâm ta
có HK

H A =
H J
HS =

3⇒K J∥S A (Định lý Ta-lét đảo). Ta có








K J∥S A
S A⊂(S AB)
K J6⊂(S AB)

⇒K J∥(S AB).
2 Gọi∆1=(P)∩(ABCD), ta có

(

K∈K J,K J⊂(P)

K∈(ABCD) ⇒K∈∆1.








(P)∥AD
AD⊂(ABCD)
(P)∩(ABCD)=∆1

⇒∆1∥AD.

Vậy∆1là đường thẳng quaK và song song với AD.

GọiE=∆1∩AB,F=∆1∩CD, ta được

(P)∩(ABCD)=EF.

A
M

B H C

D
N

F
S

O
J

Gọi∆2=(P)∩(SBC), ta có

(

J∈K J,K J⊂(P)

J∈(SBC) ⇒K∈∆2.
Và








(P)∥AD∥BC
BC⊂(ABCD)
(P)∩(ABCD)=∆2

⇒∆2∥BC.

Vậy∆2là đường thẳng quaJ và song song vớiBC.

GọiM=∆2∩SB,N=∆1∩SD, ta được(P)∩(SBC)=M N.

Ta có giao tuyến của(P)với các mặt phẳng(ABCD), (SCD), (SBC), (S AB)lần lượt làEF,F N,N M,N E, do đó
thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng(P)là tứ giácM N F E.

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

BÀI 564. Cho tứ diện ABCD. GọiG1,G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD vàBCD. Chứng minh rằng

G1G2∥(ABC)vàG1G2∥(ABD).
Lời giải.

Xét tam giácABMta có
MG2

MB =
1

3 (G2là trọng tâm4BCD).
MG1

M A =
1

3 (G1là trọng tâm4ACD).
Suy ra MG2

MB =
MG1

M A ⇒G1G2∥AB(Định lý Ta-lét đảo).
Ta có






G1G2∥AB

AB⊂(ABC)
G1G26⊂(ABC)

⇒G1G2∥(ABC).

Ta có






G1G2∥AB

AB⊂(ABD)
G1G26⊂(ABD)

⇒G1G2∥(ABD).

A
B
G1
D
C
G2
M
ä
BÀI 565. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCD là hình bình hành. GọiG là trọng tâm của4S AB,Ilà trung điểm
AB, lấy điểmMtrong đoạnADsao choAD=3AM.

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(S AD)và(SBC).

2 Đường thẳng quaMvà song song vớiABcắtC I tạiN. Chứng minhNG∥(SCD).
3 Chứng minhMG∥(SCD).

Lời giải.

1 Gọi∆=(S AD)∩(SBC), ta cóS∈∆.
Ta có













AD∥BC
AD⊂(S AD)
BC⊂(SBC)
(S AD)∩(SBC)=∆

⇒∆∥AD.

Vậy∆là đường thẳng quaSvà song song vớiAD.

2 Hình thang A ICD có M N∥A I∥CD nên I N
IC =

AM
AD =

1
3
(Định lí Ta-lét).

4S ABcóGlà trọng tâm nên IG
I S =

3.
4I SCcó I N

IC=
IG
I S =

3⇒NG∥SC(Định lý Ta-lét đảo).

A
I
B
N
C
D
E
S
G
M
∆
Ta có






NG∥SC

SC⊂(SCD)
NG6⊂(SCD)

⇒NG∥(SCD).

3 GọiElà giao điểm củaI MvàCD. VìA I∥DEnên ta cóI M
ME=

AM
MD=

2 (Định lý Ta-lét).
Xét4ASEcó IG

GS=
I M
ME=

2⇒G M∥SE.
Ta có






MG∥SE
SE⊂(SCD)
MG6⊂(SCD)

⇒MG∥(SCD).

ä
BÀI 566. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang với đáy lớnADvàAD=2BC. GọiOlà giao điểm của
ACvàBD,Glà trọng tâm của tam giácSCD.

1 Chứng minhOG∥(SBC).

2 ChoMlà trung điểm củaSD. Chứng minhCM∥(S AB).

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

Lời giải.

1 GọiNlà trung điểmSC, vìGlà trọng tâm4SCDnênNG
GD=

1
2.
Ta cóBC∥AD⇒BO

OD =
CO
AO=

BC
AD=

2 (Định lí Ta-lét).
4BN Dcó NG

GD=
BO
OD =

2⇒OG∥BN (Định lí Ta-lét đảo).
Ta có








OG∥BN
BN⊂(SBC)
OG6⊂(SBC)

⇒OG∥(SBC).

2 GọiElà trung điểm củaS A, theo tính chất đường trung bình
ta cóME∥ADvàME=1

2AD.






ME=BC=1
2AD
ME∥BC(∥AD)

⇒Tứ giácMEBC là hình bình hành. B C

D
M

A I
E

Suy raCM∥BE.
Ta có








CM∥BE
BE⊂(S AB)
CM6⊂(S AB)

⇒CM∥(S AB).

3 Ta có2SC=3S I⇔2S I+2IC=3S I⇔S I=2IC.
Xét4S ACcó C I

I S=
CO
O A=

2⇒OI∥S A(Định lí Ta-lét đảo).
Ta có









S A∥BI
BI⊂(BD I)
AB6⊂(BD I)

⇒AB∥(BD I).

ä
BÀI 567. Cho hình chópS.ABCD, đáy ABCDlà hình bình hành. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB,AD,SB.

1 Chứng minhBD∥(M N P).

2 Tìm giao điểm của(M N P)vớiBC.

3 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(M N P)và(SBD).
4 Tìm thiết diện của hình chóp với(M N P).

Lời giải.

A
P

B C

D
Q

1 4ABDcóM Nlà đường trung bình nênM N∥BDvàM N=1
2BD.
Ta có








BD∥M N
M N⊂(M N P)
BD6⊂(M N P)

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

2 Trong(ABCD), dựngH=M N∩BC, ta có

(

H∈BC

H∈M N,M N⊂(M N P)⇒H=(M N P)∩BC.

3 Gọi∆=(M N P)∩(SBD), ta có

(

P∈(SBD)

P∈(M N P)⇒P∈∆.
Ta có








M N∥BD

M N⊂(M N P), (BD)⊂(SBD)
(M N P)∩(SBD)=∆

⇒∆∥M N.

Vậy∆là đường thẳng quaP và song song vớiM N.
GọiQ=∆∩SD, ta được(M N P)∩(SBD)=PQ.

4 Trong(SBC), dựngK=HP∩SC. Giao tuyến của(M N P)với các mặt phẳng(ABCD), (S AB), (SBC), (SCD), (SD A)
lần lượt làM N,P M,P K,KQ,Q N. Vậy thiết diện của hình chóp với(M N P)là ngũ giácP M NQK.

ä
BÀI 568. Cho tứ diệnABCD. GọiM là điểm thuộcBCsao choMC=2MB. GọiN,P lần lượt trung điểm củaBDvà
AD.

1 Chứng minhN P∥(ABC).

2 Tìm giao điểmQcủaACvới(M N P)và tính Q A

QC. Suy ra thiết diện của hình chóp bị cắt bởi(M N P).
3 Chứng minhMG∥(ABD), vớiGlà trọng tâm của tam giácACD.

Lời giải.

1 4ABD có N P là đường trung bình nên N P∥AB và N P=
1

2AB.
Ta có








N P∥AB
AB⊂(ABC)
N P6⊂(ABC)

⇒N P∥(ABC).
2 Gọi∆=(M N P)∩(ABC), ta có

(

M∈(SBD)

M∈BC,BC⊂(ABC)⇒M∈∆.








N P∥(ABC)
N P⊂(M N P)
(M N P)∩(ABC)=∆

⇒∆∥AB.

Vậy∆là đường thẳng quaMvà song song với AB.
Trong(ABC)dựngQ=∆∩AC, ta có

(

Q∈AC

Q∈∆,∆⊂(M N P)⇒Q=AC∩(M N P).

G
B

M
Q

D
P

Ta cóMC=2MB⇔MC+MB=3MB⇔BC=3MB⇔MB
BC =

1
3.
Xét4ABCcóQ M∥AB⇒Q A

QC=
BM

BC =
1
3.

Ta có giao tuyến của(M N P)với các mặt phẳng(ABC), (ACD), (ABD), (BCD)lần lượt làQ M,QP,P N,M N. Vậy
thiết diện cùa hình chóp bị cắt bởi(M N P)là tứ giácM N PQ.

3 VìGlà trọng tâm4ACDnên PG
PC =

1
3.
Xét4BCPcó PG

PC =
BM

BC =
1

3⇒MG∥BP(Định lí Ta-lét đảo).
Ta có








MG∥BP
BP⊂(ABD)
MG6⊂(ABD)

⇒MG∥(ABD).

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

BÀI 569. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành.
1 Tìm giao tuyến của(S AC)và(SBD);(S AB)và(SCD).

2 Một mặt phẳng quaBCvà song song với ADcắtS AtạiE, (E6=S,E6=A), cắtSDtạiF, (F6=S,F6=D). Tứ giác
BEFClà hình gì?

3 GọiMthuộc đoạnADsao cho AD=3AMvàGlà trọng tâm tam giácS AB,Ilà trung điểm AB. Đường thẳng
quaMvà song song ABcắtC ItạiN. Chứng minhNG∥(SCD)vàMG∥(SCD).

Lời giải.

M
G

C
N

I
∆

1 Ta cóS∈(S AC)∩(SBD)

Trong(ABCD), dựngO=AC∩BD, ta có

(

O∈AC,AC⊂(S AC)

O∈BD,BD⊂(SBD)⇒O∈(S AC)∩(SBD).
Vậy(S AC)∩(SBD)=SO.

Gọi∆=(S AB)∩(SCD), ta cóS∈∆

Ta có














AB∥CD
AB⊂(S AB)
CD⊂(SCD)
(S AB)∩(SCD)=∆

⇒∆∥AB.

Vậy∆là đường thẳng quaSvà song song vớiAB.
2 Ta có














BC∥AD
BC⊂(BCF E)
AD⊂(S AD)

(BCF E)∩(S AD)=EF

⇒EF∥AD∥BC.

Vậy tứ giácBCF Elà hình thang.

3 Xét hình thangA ICDcóM N∥A I⇒AM
AD =

I N
IC =

3(Định lí Ta-lét).
VìGlà trọng tâm tam giácS ABnên IG

I S =
1
3.
Xét4I SCta có

IG
I S =

I N

IC =

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

Ta có








G N∥SC
SC⊂(SCD)
NG6⊂(SCD)

⇒NG∥(SCD).

Trong(ABCD), dựngH=I M∩CD. VìA I∥D Mnên ta có I M
I H =

AM
AD =

3 (Định lí Ta-lét).
Xét4I SHta có

IG
I S =

I M
I H=

3⇒G M∥SH(Định lí Ta-lét đảo).
Ta có








MG∥SH
SH⊂(SCD)
MG6⊂(SCD)

⇒MG∥(SCD).

ä
BÀI 570. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. GọiM,N,P lần lượt là trung điểm của
S A,BC,CD.

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(S AC)và(SBD).

2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(S AB)và(SCD).

3 Tìm giao điểmEcủaSBvà(M N P).

4 Chứng minhN E∥(S AP).

Lời giải.

D
F

B
E

O P

1 Ta cóO=AC∩BD⇒

(

O∈AC⊂(S AC)
O∈BC⊂(SBD).

Do đóOlà điểm chung của hai mặt phẳng(S AC)và(SBD)
màSlà điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng(S AC)và(SBD)
nênSO=(S AC)∩(SBD).

2 Ta có














AB∥CD
AB⊂(S AB)
CD⊂(SCD)
S∈(S AB)∩(SCD)

⇒(S AB)∩(SCD)=Sx∥ABvàSx∥CD.

3 GọiQ=N P∩AB⇒Qlà điểm chung của(S AB)và(M N P)
màM là điểm chung thứ hai nên(S AB)∩(M N P)=MQ.
Trong mặt phẳng(S AB)gọiE=MQ∩SB.

Ta có

(

E∈SB

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

4 Ta cóNlà trung điểm củaBCvàBQ∥CPnênBQ=CPvàNQ=N P (1).
GọiF là trung điểm củaAB, ta cóAF=BF=AB

2 =
CD

2 =CP=BQ.

Ta cóM,F là trung điểm củaS Avà ABnênMF là đường trung bình tam giácS ABnênMF∥SB.
Trong tam giácQ MFcóBlà trung điểmQFvàBE∥MF nênElà trung điểmMQ (2).

Từ(1)và(2)ta cóENlà đường trung bình tam giácQ MP⇒EN∥MP.
Mặt khác, doMP⊂(S AP)nênN E∥(S AP).

ä
BÀI 571. Cho tứ diệnABCD. Lấy điểmMtrên cạnhABsau choAM=2MB. GọiGlà trọng tâm4BCDvàIlà trung
điểmCD,Hlà điểm đối xứng củaGquaI.

1 Chứng minhGD∥(MCH).

2 Tìm giao điểmK củaMGvới(ACD). Tính tỉ số GK
G M.

Lời giải.

1 Ta cóIC=I DvàIG=I HnênGDHClà hình bình hành.
Do đóGD∥CH

màCH⊂(MCH)nênGD∥(MCH).
2 Trong mp(ABI), gọiK=A I∩MG, ta có

(

K∈A I⊂(ACD)
K∈MG

⇒K=MG∩(ACD).

Trong mp(ABI), kẻGE∥AB,(E∈A I).
Xét tam giácABI, cóGE∥AB, suy ra GE

AB=
IG
IB=

1
3⇒

AM=

1
2.
Xét tam giácAK M, cóGE∥AM, suy ra KG

K M =
GE
AM=

1
2⇒

GK
G M=1.

B
M

K
E

C
I
G

H
A

ä
BÀI 572. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. GọiI,K lần lượt là trung điểm củaBCvàCD.

1 Tìm giao tuyến của(S I K)và(S AC),(S I K)và(SBD).

2 GọiMlà trung điểm củaSB. Chứng minhSD∥(ACM).

3 Tìm giao điểmF củaD M và(S I K). Tính tỉ số MF
MD.

Lời giải.

A
M

D
S

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

1 Ta cóS∈(S I K)∩(S AC).

Trong mp(ABCD), gọiE=I K∩AC⇒

(

E∈I K⊂(S I K)

E∈AC⊂(S AC)⇒E∈(S I K)∩(S AC).
Suy raSE=(S I K)∩(S AC).

Ta có

(

S∈(S I K)∩(SBD)

BD∈(SBD),I K∈(S I K),BD∥I K ⇒(S I K)∩(SBD)=Sx, (vớiSx∥BD∥I K).
2 Trong mp(ABCD), gọiO=AC∩BD, ta cóSD∥MO. MàMO⊂(ACM), suy raSD∥(ACM).

3 Trong mp(SBD), gọiF=Sx∩D M⇒

(

S∈D M

S∈Sx⊂(S I K)⇒F=D M∩(S I K).

Ta cóSF∥BD⇒MF

MD=
MS
MB=1.

ä
BÀI 573. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. GọiGlà trọng tâm4S AB, trên ADlấy
điểmEsao choAD=3AE. GọiMlà trung điểm AB.

1 Chứng minhEG∥(SCD).

2 Đường thẳng quaEsong song ABcắtMCtạiF. Chứng minhGF∥(SCD).

3 GọiIlà điểm thuộc cạnhCDsao choC I=2I D. Chứng minhGO∥(S A I).

Lời giải.

K
S

E
L

O
F

I
N

1 GọiHlà trọng tâm tam giácSCD, ta cóGH∥M Nvà GH
M N =

2
3.
Lại cóED∥M Nvà ED

M N =
ED
AD=

2
3.

Suy raGH∥EDvàGH=ED. Suy raGHDElà hình bình hành.
Ta có

(

EG∥DH

DH⊂(SCD)⇒EG∥(SCD).
2 Ta cóM A∥EF∥CD, suy ra MF

MC=
AE
AD=

1
3.
Xét tam giácMSCcó MF

MC=
MG
MS =

3, suy raGF∥SC.
MàSC⊂(SCD). VậyGF∥(SCD).

3 Trong mp(ABCD), gọiK=A I∩M N. Ta cóSK=(SM N)∩(S A I).

GọiLlà trung điểm củaA I, ta cóOLlà đường trung bình của hình thangAM N I, suy ra

OL=AM+N I

2 =

AM+CD
6

2 =

AM+AB
6

2 =

AM+AM
3

2 =

2AM
3 ⇒

OL
AM=

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

Xét tam giácAK M, cóOL∥AM, suy ra K O
K M =

OL
AM=

2
3.
Xét tam giácSMK, có SG

SM=
K O
K M =

3, suy raGO∥SK.
MàSK⊂(S A I). VậyGO∥(S A I).

ä
BÀI 574. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. GọiMlà trung điểm củaSCvàN là trọng tâm
tam giácABC.

1 Chứng minhSB∥(AM N).

2 Tìm giao tuyến(AM N)và(S AB).

3 Tìm giao điểmIcủaSDvới(AM N). Tính tỉ số I S
I D.
4 GọiQlà trung điểm củaI D. Chứng minhQC∥(AM N).

Lời giải.

x
S

N O

1 Trong mp(ABCD), gọiO=AC∩BD.

Trong mp(S AC), gọiE=AM∩SO, ta cóElà trọng tâm tam giácS AC. Suy ra OE
OS=

1
3.

Ta cóNlà trọng tâm tam giác ABCnênON

OB =
1
3.
Xét tam giácOSBcó OE

OS =
ON
OB =

3. Suy raN E∥SB.
MàN E⊂(AM N). VậySB∥(AM N).

2 Ta có

(

A∈(S AB)∩(AM N)

SB⊂(S AB),SB∥(AM N)⇒(S AB)∩(AM N)=Ax, (vớiAx∥SB).

3 Trong mp(SBD), gọiI=N E∩SD⇒

(

I∈N E⊂(AM N)

I∈SD ⇒I=SD∩(AM N).

Ta cóN E∥SB⇒N I∥SB⇒ I S
I D=

BN
N D=

BN
BD−BN=

2BO
3
2BO−2BO

3
=12.

4 Trong mp(SBD), gọiF=N E∩BQ.

Trong mp(ABCD), gọiG=AN∩BC, vìNlà trọng tâm tam giác ABCnênGlà trung điểm củaBC.
Ta cóFG=(AM N)∩(BQC).

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

Xét tam giácD N I cóQT∥N I, suy ra N T
D N =

IQ
D I =

2
Mà BN

N D =
1

2 nênBN=N T, hayNlà trung điểm củaBT. (2)
Từ (1) và (2), ta cóFlà trung điểm củaBQ.

Do đóGF là đường trung bình của tam giácBQC. Suy raQC∥GF.
MàGF⊂(AM N). VậyQC∥(AM N).

ä
BÀI 575. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. GọiM,Nlần lượt là trung điểm củaBC,CD.

1 Tìm giao tuyến của(SMD)và(S AB).
2 Tìm giao tuyến của(SM N)và(SBD).

3 GọiHlà điểm trên cạnhS Asao choH A=2HS. Tìm giao điểmKcủaMHvà(SBD). Tính tỉ số K H
K M.
4 GọiGlà giao điểm củaBNvàD M. Chứng minhHG∥(SBC).

Lời giải.

A
H

N
x

F O

1 Trong mp(ABCD), gọiE=MD∩AB⇒

(

E∈MD⊂(SMD)

E∈AB⊂(S AB) ⇒E∈(SMD)∩(S AB).
màS∈(S AB)∩(SMD)⇒SE=(S AB)∩(SMD).

2 Ta có









M N∥BD

M N⊂(SM N),BD⊂(SBD)
S∈(SM N)∩(SBD)

⇒(SM N)∩(SBD)=Sx∥BD∥M N.

3 Trong mp(ABCD), gọiF=AM∩BD.
Trong mp(S AM), gọiK=MH∩SF⇒

(

K∈SF⊂(SBD)

K∈MH ⇒K=MH∩(SBD).

4 Trong tam giácBCD,BNvàD Mlà hai trung tuyến nênGlà trọng tâm. Từ đó ta có GC
CO=

2
3⇒

GC
AC=

1
3.
Mặt khác, doH A=2HSnên HS

S A=
1
3⇒

GC
AC=

S A ⇒HG∥SC⇒HG∥(SBC).

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

1 Chứng minhOG∥(SBC).

2 GọiMlà trung điểm của cạnhSD. Chứng minhCM∥(S AB).

3 Giả sử điểmItrên đoạnSCsao cho2SC=3S I. Chứng minhS A∥(BI D).

4 Xác định giao điểmKcủaBGvà mặt phẳng(S AC). Tính tỉ số K B
KG.

Lời giải.

A I

D
S

G
M

C
O

1 Ta cóAD∥BC⇒OD
OB =

AD
BC =2.

Mặt khác, gọiN là trung điểmSC. VìGlà trọng tâm4SCDnên GD
G N =2
⇒GD

G N =
OD

OB⇒OG∥BN⇒OG∥(SBC).

2 GọiP là trung điểmS A, ta có ngayP Mlà đường trung bình của4S AD.
Suy raP M= AD

2 =BCvàP M∥AD∥BC. Do đóP MCBlà hình bình hành.
VậyCM∥BP⇒CM∥(S AB).

3 Ta cóAD∥BC⇒O A
OC =2.
Mặt khác, vì2SC=3S I nên S I

IC=2⇒
S I
IC=

O A

OC⇒OI∥S A⇒S A∥(BI D).
4 Trong mp(BCMP), gọiK=BG∩CP

màCP∈(S AC)⇒K=BG∩(S AC).
Ta lại cóCG∥BP⇒K B

KG =
BP
CG =

CM
CG =

3
2.

ä
BÀI 577. Cho hình chópS.ABCGọiM,P, Ilần lượt là trung điểm củaAB,SC,SB. Một mặt phẳng(α)quaMP và
song song vớiACvà cắt các cạnhS A,BCtạiN,Q.

1 Chứng minhBC∥(I MP).

2 Xác định thiết diện của(α)với hình chóp. Thiết diện này là hình gì?
3 Tìm giao điểm của đường thẳngCNvà mặt phẳng(SMQ).

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

B
P

C
S

x D

1 Ta cóI P là đường trung bình của tam giácSBCnênI P∥BC⇒BC∥(I MP).

2 Ta có(α)cắtBCtạiQnên(α)∩(SBC)=PQvà(α)∩(ABC)=MQ.

Ta lại có(α)cắtS AtạiN nên(α)∩(S AB)=M Nvà(α)∩(S AC)=P N.
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giácM N PQ.

Mặt khác, do

(

(α)∥AC

AC⊂(ABC)⇒(α)∩(ABC)=MQ∥AC⇒Qlà trung điểmBC.
Tương tự ta chứng minh đượcN P∥ACvàN là trung điểmS A.

Lúc nàyN PvàMQlà đường trung bình tam giácS ACvàABCnênN P=MQ=AC

2 vàN P∥MQ.
Suy raM N PQlà hình bình hành.

3 Ta có








AC∥MQ

AC⊂(S AC),MQ⊂(SMQ)
S∈(S AC)∩(SMQ)

⇒(S AC)∩(SMQ)=Sx∥AC.

Trong mp(S AC), gọiD=CN∩Sx. Ta cóD∈Sx⊂(SMQ)vàD∈CNnênD=CN∩(SMQ).

ä
BÀI 578. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là một hình tứ giác lồi. GọiM, N là trung điểm củaSCvàCD. Gọi(α)là
mặt phẳng quaM,Nvà song song với đường thẳngAC.

1 Tìm giao tuyến của(α)với(ABCD).
2 Tìm giao điểm củaSBvà(α).

3 Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng(α).

Lời giải.

D
H

B
y
z

C
N
P

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

1 Ta có








AC∥(α)
AC⊂(ABCD)
N∈(α)∩(ABCD)

⇒(α)∩(ABCD)=N x∥AC. GọiP=N x∩ADta có(α)∩(ABCD)=N P.

2 Ta cóM Nlà đường trung bình của tam giácSCDnênSD∥M N⇒SD⇒SD∥(α).
GọiK=N P∩BD, ta có








SD∥(α)
SD⊂(SBD)
K∈(α)∩(SBD)

⇒(α)∩(SBD)=K y∥SD. GọiH=K y∩SB.
Ta cóH∈K y⊂(α)vàH∈SB⇒H=SB∩(α).

3 Ta có








SD∥(α)
SD⊂(S AD)
P∈(α)∩(S AD)

⇒(α)∩(SBD)=P z∥SD. GọiQ=P z∩S A.
(α)và(S AB)cóH,Qlà điểm chung nên giao tuyến làQH.
(α)và(S AD)cóP,Qlà điểm chung nên giao tuyến làPQ.
(α)và(ABCD)cóP,Nlà điểm chung nên giao tuyến làP N.
(α)và(SCD)cóM,Nlà điểm chung nên giao tuyến làM N.
(α)và(SBC)cóH,Mlà điểm chung nên giao tuyến làH M.
Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giácM N PQH.

ä
BÀI 579. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang vớiAB∥CD. GọiM,N,I, lần lượt là trung điểm của

AD,BC,S A.

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(I M N)và(S AC);(I M N)và(S AB).

2 Tìm giao điểm củaSBvà(I M N).

3 Tìm thiết diện của mặt phẳng(I D N)với hình chópS.ABCD.

Lời giải.

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(I M N)và(S AC);(I M N)và(S AB).
(a) Tìm giao tuyến của(I M N)và(S AC).

Ta cóI∈(S AC)∩(I M N).

Trong(ABCD)gọiE=AC∩M N⇒E∈(S AC)∩(I M N).
VậyI E=(I M N)∩(S AC).

(b) Ta cóI∈(I M N)∩(S AB)vàM Nlà đường trung bình của hình thang
ABCDnênM N∥AB. Nên giao tuyến của(I M N)và(S AB)là đường
thẳngađi quaIsong song vớiAB.

2 Ta thấySB⊂(S AB)và a=(I M N)∩(S AB). Gọi J=SB∩a, vậy J=SB∩
(I M N).

3 Ta thấy

I J=(S AB)∩(I D N),I D=(S AD)∩(I D N),D N=(ABCD)∩(I D N),N J=(SBC)∩(I D N).
Vậy thiết diện của(I D N)và hình chópS.ABCDlà tứ giácI J N D.

C
D

M E N

I J

A B

ä
BÀI 580. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO. GọiGlà trọng tâm4S AB;Nlà một điểm
thuộc đoạnACsao cho AN

AC=
1

3;Ilà trung điểm củaAB.
1 Chứng minhOI∥(S AD)vàG N∥SD.

2 Gọi(α)là mặt phẳng đi quaO, song song với S AvàBC. Mặt phẳng(α)cắtSB, SClần lượt tại Lvà K. Xác
định thiết diện cắt bởi mặt phẳng(α)với hình chóp.

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

1 Chứng minhOI∥(S AD)vàG N∥SD.
(a) Chứng minhOI∥(S AD).

Ta cóOI∥BC(OIlà đường trung bình trong4ABC) nênOI∥
AD(vìAD∥BC) màAD⊂(S AD)suy raOI∥(S AD).

(b) Chứng minhG N∥SD.
Do AN

AC =
1
3⇒

AN
AO =

3 suy raN là trọng tâm4ABD. Từ đó ta
có I N

I D =
1
3=

I S⇒G N∥SD.
2 Xác định giao điểmL=SB∩(α).

Ta thấy (α)là (K I H)với H, K lần lượt là trung điểmCD, SC. Ta
thấy SB⊂(SBC), K =(α)∩(SBC) và I H∥BC nên giao tuyến của

(α)và(SBC)là đường thẳng d đi qua K song song vớiBC. Khi đó
L=d∩SBsuy raLlà trung điểmSB.

Ta thấy

(α)∩(ABCD)=H I, (α)∩(SBC)=K L, (α)∩(S AB)=LI.
Vậy thiết diện của(α)với hình chóp là hình thangLK H I.

C
D

O
I

H
N
A

L
K

ä
BÀI 581. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO. GọiH,K lần lượt là trung điểm các cạnh
S A,SBvàMlà điểm thuộc cạnhCD, (MkhácCvàD).

1 Tìm giao tuyến của(K AM)và(SBC),(SBC)và(S AD).

2 Tìm thiết diện tạo bởi(HK O)với hình chópS.ABCD. Thiết diện là hình gì?

3 GọiLlà trung điểm đoạnHK. TìmI=OL∩(SBC). Chứng minhS I∥BC.

Lời giải.

1 Tìm giao tuyến của(K AM)và(SBC),(SBC)và(S AD).
Tìm giao tuyến của(K AM)và(SBC).

Ta cóK∈(K AM)∩(SBC). Trong(ABCD)gọiF=AM∩BC, nên
F∈(K AM)∩(SBC). Suy raK F=(K AM)∩(SBC).

Tìm giao tuyến của(SBC)và(S AD).

Ta thấy S∈(SBC)∩(S AD), mà BC∥AD nên giao tuyến của
(SBC)và(S AD)là đường thẳngd đi quaS song song vớiAD
vàBC.

2 Tìm thiết diện tạo bởi(HK O)với hình chópS.ABCD. Thiết diện là
hình gì?

Ta thấy(HK O)và(ABCD)chứa có chung điểmOvà lần lượt chứa
HKvà ABsong song với nhau nên giao tuyến là đường thẳngađi
quaOsong song với ABcắtADvàBClần lượt tạiEvàG. Ta thấy
(HK O)∩(ABCD)=EG, (HK O)∩(S AD)=HE,

(HK O)∩(S AB)=HK, (HK O)∩(SBC)=KG.Vậy thiết diện của(HK O)

và hình chóp là hình thang HKGE do HK∥AB mà AB∥EG nên
HK∥EG.

3 TìmI=OL∩(SBC). Chứng minhS I∥BC.
Trong(HKGE)gọiI=OL∩GK

màGK⊂(SBC)⇒I∈OL∩(SBC).

Trong (S AB) gọi J=SL∩AB khi đó L là trung điểm của AB do
HK∥AB.

Xét(S JO)và(SBC)ta thấy cóSlà điểm chung vàO J∥BCnên giao
tuyến là đường thẳng đidđi quaS và song song vớiBC. Mặt khác
I∈(S JO)∩(SBC)nênS I≡d. VậyS I∥BC.

C
D

G
E

J
S

K
L

ä
BÀI 582. Cho tứ diệnABCD, cóM,N lần lượt là trung điểm củaAB,BCvàGlà trọng tâm của tam giác ACD.

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

2 Tìmd=(M NG)∩(BCD). Giả sửd∩CD=P. Chứng minhGP∥(ABC).

3 Gọi(α)là mặt phẳng chứaM Nvà song song với AD. Tìm thiết diện của(α)với tứ diện.

Lời giải.

1 Tìm giao điểmEcủaMGvà(BCD).

Ta thấy (ABF)chứa MG với F là trung điểm củaDC và BF=(ABF)∩
(BCD). GọiE=MG∩BF⇒E=MG∩(BCD).

2 Tìmd=(M NG)∩(BCD). Giả sửd∩CD=P. Chứng minhGP∥(ABC).
Ta có N∈(BCD)∩(M NG)và E∈MG⊂(M NG); E∈BF⊂(BCD). Suy ra
d≡N E=(M NG)∩(BCD).

Ta thấy

(ABC)∩(EM N)=M N, (D AC)∩(ABC)=AC, (EM N)∩(D AC)=GP
màM N∥ACnênGP∥AC⇒GP∥(ABC).

3 GọiK là trung điểm củaBD, do(α)chứaM N và song song vớiADnên
(α)đi quaK. Ta thấy

(α)∩(ABD)=N K, (α)∩(ABC), (α)∩(BCD)=K N.
Vậy thiết diện của(α)và hình chóp là tam giácM N K.

M N

A K C

F
P
G

ä
BÀI 583. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. Điểm Mthuộc cạnhS Athỏa mãn3M A=2MS.
Hai điểmEvàFlần lượt là trung điểm của ABvàBC.

1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng(MEF)và(S AC).

2 Xác định giao điểmKcủa mặt phẳng(MEF)với cạnhSD. Tính tỉ số K S
K D.
3 Tìm giao điểmIcủaMFvới(SBD). Tính tỉ số I M

I F.

4 Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng(MEF)với hình chópS.ABCD.

Lời giải.

1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng(MEF)và(S AC).

Ta thấyM∈(MEF)∩(S AC)vàEF∥ACvớiEF⊂(MEF),AC∥(S AC)
nên giao tuyến của (MEF) và (S AC)là đường thẳng d đi qua M
song song vớiAC.

2 Xác định giao điểmK của mặt phẳng(MEF)với cạnhSD. Tính tỉ
số K S

K D.

Ta thấySD⊂(SBD), gọiH=EF∩BD,O=AC∩BD,L=d∩SO. Khi
đóHL=(MEF)∩(SBD), gọiK=HL∩SD⇒K=SD∩(MEF).
DoML∥ACnên M A

MS =
LO
LS=

3
2.

Xét tam giác SOD trong (SBD) vì K, L, H thẳng hàng nên theo
định lí Menelaus ta có SK

K D·
HD
HO·

LO
LS =1⇒

SK
K D·3·

3
2=1⇒

SK
K D=

2
9.
3 Tìm giao điểmIcủaMFvới(SBD). Tính tỉ số I M

I F.

Trong(MEF)gọiI=HL∩MFmàHL⊂(SBD)⇒I=MF∩(SBD).

DoML∥ACvàEF∥ACnênML∥EF. Từ đó ta suy ra I M

I F =
ML
HF =
HL

AO:
HF
AO =

2
5:

1
2=

4
5.

4 Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng(MEF)với hình chópS.ABCD.
GọiN=ML∩SC. Ta thấy(MEF)∩(S AB)=EM,

(MEF)∩(ABCD)=EF, (MEF)∩(S AD)=MK,

(MEF)∩(SCD)= K N, (MEF)∩(SBC)= N F. Vậy thiết diện của
(MEF)với hình chóp là ngũ giácEMK N F.

B C

E
F
H

O
S

N
I

D
K

M
L

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

BÀI 584. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO. GọiM,Nlà trung điểm củaS A,SD.

1 Xác định giao điểm củaNCvà(OMD).

2 Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(P)quaM Nvà song song vớiSC.

Lời giải.

1 Xác định giao điểm củaNCvà(OMD).

Ta thấy CN⊂(SCD), OM∥SC mà OM⊂(OMD), SC⊂(SCD) và
O∈(OMD)∩(SCD)nên giao tuyến của (OMD)và(SCD)là đường

thẳng d đi quaD và song song vớiOM, SC. GọiK=d∩NC⇒K=
NC∩(OMD).

2 Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P)quaM N và
song song vớiSC.

Ta thấy(P)≡(OM N).

Xác định giao tuyến của(OM N)và(SCD).

Ta thấyN∈(OM N)∩(SCD)vàOM∥SCnên giao tuyến của(OM N)
và(SCD)là đường thẳng đi quaNsong song vớiSCcắtCDtạiIlà
trung điểmCD.

GọiJ=OI∩AB. Ta thấy(OM N)∩(S AB)=J M,

(OM N)∩(S AD)=M N, (OM N)∩(SCD)=I N, (OM N)∩(ABCD).Vậy
thiết diện của mặt phẳng(P)với hình chóp là hình thangM N I J.

B C

O I

M N

BÀI 585. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. GọiM là trung điểm củaSC,(P)là mặt phẳng
quaAMvà song song vớiBD.

1 Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng(P).

2 GọiE,F lần lượt là giao điểm của(P)với cạnhSBvàSD. Hãy tìm tỉ số diện tích của tam giácSMEvới diện
tích tam giácSBCvà tỉ số diện tích của tam giácSMFvà diện tích tam giácSCD.

3 GọiK là giao điểm củaMEvàCB, Jlà giao điểm củaMF vàCD. Chứng minh ba điểmK,A, Jnằm trên một
đường thẳng song song vớiEFvà tìm tỉ số EF

K J.

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

1 Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
mặt phẳng(P).

Trong(ABCD)quaAkẻ đường thẳng song song
BD cắtBC và CD lần lượt tại K và J. Khi đó
(P)≡(MK J). Gọi E=MK∩SB, F =CD∩SD.
Khi đó, ta thấy(P)∩(S AB)=E A, (P)∩(SBC)=
EM, (P)∩(SCD)=MF, (P)∩(S AD)=AF. Vậy
thiết diện của (P) với hình chóp là tứ giác
AEMF.

2 Tính tỉ số diện tích của tam giácSMEvới diện
tích tam giác SBC và tỉ số diện tích của tam
giácSMFvà diện tích tam giácSCD.

Ta cóS4SME
S4SBC =

SE
SB·
SM
SC =
2
3·
1
2=
1

3. (VìElà giao
điểm của hai đường trung tuyếnK MvàSBnên
Elà trọng tâm của tam giácSCK.)

Tương tự ta cóS4SMF
S4SCD =

SF
SD·
SM
SC =
2

3·
1
2=
1
3. (Vì
F là giao điểm của hai đường trung tuyếnJ M
vàSDnênF là trọng tâm của tam giácSC J.)
3 Chứng minh ba điểm K, A, J nằm trên một

đường thẳng song song vớiEF và tìm tỉ số EF
K J.
Ta có
SE
SB=
2
3=
SF

SD⇒EF∥K J⇒
EF
K J=

ME
MK =
1
3.
A
B C
D
K

S
F
J
M
E
ä
BÀI 586. Cho hình chópS.ABCDcóG là trọng tâm4ABC. Gọi M, N, P,Q, R, Hlần lượt là trung điểm của S A,
SC,CB,B A,Q N,AG.

1 Chứng minh rằngS,R,Gthẳng hàng vàSG=2MH=4RG.

2 GọiG0là trọng tâm4SBC. Chứng minh rằngGG0∥(S AB)vàGG0∥(S AC).

Lời giải.

1 Chứng minh rằngS,R,Gthẳng hàng vàSG=2MH=4RG.
GọiE,F lần lượt là trung điểm củaACvàSBkhi đó ta cóQEN F
là hình bình hành (doEQ=N F=1

2BC, EQ∥BC∥N F) nên R là
trung điểm củaEF. Ta thấyS∈(SQC)∩(SEB),G∈(SQC)∩(SEB),
R∈(SQC)∩(SEB)suy raS,R,Gthẳng hàng.

VìM,Hlần lượt là trung điểm củaS A, AGnênSG=2MH.
Xét4SGB vìE,R,Fthẳng hàng nên theo định lí Menelaus ta có

RS
RG·

EB·

FB
F S=1⇒

RS
RG·

3·1=1⇒
RS

RG=3⇒SG=4RG.
2 Chứng minh rằngGG0∥(S AB)vàGG0∥(S AC).

Xét4S AP có PG
0
P S =

1
3=

PG
P A ⇒GG

0∥S A màS A⊂(S AB)vàS A⊂
(S AC)nên suy raGG0∥(S AB),GG0∥(S AC).

D
E
G
H
S
F
B
P
G0
N
Q
M
A
R
ä

BÀI

3.

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

1

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG PHÂN BIỆT

Cho đường thẳngdvà mặt phẳng(P). Có ba trường hợp xảy ra:

(P),(Q)có 1 điểm chung:(P)∩(Q)=a

(P),(Q)khơng có điểm chung:(P)∥(Q)
Định nghĩa 1. Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng khơng có điểm chung.

2

CÁC ĐỊNH LÍ

Định lí 1. Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b
cùng song song với mặt phẳng(β)thì(α)song song với(β). α

a b

β

!

Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta phải chứng minh có hai đường thẳng cắt nhau
thuộc mặt phẳng này lần lượt song song với mặt phẳng kia.

Muốn chứng minh đường thẳng a∥(Q), ta chứng minh đường thẳng a nằm trong mặt phẳng
(P)∥(Q).

Định lí 2. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ
một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. α

β

Hệ quả 1. Nếu đường thẳngdsong song với mặt phẳng(α)thì trong(α)có một đường thẳng song song
vớidvà quad có duy nhất một mặt phẳng song song với(α). Do đó đường thẳngd song song với(α)ta
phải chứng minhdthuộc mặt phẳng(β)và có(α)∥(β)⇒d∥(α).

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Cho điểm Akhơng nằm trên mặt phẳng(α). Mọi đường thẳng đi qua Avà song song với(α)đều nằm
trong mặt phẳng đi quaAvà song song với(α).

Định lí 3. Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng
này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

α

β

A A0

B B0

a b

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

Định lí 4. Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai
cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. α

β

γ

A A

B B0

3

VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Cho hình chópS.ABCDvới đáyABCDlà hình thang màAD∥BCvàAD=2BC. GọiM, Nlần lượt
là trung điểm củaS AvàAD. Chứng minh:(BM N)∥(SCD).

Lời giải.

VìNlà trung điểm củaADnênN A=N D=AD
2 =BC.

Tứ giácNBCDcóN D=BCvàN D∥BCnênNBCDlà hình bình hành, suy
raNB∥CD⇒NB∥(SCD).

Tam giácS AD có M, N lần lượt là trung điểm của AS và ADnên M N là
đường trung bình của4ADS, suy raM N∥SD⇒M N∥(SCD).

Từ

(

M N∥(SCD), M N⊂(BM N)

BN∥(SCD), BN⊂(BM N) ⇒(BM N)∥(SCD).

B C

A D

B

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 587. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hành tâmO. GọiM,N,P lần lượt là trung điểmS A,SB,SD
vàK,Ilà trung điểm củaBC,OM.

Chứng minh(OM N)∥(SCD).

1 2 Chứng minh(P M N)∥(ABCD).

Chứng minhK I∥(SCD).
3

Lời giải.

1 Ta có O, M lần lượt là trung điểm của ACvà S A

nênOM∥SC, suy raOM∥(SCD). Tương tự ON∥
(SCD).

Khi đó(OM N)∥(SCD).

2 Ta có N, M lần lượt là trung điểm củaSBvà S A
nênM N∥AB, suy raM N∥(ABCD). Tương tựP M∥
(ABCD). Vậy(P M N)∥(ABCD).

3 Ta cóO, K lần lượt là trung điểm của AC vàBC
nênOK∥AB, suy raOK∥M N. Khi đó 5điểm M,
N,K,O,Iđồng phẳng.

Từ câu trên(OM N)∥(SCD), thìK I∥(SCD).

N
Q
P

B
O

C
D

K
I

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

1 Chứng minh(OM N)∥(SBC).

2 GọiP,Q,Rlần lượt là trung điểm của AB,ON,SB. Chứng minhPQ∥(SBC)và(ROM)∥(SCD).

Lời giải.

1 Ta có O, M lần lượt là trung điểm của AC vàS A
nênOM∥SC, suy raOM∥(SBC). Tương tựON∥
(SBC).

Khi đó(OM N)∥(SBC).

2 Ta cóO, P lần lượt là trung điểm của AC và B A
nên OP∥CB, suy ra OP∥(SBC) hay P∈(OM N).
Mặt khácQ∈(OM N).

Theo trên(OM N)∥(SBC)thìPQ∥(SBC).

Ta có R, Olần lượt là trung điểm của SB vàBD
nênRO∥SD, suy raRO∥(SCD).

Theo trênOM∥SCnênOM∥(SCD).
Vậy(ROM)∥(SCD).

R
S

B
P

C
D

ä
BÀI 589. Cho hai hình bình hànhABCDvàABEF có chung cạnhABvà khơng đồng phẳng. GọiI, J,K lần lượt là
trung điểmAB,CD,EF. Chứng minh

(ADF)∥(BCE).

1 2 (D I K)∥(JBE).

Lời giải.

1 Ta có AD∥BC, suy raAD∥(BCE). Tương tự
AF∥(BCE).

Khi đó(ADF)∥(BCE).

2 Trong hình bình hànhABCDcóI,Jlần lượt
là trung điểm của AB và CD nênBI=D J.
Do đóIBJD là hình bình hành. Suy raD I∥
BJnênD I∥(JBE).

Trong hình bình hànhABEFcóI,Klần lượt
là trung điểm của AB và EF nên I K ∥EF,
suy raI K∥(JBE).

Vậy(D I K)∥(JBE).

I
F

A B

C
D

ä
BÀI 590. Cho hai hình bình hành ABCDvà ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéoAC,
BFlấy các điểmM,Nsao choMC=2AM,N F=2BN. QuaM,Nlần lượt kẻ các đường thẳng song song với cạnhAB,

cắt các cạnhAD,AF theo thứ tự tạiM1,N1. Chứng minh rằng

M N∥DE.

1 2 M1N1∥(DEF). 3 (M N M1N1)∥(DEF).

Lời giải.

A B

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

1 GọiIlà giao điểm củaBMvớiCD. Khi đó ta có BM
M I =

AM
MC =

2. Mặt khác
BN
N F=

1
2.
Khi đóM N∥I F.

Theo trên AM
MC=

1
2nên

AB
C I =

2. Suy raD I=CD=AB.
Lại cóD I∥EF. Do đóDEF Ilà hình bình hành, hayF I∥DE.
VậyM N∥DE.

2 Theo giả thiết thìM M1∥N N1(vì cùng song song vớiAB) nênM,M1,N,N1đồng phẳng.

Lại cóM M1∥(DEF)(vìM M1∥CD∥AB) và theo câu trên thìM N∥DEnênM N∥(DEF).

Vậy(M M1N1N)∥(DEF), suy raM1N1∥(DEF).

3 Đã chứng minh ở câu 2.

ä
BÀI 591. Cho hai hình bình hànhABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Gọi I, J,K theo thứ tự là
trọng tâm các tam giácADF, ADC,BCE. Chứng minh rằng(I JK)∥(CDF E).

Lời giải.

Ta có CD∥EF∥AB nên CD và EF đồng
phẳng.

GọiM, N lần lượt là trung điểm củaDF,
CD. Khi đó, vì I, J lần lượt là trọng tâm
tam giácADF,ADCnên

A I
AM=

2
3=

A J

AN ⇒I J∥M N⇒I J∥(CDEF).
Mặt khác, gọiP là trung điểmCE. Khi đó
BK

BP =
2
3.

Ta cóABCD,ABEFlà hình bình hành nên
CDF Ecũng là hình bình hành. Khi đó với
M, P là trung điểm của hai cạnh đối của
hình bình hànhCDF E nênMP∥CD∥AB
suy raI K∥MP∥AB. Do đóABP K cũng là
hình bình hành. Ta có A I

AM=
2
3=

BK
BP. Suy
raI K∥M N. Khi đóI K∥(CDF E).

Vậy(I JK)∥(CDF E).

P K

J
I

A B

C
D

ä
BÀI 592. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hành tâmO. GọiM,N,Plần lượt là trung điểmS A,BC,CD.

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(S AD)và(MOP).

2 GọiElà trung điểm củaSCvàIlà điểm trên cạnhS AthỏaA I=3I S. TìmK=I E∩(ABC)vàH=AB∩(E I N).
Tính tỉ số AH

AB.

3 GọiGlà trọng tâm tam giácSBC. Tìm thiết diện hình chópS.ABCbị cắt bởi(I MG).

Lời giải.

N
Q

P
S

H
G
E

A B

C
D

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

1 Ta cóO,P lần lượt là trung điểm củaACvàCDnênOP∥AD, suy raOP∥(S AD).

Khi đó giao tuyến của(S AD)và(OMP)là đường thẳng quaM và song song với ADvà cắtSD tại trung điểm
QcủaSD.

2 Xét mặt phẳng(S AC)có S I
S A=

1
46=

1
2=

SC suy raI EcắtACtạiK.
Khi đóK=I E∩(ABC).

Áp dụng định lý Menelaus trong tam giácS ACvới ba điểmK,E,Ithẳng hàng có
K C

K A·
I A
I S·

ES
EC=1⇔

K C
K A·

1·1=1⇔
K C
K A =

1
3.
Áp dụng định lý Menelaus trong tam giácABCvới ba điểmK,N,Hthẳng hàng có

K C
K A·

H A
HB·

NB
NC=1⇔

3·

H A

HB·1=1⇔
H A
HB=3.
Khi đó AH

AB=
3
4.

3 Ta thấy mặt phẳng(I MG)cũng chính là mặt phẳng(S AG).

VìGlà trọng tâm tam giácSBCvàN là trung điểmBCnên(I MG)∩(SBC)=SN.
Vậy thiết diện hình chópS.ABCbị cắt bởi(I MG)là tam giácS AN.

ä
BÀI 593. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO. GọiM,N lần lượt là trung điểm củaS A
vàCD. GọiElà giao điểm củaADvà(BM N),Ilà trung điểm củaMEvàG=AN∩BD.

Tìm điểmEvà giao điểmF củaSDvới mặt phẳng(BM N). Chứng minhF S=2F D.
1

Chứng minhFG∥(S AB)và(CD I)∥(S AB).
2

GọiHlà giao điểm củaM NvàSG. Chứng minhOH∥GF.
3

Lời giải.

E
F

B C

O N

D
M

H
G

1 Trong mặt phẳng(ABCD)kéo dàiBN cắt đường thẳngADtạiE. Khi đóElà giao điểm của(BM N)vớiAD.
GọiF là giao điểm củaMEvớiSD. Khi đóF là giao điểm củaSDvới(BM N).

Vì ED
E A =

D N
AB =

2 nênD là trung điểm của đoạn AE. Từ đó suy raSD vàEM là các đường trung tuyến của
tam giácS AE. Suy raF là trọng tâm tam giácS AE. VậyF S=2F D.

2 Tam giácDG Nvà tam giácBG Ađồng dạng nên GD
GB=

D N
B A =

1
2.
Từ đó suy ra GD

GB=
F D

F S. NênFG∥SB⇒FG∥(S AB).
Ta cóCD∥ABvàD I∥M A. Từ đó suy ra(CD I)∥(S AB).

3 Ta cóGlà trọng tâm tam giác ACD. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giácS AGvới bộ ba điểm thẳng hàng
M,H,N, ta có

NG
N A·

M A
MS ·

HS
HG=1⇔

1
3·1·

HS
HG=1⇔

HS
HG =3.
Ta cũng có OG

OB=
OG
OD=

3⇒OH∥SB.

Theo chứng minh trên ta cũng cóGF∥SB. VậyOH∥GF.

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

BÀI 594. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. Gọi Mlà trung điểm củaSC, N là điểm
trên đường chéoBDsao choBD=3BN.

Xác định giao tuyến của mặt phẳng(SCD)và(S AB)và tìmT=D M∩(S AB). TínhT M

T D. ĐS:

T M
T D =

1
2
1

GọiK=AN∩BC. Chứng minh rằngMK∥(SBD).
2

GọiI=AN∩DC,L=I M∩SD. Tính tỉ số LS
LD và

SI K M

SI AL

. ĐS: LS

LD=
1
2;

SI K M

SI AL =

3
8

3

Lời giải.

D
M

C
L

O
N

1 Mặt phẳng(S AB)và(SCD)lần lượt chứa hai đường thẳng song song là ABvàCD nên giao tuyến của
chúng là đường thẳngd quaSvàd∥AB∥CD.

Trong mặt phẳng(SCD)kéo dàiD McắtdtạiT. Khi đóT∈d⇒T∈(S AB). VậyT=D M∩(S AB).
DoCD∥STnên hai tam giácMCDvàMSTđồng dạng. Do đó MT

MD=
MS

MC=1. Vậy
T M
T D =

1
2.
2 Vì BN

BD =
1
3⇒

BN
BO =

3. Do đóN là trọng tâm tam giácABC.

Suy raK là trung điểm củaBC. Dẫn đếnMK là đường trung bình của tam giácSBC.
NênMK∥SB⇒MK∥(SBD).

3 Tam giácI K Cvà tam giác I ADđồng dạng nên IC
I D=

K C
AD=

1
2.

Áp dụng định lý Menelaus trong tam giácSCDvới bộ điểm thẳng hàng I,M,Lta có
LS

LD·
I D
IC·

MC
MS=1⇔

LD·2·1=1⇔
LS
LD=

1
2.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giácI DLvới ba điểm thẳng hàngS,M,Cta có
SD

SL·

ML
M I ·

C I

CD=1⇔3·
ML

M I ·1=1⇔
ML

M I =
1
3.
Từ đó suy raI M=3

4I L.

Gọih,klà lượt là độ dài đường cao các tam giác I K M vàI ALkẻ từM vàL. Dễ thấy rằng h
k=

I M
I L =

3
4.
Vậy

SI K M

SI AL =

1
2h·I K

1
2k·I A

=34·12=38.

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

Chứng minh rằng(ADF)∥(BCE).

1 2 Chứng minh rằng(CDF)∥(M M0N0N).

Lời giải.

A
M0
N0

C
D

E
F

1 Ta có








AD∥BC
AF∥BE
AD∩AF=A

⇒(ADE)∥(BCF).

2 Ta có

M M0∥CD⇒AM
AC =

AM0

AD (1)

Ta cũng có

N N0∥AB⇒BN
BF =

AN0

AF (2)

Mà từ giả thiết ta có

AM
AC =

BN
BF ⇒

AM0
AD =

AN0

AF (3)

Từ(3)suy raM0N0∥DF. Ta cũng cóM M0∥N N0∥DC∥F E.
Vậy(CDF)∥(M M0N0N).

ä
BÀI 596. Cho hình lăng trụABC.A0B0C0. Gọi I, J,K lần lượt là trọng tâm các tam giácABC,ACC0, A0B0C0. Chứng
minh rằng(I JK)∥(BCC0B0)và(A0JK)∥(A IB0).

Lời giải.

A C

B
I

A0 C0

P
K

1 GọiM,N,P lần lượt là trung điểm củaBC,CC0vàB0C0. Theo tính chất của trọng tâm tam giác ta có
A I

AM =
A J

AN ⇒I J∥M N.
Tứ giác AMP A0là hình bình hành và có A I

AM =
AK
AP =

3⇒I K∥MP.
Vậy(I JK)∥(BCC0B0).

2 Chú ý rằng mặt phẳng(A IB0)chính là mặt phẳng(AMB0). Mặt phẳng(A0JK)chính là mặt phẳng(A0CP).
Vì AM∥A0P,MB0∥CP(do tứ giácB0MCP là hình bình hành). Vậy ta có(A0JK)∥(A IB0).

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

BÀI 597. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang với đáy lớn ADvà AD=2BC,M∈BC. Gọi(P)là mặt
phẳng đi quaM,(P)∥CD, (P)∥SC,(P)cắtAD,S A,SBlần lượt tạiN,P,Q.

Chứng minh rằngNQ∥(SCD)vàN P∥SD.
1

GọiH,K lần lượt là trung điểm củaSDvàAD. Chứng minh rằng(CHK)∥(S AB).
2

Lời giải.

B
Q

C
M

K D

P
S

1 - TừMta kẻ đường thẳng song song vớiCDcắtADtạiNvà cắtABtạiE.
TừMkẻ đường thẳng song song vớiSCcắtSBtạiQ. Kéo dàiEQcắtS AtạiP.
Theo cách dựng ta suy ra(EP N)∥(SCD)vàNQ⊂(EP N). VậyNQ∥(SCD).

- Do(P)∥(SCD) và hai mặt phẳng này cùng cắt(S AD) theo các giao tuyến là N P và SD. Do đó ta suy ra
N P∥SD.

2 Ta cóHKlà đường trung bình của tam giácS AD nênHK∥S A (1)
VìK là trung điểm củaADnênAK=BC. Do đó tứ giácABCK là hình bình hành. Suy raCK∥AB (2)
Từ(1)và(2)suy ra(CK H)∥(S AB).

ä
BÀI 598. Cho hình chópS ABC cóGlà trọng tâm tam giác ABC. Trên đoạn S Alấy hai điểmM, N sao choSM=
M N=N A.

Chứng minh rằngG M∥(SBC).
1

GọiDlà điểm đối xứng vớiAquaG. Chứng minh rằng(MCD)∥(NBG).
2

GọiH=D M∩(SBC). Chứng minh rằngHlà trọng tâm tam giácSBC.

3

Lời giải.

A
M

B
G

C
D
H

1 GọiElà trung điểm củaBC. Khi đó ta có AG
AE=

AM
AS =

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

2 Từ giả thiết ta suy raG,Nlần lượt là trung điểm củaADvàAM. Do đóNG∥MD (1) (1)
Từ giácBDCGcóElà trung điểm của hai đường chéo nên đó là hình bình hành. Suy raBG∥CD (2)

Từ(1)và(2)suy ra(MCD)∥(NBG).

3 Ta có AElà đường trung tuyến của tam giácSBC (3)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giácS AEvới ba điểm thẳng hàngM,H,Dta có
HS

HE· ·
DE
D A·

M A
MS =1⇔

HS
HE·

4·2=1⇔
HS

HE=2 (4)

Từ(3)và(4)suy raHlà trọng tâm tam giácSBC.

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

BÀI

4.

BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG 2

BÀI 1. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO.

Tìm giao tuyến của(S AB)và(SCD).

1

GọiElà trung điểm củaSC. Chứng minhOE∥(S AB).
2

GọiF là điểm trên đoạnBDsao cho3BF=2BD. Tìm giao điểmM củaSBvà(AEF). Tính tỉ số SM
SB.
3

Lời giải.

Ta có








AB∥(SCD)
AB⊂(S AB)
S∈(S AB)∩(SCD)

⇒(S AB)∩(SCD)=Sx∥AB.
1

Ta có









OE∥S A (đường trung bình)
S A⊂(S AB)

OE6⊂(S AB)

⇒OE∥(S AB).
2

Trong mặt phẳng(S AC)cóI=SO∩AE.
Suy ra

(

I∈(SBF)
I∈(AEF).








SB⊂(SBF)

F I=(SBF)∩(AEF)
M=F I∩SB

⇒M∈SB∩(AEF).
Ta có

3BF=2BD
⇒ 3(OB+OF)=4OD
⇒ 3OD+3OF=4OD
⇒ 3OF=OD

⇒ OF

OD=
1

3. (8.1)

Mặt khác4IOEv4I SM(g.g), suy ra OE
SM=

OI
S I =

1
2suy ra
OI

OS=

3 (2)

Từ (1) và (2) suy raF I∥SD, suy raMF∥AD.
MàF D=2

3OD=
1

3BD, suy raSM=
1
3SB.
Vậy SM

SB =
1
3.
3

F
I

D
S

ä
BÀI 2. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO. GọiI,Jlần lượt là trọng tâm tam giácS AB
vàS AD. GọiM,Nlần lượt là trung điểm củaS A,SB.

Chứng minhI J∥(ABCD).

1 2 Chứng minh(OM N)∥(SDC).

Tìm giao tuyến của(S AB)và(SDC).

3 4 Tìm giao điểm củaBCvà(OM N).

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

GọiP,Qlần lượt là trung điểm củaABvàAD, ta có:
S I

SP =
S J
SQ=

3.
Suy raI J∥PQ.








I J∥PQ
PQ⊂(ABCD)
I J6⊂(SBCD)

⇒I J∥(ABCD).
1

Xét hai mặt phẳng(OM N)và(SCD)có:








M N∥CD (cùng song song AB)
MO∥SC

M=M N∩MO

⇒








M N∥(SCD)
MO∥(SCD)
M=M N∩MO

⇒(OM N)∥
(SCD).

2

Ta có








AB∥(SCD)
AB⊂(S AB)

S∈(S AB)∩(SCD)

⇒(S AB)∩(SCD)=Sx∥AB.
3

GọiR là trung điểmBC, dễ dàng chứng minhM N∥RQ.
Ta có








BC⊂(ABCD)

(OM N)∩(ABCD)=RQ
R=BC∩RQ

⇒R=BC∩(OM N).
4

A
N

R C

D
J

M
S

I Q

BÀI 3. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCD là hình bình hành tâmO. GọiH, I, K, Llần lượt là trung điểm của
S A,SC,OB,SD.

Xác định giao tuyến của mặt phẳng(S AC)và(SBD);(H I K)và(SBD).
1

Chứng minhOLsong song với(H I K).
2

Xác định thiết diện của hình chópS.ABCDbị cắt bởi mặt phẳng(H I K).
3

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

Ta có

(

SO⊂(S AC)

SO⊂(SBD)⇒SO=(S AC)∩(SBD).
GọiMlà giao điểm củaSOvàH I, ta có:














K∈BO⊂(SBD)
K∈(H I K)
M∈SO⊂(SBD)
M∈H I⊂(H I K)

⇒MK=(H I K)∩(SBD).
1

Trong tam giác S AC có H I∥AC nên theo định lí Talet ta có
SM

SO =
1

2, suy ra Mlà trung điểmSO.

Trong tam giácSOB cóMK∥SB (tính chất trung bình), trong
tam giácSBD cóOL∥SB (tính chất trung bình). Do đó,OL∥
MK.

Ta có








OL∥MK
MK⊂(H I K)
OL6⊂(H I K)

⇒OL∥(H I K).
2

GọiN,P lần lượt là trung điểm củaABvàBC, từ đó dễ dàng
chứng minh đượcN, K, P thẳng hàng. GọiQ là giao điểm của
MK vàSD.

Suy raN P∥AC⇒N P∥H I(tính chất trung bình).

Ta có




















H N=(H I K)∩(S AB)
P I=(H I K)∩(SBC)
Q I=(H I K)∩(SCD)
HQ=(H I K)∩(S AD)
N P=(H I K)∩(ABCD).

Do đó, thiết diện tạo bởi (H I K)và hình chóp S.ABCD là ngũ

giácH N P IQ.

3

M
Q

N
A

O
K

P C

D
I

ä
BÀI 4. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang cạnh đáy lớnAD. GọiE,F lần lượt là các điểm trên hai
cạnhS A,SDthỏa mãn điều kiện SE

S A=
SF
SD=

3. GọiGlà trọng tâm tam giácABC.

Tìm giao tuyến của(S AB)và(SCD), của(S AD)và(SBC).
1

Tìm giao điểmHcủaCDvà(EFG).
2

Chứng minhEG∥(SBC).
3

Xác định thiết diện của hình chópS.ABCDbị cắt bởi(EFG). Nó là hình gì?
4

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

GọiIlà giao điểm củaABvàCD, ta có:















S∈(S AB)
S∈(SCD)
I∈AB⊂(S AB)
I∈CD⊂(SCD)

⇒S I=(S AB)∩(SCD).

Ta có














BC∥AD
AD⊂(S AD)
BC⊂(SBC)

S∈(S AB)∩(SBC)

⇒(S AD)∩(SBC)=Sx∥BC.
1

Theo định lí Talet thìEF∥AD, lấy điểmK trênABsao cho AK
AB=

2
3, do
đó:

Cũng theo định lí Talet thìKG∥BCmàBC∥ABnênEF∥KG.
GọiHlà giao điểm củaKGvàCD, ta có:

(

H∈CD

H∈K H⊂(EFG)⇒H∈CD∩(EFG).
2

Ta có








EF∥BC⊂(SBC)
EK∥SB⊂(SBC)
E=EF∩EK

⇒(EFG)∥(SBC)⇒EG∥(SBC).
3

Ta có

























EF=(EFG)∩(S AD)
F H=(EFG)∩(SBD)
K H=(EFG)∩(ABCD)
EK=(EFG)∩(S AB)
∅=(EFG)∩(SBC)
EF.

Vậy mặt phẳng(EFG)cắt hình chópS.ABCDlà hình thangEF HK.
4

A
E

G
K

BÀI 5. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. GọiGlà trọng tâm4S AB. Lấy điểmMthuộc cạnh
ADsao choAD=3AM.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(S AD)và(GCD).
1

Tìm giao điểmIcủaCDvà mặt phẳng(SG M).
2

Chứng minhMGsong song(SCD).
3

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

Lấy điểmNtrênS Asao choSN=2

3S A, ta có:

(

G N∥AB

AB∥CD ⇒G N∥CD⇒G N⊂(GCD).

Do đó,













N∈S A⊂(S AD)
N∈GD⊂(GCD)
D∈(S AD)
D∈(GCD)

⇒N D=(GCD)∩(S AD).
1

GọiPlà trung điểmABvàIlà giao điểm củaP MvàCD, ta có:

(

I∈CD

I∈P M⊂(SG M)⇒I∈CD∩(SG M).
2
Ta có







CD∥G N
G N⊂(G M N)
CD6⊂(G M N)

⇒CD∥(G M N). (1)

AN
AS =

AM
AD =

3, theo định lí Talet ta đượcM N∥SD.








SD∥M N
M N⊂(G M N)
SD6⊂(G M N)

⇒SD∥(G M N). (2)

Từ (1) và (2) suy ra,(SCD)∥(G M N)⇒G M∥(SCD).
3
N
M
I
A
G
P
B
O
C
D
S
ä
BÀI 6. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. GọiM,N lần lượt là trung điểmS A,SB.

Tìm giao tuyến của(MBC)và(S AD).
1

Chứng minh(M N∥(SCD).
2

GọiI=D M∩CN. Chứng minhS I∥(N AD).
3

Lời giải.

GọiP là trung điểm củaSD, ta có:

(

MP∥AD

AD∥BC ⇒MP∥BC⇒MP⊂(MBC).













M∈(MBC)
M∈(S AD)
P∈SD⊂(S AD)
P∈MP⊂(MBC)

⇒MP=(MBC)∩(S AD).
1
Ta có







M N∥AB∥CD
CD⊂(SCD)
M N6⊂(SCD)

⇒M N∥(SCD).
2

Ta có M N=1
2AB=

2CD suy ra M N là đường trung
bình của4ICD, do đóMlà trung điểm I D.

Dễ dàng chứng minh4MS I= 4M AD(c.g.c).
Suy raS I M=AD M⇒S I∥AD(so le trong).








S I∥AD

AD⊂(N AD)
S I6⊂(N AD)

</div>

Hướng dẫn giải các dạng toán đường thẳng và mặt phẳng trong không gian quan hệ song song

<b>CHƯƠNG</b>

<b>7</b>

<b>ĐƯỜNG</b>

<b>THẲNG</b>

<b>VÀ</b>

<b>MẶT</b>

<b>PHẲNG</b>

<b>TRONG</b>

<b>KHÔNG</b>

<b>GIAN</b>

<b>BÀI</b>

<b>1.</b>

<b>ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT</b>

<b>PHẲNG</b>

<b>A</b>

<b>TĨM TẮT LÝ THUYẾT</b>

<b>B</b>

<b>DẠNG TỐN VÀ BÀI TẬP</b>

<b>1</b>

<b>2</b>

<b>3</b>

<b>1</b>

<b>2</b>

<b>3</b>

<b>1</b>

<b>2</b>

<b>3</b>

<b>1</b>

<b>2</b>

<b>3</b>

<b>1</b>

<b>2</b>

<b>3</b>

<b>CHƯƠNG</b>

<b>8</b>

<b>ĐƯỜNG</b>

<b>THẲNG</b>

<b>VÀ</b>

<b>MẶT</b>

<b>PHẲNG</b>

<b>TRONG</b>

<b>KHÔNG</b>

<b>GIAN.</b>

<b>QUAN</b>

<b>HỆ</b>

<b>SONG</b>

<b>SONG</b>

<b>BÀI</b>

<b>1.</b>

<b>HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.</b>

<b>A</b>

<b>TĨM TẮT LÝ THUYẾT</b>

<b>B</b>

<b>DẠNG TỐN VÀ BÀI TẬP</b>

<b>1</b>

<b>2</b>

<b>3</b>

<b>1</b>

<b>2</b>

<b>3</b>

<b>BÀI</b>

<b>2.</b>

<b>ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG</b>

<b>A</b>

<b>TĨM TẮT LÝ THUYẾT</b>

<b>B</b>

<b>DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP</b>

<b>1</b>

<b>1</b>

<b>BÀI</b>

<b>3.</b>

<b>HAI MẶT PHẲNG SONG SONG</b>

<b>1</b>

<b>2</b>

<b>!</b>

<b>3</b>

<b>B</b>

<b>BÀI TẬP ÁP DỤNG</b>

<b>BÀI</b>