Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (168.77 KB, 5 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN </b>
<b> BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2020 – 2021 </b>
<b> Mơn: Tốn chun</b>
<i>Thời gian 150 phút (không kể thời gian phát đề)</i>
<b>Câu 1. (3,0 điểm)</b> <b> </b>
a) Rút gọn biểu thức
4 2
8 <sub>1</sub> <sub>3</sub>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>P</i>
<i>x x</i> <i><sub>x</sub></i>
<sub></sub> <sub></sub> với 0 <i>x</i> 4.
b) Giải phương trình <i>x</i>2 3 <i>x</i> 2<i>x</i>1.
c) Giải hệ phương trình
2
.
2
<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>
<i>x y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<b>Câu 2. (2,0 điểm) </b>
a) Cho đa thức <i>P x</i>
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên
Với các số thực dương <i>a</i> và <i>b</i> thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2 2
1 1
2 2
<i>S</i> <i>a</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>ab</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>ab</i> <i>a</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<b>Câu 4. (3,0 điểm)</b>
Cho đường trịn
<i>SD C D</i>là hai tiếp điểm). Gọi <i>H</i> là giao điểm của đường kính <i>AB</i> và dây <i>CD</i>. Vẽ đường tròn
và tiếp xúc với đường thẳng <i>AB</i> tại <i>S</i>. Hai đường tròn
b) Gọi <i>K</i> là hình chiếu vng góc của <i>C</i> trên <i>BD I</i>, là giao điểm của <i>BM</i>và <i>CK</i>. Chứng minh <i>HI</i> song song
với <i>BD</i>.
c) Các đường thẳng <i>SM</i> và <i>HM</i> lần lượt cắt
<i>CDTL</i> là hình vng khi và chỉ khi <i>MC</i>2 <i>MS MD</i> .
<b>Câu 5. (1,0 điểm) </b>
Cho tam giác <i>ABC</i> có ba góc nhọn và có trực tâm <i>H</i>. Gọi <i>D E F</i>, , lần lượt là chân ba đường cao kẻ từ <i>A B C</i>, ,
của tam giác <i>ABC</i>. Biết
2 2 2
36.
<i>AB</i> <i>BC</i> <i>CA</i>
<i>HF</i> <i>HD</i> <i>HE</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Hãy chứng minh rằng <i>ABC</i>đều.
<b>LỜI GIẢI ĐỀ THI VÀO CHUN TỐN THPT CHUN LÊ Q ĐƠN – BÀ RỊA - VŨNG TÀU </b>
<i><b>THUVIENTOAN.NET </b></i>
<b>Câu 1. </b>
a) Ta có: <i>x</i> 4
8 2 4
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub>
2 2
1
2 4 2 4
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>P</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
b) Điều kiện: 1
2
<i>x</i> . Ta có:
2 2 2
2
2
3 2
3 2 1 3 2 1 2 2 1
1
2
2
2 1 2
2 1 2
1
2
1
2
2 2 0
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub> </sub>
<sub></sub>
Vậy <i>x</i>1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
c) Cộng vế theo với của phương trình ta được:
2 2
2
2 2
2 0
1
.
2
<i>x</i> <i>y</i> <i>x y</i> <i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
Với <i>x</i> <i>y</i> 1, thay vào phương trình đầu của hệ ta được: 2
3 3 0,
<i>x</i> <i>x</i> vô nghiệm.
Với <i>x</i> <i>y</i> 2, thay vào phương trình đầu của hệ ta được: 2
0 0 2,
<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>
Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất
a) Ta có:
2 2
2 2 2
0 2 4 8 0 1
2 8 8 0
8 8
2 0, 0.
<i>P x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>ax</i> <i>bx</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>ax</i> <i>bx</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub><sub></sub> <sub></sub><sub></sub><sub></sub> <sub></sub><sub></sub>
Đặt <i>t</i> <i>x</i> 8 <i>x</i>2 <i>tx</i> 8 0 *
<i>x</i>
, phương trình
Ta có:
Ta có điều phải chứng minh.
b) Ta có:
2 2
2
1 0 1 1 .
1
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>x x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
Đặt <i>t</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>t</i> và <sub>2</sub> 1 .
1
<i>t</i>
<i>x</i>
<i>t</i>
Do <i>x</i>
0
1 1 1 2 1 1 .
1
<i>t</i>
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
<i>t</i>
<sub></sub>
Với <i>t</i>0, ta có: <i>x</i> 1; <i>y</i>1.
Với <i>t</i>1, ta có: <i>x</i>0; <i>y</i>1.
Với <i>t</i> 1, ta có: <i>x</i> 1; <i>y</i>0.
Vậy phương trình có ba nghiệm
Theo bất đẳng thức
2
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
4 .
2 2
2 2
<i>S</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>ab</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>ab</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>ab</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>ab</i> <i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub><sub></sub>
Mà
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
,
2 2
1 1
<i>a</i> <i>b</i>
<i>b b</i> <i>a</i> <i>a a</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>ab</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>ab</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>
2 2 , 2 2 .
<i>b b</i> <i>a</i> <i>a a</i> <i>b</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>
Ta có:
2 2 4
2 2
2 2 <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>
2
; 2 2 0
<i>a</i> <i>b</i> <i>ab a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i><sub>a</sub></i> <i><sub>b</sub></i> <i><sub>a</sub></i> <i><sub>b</sub></i>
<sub></sub> <sub></sub>
Suy ra : 2 4 1 1 4 2 4 2 8.
1 1 1
1
2
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>S</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub><sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub><sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub><sub></sub> <sub></sub><sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub><sub></sub> <sub></sub><sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
Do đó <i>S</i>2 2. Đẳng thức xảy ra <i>a</i> <i>b</i>.
Vậy giá trị lớn nhất của <i>S</i> là 2 2 đạt được khi <i>a</i><i>b</i>.
<b>Câu 4. </b>
b) Ta có: 0 0
90 90
<i>CIM</i> <i>BIK</i> <i>DBM</i> <i>MCD</i>
(tam giác vng và góc nội tiếp).
Mặt khác <i>CHM</i> 900<i>SHM</i> 900<i>MDS</i>(tam giác vng, góc giữa tiếp tuyến và dây cung).
Mà <i>MCD</i><i>MDS</i>(góc giữa tiếp tuyến và dây cung).
Nên <i>CIM</i> <i>CHM</i> <i>CMHI</i> là tứ giác nội tiếp.
<i>CHI</i> <i>CMI</i> <i>CDB</i>
(góc nội tiếp).
Do đó <i>HI BD</i> (hai góc đồng vị).
c) Ta có: <i>BD</i><i>CK</i><i>HI</i> <i>CK</i><i>CMT</i>900<i>CT</i> là đường kính của
Vậy <i>MC</i>2<i>MS MD</i> <i>CL</i>2<i>SD</i>2<i>R</i> với <i>R</i>là bán kính của
2
2
2 2
2 <i>R</i> <i>R OS</i> <i>R</i> <i>OS</i> <i>R</i> 2 (1).
<i>OS</i>
<sub></sub>
<sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
Mặt khác <i>CDTL</i> là hình vng <i>SOC</i>450 <i>SO</i><i>R</i> 2 (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh.
<b>Câu 5. </b>
<i><b>S</b></i>
<i><b>T</b></i>
<i><b>L</b></i>
<i><b>I</b></i>
<i><b>H</b></i>
<i><b>M</b></i>
<i><b>O'</b></i>
<i><b>D</b></i>
<i><b>C</b></i>
<i><b>A</b></i> <i><b><sub>O</sub></b></i> <i><b>B</b></i>
<i><b>D</b></i>
<i><b>E</b></i>
<i><b>F</b></i>
<i><b>A</b></i>
Ta có: <i>ACD</i><i>BHD</i> và <i>ABD</i> <i>AHF</i> <i>AC</i> <i>AD</i> <i>AF</i> (1).
<i>BH</i> <i>DB</i> <i>FH</i>
Tương tự: <i>BCE</i><i>AHE</i> và <i>ABE</i> <i>HFB</i> <i>BC</i> <i>BE</i> <i>FB</i> (2).
<i>AH</i> <i>AE</i> <i>FH</i>
Từ (1) và (2) ta có: <i>AB</i> <i>AF</i> <i>FB</i> <i>AF</i> <i>FB</i> <i>AC</i> <i>CB</i> .
<i>FH</i> <i>HF</i> <i>HF</i> <i>FH</i> <i>BH</i> <i>AH</i>
Do đó:
2 2
4 (3).
<i>AB</i> <i>AC</i> <i>CB</i> <i>AC CB</i>
<i>HF</i> <i>BH</i> <i>AH</i> <i>BH AH</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub>
<sub></sub> <sub></sub>
Lại có <i>BCF</i> <i>HAF</i> <i>BC</i> <i>CF</i>.
<i>AH</i> <i>AF</i>
Từ (1) và (3) suy ra
2
4 4 <i>ABC</i> (4)
<i>HAB</i>
<i>S</i>
<i>AB</i> <i>CF</i>
<i>HF</i> <i>HF</i> <i>S</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub> </sub>
<sub></sub>
Tương tự:
2 2
4 <i>ABC</i> (5); 4 <i>ABC</i> (6)
<i>HBC</i> <i>HAC</i>
<i>S</i> <i>S</i>
<i>BC</i> <i>AC</i>
<i>HD</i> <i>S</i> <i>HE</i> <i>S</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub> </sub>
<sub></sub> <sub></sub>
Do đó:
2 2 2
36 36
1 1 1
4 <i>ABC</i> <i>ABC</i> 36
<i>ABC</i>
<i>HAB</i> <i>HBC</i> <i>HCA</i> <i>HAB</i> <i>HBC</i> <i>HCA</i> <i>ABC</i>
<i>S</i> <i>S</i>
<i>AB</i> <i>BC</i> <i>CA</i>
<i>S</i>
<i>HF</i> <i>HD</i> <i>HE</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>S</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi <i>S<sub>HAB</sub></i> <i>S<sub>HBC</sub></i><i>S<sub>HAC</sub></i> <i>H</i> là trọng tâm <i>ABC</i>, mà <i>H</i> là trực tâm <i>ABC</i> nên
<i>ABC</i>
đều.