Tổng hợp kiến thức và bài tập trắc nghiệm có hướng dẫn chi tiết chuyên đề Tích vô hướng của hai vect

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.02 MB, 29 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

§

1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ

TỪ 00 ĐẾN 1800

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 
1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.Với mỗi góc 00 1800 , ta xác định 
điểm M trên trên đường nửa đường tròn đơn vị tâm O sao cho xOM. Giả sử
điểm M có tọa độ x y; .

Khi đó:

y x

y

x y

0 0 0

sin ; cos x; tan ( 90 ); cot ( 0 , 180 )Các
số sin , cos , tan , cot được gọi là giá trị lượng giác của góc .

Chú ý: Từ định nghĩa ta có:

 Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox, Oy khi đó M OP OQ; .
 Với 00 1800

ta có 0 sin 1; 1 cos 1
 Dấu của giá trị lượng giác:

Góc 00

900 1800

sin + +

cos + -

tan + -

cot + -

2. Tính chất

 Góc phụ nhau  Góc bù nhau 
0

0
0
0

sin(90 ) cos
cos(90 ) sin
tan(90 ) cot
cot(90 ) tan

0
0
0

sin(180 ) sin
cos(180 ) cos
tan(180 ) tan
cot(180 ) cot
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800
sin

0 1
2

2
2

3
2 1

3
2

2
2

2 0

cos

1 3
2

2
2

2 0

1
2

2
2

2 –1

tan

0 3

3 1 3  3 1

3
3 0

cot 

3 1 3

3 0

3 1 3 

4. Các hệ thức lượng giác cơ bản

2

Chương

x
y

P
O

M(x;y)

Q

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

0 0

0 0 0

2 2

2 0

2 0 0

2
sin

1) tan ( 90 ) ;
cos

cos

2) cot ( 0 ; 180 )
sin

3) tan .cot 1 ( 0 ; 90 ; 180 )
4) sin cos 1

5) 1 tan ( 90 )

cos
1

6) 1 cot ( 0 ; 180 )
sin

Chứng minh:

- Hệ thức 1), 2) và 3) dễ dàng suy ra từ định nghĩa.
- Ta có sin OQ, cos OP

Suy ra OQ OP OQ OP

2 2

2 2 2 2

sin cos

+ Nếu 0 ,0 900 hoặc 1800 thì dễ dàng thấy sin2 cos2 1
+ Nếu 0 ,0 900 và 1800 khi đó theo định lý Pitago ta có

sin2 cos2 OQ2 OP2 OQ2 QM2 OM2 1
Vậy ta có sin2 cos2 1

Mặt khác

2 2 2

sin cos sin 1

1 tan 1

cos cos cos suy ra được 5)
Tương tự

2 2 2

cos sin cos 1

1 cot 1

sin sin sin suy ra được 6)

Câu 1. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. tan 180



oa



 tana. B. cos 180



o a



 cosa.
C. sin 180



oa



sina. D. cot 180



oa



 cota.

Lời giải 
Chọn B.

Lý thuyết “cung hơn kém 180”

Câu 2.Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?

A. sin 180







 sin. B. cos 180







cos
C. tan 180







tan. D. cot 180







 cot

Lời giải 
Chọn D.

Mối liên hệ hai cung bù nhau.

Câu 3.Cho  và  là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?
A. sin sin. B. cos cos. C. tan tan. D. cot cot.

Lời giải 
Chọn D.

Mối liên hệ hai cung bù nhau.

Câu 4.Cho góc  tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

A. sin0. B. cos0. C. tan0. D. cot0.
Lời giải

Chọn D.

Câu 5.Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

A. sin  sin 180







. B. cos  cos 180







.
C. tan tan 180







. D. cot cot 180







Lời giải 
Chọn B.

Mối liên hệ hai cung bù nhau.

Câu 6.Hai góc nhọn  và  phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai?
A. sin cos. B. tancot. C. cot 1

cot




 . D. cos  sin .

Lời giải 
Chọn D.





cos cos 90 sin .

Câu 7.Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?

A. sin150 3
2
  

. B. cos150 3
2
 

. C. tan150 1
3
  

. D. cot150  3
Lời giải

Chọn C.

Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.

Câu 8.Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A. sin 90 sin100. B. cos 95 cos100. C. tan 85 tan125. D. cos145 cos125.
Lời giải

Chọn B.

Câu 9.Giá trị của tan 45cot135 bằng bao nhiêu?

A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1.

Lời giải 
Chọn B.

tan 45cot135   1 1 0

Câu 10. Giá trị của cos 30sin 60 bằng bao nhiêu?
A. 3

3 . B.

2 . C. 3 . D. 1.

Lời giải 
Chọn C.

3 3

cos 30 sin 60 3

2 2

    

Câu 11. Giá trị của Esin 36 cos 6 sin126 cos84    là
A. 1

2. B.

2 . C. 1. D. 1.

Lời giải 
Chọn A.



 



sin 36 cos 6 sin 90 36 cos 90 6 sin 36 cos 6 cos 36 sin 6 sin 30
2

E              

Câu 12. Giá trị của biểu thức 2 2 2 2
sin 51 sin 55 sin 39 sin 35

A     là

A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 2 .

Lời giải 
Chọn D.



2 2

 

2 2

 

2 2

 

2 2



sin 51 sin 39 sin 55 sin 35 sin 51 cos 51 sin 55 cos 55 2

A             .

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

A. 3

2 . B. 3 . C.

3 . D. 1

Lời giải 
Chọn D.

Ta có cos 60 sin 30 1 1 1
2 2

    

Câu 14. Giá trị của tan 30cot 30 bằng bao nhiêu?
A. 4

3 . B.

1 3
3


. C. 2

3 . D. 2 .
Lời giải

Chọn A.

3 4 3

tan 30 cot 30 3

3 3

    

Câu 15. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?

A. sin 0cos 0 1. B. sin 90cos 90 1.
C. sin180cos180  1. D. sin 60cos 60 1.

Lời giải 
Chọn D.

Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.

Câu 16. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. cos 60 sin 30. B. cos 60 sin120. C. cos 30 sin120. D. sin 60  cos120.
Lời giải

Chọn B.

Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.

Câu 17. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. sin 45sin 45  2. B.sin 30cos 60 1.
C.sin 60cos150 0. D. sin120cos 30 0.

Lời giải 
Chọn D.

Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.

Câu 18. Cho hai góc nhọn  và  (  ). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. coscos. B. sinsin . C.tantan 0. D. cot cot.
Lời giải

Chọn B.

Biểu diễn lên đường trịn.

Câu 19. Cho ABCvng tại A, góc B bằng 30. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.cos 1

B . B. sin 3
2

C . C. cos 1

C . D. sin 1
2

B

Lời giải 
Chọn A.

3
cos cos 30

B   .

Câu 20. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. cos 75 cos 50. B. sin 80 sin 50. C. tan 45 tan 60. D. cos 30 sin 60.
Lời giải

Chọn A. 
Lý thuyết.

Câu 21. Cho biết sincosa. Giá trị của sin .cos  bằng bao nhiêu?
A. sin .cos  a2. B. sin .cos 2a.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

C.

2
1
sin .cos
2
a

    . D.

2
1
sin .cos
2
a
    .
Lời giải 
Chọn D.





2 2

2 1

sin cos 1 2 sin cos sin cos

a
a              .

Câu 22. Cho biết cos 2
3

   . Tính giá trị của biểu thức cot 3 tan
2 cot tan

E  

 




 ?

A. 19
13

 . B. 19

13. C.

13 . D.

25
13

Lời giải 
Chọn B.









2 2 2

2 2 2

2
3

2
3 tan 1 2

cot 3 tan 1 3 tan cos 3 2 cos 19

2 cot tan 2 tan 1 1 tan 1 1 cos 13

cos

E      

    


 
  
     
      .

Câu 23. Cho biếtcot 5. Tính giá trị của E2cos25sincos1?
A. 10

26. B.

100

26 . C.

26. D.

101
26 . 
Lời giải

Chọn D.





2 2 2

2 2

1 1 101

sin 2 cot 5cot 3cot 5cot 1

sin 1 cot 26

E     

 

 

       



  .

Câu 24. Đẳng thức nào sau đây là sai?

A.



cosxsinx

 

2 cosxsinx



2  2, x. B. tan2xsin2xtan2xsin2x, x 90
C. sin4xcos4x 1 2sin2 xcos2x,x. D. sin6xcos6x 1 3sin2 xcos2x,x

Lời giải 
Chọn D.







6 6 2 2 2 2

sin xcos x sin xcos x 1 sin xcos x .

Câu 25. Đẳng thức nào sau đây là sai?

A. 1 cos sin



0 , 180



sin 1 cos

x x
x x
x x
 
   
 .

B. tan cot 1



0 , 90 ,180



sin cos

x x x

x x

  

  

C. tan2 cot2 2 1 2 2



0 , 90 ,180



sin cos

x x x

x x

  

   

D. sin 22 xcos 22 x2.

Lời giải 
Chọn D.

2 2

sin 2xcos 2x1.

Câu 26. Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?

A. sin2cos2 1. B. sin2 cos2 1
2

  .

C. 2 2

sin cos 1. D. 2 2

sin 2cos 2 1.
Lời giải

Chọn D.

Công thức lượng giác cơ bản.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

A. sin2cos2 1. B. sin2 cos2 1

2


  . C. sin2cos2 1. D. sin2cos21.
Lời giải

Chọn D.

Công thức lượng giác cơ bản.

Câu 28. Cho biết cos 2
3

   . Tính tan?
A. 5

4. B.

5
2

 . C. 5

2 . D.

5
2
 .
Lời giải

Chọn D.

Do cos 0 tan0.
Ta có: 1 tan2 12

cos




  2 5

tan

4


  tan 5

2


   .

Câu 29. Giá trị của biểu thức Atan1 tan 2 tan 3 ...tan 88 tan 89     là

A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1.

Lời giải 
Chọn D.



tan1 . tan 89 . tan 2 . tan 88 ... tan 44 . tan 46 . tan 45

 



A         .

Câu 30. Tổng 2 2 2 2 2 2

sin 2sin 4sin 6 ... sin 84sin 86sin 88 bằng

A. 21 . B. 23. C. 22 . D. 24 .
Lời giải

Chọn C.

2 2 2 2 2 2

sin 2 sin 4 sin 6 ... sin 84 sin 86 sin 88

S       



2 2

 

2 2





2 2



sin 2 sin 88 sin 4 sin 86 ... sin 44 sin 46

      



2 2

 

2 2





2 2



sin 2 cos 2 sin 4 cos 4 ... sin 44 cos 44 22

        .

Câu 31. Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?

A. sin 2cos 2 1. B. sin2cos2 1.C. sin2cos2 1. D. sin2cos2 1.
Lời giải

Chọn D.

Công thức lượng giác cơ bản.

Câu 32. Biết sinacosa 2. Hỏi giá trị của sin4acos4a bằng bao nhiêu ?
A. 3

2. B.

2. C. 1. D. 0. 
Lời giải

Chọn B.

Ta có: sinacosa 2 2



sinacosa



2 sin .cos 1
2

a a

  .





4 4 2 2 2 2 1 1

sin cos sin cos 2sin cos 1 2

2 2

a a a a  a a     

  .

Câu 33. Biểu thức

 



4 4

 

6 6



3 sin cos 2 sin cos

f x  x x  x x có giá trị bằng:

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 0 .

Lời giải 
Chọn A.

 4 4 2 2

sin xcos x 1 2sin xcos x.

 6 6 2 2

sin xcos x 1 3sin xcos x.

 



2 2

 

2 2



3 1 2sin cos 2 1 3sin cos 1

f x   x x   x x  .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Câu 34. Biểu thức: f x

 

cos4 xcos2xsin2 xsin2x có giá trị bằng

A. 1. B. 2 . C. 2. D. 1.

Lời giải 
Chọn A.

 



2 2



2 2 2

cos cos sin sin cos sin 1

f x  x x x  x x x .

Câu 35. Biểu thức 2 2 2 2

tan xsin xtan xsin x có giá trị bằng

A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 1.

Lời giải 
Chọn B.









2 2 2 2 2 2 2 2 2

2
sin

tan sin tan sin tan sin 1 sin cos sin 0
cos

x

x x x x x x x x x

x

         .

Câu 36. Giá trị của Atan 5 .tan10 .tan15 ...tan 80 .tan 85     là

A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 1.

Lời giải 
Chọn B.



tan 5 . tan 85 . tan10 . tan 80 ... tan 40 tan 50 . tan 45

 



A         .

Câu 37. Chọn mệnh đề đúng?

A. 4 4 2

sin xcos x 1 2cos x. B. 4 4 2 2
sin xcos x 1 2sin xcos x.
C. sin4xcos4 x 1 2sin2x. D. sin4xcos4 x2cos2 x1.

Lời giải 
Chọn A.





 



4 4 2 2 2 2 2 2 2

sin xcos x sin xcos x sin xcos x  1 cos x cos x 1 2 cos x.

Câu 38. Giá trị của Bcos 732 cos 872 cos 32 cos 172  là

A. 2. B. 2 . C. 2. D. 1.

Lời giải 
Chọn B.



2 2

 

2 2

 

2 2

 

2 2



cos 73 cos 17 cos 87 cos 3 cos 73 sin 73 cos 87 sin 87 2

B             .

Câu 39. Cho 1
3

cot  . Giá trị của biểu thức 3sin 4 cos
2 sin 5 cos

A  

 




 là:

A. 15
13

 . B. 13. C. 15

13. D. 13 .

Lời giải 
Chọn D.

3sin 4 sin .cot 3 4 cot

13
2 sin 5sin .cot 2 5 cot

A    

   

 

  

  .

Câu 40. Cho biết cos 2
3

   . Giá trị của biểu thức cot 3 tan
2 cot tan

E  

 




 bằng bao nhiêu?

A. 25
3

 . B. 11

 . C. 11

 . D. 25

 .

Lời giải 
Chọn C.









2 2 2

2 2 2

2
3
4
4 3 tan 1

cot 3 tan 1 3 tan cos 4 cos 3 11

2 cot tan 2 tan 3 1 tan 3 3cos 1 3

cos

E      

    





 

  

      

      .

Câu 41. Cho tancot m. Tìm m để 2 2

tan cot  7.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Chọn D.





2 2

7tan cot   tancot 2m2 9   m 3.

Câu 42. Biểu thức



cotatana



2bằng
A. 12 12

sin  cos  . B.

2 2

cot atan a2. C. 12 12

sin  cos  . D.

2 2

cot atan a2.
Lời giải

Chọn C.





2 2 2



 



2 2

1 1

cot tan cot 2 cot . tan tan cot 1 tan 1

sin cos

a a a a a a a a

a a

          .

Câu 43. Rút gọn biểu thức sau A



tanxcotx

 

2 tanxcotx



A. A4. B. A1. C. A2. D. A3
Lời giải

Chọn A.



2 2

 

2 2



tan 2 tan .cot cot tan 2 tan .cot cot 4

A x x x x  x x x x  .

Câu 44. Đơn giản biểu thức G 



1 sin2 x



cot2 x 1 cot2x.
A. sin2x. B. cos2x. C. 1

cosx. D. cosx.

Lời giải 
Chọn A.





2 2 2 2 2

1 sin 1 cot 1 sin .cot 1 1 cos sin

G  x   x   x x   x x.

Câu 45. Đơn giản biểu thức cot sin
1 cos

x

E x

x

 

 ta được

A. sinx. B. 1

cosx. C.

sinx. D. cosx.

Lời giải 
Chọn C.









cos 1 cos sin .sin
sin cos sin

cot

1 cos sin 1 cos sin 1 cos

x x x x

x x x

E x

x x x x x

 

    

  















 









cos 1 cos 1 cos cos 1 cos 1 cos 1 cos 1

sin 1 cos sin 1 cos sin

x x x x x x x

x x x x x

      

  

  .

Câu 46. Rút gọn biểu thức sau

2 2

cot cos sin .cos

cot cot

x x x x

A

x x



  .

A. A1. B. A2. C. A3. D. A4
Lời giải

Chọn A.

2 2 2

2 2

cot cos sin .cos cos sin .cos

1 1 sin sin 1

cot cot cot cot

x x x x x x x

A x x

x x x x



         .

Câu 47. Cho biết tan 1
2

  . Tính cot.

A. cot 2. B. cot  2. C. cot 1
4

  . D. cot 1
2
  .
Lời giải

Chọn A.

1
tan .cot 1 cot 2

tan

x

      .

Câu 48. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

A.



sin cosx x



2 12sin cosx x. B. sin4xcos4 x12sin2 xcos2x.
C.



sinxcosx



2  1 2 sin cosx x. D. sin6xcos6 x1sin2xcos2x.

Lời giải 
Chọn D.



 



6 6 2 2 2 2 2 2 2 2

sin xcos x sin x  cos x  sin xcos x 3 sin xcos x .sin x.cos x

2 2

1 3sin x.cos x

  .

Câu 49. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. sin2cos21. B. 1 cot2 12



sin 0



sin

 



   .

C. tan .cot   1 sin .cos



  0



. D. 1 tan2 12



cos 0



cos

 



   .

Lời giải 
Chọn C.

sin cos

tan .cot . 1

cos sin

x x
x x

    .

Câu 50. Rút gọn biểu thức

2
1

2 sin .cos

sin x
P

x x



 ta được

A. 1tan
2

P x. B. 1cot
2

P x. C. P2cotx. D. P2 tanx.
Lời giải

Chọn B.

2 2

1 cos cos 1

cot
2 sin .cos 2 sin .cos 2 sin 2

sin x x x

P x

x x x x x



</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

§

2 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 
1. Định nghĩa:

a) Góc giữa hai vectơ.

Cho hai vectơ a và b đều khác 0. Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ OA a và OB b. Số đo góc
AOB được gọi là số đo góc giữa hai vectơ a và b.

+ Quy ước : Nếu a 0 hoặc b 0 thì ta xem góc giữa hai vectơ a và b là tùy ý (từ 00 đến 1800).
+ Kí hiệu: a b;

b) Tích vơ hướng của hai vectơ.

Tích vơ hướng của hai véc tơ a và b là một số thực được xác định bởi: a b. a b .cos( , )a b .
2. Tính chất: Với ba véc tơ bất kì a b c, , và mọi số thực k ta ln có:

a b b a

a b c a b a c
ka b k a b a kb

a2 a2 a

1) . .

2) ( ) . .
3) ( ) ( . ) ( )

4) 0, 0 0

Chú ý: Ta có kết quả sau:

+ Nếu hai véc tơ a và b khác 0 thì a b a b. 0
+ a a a a

2 2

. gọi là bình phương vơ hướng của véc tơ a.
+ a b a a b b a b a b a b

2 2 2 2

( ) 2 . , ( )( )

3. Cơng thức hình chiếu và phương tích của một điểm với đường trịn. 
a) Cơng thức hình chiếu.

Cho hai vectơ AB CD, . Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng CD khi đó ta có
. ' '.

ABCD A B CD

b) phương tích của một điểm với đường tròn.

Cho đường tròn O R; và điểm M. Một đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Biểu
thức MAMB. được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn O R; . Kí hiệu là PM O/ .
Chú ý: Ta có PM O/ MAMB. MO2 R2 MT2 với T là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm M
3.Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng

Cho hai vectơ a ( ; )x y1 1 và b ( ; )x y2 2 . Khi đó
1) a b. x x1 2 y y1 2

2) a ( ; )x y |a | x2 y2
3) a b a b x x y y

x y x y
a b

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

.
cos( , )

Hệ quả:

+ a b x x1 2 y y1 2 0

2

Chương

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

+ Nếu A x y( ; )A A và B x y( ; )B B thì AB (xB xA)2 (yB yA)2

Câu 1. Trong mp Oxy cho A

 

4; 6 , B

 

1; 4 , 7;3
2

 

 

 

C . Khảng định nào sau đây sai

A.AB  



3; 2



, 3; 9
2

 

  

 

AC . B.AB AC. 0.
C. AB  13. D. 13



BC .
Lời giải

Chọn D

Phương án A: AB  



3; 2



, nên loại A.
Phương án B: AB AC. 0nên loại B.

Phương án C : AB  13 nên loại C. 3; 9
2

 

  

 

AC

Phương án D: Ta có 6; 5
2

 

  

 

BC suy ra

2 5 13

2 2

 
   

 

BC nên chọn D.

Câu 2. Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0. Trong các kết quả sau đây, hãy chọn
kết quả đúng:

A.a b.  a b. . B.a b. 0. C.a b.  1. D.a b.   a b. .
Lời giải

Chọn A

Ta thấy vế trái của 4 phương án giống nhau.

Bài toán cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 suy ra

 

, 0

a b

Do đó o

.  . .cos 0  .

a b a b a b nên chọn A

Câu 3. Cho các vectơ a 



1; 2 ,



b  



2; 6



. Khi đó góc giữa chúng là

A.45o. B. 60o. C. 30o. D. 135o.

Lời giải 
Chọn A

Ta có a 



1; 2 ,



b  



2; 6



, suy ra cos

 

; . 10 2
2
5. 40
.

 a b  

a b

 

; 45

 a b  .

Câu 4. Cho OM   



2; 1



, ON 



3; 1



. Tính góc của



OM ON,



A.135o. B. 2

 . C. 135o. D. 2

2 .
Lời giải

Chọn A

Ta có cos





. 5 2





135o
2

5. 10
.



 OM ON     

OM ON OM ON

OM ON

Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy cho a

 

1;3 ,b 



2;1



. Tích vơ hướng của 2 vectơ a b. là:

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải 
Chọn A

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

A. a



2; 1



và b 



3; 4



. B. a



3; 4



và b 



3; 4



.
C.a  



2; 3



và b 



6; 4



. D. a



7; 3



và b



3; 7



Lời giải 
Chọn C

Phương án A: a b. 2.

   

  3 1 .4  10 0 suy ra A sai.
Phương án B: a b. 3.

   

  3 4 .40 suy ra B sai.

Phương án C: a b.    2.

 

6 3.4  0 a b suy ra C đúng.
Phương án D: a b. 7.3 

   

3 .  7 420 suy ra D sai.
Câu 7. Cho 2 vec tơ a



a a1; 2



,b



b b1; 2



, tìm biểu thức sai:

A.a b. a b1.1a b2. 2. B.a b.  a b. .cos

 

a b, .

C. 1 2 2

 

.
2

 

     

 

a b a b a b . D. 1

 

2 2 2
.

 

     

 

a b a b a b .
Lời giải

Chọn C

Phương án A : biểu thức tọa độ tích vơ hướng a b. a b1. 1a b2. 2 nên loại A

Phương án B : Cơng thức tích vô hướng của hai véc tơ a b.  a b. .cos

 

a b, nên loại B
Phương án C: 1 2 2

 

2 1 2 2



2 2



2 2

           

 

   

a b a b  a b a b ab ab nên chọn C.

Câu 8. Cho tam giác đều ABC cạnh a2. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
A.



AB AC BC.



2BC. B.BC CA.  2.
C.



ABBC AC



.  4. D.



BCAC BA



. 2.

Lời giải 
Chọn C

Ta đi tính tích vơ hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phải.

Phương án A: o





.  . cos 60 2  . 2

AB AC AB AC x AB AC BC BCnên loại A.

Phương án B: o

.  . cos120  2

BC CA BC AC nên loại B.

Phương án C:



ABBC AC



. AC AC. 4, BC CA. 2.2.cos120o  2 nên chọn C.

Câu 9. Cho tam giác ABC cân tại A, A120ovà ABa. Tính BA CA.

A.
2

2
a

. B.
2

a . C.

2
3
2

a

. D.

2
3
2

a .

Lời giải

Chọn B

Ta có o 1 2

. . .cos120
2

  

BA CA BA CA a .

Câu 10. Cho ABC là tam giác đều. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.AB AC. 0. B.AB AC.  AC AB. . 
C.



AB AC BC.



AB AC BC





. D.AB AC. BA BC. .

Lời giải 
Chọn D

Phương án A: Do o

.  . .cos 60 0

AB AC AB AC nên loại A.

Phương án B: . 0 . .

. 0



  

 


  

AB AC

AB AC AC AB
AC AB

nên loại B.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Phương án C: Do



AB AC BC.



vàAB AC BC





không cùng phương nên loại C.
Phương án D:ABACBCa,

. .

  a

AB AC BA BC nên chọn D.
Câu 11. Cho tam giác ABC có A

 

1; 2 , B



1;1



, C



5; 1



.Tính cosA

A. 2

5. B.

1
5


. C. 1

5. D.

2
5


Lời giải 
Chọn B

Ta có AB  



2; 1



, AC



4; 3



suy ra

 

   

2 2 2

 

2 .4 1 . 3

. 5 1

cos =

. 2 1 . 4 3 5 25 5

    

   

    

AB AC
A

AB AC .

Câu 12. Cho hình vng ABCD tâm O. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
A.OA OB. 0. B. . 1 .



OA OC OA AC.
C.AB AC. AB CD. . D.AB AC.  AC AD. .

Lời giải 
Chọn C

Phương án A:OAOBsuy ra OA OB. 0nên loại A.
Phương án B:OA OC. 0và 1 . 0

2OA AC  suy ra

. . 0

 

OA OC OA AC nên loại B.

Phương án C: o 2 2

. . .cos 45 . 2.
2

  

AB AC AB AC AB AB AB .

0 2

.  . .cos180  

AB CD AB DC AB AB AC.  AB CD. nên chọn C.

Câu 13. Trong mặt phẳng Oxy cho A



 1; 1



, B

 

3;1 , C

 

6; 0 . Khảng định nào sau đây đúng.
A.AB  



4; 2



, AC

 

1;7 . B.B135o. C. AB 20. D. BC 3.

Lời giải 
Chọn B

Phương án A: do AB

 

4; 2 nên loại A
Phương án B:

Ta có AB

 

4; 2 suy ra AB  20, BA  



4; 2



; BC



3; 1 



BC 10.
o

. 10 1

cos 135

. 20. 10 2

 

 BA BC    

B B

BA BC nên chọn B.

Câu 14. Cho hình vng ABCD cạnh a . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A. 2

. 

DA CB a . B. 2

.  

AB CD a .

C.





 

AB BC AC a . D.AB AD. CB CD. 0.
Lời giải

Chọn B

Phương án A:Do 0 2

.  . . 0 

DA CB DA CB cos a nên loạiA.

Phương án B:DoAB CD.  AB CD. .cos180o  a2

nên chọn B.

Câu 15. Cho hình thang vng ABCDcó đáy lớn AB4a, đáy nhỏ CD2a, đường cao AD3a; I

là trung điểm của AD . Câu nào sau đây sai?

A. 2

. 8

AB DC a . B.AD CD. 0. C.AD AB. 0. D.DA DB. 0.
Lời giải

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Phương án A:AB DC. AB DC. .cos 0o 8a2

nên loại A.
Phương án B:ADCD suy ra AD CD. 0 nên loại B.
Phương án C:AD AB suy ra AD AB. 0nên loại C.

Phương án D:DA khơng vng góc với DBsuy ra DA DB. 0 nên chọn D .

Câu 16. Cho hình thang vng ABCDcó đáy lớn AB4a, đáy nhỏ CD2a, đường cao AD3a; I

là trung điểm của AD . Khi đó



IAIB ID



. bằng :
A.

2
9

2
a

. B.

 a . C.0 . D.9a2.
Lời giải

Chọn B

Ta có









2
9

. . 2 .

       a

IA IB ID IA IA AB ID IA ID nên chọn B.

Câu 17. Cho tam giác đều ABC cạnh a, với các đường cao AH BK, ; vẽHI AC. Câu nào sau đây
đúng?

A.BA BC. 2BA BH. . B.CB CA. 4CB CI. .
C.



ACAB BC



. 2BA BC. . D.Cả ba câu trên.

Lời giải 
Chọn D

Phương án A:BC2BHBA BC. 2BA BH. nên đẳng thức ở phương án A là đúng.
Phương án B:CA4CI CB CA. 4CB CI. nên đẳng thức ở phương án B là đúng.

Phương án C:









. .

. 2 .

1
2 . 2. . .



  

   



  



AC AB BC BC BC a

AC AB BC BA BC
BA BC a a a

nên đẳng thức ở
phương án C là đúng.

Vậy chọn D.

Câu 18. Cho tam giác đều ABC cạnh a, với các đường cao AH BK, ; vẽHI AC. Câu nào sau đây 
đúng?

A.





 

AB AC BC a . B.

2
.

8
 a

CB CK . C.

2
.

2
a

AB AC . D.

2
.

2
a
CB CK . 
Lời giải

Chọn C

Phương án A:do





2 2

. . . 0

2 2

    a a 

AB AC BC AB BC AC BC nên loại A

Phương án B:do

2
o
. . .cos 0

  a

CB CK CB CK nên loại B

Phương án C:do

2
o
. . .cos 60

 a

AB AC AB AC nên chọn C

Câu 19. Cho hình vng ABCD cạnh .a Mệnh đề nào sau đây sai?

A.AB AD. 0. B. 2

. 

AB AC a .

C. 2

. 

AB CD a . D. 2

(AB CD BC AD). a .
Lời giải

Chọn C

Ta đi tính tích vơ hướng ở vế trái của 4 phương án.
Phương án A:AB ADAB AD. 0 nên loại A.
Phương án B:AB AC. AB AC. .cos 45o a2

nên loại B.

Phương án C: o 2

.  . .cos180  

AB CD a a a nên chọn C.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Câu 20. Tam giác ABC vuông ở A và có góc o
50



B . Hệ thức nào sau đây là sai?

A.





, 130

AB BC . B.





, 40

BC AC . C.





, 50

AB CB . D.





, 120

AC CB .
Lời giải

Chọn D

Phương án A:









, 180  , 130

AB BC AB CB nên loại A.
Phương án B:



 



,  , 40

BC AC CB CA nên loại B.
Phương án C:



 



,  , 50

AB CB BA BC nên loại C.
Phương án D:









, 180  , 140

AC CB CA CB nên chọn D.

Câu 21. Trong mặt phẳng



O i j; ,



cho 2 vectơ : a 3i 6j và b 8i 4 .j Kết luận nào sau đây sai?
A.a b. 0. B.ab. C. a b. 0. D. a b. 0.

Lời giải 
Chọn C

 

3;6 ;



8; 4



  

a b

Phương án A:a b. 24240 nên loại A

Phương án B:a b. 0 suy ra a vng góc bnên loại B
Phương án C: 2 2 2

 

.  3 6 . 8  4 0

a b nên chọn C.

Câu 22. Trong mặt phẳng Oxy cho A

     

1; 2 ,B 4;1 ,C 5; 4 . Tính BAC ?
A. o

60 . B. o

45 . C. o

90 . D. o

120 .
Lời giải

Chọn B

Ta có AB



3; 1



, AC

 

4; 2 suy ra cos



;



. 10 2
. 10. 20 2

 AB AC  

AB AC





; 45

 AB AC  .

Câu 23. Cho các vectơ a 



1; 3 ,



b

 

2;5 . Tính tích vơ hướng của a a



2b



A.16. B.26. C.36. D.16.

Lời giải 
Chọn D

Ta có a a. 10, a b.  13 suy ra a a



2b



 16.
Câu 24. Cho hình vng ABCD, tính cos



AB CA,



A.1

2 . B.

1
2

 . C. 2

2 . D.
2
2

 .

Lời giải

Chọn D

Đầu tiên ta đi tìm số đo của góc



AB CA,



sau đó mới tính cos



AB CA,



Vì













, 180 , 135 cos ,

     

AB CA AB CA AB CA .

Câu 25. Cho hai điểm A



3, 2 ,

  

B 4, 3 . Tìm điểm M thuộc trục Oxvà có hồnh độ dương để tam giác

MAB vuông tại M

A.M

 

7; 0 . B.M

 

5; 0 . C.M

 

3; 0 . D.M

 

9; 0 . 
Lời giải

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Ta có A



3, 2 ,

  

B 4, 3 , gọi M x

 

; 0 ,x0. Khi đó AM   



x 3; 2



, BM   



x 4; 3



.
Theo YCBT . 0 2 6 0 2

 

3; 0

3
 


      




x l

AM BM x x M

x .

Câu 26. ChoA

    

2; 5 , B 1; 3 , C 5; 1



. Tìm tọa độ điểm Ksao cho AK 3BC2CK

A.K



4;5



. B.K



4;5



. C.K



4; 5



. D.K



 4; 5



Lời giải

Chọn B

Gọi K x y



;



với x y,  .

Khi đó AK 



x 2;y5



, 3BC



12; 12



, 2CK



2x10; 2y2



.
Theo YCBT AK3BC2CK nên 2 12 2 10

5 12 2 2
   


     


x x

y y





4;5
5

 


   


x

K

y .

Câu 27. Cho tam giác

ABC

vuông cân tại A có BCa 2.Tính CA CB.

A. 2

. 

CA CB a . B.CA CB. a. C. . 2

a

CA CB . D.CA CB. a 2.

Lời giải 
Chọn A

Ta có 2 2

. 2.
2

. a a a

CA CB .

Câu 28. Cho hình vng ABCD có cạnh a. Tính AB AD.

A.0 . B.a. C.

2
a

. D.a2.
Lời giải

Chọn A

Ta có AB AD. a a. .cos90o0.

Câu 29. Trong mặt phẳng Oxy, cho a



2; 1



và b 



3; 4



. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.Tích vơ hướng của hai vectơ đã cho là 10 . B.Độ lớn của vectơ a là 5.

C.Độ lớn của vectơ b là 5 . D.Góc giữa hai vectơ là 90o.
Lời giải

Chọn D

Ta có a  22 

 

1 2  5 nên B đúng.

 

2 2

3 4 5

   

b nên C đúng.

   

. 2.   3 1 .4  10 0

a b nên A đúng, D sai.
Câu 30. Cho M là trung điểm AB, tìm biểu thức sai:

A.MA AB.  MA AB. . B.MA MB.  MA MB. .
C.AM AB. AM AB. . D.MA MB. MA MB. .

Lời giải

Chọn D

Phương án A:MA AB, ngược hướng suy ra o

.  . .cos180   .

MA AB MA AB MA AB nên loại A.
Phương án B:MA MB, ngược hướng suy ra MA MB. MA MB. .cos180o  MA MB. nên loại B.
Phương án C: AM AB, cùng hướng suy ra AM AB.  AM AB. .cos 0o  AM AB. nên loại C.
Phương án D:MA MB, ngược hướng suy ra MA MB. MA MB. . cos180o MA MB. nên chọn D.
Câu 31. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và H là trung điểm BC. Tính AH CA.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

A.
2
3

4
a

. B.

2
3

4
 a

. C.

2
a

. D.

2
3

2
 a

.
Lời giải

Chọn B

Ta có





2
o

3 3

. . .cos , . .cos150

2 4

 a   a

AH CA AH CA AH CA a .

Câu 32. Biếta, b 0 và a b.  a b. . Câu nào sau đây đúng
A.avà b cùng hướng.

B.avà bnằm trên hai dường thẳng hợp với nhau một góc o
120 .
C.avà b ngược hướng.

D. A, B, C đều sai.

Lời giải 
Chọn C

Ta có a b.  a b.  a b. cos

 

a b,  a b. cos

 

a b,  1nên avà b ngược hướng
Câu 33. Tính

 

a b, biết . 1 .

 

a b a b, (a, b 0)
A. o

120 . B. o

135 . C. o

150 . D. o

60 .
Lời giải

Chọn A

 

1 1 1

. . . cos , . cos ,

2 2 2

       

a b a b a b a b a b a b nên

 

, 120

a b

Câu 34. Cho tứ giác lồi ABCD có AD6 cm. Đặt v ABDCCB .Tính v AD.

A.18 cm2. B.24 cm2. C.36 cm2. D.48 cm2.
Lời giải

Chọn C

      

v AB DC CB AB CD BC AD suy ra v AD. AD2 36 cm2.
Câu 35. Cho 2 vectơ a và b có a 4, b 5 và

 

, 120

a b .Tính ab

A. 21. B. 61. C.21. D.61 .

Lời giải 
Chọn A

Ta có a b 

 

a b 2  a2b22 .a b  a2 b22a b cos

 

a b,  21.

Câu 36. Cho tam giác ABC có cạnh BC6 cm và đường cao AH, H ở trên cạnh BC sao cho
2



BH HC.Tính AB BC.

A.24 cm2. B.24 cm2. C.18 cm2. D.18 cm2.
Lời giải

Chọn A

Ta có





.   .  .  .  .  24 cm

AB BC AH HB BC AH BC HB BC HB BC .
Câu 37. Cho tam giác ABC có A

 

1; 2 , B



1;1



, C



5; 1



.Tính AB AC.

A.7 . B.5 . C.7. D.5.

Lời giải 
Chọn D

Ta có AB AC.  

     

2 .4 1 .   3 5.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

C. Tam giác ABCvuông cân tại A. D. Tam giác ABCvuông cân tại B.
Lời giải

Chọn C

Phương án A: do AB

 

2; 2 nên loại A.

Phương án B:AB

 

2; 2 ,BC



0; 4



,AB BC.  8suy raAB khơng vng gócBC nên loại
B.

Phương án C : Ta có AB

 

2; 2 , AC



2; 2



, BC



0; 4



, suy ra AB AC 8,
. 0

AB AC .Nên Tam giác ABC vng cân tại A.Do đó chọn C.

Câu 39. Cho a



1; 2



, b  



1; 3



. Tính

 

a b, .

A.

 

, 120

a b . B.

 

, 135

a b . C.

 

, 45

a b . D.

 

, 90

a b . 
Lời giải

Chọn C

Ta có

 

     

 

2 2 2

1. 1 2 . 3

. 5 1

cos , , 45

5 10 2

. 1 1 . 1 3

   

     

    

a b

a b a b

a b

Câu 40. Cho tam giác ABC vuông tại A có B60o,ABa. Tính AC CB.
A. 2

3a . B. 2

 a . C.3a. D. 0.

Lời giải 
Chọn B

Ta có . . .cos150o 3.2 . 3 3 2
2

 

    

 

AC CB AC BC a a a .

Câu 41. Cho tam giác ABC vng tại A có AC12 cm. M là trung điểm AC. TínhBM CA.
A.144cm2. B.144cm2. C.72 2

cm . D.72 2
cm . 
Lời giải

Chọn D





.   .  .  .  .  72 cm

BM CA BA AM CA BA CA AM CA AM CA

Câu 42. Cho tam giác ABC có đường cao BH (H ở trên cạnh AC).Câu nào sau đây đúng

A.BA CA. BH HC. . B.BA CA.  AH HC. . C.BA CA. AH AC. . D.BA CA. HC AC. . 
Lời giải

Chọn C

Ta có BA CA. 



BH HA CA



. BH CA. HA CA. HA CA. AH AC. nên chọn C.
Câu 43. Cho 2 vectơ đơn vị a và b thỏaa b 2. Hãy xác định



3a4b



2a5b



A.7 . B.5 . C.7. D.5.

Lời giải 
Chọn C

 

a b ,

 

2 4 . 1

      

a b a b a b ,



3a4b



2a5b



6a220b27 .a b 7.
Câu 44. Cho tam giác ABC. Lấy điểm M trên BC sao choAB AM. AC AM. 0.Câu nào sau đây đúng

A.M là trung điểm của BC. B.AM là đường phân giác của góc A.
C.AM BC. D. A, B, C đều sai.

Lời giải 
Chọn C

Ta có AB AM. AC AM.  0 AM AB



AC



 0 AM CB. 0 nên AM BC.

Câu 45. Cho hình thang vng ABCDcó đáy lớn AB4a, đáy nhỏ CD2a, đường cao AD3a.Tính
.

DA BC

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

A. 2
9

 a . B. 2

15a . C.

0

. D. 2

9a

Lời giải 
Chọn A

Vì





.  .    .  9

DA BC DA BA AD DC DA AD a nên chọn A.
Câu 46. Cho tam giác ABC vng tại C có AC9, BC5. Tính AB AC.

A.9. B.81. C.3. D.5.

Lời giải 
ChọnB

Ta có AB AC. 



ACCB AC



. AC AC. CB AC. AC AC. 81nên chọn B.
Câu 47. Cho hai vectơ avà b. Biết a =2 , b= 3 và

 

, 120

a b .Tínhab

A. 7 3. B. 7 3. C. 72 3. D. 72 3.
Lời giải

Chọn C

Ta có a b 

 

a b 2  a2b22 .a b  a2 b22a b cos a b

 

,  7 2 3 .
Câu 48. Cho hai điểm B C, phân biệt. Tập hợp những điểm M thỏa mãn CM CB. CM2 là :

A.Đường trịn đường kínhBC. B. Đường trịn



B BC;



.
C. Đường tròn



C CB;



. D. Một đường khác.

Lời giải 
Chọn A

2 2

.   .   0 . 0

CM CB CM CM CB CM CM MB .
Tập hợp điểm M là đường trịn đường kính BC.

Câu 49. Cho ba điểm A B C, , phân biệt. Tập hợp những điểm M mà CM CB. CA CB. là :
A. Đường trịn đường kínhAB.

B.Đường thẳng đi qua A và vng góc vớiBC. 
C. Đường thẳng đi qua B và vng góc vớiAC. 
D. Đường thẳng đi qua C và vng góc vớiAB.
Lời giải 
Chọn B





.  .  .  .  0  .  0 . 0

CM CB CA CB CM CB CA CB CM CA CB AM CB .
Tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và vng góc với BC.

Câu 50. Cho hai điểm A

 

2, 2 , B



5, 2



. Tìm M trên tia Ox sao cho AMB  90o

A.M

 

1, 6 . B. M

 

6, 0 . C.M

 

1, 0 hay M

 

6, 0 . D.M

 

0,1 .
Lời giải

Chọn C

Gọi M x

 

; 0 , với x . Khi đó AM   



x 2; 2 ,



BM  



x 5; 2



. Theo YCBT ta có







.   0 2   5 4 7x 6 0

AM BM x x x

 

1 1; 0
6 6; 0

 


 

 


x M

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

§

3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Định lí cơsin: Trong tam giác ABC với BC a AC, b và AB c. Ta có :

a b c bc A

b c a ca B

c a b ab C

2 2 2

2 .cos
2 .cos
2 .cos
Hệ quả:

b c a

A

bc

c a b

B

ca

a b c

C

ab

2 2 2

cos

2
cos

2. Định lí sin : Trong tam giác ABC với BC a AC, b, AB c và R là bán kính đường trịn
ngoại tiếp. Ta có :

a b c

R

A B C 2

sin sin sin

3. Độ dài trung tuyến: Cho tam giác ABC với m m ma, b, c lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C.
Ta có :

a

b

c

b c a

m

a c b

m

a b c

m

2 2 2

2( )

4
4. Diện tích tam giác

Với tam giác ABC ta kí hiệu h h ha, b, c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA,
AB; R, r

lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p a b c

2 là nửa chu vi tam giác; S là
diện tích tam giác. Khi đó ta có:

S = 1aha 1bhb 1chc

2 2 2

= 1bcsinA 1casinB 1absinC

2 2 2

= abc
R
4
= pr

= p p( a p)( b p)( c) (cơng thức Hê–rơng)

Câu 1. Cho ABCcó b6,c8,A600. Độ dài cạnh a là:

2

Chương

c

a
b
A

B C

Hình 2.6

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

A. 2 13. B. 3 12. C. 2 37. D. 20.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: a2 b2c22bccosA36642.6.8.cos 60052 a 2 13.

Câu 2. Cho ABCcó S84,a13,b14,c15. Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam
giác trên là:

A. 8,125. B. 130. C. 8. D. 8,5. 
Lời giải

Chọn A.

Ta có: . . . . 13.14.15 65

4 4 4.84 8

ABC

a b c a b c

S R

R S

      .

Câu 3. Cho ABCcó a6,b8,c10. Diện tích S của tam giác trên là:

A. 48. B. 24. C. 12. D. 30.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: Nửa chu vi ABC:

a b c

p   .

Áp dụng công thức Hê-rông: S p p( a p b p c)(  )(  ) 12(12 6)(12 8)(12 10)   24.

Câu 4. Cho ABC thỏa mãn : 2cosB 2. Khi đó:

A. B30 .0 B. B60 .0 C. B45 .0 D. B75 .0

Lời giải

Chọn C.

Ta có: 2cos 2 cos 2 45 .0
2

B  B  B

Câu 5. Cho ABCvng tại B và có C250. Số đo của góc A là:

A. A65 .0 B. A60 .0 C. A155 .0 D. A75 .0

Lời giải

Chọn A.

Ta có: Trong ABC A  B C 1800 A 1800  B C 1800900250650.

Câu 6. Cho ABC có B60 ,0 a8,c5. Độ dài cạnh b bằng:

A. 7. B. 129. C. 49. D. 129.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: b2a2c22accosB82522.8.5.cos 600 49 b 7.

Câu 7. Cho ABC có C45 ,0 B750. Số đo của góc A là:

A. A65 .0 B. A700 C. A60 .0 D. A75 .0

Lời giải

Chọn C.

Ta có: A  B C 1800 A 1800  B C 1800750450 60 .0

Câu 8. Cho ABC có S 10 3, nửa chu vip10. Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp rcủa tam
giác trên là:

A. 3. B. 2. C. 2. D. 3 .

Lời giải

Chọn D.

Ta có: 10 3 3.

S

S pr r

p

    

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

A.5 3. B. 5. C. 10. D. 10 3 .

Lời giải

Chọn B.

Ta có: 1 . .sin 1.4.5.sin1500 5.

2 2

ABC

S  a c B 

Câu 10. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2cosA1. Khi đó:

A. A30 .0 B. A45 .0 C.A120 .0 D. A60 .0 
Lời giải

Chọn D.

Ta có: 2cos 1 cos 1 60 .0
2

A  A  A

Câu 11. Cho tam giác ABC có b = 7; c = 5, cos 3
5



A . Đường cao ha của tam giác ABC là

A. 7 2.

2 B. 8. C.8 3. D.80 3.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: 2 2 2 2 cos 72 52 2.7.5.3 32 4 2.
5

a b c  bc A     a

Mặt khác: sin2 cos2 1 sin2 1 cos2 1 9 16 sin 4

25 25 5

A A  A  A    A (Vì sinA0).

Mà:

4
7.5.

1 1 sin 5 7 2

. .sin .

2 2 4 2 2

ABC a a

bc A

S b c A a h h

a

       .

Câu 12. Cho tam giác ABC, chọn công thức đúng trong các đáp án sau:

A.

2 2 2

2 4

a

b c a

m    B.

2 2 2

2 4

a

a c b
m   

C.

2 2 2

2 4

a

a b c

m    D.

2 2 2

.
4

a

c b a
m   
Lời giải

Chọn D. 
Ta có:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 .

2 4 4

a

b c a b c a

m      

Câu 13. Cho tam giác ABC. Tìm công thức sai:

A. 2 .

sin

a

R

A B. sin 2 .

a
A

R

 C. bsinB2 .R D. sinC csinA.

a



Lời giải

Chọn C.

Ta có: 2 .

sin sin sin

a b c

R

A B  C 

Câu 14. Chọn công thức đúng trong các đáp án sau:

A. 1 sin .

S  bc A B. 1 sin .
2

S  ac A C. 1 sin .
2

S  bc B D. 1 sin .
2

S  bc B
Lời giải

Chọn A.

Ta có: 1 sin 1 sin 1 sin

2 2 2

S bc A ac B ab C.

Câu 15. Cho tam giác ABC có a8,b10, góc C bằng 600 . Độ dài cạnh clà ?

A. c3 21. B. c7 2. C. c2 11. D. c2 21.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Lời giải

Chọn D.

Ta có: c2 a2b22 . .cosa b C821022.8.10.cos 600 84 c 2 21.

Câu 16. Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. 1 . .

ABC

S  a b c. B.

sin

a
R
A .

C.

2 2 2

cos

b c a

B

bc

 

 . D.

2 2 2

c

b a c

m    .

Lời giải

Chọn D.

Câu 17. Cho tam giác ABC, chọn công thức đúng ?

A. AB2 AC2BC22AC AB. cosC. B. AB2 AC2BC22AC BC. cosC.

C. 2 2 2

2 . cos

  

AB AC BC AC BC C. D. 2 2 2

2 . cos

   

AB AC BC AC BC C.

Lời giải

Chọn C.

Câu 18. Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b c 2a. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A. cosBcosC2cos .A B.sinBsinC2sin .A

C. sin sin 1sin

B C A. D. sinBcosC2sin .A

Lời giải

Chọn B. 
Ta có:

2 sin sin 2sin .

sin sin sin sin sin sin 2sin sin sin

b c

a b c b c b c b c

R B C A

A B C A B C A B C



 

          



Câu 19. Cho tam giác ABC. Đẳng thức nào sai ?

A.sin(A B 2 )C sin 3 .C B. cos sin

2 2




B C A

C. sin(AB)sin .C D. cos 2 sin

2 2

 


A B C C

Lời giải

Chọn D. 
Ta có:

0 2 0 0

180 90 cos cos 90 cos sin

2 2 2 2 2 2

A B C C B C C B C C

A  B C                

      .

Câu 20. Gọi Sma2mb2mc2 là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC. Trong các
mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?

A. 3( 2 2 2)

S  a b c . B. S a2b2c2.

C. 3( 2 2 2)

S  a b c . D. S3(a2b2c2).

Lời giải

Chọn A. 
Ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 3 2 2 2

( ).

2 4 2 4 2 4 4

a b c

b c a a c b a b c

Sm m m           a b c

Câu 21. Độ dài trung tuyến mc ứng với cạnh c của ABC bằng biểu thức nào sau đây

A.

2 2 2

2 4

b a c

B.

2 2 2

2 4

b a c

C. 1



2 2 2 2



2 b  a c D.

2 2 2

 

b a c

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Lời giải

Chọn C. 
Ta có:

2 2 2 2 2 2

2 1 2 2 2

(2 2 )

2 4 2 4 2

c c

b a c b a c

m    m     b  a c .

Câu 22. Tam giác ABC có cosB bằng biểu thức nào sau đây?

A.

2 2 2

.
2

b c a
bc

 

B. 1 sin 2B. C. cos(A C ). D.

2 2 2

.
2

a c b
ac

 

Lời giải

Chọn D. 
Ta có:

2 2 2

2 cos cos

a c b

b a c ac B B

ac

 

     .

Câu 23. Cho tam giác ABC có a2b2c2 0. Khi đó :

A.Góc C900 B.Góc C900

C.Góc C900 D.Khơng thể kết luận được gì về góc C.

Lời giải

Chọn B. 
Ta có:

2 2 2

cos

a b c

C

ab

 

 .

Mà: a2b2c2 0 suy ra: cosC  0 C 900.

Câu 24. Chọn đáp án sai : Một tam giác giải được nếu biết :

A.Độ dài 3 cạnh B.Độ dài 2 cạnh và 1 góc bất kỳ

C.Số đo 3 góc D.Độ dài 1 cạnh và 2 góc bất kỳ

Lời giải

Chọn C.

Ta có: Một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố
độ dài (tức là yếu tố góc khơng được q 2).

Câu 25. Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15. Diện tích tam giác bằng bao nhiêu ?

A. 84. B. 84 . C. 42. D. 168 .

Lời giải

Chọn A.

Ta có: 13 14 15 21

2 2

a b c

p       .

Suy ra: S p p( a p b p)(  )( c) 21(21 13)(21 14)(21 15)   84.

Câu 26. Một tam giác có ba cạnh là 26, 28,30. Bán kính đường trịn nội tiếp là:

A. 16. B. 8. C. 4. D.4 2.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: 26 28 30 42.

2 2

a b c

p      

( )( )( ) 42(42 26)(42 28)(42 30)
8.
42

p p a p b p c

S

S pr r

p p

     

     

Câu 27. Một tam giác có ba cạnh là 52,56,60.Bán kính đường tròn ngoại tiếp là:

A.65.

8 B. 40. C. 32,5. D.

65
.
4

Lời giải

Chọn C.

Ta có: 52 56 60 84.

2 2

a b c

p      

Suy ra: S p p( a p b p)(  )( c) 84(84 52)(84 56)(84 60)   1344.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Mà 52.56.60 65

4 4 4.1344 2

abc abc

S R

R S

     .

Câu 28. Tam giác với ba cạnh là 3, 4,5. Có bán kính đường trịn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 2.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: 3 4 5 6.

2 2

a b c

p      

Suy ra: ( )( )( ) 6(6 3)(6 4)(6 5) 1.
6

p p a p b p c

S

S pr r

p p

     

     

Câu 29. Tam giác ABC có a6,b4 2,c2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM 3 . Độ dài đoạn

AM bằng bao nhiêu ?

A. 9 . B. 9. C. 3. D. 1 108 .

Lời giải

Chọn C.

Ta có: Trong tam giác ABCcó a 6 BC6 mà BM 3 suy ra M là trung điểm BC.
Suy ra:

2 2 2

2 2

9 3

2 4

a

b c a

AM m     AM  .

Câu 30. Cho ABC, biết aAB( ;a a1 2) và b AC( ;b b1 2). Để tính diện tích S của ABC. Một
học sinh làm như sau:

( )I Tính cos .
.

a b

A

a b



( )II Tính

 





2
2

sin 1 os 1

.
a b

A c A

a b

   

(III)

 

2
2

1 1

. . .

2 2

S  AB AC sinA a b  a b

(IV) 1



12 22



12 22





1 1 2 2



2
2

S  a a b b  a b a b



1 2 2 1



2
2

S a b a b

1( 1 2 2 1)
2

S a b a b

Học sinh đó đã làm sai bắt đàu từ bước nào?

A. ( )I B. ( )II C. (III) D. (IV)

Lời giải

Chọn A. 
Ta có:

.
cos

.
a b
A

a b
 .

Câu 31. Câu nào sau đây là phương tích của điểm M(1; 2) đối với đường tròn ( )C . tâm I( 2;1) , bán
kính R2:

A. 6. B. 8. C. 0. D. 5.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: MI  ( 3;1)MI 10.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>





2 2 2 2

( 2 1) (1 2) 4 6.

MI R       

Câu 32. Khoảng cách từ A đến B khơng thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 78 24 'o . Biết

250 , 120

CA m CB m. Khoảng cách AB bằng bao nhiêu ?

A. 266 .m B. 255 .m C. 166 .m D. 298 .m

Lời giải

Chọn B.

Ta có: AB2CA2CB22CB CA. .cosC250212022.250.120.cos 78 24'o 64835AB 255.

Câu 33. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc
0

60 . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km h/ , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km h/ . Hỏi sau 2
giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km?

A. 13. B. 15 13. C. 10 13. D. 15. 
Lời giải

Chọn

Khơng có đáp án.

Ta có: Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: S130.260km.
Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là: S240.280km.

Vậy: sau 2h hai tàu cách nhau là: S S12S222 .S S1 2.cos 600 20 13.

Câu 34. Từ một đỉnh tháp chiều cao CD80m, người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các
góc nhìn là 72 12 '0 và 34 26 '0 . Ba điểm A B D, , thẳng hàng. Tính khoảng cách AB?

A. 71 .m B. 91 .m C. 79 .m D. 40 .m

Lời giải

Chọn B.

Ta có: Trong tam giác vuông CDA: tan 72 12'0 0 800 25,7.
tan 72 12' tan 72 12'

CD CD

AD
AD

   

Trong tam giác vuông CDB: tan 34 26'0 0 800 116, 7.

tan 34 26' tan 34 26'

CD CD

BD
BD

   

Suy ra: khoảng cách AB116, 725, 791 .m

Câu 35. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
xác định được một điểm Cmà từ đó có thể nhìn được A và Bdưới một góc 56 16 '0 . Biết

200

CA m, CB180m. Khoảng cách AB bằng bao nhiêu ?

A. 163 .m B. 224 .m C. 112 .m D. 168 .m 
Lời giải

Chọn

Không có đáp án

Ta có: AB2CA2CB22CB CA. .cosC200218022.200.180.cos 56 16'0 32416AB 180.

Câu 36. Cho đường tròn ( )C đường kính AB với A( 1; 2)  ; B(2;1). Kết quả nào sau đây là phương tích
của điểm M(1; 2) đối với đường tròn ( )C .

A. 3. B. 4. C. 5. D. 2.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: AB(3;3)AB3 2.

Đường trịn ( )C đường kính AB có tâm 1; 1
2 2

I  

  là trung điểm AB và bán kính

3 2

2 2

AB

R 

Suy ra: phương tích của điểm M đối với đường tròn ( )C là: MI2R22.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Câu 37. Cho các điểm A(1; 2), ( 2;3), (0; 4). B  C Diện tích ABC bằng bao nhiêu ?

A.13.

2 B. 13. C. 26. D.

13
.
4

Lời giải

Chọn A.

Ta có: AB ( 3;5)AB 34, AC ( 1;6)AC 37, BC(2;1)BC 5.

Mặt khác 37 34 5

2 2

AB AC BC

p      .

Suy ra: ( )( )( ) 13.
2

S  p pAB pAC pBC 

Câu 38. Cho tam giác ABC có A(1; 1), (3; 3), (6;0). B  C Diện tích ABC là

A. 12. B. 6. C. 6 2. D. 9.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: AB(2; 2) AB2 2,AC(5;1)AC 26, BC(3;3)BC3 2.
Mặt khác AB BC.  0 ABBC.

Suy ra: 1 . 6.
2

ABC

S  AB BC

Câu 39. Cho a(2; 3) và b(5; )m . Giá trị của mđể a và b cùng phương là:

A. 6. B. 13

 . C. 12. D. 15

 .

Lời giải

Chọn D.

Ta có: a b, cùng phương suy ra 5 15.

2 3 2

m
m

   



Câu 40. Cho các điểm A(1;1), (2; 4), (10; 2).B C  Góc BAC bằng bao nhiêu?

A. 900. B. 60 .0 C. 45 .0 D. 30 .0

Lời giải

Chọn A.

Ta có: AB(1;3), AC(9; 3) .

Suy ra: cos . 0 90 .0
.

AB AC

BAC BAC

AB AC

   

Câu 41. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường trịn ngoại tiếp là ?

A. 6. B. 8. C. 13

2 . D.

11
2 .

Lời giải

Chọn C.

Ta có: 52 122 132 13.
2

R

    (Tam giác vng bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng 1
2 cạnh
huyền ).

Câu 42. Cho tam giác ABC có a4,b6,c8. Khi đó diện tích của tam giác là:

A. 9 15. B. 3 15. C. 105. D. 2 15.

3

Lời giải

Chọn B.

Ta có: 4 6 8 9.

2 2

a b c

p      

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Câu 43. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường trịn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ?

A. 2. B. 2 2. C. 2 3. D. 3.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: 5 12 13 15
2

p    . Mà 52 122 132 1.5.12 30.
2

S

    

Mặt khác S p r. r S 2.

p

   

Câu 44. Tam giác với ba cạnh là 6;8;10 có bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng bao nhiêu ?

A. 5. B. 4 2. C. 5 2. D. 6.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: 62 82 102 10 5.
2

R

     (Tam giác vng bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1
2
cạnh huyền ).

Câu 45. Cho tam giác ABC thoả mãn : b2 c2 a2  3bc. Khi đó :

A. A30 .0 B. A45 .0 C. A60 .0 D. A750. 
Lời giải

Chọn A. 
Ta có:

2 2 2

3 3

cos 30 .

2 2 2

b c a bc

A A

bc bc

 

    

Câu 46. Tam giác ABC có a16,8; B56 13'0 ; C 710. Cạnh cbằng bao nhiêu?

A. 29,9. B. 14,1. C. 17,5. D. 19,9. 
Lời giải

Chọn D.

Ta có: Trong tam giác ABC: A  B C 1800 A 180071056 13'0 52 47 '0 .
Mặt khác

0
0

.sin 16,8.sin 71

19,9.

sin sin sin sin sin sin sin 52 47 '

a b c a c a C

c

A B  C A C   A 

Câu 47. Cho tam giác ABC, biết a24,b13,c15. Tính góc A?

A. 33 34'.0 B. 117 49'.0 C. 28 37 '.0 D. 58 24'.0

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

2 2 2 2 2 2

13 15 24 7

cos 117 49'.

2 2.13.15 15

b c a

A A

bc

   

    

Câu 48. Tam giác ABC có A68 12 '0 , B34 44 '0 , AB117. Tính AC?

A. 68. B. 168. C. 118. D.200.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: Trong tam giác ABC: A  B C 1800 C 180068 12 ' 34 44 '0  0 77 4'0 .
Mặt khác

0
0

.sin 117.sin 34 44'
68.

sin sin sin sin sin sin sin 77 4'

a b c AC AB AB B

AC

A B  C  B  C   C 

Câu 49. Tam giác ABC có a8,c3,B60 .0 Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu ?

A. 49. B. 97 C. 7. D. 61.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: b2a2c22accosB82322.8.3.cos 600 49 b 7.

Câu 50. Cho tam giác ABC, biết a13,b14,c15. Tính góc B ?

A. 59 49 '.0 B. 53 7 '.0 C. 59 29'.0 D. 62 22 '.0

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Lời giải

Chọn C. 
Ta có:

2 2 2 2 2 2

13 15 14 33

cos 59 29'.

2 2.13.15 65

a c b

B B

ac

   

</div>

Tổng hợp kiến thức và bài tập trắc nghiệm có hướng dẫn chi tiết chuyên đề Tích vô hướng của hai vect

§

<b>1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ </b>

<b>2 </b>

<b>Chương</b>























































 





 

 

 





















 























 

 





 









 















 



 