Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 129

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2></div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

1. §Þnh lÝ

Cho khịc gãc bứt. Trến tia Mx lÊy hai ệiÓm
A vộ B, trến tia My lÊy ệiÓm T (A, B vộ T khịc M)
sao cho MT2 MA.MB thừ MT lộ tiạp tuyạn cựa
ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam gic ABT.

Chứng minh

Xét hai tam giác AMT và TMB cã: chung;
(v× MT2 MA.MB).

Suy ra AMT TMB (c.g.c).

Do đó (1)

Gải tia Tz lộ tia tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi
tiạp tam giịc ABT (Tz, TM nỪm cỉng nỏa mẳt
phỬng bê TB) thừ (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra .

Suy ra hai tia Tz vộ TM lộ hai tia trỉng nhau.
VẺy tia MT lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp
tam giịc ABT.

2. C¸c vÝ dơ minh häa

VÝ dô 1.Cho ệđêng trưn (O) vộ dẹy cung AB. Gải
M lộ ệiÓm chÝnh giọa cựa cung AB. ậiÓm C bÊt kừ

thuéc dẹy AB. Tia MC cớt ệđêng trưn (O) tỰi D.
Chụng minh rỪng MA lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng
trưn ngoỰi tiạp tam giịc ACD.

Giải. Ta có (vì M là điểm chính giữa
của cung AB). (1)

Ta l¹i cã (hai gãc néi tiÕp cùng chắn
cung MA). (2)

Từ (1) và (2) suy ra MAC MDA (g.g)
, suy ra MA2 MC.MD.

VẺy MA lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp
tam giịc ACD.

VÝ dô 2.Cho ệđêng trưn (O) ệđêng kÝnh AB. LÊy
mét ệiÓm C tỉy ý nỪm giọa O vộ A. Vỳ ệđêng trưn
(O₁) ệđêng kÝnh BC. Qua trung ệiÓm H cựa AC vỳ
dẹy PQ cựa ệđêng trưn (O) vuềng gãc vắi AB.
ậđêng thỬng QC cớt ệđêng trưn (O₁) tỰi ệiÓm thụ
hai M. Chụng minh rỪng HM lộ tiạp tuyạn cựa
ệđêng trưn (O₁).

Giời. Ta cã (gãc néi tiạp chớn nỏa
ệđêng trưn).

Suy ra PH2 AH.HB HC.HB. (1)

Tụ giịc APCQ lộ hừnh thoi (vừ cã hai ệđêng chĐo

vuềng gãc vắi nhau tỰi trung ệiÓm cựa mẫi
ệđêng).

o
APB 90
MA MC

MD MA

ADM ABM
MAC MBA

ATM ATz
ATz MBT.
ATM MBT.

MT MB
MA MT

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

3

Do đó QM // AP nên QM BP.

Ta lỰi cã (gãc néi tiạp chớn nỏa
ệđêng trưn).

Suy ra ba ®iĨm B, M, P thẳng hàng.

Xt tam gic PMQ vung ti M có ờng trung
tuyạn MH nến

Suy ra MH PH. (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra HM2 HC.HB.

VẺy HM lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn (O₁).
VÝ dô 3.Cho hừnh thoi ABCD cã . ậđêng
thỬng khềng cớt hừnh thoi qua D cớt cịc ệđêng
thỬng BA, BC lẵn lđĩt tỰi E, F. Gải M lộ giao ệiÓm
cựa AF vộ CE. Chụng minh rỪng AD lộ tiạp tuyạn
cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc MDF.

Gi¶i

Vì tứ giác ABCD là hình thoi có nên
AB // CD; AD // BC và ACD là tam giác đều, từ ú
AC CD AD.

Xét hai tam giác AED và CDF có
Suy ra AED CDF (g.g).

Do đó .

Ta l¹i cã .

Suy ra CAE FCA (c.g.c).

Do đó .

Từ đó ACM AFC (g.g)
.

Suy ra AC2 AM.AF, từ đó AD2 AM.AF.

VẺy AD lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp
tam giịc MDF.

Bµi tËp vËn dơng

Bội 1. Cho tam giịc ABC cã ba gãc nhản néi tiạp
ệđêng trưn (O). Gải P lộ mét ệiÓm nỪm trong tam

giịc sao cho . ờng

thẳng AP cắt BC t¹i M.

a) Chụng minh rỪng MB lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng
trưn ngoỰi tiạp tam giịc ABP vộ MC lộ tiạp tuyạn
cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ACP.

b) ậđêng trung trùc cựa AP cớt BC tỰi Q. Chụng
minh rỪng QA tiạp xóc vắi ệđêng trưn (O) vộ QP
lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp tụ giịc
BHCP (vắi H lộ trùc tẹm tam giịc ABC).

Bội 2. Cho ệđêng trưn (O) vộ mét ệiÓm A nỪm
ngoội ệđêng trưn. Qua A vỳ hai cịt tuyạn cớt
ệđêng trưn (O) tỰi B, C vộ D, E (B nỪm giọa A vộ
C, D nỪm giọa A vộ E). ậđêng thỬng qua D song
song vắi BC cớt ệđêng trưn (O) tỰi ệiÓm thụ hai
F. ậđêng thỬng AF cớt ệđêng trưn (O) tỰi ệiÓm

thụ hai G. ậđêng thỬng EG vộ BC cớt nhau tỰi M.
Chụng minh rỪng MA lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng
trưn ngoỰi tiạp tam giịc AGE.

Bội 3.XĐt hừnh vuềng ABCD vộ mét ệiÓm E bÊt
kừ trến cỰnh BC. Tia Ax vuềng gãc vắi AE cớt CD
kĐo dội tỰi F. KĨ ệđêng trung tuyạn AI cựa tam
giịc AEF vộ kĐo dội cớt CD tỰi K. ậđêng thỬng
qua E vộ song song vắi AB cớt AI tỰi G. Chụng
minh rỪng:

a) AE AF và tứ giác EGFK là hình thoi;

b) FA l tip tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam
giịc ACK tỰi K.

CAP PCB
BAP PBC;

AC AM
AF AC

ACE CFA
o
CAE 120 FCA

AE CD AE AC

AD CF AC CF

AED CDF; ADE CFD.

o
B 60

o
B 60
1

MH PQ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

4

NhẺn xĐt.TÊt cờ cịc bỰn ệÒu chử ra chẫ sai cựa
lêi giời ệở cho lộ: trong cịch nhãm nhđ vẺy cịc sè
hỰng 54, 55,... , 597 ệđĩc tÝnh hai lẵn. Tuy vẺy,
nhiỊu bỰn lỰi khềng chử ra cịch nhãm khịc ệĨ giời
bội toịn, còng cã bỰn chử ra cịch lộm khịc nhđng
vÉn giời sai.

Lời giải đúng. Với nhận xét

5n 5n+3 5n(53 1) 5n.126 126, n , ta
cã thÓ nhãm theo c¸ch sau:

P (5 52 53 54) (55 56 ... 510) ...
(595 596 ... 5100)

(52 53) (5 54) [(55 58) (56 59) (57
510)] ... [(595 598) (596 599) (597
5100)] 150 126(5 55 56 ... 597).

Suy ra P kh«ng chia hÕt cho 126.

Nhð vậy đề bài ra cũng sai. Ta có thể sửa lại đề
bài bằng cách tăng thêm cho tổng 2 số hạng nữa
là 5101, 5102để P có thể nhóm thành các nhóm có
6 số hạng liên tiếp. Khi đó tổng sẽ chia hết cho
126. Một cách tổng quát, số các số hạng của
tổng, với những số mũ là những số tự nhiên liên
tiếp, phải là bội của 6.

Ta cũng có thể thay câu hỏi của đề là: chứng minh
P không chia hết cho 126.

Cịc bỰn sau ệđĩc nhẺn thđẻng: NguyÔn ậục
Bừnh, 9B, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh
Phóc; Ngun Duy Trảng, 9H, THCS ậẳng Thai
Mai, TP. Vinh, Nghỷ An; Quờn ậục Bừnh, 9A1,
THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả.

anh kÝnh lóp
Bội toịn.Giời phđểng trừnh x2 x 1 0. (1)

Lời giải.(của một bạn học sinh)
Ta có (1) x2 x 1. (2)

Mặt khác (1) x2 x 1 x(x 1) 1. (3)

Thạ (2) vộo (3) ta ệđĩc x( x2) 1 x3 1 x 1.
VẺy x 1 lộ nghiỷm cựa phđểng trừnh (1).

Bội giời trến chử dỉng biạn ệữi chuyÓn vạ vộ thay thạ, lộ nhọng biạn ệữi
tđểng ệđểng. Thạ nhđng khi thỏ x 1 vộo (1) thừ lỰi khềng tháa mởn. Cịc
bỰn cã biạt vừ sao khềng?

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

5

Trong các hình A, B, C, D, E, F chọn hình để điền vào dấu ? cho đúng quy luật.

trđểng cềng thộnh(sđu tẵm)

Trến ệẹy lộ mét ệoỰn vẽn miếu tờ cẽn
phưng. Cịc bỰn cã tến sau ệđĩc nhẺn
thđẻng: NguyÔn Thỡ Tuyạt Nhung, ậẫ Thỡ
Nhung, 8A, THCS ThỰch ậăng, Thanh
Thựy, Phó Thả;ậẳng Thỡ Hđêng, 8B ; Chu
Thỡ Hời Yạn, 7A3, THCS Yn Phong, Yn
Phong,Bc Ninh.

Vũ Đô Quan

Quy lut. hỡnh đã cho, chấm đen nằm trong phần
chung (giao) của cả 3 hình: hình trịn, hình tam giác và
hình lục giác. Nhð vậy hình phù hợp nhất với hình đã cho
là hình E (lðu ý: hình D cũng có tính chất giống thế nhðng
có một hình là ngũ giác).

TÊt cờ cịc bỰn tham gia gỏi bội ệỊu cho ệịp ịn ệóng,
nhđng xin nhđêng phẵn thđẻng cho cịc bỰn lắp bĐ nhÊt:

Cao Minh Nguyỷt, 6C, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng,

Vỵnh Phóc; Ngun Tn Du, 6A2, THCS Yến Phong,
Yến Phong, Bớc Ninh;ậẳng Quang Viỷt Anh, 6A, THCS
Phđểng Tó, ụng Ha, H Nội;Trn Th Trung, 6A, THCS

Đặng Thai Mai, TP. Vinh, Nghệ An;Hoàng Thị Linh Đan, 6/5, THCS Lê Văn Thiêm, TP. Hà Tĩnh, Hà
Tĩnh.

Cc bn sau c tuyn dng: NguyÔn Minh HỰnh, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ Néi;

Trẵn Minh Hiạu, 7C, THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ, Phó Thả;Lế Khịnh Ly, 7A1, trđêng phữ thềng
Hai Bộ Trđng, TX. Phóc Yến, Vỵnh Phóc;Chu Thỡ Hời Yạn, 7A3, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc
Ninh;NguyÔn Thỡ Anh Thu, 8G, THCS Lđểng Thạ Vinh, TP. Tuy Hưa, Phó Yến.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

6

Bài toán 1.Tính nhanh

Giải.Ta có

1. Cc bi ton tng tự
Bi ton 2.Tính nhanh

Giải.Ta có

2. Tổng quát

Dạng tổng quát các thừa số của các tích trên là
(với n, k ; n, k 1
vµ a 1, 2, 3, ..., k).

a) Víi n 10 vµ a 1, 2, 3, ..., 100 ta cã

b) Víi n 13 vµ a 1, 2, 3, ..., 20 ta cã

Víi n 13 vµ a 1, 2, 3, ..., 50 ta cã
Víi n 2 vµ a 1, 2, 3, ..., 10 ta cã

Bạn đọc tự tính F v G.

3. Mở rộng bài toán

Xét n ; k, m ; k, m 1 vµ a k, k 1,
k 2, ..., k m.

1 1 1 1

G 1 1 1 1 .

3 8 15 120

12 12 12 12

F 1 1 1 1 .

230 264 300 3150

12 12 12 12

E 1 1 1 1

14 30 48 660

2.13 3.14 4.15 _{21.32 273 91 .}
1.14 2.15 3.16 20.33 33 11
2.10 3.11 4.12 101.109

1.11 2.12 3.13 100.110

2.3.4...101 10.11.12...109 1010 101 .
1.2.3...100 11.12.13...110 110 11

9 9 9 9

D 1 1 1 1

11 24 39 11000

n 1 ₁ (a 1)(a n 1)

a(a n) a(a n)

2.9 3.10 4.11 101.108
b) C

1.10 2.11 3.12 100.109
2.3.4...101 9.10.11...108 _{909 .}
1.2.3...100 10.11.12...109 109

2.7 3.8 4.9 101.106
a) B

1.8 2.9 3.10 100.107
2.3.4...101 7.8.9...106 _707.
1.2.3...100 8.9.10...107 107

8 8 8 8

b) C 1 1 1 1 .

10 22 36 10900

6 6 6 6

a) B 1 1 1 1 ;

8 18 30 10700

2.8 3.9 4.10 101.107
A

1.9 2.10 3.11 100.108
2.3.4...101 8.9.10...107
1.2.3...100 9.10.11...108

808 202
108 27

7 7 7 7

A 1 1 1 1 .

9 20 33 10800

Cịc bội toịn tÝnh nhanh thđêng xuÊt hiỷn nhiÒu trong cịc kừ thi hảc sinh giái. Trong bội viạt nộy, chóng
tềi xin ệđa ra cịch khai thịc, mẻ réng vộ tững quịt mét bội toịn tÝnh nhanh.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

7

Víi n 1 vµ a 3, 4, 5, ..., 10 ta cã

Víi n 2 vµ a 5, 6, 7, ..., 20 ta cã

Vắi dỰng tững quịt vộ mẻ réng ệở nếu ẻ trến
chóng ta cã thĨ tỰo ra nhiỊu bội toịn khịc vi
cch gii tng tự.

4. Khai thác bài toán

Dạng 1. Với a, b, c vµ b c n, b c, a n;
a 0 ta cã

D¹ng 2.Víi a, b, c vµ b c n, b c, a b;
a c ta có

Với mỗi giá trị của n, ta có nhiều giá trị của b vµ
c tháa m·n b c n vµ a m, m 1, m 2, ...,
m k (m ; k ) ta cã thÓ tạo ra các bài toán
mới. Sau đây là các thí dơ.

a) Víi n 3, b 1, c 2 vµ a 1, 2, 3, ..., 100 ta có
Bài toán 3.Tính nhanh

Giải.Ta có

b) Với n 8 và a 5, 6, 7, ..., 20 th×
Víi b 1 và c 7 ta có

Bài toán 4. Tính nhanh

Víi b 2 vµ c 6 ta cã

Bài toán 5. Tính nhanh

Với b 3 và c 5 ta có
Bài toán 6. Tính nhanh

Với b 4 và c 4 ta có
Bài toán 7. Tính nhanh

c) Víi n 3 ; b 5; c 2 vµ a 6, 7, 8, ..., 20
ta có

Bài toán 8. Tính nhanh

d) Với n 3 ; b 5; c 2 vµ a 20, 19, 18,
..., 10 ta có

Bài toán 9. Tính nhanh

Cỏc bn hãy giải các bài toán trên và tạo ra các
đề toán mới nhé.

10 10 10

T 1 1 1 .

( 25).( 18) 24.17 15.8

10 10 10

S 1 1 1 ;

( 20).( 23) 19.22 10.13

10 10 10

R 1 1 1 .

1.8 2.9 15.22

10 10 10

Q 1 1 1 ;

6.3 7.4 20.17

2 2 2

4 4₂ 4₂ 4₂

P 1 1 1 .

9 10 24

2 2 2

4 4 4 4

N 1 1 1 ;

5.13 6.14 20.28

3 15 15 15

P 1 1 1 .

8.10 9.11 23.25

3 15 15 15

N 1 1 1 ;

5.13 6.14 20.28

2 12 12 12

P 1 1 1 .

7.11 8.12 22.26

2 12 12 12

N 1 1 1 ;

5.13 6.14 20.28

1 7 7 7

P 1 1 1 .

6.12 7.13 21.27

1 7 7 7

N 1 1 1 ;

5.13 6.14 20.28

1.4 2.5 3.6 100.103
M

2.3 3.4 4.5 101.102
1.2.3...100 4.5.6...103 103 .

2.3.4...101 3.4.5...102 303
2.3 3.4 4.5 101.102
L

1.4 2.5 3.6 100.103
2.3.4...101 3.4.5...102 303 ,
1.2.3...100 4.5.6...103 103

2 2 2

M 1 1 1 .

2.3 3.4 101.102

2 2 2

L 1 1 1 ;

1.4 2.5 100.103

bc a(a n)

1 .

(a b)(a c) (a b)(a c)
bc (a b)(a c)

1 .

a(a n) a(a n)

3 3 3 3

K 1 1 1 1 .

3.5 4.6 5.7 18.20

2 2 2 2

H 1 1 1 1

2.3 3.4 4.5 9.10

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

8

II. Phần thi đồng đội

1.Mẫi sè xuÊt hiỷn hai lẵn
trong 7 ệoỰn thỬng trõ hai sè bến trong xuÊt hiỷn
ba lẵn. Tững cựa hai sè ẻ bến trong lộ 23 6 17.
Tững cựa chÝn sè tù nhiến liến tiạp ệã lộ
(7.23 17) : 2 72. Trung bừnh céng cựa cịc sè
ệã lộ 72 : 9 8, do ệã 9 sè ệã lộ 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, 11 vộ 12. ậoỰn thỬng ẻ bến phời chử cã hai
hừnh trưn. Do ệã hai sè trong hai hừnh trưn ệã lộ 11
vộ 12, vắi 11 ẻ phÝa trến. Tững hai sè cưn lỰi trến
hai ệoỰn thỬng chụa 11 vộ 12 tđểng ụng bỪng 12
vộ 11. Ta cã 11 4 7 vừ 6 ệở dỉng. Mộ 12 5 7
4 8, do ệã sè ẻ trong bến phời phời bỪng 4
hoẳc 7. Sè ệã khềng thÓ bỪng 4. Do ệã sè 7 ẻ
trong bến phời vộ sè 10 ẻ trong bến trịi. Ta lẵn
lđĩt ệiÒn ệđĩc cịc số cn li nh sau.

2.Số còn thiếu ở mảnh đầu tiên là
2012 (2023 2012) 2001.
Số còn thiếu ở mảnh thứ hai là

2683 (2683 2012) 3354.
Tổng hai số còn thiÕu lµ

2001 3354 5355.

3.Ta ệẳt cịc sè cựa dởy sè ệở cho vộo cịc hộng
hừnh bẺc thang, cã 2 sè ẻ dưng ệẵu, cã 3 sè ẻ
dưng thụ hai, cã 4 sè ẻ dưng thụ ba vộ cụ tiạp tôc
nhđ thạ. Ta sỳ tÝnh tững tÊt cờ cịc sè ẻ hừnh bẺc
thang cã 4 dưng. Ta lÊy hừnh bẺc thang ệã xoay
180o răi ghĐp lỰi vắi hừnh bẺc thang ban ệẵu ệÓ
tỰo thộnh mét hừnh chọ nhẺt nhđ hừnh vỳ. Hừnh chọ
nhẺt ệã cã sè cét lắn hển sè dưng lộ 3. Do ệã hừnh
chọ nhẺt nộy chụa 4.7 28 sè, tõ ệã sè cịc sè ẻ
4 dưng ệẵu lộ 28 : 2 14 sè. Cụ tiạp tôc lộm tđểng
tù nhđ trến ta sỳ nhẺn ệđĩc hừnh chọ nhẺt cã sè

cột hơn số dịng là 3. Ta cần tìm một hình chữ nhật
chứa khơng ít hơn 2.2012 4024 số. Mà 61.64
3904 và 62.65 4030. Do đó ta cần có hình bậc
thang có 61 dịng và chứa 3904 : 2 1952 số. Để
có 2012 số ta cần thêm 1 số 2012 và một số số 1
ở dòng thứ 62. Trong 2012 số đó có 62 số 2012
và 2012 62 1950 s 1.

Vậy tổng của 2012 số đầu tiên là
62.2012 1950.1 126694.

4.Phn số ch số cu hỏi trờ lêi sai cựa mét mừnh
Andrea lộ Do ệã sè cẹu hái phời lộ béi
cựa 15. Vừ Barbara trờ lêi sai 7 cẹu hái nến cờ hai
ngđêi cỉng trờ lêi sai nhiÒu nhÊt 7 cẹu hái. Do ệã

sè cẹu hái nhiÒu nhÊt lộ . Do ệã sè cẹu
hái lắn nhÊt lộ 30, khi ệã cã cẹu hái cờ
hai bỰn ệÒu trờ lêi sai. Cã 7 6 1 cẹu hái bỡ trờ

1 30 6
5

1
7 : 35

5
1 1 _{2 .}

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

9

lêi sai bẻi mét mừnh Barbara vộ cã cẹu
hái bỡ trờ lêi sai bẻi mét mừnh Andrea. VẺy sè cẹu
hái nhiÒu nhÊt mộ cờ hai ngđêi cỉng trờ lêi ệóng
lộ 30 6 1 4 19.

5.Chó ý rỪng 28 1.28 2.14 4.7. Do ệã sè nhá
thụ hai khềng nhá hển 7. Do ệã sè lắn thụ hai
khềng nhá hển 9. Mộ 240 10.24 12.20 15.16.
Do ệã sè lắn thụ hai khềng lắn hển 15, tõ ệã sè
nhá thụ hai khềng lắn hển 13. Suy ra hai sè nhá
nhÊt lộ 4 vộ 7. Mộ 128 khềng chia hạt cho 7 vộ
còng khềng chia hạt cho 10, 12 vộ 15. Mẳt khịc
sè nhá nhÊt lộ 4 vộ 128 : 4 32 24 nến 128
khềng lộ tÝch cựa 4 vộ mét sè khịc. Vừ vẺy 128 lộ
tÝch cựa sè ẻ giọa vộ sè lắn nhÊt. Sè lắn nhÊt phời
lộ 16 vừ 20 vộ 24 khềng lộ đắc cựa 128. Do ệã sịu

sè ệã lộ 4, 7, 8, 15 vộ 16 vộ tững cẵn từm lộ 50.
6. Ta chia hừnh chọ nhẺt ABCD thộnh mét hừnh
vuềng ẻ giọa vộ cịc hừnh chọ nhẺt nhá vộ tề mộu
nhđ hừnh vỳ. Hiỷu diỷn tÝch cựa phẵn tề mộu vộ
phẵn hừnh chọ nhẺt khềng ệđĩc tề mộu ẻ ngoội
hừnh vuềng lộ 312 123 189 cm2. Ta bá ệi bèn
cẳp tam giịc vuềng bỪng nhau ẻ bèn gãc thừ hiỷu
diỷn tÝch hai hừnh chọ nhẺt tề mộu vộ hai hừnh chọ
nhẺt khềng ệđĩc tề mộu lộ 189 cm2. Ta thÊy cịc
hừnh chọ nhẺt ệã cã mét cỰnh bỪng nhau vộ bỪng
MN. Mẳt khịc AB BC 7 cm nến MN 189 : 7
27 (cm). Tõ ệã diỷn tÝch hừnh vuềng MNPQ lộ
272 729 (cm2).

7. Giờ sỏ sè nhẹn viến cựa hai cềng ty lóc ệẵu
khềng lộ béi cựa 11. Sau khi thay ệữi nhẹn sù, sè
nhẹn viến cựa cềng ty thụ hai lộ đắc cựa sè nhẹn
viến cựa cềng ty thụ nhÊt. Lóc nộy sè nhẹn viến
cựa cềng ty thụ hai nguyến tè cỉng nhau vắi 11.
Tõ ệã sè nhẹn viến lóc sau lộ đắc cựa sè nhẹn
viến lóc trđắc nến sè nhẹn viến lóc sau phời lộ đắc
cựa 11. Do ệã sè nhẹn viến cựa cềng ty thụ hai
sau sù thay ệữi nhẹn sù lộ 1. Tõ ệã sè nhẹn viến
hai cềng ty lúc u l 12.

Giả sử số nhân viên của hai công ty lúc đầu là bội
của 11. Ta chia mỗi công ty thành 11 chi nhánh nh

nhau. Sau khi thay ệữi nhẹn sù sè nhẹn viến mẫi
chi nhịnh cựa cềng ty thụ nhÊt gÊp 11 lẵn sè nhẹn

viến mẫi chi nhịnh cựa cềng ty thụ hai. Tõ ệã suy
ra sè nhẹn viến mẫi chi nhịnh cựa cềng ty thụ hai
lộ đắc cựa 11. Nạu sè ệã lộ 1 thừ mẫi chi nhịnh lóc
ệẵu cựa cềng ty thụ hai cã 2 nhẹn viến, tõ ệã mẫi
cềng ty cã 22 nhẹn viến. Nạu sè ệã lộ 11 thừ mẫi
chi nhịnh lóc ệẵu cựa cềng ty thụ hai cã 12 nhẹn
viến, tõ ệã mẫi cềng ty cã 132 nhẹn viến.

8. Chú ý rằng: EABK, EAKL, EALM, EAMN và
EANC là các hình bình hành (vì có các cặp cạnh
đối song song và bằng nhau).

Từ đó suy ra AKE KAB, ALE LAK,

AME MAL, ANE NAM, ACE CAN.

Do đó

AKE ALE AME ANE ACE 45o.

9.Ta xĐt hừnh tề mộu thụ nhÊt vộ hừnh tề mộu thụ
hai cã chung hai ề nến hiỷu cựa hai sè cưn lỰi lộ
8 1 7. Do ệã hai sè cẵn ệiÒn vộo lộ 9 vộ 2.
Tđểng tù xĐt hừnh tề ệẺm thụ ba vộ thụ tđ cã
chung hai ề, cã hai ề chụa 9 vộ 8. Do ệã hai ề cưn
lỰi chụa hai sè tù nhiến liến tiạp. Hai sè ệã chử cã
thÓ lộ 3 vộ 4; 4 vộ 5; 5 vộ 6 hoẳc 6 vộ 7. Ta cã ba
trđêng hĩp ệẵu tiến, trong trđêng hĩp cuèi cỉng
hiỷu cựa hai sè ẻ trến cỉng vộ dđắi cỉng cựa cét
giọa lộ 6 1 5 7 2 nhđng giị trỡ lắn nhÊt cựa

hiỷu hai sè trong ba sè 3, 4 vộ 5 chử cã thÓ lộ 2.
VẺy ta cã ba kạt quờ sau:

ậÒ thi vộ ệịp ịn cựa bội 10 cưn cã nhiÒu ý kiạn
khịc nhau. TTT mong nhẺn ệđĩc cịc ý kiạn trao
ệữi cựa bỰn ệảc.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

10

Bài 1.a) ĐKXĐ: x 0 và x 4. Ta cã

Kạt hĩp vắi ệiÒu kiỷn ta ệđĩc 0 x 9 vộ x 4.
b) Ta c㠒 (m 2)2 (3m 2) m2 m 2
VẺy phđểng trừnh luền cã hai nghiỷm phẹn biỷt.
Theo ệỡnh lÝ ViĐt ta cã x₁ x₂ 2m 4 (1) vộ
x₁x₂ 3m 2. (2)

Mµ x₂ 2x₁ 3 nên kết hợp với (1) suy ra

Thay vo (2) ta ệđĩc

Bội 2.a) ậKXậ: Phđểng trừnh ệở cho tđểng
ệđểng vắi

5x 1 3x 13 x 7 (tháa m·n).
(1)

NÕu x 1 th× VT(1) 6; nÕu x 1 th× VT(1) 6.
Ta thÊy x 1 tháa m·n (1).

VËy S {1; 7}.

b) Biạn ệữi phđểng trừnh (1) trẻ thộnh
y2 (x 3)y 2 2x2 0.

Coi ệẹy lộ phđểng trừnh bẺc hai Èn y vắi x lộ tham
sè. Ta cã (x 3)2 4(2 2x2)

9x2 6x 1 (3x 1)2. Tõ ệã tÝnh ệđĩc
y 2x 2 hoẳc y x 1.

Thay y 2x 2 vộo (2) ta ệđĩc

x2 (2x 2)2 3 3x2 8x 7 0: vô nghiệm
vì 5 0.

Thay y 1 x vo (2) ta ệđĩc
x2 (1 x)2 3 x 2 y 1.
Bội 3. a) V OC // AH nn

Mà (vì DO là phân giác của góc ADE)
nên

b) Ta có ABC DOA (g.g)

c) Ta cã
EF 2EG

2EF.EG EF2 EC2 EB.EA 2EB.EI
BEF GEI (c.g.c)

Mà BE FG nên IFG nhận điểm B cố định là
trực tâm.

Bµi 4. a) Ta cã

đúng.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y.

1 1 (x y)(xy 1)

x y 0 :

x y xy

BFE GIE BF IG.
EF EC EB 2EB 2EG

AD CD BO AB AD

2
BC AB _{OD.BC AB.AO} AB _.

AO OD 2

CH AD _{AD.CE CH.DE.}
CE DE

OA AD
OE DE

CH OA .
CE OE

5x 1 3x 13 6.

5x 1 3x 13 0 5x 1 3x 13

1( 5x 1 3x 13)( 5x 1 3x 13).
6

5x 1 3x 13
1

x .

5

2 7

8m m 7 0 m 1; .

8

2m 1 4m 11 3m 2

3 3

1 2m 1 2 4m 11

x , x .

3 3

2

1 7

m 0, m .

2 4

A 2 2( x 2) x 7 x 3 x 9.

x(x 2 x 4) (x 3)( x 2) (7 x 10)
A

( x 2)(x 2 x 4)

x 7 4(x 4) x 2 x 4

: .

x 2 x 4 ( x 2)(x 2 x 4) x 7
4( x 2). V× x 7 0 nên

x 7

Môn thi: Toán chung * Năm học: 2013 - 2014

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10

THPT CHUYÊN TRẦN PHU, HAI PHOỉNG

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

11

Câu 1. (5,0 điểm)

1)Tính giá trị của biểu thức
.
2)Rút gọn biểu thức

Câu 2. (4,0 ®iĨm)

1)Giời phđểng trừnh
2)Giời hỷ phđểng trừnh
Cẹu 3. (4,0 ệiÓm)

1)Cho hộm sè y x2. Từm cịc giị trỡ cựa m ệÓ
ệđêng thỬng cã phđểng trừnh y x m cớt
ệă thỡ hộm sè tỰi hai ệiÓm phẹn biỷt A(x₁; y₁),

B(x₂; y₂) thỏa mãn (x₂ x₁)4 (y₂ y₁)4 18.
2)Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c đôi
một khác nhau thỏa mãn điều kiện

20abc 30(ab bc ca) 21abc.
C©u 4. (6,0 ®iĨm)

Cho tam giịc ABC vuềng tỰi A (AB AC), cã
ệđêng cao AH vộ O lộ trung ệiÓm cựa cỰnh BC.
ậđêng trưn tẹm I ệđêng kÝnh AH cớt AB, AC thụ

tù tỰi M vộ N. OA vộ MN cớt nhau tỰi D.

1)Chøng minh tø gi¸c BMNC néi tiÕp.
2)Chøng minh

3)Cho AB 3 vộ AC 4. TÝnh bịn kÝnh ệđêng
trưn ngoỰi tiạp tam gic BMN.

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho ba số dng a, b vộ c tháa mởn abc 1.
Chụng minh rỪng

2 12 2 12 2 12 1.₂

a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3

1 1 _{1 .}

AD HB HC

2 2

2

x y xy 1 4y

(x 1)(x y 2) y.

3 2

3 x 8 2x 3x 10.

a 2 2 a 2 a 7

P .

3 3 a 2 11 a

3 a 2 1 1

: .

a 3 a 2 2 a 2

3 3

A 26 15 3 26 15 3

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

TỈNH BẮC GIANG

Mơn thi: Tốn lớp 9 * Năm học: 2012 - 2013

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao )

b) Giả sử 1 a b c 2.
Đặt

Ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 hoặc x 2,
đồng thời xy 2 (a; b; c) (1; 1; 2), (1; 2; 2) và
các hoỏn v.

Câu 5.a) Từ giả thiết suy ra a 1 (mod 3), b 2
(mod 3), a 1 (mod 7), b 1 (mod 7).

Suy ra A 4a 9b a b 1 0 1 2 (mod 3)
hay A 1 (mod 3). (1)

XÐt a 3k 1, b 3q 2, víi k, q .
Ta cã 4a 43k+1 4.64k 4 (mod 7) vµ
9b 93q+2 23q+2 8q.4 4 (mod 7).

Do đó A 4a 9b a b 4 4 1 1 (mod 7)
hay A 10 (mod 7).

Tõ (1) suy ra A 10 (mod 3), mà 3 và 7 nguyên tố

cùng nhau nªn A 10 (mod 21).
VËy A chia cho 21 d 10.

b) Tô màu các dòng của bảng ô vuông bằng hai
màu đen trắng xen kẽ, dòng 1 đen, dòng 2 trắng,
dòng 3 đen, dòng 4 trắng, ...

Khi ú mi miếng lát sẽ luôn phủ đúng 3 ô đen 1
ô trắng hoặc 3 ô trắng 1 ô đen.

Trong bờng, sè ề ệen bỪng sè ề trớng nến sè miạng

lịt phự 3 ề ệen 1 ề trớng bỪng sè miạng lịt phự 3
ề trớng 1 ề ệen, do ệã phời cã chơn miạng lịt.
Tuy nhiến trong bờng cã 65 miạng lịt, mẹu thuÉn.
VẺy khềng thÓ phự ệđĩc bờng tháa mởn.

1 2 x 1 3x 3 9

(x ) ( ) (2 ) 7

x x 2 2 2 x 2

3(x 1)(x 2) 0.
2x

1 1 1

VT VP (x ) (y ) (xy ) 7

x y xy

b c 2

x , y (víi 1 x, y 2; xy 2 y ).

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

12

Bµi 1(127).Cho và

So sánh với
Lời giải.Đặt

Ta có

Ta lại cã

Tõ (1) vµ (2) suy ra

Do đó
Vậy

NhẺn xĐt. Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: Phan Phó
Dịng, ậộo TuÊn Ninh, 7A3, THCS Lẹm Thao,
Lẹm Thao, Phó Thả; Ngun Vẽn Quang, ậẳng
Duy ậan, 7D, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng,
Vỵnh Phóc.

Ngun ngäc H¢N

Bội 2(127). Tăn tỰi hay khềng hai sè nguyến
dđểng a vộ b tháa mởn a3 b3 2013?

Lêi giải. Ta thấy 2013 là số chia hết cho 3 nhðng
kh«ng chia hÕt cho 9.

Giờ sỏ tăn tỰi hai sè nguyến dđểng a, b tháa mởn
a3 b3 2013.

Ta cã (a b)3 a3 b3 3ab(a b).

Vì a3 b3và 3ab(a b) cïng chia hÕt cho 3 nªn
(a b)3 3. Suy ra (a b) 3.

Do ệã (a b)3 9 vộ 3ab(a b) 9. Suy ra
2013 a3 b3 (a b)3 3ab(a b) 9 (về lÝ).
VẺy khềng tăn tỰi hai sè nguyến dđểng a, b tháa
mởn a3 b3 2013.

NhËn xÐt. Víi a b 0 th× 2013 a3 1000 nên
a {11; 12}. Thử lại không thỏa mÃn.

Kt lun trn vÉn ệóng nạu thay 2013 bẻi mét sè
nguyến dđểng cã dỰng 9k 3. ẻệẹy cã mét kạt
quờ thó vỡ ệèi vắi hai sè tù nhiến a, b lộ:

NÕu (a3 b3) 3 th× (a b) 3.

Bội toịn tững quịt: Vắi sè tù nhiến n nộo thừ tõ
(an bn) 3 suy ra (a b) 3? Nhắ rỪng nạu
(a2 b2) 3 thừ a 3 vộ b 3 nến (a b) 3. Ta
còng cã kạt quờ: Nạu (a4 b4) 3 thừ (a b) 3.
Cịc bỰn hởy suy nghỵ vộ từm lêi giời ệịp cho bội
toịn tững quịt nhĐ. Chóc cịc bỰn thộnh cềng.
Cịc bỰn sau ệẹy cã bội giời tèt: Trẵn Thỡ DiÔm
Quúnh, 7G; ậộo Quèc Khịnh, 7D, THCS ậẳng
Thai Mai, TP. Vinh, Nghỷ An; NguyÔn Thộnh
Vinh, NguyÔn Ngảc Xuẹn Huy, ậẫ Minh Trung, Lế
Khịnh Ly, 7A1, trđêng phữ thềng Hai Bộ Trđng,
TX. Phóc Yến, Vỵnh Phóc;Ngun Minh ậục, 6C,
THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh;NguyÔn
Dđểng Hoộng Anh, 7C, THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt
Trừ, Phó Thả.

ngun anh dịng
Bội 3(127). Gii phng trnh

Lời giải.Lu ý là x 1 không là nghiệm của (1).
Điều kiện x 1.

Đặt Ta cã

(1) 2x3 (3x2 t2)t 2x3 3tx2 t3 0
(x t)2(2x t) 0.

t x 1 (t 0).

3 2

2x (3x x 1) x 1. (1)
A ₁2013_.

B 2014

C 2013 C B ₁ 2013_.

B 2014 B 2014

C

B C 2013B 2014C.

2013

1 1 _... 1 _C 1 C _{. (2)}

2 4 4026 2 2013

2013 ph©n sè
2013 1 1 _... 1

2 2 2 2

1 1 1 1

1 ... C. (1)

4 6 4026 2

1 1 1

B 1 ...

3 5 4025

1 1 1 1

C A B ... .

2 4 6 4026

2013

1 .

2014
A

B

1 1 1 1

B 1 ... .

3 5 7 4025

1 1 1 1

A 1 ...

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

13

NÕu x t th×

Vắi x 0 ta ệđĩc x2 x 1 x2 x 1 0
Nạu 2x t thừ

Vắi 1 x 0 ta ệđĩc 4x2 x 1 4x2 x 1 0

VËy nghiƯm cđa (1) lµ

NhẺn xĐt. Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng vộ gản
hển cờ: Bỉi Thỡ Thu HiÒn, 8A, THCS Lđểng Thạ
Vinh, thỡ trÊn Phỉng, ậan Phđĩng, Hộ Néi;

NguyÔn Thỡ Tó Linh, Ngun Thỡ Tẹm, NguyÔn
Thỡ Thếm, NguyÔn Thỡ Hđểng Ly, Hoộng Thỡ Minh
Anh, 9A1, THCS Yến LỰc, Yến LỰc; ậẫ Vẽn
Quyạt, NguyÔn Quèc Nghiến, 9C, THCS Vỵnh
Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Ngun Thanh
Bừnh, 9A1, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;

Chu Thanh Hun, MÉn B¸ Tn, 9A, THCS Yên
Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Ngun M¹nh
Khang, 9A; Ngun Hång Quốc Khánh, 9C,
THCS Đặng Thai Mai, TP. Vinh, Nghệ An;Lê Thị
Ngọc Trâm, 8B; Trần Nguyễn Đức Thọ, 9B, THCS
Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh.

hồ quang vinh

Bi 4(127). Giờ sỏ viạt sè 2001 thộnh tững cựa
cựa m sè nguyến dđểng chơn khịc nhau vộ n sè
nguyến dđểng lĨ khịc nhau. Từm giị trỡ lắn nhÊt
cựa A 5m 2n.

Lêi giời.Tững cựa m sè nguyến dđểng chơn khịc
nhau nhá nhÊt lộ

Tững cựa n sè nguyến dđểng lĨ khịc nhau nhá
nhÊt lộ 1 2 ... (2n 1) n2.

Tõ gi¶ thiÕt suy ra 2001 m2 m n2

Ta cã

(do áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki).
Vì m, n là các số nguyên nên A 238.

Đẳng thức xảy ra khi 5m 2n 238, m2 m n2
2001. Xảy ra, chẳng hạn với m 40, n 19.
Vậy A đạt giá trị lớn nhất là 238.

NhẺn xĐt. ậẹy lộ bội toịn mắi lỰ vộ hay. NhiÒu
bỰn tham gia giời bội, hẵu hạt cịc bỰn giời ệóng
ệịp sè, mét sè bỰn lẺp luẺn sai. Sau ệẹy lộ mét
sè bỰn cã lêi giời tèt: Trỡnh ậục Viỷt, 7B, trđêng
phữ thềng chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Hộ Néi;

NguyÔn Thanh Bừnh, Quờn ậục Bừnh, 9A1; Vò
Thỉy Linh, 9A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó
Thả; MÉn Bị TuÊn, 9A, THCS Yến Phong, Yến
Phong,Bớc Ninh;NguyÔn Thanh Tẹm, 8B, THCS
Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vnh Phúc.

Cao văn dũng

Bi 5(127). Cho A, B, C là những tập hợp. Biết
A B C là tập hợp gồm các bộ ba (a, b, c), trong
đó a A, b B, c C.

Cho A {1, 2}, B {x, y, z}, C {3, 4}.
a) Tìm các phần tử của A B C.
b) Gọi n(M) là số phần tử của tập M.

Tìm n(A B C).

Lời giải.a) Các phần tử của tập hợp A B C là:
(1, x, 3), (1, x, 4), (1, y, 3), (1, y, 4), (1, z, 3),
(1, z, 4), (2, x, 3), (2, x, 4), (2, y, 3), (2, y, 4),
(2, z, 3) vµ (2, z, 4).

b) n(A B C) 12.
2

2 2 1 2 5

(5 2 ) m n

2 2

8005 5

29. 238,407

4 2

1 5

A 5m 2n 5 m 2n

2 2

2 2

2 2

1 1 1 8005

m n m n .

2 4 2 4

2
2m(m 1)

2 4 ... 2m m m.

2

1 15 1 17

x , x .

2 8

1 17 1 17

x (nghiƯm x 0, lo¹i).

8 8

2x x 1.

1 5 1 5

x (nghiƯm x 0, lo¹i).

2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

14

Nhận xét. Tất cả các bạn gửi bài đến tòa soạn
đều giải đúng. Bạn Phan Nguyên Khôi, 9A, THCS
Đặng Thai Mai, TP. Vinh, Nghệ An đề xuất bài
toán tổng quát sau:

Cho cịc tẺp hĩp A₁, A₂,... , A_m (vắi m *). Biạt
A₁ A₂ ... A_mgăm cịc bé (a₁, a₂,... , a_m) trong
ệã a₁ A₁, a₂ A₂,... , a_m A_m; cịc tẺp hĩp
A₁, A₂,... , A_mlẵn lđĩt cã b₁, b₂,... , b_mphẵn tỏ (vắi
b₁, b₂,... , b_m *). Gải n(M) lộ sè phẵn tỏ cựa tẺp
hĩp M. Tính n(A₁ A₂ ... A_m).

Ngoài bạn Khôi, các bạn sau cịng cã lêi gi¶i tèt:

Ngun MỰnh Nhung, 9B, THCS Hoộng Xuẹn
Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh; NguyÔn Hăng Quèc
Khịnh,9C, THCS ậẳng Thai Mai, TP. Vinh, Nghỷ
An; ậộo Minh Tiạn, 7D, THCS Bớc Lý, Lý Nhẹn,
Hộ Nam;Bỉi Thỡ Thu HiÒn, 8A, THCS Lđểng Thạ
Vinh, thỡ trÊn Phỉng, ậan Phđĩng, Hộ Néi;

NguyÔn Quúnh Anh, 7A1; PhỰm ậẫ Nguyỷt
Anh, NguyÔn Thỡ Thanh Hđểng, 9A, THCS Yến
Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;NguyÔn Thỡ Hđểng

Ly, NguyÔn Thỡ Tẹm, 9A1, THCS Yến LỰc;

NguyÔn Hoội Phđểng, 7D; NguyÔn Thanh Tẹm,

8B; NguyÔn Quèc Nghiến, Bỉi Minh Hiạu, 9C,
THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc;

Ngun Thanh B×nh, 9A1, THCS L©m Thao, L©m
Thao,Phó Thä.

TRỡNH HOộI DẩầNG
Bội 6(127).Cho tam giịc ABC nhản, ệđêng cao
BH, CK. Gải M lộ trung ệiÓm BC, I lộ giao ệiÓm
cựa AM vắi HK, E lộ hừnh chiạu vuềng gãc cựa I
trến BC. Chụng minh rỪng

Lêi giời.Bá qua trđêng hĩp ệển giờn AB AC.
Khềng mÊt tÝnh tững quịt giờ sỏ AB AC.

Gäi F là trung điểm của HK.

Vì M là trung điểm của BC và AHK ABC
nªn AFK AMC.

Do đó

Vì BH AC, CK AB và MB MC nên
Kết hợp với FH FK suy ra MF HK.
Mà IE BC nên ra tứ giác MEFI nội tiếp.
Do đó

Tõ (1) vµ (2) suy ra

Do đó A, F, E thẳng hàng. (3)

Tõ (1) vµ (3) suy ra ta cã đpcm.
Nhận xét. Nếu gọi P, Q là hình chiếu của E trên
AB, AC thì I là trực tâm của APQ.

Nhọng bỰn sau cã lêi giời tđểng ệèi tèt: ậẫ Vẽn
Quyạt, Lế Huy Quang, 9C, THCS Vỵnh Tđêng,
Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Ngun Trung Phóc,
Ngun MỰnh Khang, 9A, THCS ậẳng Thai Mai,
TP. Vinh, Nghỷ An;MÉn Bị TuÊn, 9A, THCS Yến
Phong, Yến Phong, Bớc Ninh.

Ngun Minh Hµ
EAB MAC,

o
AFK KFE AMC AMB 180 .

KFE AMB. (2)
1

MH BC MK.

2

AFK AMC, FAK MAC. (1)

EAB MAC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

15

Cho tam giác ABC không cân. Hãy chỉ
ra cách để chia tam giác ABC thành:
a) 6 tam giỏc cõn;

b) 7 tam giác cân;
c) 9 tam giác cân.

nguyễn ngäc h©n

Ta phải tìm số nhiên n để

1 2 ... n 2013 hay n(n 1) 4026. (1)
Ta cã 4026 2.3.11.61.

Vì 61 là số nguyên tố, n và n 1 là hai số tự nhiên
liên tiếp và 2.3.11 66, là số khác 60 và 62 nên
(1) vô nghiÖm.

XÐt m, n *, m n tháa m·n
(m 1) (m 2) ... n 2013

(1 2 ... n) (1 2 ... m) 2013
n(n 1) m(m 1) 4026

(n2 m2) (n m) 4026
(n m)(n m 1) 4026.

Sè sè hỰng trong tững lộ n m, lộ mét đắc sè lắn
hển 1 cựa 4026 2.3.11.61.

a) Thỏ n m 2 thừ n m 1 2013. Tõ ệã từm
ệđĩc n 1007, m 1005.

VËy tỉng cã Ýt sè h¹ng nhÊt gồm 2 số hạng là
1006 1007 2013.

b) Ta thấy 1 n m n m 1.
Suy ra (n m)2 4026.

Chó ý 632 4026 642nến n m 63.
Mộ n m lộ đắc sè cựa 4026 nến n m 61.
Thỏ n m 61 thừ n m 1 66. Tõ ệã từm ệđĩc
n 63, m 2.

VËy tổng có nhiều số hạng nhất gồm 61 số hạng
là 3 4 ... 63 2013.

NhẺn xĐt. ậa sè cịc bỰn gỏi lêi giời ệỊu ra kạt
quờ ệóng. Cịc bỰn sau ệđĩc thđẻng kừ nộy: KhuÊt
Bờo Chẹu, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt;

NguyÔn Vẽn Cao, 8A, THCS NguyÔn Thđĩng
HiÒn, ụng Hưa, Hộ Néi; Lế ậục Anh, 9G, THCS
ậẳng Thai Mai, TP. Vinh, Nghỷ An;NguyÔn Quèc
Nghiến, 9C, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh
Phóc; Vị Thỡ Thu HiỊn, 8A, THCS ThỰch ậăng,
Thanh Thựy, Phó Thả.

Anh Com pa cũng khen các bạn sau: Trần Thị
Diễm Quỳnh, 7G, THCS Đặng Thai Mai, TP. Vinh,
Nghệ An; Đỗ Văn Giang, 8A1, THCS Quảng
Thanh, Thủy Nguyên, Hải Phòng.

Anh com pa

Danh sịch cịc bỰn giời ệóng kừ 54: ậộm
Tiạn ậỰt, 9A3, THCS Chu MỰnh Trinh, Vẽn
Giang, Hđng Yến; Trẵn Thỡ DiÔm Quúnh, sè
nhộ 13, ngâ 5, ệđêng An Dđểng Vđểng, K6,
P. Trđêng Thi, TP. Vinh, Nghỷ An.

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

16

óc ệã lộ buữi trđa, ệđêng phè khị vớng lẳng. Võa rêi quịn cộ phế, ệang thong thờ dỰo
bđắc trến vửa hÌ, chĩt thịm tỏ Sếlềccềc nghe tiạng khãc thót thÝt vẽng vỬng tõ ệẹu ệã.
Nhừn quanh mét lóc, ềng phịt hiỷn cã cề gịi ệang ngăi trến ghạ ệị dđắi gèc cẹy ven
ệđêng. Thịm tỏ ệạn bến hái han:

- Cề lộm sao thạ? Tềi lộ thịm tỏ Sếlềccềc ệẹy. Cề cã viỷc gừ cẵn tềi gióp khềng?
Cề gịi ngõng khãc, nĐt mẳt tđểi hỬn lến:

- Chộo thịm tỏ Ự! May quị chịu gẳp ệđĩc ềng. Xin ềng hởy gióp chịu!
- Cã viỷc gừ, cề cụ bừnh tỵnh kĨ lỰi ệi!

- Lóc gẵn trđa hềm nay, chịu ệi rót tiỊn ẻ ngẹn hộng răi vộo luền quịn ven ệđêng ẽn trđa
vộ uèng nđắc. Buăn ngự quị nến chịu gơc xng bộn vộ thiạp ệi lóc nộo khềng biạt. Lóc chĩt
tửnh, chịu khềng thÊy tói tiỊn ệẹu nọa.

- Chết thật! Sao cô lơ đễnh thế? Mà có mất nhiều lắm khơng?

- DỰ, cịng nhiỊu. ậã lộ tiÒn cựa cềng ty nểi chịu lộm chụ khềng phời tiỊn riếng cựa chịu.
- Thềi, ệỪng nộo cịng mÊt răi, cề ệõng khãc nọa. Hởy bừnh từnh kÓ lỰi mải viỷc, may ra tềi
cã thĨ gióp ệđĩc.

Sau ệã cề gịi ệđa thịm tỏ tắi quịn ẽn lóc trđắc. Hai ngđêi ngăi vộo ệóng bộn mộ trđắc ệã
cề ệở ngăi. Thịm tỏ Sếlềccềc quan sịt hiỷn trđêng, hái han mét sè bờo vỷ vộ nhẹn viến phôc
vô cựa quịn, lộm viỷc vắi chự quịn... Cuèi cỉng ềng ệở “khoanh vỉng” ệđĩc hai ệèi tđĩng ệịng
nghi nhÊt. Cờ hai ệÒu lộ nhẹn viến phơc vơ cựa quịn. Lóc ệã ệở hạt ca, cờ hai ệÒu ệở vÒ nhộ
nến thịm tỏ phời từm ệạn tẺn nểi ẻ cựa hả. Ngđêi ệẵu tiến ềng tắi gẳp lộ mét phô nọ trĨ. Thịm
tỏ hái:

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

17

Thịm tỏ ệở hái bộ Tamara xem cã phời bộ
ệở nãi mẺt mở cho chó vứt khềng. Cẹu hái
cựa thịm tỏ ệở khiạn bộ hiÓu ra mải chuyỷn:
Bản trém ệở từnh cê nghe ệđĩc mẺt mở kĐt
sớt do vứt nãi ra.

Kừ nộy cịc thịm tỏ Tuữi Hăng gỏi bội tham
dù rÊt ệềng vộ bỰn nộo còng cã cẹu trờ lêi
ệóng. Phẵn thđẻng ệđĩc trao cho: Vị Hoộng
Nam, 7C, THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ, Phó
Thả; Ngun Minh ậục, 6C, THCS Ngun
Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; NguyÔn Họu Duy,
6A, THCS Quạ Nham, Tẹn Yến, Bớc Giang;
Tõ Anh Dòng, 7A15, THCS Giờng Vâ, Ba
ậừnh, Hộ Néi;PhỰm Huy Hoộng, 6G, THCS

ng Thai Mai, Vinh, Ngh An.

Thám tử Sêlôccôc

- Mt khách hàng đã bị mất tiền khi ăn trða. Chắc cơ biết việc đó?
- Vâng. Tơi có nghe.

- Sao lại là nghe? Lúc đó cơ khơng ở trong qn à?

- ậang lộm viỷc thừ tềi cã ngđêi gải ra ngoội gẳp. Khi quay vộo thừ tềi nghe mải ngđêi lao xao
bộn tịn. Tềi còng chử nghe loịng thoịng thềi vừ ngay lóc quay vộo lộ tềi chỰy ệi từm ngđêi quờn
lÝ ệÓ xin phĐp nghử cã viỷc gÊp... Răi tềi rêi quịn ngay...

- Tiếc quá! Tôi cứ hi vọng cơ biết khá kĩ và có thể giúp tơi tìm ra manh mối nào đó... Khổ thân
cơ gái kia q! S snh mt tớ...

- Vâng, khổ thân quá! Mất cả túi tiền chứ có phải ít đâu! Ngủ thiếp đi một tí mà mất sạch!
Nhìn cô ấy khóc mà ái ngại...

Ngời kh nghi th hai l một chng trai.

- Chào anh! Tôi nghe nói tra nay anh phục vụ bàn nơi cô gái bị mất tiền ngồi?

- Tha vng. úng lộ tềi ệở bđng cểm vộ nđắc uèng cho cề Êy. Quịn rÊt ệềng nến bđng xong
lộ tềi lỰi phời phơc vơ bộn khịc ngay.

- Sao anh biÕt viƯc c« ấy mất tiền?

-à, đang tất bật bng bê thì bỗng tôi nghe thấy có tiếng kêu hốt hoảng... Rồi cô gái khóc ầm
lên và chạy nháo nhào khắp quán. Tôi thấy cô ấy vừa hỏi vừa chăm chăm nhìn xem có ai cầm

nhầm túi của mình không...

- Anh có làm việc suốt ca của mình không?

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19></div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

19

It follows easily that

This contradicts our assumption

Let f and g be functions such that

The equation (1) has a unique solution g for

every f

The second statement follows immediately

from the first

Application of definition (1) gives (2)

Addition of (1) and (2) gives

Comparison of (1) and (2) shows that

It follows from theorem (1) that

We thus obtain the inequality (1)

To prove the theorem, we first let

Insert (1) into (2) to find that

We need to consider the following three cases

Repeating the previous argument

M is easily shown to have

Neither statement is true

There are at most 2 such r in

n is greater than k

n no greater than k

n is greater than or equal to k

(2) has one and only one solution

n is less than k

25 is 4 greater than 21

22 is 4 less than 26

P is the smallest number such that

Let a, b and c be distance numbers

There are an infinite number of sets

F is no identically 0

For every g in Y there exists an M

DƠ dµng suy ra rằng

Điều này mâu thuẫn với giả thiết

Cho f và g là các hàm số sao cho

Phng trnh (1) cã mét nghiỷm duy nhÊt g

ệèi vắi mải f

Mệnh đề thứ hai suy ra ngay lập tức từ mệnh

đề thứ nhất

á

p dụng định nghĩa (1) cho ta (2)

Cộng (1) và (2) cho

So sánh (1) và (2) chứng tỏ rằng

Từ định lí (1) suy ra rằng

Chóng ta thu ệđĩc bÊt ệỬng thục (1)

ậĨ chụng minh ệỡnh lÝ, trđắc hạt ta ệẳt

ChÌn (1) vộo (2) ệĨ từm ra rỪng

Chóng ta cẵn xĐt ba trđêng hĩp sau

Lẳp lỰi lẺp luẺn ẻ trến

Ta dễ dàng chỉ ra M có

Khơng có mệnh đề nào đúng

Có nhiều nhất 2 số r nhð thế trong

n lớn hơn k

n không lớn hơn k

n lớn hơn hoặc bằng k

(2) có một và chỉ một nghiệm

n nhỏ hơn k

25 ln hơn 21 là 4 đơn vị

22 nhỏ hơn 26 là 4 đơn vị

P là số nhỏ nhất sao cho

Cho a, b và c là các số phân biệt

Có vô hạn c¸c tËp

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Hảc toịn lộ rÌn khờ nẽng tđ duy vộ phđểng phịp
suy luẺn. Giời toịn lộ viỷc lộm khềng dƠ vắi
nhiỊu bỰn. Mẫi bội toịn thđêng cã nhiÒu cịch
giời khịc nhau. Nạu chỡu khã ệộo sẹu suy nghỵ,
liến kạt, vẺn dông kiạn thục, biạt ệđa bội toịn lỰ
vÒ bội toịn quen... thừ ta cã thÓ ệđĩc kạt quờ
mắi, lộm phong phó vèn hiÓu biạt vộ thÊy ý
nghỵa cựa vic hc.

Ta xét bài toán nhỏ sau.

Bi ton. Cho tam giịc ABC cè ệỡnh cã cịc gãc
B, C nhản vộ hừnh chọ nhẺt MNPQ thay ệữi nhđng
luền cã M, N trến cỰnh BC cưn P, Q lẵn lđĩt trến
cịc cỰnh AC vộ AB.

Xác định vị trí của các đỉnh P, Q sao cho hình
chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất.

Lêi gi¶i.

Cịch 1.Gải AH lộ ệđêng cao cựa ABC. AH ct
PQ ti I.

Đặt BC a, AH h, PQ x, MQ y.

Ta cã AI h y.

Vì APQ ACB nên

V a, h l cc hỪng sè dđểng nến S lắn nhÊt khi
vộ chử khi (h y)y lắn nhÊt.

Ta thÊy h y vộ y lộ hai sè dđểng cã tững lộ h,
khềng ệữi, nến tÝch lắn nhÊt khi vộ chử khi hai sè
bỪng nhau, tục lộ y h y

Khi ệã P, Q tđểng ụng lộ trung ệiÓm cựa AC, AB.
VẺy PQ lộ ệđêng trung bừnh cựa ABC th

S_MNPQ lớn nhất.

Cách 2.Kẻ PE // AB (E BC).

Ta thÊy tø gi¸c BEPQ là hình bình hành và
S_MNPQ S_BEPQ.

Kí hiệu S_ABC S, S_APQ S₁, S_PEC S₂.
Đặt

V AQP ABC nến S₁ St2.
Tđểng tù S₂ S(1 t)2.

Suy ra S_MNPQ S_BEPQ S S₁ S₂
S St2 S(1 t)2 2S( t2 t).
Ta cã

ậỬng thục xờy ra khi vộ chử khi tháa mởn.

Tõ ệã S_MNPQ ệỰt giị trỡ lắn nhÊt lộ khi P, Q
tđểng ụng lộ trung ệiÓm cựa AC, AB.

Nhận xét. Giải xong bài toán, bạn hãy suy nghĩ
về các vấn đề sau:

1) Tại sao giả thiết cho hai góc B, C nhọn? Nếu
là tam giác ABC bất kì thì thay đổi giả thiết về
các đỉnh của hình chữ nhật MNPQ nhð thế nào?
2) Với điều kiện nào của tam giác ABC thì chu vi
hình chữ nhật MNPQ khụng i?

3) Dựng các điểm P, Q sao cho tứ giác MNPQ là
hình vuông.

S
2
1

t :

2
2

2 1 1 1

t t t .

2 4 4

2
1

S _t

S

AP _t PC _{1 t (víi 0 t 1).}

AC AC

h

y .

2
MNPQ

a(h y) a

x S xy (h y)y.

h h

PQ AI x h y

BC AH a h

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

21

Ngđêi thịch ệÊu:NguyÔn Minh Hộ, GV trđêng THPT chuyến ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi.

Bội toịn thịch ệÊu:Cho tam giịc ABC khềng vuềng. BE, CF lộ cịc ệđêng cao, trùc tẹm H. M, N,
P, Q, S theo thụ tù lộ trung ệiÓm cựa BF, CE, BE, CF, EF. K lộ giao ệiÓm cựa ệđêng thỬng qua M
vuềng gãc vắi BS vộ ệđêng thỬng qua N vuềng gãc vắi CS. L lộ giao ệiÓm cựa ệđêng thỬng qua P
vuềng gãc vắi BS vộ ệđêng thỬng qua Q vuềng gãc vắi CS. Chụng minh rỪng 2KL HA.

XuÊt xø: S¸ng t¸c.

Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.12.2013.

Lêi gi¶i. a) LÊy U, V theo thø tù thuéc AK, AL sao
cho

Ta cã

(v× BMQ BCA, CNP CBA).
Hay

Do đó ABU ACV (c.g.c).
Vậy

b) Gäi H, Z theo thứ tự là giao điểm của XY với
BC, MN.

Vì tứ giác MNPQ là hình chữ nhật và MN // BC nªn

Do đó AH // NP.

Mà NP BC nên AH BC.

Điều đó có nghĩa là H cố định.

Vậy XY ln đi qua một điểm cố định (điểm H).

Chó ý. Trong câu b), giả thiết không
cần thiết.

Nhn xt.Bi ton ny khng qu khó. Vâ sỵ ệở
nhẺn lêi thịch ệÊu vộ cã lêi giời ệóng (tuy hểi dội)
lộ vâ sỵ ậẫ Vẽn Quyạt, 9C, THCS Vỵnh Tđêng,
Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc. Dỉ khềng thẺt hội lưng
vắi lêi giời cựa vâ sỵ Quyạt nhđng tềi vÉn khỬng
ệỡnh rỪng vâ sỵ Quyạt lộ ngđêi ệẽng quang trong
trẺn ệÊu nộy.

NguyÔn Minh Hµ
o

BAC 90

HP ZM XM MN AN .
HC HC XC CB AC

KAB LAC.
BU AB .
CV AC
BA CA BA
CA BA CA

BK CA ML (v× NA // BU,MN//BC,MA // CV)

NK BA CL

BQ CA MN BQ.CA
NM BA CP BA.CP
BQ CA NP (v× MQ NP)
MQ BA CP

BU BU NA MA
CV NA MA CV

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

22

Trong tịc phÈm Nguyến lÝ bÊt hự cựa mừnh,
Euclid ệở ệđa ra hai kạt quờ ệịng chó ý vỊ sè
nguyến tè. Mỷnh ệÒ IX.14, ngộy nay gải lộ ệỡnh lÝ
cể bờn cựa sè hảc, nãi rỪng: “Mẫi sè tù nhiến lắn
hển 1 ệỊu biĨu diƠn ệđĩc duy nhÊt dđắi dỰng tÝch
cựa lịy thõa cịc sè nguyến tè”. Tõ kạt quờ nộy
suy ra rỪng mn hiĨu biạt vỊ cịc sè tù nhiến,
trđắc hạt cẵn từm hiĨu vỊ cịc sè nguyến tè. Mỷnh
ệỊ IX.20, ngộy nay gải lộ ệỡnh lÝ Euclid, nãi rỪng:
“Sè cịc sè nguyến tè lộ về hỰn”, lỰi lộm cho mải
ngđêi yến tẹm nghiến cụu vÒ tẺp hĩp cịc sè
nguyến tè vừ sù giộu cã vộ phong phó cựa tẺp hĩp
nộy. Chóng tềi xin nếu lến mét sè bội toịn liến
quan ệạn dởy sè nguyến tè ệẵu tiến cỉng lêi giời.
Giờ sỏ p₁ 2, p₂ 3,... , p_nlộ n sè nguyến tè ệẵu
tiến ệđĩc xạp theo thụ tù tẽng dẵn. KÝ hiỷu
S_n p₁ p₂ ... p_n, _n p₁p₂...p_n.

Bội toịn 1.Chụng minh rỪng vắi mẫi sè tù nhiến

n ệÒu tăn tỰi mét sè chÝnh phđểng m2 sao cho
S_n m2 S_n+1.

Lêi giời.+ Vắi n 1 thừ S₁ 2, S₂ 5 m 2.
+ XĐt n 2. Vừ n2 bỪng tững cựa n sè lĨ ệẵu tiến
nến S_n n2. Gải (n k)2 lộ sè chÝnh phđểng lắn
nhÊt khềng vđĩt quị S_n(vắi k ).

Ta cã (n k)2 S_n (n k 1)2. (1)
Ta sỳ chụng minh p_n+1 2(n k) 1. (2)
ThẺt vẺy, giờ sỏ ngđĩc lỰi p_n+1 2(n k) 1.
Vừ p_n p_n+1 2 nn p_n 2(n k) 1.

Chú ý p_nlẻ nên p_n 2(n k) 3.

Tõ ệã, vắi n 1 2 thừ p_n-1 p_n 2 2(n k) 5.
Cụ tiạp tôc nhđ vẺy ta ệđĩc p₂ 2(n k) (2n 1).
Riếng p₁ p₂ 1 nến p₁ 2(n k) 2n.

Céng theo vạ n bÊt ệỬng thục trến, ta ệđĩc
S_n 2n(n k) [3 5 ... (2n 1)] 2n

2n(n k) (n2 1) 2n n2 2nk 1 2n

(n k)2 (k2 2n 1) (n k)2: mẹu thuÉn vắi
(1). Do ệã (2) ệđĩc chụng minh.

Từ đó S_n+1 S_n p_n+1 (n k)2 2(n k) 1
(n k 1)2 S_nnên m n k 1.

Bài toán 2. Chứng minh p₁p_n+1 _n, với n 2.
Lời giải. Vì p₁ 2 nên _n 2p₂p₃... p_n

2(2k 1) (2k 1) (2k 3), víi k .
Vì n 2 nên k 1. Đặt d (2k 1, 2k 3).
Ta thấy d lẻ và 2k 3 (2k 1) 4 chia hÕt cho
d nªn d 1.

Từ đó ( _n, 2k 1) ( _n, 2k 3) 1.

Gải p lộ mét đắc nguyến tè cựa 2k 1 vộ q lộ mét
đắc nguyến tè cựa 2k 3. Ta cã (p, q) 1 vộ p
q. Thạ thừ vắi j 1, 2,... , n ta cã p_j p. ThẺt vẺy,
nạu tăn tỰi j sao cho p_j p thừ _n p nến p lộ đắc
cựa ( _n, 2k 1) 1: mẹu thuÉn vắi p lộ sè
nguyến tè. Do ệã p_n+1 p.

LẺp luẺn tđểng tù ta cã p_n+1 q.

V× p q nªn 2p_n+1 p q, p_n+1 p_n+2 p q
(2k 1) (2k 3) _n.

Từ đó p₁p_n+1 2p_n+1 p_n+1 p_n+2 _n.

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

23

Bài toán 4. Chứng minh rằng bắt đầu từ một số
tự nhiên n nào đó thì p_n 4n.

Lêi giải. Với k *, gọi A_k là tập hợp các số
nguyên lẻ m mµ 105(k 1) m 105k.

Xét k 2. Ta thấy A_k chứa đúng 52 số. Vì
105 3.5.7 nên trong 52 số lẻ ấy có (5.7 1) : 2

17 sè lộ béi cựa 3 (vộ dỵ nhiến chóng lộ hĩp sè),
cã 10 sè lộ béi cựa 5. Trong 5 sè liến tiạp lộ béi
cựa 3 thừ cã mét sè lộ béi cựa 5. VẺy cã nhiÒu nhÊt
7 sè lộ béi cựa 5 mộ khềng phời lộ béi cựa 3.
Tđểng tù, trong 7 sè ệã cã 2 sè ệăng thêi lộ béi
cựa 7 vộ 3 vộ cã mét sè ệăng thêi lộ béi cựa 7 vộ
5. Chó ý rỪng trong A_kkhềng cã sè nộo chia hạt
cho 105 nến chử cã tèi ệa 4 sè chử lộ béi cựa 7 mộ
khềng phời lộ béi cựa 5.

VËy A_kcã Ýt nhÊt 17 7 4 28 hợp số nên A_k
có tối đa 24 sè nguyªn tè.

Ta thÊy A₁ A₂ ... chøa tÊt cả các số nguyên
tố, trừ số 2.

Dùng bảng số nguyên tố ta thấy rằng trong 315
số nguyên đầu tiên có 65 số nguyên tố. Vì 2 là số
nguyên tố và 315 không phải là số nguyên tố nên
trong 3 tập con A₁, A₂, A₃có 64 số nguyên tố.
Xét các tập con A_kvíi k 3. Theo lËp ln trªn
ta thÊy mäi sè nguyªn tè p_n trong tËp con A_kcã
chØ sè n 65 24(k 3) n 24k 7.

Mµ p_n 105(k 1) nên
Chọn k 8 thì

Vy t tp con A₉trở đi, mọi số ngun tố p_ntrong
chúng đều có tính cht p_n 4n.

Bài toán 5. Cho dÃy sè {u_n} víi u_n 4n 3.
Chøng minh rằng có vô số số hạng của dÃy trên
là sè nguyªn tè.

Lêi giời.Trđắc hạt ta chụng minh nhẺn xĐt:
Mải sè nguyến dđểng n tháa mởn n 1 (mod 4)
ệÒu cã đắc nguyến tè p tháa mởn p 1 (mod 4). (*)
ThẺt vẺy, nạu n lộ sè nguyến tè thừ kạt luẺn trến
lộ hiÓn nhiến.

Giả sử n là hợp số. Khi đó tồn tại a, b sao cho
n ab với 1 a, b n. Vì n lẻ nên a, b lẻ. Nếu
a, b 1 (mod 4) hoặc a, b 1 (mod 4) thì
ab 1 (mod 4) hay n 1 (mod 4): mâu thuẫn với
giả thiết. Vậy chỉ có thể a 1 (mod 4),
b 1 (mod 4) hoặc a 1 (mod 4), b 1 (mod 4).
Giả sử a 1 (mod 4).

Khi ệã, nạu a lộ sè nguyến tè thừ nhẺn xĐt trến lộ
ệóng. Nạu a lộ hĩp sè thừ a sỳ cã đắc lộ a₁ tháa
mởn a₁ 1 (mod 4).

Tiạp tôc lẺp luẺn nhđ vẺy, tăn tỰi cịc sè nguyến
dđểng a, a₁,... giờm dẵn, lộ đắc sè cựa n sao cho
a_i 1 (mod 4). Quị trừnh dÉn ệạn tăn tỰi sè nguyến
tè a_klộ đắc cựa n tháa mởn a_k 1 (mod 4).

Bẹy giê ta giời bội toịn 5. Chản n m! 1, vắi
m 5. Theo nhẺn xĐt (*) thừ n cã mét đắc nguyến
tè tháa mởn p 1 (mod 4).

Vừ 2, 3,... , m khềng phời lộ đắc cựa n nến p m.
ậÓ chụng minh dởy {u_n} cã về hỰn sè nguyến tè
ta lộm nhđ sau:

- Chản m₁ 4, khi ệã theo nhẺn xĐt trến tăn tỰi
sè nguyến tè p₁ m₁sao cho p₁ 1 (mod 4).
- Chản m₂ p₁, theo nhẺn xĐt trến tăn tỰi sè
nguyến tè p₂ m₂sao cho p₂ 1 (mod 4).
Lẳp lỰi quị trừnh trến, ta ệđĩc mét dởy cịc sè
nguyến tè về hỰn {p_m} lộ dởy con cựa {u_n}.
Bội tẺp tù luyỷn

Bµi 1.Chøng minh r»ng

a) b) p_n 2n, víi n 4.

Bội 2.Giờ sỏ P_nlộ tÝch cựa tÊt cờ cịc sè nguyến
tè khềng vđĩt quị n. Chụng minh P_n 4n.
Bội 3.Cho dởy sè {p_n} vắi p₁ 5 vộ vắi n 1 thừ
p_n lộ đắc nguyến tè lắn nhÊt cựa 1 p₁p₂...p_n-1.
Chụng minh p_n 7.

Bµi 4.Chøng minh r»ng d·y sè {u_n} với u_n 2003
23n chứa vô hạn những số là lịy thõa cđa cïng
mét sè nguyªn tè.

n 1

2
n

p 2

105(k 1) 4.
24k 7

n

p _{105(k 1).}

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

24

Câu 1. Hãy nêu tính chất đặc trðng các phần tử
trong tập hợp sau:

A {2; 4; 6;...; 50};
B {1; 3; 5;...; 29}.

C©u 2.TÝnh tỉng các phần tử của tập hợp sau
A {5; 10; 15;...; 90};

B {3; 6; 9;...; 57}.

Câu 3. Viết các tập hợp sau và chỉ rõ mỗi tập hợp
có bao nhiêu phần tö

a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8 : x 2.

b) Tập hợp B các số tự nhiên x mà x 3 5.
Câu 4.Bạn phải dùng bao nhiêu chữ số để đánh
số trang của cuốn sách dày 150 trang.

Chỉ ghi đáp số

Cẹu 5.Từm sè trang cựa mét cuèn sịch, biạt rỪng
ệÓ ệịnh sè trang bỪng cịc sè tù nhiến bớt ệẵu tõ
1 ngđêi ta dỉng hạt 222 chọ sè.

Chỉ ghi đáp số
Câu 6.Tính nhanh
A 45.39 65.39 390;
B 33.77 66.77 77.
Câu 7.Tìm số tự nhiên x biết:
a) 412 15(27 x) 97.
b) 5x x 54.

c) 125 : (2x 7) 55: 53.
d) 3x 4x 49.

Câu 8.Tìm x biết
a) 4.3x 2 324.
b) 2x 1: 2 32.
Câu 9.

a) So sánh A 2013.2015 và B 20142.
b) Chøng minh r»ng B 30 31 32 ... 310
(311 1) : 2.

c) T×m x biÕt (x 3) (x 4) (x 5) ... (x 22)
450.

ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I SỐ HỌC LỚP 7

Thời gian làm bài:45 phút (không kể thời gian giao đề)

TIN TỨC - HOẠT ĐỘNG - GẶP GỠ

Trong hai ngộy 5 vộ 6.10.2013, tỰi trđêng THPT chuyến
Lế Hăng Phong, Nam ậỡnh, Héi Toịn hảc Hộ Néi vộ Sẻ
GD - ậT Nam ậỡnh ệở ệăng tữ chục Héi thờo Cịc
chuyến ệÒ Toịn chản lảc theo xu hđắng héi nhẺp Quèc
tạ. Tham dù Héi thờo cã GS. TSKH. Trẵn Vẽn Nhung,
Tững thđ kÝ Héi ệăng chục danh Giịo sđ nhộ nđắc;
NGND. GS. TSKH. NguyÔn Vẽn MẺu, Chự tỡch Héi
Toịn hảc Hộ Néi; ThS. Ngề Vủ Nềng, Phã Giịm ệèc Sẻ
GD - ậT Nam ậỡnh cỉng cịc héi viến cựa Héi, cịc thẵy
cề giịo giờng dỰy chuyến toịn cựa Nam ậỡnh vộ mét sè
tửnh. ThS. Vò Kim Thựy, Tững biến tẺp tỰp chÝ TTT cỉng
cịn bé Tưa soỰn ệở tham dù Héi thờo. ậẹy lộ lẵn thụ
hai héi thờo tữ chục ti Nam nh.

PV

M : RDKTH011

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

25

Câu 1.(1,5 điểm)

Cho M ab(a b c) bc(b c a) ca(c a b) với
a, b, c là các số nguyên.

Chứng minh r»ng nÕu a b c 12 th× M 12.
Câu 2.(1,5 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 3.(1,5 điểm)

Tìm các số a, b, c thỏa mÃn
Câu 4.(1,5 điểm)

Gii phng trnh
Cu 5.(2,0 iểm)

Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Chứng minh rằng
Câu 6.(2,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD có và .

Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh r»ng AM BD.CAB CAD
o

ACB ADC 90
HA.HB HB.HC HC.HA 1.

CA.CB AB.AC BC.BA

1 1 1 _{1 .}

3x 1 2x 4 9x 2 5 4x

2 2 2

a _c b _a c _b.

b c a

2
2

3x 10x 11

y .

x 2x 3

ẹEÀ THI HOẽC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LễÙP 8

Thời gian làm bài:120 phút (không kể thời gian giao đề)

MÃ ĐỀ: RDKTH008

5(129).Given a graph G. Let e {u,v} be an edge
inG, in which uandvare the endpoints (vertices)
of the edge e. Such vertices uandvare said to be
adjacent and ean edge connecting u and v. The
degree of the vertex u, denoted by deg(u) is the
number of edges taking u as one endpoint. The
vertex u is called either an odd or even vertex

depending whether its degree is odd or even.
a) Find the set V of vertices, and the set E of
edges of the the graph Gbelow.

b) Find the degree of the vertices of G and state
whether each vertex is odd or even.

6(129).LetABC be a triangle circumscribed by a
circle with center at Oand radius R, and its height AH

be equal to Let MandNbe the perpendicular
projections of H on AB and AC, respectively.
Prove that M,O, and Nare collinear.

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

26

BỰn thđêng nghe nãi: Tin ịp thÊp nhiỷt ệắi, Tin bởo gẵn, Tin bởo xa... Bội hảc hềm
nay sỳ gióp bỰn hiÓu râ hển cịc bờn tin ệã.

Mét hiỷn tđĩng thêi tiạt phục hĩp diÔn ra trến mét vỉng réng (trến ệÊt liỊn hoẳc biĨn)
vắi giã xoịy tẺp trung quanh mét vỉng ịp thÊp nhđng chđa ệự mỰnh ệÓ gải lộ bởo, ệã chÝnh lộ ịp thÊp
nhiỷt ệắi. ậÓ phẹn biỷt giọa ịp thÊp nhiỷt ệắi vộ bởo ngđêi ta dựa vo cấp gió.

Sau đây là bảng cấp gió.

Nc ta phẹn loỰi cÊp bởo trỉng phẹn loỰi cÊp giã.

Khi gió cấp 6 - 7 thì gọi áp thấp nhiệt đới.

Tõ cấp 8 trở lên gọi là bÃo.

Từ cấp 10 trở lên gọi là bÃo mạnh.

Từ cấp 12 trở lên gọi là bÃo rất mạnh hoặc siêu bÃo.

M v một số nđắc theo cịch phẹn loỰi bởo theo 5 cÊp vộ bởo cÊp 5 lộ về cỉng khựng khiạp. Cẵn phẹn
biỷt tèc ệé giã vắi tèc ệé di chuyÓn cựa bởo.Cã khi giã xoịy mỰnh tắi 200 km/h nhđng chử di chuyÓn
ệđĩc 20 km mẫi giê. Giã mỰnh nhÊt thđêng gẵn tẹm.

Tin ịp thÊp nhiỷt ệắiệđĩc ệđa trong cịc trđêng hĩp:

-ịp thÊp nhiỷt ệắi tÝnh tõ tẹm ệạn ệiÓm gẵn nhÊt thuéc bê biÓn nđắc ta lộ trến 500 km.

-ịp thÊp nhiỷt ệắi cịch 300 - 500 km nhđng chđa cã khờ nẽng di chun vỊ ệÊt liỊn nđắc ta trong 24 h.
- Khi bởo ệữ bé vộo nđắc ta nhđng suy yạu vÒ cÊp giã 7 tục khềng cưn gải lộ bởo ệđĩc nọa.

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

27

- Tẹm ịp thÊp nhiỷt ệắi cịch ệiÓm gẵn nhÊt bê
biÓn nđắc ta dđắi 300 km.

- Tẹm ịp thÊp nhiỷt ệắi cịch ệiÓm gẵn nhÊt bê
biÓn nđắc ta 300 - 500 km nhđng chđa cã khờ
nẽng ờnh hđẻng ệạn nđắc ta trong 24 h tắi.
ậèi vắi bởo:

Tin b·o xa:

- Tẹm bởo vđĩt qua kinh tuyạn 120oậ (tục lộ qua
ệờo Ludền, Philippin, hoẳc tđểng ệđểng vỡ trÝ qua
ậội Loan) cịch ệiÓm gẵn nhÊt ệÊt liỊn nđắc ta trến
1000 km, cã khờ nẽng di chun vÒ phÝa nđắc ta.

- Tẹm bởo cịch 500 - 1000 km nhđng chđa cã khờ
nẽng di chun vỊ phÝa ệÊt liỊn nđắc ta.

Tin b·o gÇn:

- Vỡ trÝ tẹm bởo cịch 500 - 1000 km vộ cã khờ nẽng
di chun vỊ phÝa nđắc ta.

- Vỡ trÝ tẹm bởo cịch 300 - 500 km vộ chđa cã khờ
nẽng di chun vỊ phÝa ệÊt liÒn nđắc ta trong mét
vội ngộy tắi.

Tin b·o khÈn cÊp:

-Tẹm bởo cịch ệiĨm gẵn nhÊt thc bê biĨn ệÊt
liỊn nđắc ta 300 - 500 km vộ cã khờ nẽng di
chun vỊ phÝa ệÊt liỊn nđắc ta trong mét ệạn hai
ngộy tắi.

- Tẹm bởo cịch ệiÓm gẵn nhÊt thuéc bê biĨn ệÊt
liỊn nđắc ta dđắi 300 km.

Nhð vậy tin bão khẩn cấp chỉ là tin về thời gian
muốn nói là bão sắp đến. Muốn biết mức độ bão
phải nghe cấp của bão và cấp của gió. Bão càng
nguy hiểm hơn khi kèm theo mða lớn dài ngày.
Cách đða tin một cơn bão trên các trang thời tiết:
6; 21 00; 20-08-2003; 11; TB.

ậã lộ cển bởo sè 6 lóc 21 h ngộy 20.8.2003 cÊp giã

11 di chuyÓn theo hđắng Tẹy Bớc. Vỡ trÝ thđêng xịc
ệỡnh bẻi giao cựa cịc kinh tuyạn vộ vỵ tuyạn. Bờn
ệă Viỷt Nam trong tin bởo thđêng vỳ thự ệề Hộ Néi,
cịc thộnh phè lắn ven biÓn: Hời Phưng, Nam ậỡnh,
Vinh, ậộ Nơng, Nha Trang... vộ cịc ệờo lắn gẵn
khu vùc ờnh hđẻng cựa bởo. Bờn ệă bịo bởo
thđêng in cờ cịc ệiĨm trịnh tró bởo nhđ: ệờo ậị
Tẹy, ệờo Cề Tề, ệờo BỰch Long Vỵ, ệờo Cịt Bộ,
Cỏa Hắi, Cỏa Héi, Hưn La, ệờo Căn Cá, Cỉ lao
Chộm, Lý Sển, Tam Quan, Cỉ lao Xanh, Hưn Rắ,
Cỏa Ninh Chọ, Cỏa Phó Hời, ệờo Phó Quý, Cỏa
sềng Dinh, ệờo Cền Sển, hưn Khoai, Cỏa RỰch
Cẹu hái dộnh cho bỰn:BỰn hởy ệữi tèc ệé giã
cịc cÊp sang m/s.

ậĨ phơc vơ tèt hển nhu cẵu cựa bỰn ệảc, tõ
nẽm 2014 tỰp chÝ Toịn Tuữi thể sỳ cã nhọng
thay ệữi trong cịch trừnh bộy cịc chuyến môc
sao cho ệứp hển, phỉ hĩp hển vắi cịc bỰn hảc
sinh. Ngoội cịc chuyến môc ệđĩc yếu thÝch sỳ
ệđĩc tẽng tẵn suÊt, tỰp chÝ cưn bữ sung thếm
cịc chuyến mơc mắi ệĨ ngộy cng phục vụ
bn c tốt hn.

Toán Tuổi thơ 2 dành cho bậc THCS:
- Hai chuyên mục Học ra sao và Giải toán thế
nào ghép lại thành chuyên mục Học ra sao
-Giải toán thế nào.

- Cỏc chuyờn mục Lịch sử tốn học, Từ Zero

đến vơ cùng, Số và chữ số sẽ xuất hiện với tần
suất lớn hơn.

- Chuyªn mơc míi:

+ Tốn quanh ta: Gồm các bài liên quan đến
cuộc sống hàng ngày và các ứng dụng toán
học trong cuộc sống.

+ ậÒ thi cịc nđắc vộ khu vùc: Găm ệÒ thi vộ lêi
giời ệđĩc ệẽng nguyến vẽn Anh ngọ.

+ Góc Olympic: Gồm các bài tốn và lời giải có
mức độ nhð đề Olympic Tốn Tuổi thơ.

+ Cuộc thi giải tốn riêng cho học sinh nữ (từ
8.3.2014 đến 8.3.2015).

To¸n Tuổi thơ 1 dành cho cấp Tiểu học:
- Thay chuyên mục Đến với tiếng Hán bằng Từ
Hán Việt trong kho tàng tiếng Việt.

- Bên cạnh chuyên mục Toán tiêu dùng sẽ có
chuyên mục Toán quanh ta.

- Chuyên mục mới:

+ Khoa hảc: Găm cịc bội viạt song ngọ Anh
-Viỷt vÒ cịc chự ệÒ lÝ, hãa, sinh, mềi trđêng,
thiến vẽn...

Mong bạn đọc và các cộng tác viên đọc và viết
bài cho các chuyên mục.

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

28

Gđểng mẳt rỰng ngêi ệẹu chử tõ ịnh mớt mộ chÝnh lộ ẻ nơ cđêi.
Lóc vui, thoời mịi thừ cđêi cho thanh thờn, toỰi nguyỷn vắi mải
viỷc ệở lộm, ệở thu ệđĩc kạt quờ.

Mứ thđêng nãi: Nơ cđêi nhđ thĨ hoa ngẹu. Mừnh nộo ệở biạt
hoa ngẹu, chử biạt lộm con gịi thừ phời giọ lÊy nơ cđêi. Hộm rẽng
trớng ệỊu, nơ cđêi e Êp, táa rỰng ệÊy lộ cịi “duyến” phời cã.

BỰn bÌ gẳp nhau, chđa nãi ệở cđêi, rén rộng, vui vĨ. Còng cã
ai ệã nhớc nhứ: Chóng nã thẺt về duyến! Thềi, ai nì trịch lị hảc
trư nhử! ậang tuữi ẽn, tuữi chểi, nộo ệẹu ệở biạt lo toan, cÈn thẺn.
Nhđng ệiÒu nộy thừ chử mừnh tù trịch mừnh. Êy lộ chiÒu nộo
khềng nhắ, bÊt chĩt nhừn nớng vộng trến vỰt ruéng ven sềng, tù
nhiến mừnh mửm cđêi... vắi chÝnh mừnh. RÊt may chử cã nớng
vộng, hoa vộng... biạt. Còng tõ ệé Êy lưng mừnh rung lến nhọng
vui buăn khã tờ, về cắ, chỬng biạt tõ ệẹu?... Ai ệã nãi: ậÊy lộ
mừnh cđêi trong lưng, cđêi thẵm...

TẺp ờnh cựa lắp giẻ lỰi, gđểng mẳt ai cịng rỰng rì nơ cđêi. Nơ
cđêi tuữi hoa niến trong sịng, hăn nhiến.

ẩắc gừ nô cđêi Êy cụ tđểi mởi cỉng nẽm thịng, ệõng ệÓ nhọng
đu phiỊn che lÊp.

Cờ nơ cđêi trong lưng cịng vẺy!

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

29

My leaves are white.
They never grow.
And everything
You want to know
Is stored in those
Black marks you see
On every leaf

You find in me.

Minh Hµ(Hµ Néi)

Chự Vđên rÊt vui mõng vừ lẵn nộy cịc bỰn ệở dỡch
ệóng vắi cịch dỡch mét bội thể. ý thể, vẵn ệiỷu,
hừnh ờnh... ệỊu ệđĩc chun sang tiạng Viỷt mét
cịch khị nhuẵn nhuyÔn. Tuy nhiến, bến cỰnh
nhọng bỰn tù dỡch bỪng ngền tõ cựa mừnh thừ vÉn
cã mét sè bỰn lỰi chĐp bờn dỡch ệở ệđĩc lđu
trun trến mỰng.

Mêi c¸c bạn tham khảo bản dịch của bạn Nguyễn
Minh Hạnh(7A, THCS Thạch Thất, Hà Nội):

Ngoi bn Hnh, nhng bỰn sau còng sỳ ệđĩc
nhẺn quộ kừ nộy: KhuÊt Bờo Chẹu, 7A, THCS
ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ Néi; NguyÔn Vẽn
Nghỵa, 7A2, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc

Ninh; ậộo MỰnh Hỉng, 9H, THCS Vẽn Lang,
TP. Viỷt Trừ, Phó Thả;Ngun HỰnh Nhung, 9B,
THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh.

Chự Vđên

quế ẻ xở Tụ Minh, CÈm Giộng, Hời Dđểng (nay
thuéc thộnh phè Hời Dđểng).

Thêi vua Trẵn Anh Tềng cã mÊy nẽm mÊt mỉa
liÒn, dẹn từnh ệãi khữ, bếnh dỡch phịt sinh. PhỰm
Cềng Bẹn ệở xẹy thếm nhộ ệÓ ệãn ngđêi bỷnh
nhẹn nộo, kÓ cờ nhọng ngđêi mớc bỷnh trun
nhiƠm hay nhọng ngđêi tộn tẺt.

Vừ tÊm lưng ệục ệé ệã, ềng ệở ệđĩc ệềng ệờo

nh©n d©n kÝnh träng.

TTT chóc mõng cịc bỰn sau ệđĩc nhẺn quộ kừ
nộy:Lế Thỡ Nhđ Quúnh, 7D, THCS Nhọ Bị Sủ, thỡ
trÊn Bót Sển, HoỪng Hãa, Thanh Hãa; Dđểng
Lẹm Anh, 7A4, THCS Yến Phong, Yến Phong,
Bớc Ninh;NguyÔn Thỡ Anh Thđ, 8G, THCS Lđểng
Thạ Vinh, P.7, TP. Tuy Hưa, Phó Yến; Ngun
Tiạn Hời, 9A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó
Thả; Ngun Thỡ Hăng HỰnh, 9B, THCS Hoộng
Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh.

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

30

1. DiÖn tÝch cđa Singapore lµ 710 km

2

.

2. Dẹn sè trung bừnh lộ 5 100 000 ngđêi.

3. Thự ệề cựa Singapore ệăng thêi lộ thộnh

phè Singapore vộ ệẹy lộ mét quèc ệờo.

4. Thu nhẺp bừnh quẹn ệẵu ngđêi lộ 56 500

ệề la Mủ.

5. Cịc ệỡa ệiÓm nữi tiạng ẻ Singapore:

- Thiến ệđêng Sentosa (mét hưn ệờo vắi

nhiÒu khu vui chểi, giời trÝ, tham quan, mua

sớm). NhỰc nđắc

- Tđĩng nhẹn sđ Merlion (Sđ tỏ biÓn)

- Vđên chim Jurong (Jurong Bird Park)

- Th gii i dng

- Bảo tàng sáp

- Vờn thú m (Night Safari)

- Nhà hát trên vịnh Esplanada (Nhà hát trái

sầu riêng)

- Cng vin bm v th giắi cền trỉng

- Vđên NhẺt Bờn

- Vđên phong lan

- §u quay cao nhÊt thÕ giíi Singapore Flyer

- Chinatown (Khu phè Tµu)

- Little India (Khu TiĨu

Ê

n)

- Universal Studios (Trđêng quay)

- Marina Bay Sands (tỉ hỵp vui chơi giải trí,

sòng bạc)

- Vịnh Marina (Marina Bay)

- ậội phun nđắc lắn nhÊt thạ giắi (Foutain of

Wealth)

- Phè thêi trang Haji

- CÇu Helix Bridge

- Phè ẩm thực

- Sân bay Changi

- Nhà thuyền trên vịnh Marina

6. Việt Nam và Singapore lập quan hệ ngoại

giao từ 1.8.1973.

Nhn xĐt.

RÊt vui vừ nhiÒu bỰn gỏi cẹu trờ lêi

vÒ tưa soỰn. Vội bỰn nhẵm lÉn khi trờ lêi cẹu

2 lộ mẺt ệé dẹn sè. Cịc bỰn ệđĩc nhẺn phẵn

thđẻng:

Ngun Tiạn Dịng

, 8A1, THCS Phè

Lu, Bờo Thớng,

Lộo Cai

;

Hoộng Ngảc Hời

Linh

, 8A, THCS ậoộn Thỡ ậiÓm, Yến Mủ,

Hđng Yến

;

Trẵn Minh Hiạu

, 7C, THCS Vẽn

Lang, Viỷt Trừ;

NguyÔn Tiạn Hời

, 9A3, THCS

Lẹm Thao, Lẹm Thao,

Phó Thả

;

Ngun

Minh Cềng

, 9E, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh

Tđêng,

Vỵnh Phóc

;

Ngun Thỡ Thu HiỊn

,

9B, THCS Minh Tẹn, Kinh Mền,

Hời Dđểng

;

Ngun C«ng Huynh

, 8A4, THCS Núi Đèo,

Thủy Nguyên,

Hải Phòng

;

Lê Thị Nh

Quỳnh

, 7D, THCS Nhữ Bá Sỹ, thị trấn Bút

Sơn, Hoằng Hóa,

Thanh Hóa

;

Võ Thị Hoàng

Anh

, 8C;

Nguyễn Thị Hồng Hạnh

, 9B, THCS

Hoàng Xuân HÃn, Đức Thä,

Hµ TÜnh

;

Ngun Thỡ Anh Thđ

, 8G, THCS Lđểng Thạ

Vinh, TP. Tuy Hưa,

Phó Yến

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

31

Hái: Có thể giải bài nhiều chuyên mục trong
một tờ giấy không ạ?

Nguyễn Thị Thành
(6A3, THCS Yên Phong, Yên Phong,

Bắc Ninh)

Đáp:

Mi tờ một chuyn mục
V ngời chấm khc nhau
Anh nãi rÊt nhiÒu
ậõng viạt chung tê giÊy
Chung phong bừ ệđĩc ệÊy
ậĨ ệì tiỊn mua tem.

Hái: Nạu em lộm ệóng nhđng tê giÊy em cớt
chđa ệđĩc thỬng thừ cã ệđĩc ệẽng khng ?

Nguyễn Thị Huyền
(6A4, THCS Yên Phong, Yên Phong,

Bắc Ninh)

Đáp:

Giy thng l th hin
Mỡnh tụn trng chớnh mỡnh
Thy cụ thêm thiện cảm
Nếu thêm chữ đẹp xinh.

Hái:Anh Phã ểi! Em ệở gỏi rÊt nhiÒu bội mộ
vÉn chđa ệđĩc ệẽng bội nộo. TỰi sao vẺy anh?
Mét bỰn giÊu tến
(6C, THCS Tiến Du, Tin Du, Bc Ninh)

Đáp:

Mun ng thỡ phi cú tờn

Bi hay đăng sớm đề tên rõ ràng

Vẽn A. tến lắp, tến trđêng

ậĨ cã nhuẺn bót biạt phđểng gỏi vỊ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

32

1(129).Find all two digit numbers such that the number is a multiple of 72.

2(129). For each real number x, denote the integer part of x, or the largest
integer not larger than x, as [x]. Find the last two digits of the number

3(129).Solve the following simultaneous equations

4(129). Leta,b, and c be positive real numbers such that abc 1. Find the
minimum value of the expression

(Xem tiÕp trang 25)

.
2ab 2bc 2ca
P

b c c a a b

2( ) _1, 2( ) _3,

4 3 3 2

3( ) 2( ) _5.

2 4

x y x z x z y z

x y xy x z xz x z xz y z yz

y z x y

y z yz x y xy

2020 100
101

10 10 _.

10 7

A

64 72a b
,

ab

Translated by Nam Vị Thµnh

Bµi 1(129). Tìm tất cả các
số có hai chữ số biết

rằng số là bội số
của 72.

nguyn

(Hải Phòng)

Bi 2(129).Vi mi số thùc
x, kÝ hiỷu phẵn nguyến cựa
x lộ [x], lộ sè nguyến lắn
nhÊt khềng vđĩt quị x. Từm hai chọ sè tẺn cỉng
cựa sè

thịi nht phng

(GV. THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa,
Cam Ranh, Khánh Hòa)

Bi 3(129). Gii h phng trnh

phạm trung kiên

(GV. THCS Hồ Tùng Mậu, Ân Thi, Hng Yên)

Bi 4(129). Cho cịc sè thùc dđểng a, b vộ c tháa
mởn ệiÒu kiỷn abc 1. Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa
biÓu thục

cao minh quang

(GV. THPT chuyªn Ngun BØnh Khiªm, VÜnh Long)

Bội 5(129).Cho mét ệă thỡ G. Giờ sỏ e {u, v} lộ
mét cỰnh cựa G, tục lộ u vộ v lộ cịc ệẵu mót
(ệửnh) cựa e. Ta nãi hai ệửnh u, v kÒ nhau vộ cỰnh
e lộ ệđêng nèi u vắi v. BẺc cựa u, kÝ hiỷu deg(u),
lộ sè cỰnh coi u lộ ệẵu mót. ậửnh u gải lộ ệửnh
chơn hay lĨ tỉy theo bẺc cựa u lộ chơn hay lĨ.
a) Hởy từm tẺp hĩp V cịc ệửnh, tẺp hĩp E cịc cỰnh
cựa ệă thỡ G sau:

b) Từm bẺc vộ tÝnh chơn, lĨ cựa mẫi ệửnh cựa G.
Vò kim thựy
Bội 6(129).Cho tam giịc ABC néi tiạp ệđêng trưn
tẹm O bịn kÝnh R vộ ệđêng cao AH bỪng
M, N theo thụ tù lộ hừnh chiạu vuềng gãc cựa H trến
AB, AC. Chụng minh rỪng M, O, N thng hng.

lê phúc lữ

(HS. 12 Toán, THPT chuyên tỉnh Bến Tre)

R 2.

ab bc ca

P .

2b c 2c a 2a b

x y 2(x z) ₁

x y 4xy x z 3xz

2(x z) y z ₃

x z 3xz y z 2yz
3(y z) 2(x y) _5.
y z 2yz x y 4xy

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34></div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35></div>

<!--links-->