Tạp chí Toán học tuổi thơ 2 kỳ số 146

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2></div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

LŨY THỪA

cuỷa moọt soỏ hửừu tổ

nguyễn đức tấn (TP. Hồ Chớ Minh)

A. Kiến thức cần nhớ

Cho n là số tự nhiên khác 0 và 1, x là số hữu tỉ
khác 0. Lịy thõa bËc n cđa sè x, kÝ hiƯu lµ xn, lµ
tÝch cđa n thõa sè x

(x , n , n 1).

NÕu th×

Quy đắc x1 x; x0 1 (vắi x 0).
Cịc quy tớc

xm. xn xm n

xm: xn xm n(víi x 0, m n).
(xm)n xm.n

(x.y)n xn. yn

(x : y)n xn: yn(víi y 0).

(n , x 0).

B. Cịc dỰng bội toịn thđêng gẳp
DỰng 1. TÝnh

a) Phđểng phịp giời:VẺn dông ệỡnh nghỵa cựa lòy
thõa vắi sè mò tù nhiến, cịc cềng thục tÝch,
thđểng cựa hai lòy thõa cỉng cể sè, lòy thõa cựa
lòy thõa, lòy thõa cựa mét tÝch, mét thđểng cỉng
vắi thụ tù thùc hiỷn cịc phĐp tÝnh, tÝnh chÊt cựa
phĐp tÝnh vộ quy tớc dÊu ngoẳc.

b) C¸c vÝ dơ
VÝ dơ 1.1TÝnh

a) 2.32 171 552: (2515.519) 20150

VÝ dô 1.2TÝnh

A 1.2 2.3 3.4 ... 13.14
B 12 22 32 ... 132
C 12 22 42 62 ... 262.

DỰng 2. Viạt mét sè họu tử dđắi dỰng mét lịy
thõa

a) Phđểng phịp giời:ậĨ viạt mét sè họu tử dỰng

(a, b , b 0, ẩCLN(a, b) 1) dđắi dỰng mét
lòy thõa, ta sỳ phẹn tÝch |a| vộ b ra thõa sè nguyến
tè. ậềi khi ta cưn vẺn dơng cềng thục lịy thõa cựa
lịy thõa.

b) C¸c vÝ dơ

VÝ dơ 2.1 Viạt sè 64 dđắi dỰng lòy thõa cựa sè
nguyến. Từm tÊt cờ cịc cịch viạt.

VÝ dơ 2.2 Viạt cịc sè (0,25)2015vộ (0,125)17dđắi
dỰng lịy thõa cựa cể sè 0,5.

DỰng 3. Từm sè mò khi biạt cể sè vộ lòy thõa
a) Phđểng phịp giời:Biạn ệữi ệỬng thục ệở cho vÒ
dỰng xa xb. Lđu ý nạu x khịc 0, 1, 1 thừ a b.

b) C¸c vÝ dơ

VÝ dơ 3.1 T×m x, y , biÕt r»ng
a) 3x 2 3x 810

b) 2x 2 2x 192
c) 2x 2y 2x y.

DỰng 4. Từm cể sè biạt sè mò vộ lòy thõa
a) Phđểng phịp giời: Biạn ệữi ệỬng thục ệở cho
vÒ dỰng xn yn. Lđu ý nạu n lĨ thừ x y, nạu n
chơn vộ n 0 th x y.

b) Các ví dụ

Ví dụ 4.1Tìm x, biết

Dạng 5. So sánh hai lũy thừa

a) Phng php gii: ậđa hai sè lịy thõa cẵn so
sịnh vỊ hai lịy thõa cỉng cể sè (nạu ệđĩc) hoẳc
vỊ hai lịy thõa cỉng sè mị (nạu ệđĩc) răi so sịnh.

b) C¸c vÝ dụ
Ví dụ 5.1 So sánh
a) 32000và 23000
b) 3344và 4433

c) (202015 112015)2016vµ (202016 112016)2015.

3
4
4

3 2 2

2 1 2

a) x

3 5 125

b) (x 7) 5 86

c) x(x 13) 3x

d) (x 9) (x 4) x 4.

a
b

21 13 10 7
41 5 19 15

4 .3 16 .9

b) .

2 .9 4 .3

n
n
1
x
x
n n
n
n
a a
x .
b _b
a
x
b
n

n thừa số x

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

3

Dạng 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của biểu thức

a) Phng phịp giời:Vắi mải n *, thừ x2n 0,
dÊu “ ” xờy ra khi x 0 vộ x2n 0, dÊu “ ” xờy ra
khi x 0.

b) C¸c ví dụ

Ví dụ 6.1Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ 6.2Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Vớ dụ 6.3Tìm x, y để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ
nhất: C (x 2)2 (y 8)2 2015.

Ví dụ 6.4Tìm x, y để biểu thức sau đạt giá trị lớn
nhất

3

4 2

1 1

D 3x y 3 1963.

5 2

2

B (x 0,7) 18.

2

2 5

A x .

3 9

VÝ dô 1.1a) 125

VÝ dô 1.2Ta cã

3A 1.2.3 2.3.3 3.4.3 ... 13.14.3

1.2.3 2.3.(4 1) 3.4.(5 2) ... 13.14.(15
12)

1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 ...

13.14.15 12.13.14
13.14.15

Do đó A 13.14.5 910.
B 12 22 32 ... 132

1(2 1) 2(3 1) 3(4 1) ... 13(14 1)
A (1 2 3 ... 13)

C 12 22 42 62 ... 262
1 4(12 22 32 ... 132)
1 4.819 3277.

VÝ dô 2.1 64 26 ( 2)6 43 82 ( 8)2 641.

VÝ dô 2.2a) 0,54030 b) 0,551.

VÝ dô 3.1 a) 3x 2 3x 810 3x(32 1) 810

3x 81 34 x 4.

b) 2x 2 2x 192 2x(22 1) 192

2x 64 26 x 6.

c) 2x 2y 2x y (2x 1)( 2y 1) 1
x y 1.

VÝ dô 4.1a) x 1
b) x 10 hc x 4.

c) x(x4 13) 3x x(x4 13 3) 0

x 0 hc x4 16 x 0 hc x 2.

d) x 1, x 1, x 10.

VÝ dô 5.1 a) 32000 91000 81000 23000.
b) Ta cã

3344 (334)11 [(3.11)4]11 (34.114)11 (81.114)11
4433 (443)11 [(4.11)3]11 (43.113)11 (64.113)11
Vì 81 64 và 114 113 nên 3344 4433.

c) Ta cã (202015 112015)2016

(202015 112015)2015.(202015 112015)
(202015 112015)2015. 202015

(20.202015 20.112015)2015
(202016 112016)2015.

VÝ dụ 6.1Ta có
Vì

Dấu xảy ra khi
Vậy

Ví dô 6.2MaxB 18 khi x 0,7.

VÝ dô 6.3Ta cã

C (x 2)2 (y 8)2 2015 2015

(v× (x 2)2 0 và (y 8)2 0).

Dấu xảy ra khi x 2 0 vµ y 8 0
hay x 2 vµ y 8.

Vậy C đạt giá trị nhỏ nhất là 2015 khi x 2 và

y 8.

Ví dụ 6.4 D đạt giá trị lớn nhất là 1963 khi
và y 6.

1
x

15

5 2

MinA x .

9 3

2

2 2

x 0 x .

3 3
2
2

x 0.
3
2

2 5 5

A x

3 9 9

13.14
910 819.
2
4
b) .
9

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

4

Các em hÃy giải các dạng bài tập sau nhé.

Bi 1. Gii bất phđểng trừnh vộ biĨu diƠn tẺp
nghiỷm trến trôc sè

a) 2x 1 5 b) 3x 2 4

c) 2 5x 17 d) 5 3x 14

Bội 2.Giời cịc bÊt phđểng trừnh

a) 3(x 1) 2x 6

b) 2(x 2) 3x 7

c) 4(x 3) 2x 7

d) 6(x 1) 2x 3

Bội 3.Giời cịc bÊt phđểng trừnh
a) (x 2)2 (x 3)(x 4)

b) (x 3)2 (x 4)(x 5)
c) (x 5)2 (x 6)(x 7)
d) (x 6)2 (x 7)(x 8)

Bội 4.Giời cịc bÊt phđểng trừnh
a) 2x(6x 1) (3x 2)(4x 3)
b) 3x(2x 1) (3x 2)(2x 3)
c) 4x(x 1) (2x 3)(2x 4)
d) 3x(x 1) (x 3)(3x 5)

Bội 5. Giời cịc bÊt phđểng trừnh

Bội 6. Giời cịc hỷ bÊt phđểng trừnh

Bội 7. Giời cịc phđểng trừnh
a) |2x 1| |1 x|

b) |x 1| |2x 3|
c) |3x 2| |2x 3|

d) |x 2| |2x 1|

Bội 8.Giời cịc phđểng trừnh
a) |x 7| 2x 3

b) |x 4| 2x 5
c) |x 3| 3x 1
d) |x 2| 3 2x

Bội 9.Giời cịc bÊt phđểng trừnh

c) (x 2)(x 5) 0 d) (x 3)(x 1) 0

Bµi 10.Cho a, b, c 0. Chøng minh r»ng
a) a4 b4 2a2b2

b) a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2
c) a2b2 b2c2 2ab2c

d) a2b2 b2c2 c2a2 abc(a b c)

(với a, b, c là
độ dài ba cạnh của tam giác có nửa chu vi là p)

4

4 4 (a b)

m) a b .

8
2

2 2 (a b)

k) a b

2

1 1 1 4 4 4

j)

a b c a 2b c b 2c a c 2a b

1 1 1 1 1 1

i) 2( )

p a p b p c a b c

1 1 1 9

h)

a b c a b c

1 1 4

g)

a b a b
ab bc ca

f) a b c

c a b

ab bc
e) 2b
c a
x 2
b) 0
x 5
x 2
a) 0
x 3

4x 5 3x 8
d)

3x 2 x 2
3x 7 2x 4
c)

3x 5 x 3
4x 1 2x 3
b)

5x 3 4x 5

2x 3 x 1
a)

3x 2 x 1

2x 1 3x 1 7x 3
d)

3 4 12

x 3 2x 1 5 x
c)

4 3 12

3x 1 2x 3 15x 13
b)

2 3 6

2x 3 3x 2 x 3
a)

3 4 6

ÔN TẬP CHƯƠNG IV ĐẠI SỐ 8

NGUYN ĐứC HảO

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

5

(TTT2 số 144)
Nhn xt.Quy lut kừ nộy tđểng ệèi khã phịt hiỷn,

vì dấu hiệu đặc trðng khơng rõ.

Quy luật.ởmỗi hình a), b), c) có hai cột số nằm
bên trái và bên phải hình trịn lớn. Trong các hình
a) và b) có một cặp số giống nhau, mỗi số nằm ở
một cột. Ngoài ra, số ở vòng tròn lớn bằng tổng
của hai số giống nhau đó trừ đi 1, cụ thể:

H×nh a): (3 3) 1 5;
H×nh b): (18 18) 1 35.

Theo quy luật đó, số cần điền vào vị trí dấu chấm
hỏi ở hình c) là (43 43) 1 85.

Xin trao thđẻng cho cịc bỰn: Lế Thỡ
Thanh Hđểng, NguyÔn Trung Vđểng,
6D, THCS Vnh Tờng, Vnh Tờng, Vnh Phúc;

Nguyễn Văn Huỳnh, 7A2, THCS Yên Phong, Yên

Phong, Bắc Ninh; Trịnh Tùng Huy, 8A4, THCS
Trần Đăng Ninh, TP. Nam Định, Nam Định;

Nguyễn Hoộng Anh, 7B, THCS Ngun Thđĩng
HiỊn,ụng Hưa. Hộ Néi.

Cịc bỰn sau ệđĩc tuyến dđểng: NguyÔn Khớc

Nhẹn, Lế Thạ Hời, 7A3, THCS Lm Thao, Lm
Thao,Phú Th.

nguyễn Xuân Bình

ẹIEN SO NAỉO?

Bài 1.Điền số còn thiếu vào dÃy sau:

Bi 2. Cho dởy sè 23, 35, 56, ... trong ệã mẫi sè hỰng
cựa dởy bỪng tững cịc chọ sè cựa sè hỰng ệụng kÒ ngay
trđắc nã nhẹn vắi 7. Hái sè hỰng thụ 2015 lộ sè nộo?

Ngun §øc TÊn(TP. Hå ChÝ Minh)

SO NAỉO?

Bạn Trần Thị Diễm Quỳnh, 8G, THCS Đặng
Thai Mai, TP. Vinh, Nghệ An có lời giải bằng
thơ nh sau:

Bn trng chu thit thưi
ThÝ hẺu xuèng e8
Vua ệen liÒn xềng xịo
Võa trềng thÊy ẽn ngay
Tđẻng nhđ thạ mộ hay
Nhđng ệõng véi mõng nhĐ
ậềi song mở bến trớng
Liến kạt lỰi vắi nhau
Phờn cềng lỰi thạ cuéc

Mở xuèng liÒn f6
Vua sĩ lÈn d8

Mã tiếp tục xông pha
Xuống tận ô f7
Vậy thế trận đã rõ
Bên đen phải đầu hàng
Còn bên trắng liên hoan.

Ngoội bỰn Quúnh, cịc bỰn Vò Quang
Phong, 8A1, THCS Hộn Thuyến,
Lđểng Tội, Bớc Ninh;Hoộng Lế Cềng
Khềi, 8B, THCS Thanh Hộ, Thanh Ba, Phó
Thảcịng cã lêi giời ệóng ệđĩc thđẻng kừ nộy.

Lª thanh tó

Đen đi trước tìm cách thắng.

LÊ THANH TÚ

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

6

Bµi toán 1. Cho a 3, tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa

Lời giải.Ta dự đốn P đạt giá trị nhỏ nhất khi a 3.
Từ đó ta có lời giải sau.

Vì a 3 và áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

DÊu “ ” x¶y ra khi a 3.

Vậy khi a 3.

Bài toán 2. Cho x, y, z 0 tháa m·n xyz 1.
Chøng minh r»ng

Lời giải.áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

Chụng minh tđểng tù răi céng theo v cc bất
ng thc ó ta c

Bài toán 3.Cho a, b, c 0 tháa m·n a b c 6.
Tìm giá trị nhỏ nhất của

Li gii. Vỡ a b c 6 nên áp dụng bất đẳng
thức AM-GM ta có

DÊu “ ” x¶y ra khi a 1, b 2, c 3.
VËy MinP 24 khi a 1, b 2, c 3.

Bài toán 4.Cho c¸c sè thùc a, b, c [0, 1]. Chứng
minh rằng

2(a3 b3 c3) 3 a2b b2c c2a.

Lời giải. Vì a, b, c [0, 1] nªn

(1 a2)(1 b) (1 b2)(1 c) (1 c2)(1 a) 0
3 (a2b b2c c2a) (a2 b2 c2) (a b
c) 0

3 a2b b2c c2a a2 b2 c2 a b c
Mµ a, b, c [0, 1] nªn

a2 b2 c2 a b c 2(a3 b3 c3).
Suy ra ®pcm.

Chóng mừnh cỉng từm hđắng giời cịc bội tẺp sau
nh

Bài 1.Cho các số thực x, y, z thỏa mÃn x2 y2 z2
2. Chøng minh r»ng x y z xyz 2.

Bµi 2. Cho x, y tháa m·n x, y 0 và x2 y2 1.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P x3 y3.

Bài 3. Cho c¸c sè thùc x, y kh¸c 0 tháa m·n
(x y)xy x2 xy y2. Tìm giá trị lớn nhất của

Bài 4. Các số thực a, b, c [ 1, 2] tháa m·n
a2 b2 c2 6. Chøng minh r»ng a b c 0.

3 3

1 1

A .

x y

1 8 27

P a 2b 3c

a b c

4(a b c) 2 8 18 4.6 24.
1 8 27

P 5a 6b 7c .

a b c

3

1 1 1

P 3

xy yz zx

x y z

3 3( x y z)

xyz

3.3 x. y. z 3 3.

3 3 3 3 3

3 3

1 x y 3 1.x .y 3xy

1 x y 3xy _{3 .}

xy xy xy

3 3 3 3 3 3

1 x y 1 y z 1 z x

P 3 3.

xy yz zx

10
MinP

3

1 9 8 9 8

P a a 2 a

a a a a a

8 10

6 .

3 3

1

P a .

a

BẤT ĐẲNG THC Cể IU KIN

Nguyễn Thu thủy

(HS. 9A5 THCS Nguyễn Đăng Đạo, TP. Bắc Ninh, Bắc Ninh)

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

7

Câu 1.Tính A 1 2 22 23 ... 2100.

C©u 2.Thùc hiƯn phÐp tÝnh

C©u 3. Cho tØ lƯ thøc Chøng minh r»ng

Câu 4. Tìm số tự nhiên n để phân số cú giỏ
tr ln nht.

Câu 5. Tìm tất cả các nghiệm của đa thøc
f(x) 3x2 2x 1.

Cẹu 6. Ba lắp 7A, 7B, 7C cã 94 hảc sinh tham gia

trăng cẹy. Mẫi hảc sinh lắp 7A trăng ệđĩc 3 cẹy,
mẫi hảc sinh lắp 7B trăng ệđĩc 4 cẹy, mẫi hảc
sinh lắp 7C trăng ệđĩc 5 cẹy. Hái mẫi lắp cã bao

nhiếu hảc sinh, biạt rỪng sè cẹy cịc lắp ệã trăng
ệđĩc lộ nhđ nhau.

Câu 7. Cho tam giác ABC có Vẽ ra phía
ngồi tam giác đó các tam giác vng cân tại A là
ADB và AEC. Chứng minh rằng DC BE và
DC BE.

o
A 90 .

7n 8
2n 3

2 2

2 2

a c _a.

b

b c

a c .
c b

12 5 6 2 10 3 2 2

2 6 4 5 3 9 3

2 .3 4 .9 5 .7 25 .49

B .

(2 .3) 8 .3 (125.7) 5 .14

1 1 1 1

A ... .

4.9 9.14 14.19 44.49

ẹỀ THI HOẽC SINH GIỎI LễÙP 7 CẤP TRệễỉNG

Thời gian làm bài:120 phút (khơng kể thời gian giao đề)

MÃ ĐỀ: RDKTH020

Bội 5. Cho cịc sè thùc dđểng x, y tháa mởn
Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa P x y.

Bµi 6. Cho a, b 0 vµ a b 1. Tìm giá trị nhỏ
nhất của

Bài 7. Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n x2 y2 25.
Chøng minh r»ng |3x 4y| 25.

Bµi 8.Cho x, y, z 0 thỏa mÃn 4x 9y 16z 49.
Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa T 1 25 64.

x y z

1

S ab .

ab
2 3 6.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

8

B. Đề thi đồng đội

1.Mẫi sè trong cịc sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 vộ 9
ệđĩc ệẳt trong cịc hừnh trưn khịc nhau trong hừnh
sau. Hai sè tù nhiến liến tiạp khềng ệđĩc ệẳt vộo
hai hừnh trưn ệđĩc nèi vắi nhau bỪng mét ệoỰn
thỬng. Tững cựa cịc sè nỪm trến chu vi cựa mét
hừnh chọ nhẺt bỪng sè ẻ bến trong cựa hừnh chọ
nhẺt ệã. BỰn hởy ệẳt cịc sè vộo cịc hừnh trưn sao
cho tháa mởn yếu cẵu trến. (Canada ệÒ nghỡ)

2.ậé dội ba cỰnh, tÝnh theo cm cựa mét tam giịc
vuềng lộ cịc sè nguyến dđểng nguyến tè cỉng
nhau. ậđêng thỬng ệi qua trảng tẹm vộ tẹm
ệđêng trưn néi tiạp cựa tam giịc ệã vuềng gãc vắi
mét cỰnh gãc vuềng. TÝnh giị trỡ lắn nhÊt cựa chu

vi tam giịc ệã theo cm. (Mexico ệÒ nghỡ)

3.Cho tam gi¸c ABC cã A 40o, B 60o. Tia
phân giác của A cắt BC tại D, và F là điểm trên
cạnh AB sao cho ADF 30o. TÝnh DFC.

(Mexico đề nghị)

4. Chọ sè ệẵu tiến cựa mét sè nguyến dđểng cã
2013 chọ sè lộ 5. BÊt kừ hai chọ sè nộo kÒ nhau
liến tiạp ệÒu lộ béi cựa 13 hoẳc 27. Tững cịc giị
trỡ khịc nhau cã thÓ cựa chọ sè cuèi cỉng cựa sè
trến bỪng bao nhiếu? (Nam Phi ệÒ nghỡ)

5. Trong mét giời ệÊu, cụ hai ngđêi bÊt kừ ệÒu
tham gia mét trư chểi vắi nhau. Khềng cã trẺn ệÊu
nộo kạt thóc hưa. Sau khi tững kạt giời ệÊu thừ
ngđêi ta thÊy cụ bÊt kừ hai ngđêi X vộ Y nộo thừ ệÒu
cã mét ngđêi Z thớng cờ hai ngđêi ệã. Trong giời
ệÊu ệã:

a) Chụng minh rỪng sè ngđêi chểi khềng thÓ lộ
sịu ngđêi.

b) Chụng minh rỪng sè ngđêi chểi cã thÓ lộ bờy
ngđêi.

(Mexico đề ngh)

6.Cho hình ngũ giác ABCDE có ABC DEA

90o. AB BC, DE EA và BE 100 cm. Tính diện
tích của ngũ giác ABCDE theo cm2. (Nga đề nghị)
DTH(Dịch và giới thiệu)

ĐỀ THI OLYMPIC

TOÁN HỌC TRẺ QUỐC TẾ TẠI BULGARIA

(BIMC 2012)

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

9

7.Hai ngđêi chểi bớt ệẵu tõ mét chÊm ệen trến mẫi ề vuềng cựa mét
bờng 100 100 găm toộn ề vuềng chụa cịc chÊm ệen. Mẫi lđĩt chểi
mẫi ệÊu thự phời loỰi bá mét sè nguyến dđểng cịc chÊm ệen. Hả phời
bớt ệẵu tõ ề vuềng tỰo thộnh hừnh chọ nhẺt trong ệã khềng cã ề vuềng
khềng chụa chÊm ệen. ậÊu thự nộo loỰi bá chÊm ệen cuèi cỉng lộ
ngđêi thua cuéc. Hởy chử ra mét cịch chểi ệÓ ngđêi chểi trđắc luền
thớng cuéc. (NhẺt Bờn ệÒ nghỡ)

8.Trong mét bờng trđng bộy kÝch thđắc 5 5 cã 20 viến ệị quý găm:
5 viến mộu ệá, 5 viến mộu vộng, 5 viến mộu xanh da trêi, 5 viến mộu
xanh lị cẹy. Trong mẫi hộng, mẫi cét ệÒu cã mét ề trèng vộ cã 4 viến
ệị quý khịc mộu. Cã 12 ngđêi ệụng chiếm ngđìng cịc viến ệị quý,
mẫi ngđêi chử nhừn vộo mét hộng hoẳc mét cét vộ ngđêi ệã sỳ cho biạt
mộu sớc cựa viến ệị ẻ ề ệẵu tiến mộ ngđêi ệã nhừn thÊy hoẳc cho biạt
mộu sớc cựa viến ệị ẻ ề thụ hai nạu ề ệẵu tiến khềng chụa viến ệị
nộo. Cịc bịo cịo ệđĩc cho bẻi sể ệă dđắi ệẹy. Trong ệã R, Y, B vộ G
thay cho mộu ệá, vộng, xanh da trêi vộ xanh lị cẹy. Trong sể ệă sau

bỰn hởy ệiÒn R, Y, B vộ G vộo 20 ề trong 25 ề cựa bờng ệÓ thÓ hiỷn vỡ

11.PQRSTU is a regular hexagon with side 2 cm.
The polygon ABCDEFGHIJKL is obtained by
drawing the equilateral triangles of side 4 cm,
producing the sides of the hexagon.

Find

12. Nine lines, parallel to the base of a triangle,
divide each of the other sides into 10 equal
segments and the area into 10 distinct parts. Find
the area of the original triangle, if the area of the
largest of these parts is 76 cm2.

13.The dates of three Sundays in a month are even
numbers. What day is the 28th day of the month?

14.The company Coco has a number of operational
cars. The tax for the first car is $2,000, the tax for
second car is 5% more than the tax for the first
car, the tax for third car is 10% more than the tax
for the first car, the tax for the other cars are 15%
more than the tax for the first car. The company
pays $15,500 tax for all cars. How many cars
does the company have?

15.There are 1500 red dots and 513 white dots
on a circle. We write 1 between two red dots, 1
between two white dots, and 0 between two dots

that have different colours. What is the sum of the
2013 numbers we have written on this circle?

Kì sau đăng tiếp

area of ABCDEFGHIJKL .
area of PQRSTU

10

th

INTERNATIONAL MATHEMATICS...

(TiÕp theo trang 24)

trí và màu của các viên đá
quý.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

10

Bài 1.a) Điều kiện x 0, x 1.

b) Ta có

thỏa mÃn điều kiện.

Vậy tại

c) Với x 0 và x 1, ta có

Mặt khác

Từ (1) và (2) suy ra 0 Q 2.

Bµi 2. a) Ta cã

b) Phẹn tÝch bÊt phđểng trừnh trẻ thộnh

(2x y)2 (y z 1)2 (z 3)2 0.

Từ đó (x; y; z) (1; 2; 3).
c) Điều kiện x 3. Đặt
Suy ra

Ta ệđĩc phđểng trừnh

a 2 (v× a 0)

Chó ý. Ta cã thĨ giời (1) bỪng cịch bừnh phđểng

hai vạ răi ệẳt Èn phụ ể a về phng

trình bậc bốn ẩn y.

Bài 3. a) Ta cã

Suy ra 3x3 8x2 2 1 B ( 1)2015 1.

b) Ta thÊy x y. Gi¶ sö x y.

Suy ra 3x 3y 1 px p 3.

TH1.p 2 2x 3y 1 6x 2 9y 5 hay

2(3x 1) 9y 5. Suy ra 5 y.
Từ đó y 5, x 8.

TH2.p 1 x 3y 1 3x 1 9y 4. Do đó

4 y. Từ đó y 2, x 7 hoặc y 4, x 13.
Vậy (x; y) (8; 5), (5; 8), (7; 2), (2; 7), (13; 4), (4; 13).

Bµi 4. a) Ta cã

Suy ra EAF BAC (c.g.c).

Từ đó AEF 2 2

ABC

S AE _{cos A.}

S AB
AE AF
cosA .
AB AC
3
3
2

( 5 2) ( 5 2) ( 5 2)( 5 2) 1

x .

3

5 3 5

5 (3 5)

2
1 a
y
5
11
x .
4
2 2
2 2
2 2

(5a 4 4a )

(a 2) 0

1 a ( 5a 2 1 a )
a 2

(a 2) 1 0

1 a ( 5a 2 1 a )

2
5a

a 4 (1)

1 a
2

2 2

1 1 a

x 3 x 4 .

a a

1 _{a (a 0).}

x 3

2014 2015 2015 1 2014 1

2015 2014 2015 2014

1 1

2015 2014

2014 2015

2015 2014.

2
2( x 1)

2 Q 0. (2)

x x 1

2 x 2 x

Q 0. (1)

P x x 1

1
x .
4
min 3
P
4

3 1 1

P x x :

4 2 4

2

1 3 3

P x x 1 x .

2 4 4

x(x x 1) x(2 x 1) 2( x 1)( x 1)

P

x x 1 x x 1

x( x 1) (2 x 1) 2( x 1) x x 1.

2
2
5a 2 1 a

(a 2) 0

1 a

Năm học 2014 - 2015

(Đề đăng trên TTT2 số 145)

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

11

Bài 1.(4,0 điểm)

a) Cho các sè a, b, c kh¸c nhau tháa m·n
a2(b c) b2(c a) 2015.

Tính giá trị của biểu thức M c2(a b).

b) Chụng minh rỪng nạu |a| |b| 2 thừ phđểng

trừnh (Èn x): 2ax2 bx 1 a 0 cã nghiỷm.

Bµi 2.(4 điểm)

Gii cc phng trnh v h phng trnh sau:

Bài 3.(4 ®iĨm)

a) Cho a, b, c 0 tháa m·n a b c abc.
Chøng minh

b) Từm tÊt cờ cịc sè nguyến tè p tháa mởn p2 23
cã ệóng 6 c số dng.

Bài 4.(6 điểm)

Cho tam gic ABC nội tiạp ệđêng trưn (O; R) cã
M lộ ệiÓm di ệéng trến cung
AC. Gải D lộ giao ệiĨm cựa AM vộ BC.

a) Tính độ dài BC theo R.

b) Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng AD. Xác
định vị trí của M để AM ON nh nht.

Bài 5.(2 điểm)

Cho t gic ABCD nội tip ệđêng trưn (O). Cịc
tia BA, CD cớt nhau tỰi E, cịc tia DA, CB cớt
nhau tỰi F. ậđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc CEF

cớt (O) tỰi N (khịc C). Gải M lộ trung ệiÓm cựa
ệoỰn thỬng EF. Chụng minh M, A, N thỬng hộng.

AB AC 2R.

2 2 2

1 1 1 _3.

2

1 a 1 b 1 c

3 2

3

3

2 2 2

x 3x

a) x 7 0

x 1
(x 1)

xy x 1 7y
b)

x y xy 1 13y

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9

QUẬN 1, TP. H CH MINH (VềNG 2)

Năm học: 2014 - 2015

Thêi gian lµm bµi:120 phót

b) Tõ kạt quờ cẹu a) ta cã S_AEF cos2A.S_ABC.
Tđểng tù S_BFD cos2B.S_ABC, S_CDE cos2C.S_ABC.
Mộ ABC nhản nến cịc ệiÓm D, E, F tđểng ụng
thuéc cịc cỰnh BC, CA, AB.

Do đó S_DEF S_ABC S_AEF S_BFD S_CDE
(1 cos2A cos2B cos2C)S_ABC.

c) Vì B 90o FCB DHC nên

Mà nên

d) Vì FCA ECH (g.g) nên

Tng tự
Do ệã

Ta CM ệđĩc (x y z)2 3(xy yz zx). (*)

¸p dơng (*) ta cã

Suy ra

Bội 5. Ta thÊy 36x, 5y cã chọ sè tẺn cỉng tđểng
ụng lộ 6, 5.

TH1.A 1 36x 5y 1 36x 1 5y: loại vì
36x 1 7 nhng 5ykhông chia hết cho 7.

TH2.A 9 5y 36x 9 5y 36x 9: loại vì

36x 9 9 nhðng 5ykh«ng chia hÕt cho 9.

TH3.A 11 36x 5y 11.
Thö x 1, y 2 tháa m·n.
VËy A_min 11.

HA HB HC _3.

BC AC AB

HA.HB HB.HC HC.HA

3. 3.

BC.BA CA.CB AB.AC
2
HA HB HC
BC AC AB

HBC HCA HAB

ABC

S S S _1.

S

HC.HB HB.HA HA.HC
AC.AB AC.BC AB.BC

HAC
HAB

ABC ABC

S
S

HB.HA _,HA.HC _.

AC.BC S AB.BC S

HBC
ABC
S

HC CE HC.HB CE.HB _.

AC CF AC.AB CF.AB S

AD AH HD AH

tanB.tanC 1 k 1.

HD HD HD

AD
tanC

DC
DC

tanB tanDHC .

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

12

Bài 1(144). Chứng minh rằng số 1280000401 là
hợp số.

Lời giải.Đặt a 20 thì

M 1280000401 128.107 4.102 1

27.107 22.102 1 a7 a2 1

a(a6 1) a2 a 1

a(a3 1)(a3 1) a2 a 1

a(a3 1)(a 1)(a2 a 1) a2 a 1

(a2 a 1) [a(a3 1)(a 1) 1].

Chụng tá sè A cã Ýt nhÊt hai đắc sè lắn hển 1. VẺy
A lộ hĩp sè.

NhẺn xĐt.Bội toịn nộy khềng khã vắi hảc sinh vừ
sỏ dông hỪng ệỬng thục vộ phẹn tÝch ệa thục
thộnh nhẹn tỏ. Khị nhiÒu bỰn tham gia giời bội vộ
giời ệóng. Mét sè bỰn ệở phịt hiỷn ra 1280000401
lộ tÝch cựa 421 vắi 3040381 nhđng khềng chử ra
cịch từm. Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: NguyÔn Thỡ
Mủ Linh, NguyÔn Tỉng Lẹm, NguyÔn Họu Trung
Kiến, NguyÔn Thỡ Thu HỪng, Bỉi Thỡ Quúnh,
PhỰm Quang Sịng, Trẵn Ngảc ậỰt, Bỉi Hđểng
Giang, ậinh Thỡ Ngảc Anh, 7A3, THCS Lẹm Thao,
Lẹm Thao, Phó Thả; Thịi Phđểng Thờo A, 7C;

NguyÔn Träng Trung Phong, 6C, THCS Bạch
Liêu, Yên Thành, Nghệ An.

Phùng kim dung

Bài 2(144). Cho tam giác ABC có

V AH vuềng gãc vắi BC tỰi H. Trến tia AB lÊy
ệiÓm D sao cho AD HC. Chụng minh rỪng
ệđêng thỬng DH ệi qua trung ệiĨm cựa ệoỰn
thỬng AC.

Lêi gi¶i.

Tõ giả thiết ta có nên AC AB.
Suy ra HC HB.

Từ đó, nếu trên đoạn thẳng HC lấy điểm I sao cho
IH HB thì AHI AHB (c.g.c)

AI AB và
Mặt khác

Do ú IA IC HC hay AB HC AD.
Suy ra điểm B nằm giữa A và D.

Gọi K là giao điểm của DH với AC.
Vì AD HC, AB IC nên BD HI HB.
Do đó

Từ đó

VËy KA KH KC. (®pcm)

Nhận xét. Có nhiều bạn giải đúng bài tốn này.
Xin nêu tên một số bạn có lời giải gọn hơn cả:

NguyÔn Minh ậục, 7A1, THCS Nhẹn ChÝnh,
Thanh Xuẹn; NguyÔn Ngảc Anh Tó, 7B, THCS
Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa, Hộ Néi;TỰ Nam
Khịnh, Chu Thỡ Thanh, 7E1, THCS Vỵnh Tđêng,

Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Ngun Thỉy Dđểng,
7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;Bỉi
Thỡ Minh Thu, 7C, THCS Ngun Cao, Quạ Vâ,

Bớc Ninh; Vị HỰ Ly, 7A, THCS Nam Cao, Lý
Nhẹn,Hộ Nam;Phỉng Hoội Thđểng, Vâ Thỡ Bờo
Anh, 7A1, THCS Nghi Hđểng, TX. Cỏa Lư; Ngề
Vẹn Anh, NguyÔn ậừnh ậỰt, Chu TuÊn Nghỵa, 7C,
THCS BỰch Liếu, Yến Thộnh, Nghỷ An;NguyÔn
Vẽn Thanh Sển, 7/1, THCS NguyÔn Khuyạn, Hời
Chẹu, ậộ Nơng;NguyÔn Hoộng Nhi, 7A6, THCS
Thèt Nèt, Thèt Nèt, Cẵn Thể.

hå quang vinh

Bội 3(144). Giời hỷ phđểng trừnh vắi x, y, z lộ
nhọng sè thùc dng

(x 1)(y 3)(z 5) 105;

Lời giải.Điều kiện:

2(y2 z2) x2; 2(z2 x2) y2; 2(x2 y2) z2.

ịp dông bÊt ệỬng thục AM-GM cho hai sè dđểng,
ta cã

2 2 2 2 2 2
2 2 2

x y

2(y z ) x 2(z x ) y

z _3.

2(x y ) z

KHC ACB KAH KHA.

1

BDH BHD ABC ACB.

2

AIB ACB IAC IAC ACB.
AIB ABC 2ACB.

B C

o

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

13

ậỬng thục xờy ra khi vộ chử khi 2x2 y2 z2.
Tđểng tù:

Céng theo vạ cựa ba bÊt ệỬng thục, ta ệđĩc

Do ệã phđểng trừnh thụ hai cựa hỷ phđểng trừnh
tháa mởn khi vộ chử khi x y z.

Thay kạt quờ ệã vộo phđểng trừnh thụ nhÊt trong
hỷ, ta ệđĩc (x 1)(x 3)(x 5) 105.

ậẳt t x 3 thừ phđểng trừnh trẻ thộnh

(t 2)t(t 2) 105 t3 4t 105 0

(t 5)(t2 5t 21) 0 t 5

(v× t2 5t 21 0).
Suy ra x y z 2.

VËy cã nghiƯm duy nhÊt lµ x y z 2.

Nhận xét. Điều then chốt của lời giải là chứng
minh bất đẳng thức (*) để suy ra x y z 2. Các
bạn sau đây có kết quả đúng: Trần Thị Thu
Huyền, Nguyễn Thảo Chi, 8A3, THCS Lâm Thao,
Lâm Thao; Hoàng Lê Công Khôi, 8B, THCS
Thanh Hà, Thanh Ba, Phú Thọ; Nguyễn Tuấn
Anh, 9A5, THCS Nguyễn Đăng Đạo, TP. Bắc
Ninh, Bắc Ninh; Đặng Quang Anh, 8A, THCS
Nguyễn Chích, Đơng Sơn, Thanh Hóa.

Ngun Anh Dịng

Bội 4(144). Cho a, b vộ c lộ cịc sè thùc dđểng

tháa mởn a2 b2 c2 2abc 1.

Chụng minh rỪng a2b2 b2c2 c2a2 12a2b2c2.
Lêi giời. BÊt ệỬng thục cẵn chụng minh tđểng
ệđểng vắi

áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta cú

Suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi

NhẺn xĐt: Bội toịn trến cã nhiÒu hđắng giời khịc
nhau vộ cã rÊt nhiÒu bỰn tham gia giời bội, hẵu
hạt cịc bỰn giời ệóng. Nhọng bỰn sau ệẹy cã lêi
giời ệóng vộ ngớn gản: ậẳng Thanh Tỉng, Vđểng
Tiạn ậỰt, NguyÔn Vẽn Cao, 9B, THCS Ngun
Thđĩng HiỊn, ụng Hưa; TỰ Lế Ngảc Sịng, 8A;

ậoộn Ngảc Hiạu, 9B, THPT chuyến Hộ Néi
-Amsterdam, Cẵu GiÊy; NguyÔn Duy Khđểng,
9A9, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh; PhỰm Trđêng
Giang, An Nẽng Quèc, ậẳng ậục Thộnh, Phan
Thộnh Trung, 9A4, THCS Ngề Sỵ Liến, Hoộn
Kiạm,Hộ Néi;Ngun ậục Phó, 7A1, THCS Nghi
Hđểng, Cỏa Lư, Nghỷ An; PhỰm Thu Bớc, 8A4,
THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc; ậẳng
Quang Anh, 8A, THCS NguyÔn ChÝch, ậềng Sển,

Thanh Hãa; NguyÔn Thị Bích Hằng, 9A, THCS
Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh.

Cao văn dũng

Bi 5(144).Dng cc hnh vuềng cỰnh 1 cm, 2 cm
vộ 3 cm ệÓ ghĐp lỰi ệđĩc mét hừnh vuềng cỰnh
2015 cm. Chụng minh rỪng luền cẵn Ýt nhÊt mét
hừnh vuềng cỰnh 1 cm. Hởy chử ra mét cịch ghĐp
mộ chử dỉng ệóng mét hừnh vuềng cỰnh 1 cm.
Lêi giời. (Dùa theo lêi giời cựa bỰn NguyÔn Vẽn
Thanh Sển, 7/1, THCS NguyÔn Khuyạn, Hời
Chẹu, ậộ Nơng)

Ta chia hừnh vuềng cỰnh 2015 thộnh cịc hừnh
vuềng cỰnh 1 cm vộ ệịnh sè cịc hộng tõ trến
xuèng dđắi lộ hộng 1, hộng 2,... , hộng 2015.
Ta tề mộu vộng cịc hộng cã sè thụ tù lĨ vộ tề mộu
ệá cịc hộng cã sè thụ tù chơn.

Ta gải ề vuềng cỰnh 1 cm lộ ề, ề vuềng cỰnh 1 cm
ệđĩc tề mộu vộng lộ ề vộng vộ ề vuềng cỰnh 1 cm
ệđĩc tề mộu ệá lộ ề ệá. Khi ệã sè ề ệá Ýt hển sè
ề vộng lộ 2015 ề. (1)

Giờ sỏ ta phự kÝn ệđĩc hừnh vuềng cỰnh 2015 chử
bỪng cịc hừnh vuềng cỰnh 2 cm vộ 3 cm. Vắi
cịch tề mộu trến thừ mẫi hừnh vuềng cỰnh 2 cm
ệÒu lÊp ệẵy 4 ề trong ệã luền lộ 2 ề vộng vộ 2 ề
ệá; mẫi hừnh vuềng cỰnh 3 cm ệÒu lÊp ệẵy 9 ề
trong ệã cã 6 ề vộng vộ 3 ề ệá hoẳc 3 ề vộng vộ
6 ề ệá. Do ệã hiỷu sè ề ệá vộ ề vộng ệđĩc lÊp

ệẵy bẻi chử cịc hừnh vuềng cỰnh 2 cm hoẳc chử
hừnh vuềng cỰnh 3 cm hoẳc cờ hai hừnh vuềng
cỰnh 2 cm vộ 3 cm ệÒu lộ mét sè chia hạt cho 3.
ậiÒu nộy mẹu thuÉn vắi (1) vừ 2015 lộ sè khềng
chia hạt cho 3. Suy ra ệiÒu giờ sỏ lộ sai. VẺy
khềng thÓ phự kÝn ệđĩc hừnh vuềng cỰnh 2015 cm
chử bỪng cịc hừnh vuềng cỰnh 2 cm hoẳc 3 cm.
Ta chử ra mét cịch phự hừnh vuềng cỰnh 2015 cm
mộ chử dỉng ệóng mét hừnh vuềng cỰnh 1 cm, cịc

1

a b c .

2

3
3

2 2 2 2 2 2

1 1 1 ₃ 1 _{3 64 12.}

a b c a b c

4

2 2 2 3 3 3 1

1 a b c 2abc 4 2a b c abc ;

8

2 2 2

1 1 _{1 12.}

a b c

2 2 2 2 2 2

2 2 2

x y

2(y z ) x 2(z x ) y

z _3.

2(x y ) z

2

2 2 2

2 2 2

z 3z _.

x y z

2(x y ) z

2

2 2 2

2 2 2

y 3y _;

x y z

2(z x ) y

2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

x 3x

2(y z ) x ( 3x) 2(y z ) x

2 3x 3x _{. (*)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

14

hừnh vuềng cỰnh 2 cm vộ cnh 3 cm nh hnh v
di y.

Ban đầu, ta phủ hình vuông cạnh 11 cm bằng một
hình vuông cạnh 1 cm và các hình vuông cạnh
2 cm, cạnh 3 cm nhð sau:

Ta phự hừnh chọ nhẺt kÝch thđắc 1002 cm 1013 cm
bỪng cịc hừnh vuềng cỰnh 2 cm vộ cỰnh 3 cm nhđ
sau:

Ta phự hừnh vuềng cỰnh 2015 cm bỪng 4 hừnh chọ
nhẺt kÝch thđắc 1002 cm 1013 cm vộ mét hừnh
vuềng cỰnh 11 cm nhđ sau:

NhẺn xĐt.Mét sè bỰn ệở chụng minh ệđĩc khềng
thÓ phự kÝn hừnh vuềng ệở cho bỪng cịc hừnh
vuềng kÝch thđắc 2 cm vộ 3 cm nhđng khềng chử
ra ệđĩc cịch phự khi vắi mét hừnh vuềng cỰnh
1 cm nhđ yếu cẵu ệÒ bội. Chử cã bỰn NguyÔn Vẽn
Thanh Sểncã lêi giời trản vứn cho bi ton ny.

TRịNH HOàI DƯƠNG

Bi 6(144).Cho tam gic ABC nhản cã ba ệđêng
cao AD, BE, CF cớt nhau tỰi H. AD cớt EF tỰi I.
LÊy ệiÓm K trến ệoỰn thỬng CD. Vỳ AS vuềng gãc
vắi HK tỰi S. Chụng minh rỪng SH lộ tia phẹn giịc
cựa gãc ISD.

Lêi giời. Gải M, N theo thụ tù lộ giao ệiÓm cựa
SD, SI vộ ệđêng thỬng qua H vuềng gãc vắi SH.

V× SA SH, MN SH nên SA // MN. (1)

Vì các tứ giác HECD, FACD, HEAF nội tiếp nên
Kết hợp víi AE EH, suy ra EH vµ EA theo thứ tự
là phân giác trong và phân giác ngoài của tam
giác EID. (2)

Từ (1) và (2) suy ra
Do đó HM HN.

KÕt hỵp víi SH MN, suy ra SH là phân giác của
góc ISD.

Nhận xét. Các bạn sau có lời giải tốt: Đặng
Quang Anh, 9A, THCS Nguyễn Chích, Đông Sơn,

Thanh Hãa; NguyÔn Thỡ BÝch HỪng, 9A, THCS
Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;NguyÔn Vẽn
Cao, ậẳng Thanh Tỉng, Vđểng Tiạn ậỰt, 9B,
THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa, Hộ Néi.

Ngun Minh Hµ

HM HM AS HD AI HD AI ED EI_. _. _. _. _1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

15

CÒN LẠI SỐ NÀO?

CHIA ứỷƠửNG TROửN THAửNH BỐN PHẦN

(TTT2 sè 144)
Dùng hừnh. - Dùng mét ệđêng thỬng qua O cớt

ệđêng trưn (O) tỰi A, B.

- LÊy ệiÓm M bến ngoội (O). Nèi MA, MB cớt (O)
tỰi ệiĨm E, F tđểng ụng.

- Nèi AF, BE c¾t nhau tại H.
- Nối MH cắt (O) tại P, Q.
- Nối PO cắt (O) tại R.
- Nối AQ cắt BR tại N.
- Nối NO cắt (O) tại C, D.

Ta c bèn ệiÓm A, C, B, D chia ệđêng trưn ệở
cho thộnh bèn phẵn bỪng nhau.

Chụng minh.Ta thÊy AF, BE lộ ệđêng cao cựa tam
giịc ABM nến H lộ trùc tẹm tam giịc MAB.
Do ệã PQ AB.

Mộ PR lộ ệđêng kÝnh cựa (O) nến QR PQ.
Suy ra QR // AB.

Vậy ABRQ là hình thang cân nên tam giác NAB
cân t¹i N.

Suy ra NO AB hay CD AB.

Tõ ệã A, C, B, D chia ệđêng trưn ệở cho thộnh bèn
phẵn bỪng nhau.

NhẺn xĐt.ậÓ dùng PQ AB, ta cã thÓ chản ệiÓm
H nỪm trong hừnh trưn răi dùng ệiÓm M bỪng cịch
nèi AH, BH cớt (O) tỰi F, E tđểng ụng răi nèi AE cớt
BF tỰi M.

Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt ệđĩc thđẻng
kừ nộy: NguyÔn Khớc TrÝ, 7A2, THCS
Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi; Trẵn Viỷt An, 6A,
THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; NguyÔn
Vẽn Thanh Sển, 7/1, THCS Nguyễn Khuyn, Hi
Chu, Nng.

Anh com pa

Trên bảng có các số

Mỗi lần, ta xóa hai số bất kì a, b có trên bảng, rồi
viết số a b 5ab.

Hỏi sau 2013 lần thực hiện việc xóa và viết số theo
quy tắc trên, số còn lại trên bảng là số nào?

Nguyn đức tấn(TP. Hồ Chí Minh)

1 _, 2 _, 3 _{, ...,} 2014_.

2015 2015 2015 2015

ậẳng Quang Anh, 8A, THCS
NguyÔn ChÝch, ậềng Sển, Thanh
Hãa; ậẳng Thanh Tỉng, Vđểng
Tiạn ậỰt, NguyÔn Vẽn Cao, 9B, THCS Ngun
Thđĩng HiỊn, ụng Hưa, Hộ Néi; Ngun Thỡ
BÝch HỪng, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong,

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

16

hiÒu nay thịm tỏ Sếlềccềc tắi nhộ ềng
Ben ẽn tèi. Lộ bỰn thẹn tõ thuẻ nhá
nến mẫi khi rờnh rẫi hai ngđêi thđêng
gẳp nhau hộn huyến ệự chuyỷn trến ệêi.
Hềm nay, bộ gióp viỷc chuÈn bỡ mÊy mãn rÊt
hĩp khÈu vỡ. Sau bọa ẽn, cã lỳ vừ ngon miỷng
quị nến ềng Ben vộ thịm tỏ ngÉu hụng rự
nhau ệi xem phim. RỰp khềng xa nhộ nhđng
Ben chỰy véi lến phưng lÊy ịo khoịc, cưn
thịm tỏ thừ quến cờ chiạc khẽn quộng treo ẻ
gẵn cỏa. Hai ngđêi ra khái nhộ lóc 7 giê 35
phót. Hả xem buữi chiạu tõ 8 giê ệạn 9 rđìi.
Gẵn 10 giê thừ hai ngđêi vÒ tắi nhộ ềng Ben.
Lỳ ra thịm tỏ cã thĨ vỊ thỬng nhộ mừnh nhđng
vừ trêi khị lỰnh nến ềng quay lỰi nhộ ềng Ben
lÊy khẽn.

- Thôi, tơi về ln đây. Chúc ngủ ngon!

- Chờ tí! Tơi lên gác lấy cho ông cuốn sách.
Hay lắm, tôi vừa c xong!

Rồi ông Ben tất tả chạy lên phòng. Chợt, thám
tử nghe tiếng bạn mình kêu hốt hoảng:

-i, ng h ca tụi õu ri?

Bệnh nghề nghiệp trỗi dậy, thám tử quên cả
về, vội chạy lên gác:

- Sao thế?

- Chic ng hồ lúc nãy tôi để đây giờ không
thấy đâu nữa.

- §ång hå quý ð?

- õ. ậăng hă vộng ệÝnh kim cđểng. Bừnh
thđêng tềi luền cÊt trong kĐt. ChiÒu nay, tù
nhiến nữi hụng lÊy ra ệeo mét lóc. Khi lến
phưng lÊy ịo khoịc ệÓ ệi xem, tềi thịo ệăng
hă ra nhđng véi quị nến ệÓ tỰm trến giđêng.
Tềi còng cÈn thẺn lÊy cịi gèi ệẺy lến trến răi...
VẺy mộ... ai ệã ệở phịt hiỷn vộ lÊy mÊt.
- Cã thĨ bộ gióp viỷc hay ai ệã trong nhộ cÊt
hé? Mộ trong nhộ ềng hiỷn cã mÊy ngđêi nhử?
- Ba ngđêi. Bộ gióp viỷc Luxia, anh lịi xe Pet
vộ ềng Tom lộm vđên kiếm bờo vỷ.

SƠ HỞ CỦA

kẻ đáng nghi

Nguyễn Văn Khải

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

17

- ể ti hỏi chuyn tõng ngđêi trong nhộ ềng
nhĐ!

thịm tỏ Sếlềccềc vÉn ẻ lỰi vộ gẳp riếng tõng
ngđêi trong nhộ.

Bộ Luxia thđêng ệi ngự sắm nến thịm tỏ gẳp
bộ trđắc:

- Bà có biết chuyện ông Ben mất đồng hồ
khơng?

- Có chuyện đó sao? Mất bao giờ thế?

- Mới mất. Mà lúc chúng tôi đi vắng, bà đã làm
gì?

- Tơi dọn dẹp rồi tắm giặt, vừa xong thỡ cỏc
ụng v y.

Tiếp theo, thám tử gặp ông Tom:
biÕt tin råi chø?

- Thđa khềng. Tềi khềng hay biạt gừ, giê mắi
nghe ềng nãi ệÊy. Mộ chiạc ệăng hă vộng
ệÝnh kim cđểng ệã ệớt tiÒn lớm, mÊt thừ tiạc
quị! ThẺt khữ thẹn ềng chự cựa tềi!

Ngđêi cuèi cỉng thịm tỏ gẳp lộ anh Pet lịi xe:
- Anh biạt chuyỷn ềng Ben mÊt ệăng hă răi
chụ?

- Không! Từ chiều đến giờ tôi không gặp ông
chủ, mà tôi cũng không nghe ai kể cả.

- Tối nay anh đã làm gì, ở đâu?

- Sau bọa tèi tềi ệịnh xe ệi mua xẽng ệÓ mai
ệđa ềng chự vÒ quế. Mua xẽng xong tềi tớm
rỏa nghử ngểi. Lẹu lớm răi khềng lịi xe ệđêng
dội nến tềi cẵn giọ sục kháe.

Sau khi hái chuyỷn cờ ba ngđêi, thịm tỏ
Sếlềccềc nãi riếng vắi ềng Ben:

- Tơi đã tìm ra kẻ đáng nghi trong chuyện này
rồi. Tất nhiên, để có thể kết luận chính xác thì
phải điều tra thêm.

Theo các bạn, thám tử đã nghi ai và căn cứ
vào đâu mà ơng lại phán đốn nhð vậy?

ậa sè cịc bỰn ệỊu nhẺn thÊy ệiÓm sể hẻ cựa
Nick khi nãi dèi anh hả cựa mừnh: ậau hảng,
khờn tiạng, ngỰt mòi thừ lộm sao tẺp Beatbox
ệđĩc?

Tuy nhiến, cẹu chuyỷn vÒ anh bỰn lịu cị sỳ trẻ
nến rÊt láng lĨo nạu chóng ta khềng chó ý tắi
chi tiạt sau: TỰi sao bộ khềng phịt hiỷn ệđĩc
Nick nãi dèi mộ ngđêi anh hả cựa Nick lỰi phịt
hiỷn ra ngay? LÝ do rÊt ệển giờn: Bộ néi ệở rÊt
giộ, lỰi mắi tõ quế lến, nhiÒu khờ nẽng bộ khềng
biạt Beatbox lộ gừ. Cưn anh Ben lộ ngđêi trĨ
tuữi, lỰi sèng ẻ thộnh phè nến biạt rÊt râ vÒ loỰi
hừnh nghỷ thuẺt ệang ệđĩc tuữi hảc trư rÊt hẹm
mé nộy.

Phẵn thđẻng ệđĩc gỏi tắi: Lế Hoộng
Long, 6C, THCS Phong Chẹu, TX.

Phó Thä, Phó Thä; Ngun Bïi Minh Ngọc,
6A1, THCS và THPT Hai Bà Trng, Phúc Yên,

Vĩnh Phúc; Nguyễn Minh Đức, 7A1, THCS
Nhân Chính, Thanh Xuân, Hà Nội;Nguyễn Thị
Kim Chi, 6C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành,

Nghệ An;Phạm nh Nguyệt, 6A, THCS Hoàng
Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh.

Thám tử Sêlôccôc

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19></div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

19

unit 14.

Practice.

A gas burner is used to heat 0.50 kg of water

in a beaker. The temperature of the water

rises from 15

o

C to 60

o

C in 60 seconds.

Assuming that the specific heat capacity of

water is 4200 J/(kg K), calculate the average

rate at which heat is transferred to the water.

Physics Terms

air

kh«ng khÝ

large paper bag

tói giÊy lín

surround

bao quanh, m«i

trđêng xung quanh

expand

phång ra, në ra

less dense

mật độ nhỏ hơn

chemical composition

thµnh phÇn hãa häc

increased

(ệđĩc) tẽng lến

decreased

(đã) giảm đi

gas burner

đèn cồn

beaker

cèc v¹i

burn

đốt nóng

transferring

chuyển đổi

Answer.

Chê bội giời cựa cịc bỰn yếu toịn,

yếu vẺt lÝ vộ thÝch tiạng Anh. Nẽm phẵn

thđẻng dộnh tẳng nẽm bỰn.

heat capacity

expansion

Unit 13

(TTT2 sè 144)

(Tiạp theo kừ trđắc)

Vị Kim Thđy

Question 4.

A

Question 5.

C

Question 6.

B

Question 7.

C

NhẺn xĐt.

Kừ nộy cã hai bỰn

ậẫ Minh Nhđ Hời

, 9A1,

THCS vộ THPT Hai Bộ Trđng, TX. Phóc Yến,

Vỵnh

Phóc

;

Ngun Thỡ Bờo Chẹu

, 9B, THCS Lý NhẺt Quang, ậề

Lđểng,

Nghỷ An

giời ệóng hạt cịc cẹu v c khen thng.

Hoàng nguyên linh

Question 8.

The air in a large paper bag is heated. The bag then

rises through the surrounding cold air. This is because

A. the air in the bag has become less dense

B. the chemical composition of the air in the bag has changed

C. heat always rises

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

20

Cịc bicorn lộ tến cựa mét tẺp hĩp cịc

ệđêng cong bẺc bèn nghiến cụu bẻi

Sylvester nẽm 1864. Cịc ệđêng cong

tđểng tù ệở ệđĩc nghiến cụu bẻi cịc

Cayley vộo nẽm 1867.

Cịc bicorn ệẳc biỷt do Sylvester vộ

Cayley nghiến cụu lộ nhọng phđểng trừnh

ệa thục bẺc bèn khịc nhau nhđng cã cỉng

mét cềng thục ệển giờn.

Phđểng trừnh trong hỷ tảa ệé Descartes

vuềng gãc

y

2

(a

2

x

2

) (x

2

2ay a

2

)

2

.

ĐƯỜNG CONG

James Joseph Sylvester (1814 - 1897) lµ mét

tõng giờng dỰy tỰi Anh vộ Mủ. Nẽm 1887,

Sylvester lộ ngđêi sịng lẺp ra tỰp chÝ toịn hảc

American Journal of Mathematics. ậẹy lộ mét

trong nhọng tỰp chÝ toịn hảc ệẵu tiến ẻ Mủ.

Arthur Cayley (1821 - 1895) lộ mét nhộ

thuyạt bÊt biạn ệỰi sè, ệỰi sè ma trẺn vộ

hừnh hảc phi Euclide nhiÒu chiÒu. Nhọng

nghiến cụu cựa ềng ệở ệđĩc ụng dông

sau nộy trong cể hảc lđĩng tỏ vộ tÝnh liến

tôc cựa khềng - thời gian trong vt lí.

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

21

Lời giải. Vì nªn

Vì p lẻ nên theo định lí Fermat ta có
2p-1 1 (mod p). (2)

Gải h lộ sè nguyến dđểng bĐ nhÊt tháa mởn
2h 1 (mod p).

Tõ (1) vµ (2) ta suy ra 2n+1 h vµ p 1 h

h 2m(0 m n 1).

NÕu m n thì từ suy ra

Kết hợp với (*) suy ra 2 p: vô lí
vì p là số nguyên tố lẻ.

Vậy h 2n+1 p 1 2n+1

p 1 8 (v× n 2). (3)

Giả sử r₁, r₂,... , r_n(p) là các số chẵn trong khoảng
Khi đó p r₁, p r₂,... , p r_n(p)là các số
lẻ trong khong

Giả sử s₁, s₂,... , s_m(p)là các số chẵn trong khoảng

Ta có là số những số

chẵn trong khoảng (0, p) và tập hợp {s₁, s₂,... ,
s_m(p), p r₁, p r₂,... , p r_n(p)} chính là tập hợp

Do ú

Suy ra

Mặt khác, từ (3) suy ra p 8k 1 (k *).
Do đó n(p) 2k

Từ việc định nghĩa số h, ta suy ra

(®pcm).

NhẺn xĐt.ậẹy lộ bội toịn khã nến khềng cã vâ sỵ
nộo cã lêi giời trản vứn vắi lẺp lôẹn chẳt chỳ. Do
ệã khềng cã vâ sỵ nộo ệẽng quang trong trẺn ệÊu
nộy. Phẵn thđẻng kừ nộy gc li k sau.

hoàng trọng hảo

n 1 n 2

p 1 _h p 1 ₂ _{p 1 2}

2 2

p 1
2

2 1(mod p).

p 1

n(p)
2

2 ( 1) (modp).

p 1
n(p) ₂ p 1

( 1) .2 . ! (mod p).

2

1 2 m(p) 1 2 n(p)

n(p)

1 2 m(p) 1 2 n(p)

p 1 ! s s ...s (p r )(p r )...(p r )
2

( 1) s s ...s r r ...r
p 1

1, 2,... , .
2

p 1

m(p) n(p) ,

2
p

0, .

2

p

0, .

2
p , p .

2

n

2

2 1(mod p).

m

2

2 1(mod p)

n n 1

2 2

2 1(mod p) 2 1(mod p). (1)

n

2

2 1 p (*)

Ngđêi thịch ệÊu:LỰi Quang Thả, GV. THCS Tam Dđểng, Tam Dđểng, Vỵnh Phóc.

Bội toịn thịch ệÊu: Cho a, b, c lộ cịc sè thùc dđểng tháa mởn abc 1. Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa
biĨu thục

Xt xø: S¸ng t¸c.

Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.5.2015 theo dÊu bđu ệiỷn.

2 2 2

ab bc ca a b c a b c 1

P .

c 1 a 1 b 1 (a 1)(b 1)(c 1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

22

MỞ RỘNG ĐỊNH LÍ NAPOLÉON

ậộo Thanh Oai (Kiạn Xđểng, Thịi Bừnh)

ậỡnh lÝ NapolĐon.Dùng ra phÝa ngoội (hoẳc vộo
trong) ABC ba tam giịc ệÒu ABC_o, BCA_o, CAB_o.
Khi ệã tẹm ba tam giịc võa dùng ệđĩc lộ cịc ệửnh
cựa mét tam giịc ệÒu, gải lộ tam giịc NapolĐon

ngoội (hoẳc trong).

Lðu ý. ABC_o gäi lµ dùng ra ngoài (hoặc vào
trong) ABC nếu C_o, C nằm khác phía (hoặc cùng
phía) với AB.

y l một trong nhng ệỡnh lÝ ệứp trong hừnh hảc
cữ ệiĨn. Nã thu hót ệđĩc sù quan tẹm nghiến cụu
cựa nhiÒu ngđêi vộ ệở cã nhiÒu cịch chụng minh.
Mét sè ệỡnh lÝ nữi tiạng khịc ệở ệđĩc lÊy cờm hụng
tõ ệỡnh lÝ NapolĐon nhđ ệỡnh lÝ Van Aubelvắi néi
dung lộ: Dùng ra ngoội mét tụ giịc bÊt kừ cịc hừnh
vuềng thừ ệoỰn thỬng nèi tẹm cựa hai hừnh vuềng
trến hai cỰnh ệèi diỷn vuềng gãc vộ bỪng nhau,
hay ệỡnh lÝ Thebault vắi néi dung lộ: Dùng ra
ngoội mét hừnh bừnh hộnh cịc hừnh vuềng thừ tẹm
cựa cịc cịc hừnh vuềng nộy lộ cịc ệửnh cựa mét
hừnh vuềng.

Mét nghiến cụu khịc cã lỳ còng ệđĩc lÊy cờm
hụng tõ ệỡnh lÝ nộy do Ludwig Kiepert ệÒ xuÊt.

ậỡnh lÝ Kiepert. Dùng ra phÝa ngoội (hoẳc vộo
trong) ABC ba tam giịc ABC_o, BCA_o, CAB_o
tđểng ụng cẹn tỰi C_o, A_o, B_o vộ ệăng dỰng vắi
nhau. Khi ệã AA_o, BB_o, CC_oệăng quy tỰi ệiĨm K,
gải lộ ệiĨm Kiepert.

Khi ABC_o vuềng cẹn hoẳc ệỊu thừ ệiÓm K tđểng
ụng gải lộ ệiÓm Vecten, ệiÓm Fermat.

Khi cịc ệửnh A_o, B_o, C_o thay ệữi, ta cã cịc ệiÓm
Kiepert tđểng ụng. TẺp hĩp cịc ệiÓm Kiepert gải
lộ ệđêng hyperbol Kiepert. ậẹy lộ mét ệđêng cong
cã thÓ biÓu diÔn bẻi phđểng trừnh y m/x.

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

23

ệửnh cựa ABC vộ cịc ệửnh tđểng ụng cựa tam
giịc NapolĐon ệăng quy. ậiÓm ệăng quy nộy gải
lộ ệiÓm NapolĐon. Hai ệiÓm NapolĐon cựa ABC
tÊt nhiến nỪm trến ệđêng hyperbol Kiepert. Ta
còng thÊy cịc ệửnh A_o, B_o, C_otđểng ụng nỪm trến
cịc ệđêng trung trùc cựa BC, CA, BA. Nạu vỳ
hừnh vộ quan sịt, ta cã thÓ nhẺn thÊy ệiÓm
NapolĐon ngoội, ệiÓm Fermat ngoội vộ tẹm ệđêng
trưn ngoỰi tiạp ABC thỬng hộng. Tđểng tù, ệiÓm
NapolĐon trong, ệiÓm Fermat trong vộ tẹm ệđêng
trưn ngoỰi tiạp ABC còng thỬng hộng. Cịc tÝnh
chÊt liến quan ệạn cịc ệiÓm NapolĐon vộ ệiÓm
Fermat, cịc bỰn cã thÓ xem tỰi [5] [6] [7] [8].
Tõ cịc quan sịt trến, tịc giờ từm ra mét vÊn ệÒ mẻ
réng ệỡnh lÝ NapolĐon nhđ sau.

VÊn ệÒ 1.Cho ABC. F lộ ệiÓm Fermat, K lộ ệiÓm
Kiepert. P lộ ệiÓm nỪm trến ệđêng thỬng FK. A₁lộ
giao ệiÓm cựa AK vộ ệđêng thỬng qua P vuềng
gãc vắi BC. ậỡnh nghỵa B₁, C₁ tđểng tù. Khi ệã
tam giịc A₁B₁C₁ ệÒu.

Hai vấn đề của mở rộng định lí Napoléon

Ta biạt rỪng, vắi mẫi ABC vộ mét ệiÓm P thừ tam
giịc tỰo bẻi cịc hừnh chiạu cựa P trến ba cỰnh cựa
ABC gải lộ tam giịc bộn ệỰp cựa ệiÓm P, tam
giịc tỰo bẻi cịc giao ệiÓm cựa ệđêng thỬng nèi P
vắi ệửnh vộ cỰnh ệèi diỷn gải lộ tam giịc Cevian
cựa ệiÓm P.

Ngđêi ta từm ệđĩc hai ệiÓm P tháa mởn tÝnh
chÊt tam giịc bộn ệỰp cựa ệiÓm ệã lộ mét tam
giịc ệỊu, gải lộ ệiĨm Isodynamic. Cịc ệiĨm nộy lộ
ệiÓm liến hĩp ệỬng giịc cựa ệiÓm Fermat. Nghỵa
lộ ệiÓm I vộ F ệèi xụng nhau qua cịc ệđêng phẹn
giịc cựa ABC.

Viỷc dùng ệiÓm P sao cho tam giịc Cevian cựa nã
lộ mét tam giịc ệÒu thừ khã hển. Nã ệđĩc giắi
thiỷu tỰi Problem 10358 cựa tỰp chÝ American
Mathematical Monthly, ệđĩc ệÒ xuÊt bẻi Jiang
Huanxin vộ David Goering.

Tác giả đặt câu hỏi là tìm một điểm sao cho điểm

ệèi xụng cựa nã qua ba cỰnh cựa ABC lộ mét
tam giịc ệÒu. Tịc giờ từm ệđĩc ệiÓm ệã chÝnh lộ
hai ệiÓm Isodynamic. Viỷc chụng minh ệiÒu nộy
dùa vộo tÝnh chÊt tam giịc nộy lộ vỡ tù cựa tam
giịc ệỊu bộn ệỰp cựa hai ệiĨm ệã. Nạu nhđ dõng
lỰi ẻ ệẹy thừ kạt quờ trẻ nến hạt sục bừnh thđêng.

Nhđng ệiÒu ệẳc biỷt lộ: Cịc ệđêng thỬng nèi cịc
ệửnh cựa tam giịc ệÒu bộn ệỰp nộy vắi cịc ệửnh
tđểng ụng cựa ABC lỰi ệăng quy tỰi ệiÓm
Fermat. Do cịc ệửnh cựa tam giịc ệÒu nộy ệđĩc
xịc ệỡnh lộ ệèi xụng cựa ệiÓm Isodynamic qua ba
cỰnh cựa ABC. Suy ra: Cịc ệđêng thỬng nèi
ệiĨm Isodynamic vắi ba ệửnh cựa tam giịc ệỊu ệã
vuềng gãc vắi ba cỰnh tđểng ụng cựa ABC.
VÊn ệỊ 2.Cho ABC. F lộ ệiĨm Fermat. I lộ ệiĨm
liến hĩp ệỬng giịc cựa F. P lộ ệiÓm nỪm trến
ệđêng thỬng FI. A₂lộ giao ệiÓm cựa AF vắi ệđêng
thỬng qua P vộ vuềng gãc vắi BC. ậỡnh nghỵa B₂,
C₂tđểng tù. Khi ệã A₂B₂C₂ệÒu.

Hai vÊn ệÒ trến ệở ệđĩc tịc giờ ệẽng tỰi [10][11].

Tham kh¶o:

[1] Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967). Geometry Revisited.
New Mathematical Library 19. Washington, D.C.: Mathematical
Association of America. pp. 60–65. ISBN 978-0-88385-619-2.
[2] H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, John Wiley &
Sons, NY, 1961

[3] J. Baker, Napoleon’s Theorem and Beyond, Spreadsheets in
Education

[4] D. Gale, Tracking The Autmatic Ant, Springer-Verlag, 1998
[5] />[6] />[7] />[8] />[9] Jiang Huanxin and David Goering, Problem 10358 and
Solution, “Equilateral cevian triangles,”American Mathematical

Monthly104 (1997) 567-570 [proposed 1994].

[10] T. O. Dao, Advanced Plane Geometry, message 2261,
January 24, 2014.

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

24

10

th

INTERNATIONAL MATHEMATICS

AND SCIENCE OLYMPIAD (IMSO)

FOR PRIMARY SCHOOL 2013

Alfonso, Cavite, Philippines

25 - 29 Nov 2013

1.Square pieces of sides 0.5 cm are cut from a
sheet which is 11 cm long and 2 cm wide. What
is the total number of squares that can be cut?

2.Study the following pattern.

Given that

where a is a positive integer. Find the value of a.

3.Thirty girls joined a mathematics contest. The
first girl scored 70 and the second girl scored 80.
The teacher then announced that the score of
every girl after the first two was equal to the
average of the scores of all the girls before her.

What was the score of the last girl?

4. Five boys, A, B, C, D, and E, attended a
meeting. In this meeting:

a. A shook hands with one boy.
b. B shook hands with two boys.
c. C shook hands with three boys.
d. D shook hands with four boys.

How many boys did E shake hands with?

5.What is the simplified value of

6.The sum of the digits of a two-digit number
is 6. By reversing the digits, one obtained another

two-digit number . If find the

original two-digit number.

7. The side length of the biggest square in the
given diagram is 10 cm long. As shown in the
diagram, the total shaded regions formed by two

diagonals inside the circle and two squares is 26
cm2. What is the length side of the smallest
square in cm?

8.The product of 1110, 1111, 1112 and 1113 is

the thirteen digit number , with

one digit replaced by x. What is the value of x?

9. Each of A, B, C and D either always tells the
truth or always tells lies. A says C always tells
lies. B says A always tells lies. C says D always
tells the truth. D says either A or C always tells
lies. Who always tells lies?

10. In the Figure below each of the interior
angles of hexagon PQRSTU is 120o. Given that
PQ 1 cm, QR RS 4 cm and ST 3 cm. Find
the perimeter of the hexagon PQRSTU.

152628x755760

ab ba 18,
ba

ab

1 1 1 1

2 1 3 1 4 1 5 1

2 3 4 5

1 1 1 1

6 1 7 1 8 1 9 1 ?

6 7 8 9

1 1 _... 1 a 2_,

1 2 2 3 2013 2014 a 3

1 1 1_, 1 2 1_, 1 1 3_.

1 2 2 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 4 4

trỡnh hoội dđểng (GV. THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi)
(Sđu tẵm vộ giắi thiỷu)

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

25

Bµi 28NS.Ta cã x2 6xy y2(2012 z2) 0.

(x 3y)2 y2(z2 2003) (1)

Vừ x, y, z lộ cịc sè nguyến dđểng nến (x 3y)2 y2

x 3y y x y. Đặt x ky (k *)

Thay x ky vộo (1) vộ biạn ệữi ta ệđĩc
(z k 3)(z k 3) 2003.

Từ đó suy ra z 1002 và k 998.
Do đó 0y 0 (đúng với mọi y).

VẺy cịc nghiỷm nguyến dđểng (x, y, z) cựa
phđểng trừnh lộ (998t, t, 1002), vắi t *.

NhẺn xĐt.Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng cho bội
toịn trến: Ngun Thỉy Dđểng, Bỉi Thỡ Quúnh,
7A3; Trẵn Thỡ Thu HuyÒn, 8A3, THCS Lẹm
Thao, Lẹm Thao; Lế NguyÔn Quúnh Trang, 8C,
THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ, Phó Thả;Kim Th
Hng Lnh, 8E1, THCS Vnh Tờng, Vnh Tờng,

Vĩnh Phúc.

Bài 29NS.Điều kiÖn x, y, z 0.

Ta cã 3xy 4yz 9zx 3x(y z) 4z(x y) 2zx
3x(6 x) 4z(6 z) 2xz

3(x 3)2 4(z 3)2 2zx 63.

Mặt khác 4xz (x z)2 62nªn 2zx 18
Suy ra 3xy 4yz 9zx 18 63 81.
DÊu b»ng x¶y ra khi x 3, y 0, z 3.

VẺy hỷ phđểng trừnh cã nghiỷm (x, y, z) lộ (3, 0, 3).

Nhận xét. Chỉ có bạn Lê Nguyễn Quỳnh Trang,
8C, THCS Văn Lang, TP. Việt Trì, Phú Thọ có lời
giải đúng cho bài tốn trên.

Bội 30NS. Qua K kĨ ệđêng thỬng song song vắi
BC cớt AB, AC lẵn lđĩt tỰi S, L.

Ta cã các tứ giác SKIF và KELI nội tiếp nên

Vì IEF cân tại I nên

Do ú Suy ra tam giỏc ISL cõn ti I.

Mà IK SL nên SK KL.

Theo hệ quả của định lí Talét ta có
Suy ra SK MN. Mà SK BC.
Do đó MN BC.

Nhận xét. Bài toán này khơng q
khó, rất tiếc khơng có bạn nào có lời
giải đúng.

Cịc bỰn sau ệđĩc khen kừ nộy: NguyÔn Thỉy
Dđểng, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao; Lế
NguyÔn Quúnh Trang, 8C, THCS Vẽn Lang, TP.
Viỷt Trừ, Phó Thả; Kim Thỡ Hăng Lỵnh, 8E1,
THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc.

nh cịc bỰn ệđĩc khen ẻ bừa 4.

Ngun Ngäc H©n

MS SK KL NK .

MB BC BC NB

ISK ILK.

IFK IEK.

IFK ISK, ILK IEK.

Bội 4NS.Giời hỷ phđểng trừnh

NguyÔn Vẽn Xị(GV. THPT Yến Phong sè 2, Yến Phong, Bớc Ninh)
Bội 5NS.Cho cịc sè thùc dđểng a, b, c tháa mởn a2 b2 c2 3.
Chụng minh rỪng

kiÒu ệừnh minh(GV. THPT Chuyến Hỉng Vđểng, Phó Thả)
Bội 6NS.Cho tam giịc ABC ( ), ệđêng cao CD. LÊy cịc ệiÓm K, L lẵn lđĩt trến cịc ệđêng
thỬng BC, CA sao cho AK BL CD. ậđêng trưn ệđêng kÝnh AB cớt KL tỰi hai ệiÓm phẹn biỷt E vộ
F. Chụng minh rỪng A lộ tẹm ệđêng trưn néi tiạp tam giịc DEF vộ

lế viạt ẹn (Phó Thđĩng, Phó Vang, Thõa Thiến Huạ)

KDE LDF.
o

BAC 90

2 2 2

a 1 b 1 c _{1 2(a b c).}

b c a

3 2

2 2

2x 1 3y 3y

x (x 2y) 1 y (2x y) 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

26

Kì 8

Bµi 1. Cho a lµ sè cã hai chữ số, b là số có 3 chữ số. Trung bình
cộng của ba số a, b và 3456 là 1518. Tìm a và b.

Bài 2.Cho Tính tổng các chữ số cđa sè A2.

Bài 3.Tìm số tự nhiên có ba chữ số. Biết rằng số đó chia hết cho 198
và các chữ số của số đó nếu viết từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1 : 2 : 3.

Bµi 4.Tìm đa thức bậc hai P(x). Biết P(0) 20, P(1) 11, P(2) 2015.

Bài 5. Cho tấm bìa hình tam giác ABC vuông tại A có AB 2AC.
Chứng minh rằng có thể cắt tấm bìa thành 5 miếng bìa hình tam giác vuông nhỏ bằng nhau.

Tạ Thập(TP. Hồ Chí Minh)
2015 chữ số 9

A 9999...99998.

Bài 1.Ta có A 20 21 22 ... 22014 (1 2)
(22 23 24) (25 26 27) ... (22012
22013 22014) 3 22(1 2 22) 25(1 2 22)

... 22012(1 2 22) 3 22.7 25.7 ...
22012.7 chia cho 7 dð 3.

Bµi 2.Ta cã

111a 111b 111c 2664 a b c 24.
V× a b c nªn a 9, b 8, c 7.

Bài 3.Ta có |2x 5| |7x 9| |3x 25| 15x
Suy ra 15x 0 nên x 0 từ đó 2x 5 0, 7x 9

0, 3x 25 0.

Do đó ta có 2x 5 7x 9 3x 25 15x

3x 39 x 13.

Bài 4.Giả sử 22014có m chữ số và 52014có n chữ
số.

Ta cú 10m 1 22014 10mvà 10n 1 52014 10n
Do đó 10m 1.10n 1 22014.52014 10m.10n

10m n 2 102014 10m n

m n 2 2014 m n

m n 1 2014 m n 2015

Mµ sè 310 59049 là số có 5 chữ số.

Vậy ba sè 22014, 310, 52014 viÕt liÒn nhau tạo
thành một số có 2015 5 2020 chữ số.

Bài 5.

Gọi O là giao điểm của AD và MN, I là giao điểm
của BC và MK.

Các tứ giác AMDN và BMCK là hình bình hành
nên O là trung ®iĨm cđa AD vµ MN, I lµ trung ®iĨm
cđa BC vµ MK.

Vừ OI lộ ệđêng trung bừnh cựa tam giịc MNK nến
Vừ OI lộ ệđêng trung bừnh cựa hừnh thang ABCD
nến

VËy NK AB CD 3 5 8 (cm).

Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng vộ ệđĩc
thđẻng kừ nộy: Trẵn Viỷt An, 6A, THCS
NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; ậộo
Thanh Dung, 6A1, THCS ChÊt lđĩng cao Mai Sển,

Sển La; ậẳng Quang Anh, 8A, THCS Ngun

ChÝch, ậềng Sển. Thanh Hãa; TỰ Kim Thanh HiỊn,
6A4, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc; TỰ Lế
Ngảc Sịng, 8A, THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam,
Cẵu GiÊy, Hộ Néi; NguyÔn Vẽn Thanh Sển, 7/1,
THCS NguyÔn Khuyạn, ậộ Nơng; Lế TuÊn Duy, 7B,
THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh.
Cịc bỰn sau ệđĩc khen kừ nộy: Trđểng Minh Hăng,
Trđểng Cao Minh, 8A6, THCS Dỡch Vảng, Cẵu GiÊy;

ậẳng Thỡ Hoội Anh, 8C, THCS Ngun Thđĩng
HiỊn,ụng Hưa, Hộ Néi;TỰ Nam Khịnh, 7E1; Lế Thỡ
Thanh Hđểng, 6D, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng,

Vỵnh Phóc;Nhãm bỰn Ngun Thỡ Thu HỪng, Trẵn
Ngảc ậỰt, NguyÔn Thỡ Mủ Linh, 7A3, THCS Lẹm
Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;Ngun Ngảc Linh, 8A1,
THCS Trđêng Sển, Sẵm Sển, Thanh Hãa;Hoộng
Qnh Chi, Vị Trẵn Hun Chi, 6A1, THCS ChÊt
lđĩng cao Mai Sển, Sển La.

NguyÔn Ngäc H©n

AB CD

OI .

2
NK

OI .

2
abc bca cab 2664

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

27

Trong thêi Hy LỰp cữ ệỰi, chia ba mét gãc mét
trong ba bội toịn cữ ệiÓn ờnh hđẻng lắn ệạn sù
phịt triÓn cựa hừnh hảc. Bội toịn ệẳt ra lộ vắi mét
gãc cho trđắc bÊt kừ, dỉng thđắc kĨ vộ com pa

ệÓ chia gãc ệã ra lộm ba gãc cã cỉng sè ệo.
Viỷc chia ba mét gãc vuềng ệở ệđĩc thùc hiỷn tõ
lẹu. BỪng cịch vỳ hai tam giịc ệÒu ADE vộ ACF,

ta ệđĩc CAD DAF FAE 30o.

Ngđêi ta ệở thùc hiỷn ệđĩc viỷc chia ba gãc 27o.
BỰn cã lộm ệđĩc khềng?

Ngđêi Hy LỰp cữ ệỰi khi phịt triÓn hừnh hảc luền
mong muèn chia ệÒu mét gãc bÊt kừ ệÓ dùng
nhọng ệa giịc ệỊu. ậã lộ mơc tiếu lắn cựa toịn
hảc Hy LỰp cữ ệỰi.

Viỷc chia ệềi mét gãc ệđĩc thùc hiỷn dÔ dộng
bỪng cịch vỳ tia phẹn giịc cựa gãc. Chia ệềi tiạp
hai gãc nhá võa dùng ệđĩc thừ gãc ban ệẵu ệđĩc
chia lộm 4 gãc bỪng nhau. Cụ tiạp tôc nhđ vẺy,
gãc ban ệẵu cã thÓ chia thộnh 8, 16,... 2n gãc

bỪng nhau.

Nhộ toịn hảc ngđêi Hy LỰp Hippocrates (470
-410 TCN) ệở ệđa ra mét lêi giời cể hảc chia ba
mét gãc nhản BAC nhđ sau. Dùng CD AB. Dùng
hừnh chọ nhẺt CDAF. KĐo dội FC lÊy ệiÓm E. AE
cớt CD tỰi H. Di chuyÓn E ệÓ EH 2AC. Khi ệã

CAH 2 HAD.

ThẺt vẺy, gải G lộ trung ệiÓm EH thừ cịc tam giịc
ACG, CGE cẹn lẵn lđĩt tỰi C, G.

Từ đó CAH CGA 2 CEG 2 HAD.

Nhộ toịn hảc vỵ ệỰi ngđêi Hy LỰp Archimedes
(287 - 213 TCN) còng ệđa ra mét lêi giời cể hảc
cho bội toịn nộy nhđ sau. Vắi gãc BAC nhản vộ
AB AC, vỳ ệđêng trưn tẹm A bịn kÝnh AB. LÊy
ệiÓm E thuéc tia BA vộ E nỪm ngoội ệđêng trưn.
CE cớt (A) tỰi F. Vỳ AX // CE. Di chuyÓn E ệĨ EF

AB. Khi đó CAX 2 XAB.

ThËt vËy, vì AC AF FE nên

CAX ACF AFC 2 FEA 2 XAB.

Nhộ toịn hảc ngđêi Hy LỰp Nicomedes, ngđêi sèng
cỉng thêi vắi Archimedes lỰi ệđa ra mét lêi giời

khịc cho bội toịn nộy dùa trến ệđêng cong conic.
Giờ sỏ cẵn chia ba gãc AOB, vắi OA OB. Vắi hai
ệiÓm A, B, quủ tÝch nhọng ệiÓm P tháa mởn PBA
2 PAB lộ mét hypebol. Dùng hypebol nộy vộ
lÊy giao ệiÓm cựa nã vắi ệđêng trưn tẹm O bịn
kÝnh OA.

Khi đó POA 2 PBA 4 PAB 2 POB.

VÊn ệÒ chia ba mét gãc dẺm chẹn tỰi chẫ trong
mét thêi gian dội mộ khềng ệỰt ệđĩc thộnh tùu
mắi nộo. ậạn thạ kử XIX, nhộ toịn hảc Gauss
(1777 - 1855) vỳ ệđĩc ệa giịc ệÒu cã sè cỰnh lộ
rỪng hai bội toịn: Tẽng gÊp ệềi thÓ tÝch khèi lẺp
phđểng vộ chia ba mét gãc, hai trong ba bội toịn
cữ ệiÓn cựa hừnh hảc thêi Hy LỰp cữ ệỰi, lộ khềng
thÓ giời ệđĩc bỪng thđắc kĨ vộ com pa. Nẽm
1837, Wantzel (1814 - 1848), ngđêi Phịp, ệở
ệẽng trến mét tỰp chÝ chụng minh khỬng ệỡnh bội
toịn chia ba mét gãc lộ khềng giời ệđĩc. Sau ệã,
viỷc chụng minh ệđĩc cời thiỷn hển bẻi nhộ toịn
hảc ngđêi Phịp Starm (1803 - 1855).

BÀI TỐN

chia ba một góc

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

28

Mẫi nhãm tõ dđắi ệẹy ệÒu chụa mét tõ khềng cỉng loỰi vắi ba tõ cưn

lỰi. BỰn hởy từm tõ ệã vộ giời thÝch nhĐ!

a) Grasshopper; Dragonfly; Butterfly; Crab.

b) America; Mongolia; Laos, Austria.

c) Lion; Leopard; Wolf; Buffalo.

Trần Minh Hiếu

(7C, THCS Văn Lang, TP. ViƯt Tr×, Phó Thä)

Chự Vđên thùc sù vui mõng khi thÊy hẵu hạt cịc bỰn tham gia kừ nộy ệÒu lùa chản nhọng tõ

rÊt phỉ hĩp: TRUNK; ROOT; LEAF; FLOWER. RÊt mong cịc bỰn luền yếu quý vộ bờo vỷ cẹy

cèi ệĨ chóng ta cã mét hộnh tinh xanh mởi xanh.

Chự Vđên sỳ gỏi quộ tắi nhọng bỰn sau:

Triỷu Hăng Ngảc

, 6A3, THCS Lẹm Thao,

Lẹm Thao,

Phó Thả

;

Vâ Thỡ Quúnh Anh

, 6A, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến,

Vỵnh

Phóc

;

Ngun Ngảc Anh

vộ

PhỰm Thỡ Minh nh

, 6A2, THCS Trđng Vđểng, Mế Linh,

Hộ Néi

;

Ngun §øc HiÕu

, 7E, THCS Nhữ Bá Sĩ, thị trấn Bút Sơn, Hoằng Hóa,

Thanh Hóa

;

Nguyễn

Trúc Quỳnh

, 6/1, THCS Lê Văn Thiêm, TP. Hµ TÜnh,

Hµ TÜnh

.

Chự Vđên

MÙA XUÂN LÀ TẾT TRỒNG CÂY

IQ

TRONG

VƯỜN

ANH

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

29

CÂU HỎI KÌ 4

Câu 4.Liệt kê GDP năm 2013 của 10 quốc gia trong ASEAN (sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn), đơn
vị tỉ đô la Mỹ: Laos 11,24; Campuchia 15,24; Brunei 16,11; Myanmar 53,14; Vietnam 171,39;
Philippines 272,07; Singapore 297,94; Malaysia 313,16; Thailand 387,25; Indonesia 868,35.

(Nguån: World Bank)
Câu 5. Ngôn ngữ chính thức của 10 quốc gia trong ASEAN lµ: TiÕng M· Lai (Brunei); tiÕng Khmer
(Cambodia); tiÕng Indo (Indonesia); tiÕng Lµo (Laos); tiÕng M· Lai (Malaysia); tiÕng Myanma
(Myanmar); tiÕng Anh, tiÕng Tagalog (Philippines); tiÕng M· Lai, tiếng Quan Thoại, tiếng Anh, tiếng
Tamil (Singapore); tiếng Thái (Thailand); tiÕng ViƯt (Vietnam).

C©u 6.Mói giê theo UTC cđa 10 quèc gia trong ASEAN lµ: Brunei 8; Cambodia 7; Indonesia 7, 8,
9; Laos 7; Malaysia 8; Myanmar 6:30; Philippines 8; Singapore 8; Thailand 7; Vietnam 7.

NhẺn xĐt.Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy: NguyÔn ậẳng Sển, 9A, THCS NguyÔn Trởi, Nam
Sịch,Hời Dđểng;Ngun ChÝ Cềng, 6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;NguyÔn
Hời Ly, 6A, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh.

BTC

KÌ 2

(TTT2 sè 144)

Cẹu 1.Nđắc ta cã 46 vỡ TrỰng nguyến. Sau ệẹy lộ
5 vỡ TrỰng nguyến nữi tiạng: Ngun HiỊn, MỰc
ậỵnh Chi, Lđểng Thạ Vinh, NguyÔn Bửnh Khiếm,
ậộo Sđ TÝch.

Câu 2. Những học vị đứng sau Trạng nguyên

trong khoa cỏ ngộy xđa lộ: Bờng nhởn, Thịm hoa,
Hoộng giịp, Tiạn sỵ ệăng hỰng. Tõ ệêi Minh MỰng
khềng cã TrỰng nguyến mộ cã thếm Hoộng giịp.
Chđa ệđĩc lộ Tiạn sỵ thừ cã thếm Phã bờng. Tiạn
sỵ ệđĩc gải lộ ềng NghÌ. Thi ệẫ 4 kừ cựa thi Hđểng
gải lộ Hđểng cèng. Tõ thêi Minh MỰng gải lộ Cỏ
nhẹn. Nạu chử ệẫ 3 kừ thi ệẵu cựa thi Hđểng thừ gải
lộ Sinh ệă (cưn gải lộ ệẫ Tam trđêng). ậạn thêi
Minh MỰng ệữi gải lộ Tó tội.

Cịc cịch gải dẹn gian khịc:ậẫ ệẵu thi Hđểng gải
lộ Hđểng nguyến. ậẹy khềng phời hảc vỡ. ậẫ ệẵu
thi Héi gải lộ Héi nguyến. ậẫ ệẵu thi ậừnh lộ ậừnh

nguyến. ậẫ ệẵu cờ 3 kừ lộ Tam nguyến (nhđ
ngđêi hiạu hảc, thđêng ngoội 40 mắi ệẫ cèng
sinh, còng ệđĩc gải lộ Cỏ nhẹn. Thêi hẺu Lế cã
danh xđng ềng ậă tđểng ệđểng Tó tội sau nộy,
dộnh cho ngđêi thi Thịi hảc sinh, ệẫ xong ệi dỰy
hảc. Bờng nhởn, Thịm hoa ệÒu thuéc ậỷ nhÊt
giịp Tiạn sỵ, Hoộng giịp lộ ậỷ nhỡ giịp Tiạn sỵ. ậỷ
tam giịp Tiạn sỵ cưn gải lộ ậăng tiạn sỵ xuÊt thẹn
(Thụ tù tõ thÊp ệạn cao: thi Hđểng, thi Héi, thi ậừnh).

NhẺn xĐt. Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt
ệđĩc nhẺn thđẻng: Trẵn Thạ Trung,
7A, THCS ậẳng Thai Mai, TP. Vinh,

Nghỷ An; NguyÔn ChÝ Cềng, 6A3, THCS Lẹm
Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Vị ậục Dòng, 7A,

THCS Hă Xuẹn Hđểng, Quúnh Lđu, Ngh An.

Vũ Vỵ Côi

TèNH THY TRề CA NHNG NHAỉ KHOA BNG

(TTT2 số 141)

Điều lệ cuộc thi đăng ở TTT2 số 140, 144. Câu hỏi đăng trên các số tạp
chí trong năm 2015.

Cõu 10.Bn hóy nờu tờn 5 thnh ph đông dân nhất ASEAN.

Cẹu 11. BỰn hởy cho biạt Hiạn chđểng ASEAN ệđĩc kÝ kạt ngộy thịng
nẽm nộo, tỰi ệẹu vộ cã hiỷu lùc tõ khi nộo?

Cẹu 12. BỰn hởy nếu tến cịc di sờn vđên thiến nhiến ASEAN cựa Viỷt
Nam.

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

30

HỌC TRÒ

HỌC TRỊ

THỜI CHIẾN

_{THỜI CHIẾN}

BÝnh Nam Hµ

ở trưn 50 nẽm.

ậẵu nẽm 1965

bè mứ tềi ệi hảp

tữ dẹn phè vÒ nãi chuyỷn vắi nhau từnh hừnh

cẽng lớm. Tềi nghe thÊy nộo Chiạn tranh ệẳc

biỷt, nộo Chiạn tranh côc bé mộ chờ hiĨu gừ

nhđng cịng lo. Sau Tạt, 28.2.1965 nẽm chỡ

em chóng tềi ệđĩc sể tịn vÒ quế ẻ Nam

Quan, Nam Trùc cịch thộnh phè 18 km. Tềi

hảc cỉng cịc bỰn lắp 2 trđêng Nam Quan.

DỰo Êy sao mđa nhiÒu thạ. Bộ ngoỰi cụ phời

giẳt quẵn ịo cho tềi vừ tềi vă ạch suèt. VÒ sau

mét cẺu bỰn bờo tềi: CẺu phời bÊm ệẵu ngãn

chẹn xuèng ệÊt thừ mắi khềng trđĩt chẹn. Tõ

ệÊy tềi mắi khềng ngở nọa. Tềi ệđĩc ệi bớt

cua, tớm hă ệẵu lộng, theo bỰn ệi chẽn trẹu.

Tềi cưn bớt chđắc ngđêi lắn giở gỰo, xay

thãc, kĐo ệị ngoội sẹn ệÓ lộm dứp cẹy cãi

dỉng ệan rã hay chiạu.

ậđĩc mét thịng thÊy cưn yến ớng, 22.3.1965

bè mứ lỰi ệãn chóng tềi vỊ. Nhộ tềi xẹy mét

hẵm trịnh bom dđắi giđêng ngự trong buăng,

trến ệữ cịt răi kế giđêng lến.

Tềi ệđĩc thay mẳt lắp ệi hảc sể cụu: sỏ dông

bềng, bẽng, thuèc ệá, hảc bẽng tay, chẹn,

ệẵu, khiếng cịng cụu thđểng... ẻ Cẹu lỰc bé

Lao ậéng gẵn Quờng trđêng Hưa Bừnh. Sau

ệã vÒ dỰy lỰi cho cịc bỰn.

Sịng sắm 2.7.1965 cờ thộnh phè Nam ậỡnh,

thộnh phè lắn thụ ba miỊn Bớc rung chun

vừ tiạng bom. Mịy bay Mủ oanh tỰc Sẻ Dẵu

cịch nhộ tềi chõng 3 km. Khãi mỉ mỡt suèt 2

ngộy bao phự thộnh phè. Hềm sau mÊy chỡ

em tềi sể tịn ra trđêng 10+3 xa nhộ mịy dỷt

thếm 3 km. Hềm sau nọa ra nh chú Tr x

Mỹ Tân, Mỹ Lộc, xa thêm 3 km.

Ngộy 11.7.1965 Hời Phưng, thộnh phè lắn thụ

hai bỡ oanh tỰc. Chiạn tranh ệở bớt ệẵu ệạn

vắi trĨ em cịc thộnh phè lắn miÒn Bớc. Tiạp

ệã nhộ mịy ậiỷn thộnh phè, nhộ mịy Dỷt,

nhộ mịy Xay, nhộ mịy Tể, nhộ mịy Nđắc,

Cờng, ga Nẽng Tỵnh vộ ga ậư ChÌ, nhộ mịy

Hoa quờ hép xuÊt khÈu, nhộ mịy ậiỷn cựa

nhộ mịy Dỷt ẻ giọa thộnh phè Nam ậỡnh ệÒu

bỡ bom phị hựy. Tõ 80 000 dẹn, thộnh phè sể

tịn gẵn hạt chử cưn 15 000 cềng nhẹn vộ tù

vỷ ẻ lỰi võa sờn xuÊt võa chiạn ệÊu. Chóng

tềi nghe cịc tin tục vÒ: thanh niến xung

phong, phong trộo 3 sơn sộng, phong trộo 3

ệờm ệang, răi khÈu hiỷu Mét triỷu mĐt vời vừ

miÒn Nam ruét thỡt... ậđĩc hển hai thịng,

14.9.1965 chóng tềi phời sể tịn vỊ nhộ bịc

ậé ẻ Mủ Phóc cho gẵn nểi trđêng Trẵn Qc

Toờn sể tịn ệĨ ệi hảc. Trđêng ệẳt ẻ thền VỰn

Khoờnh lộ ệÊt thang méc cựa nhộ Trẵn xđa.

Lị trĨ con chóng tềi hộng ngộy ệi hảc qua

lẽng mộ dẹn lộng bờo lộ cựa Trẵn Hđng ậỰo.

Lóc rẫi khềng phời lộm gừ lỰi vộo ậỊn Bờo Léc

chểi. Sau nộy mắi biạt ệÊy lộ nểi linh thiếng

thê bè mứ, anh em ệục Thịnh Trẵn. Chóng

tềi hảc tạt mò rểm vộ nỉn rểm. TÊt cờ lộm

bỪng lâi cẹy rểm nạp, rÊt nhứ, rÊt ệứp. Mò

réng nhđ cịi mò nan, nỉn rểm thừ to nhđ cịi

mẹm nhá ệeo sau lđng. Cờ hai dỉng ệÓ trịnh

bom bi vộ mờnh bom, mờnh phịo. Hộng ngộy

ệi hảc mẫi chóng tềi phời ệéi mò rểm, ệeo

nỉn rểm vộ tói thuèc cã bềng, bẽng, gỰc,

thuèc ệá. Mẫi nhãm ệđĩc phẹn cềng mang

nứp tre vộ cịng tre ệển giờn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

31

Hái:

Anh Phã ểi! Em lộm bội bịo toịn nhđng

lỰi gỏi nhẵm ệạn bịo vẽn thừ bội sỳ bỡ thÊt lỰc

hay ệđĩc chuyÓn lỰi bịo toịn Ự?

Bïi Mai Chi

(6A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ)

Đáp:

Lm bi bo toịn

Bá phong bừ bịo vẽn

VẺy phời hái bịo vẽn

Bội bẹy giê ệẹu nhử?

Lẵn sau nhắ xem kỵ

Trđắc khi dịn phong bừ.

Hái:

Khi hảc bội cò em rÊt nhanh thuéc

nhđng tắi lóc ền tẺp theo ệÒ cđểng thừ em

chỬng nhắ gừ hạt. Anh Phã cã cịch gừ gióp em

khềng Ự?

Hnh Ngun NhËt Minh

(6/3, THCS Thµnh HÃn, Duy Xuyên,

Quảng Nam)

Đáp:

Muốn nh c bi lu

Phi từ khẹu nghe giờng

Kủ lêi thẵy cề nãi

Nghỵ vộ hái tỰi sao?

Trờ lêi nhđ thạ nộo?

Chử ghi khi ệở hiÓu

Trờ lêi khi thẵy hái

Bội sỳ hiĨu thếm sẹu

VỊ nhộ lđắt qua mau

Răi mắi sang bội mắi.

Hái:

Anh Phã ểi! Anh cã biạt phđểng phịp ệĨ

hảc toịn cho nhanh vộ lềgic khềng Ự?

Vị Linh Chi

(7A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ)

Đáp:

Toỏn l môn chứng minh

Dựa trên nền khái niệm

Phải nhớ thật chi tiết

Từng định nghĩa từ đầu

Tính chất sẽ có sau

Chứng minh nhanh từ đó

Làm nhiều bài tập nhỏ

Bài tập lớn lên dần

Đến một lúc bất ngờ

Mình giỏi mơn tốn đấy.

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

32

1(146).Car license plates are numbered from 0001 to 9999 consecutively. The plate number 3681 has
the property that 3 6 8 1. Determine the number of license plates that has the above property (i.e.
the sum of the two left most digits equals the sum of the two right most digits).

2(146). Given a right-angle triangle with the right angle at A. The points E and Fare on the rays AB

and ACsuch that AE AF AB AC. The line passing through Aand perpendicular to BCintersects

EFat the point D. Prove that AD BC.

3(146).Solve the following simultaneous equations

4(146).Given 2015 non-negative real numbers a₁ a₂ ... a₂₀₁₅(1) such
that a₁ a₂ 2015 (2) and a₃ a₄ ... a₂₀₁₅ 2015 (3).

Find the maximum value of the expression

5(146). Determine the

number of vertices V, the
number of edges Eand the
number of regions R in the
each of the following

diagrams to show that V E R 2.

6(146).LetABCbe an isosceles triangle with the vertex at A. Let PandQbe
the points on CA and CB, respectively, such that PQ // AB. Let M be the
midpoint of BP, and Nbe the intersection of the perpendicular bisectors of the
triangleCPQ. Prove that AMN 90o.

2 2 2

1 2 ... 2015.

P a a a

9

6.

x y z

x y y z z x

Translated by Nam Vũ Thành

phiếu

đăng kí

tham dự

cuộc thi

GTQT

năm học

2014-2015

các Lớp 6 & 7

Bội 3(146).Giời hỷ phđểng trừnh

thịi nhẺt phđĩng
(GV. THCS NguyÔn Vn Tri, Cam Ngha, Cam Ranh,

Khánh Hòa)
Bài 4(146).Cho 2015 số thực không âm a₁ a₂ ... a₂₀₁₅(1)
và thỏa mÃn a₁ a₂ 2015 (2), a₃ a₄ ... a₂₀₁₅ 2015 (3).
T×m giá trị lớn nhất của biểu thức

tng thnh v
(Cao hc Tốn Giải tích K5, Đại học Hồng Đức)
Bài 5(146).Xác định số đỉnh V, số cạnh E và số miền R trong
mỗi hình sau để chứng tỏ rằng V E R 2.

vò kim thựy
Bội 6(146). Cho tam giịc ABC cẹn tỰi A. LÊy cịc ệiÓm P, Q
tđểng ụng trến cịc cỰnh CA, CB sao cho PQ // AB. Gải M lộ
trung ệiÓm BP, N lộ giao ệiÓm cịc ệđêng trung trùc cựa tam

giịc CPQ. Chụng minh AMN 90o.

trẵn quang hỉng
(GV. trđêng THPT chuyến ậỰi hảc Khoa hảc Tù nhiến Hộ Néi)

2 2 2

1 2 2015

P a a ... a .

x y z 9

x y y z z x 6.

Bội 1(146).BiÓn sè xe ề tề ệđĩc ệịnh
sè liến tiạp tõ 0001 ệạn 9999. BiÓn sè
3681 cã tÝnh chÊt 3 6 8 1. Hái
cã bao nhiếu biÓn sè cã tÝnh chÊt
gièng nhđ tÝnh chÊt cựa biÓn sè
3681? (Tững cựa hai chọ sè bến trịi
bỪng tững cựa hai chọ sè bến phời).

phan duy nghỵa
(Sẻ Giịo dôc - ậộo tỰo Hộ Tỵnh)
Bội 2(146).Cho tam giịc ABC vuềng
tỰi A. Trến cịc tia AB, AC lÊy tđểng
ụng cịc ệiÓm E, F sao cho AE AF
AB AC. ậđêng thỬng qua A vuềng
gãc vắi BC cớt EF tỰi ệiÓm D. Chụng

minh AD BC.

nguyễn khánh nguyên
(GV. THCS Hồng Bàng, Hải Phßng)

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34></div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35></div>

<!--links-->