Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 139

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2></div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

Khi giời phđểng trừnh về tử trong cịc kừ thi hảc sinh
giái, thi vộo THPT chuyến, thi ệỰi hảc nhiÒu bỰn
hảc sinh rÊt lóng tóng khi từm hđắng giời, ệẳc biỷt
lộ cịc phđểng trừnh nhừn cã vĨ phục tỰp. Bội viạt
nộy chóng tềi muèn giắi thiỷu mét phđểng phịp
giời phđểng trừnh về tử bỪng cịch nhẹn cờ tỏ vộ
mÉu cựa phẹn thục vắi biĨu thục liến hĩp. VÊn ệỊ
quan trảng nhÊt cựa phđểng phịp nộy lộ phời
nhÈm ệđĩc nghiỷm cựa phđểng trừnh.

Ta cã mét sè cềng thục thđêng dỉng (Giờ thiạt cịc
mÉu thục khịc 0)

, víi a, b 0
, víi a, b 0

1. Mét sè vÝ dô

VÝ dô 1. Giời phng trnh

Lời giải. ĐKXĐ:

Phng trnh cho tng ng vi

Ta có (1) x 1 (thỏa mÃn ĐKXĐ).
Giải (2), ta cã

Do ệã phđểng trừnh (2) về nghiỷm.
VẺy phđểng trừnh cã nghiỷm lộ x 1.

NhẺn xĐt. Khi nhÈm nghiỷm ta nến chản cịc giị
trỡ cựa x tháa mởn cịc biÓu thục ẻ trong cẽn bẺc
hai lộ sè chÝnh phđểng hoẳc lộ bừnh phđểng cựa
mét sè họu tử. phđểng trừnh trến vắi x 1 th

và nên ta có

cch tch nh cch giời trến. Cịc vÝ dô sau lộm
tđểng tù.

VÝ dô 2. Gii phng trnh

(1)
Lời giải. ĐKXĐ: .

Ta có

Ta có (thỏa mÃn ĐKXĐ).

Vì nên .

Do ó phng trnh (3) về nghiỷm.
VẺy phđểng trừnh ệở cho cã nghiỷm
VÝ dô 3. Giời phđểng trừnh

2 2

x 12 5 3x x 5.

3

x .

2

1 _{1 x 1}

3x 2 x 1

2
x
3
3
(2) x
2

( 3x 2 x 1)( 3x 2 x 1)
(1)

3x 2 x 1

(2x 3)(x 1)

2x 3 _{(2x 3)(x 1)}

3x 2 x 1

2x 3 0 (2)

1 _{x 1. (3)}

3x 2 x 1

2
x

3
2

3x 2 x 1 2x x 3.

46 10x 6 0
8x 1 3 0

2 2

8 10 _{5 4}

3
8x 1 3 46 10x 6
(x 2) 4 x 4x 8.

3 2

2

2

( 8x 1 3) ( 46 10x 6) x 5x 4x 8
8(1 x) 10(1 x) _{(1 x)(x} _{4x 8)}

8x 1 3 46 10x 6

1 x 0 (1)

8 10 _x _{4x 8. (2)}

8x 1 3 46 10x 6
1 _x 23_.

8 5

3 2

8x 1 46 10x x 5x 4x 1.

3 3

3 2 3 3 2

a b

a b .

a ab b

3 3

3 2 3 3 2

a b

a b

a ab b

a b
a b
a b
a b
a b
a b

SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP

để giải phương trình vơ tỉ

Trđểng Quang An

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

3

Lêi giời.Phđểng trừnh ệở cho tđểng ệđểng vi

Vì nên từ (1) suy ra

Ta có

Ta có (2) x 2.
Vì nên x 2 0
và

Do ệã phđểng trừnh (3) về nghiỷm.
VẺy phđểng trừnh cã nghiỷm lộ x 2.

VÝ dô 4. Giời phđểng trừnh

Lêi giời. Phđểng trừnh ệở cho tđểng ệđểng vắi

Ta cã (1) x 3.

* NÕu x 3 th× 2x 5 1 và nên

Do ó phng trnh (2) khng cã nghiỷm x 3.
* Nạu x 3 thừ 2x 5 1 vộ

nªn

Do ệã phđểng trừnh (2) khềng cã nghiỷm x 3.
VẺy phđểng trừnh ệở cho cã nghiỷm x 3.
2. Bội tẺp

Bội 1. Giời cịc phđểng trừnh
a)

b)
c)
d)

Bội 2.Giời cịc phđểng trừnh
a)

b) 3x 6 x 1 x2 1.
2
3

5x 1 9 x 2x 3x 1;
2

x 3x 4.

2 2 2

3x 5x 1 x 2 3(x x 1)

2
6x 4

2x 4 2 2 x ;

x 4

2

x 9x 20 2 3x 10;
2x 3 x 2x 6;

2

2 12

0 t 2t 4 12 1.

t 2t 4
3

t 4x 4 2

2

2 12

t 2t 4 12 1.

t 2t 4
3

t 4x 4 2

3

2 2

3 3 3

2 3 2

3

2 3 2

3

2 3 2

3

2 3 2

3

(x 3)(2x 5) 3( 4x 4 2)
(x 3)(2x 5)

3( 4x 4 2)( (4x 4) 2 4x 4 2 )
(4x 4) 2 4x 4 2

12(x 3)
(x 3)(2x 5)

(4x 4) 2 4x 4 2
12

(x 3) 2x 5 0

(4x 4) 2 4x 4 2
x 3 0 (1)

12

2x 5 0. (2

(4x 4) 2 4x 4 2 )

2 3

2x 11x 21 4x 4.

2 2

x 2 ₃ x 2 _0.

x 12 4 x 5 3

2 2

x 12 4 x 5 3 0

5
x
3
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2

(1) x 12 4 3(x 2) ( x 5 3)

x 4 _{3(x 2)} x 4

x 12 4 x 5 3

(x 2)(x 2) _{3(x 2)} (x 2)(x 2)

x 12 4 x 5 3

x 2 x 2

(x 2) 3 0

x 12 4 x 5 3

x 2 0 (2)

x 2 ₃ x 2 _{0. (3)}

x 12 4 x 5 3

5

x .

3

2 2

x 12 x 5

2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

4

Lộm sinh viến cã mét cịi lĩi
lộ hay ệđĩc giờm giị ẻ

nhiÒu nểi. Trong ệã cã nểi lộ
do chÝnh phự tội trĩ, nhđng
cã rÊt nhiÒu nểi lộ doanh
nghiỷp khềng hÒ nhẺn tội trĩ
cựa ai nhđng vÉn giờm giị
cho sinh viến. Theo nguyến
lÝ cựa tđ bờn, cịc doanh nghiỷp lộm vẺy, trđắc hạt
lộ vừ thđểng cịi tói tiỊn cựa chÝnh hả, chụ khềng
phời vừ thđểng sinh viến ệẳc biỷt hển nhọng ngđêi
khịc. VẺy tỰi sao giờm giị cho sinh viến lỰi cã lĩi
cho doanh nghiỷp?

Cịc mề hừnh toịn hảc ệển giờn trong kinh tạ cho
phĐp ta giời thÝch ệiỊu nộy, vộ nhiỊu ệiỊu thó vỡ
khịc. Chóng ta sỳ gải x lộ giị giờ ệỡnh cựa mét
loỰi sờn phÈm hộng hãa hay dỡch vô nộo ệã vộ
y(x) lộ sè lđĩng sờn phÈm giờ ệỡnh bịn ệđĩc nạu
bịn ẻ giị x. ậÓ ệển giờn, ta tỰm coi cụ mẫi khịch
hộng thừ mua mét ệển vỡ sờn phÈm nến sè sờn
phÈm bịn ệđĩc bỪng sè khịch hộng cã ệđĩc. Khi
x tẽng thừ y(x) giờm (giị cộng cao thừ cộng Ýt ngđêi
mua). Cã thÓ coi ệđêng giị (x; y(x)) nhđ lộ mét
ệđêng liến tơc vộ ệi tróc xng tõ ệiĨm (0, Y) ệạn
ệiĨm (X; 0) trến mẳt phỬng tảa ệé. Giờ sỏ doanh
nghiỷp muèn tèi đu hãa doanh thu cho mẳt hộng
nộy. Nạu cè ệỡnh mét giị x₁thừ lđĩng khịch hộng
lộ y(x₁) vộ doanh thu sỳ lộ S₁ x₁y(x₁). Bội toịn
lộ từm x₁sao cho x₁y(x₁) ệỰt lắn nhÊt. Giờ sỏ thay
vừ bịn cho mải ngđêi vắi cỉng mét giị, doanh
nghiỷp nghỵ ệđĩc ra cịch bịn cho mẫi ngđêi vắi

giị cao nhÊt mộ ngđêi ệã cã thÓ chÊp nhẺn ệđĩc.
Khi ệã doanh thu mộ doanh nghiỷp cã thÓ ệỰt
ệđĩc khềng phời cã dỰng diỷn tÝch mét hừnh chọ
nhẺt lộ nhđ S₁mộ lộ diỷn tÝch mét miÒn cong S₂.
Sù chếnh lỷch diỷn tÝch cựa hai cịch bịn hộng
nộy gải lộ thẳng dđ khịch hộng(S₂ S₁).
Doanh nghiỷp tÊt nhiến khã cã thÓ ệỰt ệđĩc mục
doanh thu S₂, nhđng cã thÓ từm cịch thu vÒ mét
phẵn cựa thẳng dđ khịch hộng, tục lộ ệỰt mục
doanh thu cao hển S₁, bỪng nhọng chiạn lđĩc gải
lộphẹn biỷt giị. Phẹn biỷt giị tục lộ lộm sao ệÓ
cịc khịch hộng khịc nhau trờ cịc giị khịc nhau,
khịch hộng nộo chÊp nhẺn ệđĩc giị cao hển thừ

trờ cao hển, gẵn mục tèi ệa mộ hả chÊp nhẺn
ệđĩc nhÊt.

Cã rÊt nhiỊu trư phẹn biỷt giị khịc nhau. VÝ dơ
nhđ ai mộ “rừnh” vĐ mịy bay cã thÓ kiạm ệđĩc vĐ
rĨ, cưn ai cụ cẵn lộ mua vĐ chụ khềng “rừnh” vĐ thừ
khờ nẽng lộ vĐ sỳ ệớt hển nhiÒu, vừ loỰi khịch
hộng thụ nhÊt lộ loỰi “nhỰy cờm vÒ giị hển, ệưi
mục giị thÊp hển” loỰi thụ hai. Hay lộ ẻ chĩ ngđêi
ta khềng giờm giị trùc tiạp mộ phịt cịc “coupon”,
ai ệi thu thẺp coupon (thđêng lộ nhọng ngđêi thu
nhẺp khiếm tèn vộ nhỰy cờm vÒ giị hển vộ cịng
cã nhiỊu thêi gian thõa hển ệĨ ệi so sịnh giị) thừ
sỳ ệđĩc giờm giị. Hay lộ cỉng mét thụ ệă thêi
trang cựa cỉng mét hởng, bịn ẻ Madrid cã khi lỰi
rĨ hển hỬn so vắi ẻ Paris. Hoẳc lộ cỉng lộ cộ phế

sọa, nhđng mang tến “capuccino” lỰi ệớt gÊp ệềi
cộ phế sọa bừnh thđêng tuy rỪng vÒ cể bờn vÉn
tõng ệÊy thụ, giị sờn xuÊt khềng tẽng lến, còng lộ
mét kiÓu phẹn biỷt giị tạ nhỡ (cã thay ệữi mẳt hộng
mét chót ệĨ phẹn biỷt). KĨ cờ viỷc cịc trđêng ệỰi
hảc trao hảc bững cho mét sè sinh viến cịng cã
thĨ lộ mét hừnh thục phẹn biỷt giị.

Doanh nghiỷp muèn thùc hiỷn ệđĩc mét chiạn
lđĩc phẹn biỷt giị thừ phời cã ệđĩc hai ệiỊu kiỷn
sau:

1) Xịc ệỡnh ệđĩc cịc “phẹn khóc khịch hộng” vắi
cịc mục giị chÊp nhẺn ệđĩc khịc nhau (ệẳt giị
cao hển cho phẹn khóc chÊp nhẺn ệđĩc giị cao
hển)

2) “enforcement”, tục lộ hỰn chạ ệđĩc tèi ệa
chuyỷn ngđêi ẻ “phẹn khóc cao” mua giị ẻ “phẹn
khóc thÊp”.

Quay vỊ vÝ dơ sinh viến ệđĩc giờm giị. ậÓ ệển
giờn, ta coi thỡ trđêng vĐ xem cinema găm 2 phẹn
khóc: “ngđêi cã thu nhẺp” vộ “sinh viến” (“sinh
viến” cã thÓ găm cờ hảc sinh, ngđêi giộ, ngđêi
trong diỷn hđẻng trĩ cÊp xở héi... tỉy chiạn lđĩc
tõng nểi). Viỷc “enforcement” khị dÔ, vừ “ngđêi cã
thu nhẺp” khã ệãng giờ lộ sinh viến nạu khềng cã
thĨ sinh viến. Phẹn khóc cịng râ rộng: sinh viến
thừ thđêng nghÌo vộ tÝnh toịn chi li hển, trong khi

ngđêi cã thu nhẺp dƠ cã tiỊn ệĨ tiếu hển, chỡu
ệđĩc mục giị cao hển.

NÕu chung mét møc vÐ x_o cho cả sinh viên và

TAẽI SAO VÉ CHO SINH VIÊN LẠI RẺ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

5

NhẺn xĐt.Cịc bỰn ệÒu chử ra lêi giời xĐt chđa hạt
cịc trđêng hĩp. Lêi giời mắi ch xt trờng hp

Nếu thì không

gii nhđ vẺy ệđĩc vừ ta mắi chử biạt tử sè lđĩng giịc
cựa gãc nhản. Ta cã thÓ giời nhđ sau (khềng cẵn
phẹn biỷt cịc trđêng hĩp):

KĨ ệđêng cao AK (bỰn ệảc tù vỳ hừnh).
Trong tam giịc BHC cã

Trong tam gi¸c AKC cã

VËy

Ta cịng cã thĨ xĐt 3 trđêng hĩp tỉy vộo so sịnh
giị trỡ cựa vắi 45o.

Cịc bỰn sau nhẺn giời kừ nộy: Lế Hỉng, Hă Quang
Huy, 8A, THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ, Phó Thả;Lế
Thộnh Lẹm,8E, THCS Hỉng Vđểng, TP. Tuy Hưa,
Phó Yến;Lế Phđểng Thờo, 9C, THCS Nam Cao,

Lý Nhẹn, Hộ Nam.

Anh KÝnh Lóp
2

o

ABC 1 h

S BC.AK ( 90 ).

2 4sin cos

BC h h

AK KCtgC tg tg .

2 2sin 2cos

BH h

BC .

sinC sin

o o o

45 BAC 180 2 90

o o o

45 BAC 180 2 90 .

Bội toịn. Cho phđểng
trừnh |x2 3| |5 x2|
a 3 (vắi a lộ tham sè).
Hởy từm giị trỡ cựa a ệÓ
phđểng trừnh ệở cho về
nghiỷm.

Một học sinh đã giải nhð sau.

Lêi giải.Vì |x2 3| 0, |5 x2| 0 nên

|x2 3| |5 x2| 0.

Do ệã phđểng trừnh ệở cho về nghiỷm khi vộ chử
khi a 3 0 hay a 3.

Bạn có đồng ý với lời giải trên khơng? Theo bn
thỡ nờn gii th no cho ỳng?

hà văn nhân
(GV. THCS Ho»ng Xu©n, Ho»ng Hãa,

Thanh Hãa)

TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

(TTT2 sè 135+136)

KHI NÀO PHƯƠNG TRÌNH VÔ NGHIỆM?

ngđêi cã thu nhẺp, thừ mục nộy khềng tèi đu ệèi
vắi nhãm Y₁khịch hộng tiỊm nẽng lộ ngđêi cã thu
nhẺp vộ cịng khềng tèi đu ệèi vắi nhãm Y₂khịch
hộng tiÒm nẽng lộ sinh viến. Cã nghỵa lộ, nạu gải
y₁ lộ sè khịch hộng lộ ngđêi cã thu nhẺp thừ
x_oy(x_o) khềng tèi đu. Cã thÓ ệẳt mục giị x₁ x_o
sao cho x₁y₁(x₁) x_oy₁(x_o). Nạu gải y₂ lộ sè
khịch hộng lộ sinh viến, thừ x_oy₂(x_o) còng khềng
tèi đu: cã thÓ ệẳt mục giị x₂ x_osao cho x₂y₂(x₂)
x₀y₁(x_o). Nhđ vẺy, thay vừ ệẳt chung mét mục giị
x_o, ta ệẳt hai mục giị x₁, x₂ khịc nhau cho hai
nhãm khịch hộng khịc nhau mộ x₁ x_o x₂.
Doanh thu cã ệđĩc sỳ thộnh x₁y₂(x₁) x₂y₂(x₂)
x_o[y₁(x_o) y₂(x_o)]. ChÝnh vừ vẺy mộ sinh viến lỰi
ệđĩc giị rĨ hển lộ ngđêi cã thu nhẺp.

Cịc chiạn thuẺt phẹn biỷt giị khềng phời lóc nộo
cịng tèt cho xở héi nhđ kiĨu sinh viến ệđĩc. Giờm
giị, mộ cã khi còng ệem lỰi nhọng hiỷu ụng biạn
thịi (perverse). ChỬng hỰn, ệÓ “Đp” nhọng doanh
nhẹn ệi cềng cịn phời mua vĐ mịy bay hỰng nhÊt
ệớt tiỊn, cịc hởng hộng khềng cã thĨ cè từnh lộm

cịc ghạ ngăi cựa hỰng vĐ rĨ tiÒn sao cho ngăi khã
chỡu (quị chẺt, vđắng vÝu, khềng ếm...), trong khi
hả cã thĨ hoộn toộn lộm cho chóng dƠ chỡu lến,
cịc khịch du lỡch rĨ tiÒn vộ bay Ýt lẵn thừ chÊp
nhẺn ngăi khã chỡu nhđng bay nhiÒu mộ ngăi thạ
cã khi hạt chỡu nữi. Hoẳc lộ trong vÝ dô cộ phế, nạu
cã hai loỰi ệớt - rĨ, chi phÝ sờn xuÊt gẵn bỪng nhau

nhđng loỰi ệớt bịn ệđĩc vắi giị gÊp ệềi loỰi rĨ, thừ
ngđêi ta cã thÓ cè từnh hỰ thÊp chÊt lđĩng loỰi rĨ
ệÓ “Đp” khịch hộng mua loỰi ệớt. Viỷc nộy xem ra
cã lĩi cho nhọng nhộ sờn xuÊt hộng chÊt lđĩng
kĐm, vÉn cã nhộ phẹn phèi cẵn hộng cựa mừnh
trong trư lộm giị. Khịc vắi nhọng thụ nhđ phẹn
biỷt chựng téc, phẵn lắn cịc trư phẹn biỷt giị lộ
hĩp phịp, nhđng cịng cã mét sè kiĨu phẹn biỷt
giị ệở bỡ qui thộnh phỰm phịp ẻ mét sè nểi. VÝ dô
nhđ Céng ệăng chẹu ằu cÊm cịc hởng bờo hiÓm
ề tề thu phÝ ệèi vắi nam cao hển nọ (khi cịc tiếu
chuÈn khc l ngang nhau).

Tài liệu tham khảo:

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

6

(TTT2 sè 135+136)

Nhận xét.

Quy luật cả hai bài kì này đều dễ

phát hiện, tất cả các bạn đều cho đáp án đúng,

một số bạn dùng từ diễn đạt chða chính xác.

Quy luËt:

Bội 1.

Cịc hừnh trong dởy ệđĩc vỳ bỪng nĐt

liÒn, nĐt ệụt xen kỳ. Ngoội ra, mẫi lẵn dỡch tõ

trịi sang phời hừnh nộy bỡ mÊt ệi mét ệoỰn

thỬng liỊn kỊ, tÝnh tõ phÝa dđắi.

Vậy hình để chèn vào dóy ó cho l hỡnh

C

.

Bài 2.

Đây là dÃy các số nguyên tố liên tiếp

có tận cùng bằng 3:

3, 13, 23, 43, 53, 73, ...

VËy sè tiÕp theo cÇn ®iỊn vµo lµ

83

.

Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy:

Lế NguyÔn

Quúnh Trang

, 7C, THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ,

Phó Thả

;

Ngun Thỡ Phđểng Anh

, 8H,

THCS Liến Bờo, Vỵnh Yến,

Vỵnh Phóc

;

Ngun ThÞ Thu Trang

, 7A1;

Tạ Khắc Thắng

,

7A2, THCS Yên Phong, Yên Phong,

Bắc

Ninh

;

Nguyễn Minh Hạnh

, 7A, THCS Thạch

Thất, Thạch Thất,

Hà Nội

.

nguyễn Xuân Bình

CHEỉN HèNH NAỉO?

ẹIEN SO NAỉO?

Bài 1.

Trong các hình sau, điền số còn thiếu vào

ô trống:

Bài 2.

Điền số còn thiếu vào chỗ trống:

95, 98, 89, 95, 83, ... , 77, 89

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

7

C©u 1.Thùc hiÖn phÐp tÝnh
a) 6xy2(xy 2xy2 3x2y2);
b) (2x2y2 x2y 3xy2)( 8x2y).

C©u 2.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a) (2x 1)(3x2 4x 3);
b) (x2 3x 1)(4x 3).

Câu 3.Phân tích đa thức thành nhân tö
a) x3 2x2 x 2;

b) x2y xy2 x y;
c) x2 8x 15.

Câu 4.Thực hiện phép chia

a) Đa thức 5x3 3x2 8x 4 cho đa thức 5x 2.
b) Đa thức x3 x2 x 3 cho đa thức x 1.

Câu 5.Tìm x biết

(3x 2)(x 1) 2(x 5) 3x2 1.

Câu 6.Tính giá trị của biểu thức

A (7 3x)2 2(3x 7)(7 2x) (7 2x)2tại

x 15.

Câu 7.Chứng tỏ biểu thức sau không phơ thc
vµo x

A (x 5)(2x 3) 2x(x _ 3) x 7.

Cẹu 8.Xịc ệỡnh a, b ệÓ P x4 2x3 ax2 2x
b lộ bừnh phđểng cựa mét ệa thục.

Câu 9.Tìm a, b để đa thức f(x) x4 3x3 3x2
ax b chia hết cho đa thức g(x) x2 3x 4.

ẹỀ KIỂM TRA CHệễNG I ẹAẽI SỐ 8

Thời gian làm bài:45 phút (khơng kể thời gian giao đề)

MAế ẹỀ: RDKTH011

Các bạn sau giải đúng thế cờ kì 62:Nguyễn
Minh Đức, 6C, THCS Nguyễn Cao, Quế Võ,
Bắc Ninh; Nguyễn Minh Hạnh, 7A, THCS
Thạch Thất, Thạch Thất, Hà Nội.

Lª thanh tĩ
Trắng đi trước chiếu hết sau 2 nước.

LÊ THANH TÚ

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

8

B. Đề thi đồng đội

1.Trđắc tiến ta ệịnh dÊu cịc lề ệÊt mộ chử mét
ngđêi nềng dẹn ệi ệạn ệđĩc tõ nhộ cựa mừnh theo
hộng ngang hoẳc cét dảc nhđ hừnh ẻ bến trịi dđắi
ệẹy. Do ệã ta cã thĨ dƠ dộng gịn cho nhọng ngđêi
nềng dẹn cịc ề ệÊt cưn lỰi. Hừnh bến phời dđắi ệẹy
mề tờ cịch chia ệÊt cho nhọng ngđêi nềng dẹn.

2.Gải sè chọ mộ Meifeng viạt ệđĩc trong 5 ngộy
theo thụ tù lộ a, b, c, d vộ e.

Ta cã

Tổng các hệ số của a ở vế trái của đẳng thức trên là

Tđểng tù cịc hỷ sè cựa b, c, d vộ e tđểng ụng lộ
vộ . Béi sè chung nhá nhÊt cựa cịc
mÉu sè lộ 60.

Do đó 50a 20b 10c 5d 2e 300.
Suy ra e chia hết cho 5.

Đặt e 5f, ta có 10a 4b 2c d 2f 60.
Từ đó d là số chẵn. Đặt d 2g, ta có 5a 2b c

g f 30. §Ĩ a b c d e nhá nhÊt th× a
ph¶i lín nhÊt.

Mộ b, c, d vộ e lộ cịc sè nguyến dđểng nến a lắn
nhÊt lộ 5 vộ khi ệã b c g f 1 hay d 2 vộ e 5.

VẺy sè cịc tõ ngớn nhÊt cã thÓ trong cẹu chuyỷn
ngớn cựa Meifeng lộ 5 1 1 2 5 14.
3.Ta thÊy 1 phời lộ nhởn cựa hừnh trưn ẻ gãc. Vừ
tÝnh ệèi xụng nến ta giờ sỏ hừnh trưn ẻ gãc dđắi
bến trịi cã nhởn lộ 1. Giờ sỏ 2 lộ nhởn cựa hừnh
trưn ẻ gãc dđắi bến phời. Do ệã cịc nhởn khịc
ệđĩc bè trÝ xung quanh hừnh trưn ẻ giọa. Ta cã hai
cịch dịn nhởn trong hừnh sau.

Giờ sỏ 3 lộ nhởn cựa hừnh trưn ẻ gãc dđắi bến
phời. Ta cã hai cịch ệÓ dịn nhởn 4 cho ba hừnh
trưn. Trong mẫi cịch ệã chử cã mét cịch ệÓ dịn
nhởn mét sè 2 vộ hai sè 3 cho 3 hừnh trưn. Ta cã
hai cịch dịn nhởn trong hừnh sau.

Giờ sỏ 4 lộ nhởn cựa hừnh trưn ẻ gãc dđắi bến phời.
lộm tđểng tù nhđ trến ta cã thếm hai cịch dịn nhởn.
Vừ 1 cã thÓ lộ nhởn cựa hừnh trưn ẻ gãc dđắi bến phời
nến sè cịc cịch dịn nhởn lộ (2 2 2).2 12.
4.

Vẽ hai hình bình hành DECG và ABCH. Do đó điểm
H thuộc đoạn CG. Gọi K là giao điểm của AH và DF.
Ta có AB 9 3 và CE 2BE.

EF 6 2
1

30
1 1 1_{, ,}

3 6 12

1 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 4 5 5 6

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 .
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6

a a b a b c a b c d

1 2 2 3 3 4 4 5

a b c d e 5._{5 6}

DTH(Dịch và giới thiệu)

GII ĐỀ THI OLYMPIC

TOÁN HỌC TRẺ QUỐC TẾ BULGARIA

(BIMC 2013)

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

9

Vì hai tam giác ABC và CDE có diện tích bằng
nhau nên hai hình bình hành ABCH và DECG có
diện tích bằng nhau. Do đó CH 2HG.

Suy ra DE GC 9 4,5 13,5 cm vµ DF

DE EF 13,5 6 7,5 cm.

Râ rộng Daniela khềng thÓ mua cịc mãn quộ
lđu niỷm giị 1 ệề la hoẳc 3 ệề la. Mãn quộ lđu
niỷm ệớt nhÊt mộ Daniela cã thÓ mua lộ 50(2 5)
350 ệề la. Cề Êy khềng thÓ mua ệđĩc cịc mãn
quộ lđu niỷm cã giị 349 ệề la hoẳc 347 ệề la (Vừ
cề Êy khềng thÓ ệÓ lỰi 1 ệề la hoẳc 3 ệề la).
Ta sỳ chụng minh cề Êy cã thÓ mua bÊt kừ mãn
quộ lđu niỷm nộo khịc trong 350 mãn quộ ệã, tục
lộ cề Êy cã thÓ chản mua bÊt kừ mãn quộ lđu niỷm
nộo trong sè 346 mãn quộ cưn lỰi.

Dùng 50 đồng 2 đô la cơ ấy có thể mua các món
q lðu niệm có giá là số chẵn không quá 100 đô la.
Dùng 20 đồng 5 đô la và 50 đồng 2 đô la cơ ấy có
thể mua các món q lðu niệm có giá là số chẵn
không quá 200 đô la.

Dùng 25 đồng 5 đô la và 50 đồng 2 đô la cô ấy có
thể mua các món quà lðu niệm có giá là số chẵn
không quá 300 đô la.

Dùng 25 đồng 5 đô la và 50 đồng 2 đô la thêm 25
đồng 5 đơ la cơ ấy có thể mua các món q lðu
niệm có giá là số chẵn khơng q 350 đô la.
Dùng 1 đồng 5 đô la và 50 đồng 2 đơ la cơ ấy có
thể mua các món q lðu niệm có giá là các số lẻ
từ 5 đơ la đến 105 đô la.

Dùng 21 đồng 5 đô la và 50 đồng 2 đơ la cơ ấy có
thể mua các món quà lðu niệm có giá là các số lẻ
từ 105 đô la đến 205 đô la.

Dùng 41 đồng 5 đô la và 50 đồng 2 đô la cô ấy có
thể mua các món quà lðu niệm có giá là các số lẻ
từ 205 đô la đến 305 đô la.

Dùng 49 đồng 5 đô la và 50 đồng 2 đơ la cơ ấy có
thể mua các món q lðu niệm có giá là các số lẻ
từ 305 đơ la đến 345 đơ la.

VẺy Daniela cã thĨ mua ệđĩc nhiỊu nhÊt 346 mãn
quộ lđu niỷm.

6. Nạu cã hai sè nguyến dđểng a, b tháa mởn
2 b a, ta sỳ thay thạ chóng bẻi hai sè b 1 vộ
a 1 thừ tững cựa chóng khềng thay ệữi.

Ta cã (a 1)2 (b 1)2 (a2 b2) 2a 2b 2 0,
do ệã tững cịc bừnh phđểng cựa hai sè mắi lắn hển.
Suy ra tững cịc bừnh phđểng cựa cịc sè ệã lắn
nhÊt khi chử cã mét sè trong cịc sè ệã khịc 1.
Giị trỡ lắn nhÊt ệã lộ 1996.12 (2013 1996)2 2285.
Nạu cã hai sè nguyến dđểng a, b tháa mởn a b
2, ta sỳ thay thạ chóng bẻi hai sè b 1 vộ a 1
thừ tững cựa chóng khềng thay ệữi.

Ta cã (a2 b2) (a 1)2 (b 1)2 2a 2b 2 0,
do ệã tững cịc bừnh phđểng cựa hai sè mắi lắn hển.

Suy ra tững cịc bừnh phđểng cựa cịc sè ệã nhá

nhất khi các số đó chỉ là 1 hoặc 2.
Giá trị nhỏ nhất đó là

(2.1997 2013).12 (2013 1997).22 2045.
VẺy hiỷu giọa giị trỡ lắn nhÊt vộ giị trỡ nhá nhÊt
cựa tững cịc bừnh phđểng cựa cịc sè ệã lộ
2285 2045 240.

7.

Chó ý r»ng

Do đó giá trị của mỗi tổng là 136 : 4 34.

Tững cựa 10 sè ẻ hộng trến cỉng, cét bến trịi
ngoội cỉng vộ ệđêng chĐo chụa sè 16 lộ

34.3 16.2 70.

Tỉng cđa 6 sè trong c¸c « vu«ng t« mµu lµ
136 70 66.

VẺy giị trỡ lắn nhÊt cã thÓ cựa tững 6 sè trong cịc
ề ệđĩc tề mộu lộ 66.

Chóng ta cã thĨ chia hừnh 2 vộ hừnh 3 thộnh cịc
hừnh chọ nhẺt kÝch thđắc 1 3 vộ 3 1 nhđ hừnh vỳ.
Vắi hừnh thụ nhÊt ta ệịnh cịc sè 1, 2 vộ 3 vộo cịc

ề vuềng nhđ hừnh vỳ. Mẫi hừnh chọ nhẺt kÝch thđắc
1 3 vộ 3 1 găm mét sè 1, mét sè 2 vộ mét sè 3.
Trong hừnh 1 cã 19 ề ệịnh sè 1, cã 17 ề ệịnh sè 2
vộ 18 ề ệịnh sè 3. VẺy hừnh 1 khềng thÓ chia ệđĩc.
(Xem tiạp trang 15)

16.17

1 2 3 ... 16 136.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

10

Bội I.1) Thay x 9 ta ệđĩc

2) a) Ta cã

b)

Bội II.Gải sè sờn phÈm phẹn xđẻng lộm mẫi ngộy
theo kạ hoỰch lộ x, x *.

Sè sờn phÈm phẹn xđẻng lộm mẫi ngộy trến thùc
tạ lộ x 5.

Theo kạ hoỰch phẹn xđẻng sờn xuÊt 1100 sờn
phÈm trong (ngộy).

Thùc tạ phẹn xđẻng hoộn thộnh kạ hoỰch trong
(ngộy).

Tõ giờ thiạt ta cã phđểng trừnh

Biạn ệữi phđểng trừnh ta ệđĩc

2750 x(x 5) (x 50)(x 55) 0 x 50
(do ®iỊu kiƯn x *).

VẺy theo kạ hoỰch mẫi ngộy phẹn xđẻng lộm
ệđĩc 50 sờn phÈm.

Bµi III.1) §iỊu kiƯn x y 0, y 1.
§Ỉt

Ta ệđĩc hỷ phđểng trừnh

(TM).

Từ đó

2) a) Hoộnh ệé giao ệiĨm cựa (d) vộ (P) lộ nghiỷm
cựa phđểng trừnh x2 x 6.

Giời phđểng trừnh trến ệđĩc 2 nghiỷm lộ x 3, x 2.
Tõ ệã cã 2 giao ệiÓm lộ A( 3; 9), B(2; 4).

b) Gải M, N lẵn lđĩt lộ chẹn ệđêng cao hỰ tõ A, B
xuèng trôc Ox thừ M( 3; 0), N(2; 0).

Ta thÊy A, B cïng phÝa víi trục Ox và O nằm giữa
M, N.

T ú S_OAB S_ABNM S_AOM S_BON

Bội IV.a) Vừ AB vộ MN lộ hai ệđêng kÝnh cựa (O)
nến

Do đó tứ giác AMBN là hình chữ nhật.

2) Vừ nến bèn ệiÓm M, N, P, Q
cỉng thuéc mét ệđêng trưn.

3) Ta thÊy OE lộ ệđêng trung bừnh cựa ABQ nến
OE // AQ. Mộ OF OE, AP AQ nến OF // AP.

AMN ABN APB
o
AMB ANB MAN 90 .
(AM BN).MN AM.MO BN.NO

2 2 2

65 27 4 15 (®vdt).

2 2

1 ₁

x y 1 x 1

x y

1 ₁ y 1 1 y 2.

y 1

4u v 5 4(2v 1) v 5 v 1

u 2v 1 u 2v 1 u 1

1 1

u , v (u, v 0).

x y y 1

1100 1100 2.

x x 5

1100
x 5

1100
x

2 x 2 2x 5 x 2x 3 x 2 0

1 1

( x 2)(2 x 1) 0 x x .

2 4

2( x 1)

2P 2 x 5 2 x 5

x

( x 1)( x 2) x 1_. x 1_.

x( x 2) x 1 x

x 2 x _. x 1
P

x( x 2) x 1
3 1

A 2.

3 1

Năm häc: 2014 - 2015

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

TP. HAỉ NI

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

11

Mà O là trung điểm AB nên F là trung điểm của BP.

Vì nên

Mà E là trung điểm BQ nên EM EB.
Suy ra OME OBE (c.c.c) nªn

hay OM ME.
Tđểng tù ON NF.

VËy ME // NF.

Chó ý.Ta cã c¸ch kh¸c chøng minh ME // NF nh
sau

4) Gọi I là trung điểm PQ thì AI AB.
Ta có S_MNPQ S_APQ S_AMN.

Mặt khác 2S_APQ PQ.AB 2AI.AB 2AB2 nªn
S_APQ AB2 4R2;

4S_AMN 2AM.AN AM2 AN2 MN2 4R2nên
S_AMN R2.

Suy ra S_MNPQ 3R2.

Xảy ra dấu bằng khi và chØ khi I trïng B vµ AM AN
hay MN AB.

VËy tø gi¸c MNPQ cã diƯn tÝch nhá nhÊt khi và chỉ
khi MN AB.

Bài V.Vì a b c 2 nªn

2a bc (a b c)a bc (a b)(a c)

(theo B§T AM - GM).
Suy ra

Tđểng tù
Suy ra

VËy GTLN cđa Q lµ 4.
2

Q 4 a b c .

3
a b c

Q 3 4.

2

b c

2b ca 1 , 2c ab 1 .

2 2

a

2a bc 1 .

2

2 2

a b a c ₁ a

2 2

o
MEB NFB 2MQE 2NPF 180 .

o
OME OBE 90

o
BMQ 90 .
o

AMB 90
Bội I(2,0 ệiÓm)
1) Giời phđểng trnh
2) Gii h phng trnh

Bài II(2,5 điểm)

1) Chng minh nạu n lộ sè nguyến dđểng thừ
25n 7n 4n(3n 5n) chia hạt cho 65.
2) Từm cịc cẳp sè nguyến (x; y) tháa mởn
x2y xy 2x2 3x 4 0.

3) Tìm các bộ số tự nhiên (a₁; a₂;... ; a₂₀₁₄) thỏa
mÃn

Bài III(1,5 điểm)

Vi ba số dng x, y, z tháa mởn x y z 1,
từm giị trỡ ln nhất ca biểu thc

Bài IV(3,0 điểm)

Cho tam gic ều ABC néi tiạp ệđêng trưn (O),
H lộ trung ệiÓm cựa BC. M lộ ệiÓm bÊt kừ thuéc
ệoỰn thỬng BH (M khịc B). LÊy ệiÓm N thuéc
ệoỰn thỬng CA sao cho CN BM. Gải I lộ trung
ệiÓm cựa MN.

1) Chụng minh bèn ệiÓm O, M, H, I cỉng thuéc
mét ệđêng trưn.

2) Gọi P là giao điểm của OI và AB. Chứng minh
tam giác MNP là tam giác đều.

3) Xác định vị trí của điểm M để tam giác IAB có
chu vi nh nht.

Bài V(1,0 điểm)

Cho bng vung kích thđắc 3 n (3 hộng, n
cét, n lộ sè tù nhiến lắn hển 1) ệđĩc tỰo bẻi cịc

ề vuềng nhá kÝch thđắc 1 1. Mẫi ề vuềng nhá
ệđĩc tề bẻi mét trong hai mộu xanh hoẳc ệá.
Từm sè n bĐ nhÊt ệÓ vắi mải cịch tề mộu nhđ thạ
luền từm ệđĩc hừnh chọ nhẺt tỰo bẻi cịc ề vuềng
nhá sao cho 4 ề vuềng nhá ẻ 4 gãc cựa hừnh chọ
nhẺt ệã cỉng mộu.

x y z

Q .

x x yz y y zx z z xy

2

1 2 3 2014

2 2 2 2 3

1 2 3 2014

a a a ... a 2014

a a a ... a 2014 1.

2

2 2 2

x (4y 1) 2y 3

x (x 12y) 4y 9.

3

x(5x 2) 2( 2x 1 1) 0.

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10

THPT CHUYÊN TP. HAỉ NI

(Dành cho thí sinh thi chuyên Toán)

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

12

Bội 1(135+136).Vắi mẫi sè nguyến dđểng a, kÝ
hiỷu S(a) lộ sè chọ sè cựa a. Từm sè nguyến
dđểng n ệĨ S(5n) S(2n) lộ sè chơn.

Lêi gi¶i.Gi¶ sư 2ncã a chữ số và 5ncó b chữ
số.

Vỡ 2nv 5nu khụng th tận cùng bằng chữ số
0 nên 10a 1 2n 10avà 10b 1 5n 10b.
Suy ra 10a b 2 10n 10a b.

Do đó a b 2 n a b.
Vậy n a b 1.

Mặt khác a b và a b là hai số có cùng tính
chẵn lẻ nên a b là số chẵn khi và chỉ khi a b
là số chẵn. Khi đó n là số lẻ.

NhẺn xĐt.ậẹy lộ mét bội toịn hay vộ khã. Cịc
bỰn sau cã lêi giời tèt: NguyÔn Minh ậục, 6C,
THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; Lế
Thanh Phđểng, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch
ThÊt,Hộ Néi.

phïng kim dung

Bội 2(135+136). Từm tÊt cờ cịc sè nguyến
dđểng m, n tháa mởn 3m n2 2n 8. (1)

Lêi giời. (Theo bỰn Hoộng Trẵn ậục, 7D,
THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng, Nghỷ An)

Ta cã (1) 3m n2 4n 2n 8
3m n(n 4) 2(n 4)

3m (n 4)(n 2).

Đặt n 4 3x, n 2 3y, víi x, y , x y vµ
x y m.

Khi đó 3x 3y 6 hay 3y(3x y 1) 6.

Vừ 3x y 1 khềng chia hạt cho 3, 3ychử cã đắc
lộ lòy thõa cựa 3 vộ 6 3 nến

3y 3 vµ 3x y 1 2 hay y 1 vµ x y 1
y 1 vµ x 2.

Từ đó m x y 3 và n 3y 2 5.

NhẺn xĐt.Ngoội bỰn ậục, cịc bỰn sau còng cã
lêi giời tèt: Lế Thanh Phđểng, 7A, THCS ThỰch
ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ Néi; NguyÔn Minh ậục,
6C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh;
Cao Khớc Tẹn, 7A, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn
Chẹu, Nghỷ An.

hå quang vinh

Bội 3(135+136).Giời hỷ phđểng trừnh

Lời giải. Điều kiện 3 2y y2 0 1 y 3.
Ta cã (1) x4 2x2 1 2(x2 2x 1) 9 y2

(x2 1)2 2(x 1)2 9 y2.

V× (x2 1)2 0 và 2(x 1)2 0 nên y2 9 hay
y 3 hoặc y 3.

Kết hợp với điều kiện suy ra y 3.
4 2

2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

13

Từ đó

CỈp sè (x; y) (1; 3) tháa m·n (2).

VẺy hỷ phđểng trừnh ệở cho cã nghiỷm duy nhÊt
lộ (x; y) (1; 3).

NhẺn xĐt.ậẹy lộ bội toịn khềng khã. ýtđẻng
chÝnh cựa bội toịn lộ tõ phđểng trừnh (1) suy ra
y2 9 vộ kạt hĩp vắi ệiÒu kiỷn cựa (2) ể suy
ra y 3.

Chỉ có bạn sau đây có bài giải tốt: Hồ Quang
Huy, 8A, THCS Văn Lang, Việt Tr×, Phó Thä.

Ngun Anh Dịng

Bội 4(135+136).Cho cịc sè thùc dđểng a, b, c.
Chụng minh rỪng

(1)

Lêi giời.Nhẹn hai vạ cựa (1) vắi a b c 0,
ta ệđĩc

(a2 b2 c2)(a b c) 9abc (a b c)(c a)2
(a b c)[a2 b2 c2 (c a)2] 9abc
(a b c)(b2 2ac) 9abc. (2)

Theo bÊt ệỬng thục AM - GM cho ba sè dđểng,
ta cã

Nhẹn theo vạ cựa (3) vộ (4), ta suy ra (2).
Bi ton c chng minh.

Đẳng thức xảy ra khi a b c.

NhẺn xĐt. 1) Bội toịn ệđĩc lộm mỰnh tõ bÊt
ệỬng thục quen thuéc sau ệẹy

2) ậẹy lộ mét bội toịn hay, lêi giời biạn ệữi cể
bờn. Hẵu hạt cịc bỰn ệÒu ệđa ra ệđĩc ý tđẻng
nhđ trến. Cịc bỰn sau ệẹy cã lêi giời tèt:

Hå Quang Huy, 8A, THCS Văn Lang, Việt Trì,

Phú Th; L Phđểng Thờo, 9C, THCS Nam
Cao, Lý Nhn, H Nam.

cao văn dũng

Bi 5(135+136).Cho tp hp A {1, 2, 3, 4, 6}
vộ mét quan hỷ R trến A ệđĩc ệỡnh nghỵa lộ

x chia hÕt y, nÕu tån t¹i sè nguyªn z sao cho
xz y, kÝ hiƯu x \ y. VÝ dơ 2 \ 6 v× 2.3 6.

HÃy viết các quan hệ R trên A.

Lời giải.Ta có 1 \ 1, 1 \ 2, 1 \ 3, 1 \ 4, 1 \ 6,
2 \ 2, 2 \ 4, 2 \ 6, 3 \ 3, 3 \ 6, 4 \ 4, 6 \ 6.

VËy R {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 2),
(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (6, 6)}.

NhẺn xĐt. Cịc bỰn sau ệẹy cã lêi giời tèt: Lế
Thanh Phđểng, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch
ThÊt; PhỰm Hoộng Hộ, NguyÔn Quang Bin,
9A1, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi;

Ngun Minh §øc, 6C, THCS Nguyễn Cao,
Quế Võ, Bắc Ninh.

TRịNH HOàI DƯƠNG

2 2 2 9abc

a b c .

a b c

3

2 2 2 2 2

b 2ca b ca ca 3 a b c . (4)
3

a b c 3 abc; (3)

2 2 2 9abc 2

a b c (c a) .
a b c

2

x 1 0

(1) x 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

14

Bội 6(135+136).Cho tam giịc ABC, ệđêng cao
AD cớt ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc tỰi ệiÓm
E. HỰ EF AC (F AC). Gải M, N thụ tù lộ
trung ệiÓm AB, DF. TÝnh sè ệo gãc MNE.

Lêi giời.Trđêng hĩp 1.F thuéc ệoỰn thỬng AC.

Vì các tứ giác ABEC và DECF nội tiếp nên

Do đó EBA EDF.

Từ đó, chú ý rằng M, N theo thứ tự là trung điểm
của BA và DF, suy ra EBM EDN.

Điều đó có nghĩa là EMN EBD.
Kết hợp với AE BD, suy ra

Trđêng hĩp 2. F khềng thuéc ệoỰn AC, chụng
minh tđểng tù trđêng hĩp 1.

NhẺn xĐt.Mét sè bỰn ệở giời bội toịn nộy bỪng
cịch sỏ dơng kạt quờ vỊ ệđêng thỬng Simson.
Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: Hă Quang Huy, 8A,
THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ, Phó Thả;Lế Phđểng
Thờo, 9C, THCS Nam Cao, LÝ Nhẹn, Hộ Nam.

ngun minh hµ

o
ENM EDB 90 .

o o

BAE BCE DCE DFE,

ABE 180 ACE 180 FCE EDF.

Hoộng Trẵn ậục, 7D, THCS Lý NhẺt Quang,
ậề Lđểng, Nghỷ An; NguyÔn Minh ậục, 6C,
THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; Lế
Thanh Phđểng, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

15

Bội toịn.Cho hừnh vuềng ABCD. Q, E
lẵn lđĩt lộ trung ệiÓm cựa AB, BC. CQ
cớt DE tỰi M. AM cớt BC tỰi I.

Đáp án nào sau đây là đúng? Vì sao?
a) AM 2MI

b) AM 3MI
c) AM 4MI.

Phạm Tuấn Khải(Hà Nội)

P N NAỉO NG?

BAO NHIEU HÌNH THOI?

(TTT2 sè 135+136)

Ta tề mộu ệen, trớng xen kỳ cịc tam giịc ệÒu cã
cỰnh bỪng 1 nhđ hừnh 1. Mẫi hừnh thoi cã cỰnh
bỪng 1 lộ hừnh cã ệđĩc bỪng cịch ghĐp 1 tam giịc
ệÒu cỰnh 1 tề mộu ệen vộ 1 tam giịc ệỊu cỰnh 1
tề mộu trớng.

H×nh 1

Cã tÊt cờ 21 tam giịc ệÒu mộu trớng. VẺy ta cớt
ệđĩc nhiÒu nhÊt 21 hừnh thoi tháa mởn yếu cẵu ệỊ
bội. Cã mét cớt nhđ hừnh 2 ệĨ cã 21 thoi tháa mởn
yếu cẵu ệỊ bội.

H×nh 2

NhẺn xĐt.Bội toịn trến cã thÓ hái khịc nhđ sau:
Hái cã thÓ cớt hừnh trến dảc theo cịc ệđêng lđắi
thộnh nhiÒu nhÊt bao nhiếu hừnh bừnh hộnh cã hai
cỰnh lộ 1 vộ 2(bỰn hởy thỏ giời bội toịn nộy nhĐ).
Bội toịn trến lộ mét vÝ dô rÊt hay cựa phđểng phịp
tề mộu. RÊt tiạc khềng cã bỰn nộo cã cẹu trờ lêi

ệóng. Phẵn thđẻng xin gịc lỰi kừ sau.

Anh com pa

9.Giờ sỏ hai chọ sè hộng trẽm lộ 4 vộ 5. Khi ệã
ba chọ sè hộng chơc cã tững bỪng 8. Chóng ta
cẵn cã chọ sè hộng chôc ệi vắi 4 cộng lắn cộng
tèt, chọ sè hộng chôc ệi vắi 5 cộng nhá cộng tèt.
ậiỊu ệã cã thĨ thùc hiỷn bẻi vừ 0 1 7 8. Cịc
chọ sè cưn lỰi lộ 2, 3, 6 vộ 8 cã tững bỪng 19.
Giị trỡ nhá nhÊt cã thÓ cựa hiỷu hai sè cã 3 chọ sè
ẻ bến trịi dÊu bỪng lộ 502 478 24 (Vừ trong cịc
trđêng hĩp khịc cựa cịc chọ sè hộng trẽm thừ
hiỷu hai sè ệã khềng nhá hển 100).

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

16

ềm ệã lộ chự nhẺt, thịm tỏ

Sếlềccềc tranh thự vÒ quế ngoỰi.

ậở lẹu khềng vÒ nến lẵn nộy ềng

cè gớng tắi tõng nhộ, thẽm hái tõng ngđêi

trong hả. ậạn nhộ nộo còng ệđĩc mải ngđêi

vui vĨ tiạp ệãn nến thịm tỏ phÊn khẻi vộ

cờm ệéng lớm. Sau khi ẽn cểm trđa tỰi nhộ

ềng chó Mile, thịm tỏ sang thẽm nhộ ềng

anh hả tến lộ Tago. ThÊy cững nhộ Tago

ệang mẻ nến thịm tỏ bđắc vộo luền. Dõng

ẻ sẹn, nhừn vộo trong nhộ, thịm tỏ thÊy anh

mừnh ệang nãi chuyỷn vắi mét chộng trai lỰ.

Chộng trai hừnh nhđ ệang khãc vộ ệang

khÈn khoờn ệÒ nghỡ mét ệiÒu gừ ệã.

Thấy thám tử Sêlôccôc, ông Tago mừng rỡ:

- Chú về đấy à? Lâu quá anh em mới gặp

nhau nhỉ!

- Vâng, em tranh thủ về thăm họ hàng anh

em... Nhng hừnh nhđ anh ệang bẺn? Anh

cụ giời quyạt viỷc cựa anh ệi... Em ệi thẽm

vđên chót ệở...

-

ă

khềng, chó vộo nhộ ệi! Tềi ệang chđa

biạt phời gióp ệì chộng trai nộy thạ nộo...

- Cã chuyỷn gừ thạ anh? Em cã thĨ gióp gừ

ệđĩc khềng?

- Chàng trai này là Bic, hàng xóm thân thiết

của tơi. Cậu ta có gửi bà Mari một ít tiền,

nay có việc cần địi lại thì bà ta chối phắt...

Thám tử hỏi Bic:

- Ch¸u cã giấy tờ làm chứng hoặc có ai có

thể chứng nhận viƯc gưi tiỊn kh«ng?

- Khơng ạ. Bà ấy là họ hàng xa của bạn

cháu nên cháu rất tin... Mà suốt bao nhiêu

năm bà Mari toàn làm việc này... ai gửi tiền

cũng nhận lãi đều đặn. Khơng ngờ...

MỘT LẦN

về quê

Ngun Minh Trang

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

17

- Khơng có bằng chứng thì khó đấy! Lần sau

cháu cần rút kinh nghiệm sâu sắc nhé.

Thôi, cháu về đi, để ta nghĩ xem có cách gì

khơng.

Bic ra vỊ. Thịm tỏ hái ềng Tago vÒ chộng

trai vộ vÒ ngđêi ệộn bộ chuyến lộm nghÒ

nhẺn gỏi tiÒn kia. Sau mét hăi hái han, thịm

tỏ bờo ềng Tago gải Bic sang.

- Bic này, bây giờ bác sẽ tới nhà bà Mari.

Sau khi bác ra về, cháu hãy gặp ngay bà ta

và nói rằng cháu đã kể với bác việc bà ấy

không chịu trả tiền cho cháu nhé.

- Ch¸u chða hiĨu...

- Cứ làm theo lời bác và đừng kể với ai cả.

Nói rồi, thám tử tìm đến nhà bà Mari.

- Chộo chỡ! Tềi lộ em hả cựa ềng Tago,

ngđêi lộng mừnh. Anh em tềi sớp ệđĩc nhẺn

mét sè tiÒn thõa kạ khị lắn, ệang ệỡnh gỏi

chẫ chỡ.

ý

chỡ thạ nộo?

g× b»ng!

- Mấy hơm nữa tơi mang đến nhé. Chào chị,

tơi về.

Sau đó, Bic làm theo đúng lời thám tử dặn.

Thật ngạc nhiên, bà Mari đã trả lại tồn bộ

số tiền mà chàng đã gửi.

* C¸c thám tử Tuổi Hồng có thể giải thích vì

sao thám tử Sêlôccôc lại làm nhð vËy

kh«ng?

hịm tỏ Sếlềccềc ệở nghi ngê bộ Mina.

Bộ ta nãi rỪng trến TV cã chđểng trừnh

hđắng dÉn cụu háa, theo sù hđắng dÉn ệã thừ

khi xờy ra chịy do chẺp ệiỷn, dỉng nđắc lộ

cịch nhanh nhÊt vộ hiỷu quờ nhÊt. ậẹy chÝnh

lộ sể hẻ cựa bộ Mina, khiạn bộ bỡ thịm tỏ

nghi ngê.

Phẵn thđẻng ệđĩc gỏi tắi nhọng bỰn sau:

Tạ Minh Thái

, 6A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc,

Vnh Phóc

;

Ngun Thỡ Minh Trẹm

, 7A4,

THCS Yến Phong, Yến Phong;

NguyÔn Minh

ậục

, 6C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ,

Bớc

Ninh

;

NguyÔn ậục Nguyến

, 6A, THCS Bớc

Hăng, TX. Hăng Lỵnh,

Hộ Tỵnh

;

Lế Thnh

Lm

, 8E, THCS Hng Vng, TP. Tuy Ha,

Phú Yên

.

Thám tử Sêlôccôc

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19></div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

19

We now proceed by induction
The proof is by induction by n

Assume the formula holds for the degree k, we
will prove it for k 1

Which proves the theorem (2):
The four centres lie in a plane

We wish to find a solution of (3) which is of the form
Then x is the center of

Each of the three products on the right of (2)
satisfies

Property (1) is called the triangle inequality
A parallelogram with sides parallel to the axes
Cauchy’s inequality

m can be taken to be a constant
N will be chosen to contain X

It is necessary to consider...

This set is obtained by letting n 1
We begin by analyzing (2)

We next turn to estimating

We need only consider paths starting at Q
We regard f as being defined on set X
This is a special case of (1)

All are zero at t

This shows that there are no two points a and b
such that

Bây giờ chúng ta tiến hành bằng quy n¹p
Chøng minh b»ng quy n¹p theo n

Giả sử cơng thức đúng đến k, ta sẽ chứng minh
nó đúng cho k 1

ậiÒu ệã chụng tá ệỡnh lÝ (2) ệở ệđĩc chụng minh
Bèn tẹm nộy nỪm trến mét mẳt phỬng

Ta muốn tìm một nghiệm của (3) có dạng
Khi đó x là tõm ca

Mỗi một trong ba tích số ở vế phải cña (2) tháa
m·n

TÝnh chÊt (1) ệđĩc gải lộ bÊt ệỬng thục tam giịc
Mét hừnh bừnh hộnh vắi cịc cỰnh song song vắi
cịc trơc

bất đẳng thức Cơsi

m cã thĨ ệđĩc lÊy lộ mét hỪng sè
N sỳ ệđĩc chản ệĨ chụa X

CÇn xem xÐt...

TẺp nộy nhẺn ệđĩc bỪng cịch cho n 1
Chóng ta bớt ệẵu bỪng viỷc phẹn tÝch (2)
Tiạp theo chóng ta chun qua đắc lđĩng
Chóng ta chử xĐt cịc ệđêng bớt ệẵu tõ Q
Ta coi f ệđĩc xịc ệỡnh trến tẺp X

ậẹy lộ trđêng hĩp ệẳc biỷt cựa (1)
TÊt c ều bng 0 ti t

Điều này chứng tỏ rằng không có hai điểm a và
b sao cho

MAU CAU

KHO HƠN

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

20

đơng ba

(Hà Nội)

Sðu tầm

BỰn hởy thay mẫi chọ cịi

bẻi mét chọ sè sao cho

ệđĩc phĐp tÝnh ệóng, biạt

rỪng cịc chọ cịi khịc

nhau biÓu thỡ cịc chọ sè

khịc nhau. Lêi giời cẵn

ghi râ lẺp lun.

Có một cách điền số nh sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

21

Nhận xét. Bài toán này khó, không có võ sĩ nào
giải tốt. Lời giải sau đây của tác giả.

Li gii.Ta cn có ba bổ đề.

Bữ ệỊ 1. Cho tam giịc ABC, (O) lộ ệđêng trưn
ngoỰi tiạp, I lộ tẹm ệđêng trưn néi tiạp. ậđêng trưn
(I_a) theo theo thụ tù tiạp xóc vắi cịc tia AB, AC tỰi
K, L vộ tiạp xóc trong vắi (O). Khi ệã I lộ trung
ệiÓm cựa KL.

Cã thÓ từm thÊy phĐp chụng minh bữ ệÒ 1 trong
bội viạt “ậỡnh lÝ Lyness”, TTT2 sè 42 vộ 43.
Bữ ệÒ 2.Nạu AB CD thừ AC2 AD2 BC2 BD2.
Bữ ệÒ 3. Nạu ệđêng thỬng d ệi qua ệiÓm M nỪm
ngoội ệđêng trưn (O; R) vộ cớt (O; R) tỰi A, B thừ
MA.MB MO2 R2.

Phép chứng minh các bổ đề 2 và 3 rất đơn giản
(bạn đọc tự chứng minh).

Trở li gii bi toỏn thỏch u.

Không mất tính tổng quát giả sử AB AC.
Gọi E là giao điểm của AI vµ DH.

Theo bổ đề 1, I là trung điểm của KL.
Kết hợp với AK AL, ta có

Chó ý rỪng HI ED, theo hỷ thục lđĩng trong tam
giịc vuềng, ta cã EH.ED EI2. (1)

Ta thÊy

Do đó DIC DBI.

Từ đó, chú ý rằng ED OI, theo các bổ đề 2 và 3,
suy ra

EI2 EO2 DI2 DO2 BD.DC DO2
(DO2 R2) DO2 R2.

Mà EI cắt (O) tại A và F nên theo bổ đề 3 ta có
EI2 EO2 R2 EA.EF. (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra EH.ED EA.EF.

ậiÒu ệã cã nghỵa lộ D, H, A, F cỉng thc mét

ệđêng trưn.

ngun minh hµ

o B o B

90 90 IBD.

2 2

o A C o

DIC CIA DIA 180 90

2 2
o
EID 90 .

Ngđêi thịch ệÊu:NguyÔn Minh Hộ, GV. THPT chuyến ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi.

Bội toịn thịch ệÊu:Cho ệiÓm X nỪm trong vộ cịc ệiÓm Y, Z nỪm ngoội tam giịc ABC sao cho cịc
tam giịc XBC, YAC, ZBA ệăng dỰng. ậđêng thỬng YZ theo thụ tù cớt cịc ệoỰn thỬng AB, AC tỰi M,
N. P lộ trung ệiÓm cựa BC. Chụng minh rỪng YN ZM khi vộ chử khi

XuÊt xø: S¸ng t¸c.

Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.10.2014 theo dÊu bđu ệiỷn.

PAB XAC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

22

Kú thi toịn Quèc tạ nẽm 2014 ệđĩc tữ chục tỰi
Nam Phi. Cã cã 101 Quèc gia vộ vỉng lởnh thữ
tham dù vắi 560 hảc sinh. Nhừn vộo phữ ệiĨm,
nhiỊu ngđêi ệịnh giị ệỊ nẽm nay vộo loỰi khã, cã
ệạn ba bội tữ hĩp. Nẽm nay chử cã 3 hảc sinh ệỰt
ệiÓm tuyỷt ệèi 42/42.

ậoộn hảc sinh Viỷt Nam dù thi thừ cờ 6 thÝ sinh ệÒu
ệoỰt giời, trong ệã cã ba Huy chđểng Vộng, hai
Huy chđểng BỰc vộ mét Huy chđểng ậăng. Xạp
hỰng khềng chÝnh thục cựa toộn ệoộn dùa trến
tững ệiÓm thừ ệoộn Viỷt Nam ệụng thụ 10. Chóng
tềi xin giắi thiỷu hai bội hừnh phỬng ệđĩc giời bỪng
kiạn thục Trung hảc cể sẻ.

Bội 4. Cịc ệiÓm P vộ Q ệđĩc lÊy trến cỰnh BC
cựa tam giịc nhản ABC, sao cho vộ

Cịc ệiÓm M, N lÊy trến AP vộ AQ
sao cho P lộ trung ệiÓm AM vộ Q lộ trung ệiÓm
AN. Chụng minh rỪng giao ệiÓm cựa BM vộ CN
nỪm trến ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ABC.
Lêi giời.Giờ sỏ BM cớt CN tỰi D.

Cách 1.

Vì AP PM, AQ QN nên PQ // MN.
Vì

nên

Mặt khác ABP CAQ

Do ú BPM NQC

Suy ra BQDN là tứ giác nội tiếp

Từ ó t gic ABDC néi tiạp nến D thuéc ệđêng
trưn ngoỰi tiạp tam gic ABC.

Cách 2.

Vì nên ABC QAC

Gi E v F thứ tự là điểm trên tia đối của các tia
AB và AC sao cho AE AB, AF AC.

AB BC .
QA AC
CAQ ABC

BAC BQN BDN.

CNQ MBP.

PB QA _{PB QN .}

AP CQ PM QC

APQ AQP A.
PAB BCA, QAC ABC

CAQ ABC.

PAB BCA

HAI BÀI HÌNH HỌC

trong kì thi Toán Quốc tế IMO 2014

Ngun Bị ậang(Tđ vÊn chđểng trừnh Phịt triĨn

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

23

Vì nên EBC NAC

Tng tự

Mặt khác tứ giác BFEC là hình bình hành. Gọi I là
trung ®iĨm BC th× AI // EC // FB.

Suy ra
Do đó

VẺy tụ giịc ABDC néi tiạp nến D thuéc ệđêng trưn
ngoỰi tiạp tam giịc ABC.
NhẺn xĐt.Bội sè 4 do Georgia ệÒ nghỡ ệđĩc ệịnh
giị lộ dÔ nhÊt trong 6 bội, cã tắi 378 hảc sinh dộnh
ệiÓm 7 (tèi ệa), hừnh vỳ ệển giờn chử vắi kiạn thục
tam giịc ệăng dỰng lộ gii quyt c.

Bài 3.Cho tứ giác lồi ABCD có

H lộ hừnh chiạu cựa A xuèng BD. S, T tđểng ụng
nỪm trến AB, AD sao cho H nỪm trong tam giịc
SCT vộ

Chụng minh rỪng ệđêng thỬng BD tiạp xóc vắi
ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc TSH.
Lêi giời. Gải E, F thụ tù lộ ệiÓm ệèi xụng cựa C
qua B, D.

Ta cã SE SC

Vì nên

Suy ra

Do ú t giỏc CHSE là tứ giác nội tiếp.

Tđểng tù tụ giịc CHTF néi tiạp.

Ta cã TC TF, AE AC AF. Suy ra BD // EF. Mà
AH EF tại M nên ME MF, HE HF.

KĐo dội HC lÊy ệiÓm P sao cho HE HP thừ H lộ
tẹm ệđêng trưn ngoỰi tiạp EPF. Mộ tụ giịc CHSE
néi tiạp nến

Do đó SEC HEP

SHE CEP

SH // EP.
Mµ tø giác CHTF nội tiếp nên

TCF HPF.

Vì (chắn cung SE) nên HS là phân
giác ngoài của góc CHE.

Tng tự HT l phn gic ngoi ca góc CHF.
Suy ra

Mà

nên SHT FPE

Kết hợp BD // EF và SH // EP suy ra

VẺy BD lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp
tam giịc HST.

NhẺn xĐt.Bội nộy ệđĩc xạp vộo bội khã cựa ngộy
ệẵu, ngay vỳ hừnh còng gẳp khã khẽn sỏ dơng
nhiỊu kiạn thục, bội nộy cịng cã nhiÒu cịch giời,
mong cịc bỰn hởy từm tưi.

STH SHB.
STH FEP.

HS HS HF CP FP FP
HT HE HT EP CP EP

SHT SCB TCD EPF SHT.
SHE SCE

FTC CHF
SHE SCE HPE HEP

SEH CEP
ESC EHC.

o
CHS SEC CHS SCB 180 .

o o

CHS CSB 90 180 SCB.

o
CHS CSB 90

SEB SCB.

o o

CHS CSB 90 , THC DTC 90 .
o
ABC CDA 90 .

o

T- ¬ng tù DMN A CFB

DNM DMN 2A BEC CFB A
BDC A 180 .

DNM ANM ANC A BEC.
BAC BAI IAC BEC CFB.

CFB AMB.
BEC ANC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

24

ASIA PACIFIC MATHEMATICAL

OLYMPIAD 2014

2 hours (150 marks)

(Tiạp theo kừ trđắc)
16.As shown in the diagram, a square is divided

into 9 regions. Region E is a square and the other
regions are rectangles. If the area of rectangles
A, B, C are 18 cm2, 63 cm2 and 189 cm2
respectively, find the perimeter of rectangle D.

17. The sum of 47 distinct positive integers is
2014. If there are n even numbers omong the 47
integers, what is the least possible value of n?

18. A 9-digit integer is formed using
digits 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 without repetition.

If , find

the largest possible value of A.

19. A semi-circle with diameter AG is shown in
the diagram. The entire arc of the semi-circle is
divided into 6 equal parts by points B, C, D, E and
F. DF and CG are straght lines. Given that the
area of the semi-circle is 60 cm2, find the area of
the shaded region in cm2.

20.As shown in the diagram below, cubes with
side length of 1 cm are placed together to form a
sequence of solids. Find the surface area of the
20thsolid in cm2.

21. In the diagram, each side of the square
ABCD is divided into 4 segments by the points
numbered form 1 to 12. How many different
triangles can be formed whose vertices can be
any three points among points 1 to 12?

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

25

22. In a certain calendar year, there are more
Mondays than Fridays, and more Sundays than
Wednesdays. Which day of the week is 1stMarch
in that year? Choose your answer from the

following options.

(1) Monday (2) Tuesday
(3) Wednesday (4) Thursday
(5) Friday (6) Saturday
(7) Sunday

23. There is 60 grams of 5% saline solution
(Solution A), 60 grams of 8% saline solution
(Solution B), and 47 grams of 9% saline solution
(Solution C). These three types of solution are
mixed together to produce 100 grams of 7%
saline solution. Find the sum of the maximum
and minimum grams of Solution A that can be
used.

24. When a whole number is divided by 5, the
remainder is a; when the same number is divided
by 6, the quotient is b. If the sum of a and b is 11,
find the sum of all numbers that satisfy this
requirement.

25. Dates can be written as an 8-digit integer in
the format of yyyymmdd. For example, 20140125
stands for January 25th 2014. How many days
are there in year 2014 such that its 8-digit
representation contains equal numbers of digit
0, 1 and 2?

26.Find the sum of all angles labelled from 1 to

12 in the diagram below.

27.Appending a positive integer N at the end of
any positive integer to form a new number (for
example, appending 21 at the end of 35 gives

3521), if this new number is always divisible by
N, then N is called a “magic number” less than
600.

28. As shown in the diagram, part of a triangle
ABC is folded along the line DE, resulting in a
heptagon ADECFGH. If the ratio of the area of
this heptagon to the area of the triangle ABC is
5 : 7, and the area of the shaded region DEFH is
8 cm2, find the area of the triangle ABC.

29.From 2014 to 6999, how many integers have
its sum of digits divisible by 5?

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

26

Một hình tam giác vng có số đo chiều dài ba
cạnh đều là số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng
nhau gọi là tam giác Pytago.

Ta kí hiệu các cạnh của tam giác Pytago là a, b, c
và c b a (c gọi là cạnh góc vuông nhỏ, b gọi là
cạnh góc vuông lớn).

* Công thức 1. c n với n là sè lỴ, ,

a b 1.

Ta cã bảng sau

Ta gọi các bộ số trên thuộc nhóm A.

Lấy mẫi bé ba sè trến nhẹn vắi hỷ sè k (k 1, 2,
3, ...) ta ệđĩc bé ba sè mắi. Gải cịc bé sè nộy lộ
A’.

* C«ng thøc 2. c 4c’ (c’ 2, 3, 4,...), b 4c’2 1,
a b 2.

Ta có bảng sau

Ta gọi các bộ số trªn thuéc nhãm B.

LÊy mẫi bé ba sè trến nhẹn vắi hỷ sè k (k 1, 2,
3, ...) ta ệđĩc bé ba sè mắi. Gải cịc bé sè nộy lộ
B’.

* C«ng thøc 3. c 4c’ (c là số lẻ và c’ > 3),
b c’2 4, a b 8.

Ta có bảng sau

Ta gọi các bộ số trên thuéc nhãm C.

LÊy mẫi bé ba sè trến nhẹn vắi hỷ sè k (k 1, 2,
3, ...) ta ệđĩc bé ba sè mắi. Gải cịc bé sè nộy lộ

C’.

Các bộ số thuộc A’, B’, C’ không phải là các bộ số
tam giác Pytago nhðng là độ dài ba cạnh của một
tam giác vuông.

Vắi cịc cềng thục trến ta chử cẵn biạt ệé dội mét
cỰnh cựa tam giịc vuềng thừ ta sỳ tÝnh ệđĩc ệé dội
hai cỰnh cưn lỰi.

VÝ dô. Cho hình tam giác có số đo của cạnh lớn
kề với góc vuông là 24. Dựa vào các công thức
trên hÃy tính các cạnh còn lại của tam giác.
Lời giải. Ta cã b 24.

V× 24 24.1 12.2 4.6

* Nếu b thuộc nhóm A thì a b 1 24 1 25.
Do đó c2 b.2 1 49 nên c 7.

* Nếu b thuộc nhóm A’ và b 12.
Khi đó a (12 1).2 26

Do đó (2c)2 (12.2 1).2 nên c 10.
* Nếu b thuộc nhóm A’ và b 4.
Khi đó a (4 1).6 30

Do đó c 3.6 18.
Bài tập.

Bài 1.Dựa vào các cơng thức trên hãy tính độ dài
các cạnh của tam giác vuụng cú cnh gúc vuụng
nh bng 56.

Kì sau đăng tiếp
2

c 1

b
2

NĂM CƠNG THỨC TÍNH

CÁC BỘ SỐ TAM GIÁC PYTAGO

ngun danh ninh(Hà Đông, Hà Nội)

c 3 5 7 9 11 13 15 17 19

b 4 12 24 40 60 84 112 144 180
a 5 13 25 41 61 85 113 145 181

c 8 12 16 20 24 28 32 36 40
b 15 35 63 99 143 195 255 323 399
a 17 37 65 101 145 197 257 325 401

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

27

Bội 13NS. Cho sè thùc a vộ sè nguyến dđểng b. TÝnh giị trỡ cựa biÓu thục
(kÝ hiỷu [x] lộ phẵn nguyến cựa x).

Trẵn anh tuÊn(GV. THCS Phó Phóc, Lý Nhẹn, Hộ Nam)
Bội 14NS.Giời phđểng trnh

nguyễn văn xá(GV. THPT Yên Phong số 2, Yên Phong, Bắc Ninh)
Bài 15NS.Cho tam giác ABC thỏa mÃn TÝnh

thịi nhẺt phđĩng(GV. THCS NguyÔn Vẽn Trẫi, Cam Nghỵa, Cam Ranh, Khịnh Hưa)
CA .

CB
o

C

B 22,5 .

2

1 1

2 x 7 x 5.

x
x

a b a 1

M ,

b b

CUỘC THI GIẢI TỐN DÀNH CHO NỮ SINH

(TTT2 sè 135+136)
Bµi 7NS.

* ậiỊu kiỷn cẵn:Hỷ phđểng trừnh tđểng ệđểng vắi

Phđểng trừnh (1) cã nghiỷm nguyến lộ (x, y)
(3, 3); (1, 1).

Vắi (x, y) (3, 3) vộ (x, y) (1, 1) thay vộo (2) ta
ệđĩc m2 5 nến m 5.

* ậiÒu kiỷn ệự:Vắi m 5 ta cã hỷ phđểng trừnh

Hỷ phđểng trừnh cã nghiỷm (x, y) (3, 3); (1, 1).
VẺy m 5.

Bài 8NS. Vì đa thức chia (x 1)(x2 1) có bậc 3
nên đa thức d có dạng R(x) ax2 bx c.
Ta cã f(x) (x 1)(x2 1)q(x) ax2 bx c.
V× f(x) chia cho x 1 dð 4 nªn

f( 1) = a b c 4. (1)

Mặt khác f(x) [(x 1)q(x) a](x2 1) bx c a
bx (c a) là đa thức d trong phÐp chia f(x)
cho x2 1

bx (c a) 2x 3

Thay vộo (1) ta ệđĩc

VËy ®a thøc dð trong phÐp chia f(x) cho (x 1)(x2 1)
lµ

Bài 9NS.(Bạn đọc tự vẽ hình)
Ta có tam giác ABC vng tại A nên
AH.BC AB.AC và

áp dụng định lí Pytago ta có AB2 AC2 BC2.
Mà ADM AED (g.g)

Ta cã AB AC 2AD

Suy ra ®pcm.

Nhận xét. Các bài tốn trên khơng khó nhðng
khơng có bạn nào có lời giải đúng.

Ngun Ngäc H©n
AH.BC ME.BC _{AH ME.}

2 2

2

AB AC BC BC _ME AB.AC ME.BC

2 2 2 2 2

2

AB AC AB AC

AD AM(AM ME)

2 2

2

AD AM _AD _AM.AE.

AE AD
BC
AM .
2
2
3 9

R(x) x 2x .

2 2

3 9

c 3 .

2 2
3

a
2

b 2 b 2

c a 3 c a 3

2

2 2

y(x 2) x 3x 3
(x 2) (y 1) 5

2

2 2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

28

Vui cười

Bận gì?

Tuổi: - Sáng nay 10 giờ tớ

mới dậy đấy.

Thơ: - Thế trước 10 giờ cậu bận gì mà

khơng dậy?

Á quân

Tuổi: - Này, cậu có biết vì sao những

người đứng thứ nhì trong các cuộc thi

lại được gọi là á quân?

Thơ: - Hì hì... Chắc là lúc biết mình

đứng thứ nhì, họ kêu “á” lên chứ sao!!!

Gioáng

Tuổi: - Mọi người bảo tớ rất giống ông

nội. Mắt, mũi, miệng... đều giống hệt.

Thơ: - Cịn tớ thì giống hệt ơng tớ cái...

họ.

Cho hành

Tuổi: - Chị cậu đang làm gì trong phòng

thế?

Thơ: - Đang nấu cháo điện thoại.

Tuổi: - Thế có cho hành vào khơng?

Bõ

Tuổi: - Cậu có muốn tớ khao 1 bắp ngơ

nướng khơng?

Thơ: - Không.

Tuổi: - Lạ thật! Sao hơm nay cậu lại từ

chối nhỉ?

Thơ: - Vì 10 bắp mới bõ ăn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

29

Hẵu hạt nhọng tõ bỡ nhẵm ệÒu ệở ệđĩc cịc

bỰn sỏa lỰi chÝnh xịc. Duy chử cã tõ

lẳn

(cẵn

phời sỏa thộnh

léi

- vắi nghỵa lộ

bểi léi

) thừ

mét vội bỰn cưn bá sãt. Cị mộ lẳn

thừ lộm sao

ta thÊy chóng

tung tẽng

ệđĩc nọa, ệóng

khềng nộo? Khi ệảc ca dao, tơc ngọ, thộnh

ngọ, cịc bỰn hởy chó ý ệạn nghỷ thuẺt dỉng

tõ tuyỷt vêi cựa ềng cha ta nhĐ.

*

Rđ nhau xem c¶nh

KiÕm

Hồ

Xem cầu Thê Húc, xem chùa Ngọc Sơn

Đài Nghiên, Tháp Bót chða mßn

Hái ai gẹy dùng nến non nđắc nộy?

*

NhÊt cao là

núi

Ba Vì

Thứ ba Tam Đảo, thứ nhì §éc T«n

*

Ai về đến huyện Đơng Anh

GhĐ xem phong cờnh Loa thộnh Thôc Vđểng

Cữ Loa hừnh

èc

khịc thđêng

Trời bao nẽm thịng, nĨo ệđêng cưn ệẹy

*

Bắc Kạn có

suối đãi

vàng

Có hồ Ba B, cú nng ỏo xanh

*

Làng tôi có lũy tre xanh

Có sông Tô Lịch

uốn

quanh xóm làng

Bên bờ

vải

nh·n hai hµng

Dđắi sềng cị

léi

tõng ệộn tung tẽng

Phẵn thđẻng ệđĩc gỏi tắi:

NguyÔn Thỡ Trộ Vy,

7A1;

TỰ Khớc Thớng

, 7A2;

Dđểng Lẹm Anh

,

7A4, THCS Yến Phong, Yến Phong,

Bớc

Ninh

.

Phan Hđểng

Phong caũnh miền Bắc

(TTT2 sè 135+136)

Tất cả các bạn đều phát hiện đúng quy luật

trong cách sắp xếp các từ (từ số 1 đến số 6):

1. DR

A

M

A

2. RA

BB

I 3.

C

Y

C

LE 4. I

D

LE

D

5. T

E

NS

E

6. A

FF

IX

Vậy WI

GG

LE là từ phù hợp để điền vào vị trí

thứ 7.

Chự Vđên sỳ gỏi quộ tắi cịc bỰn sau:

Trẵn

Hoộng Lẹm

, 11 ngâ 100, An Xị, Ba ậừnh;

KiÒu Thu Hđểng

, 7A, THCS ThỰch ThÊt,

ThỰch ThÊt,

Hộ Néi

;

NguyÔn Thỡ Thu Trang

,

7A1;

Tề Vẽn Lùc

, 7A2, THCS Yến Phong,

Yến Phong,

Bớc Ninh

;

Cao Khớc Tẹn

, 7A,

THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu,

Nghỷ An

.

Chự Vđên

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

30

họ viạt xuÊt hiỷn

cịch nay chõng

4000 nẽm ẻ

Lđìng Hộ vộ Ai CẺp (Tõ I Rớc, IRan vộ Ai

CẺp ngộy nay). Nhđng chọ chử ệđĩc ghi lỰi

trến ệị, vá cẹy, tre, tróc, da, tÊm ệóc bỪng

ệÊt. 105 nẽm trđắc CN giÊy ra ệêi, lộm thự

cềng (ậạn nẽm 1800 mắi sờn xuÊt bỪng cể

khÝ hãa). Thạ kử X nghÒ in tõ tÊm gẫ khớc ra

ệêi (cưn gải lộ tipề).

Nẽm 1455 nghỊ in vắi chọ ệóc bỪng kim loỰi

chừ ệđĩc bớt ệẵu. Tõ ệẹy sịch ệđĩc in vắi sè

lđĩng lắn ẻ ậục. Cuèn sịch ệẵu tiến ệđĩc in

200 bờn. NghỊ in phịt triĨn rẵm ré thạ kử XVI.

1796 thếm cềng nghỷ in thỰch bờn (cưn gải lộ

litề). 1566 tê bịo ệẵu tiến ra ệêi ẻ Italia, trờ

tiÒn bỪng cịc ệăng xu gải lộ Gazetta. Tõ ệẹy

bịo ệđĩc gải chung lộ Gazetta. 1811 mịy in

1 èng ra ệêi. Nẽm 1838 mịy ờnh ra ệêi. Nẽm

1844 ệiỷn tÝn ra ệêi. Tin tục ệđĩc truyÒn ệi

qua khềng gian. 1873 mịy in èng lâm xuÊt

hiỷn, in 2 mẳt. Nẽm 1865 Gia ậỡnh bịo ra ệêi

ẻ Sội Gưn lộ tê bịo ệẵu tiến cựa Viỷt Nam. Tõ

1885 ngđêi Hời Phưng cã sữ NhẺt trừnh ghi lỰi

cịc tin tục thu lđĩm ệđĩc ệÓ bịn nhđ tê bịo,

lóc ệẵu gải lộ sữ ghi tin. Nẽm 1905 ậỰi Viỷt

tẹn bịo ra ệêi ẻ Hộ Néi. Nẽm 1919 Trung Bớc

Tẹn Vẽn nhẺt bịo ẻ Hộ Néi thộnh tê bịo ra

hộng ngộy ệẵu tiến cựa nđắc ta.

1907 ờnh mộu xuÊt hiỷn. 1948 manh nha mịy

tÝnh ệiỷn tỏ ra ệêi. Nẽm 1938 mịy photocopy

xuÊt hiỷn. 1950 cã mịy photocopy phiến bờn

mắi. Nẽm 1956 mịy tÝnh ệiỷn tỏ ra ệêi, kÝch

thđắc bỪng cịi tự lỰnh. 1965 bớt ệẵu sớp chọ

ệiỷn tỏ thay cho sớp chọ con chừ. 1970 mịy

tÝnh cị nhẹn ra ệêi. Trđắc ệã, 1968 ệở cã mịy

photocopy mộu.

Tõ đây bắt đầu xà hội hậu công nghiệp hay

xà hội thông tin dựa trên nền kinh tế tri thức

với cơ sở hạ tầng công nghệ thông tin phát

triển mạnh mẽ.

1975 cềng nghiỷp phẵn mÒm xuÊt hiỷn. NghÒ

lộm sịch, bịo thùc sù ệữi khịc tõ 1990 vắi

viỷc tõ biỷt mịy ệịnh chọ (mịy chọ), xạp

tõng chọ con chừ, khớc hừnh vỳ bỪng gẫ. Giao

thục internet lộm cuéc cịch mỰng khoa hảc

lắn nhÊt trong truyÒn tin, giao tiạp xở héi, lộm

lung lay tẺn gèc mải phđểng thục truyÒn

thềng, cịch ệđa tin, bội, ờnh. Kử nguyến

Thềng tin bớt ệẵu. Nạu so vắi lỡch sỏ hừnh

thộnh cựa Trịi ậÊt vắi 6,6 tử nẽm thừ lỡch sỏ

cựa bịo mỰng mắi chử cã 40 nẽm lộ về cỉng

nhá bĐ. Nhđng thạ giắi ệở phỬng hển. Con

ngđêi giao tiạp vắi nhau ệở khịc hoộn toộn.

Nhanh, ệứp, phữ cẺp vộ...gièng nhau lộ

nhọng ệiỊu dƠ thÊy ẻ bịo ệiỷn tỏ (bịo mỰng).

Cển lèc ệđa tin nhanh lộm thẺt, giờ, xÊu, tèt

khã phẹn ệỡnh hển. Ngđêi ệảc bịo ngộy nay

phời tù mừnh từm hiÓu ệÓ tiạp cẺn vắi sù thẺt

mét cịch gẵn nhÊt.

NGƯỢC THỜI GIAN

VỀ NGHỀ LAØM SÁCH, BÁO

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

31

Hái:Anh Phã ểi! Em thÊy hiỷn nay cịc bỰn trĨ
rÊt thÝch hảc tiạng Hộn. Sè ngđêi thÝch hảc tiạng
Hộn nhiÒu hển sè ngđêi thÝch hảc tiạng Hịn.
TỰi sao TTT khềng cã chuyến môc hảc tiạng
Hộn Ự? Nạu cã thừ em sỳ lộ ngđêi gỏi bi u
tin ấy anh .

Một bạn quên ghi tên

Đáp:

Lm sao em biạt
Ngđêi thÝch tiạng Hộn
NhiÒu hển tiạng Hịn
Bịo nạu nhiÒu trang
Sỳ thếm môc mắi
ậạn vắi Tiạng Phịp
Răi Tẹy Ban Nha
Bă ậộo Nha nọa
Nhđng mộ cưn xa.

Hái:Nạu em lộm bội chuyến môc nộy mộ lỰi ghi
chuyến môc khịc thừ cã ệđĩc chấp nhn khng ?
Nguyễn ng Danh

(9D, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ,
Hà Tĩnh)

Đáp:

Sao phi rc ri vy
Khụng ghi ỳng tên bài
Ghi đúng tên chuyên mục
Để chia bài khỏi sai.

Hái: Anh Phã ểi! Bội gỏi ệi cã ệđĩc dỉng bót

xãa hay vit bng hai th mực khng ?

Trần Toàn Thịnh

(Quờn ghi a ch)

Đáp:

Gi cho bo th c
Lm bi thi th ệõng
Cộng Ýt dỉng bót xãa
MỰch viạt cộnh hanh thềng
Thẵy cề chÊm sỳ thÝch
Cha mứ xem cộng mõng.

Hái: Anh Phã ểi! TiÓu thuyạt từnh yếu cã ệđĩc
coi lộ mét tịc phÈm vn hc khng ?

Bút Bi

Đáp:

Mọi điều viết ra giấy
Hay in ra tõ xða

Nếu đạt Chân, Thiện, Mỹ
Đều gọi tác phẩm mà
Tiểu thuyết nào cũng vậy
Chân, Thiện, Mỹ hàng đầu.

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

32

Bội 1(139).Cho x vộ y lộ cịc sè nguyến dđểng tháa mởn
Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa x.

cao ngọc toản(GV. THPT Tam Giang, Phong Điền, Thừa Thiên - Huế)
Bài 2(139).So sánh biểu thức P với biết

(với 1! 1, 2! 1.2, 3! 1.2.3,... ).

phỉng vẽn long (GV. THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc)
Bội 3(139). Giời phđểng trừnh

nguyễn ngọc hùng (GV. THCS Hồng Xn Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh)
Bài 4(139). Tìm x để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

nguyễn đức tấn (TP. Hồ Chí Minh)
Bài 5(139). Cho n là một số tự nhiên. Ta định nghĩa n! (đọc là n giai thừa) nhð sau:

a) NÕu n 0 th× n! 1

b) Nếu n 0 thì n! n.(n 1)!
1) Hãy tính 5! theo định nghĩa trên.

2) Hãy viết 2014! thành một tích các số tự nhiên từ định nghĩa trên.

vũ kim thủy
Bài 6(139).Cho tam giác ABC có tỉ số giữa hai cạnh chung đỉnh A là 3 : 2. Vẽ trung tuyến AM và phân
giác AK. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác AKM và AKB.

nguyễn đễ (Hải Phòng)

2 4

2
1

A x x

x

2 2

13 x x 9 x x 16.

3 4 2014

P ...

1! 2! 3! 2! 3! 4! 2012! 2013! 2014!
1,

2

x 2y 2016.
x y 2015

1(139). Let x and y be positive integers such that Find the
minimum value of x.

2(139).ComparePand given that

where 1! 1, 2! 1.2, 3! 1.2.3,...
3(139).Solve the following equation

4(139).Find the value of xthat minimizes the expression
5(139).Letnbe a natural number. We define n! (nfactorial) as:
a) If n 0 then n! 1

b) If n 0 then n! n.(n 1)!
1) Calculate 5! based on the above definition.

2) Express 2014! as a product of natural numbers.

6(139). Let ABC be a triangle having the ratios of the lengths of the two sides sharing the common
vertexAas 3 : 2. Let AMbe the median and AKbe the angle bisector of the triangle. Find the ratio of
the areas of the triangle AKMand the triangle AKB.

2 4

2
1 .

A x x

x

2 2

13 x x 9 x x 16.

3 4 _... 2014

1! 2! 3! 2! 3! 4! 2012! 2013! 2014!

P

1,
2

2 _{2016 .}
2015

x y

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34></div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35></div>

<!--links-->