Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 151

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2></div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

T¹ ThËp (TP. Hå ChÝ Minh)
A. KiÕn thøc cÇn nhí

1. Thế nào là hai góc
đối đỉnh

Hai góc đối đỉnh là hai
góc mà mỗi cạnh của
góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.
2. Tính chất của hai góc đối đỉnh.

Hai gãc ệèi ệửnh thừ bỪng nhau
B. Cịc dỰng bội toịn thđêng gẳp
DỰng 1. Vỳ hừnh hừnh hảc

a) Phđểng phịp giời. Sỏ dông cịc dông cô: Thđắc
thỬng, Compa, ế ke ệĨ vỳ.

b) C¸c vÝ dơ

Ví dụ 1.1.a) Vẽ góc IHK có số đo bằng 60o.
b) Vẽ gúc MHN i nh vi gúc IHK.

Lời giải.

Ví dụ 1.2.Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia
Ox, vẽ hai tia Oy, Oz sao cho

Vẽ góc tOh đối nh vi gúc yOz.

Li gii.

Dạng 2. Tính số đo góc

a) Phđểng phịp giời.VẺn dông tÝnh chÊt hai gãc
ệèi ệửnh vộ cịc kiạn thục vỊ gãc ệở hảc ệĨ tÝnh sè
ệo gãc theo yếu cẵu ệỊ bội.

b) C¸c vÝ dơ:

VÝ dơ 2.1.Cho biết tia OA nằm giữa hai tia OB và

OC; Gọi OD là tia đối của

tia OC, OE là tia đối của tia OA. Tính số đo góc DOE.

Lêi gi¶i.

Ví dụ 2.2.Cho Gọi Oz là tia đối của tia
Ox, Ot là tia đối của tia Oy. Vẽ tia Om là tia phân
giác của góc zOt. Tính số đo góc mOt.

Lời giải.Ta có (hai góc đối đỉnh).
Mặt khác (vì Om là tia phân giác của
góc zOt)

Do đó

Dạng 3. Tính số cặp góc đối đỉnh

a) Phđểng phịp giời. Tõ hừnh vỳ, kÓ tến cịc cẳp
gãc ệèi ệửnh ệÓ biạt ệđĩc sè cẳp gãc ệèi ệửnh cẵn
tÝnh, trong trđêng hĩp cã nhiÒu cẳp gãc ệèi ệửnh
thừ tõ sè tia trến hừnh vỳ ta xịc ệỡnh ệđĩc sè lđĩng
cịc gãc răi tÝnh sè cẳp gãc ệèi ệửnh.

b) C¸c vÝ dơ:

VÝ dơ 3.1.Cho ba ệđêng thỬng cớt nhau tỰi K nhđ
hừnh vỳ. KÓ tến cịc cẳp gãc ệèi ệửnh nhá hển gãc
bứt.

Lời giải. Có 6 cặp góc đối đỉnh nhỏ hơn góc bẹt

lµ: vµ vµ vµ

vµ BKD; BKE vµ AKF; CKF vµ DKE.
AKC

BKC;
AKD

BKF;
AKE

DKF;
CKE

o
o

60

mOt 30 .

2
zOt
mOt

2

o
zOt xOy 60

o
xOy 60 .

o
DOE AOC 50 .

o o

AOB 30 , BOC 80 .

o o

xOy 40 , xOz 70 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

3

VÝ dơ 3.2. Qua ệiĨm A vỳ 10 ệđêng thỬng phẹn
biỷt. Hái cã bao nhiếu cẳp gãc ệèi ệửnh nhá hển

gãc bứt.

Lời giải.Trên hình vẽ có 20 tia chung gốc O, mỗi
tia kết hợp với 19 tia cịn lại ta có 19 góc. Vì mỗi
góc đã tính hai lần nên số góc trên hình vẽ l
20.19 : 2 190 (gúc).

Các góc nhỏ hơn góc bẹt trong hình vẽ là 190 10
180 (góc).

Mi góc trong 180 góc này đều có một góc đối
đỉnh với nó.

Vậy số cặp góc đối đỉnh khác góc bẹt trên hình vẽ
là 180 : 2 90 (cặp góc).

D¹ng 4. Chøng tá hai gãc b»ng nhau

a) Phđểng phịp giời.VẺn dông tÝnh chÊt cựa hai
gãc ệèi ệửnh vộ cịc kiạn thục vÒ gãc ệở hảc ệĨ
chụng tá hai gãc bỪng nhau.

b) C¸c vÝ dơ:

Ví dụ 4.1. Cho góc xOy khác góc bẹt, Oz là tia
phân giác của xOy. Vẽ Om là tia đối của tia Ox, On

là tia đối của tia Oz. Chứng t rng
Li gii.

Ta có (vì Oz là tia phân giác của ).

M (i nh).

Vậy

Ví dụ 4.2. Qua ệiÓm A vỳ 10 ệđêng thỬng phẹn
biỷt. XĐt cịc gãc khềng cã ệiÓm trong chung.
Chụng tá rỪng tăn tỰi hai gãc lắn hển hoẳc bỪng
18o, hai gãc nhá hển hoẳc bỪng 18o.

Lêi gi¶i.

Trên hình vẽ có 20 tia chung gốc O tạo thành 20
góc khơng có điểm trong chung và có tổng số đo
bằng 360o. Trung bình cộng của 20 góc đó bằng
360o: 20 18o.

Do đó góc lớn nhất trong các góc đó lớn hơn hoặc
bằng 18o và góc nhỏ nhất trong các góc đó nhỏ
hơn hoặc bằng 360o 20 18o.

yOz mOn.
xOz mOn

xOy
xOz yOz

yOz mOn.

VÝ dô 3. Cho tụ giịc ABCD cã M, N lẵn lđĩt lộ
trung ệiÓm cựa cịc ệđêng chĐo BD, AC (M khịc
N). ậđêng thỬng MN cớt AD vộ BC lẵn lđĩt ẻ E
vộ F. Chụng minh rỪng AE.BF DE.CF.

Lêi giời.Giờ sỏ ệiÓm M nỪm giọa E vộ N. (Nạu
khịc thừ xĐt tđểng tù).

Ta cã

Vừ M vộ N lẵn lđĩt lộ trung ệiÓm cựa AD vộ BC
nến

Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra
Bµi tËp

Bội 1.Cho tam giịc ABC, ệđêng trung tuyạn AM,
ệiÓm D thuéc cỰnh AC. Gải I lộ giao ệiÓm cựa AM
vộ BD. Qua C kĨ ệđêng thỬng song song vắi AB,
cớt BD ẻ K. Chụng minh rỪng IB2 ID.IK.
Bội 2. ậđêng thỬng d ệi qua ệửnh A cựa hừnh
bừnh hộnh ABCD cớt BD, BC vộ DC theo thụ tù
ẻ E, K, G. Chụng minh rỪng

Bội 3. Cho tam giịc ABC, ệđêng trung tuyạn AD,
M lộ trung ệiÓm cựa AD. Cịc tia BM, CM lẵn lđĩt
cớt cịc cỰnh AC, AB tỰi E vộ F. Chụng minh rỪng
Bội 4. Cho tam giịc ABC ệỊu. Trến tia BA lÊy
ệiĨm E (A nỪm giọa B vộ E). Gải D lộ ệiÓm ệèi
xụng vắi E qua BC, CD cớt AB tỰi F. Chụng minh

rỪng 1 1 1 .

BC BD BF

MF ME _1.

CM MF BM ME

1 1 _{1 .}

AE AK AG
AE CF _{AE.BF DE.CF.}

DE BF

MAN MNC NMD NMB

S S ; S S . (3)

MCF NCF MCF NCF MCN

MBF NBF MBF NBF NMB

S S S S S

CF _{. (2)}

BF S S S S S

NAE MAE NAE MAE MAN

NDE MDE NDE MDE NMD

S S S S S

AE _{. (1)}

DE S S S S S

MA ND _{MA.NC MB.ND.}
MB NC

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

4

hi gẳp mét sè bội toịn liến quan ệạn tử
sè cựa hai ệoỰn thỬng chóng ta thđêng
dỉng phĐp phẹn tÝch ngđĩc ệÓ từm ra
cẳp tam giịc ệăng dỰng hoẳc sỏ dông ệỡnh lÝ
TalĐt. Tuy nhiến trong mét sè trđêng hĩp thừ
cềng viỷc ệã còng gẳp rÊt nhiÒu khã khẽn, thẺm
chÝ khềng thùc hiỷn ệđĩc. Mẳt khịc vắi hảc sinh
lắp 6, 7 vộ ệẵu lắp 8 khi chđa hảc ệạn kiạn thục
vÒ tam giịc ệăng dỰng vộ ệỡnh lÝ TalĐt thừ sỳ
khềng giời ệđĩc bội. Chóng ta cã thĨ giời cịc bội
toịn ệã bỪng phđểng phịp dỉng tử sè diỷn tÝch
cựa hai tam giịc. Sau ệẹy lộ mét sè kạt quờ
quan trảng (bỰn ệảc tù vỳ hừnh) dỉng ệÓ chụng
minh:

Kạt quờ 1. Cho tam giịc ABC, M lộ ệiÓm tỉy ý
trến ệđêng thỬng BC, khi ệã ta cã

Kạt quờ 2. Cho tam giịc ABC, d lộ ệđêng thỬng
ệi qua A vộ song song vắi BC, M lộ mét ệiÓm tỉy
ý thuéc nỏa mẳt phỬng bê BC chụa ệiÓm A, khi
ệã ệiÓm M thuéc ệđêng thỬng d khi vộ chử khi
S_MBC S_ABC.

Chóng ta xÐt mét sè vÝ dô minh häa.

VÝ dô 1.Cho tam giịc ABC cã AB AC. Chụng
minh rỪng nạu mét ệđêng thỬng cớt cỰnh AB ẻ
D, cớt cỰnh AC ẻ E, vộ cớt tia ệèi cựa tia CB ẻ
K sao cho BD CE thừ tử sè khềng ệữi.
Lêi gii.

Ta có
Mặt khác
(vì CE BD)

Từ (1) v (2) suy ra (khềng ệữi).
VÝ dô 2. Cho tụ giịc ABCD cã E, F lẵn lđĩt lộ
trung ệiÓm cựa cịc cỰnh AD, BC. ậđêng thỬng
EF cớt cịc ệđêng thỬng AB, CD lẵn lđĩt tỰi M, N.
Chụng minh rỪng MA.NC MB.ND.

Lêi gi¶i.

Ta cã

Vừ E, F lẵn lđĩt lộ trung ệiÓm cựa AD vộ BC nến ta

cã S_FAE S_FDE; S_EBF S_ECF. (3)

Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra

EDN FDN EDN FDN FDE

ECN FCN ECN FCN ECF

S S S S S

ND _{. (2)}

NC S S S S S

EAM FAM EAM FAM FAE

EBM FBM EBM FBM EBF

S S S S S

MA _{. (1)}

MB S S S S S

KE AB
KD AC

BCE BCE BAC

BCD BAC BCD

S S S _{CE AB AB. (2)}

S S S CA BD CA

CEK BKE CEK BCE

BKE

BKD CKD BKD CKD BCD

S S S S

S

KE _{. (1)}

KD S S S S S

KE
KD

ABM
ACM
S

BM _.

CM S

TÍNH TỈ SỐ HAI ĐOẠN THẲNG

THƠNG QUA TỈ SỐ DIỆN TÍCH

CỦA HAI TAM GIÁC

Ngun anh tn

(GV THCS Hßa Hiếu 2, TX. Thái Hòa, Nghệ An)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

5

(TTT2 sè 147+148)

Nhận xét. Cả hai bài kì này đều dễ, hầu hết các
bạn gửi bài đều cho đáp án đúng, nhiều bạn chỉ
giải một bài.

Quy luËt.

Bội 1.XĐt dởy sè 2015; 2023; 2030; 2035; 2045;
Ta thÊy kÓ tõ sè hỰng thụ hai, mẫi sè ệÒu bỪng sè
hỰng ệụng liÒn trđắc céng vắi tững cịc chọ sè cựa
sè nộy:

2023 2015 2 0 1 5
2030 2023 2 0 2 3

Theo quy luật đó, số tiếp theo của dãy số là
2045 2 0 4 5 2056.

Bài 2.Nếu tổng các số ở bốn đỉnh của hình vng

chia hết cho 3 thì hình vẽ bên trong là hình tam
giác, nếu tổng này khơng chia hết cho 3 thì hình
vẽ bên trong là hình tứ giác. Ta thấy tổng các số ở
bốn đỉnh của hình vuông cuối cùng là 9 6 0 3
18 chia hết cho 3, do đó hình vẽ cịn thiếu bên
trong hình vng là hình tam giác.

Xin trao thđẻng cho cịc bỰn: NguyÔn
Họu Trung Kiến, 7A3, THCS Lẹm
Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Ngun
Tiạn Duy, Trẵn Bừnh Minh, 7E1, THCS Vỵnh
Tđêng, Vỵnh Tđêng; LỰi Khịnh Trang, 6A, THCS
Vỵnh Yến, TP. Vỵnh Yến; Lế ậục Thịi, 7A2, THCS
Yến LỰc, Yn Lc, Vnh Phúc.

nguyễn xuân bình

SO HèNH COỉN THIEU

Cho dÃy sè 0, 6, 20, 45, ...
H·y t×m sè tiÕp theo sao cho
hợp lôgic.

Vũ Hoàng NAm
(HS. 8A1, THCS Cao Phong,
Sông Lô, VÜnh Phóc)

SỐ NÀO?

(TiÕp theo trang 32)
5(151).In a survey of 60 people, 25 people read

the Children’s Fun Maths Journal, 26 people read
online news portals and 26 people read maths
books. 9 people read both the Maths Journal and
maths books. 11 people read both the Maths
Journal and news portals. 8 people read both
news portals and maths books. 8 people do not
read the Maths Journal, news portals nor maths
books.

a) Determine the number of people who read all
the Maths Journal, news portals and maths
books.

b) Draw a Venn diagram showing the number of
people who read or don’t read each of the Maths
Journal, news portals or maths books.

c) Determine the number of people who read only
one of those types.

6(151).Given a circle (O) and its diameter AB. Let
dbe a line perpendicular to AB, intersecting it at I,

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

6

Trong kì thi chọn học sinh
giỏi tốn lớp 9 của quận 9
TP. Hồ Chí Minh, năm học

2014-2015 có bài tốn bất đẳng thức sau:

Bội toịn 1.Cho hai sè dđểng a, b. Chụng minh rỪng

Lêi giời.ịp dông bÊt ệỬng thục AM-GM cho hai
sè dđểng ta cã

Chóng ta sỳ cỉng từm kiạm cịc bội toịn mắi tõ ý
tđẻng giời bội toịn nộy.

Trđắc tiến chóng ta cã bội toịn cùc trỡ ệỰi sè
Bội toịn 2.Cho hai sè dđểng a, b. Từm giị trỡ nhá
nhÊt cựa biÓu thục

Ta thÊy M 3 a b nến ta cã bội toịn tÝnh giị
trỡ cựa biÓu thục ệỰi sè khi cã mét ệỬng thục.
Bội toịn 3. Cho hai sè dđểng a, b tháa mn

Tính giá trị của biểu thức

Bi ton 4. Cho cịc sè dđểng a, b tháa mởn
TÝnh giị trỡ cựa biÓu thục

NÕu a b th× tõ ta cã

Ta cã bội toịn vÒ hỷ phđểng trừnh vộ hỷ bÊt phđểng
trừnh

Bội toịn 5.Giời hỷ phđểng trừnh

Bội toịn 6.Giời hỷ bất phng trnh

Thật thú vị khi chúng ta tìm thấy các bài toán cực
trị hình học.

Bi ton 7.Cho góc vuềng xAy. B lộ ệiÓm di ệéng
trến tia Ax, C lộ ệiÓm di ệéng trến tia Ay. H lộ hừnh
chiạu cựa A trến ệđêng thỬng BC. Xịc ệỡnh vỡ trÝ cựa
B, C ệÓ tững ệỰt giị trỡ nhá nhÊt.
Hđắng dẫn: t BH a, CH b.

Bài toán tổng qu¸t

Bội toịn 8.Cho hai sè dđểng a, b vộ hai sè m, n
tháa mởn 16m n 0. Chụng minh rỪng

Víi m 1, n 2 ta cã bµi toán 1. Tiếp tục tìm tòi
và sáng tạo sẽ giúp các bạn có rất nhiều bài toán
mới. Chúc các bạn thành công.

2 2

m(a b ) n ab _2m n_.

ab a b 2

2 2

2

BH CH 2AH

BC
AH

2 2 _{2 xy}

x y ₃

xy x y

6 x y 9.

2 2 _{2 xy}

x y ₃

xy x y

x 2 3 y.

a 1
a 2 3 a

a 4.
a 2 3 b

2 2

2 2

7a 8ab 9b

Q .

10a 11b

2 2

a b _{2 ab 3.}

ab a b

2 2

22a 3b 2

P .

4a 5ab 6b

2 2

a b _{2 ab 3.}

ab a b

2 2

a b 2 ab

M .

ab a b

2 2 2

2 2

a b 2 ab (a b) 2ab 2 ab

ab a b ab a b

(a b) ₄ 2 ab _{6 2} (a b) ₄ 2 ab ₆

ab a b ab a b

4(a b) 2 ab ₆ 7(a b) a b 2 ab ₆

a b a b

ab 2 ab 2 ab

7.2 ab ₂ a b 2 ab _{6 7 2 6 3.}
a b

2 ab 2 ab

2 2

a b _{2 ab 3.}

ab a b

Nguyễn đức tấn(TP. Hồ Chí Minh)

TÌM KIẾM BÀI TỐN MỚI

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

7

oịn hảc cã mẳt ẻ khớp nểi, trong tù
nhiến xung quanh chóng ta, trong mải mẳt
cựa cuéc sèng vộ trong tÊt cờ cịc cềng
nghỷ mộ con ngđêi phịt minh ra. Toịn hảc cã
thĨ gióp chóng ta mua sớm mét cịch khền ngoan,
sỏa sang ngềi nhộ đng ý khi ngẹn sịch cã hỰn,
lến thùc ệển cho mét bọa tiỷc ệẵy mộu sớc vắi
trừnh tù thùc hiỷn nhanh nhÊt vộ hĩp lÝ nhÊt.
Toịn hảc lộ ngền ngọ cựa khoa hảc kỵ thuẺt - mề
tờ sù hiĨu biạt cựa chóng ta vỊ tÊt cờ nhọng gừ
ệang tăn tỰi.

Lỡch sỏ cựa toịn hảc gớn liỊn vắi sù phịt triĨn
cựa loội ngđêi, nhọng khịi niỷm ệđĩc hừnh thộnh
hẵu hạt xuÊt phịt tõ ệêi sèng thùc tiÔn, tõ nhu
cẵu từm tưi, khịm phị cựa con ngđêi. Mét sè
khịi niỷm ệđĩc ệđa ra mộ chóng ta khã nhừn
thÊy ụng dông trong thùc tạ nhđng ệã lỰi lộ cẵu
nèi hay lộ cềng cô tÝnh toịn dÉn ệạn nhọng ệỡnh
luẺt vộ ệỡnh lÝ về cỉng quan trảng.

ụng dông cựa toịn hảc vộo ệêi sèng thđêng
khềng trùc tiạp, mộ giịn tiạp qua nhọng lỵnh vùc
khoa hảc, cềng nghỷ vộ bẻi vẺy nhừn bÒ ngoội
khã thÊy, khã cờm nhẺn. Nhđng trong bÊt kừ
ngộnh nộo, bÊt kừ hoỰt ệéng nộo cịng cã thĨ chử
ra cịc ụng dơng cựa toịn hảc.

Trến internet cã thÓ trao ệữi mua bịn vắi ệé an
toộn rÊt cao vừ cịc thềng tin ệđĩc mở hãa. Viỷc
bờo mẺt nộy lộ mét trong nhọng ụng dông cựa
toịn rêi rỰc, lÝ thuyạt sè.

Trong y hảc, ệĨ sịng chạ cịc dơng cô chÈn
ệoịn, vÝ dô nhđ chÈn ệoịn ngđêi cã thai, ngđêi
ta lẺp mề hừnh toịn hảc vÒ sù thay ệữi trong cể
thÓ răi giời nã bỪng nhọng cềng cô toịn hảc, vÝ
dô nhđ biạn ệữi Laplace trong phđểng trnh o

hàm riêng v.v...

Trong thit k thời trang, cịc nhộ thiạt kạ sỏ
dông viỷc tÝnh diỷn tÝch, chu vi vộ ệđêng kÝnh
cỉng cịc thuẺt toịn ệĨ gióp tỰo ra cịc bờn thiạt
kạ ệăng thêi phời tÝnh toịn sè lđĩng còng nhđ
chi phÝ cho nhọng tÊm vời cẵn cớt.

Khi lộm phim hoỰt hừnh, ngđêi ta ệở sỏ dơng ệỰi
sè tuyạn tÝnh ệĨ ệiỊu khiÓn cịc ệèi tđĩng ệđĩc
luẹn chuyÓn, thay ệữi ệÓ lộm chóng lắn lến hoẳc
nhá ệi liến tơc.

ậĨ mề tờ vộ dù ệoịn mề hừnh thêi tiạt, ngđêi ta
phời sỏ dông cịc bé cờm biạn tinh vi ệở ệđĩc
tÝch hĩp vộo trong cịc mề hừnh toịn hảc phục
tỰp. Nã sộng lảc liến tơc cịc dÊu hiỷu vỊ nhiỷt
ệé, vẺn tèc giã, ệé Èm... ệÓ tỰo ra cịc mÉu thêi
tiạt. Vộ trong quị trừnh sinh thịi kiÓm soịt thêi
tiạt, khÝ tđĩng hảc, ngđêi ta cẵn phời xẹy dùng
cịc hỷ thèng phục tỰp cựa cịc phđểng trừnh vi
phẹn liến kạt.

Vắi mẫi chuyạn ệi chểi, cho dỉ bỰn ệi ệạn bởi
biÓn hoẳc lến nói, bỰn sỳ lẺp kạ hoỰch theo
cịch cựa bỰn mộ ẻ ệã bỰn sỳ sỏ dông thêi gian
mét cịch khền ngoan thừ toịn hảc sỳ hđắng dÉn
vộ gióp bỰn. Răi nạu bỰn lộ tội xạ thừ viỷc đắc
ệỡnh nhiến liỷu nhđ xẽng, dẵu vộ nđắc ệÒu ệưi
hái kỵ nẽng tÝnh toịn cựa bỰn.

BÊt cụ nểi nộo bỰn ệi, bÊt cụ ệiÒu gừ bỰn lộm,
bỰn ệang sỏ dông toịn hảc hộng ngộy mộ
khềng hÒ nhẺn ra. Nã chử ệạn mét cịch tù nhiến.
Nhđ vẺy toịn hảc vộ nhiÒu khÝa cỰnh cựa nã lộ
mét phẵn quan trảng trong cuéc sèng hộng
ngộy. Toịn hảc sỳ lộm bỰn thềng minh hển vộ
gióp bỰn tÝnh toịn cho mừnh nhọng bđắc ệi trong
cuéc sèng mét cịch râ rộng hển.

TỐN HỌC

TRONG CUỘC SỐNG HAỉNG NGAỉY

Đào Vũ Quang

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

8

1.Ta có A x3 y3 36xy (x y)(x2 xy y2)

36xy 12(x2 xy y2) 36xy 12(x2 xy y2
3xy) 12(x y)2 123 1728.

2.áp dụng bất đẳng thức |x| |y| |x y| ta có

DÊu “ ” x¶y ra khi
VËy

3.Vì x2 y2 4x 4y 8 (x 2)2 (y 2)2 và
x2 8x 17 (x 4)2 1 nên ta gọi A(0, 0), B(2, y),
C(x, 2) và D(4, 3). Khi đó M AB BC CD AD.
Dấu bằng xảy ra khi B thuộc đoạn AC và C thuộc
đoạn AD.

VËy

4.Tõ 0 f(f(0)) f(b) ab b (a 1)b, ta cã
a 1 hc b 0.

NÕu b 0 th× f(x) ax, ta cã 9 f(f(f(4))) f(f(4a))
f(4a2) 4a3(lo¹i).

Do đó a 1. Khi đó f(x) x b, ta có
f(f(x)) ( x b) b x.

Suy ra f(f(f(f(x)))) f(f(x)) x víi mäi x.

VËy f(f(f(f(1)))) f(f(f(f(2)))) f(f(f(f(3)))) ...
f(f(f(f(2014)))) 1 2 3 ... 2014

5.

Gải r lộ bịn kÝnh ệđêng trưn, gải x vộ y lộ khoờng
cịch tõ tẹm O cựa ệđêng trưn ệạn cịc dẹy cung.
Vừ ệoỰn thỬng nèi tõ tẹm ệđêng trưn ệạn cịc dẹy
cung vuềng gãc vắi dẹy cung ệã nến ịp dông ệỡnh
lÝ Pytago ta cã

Tđểng tù ta cã 162 y2 r2.
Do ệã 162 y2 122 x2.

Suy ra (x y)(x y) x2 y2 112. Ta chia lộm
hai trđêng hĩp sau:

* Nếu hai dây cung đã cho thuộc cùng một phía so
với điểm O thì x y 14, khi đó x y 8, suy ra
y 3 (loại).

* Nếu hai dây cung đã cho khơng thuộc cùng một
phía so với điểm O thì x y 14, khi đó x y 8,
suy ra x 11 và y 3.

Suy ra Gọi dây cung cần tìm độ dài là
AB. Khoảng cách từ tâm O đến dây cung AB là

VËy

(K× sau đăng tiếp)

2 ₂

AB 2 265 4 2 249.
14

OH 11 4.

2
r 265.
2

2 2 2 2 2

24 _x _r ₁₂ _x _{r .}

2

2014 2015 2029105.
2

2 2

8
x

3
MinM (4 0) (3 0) 5

3

y .

2

45 7

MinM khi x .

4 2

7

x .

2

2M 2 x 1 4 x 5 2 2x 7 x 11

21 7

2x 2 11 x 20 4x 3x x

2 2

21 7

2x 2 11 x 20 4x 3x x

2 2

19 7

x 13 x x

2 2

19 45

x 13 x 0 .

2 2

ThS.Phỉng kim dung
(Tữ trđẻng tữ Toịn trđêng THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam,

su tầm, dịch và giới thiu)

LI GII THI CHN ĐỘI TUYỂN

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

9

Bội 1.(3 ệiÓm)Cho cịc sè dđểng a, b, c tháa mởn
Chụng minh rỪng

Bội 2.(5 ệiÓm)Giời cịc phđểng trừnh vộ hỷ phđểng trừnh sau

Bội 3.(2 ệiÓm)Qua ệiÓm M thuéc cỰnh BC cựa tam giịc ABC kĨ cịc ệđêng thỬng song song vắi

cịc cỰnh AB vộ AC, chóng tỰo thộnh vắi hai cỰnh Êy mét hừnh bừnh hộnh. Từm vỡ trÝ cựa M ệÓ hừnh
bừnh hộnh ó có din tích ln nhất.

Bài 4.(4 điểm)

a) Cho hai sè dđểng x, y. Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biĨu thục sau

b) Tìm các số ngun x, y thỏa mãn đẳng thức 2x2 y2 3xy 3x 2y 2 0.

Bội 5.(4 ệiÓm)Cho tam giịc nhản ABC (AB AC) néi tiạp ệđêng trưn (O). Cịc ệđêng cao BD, CE
cựa tam giịc ABC cớt nhau tỰi H. ậđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ADE cớt (O) tỰi ệiÓm K khịc A.
Chụng minh rỪng

a) KH ®i qua trung ®iĨm M cđa c¹nh BC.

b) BC lộ tiạp tuyạn chung cựa cịc ệđêng trưn ngoỰi tiạp cịc tam giịc BHK vộ CHK.

Bội 6. (2 ệiÓm) Theo quyạt ệỡnh Bé Cềng Thđểng ban hộnh, giị bịn lĨ ệiỷn sinh hoỰt tõ 16/3 sỳ
giao ệéng trong khoờng tõ 1484 ệạn 2587 ệăng mẫi kWh tỉy theo bẺc thang. Dđắi ệẹy lộ bờng so
sịnh biÓu giị ệiỷn trđắc vộ sau khi ệiÒu chửnh (ậển vỡ: ậăng/kWh).

a) Nạu hé A trung bừnh mẫi thịng tiếu thô 120 kWh thừ theo giị mắi sè tiÒn phời trờ tẽng lến bao nhiếu?
b) Hé B trong thịng 2 ệở trờ tiỊn sỏ dơng ệiỷn lộ 194170 ệăng. Hái lđĩng ệiỷn mộ hé B tiếu thô trong
thịng 2 lộ bao nhiếu?

c) Giờ sỏ hé C trong nỏa thịng ệẵu ệđĩc tÝnh theo giị cò, trong nỏa thịng sau ệđĩc tÝnh theo giị
mắi vắi mục sỏ dông thùc tạ (bao găm cờ nỏa thịng ệẵu) vộ lđĩng ệiỷn tiếu thô ẻ mẫi thịng lộ bỪng
nhau. Sè tiÒn cuèi thịng hé C phời trờ lộ 116350 ệăng. Hái lđĩng ệiỷn mộ hé C tiếu thô trong thịng
lộ bao nhiếu? Biạt rỪng lđĩng ệiỷn tiếu thô khềng vđĩt quị 100 kWh.

2
x 12

P y.

x y
2

2

a) 2x x 3 3x x 3
y 2 x 1

b)

x y x y

2 2 2 2

2 2 2 2

(1 b c )(1 a c ) a b.
c a b c

1

a b c .

abc

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

TP. HỒ CHÍ MINH

Năm học: 2015 - 2016

Thời gian làm bài:150 phút

Mức sử dụng trong tháng (kWh) Giá mới Giá hiện tại

0 - 50 1484 1388

51 - 100 1533 1433

101 - 200 1786 1660

201 - 300 2242 2082

301 - 400 2503 2324

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

10

Nẽm hảc 2014 - 2015

Bội I.1) ậKXậ x 8. Phđểng trừnh tđểng ệđểng vắi

(tháa m·n §KX§)
2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã x3 2y3 2(x2 y2)(x y)
(x 2y)(x2 2y2) 0 x 2y.

ThÕ x 2y vµo (1) suy ra

Thỏ lỰi thÊy tháa mởn. VẺy hỷ phđểng trừnh cã
nghiỷm (x, y) l (2; 1); ( 2; 1).

Bài II.1) Vì (n; 10) 1 nên n không chia hết cho
2 vµ 5. Tøc lµ (n4 1) 5 vµ (n4 1) 8.

Mà (5; 8) 1 nên (n4 1) 40.
2) Ta cã p2 p 2y2 4y 2x2 4x

p(p 1) 2(y x)(y x 2) (*)
Ta cã p 1 2(x 1)2 2p2 x 1 p
Mµ p2 1 2(y 1)2 2p2 y 1 p

Tõ (*) ta cã 3 trđêng hĩp:

TH1. 2 p p 2 1 2x2 4x (loại).
TH2. (y – x) p: Mâu thuẫn với y x p.
TH3. (y x 2) p: Kết hợp với (2) thì
y x 2 p. Từ (*) ta có p 1 2(y x).
Từ đó và giả thiết có

4x 2 2x2 4x x 1
KÕt luËn p 7; x 1; y 4.

3) Không mất tính tổng quát giả sử x y z.
3x3 x3 y3 z3 nx2y2z2

Tõ gi¶ thiÕt suy ra y3 z3 x2

TH1. z 2 18 16n2y y 1 (loại vì y z)
TH2. z 1 thì x3 y3 1 nx2y2.

+) NÕu y 1 x3 2 nx2 2 x2 x 1
n 3. Chän x y z 1.

+) XÐt y 2, tõ (*) suy ra 9 n2 n 1; 2; 3.
-) NÕu n 1 thì x3 y3 1 x2y2.

Chọn x 3 và y 2.

-) NÕu n 2 th× x3 y3 1 2x2y2.
Tõ (*) 18 4y y 4.

Thay y 1; 2; 3; 4 ta thấy không tồn tại x.
Vậy n 1 hc n 3.

Bài III. Ta có 1 (a b)(b c)(c a)
(a b c)(ab bc ca) 1 abc. (1)
áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có

Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã .
Bµi IV.

1) Ta cã

Suy ra APM NHM (g.g)

2) Chøng minh tø giác AHCF nội tiếp và

PM AM _{PM.MN AM.HM.}
HM NM

PMH ABN AMN.

3
ab bc ca

4

3
1
1 (a b)(b c)(c a) 8abc abc . (2)

8
a b b c c a
1 (a b)(b c)(c a)

3
3

a b c . (3)
2
2 4 4

3 n y z 2 4

2y 18 n yz . (*)

9

2 4 4
3 3 2 n y z

y z x

9

2 2
ny z
x

3

y x p (1)

y x 2 2p (2)

2 y 1 x 2

y 1

y 1 x 2

2 2

3 3

x y 5 (1)

x 2y 10x 10y (2)
x 8 1 _{x 9}

x 3

2 2

( x 8 1) ( x 3) 0

Năm học 2015 - 2016

(Đề đăng trên TTT2 sè 149+150)

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

11

Do đó

Suy ra ®pcm.

3) Kẻ Trên BC lấy điểm D sao

cho Ta cã ABQ CDQ

Tđểng tù
Tõ (1), (2) cã

nhá nhÊt nhá nhÊt QK
lín nhÊt Q là điểm chính giữa của cung nhỏ BC.
Bài V. Nếu cã

Suy ra xy 0 nªn x y z 0.

Xét 0 x, y, z 103

Chia đoạn [0; 5.103] thành 5.106 khoảng giá trị

Vì x, y, z [0; 103] nên có (103 1)3bộ số (x, y, z).
Theo nguyên tắc Dirichlet tồn tại ít nhất 2 bộ số
phân biệt (x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂) sao cho

và

thuộc cùng một khoảng. Suy ra
Mặt khác

Vậy

1 2 1 2 1 2 1₃

0 (x x ) (y y ) 2 (z z ) 3
10
2 2 2

(x ,y ,z ) u v 0
1 1 1

(x ,y ,z )

3
1
u v

10

2 2 2

v x y 2 z 3

1 1 1

u x y 2 z 3

3 3

3 3 3 3

1 1 2 1

0; ; ; ;...; 5.10 ; 5.10 .

10 10 10 10

3
x y 2 z 3 x y 2 z 3 5.10

2 2 2 2 2 2

x y 2 z 3 0 x y 2 z 3

x 2xy 2 2y 3z 2xy 2 3z 2y x
BC

QK
AB AC

QJ QI

AB AC CD BD BC

QJ QI QK QK

AC BD . (2)
QI QK

AB QJ _{AB CD . (1)}

CD QK QJ QK

DQC BQA.
QK BC, K BC.

o
BHC BHE CHF 180 .
CAF CAQ; CHF CAQ; BAQ BHE.

Trong toịn hảc, mét tẺp hĩp lộ mét bé sđu tẺp cịc
sè hoẳc cịc ệèi tđĩng khịc. Cịc ệèi tđĩng nộy
ệđĩc gải lộ cịc phẵn tỏ cựa tẺp hĩp. Nạu P lộ mét
tẺp hĩp cã mét sè họu hỰn cịc phẵn tỏ, thừ sè phẵn
tỏ cựa P ệđĩc kÝ hiỷu lộ |P|. Mét tẺp hĩp nhđ thạ
thđêng ệđĩc xịc ệỡnh bỪng cịch liỷt kế cịc phẵn
tỏ cựa nã, vÝ dô, M {4, 2, 0} lộ mét tẺp hĩp vắi

|M| 3. Ta khềng cẵn quan tẹm ệạn thụ tù liỷt kế
cịc phẵn tỏ cựa tẺp hĩp; do ệã {4, 2, 0} { 2, 0, 4}.
Nạu tÊt cờ cịc phẵn tỏ cựa mét tẺp hĩp M còng lộ
phẵn tỏ cựa tẺp hĩp T thừ tẺp hĩp M lộ mét tẺp hĩp
con cựa tẺp hĩp T. VÝ dô, M {4, 2, 0} lộ mét tẺp
hĩp con cựa T {4, 2, 0, 1, 10}. Vắi bÊt kừ hai tẺp
hĩp A vộ B, hĩp cựa hai tẺp hĩp A vộ B lộ tẺp hĩp
găm cịc phẵn tỏ thuéc A hoẳc thuéc B hoẳc thuéc
cờ A vộ B. Giao cựa hai tẺp hĩp A vộ B lộ tẺp hĩp
găm cịc phẵn tỏ thuéc cờ A vộ B. Hĩp cựa hai
tẺp hĩp kÝ hiỷu lộ A B vộ giao cựa hai tẺp hĩp
kÝ hiỷu lộ A B. Nhđ mét vÝ dô, nạu A {3, 4} vộ
B {4, 5, 7}, thừ A B {3, 4, 5, 7} vộ A B {4}.
Hai tẺp hĩp khềng cã phẵn tỏ chung gải lộ rêi
nhau hoẳc loỰi trõ nhau.

Mèi quan hỷ cựa hai tẺp hĩp thđêng ệđĩc minh
hảa bỪng biÓu ệă Venn, trong ệã mẫi tẺp hĩp ệỊu
ệđĩc thĨ hiỷn bẻi mét khu vùc trong mét mẳt
phỬng. ậèi vắi hai tẺp hĩp M vộ T mộ khềng rêi
nhau vộ khềng cã tẺp hĩp nộo lộ tẺp hĩp con cựa
tẺp hĩp kia thừ giao cựa hai tẺp hĩp M T ệđĩc
thÓ hiỷn bỪng phẵn tề mộu trong biÓu ệă dđắi ệẹy.

BiÓu ệă nộy minh hảa mét thùc tạ rỪng bÊt kừ hai
tẺp hĩp họu hỰn M vộ T: sè phẵn tỏ cựa tẺp hĩp
lộ hĩp cựa hai tẺp hĩp bỪng tững sè phẵn tỏ cựa
hai tẺp hĩp ệã trõ ệi sè phẵn tỏ cựa tẺp hĩp lộ
giao cựa hai tẺp hĩp ệã, bẻi vừ sè phẵn tỏ chung
ệở ệđĩc tÝnh hai lẵn trong tững; chÝnh xịc hển,

|M T| |M| |T| |M T|.

Phđểng phịp ệạm nộy ệđĩc gải lộ quy tớc céng
cựa hai tẺp hĩp. Trong trđêng hĩp ệẳc biỷt, nạu
M vộ T lộ rêi nhau, thừ |M T| |M| |T| do
|M T| 0 (vừ M T ).

NhẺn xĐt. Cã rÊt nhiÒu bỰn gỏi bội
dỡch vÒ tưa soỰn, ệa sè cịc bỰn dỡch
rÊt tèt. Cịc bỰn sau cã bội dỡch sắm vộ
sịt nhÊt ệđĩc thđẻng kừ nộy: NguyÔn ậẳng Sển,
9A, THCS NguyÔn Trởi, Nam Sịch, Hời Dđểng;
Chu TuÊn Nghỵa, 7C, THCS BỰch Liếu, Yến
Thộnh, Nghỷ An; ThỰch NguyÔn Ngảc Thờo,
6A1, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;
Ngun Hun Phđểng, 7C, THCS Lế Họa LẺp,
HẺu Léc, Thanh Hãa;Hoộng ậẽng Viỷt Anh, 7A,
THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh, Bớc Ninh; LỰi
Khịnh Trang, 6A, THCS Vỵnh Yn, TP. Vnh Yn,
Vnh Phúc.

Nguyễn Vân Minh

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

12

Bài 1(147+148).Cho

Chụng minh rỪng A khềng phời lộ sè nguyến dđểng.
Lêi giời. Tững A cã 2014 sè hỰng vộ

Do đó

Ta l¹i cã

Tõ (1) vµ (2) suy ra 1 A 2.

VẺy A khềng phời lộ sè nguyến dđểng.

Nhận xét. Đây là một bài tốn khơng q xa lạ với
các em lớp 6 nên rất nhiều em giải đúng.

Mét sè trđêng cã rÊt nhiÒu hảc sinh tham gia giời
toịn, ệiÒu nộy ệở chụng tá phong trộo hảc toịn tỰi
cịc trđêng nộy rÊt tèt vộ cịc thẵy cề ệở quan tẹm
hđắng dÉn, ệéng viến cịc em ệảc bịo toịn, ệiÒu
ệã kÝch thÝch ệđĩc tđ duy sịng tỰo, ệéc lẺp suy
nghỵ cựa cịc em. Lộ mét biỷn phịp tèt nhÊt ệÓ cã
thÓ trẻ thộnh mét hảc sinh giái toịn. Xin chóc
mõng cịc em: Ngun Trừnh Tn ậỰt, Ngun Sủ
Trảng, Ngun Sủ Qun, Trẵn Thỡ Minh Nguyỷt,
Hoộng Thỡ Ngảc Trẹm, Hoộng MỰnh Nghỵa, Trẵn
Vẽn ậỰi, Vâ Vẽn Tội, NguyÔn Thỡ Hđểng Giang,
PhỰm Cềng Tó, Lế ậừnh Thộnh, 6D, THCS Lý
NhẺt Quang, ậề Lđểng; NguyÔn Thỡ Mai Trang,
Chu TuÊn Nghỵa, Hă Thỡ HuyÒn Trang, Vâ Khịnh
Ly, Thịi Phđểng Thờo A, Phan Thỡ Thờo Ngẹn;

Phan Thỡ Lế Vi, Chu TuÊn Nghỵa, 7C, Trđêng
THCS BỰch Liếu, Yến Thộnh, Nghỷ An; Hoộng
Thu Ngẹn, ậinh Thỡ Hun Trang,7A, THCS Nam

Cao, Lý Nhẹn, Hộ Nam;Ngun ChÝ Cềng, 6A3,
NguyÔn Trung Kiến, NguyÔn Tỉng Lẹm, TỰ
Phđểng Chi, Ngun Thu Hun, NguyÔn Họu
Trung Kiến, NguyÔn Thỉy Dđểng, 7A3, THCS
Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả.

Phïng kim dung

Bội 2(147+148). Cho hai sè nguyến dđểng a, b
tháa mởn ẩCLN(a, b) BCNN(a, b) a b vộ
a b. Chụng minh rỪng a chia hạt cho b.

Lêi giời. (Theo bỰn ậẳng Thỡ Thanh Phóc, 6G,
THCS Lđểng Thạ Vinh, Tuy Hưa, Phó Yến)
Giờ sỏ d ẩCLN(a, b); M BCNN(a, b), (d, M *)
Khi ệã a dx, b dy (x, y *) Cã hai trđêng hĩp
xờy ra

TH1. a b th× a b

TH2. a b th× dx dy x y 1.

Ta có ab dM nên dxdy dM, từ đó M dxy.
Suy ra a b ƯCLN(a, b) BCNN(a, b) d M

d dxy d(1 xy).

Mặt khác a b d(x y), suy ra 1 xy x y
y(x 1) x 1 y 1 (vì y *, x 1).
Từ đó d b, suy ra a b.

VËy ta lu«n cã a b.

NhẺn xĐt.TÊt cờ cịc lêi giời gỏi ệạn tưa soỰn ệỊu
ệóng. Ngoội bỰn Phóc, cịc bỰn sau cịng cã lêi
giời ệóng: Ngun Minh ậục, 7A1, THCS Nhẹn
ChÝnh, Thanh Xuẹn; ậinh Hoộng NhẺt Minh, 7A5,
THCS Cẵu GiÊy, Cẵu GiÊy, Hộ Néi;NguyÔn Bừnh
Nguyến, 6D10, THCS Trẵn Phó, Lế Chẹn, Hời
Phưng; Trẵn Viỷt An, 6A, THCS NguyÔn Cao,
Quạ Vâ, Bớc Ninh; Lế Ngảc Hoa, 7E1, THCS
Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng; Lế Hăng Nhung, 6A,
THCS Vỵnh Yến, TP. Vỵnh Yến; Triỷu Phđểng
Uyến,Trđểng Diỷu Linh, 6A, THCS Lý Tù Trảng,
Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc; Bỉi Thỡ Quúnh, 7A3,
THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Ngun
Thỡ Thỉy Linh, 6B, THCS Hă Xuẹn Hđểng, Quúnh
Lđu; Hoộng Minh Thi, 6A, THCS Cao Xuẹn Huy,
DiÔn Chẹu, Nghỷ An;NguyÔn Hoộng Oanh, 7A7,
THCS Thèt Nèt, Thèt Nèt, Cẵn Thể.

Hå Quang Vinh

2 2

2

2 2

2

2 2

2015 2015.2014

A 2014

2014 1 2014 1

(2014 1)2014 2014 2014

2014 1 2014 1

2014 1 2013 ₁ 2013 _{2. (2)}

2014 1 2014 1

2 2 2

2

2015 2015 2015

A ...

2014 1 2014 2 2014 2014
2015 ₂₀₁₄ 2015.2014

2014(2014 1)
2014 2014

2015.2014 1. (1)
2014.2015

2 2 2

2015 2015 _... 2015 _.

2014 +1 2014 + 2 2014 + 2014

2 2 2

2015 2015 2015

A ... .

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

13

Bội 3 (147+148).Từm a, b vộ c, biạt rỪng tẺp nghiỷm
cựa phđểng trừnh x5 2x4 ax2 bx c 0 lộ
S {1; 1}.

Lêi giời. Vừ x 1 vộ x 1 lộ nghiỷm cựa phđểng
trừnh nến ta cã

Thay vộo phđểng trừnh trong ệẵu bội, ta ệđĩc
x5 2x4 ax2 x a 2 0

(x2 1)(x3 2x2 x a 2) 0

Vừ (1) lộ phđểng trừnh bẺc ba, luền cã Ýt nhÊt mét
nghiỷm thùc nến nghiỷm ệã chử cã thÓ lộ x 1
hoẳc x 1.

TH1. Phđểng trừnh (1) cã nghiỷm x 1 a 6
c 4.

Víi a 6, ta cã (1) trë thµnh

Vừ phđểng trừnh x2 3x 4 0 về nghiỷm nến
phđểng trừnh ệở cho vắi (a, b, c) ( 6, 1, 4) cã
tẺp hĩp nghiỷm lộ S { 1 ; 1} (tháa mởn).

TH2. Phđểng trừnh (1) cã nghiỷm x 1 a 2
c 0.

+ Víi a 2, ta cã (1) trë thµnh

Phđểng trừnh ệở cho cã tẺp hĩp nghiỷm lộ
S { 1 ; 0; 1} (khềng tháa mởn).

VËy (a, b, c) ( 6, 1, 4).

NhẺn xĐt. RÊt nhiÒu bỰn, sau khi thÊy phđểng
trừnh ệở cho cã nghiỷm x 1, suy ra

ệở coi ệã lộ kạt quờ cẵn từm cựa bội toịn. ậiỊu ệã
lộ khềng ệóng vừ ngoội hai nghiỷm trến, phđểng
trừnh (1) cã thÓ cưn nghiỷm khịc 1. Khi ệã bội
toịn khềng tháa mởn.

Mét sè bỰn khịc lỰi cho rỪng phđểng trừnh (1) cã tẺp
hĩp nghiỷm lộ S { 1}. ậiỊu ệã cịng khềng ệóng.
Lđu ý rỪng, bội toịn tháa mởn khi phđểng trừnh (1)
cã nghiỷm lộ x 1 hoẳc x 1 vộ ngoội ra khềng
cã nghiỷm nộo khịc. Vừ vẺy phời xĐt hai trờng
hp nh lời gii trn.

Các bạn sau đây có bài giải tốt: Nguyễn Văn
Hùng, 8D, THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hóa; Đặng
Quang Anh, 9A, THCS Nguyễn Chích, Đông Sơn,

Thanh Hóa;inh Hong NhẺt Minh, 7A5, THCS
Cẵu GiÊy, Cẵu GiÊy, Hộ Néi; ậinh Thỡ Hăng
Nhung, 9A1, THCS Lế Danh Phđểng, Hđng Hộ,
Thịi Bừnh; TỰ Phđểng Chi, 7A3, THCS Lẹm
Thao, Lẹm Thao, Phó Thả.

Ngun Anh Dịng

Bội 4(147+148). Cho x, y lộ cịc sè thùc dđểng
tháa mởn x y xy. Từm giị trỡ lắn nhÊt cựa biĨu
thục

Lêi gi¶i. Tõ gi¶ thiÕt ta cã

Ta biến đổi

áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

VËy khi x y 2.

NhẺn xĐt. Cã rÊt nhiÒu bỰn tham gia giời bội. Hẵu
hạt cịc bỰn ệỊu giời ệóng, mét sè bỰn cã lêi giời
cưn dội dưng, cã nhiÒu bỰn lộm bội gièng nhau.
Nhọng bỰn sau ệẹy cã lêi giời ệóng: Ngề Thỡ Huạ,
9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;Vò
Viỷt Anh, 9A1, THCS Hăng Bộng, Hăng Bộng, Hời
Phưng; ậinh Thỡ Hăng Nhung, 9A1, THCS Lế
Danh Phđểng, Hđng Hộ, Thịi Bừnh; Vâ NguyÔn
ậan Phđểng, 8A3, THCS Thỡ TrÊn Phỉ Mủ, Phỉ
Mủ, Bừnh ậỡnh; ậẳng Quang Anh, 9A, THCS
NguyÔn ChÝch, ậềng Sển, Thanh Hãa; NguyÔn
Sển Lẹm, 8A4, THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ
Ninh; Hộ Ngảc Khang, 8B, THCS Thanh Hộ,
Thanh Ba, Phó Thả.

Cao Văn Dũng

Bài 5(147+148). Tìm các chữ sè a, b, c, d biết
biết rằng số lần
xuất hiện các chữ số a, b, c và d trong biểu thức
trên bằng nhau.

Lời gii.Gi sè lẵn xuÊt hiỷn mẫi chọ sè a, b, c
vộ d trong biÓu thục lộ n (vắi n lộ sè nguyến
dđểng).

3

aa...abb...bcc...c 1 (dd...d 1) ,
1

MaxM
24

2 2

2 2 2 2

2 2

12
M

4x y
34(x y ) (x y )

x y

12 12 1 _{1 .}

34.2xy 4xy 72xy 6xy 24

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

M

5x 7y 7x 5y

12(x y ) 12(x y ) _.

(5x 7y )(7x 5y ) 35(x y ) 4x y
2

(x y)

0 x y xy 4 x y xy.

4

2 1 2 2 1 2

M .

5x 7y 5y 7x

c a 2

b 1

2

3 2 x 0

x 2x x 0 x x 1 0

x 1

3 2 2

2

x 2x x 4 0 (x 1)(x 3x 4) 0
x 1

x 3x 4 0

3 2

x 1

x 2x x a 2 0. (1)

a b c 3 0 a c 2 c a 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

14

TH1. NÕu n 1, ta có

Vì 101 (d 1)3 1000 nên 4 d 9.

Cho d lẵn lđĩt nhẺn cịc giị trỡ 4, 5, 6, 7, 8 vộ 9 ta
ệđĩc cịc sè tđểng ụng lộ 124, 215, 342, 511,
728 vộ 999 (tháa mởn).

TH2. NÕu n 2, ta cã

Vừ 100001 1000000 nến 5 d 9.
Cho d lẵn lđĩt nhẺn cịc giị trỡ 5, 6, 7, 8 vộ 9 thừ
chử cã d 9 tháa mởn. Khi ệã a b c 9.

TH3. Nếu n 3, đặt
Suy ra

a.x.102n b.x.10n cx 1 d3x3 3d2x2 3dx 1
ax(9x 1)2 bx(9x 1) cx d3x3 3d2x2 3dx
[81ax2 (18a 9b)x] (d3x2 3d2x)

3d (a b c). (1)
Do đó 3d – (a b c) x.

Mµ x 111, 24 3d (a b c) 26 nªn
3d (a b c) 0. (2)

Tiạp tôc lẺp luẺn tđểng tù ta cã

3d2 (18a 9b) 0. (3) vµ d3 81a 0. (4)
Tõ (4), suy ra d3 81.

Mà d là chữ số khác 0 nên d 9.

Thay d 9 vộo (4) ta ệđĩc a 9. Thay a d 9
vộo (3) ta ệđĩc b 9.

VẺy cịc bé sè (a; b; c; d) lộ (1; 2; 4; 4), (2; 1; 5; 5),
(3; 4; 2; 6), (5; 1; 1; 7), (7; 2; 8; 8) khi mẫi chọ sè
a, b, c, d xuÊt hiỷn mét lẵn vộ (9; 9; 9; 9) khi mẫi
chọ sè a, b, c, d xuÊt hiỷn n lẵn vắi n lộ sè nguyến
dđểng tỉy ý.

NhẺn xĐt. Cã nhiÒu bỰn gỏi bội ệạn tưa soỰn, tuy
nhiến hẵu hạt cịc bỰn giời sai do sỏ dông ệăng
nhÊt hỷ sè vừ ngé nhẺn ệỬng thục ệở cho ệóng vắi
mải giị trỡ cựa n. ẻTH3, ta cã thÓ giời bỪng cịch
cho d lẵn lđĩt nhẺn cịc giị trỡ 1, 2, 3, ..., 9 sau ệã
từm 2 hoẳc 3 chọ sè tẺn cỉng cựa sè

ệÓ loỰi cịc trđêng hĩp kạt quờ khềng cã dỰng
Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: ậinh Vò Tỉng Lẹm,
7A2, THCS Cẵu GiÊy, Cẵu GiÊy, Hộ Néi;Lế Ngảc
Hoa, 7E1, Bỉi Anh Vò, 8B, THCS Vỵnh Tđêng,
Vỵnh Tđêng; PhỰm Thu Bớc, 8A4, THCS Yến LỰc,
Yến LỰc, Vỵnh Phúc.

TRịNH HOàI DƯƠNG

Bi 6(147+148).Cho tam gic ABC nội tip ờng
trn tẹm O, G lộ trảng tẹm. Tiạp tuyạn tỰi B cựa
(O) cớt CG tỰi M. Tiạp tuyạn tỰi C cựa (O) ct BG
ti N. Chng minh rng

Lời giải.(Theo bạn Đặng Quang Anh, 9A, THCS
Nguyễn Chích, Đông Sơn, Thanh Hóa).

Gi X, Y theo thụ tù lộ giao ệiÓm cựa CN, AN vộ
ệđêng thỬng qua B song song vắi AC; Z, T theo
thụ tù lộ giao ệiÓm cựa BM, AM vộ ệđêng thỬng
qua C song song vắi AB; P, Q theo thụ tù lộ giao
ệiÓm cựa AB vắi CG, AC vắi BG.

Vì BA // CZ và BZ tiếp xúc với (O) nên
Do đó ABC BCZ (g.g), suy ra

Tđểng tù AC.BX CB2.
Do ệã AB.CZ AC.BX

V× XY // CA; ZT // BA; QA QC; PA PB nên

Từ (1) và (2) suy ra
Vì BY // AC; CT // AB nên

Từ (3) và (4) suy ra ABY ACT (c.g.c).
Từ đó, chú ý rằng suy ra

NhËn xÐt. Chỉ có bạn Đặng Quang Anhtham gia
giải bài toán trên. BạnĐặng Quang Anhcòn đa ra
nhận xét: Có thể mở rộng bài toán bài toán trên
bằng cách thay giả thiết G là trọng tâm của tam giác
ABC bởi giả thiết G nằm trên trung tuyến xuất phát
từ A của tam giác ABC.

Nguyễn Minh Hµ
MAB YAB MAY TAC NAT NAC.

MAY NAT,

ABY BAC ACT. (4)
BA BY . (3)

CA CT
BX BX CT BY QC PA BY
CZ BY CZ CT QA PB CT

BY BY

1 1 . (2)

CT CT

BA BX . (1)
CA CZ

2 2 2

AB CZ BC CZ

AB.CZ BC BC BC .

BC BC CZ BC

ABC BCZ, BAC CBZ.

MAB NAC.
aa...abb...bcc...c.

3
(dd...d 1) 1

n
n

x 111...1 9x 1 10 .
3

(dd 1)

3
aabbcc 1 (dd 1) .
abc

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

15

ậẳng Quang Anh, 9A, THCS NguyÔn ChÝch, ậềng
Sển, Thanh Hãa; ậinh Thỡ Hăng Nhung, 9A1,
THCS Lế Danh Phđểng, Hđng Hộ, Thịi Bừnh;Lế
Ngảc Hoa, 7E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng,
Vỵnh Phóc; ậinh Vị Tỉng Lẹm, 7A2, THCS Cẵu
GiÊy, Cẵu GiÊy, Hộ Néi; Vâ NguyÔn ậan Phđểng,
8A3, THCS Thỡ TrÊn Phỉ Mủ, Phỉ Mủ, Bừnh ậỡnh;

Hoộng Thu Ngẹn, 7A, THCS Nam Cao, Lý Nhẹn,
Hộ Nam; NguyÔn Trừnh TuÊn ậỰt, 6D, THCS Lý
NhẺt Quang, ậề Lđểng, Nghỷ An; Trẵn Viỷt An,
6A, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh;
NguyÔn Hoộng Oanh, 7A7, THCS Thèt Nèt, Thèt

Nèt, Cẵn Thể; Vò Viỷt Anh, 9A1, THCS Hăng
Bộng, Hăng Bộng, Hời Phưng.

DỰNG HÌNH LỤC GIÁC

TAM GIÁC KHÔNG NHỌN

(TTT2 sè 147+148)
TH1. ABCD là tứ giác lồi, chẳng hạn giả sử

khi ú ABC l tam giỏc vng hoặc
tam giác tù.

TH2. Có một điểm nằm ở miền trong của tam
giác với ba đỉnh là ba điểm còn lại.

Giả sử D thuộc miền trong của tam giác ABC. Khi
đó

Suy ra trong ba góc có ít nhất
một góc lớn hơn 90o, giả sử Khi đó
ADC là tam giác tù.

Cịc bỰn sau ệđĩc thđẻng kừ nộy: ậẫ
Tiạn ậỰt, 7A2, THCS Hăng Bộng,
Hăng Bộng, Hời Phưng;NguyÔn Minh
ậục, 7A1, THCS Nhẹn ChÝnh, Thanh Xuẹn, Hộ
Néi; Huúnh NhẺt Quang, 8/7, THCS NguyÔn Thỡ
Minh Khai, Cam Phóc Bớc, Cam Ranh, Khịnh
Hưa; Ngun Tróc Qnh, 7A2, THCS Yến LỰc,
Yến LỰc; Lế Thu Trang, 8D, THCS Lý Tù Trảng,
Bừnh Xuyến; Lế Ngảc Hoa, 7E1, THCS Vỵnh

Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc.

Anh Compa
o

CDA 90 .
ADB, BDC, CDA

o
ADB BDC CDA 360 .
o

ABC 90 ,

Bài toán. Cho tam giác ABC cân tại A
có Hãy dựng lục giác đều
có cạnh bằng

Cao Ngọc Toản
(GV. THPT Tam Giang, Phong Điền,
Thừa Thiên - HuÕ)
BC.

2
o
BAC 120 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

16

ôm nay thám tử Sêlôccôc thấy

hơi mệt nên quyết định ở nhà

và cho chim ăn. Đang say sða bên lồng họa

mi, thám tử chợt nghe tiếng ơng Ben hàng

xóm nói vọng sang:

mét chót. Mộ ềng nãi “may” lộ sao?

sang bến tềi ệđĩc khềng?

Råi «ng Ben kĨ:

- Thạ nộy ềng Ự. ChiỊu qua tềi ra ngẹn hộng

rót tiỊn vừ nhộ cã viỷc. Trêi nãng quị nến vỊ

ệạn nhộ lộ tềi véi ệi tớm ngay. Lóc mẻ tự lÊy

quẵn ịo, tềi ệĨ tỰm bảc tiỊn luền vộo ệã.

Tớm xong ệđĩc mét lóc, tềi sùc nhắ ra l

phải cất tiền vào két. Không ngờ, mở tủ ra

thì chẳng thấy tiền đâu nữa.

- Lỳc ú khong my giờ?

- Tẵm 5 rđìi 6 giê gừ ệã. Tềi khềng biạt

chÝnh xịc nhđng lóc tềi vỊ tắi nhộ lộ 5 giê

chiỊu.

- Cã ai biÕt viƯc anh rót tiỊn kh«ng?

- Hai ệụa chịu ệđa tềi ệi rót tiỊn nến chóng

ệỊu biạt viỷc nộy... Nhđng mộ cờ hai ệụa

thđêng xuyến tắi gióp ệì tềi mải viỷc, chẽm

sãc tềi lóc nộy lóc khịc... Chóng nã rÊt

ngoan. Tềi cưn ệđa cờ chừa khãa nhộ cho

chóng nã mộ.

- Mét mÊt mđêi ngê. VÉn phời nghi tÊt cờ

nhọng ai liến quan chụ ềng. Mộ khi ệđa ềng

vÒ tắi nhộ thừ hai ệụa nã ệi ệẹu?

- Chúng nó về nhà, cũng gần đây thơi.

- Chúng nó đang học hay đã đi lm?

CHUYEN BEN NHAỉ

haứng xoựm

Nguyễn Văn Quang

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

17

- C hai đều đang học nghề.

Đầu tiên, ông Ben đða thám tử tới nơi mà

đứa cháu tên là Endi đang trọ.

- Chiều qua cháu đã làm gì sau khi đða ông

Ben về tới nhà?

- Cháu đi xe buýt về luôn đây ạ. Xuống xe,

cháu tạt vào quầy sách báo, thấy có quyển

sách về Levitan, cháu cứ cắm cúi xem mãi.

Ngẩng lên thì trời đã rất tối, cháu vội vàng

về nu n.

- Levitan là ai thế hả cháu?

- D, lộ danh hảa ngđêi Nga Ự. Chịu mế

ềng ý tõ bĐ. Chịu sđu tẺp rÊt nhiÒu tội liỷu

nãi vÒ ềng ý vộ vÒ tịc phÈm Mỉa thu vộng.

- Bịc hái ệỉa thềi, chụ bịc còng mế Levitan

lớm.

- Bịc cã thÓ rỳ vộo quẵy sịch bịo mộ chịu

xem hềm qua. Qun sịch vỊ Levitan hay

lớm nhđng ệớt quị nến chịu chđa mua

ệđĩc.

Sau đó, ơng Ben và thám tử đến nhà đứa

cháu Mac, cách đó gần một cây số.

- Sau khi đða ơng Ben về nhà, cháu đã làm

gì?

- DỰ, chịu vỊ nhộ, tớm răi xem TV. Mời xem

quị nến chịu chử ẽn mừ, chỬng nÊu nđắng

gừ.

- Chđểng trừnh gừ mộ khiạn chịu bá cờ viỷc

nÊu ẽn thạ?

- DỰ, chđểng trừnh khoa hảc vỊ dểi Ự. Bẹy

giê thừ chịu ệở hiĨu vừ sao nhng by di li

ng n th.

- Vì sao? Bác cũng không biết đâu.

- V mi la dểi mứ thđêng ệĨ rÊt nhiÒu

trụng, mộ mẫi nẽm dểi mứ lỰi ệĨ mÊy lụa

liÒn Ự.

Hái chuyỷn Mac xong, thịm tỏ vộ ềng Ben

ra vÒ. Trến ệđêng, thịm tỏ bờo:

lùa lêi nãi vắi nã sao cho võa mÒm máng

võa cđểng quyạt...

căn cứ vào đâu mà có nghi vấn đó?

C¸c th¸m tư Ti Hång h·y gióp «ng Ben

nhÐ!

Anh Bip vệ sĩ nói rằng anh ta suýt làm đổ lon

bia uống dở của ông chủ. Tuy nhiên, ngay từ

đầu câu chuyện, chúng ta thấy ông Pendy

chða hề bật nắp lon bia. Anh Bip đã dựa vào

thói quen hàng ngày của ông chủ để khai

gian với thám tử Sêlôccôc. Tất nhiên, sự gian

dối này không thể qua mắt vị thám tử tài ba

của chúng ta và cũng không thể qua mắt tất

cả các thám tử Tuổi Hồng của TTT.

Phẵn thđẻng kừ nộy ệđĩc gỏi tắi:

Ngun §øc Luân

, 7A, THCS Lê

Quý Đôn, Thanh Sơn,

Phú Thọ

;

Lê Đức Thái

,

7A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc,

Vĩnh Phúc

;

Đinh Xuân Hoàn

, 7A4, THCS Trần Đăng

Ninh, TP. Nam Định,

Nam Định

;

Trần Anh

Tuấn

, 7C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành,

Nghệ An

;

Lê Bùi Vỹ Giang

, 6C, THCS Hoàng

Xuân HÃn, Đức Thọ,

Hà Tĩnh

.

Thám tử Sêlôccôc

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19></div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

19

any of the ideas discussed in the
preceding three topics are important
to the study of discrete probability.
Discrete probability is concerned with experiments
that have a finite number of outcomes. Given such
an experiment, an event is a particular set of
outcomes. For example, rolling a number cube
with faces numbered 1 to 6 (similar to a 6-sided
dice) is an experiment with 6 possible outcomes:
1, 2, 3, 4, 5 or 6. One event in this experiment is
that the outcome is 4, denoted by {4}; another event
is that the outcome is an odd number: {1, 3, 5}.
The probability than an event E occurs, denoted

by P(E), is a number between 0 and 1, inclusive.
If E has no outcomes, than E is impossible and
P(E) 0; if E is the set of all possible outcomes of
the experiment, then E is certain to occur and
P(E) 1. Otherwise, E is possible but uncertain,
and 0 P(E) 1. If F is a subset of E, then
P(F) P(E). In the example above, if the probability
of each of the 6 outcomes is the same, then the
probability of each outcome is , and the outcomes
are said to be equally likely. For experiments in
which all the individual outcomes are equally likely,
the probability of an event E is

In the example, the probability that the outcome is
an odd number is

Given an experiment with events E and F, the
following events are defined:

not Eis the set of outcomes that are not outcomes
in E;

E or Fis the set of outcomes in E or F or both, that
is, E F;

E and F is the set of outcomes in both E and F,
that is, E F.

Math Terms

discrete probability xác suất rời rạc

experiment thí nghiệm

finite hữu hạn

outcome khả năng

event sự kiện

set tập hợp

faces numbered cc mt ệđĩc ệịnh sè
6-sided dice xóc xớc 6 mẳt

possible cã thĨ

denote kí hiệu

occur xảy ra

inclusive bao gồm

impossible không thể

subset tập con

equally likely ng kh nng, c hi
bng nhau

individual cá nhân

Practice.Bn hởy dùa vộo Math Terms gĩi ý trến
ệÓ dỡch ệoỰn trến. Bội dỡch tèt sỳ ệđĩc nhẺn quộ
tẳng cựa tưa soỰn.

{1, 3, 5} 3
P({1, 3, 5}) .

6 6

The number of outcomes in E

P(E) .

The total number of possible outcomes
1

6

DISCRETE PROBABILITY

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

20

Lời giải trên đã sai ở chỗ lấy nghiệm ngoại lai x 1.
Vì

Do đó

VẺy phđểng trừnh cã nghiỷm duy nhÊt .
Vừ vẺy nạu giời theo cịch ệở nếu thừ cẵn phời thỏ

lỰi xem x 1 vộ cã lộ nghiỷm cựa phđểng
trừnh hay khềng.

NhẺn xĐt.Cịc bỰn sau ệđĩc thđẻng kừ
nộy: Trẵn Viỷt An, 6A, THCS NguyÔn
Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; NguyÔn
ậẳng Sển, 9A, THCS NguyÔn Trởi, Nam Sịch,
Hời Dđểng; Chu Thỡ Thanh, 7E1, THCS Vỵnh
Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Phan Thịi
Hoộng Lẹn, 7C, THCS BỰch Liếu, Yến Thộnh,

Nghỷ An;Trẵn Quèc Phđểng, 9A, THCS Thỡ trÊn
Thđêng Xuẹn, Thđêng Xuẹn, Thanh Hãa.

Cịc bỰn sau ệđĩc khen kừ nộy: NguyÔn Hoộng
Hđêng, 8A2, THCS HỰ Hưa, HỰ Hưa, Phó Thả;
ậinh Thỡ Hăng Nhung, 9A1, THCS Lế Danh
Phđểng, Hđng Hộ, Thịi Bừnh; Hă NhẺt Quang,
8A, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu; Trẵn Thỡ
DiÔm Quúnh, 8G, THCS ậẳng Thai Mai, TP. Vinh,
Nghỷ An;Lế Ngảc Hoa, 7E1, THCS Vỵnh Tđêng,
Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc;Huúnh NhẺt Quang, 8/7,
THCS NguyÔn Thỡ Minh Khai, Cam Phóc Bớc,
Cam Ranh, Khịnh Hưa.

Anh kÝnh lóp

3
x

2

3
x

2
11 7

a b 1.

2
2

2 1 7 7

x x 2 x , x

2 4 4

7

b .

2
11

a .

2

2

2 3 11 11

x 3x 5 x , x

2 4 4

Bài toán.Cho x, y, z tháa m·n 1 x, y, z 2. T×m giá trị lớn nhất của biểu
thức:

Lời giải.Ta có 1 x 2 (x 1)(x 2) 0 x2 3x 2 0.
1 1 1

A x y z .

x y z

Do đó .

Tđểng tù , .

áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có _{Vậy giá trị lớn nhất của A là}

Theo bỰn lêi giời trến cã chÊp nhẺn ệđĩc khềng?
Nạu khềng bỰn hởy sỏa lỰi cho ệóng.

T¹ Minh hiếu
(GV. THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc)

81.
8
2

2

1 1 _{x y z} 2 2 2

2 4 x y z

1 1 ₉ 81_.

2 4 8

1 1 1
A (x y z)

x y z
1_{(x y z)} 2 2 2

2 x y z

2

z 3

z
2

y 3

y
2

x 3

x

(TTT2 sè 147+148)

CĨ CHẤP NHẬN ĐƯỢC KHƠNG?

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

21

Bội toịn nộy cã vĨ lỰ nhđng khềng khã. Tuy nhiến
khềng cã vâ sỵ nộo tham gia trẺn ệÊu nộy. Dđắi
ệẹy lộ lêi giời cựa bội toịn.

1) Gải (T) lộ ệđêng trưn néi tiạp cựa ABC; D, H,
K theo thụ tù lộ tiạp ệiÓm cựa (T), (I), (J) vộ BC.
DÔ thÊy

Tđểng tù DK MH.

DÔ thÊy MI, MJ theo thứ tự là phân giác của các

gúc Do ú

KÕt hỵp víi ta cã IHM MKJ.

VËy

Từ đó, chú ý rằng

suy ra IHD DKJ. Do đó

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MIJD nội tiÕp.

Nãi cịch khịc ệđêng trưn ngoỰi tiạp MIJ luền ệi
qua mét ệiÓm cè ệỡnh D.

2) Gải S, S’ theo thụ tù lộ giao ệiÓm cựa BP, CQ
vộ ệđêng thỬng ệi qua T, vuềng gãc vắi PQ.
DÔ thÊy IP TS.

Kạt hĩp vắi IH TD, theo ệỡnh lÝ Thales, ta cã
Tõ ệã, chó ý rỪng IP IH suy ra TS TD.
Tđểng tù TS’ TD.

Vậy TS TS’ TD. Do đó S S’ (T).

ậiỊu ệã cã nghỵa lộ giao ệiÓm cựa BP vộ CQ luền
thuéc mét ệđêng trưn cè ệỡnh, ệđêng trưn (T).

Ngun Minh Hµ
TS TB TD.

IP IB IH

o

o o

IDJ 180 IDH JDK

180 IDH DIH IHD 90 . (2)
o
IHD 90 DKJ,
IH IH _{MH DK .}

DH MK JK JK

o
IHM 90 MKJ

o
IMJ 90 . (1)
AMB, AMC.

BA BC AC
DH BD BH

2

BA BM AM MA MC AC MK.

2 2

Ngđêi thịch ệÊu: Cao Ngảc Toờn, GV THPT
Tam Giang, Phong ậiÒn, Thõa Thiến - Huạ.
Bội toịn thịch ệÊu:Cho ệđêng trưn (O) cã hai

ệđêng kÝnh AB vộ CD vuềng gãc vắi nhau. LÊy
M thuéc AB sao cho (M khịc A, M

khịc B). ậđêng thỬng CM cớt ệđêng trưn (O) tỰi
K (K khịc C). AK cớt CD tỰi F. TÝnh

XuÊt xø: S¸ng t¸c.

Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.10.2015 theo dÊu bđu
ệiỷn.

FC.
FD
MA k 1

MB

TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM HAI MƯƠI BẢY

(TTT2 sè 147+148)

TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM HAI MƯƠI CHÍN

BAN CHẤP HAỉNH HỘI TOÁN HOẽC HAỉ NỘI

NHIỆM Kè VI HOẽP PHIÊN ẹẦU TIÊN

Ngày 7.8.2015 Ban chấp hành Hội Tốn học Hà Nội
nhiệm kì VI đã họp phiên đầu tiên và bầu các chức
danh, phân công nhiệm vụ: Chủ tịch: Nguyễn Văn
Mậu; các Phó Chủ tịch: Nguyễn Hữu Độ, Trần Huy
Hổ, Chử Xuân Dũng, Bùi Quang Diệu. Tổng thð kí:
Nguyễn Minh Tuấn; các Phó Tổng thð kí: Vũ Kim Thủy,
Thẩm Ngọc Khuê, Đinh Sỹ Đại. Chủ nhiệm ủy ban

kiểm tra: Đỗ Ngọc Diệp. Phân công c th:

Phụ trách chung: Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Hữu Độ.
ủy ban kiểm tra: Đỗ Ngọc Diệp, Đinh Sỹ Đại, Vũ Kim
Thñy.

Ban tữ chục, hộnh chÝnh vộ tội chÝnh: Bỉi Quang
Diỷu, Chỏ Xuẹn Dòng, ThÈm Ngảc Khuế, Lế Thỡ
Thanh HỪng, ậộm Thu Hđểng, Huúnh Kim Dđĩc, KiÒu
Hời.

Ban chuyên môn, nghiệp vụ: Trần Huy Hổ, Nguyễn
Minh Tuấn, Vũ Kim Thủy, Đỗ Ngọc Diệp, Đinh Sỹ Đại,
Hoàng Văn Phú.

Cũng trong phiến hảp NGND. GS. TSKH. NguyÔn Vẽn
MẺu ệở cã bội phịt biĨu vỊ phđểng hđắng, nhiỷm vơ
cựa Héi Toịn hảc Hộ Néi trong thêi gian tắi.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

22

XẤP XỈ GẦN ĐÚNG

CÁC GĨC NHỎ

Vị Kim Thựy
Chó ý.Trến ệđêng trưn tỉy ý, cung cã ệé dội bỪng

bịn kÝnh ệđĩc gải lộ cung cã sè ệo 1 raệian (viạt
tớt lộ rad).

Từ đó và

TÝnh gẵn ệóng cịc gãc nhá lộ vÊn ệỊ quan trảng
ệèi vắi sù phịt triĨn cựa lđĩng giịc. ChỬng hỰn
xĐt cịc gãc nhá (dđắi 5o) ta thÊy:

1) sinx x;
2) tgx x;
3) cosx 1

Trong đó x là góc nhỏ đo bằng rađian và x3, x4, x5, ...
là nhỏ khơng đáng kể.

Ta cã thĨ xem xÐt c¸c vÝ dơ sau:

4o 4 rad 0,06981317 0,070 (đúng đến
3 chữ số thập phân)

sin4o 0,069756474 0,070 (đúng đến 3 chữ số
thập phân)

tg4o 0,069926812 0,070 (đúng đến 3 chữ số
thập phân)

cos4o 0,99756405 0,99756 (đúng đến 5 chữ
số thập phân)

(đúng đến
5 chữ số thập phân)

Các kết quả trên dựa vào ba định lí sau:
Định lí 1.sinx x tgx với x tha món
(bn c t chng minh)

Định lí 2. ,

Cịc ệỡnh lÝ nộy khi hảc ẻ cịc lắp trến s c cc
thy c gio chng minh.

Định lí 3.Với mọi góc x nhỏ mà đo bằng rađian thì

sinx x, tgx x, cosx 1

Thực vây, từ định lí 2, nếu x là góc nhỏ đo bằng
rađian thì sai số khơng đáng kể nên

Do đó sinx x, tgx x.

Ta có và nên

Bn hóy ỏp dng các định lí trên để giải một số bài
tốn sau nhộ.

Bài tập 1.Chứng tỏ rằng với những góc nhỏ thì

Bi tẺp 2. Cho ệđêng trưn (O) bịn kÝnh r. P vộ Q
lộ hai ệiÓm nỪm trến ệđêng trưn sao cho

raệian lộ mét gãc nhá. Tiạp tuyạn vắi
ệđêng trưn tỰi P cớt OQ kĐo dội tỰi T. Chụng minh

rỪng

Chứng minh.(bạn đọc tự vẽ hình)
Ta có 2cosx 2 x2 nên

Vì 4 nhỏ không đáng kể nên

2 ₂

2 1

QT r r .

4 2

2

2 2

2 4 2 4

4 4

r 2

QT OT OQ r r 1

cos 2cos

2 (2 )

r 1

2 (2 )

2(2 ) 4 2

r r .

4 4

2
1
QT r .

2
POQ

2

2 2

a) 2cos 1 3 ;

3 2

17
b) (1 sin 2 )cos3 1 .

2

2 2

x x

cosx 1 2 1 .

2 2

x x
sin

2 2
2 x

cos x 1 2sin
2
sinx _1;tgx _1.

x x
2
x .
2
x 0
tgx
lim 1.
x
x 0
sinx
lim 1

x

0 x .

2
2

1 4

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

23

The CENTRE for EDUCATION

in MATHEMATICS and COMPUTING

Gauss Contest

Grade 8

(Grade 7 Contest is on the reverse side)

Time: 1 hour

Calculators are permitted.
Instructions

1. Do not open the contest booklet until you are
told to do so.

2. You may use rulers, compasses and paper for
rough work.

3. Be sure that you understand the coding
system for your answer sheet. If you are not
sure, ask your teacher to explain it.

4. This is a multiple-choice test. Each question is
followed by five possible answers marked A, B,
C, D, and E. Only one of these is correct. When
you have made your choice, enter the appropriate
letter for that question on your answer sheet.
5. Scoring: Each correct answer is worth 5 in
Part A, 6 in Part B, and 8 in Part C.

There is no penalty for an incorrect answer.
Each unanswered question is worth 2, to a
maximum of 10 unanswered questions.

6. Diagrams are not drawn to scale. They are
intended as aids only.

7. When your supervisor instructs you to start,
you will have sixty minutes of working time.
Scoring: There is no penalty for an incorrect
answer.

Each unanswered question is worth 2, to a
maximum of 10 unanswered questions.

Part A: Each correct answer is worth 5.
1.The number 10 101 is equal to

(A) 1000 100 1 (B) 1000 10 1
(C) 10 000 10 1 (D) 10 000 100 1
(E) 100 000 100 1

2.One scoop of fish food can feed 8 goldfish. How
many goldfish can 4 scoops of fish food feed?
(A) 12 (B) 16

(C) 8 (D) 64 (E) 32

3.The value of (2014 2013) (2013 2012) is
(A) 0 (B) 1

(C) 2 (D) 2014 (E) 1

4.In a right-angled triangle, the measure of one
angle is 55o. The measure of the smallest
angle in this triangle is

(A) 1o (B) 25o

(C) 45o (D) 35o (E) 90o

5. Which of the following integers is closest to
zero?

(A) 1101 (B) 1011

(C) 1010 (D) 1001 (E) 1110

6. The value of y that satisfies the equation
5y 100 125 is

(A) 45 (B) 100

(C) 25 (D) 25 (E) 5

7.How many prime numbers are there between
10 and 30?

(A) 4 (B) 7

(C) 6 (D) 3 (E) 5

Wednesday, May 14, 2014

(in North America and South America)

Thursday, May 15, 2014

(outside of North America and South America)

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

24

8.The perimeter of the isosceles

triangle shown is 53 cm.
The value of x is

(A) 11 (B) 21
(C) 20 (D) 19

(E) 31

9. Consider the set of fractions .
Ordered from smallest to largest, the set is

10.The ratio of the number of girls to the number
of boys in a class of 24 students is 3 : 5.

How many fewer girls than boys are in the class?
(A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 8
Part B: Each correct answer is worth 6.
11.John was born on a Wednesday. Alison was
born 72 days later. On what day of the week was
Alison born?

(A) Thursday (B) Monday

(C) Sunday (D) Saturday (E) Friday
12.If two straight lines intersect as shown, then
x y is

(A) 0 (B) 40 (C) 80 (D) 60 (E) 100
13.In which set of scores is the median greater
than the mean?

(A) 10, 20, 40, 40, 40 (B) 40, 50, 60, 70, 80
(C) 20, 20, 20, 50, 80 (D) 10, 20, 30, 100, 200
(E) 50, 50, 50, 50, 100

14.Betty is making a sundae. She must randomly

choose one flavour of ice cream (chocolate or
vanilla or strawberry), one syrup (butterscotch or
fudge) and one topping (cherry or banana or
pineapple). What is the probability that she will
choose a sundae with vanilla ice cream, fudge
syrup and banana topping?

(A) (B) (C) (D) (E)

15.The point A(1, 2) is reflected in the y-axis.

The new coordinates are

(A) (1, 2) (B) ( 1, 2) (C) ( 1, 2)
(D) (1, 2) (E) (1, 1)

16. In the diagram, ABCD is a rectangle. If the
area of triangle ABP is 40, then the area of the
shaded region is

(A) 20 (B) 40 (C) 60 (D) 50 (E) 80
17. On a science test, Janine got 80% of the
10 multiple choice questions correct and 70% of
the 30 short answer questions correct. What
percentage of the 40 questions on the test did
she answer correctly?

(A) 74% (B) 72.5% (C) 76%
(D) 73% (E) 73.5%

18. A rectangle whose side lengths are whole
numbers has area 48 cm2_{. The perimeter of this}

rectangle is 32 cm. Measured in cm, the positive
difference between the length and the width of
the rectangle is

(A) 47 (B) 2 (C) 22 (D) 8 (E) 13
19.A bicycle at Store P costs $200. The regular
price of the same bicycle at Store Q is 15% more
than it is at Store P. The bicycle is on sale at
Store Q for 10% off of the regular price. What is
the sale price of the bicycle at Store Q?

(A) $230.00 (B) $201.50 (C) $199.00
(D) $207.00 (E) $210.00

20. Of the five answers shown, which is the
largest amount of postage you cannot make
using only 5 and 8 stamps?

(A) 19 (B) 22 (C) 27 (D) 39 (E) 43
(K× sau đăng tiếp)
1

12
1

9
1

8
1

6
1

18

3 3 3 6
(E) , , ,

7 5 2 7

3 3 6 3
(D) , , ,

5 7 7 2
3 3 3 6

(C) , , ,
2 5 7 7

3 3 6 3
(B) , , ,

2 5 7 7
3 3 6 3

(A) , , ,

7 2 7 5

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

25

Bµi 7NS. §KX§

Céng theo vạ cựa ba phđểng trừnh ệở cho ta ệđĩc

Hỷ phđểng trừnh cã nghiỷm lộ (x, y, z) (2, 2, 2).
NhẺn xĐt.Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng bội toịn
trến:ậinh Thỡ Hăng Nhung, 9A1, THCS Lế Danh
Phđểng, Hđng Hộ, Thịi Bừnh;Lế Thỡ Hăng Tẹm,
9A, THCS Thỡ TrÊn Thđêng Xuẹn, Thđêng Xuẹn,
Thanh Hãa;Lế Thu Trang, 8D, THCS Lý Tù Trảng,
Bừnh Xuyến; Kim Thỡ Hăng Lỵnh, 8E1, THCS Vỵnh
Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc;Hoộng Huỷ CÈm,
9C, THCS Phong Chẹu, TX. Phó Thả; Lế Ngun
Qnh Trang, 8C, THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ;
NguyÔn Thờo Chi, 8A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm
Thao,Phó Thả;ậẫ Phđểng Dung, 9A, THCS Yến
Phong, Yến Phong, Bớc Ninh.

Bµi 8NS.Ta cã

Chụng minh tđểng tù ta cã

áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

Céng theo vế của (1), (2), (3) và kết hợp với (4)
ta cã ®pcm.

NhẺn xĐt.Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng bội toịn
trến:ậinh Thỡ Hăng Nhung, 9A1, THCS Lế Danh
Phđểng, Hđng Hộ, Thịi Bừnh; Lế NguyÔn
Quúnh Trang, 8C, THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ,
Phó Thả; Trẵn Thỡ DiÔm Quúnh, 8G, THCS

Đặng Thai Mai, TP. Vinh, Nghệ An.

Bi 9NS. Gi sỏ cịc dẹy cung AK vộ BK cựa
ệđêng trưn lắn cớt ệđêng trưn nhá lẵn lđĩt tỰi
cịc ệiÓm P vộ Q. KĨ tiạp tuyạn chung EF cựa
hai ệđêng trưn.

Ta cã
Suy ra

Do ệã PQ // AB. Gải O lộ tẹm ệđêng trưn nhá, ta
cã OM AB nến OM PQ tỰi H.

Khi đó nên KM là phân giác của
Do đó

Suy ra

NhẺn xĐt. Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng bội toịn
trến: Hă Gia Bờo, 9A6, THCS Thèt Nèt, quẺn
Thèt Nèt, TP. Cẵn Thể; ậinh Thỡ Hăng Nhung,
9A1, THCS Lế Danh Phđểng, Hđng Hộ, Thịi
Bừnh; Lế Thỡ Hăng Tẹm, 9A, THCS Thỡ trÊn
Thđêng Xuẹn, Thđêng Xuẹn, Thanh Hãa;

Hoộng Huỷ CÈm, 9C, THCS Phong Chẹu, TX.
Phó Thả, Phó Thả; Kim Thỡ Hăng Lỵnh, 8E1,
THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc.

Cịc bỰn sau ệđĩc thđẻng kừ nộy:
Ngề Thỡ Huạ, 9A, THCS Yến Phong,
Yến Phong, Bớc Ninh;Lế Thỡ Hăng
Tẹm, 9A, THCS Thỡ TrÊn Thđêng Xuẹn, Thđêng
Xuẹn, Thanh Hãa; Kim Thỡ Hăng Lỵnh, 8E1,
THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc;Lế
Ngun Qnh Trang, 8C, THCS Vẽn Lang, TP.
Viỷt Trừ; Hoộng Huỷ CÈm, 9C, THCS Phong
Chẹu, TX. Phó Thả, Phó Thả.

nh cịc bỰn ệđĩc khen ẻ bừa 4.

Ngun Ngäc H©n
AM AK 2 10 _BM 10.5 _25.

BM BK 5 BM 2

AKM BKM.

PKQ.
MP MQ

PQK ABK.

PQK PKE, ABK AKE.

3

a b c 3 a b c 3. (4)
2

2

b 1 2(b b 1). (2)
c 1 2(c c 1). (3)

4 2

( a 1) 0 a 1 2(a a 1). (1)

2 2 2

2 2 2

( 2x 3 1) ( 2y 3 1) ( 2z 3 1)
2(x 2) 2(y 2) 2(z 2) 0.

3
x,y,z .

2

Bội 13NS.Từm cịc sè nguyến dđểng a, b, c tháa mởn 2a 3c 3b2.
phỰm thanh hỉng (Tẹn Hiỷp A, Tẹn Hiỷp, Kiến Giang)
Bội 14NS. Cho a, b, c lộ cịc sè thùc dđểng tháa mởn

Chøng minh r»ng

cao minh quang(GV. THPT chuyến NguyÔn Bửnh Khiếm, Vỵnh Long)
Bội 15NS.Cho tam giịc ABC cã AB AC. Trến tia ệèi cựa tia BA lÊy ệiÓm
E vộ trến tia ệèi cựa tia CA lÊy ệiÓm F sao cho BE CF BC. Gải I lộ giao ệiÓm cựa BF vộ CE. Trến
cỰnh AC lÊy ệiÓm K sao cho CK AB. Gải M vộ N lẵn lđĩt lộ trung ệiÓm cựa BC vộ AK. Chụng minh
rỪng MN // IK.

Thịi nhẺt Phđĩng(GV. THCS NguyÔn Vẽn Trẫi, Cam Nghỵa, Cam Ranh, Khịnh Hưa)

2 2 2

a 1 b 1 c _{1 3.}

b c c a a b

a b c 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

26

Rất xa lục địa cũ

Đi đường nào cũng xa

Một thành phố đô hội

Năm châu chọn làm nhà

Nhiều người Việt cũng thế

Tiếng Việt nghe hàng ngày

Mảnh đất rộng, thanh bình

Mênh mơng rừng và cỏ

Kanguru từng đàn

Bên đàn bị gặm cỏ

Nhà rộng, tràn ngút mắt

Đô thị như ngoại ô

Đâu là làng là phố?

Phố cả một tỉnh mình

Cung đường 300 cây

Cơ man là danh thắng

Nhớ bữa ăn một sáng

Bên biển giữa mùa đông

Núi Buller tuyết trắng

Mênh mang trời cực Nam

Một châu Âu tái hiện

Melbourne giữa mùa đông

Leng keng tàu miễn phí

Nhớ Bờ hồ - Hà Đơng

Vào hàng ăn giật mình

Bát phở to lúy túy

Vừa từ 40

o

Gặp Melbourne độ âm

Hiểu bà già trái đất

Thử thách có ghê khơng

Melbourne 13-18.7.2015

NGUYỄN ĐĂNG VIỆT

(Hội Văn nghệ Nghệ An)

BÍNH NAM HÀ

Ù à ù ập, lưng trâu

Đỏ đen sấp ngửa nơng sâu mỏng dày

Ù à ù ập trên tay

Củ khoai, hạt thóc níu ngày trong mâm

Ù à ù ập thiện tâm

Ma vương, Thượng đế mấy lần tìm nhau?

Ù à ù ập đã lâu

Gầy hao rơm rạ cọng rau ông bà

Ù à ù ập trưa qua

Suối khô khát nước, rừng già khát cây

Ù à ù ập cù quay

Được thua hồn trẻ thơ ngây niệm cầu

Ù à, bắt ngón tay chầu

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

27

MÈu chuyỷn vui ABSTRACTION ệở thu hót

sù tham gia cựa rÊt ệềng cịc bỰn. BỰn nộo

còng dỡch khị ữn: sịt nghỵa, thoịt ý, mỰch

lỰc... Tuy nhiến, Chự Vđên xin nhớc mét ệiÒu

lộ: Khi dỡch cịc mÈu héi thoỰi vui, cịc bỰn

cẵn hỰn chạ sù dội dưng. ậẹy lộ cuéc ệèi ệịp

ngớn, nhanh vộ bÊt ngê, vừ thạ chóng ta cẵn

mét “vẽn phong” ngớn gản, ệóng nhđ cịch

nãi chuyỷn thềng thđêng trong cuéc sèng.

Mêi cịc bỰn tham khờo một cch dch:

Trừu tng

Thầy giáo:

gì?

Học sinh:

Thầy giáo:

nói i nói lỰi răi mộ. Danh tõ trõu tđĩng lộ

cịi mộ ta cã thÓ hừnh dung ra nhđng khềng

Hảc sinh:

- Nđắc sềi Ự.

Chự Vđên sỳ gỏi phẵn thđẻng tắi

nhọng bỰn sau:

Triỷu Hăng Ngảc

,

6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao,

Phó Th

;

Nguyễn Thị nh My

, 6A, THCS Lý Tự Trọng,

Bình Xuyên,

Vĩnh Phúc

;

Nguyễn Đức Anh

,

6A, THCS VÜnh Yªn, TP. VÜnh Yên,

Vĩnh

Phúc

;

Phạm An Khánh

, 7A2, THCS Giảng

Võ, Ba Đình,

Hà Nội

;

Nguyễn Thị Hồng Minh

,

6C, THCS Cao Xu©n Huy, DiƠn Ch©u,

NghƯ

An

.

Chự Vđên

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

28

Cịc bỰn sau ệđĩc thđẻng kừ nộy: Vò Vẽn ậỰt, 8A1,
THCS Hộn Thuyến, Lđểng Tội, Bớc Ninh;Hoộng
Phóc, 6B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ
Tỵnh; ậộo ậục Lẹm, 7A, THCS Lế Quý ậền,
Thanh Sển, Phó Thả; Hoộng Quèc Hđng, 6A,
THCS Vỵnh Yến, TP. Vỵnh Yến; Trẵn Bừnh Minh,
7E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc.

Trắng đi trước chiếu hết sau 2 nước.

LÊ THANH TÚ

(TTT2 sè 147+148)

MỘT SỐ KÌ THI QUỐC TẾ

CỦA HỌC SINH VIỆT NAM NĂM 2015

K× thi diƠn ra tõ ngµy 4 - 16.7.2015, t¹i Chiang

Mai, Thịi Lan. Cờ 6 hảc sinh Viỷt Nam tham dù
ệÒu ệoỰt huy chđểng, vắi 2 HCV, 3 HCB, 1 HCậ.
Hai em ệoỰt HCV lộ Vò Xuẹn Trung, lắp 11, THPT
chuyến Thịi Bừnh vộ NguyÔn Thạ Hoộn, lắp 12,
THPT chuyến ậHKHTN Hộ Néi; ba em ệoỰt HCB
lộ Hoộng Anh Tội, lắp 12, THPT chuyến Phan Béi
Chẹu, Nghỷ An; NguyÔn TuÊn Hời ậẽng, lắp 12,
THPT chuyến ậHKHTN Hộ Néi vộ NguyÔn Huy
Hoộng, lắp 12, PTNK ậHQG TP. Hă ChÝ Minh; em
ệoỰt HCậ lộ NguyÔn Thỡ Viỷt Hộ, lắp 12, THPT
chuyến Hộ Tỵnh. Xạp hỰng khềng chÝnh thục,
ệoộn Viỷt Nam xạp thụ 5 trến tững sè 104 ệoộn

tham dù, sau cịc ệoộn Mủ, Trung Qc, Hộn
Qc, TriỊu Tiến.

Kừ thi diƠn ra tõ ngộy 26.7 ệạn ngộy 2.8.2015, tỰi
Almaty, Kazakhstan. Cờ 4 hảc sinh Viỷt Nam
tham dù ệÒu ệoỰt huy chđểng, vắi 1 HCV vộ 3
HCB. Nẽm nay, ệoộn Viỷt Nam ệỰt thộnh tÝch cao
nhÊt trong nhọng lẵn tham dù IOI. Xạp hỰng
khềng chÝnh thục, ệoộn Viỷt Nam xạp thụ 8 trến
84 ệoộn tham dù. Cịc hảc sinh trong ệoộn ệÒu lộ
hảc sinh trđêng THPT chuyến ậHKHTN Hộ Néi.
Hảc sinh ệoỰt HCV lộ PhỰm Vẽn HỰnh, lắp 12; ba
em ệoỰt HCB lộ Phan ậục NhẺt Minh, lắp 11;
Ngun Viỷt Dịng, lắp 12 vộ Ngun Tiạn Trung
Kiến, lắp 12.

Kừ thi diÔn ra tõ 5 - 12.7.2015, tỰi Mumbai, Ên ậé.
Nẽm nay, ệoộn Viỷt Nam ệỰt thộnh tÝch cao nhÊt
trong nhọng lẵn tham dù IPhO. Cờ 5 hảc sinh tham
dù ệÒu cã thộnh tÝch cao vắi 3 HCV vộ 2 HCB. Ba
em ệoỰt HCV lộ Vò Thanh Trung Nam, lắp 12,
THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Hộ Néi; NguyÔn
Cềng Thộnh, lắp 12, THPT chuyến Trẵn Phó, Hời
Phưng vộ ậinh Thỡ Hđểng Thờo, lắp 11, THPT
chuyến Lế Hăng Phong, Nam ậỡnh; hai em ệoỰt
HCB lộ NguyÔn Ngảc Khịnh, lắp 12, THPT chuyến
Phan Béi Chẹu, Nghỷ An vộ NguyÔn Quang Nam,
lắp 11, THPT chuyến ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi.
Riếng em ậinh Thỡ Hđểng Thờo cưn ệđĩc nhẺn giời
ệẳc biỷt cho nọ sinh cã thộnh tÝch cao nhÊt.

Kừ thi diÔn ra vộo cuèi thịng 7.2015, tỰi Baku,
Azerbaijan. Nẽm nay, cã 79 ệoộn tham dù vắi 294
hảc sinh. ậoộn Viỷt Nam cã 4 hảc sinh tham dù
ệÒu ệoỰt giời, vắi 1 HCV, 2 HCB vộ 1 HCậ. Hảc
sinh ệoỰt HCV lộ em ậinh TuÊn Hoộng, lắp 12,
THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Hộ Néi; hai
em ệoỰt HCB lộ PhỰm Thịi Hộ, lắp 12, THPT
chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Hộ Néi vộ Trẵn ậừnh
Hiạu, lắp 12, THPT chuyến Bớc Ninh; em Ngun
Thóy HỪng, lắp 12, THPT chuyến Hỉng Vđểng,
Phó Thả ệoỰt HCậ.

Kừ thi diƠn ra tỰi Aarhus, ậan MỰch tõ ngộy 12
-19.7.2015. Cã 61 ệoộn tham dù vắi 238 hảc sinh.
ậoộn Viỷt Nam cã 4 hảc sinh tham dù vộ ệoỰt ba
giời, bao găm 1 HCB vộ 2 HCậ. Hảc sinh ệoỰt
HCB lộ em Lế Thỡ Nguyỷt HỪng, lắp 12, THPT
chuyến Lế Quý ậền, ậộ Nơng. Hai hảc sinh ệoỰt
HCậ lộ PhỰm Minh ậục, lắp 12, THPT chuyến Lế
Hăng Phong, Nam ậỡnh vộ Lế Xuẹn Lđĩng, lắp
11, THPT chuyến ậHKHTN Hộ Néi.

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

29

CÂU HỎI KÌ 7

Cẹu 13.

Vội nĐt vỊ hảc bững ASEAN: ậẹy lộ

hảc bững do chÝnh phự Singapore trao cho

hảc sinh cịc nđắc thuéc ASEAN bến ngoội

Singapore. ậèi tđĩng tuyÓn sinh lộ nhọng hảc

sinh xuÊt sớc ệé tuữi 14 - 16 ệđĩc theo hảc

tiạp THCS, THPT, ệỰi hảc tỰi mét trđêng ẻ

Singapore do chÝnh phự Singapore chử ệỡnh.

ậèi vắi bẺc trung hảc, hảc bững cã giị trỡ

trong 4 nẽm, ệđĩc tội trĩ hảc phÝ, phÝ sinh

hoỰt vộ vĐ mịy bay. TỰi Viỷt Nam, hảc bững

ASEAN ệđĩc trao lẵn ệẵu tõ nẽm 1996. TÝnh

ệạn nay, cã khoờng 300 hảc sinh Viỷt Nam

ệđĩc cÊp hảc bững nộy. Hộng nẽm, Bé Giịo

dôc Singapore vộ ậỰi sụ quịn Singapore tỰi

Viỷt Nam tữ chục thi tuyÓn găm hai vưng thi

viạt vộ pháng vÊn.

ụ

ng viến thđêng ệđĩc Bé

Giịo dôc vộ ậộo tỰo phẹn vÒ cịc Sẻ Giịo

dôc & ậộo tỰo.

Cẹu 14.

Héi nghỡ thđĩng ệửnh ASEAN ệở

ệđĩc tữ chục 26 lẵn. Lẵn gẵn ệẹy nhÊt ệđĩc

tữ chục tõ ngộy 26-27.4.2015, tỰi Kuala

Lampur, Malaysia.

Câu 15.

Cây cầu dài nhất Đông Nam

á

là

Sultan Abdul Halim Muadzam Shah (hoặc có

tên gọi khác là cầu Penang 2), thuộc

Malaysia. Cầu dài 24 km.

Nhn xĐt.

Cịc bỰn sau ệẹy ệđĩc

thđẻng kừ nộy:

Kim Thỡ Hăng Lỵnh

,

8E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng,

Vỵnh

Phóc

;

Mai ậục Toộn

, 9C, THCS NguyÔn

Cao, Quạ Vâ,

Bớc Ninh

.

Cịc bỰn sau cịng ệđĩc khen kừ nộy:

Ngun

ậẳng Sển

, 9A, THCS NguyÔn Trởi, Nam

Sịch,

Hời Dđểng

;

LỰi Khịnh Trang

, 6A,

THCS Vỵnh Yến, TP. Vỵnh Yến;

Lế ậục Thịi

,

7A2, THCS Yến LỰc, Yến LỰc,

Vỵnh Phóc

.

BTC

KÌ 5

(TTT2 sè 147+148)

§iỊu lƯ cc thi đăng ở TTT2 số 140, 144. Câu hỏi đăng trên các

số tạp chí trong năm 2015.

Cu 19.

Khối ASEAN có cc nhãm nđắc vộ cịc vỉng đu tiến phịt

triÓn. BỰn hởy giời thÝch cịc tõ viạt tớt: ASEAN - 6; BIMP - EAGA;

CLMV; GMS; IMT - GT; Sijori.

Cẹu 20.

Cịc tõ TPP viạt tớt cựa tữ chục nộo? Cịc nđắc nộo trong

ASEAN tham gia TPP?

Câu 21.

PPP có nghĩa là gì?

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

30

Tháng 9.1962 Ban Vận động thành lập Hội Toán
học Việt Nam ra đời.

Ngày 15.10.1964 số 1 của báo Toán học và Tuổi
trẻ trình làng. 6000 bản của hai đợt in ó bỏn ht

ngay.

Tháng 6.1965 kết thúc cuộc thi giải toán trên báo
năm học 1964-1965 với 3 giải Nhất, 6 giải Nhì, 6
giải Ba, 6 giải T và 18 giải KhuyÕn khÝch.

Ngộy 14.9.1965 Héi ệăng ChÝnh phự ệở ra quyạt
ệỡnh cho phĐp Bé Giịo dôc mẻ tỰi trđêng ậỰi hảc
Tững hĩp vộ ẻ cịc tửnh mét sè lắp cÊp 3 phữ thềng
dỰy hảc sinh cã nẽng khiạu vÒ toịn. Sau ệã, nẽm
1966 thếm trđêng ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi 2 (nay
lộ ậHSP Hộ Néi 1) vộ ậỰi hảc Sđ phỰm Vinh ệđĩc
mẻ cịc lắp toịn ệẳc biỷt nộy. ậã lộ cịc lắp mẻ
cho cịc hảc sinh cã nẽng khiạu thùc sù vÒ toịn
cịc lắp 8, 9, 10 (cÊp 3) cẽn cụ vộo kạt quờ thi do
cịc Sẻ, Ty Giịo dơc tữ chục vộ kạt quờ thi hảc
sinh giái miỊn Bớc nẽm lắp 7. Cịc hảc sinh ẻ lắp
toịn ệẳc biỷt cựa Hộ Néi, Hời Phưng, Nam Hộ
ệđĩc cÊp hảc bững 9,5 ệăng/thịng. Cịc hảc sinh
hảc lắp toịn ệẳc biỷt cựa Bé ệẳt tỰi ậỰi hảc Tững
hĩp, ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi vộ ậỰi hảc Sđ
phỰm Vinh ệđĩc 22 ệăng /thịng (bỪng hảc bững
sinh viến sđ phỰm). Lắp toịn ệẳc biỷt ẻ Hộ Néi
ệẳt tỰi trđêng cÊp 3 Chu Vẽn An, ẻ Hời Phưng ệẳt
tỰi trđêng cÊp 3 Trẵn Phó, ẻ Nam Hộ ệẳt tỰi trđêng
cÊp 3 Lế Hăng Phong. Dẵn dẵn cã thếm cịc lắp
toịn ệẳc biỷt ệẳt tỰi cÊp 3 Hỉng Vđểng, Phó Thả,
cÊp 3 Phan Béi Chẹu, Nghỷ An, ...

VÊt vờ nhÊt lộ Khèi Toịn ệẳc biỷt trđêng ậỰi hảc

Sđ phỰm Vinh thđêng gải vắi mẺt danh K9 trđêng
Vẽn hãa 12.9 vộ sể tịn tõ vỉng rõng nói Thanh
Hãa, vỊ Qnh Lđu 1970, DiƠn Chẹu 1971, Yến
Thộnh, Nghỷ An 1972. Cã lẵn Khèi võa tõ DiÔn
Chẹu sể tịn vỊ xở Phó Thộnh ngộy 11.9 1972 thừ
ệếm 18.9.1972 bỡ bom Mủ oanh tỰc tróng ệỡa bộn
Khèi sể tịn; hềm sau 19.9.1972 lỰi phời chuyÓn
ệạn HẺu Thộnh, Yến Thộnh, Nghỷ An. ậÓ ệi khịm
sục kháe, hảc sinh cựa Khèi phời ệỰp xe ệỰp tõ

Yến Thộnh lến tẺn ậề Lđểng, Thanh Chđểng mắi
cã mịy chiạu ệiỷn chôp tim, phữi. Nhẹn tiỷn khịm
sục kháe thẵy trư lộm chuyạn ệỰp xe qua Nam
Liến, Nam ậộn vÒ Vinh, Nghi Léc, răi quay vÒ Yến
Thộnh vưng vÌo hạt cờ 150 km.

Thịng 9.1973 Nghỷ An tữ chục thi ệỰi hảc tỰi DiÔn
Xuẹn, DiÔn Chẹu vộo cịc ngộy 10,11.9.1973. Do
Thanh Hãa bỡ mđa lôt nến tộu háa, ề tề ệÒu khềng
ệi ệđĩc. Cịc hảc sinh chuyến toịn quế Nam Hộ
sau kừ nghử ền thi phời ệỰp xe tõ Nam ậỡnh vộo
DiƠn Xuẹn ệĨ dù thi vắi ệđêng dội hển 200 km.
Dảc ệđêng phời ngự lỰi nhộ ga ệÓ lÊy lỰi sục vộ
hềm sau ệi tiạp. Hai ệếm nhđ vẺy. XuÊt phịt
5.9.1973 ệạn 7.9.1973 cịc cẺu hảc trư chuyến
toịn ậHSP Vinh quế Nam ậỡnh mắi tắi DiƠn Xuẹn
ệĨ kỡp 10 vộ 11.9.1973 dù thi. Nẽm ệã khai giờng
còng bỡ muén lỰi. Phời ệạn 28.1.1974 nẽm thụ
NhÊt ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi mắi khai giờng tỰi
ệỡa ệiĨm sể tịn HiỊn Giang, Thđêng TÝn, Hộ Sển

Bừnh cịch Hộ Néi 22 km.

ậiÒu bÊt ngê lộ ngay nẽm hưa bừnh ệẵu tiến trến
miÒn Bớc, 1974 Êy ệoộn Viỷt Nam dù thi Toịn
Quèc tạ lẵn ệẵu tiến ệi 5 ệở mang vÒ 4 Huy
chđểng, trong ệã cã Huy chđểng Vộng. Nỏa thạ kử
trđắc, chóng ta ệở chó ý vộ cã chiạn lđĩc chẽm lo
cho ệéi ngò hảc sinh giái toịn. Trđêng chuyến ệở
cã 50 nẽm tuữi ệêi kÓ tõ 14.9.1965.

Cẹu hái kừ nộy:BỰn hởy kÓ tến mét sè ngđêi bỰn
biạt tõng lộ hảc sinh chuyến toịn cịc khãa ệẵu tiến.

50 năm thành lập

50 năm thành lập

CÁC LỚP TỐN ĐẶC BIỆT

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

31

Hái:

Phá án cùng thám tử Sêlơccơc

ở TTT2 số

123+124 có chỗ bị nhầm.

ở

phần đầu, ơng

Harison trình bày về việc ơng Mac bị mất tích,

nhðng phần sau lại là ông Harison bị bắt cóc.

Không biết là do tác giả hay do lỗi đánh máy

ạ? Anh Phó xem em nhận xét thế có ỳng

khụng?

Huỳnh Tấn Hòe

(8/4, THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm, Biên Hòa,

Đồng Nai)

Đáp:

Cm n em ó k cng

c k ch li rừ ràng báo sai

Báo đã sửa lỗi cho bài

Mong em céng tác lâu dài cùng anh.

Hỏi:

em dng bút xóa th bi cã ệđĩc chÊm khềng

Ự?

Black Queen

(8B, THCS Yªn Phong, Yªn Phong, B¾c Ninh)

Hái:

Trong bội thi, gỰch mét chọ hay vội chọ

thừ cã ờnh hđẻng ệạn kạt quờ khềng hẻ anh

Phã?

MÉn Thị Thu Trang

(6A2, THCS Yên Phong, Yên Phong,

Bắc Ninh)

Đáp:

Em làm nh lúc đi thi

Sai thỡ phi gch b i thơi mà

Nhðng đừng sai q q qua

Thì thầy cơ thấy mt hoa nhc u

Thế rồi chẳng muốn chấm đâu.

Anh Phó

BAẽN CÓ BIẾT

NĂM CUỘC THI ĐANG DIỄN RA

TRÊN TỐN TUỔI THƠ

Cuộc thi đặc biệt nhân 15 năm Toán Tuổi thơ
Thời gian diễn ra từ tháng 1.2015 đến tháng 10.2015.
Đăng danh sách đoạt giải trên số báo tháng 11.2015.
Dự kiến trao giải tháng 12.2015.

Cuộc thi tìm hiểu Cộng đồng ASEAN

Thời gian diễn ra từ tháng 1.2015 đến tháng 12.2015.
Đăng danh sách đoạt giải trên số báo tháng 3.2016.
Dự kiến trao giải tháng 6.2016.

Cuộc thi giải toán qua thð theo năm học 2015-2016
Thời gian diễn ra từ tháng 7.2015 đến tháng 6.2016.
Đăng danh sách đoạt giải trên số báo tháng 5+6.2016.
Dự kiến trao giải tháng 6.2016.

Cuộc thi giải toán dành cho nữ sinh mùa thứ hai
Thời gian diễn ra từ tháng 3.2015 đến tháng 2.2016.
Đăng danh sách đoạt giải trên số báo tháng 4.2016.
Dự kiến trao giải tháng 6.2016.

Cc thi vui chµo hÌ 2015

Thời gian diễn ra từ tháng 5.2015 đến tháng 8.2015.
Đăng danh sách đoạt giải trên số báo tháng 11.2015.
Dự kiến trao giải tháng 12.2015.

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

32

1(151).Express the number 28 as the sum of two numbers aandbsuch that
P a3 b3is minimum.

2(151).Do there exist integers aand bsuch that
a3 b3 2013 2014 2015?

3(151).Solve the following simultaneous equations

4(151).Given the positive real numbers a,b, and c. Prove that

(Xem tiÕp trang 5)

2 2 2 2 2 2

.

a b c c a b

b c c a a b b c c a a b

6

2 2.

x y z
xy yz zx

x y z

Translated by Nam Vò Thộnh

Bội 3(151). Giời hỷ phđểng trừnh

Thịi NhẺt Phđĩng
(GV. THCS NguyÔn Vẽn Trẫi, Cam Nghỵa, Cam Ranh, Khịnh Hưa)
Bội 4(151). Cho cịc sè thùc dđểng a, b, c. Chụng minh rỪng

Bỉi Hời Quang(GV. THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ, Phó Thả)
Bội 5(151).Trong mét cc ệiỊu tra 60 ngđêi, cã 25 ngđêi ệảc tỰp
chÝ Toịn Tuữi thể, 26 ngđêi ệảc bịo trến mỰng vộ 26 ngđêi ệảc sịch
vÒ toịn. Cã 9 ngđêi ệảc cờ Toịn Tuữi thể vộ sịch toịn, 11 ngđêi ệảc
Toịn Tuữi thể vộ bịo trến mỰng, 8 ngđêi ệảc bịo trến mỰng vộ sịch
vÒ toịn, 8 ngđêi khềng ệảc Toịn Tuữi thể, khềng ệảc bịo trến mỰng

vộ khềng ệảc sịch toịn.

a) Từm sè ngđêi ệảc cờ ba loỰi sịch, bịo.

b) ậiỊn vộo biĨu ệă Venn thĨ hiỷn sè ngđêi ệảc hay khềng ệảc mẫi
loỰi sịch, bịo.

c) Xịc ệỡnh sè ngđêi chử ệảc mét trong ba loỰi nãi trến.

Vò Thiến Trđêng
Bội 6(151). Cho ệđêng trưn (O) ệđêng kÝnh AB. ậđêng thỬng d
vuềng gãc vắi AB tỰi I vộ cớt ệđêng trưn (O) tỰi P vộ Q (I khềng trỉng
vắi O). M lộ ệiÓm bÊt kừ nỪm trến d (M khềng trỉng vắi I). Cịc tia AM
vộ BM cớt ệđêng trưn (O) lẵn lđĩt tỰi C vộ D. ậđêng thỬng CD cớt
ệđêng thỬng AB tỰi K. Chụng minh rỪng KP vộ KQ lộ cịc tiạp tuyạn
cựa ệđêng trưn (O).

Thẹn Vẽn Chđểng
(GV. THCS Vâ Nhđ Hđng, ậiỷn Bộn, Quờng Nam)

2 2 2 2 2 2

a b c c a _{b .}

b c c a a b b c c a a b
x y z 6

xy yz zx _{2 2.}

x y z

Bài 1(151).Hãy biểu diễn số 28
thành tổng của hai số a và b sao
cho P a3 b3 đạt giá trị nh
nht.

Nguyễn Đễ(Hải Phòng)
Bài 2(151). Có tồn tại hay không
các sè nguyªn a, b tháa m·n
a3 b3 2013 2014 2015?

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34></div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35></div>

<!--links-->