Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (389.71 KB, 30 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1990 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

Phân tích biểu thức sau thành nhân tử:

4 4 4 2 2 2 2 2 2 2

2 2

a b  c a b a b c  c a
Câu 2.

a) Cho biết 2 2.

1 3

x

x  x   Hãy tính giá trị của biểu thức:

2
4 2 .

1
x
P

x x



 
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2
4 2 .

1
x
Q

x x



 
Giá trị lớn nhất đó đạt được tại giá trị nào của .x

Câu 3.

Cho biểu thức ( )P n anbnc, trong đó a b c, , là những số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu với mọi
giá trị nguyên dương của n P n, ( )luôn chia hết cho m (m là số nguyên dương cố định), thì b2 phải chia hết cho

m

Với ví dụ sau đây hãy chứng tỏ rằng không thể suy ra b chia hết cho m:
( ) 3n 2 3

P n   n (xét m4)
Câu 4.

Cho đa giác lời sáu cạnh ABCDEF. Gọi M I L K N H, , , , , lần lượt là trung điểm của các cạnh

, , , , , .

AB BC CD DE EF FA Chứng minh rằng các trọng tâm của hai tam giác MNL và HIK trùng nhau.

Câu 5.

Giả sử trong một trường hợp có n lớp ta ký hiệu am là số học sinh của thứ ,m dk là số lớp trong đó mỗi lớp có
ít nhất k học sinh, M là số học sinh của lớp đông nhất. Chứng minh rằng:

a) a1a2 ... and1d2 ... dM.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1991 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

a) Rút gọn biểu thức: A 32 34 26 4416 6 .

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P



xy

 

5 y z

 

5 z x



5.
Câu 2.

a) Cho các số a b c x y z, , , , , thỏa mãn:

0
0.
0

x y z

a b x

a b c

   




   




   


Hãy tính giá trị của biểu thức: Qxa2yb2zc2.

b) Cho bốn số thực a b c d, , , đều không âm và nhỏ hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
0    a b c d ab bc cdda2

Khi nào đẳng thức xảy ra?
Câu 3.

Cho trước a và d là những số nguyên dương. Xét tất cả các số có dạng như sau:

, , 2 ,..., ,...

a ad a d and

Chứng minh rằng trong các số đã cho có ít nhất một số mà 4 chữ số đầu tiên của nó là 1991.
Câu 4.

Trong một cuộc hội thảo khoa học có 100 người tham dự. Giả sử mỗi người đều quen biết với ít nhất 67 người.
Chứng minh rằng có thể tìm được một nhóm 4 người mà bất kỳ 2 người trong nhóm đó đều quen biết nhau.
Câu 5.

a) Cho hình vng ABCD. Lấy điểm M nằm trong hình vuông sao cho MAB MAB15 .0 Chứng minh rằng
tam giác MCD là tam giác đều.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1992 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (khơng kể thời gian phát đề)

Câu 1.

a) Tìm tất cả các số nguyên n để n42n32n2 n 7 là số chính phương.
b) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a  b c 1. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1

2 2 2

a  bcb  cac  ab

Câu 2.

Cho a là tổng các chữ số của

 

29 1945,blà tổng các chữ số của .a Tìm tổng các chữ số của b.
Câu 3.

Cho tam giác ABC. Giả sử đường phân giác trong và ngồi của góc A lần lượt cắt đường thẳng BC tại D L, .
Chứng minh rằng nếu ADAK thì 2 2 2

4 ,

AB AC  R trong đó Rlà bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
.

ABC

Câu 4.

Trong mặt phẳng kẻ 1992 đường thẳng sao cho khơng có 2 đường nào song song và khơng có ba đường nào
đồng quy. Tam giác tạo bởi ba đường thẳng trong số các đường thẳng đã cho gọi là "tam giác xanh" nếu nó khơng
bị đường thẳng nào trong số các đường thẳng còn lại cắt.

a) Chứng minh rằng số tam giác xanh khơng ít hơn 664.

b) Chứng minh kết luận mạnh hơn: Số tam giác xanh khơng ít hơn 1328.
Câu5.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1994 
MÔN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

Giải hệ phương trình:



















2
4

4 .

x y y z xy z

y z z x yz x

z x x y zx y

   


   


   


Câu 2.

Tìm tất cả các cặp số nguyên



x y,



thỏa mãn phương trình:





2 2

12x 6xy3y 28 xy

Câu 3.

Xác định các giá trị nguyên dương n với n3 sao cho n! chia hết cho B    1 2 3 ... n.
Câu 4.

Cho a b c, , là các số thực lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

3 3 3

4 4 4

1 1 1 1 1 1

1a1b1c1 ab 1 bc 1 ca
Câu 5.

Cho tam giác ABC có ABAC.

a) Chứng minh rằng nếu BAC200 thì ln tìm được các điểm D và K trên các cạnh AB và AC sao cho
.

AD AKKCCB

b) Ngược lại, chứng minh rằng nếu tồn tại các điểm D và K trên các cạnh AB và AC sao cho

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1995 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

Cho hai số thực x y, thỏa mãn



x x23



y y23



3.
Tính giá trị của biểu thức E x y.

Câu 2.

Giải hệ phương trình:

1
3.
1

x xy y

y yz z

z zx x

   


   


   



Câu 3.

Cho hai số thực không âm x y, thỏa mãn x2y21. Chứng minh rằng:

3 3
1

1.
2x y 
Câu 4.

Tìm số ngun có chín chữ số Aa a a b b b a a a1 2 3 1 2 3 1 2 3, trong đó a10 và b b b1 2 3 2a a a1 2 3 đồng thời A có thể
viết được dưới dạng A p p p p12 22 32 42 với p1, p2, p3, p4 là bốn số nguyên khác nhau.

Câu 5.

Cho đường tròn

 

O và hai dây cung AB CD, cắt nhau tại I với I nằm trong đường tròn. Gọi M là trung điểm
của BD, MI kéo dài cắt AC tại N. Chứng minh rằng:

2
2.

AN AI

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1996 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (khơng kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

Giải phương trình:



x 1 1



32 x  1 2 x.
Câu 2.

Giải hệ phương trình:

1
1.
1

x y

y z

z x

  


  


  


Câu 3.

Cho x y, là hai số nguyên dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x y 201.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Px x



2y

 

y y2x



.
Câu 4.

Cho đoạn thẳng BC và đường thẳng

 

d song song với BC. Biết rằng khoảng cách giữa đường thẳng

 

d và
đường thẳng đi qua BC nhỏ hơn .

2
BC

Giả sử A là một điểm thay đổi trên đường thẳng

 

d .
a) Xác định vị trí của A để bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC nhỏ nhất.

b) Gọi ha,h hb, c là độ dài các đường cao của tam giác ABC. Hãy xác định vị trí của điểm A để tích h h ha b c là
lớn nhất.

Câu 5.

Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn 3.
2

x  y z Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1 3 17

x y z

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1997 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (khơng kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

Giải hệ phương trình:

3 2

3 6 0

.
3

y y x x y

x xy

    


  


Câu 2.

Có tồn tại hay khơng các số nguyên x y, thỏa mãn điều kiện:
1993 1994

1992x 1993x 1995
Câu 3.

Số 1997 được viết dưới dạng tổng n hợp số, nhưng không viết được dưới dạng tổng n1 hợp số.
Hỏi n bằng bao nhiêu?

Câu 4.

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn có bán kính bằng 1. Gọi ha,h hb, c lần lượt là độ dài các đường cao
hạ từ đỉnh A B C, , tới các cạnh đối diện. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1 1 1

2 2 2

a b b c c a

M

h h h h h h

  

  

Câu 5.

Trên đường tròn cho 16 điểm và dùng 3 màu: xanh, đỏ, vàng để tô các điểm này (mỗi điểm tô bằng một màu).
Giữa mỗi cặp điểm nối bằng một đoạn thẳng được tơ bằng màu tím hoặc màu nâu.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1998 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (khơng kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

a) Giải hệ phương trình:

2 3 4 2 3 4

2 2 .

x x x x y y y y

x y

       



  


b) Với giá trị nào của a thì phương trình sau đây có nghiệm:

1 x 1    x 1 a 1 a

Câu 2.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 19x398y21998.
Câu 3.

a) Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) 0 a b.

(ii) Phương trình ax2bx c 0 vơ nghiệm.
Chứng minh rằng: a b c 3.

b a

  


b) Cho x y z, , là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2

2 2 2 .

2 2 2

x y z

P

x yz y zx z xy

  

  

Câu 4.

Cho bảng ô vng kích thước 1998 2000 (bảng gồm 1998 hàng và 2000 cột). Ký hiệu



m n,



là ô vuông nằm
ở giao của hàng thứ m (tính từ trên xuống dưới) và cột thứ n (tính từ trái qua phải).

Cho các số nguyên p q, với 1 p 1993 và 1 q 1995. Tô màu các ô vuông con của bảng theo quy tắc: Lần
thứ nhất tô màu năm ô:



p q;

 

, p1,q1 ,

 

p2,q2 ,

 

p3,q3 ,

 

p4,q4 .



Lần thứ hai trở đi, mỗi
lần tô năm ô chưa có màu nằm liên tiếp trong cùng một hàng hoặc cùng một cột.

Hỏi bằng cách đó ta có thể tơ màu hết tất cả các ơ vng con của bảng hay khơng? Vì sao?
Câu 5.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1999 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

Giải phương trình: 7 2

8 2 2 1.
1

x

x x

x



   



Câu 2.

Các số a a1, 2,... được xác định bởi công thức:





2
3
2

3 3 1

k

k k

a

k k

 



 với mọi

*
.
k

Tính giá trị của tổng: 1 a1 a2....a9.
Câu 3.

Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 1999 và tổng các chữ số của số đó bằng 1999.
Câu 4.

Cho đường tròn



O R;



. Giả sử A và B là hai điểm cố định trên đường tròn với ABR 3.

a) Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn. Đường tròn nội tiếp MAB tiếp xúc với
MA tại E và tiếp xúc với MB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF ln tiếp xúc với một đường trịn cố

định khi M thay đổi.

b) Tìm tập hợp tất cả các điểm P sao cho đường thẳng

 

d vng góc với OP tại P cắt đoạn thẳng AB.
Câu 5.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2000 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên



x y,



thỏa mãn đẳng thức y x



 1



x22.
b) Cho cặp số



x y,



thỏa mãn x y 1 và xy  x y 1.

Chứng minh rằng x 2, y 2.
Câu 2.

a) Giải phương trình: 1 x 1 x 2x 5.

x   x x

b) Cho 2
( )

f x ax bxc có tính chất f

   

1 , f 4 và f

 

9 là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng khi đó a b c, ,
là các số hữu tỉ.

Câu 3.

a) Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng nếu các góc B và D của tứ giác là góc vng hoặc góc từ thì
.

ACBD

b) Cho đoạn thẳng AC cố định và điểm B di động. Hãy tìm tập hợp các điểm B để tam giác ABC là tam giác
khơng từ và BAC là góc bé nhất của tam giác.

Câu 4.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2001 
MÔN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

a) Cho f x( )ax2bxc có tính chất f x( ) nhận giá trị nguyên khi x là số nguyên. Hỏi các hệ số a b c, , có
nhất thiết phải là các số nguyên hay không? Tại sao?

b) Tìm các số ngun khơng âm x y, thỏa mãn đẳng thức: 2 2

x y  y

Câu 2.

Giải phương trình: 4 x 1 x25x14.
Câu 3.

Cho các số thực a b x y, , , thỏa mãn hệ:

2 2

3 3

4 4
3

5
.
9
17

ax by

  



  



  


  



Tính giá trị của biểu thức: 5 5

Aax by và Bax2001ax2001.
Câu 4.

Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là O. Gọi d1, d2 là các đường thẳng vuông góc với AB tương ứng tại A và
.

B Một góc vng đỉnh O có một cạnh cắt d1 ở M, còn cạnh kia cắt d2 ở N. Kẻ OH vng góc xuống MN.
Vịng trịn ngoại tiếp tam giác MHB cắt d1 ở điểm thứ hai E khác M, MB cắt NA ở I, đường thẳng HI cắt

EB ở K. Chứng minh rằng K nằm trên một vòng trịn cố định khi góc vng quay xung quanh đỉnh O.
Câu 5.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2002 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (khơng kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

a) Giải phương trình: x23x 2 x 3 x 2 x22x3.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình xxy y 9.

Câu 2.

Giải hệ phương trình:

2 2

3 3

1
.
3

x y xy

x y x y

   


   


Câu 3.

Cho mười số nguyên dương 1, 2,..., 10. Sắp xếp mười số đó một cách tuỳ ý thành một hàng. Cộng mỗi số với số
thứ tự của nó trong hàng, ta được mười tổng. Chứng minh rằng trong mười tổng đó tồn tại ít nhất hai tổng có chữ

số tận cùng giống nhau.

Câu 4.

Cho a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 9 16

a b c

P

b c a a c b a b c

  

     

Câu 5.

Đường tròn

 

C tâm I có bán kính r, nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC CA AB, , tương ứng tại
các điểm A B C, , . Gọi các giao điểm của đường tròn

 

C với các đoạn IA IB IC, , lần lượt là M N P, , .
a) Chứng minh rằng các đường thẳng A M B N C P ,  ,  đồng quy.

b) AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Chứng minh rằng IB IC 2 .r
ID

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2003 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

Cho phương trình x42mx2 4 0.

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x x1, 2, x3, x4 thỏa mãn:
4 4 4 4

1 2 3 4 32.
x x x x 
Câu 2.

Giải hệ phương trình:

2 2

2 2 5

.
4

x xy y y x

x y x y

     


    


Câu 3.

Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn đẳng thức: 2 2 2 2
.

x xyy x y

Câu 4.

Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC CA AB, , tương ứng tại các điểm
, , .

D E F Đ đường trịn tâm O bàng tiếp trong góc BAC tiếp xúc với cạnh BC và phần kéo dài của các cạnh
,

AB AC tương ứng tại các điểm P M N, , .
a) Chứng minh rằng BPCD.

b) Trên đường thẳng MN ta lấy các điểm I và K sao cho CKAB BI, AC. Chứng minh rằng các tứ giác

BICE và BKCF là các hình bình hành.

c) Gọi

 

S là đường tròn đi qua ba điểm I K P, , . Chứng minh rằng

 

S tiếp xúc với các đường thẳng

, , .

BC BI CK
Câu 5.

Cho số thực x thay đổi và thỏa mãn x2 



3 x



25. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:









4 2

3 6 3 .

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2004 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

Giải phương trình: x 3 x 1 2.
Câu 2.

Giải hệ phương trình:

















2 2

2 2
3

15 3

x y x y

   



   



Câu 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:







3 3 2 2
.

1 1

x y x y

P

x y

  


 

Câu 4.

Cho hình vng ABCD và điểm M nằm trong hình vng.

a) Tìm tất cả các vị trí của điểm M sao cho MAB MBC MCD MDA.

b) Xét điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi N là chân đường vng góc hạ từ điểm M xuống AB và O là
trung điểm của AM. Chứng minh rằng tỷ số OB

ON có giá trị khơng đổi khi M di chuyển trên đường chéo AC.
c) Với giả thiết M nằm trên đường chéo AC, xét các đường tròn

 

S1 và

 

S2 có đường kính tương ứng là AM
và CN. Hai tiếp tuyến chung của

 

S1 và

 

S2 tiếp xúc với

 

S2 tại P và Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ
tiếp xúc với

 

S1 .

Câu 5.

Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là

 

a .
Dãy số x0, x1,..., xn,... được xác định bởi công thức: 1 .

2 2

n

n n

x      

   

   

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2005 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

Giải phương trình: 2 x 2 x 4x2 2.
Câu 2.

Giải hệ phương trình:

3 3 2

4 4

1
.

4 4

x y xy

x y x y

   


   


Câu 3.

Cho x y, là hai số không âm thỏa mãn điều kiện: x2y2 1.
a) Chứng minh rằng: 1  x y 2.

b) Tìm giá lớn nhất và nhỏ nhất của biếu thức: P 12x 12 .y

Câu 4.

Cho hình vng ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC.
a) Giả sử BPC135 .0 Chứng minh rằng: 2PB2PC2PA2.

b) Các đường thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và BA tương ứng tại các điểm M và N. Gọi Q là điểm đối
xứng với B qua trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng khi P thay đổi trong tam giác ABC, đường thẳng

PQ luôn đi qua D.

Bài 5.

a) Cho đa giác đều

 

H có 14 đỉnh. Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kỳ của

 

H ln có 4 đỉnh là các đỉnh
của một hình thang.

b) Có bao nhiêu phân số tối giản m 1

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2006 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

Chứng minh rằng: 31 84 31 84

9 9

A    là một số nguyên.
Câu 2.

Giải hệ phương trình:

2 2

4 2 3

.
5

x y x y

x y

    


  


Câu 3.

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 2

8x y x y 10xy.

b) Ký hiệu

 

x là phần nguyên của số x (số nguyên lớn nhất không vượt quá x). Chứng minh rằng với mọi số
tự nhiên n, ta ln có:

372n 1 9n 39n 1 3 72n 7 .

         

     

     

Câu 4.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

 

O và I là điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng AI BI CI, ,
cắt

 

O lần lượt tại A B C, ,  (khác A B C, , ). Dây cung B C  cắt các cạnh AB AC, tương ứng tại các điểm

, .

M N Dây cung C A  cắt các cạnh AB BC, tương ứng tại các điểm Q P, . Dây cung A B  cắt các cạnh BC CA,
tương ứng tại các điểm F E, .

a) Giả sử AM  AN BP, BQ CE, CF xảy ra đồng thời. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác ABC.

b) Giả sử AM ANBPBQCECF. Chứng minh rằng sáu điểm M N P Q E F, , , , , cùng thuộc một
đường tròn.

Câu 5.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2007 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

a) Giải hệ phương trình:

2 2

4 5

2 4 7

x y

x y xy

  



   



b) Cho a b c, , là các số thực khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
2

2 2 2

1 1

b c

P a

b c a

  



   

Câu 2.

a) Tìm cặp số nguyên



x y,



thỏa mãn 5x2y2 172xy.
b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 4

p  là số nguyên tố.
Câu 3.

Cho hai đường thẳng d1 và d2 vng góc tại O. Đường tròn

 

O1 tiếp xúc với d d1, 2 lần lượt tại A B, . Đường
tròn

 

O2 tiếp xúc với d d1, 2 lần lượt tại C D, .

a) Chứng minh rằng B là trực tâm tam giác ACD.

b) Giả sử CB cắt

 

O1 tại E, AD cắt

 

O2 tại F. Chứng minh rằng ACEF là hình thang cân.

Câu 4.

Trong các tứ giác có ba cạnh đều bằng a cho trước. Tìm tứ giác diện tích lớn nhất.
Câu 5.

Cho dãy số a0,a1,...,an,... được xác định bởi như sau: a00 và an1 2 an  3 1



an



 n .
Chứng minh rằng:



 



2
1

2 3 2 3 .

n
n

a      

 

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2008 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

a) Giải hệ phương trình:

2 2

3 3

2 1

8 7

x y y x

x y

  


  


b) Cho 0 x 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y x 2 1



x



.
Câu 2.

a) Tìm tất cả các số nguyên x y, thỏa mãn: 2x2y23xy3x2y 2 0.

b) Tìm số nguyên dương a b c, , sao cho



ab 1



bc 1



ca 1



abc

  

là một số nguyên.

Câu 3.

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 8x y2 2x2y210xy.

b) Ký hiệu

 

x là phần nguyên của số x (số nguyên lớn nhất không vượt quá x). Chứng minh rằng với mọi số
tự nhiên n, ta ln có:

372n 1 9n 39n 1 3 72n 7 .

         

     

     

Câu 4.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

 

O . Giả sử các tiếp tuyến với đường tròn

 

O tại B và C cắt nhau tại
P nằm khác phía với A so với BC. Trên cung BC khơng chứa A lấy điểm K K



B C,



. Đường thẳng PK
cắt

 

O tại điểm thứ hai Q khác A.

a) Chứng minh rằng các đường phân giác của các góc KBQ,KCQ đi qua cùng một điểm trên đường thẳng
.

PQ

b) Giả sử đường thẳng AK đi qua trung điểm M của cạnh BC. Chứng minh rằng AQ BC .
Câu 5.

Cho phương trình: a x0 na x1 n1a x2 n2 ... an1xan0 thỏa mãn các hệ số a0,a a1, 2,..., an chỉ nhận một
trong ba giá trị: 0, hoặc 1, hoặc 1 và a00.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2009 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (khơng kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

a) Giải phương trình: 14 x356 x 1 84 x236x35.
b) Chứng minh rằng:





2
4

4 4 2

1 3 2 1

...

4 1 4 3 4 2 1 4 1

n n

n
n



   

     với

*
.
n

Câu 2.

Tìm số nguyên dương n sao cho tất cả các số n1,n5, n7, n13,n17,n25, n37 đều là số nguyên
tố.

Câu 3.

Hai đường tròn

 

O và

 

O cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên đường thẳng AB ta lấy một điểm M bất kỳ
sao A nằm trong đoạn BM M



A



. Từ điểm M kẻ tới đường tròn

 

O các tiếp tuyến MC MD, với C D,
là các tiếp điểm và C nằm ngoài

 

O . Đường thẳng AC cắt lần thứ hai

 

O tại điểm P và đường thẳng AD cắt
lần thứ hai

 

O tại Q. CD cắt PQ tại K.

a) Chứng minh rằng hai tam giác BCD và BPQ đồng dạng.

b) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì đường trịn ngoại tiếp tam giác KCP ln đi qua một điểm cố định.
Câu 4.

Cho x y z, , là các số thực thuộc



0; 2 và



x  y z 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức







4 4 4

12 1 1 1 .

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2010 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

a) Giải phương trình: x 3 3x 1 4.
b) Giải hệ phương trình:







2 2

5 2 2 26

3 2 11

x y xy

x x y x y

   


    


Câu 2.

a) Tìm tất cả các sô nguyên dương n để n2391 là số chính phương.

b) Giả sử x y z, , là những số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y z 1. Chứng minh rằng:
2 2

2 2

1.
1

xy z x y

xy

  




Câu 3.

Cho tam giác ABC nhọn và M là điểm nằm trong tam giác. Gọi H là hình chiếu của M trên cạnh BC và
, , ,

P Q E F lần lượt là hình chiếu của H lên các đường thẳng MB MC AB AC, , , . Giả sử bốn điểm
, , ,

P Q E F thẳng hàng.

a) Chứng minh rằng: M là trực tâm của tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp.

Câu 4.

Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự a a1, 2,...,a2010, ta đánh dấu tất cả các số dương
và tất cả các số mà tổng của nó một số số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương. Ví dụ với dãy số

8, 4, 4, 1, 2, 1, 2, 3, 4,..., 2005

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2010 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (khơng kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

a) Giải phương trình:



x 3 x



1  x 1



b) Giải hệ phương trình:







2 2 2 2

2 2
2

1 4

x y x y

x y xy x y

  


   



Câu 2.

a) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất khơng vượt q a, kí hiệu là

 

a. Chứng
minh rằng với mọi số nguyên dương n, biểu thức

2
3 1 1

27 3

A n n

 

 

    

 

 

không thể biểu diễn được dưới dạng

lập phương của một số nguyên dương.

b) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyyzzx5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:









3 3 2

6 5 6 5 5

x y z

P

x y z

 



    

Câu 3.

Cho hình thang ABCD với BC AD . Các góc BAD,CDA là các góc nhọn. Hai đường chéo AC và BD cắt
nhau tại I. P là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng BC (P khơng trùng với B C, ). Giả sử đường trịn ngoại tiếp tam
giác BIP cắt PA tại M khác P và đường tròn ngại tiếp tam giác CIP cắt PD tại N khác P.

a) Chứng minh rằng năm điểm A M I N D, , , , cùng nằm trên một đường trịn. Gọi đường trịn đó là

 

K .
b) Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng Q cũng năm trên

 

K .

c) Giả sử P I Q, , thẳng hàng. Chứng minh rằng: PB BD.
PC CA
Câu 4.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (khơng kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

a) Giải phương trình:



x 4 2



4 x 2



2 .x

b) Giải hệ phương trình:









3 3

9 3 6 26 2

xy x y

xy x y x y

  



    



Câu 2.

a) Tìm hai chữ số cuối cùng của số A41106572012.

b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 2
3 2 1 5 4

y x x  x với 1 5.
2 x 2
Câu 3.

Cho tam giác ABC có ABAC, nội tiếp đường trịn

 

O . Giả sử M N, là hai điểm thuộc cung nhỏ BC sao
cho MN song song với BC và tia AN nằm giữa hai tia AM AB, . Gọi P là hình chiếu vng góc của C trên

AN và Q là hình chiếu vng góc của M trên AB.

a) Giả sử CP cắt QM tại T. Chứng minh rằng T nằm trên đường tròn

 

O .

b) Gọi giao điểm của NQ và

 

O là R khác N. Giả sử AM cắt PQ tại S. Chứng minh rằng bốn điểm
, , ,

A R Q S cùng thuộc một đường tròn.

Câu 4.

Với mỗi số nguyên n2 cố định, xét các tập n số thực đôi một khác nhau X 



x x1, 2,...,xn



. Kí hiệu C X

 

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2013 
MÔN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

a) Giải phương trình: x 3 1x2 3 x 1 1x.
b) Giải hệ phương trình:

3 3
1

7 7

x y y x xy

xy y x

     


   



Câu 2.

a) Tìm các cặp số nguyên



x y,



thỏa mãn: 2 2

5x 8y 20412.

b) Giả sử x y, là hai số thực dương thỏa mãn x y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2
1 1

1 .

P x y

x y

 


   
 

Câu 3.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn

 

O có trực tâm H. Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam
giác HBC P



B C H, ,



và nằm trong tam giác ABC. PB cắt

 

O tại M khác B, PC cắt

 

O tại N khác C.

BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác

ANF cắt nhạu tại Q khác A.

a) Chứng minh rằng ba điểm M N Q, , thẳng hàng.

b) Giả sử AP là phân giác trong MAN. Chứng minh rằng PQ đi qua trung điểm của BC.
Câu 4.

Cho dãy số thực có thứ tự x1x2x3 ... x192 thỏa mãn các điều kiện:
i) x1x2 ... x1920.

ii) x1  x2  ... x192 2013.
Chứng minh rằng: 192 1 2013.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2014 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

a) Giả sử x y, là hai số thực dương phân biệt thỏa mãn:

2 4 8

2 2 4 4 8 8

2 4 8

y y y y

xyx y x y x y 

Chứng minh rằng: 5y4 .x

b) Giải hệ phương trình:

2 2

2 3 12

6 12 6

x y xy

x x y y y x

   


    


Câu 2.

a) Cho x y, là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho 4x y2 27



xy



là số chính phương.

Chứng minh rằng: x y.

b) Giả sử x y, là hai số thực không âm thỏa mãn 3 3 2 2
.

x y xyx y

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 1 2 .

2 1

x x

P

y y

 

 

 

Câu 3.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

 

O và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn PBPC. Gọi D là diểm
thuộc cạnh BC D



B D, C



sao cho P nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB và đường tròn ngoại
tiếp tam giác DAC. Đường thẳng PB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB tại E khác B. Đường thẳng PC

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC tại F khác C.

a) Chứng minh rằng bốn điểm A E P F, , , cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng AD cắt đường tròn

 

O tại Q khác A, đường thẳng AF cắt đường thẳng QC tại L. Chứng
minh rằng tam giác ABE đồng dạng với tam giác CLF.

c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AE và đường thẳng QB. Chứng minh rẳng:

QKL PAB QLK PAC

    

Câu 4.

Cho tập hợp A có 31 phần tử và dãy gồm m tập con của A thỏa mãn:
i) Mỗi tập thuộc dãy có ít nhất 2 phần tử.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2015 
MÔN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

a) Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn:







 



27 a b c 24 3a b c  3b c a  3c a b

Chứng minh rằng:



a2b b



2a c



2a



1.

b) Giải hệ phương trình:





3 3 2

2 2 5

27 7 26 27 9

x y xy

x y y x x x

   


      


Câu 2.

a) Tìm số tự nhiên n để n5 và n30 đều là số chính phương.
b) Tìm hai số nguyên x y, thỏa mãn 1 x  y 3 x y.

c) Cho x y z, , là các số thực lớn hơn 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 4 4

x y z

P

y z z x x y

  

     

Câu 3.

Cho tam giác nhọn ABC không cân với ABAC. Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu vng
góc của B trên AM. Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN2MH.

a) Chứng minh rằng: BNAC.

b) Gọi Q là điểm đối xứng với A qua N. Đường thẳng AC cắt BQ tại D. Chứng minh rằng bốn điểm
, , ,

B D N C cùng thuộc một đường tròn, gọi đường tròn này là

 

O .

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt

 

O tại G khác D. Chứng minh rằng: NG BC .
Câu 4.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2016 
MÔN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

a) Giải phương trình:

3
2

64 4

5 6 5 .

5 6 6

x x


  

 
b) Giải hệ phương trình:

2 2

4 5

4 8 5 10 1

x y

x y xy x y

  


    


Câu 2.

a) Với x y, là các số nguyên thỏa mãn đẳng thức:

2 2

1 1

2 3

x  y 

 Chứng minh rằng: 2 2

x y chia hết cho 40.
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên



x y,



thỏa mãn 4 2 3

2 .

x  x y

Câu 3.

Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn tâm

 

O . P là điểm thuộc cung nhỏ AD của đường tròn

 

O và
, .

PA D Các đường thẳng PB PC, lần lượt cắt AD tại M N, . Đường trung trực của AM cắt AC PB, lần
lượt tại E K, . Đường trung trực cảu DN cắt BD PC, lần lượt tại F L, .

a) Chứng minh rằng ba điểm K O L, , thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng đường thẳng PO đi qua trung điểm của EF.

c) Giả sử đường thẳng EK cắt đường thẳng BD tại S, các đường thẳng FL và AC cắt nhau tại T. Đường thẳng

ST cắt các đường thẳng PC PB, tại U V, . Chứng minh rằng bốn điểm K L U V, , , cùng thuộc một đường tròn.
Câu 4.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n3 luôn tồn tại một cách sắp xếp bộn n số 1, 2, 3,...,n thành

1; 2; 3;...; n

x x x x sao cho

i k

j

x x

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2017 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (khơng kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

a) Giải hệ phương trình:

2 2

3
.
3

x y x y

x y xy

   


   


b) Cho a b, là hai số thực dương thỏa mãn ab  a b 1. Chứng minh rằng:







2 2 2 2

1 1 2 1 1

a b ab

a b a b



 

   

Câu 2.

a) Cho p q, là hai số nguyên tố thỏa mãn









1 1 .

p p q q  Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k

sao cho 2

1 , 1 .

p kq q  kp Tìm tất cả các số nguyên tố p q, thỏa mãn đẳng thức.

b) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abbccaabc2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2

1 1 1

2 2 2 2 2 2

a b c

M

a a b b c c

  

  

     

Câu 3.

Cho tam giác ABC nhọn với ABAC. Gọi E F, lần lượt là trung diểm của CA AB, . Trung trực của đoạn
thẳng EF cắt BC tại D. Giả sử có điểm P nằm trong EAF và nằm ngoài tam giác EAF sao cho

PEC DEF

   và PFB DFE. PA cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác PEF tại Q khác P.
a) Chứng minh rằng: EQF BACEDF.

b) Tiếp tuyến tại P của đường tròn ngoại tiếp tam giác PEF cắt CA AB, lần lượt tại M N, . Chứng minh rằng
bốn điểm C M B N, , , cùng nằm trên một đường tròn. Gọi đường tròn là

 

K .

c) Chứng minh rằng đường tròn

 

K tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.
Câu 4.

Cho n là số nguyên dương, n5. Xét một đa giác lồi n cạnh. Người ta muốn kẻ một số đường chéo của đa giác
mà các đường chéo này chia đa giác đã cho thành đúng k miền, mỗi miền là một ngũ giác lồi (hai miền bất kì
khơng có điểm trong chung).

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2018 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (khơng kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

a) Giải phương trình: 93 x



32x



7 x5 32 .x

b) Giải hệ phương trình:











3 3 3 3
2

7 1 1 31

xy x y

x y x y x y

  



      



Câu 2.

a) Cho x y, là các số nguyên sao cho x22xyy và xy2y2x đều chia hết cho 5. Chứng minh rằng
2 2

2x y 2xy cũng chia hết cho 5.

b) Cho a a1, 2,a3,...,a50 là các số nguyên thỏa mãn:

1 2 50

1 a a  ... a 50 và a1a2 ... a50 100.
Chứng minh rằng từ các số đã cho ta có thể chọn được một vài số có tổng bằng 50.
Câu 3.

Cho ngũ giác lồi ABCDE nội tiếp đường trịn

 

O có CD BE . Hai đường chéo CE và BD cắt nhau tại P.
Điểm M thuộc đoạn BE sao cho MAB PAE. Điểm K thuộc đường thẳng AC sao cho MKAD, điểm

L thuộc đường thẳng AD sao cho ML AC . Đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC lần lượt cắt BD CE, tại
,

Q S



Q khác B S, khác C



a) Chứng minh rằng ba điểm K M Q, , thẳng hàng.

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác LDE lần lượt cắt BD CE, tại T R,



T khác D R, khác E



.Chứng minh
rằng năm điểm M S Q R T, , , , cùng thuộc một đường tròn.

c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với đường tròn

 

O .
Câu 4.

Cho a b c, , là các số thực dương. Chứng minh rằng:

1 1

ab bc

a b b c a b b c

  

    

  

  

      

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2019 
MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (khơng kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

a) Giải phương trình:





27 27 2

.
2 5 2
2 5

x x x

x

x x

   

 

  

b) Giải hệ phương trình:









2 2

3 4 8

.
2 8

x y xy

x y x xy

   



    



Câu 2.

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta ln có:

















27n5 10  10n27 5  5n10 27

chia hết cho 42.

b) Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn 2 2

4x 4y 17xy5x5y1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của thức: P17x217y216xy.

Câu 3.

Cho tam giác ABC cân tại A, có đường trịn nội tiếp

 

I . Các điểm E F, theo thứ tự thuộc các cạnh CA AB,



E khác C và A, F khác B và A



sao cho EF tiếp xúc với đường tròn

 

I tại điểm P. Gọi K L, lần lượt
là hình chiếu vng góc của E F, lên BC. Giả sử FK cắt EL tại điểm J. Gọi H là hình chiếu vng góc của

J lên BC.

a) Chứng minh rằng HJ là phân giác của EHF.

b) Ký hiệu S1 và S2 lần lượt là diện tích của các tứ giác BFJL và CEJK. Chứng minh rằng:

2
1

2
2

S BF

S CE

c) Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm P J D, , thẳng hàng.
Câu 4.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020 
MƠN THI: TỐN (VỊNG 2)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1.

a) Giải hệ phương trình:











3 3



1 4

5 12 13 243

x y x

y xy x y x y y

   



        



b) Giải phương trình:



x12

 

7 2x12

 

7 243x



70.
Câu 2.

a) Tìm tất cả các số nguyên dương a b c, , sao cho cả ba số 4a25 , 4b b25 , 4c c25a đều là bình phương của
một số nguyên dương.

b) Từ một bộ bốn số thực



a b c d, , ,



ta xây dựng bộ số mới



ab b, c c, d d, a



và liên tiếp xây dựng
các bộ số mới theo quy tắc trên. Chứng minh rằng nếu ở hai thời điểm khác nhau ta thu được cùng một bộ số (có
thể khác thứ tự) thì bộ số ban đầu phải có dạng



a,a a, ,a



Câu 3.

Cho tam giác ABC cân tại có BAC90 .0 Điểm E thuộc cạnh AC sao cho AEB90 .0 Gọi P là giao điểm
của BE với trung trực BC. Gọi K là hình chiếu vng góc của P lên AB. Gọi Q là hình chiếu vng góc của

E lên AP. Gọi giao điểm của EQ và PK là F.

a) Chứng minh rằng bốn điểm A E P F, , , cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi giao điểm của KQ và PE là L. Chứng minh rằng LA vng góc với LE.

c) Gọi giao điểm của FL và AB là S. Gọi giao điểm của KE và AL là T. Lấy R là điểm đối xứng của A qua
.

L Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AST và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPR tiếp xúc nhau.
Câu 4.

Với a b c, , là những số thực dương thỏa mãn a  b c 3. Chứng minh rằng:
2

1 1 1 4

3 1 1 3 a b c .

a b c abc bc ca ab

   

           

   