Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (195.36 KB, 5 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN </b>
<b> NINH BÌNH </b> NĂM HỌC: 2020-2021
<b> Mơn thi Tốn chun; Ngày thi 18/7/2020</b>
<i>Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề </i>
<b>Câu 1. (2,0 điểm) </b>
a) Cho <i>P</i> <i>a</i>2<i>a</i>2
1
<i>x</i>
<i>A</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
với <i>x</i> 4 2 3.
<b>Câu 2. (2,0 điểm) </b>
a) Cho phương trình <i>x</i>22<i>mx</i>2<i>m</i> 1 0. Tìm <i>m</i> để phương trình có hai nghiệm phân biệt <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub> với <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub>
thỏa mãn 2
1 2
4<i>x</i> <i>x</i> .
b) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 0
.
10
<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<b>Câu 3. (1,5 điểm) </b>
a) Tìm tất cả các số nguyên <i>n</i> sao cho 2
2022
<i>n</i> là số chính phương.
b) Giải bất phương trình <i>x</i> 1 4 <i>x</i> 1.
<b>Câu 4. (3,0 điểm) </b>
Cho đường tròn
.
<i>A</i> Đường tròn
b) Chứng minh rằng <i>ANP</i><i>BNP</i> và bốn điểm <i>O C D N</i>, , , cùng nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh rằng đường trung trực của <i>ON</i> luôn đi qua một điểm cố định khi <i>P</i> di chuyển trên <i>AB</i> với <i>P</i>
khác <i>A B</i>, và <i>P</i> khác trung điểm của <i>AB</i>.
<b>Câu 5. (1,5 điểm) </b>
a) Cho <i>a b c</i>, , là các số thực dương thỏa mãn <i>a</i>2<i>b</i>2 <i>b</i>2<i>c</i>2 <i>c</i>2<i>a</i>2 2021. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 2012
.
2 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i><i>c</i><i>c</i><i>a</i><i>a</i><i>b</i>
b) Với số thực <i>a</i>, ta định nghĩa phần nguyên của <i>a</i> là số ngun khơng vượt q <i>a</i> và kí hiệu là
<i>x</i> <i>x x</i> <i>x</i> được định nghĩa bởi công thức: 1 .
2 2
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>x</i>
<b>LỜI GIẢI CHI TIẾT BIÊN SOẠN BỞI THUVIENTOAN.NET </b>
<b>Câu 1. </b>
a) Ta có
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
2 <sub>2</sub>
1 1 1 2 1 1 2 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 .
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a a</i> <i>a</i> <i>a a</i> <i>a a</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>a a</i> <i>a a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<sub></sub><sub></sub> <sub> </sub><sub> </sub> <sub></sub><sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Mặt khác
2
2 1 3
1 0
4 4
<i>a</i> <i>a</i> <sub></sub><sub></sub><i>a</i> <sub></sub>
nên
2
2 2
1 1 0.
<i>P</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
Mà <i>a</i> <i>P</i> .
b) Với <i>x</i>0 và <i>x</i>1, ta có:
2
1 1 1 1
: :
1 1 1 1
1 1 1
.
1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>A</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub><sub></sub> <sub></sub><sub></sub>
Do đó <i>A</i> 1 .
<i>x x</i>
Với <i>x</i> 4 2 3, ta có:
1 1 1
.
4 2 3 4 2 3 <sub>3</sub> <sub>1</sub> <sub>3</sub> <sub>1</sub> 3 1
<i>A</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Vậy
.
3 1
<i>A</i>
<b>Câu 2. </b>
a) Phương trình đã cho ln có nghiệm <i>x</i>1. Theo định lý Viete ta có: 1 2
2
.
2 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>
<i>x x</i> <i>m</i>
Xét trường hợp 1: <i>x</i><sub>1</sub> 1 <i>x</i><sub>2</sub> 2<i>m</i>1.
Ta có:
2
2
2
1 2
2
3
2
2
4 4 2 1 .
1
2
2
<i>m</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>
<i>m</i> <i>x</i>
Ta nhận 3
2
<i>m</i> vì <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub>.
Xét trường hợp 1: <i>x</i><sub>2</sub> 1 <i>x</i><sub>1</sub> 2<i>m</i>1.
Ta có: 4 <sub>1</sub> <sub>2</sub>2 4 2
8 4
<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>x</i> Ta nhận 5
8
<i>m</i> vì <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub>.
Vậy 3
2
<i>m</i> hoặc 5
8
b) Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
2 2
2 0 2 0
2 1 0 .
2 1
<i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
Với <i>x</i> <i>y</i>, thay vào phương trình thứ hai ta được: 2 5 5 5 .
5 5
<i>y</i> <i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i> <i>x</i>
Với <i>x</i> 2<i>y</i>1, thay vào phương trình thứ hai ta được:
2 2
1 3
2 1 10 5 4 9 0 <sub>9</sub> <sub>23</sub>.
5 5
<i>y</i> <i>x</i>
<i>y</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>y</i>
<i>y</i> <i>x</i>
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm
5 5
<i>x y</i> <sub></sub><sub></sub> <sub></sub>
<b>Câu 3. </b>
a) Đặt <i>m</i>2 <i>n</i>22022 với <i>m</i>. Khi đó phương trình tương đương: <i>m</i>2<i>n</i>2 2022.
Ta có 2022 2 nên
Do đó khơng tồn tài <i>m n</i>, thỏa mãn 2 2
2022.
<i>m</i> <i>n</i>
Suy ra không tồn tại <i>n</i> để 2
2022
<i>n</i> là số chính phương.
b) Điều kiện: 1 <i>x</i> 4.
Với 3 <i>x</i> 4, ta có: <i>x</i> 1 2 và 0 4 <i>x</i> 1. Suy ra <i>x</i> 1 4 <i>x</i> 1.
Với 1 <i>x</i> 3, ta có: <i>x</i> 1 2 và 4 <i>x</i> 1. Suy ra <i>x</i> 1 4 <i>x</i> 1.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là <i>S</i>
<b>Câu 4. </b>
a) Do <i>QA QB</i>, lần lượt là tiếp tuyến của
b) Gọi <i>H</i> là giao điểm của <i>QO</i> và <i>AB</i>.
Tam giác <i>QAO</i> và <i>QBO</i> bằng nhau theo trường hợp (c-c-c) nên <i>QOA</i><i>QBO</i>.
Suy ra tam giác <i>HOA</i> bằng tam giác <i>HOB</i><i>HAO</i><i>HBO</i>.
Hay <i>PAC</i><i>PBD</i>.
Ta có
0
90 .
2
<i>ACP</i>
<i>ANP</i> <i>PAC</i> Tương tự
0
90 .
2
<i>BDP</i>
Do
Tam giác <i>CAP</i> cân tại <i>C</i> và tam giác <i>OAB</i> cân tại <i>O</i> nên ta có: <i>CAP</i><i>OAB</i><i>OBA</i>.
Suy ra <i>CP OB</i> .
Tương tự ta cũng chứng minh được <i>DP OA</i>
Do đó <i>OCPD</i> là hình bình hành, suy ra <i>COD</i><i>CPD</i>.
Mặt khác hai tam giác <i>CND</i> và <i>CPD</i> bằng nhau theo trường hợp c-c-c nên <i>CND</i><i>CPD</i>.
Suy ra <i>COD</i><i>CND</i> hay <i>O C N D</i>, , , cùng nằm trên một đường trịn.
c) Do <i>OCPD</i> là hình bình hành suy ra <i>OC</i><i>DP</i><i>DN</i> hay <i>OC</i><i>ND</i>.
Mà tứ giác <i>OCDN</i> nội tiếp nên <i>OCDN</i> là hình thang cân, suy ra <i>ON CD</i> .
Gọi <i>N</i><sub>2</sub> là giao điểm của <i>QP</i> với
Do đó 0
90 .
<i>ONQ</i> Suy ra <i>N</i> thuộc đường trịn đường kính <i>OQ</i>.
Suy ra trung trực của <i>ON</i> đi qua trung điểm <i>T</i> cố định của <i>OQ</i>.
<i><b>T</b></i>
<i><b>H</b></i>
<i><b>Q</b></i>
<i><b>N</b></i>
<i><b>D</b></i>
<i><b>C</b></i>
<i><b>O</b></i>
<i><b>B</b></i>
<b>Câu 5.</b>
a) Đặt
2 2 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>P</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>
và
2 2 2
.
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>Q</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>
Suy ra:
2 2 2 2 2 2
.
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>P</i> <i>Q</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>
Đặt <i>x</i> <i>b</i> <i>c y</i>, <i>c</i> <i>a z</i>, <i>a</i> <i>b</i>. Khi đó ta có:
<i>P</i> <i>Q</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
Áp dụng bất đẳng thức <i>m</i>2<i>n</i>2<i>p</i>2<i>mn</i><i>np</i><i>pm</i>, ta có:
.
<i>yz</i> <i>zx</i> <i>xy</i> <i>yz zx</i> <i>zx xy</i> <i>xy yz</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>x</i>
Từ đó suy ra <i>P</i> <i>Q</i> 0 hay <i>P</i><i>Q</i>.
Khi đó ta có:
2 2 2 2 2 2
2<i>P</i> <i>P</i> <i>Q</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> (1).
<i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2021
.
2 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
Mặt khác 2021 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
Suy ra:
2 2 2 2 2 2
2021 2021 2021
(2).
2 2 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>
Từ (1) và (2) suy ra: 1 2021
2 2
<i>P</i> hay
2 2 2
1 2021
.
2 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i><i>c</i><i>c</i><i>a</i><i>a</i><i>b</i>
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2021.
3 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
Ta có điều phải chứng minh.
b) Với mọi <i>a</i>0 và 0 <i>x</i> 1 thì
Do đó 1
2 2
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>x</i>
chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1.
Ta có:
199
0
1 0 2 1 3 2 200 199 200
... 141.
2 2 2 2 2 2 2 2 2
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub><sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub><sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub><sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub><sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub><sub></sub><sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub><sub></sub><sub></sub><sub></sub><sub></sub><sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub><sub></sub><sub></sub><sub></sub><sub></sub><sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub><sub></sub><sub></sub> <sub></sub><sub></sub><sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub><sub></sub><sub></sub><sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>