Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 131

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.59 MB, 36 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1></div>
(2)<div class='page_container' data-page=2></div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2

ậỡnh lÝ Menelaus, ệỡnh lÝ Ceva vộ ệỡnh lÝ Thales
ệđĩc sỏ dông rÊt hiỷu quờ trong cịc bội toịn
chụng minh ệoỰn thỬng bỪng nhau, tÝnh tử sè cịc
ệoỰn thỬng, tÝnh gãc, chụng minh ba ệiÓm thỬng
hộng, chụng minh ba ệđêng thỬng ệăng quy,...
Trong bội viạt nộy chóng tềi sỳ ệđa ra mét sè vÝ dô
hay cã sỏ dông cịc ệỡnh lÝ trến.

ậỡnh lÝ Menelaus.Cho tam giịc ABC vộ ba ệiÓm
A, B vộ C lẵn lđĩt trến cịc ệđêng thỬng BC, CA
vộ AB sao cho hoẳc cờ ba ệiÓm A, B vộ C ệÒu
nỪm trến phẵn kĐo dội cựa ba cỰnh, hoẳc mét
trong ba ệiÓm nỪm trến phẵn kĐo dội mét cỰnh vộ
hai ệiÓm cưn lỰi nỪm trến hai cỰnh cựa tam giịc.
ậiỊu kiỷn cẵn vộ ệự ệĨ A, B vộ C thỬng hộng lộ

Hđắng dÉn chụng minh.Qua C kĨ ệđêng thỬng
song song vắi AB cớt AC tỰi M.

ậỡnh lÝ Ceva. Cho ba ệiÓm D, E, F nỪm trến ba
cỰnh tđểng ụng BC, CA, AB cựa tam giịc ABC.
Khi ệã ba ệđêng thỬng AD, BE, CF ệăng quy khi
vộ chử khi

Hđắng dÉn chụng minh.Qua C kĨ ệđêng thỬng
song song vắi BE cớt AD tỰi N. Qua A kĨ ệđêng
thỬng song song vắi BE cớt CF tỰi M.

1. Bội toịn vÒ chụng minh ệoỰn thỬng bỪng nhau
Bội toịn 1. Cho tam giịc ABC vuềng tỰi C cã

ệđêng cao CK. Vỳ ệđêng phẹn giịc trong CE cựa
tam giịc ACK. ậđêng thỬng ệi qua B song song
vắi CE cớt ệđêng thỬng CK tỰi F. Chụng minh
rỪng ệđêng thỬng EF chia ệoỰn thỬng AC thộnh
hai phẵn bỪng nhau.

Gi¶i.

Ta cã

Do đó BCE cân tại B nên BC BE.

Mặt khác BF // CE nên theo nh lớ Thales ta cú

Mà BC BE nên CF BC . (1)
FK BK

CK EK CK FK EK BK CF BE .

FK BK FK BK FK BK

BEC A ACE KCB KCE BCE.
DB EC FA 1.

DC EA FB
A B B C C A 1.
A C B A C B

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA

ủũnh lớ Menelaus vaứ ủũnh lớ Ceva

nguyễn đễ

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

3

Vì CE là phân giác của nên

Mà (vì ACK CBK) nên

Từ (1) và (2) suy ra

Giờ sỏ ệđêng thỬng EF cớt cỰnh AC tỰi D. ịp
dông ệỡnh lÝ Menelaus vộo tam giịc ACK bỡ cịt
tuyạn DEF cớt cịc cỰnh ta cã

Tõ (3) vµ (4) suy ra

2. Bội toịn vỊ chụng minh ba ệiĨm thỬng hộng,
chụng minh ba ệđêng thỬng ệăng quy

Bội toịn 2.Cho hừnh bừnh hộnh ABCD. Trến cỰnh
AB lÊy ệiÓm K. Qua K kĨ ệđêng thỬng song song
vắi AD. Trến ệđêng thỬng ệã lÊy ệiÓm L bến trong
hừnh bừnh hộnh, trến cỰnh AD lÊy ệiÓm M sao cho
AM KL. Chụng minh rỪng ba ệđêng thỬng CL,
DK vộ BM ệăng quy.

Gi¶i.

Gải N lộ giao ệiĨm cựa hai ệđêng thỬng BM vộ
CL.

Ta cã tụ giịc MLKA lộ hừnh bừnh hộnh nến
ML AK. Giờ sỏ ệđêng thỬng ML cớt cỰnh BC tỰi
P. Khi ệã ta cã LP KB, MD CP. Ta sỳ chụng
minh N nỪm trến ệđêng thỬng KD.

áp dụng định lí Menelaus vào tam giác BMP bị cát

tuyÕn CLN cắt các cạnh ta có

Suy ra ba im K, N, D thẳng hàng (áp dụng định
lí Menelaus vào AMB).

VẺy ba ệđêng thỬng CL, DK vộ BM ệăng quy.
Bội toịn 3. Cho ba ệđêng trưn ệềi mét ngoội
nhau (O1), (O2) vộ (O3). Biạt tiạp tuyạn chung
ngoội cựa hai ệđêng trưn (O1) vộ (O2) cớt nhau tỰi
C, tiạp tuyạn chung ngoội cựa hai ệđêng trưn (O1)
vộ (O3) cớt nhau tỰi B vộ tiạp tuyạn chung ngoội
cựa hai ệđêng trưn (O2) vộ (O3) cớt nhau tỰi A.
Chụng minh rỪng ba ệiÓm A, B, C thỬng hộng.
Giời.

Gải bịn kÝnh cựa cịc ệđêng trưn cã tẹm O1, O2,
O3 lẵn lđĩt lộ r1, r2, r3. K, Q lẵn lđĩt lộ tiạp ệiÓm
cựa tiạp tuyạn tỰi C vắi (O2) v (O1). Khi ó

(vì các điểm C, O1, O2 thẳng
hàng và O2K // O1Q).

Tng tù
Do ệã

áp dụng định lí đảo Menelaus vào O1O2O3 thì
ba điểm A, B, C thẳng hàng.

(Xem tiÕp trang 26)

3 3

1 2 1 2

2 3 1 2 3 1

BO r

CO AO r r 1.

CO AO BO r r r

3 3

2 2

3 3 1 1

BO r

AO r ; .

AO r BO r

1 1 1

2 2 2

CO O Q r

CO O K r

BN ML PC 1 BN AK MD 1.

NM LP CB NM KB AD

AD 1 AD CD.
CD

AD CF KE 1. (4)
CD KF AE

CF AE . (3)
FK KE
AE BC . (2)

KE BK
AC BC
CK BK

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

4

Nhận xét. Đa số các bài gửi về đều biết lời giải sai

bằng cách đða ra lời giải đúng (khơng mấy khó
khăn), nhðng số bạn chỉ rõ chỗ sai lại khơng

nhiỊu. Bội giời sai ẻ chẫ: Thạ (2) vộo (3) ta ệđĩc
x( x2) 1 vộ coi ệẹy lộ phĐp biạn ệữi tđểng
ệđểng. Thùc chÊt bỪng phĐp thạ nộy ta chử ệđĩc
mét phđểng trừnh hỷ quờ cựa phđểng trừnh ệở cho.
Do ệã ệở xuÊt hiỷn nghiỷm ngoỰi lai x 1.
Lêi giời ệóng. Vắi nhẺn xĐt trến chử cẵn thỏ vộ
loỰi nghiỷm x 1 vộ kạt luẺn phđểng trừnh về
nghiỷm. Cịng cã thĨ xĐt ệiỊu kiỷn nhđ nhiỊu bội
cựa cịc bỰn gỏi vÒ:

Tõ phđểng trừnh ta cã x2 x 1.
Vừ x2 0 nến x 1 0 hay x 1.
VẺy x 1 bỡ loỰi vừ khềng tháa mởn.

Chử cã hai bỰn ệđĩc nhẺn thđẻng: NguyÔn Thỡ
Tuyạt Nhi, 9A, THCS Quạ Nham, Tẹn Yến, Bớc
Giang; NguyÔn ậục ThuẺn, 9A3, THCS Lẹm
Thao, Lẹm Thao, Phó Thả.

anh kính lúp
Trong một đề kiểm tra

toịn lắp 8 cã bội toịn sau:
Bội toịn. Cho hừnh bừnh
hộnh ABCD. Mét ệđêng
thỬng ệi qua D cớt AC,
AB, CB theo thụ tù tỰi E, F, G.

So s¸nh víi 1.

Đáp án đề kiểm tra của bài tốn này nhð sau:
Lời giải.Vì CD // AF nên

V× AD // CG nên

Do ú

Bạn có hài lòng với lời giải này không?

nguyn c tn(TP. H Chớ Minh)
DE DE EC AE AC 1.

DF DG AC AC AC

ED EA ED EA DE AE .

EG EC ED EG EA EC DG AC

DE EC DE EC DE EC .

EF EA DE EF EC EA DF AC

DE DE
DF DG

MỘT BÀI TỐN HÌNH LỚP 8

PHƯƠNG TRÌNH X

2 + X + 1 = 0 CĨ NGHIỆM THỰC?

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

5

Bạn hãy tìm một số để điền vào dấu chấm hỏi (?) cho hợp lôgic nhé.

trđểng cềng thộnh(sđu tẵm)
(TTT2 sè 129)

NhẺn xĐt.Quy luẺt cựa kừ nộy tđểng ệèi khã, rÊt dÔ nhẵm
lÉn nạu cịc bỰn khềng từm hiÓu sẹu cịc dọ kiỷn nếu ra.
Mét sè bỰn chử xĐt quy luẺt theo hộng ngang hoẳc theo cét
dảc, tuy ệịp ịn ệđa ra lộ ệóng nhđng lẺp luẺn nhđ vẺy lộ
chđa ệẵy ệự.

Quy luẺt: Theo hộng ngang (tõ trịi sang phời) vộ theo cét
dảc (tõ trến xuèng dđắi), hừnh cuèi cỉng cã tÊt cờ cịc ệẳc
ệiÓm chung cựa 2 hừnh trđắc ệã. VẺy theo quy luẺt, hừnh
cẵn ệiÒn vộo lộ hừnh B.

Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy lộ: NguyÔn Tiạn Dòng, 8A1,
THCS thỡ trÊn Phè Lu, Bờo Thớng, Lộo Cai;NguyÔn Ngảc
nh, 7A1, THCS Hộn Thuyến, Lđểng Tội, Bớc Ninh;Mai
Tiạn Thộnh, 9C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh;
NguyÔn Vẽn Cao, 8A, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng
Hưa, Hộ Néi; ậẳng Thỡ Ngảc Minh, 8B8, THCS Trđểng
Cềng ậỡnh, Lế Chẹn, Hời Phưng.

Cịc bỰn sau ệđĩc tuyến dđểng: NguyÔn Họu Duy, 6A,
THCS Quạ Nham, Tẹn Yến, Bớc Giang;NguyÔn Thanh

Bừnh, 9A1, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;
Ngun Lế Sển, 8A, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh
Phóc;Ngun Thu Hđểng, 7A1, THCS Yến Phong, Yến
Phong, Bớc Ninh; ậẫ Quang Huy, 6C, THCS Ngun
Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh.

NguyƠn Xu©n B×nh

ĐÚNG QUY LUẬT

ĐIỀN SỐ NÀO?

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

6 CÊp sè céng lộ mét dởy sè mộ hiỷu cựa sè liÒn sau vắi sè liÒn trđắc lộ mét

sè khềng ệữi. Hiỷu nộy gi l cng sai ca cấp số cộng.

Chẳng hạn d·y sè 2, 6, 10, 14... lµ mét cÊp sè cộng có công sai bằng 4 vì

4 6 2 10 6 14 10.

Bài toán.

Tìm tổng của cấp số cộng: 2, 5, 8, 11, 14.

Lêi giời.

CÊp sè céng ệđĩc biÓu diÔn bẻi hừnh vỳ bẺc thang.

Trến hừnh vỳ, ban ệẵu ta vỳ 5 hừnh chọ nhẺt trến 5 dưng, mẫi hừnh chọ nhẺt ệđĩc ghĐp bẻi cịc

hừnh vuềng cã mét cỰnh bỪng 1. TÝnh tõ trến xuèng dđắi, cịc dưng lẵn lđĩt cã 2, 5, 8, 11, 14

ề vuềng, ụng vắi diỷn tÝch cựa hừnh chọ nhẺt ệđĩc tỰo trến mẫi dưng.

Sau ệã, trến dưng 1, ta vỳ tiạp 14 ề vuềng ệÓ ệđĩc hừnh chọ nhẺt cỰnh lộ 16. Cịc dưng tiạp

theo ệđĩc vỳ thếm lẵn lđĩt 11, 8, 5, 2 vung.

Phần vẽ thêm có diện tích bằng phần ban đầu.

Tng hai phn gm hnh v ban u vộ hừnh vỳ thếm tỰo thộnh mét hừnh chọ nhẺt cã kÝch

thđắc lộ 5 16 80.

Từ đó tổng của cấp số cộng ban đầu là 2 5 8 11 14 80 : 2 40.

Đáp số:

40. Nhn xột.

Ta có thể dùng cách trên để tính tổng của những cấp số cộng bất kì.

TÍNH TỔNG CỦA CẤP SỐ CỘNG

bằng vẽ hình kẻ ô vuông

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

7

C©u 1. (1,5 ®iĨm)

a) T×m x biÕt

b) T×m x, y biÕt 2x 624 5y.
Câu 2. (3,0 điểm)

1.Cho S 2 22 23 ... 2100.
a) Chøng minh r»ng S 15.

b) T×m ch÷ sè tËn cïng cđa S.
c) Rót gän tỉng S.

2.Tững cựa n sè tù nhiến lĨ ệẵu tiến cã phời lộ mét sè chÝnh phđểng khềng? Vừ sao?
3.Chụng minh rỪng

C©u 3. (1,5 điểm)

Cho góc tù xOy. Bên trong góc xOy, vÏ tia Om vµ tia On sao cho
a) Chøng minh r»ng

b) Gäi Ot lµ tia n»m trong gãc xOy sao cho
Chøng minh r»ng tia Ot n»m trong góc mOn và
Câu 4. (3,0 điểm)

1.Cho So sánh A víi 0,01.

2.Chøng minh r»ng S (1 2 3 ... n) 7 kh«ng chia hÕt cho 10, víi n .

3.So sánh và

Câu 5. (1,0 điểm)

Tm số tự nhin cã 3 chọ sè, biạt rỪng khi chia sè ệã cho cịc sè 25, 28, 35 thừ ệđĩc cịc sè dđ lẵn lđĩt
lộ 5, 8, 15.

2010
2011

2009 2

B .

2009 2

2009
2010

2009 1

1 3 5 9999

A .

2 4 6 10000

nOt mOt.
xOt tOy.
xOn yOm.

o o

xOm 90 ; yOn 90 .

1 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1

a) 1 .

2 3 4 199 200 101 102 200

51 52 53 100

b) 1 3 5 99.

2 2 2 2

2 2 ... 2 462 2,04 : (x 1,05) : 0,12 19.
11. 13 13 . 15 19 . 21

ẹỀ THI HOẽC SINH GIỎI LễÙP 6 CẤP HUYỆN

Thời gian làm bài:120 phút (khơng kể thời gian giao đề)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

8

Bµi 1.

Cịch 1.ậđêng thỬng AD cớt BE tỰi I.
Theo giờ thiạt AE 2AC vộ CD CB

A là trọng tâm của BED
DI là trung tun cđa BED
AD 2AI.

Mµ AD BE BE 2AI
BEA vuông tại A

BA AC ABC vuông tại A.

Cỏch 2.Trờn tia đối của tia CA lấy điểm I sao cho
CI CA. Từ đó AI AE (vì AE 2AC).

Tø gi¸c ADIB là hình bình hành AD BI.

Theo giả thiết AD BE

BI BE BEI cân tại B.
BA EI ABC vuông tại A.

Nhận xét. Bài toán trên có thể phát biểu lại lµ:
AD BE khi vµ chØ khi ABC lµ tam giác vuông tại A.
Bài 5.

Cách 1.

Gi giao iểm ca PQ vắi ệđêng trưn (O) lộ K vộ
PM, PN cớt ệđêng trưn (O) lẵn lđĩt tỰi D vộ E.
Ta cã ba ệiĨm O, J, P thỬng hộng.

Mµ PJM vµ POD là các tam giác cân tại O
JM OD.

V AB tiạp xóc vắi ệđêng trưn (J) tỰi M nến JM AB

OD AB Tng tự

Mặt khác tiếp tuyến tại Q cđa (J) song song víi
BC tiÕp tun t¹i K cđa (O) song song víi BC

Gải F lộ giao ệiĨm cựa AP vắi ệđêng trưn (J) thừ

(v× ) MF NQ.

Mµ AM AN AMF ANQ (c.g.c)

Suy ra BAP CAQ.

MAF NAQ.

DPA KPE
MF NQ

KB KC BD DK KE EC

DA DK KE EA

2DA AK 2KE AK DA KE.

EA EC.
DA DB.

PMJ PDO
BE

AI
2

ThS.NguyÔn bị ệang
(Tđ vÊn chđểng trừnh phịt triĨn giịo dơc Trung hảc cựa Bé Giịo dơc vộ ậộo tỰo)

OLYMPIC TOÁN CHÂU AÂU

dành cho nữ sinh

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

9

C¸ch 2.

Tiạp tuyạn tỰi Q vắi ệđêng trưn (J) cớt cỰnh AB tỰi
E. AP cớt ệđêng trưn (J) tỰi D. PC cớt ệđêng trưn
(J) tỰi F.

Ta cã AN2 AD.AP vµ CN2 CF.CP

KĨ tia tiạp tuyạn Px chung cựa hai ệđêng trưn nhđ
hừnh vỳ.

Ta cã

Từ (1) và (2) ta có

Mà EQ BC

Vì EQ EM nªn (4)

Tõ (3), (4) suy ra

MQ ND MD NQ

ADM AQN (c.g.c)
Suy ra

Các bạn hÃy giải hai bài toán trên theo nhiều cách
khác nhé.

BAP CAQ.

EMQ AND

1 1

EMQ AEQ ABC.

2 2

AEQ ABC.

1 1

APN CPN APC ABC

2 2

AND APN ABC. (3)
2

AN AP
CN CP
AD AP . (2)

CF CP

DFP APx ACP DF// AC.

AN AD.AP. (1)
CF.CP
CN

DANH MUỳC SAÙCH TOAÙN TUOĂI THÔ

DUửNG CHO THỷ VIEẢN TRỷÔửNG HOỳC

Ngộy 29.11.2013 Nhộ xuÊt bờn Giịo dôc Viỷt Nam ệở cã cềng vẽn sè 1881/NXBGDVN gỏi Giịm ệèc
cịc Sẻ Giịo dôc vộ ậộo tỰo, Giịm ệèc cịc Cềng ty cữ phẵn Sịch - TBTH trến toộn qc vỊ viỷc xẹy
dùng: Danh mơc sịch tham khờo dỉng cho thđ viỷn trđêng hảc tõ nẽm hảc 2013 - 2014. Trong ệã cã
cịc Ên phÈm sau cựa tp chí Ton Tui th:

TÊN SáCH TáC GIả GIá BìA ĐốI TƯợNGSử DụNG

Tạp chí Toán Tuổi thơ 1 (phát hành hàng tháng) Nhiều tác giả 7.000 đ GV, HS
Tuyển chọn 10 năm Toán Tuổi thơ - Tuyển chọn

cỏc toỏn tiu hc 39.500 GV, HS

Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2011 Tiểu học Nhiều tác giả 104.000 đ GV, HS
Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2012 Tiểu học Nhiều tác giả 145.000 đ GV, HS
Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2013 Tiểu học Nhiều tác giả 145.000 đ GV, HS
Tạp chí Toán Tuổi thơ 2 (phát hành hàng tháng) Nhiều tác giả 7.000 đ GV, HS
Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2011 THCS Nhiều tác giả 104.000 đ GV, HS
Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2012 THCS Nhiều tác giả 145.000 đ GV, HS
Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2013 THCS Nhiều tác giả 145.000 đ GV, HS

Vũ Kim Thựy,
NguyÔn Xuẹn Mai,
Trẵn Thỡ Kim Cđểng

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

10

Câu 1.a) Biến đổi HPT trở thành

Nh©n theo vÕ 3 PT trªn suy ra
[(x 1)(y 1)(z 1)]2 36.

NÕu (x 1)(y 1)(z 1) 6 th×
x 1 1, y 1 2, z 1 3 nªn
x 2, y 3, z 4.

NÕu (x 1)(y 1)(z 1) 6 th×
x 1 1, y 1 2, z 1 3 nªn
x 0, y 1, z 2.

Vậy (x; y; z) (2; 3; 4), (0; 1; 2).
b) Điều kiện x 1. Biến đổi PT trở thành

VËy S {3; 2}.

Cẹu 2.a) NhẺn xĐt: Vắi a, b lộ 2 sè nguyến dđểng
thừ (a2013 b2013) (a b).

ịp dông ta ệđĩc

P 2(12013 22013 ... n2013) [(12013 n2013)
(22013 (n 1)2013) ... (n2013 12013)] (n 1);
P [(12013 (n 1)2013) (22013 (n 2)2013) ...

((n 1)2013 12013)] 2n2013)] n.

Mµ (n, n 1) 1 nên P n(n 1).
b) Nếu p 3 thì q 2.

Nếu p 3 thì (p2 1) 3. Suy ra 2q2 3.
Khi đó q 3 nên p2 19: vô nghiệm.
Vậy (p, q) (3; 2).

Chú ý. Từ 2q2 p2 1 2, suy ra p lẻ. Do đó
(p2 1) 8 hay 2q2 8. Suy ra q 2 p 3.

Cẹu 3. Quy ệăng mÉu thục hai vạ, biạn ệữi tđểng
ệđểng vộ rót gản, ta ệđĩc

a b c ab bc ca 6.
áp dụng BĐT AM - GM ta có

Suy ra đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Câu 4.

a) Vì nên tứ giác BQCR nội tiếp.

b) Vì và FC FB nªn FC, FB

thứ tự là phân giác ngồi và trong của DFP.
Do đó

Suy ra QD BD CD DS.
PF BP CP PF

BP FP CP PB DB .

BD FD CD PC DC

EFC EBC HFD
ACB AFE AQR

3 3

a b c 3 abc 3, ab bc ca 3 (abc) 3.

2 2

(x 1)(x 2) (x 1)(x 1) 6
3 x 1 2 x 2 2 x 1

(x 1)(x 2) 2 x 2 (x 1)(x 1)
2 x 1 6 3 x 1 0

( x 1 2)( x 2 x 1 3) 0.
x 1 2 x 3 (tháa m·n).

x 2 x 1 3 2x 1 2 (x 2)(x 1) 9

x x 2 (4 x)

x x 2 4 x

x 4
x 2 (tháa m·n).

(x 1)(y 1) 2
(y 1)(z 1) 6
(z 1)(x 1) 3.

Môn thi: Toán dành cho chuyên toán * Năm học: 2013 - 2014

THI TUYN SINH LP 10

THPT CHUYấN VNH PHC

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

11

Câu 1.(2,5 điểm)Tìm x biết

Câu 2.(2,5 điểm)

a) Chứng tỏ rằng 231 810 168chia hÕt cho 7.
b) Chøng tá r»ng sè 812013cã Ýt h¬n 4027 chữ số.
Câu 3.(2,0 điểm)

a) Tính

b) Cho 2013 số nguyến dđểng a1, a2,... , a2013
tháa mởn

Chụng minh rỪng Ýt nhÊt 2 trong sè 2013 sè

nguyến dđểng ệở cho bỪng nhau.

C©u 4.(3,0 điểm)
Cho hình vẽ.

Biết BE DE,

Chứng tỏ rằng AB // CD.

o o

ABE 50 , CDE 40 .

1 2 2013

1 1 ... 1 1007.

a a a

1 1 1 1

A ... .

2.5 5.8 8.11 152.155

2 1 22 3 1

a) x x b) x .

5 3 5 4 2

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7

TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU, QUẬN 1, TP. H CH MINH

Năm học: 2013 - 2014

Thi gian lm bi:90 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Do đó QD DS nên D là trung điểm QS.

c) Gäi M lµ trung điểm BC thì M thuộc đoạn thẳng
DC. Vì tứ giác BQCR nội tiếp nên

DQ.DR DB.DC. (1)

Ta sẽ chứng minh DB.DC DP.DM. (2)
ThËt vËy (2) DB.DC

DB.DC DB.DP DP.DC DB.DC
DB.CP PB.DC: đúng do ý b).
Từ (1) và (2) suy ra DQ.DR DP.DM.

VẺy tụ giịc PQMR néi tiạp nến ệđêng trưn ngoỰi
tiạp PQR ệi qua trung ệiÓm cựa BC.

Câu 5.Giả sử có 16 số thỏa mãn điều kiện bài ra.
Khi đó, ta có 16 số dð phân biệt khi chia cho 16,
trong đó có 8 số chẵn, 8 số lẻ. Suy ra trong ba số
a, b, c có cả số chẵn và số lẻ.

XĐt trđêng hĩp a, b chơn vộ c lĨ.
Cã tÊt cờ 9 sè lĨ ệđĩc tỰo thộnh lộ

Trong 8 sè lĨ ệđĩc chản, cã 5 trong 6 sè thuéc tẺp
hĩp

HiÖu 2 sè bÊt kì trong 6 số này có dạng

V 6 số ệÒu cã xi chơn mộ trong 5 sè chơn
luền cã 2 sè cã hiỷu chia hạt cho 8 nến trong 5 sè
thuéc X tăn tỰi 2 sè khi chia 16 cã cỉng sè dđ: về lÝ.
Tđểng tù, trđêng hĩp trong ba sè a, b, c cã hai
sè lĨ, mét sè chơn còng khềng xờy ra.

x c

i j 10 i j

x c x c (x x ).
X {aac, abc, bac, bbc, cac, cbc}.
aac, abc, acc, bac, bbc, bcc, cac, cbc, ccc.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

12

Bài 1(129). Tìm tất cả các số có hai chữ số
biết rằng số là bội số của 72.

Lời giải. Vì 72 8.9 và ƯCLN(8, 9) 1 nên
là béi sè cđa 72 khi vµ chØ khi M chia
hÕt cho cả 8 và 9.

M 8 khi và chỉ khi 8 nên b {0; 8}.
M 9 khi và chØ khi (6 4 a 7 2 b) 9 hay
(19 a b) 9. Suy ra (1 a b) 9.

Với b 0 thì (1 a) 9 nên a 8.

Víi b 8 th× a 9 nên a 9 (vì là số có hai ch÷
sè).

VËy

NhẺn xĐt.Cã nhiỊu lêi giời cựa cịc bỰn bỡ mớc lẫi
sai vÒ lẺp luẺn lềgic. Mét sè bỰn ệở quến khềng
loỰi nghiỷm ngoỰi lai Sau ệẹy lộ mét sè
bỰn cã lêi giời tèt: NguyÔn Duy Khđểng, 6E;
NguyÔn Thỡ Sen, 7D; NguyÔn Linh Giang, 7B,
THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng; NguyÔn Thỡ
Ngảc Anh, 6D; Trẵn Thỡ Hoộng Minh, 6C; Cao
Khớc Tẹn, 7A, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu,
Nghỷ An; Trẵn ậục Toộn, 7D, THCS Bớc Lý;
NguyÔn Thỡ Kim Ngẹn, 7B, THCS Nhẹn Nghỵa;
Trẵn Duy Long, 7D, THCS Nhẹn HẺu; NguyÔn
Hoộng Anh, 7C, THCS Tiạn Thẽng, Lý Nhẹn, Hộ
Nam; PhỰm Ngảc Hoa, 7A1, THCS Sềng Lề,
Sềng Lề; NguyÔn Hoội Phđểng, 7D, THCS Vỵnh
Tđêng, Vỵnh Tđêng; NguyÔn Lế Minh HỪng, TỰ

Hoộng NhẺt Mai, 6A1, THCS vộ THPT Hai Bộ
Trđng, Phóc Yến, Vỵnh Phóc; NguyÔn Minh
Hoộng, 6A1, THCS Supe, thỡ trÊn Hỉng Sển, Lẹm
Thao;Ngun Hoộng Nam, 7D; Vị Hoộng Nam,
Bỉi Ngảc Tẹn, 7C; THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ, Phó
Thả; Lế Vị Hoộng ậục, 6D1, THCS ậộ Nơng;
NguyÔn Minh Ngảc, PhỰm Thu Thờo, NguyÔn Anh
Chi, 6A7, THCS Chu Vẽn An, Ngề Qun, Hời
Phưng; Ngun Cờnh Tn, 6D, THPT Chuyến
Hộ Néi - Amsterdam; Tõ Anh Dòng, 7A15, THCS
Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi;NguyÔn Thỡ Hđêng,
Phan Thộnh Vinh, 6A2; Ngun Thỡ TiỊn, 6A1,
THCS Yến Phong, Yến Phong; NguyÔn Thu Lan,
6C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ; NguyÔn Thỡ Thđ,
7A1, THCS Hộn Thuyến, Lđểng Tội, Bc Ninh.

hoàng trọng hảo

Bi 2(129). Vi mi sè thùc x, kÝ hiỷu phẵn
nguyến cựa x lộ [x], lộ sè nguyến lắn nhÊt khềng
vđĩt quị x. Từm hai chọ sè tẺn cỉng cựa số

Lời giải.Ta có

Vì 720 10100 9.10100 10100 10101 7 nên

Mà 102020 720 (10202)10 (72)10 (10101 7) nªn
(10101 7)B,
víi B (10202)9 (10202)8.72 ... 10202.(72)8 (72)9.
Ta thÊy 10101 7 cã hai chữ số tận cùng là 93; 718

72.(74)4 49.24014có hai chữ số tận cùng là 49.
Suy ra hai chữ số tận cùng của A là hai chữ số tận
cùng của 93.49 hay 57.

NhẺn xĐt.Sè lêi giời gỏi vÒ khềng nhiÒu. Cịc bỰn
sau cã ệịp sè ệóng: Cao Thỡ Vẹn Anh, Ngun
Thỡ Ngảc Hun, Cao Khớc Tẹn, 7A, THCS Cao
Xuẹn Huy, DiƠn Chẹu, Nghỷ An; Trẵn Thỡ Thóy
Hộ, 7C, THCS Liến Hđểng, Vò Quang, Hộ Tỵnh.

hå Quang vinh

Bội 3(129). Giời hỷ phđểng trnh

Lời giải.Điều kiện: x y 4xy 0; x z 3xz 0;
y z 2yz 0. Đặt

Ta c a 2b 1 (1)2b c 3 (2)
3c 2a 5. (3)

x y x z y z

a , b , c .

x y 4xy x z 3xz y z 2yz

x y 2(x z) 1
x y 4xy x z 3xz

2(x z) y z 3

x z 3xz y z 2yz

3(y z) 2(x y) 5.
y z 2yz x y 4xy

2020 20 202 2

101 101

10 7 (10 7 )B

10 7 10 7

20 100
101

7 10

0 1.

10 7

2020 100 2020 20 20 100

101 101 101

10 10 10 7 7 10 .

10 7 10 7 10 7

2020 100
101
10 10
A .
10 7
ab 08.
ab 80; 98 .

ab
72b

M 64a72b

64a72b

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

13

Tõ (1) vµ (2) suy ra c a 2.

Thay vộo (3) ta ệđĩc

Suy ra Từ đó

NhËn thÊy nÕu mét trong ba sè x, y, z b»ng 0 th×
tõ (4), (5), (6) suy ra hai số còn lại cũng bằng 0,
không thỏa mÃn điều kiện của bài toán.

Vi x, y, z cng khịc 0, chia cờ hai vạ cựa (4) cho
xy, cựa (5) cho xz, cựa (6) cho yz, ta ệđĩc

Céng theo vạ cựa ba phđểng trừnh trong hỷ trến vộ
rót gản, suy ra .

Tõ ệã từm ệđĩc nến

(tháa m·n ®iỊu kiƯn).
VËy hƯ cã nghiƯm duy nhÊt lµ

NhẺn xĐt. ậẹy lộ bội toịn khềng khã. Cể bờn lộ
nhẺn ra phĐp ệẳt Èn phô vộ kỵ nẽng giời hỷ
phđểng trừnh bẺc nhÊt (hoẳc hỷ quy vÒ bẺc nhÊt)
ba Èn sè ệển giờn. Hẵu hạt cịc bỰn gỏi bội giời
ệỊu lộm ệóng.

Cịc bỰn sau ệẹy cã bội giời tèt: PhỰm Ngảc Hoa,
7A1, THCS Sềng Lề, Sềng Lề, Vỵnh Phóc;ậẳng
Quang Anh, 7A, THCS NguyÔn ChÝch, ậềng Sển,
Thanh Hãa;Ngề Thỡ Huạ, 8A, THCS Yến Phong,
Yến Phong, Bớc Ninh;NguyÔn Lỷ Giang, Lế Thỡ
Thu Uyến, Nghiếm Thỡ Ngảc nh, Vâ Thỡ Hăng
Liỷu, 8B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ
Tỵnh; KhuÊt Bờo Chẹu, 7A, THCS ThỰch ThÊt,
ThỰch ThÊt, Hộ Néi; PhỰm Thỡ BÝch Ngảc, 8B,
THCS Nhẹn ChÝnh; NguyÔn Bỉi Nam Trđêng, 8D,
THCS Bớc Lý, Lý Nhẹn, Hộ Nam;ThỰch ậục Anh,
8C, THCS Cao Xuẹn Huy, DiƠn Thộnh, DiƠn
Chẹu,Nghỷ An.

Ngun Anh Dịng

Bội 4(129).Cho cịc sè thùc dđểng a, b vộ c tháa
mởn ệiÒu kiỷn abc 1. Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa

biÓu thức

Lời giải. Vì abc 1 nên

Tng tự:

Cộng theo vạ cịc bÊt ệỬng thục trến ta ệđĩc

ậỬng thục xờy ra khi vộ chử khi a b c 1.
NhẺn xĐt. ậẹy lộ bội toịn bÊt ệỬng thục khềng
quị khã nến cã nhiÒu bỰn tham gia giời bội, ệẳc
biỷt lộ cịc bỰn ẻ cịc tửnh Vỵnh Phóc, Phó Thả,
Bớc Ninh, Hộ Néi, Hộ Tỵnh, Nghỷ An... Hẵu hạt
cịc bỰn tham gia giời bội ệỊu giời ệóng, mét sè
bỰn biạn ệữi dội mắi ệi ệạn kạt quờ. Sau ệẹy lộ
mét sè bỰn cã lêi giời tèt vộ ngớn gản: Hoộng ậục
ThuẺn, 8A; Bỉi Ngảc Tẹn, 7C, THCS Vẽn Lang,
Viỷt Trừ; Ngun Thóy Qnh, 9A2; Hoộng Phóc
ậỰt, 9A4, THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ Ninh; Bỉi
Hăng Thịi, Bỉi ậinh Hđểng, 7A3; ậinh Trảng Phó,
8A1; Vị Thỉy Linh, Ngun ậục ThuẺn, 9A3,
THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; TỰ Lế
Ngảc Sịng, 7E; Trỡnh ậục Viỷt, 7B, THPT Chuyến
Hộ Néi - Amsterdam, Hộ Néi;Trẵn Thỡ Tđêng Vy,
Nghiếm Thỡ Ngảc nh, 8B; NguyÔn HỰnh Nhung,
Trẵn NguyÔn ậục Thả, 9B, THCS Hoộng Xuẹn

Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh;NguyÔn Thanh Lẹm, Ngề
TrÝ Nguyến, 8C, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu;
NguyÔn Hăng Quèc Khịnh, 9C; NguyÔn Doởn
Quyạt, 9B, THCS ậẳng Thai Mai, Vinh, Nghỷ An;
MÉn ậục Bừnh Minh, PhỰm ậẫ Nguyỷt Anh, Chu
Thanh HuyÒn, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong;
Trẵn Thỡ Thu nh, THCS Tõ Sển, Tõ Sển, Bớc
Ninh; Hoộng Thỡ HỪng, 9A, THCS LẺp ThỰch,
LẺp ThỰch; PhỰm ậẽng Tỉng, Bỉi ậục Thộnh,
9D, THCS Vỵnh Yến, Vỵnh Yến; NguyÔn ậục Bừnh,
9B, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến; NguyÔn Thỡ
Thếm, ậẫ Thỡ Thu An, 9A1, THCS Yến LỰc, Yến
LỰc,Vỵnh Phóc;Trẵn Quèc Toờn, 8F, THCS Trẵn
Mai Ninh, TP. Thanh Hãa; NguyÔn Danh Thớng,
8D, THCS Nhọ Bị Sủ, HoỪng Hãa, Thanh Hãa;
PhỰm Viỷt Anh, 9C1, THCS Trn Phú, TP. Bc
Giang,Bc Giang.

Cao văn dũng

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1

b c c 1 c a a 1 a b b 1

a b b

a b c a b c a b a b c a b b

1 a b b 1 1. (®pcm)

a b b 1 a b b 1

2 2 2 2 2 2

bc 1 , ca 1 .

2c a a c 1 a 2a b a b 1 b

2 2 2 2 2

ab abc 1 1 .

2b c 2bc c 2bc c b c 1 c

ab bc ca

P .

2b c 2c a 2a b

6 6

(x; y; z) ; ; 3 .

25 29

6 6

x , y , z 3

25 29

1 1 1, 29 1 25,

z 3 y 6 x 6

1 1 1 1

x y z 3

1 1 2 1 1 9 1 1, , 9.

x y 3 x z 2 y z 2

x y 1

x y 4xy 5 3(x y) 2xy (4)

x z 3 2(x z) 9xz (5)

x z 3xz 5 2(y z) 9yz. (6)

y z 9

y z 2yz 5

1 a 3 9

b , c a 2 .

2 5 5

3(a 2) 2a 5 a .

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

14

Bài 5(129).Cho một đồ thị G. Giả sử e {u, v} là
một cạnh của G, tức là u và v là các đầu mút
(đỉnh) của e. Ta nói hai đỉnh u, v kề nhau và cạnh
e là nối u với v. Bậc của u, kí hiệu deg(u), là số
cạnh coi u là đầu mút. Đỉnh u gọi là đỉnh chẵn hay
lẻ tùy theo bậc của u là chẵn hay lẻ.

a) Hãy tìm tập hợp V các đỉnh, tập hợp E các cạnh
của đồ thị G sau:

b) Tìm bậc và tính chẵn, lẻ của mỗi đỉnh của G.
Lời giải. a) Tập hợp các đỉnh của đồ thị G là
V {g, h, i, j, k}.

Tập hợp các cạnh của đồ thị G là

E {{g, h}, {g, i}, {g, j}, {k, h}, {i, h}, {i, k}, {i, j}}.
b) deg(g) 3, g là đỉnh lẻ; deg(h) 3, h là đỉnh lẻ;
deg(i) 4, i là đỉnh chẵn; deg(j) 2, j là đỉnh chẵn;
deg(k) 2, k là đỉnh chẵn.

Nhận xét.Đây là bài toán dễ, là khái niệm mở đầu
của lí thuyết đồ thị (graph). Có rất đơng các bạn
gửi bài đến tịa soạn, hầu hết đều giải đúng. Một
số bạn cịn viết sai kí hiệu cạnh của đồ thị, có một
bạn sai khi gọi giao điểm của các cạnh là các đỉnh
của đồ thị.

Cịc bỰn sau ệẹy cã lêi giời tèt: Phan Nguyến
Khềi, 9A; NguyÔn Hăng Quèc Khịnh, PhỰm Quèc
Toộn, 9C, THCS ậẳng Thai Mai, Vinh, Nghỷ An;
ậẳng Quanh Anh, 7A, THCS NguyÔn ChÝch, ậềng
Sển, Thanh Hãa;NguyÔn Thỡ Thờo Phđểng, 8A;
Trẵn Vẽn ậé, 8C; NguyÔn Bỉi Nam Trđêng, 8D;
NguyÔn Minh Quẹn, Hoộng Trảng Lđĩng, 9B,
THCS ậục Lý, Lý Nhẹn, Hộ Nam;NguyÔn Khịnh
Linh, 6D; TỰ Lế Ngảc Sịng, 7E, THPT Chuyến Hộ
Néi - Amsterdam; PhỰm ậục Hiỷp, PhỰm Kú Anh,
Tõ Anh Dịng, Ngun Khớc Nam, 7A15; NguyÔn
Duy Khđểng, 8A9, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ

Néi;Ngun Thỡ Phđểng, Ngun ậục Tẹm, 8A;
Chu Thanh Hun, NguyÔn Thỡ Thanh Hđểng, 9A,
THCS Yến Phong, Yến Phong; Mai Tiạn Thộnh,
9C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh;
NguyÔn Thỡ Thếm, Ngun Thỡ Tó Linh, 9A1,
THCS Yến LỰc, Yến LỰc; NguyÔn Hoội Phđểng,
7D; NguyÔn Thanh Tẹm, 8B; NguyÔn Vẽn Hỉng,
NguyÔn Quèc Nghiến, 9C, THCS Vỵnh Tđêng,

Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Dđểng Gia Huy, 8A1;
Ngun ậục ThuẺn, 9A3; Hoộng Phóc ậỰt, 9A4;
Ngun Thanh Bừnh, ậinh Minh Hộ, NguyÔn ậục
MỰnh, 9A1, THCS Lẹm Thao, Lm Thao, Phú
Th.

TRịNH HOàI DƯƠNG

Bi 6(129).Cho tam gic ABC néi tiạp ệđêng trưn
tẹm O bịn kÝnh R vộ ệđêng cao AH bỪng M,
N theo thụ tù lộ hừnh chiạu vuềng gãc cựa H trến
AB, AC. Chụng minh rỪng M, O, N thỬng hộng.
Lêi giời.Cã hai trđêng hĩp xờy ra.

Trđêng hĩp 1. ABC nhản.

Gải K lộ giao ệiÓm thụ hai cựa AO vộ ệđêng trưn
(O).

Ta thÊy AN.AC AH2(vì AH BC và HN AC)

Do ú

Suy ra NAO KAC (c.g.c).
VËy

Tđểng tù
Tãm lỰi

ậiÒu ệã cã nghỵa lộ M, O, N thỬng hộng.
Trđêng hĩp 2. ABC khềng nhản.
Chụng minh tđểng tù trđêng hĩp 1.

NhẺn xĐt.Bội toịn nộy dƠ, rÊt nhiỊu bỰn tham gia
giời. Tuy nhiến nhiÒu lêi giời quị dội. Xin nếu tến
mét vội bỰn cã lêi giời tèt: Trẵn Thỡ Thu nh, 9A3,
THCS Tõ Sển, Tõ Sển, Bớc Ninh;Vò Thỉy Linh,
9A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;
Ngun Duy Khđểng, 8A9, THCS Giờng Vâ, Ba
ậừnh, Hộ Néi; Ngun Trung Phóc, 9A; Ngun
Hăng Quèc Khịnh, 9C, THCS ậẳng Thai Mai,
Vinh, Nghỷ An.

Ngun Minh Hµ

o o o

AOM AON 90 90 180 .

AOM 90 .

AON ACK 90 .
AN AK .
AO AC

2R (v× AH 2R)

AO.AK (v× AK 2AO 2R).

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

15

Cho d·y sè 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4,
4, 5, 5, 5, 5, 5, ... Hỏi số hạng thứ
2014 là số nào?

Thi Nht Phng
(GV. THCS Ngun Vẽn Trẫi, Cam
Nghỵa, Cam Ranh, Khịnh Hưa)

Cã rÊt nhiỊu cịch chia tam giịc ệđĩc cịc bỰn gỏi
ệạn. Xin giắi thiỷu hai cịch chia cho mẫi phẵn a,
b, c.

Gải I lộ giao ệiÓm ba ệđêng phẹn giịc cựa tam
giịc ABC. Vừ tam giịc ABC khềng cẹn nến ba
ệoỰn thỬng IA, IB, IC ệềi mét khềng bỪng nhau.

Giờ sỏ IA IB IC.

a)C¸ch 1

C¸ch 2

b)Cịch 1.Vỳ ệđêng trưn (I, IA) cớt cỰnh AB tỰi G,
cớt cỰnh BC ẻ D vộ E, cớt cỰnh AC ẻ F.

C¸ch 2

c)Cịch 1.Vỳ ệđêng trưn (I; R) (vắi r R IA, r lộ
bịn kÝnh ệđêng trưn néi tiạp ABC) cớt cỰnh AB
tỰi K, H; cớt cỰnh BC ẻ D, E; cớt cỰnh AC ẻ G, F.

C¸ch 2

NhẺn xĐt. ậa sè cịc bỰn gỏi lêi giời ệÒu cã kạt
quờ ệóng. Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy: Vi Quý
Vđểng, 8A, THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ, Phó
Thả; Ngun Vẽn Hỉng, 9C, THCS Vỵnh Tđêng,
Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; PhỰm Thỡ Thớm, 9C,
THCS NguyÔn Thđĩng HiÒn, ụng Hưa; TỰ Mai
Anh, 9A1, THCS Lđểng Thạ Vinh, Thanh Xuẹn,
Hộ Néi; NguyÔn ThuẺn Hđng, 7B8, THCS Chu
Vẽn An, Ngề QuyÒn, Hời Phưng.

Compa vui tÝnh khen bạn: Hoàng Đức Thuận, 8A,
THCS Văn Lang, TP. Việt Trì, Phó Thä.

Anh compa

SỐ HẠNG THỨ 2014

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

16

thộnh phè nả, ềng Bin nữi tiạng lộ mét
doanh nhẹn thộnh ệỰt. Gẵn ệẹy, do
hay phời ệi ệẹy ệi ệã, lỰi thếm từnh hừnh
an ninh trẺt tù cã nhiÒu phục tỰp khã lđêng nến
ềng Bin quyạt ệỡnh sỳ tuyÓn chản cho mừnh mét
vỷ sỵ.

Ngđêi trĩ lÝ cựa ềng Bin ệở từm ệđĩc 4 ụng cỏ
viến. Tuy nhiến, chản ai trong sè hả thừ ềng Bin
chđa thÓ quyạt ệỡnh ệđĩc. Cờ 4 ngđêi ệÒu cã tay
nghÒ cao vộ sục kháe tèt, biạt cẹn nhớc lùa
chản thạ nộo ệẹy? Vèn lộ bỰn cựa nhau, lỰi rÊt
tin tđẻng Sếlềccềc nến ềng Bin ệở nhê thịm tỏ
gióp ệì. Thịm tỏ vui vĨ nhẺn lêi vộ vắi kinh
nghiỷm lẹu nẽm cựa mừnh, ềng ệở cã kạ hoỰch
bÝ mẺt ệĨ gióp bỰn mừnh lùa chản.

Hềm ệã, tỰi mét nhộ hộng ệềng ệóc, ềng Bin
mêi thịm tỏ, ngđêi trĩ lÝ cỉng 4 ụng cỏ viến tắi
gẳp mẳt.

Bến mẹm cểm thẹn mẺt, ềng Bin rãt rđĩu mêi
mải ngđêi. TÊt cờ ệÒu vui vĨ nẹng cèc, trõ mét
ụng cỏ viến. Anh ta nãi mừnh khềng biạt uèng
rđĩu nến nhÊt ệỡnh khềng uèng. Ai nãi thạ nộo

anh còng khềng nghe. Thịi ệé cựa anh khiạn ềng
Bin vộ ngđêi trĩ lÝ ệÒu cờm thÊy khềng ệđĩc vui.
Mét lóc sau, khi mải ngđêi ệang ẽn uèng,
chuyỷn trư thừ bẫng cã tiạng la hĐt thÊt thanh
vảng vộo tõ bến ngoội. Hừnh nhđ cã tến cđắp tịo
tĩn xềng vộo nhộ hộng. Ngay lẺp tục, 2 ụng cỏ

viến vỷ sỵ lao ra. Ngđêi khềng biạt uèng rđĩu lóc
nởy vộ mét ngđêi nọa thừ vÉn ngăi yến bến ềng
Bin. Ngđêi trĩ lÝ cựa ềng Bin gớt lến:

- Sao 2 cậu còn ngồi ngây ra đấy? Lỡ đâu có
ai đó muốn hại ơng Bin thì sao?

Mẳc cho ngđêi trĩ lÝ quịt thịo, hai ngđêi vÉn
im lẳng vộ vÉn ệụng yến bến ềng Bin.

l¹! VƯ sÜ mµ cø ú ra, chẳng chịu xông pha gì
cả?.

Một lúc sau, 2 ứng cử viên kia chạy vào báo
cáo:

- Thđa ềng, ệở bớt ệđĩc tến cđắp!

hÊp tÊp chỰy theo. Riếng ngđêi khềng biạt uèng
Bin bùc quị, cđêi khÈy:

- Bớt ệđĩc răi mộ anh cịng khềng quan tẹm
đ? ậóng thẺt lộ...

Ngđêi vỷ sỵ vÉn im lẳng, khềng cởi cẹu nộo
còng khềng tá thịi ệé gừ.

Sau buữi ệã, thịm tỏ Sếlềccềc ệở ệđa ra ý
Bin vộ ngđêi trĩ lÝ nghe thịm tỏ phẹn tÝch còng
cờm thÊy rÊt thuyạt phôc vộ hả ệở ệăng lưng
nhÊt trÝ chản ngđêi đng ý nhÊt.

Đố các bạn biết: Thám tử Sêlơcơc đã khun
chọn ai? Vì sao?

CHỌN

vệ sú

Nguyễn Đức

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

17

Bt ngời phụ n tr

Vì nói dối lộ rồi

Chỉ nghe loáng thoáng thôi
Mà sao biết râ vËy?

Nộo mÊt cờ chiạc tói
Nộo khãc ệạn lộ thđểng
Cề phôc vô gian tham
Hởy khai ngay kĨo muén!

ậẹy lộ cẹu trờ lêi bỪng thể cựa bỰn Vò ậục Anh,
6C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninhvộ ệã
lộ cẹu trờ lêi ệóng. RÊt nhiỊu bỰn khịc cịng ệđa
ra ý kiạn nhđ bỰn ậục Anh. Tuy nhiến, mét sè
bỰn, cã lỳ do cịch phịn ệoịn chđa chẳt chỳ nến
ệở ệẳt nghi vÊn vộo chộng trai phôc vô. Ngoội
bỰn ậục Anh, nhọng bỰn sau còng ệđĩc nhẺn
phẵn thđẻng kừ nộy: PhỰm Thỡ Thóy An, 6A,
THCS Khịnh NhỰc, Yến Khịnh, Ninh Bừnh;Cao
Thỡ Vẹn Anh, 7A, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn
Chẹu, Nghỷ An; ậẳng Thỡ Thanh HuyÒn, 6/5,
THCS Lế Vẽn Thiếm, TP. Hộ Tỵnh, Hộ Tỵnh; Lế
Thộnh Tẹm, 8E, THCS Hỉng Vđểng, TP. Tuy
Ha,Phú Yn.

Thám tử Sêlôccôc

VUẽ MAT TROM TRONG QUAN AấN

(TTT2 sè 129)

BỰnậộo Bị ậẽng, 8A, THCS Tam Cđêng, Vỵnh
Bờo,Hời Phưng ệở giời bỪng bội thể ệÒ cê kừ
56 nhđ sau

Thạ cê cụ tđẻng khã ghế
Suy ệi tÝnh lỰi hÒ hÒ ra luền

D5 xe xuèng chiÕu vua

Vua ta bÝ nđắc tèt ệộnh cụu nguy
D5 tèt ệụng oai hỉng

Mã liền thấy thế d3 đi liền
Vua lại lần nữa lâm nguy
Tốt đứng e4 phóng vù d3

Chỉ đợi có thể lập cơng
F2 đang đứng đi liền f4

Lẵn nộy vua hạt nđắc ệi

Bên đen yếu thế nên đành thua thôi.

Ngoội bỰn ậẽng, cịc bỰn sau còng ệđĩc
thđẻng kừ nộy: Dđểng Lẹm Anh, 7A4, THCS
Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; TỰ Bờo
Anh Ngảc, 7E, THCS ậẳng Thai Mai, TP. Vinh,
Nghỷ An; Lế Huy Quang, 9C, THCS Vỵnh
Tđêng, Vỵnh Tđêng; NguyÔn Thanh Bừnh, 9A1,
THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả.

Lª Thanh Tó

Trắng đi trước chiếu hết sau 3 nước.

LÊ THANH TÚ

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19></div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

19 definition

định nghĩa

notation

kí hiệu

property

tính chất

assumption

giả thiết

condition

điều kiện

theorem

định lí

formula

cơng thức

formulation

phát biểu

proof

chøng minh

solution

lêi gi¶i

argument

lËp luËn

conclusion

kÕt luËn

remark

nhËn xÐt

number

sè

quantity

sè lđĩng

size

độ lớn

abstract

tãm t¾t

introduction

giíi thiƯu

references

các tham khảo

article

bài báo

paper

bài báo

publication

đăng, xuất bản

referee

phản biện

system

hệ, hệ thống

it

nó

all

tất cả

every

mọi

each

mỗi

any

bất kì, tùy ý

there is a

có một

none

không có

both

c¶ hai

either

cịi nộo cịng ệđĩc

neither

khềng cã cịi nộo

cardinal numbers

sè ệạm

ordinal numbers

sè thø tù

most

hÇu hÕt, tËn cïng

least

Ýt nhÊt

greatest

lín nhÊt

smallest

nhá nhÊt

multiples

béi

many

nhiỊu

few

Ýt

a, an

cã thĨ thay cho sè 1

some

mét vµi

one of

mét trong

mentioned earlier

ệở ệỊ cẺp trđắc ệã

that

đó

but

nhðng

as

nh là

too

quá

enough

equality

bằng nhau

difference

khác nhau

therefore

do vậy

deduce that

suy ra rằng

do vậy

vì

e.t.c

vân vân

because

vì

since

vì

then

do đó

so

do đó

TỪ THƯỜNG GẶP TRONG

báo tốn, sách tốn

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

20

đông ba (Hà Nội)
Sðu tầm
Bạn hãy thay mỗi

chọ cịi bẻi mét chọ
sè sao cho ệđĩc
phĐp tÝnh ệóng, biạt
rỪng cịc chọ cịi khịc
nhau biÓu thỡ cịc chọ
sè khịc nhau. Lêi giời

cẵn ghi râ lẺp luẺn.

1.ậẹy lộ trđêng hảc cựa chóng tềi. Trđêng cựa chóng tềi rÊt lắn, rÊt sỰch sỳ.

2.Trến giị sịch cựa tềi cã rÊt nhiÒu sịch Trung Vẽn. Giị sịch cựa tềi rÊt ngẽn nớp.
3.TiÓu Hời, ệẹy lộ vđên hoa nhộ bỰn ộ? Vđên hoa nhộ bỰn ệứp thạ!

4.Nhà của chúng tơi có nhiều đồ dùng. Đồ dùng trong nhà chúng tôi rất sạch sẽ, rất đẹp. Tơi rất
thích nhà của tơi.

Cịc bỰn cã lêi giời tèt: PhỰm Thỡ Hộ, 9D, THCS Lế Quý ậền, TP. Lộo Cai; Ngun Tiạn Dịng, 8A1,
THCS Thỡ trÊn Phè Lu, Bờo Thớng, Lộo Cai;NguyÔn Duy Khịnh, 8A1, THCS Sềng Lề; Ngun
Tuyạt Mai, 8A1, THCS Hai Bộ Trđng, TX. Phóc Yến; Lế Thỡ Phđĩng, 8E2, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh
Tđêng,Vỵnh Phóc;ậẳng Thỡ Hđêng, NguyÔn Quang Minh, 8B; Chu Thỡ Hời Yạn, 7A3; NguyÔn Thỡ
Mai, 7A4, THCS Yến Phong, Yến Phong; NguyÔn Thỡ Phđểng, 9A, THCS Trung Nghỵa, Yến Phong,
Bớc Ninh.

BÝnh Nam Hµ

ĐẾN VỚI TIẾNG HÁN

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Lêi giời. ậẹy lộ bội toịn khã. Chử cã mét vâ sỵ
nhẺn lêi thịch ệÊu lộ vâ sỵ Lế Huy Quang, 9C,
THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc. Xin
giắi thiỷu lêi giời cựa vâ sỵ Quang.

Ta thÊy

Từ đó, chú ý rằng KM BS, KN CS, suy ra

VËy KB KC.

Gải H lộ trùc tẹm cựa ABC. Chó ý rỪng BF, CE
lộ cịc ệđêng cao cựa HBC, tđểng tù nhđ trến, ta
cã LB LC.

VËy KL BC.

LÊy D, R sao cho c¸c tø gi¸c AHDF, QRKL là
những hình bình hành (R NK).

Ta thy HE NC và HD // AF, AF CF, CF // NS.
Do ú

Mặt khác, vì CHE CAF nªn

Vậy EHD CNS.
Điều đó có nghĩa là

Kạt hĩp vắi DE SN, SN RN, suy ra DE // RN.
Kạt hĩp vắi DF // RQ, EF // NQ, ta ệđĩc

DEF RNQ.

Do đó

Nãi c¸ch kh¸c 2KL HA.

NhẺn xĐt. ậđểng nhiến vâ sỵ Quang lộ ngđêi
ệẽng quang trong trẺn ệÊu nộy.

Ngun Minh Hµ
KL RQ QN 1.

HA DF FE 2
HED NCS.
HE HE EC 2NC NC.
HD AF FC 2NS NS

EHD CNS.

2 2 2 2 2 2

1 1

KB KS MB MS BF BE

4 4

1CE 1CF NC NS KC KS .

4 4

2 2 2 2 2

1 1 1 1

MB BF; MS BE; NS CF; NC CE.

2 2 2 2

BF CF BC BE CE .

21

Ngđêi thịch ệÊu:NguyÔn Minh Hộ, GV trđêng THPT chuyến ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi.

Bài toán thách đấu: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi Ao, Bo, Cotheo thứ tự là hình chiếu của A, B, C
trên BC, CA, AB; A1, A2theo thứ tự là hình chiếu của B, C trên BoCo; B1, B2theo thứ tự là hình chiếu
của C, A trên CoAo; C1, C2 theo thứ tự là hình chiếu của A, B trên AoBo.

Chøng minh r»ng S(A1B1C1) S(A2B2C2).
XuÊt xø: S¸ng t¸c.

Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.03.2014 theo dÊu bđu ệiỷn.

TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM MƯỜI BA

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

22

Bội tẺp toịn trư chểi xuÊt hiỷn trong mét sè kừ thi
Olympic toịn Quèc gia vộ Quèc tạ vắi ệÒ bội vộ
lêi giời thđêng khị ệa dỰng nến thó vỡ vộ hÊp dÉn,
rÊt thÝch hĩp vắi hảc sinh trung hảc cể sẻ. Toịn trư
chểi cã thĨ gióp phịt triĨn tđ duy suy luẺn lềgÝc,
khờ nẽng giời quyạt cịc bội toịn thùc tạ, khờ nẽng
sỏ dông vộ kạt nèi cịc kiạn thục...

1. Phđểng phịp ệỰi lđĩng bÊt biạn

ậẹy lộ mét trong nhọng phđểng phịp khị họu
hiỷu trong giời toịn trư chểi.

ậỰi lđĩng (hay tÝnh chÊt) bÊt biạnlộ ệỰi lđĩng (tÝnh
chÊt) khềng thay ệữi trong quị trừnh thùc hiỷn cịc
phĐp biạn ệữi.

Giả sử trò chơi ở một trạng thái ban đầu. Do tính
bất biến nên không thể thay đổi trạng tháitừ chẵn
thành lẻ, từ trắng thành đen, từ chia hết thành chia
có dð.... Từ đó ta có kết luận về trạng thái cuối
cùngcủa trị chơi.

BÊt biạn ệđĩc sỏ dơng ệĨ giời quyạt nhiỊu dỰng
toịn khịc nhau, khềng chử cịc bội toịn trư chểi.
BÊt biạn nhiỊu khi khã nhẺn biạt, ệĨ giời cẵn phẹn
tÝch ệĨ phịt hiỷn hoẳc tỰo ra quy luẺt bÊt biạn.
2. Phđểng phịp ệỰi lđĩng bÊt biạn trong trư chểi
Bội 1.TỰi mẫi ề cựa mét lđắi 4 4 chụa mét dÊu
céng hoẳc dÊu trõ. Mẫi lẵn, ta ệữi dÊu cựa tÊt cờ
cịc ề trến cỉng mét hộng hoẳc cỉng mét cét tõ
céng sang trõ vộ ngđĩc lỰi. Biạt ban ệẵu lđắi cã 1
dÊu céng vộ 15 dÊu trõ, hái cã thÓ ệđa lđắi vÒ
dỰng cã toộn dÊu céng ệđĩc khềng?

Giời. Thay dÊu céng bỪng sè 1 vộ dÊu trõ bỪng
1. XĐt tÝch tÊt cờ cịc sè trến lđắi. TÝch nộy bỪng
1 nạu cã sè chơn dÊu trõ vộ bỪng 1 nạu cã sè lĨ
dÊu trõ. Qua mẫi phĐp biạn ệữi, tÝch nộy khềng
thay ệữi(vừ mẫi phĐp biạn ệữi thừ tÝch cịc sè trến

hộng hay cét ệđĩc ệữi dÊu vÉn khềng ệữi).
Ban ệẵu, tÝch cịc sè trến bờng lộ 1 nến khềng
thĨ ệđa vỊ bờng cã tÝch cịc sè bỪng 1 (găm toộn
dÊu céng).

Bội 2. Trến bộn cê 8 8 cã 32 quẹn trớng vộ 32
quẹn ệen, mẫi quẹn chiạm mét ề vuềng. TỰi mẫi
bđắc ệi ngđêi chểi thay tÊt cờ cịc quẹn trớng
thộnh quẹn ệen vộ tÊt cờ cịc quẹn ệen thộnh

quẹn trớng trến mét hộng hoẳc mét cét nộo ệã.
Hái sau họu hỰn bđắc, cã thÓ cưn lỰi mét quẹn
ệen trến bộn cê khềng?

Giời.Nạu trđắc khi chuyÓn cã k quẹn ệen trến hộng
(cét) ệỡnh chuyÓn thừ sè quẹn trớng trến hộng (cét)
Êy lộ 8 k. Sau khi chuyÓn thừ hộng (cét) cã 8 k
quẹn ệen vộ k quẹn trớng. Sè quẹn ệen trến bộn
cê sau khi chuyÓn lộ (8 k) k 8 2k, l số
chn.

Vì ban đầu có 32 quân đen nên số quân đen trên
bàn cờ luôn luôn là chẵn.

Vy khềng thÓ tõ trỰng thịi 32 (sè chơn) quẹn ệen
trến bộn cê ệđa ệạn trỰng thịi cưn lỰi mét (sè lĨ)
quẹn ệen trến bộn cê ệđĩc.

Bội 3. (Về ệỡch toịn Rio Plata, 1996 - 1997)
Trến mét ệđêng trưn viạt 1996 sè 0 vộ mét sè 1.

Mét bđắc ệi cho phĐp chản mét sè vộ ệữi hai sè
liÒn kÒ cựa sè ệđĩc chản ệã, tõ 0 thộnh 1 vộ 1
thộnh 0. Hái cã thÓ ệữi tÊt cờ cịc sè 0 thộnh sè 1
ệđĩc khềng? Cẹu hái cịng nhđ vẺy nạu lóc ệẵu ta
cã 1997 sè 0?

Giời.Nhãm 1996 sè 0 thộnh 499 nhãm, mẫi nhãm
cã 4 sè 0. Lẵn thụ nhÊt chản sè ẻ vỡ trÝ thụ hai
trong mẫi nhãm vộ thùc hiỷn ệữi sè. Hai sè 0 thụ
nhÊt vộ thụ ba trẻ thộnh sè 1. Lẵn thụ hai chản sè
ẻ vỡ trÝ thụ ba vộ ệữi nèt hai sè 0 ẻ vỡ trÝ thụ hai vộ
thụ tđ. Nhđ vẺy ta ệđĩc bèn sè 0. Cụ tiạp tôc lộm
nhđ vẺy, ta ệđĩc 1997 sè 1.

Khềng thÓ ệữi tÊt cờ 1997 sè 0 vộ mét sè 1 thộnh
1998 sè 1 ệđĩc.

Thật vậy, sau mỗi phép đổi hai số liền kề (0 thành
1 và 1 thành 0) tính chẵn lẻ của tổng tất cả các số
trên vòng tròn hoặc tăng 2 đơn vị, hoặc giảm 2
đơn vị, hoặc khơng đổi. Nghĩa là, tính chẵn lẻ của
tổng các số trên vòng tròn là bất biển.

Do tững lóc ệẵu lộ 1 nến khềng thĨ biạn thộnh sè
chơn lộ 1998 ệđĩc (khi cã tÊt cờ 1998 sè 1).
Bội 4. (Chản ệéi tuyÓn Hăng Kềng tham dù IMO
2000, vưng 1)

Cã 1999 tịch uèng trộ ệẳt trến bộn. Lóc ệẵu tÊt cờ
ệỊu ệđĩc ệẳt ngỏa. TỰi mẫi bđắc ệi, ta lẺt ngđĩc

100 tịch trong sè chóng (óp thộnh ngỏa, ngỏa

BẤT BIẾN

trong tốn trị chơi

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

23

thộnh óp). Hái sau mét sè bđắc ệi, cã thĨ lộm cho
tÊt cờ chóng ệỊu óp xng ệđĩc khềng, tỰi sao?
Trờ lêi cẹu hái nộy trong trđêng hĩp chử cã 1998
tịch.

Giời. Theo quy tớc chểi, lẵn ệẵu ta phời óp 100
tịch. Sau ệã, tỰi mẫi thêi ệiÓm, giờ sỏ cã k tịch
ệang ệẳt ngỏa ệđĩc óp xuèng thừ 100 k tịch
ệang óp ệđĩc lẺt ngỏa lến. Do ệã sè cịc tịch óp
ệở tẽng lến k chiạc vộ giờm ệi 100 k. VẺy sè tịch
óp bỡ thay ệữi ệi mét sè chơn lộ (100 k) k 100
2k, lộ mét sè chơn nến tÝnh chơn lĨ cựa tững sè
cịc tịch óp khềng thay ệữi. Mộ ban ệẵu sè tịch
óp ẻ trỰng thịi chơn nến khềng thĨ lộm cho sè
tịch óp bỪng 1999 (trẻ vỊ trỰng thịi lĨ) ệđĩc.
Nạu sè tịch ngỏa lóc ệẵu lộ 1998 (sè chơn) thừ cã
thĨ óp tÊt cờ cịc tịch, cịch lộm nhđ sau: ậịnh sè
cịc tịch theo thụ tù 1, 2,, 1998. Lẵn lđĩt óp mẫi
lẵn 100 tịch, sau 18 lẵn óp ệđĩc 1800 tịch
chuyÓn trỰng thịi tõ ngỏa sang óp. Lẵn thụ 19 óp
99 tịch trong sè 198 tịch ngỏa cưn lỰi (sè 1801,
1802,, 1899) vộ lẺt ngỏa mét tịch (thÝ dô, sè 1).
Nhđ vẺy, sau 19 lẵn, sè tịch ngỏa cưn lỰi lộ 100

(sè 1 vộ 1900,, 1998). Lẵn thụ 20 óp nèt 100
tịch nộy vộ tÊt cờ 1998 tịch ệỊu bỡ óp.

Bµi 5. (Thi Olympic 30.4 lÇn 8, 2007, líp 10) Víi
mét tam thøc bËc hai, cho phÐp thùc hiƯn mét
trong hai phÐp to¸n sau:

1) Hoịn vỡ hỷ sè cựa x2vộ sè hỰng tù do.
2) Thay x bỪng x m vắi m lộ sè thùc tỉy ý.
Hái cã thÓ nhẺn ệđĩc tam thục 30x2 4x 1975
tõ tam thục x2 5x 2007 sau mét sè bđắc thùc
hiỷn liến tiạp mét trong hai phĐp toịn trến khềng?
Giời. Sau khi thùc hiỷn phĐp toịn thụ nhÊt, tam
thục bẺc hai P(x) ax2 bx c trẻ thộnh f(x) cx2
bx a. Ta thÊy biỷt thục b2 4ac khềng ệữi
sau phĐp hoịn vỡ.

Thùc hiƯn phÐp to¸n thø hai, tam thøc trë thµnh
P(x m) a(x m)2 b(x m) c ax2 (b
2am)x (am2 bm c). BiÖt thøc (b 2am)2

4a(am2 bm c) b2 4ac, cũng không đổi
sau phép biến đổi.

VẺy biỷt thục lộ mét ệỰi lđĩng bÊt biạn sau cờ
hai phĐp biạn ệữi.

Tam thục Q(x) 30x2 4x 1975 cã Q 8053,
cưn tam thục R(x) x2 5x 2007 cã R
237016 nến cờ hai phĐp toịn trến khềng thÓ nhẺn

ệđĩc tam thục Q(x) tõ tam thc R(x).

3. Kĩ thuật tô màu

Nhiu khi phi sỏng tạo bằng cách dùng kĩ thuật
tô màu để phát hiện bất biến.

Bài 6.(Vô địch Liên Xô lần thứ hai, 1968)

a) (Lắp 8, 9) Trong mét lđắi 4 4 ệđĩc ệẳt cịc dÊu

céng vộ cịc dÊu trõ nhđ trong hừnh 1. Cho phĐp
ệăng thêi ệữi dÊu tÊt cờ cịc dÊu trong cịc ề cựa
mét hộng, mét cét hoẳc trến ệđêng thỬng song
song vắi mét trong hai ệđêng chĐo chÝnh cựa hừnh
vuềng (ệẳc biỷt, cã thÓ ệữi dÊu cựa ề gãc). Chụng
minh rỪng theo quy tớc nộy ta khềng bao giê nhẺn
ệđĩc bờng cã tÊt cờ cịc ề chụa cịc dÊu céng tõ
bờng cã 15 dÊu céng vộ 1 dÊu trõ (khềng nỪm tỰi
ề gãc) nhđ hừnh 2.

H×nh 1 H×nh 2

b) (Lắp 10) Trến tÊt cờ cịc ề cựa mét bộn cê 8 8,
mét ề khềng phời ề gãc ệđĩc ệẳt dÊu trõ, cịc ề
cưn lỰi ệẳt dÊu céng. Cho phĐp ệăng thêi ệữi dÊu
tÊt cờ cịc sè trong cịc ề cựa mét hộng, mét cét
hoẳc mét ệđêng chĐo (ệđêng chĐo lộ ệđêng ệi
cựa quẹn tđĩng, nãi riếng, cã thÓ ệữi dÊu mét ề
gãc bÊt kừ). Chụng minh rỪng theo quy tớc nộy ta

khềng bao giê nhẺn ệđĩc bờng cã tÊt cờ cịc ề chử
chụa cịc dÊu céng tõ bờng ẻ hừnh 2.

Giời. a) Tề ệen tịm ề nhđ trong hừnh 2. Vừ mải
ệđêng thỬng song song vắi cỰnh hoẳc ệđêng
chĐo hừnh vuềng bao giê còng chử cớt mét sè chơn
(0 hoẳc 2) cịc ề ệen nến sau cịc phĐp ệữi dÊu
nhđ trong ệẵu bội, tÝnh chơn lĨ cựa tững sè dÊu trõ
trong cịc ề ệen ệã lộ bÊt biạn. Do ệã tõ bờng ban
ệẵu cã 1 dÊu céng vộ 15 dÊu trõ, bỪng phĐp biạn
ệữi trến ta khềng thĨ ệđa vỊ bờng cã trỰng thịi cã
16 dÊu céng.

b) Chia bộn cê 8 8 thộnh bèn lđắi 4 4 vộ ịp
dông cẹu a) cho bờng vuềng cã chụa dÊu trõ.
4. Bội tẺp

Bài 7. (Vô địch Kiev, 1974)

Cịc sè 1, 2,... , 1974 ệđĩc viạt trến bờng. Ngđêi
chểi ệđĩc phĐp thay hai sè bÊt kừ bẻi mét sè khịc
bỪng tững hoẳc bỪng hiỷu cựa cịc sè ệã. Hởy chử
ra rỪng, sau 1973 lẵn thùc hiỷn phĐp toịn ệã, sè
cưn lỰi trến bờng khềng thĨ bỪng 0.

Bài 8. (Vơ địch toàn liên bang Nga lần thứ 5,
1971, lớp 10)

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

24

1. Rachelle uses 3 pounds of meat to make 8

hamburgers for her family. How many pounds of
meat does she need to make 24 hamburgers for
a neighborhood picnic?

(A) 6 (B) (C) (D) 8 (E) 9
2. In the country of East Westmore, statisticians
estimate there is a baby born every 8 hours and a
death every day. To the nearest hundred, how
many people are added to the population of East
Westmore each year?

(A) 600 (B) 700 (C) 800 (D) 900 (E) 1000
3.On February 13 The Oshkosh Northwester listed
the length of daylight as 10 hours and 24 minutes,
the sunrise was 06:57 AM, and the sunset as
08:15 PM. The length of daylight and sunrise were
correct, but the sunset was wrong. When did the
sun really set?

(A) 05:10 PM (B) 05:21 PM
(C) 05:41 PM (D) 05:57 PM
(E) 06:03 PM

4. Peters family ordered a 12-slice pizza for
dinner. Peter ate one slice and shared another
slice equally with his brother Paul. What fraction
of the pizza did Peter eat?

(A) (B) (C) (D) (E)

5.In the diagram, all angles are right angles and
the lengths of the sides are given in centimeters.
Note the diagram is not drawn to scale. What is, X
in centimeters?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

6.A rectangular photograph is placed in a frame
that forms a border two inches wide on all sides of
the photograph. The photograph measures 8
inches high and 10 inches wide. What is the area
of the border, in square inches?

(A) 36 (B) 40 (C) 64 (D) 72 (E) 88
7. Isabella must take four 100-point tests in her
math class. Her goal is to achieve an average
grade of 95 on the tests. Her first two test scores
were 97 and 91. After seeing her score on the
third test, she realized she can still reach her goal.
What is the lowest possible score she could have
made on the third test?

(A) 90 (B) 92 (C) 95 (D) 96 (E) 97
8.

todays sale. In addition, a coupon gives a 20%
discount on sale prices. Using the coupon, the
price today represents what percentage off the
original price?

(A) 10 (B) 33 (C) 40 (D) 60 (E) 70
9.The Fort Worth Zoo has a number of two-legged
birds and a number of four-legged mammals. On
one visit to the zoo, Margie counted 200 heads
and 522 legs. How many of the animals that
Margie counted were two-legged birds?

(A) 61 (B) 122 (C) 139 (D) 150 (E) 161
10.How many 4-digit numbers greater than 1000
are there that use the four digits of 2012?

(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 12
11. The mean, median, and unique mode of the
positive integers 3, 4, 5, 6, 6, 7, are all equal.
What is the value of x?

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 11 (E) 12
12.What is the units digit of 132012?

(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9
13.Jamar bought some pencils costing more than
a penny each at the school bookstore and paid
$1.43. Sharona bought some of the same pencils
and paid $1.87. How many more pencils did
Sharona buy than Jamar?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
1
4
1

6
1
8
1
12
1
24
1
7
2
2
6
3

2012 AMC 8 PROBLEMS

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

25

14. In the BIG N, a middle school football
conference, each team plays every other team
exactly once. If a total of 21 conference games
were played during the 2012 season, how many
teams were members of the BIG N conference?
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10
15. The smallest number greater than 2 that
leaves a remainder of 2 when divided by 3, 4, 5,
or 6 lies between what numbers?

(A) 40 and 50 (B) 51 and 55
(C) 56 and 60 (D) 61 and 65
(E) 66 and 99

16.Each of the digits 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, and 9
is used only once to make two five-digit numbers
so that they have the largest possible sum. Which
of the following could be one of the numbers?

(A) 76531 (B) 86724

(E) 97403

17.A square with integer side length is cut into 10
squares, all of which have integer side length and
at least 8 of which have area 1. What is the
smallest possible value of the length of the side of
the original square?

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
18. What is the smallest positive integer that is
neither prime nor square and that has no prime
factor less than 50?

(A) 3127 (B) 3133

(E) 3149

19.In a jar of red, green, and blue marbles, all but

6 are red marbles, all but 8 are green, and all but
4 are blue. How many marbles are in the jar?
(A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 12
20. What is the correct ordering of the three
numbers and , in increasing order?

(A) (B)

(E)

21.Marla has a large white cube that has an edge
of 10 feet. She also has enough green paint to
cover 300 square feet. Marla uses all the paint to
create a white square centered on each face,
surrounded by a green border. What is the area of
one of the white squares, in square feet?

(A) (B) 10 (C) (D) 50 (E)

22.Let R be a set of nine distinct integers. Six of
the elements are 2, 3, 4, 6, 9, and 14. What is the
number of possible values of the median of R?
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8
23.An equilateral triangle and a regular hexagon
have equal perimeters. If the area of the triangle
is 4, what is the area of the hexagon?

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) (E)

24.A circle of radius 2 is cut into four congruent
arcs. The four arcs are joined to form the star
figure shown. What is the ratio of the area of the
star figure to the area of the original circle?

(A) (B) (C) (D) (E)

25.A square with area 4 is inscribed in a square
with area 5, with one vertex of the smaller square
on each side of the larger square. A vertex of the
smaller square divides a side of the larger square
into two segments, one of length a, and the other
of length b. What is the value of ab?

(A) (B) (C) 1 (D) 1 (E) 4
2
2
5
1
5
3
1
2
1
4
6 3
4 3
50 2
10 2
5 2

7 5 9

21 19 23

5 9 7

19 23 21

9 5 7

23 19 21

5 7 9

19 21 23

9 7 5

23 21 23

9
23
5 7,

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

26 MỘT SỐ ỨNG DỤNG ...

(TiÕp theo trang 3)

3. Bài toán về góc

Bi ton 4. Cho ba ệđêng thỬng a, b vộ c cớt
nhau tỰi ệiÓm K tỰo thộnh hai gãc nhản bỪng
nhau nhđ hừnh vỳ. Trến ệđêng thỬng a lÊy hai
ệiÓm A1vộ A2, trến ệđêng thỬng b lÊy hai ệiÓm B1
vộ B2 sao cho giao ệiÓm cựa A1B1 vộ A2B2 lộ
ệiÓm C1thuéc c. Gải C2lộ giao ệiÓm cựa cựa cịc
ệđêng thỬng A2B1 vộ A1B2. Chụng minh rỪng

Gi¶i.

Gải C3lộ giao ệiÓm cựa cịc ệđêng thỬng KC1 vộ
A1B2.

áp dụng định lí Ceva vào tam giác B2KA1ta có

Mẳt khịc ệđêng thỬng A2B1 cớt hai cỰnh KB2,
KA1 vộ phẵn kĐo dội cỰnh A1B2 cựa tam giịc
B2KA1 nến ịp dơng ệỡnh lÝ Menelaus ta cã

Tõ (1) vµ (2) suy ra

Theo giả thiết ta có nên ta có

Từ (3) vµ (4) ta cã

Suy ra KC2 lộ ệđêng phẹn giịc ngoội cựa tam
giịc A1KB2, tõ ệã KC2 KC3.

VËy

Bµi tËp vËn dơng

Bội 1.Cho tam giịc nhản ABC dùng ra phÝa ngoội
tam giịc cịc tam giịc cẹn ệăng dỰng ABC, ABC,
ABC. Cịc tam giịc cẹn nộy cã cịc cỰnh ệịy
tđểng ụng lộ BC, AC vộ AB. Chụng minh rỪng cịc
ệđêng thỬng AA, BB vộ CC ệăng quy.

Bội 2.Cho tam giịc ABC cã trung tuyạn BM. Trến
tia ệèi cựa tia MB lÊy ệiÓm N. Qua N vỳ ệđêng
thỬng cớt cịc ệđêng thỬng AM vộ AB lẵn lđĩt tỰi
P vộ Q. Cịc ệđêng thỬng QM vộ NC cớt nhau tỰi
E; cịc ệđêng thỬng BE vộ AC cớt nhau tỰi F.
Chụng minh rỪng PM MF.

Bội 3. Cho tam giịc ABC vuềng tỰi C cã ệđêng
cao CK. KĨ ệđêng phẹn giịc CE cựa tam giịc
ACK. Gải D lộ trung ệiÓm cựa AC, hai ệđêng
thỬng DE vộ CK cớt nhau tỰi F. Chụng minh rỪng
BF // CE.

Bội 4.Cho tam giịc ABC cã trung tuyạn AD. Trến
AD lÊy ệiÓm K sao cho AK : KD 3 : 1. Hái ệđêng
thỬng BK chia diỷn tÝch tam giịc ABC theo tử sè
nộo?

o
1 2

C KC 90 .

1 2 1

2 2 2

A C KA .

B C KB

1 3 1

2 3 2

A C KA . (4)

B C KB

2 3 1 3

B KC A KC

2 3

1 1 2 1 2 2 1 2

1 2 3 1 2 1 2 1 2 2

2 3 2 2 1 2 1 3

1 3 1 2 2 2 2 3

B C

KB A A KB B C A A

B B C A A K B B A C KA

B C B C A C A C . (3)

A C A C B C B C

1 2 2 1 2

1 2 1 2 2

KB B C A A 1. (2)

B B A C KA

2 3

1 1 2

1 2 3 1 2

B C

KB A A 1. (1)

B B C A A K

o
1 2

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

27 Vui vui về ngựa

- Tõ ngớn nhÊt ệđĩc dỉng ệÓ

chử ngùa lộ tõ chử cã 2 chọ cịi

trong tiạng ệỡa phđểng ẻ mét

vỉng thuéc Mềng Cữ. Cưn tõ dội nhÊt găm

hển 30 chọ cịi, ệđĩc mét bé lỰc ngđêi da ệá

sỏ dơng.

-

ẻ

xụ sẻ cã nhiỊu bẽng tuyạt lộ New Zealand

cã mét gièng ngùa cã bé lềng khềng thÊm

nđắc.

- Ngđêi ta ệở tõng ghi nhẺn ệđĩc trđêng hĩp

mét con ngùa mứ sinh 19 ngùa con cỉng mét

lóc.

- Nguy cể mớc bỷnh tiÓu ệđêng ẻ nhọng

ngđêi chẽn ngùa thÊp hển 50% so vắi nhọng

ngđêi lộm nghÒ khịc.

- Trến thạ giắi cã 23 dẹn téc coi ngùa lộ loội

vẺt thẵn thịnh, linh thiếng. Mét bé lỰc ẻ chẹu

Phi cưn quan niỷm: Ai bỡ chạt vừ nhọng lÝ do

liến quan tắi ngùa thừ linh hăn sỳ ệđĩc lến

ngay thiến ệđêng.

- Nạu ệẳt trđắc mẳt ngùa mét thỉng cộ phế

vộ mét thỉng ca cao thừ 4/5 trđêng hĩp ngùa

sỳ chản cộ phế.

- Ngùa cã khờ nẽng ệỡnh hđắng tuyỷt vêi.

ậếm ệen, bởo tuyạt hay giã mđa ệỊu khềng

lộm chóng lỰc lèi.

- Ngùa võa ngự ệụng võa ngự nỪm. Khi cờm

thÊy chđa thùc sù an toộn hoẳc chđa quị

mỷt, ngùa thđêng võa ệụng võa lim dim, gộ

gẺt... Cưn nhọng lóc hoộn toộn bừnh an hoc

- Góc nhìn của ngựa rất rộng, gần nh là hình

tròn. Chúng có thể nhìn thấy hầu hết mọi thứ

phía sau mà không cần ngoái đầu lại.

- Sn khấu xiạc ệđĩc xẹy dùng theo... ngùa.

Sẹn khÊu xiạc tiếu chuÈn luền cã ệđêng kÝnh

gẵn 13 m - kÝch thđắc ệđĩc coi lộ phỉ hĩp

nhÊt ệÓ ngùa cã thÓ phi nđắc ệỰi mộ khềng

lộm ngđêi ệang cđìi bỡ ngở.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

28 Mỉa xuẹn lộ mỉa ệẵu tiến cựa nẽm. Cã phời vừ thạ mộ nã

ệđĩc thiến nhiến đu ịi?

Cẹy cèi ệẹm chăi nờy léc, phỉ sa thớm ệá. Tiạng chim

cuèi vđên, ệẵu ngâ rÝu ran nhđ mêi gải mẫi ngđêi hởy gẵn

nhau hển cho thịng ngộy tđểi ệứp.

Mïa xu©n...

Thạ răi nhđ quy luẺt cựa tỰo hãa, mỉa xuẹn còng phời

nhđêng chẫ cho mỉa hỰ, mỉa thu, mỉa ệềng.

Ba mïa tr«i qua, cã ai còn nhớ mùa xuân?

Hay khi cy cối m chi, ting chim rÝu ran thừ ta mắi nhđ

Bẻi vừ mỉa xuẹn lộ mỉa ệẵu tiến cựa nẽm. Vỡ trÝ Êy ệẹu

chử xịc ệỡnh vưng tuẵn hoộn cựa ệÊt trêi mộ cưn nhớc mẫi

ngđêi: sù khẻi ệẵu cựa bao dù ệỡnh, đắc mể ệở ệạn.

Nạu khềng sao con chim lỰi hãt, léc biạc lỰi ệẹm chăi?

Mỉa xuẹn...

NguyÔn Phđểng Linh

I am a book

- ệã lộ ệịp ịn cựa cẹu ệè vui

bỪng thể

What I am?

mộ Chự Vđên ệđa ra

trến TTT2 sè 129. Nhọng trang sịch ệđĩc vÝ

nhđ nhọng chiạc lị mộu trớng chụa ệẵy cịc

kÝ tù mộu ệen - mộ khi ệảc nhọng kÝ tù ệã

chóng ta cã thĨ từm thÊy bao ệiỊu bữ Ých.

RÊt nhiÒu bỰn cã cẹu trờ lêi nhđ vẺy, tuy

nhiến, cịng cã nhiỊu bỰn lỰi ệđa ra mét sè

lêi giời khịc, chđa thùc sù thuyạt phôc.

Chự Vđên xin gỏi quộ tắi:

NguyÔn Quang

Minh

, 7A1, THCS ậăng Cđểng, Yến LỰc;

NguyÔn Hđểng Giang

, 6A3, THCS vộ THPT

Hai Bộ Trđng, TX. Phóc Yến,

Vỵnh Phóc

;

ậẳng Quang Anh

, 7A, THCS NguyÔn ChÝch,

ậềng Sển,

Thanh Hãa

;

Vâ Hỉng TuÊn

, 7A,

THCS Đặng Thai Mai, TP. Vinh,

Nghệ An

;

Đặng Thị Thanh Huyền

, 6/5, THCS Lê Văn

Thiêm, TP. Hà Tĩnh,

Hà Tĩnh

.

Ch Vđên

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

29 hð chứng minh của nhà toán học

nổi tiếng Pythagore của Ai Cập thì

nếu một tam giác vng với độ dài

hai cạnh góc vng là 1 thì độ dài cạnh

huyền sẽ là

Sè nộy ệđĩc coi lộ hỪng sè Pythagore vộ cã

thÓ dỉng nã ệÓ xịc ệỡnh ệé dội ệđêng chĐo

cựa mét hừnh vuềng.

ậỡnh lÝ Pythagore còng cung cÊp mét phđểng

phịp cho cịc nhộ kiạn tróc vộ xẹy dùng nếu

ra mét gãc vuềng. LÊy vÝ dô, trong hừnh vỳ thừ

gãc ệèi diỷn vắi cỰnh dội 5 sỳ lộ mét gãc

vuềng vừ 3

4

5 .

Ngđêi Ai CẺp ệở dỉng phđểng phịp ệo cỰnh

tam giịc ệÓ tỰo ra nhọng gãc vuềng ẻ kim tù

thịp.

sềng hđểng

(Hộ Néi)

2 2

1 1 2 1,4142.

1,4142

CĂN BẬC HAI CUA 2

Siêu thị có ở Mỹ từ 1930, có ở châu Âu

từ 1946.

Từ 1920 th từ c chuyển từ chu ằu

qua chẹu Mủ bỪng mịy bay.

Từ 1882 ở Pháp, tất cả trẻ em từ 7 tuổi

đều phải đi học.

Nđắc Phịp cã 27000000 ngđêi lao ệéng.

Dẹy chuyÒn sờn xuÊt ề tề ệẵu tiến cã ẻ

Mủ nẽm 1890.

Nẽm 1800 cưn 3/4 sè ngđêi lao ệéng ẻ

chẹu ằu lộm nềng nghiỷp. ậạn nẽm 2000

chử cưn 3% sè ngđêi lao ệéng lộ nềng dẹn.

Gutenberg, ngđêi ậục phịt minh ra cịch

in sịch tõ giọa thạ kử XV. NghỊ in ra ệêi tõ

ệÊy.

Internet xt hiƯn ë Mỹ từ 1965-1968.

Vũ Đô Quan

BAẽN CO BIET

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

30 gy nhá bỰn gẳp

cịc thẵy, cề giịo

hộng ngộy. BỰn

ệở phẵn nộo hiĨu nghỊ dỰy

hảc lộm gừ. Thẵy hiỷu trđẻng lộm gừ bỰn cịng

hiĨu sể sể răi nhử? Thẵy, cề vộ thẵy hiỷu

trđẻng chỡu sù giịm sịt cựa thanh tra. ậạn

bỷnh viỷn bỰn gẳp bịc sỵ, y sỵ, y tị, nha sỵ,

dđĩc sỵ. Trđắc nọa, khi bĐ hển bẹy giê, bỰn

cưn gẳp cề bờo mÉu. ậi siếu thỡ vắi mứ, bỰn

gẳp nhẹn viến bịn hộng, nhẹn viến thu

ngẹn,... Phô trịch gian hộng lộ trđẻng gian

hộng. Muèn cã hộng bịn ẻ siếu thỡ cẵn cã

nhẹn viến phô trịch mua hộng. Hộng ệÓ

trong kho cã ngđêi coi kho (thự kho) trềng giọ.

Ra chĩ bỰn gẳp ngđêi bịn thỡt, ngđêi bịn cị,

nhọng ngđêi bịn cịc mẳt hộng khịc nọa:

rau, bịnh, hoa quờ... BỰn cưn thÊy bịc thĩ

giẵy, cớt tãc, nhuém tãc. ậÊy lộ cịc nghÒ

nghiỷp bỰn hay thÊy. Theo bỰn, muèn lộm

mét ngềi nhộ thừ cẵn nhọng ngđêi thĩ lộm

nhọng nghÒ gừ? Muèn sỏa chọa nhộ hay gải

chung lộ dỡch vô vÒ nhộ cỏa thừ cẵn nhọng thĩ

nộo? Cưn bỰn, lắn lến bỰn sỳ lộm nghÒ gừ?

Nạu lộm nghÒ ệã bỰn sỳ phời lộm nhọng viỷc

gừ? Muèn mét tê bịo ra ệêi thừ phời cã nhọng

cềng viỷc gừ?

bÝnh nam hµ

BẠN SẼ

LÀM NGHỀ GÌ?

(TTT2 sè 129)

Cịc bỰn sau nhẺn giời:

TrẵnThỡ DiÔm Quúnh

,

7G, THCS ậẳng Thai Mai, TP. Vinh,

Nghỷ

An

;

Chu Thỡ Hời Yạn

, 7A3, THCS Yến Phong,

Yến Phong,

Bớc Ninh

;

NguyÔn Phđểng

Thờo

, 9A, THCS Nam Cao, LÝ Nhẹn,

Hộ

Nam

;

Ngun Tiạn Dịng

, 8A1, THCS Thỡ

trÊn Phè Lu, Bờo Thớng,

Lộo Cai

;

Vị Hoộng

Nam

, 7C, THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ,

Phó Thả

.

NXM

BAạO VAử ÁP THẤP NHIEẢT ứỚI

Cấp gió

Tốc độ gió (m/s)

1 0,3 - 1,5

2 1,6 - 3,3

3 3,4 - 5,4

4 5,5 - 7,9

5 8,0 - 10,7

6 10,8 - 13,8

7 13,9 - 17,1

8 17,2 - 20,7

9 20,8 - 24,4

10 24,5 - 28,4

11 28,5 - 32,6

12 32,7 - 36,9

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

31

Hái: Em hảc rÊt dèt mền VẺt lÝ. Anh cã
phđểng phịp gióp em hảc tèt mền ny c
khng ?

Phạm Thị Hải Anh

(6A, THCS Phan Bội Chu, th trấn T K,
Hi Dng)

Đáp:

Vật lí khoa học thùc hµnh

ậi kÌm lÝ thuyạt toịn thềng minh
Quan sịt thđêng ngộy vộ giời thÝch
Gớn ệiÒu ệđĩc hảc vắi xung quanh
Thuéc thềng lÝ thuyạt lộm bội tẺp
ThÝ nghiỷm chđa lộm thỏ hừnh dung
Nhọng gừ ệển giờn thừ ịp dông
Cịi LÝ cựa VẺt răi sỳ quen.

Hái:Anh Phã ểi! Em vộ cịc bỰn bá chung bội
giời vộo mét phong bừ ệÓ gỏi thừ có c khng
?

Nguyễn Huy Thành Nam

(7D, THCS Nhữ Bá Sỹ, thị trấn Bút Sơn,
Hoằng Hóa, Thanh Hóa)

Đáp:

iu ny anh ó tr li

Đừng quên tên tuổi và nơi học hành

Quan trọng là phải tự mình

Dự thi sẽ giỏi sẽ thành tài năng
Rồi ngồi nhớ tuổi trăng rằm

Gửi chung bài giải råi nh»m gi¶i cao.

Hỏi: Anh Phó ơi! Hạn nộp bài giải là ngày
nào và nếu vẫn nộp đúng hẹn nhðng muộn hơn
các bn khỏc thỡ cú b thit khụng ?

Hoàng Anh Quân

(Số 8 ngõ 163 Nguyễn Khang, Cầu Giấy, Hà Nội)

Đáp:

Np mun đúng hạn hì hì
Nghe ra cứ thấy kì kì làm sao

Thi gì cũng có thời gian

Không qua giới hạn hoàn toàn ôkê
Dấu tem bu điện còn kia...

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

các Líp 6 & 7

Bội 1(131). Cho m vộ n lộ
cịc sè nguyến dđểng tháa
mởn phẹn sè tèi giờn vộ

phẹn sè khềng tèi
giờn. Từm đắc chung lắn nhất
ca 4m 3n v 5m 2n.

nguyễn Đễ(Hải Phòng)
Bài 2(131).So sánh

tống thành vũ
(Cao học toán K5, Đại học Hồng Đức, Thanh Hóa)

các Lớp THCS

Bi 3(131).Gii phng trnh

bùi hải quang
(GV. THCS Văn Lang, Việt Trì, Phú Thọ)

Bi 4(131).Cho cịc sè thùc dđểng a, b vộ c thuéc
ệoỰn [3; 5]. Chụng minh rỪng

hă ệục khịnh
(HS. 11 toịn, THPT chuyến Quờng Bừnh)
Bội 5(131). Vắi mẫi sè nguyến dđểng n, gải Anlộ
sè nguyến dđểng cã 2nchọ sè vộ cịc chọ sè ệÒu
bỪng 1. Chụng minh rỪng sè An cã Ýt nhÊt n đắc
sè nguyến dđểng phẹn biỷt lộ nhọng sè ệềi mét
nguyến tè cỉng nhau.

trẵn bị duy linh
(Lắp Marketing 1, K34,

ậỰi hảc Kinh tạ TP. Hă ChÝ Minh)
Bội 6(131).Tõ ệiÓm P bến ngoội ệđêng trưn tẹm
O, kĨ cịc tiạp tuyạn PA, PB tắi ệđêng trưn (O), vắi
A vộ B lộ nhọng tiạp ệiÓm. Gải C, D lộ nhọng ệiÓm
thuéc cung lắn AB sao cho AC BD; I lộ giao ệiÓm
cựa AD vắi BC; M lộ trung ệiÓm AI. Chụng minh
rỪng P, M, C thỬng hộng.

trẵn Quèc luẺt
(HS. 10A1, THPT Cao Thớng, Hđểng Sển, Hộ Tỵnh)

ab 1 bc 1 ca 1 a b c.

3 3x 12x 7 3 x2 3x 2 x 1.

1 1 1 1

A 1 ... ,

1008 3 5 2013

1 1 1 1 1

B ... .

1007 2 4 6 2014

4m 3n

5m 2n
m

32

1(131).Letmandnbe positive integers such that the fraction is irreducible
and the fraction is not irreducible. Find the greatest common divisor
of 4m 3nand 5m 2n.

2(131).Compare the values of AandBwhere

3(131).Solve the following equation.

4(131).Leta,b, and cbe positive real numbers in the range of
[3; 5]. Prove that

5(131).For each positive integer n, let Anbe the number having 2ndigits which are all equal to 1. Prove
that Anhas at least ndistinct positive divisors which are pairwise coprime.

6(131).From the point Poutside a circle centered at O, draw the tangent lines PAandPBwhereAand
B are points of tangents. Let C and D be points on the major arc AB such that AC BD, I be the
intersection of ADandBC, and Mbe the midpoint of AI. Prove that P,M, and Care collinear.

ab 1 bc 1 ca 1 a b c.

x x x x x

3 3 12 7 3 2 3 2 1.

2
A

1 1 1 1 ... 1 ,

1008 3 5 2013

1 1 1 1 ... 1 .

1007 2 4 6 2014

m n
m n
4 3
5 2
m
n

phiếu

đăng kí

tham dự

cuộc thi

GTQT

năm học

2013-2014

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34></div>
(35)<div class='page_container' data-page=35></div>
(36)<div class='page_container' data-page=36></div>