Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 133

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2></div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

Trong bội viạt nộy chóng ta sỳ từm hiĨu mèi quan
hỷ cựa hai tam giịc cã hai cẳp cỰnh bỪng nhau vộ
cỰnh thụ ba khềng bỪng nhau. Trđắc hạt ta cã
ệỡnh lÝ sau:

ậỡnh lÝ.Cho hai tam giịc ABC vộ A’B’C’ cã AB
A’B’; AC A’C’. Khi ệã nạu thừ BC B’C’
vộ ngđĩc lỰi, nạu BC B’C’ thừ

Chøng minh.

* Giả sử .

Dựng tam giác A’B’’C’ b»ng tam gi¸c ABC. Tia
phân giác của góc BAB cắt BC tại D.

Ta cã B’A’D B’’A’D (c.g.c) nªn DB’ DB’’.
Trong tam giác DBC có DB DC BC nên
BC BC BC.

* Gi¶ sư BC B’C’.

Ta sÏ chøng minh .

+ Nếu thì ABC A’B’C’ nên BC B’C’ (loại).
+ Nếu theo chứng minh trên thì BC B’C’ (loại).
Do đó .

Suy ra ®pcm.

Ta sỳ ịp dơng ệỡnh lÝ trến ệĨ giời cịc vÝ dơ sau:
VÝ dô 1.Cho tam giịc ABC cã AB AC. Trến cịc
cỰnh AB vộ AC lẵn lđĩt lÊy cịc ệiÓm D vộ E sao

cho BD CE. Gäi M lµ trung điểm của BC. Chứng
minh rằng MD ME.

Giải

Tam giác ABC cã AC AB nªn hay
XÐt hai tam giác BDM và CEM có CE BD (gt);
CM BM (gt) vµ Suy ra MD ME.

VÝ dơ 2. Cho tam gi¸c ABC cã AB AC. Gäi M là
trung điểm của BC. Trên đoạn thẳng AM lấy điểm
O bất kì (O khác M). Chứng minh rằng OB OC.
Gi¶i

DBM ECM.
DBM ECM.

ABC ACB

A A’
A A’
A A’

A A’
A A’

.
A A
A A

HAI TAM GIÁC

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

3

XÐt hai tam gi¸c AMB vµ AMC cã MB MC (gt);
MA chung vµ AB AC nên

Xét hai tam giác OMB vµ OMC cã MB MC (gt);

MO chung vµ nên OB OC.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A. M là một
điểm trên cạnh BC sao cho MB MC. Trên đoạn
thẳng AM lấy điểm O (O không trùng với A và M).
Chứng minh rằng

Giải

.

Ta có AM AB AC (bạn đọc tự chứng minh).
Xét BAM và CAM có AB AC; AM chung và
MB MC nên

XÐt BAO vµ CAO cã AB AC; AO chung và
nên OB OC.

Trên ®o¹n OC lÊy ®iĨm N sao cho ON OB. Vì N
nằm trong tam giác cân ABC nên AN AB.
XÐt AOB vµ AON cã OB ON; OA chung và
AN AB nên

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có AB AC. Vẽ về
phía ngoài tam giác các tam giác vuông cân tại A
là ABD và ACE. Gọi M là trung điểm của BC. HÃy
so sánh MD và ME.

Giải

Ta có AB AC nên BD CE.

Ta lại có EAB CAD (c.g.c) nên BE CD.
Xét DCB vµ EBC cã BE CD; BC chung và

BD CE nên hay .

Xét DCM và BEM cã BE CD; MB MC (gt)

và Do ú MD ME.

Bài tập

Bài 1.Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại
trung điểm O của đoạn th¼ng AC. BiÕt AB BC.
Chøng minh r»ng CD DA.

Bội 2.Cho tam giịc ABC cã AB AC. Gải BD vộ

CE lộ hai ệđêng cao cựa tam giịc. Chụng minh
rng BD CE.

Bài 3.Cho tam giác ABC có và .
Chứng minh rằng

Bài 4.Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB
lấy điểm D bất kì. Gọi M là trung điểm của đoạn
thẳng CD. Tia AM cắt BC tại N. Chứng minh rằng
BN CN.

Bi 5.Cho tam giác ABC có AB AC. Vẽ về phía
ngồi tam giác ABC các tam giác đều ABD và
ACE. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng
minh rằng MD ME.

A

C .

2

1

AB AC

2
A 90

DCM EBM.

DCM EBM
DCB EBC

BOA COA.
BAM CAM

BAM CAM.
BOA COA.
OMB OMC

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

4

NhẺn xĐt. ậa sè cịc bội gỏi vÒ ệÒu chử ra lêi giời
sai ẻ bđắc giời ệiÒu kiỷn:

Râ rộng ta ệở chia cho x 1 cã thÓ bỪng 0, lộm
mÊt nghiỷm x 1 cựa phđểng trừnh.

Lêi giời ệóng. Ta cã thĨ sỏa lỰi nhđ sau.
Thỏ x 1 tháa mởn phđểng trừnh.

Xét x 1. Từ điều kiện suy ra x 1. Ta giải tiếp
nhð bài đã cho.

Cịc bỰn ệđĩc nhẺn thđẻng kừ nộy: NguyÔn Thỡ
Nhẹm, 6A, THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh, Bớc
Ninh; NguyÔn Vẽn Huy, 6C, THCS Xuẹn Diỷu,
Can Léc, Hộ Tỵnh;NguyÔn Thỡ Thu Phđểng, 8A2,
THCS GiÊy, Phong Chẹu, Phỉ Ninh, Phó Thả;
Vđểng Tiạn ậỰt, 8B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn,

ụng Hưa, Hộ Néi;Ngun Thóy HỪng, 8A, THCS
Phó Phóc, Lý Nhẹn, Hộ Nam.

Cịc bỰn sau còng cã lêi giời tèt: NguyÔn ậẽng
Chanh, 9D; Hoộng MỰnh Cđêng, Trẵn Nhẹn
Khiếm, ậẳng Xuẹn Huy, Trẵn Quèc Bờo, PhỰm Sủ
Huúnh, Thịi Xuẹn BÒn, 9C, THCS Hoộng Xuẹn
Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh; Lế Phđểng Thờo, 9C;
Trẵn Thỡ Thu Phđểng, 9A, THCS Nam Cao, Lý
Nhẹn,Hộ Nam;Chu Minh Huy, 9B, THCS Lế Họu
Trịc, thỡ trÊn Bẵn, Mủ Hộo, Hđng Yến;Trỡnh Phó
Trảng, 8A, THCS Tẹn Bừnh, TX. Tam ậiỷp, Ninh
Bừnh;Ngun Thỡ Thanh Hđểng, 9A, THCS Yến
Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;Nghiếm Vẽn Long,
9D, THCS Vỵnh Yến, TP. Vỵnh Yến, Vỵnh Phóc.

anh kÝnh lóp
(x 1)(x 1) 0 x 1 0

x 1 0 x 1 0.

Trong một buổi học nhóm,
Văn nhờ Toán giải hộ bài
toán sau:

Bài toán.Phân tích thành
nhân tử:

Toán nói bài này quá dễ và giải ngay nh sau:
Lời giải.Ta có

Ban thấy lời giải trên thế nào? Có cần sửa chữa,
thêm bớt gì không?

Phạm liên
(GV. THCS Mai Dịch, Hà Nội)
2a ab 6b 2a 3 ab 4 ab 6b

a(2 a 3 b) 2 b(2 a 3 b)
( a 2 b)(2 a 3 b).

2a ab 6b.

PHƯƠNG TRÌNH VÔ NGHIỆM?

(TTT2 sè 130)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

5

(TTT2 số 131)
Nhận xét.Quy luật của kì này dễ nhận ra nªn cã

nhiỊu bỰn tham gia gỏi bội vộ ệÒu cho ệịp ịn
ệóng. Tuy nhiến, cã Ýt bỰn nếu ệđĩc chÝnh xịc quy
luẺt.

Quy luËt.

Bài 1.Xét hai hình đầu tiên: Tổng các số ở ba đỉnh
và số nằm bên trong tam giác đều bằng 32. Do đó

số cần điền vào dấu (?) ở hình thứ ba là

32 (6 6 9) 11.

Bội 2.LÊy tững hai sè ẻ hai ệửnh bến dđắi chia cho
sè ẻ ệửnh bến trến cựa tam giịc ta ệđĩc sè bến
trong tam giịc. Theo quy luẺt ệã, sè cẵn ệiÒn vộo
dÊu (?) ẻ hừnh thụ ba lộ

(2 5) 1 7.

Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy (đu tiến cịc bỰn nhá
tuữi nhÊt): Ngun Thỡ Chóc, 6A2, THCS Yến
Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; NguyÔn Thỉy
Dđểng, 6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó
Thả; Ngun Tiạn Duy, 6E1, THCS Vỵnh Tđêng,
Vỵnh Tđêng; Lế Quang Khịnh, 6A, THCS Lý Tù
Trảng, Bừnh Xuyến; Dđểng Thỉy Linh, 6A2, THCS
Sềng Lề, Sềng Lề, Vỵnh Phóc.

Cịc bỰn sau ệđĩc tuyến dđểng: Vò Quang
Phong, 7A1, THCS Hộn Thuyến, Lđểng Tội, Bớc
Ninh;ậẺu Thanh Thựy, 7A, THCS Cao Xuẹn Huy,
DiÔn Chẹu, Nghỷ An;Trẵn Minh Hiạu, PhỰn Thỡ
Thu Trang, 8B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả,
Hộ Tỵnh;Nhãm bỰn ậẫ Vẹn Anh, Lế Mai Hđểng,
NguyÔn Thỡ Phđểng Thu, NguyÔn Thỡ Anh ậộo,
6A2, THCS Sng L, Sng L, Vnh Phúc.

nguyễn Xuân Bình

ẹIEN SO NAỉO?

ẹIEN

HÌNH - SỐ

Bài 1.Trong dãy hình sau, chọn đúng hình khụng theo quy lut.

Bài 2.Trong dÃy hình sau, điền số còn thiếu sao cho hợp lôgic.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

6

nh lÝ, hay nghỡch lÝ ngđêi
trung gian, cã thÓ phịt biÓu
ẻ dỰng hay râ rộng
hển: Nạu cã hai ngđêi chia
nhau mét thụ cã giị trỡ bỪng 1 thừ sỳ cã cịch chia
sao cho mẫi ngđêi nhẺn ệđĩc giị trỡ lộ mộ vÉn
thõa ra mét phẵn cã giị trỡ dđểng cho ngđêi trung
gian ệụng ra chia.

Giờ sỏ ta cã mét thái bịnh rÊt ngon, cã ệiÒu phẵn
ệẵu ngon hển phẵn cuèi. Hai ngđêi muèn chia
nhau, mét ngđêi sỳ lÊy phẵn ệẵu, mét ngđêi sỳ lÊy
phẵn cuèi, sao cho mẫi ngđêi phời nhẺn ệđĩc Ýt
nhÊt giị trỡ cựa cịi bịnh. Hừnh dung cịi bịnh
nhđ lộ ệoỰn thỬng tõ 0 ệạn 1. Ngđêi thụ nhÊt sỳ
coi lộ ệoỰn tõ 0 ệạn a cã giị trỡ bỪng tõ a ệạn 1,
trong ệã a nhá hển vừ ệoỰn ệẵu ngon hển ệoỰn
ệuềi. ậèi vắi ngđêi thụ hai thừ ệoỰn tõ b ệạn 1 mắi
cã giị trỡ bỪng tõ 0 ệạn b, trong ệã b còng lộ sè
nhá hển nhđng khịc vắi a (vừ khềng cã hai
ngđêi nộo cã sẻ thÝch gièng hỷt nhau).

Cã mét ngđêi trung gian lộm lộm trảng tội chia cho
hai ngđêi. Giờ sỏ a b. Khi ệã ngđêi trung gian
chia cho ngđêi thụ nhÊt ệoỰn tõ 0 ệạn a, răi cho
thếm khóc tõ a ệạn Ngđêi thụ nhÊt sỳ
hội lưng vừ ệđĩc hển giị trỡ cịi bịnh. Ngđêi trung
gian lỰi chia cho ngđêi thụ hai khóc tõ b ệạn 1, răi
cho thếm khóc tõ ệạn b. Ngđêi thụ hai
còng hội lưng vừ ệđĩc hển giị trỡ cịi bịnh. Cưn
khóc bịnh tõ ệạn lộ phẵn
thđẻng dộnh cho ngđêi trung gian! Nghỵa lộ ngđêi

trung gian ệđĩc hđẻng
cịi bịnh.

Cịc hoỰt ệéng mềi giắi trung gian trong kinh tạ nãi
chung ệÒu dùa trến nghỡch lÝ ệển giờn trến. VÝ dô,
ngẹn hộng vay cựa ngđêi A vắi lởi suÊt 8% răi cho
ngđêi B vay lỰi vắi lởi suÊt 11%. Ngđêi A tháa mởn
vừ nạu thay vừ cho ngẹn hộng vay mộ tÝch trọ cịch
khịc thừ chử ệđĩc 5%. Ngđêi B còng tháa mởn vừ
cẵn vay tiÒn, lởi suÊt cã ệạn 14% vÉn thÊy chÊp
nhẺn ệđĩc. Cưn ngẹn hộng ngăi ẻ giọa hđẻng lĩi.
TÊt nhiến A vộ B cã thÓ tháa thuẺn trùc tiạp, bá
qua trung gian thừ cờ hai sỳ cỉng lĩi hển. Vắi ngđêi
A thừ giị cựa cịi lĩi ệã lộ tèn cềng sục hển vộ rựi
ro tẽng lến, nến tuy biạt lộ nạu khềng cã trung
gian sỳ lĩi hển nhđng vÉn thÝch giời phịp thềng
qua trung gian hển.

Trong tội chÝnh thừ nghỡch lÝ cưn ệđĩc
biạt ệạn ẻ mét dỰng mang tến arbitrage (buền bịn
chếnh lỷch giị). Cịc thỡ trđêng ệđĩc gải lộ rÊt hiỷu
quờ nạu khềng hÒ cã cịc cể héi arbitrage. Nhđng
trến thùc tạ, hẵu nhđ ẻ ệẹu còng cã arbitrage.

1 1
1

2 2

2(b a) b a b a

a a

3 3 3

2(b a)
a
3
b a
a
3
1
2
2(b a)
a
3
1
2

b a
a .
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1 1
1
2 2

ĐỊNH LÍ NGƯỜI TRUNG GIAN

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

7

ẹỀ THI HOẽC SINH GIỎI LễÙP 8 CẤP HUYỆN

Thời gian làm bài:120 phút (không kể thời gian giao đề)

MÃ ĐỀ: RDKTH007

Câu 1. (2,5 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử
a2(b c) b2(c a) c2(a b).
b) Cho các số nguyên a, b, c tháa m·n

(a b)3 (b c)3 (c a)3 210.
Tính giá trị của biểu thức

A |a b| |b c| |c a|.
Câu 2. (2,5 điểm)

a) Gii phng trnh nghiỷm nguyến x2 y2 3 xy.
b) Giời phđểng trừnh (3x 4)(x 1)(6x 7)2 72.
Cu 3.(2,5iểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc
P (x 2012)2 (x 2013)2.

b) Cho cịc sè thùc dđểng x, y, z tháa mởn
x y z 3.

Chứng minh rằng
Câu 4. (2,5 điểm)

Cho tam giịc ABC vuềng tỰi A. LÊy mét ệiÓm M
bÊt kừ trến cỰnh AC. Tõ C vỳ mét ệđêng thỬng
vuềng gãc vắi tia BM tỰi D vộ ệđêng thỬng ệã cớt
tia BA tỰi E.

a) Chøng minh r»ng EA.EB ED.EC.

b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên
cạnh AC thì tổng BM.BD CM.CA có giá trị khơng
đổi.

c) KĨ DH BC (H BC). Gải P, Q lẵn lđĩt lộ trung
ệiÓm cựa cịc ệoỰn thỬng BH, DH. Chụng minh
rỪng CQ PD.

21 21 21 3 .₂

x x y y z z

Danh sách các bạn giải đúng kì 58:
Nguyễn Trung Nghĩa, 9C1, THCS Trần Phú,
TP. Bắc Giang, Bắc Giang; Nguyễn Thanh
Bính, 9A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú
Thọ;Nguyễn Văn Quang, 7A, THCS Lê Văn
Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh;Hồng Thị Hằng,
9A, THCS Nam Cao, Lý Nhân, Hà Nam;

Hoµng Đam, 7A, THCS Cao Xuân Huy, Diễn
Châu,Nghệ An.

Lê thanh tú

Trng đi trước chiếu hết sau 3 nước.

LÊ THANH TÚ

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

8

PhÇn A

1.Gải hai sè ệã lộ x vộ y. Tõ
y 2034 x, ta cã xy

2034x x2 lộ béi cựa 2034
nến x2 lộ béi cựa 2034. Mộ 2034 2.32.113. Do
ệã 2. 3.113 678 phời lộ đắc cựa x, mẳt khịc 678
x 2034. Do ệã x chử cã thÓ nhẺn hai giị trỡ 678
vộ 2.678 1356. Hai giị trỡ tđểng ụng cựa y lộ
1356 vộ 678. Suy ra x y 678 vộ giị trỡ lắn nhÊt
cẵn từm lộ 678.

2.Gải tam giịc ệÒu lộ ABC vộ O lộ tẹm cựa ệđêng
trưn tiạp xóc vắi hai cỰnh AB vộ AC, gải r lộ bịn
kÝnh ệđêng trưn. Cịc tam giịc OAB, OAC vộ OBC
cã chiÒu cao hỰ tõ O tđểng ụng lộ r, r vộ 2r. Tững
diỷn tÝch cịc tam giịc ệã bỪng diỷn tÝch tam giịc
ABC. ChiÒu cao cựa tam giịc ABC bỪng

, từ đó , suy ra

3.Gải sè chÝnh phđểng cẵn từm lộ m2vộ sè chÝnh
phđểng mắi lộ n2. Ta cã m2 n2 3.1000 3 2997,
do ệã (m n)(m n) 34.37. Mộ m n m n
2.99 198. Do ệã m n 27 vộ m n 111 hoẳc
m n 37 vộ m n 81. Trong trđêng hĩp thụ
nhÊt thừ m 69 vộ m2 4761 vộ trong trđêng hĩp
cưn lỰi m 59 vộ m2 3481. Mộ m2 3000
1000 nến sè chÝnh phđểng cẵn từm lộ 4761.
4.Ta cã

Từ đó và

Do đó

Suy ra

5.Ta thÊy cã 3 cách chọn màu viên gạch ở phía

trn bn tri, cã 2 cịch chản mộu cựa viến gỰch
ẻ phÝa dđắi bến trịi. Do ệã cã 2.3 6 cịch chản
mộu hai viến gỰch ẻ cét ệẵu tiến bến trịi. Trong
mẫi cịch chản mộu hai viến gỰch ẻ cét ệẵu tiến
bến trịi thừ cã 3 cịch chản mộu hai viến gỰch ẻ
cét thụ hai, mẫi cịch chản mộu hai viến gỰch ẻ
cét thụ nhÊt vộ cét thụ hai thừ cã 3 cịch chản mộu
hai viến gỰch ẻ cét thụ ba... VẺy sè cịch ghĐp cịc
viến gỰch lộ 6.35 1458.

6.Ta cã 19 28 37 46 55 64 73 82 91
230 313 57 73. Sè chÝnh phđểng lắn nhÊt lộ
đắc cựa sè ệã lộ sè 230 312 56 72. Do ệã cịc
sè chÝnh phđểng lộ đắc cựa sè trến lộ bừnh phđểng
đắc sè cựa sè 215 36 53 71. Sè cịc đắc sè
cựa sè ệở cho lộ sè chÝnh phđểng lộ

(15 1)(6 1)(3 1)(1 1) 672.

7.Cịc sè ệẵu tiến lộ 1, 2, 10, 11, 12, 21, 22, 100,
101 vộ cụ thạ. ậã lộ cịc sè ệđĩc viạt trong hỷ cể
sè 3. Sè 20112012 trong hỷ cể sè 3 ệđĩc viạt
thộnh sè sau trong hỷ thẺp phẹn 2.37 0. 36
1. 35 1. 34 2. 33 0. 32 1. 31 2 4757.
VẺy sè cịc sè cẵn từm lộ 4757 sè.

8.

Gọi G là điểm trên cạnh AC sao cho FG AF 2 cm.
Khi đó ta có GD AD và DAG DGA.

V× ABCD là tứ giác nội tiếp nên DCG DBA.
Ta có DGC 180o DGA 180o DAG

180o DAE DAB.

Suy ra các tam giác DGC và DAB bằng nhau nên
GC BA 2 cm. Do đó

AC AF FG GC 2 2 2 6 cm.

9.Ta có các số a, b, c và d có khả năng là số
chẵn và khả năng là số lẻ. Chú ý rằng ad bc
là số chẵn khi hai số ad và bc cùng tính chẵn lẻ.
Khả năng để cả bốn số a, b, c và d là các số lẻ là

1
2
1
2
2
ABC

ABN S 8 4 3

S 4cm .

2 3 2 3

ABC
ABN

S _{BC 2 3.}

S BN

BC 2 3.
BN

BM 2 3

BN 2

NM AM _{3 .}

BN AB 2

3 3

r .

2
4r 6 3

3

12 6 3

2

DTH(Giíi thiƯu)

ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC

TỐN QUỐC TẾ ĐÀI LOAN (TAIMC 2012)

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

9

Khờ nẽng ệÓ a vộ d khềng cỉng lĨ
hay b vộ c khềng cỉng lĨ lộ VẺy
khờ nẽng ệÓ xờy ra trđêng hĩp ad bc chơn lộ
10.Sè ệoỰn thỬng nèi hai ệiÓm trong 24 ệiÓm ệở
cho lộ . Trong mẫi ệoỰn thỬng ệã ta
vỳ ệđĩc hai tam giịc ệÒu nhẺn ệoỰn thỬng ệã lộ
cỰnh. Sè tam giịc ệÒu tỰo thộnh lộ 276.2 252.
Trong cịc tam giịc ệÒu ệã cã cịc tam giịc cã 3
ệửnh lộ ba trong sè 24 ệiĨm nãi trến. Sè cịc tam
giịc ệỊu nhđ vẺy lộ 24 : 3 8. Sè tam giịc ệÒu
cẵn ệạm lộ 252 2.8 536.

11.

Gải C lộ tẹm cựa ệđêng trưn, giao ệiÓm cựa OC
vắi cung AB lộ P. Gải D lộ ệiÓm trến OB sao cho
CD vuềng gãc vắi OB. ậẳt CD r thừ OC 2r vộ
CP r, tõ ệã OP 3r.

Do đó diện tích của hình quạt trịn là

Diện tích hình trịn là r2.

TØ số diện tích của hình quạt tròn OAB và diện tích
hình tròn là

12.Có 7 cp hng ngang liền kề vộ cã 7 cẳp cét
dảc liÒn kÒ. Sè cịc hừnh vuềng 2 2 khịc nhau
trong bộn cê lộ 7.7 49. Cã ba phi tiếu ệđĩc phãng
vộo ba ề vuềng cựa bờng 2 2 thừ cã 4 khờ nẽng
xờy ra. Sè cịc cịch khịc nhau lộ 49.4 196.
Phẵn B.

1.Ta sử dụng bất đẳng thức , ta cú

Cứ tiếp tục làm nh trên ta có
Ta lại cã

Do đó phần nguyên của M là 2012.

2.Khi n2 chia cho 8 thừ sè dđ khềng vđĩt quị 4.
Nạu thừ khềng cã sè nộo lộ béi
cựa 8 nỪm giọa n2 vộ

Do đó
Suy ra

Khi n 55 hc n 56 thì và

s d khi chia 552 hoặc 562 cho 8 không lớn
hơn 1. Từ đó khơng tồn tại m. Nếu n 54 thì

Vì 30.30 900 > 880 4.4.55.

Mà 542 2916 nên

Vì 2920 : 8 365 nên m 365.
Vậy giá trị lớn nhÊt cđa sè n lµ 54.
3.

Chú ý rằng FC 2AF. Gọi D là trung điểm của BC
và G là điểm trên AB sao cho GD vng góc với
BC. Do đó các tam giác ABC và DBG đồng dạng,
suy ra

Suy ra GCF 20o.

Mẳt khịc CG vộ BE lẵn lđĩt lộ tia phẹn giịc cựa
BCF vộ ABC nến

Do đó

Từ đó CG EF, suy ra CFE GCF 20o.
1_FC 1_BC

AF ₂ ₂ BD BA AE_.

FG FG BG BG BC EC

FC BC BA AE_, _.
FG BG BC CE

o

BD BA , GCB GBC 20 .
BG BC

2

54 60( 55 54) 2920.

60 30

60( 55 54) 4.

55 54 55

60( n 1 n) 5
1

15 n 1 n 2 n n 56.

n 1 n
60( n 1 n) 4.

2

n 60( n 1 n).
60( n 1 n) 4

2 2

(2012 1) 2012 2012.2012 2012
M 2012.2012 2012.

M 2012.2014 2013.

2 2

2 2 2

(2012 1) 2012

(2012 1)(2012 1) 2012 .

(N 1)(N 1) N
3.

2

2 2

1 _(3r) 3 _{r .}

6 2

24 23 276
2

1 9 _5.

16 16 8

2
2
1 9
1 .
2 16
4

1 _{1 .}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

10

Cẹu I.Nạu mỷnh ệỊ b) ệóng thừ A 51 tẺn cỉng
lộ 2 vộ A 38 tẺn cỉng lộ 3 nến cờ hai sè nộy ệÒu
khềng phời lộ sè chÝnh phđểng. VẺy mỷnh ệÒ b)
sai vộ cịc mỷnh ệỊ a) vộ c) ệóng.

Gi¶ sư A 51 m2, A 38 n2, víi m, n vµ
m n.

Suy ra m2 n2 89 hay (m n)(m n) 89.
Vì 89 là số nguyên tố nên m n 89, m n 1.
Từ đó m 45 nên A 1974.

C©u II.Ta cã

C©u III.Ta cã x2 3y2 2xy 2x 10y 4 0
x2 2x(y 1) 3y2 10y 4

(x y 1)2 4y2 8y 3
(x y 1)2 (2y 2)2 7

(2y 2)2 (x y 1)2 7.

ậẳt a |2y 2|, b |x y 1|, vắi a, b .
Phđểng trừnh cã dỰng a2 b2 7

hay (a b)(a b) 7. Từ đó a b 7, a b 1
nên a 4, b 3.

Tõ ệã phđểng trừnh cã bèn nghiỷm nguyến (x; y)
lộ (3 ; 1), ( 3; 1), (7 ; 3), (1; 3).

Câu IV.Chia hình chữ nhật thành 5 phần nh hình
vẽ.

Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại hai điểm thuộc
cùng một phÇn.

Ta thấy khoảng cách giữa 2 điểm bất kì của mỗi
phần đều khơng q cm.

C©u V. Ta cã

Từ đó x2 y2 z2 1.

VËy P x2006 y2007 x2008 3 hoặc P 1.
Câu VI.Điều kiện x 0, y 0.

Thử x 0 hoặc y 0 đều không thỏa mãn.
Vậy x 0, y 0.

Ta viạt lỰi hỷ ệở cho dđắi dỰng

x2 8xy 9y2 0 (x y)(x 9y) 0
x y (v× x 9y 0).

Thay vộo (*) ta ệđĩc

Thỏ lỰi ta ệđĩc nghiỷm cựa hỷ phđểng trừnh lộ
(x; y) (1; 1).

C©u VII.Ta cã

ịp dông bÊt ệỬng thục AM - GM cho ba sè dđểng,
ta cã

3 3

2 a _{(a b)(a c)}a .

a ab bc ca

2 3

2

a a

a bc a abc
2

2 x 1.

x

2 3 1

1 3

1 _{x y}

x y 2 x 2 x 2 y

1 1 3 1

1 _{x y 2 y} 2 (*)

2 x 2 y

4 ₍ 3 1 ₎₍ 3 1 ₎

x y 2 x 2 y 2 x 2 y

4 9 1 _{16xy (x y)(9y x)}
x y 4x 4y

2 2 2

1 1 1

(x ) (y ) (z ) 0

x y z

1 1 1

x y z 0.

x y z

2 2 2

2 2 2

1 1 1

x y z 6

x y z

5
3
3
2
3
2 3

2 3 2 3 3a (2 3)(2 3)
4

4 3a a 3a 4 a

a 3

64 _{3a a} _{3a 4} _(®pcm).

(a 3)

3 3

3 3

a ( 2 3 2 3)

Năm học: 2013 - 2014

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9

TRƯỜNG THCS TRƯNG VƯƠNG, QUẬN HOAØN KIẾM, HAØ NỘI

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

11

Suy ra

Tđểng tù

Cộng theo vế ba bất đẳng thức suy ra

ậỬng thục xờy ra khi vộ chử khi a b c 3.
Cẹu VIII.a) Vừ C thuéc nỏa ệđêng trưn ệđêng kính

AB nên hay AC BC.

Mà DE BC nªn DE // AC.

Mặt khác, vì D là điểm giữa cung AC nên OD AC.
Suy ra DE OD hay DE là tiếp tuyến của (C).
Do đó

VËy MDF MBD (g.g).

b) Tõ kạt quờ cẹu a) suy ra MD2 MF.MB. (1)
Vừ F thuéc nỏa ệđêng trưn ệđêng kÝnh AB nến

hay AF BF.

ịp dông hỷ thục lđĩng cho tam giịc EBM vuềng
tỰi E vắi ệđêng cao EF, ta cã ME2 MF.MB. (2)
Tõ (1) vộ (2) suy ra MD2 ME2nến MD ME.
VẺy M lộ trung ệiÓm cựa ệoỰn thỬng DE.

o

AFB 90

MDF MBD.

o

ACB 90

2 2 2

a b c _{a b c .}

a bc b ca c ab 4

2 2

b 4b c a_, c 4c a b_.

b ca 8 c ab 8

2

a _{3a a b a c 4a b c .}

a bc 4 8 8 8

3
3
3

a a b a c

(a b)(a c) 8 8

a a b a c 3a

3 .

(a b)(a c) 8 8 4

Câu 1.(2,0 điểm)

Thí sinh chọn một trong 2 c©u sau:

a) TÝnh nhanh S 1 2 3 4 5 6 7 ...
94 95 96 97 98.

b) Tìm các số tự nhiên a, b biết a b 60 và
ƯCLN(a, b) 5.

Câu 2.(2,0 điểm)

a) Tìm x biÕt (2x 1)2 82 17.

b) Từm cịc chọ sè a, b sao cho nạu lÊy sè
chia cho sè thừ ệđĩc thđểng 17 vộ dđ lộ r,
nạu lÊy sè chia cho sè còng ệđĩc thđểng
lộ 17 nhđng cã sè dđ nhá hển r lộ 200.

Câu 3. (2,5 điểm)

Bn Nam i xe ệỰp tõ A ệạn B vắi vẺn tèc
10 km/h, răi ệi tiạp tõ B ệạn C vắi vẺn tèc
15 km/h. Biạt quởng ệđêng BC ngớn hển quởng
ệđêng AB lộ 1 km vộ thêi gian ệi trến quởng
ệđêng BC Ýt hển thêi gian ệi trến quởng ệđêng
AB lộ 16 phót. TÝnh quởng ờng AB.

Câu 4.(3,0 điểm)

Cho ba im A, B, C thẳng hàng. Biết AB 8 cm,
BC 3 cm. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng
AB. Tính độ di on thng IC.

Câu 5.(0,5 điểm)

Tìm các cặp số nguyên tè (x, y) tháa m·n
x2 2y2 1.

bb
aaa

bbb

aaaa

ĐỀ THI HỌC SINH GII HUYN LM THAO, PH TH

Năm học: 2012 - 2013

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

12

Bội 1(131). Cho m vộ n lộ cịc sè nguyến dđểng
tháa mởn phẹn sè tèi giờn vộ phẹn sè

khềng tèi giờn. Từm đắc sè chung lắn nhÊt cựa
4m 3n vộ 5m 2n.

Lời giải.Đặt (4m 3n, 5m 2n) d, với d 1. Khi

đó tồn tại hai số tự nhiên a và b sao cho

Trõ theo vạ cựa (1) cho (2) ta ệđĩc
7n 5ad 4bd hay 7n d(5a 4b).

Tđểng tù vộ 7m d(3b 2a).

Do đó 7m d và 7n d nên d 7 (vì (m, n) 1).
Vậy (4m 3n, 5m 2n) 7.

NhẺn xĐt. Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: NguyÔn
ThuẺn Hđng, 7B8, THCS Chu Vẽn An, Ngề
QuyÒn, Hời Phưng; NguyÔn Minh ậục, 6C; Ngề
Thựy Tiến, 7C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ;
NguyÔn Thỡ Hđêng, 6A2, THCS Yến Phong, Yến
Phong; PhỰm Thỡ Thỉy Linh, 7A1, THCS Hộn
Thuyến, Lđểng Tội, Bớc Ninh; NguyÔn Minh
HỰnh, KhuÊt Bờo Chẹu, 7A, THCS ThỰch ThÊt,
ThỰch ThÊt; NguyÔn Dđểng Lan Nhi, NguyÔn Anh
Phđểng, NguyÔn Phđểng Linh, 6D; TỰ Lế Ngảc
Sịng, 7E, THPT Chuyến Hộ Néi - Amsterdam,
Hộ Néi; Thịi Trung Kiến, Phan MỰnh TuÊn, 7B,
THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh;Phan
Trung Dòng, 6A, THCS Vỵnh Yến, TP. Vỵnh Yến;
PhỰm Ngảc Hoa, Hộ Thỡ Bừnh Dđểng, 7A1;
NguyÔn Thỡ Phđểng Thu, Dđểng Thỉy Linh, ậẫ
Vẹn Anh, NguyÔn Thỡ Anh ậộo, 6A2, THCS Sềng
Lề, Sềng Lề; NguyÔn Tđêng Vy, ậẫ Minh Trung,
NguyÔn Khịnh Linh, Trẵn Thanh Hun, 7A1,
Ngun Lế Minh HỪng, Ngun Vị Hiỷp, 6A1,

trđêng THCS vộ THPT Hai Bộ Trđng; NguyÔn Duy
Quý, 7A4, THCS Lế Hăng Phong, TX. Phóc Yến;
PhỰm Ngảc Long, 7D, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh
Xuyến,Vỵnh Phóc;Phan ThiỊu Hoa, NguyÔn Thỡ
An, NguyÔn Thỡ CÈm Nhung, Ngun Thỡ Ngảc
Anh, Ngun Thỡ Thóy An, NguyÔn TuÊn Thộnh,
ậẺu Minh Sđ, 6D; Trẵn Thỡ Hoộng Minh, 6C;
NguyÔn Hời Yạn, Trẵn Lan Anh, NguyÔn Thỡ Hoội
Thđểng, 6B, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu;
NguyÔn Thỡ HỪng, 6E; Lế Thỡ Lan Anh, 7D, THCS

Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng, Nghỷ An; Trẵn Duy
Long, 7D, THCS Nhẹn HẺu; Trẵn ậục Anh, 6C;
NguyÔn HỰnh Nguyến, Hộ Trảng Nghỵa, 6A, THCS
Nam Cao; NguyÔn Thỡ Phđểng, 6B; NguyÔn Bỉi
Tiạn Anh, 6A, THCS Nhẹn Mủ; Trẵn Ngảc Mai,
6C; Vò Thỡ BÝch Ngảc, 6A, THCS Phó Phóc, Lý
Nhẹn,Hộ Nam;Ngun Dđểng Hoộng Anh,Trẵn
Minh Hiạu, 7C, THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ; Triỷu
nh Ngảc, 6A1, THCS Supe; Vò Tỉng Chi, Vò
Linh Chi, 6A1; Trẵn Ngảc ậỰt, NguyÔn Hộ Minh
TrÝ, NguyÔn Thỉy Dđểng, Bỉi Thỡ Thỉy Linh,
Ngun Thu HiỊn, Khững Thỡ Thờo Vẹn, ậẫ Ngảc
ậềng, NguyÔn Thỡ Thu HỪng, 6A3, THCS Lẹm
Thao, Lẹm Thao, Phú Th.

Bài 2(131). So sánh

Lời gii.(Theo lời gii ca bỰn NguyÔn Dđểng Hoộng
Anh, 7C, THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Tr, Phú Th)

t

Ta có

Mặt khác ta có
nên

Từ (1) vµ (2) suy ra
VËy A B.

Nhận xét.Có nhiều bạn gửi bài giải đến tòa soạn,
hầu hết đều giải đúng. Một số bạn ghi thiếu địa
chỉ. Bạn Nguyễn Long Anh, 7A, THCS Phú Phúc,
Lý Nhân, Hà Nam phát biểu bài toán tổng quát
nhð sau:

D 1008D

C D .

1007 1007
1 _{D . (2)}

2 1007

1 1 1 1 1 1 1 1007

D ... ...

2 4 6 2014 2 2 2 2

1 1 1 _... 1 1 _{D. (1)}

2 2 4 2014 2

1 1 1

C 1 ...

4 6 2014

1 1 1 1

D 1007B ... .

2 4 6 2014

1 1 1

C 1008A 1 ... ,

3 5 2013

1 1 1 1
A 1 ... ,

1008 3 5 2013
1 1 1 1 1

B ... .

1007 2 4 6 2014

8m 6n 2ad
15m 6n 3bd

4m 3n ad 20m 15n 5ad (1)
5m 2n bd 20m 8n 4bd. (2)

4m 3n
5m 2n
m

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

13

Cho

vµ víi n là số tự nhiên,

n 2. Chứng minh rằng A B.

Ngoội bỰn NguyÔn Dđểng Hoộng Anh vộ bỰn
Ngun Long Anh, cịc bỰn sau cịng cã lêi giời tèt:
Trẵn Thỡ Hoộng Minh, 6C, THCS Cao Xuẹn Huy,
DiÔn Chẹu; NguyÔn Thỡ HỪng, Dđểng Thỡ Linh Chi,
7E; PhỰm Anh, 7F, THCS Lý NhẺt Quang, ậề
Lđểng; Lế Vẽn Dòng, 7A, THCS ậẳng Thai Mai,
TP. Vinh, Nghỷ An; Trẵn Thỡ Liến, 7B, THCS Phó
Phóc;Trẵn Khớc Quang, 7D, THCS Nhẹn HẺu, Lý
Nhẹn,Hộ Nam; Ngun ThuẺn Hđng, 7B8, THCS
Chu Vẽn An; Lế Vò Hoộng ậục, 6D1, THCS ậộ

Nơng, Ngề QuyÒn, Hời Phưng; TỰ Lế Ngảc Sịng,
7E, THPT Chuyến Hộ Néi - Amsterdam; KhuÊt
Bờo Chẹu, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ
Néi; PhỰm Thỡ Thỉy Linh, 7A1, THCS Hộn
Thuyến, Lđểng Tội; NguyÔn Minh ậục, 6C, THCS
NguyÔn Cao, Quạ Vâ; NguyÔn Trung Dòng, 7A,
THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh, Bớc Ninh; PhỰm
Ngảc Hoa, Hộ Thỡ Hời Dđểng, NguyÔn Hoội Ngảc,
ậẫ Thỡ Hăng nh, NguyÔn Hộ Ngảc nh, 7A1,
THCS Sềng Lề, Sềng Lề; NguyÔn Lế Minh HỪng,
Trẵn Trung Hiạu, 6A1; NguyÔn Thộnh Vinh,
NguyÔn Tđêng Vy, Lế Khịnh Ly, NguyÔn Khịnh
Linh, 7A1, THCS vộ THPT Hai Bộ Trđng; NguyÔn
Duy Quý, 7A1, THCS Lế Hăng Phong, TX. Phóc
Yến, Vỵnh Phóc; Triỷu nh Ngảc, 6A1; Vị Thu
Hđểng, 7A1, THCS Supe; NguyÔn Thỉy Dđểng,
6A3; Phan Phó Dịng, Trẵn MỰnh Cđêng, Trẵn
Quèc LẺp, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao; Lế
NguyÔn Quúnh Trang, Trẵn Minh Hiạu, 7C, THCS
Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ; Hoộng Lế Cềng Khềi, 7B,
THCS Thanh Hộ, Thanh Hộ, Thanh Ba, Phó Thả.

Bội 3(131).Giời phđểng trừnh

Lời giải.Điều kiện x2 3x 2 0.
Với điều kiện trên, ta cã (x 1)3

x3 12x 7 3(x2 3x 2) x3 12x 7

Mà nên

Do ó phng trnh cho tđểng ệđểng vắi
(tháa mởn).

VẺy phđểng trừnh cã hai nghiỷm lộ .
NhẺn xĐt. ậẹy lộ bội toịn khềng khã. ậiÒu then
chèt lộ tõ ệiÒu kiỷn cựa bội toịn, suy ra (1).
Mét sè bỰn sỏ dông phĐp ệẳt Èn sè phụ

và suy ra
Tuy nhiên làm nh vậy dài và phức tạp.

Cc bn sau y cã bội giời tèt: Hoộng Thỡ Hộ
Giang, NguyÔn Thỡ HỪng, Dđểng Thỡ Linh Chi, 8B;
PhỰm Trẵn Anh, 8F, THCS Lý NhẺt Quang, ậề
Lđểng,Nghỷ An;NguyÔn Vẽn Tẹm, 9A, THCS Lế
Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh; MÉn Bị TuÊn, MÉn ậục Bừnh
Minh, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;
NguyÔn Viỷt Hoộng, NguyÔn Thỡ Thờo Phđểng, 8A;
PhỰm Thỡ Thu Hăng, NguyÔn Thỡ Minh Thu, 8C;
Trẵn Quèc ậỰi, 9A, THCS ậục Lý, Lý Nhẹn, Hộ
Nam; Hoộng Phóc ậỰt, 9A4, THCS GiÊy, Phong
Chẹu, Phỉ Ninh; NguyÔn Tiạn Long, 8A1, THCS
Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả.

Bội 4(131).Cho cịc sè thùc dđểng a, b vộ c thuéc
ệoỰn [3; 5]. Chụng minh rỪng

Lời giải.Vì a, b [3; 5] nên |a b| 2.
Do đó (a b)2 4 hay a2 2ab b2 4

a2 2ab b2 4 4ab
(a b)2 4(1 ab)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
(a; b) (3; 5), (5; 3).

Tđểng tù:

Céng theo vạ cịc bÊt ệỬng thục trến ta ệđĩc
Vừ dÊu ệỬng thục khềng xờy ra nến

(đpcm)
Nhận xét.Đây là bài toán bất đẳng thức khơng q
khó nên có rất nhiều bạn tham gia giải bài. Hầu hết
các bạn đều giải đúng. Một số bạn lập luận chða
chặt chẽ. Sau đây là một số bạn có lời giải tốt và
ngắn gọn: Nguyễn Thanh Bình, 9A1, THCS Lâm
Thao, Lâm Thao; Hoàng Phúc Đạt, 9A4, THCS
Giấy, Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ; Võ Thị
Hồng Liệu, Nghiêm Thị Ngọc nh, Lê Thị Thu Uyên,
Nguyễn Lê Giang, 8B; Nguyễn Thị Việt Hằng, Phan
Hà Trang, Lê Hải Yến, 9B, THCS Hoàng Xuân Hãn,
Đức Thọ, Hà Tĩnh; Nguyễn Hồng Quốc Khánh, Cao
Hữu Đạt, 9C, THCS Đặng Thai Mai, TP. Vinh; Trần
Danh Nhân, 9C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành,
Nghệ An; Mẫn Bá Tuấn, Chu Thanh Huyền, 9A,

ab 1 bc 1 ca 1 a b c.
ab 1 bc 1 ca 1 a b c.

2 bc 1 b c, 2 ca 1 c a.
2 ab 1 a b.

ab 1 bc 1 ca 1 a b c.

2 1 3 3

x 3x 2 (b a ).
3

3 3

a x 12x 7, b x 1

3 17
x

2

2 3 17

x 3x 2 0 x

2

3 3_x _{12x 7} 3 _x2 _{3x 2 x 1.}

2

2

x 3x 2 0

3 3_x _{12x 7 x 1. (1)}

3 3_x _{12x 7} 3 _x2 _{3x 2 x 1.}

2

1 1 1 1 1

B ... ,

n 2 4 6 2n

1 1 1 1

A 1 ...

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

THCS Yến Phong, Yến Phong; NguyÔn Tỉng Lẹm,
8A3;Trẵn Thỡ Thu nh, 9A3, THCS Tõ Sển, Tõ Sển,
Bớc Ninh; Lế Thỡ Thu HỪng, 9A1, THCS Sềng Lề,
Sềng Lề; Bỉi Minh Hiạu, 9C; NguyÔn Minh Cềng,
9E, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tờng, Vnh Phúc.

Cao văn dũng

Bi 5(131).Vi mi số nguyn dng n, gải A_nlộ
sè nguyến dđểng cã 2nchọ sè vộ cịc chọ sè ệÒu

bỪng 1. Chụng minh rỪng sè A_n cã Ýt nhÊt n đắc
sè nguyến dđểng phẹn biỷt lộ nhọng sè ệềi mét
nguyến tè cỉng nhau.

Lêi gi¶i.Ta cã

Râ rộng A_ncã Ýt nhÊt n đắc sè nguyến dđểng phẹn
biỷt lộ

Ta cần chứng minh n số trên đôi một ngun tố
cùng nhau.

ThËt vËy, víi a, b vµ a b n 1, ta có
nên

Đặt

Ta có hay 2 d.

Mà là số lẻ nên d 1 (®pcm).

NhẺn xĐt. NhiỊu bỰn giời bội nộy bỪng phđểng
phịp quy nỰp. Nhọng bỰn sau cã lêi giời ệóng vộ
gản hển cờ: TỰ Lế Ngảc Sịng, 7E, THPT Chuyến
Hộ Néi - Amsterdam, Hộ Néi;Lế Minh Tẹm, 9A,
THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh, Bớc Ninh; Bỉi
Minh Hiạu, NguyÔn Quèc Nghiến, NguyÔn Vẽn
Hỉng, 9C, THCS Vỵnh Tđêng; Dđểng Thu HỪng,
6A2;PhỰm Ngảc Hoa, Phỉng Thỡ Khịnh Linh, Lế
Hoộng Hđng, 7A1, THCS Sềng Lề, Sềng Lề, Vỵnh

Phóc; NguyÔn Thanh Bừnh, PhỰm Anh Quẹn,
9A1, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;
Ngun Hoộng Huy, 8A2, THCS Trẵn ậẽng Ninh,
TP. Nam ậỡnh, Nam ậỡnh; Cao Họu ậỰt, 9C,
THCS ậẳng Thai Mai, TP. Vinh, Nghỷ An.

hå quang vinh

Bội 6(131).Tõ ệiÓm P bến ngoội ệđêng trưn tẹm
O, kĨ cịc tiạp tuyạn PA, PB tắi ệđêng trưn (O), vắi
A vộ B lộ nhọng tiạp ệiÓm. Gải C, D lộ nhọng ệiÓm
thuéc cung lắn AB sao cho AC CD; I lộ giao
ệiÓm cựa AD vắi BC; M lộ trung ệiÓm AI. Chụng
minh rỪng P, M, C thỬng hộng.

Lêi giời.Gải Q lộ giao ệiÓm cựa AI vộ PC; E, F
theo thụ tù lộ giao ệiÓm cựa CA, CB vộ ệđêng

thẳng đi qua P song song với AD; Ax, By theo thứ
tự là tia đối của các tia AP, BP.

Ta thấy (đối đỉnh)
(giả thiết)
(vì AD // EF).

Do ệã PE PA. Tđểng tù PF PA.
Mộ PA PB nến PE PF.

KÕt hỵp víi AD // EF, suy ra

VẺy Q trỉng M nến P, M, C thỬng hộng (ệpcm).
NhẺn xĐt. Lêi giời vắi sù xuÊt hiỷn cựa ệđêng
thỬng EF rÊt tù nhiến.

QA PE 1.
QI PF
DAC PEC

1_s®AC 1_s®DC

2 2
PAE xAC
a
2
10 1
b b
2 2

(10 1) (10 1) d

b a

2 2

d (10 1, 10 1).

b a

2 2

(10 1) (10 1).

b a b 1

2 2 2 2

10 1 9(10 1)(10 1)... (10 1)... (10 1)
n 1

2 2

10 1, 10 1,... , 10 1.
n

n 1

2 ₂ ₂

10 _{1 (10 1)(10 1)... (10} _1).
10 1

n

n

2 ch÷ sè 1

A 11111...1

14

NguyÔn ThuẺn Hđng, 7B8, THCS Chu Vẽn An, Ngề
Qun, Hời Phưng; Ngun Khịnh Linh, Ngun
Tđêng Vy, 7A1, THCS vộ THPT Hai Bộ Trđng;

NguyÔn Duy Quý, 7A1, THCS Lế Hăng Phong,
TX. Phóc Yến; PhỰm Ngảc Hoa, 7A1, THCS Sềng
Lề, Sềng Lề; Bỉi Minh Hiạu, 9C, THCS Vỵnh Tđêng,
Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc;Trẵn Thỡ Hoộng Minh, 6C,
THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu; Cao Họu ậỰt,
9C, THCS ậẳng Thai Mai, TP. Vinh, Nghỷ An;

Hoộng Phóc ậỰt, 9A4, THCS GiÊy, Phong Chẹu,
Phỉ Ninh; Trẵn Minh Hiạu, NguyÔn Dđểng Hoộng
Anh, 7C, THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ; Triỷu nh
Ngảc, 6A1, THCS Supe; NguyÔn Thỉy Dđểng,
6A3;NguyÔn Thanh Bừnh, 9A1, THCS Lẹm Thao,
Lẹm Thao, Phó Thả;Ngun Long Anh, 7A, THCS
Phó Phóc, Lý Nhẹn, Hộ Nam; TỰ Lế Ngảc Sịng,
7E, THPT Chuyến Hộ Néi - Amsterdam; KhuÊt Bờo
Chẹu,7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, H Nội;

Mẫn Bá Tuấn, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong;

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

15

ậẳt mét hừnh vuềng nhá vộo bến trong mét hừnh vuềng lắn răi nèi 4 ệửnh cựa hừnh
vuềng nhá tđểng ụng theo thụ tù vắi 4 ệửnh cựa hừnh vuềng lắn. Phẵn cưn lỰi cựa
hừnh vuềng lắn khềng chụa hừnh vuềng nhá sỳ ệđĩc chia lộm 4 phẵn nhđ hừnh vỳ.
So sịnh tững diỷn tÝch cựa phẵn 1 vộ phẵn 3 vắi tững diỷn tÝch cựa phẵn 2 vộ

phẵn 4.

(Sðu tÇm)

Gọi n là số lớn nhất để dãy số:
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4,... , n, n,... , n, n 1
có ít hơn 2015 s hng.

Số số hạng của dÃy số trên là

Suy ra hay n(n 1) 4028.

Ta cã 62.63 3906, 63.64 4032.
Suy ra n 62.

Vậy số hạng thứ 2014 của dãy số đã cho là số 63.
Nhận xét.Để tìm n thỏa mãn n(n 1) 4028, ta
có thể biến đổi nhð sau:

4n(n 1) 16112 (2n 1)2 16113.

Vắi ta ệđĩc

2n 1 126 2n 125 n 62 n 62.

Vì nên số hạng

th 2014 ca dóy số đã cho là số hạng thứ 61 của
dãy con gồm 63 số 63.

Một số bạn tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để
đã tìm ra n 63 và cũng tìm đúng
đáp số.

Anh Com pa rÊt vui vừ cã nhiỊu bỰn gỏi lêi giời vộ
từm ệóng ệịp sè. Cịc bỰn sau ệđĩc thđẻng kừ nộy:
Lế Thanh Phđểng, KhuÊt Bờo Chẹu, 7A, THCS
ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ Néi; Phan Trung
Dòng, 6A, THCS Vỵnh Yến, Vỵnh Yến; Trđểng
MỰnh Hỉng, 6E2, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng,
Vỵnh Phóc;ậộo Minh Hiạu, 6A7, THCS Chu Vẽn
An, Ngề Qun, Hời Phưng.

Cịc bỰn sau cịng cã lêi giời tèt ệđĩc khen kừ nộy:
TỰ Khớc Thớng, 7A2, THCS Yến Phong, Yến
Phong,Bớc Ninh;NguyÔn NhẺt nh, 7C1, THCS
Quờng Ngảc, Quờng Xđểng, Thanh Hãa;NguyÔn
Xuẹn Nam, Lế Thu Trang, 7D, THCS Lý Tù Trảng,
Bừnh Xuyến; Ngun Minh Cềng, 9E, THCS Vỵnh
Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc.

anh com pa
n(n 1) 2014,

2

62.63 1953, 2014 1953 61
2

16113 126,9

n(n 1) 2014

2

n(n 1)

(1 2 3 ... n) 1 1.

2

SO SAÙNH DIỆN TÍCH

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

16

hịm tỏ Sếlềccềc võa nhẺn ệđĩc tin vỊ ngđêi chó hả bỡ thÊt lỰc tõ mÊy chơc nẽm

nay. Hiỷn ngđêi chó nộy ệở hển 90 tuữi vộ ệang sèng ẻ vỉng nói xa xềi. Thịm tỏ

Sếlềcềc quyạt ệỡnh ệđa con trai ót cựa mừnh tắi thẽm chó.

Sau mÊy ngộy ệi ệđêng, hai cha con ệở tắi nểi. Ngđêi chó tuy tuữi cao nhđng vÉn rÊt minh

mÉn. Ngoội chuyỷn hái thẽm từnh hừnh gia ệừnh, cềng viỷc, ềng cưn kĨ cho thịm tỏ nghe

rÊt nhiỊu chuyỷn vỊ thêi thể Êu cựa anh trai mừnh - tục lộ cha cựa thịm tỏ. Theo lêi ềng thừ

ngđêi anh trai Sếlềchềmqua - cha cựa Sếlềccềc - cã mịu trinh thịm tõ bĐ. RÊt nhiỊu bỰn

bÌ vộ cờ ngđêi lắn trong lộng nọa ệỊu thịn phơc sù thềng minh, mđu trÝ cựa cẺu. Nghe

ềng kÓ, cẺu con trai cựa thịm tỏ Slccc khoi chí lm. Cu bo:

- Còn chứ! Để ông kể cháu nghe nhé!

- Vâng ạ!

- Hm ó, mét nhộ giộu trong lộng bỡ mÊt viến ệị quý rÊt ệớt tiÒn. Chự nhộ ệở theo dâi, tra

hái, thẺm chÝ lộ khịm xĐt kỵ lđìng tÊt cờ nhọng ngđêi lộm mộ vÉn khềng từm ra manh mèi

nộo. Viến ệị thừ bĐ xÝu, ngđêi lộm thừ ệềng, nhộ cỏa réng rởi, vđên tđĩc mếnh mềng, ệăng

ruéng bịt ngịt... Quờ lộ cụ nhđ mư kim ệịy bĨ vẺy! Chự nhộ cịng nhê ngđêi nộy ngđêi kia

gióp ệì nhđng mải ngđêi mắi chử khoanh vỉng ệđĩc 2 ệèi tđĩng ệịng nghi nhÊt thềi. Cờ

hai ệÒu cưn trĨ con, chuyến chẽn bư cho ềng chự. ậóng lóc chđa biạt phời lộm thạ nộo ệÓ

từm ra thự phỰm thừ chự nhộ gẳp cẺu bĐ Sếlềchềmqua. CẺu tắi rự con trai chự nhộ ệi hảc.

HUÕ THAÀN

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

17

ThÊy bịc chự nhộ cã vĨ cẽng thỬng lo lớng, Sếlềchềmqua tư mư hái chuyỷn. Nghe con trai

chự nhộ kÓ lỰi, Sếlềchềmqua sùc nhắ tắi cẹu chuyỷn mộ mừnh ệở ệđĩc ệảc ệẹu ệã. CẺu

bÌn mịch nhá vắi bịc chự nhộ. Ngay sau ệã, bịc chự nhộ ệở lộm theo vộ ệở nhanh chãng

từm ra kĨ trém.

-

ộ

, chự nhộ ệở lÊy 2 cịi hò sộnh, bÝ mẺt hể miỷng hị trến ngản ệÌn dẵu. Sau ệã ềng bờo

hai anh chộng chẽn bư “ậẹy lộ 2 cịi hò thẵn. Hai ngđểi mẫi ngđêi mét cịi. Hởy thư tay vộo

vộ phời chỰm tay tắi tẺn ệịy hò. Tay kĨ gian sỳ bỡ hò thẵn ệịnh dÊu”.

Ngđêi thụ nhÊt lộm theo răi rót tay ra. Tay anh ta nhả nhem vừ mi ệÌn trong ệịy hị bịm

vộo. Ngđêi thụ hai còng lộm theo nhđng tay anh ta lỰi khềng bỡ nhả.

Nghe chuyỷn ềng chó kĨ, thịm tỏ Sếlềccềc chử cđêi vừ mứo nộy ềng ệở ệđĩc ệảc tõ lẹu

lớm răi. Riếng cẺu con trai cựa thịm tỏ thừ lỰi phời cau mộy suy nghỵ “VẺy ai lộ kĨ trém nhử?

Anh tay sỰch hay anh tay nhả?”

* C¸c th¸m tư Ti Hång h·y gi¶i thÝch nhÐ!

TÊt cờ cịc bỰn ệỊu ệoịn ệóng ngđêi mộ

thịm tỏ Sếlềccềc khuyến ềng Bin nến chản.

LÝ do cịc bỰn ệđa ra cịng hạt sục thuyạt

phơc: Khềng ng rđĩu bia, luền ẻ bến ềng

chự, bừnh tỵnh, khền ngoan khi cã chuyỷn

nhèn nhịo vộ tÝnh từnh ệiÒm ệỰm, Ýt lêi... ệã

chÝnh lộ mét sè phÈm chÊt hộng ệẵu mộ

ngđêi vỷ sỵ cẵn cã.

Phẵn thđẻng kừ nộy ệđĩc trao cho:

Nhãm

Thịm tỏ nhÝ

, 7A1, THCS Sềng Lề, Sềng Lề,

Vỵnh Phóc

;

Bỉi Thỡ Quúnh

, 6A3, THCS Lẹm

Thao, Lẹm Thao,

Phó Thả

;

Trẵn NhẺt

Nguyến

, 6D, THPT Hộ Néi - Amsterdam,

Hộ

Néi

;

NguyÔn Vẽn Cđêng

, 6/4, THCS Lế Vẽn

Thiếm, TP. Hộ Tỵnh,

Hộ Tỵnh

;

NguyÔn Ngảc

Cịt Tờng

, 7/2, THCS Nguyễn Khuyn,

Nng

.

Thám tử Sêlôccôc

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19></div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

19

We wish to investigate Chóng ta muèn khảo sát

Our wish is to Mc ớch ca chỳng ta là

The proof involves looking at Chứng minh này liên quan đến việc xem xét
Let E Kf, f being the solution of Xét E Kf, với f là nghiệm ca

Set E Kf with f satisfying Đặt E Kf víi f tháa m·n
Let us denote by Z the set Kí hiệu Z là tập hợp
We will denote by Z the set Ta sÏ kÝ hiƯu Z lµ tËp hợp

Let f by a function Cho f là một hàm số

Suppose k is Giả sử k là

Define E Kf, where we have set f Đặt E Kf, ở đây ta đã đặt f

Let f be given by XĐt f ệđĩc cho bẻi

The function f is given by Hộm sè f ệđĩc cho bẻi

Our proof is based on the concept of Chøng minh cđa chóng ta dùa vào khái niệm
We denote it briefly by S Chúng ta kí hiệu nó ngắn gọn là S

Both X and Y are finite Cả X và Y là hữu hạn

We will make the following assumptions Ta sẽ đa ra các giả thiết sau
From now on we make the assumption Từ đây vỊ sau chóng ta gi¶ sư

This condition is essential to the proof Điều này là thiết yếu trong chứng minh
The theorem states that Định lí này phát biểu rằng

To prove this, let X Để chứng minh điều này, đặt X

This is proved by writing M ậiÒu nộy ệđĩc chụng minh bỪng cịch viạt M
Replacing (1) by (2) Thay thạ (1) bẻi (2)

Exchanging x and y Chuyển đổi x và y

Repeated application of Lemma 1 áp dụng lặp lại với Bổ đề 1

NHỮNG MẪU CÂU

NÓI, VIẾT CHỨNG MINH

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

20

đông ba (Hà Nội)
Sðu tầm
Bạn hãy thay mỗi

chọ cịi bẻi mét chọ
sè sao cho ệđĩc
phĐp tÝnh ệóng, biạt
rỪng cịc chọ cịi khịc
nhau biĨu thỡ cc ch
số khc nhau. Lời gii
cn ghi rõ lp lun.

Đánh số 6 cột từ trái qua phải.
ởcột 1, ta thÊy E b»ng 1 hc 2.
TH1.XÐt E 2.

Tõ cét 2 suy ra T 9 vµ L 0.
Tõ cét 6 suy ra N 6.

ëcét 5 th× 4 V tËn cïng b»ng 2 nªn V 8.

Ta cã 9HR22 9HR22 FI82 202826.

Khi đó các số chữ R, I, H, F đều khác 9, 8, và 6.
ở cột 4 ta có 2R I tận cùng là 7, khơng nhớ
hoặc nhớ 1.

Suy ra tõ cét 3 th× 2H F hoặc 2H F 1 bằng
22: loại vì 2H F 2.7 5 19.

TH2.XÐt E 1. Tõ cét 6 suy ra N 3.

Tõ cét 5 th× 2 V tËn cïng b»ng 1 nªn V 9.
Ta cã THR11 THR11 FI91 1L1 913.
Tõ cét 4 suy ra 2R I 1 tËn cïng lµ 9.
Vì R, I khác 9 nên 2R I 1 16 7 1 29.
Suy ra 2R I {8; 18}.

Xét 2R I 8.

Suy ra I chẵn và (R; I) (0; 8), (2; 4), (4; 0). (1)
Tõ cét 3 ta cã 2H F tËn cïng lµ 1.

Suy ra 2H F {11; 21}.
XÐt 2H F 11. Suy ra F lẻ.

Vì F, H khác 1, 3, 9 nªn (H; F) (2; 7).

ëcét 2 suy ra 2T 1 10 L nªn L 2T 9.
Suy ra L lẻ nên L 5 T 7: loại vì F 7.

Xét 2H F 21. Suy ra F lẻ.
Vì F khác 3, 9 nên (H; F) (8; 5). (2)

ởcột 2 suy ra 2T 2 10 L hay L 2(T 4).
Suy ra T 4 nªn T {7; 6; 4}.

- NÕu T 7 th× L 6.

Tõ (1) suy ra (R; I) (2; 4), (4; 0).
Ta cã 78211 78211 5491 161913,

78411 78411 5091 161913.
- NÕu T 6 thì L 4: loại do (1) và (2).
- Nếu T 4 thì L 0: loại do (1).

Xét 2R I 18.

Khi đó I chẵn và (R; I) (8; 2), (7; 4), (5; 8). (3)
ởcột 3 ta có 2H F tận cùng bằng 0.

Suy ra 2H F {10; 20}.

XÐt 2H F 10. Suy ra F ch½n.
Vì F 0 nên (H; F) (4; 2), (2; 6). (4)

ëcét 2 ta cã 2T 1 10 L nªn L 2T 9.
Suy ra T 5 nªn T {5; 6; 7; 8}.

- Nếu T 5 thì L 1: loại v× E 1.
- NÕu T 6 th× L 3: loại vì N 3.

- Nếu T 7 thì L 5.

Tõ (3) suy ra (R; I) (8; 2): lo¹i do (4).
- Nếu T 8 thì L 7: loại do (3).

XĐt 2H F 20. Suy ra F chơn.
Ta ệđĩc (H; F) (8; 4), (7; 6), (6; 8). (5)

ëcét 2 suy ra 2T 2 10 L hay L 2(T 4).
Suy ra T 4 nªn T {4; 5; 6; 7; 8}.

- NÕu T 4 th× L 0. Tõ (5), nÕu (H; F) (7; 6)
th× tõ (3) sÏ cã (R; I) (8; 2), (5; 8); nÕu (H; F)
(6; 8) th× tõ (3) sÏ cã (R; I) (7; 4): loại vì T 4.
Ta có 47811 47811 6291 101913,

47511 47511 6891 101913.

- NÕu T 5 th× L 2. Tõ (3) suy ra (R; I) (7; 4).
Tõ (5) sÏ cã (H; F) (6; 8).

Ta cã 56711 56711 8491 121913.
- NÕu T 6 thì L 4: loại do (5).

- Nếu T 7 th× L 6. Tõ (5) suy ra (H; F) (8; 4):
loại do (3).

- Nếu T 8 thì L 8: lo¹i.

Tãm lỰi bội toịn cã 5 cịch thay chọ bẻi sè.

NhẺn xĐt. Hai bỰn KhuÊt Bờo Chẹu, 7A, THCS
ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ NéivộNgề Thỡ Huạ,
8A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninhcã
lẺp luẺn ệóng vộ từm ra ệđĩc nhiỊu ệịp sè ệóng,
ệđĩc thđẻng kừ nộy.

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

21

Lời giải. Có bốn võ sĩ nhận lời thách đấu, tuy
nhiên, vì lời giải của các võ sĩ hoặc phải dùng các
kiến thức q cao hoặc trình bày khơng sáng sủa
nên khơng có võ sĩ nào đăng quang trong trận đấu
này.

Xin giắi thiỷu lêi giời cựa ngđêi ra ệÒ.
Ta cẵn cã hai bữ ệÒ.

Bữ ệÒ 1. Cho tam giịc nhản ABC cã BE, CF lộ
cịc ệđêng cao. H, K theo thụ tù lộ hừnh chiạu cựa
B, C trến EF. Khi ệã HF KE.

Chứng minh. Gọi M là trung điểm của BC, N là
hình chiếu của M trên EF.

Vì nên

KÕt hỵp víi MN EF suy ra NF NE.

Mµ BH // CK // MN vµ MB MC nªn NH NK.
VËy HF KE.

Bổ đề 2. Nếu các tam giác ABC, MNP cú

hoặc thì

(Bn c t chng minh)
Tr li gii bi toỏn thỏch u.

Đặt B_oC_o a, C_oA_o b, A_oB_o c.

Theo bổ đề 1, ta có A₁C_o A₂B_o x, B₁A_o B₂C_o
y, C₁B_o C₂A_o z.

Từ đó, theo bổ đề 2, ta có

Tđểng tù

VËy S(A₁B₁C₁) S(A₂B₂C₂).

2 2 2
o o o

S(A B C ) k.
S(A B C )

o o o o 1 1 o 1 1 o 1 1
o o o

1 o 1 1 o 1 o 1 o 1
o o o o o o o o o o o o
S(A B C ) S(A B C ) S(B C A ) S(C A B )

S(A B C )

AoB A C BoC B A C A C B
1

A C A B B A B C C B C A
y z c z x a x y b

1

b c c a a b

x y z yz zx xy

1 k.

a b c bc ca ab

1 1 1
o o o

S(A B C )
S(A B C )

S(ABC) AB AC .
S(MNP) MN MP

o

BAC NMP 180
BAC NMP

1

MF BC ME.

2
o

BFC 90 BEC

Ngđêi thịch ệÊu:NguyÔn Vẽn Linh, SV. ậỰi hảc NgoỰi thđểng Hộ Néi.

Bội toịn thịch ệÊu:Cho tụ giịc ABCD néi tiạp ệđêng trưn tẹm O cã AC BD. Cịc tiạp tuyạn cựa
(O) tỰi A, B giao nhau ẻ X; tỰi B, C giao nhau ẻ Y; tỰi C, D giao nhau ẻ Z; tỰi D, A giao nhau ẻ T.
Giờ sỏ XZ cớt YT ẻ E. Chụng minh rỪng tẹm ệđêng trưn néi tiạp cựa cịc tam giịc EXY, EYZ, EZT,
ETX, XYZ, XYT, XZT vộ YZT cỉng nỪm trến mét ệđêng trưn.

XuÊt xø: S¸ng t¸c.

Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.05.2014 theo dÊu bđu ệiỷn.

TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM MƯỜI BA

(TTT2 sè 131)

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

22

7. Trò chơi mô tả bởi hệ động lực

ậã lộ trư chểi găm hai hoẳc nhiỊu ngđêi tham gia
chun ệéng. Mét lắp trư chểi mề tờ bẻi hỷ ệéng

lùc lộ trư chểi ệuữi bớt, găm mét (nhiÒu) ngđêi ệuữi
vộ mét (nhiÒu) ngđêi chỰy. Tiếu chuÈn kạt thóc trư
chểi lộ ngđêi ệuữi bớt ệđĩc(khềng bớt ệđĩc) ngđêi
chỰy sau thêi gian họu hỰn. Trong trư chểi hai
ngđêi, ngđêi ệuữi thđêng phời cã lĩi thạhển ngđêi
chỰy (thÝ dơ, tèc ệé) thừ mắi kạt thóc trư chểi ệđĩc.
Trong trư chểi nhiÒu ngđêi ệuữi mét ngđêi, mẫi
ngđêi ệuữi cã thÓ kĐm hển (thÝ dơ, vỊ tèc ệé),
nhđng nhê cã sù hĩp tịc nến cã thÓ chiạn thớng.
Bội 20a. (Về ệỡch Moscow lẵn thụ 33, 1970, lắp 7,
vưng 2)

Trong mét cềng viến cã sịu ệđêng ệi men theo
hộng cẹy hứp. CẺu bĐ Kềlia chỰy theo cịc con
ệđêng ệã. Hái bè vộ mứ cã thÓ bớt ệđĩc Kềlia
khềng nạu cẺu ta chỰy nhanh gÊp ba lẵn bè mứ
(trong suèt cuéc chểi cờ ba ngđêi ệÒu nhừn thÊy
nhau)?

Giời.ậĨ bớt ệđĩc Kềlia, ềng bè (lóc ệẵu ẻ vỡ trÝ bÊt
kừ trong cềng viến) phời chun vỊ vỡ trÝ A, cưn bộ
mứ chun vỊ vỡ trÝ B. Khềng hỰn chạ tững quịt,
cã thÓ coi Kềlia ẻ phÝa ngoội ệoỰn DB. Bộ mứ bớt
Kềlia khềng thÓ chỰy vộo ệoỰn CA hoẳc DA vừ ềng
bè ệở ịn ngọ ệiÓm A. Khi Kolia chỰy ệạn ệiÓm E
thừ ềng bè bớt ệẵu chỰy trến ệoỰn AB song song
cỉng chiÒu vắi Kềlia. Do vẺn tèc cựa Kềlia gÊp ba
lẵn vẺn tèc cựa bè nến nạu Kềlia quay lỰi ệạn
ệiÓm E thừ ềng bè cịng quay lỰi ệạn ệiĨm A vộ lỰi
ệụng chê ẻ ệã. Vừ vẺy Kềlia chử cã thÓ chỰy tõ E

ệạn F, sau ệã hoẳc ệi theo FA hoẳc ệi ệạn B. Nạu

Kềlia chỰy tõ F ệạn A (ềng bè chỰy tõ A ệạn I khi
Kềlia chỰy tõ E ệạn F) thừ ềng bè quay lỰi IA. Do
vẺn tèc cựa Kềlia gÊp ba lẵn vẺn tèc cựa bè nến
Kềlia ệạn ệiĨm A thừ ềng bè cịng quay lỰi ệạn
ệiÓm A. Nạu Kềlia quay lỰi F thừ ềng bè còng ệi tõ
A ệạn I. Vừ vẺn tèc cựa Kềlia gÊp ba lẵn vẺn tèc
cựa bè nến khi Kềlia chỰy tõ F ệạn B thừ ềng bè
chỰy tõ I ệạn B. VẺy Kềlia khềng thÓ quay lỰi vừ
mứdăn ệuữi vộ bỡ bớt trong mải trđêng hĩp.
Bội 20b. (Về ệỡch Moscow, 1970, lắp 8, vưng 2)
Mét con khử trong vđên bịch thó bỡ sững chuăng
vộ hai ngđêi bờo vỷ ệuữi bớt nã. Cờ ngđêi bờo vỷ
vộ con khử ệÒu cỉng chỰy theo cịc con ệđêng
nhá. Cã tÊt cờ 6 con ệđêng thỬng găm ba ệđêng
dội tỰo thộnh ba cỰnh cựa tam giịc ệÒu vộ ba
cỰnh ngớn nèi trung ệiÓm ba cỰnh. TỰi mẫi thêi
ệiÓm ngđêi vộ khử ệÒu nhừn thÊy nhau. Biạt rỪng
khử chỰy nhanh gÊp ba lẵn nhọng ngđêi bờo vỷ,
hái hai ngđêi bờo vỷ cã bớt ệđĩc con khử khềng?
Bội 21a. (Về ệỡch Moscow, 1970, lắp 9, vưng 2)
Ba con nhỷn vộ mét con ruăi bư theo cịc cỰnh
cựa mét hừnh lẺp phđểng trong suèt. VẺn tèc lắn
nhÊt cựa ruăi lắn gÊp ba lẵn vẺn tèc lắn nhÊt cựa
nhỷn. ậẵu tiến cịc con nhỷn nỪm trến mét ệửnh
cựa hừnh lẺp phđểng, cưn con ruăi nỪm ẻ ệửnh ệèi
diỷn. Hái nhỷn cã thÓ cã bớt ệđĩc ruăi khềng
(nhỷn vộ ruăi luền luền nhừn thÊy nhau)?

Bài 21b. (Vơ địch Moscow, 1970, lớp 10, vịng 2)
Xét bài tốn trên với hai con nhện, nhðng vận tốc
tối đa của ruồi và nhện nhð nhau.

Bài 22. (Vô địch Liên Xô, 1974, lớp 8)

Hai ngđêi chểi trư “mÌo ệuữi chuét” trến mét bộn cê
8 8. Ngđêi thụ nhÊt (ệãng vai chuét) cã mét quẹn
cê ệam mộu ệen (mét con chuét), ngđêi thụ hai
(ệãng vai mÌo) cã vội quẹn ệam trớng (vội con mÌo).
TÊt cờ cịc quẹn chun ệéng nhđ nhau: mẫi lẵn ệi
mét ề sang trịi, sang phời, lến trến, xuèng dđắi. Nạu
chuét chỰy ra ệạn mĐp bộn cê thừ ệạn bđắc sau nã
nhờy ra khái bộn cê. Nạu mét con mÌo nhờy ệđĩc
vộo ề chuét ệang ệụng thừ mÌo bớt ệđĩc chuét.
Chuét ệi bđắc ệẵu tiến. Môc ệÝch cựa chuét lộ
nhờy ra khái bộn cê. Bđắc tiạp theo tÊt cờ cịc con
mÌo ệỊu chun ệéng, cã thĨ theo cịc hđắng
khịc nhau miÔn lộ bớt ệđĩc cht.

TỐN TRỊ CHƠI

có mặt khắp nơi

PhỰm Vẽn ậỰo (GV. THCS An Dđểng, Hời Phưng)
(Viỷn Toịn hảc)

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

23

a) Giờ sỏ cã hai con mÌo. Chuét ệụng ẻ mét ề nộo
ệã bến trong bộn cê (khềng ẻ ề ngoội biến). Hái

cã thĨ ệẳt hai con mÌo tỰi vỡ trÝ nộo ệã trến bộn cê,
ệĨ chóng cã thĨ bớt ệđĩc chuét khềng?

b) Giờ sỏ cã ba con mÌo, nhđng mẫi bđắc cht cã
thĨ nhờy hai ề liỊn (tèc ệé gÊp hai mÌo). Chụng minh
rỪng cht cã thĨ chỰy thoịt tõ mải vỡ trÝ ban ệẵu.
8. Toịn trư chểi cã mẳt khớp nểi

Bài 23.(Vô địch Liên Xô, 1969, lớp 9-10)

Cho phđểng trừnh x3 *x2 *x * 0. ậẵu tiến
ngđêi thụ nhÊt thay mét dÊu * bÊt kừ bỪng mét sè
nguyến khịc 0, sau ệã ngđêi thụ hai thay mét sè
nguyến vộo mét trong hai dÊu * cưn lỰi. Ngđêi thụ
nhÊt ệẳt nèt mét sè nguyến vộo vỡ trÝ cưn lỰi.
Chụng minh rỪng ngđêi thụ nhÊt bao giê còng lộm
cho phđểng trừnh cã ba nghiỷm nguyến, khềng phô
thuéc vộo cịch chản sè cựa ngđêi chểi thụ hai.
Giời. Bđắc ệẵu tiến ngđêi thụ nhÊt ệẳt 1 vộo hỷ
sè cựa x. Sau khi ngđêi chểi thụ hai ệẳt sè nguyến
a vộo hỷ sè cựa x2hoẳc vộo hỷ sè tù do thừ ngđêi
thụ nhÊt ệẳt a vộo hỷ sè cưn lỰi.

Ta ệđĩc phđểng trừnh dỰng x3 bx2 x b 0 hay
(x b)(x2 1) 0 (vắi b a hoẳc b a).

Phđểng trừnh cã ba nghiỷm nguyến lộ a, 1, 1.
Bội 24.(Về ệỡch Liến Xề, 1977, lắp 10)

Cho P(x) x10 *x9 *x8 ... *x2 *x 1.

Ngđêi thụ nhÊt thay mét dÊu * bỪng mét sè bÊt kừ,
sau ệã ngđêi thụ hai thay mét sè tù chản vộo mét
dÊu * cưn lỰi. Cụ tiạp tôc nhđ vẺy. Cuèi cỉng nạu
ệa thục khềng cã nghiỷm (thùc) thừ ngđêi thụ nhÊt
thớng, cưn nạu cã Ýt nhÊt mét nghiỷm thùc thừ
ngđêi thụ hai thớng. Hái ngđêi thụ hai cã thÓ thớng
vắi mải cịch ệi cựa ngđêi thụ nhÊt khềng?

Giời. Vừ cã tÊt cờ 9 dÊu *, trong ệã nẽm dÊu * lộ
hỷ sè thuéc lòy thõa bẺc lĨ vộ ba hỷ sè thuéc lòy
thõa bẺc chơn nến nạu trong ba bđắc ệẵu ngđêi
thụ hai ệiỊn hạt cịc hỷ sè thc lịy thõa bẺc chơn
thừ sau bèn bđắc ệi cựa ngđêi thụ nhÊt vÉn cưn Ýt
nhÊt mét lòy thõa bẺc lĨ. Giờ sỏ sau bđắc thụ 7 ta
cã P(x) Q(x) *xm *x2n 1.

Chän a 0, b 0 sao cho P(x) Q(x) axm
bx2n 1tháa m·n hÖ thøc cP(1) P( 2) 0 hay
c[Q(1) a b] Q( 2) a( 2)m b( 2)2n 1 0.
Chän c 22n 1th×

Do c 0 vộ cP(1) P( 2) 0 nến P(1) vộ P( 2)
trịi dÊu. Do ệã phđểng trừnh P(x) 0 cã nghiỷm
trong khoờng [ 2 ; 1].

TỰi bđắc thụ 8, ngđêi thụ hai ệẳt giị trỡ a vộo hỷ
sè xmthừ tỰi bđắc thụ 9, ngđêi thụ nhÊt ệẳt sè thùc
b bÊt kừ cưn lỰi thừ P(x) luền cã nghiỷm thùc. VẺy
ngđêi thụ hai thớng.

Bài 25. (Vô địch Liên Xô, 1984, lớp 9)

Cã mét hừnh lẺp phđểng vộ hai mộu: mộu ệá vộ
mộu xanh. Hai ngđêi chểi trư chểi sau ệẹy. Ngđêi
thụ nhÊt chản ba cỰnh cựa lẺp phđểng vộ sển
chóng thộnh mộu ệá. Ngđêi thụ hai chản ba cỰnh
chđa sển vộ sển chóng thộnh mộu xanh. Sau ệã
ngđêi thụ nhÊt lỰi chản ba cỰnh vộ sển mộu ệá.
Vộ cuèi cỉng ngđêi thụ hai sển nèt ba cỰnh cưn
lỰi bỪng mộu xanh. Khềng sển lỰi mét cỰnh ệở
sển (bỪng mộu khịc còng nhđ bỪng mộu ệở sển).
Ngđêi nộo ệẵu tiến sển ệđĩc mét mẳt cã bèn cỰnh
cỉng mộu thừ ngđêi ệã thớng. Hái ngđêi thụ nhÊt
cã thÓ luền thớng ệđĩc hay khềng?

Giời.Vừ mẫi cỰnh ệÒu từm ệđĩc hai cỰnh khịc cựa
lẺp phđểng ệềi mét chĐo nhau nến sau khi ngđêi
chểi thụ nhÊt ệở sển ệá ba cỰnh bÊt kừ thừ ngđêi
chểi thụ hai vÉn từm ệđĩc ba cỰnh ệềi mét vuềng
gãc chđa sển. Hển nọa, nạu ngđêi thụ nhÊt sển
hai hoẳc ba cỰnh cỉng mét mẳt thừ ngđêi thụ hai
sển mét cỰnh cựa mẳt Êy. Sau khi sển cịc cỰnh
nộy bỪng mộu xanh (vắi lđu ý trến) thừ do chóng
ệềi mét vuềng gãc nến mẫi cỰnh lộ cỰnh kÒ cựa
hai mẳt vộ ba cỰnh lộ ba cỰnh kÒ cựa tÊt cờ sịu
mẳt khịc nhau. Do ệã ngđêi chểi thụ nhÊt khềng
thÓ sển ệÓ ệđĩc bèn cỰnh cựa mét mẳt cỉng mét
mộu ệđĩc. Vừ vẺy ngđêi thụ nhÊt khềng thĨ thớng.
Mét ệiỊu thó vỡ lộ ngđêi thụ hai cịng khềng thĨ
thớng. ThẺt vẺy, ngđêi thụ nhÊt tề ệá ba cỰnh chĐo

nhau. Nhđ vẺy, tÊt cờ sịu mẳt ệÒu chụa mét cỰnh
mộu ệá. Do ệã ngđêi thụ hai khềng thÓ tề mộu
xanh tÊt cờ bèn cỰnh cựa mét mẳt nộo ệã ệđĩc.
Chiạn lđĩc “hưa” ệứp nhÊt lộ mẫi ngđêi lẵn lđĩt tề
ba cỰnh ệềi mét chĐo nhau. Nhđ vẺy sỳ ệđĩc tÊt cờ
sịu mẳt, mẫi mẳt cã hai cỰnh xanh vộ hai cỰnh ệá.
Bội tẺp

Bội 26. (Về ệỡch Moscow, 1970, lắp 7, vưng bữ sung)
Trong trư chểi ệềminề, cịc quẹn ệềminề ệđĩc ệẳt
nèi nhau sao cho hiỷu giọa cịc sè trến cịc quẹn
cỰnh nhau bỪng 0. Hái cã thÓ ệẳt tÊt cờ 28 quẹn
ệềminề vộo mét vưng khĐp kÝn ệÓ cho tÊt cờ cịc
hiỷu bỪng 1?

Bài 27. (Vô địch Liên Xô, 1982, lớp 8)

Mẫi ệửnh cựa mét hừnh vuềng ệđĩc gịn cho mét sè
thùc khềng ẹm, ngoội ra tững cựa tịm sè nộy
bỪng 1. Hai ngđêi chểi trư chểi sau ệẹy: Ngđêi thụ
nhÊt chản mét mẳt bÊt kừ, sau ệã ngđêi thụ hai
chản mẳt tiạp theo, vộ sau ệã ngđêi thụ hai chản
mẳt thụ ba. Ngoội ra, khềng ệđĩc chản mẳt song
song vắi mét trong cịc mẳt ệở ệđĩc chản. Chụng
minh rỪng ngđêi thụ nhÊt cã thÓ chản chiạn lđĩc
chểi sao cho sè nỪm trến mét ệửnh chung cựa cờ
ba mẳt ệở ệđĩc chản khềng vđĩt quị

(Xem tiÕp trang 28)
1.

6

m

Q( 2) cQ(1)

a .

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

24

International Contest-Game

MATH KANGAROO

Grade 5-6 Year 2013

(Giíi thiƯu)

16.Max, David and Peter competed in an ice cream
eating contest. Max ate 6 scoops in the same time
as David ate 4 scoops and Peter ate 5 scoops. Max
ate 18 scoops in half an hour. How many scoops in
total did they eat in half an hour together?

(A) 27 (B) 30 (C) 33 (D) 45 (E) 51
17.From a wooden cube with side 3cm we cut out
at the corner a little cube with side 1cm (see
picture). What is the number of faces of the solid
after cutting out such a small cube at each corner

of the big cube?

(A) 16 (B) 20 (C) 24 (D) 30 (E) 36
18.How many pairs of two digit natural numbers
have a difference equal to 50?

(A) 40 (B) 30 (C) 50 (D) 60 (E) 10
19.During the final game of a soccer championship
the teams scored a lot of goals. Six goals were
scored during the first period of the game and the
guest team was leading the score at the halftime
break. During the second period, the home team
scored 3 goals and as a result, they won the

game. How many goals did the home team score
altogether?

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
20.In the squares of the 4 x 4 board numbers are
written such that the numbers in adjacent squares
differ by 1. Numbers 3 and 9 appear in the table.
Number 3 is in the top left corner as shown. How
many different numbers appear in the table?

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8
Part C: Each correct answer is worth 5 points.
21.Aron, Bern and Carl always lie. Each of them
owns one stone, either a red stone or a green
stone.

Aron says: “My stone is the same color as Bern’s
stone.’’

Bern says: “My stone is the same color as Carl’s
stone.’’

Carl says: “Exactly two of us own red stones.’’
Which of the following statements is true?
(A) Aron’s stone is green.

(B) Bern’s stone is green.
(C) Carl’s stone is red.

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

25

(D) Aron’s stone and Carl’s stone have different
colors.

(E) None of A, B, C or D is true.

22. Sixty six cats signed up for the contest
MISS CAT 2013. After the first round 21 cats were
eliminated because they failed to catch a mouse.
Of the remaining cats, 27 had stripes and 32 had
one black ear. All striped cats with one black ear
got to the final. What is the minimum number of
finalists?

(A) 5 (B) 7 (C) 13 (D) 14 (E) 27
23. There are four buttons in a row as shown
below. Two of them show happy faces, and two of

them show sad faces. If we press on a face, its
expression turns to the opposite (e.g. a happy face
turns into a sad face after the touch). In addition
to this, the adjacent buttons also change their
expressions. What is the least number of times
you need to press a button in order to get all
happy faces?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
24.40 boys and 28 girls stand in a circle, hand in
hand, all facing inwards. Exactly 18 boys give
their right hand to a girl. How many boys give their
left hand to a girl?

(A) 18 (B) 9 (C) 28 (D) 14 (E) 20
25.A stack of loads must be transported. If Ann
does the job alone, it will take one hour. If Ben
does the job alone, it will take two hours. How long
will it take if Ann and Ben do the job together?
(A) 30 minutes (B) 40 minutes

(C) 1 hour (D) 1.5 hours (E) 3 hours
26. How many 3-digit numbers possess the
following property: after subtracting 297 from such
a number, we get a 3-digit number consisting of
the same digits in the reverse order?

(A) 6 (B) 7 (C) 10 (D) 60 (E) 70
27. When Pinocchio lies, his nose gets 8 cm
longer. When he says the truth, the nose gets 3 cm

shorter. When his nose was 7 cm long, he said five
sentences and after that his nose got 25 cm long.
How many of Pinocchio’s sentences were true?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

28. There were 2013 inhabitants on an island.
Some of them were knights and the others were
liars. The knights always tell the truth and the liars
always lie. Every day, one of the inhabitants said:
“After my departure the number of knights on the
island will equal the number of liars” and then left
the island. After 2013 days, there is nobody on the
island. How many liars were there initially?
(A) 0 (B) 1006 (C) 1007 (D) 2013
(E) It is impossible to determine.

29. Starting with a list of three numbers, the
“changesum” procedure creates a new list by
replacing each number by the sum of the other
two. For example, from {3, 4 ,6} the procedure
“changesum” gives {10, 9, 7} and a new
“changesum” leads to {16, 17, 19}. If we begin
with the list {20, 1, 3}, what is the maximum
difference between two numbers of the list after
2013 consecutive “changesums”?

(A) 1 (B) 2 (C) 17 (D) 19 (E) 2013
30. Alice forms four identical numbered cubes
using the net shown.

She then glues them together to form a
2 2 1 block, as shown. Only faces with identical
numbers are glued together.

Alice then finds the total of all the numbers on the
surface of the block.

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

26

Nhằm động viên, khuyến khích phong trào học
tốn, giải tốn của các bạn học sinh nữ trên tồn
quốc, tạp chí Tốn Tuổi thơ mở chun mục mới:
Cuộc thi giải toán dành cho nữ sinh.

ậèi tđĩng tham dù: Cịc bỰn hảc sinh nọ ệang
theo hảc THCS.

Cịch thục tham dù:Mẫi thịng, trến TTT sỳ ệẽng
3 bội toịn. Cịc bỰn hảc sinh nọ cã thÓ tham dù
giời cịc bội trến mẫi sè vộ trến nhiÒu sè. Mẫi bội
giời ệđĩc viạt bỪng tay hoẳc in trến mét tê giÊy vộ
ghi râ : Tham gia cuéc thi giời toịn dộnh cho nọ
sinh, hả vộ tến (in hoa cã dÊu), lắp, trđêng, huyỷn
(quẺn), tửnh (thộnh phè), gỏi vÒ Tưa soỰn tỰp chÝ
Toịn Tuữi thể, tẵng 5, sè 361, Trđêng Chinh,
Q. Thanh Xuẹn, Hộ Néi.

Lẵn ệẵu tham dù, thÝ sinh ghi râ: Hả vộ tến, lắp,
trđêng, huyỷn (quẺn), tửnh (thộnh phè) ệỡa chử gia
ệừnh, sè ệiỷn thoỰi (nạu cã) kÌm theo dịn 1 ờnh

4 6 cm vộo bội dù thi. Bội khềng cã ờnh khềng
ệđĩc dù thi. Cịc lẵn gỏi sau khềng cẵn dịn ờnh.
Sau 2 sè bịo sỳ ệẽng lêi giời cựa cịc bội toịn.
Cịc bỰn xuÊt sớc nhÊt sỳ ệđĩc nếu tến.

Hết tháng 2 năm 2015, tạp chí sẽ tổng kết cuộc thi
và đăng danh sách các bạn đoạt giải vào số tháng
3 năm 2015, dịp kỉ niệm ngày Quốc tế phụ nữ.
Danh sách đoạt giải sẽ dựa theo tổng số điểm thi
của tất cả các bài mà mỗi bạn đã tham dự, lấy từ
cao xuống thấp.

Giời thđẻng:Bao găm GiÊy chụng nhẺn ệoỰt giời
NhÊt, Nhừ, Ba, GiÊy chụng nhẺn ệở tham dù Cuéc
thi (ệèi vắi nhọng bỰn tham dù nhiÒu lẵn), phẵn
thđẻng.

TỰp chÝ Toịn Tuữi thể mong cịc Sẻ Giịo dôc vộ
ậộo tỰo, cịc nhộ trđêng, cịc thẵy cề giịo, cịc
bẺc phô huynh ựng hé, ệéng viến, tỰo ệiỊu kiỷn
ệĨ cịc hảc sinh nọ tham dù tèt kừ thi nộy.

Sau đây là đề thi kì này

Bội 1NS.Giời phđểng trừnh nghiỷm nguyến
x3 y3 4xy 1 0.

(Phưng Giịo dơc - ậộo tỰo Tam Dđểng,
Vỵnh Phóc)
Bội 2NS.Giời phđểng trừnh

(Phưng Giịo dôc - ậộo tỰo thỡ xở An Nhển,
Bừnh ậỡnh)
Bội 3NS. Cho tam giịc ABC vuềng cẹn tỰi A, trung
tuyạn AD. ậiÓm M di ệéng trến ệoỰn AD. Gải N vộ P
lẵn lđĩt lộ hừnh chiạu vuềng gãc cựa M trến AB vộ
AC. H lộ hừnh chiạu vuềng gãc cựa N trến PD. Từm vỡ
trÝ cựa M trến AD ệÓ diỷn tÝch tam giịc AHB lắn nhÊt.
(GV. THCS HoỪng Xuẹn, HoỪng Hãa,

Thanh Hãa)

2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

27

Cã rÊt nhiÒu cẹu ca dao nãi vÒ vỉng ệÊt vộ con ngđêi miÒn Trung. Mét

bỰn hảc sinh ệở sđu tẵm mét sè cẹu dđắi ệẹy nhđng do sể suÊt bỰn Êy ệở bỡ nhẵm lÉn ệềi

chót. Cịc bỰn hởy tm ra v sa li nh!

* Đông Ba ra hội hai cầu

Có chùa Diệu Đế bốn lầu hai chuông

* Hội An bán gấm bán diều

Kiếm Bồng bán vải, Trà Nhiêu bán hàng

* Đi đâu cũng nhớ quê mình

Nh Hng Giang giã mịt, nhắ Ngù Bừnh trẽng thanh

* Ra ệi anh nhắ Nghỷ An

Nhắ Thanh Chđểng mãn nhót, nhắ Nam ậộn món tng

Mien Trung

(GV. TH Ngô Đức Kế, Can Lộc, Hà Tĩnh)

1. Thứ hai tôi học môn Toán, tôi thích học toán.

Ngày mai tôi có môn Lịch sử và Toán.

2. Thø ba t«i cã tiÕt TiÕng Anh và Địa lí, tôi

không có tiết tiếng Hán và Toán.

3. Ngày mai Tiểu Hải sẽ có tiết Hóa học và Thể

dục, bạn ấy không có môn tiếng Pháp và Âm

nhạc.

4. Ti nói c ting Hn, tềi sỳ ệi Trung Quèc,

tềi sỳ ệi mịy bay ệạn Bớc Kinh vộ Thđĩng Hời.

Cịc bỰn cã lêi giời tèt:

Lđu ậục MỰnh

, 6B,

THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến,

Vỵnh Phóc

;

ậẳng Thỡ Hđêng

, 8B, THCS Yến Phong, Yến

Phong,

Bớc Ninh

;

Phan Vẽn ậỰt

, 8C, THCS

Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả,

Hộ Tỵnh

.

ngun Vị loan

ĐẾN VỚI TIẾNG HÁN

(TTT2 sè 131)

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

28

ột năm mới lại đến. Mẹ tôi lại thêm
một tuổi cùng với những nếp nhăn và
những sợi tóc bạc...

Mứ tềi nẽm nay ệở ngoội bèn mđểi tuữi - ệé tuăi
mải ngđêi hay nãi lộ trung niến. Bộn tay mứ khềng
ệứp vÒ hừnh thục nhđng vắi tềi ệã lộ bộn tay ệứp
nhÊt cựa từnh yếu thđểng vộ sù chẻ che, ệỉm bảc.
Mứ tềi lộ giịo viến, cờ ệêi mứ chử lộm duy nhÊt mét

cềng viỷc lộ dỰy trĨ con hảc. Mứ thđêng dỰy
nhọng hảc sinh trung bừnh vộ khị. DỰy lị trĨ ệã
ệóng thẺt lộ khã. Bản trĨ con rÊt nghỡch ngĩm vộ
lđêi hảc... Nhđng mứ khềng nờn chÝ. Mẫi tèi, khi
ngăi hảc bến mứ nhđ chó mÌo con, tềi lỰi ngớm
nhừn ệềi bộn tay mứ ệang nớn nãt soỰn giịo ịn.
ậẳc biỷt nhọng ệếm mỉa ệềng giị rĐt, dỉ ệở nỪm
ngự trong chẽn Êm nhđng tềi vÉn nhừn bãng mứ
chÊm bội dđắi ngản ệÌn bĐ nhá. Khuền mẳt mứ
hao gẵy, mứ nhđ nÝn lẳng, viạt tõng dưng chọ ngay
ngớn.

Bàn tay mẹ chăm sóc, vỗ về tôi. Những hôm tôi
ốm, mẹ nhð thức trắng cả đêm, lo lắng cho tơi
từng thìa cháo, viên thuốc. Mẹ chða bao giờ quan
tâm đến bản thân mình. Thỉnh thoảng bàn tay mẹ
cũng phải cầm roi vì tơi... Rồi ngày tháng trôi qua,
bàn tay mẹ càng ngày càng khô gầy, nhðng với tơi

lúc nào bàn tay đó cũng đẹp nhất, q nhất trên
cuộc đời này.

Giê ệẹy, tềi ệở lến lắp sịu tỰi mét ngềi trđêng
chuyến. Mứ ểi! Con cờm ển bộn tay mứ ệở nẹng
con lến ệÓ con ệỰt ệđĩc thộnh tÝch ệã!

(6C, THCS Ngun Cao, Q Vâ, B¾c Ninh)

Bài 28. (Vô địch Bungaria, 1999, lớp 8)

Ba ệèng sái cã 51, 49 vộ 5 viến. Ta thùc hiỷn mét
trong hai nđắc ệi nhđ sau. Mét nđắc ệi lộ dăn hai
ệèng tỉy ý thộnh mét ệèng. Nđắc ệi khịc lộ chản
ệèng cã sè chơn viến sái ệÓ chia lộm hai ệèng
bỪng nhau. Hái cã thÓ thùc hiỷn mét dởy cịc nđắc
ệi nhđ thạ ệÓ chia ba ệèng sái thộnh 105 ệèng mộ
mẫi ệèng chử cã mét viến sái hay khềng?

Bài 29. (Vơ địch Belorus, 2000, vịng 4)

Cã ệăng tiÒn ệđĩc ệẳt khÝt bến nhau trong

vộ trến cỰnh mét tam giịc ệỊu. Mẫi cỰnh cã ệóng
n ệăng tiỊn. Lóc ệẵu tÊt cờ ệỊu ệđĩc ệẳt ngỏa, trõ
mét ệăng. Mẫi mét bđắc chuyÓn lộ mét lẵn chản
hai ệăng tiÒn kÒ nhau cã tẹm A vộ B, răi lẺt ngđĩc
tÊt cờ cịc ệăng tiÒn nỪm trến ệđêng thỬng AB.
Hởy xịc ệỡnh tÊt cờ cịc trỰng thịi ban ệẵu, ệÓ sao
cho tõ trỰng thịi ban ệẵu ệã, ta cã thÓ thùc hiỷn

mét sè họu hỰn bđắc chuyÓn nhỪm lộm cho tÊt cờ
mải ệăng tiỊn ệỊu lẺt óp xng.

n(n 1)
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

29

PHI ( )

SỐ VÀNG

Dđắi ệẹy lộ mét sè hừnh ờnh cã liến quan ệạn tử sè
vộng:

Kim tù th¸p lín cđa Ai Cập

in th Acropolis Athens (n Parthenon)

Nhà thờ Đức Bà (Notre Dame Cathedral)

Hoa hng dng

Đàn violin

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

30

Vo nhng ngộy giã, nạu ệang ệi ẻ cịnh ệăng hoẳc bê sềng, bê biÓn, hỬn bỰn
thÊy nhđ mừnh sớp bỡ giã thữi bay. Tuy nhiến, nạu bđắc vộo mét con ngâ nhá vắi
hai bục tđêng cao hai bến, chớc chớn bỰn lỰi thÊy giã mỰnh hển rÊt nhiÒu. Giã

nhđ thèc thỬng vộo mẳt khiạn bỰn ệi lỰi khã hển cờ lóc ẻ nểi ệăng khềng mềng
quỰnh.

Vừ sao thạ nhử? BỰn cã thĨ giời thÝch hiỷn tđĩng nộy khềng?

(9/105 Ngun Thỡ Duỷ, P. Thanh Bừnh, TP. Hời Dđểng)

SAO

THẾ NHỈ?

Mn lộm mét ngềi nhộ cẵn kiạn tróc sđ vỳ
thiạt kạ, thĩ xẹy: ệữ bế tềng, xẹy gỰch, trịt, èp
gỰch hoẳc kÝnh, thĩ sển, thĩ ệiỷn, thĩ ệđêng
èng nđắc, thĩ hộn, thĩ méc...

Muốn sửa chữa nhà cũng cần những thợ trên
tùy yêu cầu và mức độ sửa.

Muèn mét tê bịo ra ệêi cẵn cã nhộ bịo,
phãng viến viạt tin bội, chôp ờnh, biến tẺp
viến, hảa sỵ lộm cho bội lến khuền vộ gản
gộng, sịng sựa. Thđ kÝ tưa soỰn quyạt ệỡnh
dung lđĩng, vỡ trÝ ệẳt bội vộ cịch trừnh bộy (gải
lộ lộm maket), ngđêi sỏa bềng tục ngđêi ệảc

lỰi bờn in thỏ phịt hiỷn lẫi, tững biến tẺp ệảc
duyỷt, ngđêi chạ bờn (trđắc ệẹy gải lộ thĩ sớp
chọ), thĩ in, ngđêi lộm cềng tịc phịt hộnh...
BỰn NTTN muèn lộm cờnh sịt, bỰn CTN
muèn lộm bịc sỵ, bỰn NHG muèn lộm thẵy
giịo, bỰn TTTH còng muèn lộm bịc sỵ, bỰn

NVH muèn lộm bịc sỵ.

BỰn Ngun Thỡ Thu Hun, 6D, THCS Thỡ
trÊn Cao Thđĩng, Tẹn Yến, Bớc Giangcó lời
gii tốt.

Vũ Đô Quan

BAẽN SEế LAỉM NGHE Gè?

Ngy 15.02.2014, tỰi trđêng THPT chuyến
Hoộng Vẽn Thô, TP. Hưa Bừnh, Hưa Bừnh ệở
diÔn ra Héi thờo khoa hảc Cịc chuyến ệỊ
Toịn hảc băi dđìng hảc sinh giái ngđêi dẹn
téc thiĨu sè, do Héi Toịn hảc Hộ Néi phèi hĩp
vắi Sẻ GD-ậT Hưa Bừnh tữ chục. Ban tữ chục
găm: ềng NguyÔn Minh Thộnh, Giịm ệèc Sẻ
GD-ậT Hưa Bừnh, ệăng Trđẻng ban; GS.
TSKH. NGND. NguyÔn Vẽn MẺu, Chự tỡch Héi
Toịn hảc Hộ Néi, ệăng Trđẻng ban; ềng ậẳng
Quang Ngộn, Phã Giịm ệèc Sẻ GD-ậT Hưa
Bừnh, Phã trđẻng ban; ThS. Trẵn Quang ậục,
Hiỷu trđẻng trđêng THPT chuyến Hoộng Vẽn
Thô, Phã ban thđêng trùc; TS. Vị ậừnh

Chn, Vơ trđẻng Vơ Giịo dơc trung hảc, ựy
viến; GS. TSKH. Trẵn Vẽn Nhung, Tững thđ kÝ
Héi ệăng chục danh Giịo sđ Nhộ nđắc, ựy
viến. Ban chđểng trừnh găm: ThS. Trẵn Quang
ậục, PGS. TS. Trẵn Huy Hữ, ThS. Vò Kim

Thựy, PGS. TS. NguyÔn Minh TuÊn, bộ
NguyÔn Ngảc Xuẹn, TS. NguyÔn Vẽn Ngảc.
Tham dù héi thờo cã cịc héi viến Héi Toịn
hảc Hộ Néi; ệỰi diỷn tỰp chÝ Toịn Tuữi thể,
Toịn hảc & Tuữi trĨ, Nhộ xuÊt bờn Giịo dôc
Viỷt Nam; giịo viến vộ hảc sinh cựa Hưa Bừnh
vộ mét sè tửnh lẹn cẺn. TỰp chÝ Toịn Tuữi thể
ệở gỏi quộ tẳng ệạn cịc ệỰi biÓu.

PV. TTT

TIN TỨC - HOẠT ĐỘNG - GẶP GỠ

HỘI THẢO TOÁN HỌC

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

31

Hái: Anh Phó ơi! Khi giải bài dự thi Giải toán
qua th thì phải trình bày nh thế nào? Phiếu dự
thi phải dán ở đâu? Nếu dán ngoài phong bì thì
có cần dán tem nữa không ạ?

(6A, THCS Khánh Nhạc, Yên Khánh, Ninh Bình)
Đáp:

Dn tem l ể chuyển i
Nui c bđu ệiỷn ệạn kừ cã lđểng

Dán phiếu là để dự thi

Để phòng trị sự biết chia mục nào

Họ tên phải viết lên đầu

Ri tờn bi gii hay cõu s lm
Giy đừng xé vội tèm lem

Nhìn xấu anh Phó chẳng thèm đọc đâu.

Hái: Hảc sinh chóng em cã ệđĩc gỏi ệỊ cho
mơc Giời ton qua th khng ?

(7D, THCS Nhữ Bá Sỹ, TT. Bút Sơn,
Hoằng Hóa, Thanh Hóa)
Đáp:

Đề ra là việc của thầy

Bao giờ em giỏi nh thầy sẽ đăng
Em từ mục khác cho quen
Lớn lên sẽ có bài trên mục này.

Hỏi: Anh Phã ểi! Lắp trđẻng lắp em rÊt kiếu,
thẺm chÝ cưn gải cịc bỰn khịc lộ dẹn thđêng.
Theo anh bỰn Êy cã ệự tđ cịch lm lp trng
khng?

(6A3, THCS Yên Phong,Yên Phong, Bắc Ninh)
Đáp:

Lp trng lộ cịi gừ ệẹy

Trđêng cưn hiỷu trđẻng nhộ cưn mứ cha
Ra ệêi cưn sạp rẵy la

Bẹy giê hảc giái gióp ta trđẻng thộnh
Viỷc cềng cụ nhắ hoộn thộnh

đâu cũng sẽ tung hồnh dọc ngang.
Hỏi: Muốn giải một bài tốn vừa hay vừa đúng
thì phải làm thế nào hả anh Phó?

(9B, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh)
Đáp:

Bắt đầu từ nghe giảng
Phải nghe, nghĩ, nói, ghi
Nghĩ khi gặp điều mới
Nói khi thầy hỏi bài
Ghi là từ tóm lại

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

32

Bµi 1(133). Cho p vµ q là
các số nguyên tố lớn hơn 3
và thỏa mÃn p q 2. T×m
sè dð khi chia p q cho 12.
trÇn anh tn
(GV. THCS Phó Phóc,

Lý Nhân, Hà Nam)
Bài 2(133). Cho A là tập
hợp gồm 10 chữ số, A {0;

1; 2;... ; 8; 9}. B là một tập
con của A gồm 5 phần tử. Chứng minh rằng trong
tập hợp các số có dạng x y, với x và y là hai phần
tử phân biệt thuộc B, có ít nhất 2 số có cùng chữ
số hàng đơn vị.

lđu lý tđẻng
(GV. THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ, Phú Th)

Bi 3(133).Gii phng trnh

(Cao học Toán giải tích K19, Đại học Cần Thơ)

Bi 4(133).Cho a, b v c lộ nhọng sè thùc dđểng
tháa mởn abc 1. Từm giị trỡ lắn nhÊt cựa biÓu
thục

trần xuân đáng
(GV. THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định)
Bài 5(133). Biết rằng có 168 số nguyên tố nhỏ
hơn 1000. Hỏi có bao nhiêu hợp số nhỏ hơn 1000
mà không chia hết cho bất cứ s no trong cỏc s
2, 3 v 5?

trần bá duy linh
(Lớp Marketing 1, K34, Đại học Kinh tế

TP. H Chí Minh)
Bài 6(133). Cho M là một điểm nằm trong tam
giác ABC sao cho D là điểm đối

xứng với M qua trung điểm của BC. AM cắt CD tại
E, CM cắt AD tại F. Chứng minh rng t giỏc
MEDF ni tip.

(GV. THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa,
Cam Ranh, Khánh Hòa)
MBA MCA.

2 2 2

P .

1 a 1 b 1 c

2

x 4x 5 4 4 4x 7 1.

1(133). Let p and q
be prime numbers
greater than 3 such that
p q 2. Find the
remainder when p qis
divided by 12.

2(133). Let A be a set
comprising the 10 digits
A {0; 1; 2;... ; 8; 9} and
B be a subset of A that
has 5 elements.

Prove that, in the set of
numbers x y, where
x and y are distinct
elements in B, there are at least 2 numbers
having the same unit digit.

3(133).Solve the following equation

4(133). Let a, b, and c be positive real numbers
such that abc 1. Find the maximum value of the
expression

5(133). Given that there are 168 prime numbers
smaller than 1000. Find the number of composite
numbers that are smaller than 1000 and are not
divisible by any of the numbers 2, 3, and 5.
6(133). Let M be a point inside a triangle ABC
such that MBA MCA. Let D be the point of
reflection of Mthrough the midpoint of BC. Let AM
intersect CD at E, and CM intersect AD at F.
Prove that the quadrilateral MEDF is a cyclic
quadrilateral.

2 2 _{2 .}

1 1 1

P

a b c

2 ₄ _{5 4 4 4} _{7 1.}

x x x

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34></div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35></div>

<!--links-->