Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở Giáo dục và đào tạo Quảng Trị năm 2018 - 2019

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (217.29 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ 
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019

MƠN: TỐN

Câu 1. Cho a 4 102 5  4 102 5

a) Chứng minh rằng alà nghiệm của phương trình a2 2a 4 0
b) Tính giá trị của

4 3 2

4 6 4

2 12

a a a a

P

a a

   



 

Câu 2. a) Giải hệ phương trình

3 3

8
2 2
x y

x y xy
  


  



b) Giải phương trình



x1



x2



x3

 

2 x4



x5



360
Câu 3.

a) Chứng min rằng a2 b2 c2 ab bc cavới mọi số thực a b c, ,

b) Cho a b c, , 1và abacbc9.Tìm GTNN và GTLN của Pa2 b2 c2

Câu 4. Cho ABCvuông tại A



AC AB



.Gọi H là hình chiếu vng góc của Atrên BC,
D là điểm nằm trên đoạn thẳng AH(D khác ,A H).Đường thẳng BDcắt đường trịn tâm C
bán kính CA tại E và F (Fnằm giữa B và D), M là điểm trên đoạn thẳng ABsao cho

ACF  BFM, MF cắt AH tại N

a) Chứng minh rằng BH BC. BE BF. và tứ giác EFHCnội tiếp
b) Chứng minh rằng HDlà tia phân giác của EHF

c) Chứng minh rằng Flà trung điểm của MN

Câu 5. Cho các số nguyên a b c, , thỏa mãn

2 2

2 2 2 2

2
.

a c c

a b  a c  bc Chứng minh rằng bc

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

a) Ta có:















2 2

8 2 4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 6 2 5

8 2 5 1 6 2 5 5 1

5 1 5 1 5 2 1 2 4 0

a

a a a a a a

        

      

             

Nên alà nghiệm của phương trình a2 2a 4 0
b) Ta có:









4 3 2 3 2 2

2 2 2 2

2 4 2 4 8 2 4 8

2 4 16

2 4 2 2 4 2 4 8 8 1

2 4 16 16 2

a a a a a a a a

P

a a

a a a a a a a a

a a
        

  
        
  
  
Câu 2.

a) Hệ phương trình



 



3 8

2 2

x y x y xy

x y xy

     

  



   



.Đặt x y a
xy b
 

 
 với
2
4

a  b

Ta có:









3 3 2

3 8 2 6 16

2 3 2 16 2 3 6 16 0
2 2

2 2

a a b a ab

a a a a a a

b a
a b
     
          
 
 
  










3 2 2

2 4 7 14 8 16 0
2 2 7 8 0

a a a a a

a a a

      

    

Vì 2a2 7a 8 0 vô nghiệm, nên a  2 b 0. Hệ có nghiệm

     

x y; 



0;2 ; 2;0



b) Phương trình :



x2 6x5



x26x8



x2 6x9



360

Đặt 2

6 5

x  x t, ta có:







3 2









</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Vì t2 12t720vơ nghiệm nên 5 2 6 0 0
6
x

t x x

x


     

 

Vậy S 



0; 6



Câu 3.

a) Ta có : 2



a2 b2c2



2



ab bc ca



 0



a b

 

2  b c

 

2 c a



2 0
Dấu " " xảy ra khi a b c

b) Vì a b c, , 1nên























1 1 0 1

1 1 0 1 2 3 12

1
1 1 0

a b a b ab

b c b c bc a b c ab bc ca

c a ca

c a

  

    

 

              

 

       








2 2 2 2 2 2 2

6 36 2.9 36 18

a b c a b c a b c a b c

                

Vậy GTLN của Plà 18, đạt được khi



a b c; ;



là các hoán vị của



1;1;4



Mặt khác a2 b2 c2 ab bc ca9nên GTNNcủa P là 9. Đạt được khi

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Câu 4.

a) Ta có: FAB AEB BAF BEA BF BA BA2 BE BF.

BA BE

       

áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng thì BA2 BH BC. BH BC. BE BF.

BH BF

BHF BEC BHF BEC

BE BC

       nên tứ giác EFHCnội tiếp

b) Ta có BHF BECCFE CHEmà AHB AHC 900nên AHF AHEHDlà tia
phân giác của EHF

c) Gọi K là giao điểm của AHvới (C) , chứng minh được BKlà tiếp tuyến của đường tròn
(C) , ta có 2BFM ACF 2AEF

K

N

E

F

H

A

C

B

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

/ /

BFM AEF MN AE ANM KAE

     lại có : NAM  AEK

(1)

MN AN

AMN EKA

KA EA

     . Do đó 0

180

AFN FAE

0 1 1

180

2 2

EKF FAE  AFN EKF  ECF  EHF  AHE

Hay AFN AHE ANM; HAE AFN EHA AN NF (2)

EA AH

      

Từ (1) và (2) ta có: 2 2 2
2

MN NF NF NF

MN NF FM FN

KA  AH  AH  KA    

Câu 5.

Ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

a c c a c c c

a b  a c bc  a b bca c bc 

















































2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 0 2 2 2 2 0

a b c c a b c b c c a c b a bc c a bc

b c a b b c a c b c a b b c a c

        

     

       



























2
2

2 2 2 2 2 2 2 2

2
2

0 0

a bc b c

a bc b c

b c a b a c b c a b a c

a bc b c

 

  

     

       

   

</div>

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở Giáo dục và đào tạo Quảng Trị năm 2018 - 2019







 

































 







<sub></sub>

<sub></sub>









     









































 

 





































<i><b>K</b></i>

<i><b>N</b></i>

<i><b>E</b></i>

<i><b>F</b></i>

<i><b>H</b></i>

<i><b>A</b></i>

<i><b>C</b></i>

<i><b>B</b></i>