2010-2011 De thi chon HS gioi Toan 9 (rat HOT)

UBND TNH BC NINH
S GIO DC - O TO
thi chn hc sinh gii Tnh
Mụn Thi: Toỏn Lp 9
Nm hc 2008-2009
(Thi gian lm bi 150 phỳt (khụng k giao ))
Ngy thi: 07 thỏng 4 nm 2009
Bài 1 (4 điểm): Rút gọn các biểu thức sau:
1/ A =
5122935

2/ B =
2
43
24
48
++
++
xx
xx
Bài 2 (4 điểm):
1/ Cho a > c; b > c; c > 0. Chứng minh rằng:

abcbccac
+
)()(
2/ Cho 3 số dơng x, y, z có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

zxyzxyxyzzxyyzx
++++++++
1

.
Bài 3 (4 điểm):
1/ Giải phơng trình: x
2
+ 3x +1 = (x + 3)
1
2
+
x
2/ Giải hệ phơng trình:
x + y + z = 6
xy + yz - zx = -1
x
2
+ y
2
+ z
2
= 14

Bài 4 (4 điểm):
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Gọi chân đờng vuông góc hạ từ điểm M
nằm trong tam giác đến các cạnh BC, CA, AB lần lợt là D, E, F. Xác định vị trí của M
để :
1/
MFMEMD
111
++
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó .
2/

MDMFMFMEMEMD
+
+
+
+
+
111
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó .
Bài 5 (4 điểm):
1/ Chứng minh rằng 2
2p
+ 2
2q
không thể là số chính phơng, với mọi p, q là các số
nguyên không âm.
2/ Có hay không 2009 điểm trên mặt phẳng mà bất kỳ 3 điểm nào trong chúng
đều tạo thành 1 tam giác có góc tù.
=========Hết==========
Hớng dẫn chấm môn toán
1
CHNH THC
Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2008 2009
(Đáp án này có 4 trang)
Nội dung Điểm
Bài 1 (4 điểm)
1/ A=
( )
3 - 5235

=
52 - 6 5


=
) 1 - 5( 5

= 1
2/ B =
2 x
x- 2) (
24
424
++
+
x
x
=
2 x
) x 2 )( x- 2 (
24
2424
++
+++
x
xx

= x
4

x
2
+ 2
1.0
0.5
0.5
1.0
0.5
0.5
Bài 2 (4 điểm)
1/ Điều phải chứng minh tơng đơng với phải chứng minh

1
c) - c(b )(

+
ab
cac
(1)
VT (1) =
1
2
b
c
- 1
a
c

2
a

c
- 1
b
c

b
c
- 1
a
c

a
c
- 1
=
+
+
+







+

b
c
(Bất đẳng thức côsi). Suy ra điều phải chứng minh

2/ Trớc hết ta chứng minh:
yz x
++
yzx
(1)
Ta có (1)
yz 2x x yz
2
+++
yzx


yz2 x 1
+

yz2 x
+++
zyx
(vì x + y + z = 1)

( )
0 z -
2

y
luôn đúng
Tơng tự có
zx y
++
zxy
(2) và
xy z
++
xyz
(3)
Từ (1), (2), (3) ta có
0.5
1.0
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
2

zxyzxyxyzzxyyzx
++++++++
1
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3
1
0.25
0.5

Bài 3 (4 điểm)
1/ Đặt
1 t 1
2
=+
x
x
2
= t
2
- 1, phơng trình đã cho trở thành
t
2
(x + 3)t + 3x = 0




=
=
3 t
x t
Với t = x thì
x 1
2
=+
x
phơng trình này vô nghiệm.
Với t = 3 thì
3 1

2
=+
x
x
2
= 8 x =
22

Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x =
22

2/ Ta có x
2
+ y
2
+ z
2
= (x + y + z)
2
2(xy + yz + zx) = 14
xy + yz + zx = 11 kết hợp với xy + yz - zx = -1 có y(x + z) = 5
y và x+z là nghiệm của phơng trình t
2
6t + 5 = 0




=+
=

1
5
zx
y
hoặc



=+
=
5
1
zx
y
Với



=+
=
1
5
zx
y
hệ vô nghiệm
Với



=+

=
5
1
zx
y
hệ có 2 nghiệm (x;y;z)=(2;1;3) và (x;y;z)=(3;1;2)
0.25
0.25
0.5
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.5
3
Bài 4 (4 điểm)
F
E
D
z
y
x
M
C
B
A

Gọi x, y, z lần lợt là khoảng cách từ M
đến BC, CA, AB và h là đờng cao ABC
Dễ dàng chứng minh đợc
x+y+z = h =
2
3a

9
111
)(









++++
zyx
zyx

9
111
)(

+
+
+
+
+
+++++
xzzyyx
xzzyyx
Từ đó ta có
1/
a
36

3a
9.2

9111111
==++=++
hzyxMFMEMD
2/
a
33

3a
9

2
9111111
==
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
hxzzyyxMDMFMFMEMEMD
Trong cả hai trờng hợp đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
M là trọng tâm tam giác đều ABC
0.5
0.5
0.5
1.0
1.0
0.5
Bài 5 (4 điểm)
1/ Không mất tính tổng quát giả sử p q, ta có: 2
2p
+ 2
2q
= 4

q
(4
p-q
+ 1)
4
q
là số chính phơng, nên cần chứng minh 4
p-q
+ 1 không chính phơng.
Giả sử ngợc lại, 4
p-q
+ 1 = (2k + 1)
2
(k N)
4
p-q-1
= k(k + 1)
vô lí vì tích hai số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phơng
2/ Trên mặt phẳng vẽ đờng tròn đờng kính AB bất kì.
Trên nửa đờng tròn đó lấy 2009 điểm A
1
; A
2
; ; A
2009
khác nhau và
khác B
Bất kì 3 điểm nào A
i
, A

j
, A
k
(i j k) đều tạo thành một tam giác chắc
0.5
0.25
0.5
0.5
0.25
0.5
0.5
4
chắn có một góc tù
luôn tồn tại 2009 điểm thỏa mãn điều kiện bài toán
0.5
0.5
Lu ý : Thí sinh làm theo cách khác, đúng kết quả vẫn cho tối đa số điểm.
UBND TNH BC NINH
S GIO DC - O TO
thi chn hc sinh gii Tnh
Mụn Thi: Toỏn Lp 9
Nm hc 2009-2010
5
CHNH THC