Luận văn thạc sĩ đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông (2006 2017)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hồng Hoa

ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG, MẶT CẦU TRONG ĐỀ THI
TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (2006 – 2017):
SỰ TIẾN TRIỂN CỦA CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC
VÀ TÁC ĐỘNG ĐẾN VIỆC DẠY, HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hồng Hoa

ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG, MẶT CẦU TRONG ĐỀ THI
TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (2006 – 2017):
SỰ TIẾN TRIỂN CỦA CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC
VÀ TÁC ĐỘNG ĐẾN VIỆC DẠY, HỌC

Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số

: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN LƯƠNG CƠNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan những trích dẫn trong luận văn là hoàn toàn trung thực.

Nguyễn Thị Hồng Hoa


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin đặc biệt gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến TS.
Trần Lương Công Khanh, người đã hướng dẫn, bao dung, kiên nhẫn và tận tình
giúp đỡ tơi trong suốt q trình hồn thành luận văn này.
Tơi xin vơ cùng cảm ơn:
 PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, PGS.TS. Lê Thái Bảo
Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư Hương, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Tăng Minh
Dũng, các Thầy Cô đã rất nhiệt tình giảng dạy chúng tơi.
 Các thầy cơ ở Pháp đã góp ý, tư vấn cho chúng tơi có được hướng đi tốt
trong nghiên cứu của mình.
Tơi cũng rất cảm ơn:
 Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau đại học, Khoa Toán- Trường Đại
học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt
nhất cho chúng tôi.
 Các thầy cô và học sinh Trường THPT An Mỹ, đồng nghiệp ở các trường
THPT trong khu vực Thành phố Thủ Dầu Một đã giúp đỡ tơi rất nhiều trong
q trình thực nghiệm của luận văn.

 Ban giám hiệu, các thầy cô và học sinh của trường THPT An Mỹ đã giúp đỡ
tạo điều kiện cho tơi rất nhiều trong q trình tơi đi học và thực nghiệm của
luận văn.
 Các bạn lớp Didactic 27 vì sự đồng hành cùng nhau trong suốt khóa học.
Cuối cùng, là sự biết ơn thật nhiều đến gia đình tơi đã động viên và hỗ trợ hết
lịng trong suốt quãng thời gian tôi đi học.

Nguyễn Thị Hồng Hoa


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
Chương 1. CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC LIÊN QUAN ĐẾN
ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG, MẶT CẦU TRONG
SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 12 HIỆN HÀNH ........................ 6
1.1. Các tổ chức toán học liên quan đến mặt cầu trong sách giáo khoa
toán 12 hiện hành .................................................................................. 6
1.1.1. Tổ chức toán học O1: Viết phương trình mặt cầu. .......................... 7
1.1.2. Tổ chức tốn học O2: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó. .......... 9
1.2. Các tổ chức toán học liên quan đến mặt phẳng trong sách giáo
khoa toán 12 hiện hành ....................................................................... 11
1.2.1. Tổ chức tốn học O3: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. ....... 13
1.2.2. Tổ chức toán học O4: Tính khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng. ..................................................................................... 14

1.2.3. Tổ chức tốn học O5: Viết phương trình mặt phẳng. .................... 14
1.3. Các tổ chức toán học liên quan đến đường thẳng trong sách giáo
khoa toán 12 hiện hành ....................................................................... 22
1.3.1. Tổ chức tốn học O6: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng. ... 23
1.3.2. Tổ chức toán học O7: Tìm giao điểm giữa đường thẳng và
mặt phẳng. ..................................................................................... 25
1.3.3. Tổ chức tốn học O8: Viết phương trình đường thẳng. ................ 25
1.4. Các tổ chức toán học liên quan giữa mặt phẳng, đường thẳng và
mặt cầu trong sách giáo khoa hiện hành ............................................. 34


1.4.1. Tổ chức tốn học O9: Tìm tọa độ điểm là hình chiếu của một
điểm lên một mặt phẳng................................................................ 34
1.4.2. Tổ chức tốn học O10: Tìm tọa độ điểm là điểm đối xứng của
một điểm qua một mặt phẳng. ...................................................... 35
1.4.3. Tổ chức tốn học O11: Tìm tọa độ điểm là hình chiếu vng
góc của một điểm lên một đường thẳng........................................ 37
1.4.4. Tổ chức tốn học O12: Tìm tọa độ điểm là điểm đối xứng của
một điểm qua một đường thẳng. ................................................... 37
1.5. Kết luận chương 1 ................................................................................ 39
Chương 2. CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC LIÊN QUAN ĐẾN
ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG, MẶT CẦU TRONG
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
MƠN TỐN TỪ 2006 .............................................................. 41
2.1. Kiểu nhiệm vụ liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu
dưới dạng câu hỏi tự luận xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp từ
năm 2006 đến năm 2016 ..................................................................... 44
2.2. Kiểu nhiệm vụ liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu
xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm
khách quan từ năm 2017 ..................................................................... 45

2.3. Kiểu nhiệm vụ mới liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt
cầu dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan trong đề thi tốt
nghiệp từ năm 2017............................................................................. 51
2.4. Kết luận chương 2 ................................................................................ 57
Chương 3. THỰC NGHIỆM ........................................................................ 59
3.1. Quan sát thực hành giảng dạy của giáo viên ........................................ 59
3.1.1. Quan sát thực hành giảng dạy của G1........................................... 60
3.1.2. Quan sát thực hành giảng dạy của G2........................................... 68
3.1.3. Quan sát thực hành giảng dạy của G3........................................... 72
3.1.4. Kết luận ......................................................................................... 76


3.2. Phân tích sản phẩm của học sinh và ý kiến của giáo viên ................... 77
3.2.1. Đối tượng ...................................................................................... 77
3.2.2. Hình thức ....................................................................................... 77
3.2.3. Bộ câu hỏi thực nghiệm ................................................................ 77
3.3. Kết luận chương 3 ................................................................................ 98
KẾT LUẬN .................................................................................................. 100
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 103
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
(xếp theo thứ tự bảng chữ cái)

GDĐT

: giáo dục đào tạo

GDTX

: giáo dục thường xuyên

HH12CB

: Hình học 12 cơ bản

HH12NC

: Hình học 12 nâng cao

KNV

: kiểu nhiệm vụ

MTCT

: máy tính cầm tay

PTĐT

: phương trình đường thẳng

PTMC

: phương trình mặt cầu

PTMP

: phương trình mặt phẳng

TCTH

: tổ chức tốn học

THPT

: trung học phổ thơng

THPTQG

: trung học phổ thông quốc gia

VTCP

: vectơ chỉ phương

VTPT

: vectơ pháp tuyến


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Thống kê số lượng các kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa
HH12CB, HH12NC ...................................................................... 38
Bảng 2.1. Thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến đường thẳng, mặt
phẳng, mặt cầu trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2006 đến 2017 . 42
Bảng 3.1. Thống kê các KNV được giáo viên ưu tiên ôn tập cho học sinh .. 83
Bảng 3.2. Thống kê các dạng bài tập được giáo viên ưu tiên yêu cầu học
sinh thực hiện ................................................................................ 83

Bảng 3.3. Thống kê các kỹ thuật giải được giáo viên ưu tiên yêu cầu học
sinh thực hiện ................................................................................ 84
Bảng 3.4. Thống kê các quan điểm khi giảng dạy được giáo viên ưu tiên ..... 84
Bảng 3.5. Thống kê kết quả các phiếu khảo sát của học sinh ......................... 97


DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 3.1. Kiến thức cần lưu ý về phương trình mặt phẳng trong tiết ơn
tập của giáo viên G1 ..................................................................... 64
Hình 3.2. Kiến thức cần lưu ý về phương trình đường thẳng trong tiết ơn
tập của giáo viên G1 ..................................................................... 67
Hình 3.3. Ma trận đề thi THPT Quốc gia mơn Tốn 2018 trong tiết ơn
tập của giáo viên G2 ..................................................................... 68


1

MỞ ĐẦU
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Từ 2006 đến 2017, kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông (THPT) đã trải
qua ba giai đoạn xét theo vai trị và hình thức ra đề:
- Giai đoạn 2006 - 2014: thi theo hình thức tự luận, đề thi khác nhau giữa
THPT và giáo dục thường xuyên (GDTX).
- Giai đoạn 2015 - 2016: thi theo hình thức tự luận, chỉ một đề chung cho
THPT và GDTX, kết quả thi được dùng để xét tuyển đại học, cao đẳng.
- Từ 2017: thi theo hình thức trắc nghiệm, chỉ một đề chung cho THPT và
GDTX, kết quả thi được dùng để xét tuyển đại học, cao đẳng.
Trong cả ba giai đoạn, các bài toán liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng
và mặt cầu luôn xuất hiện trong đề thi nhưng với những kiểu nhiệm vụ khác

nhau và chiếm tỷ lệ khác nhau.
Thống kê sơ lược đề thi tốt nghiệp THPT (2006 - 2017) cho thấy ba kiểu
nhiệm vụ (KNV) “Viết phương trình đường thẳng”, “Viết phương trình mặt
phẳng”, “Viết phương trình mặt cầu” chiếm1 79 % các bài tốn hình học giải
tích trong khi các kiểu nhiệm vụ khác chỉ chiếm 21 %.
Mặt khác, một số KNV từng xuất hiện trong đề thi tự luận lại vắng bóng
trong đề thi trắc nghiệm và một số KNV mới liên quan đến đường thẳng, mặt
phẳng và mặt cầu lần đầu xuất hiện dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm.
Các tổ chức toán học (TCTH) liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt
cầu trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2006 đến 2017 đã tiến triển như thế nào?
Sự tiến triển này tác động gì đến việc dạy của giáo viên và việc học của học
sinh?
Hai câu hỏi này đưa chúng tôi đến đề tài: Đường thẳng, mặt phẳng, mặt
cầu trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông (2006 - 2017): Sự tiến triển
Mỗi một trong ba kiểu nhiệm vụ này chiếm lần lượt 29 %, 31 % và 19 % các bài toán hình học giải
tích trong đề thi THPT (2006 – 2017).
1


2
của các tổ chức toán học và tác động đến việc dạy, học.
2. Các công cụ lý thuyết và đặt lại vấn đề theo công cụ lý thuyết
Chúng tôi đặt đề tài của mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic Toán,
đặc biệt là thuyết nhân học didactic, khái niệm tổ chức tốn học và phân tích
thực hành dạy học của giáo viên theo quan điểm Didactic.
2.1. Quan hệ thể chế đối với một tri thức
Lý thuyết nhân học sư phạm dựa vào ba thuật ngữ ban đầu không định
nghĩa đó là đối tượng, cá thể, thể chế.
Khi một cá thể X thâm nhập vào một thiết chế I mà trong đó tồn tại một
đối tượng tri thức O, mối quan hệ cá nhân R(X, O) của X với O được hình

thành. Cá thể X và hệ thống các quan hệ cá nhân R(X, O) được gọi là cá nhân.
Thông qua mối quan hệ cá nhân R(X, O), cá nhân trở thành một chủ thể của
thiết chế I.
Khi một cá nhân thâm nhập vào một thể chế sư phạm, mối quan hệ của cá
nhân với một đối tượng tri thức O nào đó được thiết lập dưới những ràng buộc
của mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức này. Theo quan điểm này,
truyền đạt một tri thức là quá trình thiết lập hoặc thay đổi quan hệ cá nhân của
người học với tri thức dưới những ràng buộc của quan hệ thể chế đối với tri thức.
2.2. Tổ chức toán học
Theo quan điểm của Chevallard (1998): một praxéologie là một bộ bốn
[T, , , ]. trong đó T là kiểu nhiệm vụ gồm ít nhất một nhiệm vụ,  là kỹ
thuật giúp giải quyết T,  là công nghệ biện minh cho  và  là lý thuyết biện
minh cho .
Dựa trên khối logos (công nghệ, lý thuyết), Chevallard phân biệt 4 loại
TCTH:
TCTH điểm (organisation mathématique ponctuelle): TCTH xoay quanh
một kiểu nhiệm vụ.


3
TCTH địa phương (organisation mathématique locale): TCTH xoay
quanh một công nghệ.
TCTH vùng (organisation mathématique régionale): TCTH xoay quanh
một lý thuyết.
TCTH tổng thể (organisation mathématique globale): TCTH xoay quanh
nhiều lý thuyết.
Trong luận văn này, với mục đích hướng đến kỳ thi THPTQG, chúng tôi
tạm đưa ra một hệ thống phân loại khác, dựa trên vai trò của TCTH trong thực
hành dạy học của giáo viên:
TCTH tức thời: TCTH phục vụ cho việc hiểu, áp dụng một khái niệm,

một tính chất đơn giản, xuất hiện vào thời điểm đưa vào khái niệm, tính chất
đó, khơng xuất hiện vào những thời điểm sau.
TCTH hỗ trợ: TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng sẽ đóng vai trị kiểu
nhiệm vụ con trong một tổ chức toán học lớn hơn.
TCTH phức hợp: TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng bao gồm nhiều kiểu
nhiệm vụ của TCTH hỗ trợ, và việc giải quyết nhiều kiểu nhiệm vụ tương ứng
cần huy động rất nhiều công nghệ, lý thuyết.
Từ đây, chúng tôi phát biểu lại một số câu hỏi ban đầu như sau:
Các tổ chức toán học nào liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu
được trình bày trong sách giáo khoa hình học cơ bản và nâng cao? Với mỗi
KNV, các kỹ thuật có thể có trong mỗi giai đoạn? Các kỹ thuật được ưu tiên?
Những KNV về đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong các đề thi tốt
nghiệp trung học phổ thơng? Việc chuyển đề tốn sang hình thức trắc nghiệm
làm nảy sinh những KNV mới nào về đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu? Các
kỹ thuật có thể có?
2.3. Chuyển hóa sư phạm
“Mọi tri thức S đều gắn với ít nhất một thể chế I mà trong đó tri thức
được vận dụng vào một lĩnh vực thực tiễn D nào đó. Điều chủ yếu là một tri


4
thức không tồn tại một cách riêng lẻ bên lề xã hội: mọi tri thức đều xuất hiện
vào một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định như đã ăn sâu vào một
hoặc nhiều thể chế” (Chevallard 1989).
Để có thể tồn tại trong một thể chế, mọi tri thức đều phải chịu một số điều
kiện ràng buộc nhất định. Sự chuyển hóa sư phạm có thể tóm tắt theo sơ đồ
dưới đây:
Tri thức bác học

Tri thức cần dạy

(Thể chế chuyển hóa)

Tri thức được giảng dạy
(Thể chế dạy học)
Sự chuyển hóa sư phạm nội tại có thể tóm tắt theo sơ đồ dưới đây (có 2 giai
đoạn):
Tri thức cần dạy
(Tri thức chương trình)

Dự án dạy học

Tri thức được giảng dạy
(Thể chế dạy học)
Từ đây, chúng tôi phát biểu lại các câu hỏi ban đầu dựa trên khung lý
thuyết tham chiếu như sau:
Q1. Các tổ chức toán học về đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu được trình
bày trong sách giáo khoa và sách bài tập các giai đoạn? Các kỹ thuật đã tồn
tại? Các kỹ thuật được ưu tiên trong mỗi giai đoạn?


5
Q2. Những tổ chức toán học về đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu can
thiệp trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thơng? Việc chuyển sang hình
thức trắc nghiệm làm nảy sinh những kiểu nhiệm vụ mới nào? Các kỹ thuật có
thể có?
Q3. Các kỹ thuật được giáo viên và học sinh ưu tiên để giải quyết các
kiểu nhiệm vụ? Các yếu tố công nghệ - lý thuyết biện minh cho các kỹ thuật
được ưu tiên ?
Để trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đã nêu, nhiệm vụ của chúng tơi là:
- Xác định các tổ chức tốn học liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng,

mặt cầu trong SGK 12 hiện hành.
- Xác định các tổ chức toán học liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng,
mặt cầu trong trong đề thi từ 2006 đến nay.
- Quan sát thực hành dạy học của giáo viên.
- Phân tích sản phẩm của giáo viên và học sinh.
3. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Các tổ chức toán học liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng,
mặt cầu trong sách giáo khoa toán 12 hiện hành.
Chương 2: Các tổ chức toán học liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng,
mặt cầu trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thơng mơn tốn từ 2006.
Chương 3: Thực nghiệm.


6
Chương 1.
CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG,
MẶT PHẲNG, MẶT CẦU TRONG SÁCH GIÁO KHOA
TOÁN 12 HIỆN HÀNH
Việc phân tích đầy đủ phần bài học, phần bài tập liên quan đến đường
thẳng, mặt phẳng, mặt cầu vượt quá thời gian dành cho một luận văn thạc sĩ.
Vì vậy, chúng tơi chọn phân tích các tổ chức tốn học (TCTH) liên quan đến
đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong sách giáo khoa toán 12 hiện hành để
rút ra những đặc trưng của tri thức cần dạy liên quan đến thực hành giải toán
về đường thẳng2, mặt phẳng, mặt cầu.
Để phân tích, chúng tơi xuất phát từ sách Hình học 12 cơ bản, có bổ sung
sách Hình học 12 nâng cao và việc quan sát thực hành dạy học của giáo viên
khi cần. Kết quả phân tích sẽ giúp chúng tôi đối chiếu với các TCTH trong kỳ
thi tốt nghiệp trung học phổ thông (THPT) ở chương 2 và xây dựng thực
nghiệm ở chương 3.

1.1. Các tổ chức toán học liên quan đến mặt cầu trong sách giáo khoa toán
12 hiện hành
Về cấu trúc, chương III – Hệ tọa độ trong khơng gian ở sách giáo khoa
Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao đều gồm ba bài theo thứ tự: Hệ tọa độ trong
khơng gian, Phương trình mặt phẳng, Phương trình đường thẳng. Nội dung liên
quan đến mặt cầu chỉ là một tiểu mục trong bài 1.
Ngoài ra, sách giáo viên ở cả hai ban đã cụ thể hóa mục tiêu cần đạt dưới
dạng những kiểu nhiệm vụ của các tổ chức toán học cần giảng dạy ở mỗi bài
của chương. Cụ thể, ở bài “Hệ tọa độ trong khơng gian”, học sinh cần:
Lập phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính của mặt cầu đó (Sách giáo
viên HH12CB, trang 64).

2

Trong luận văn này, trừ trường hợp có nêu rõ, đường thẳng được hiểu là đường thẳng trong không gian.


7
Viết được phương trình mặt cầu với các điều kiện cho trước. Xác định được tâm
và tính được bán kính mặt cầu khi biết phương trình của nó (Sách giáo viên
HH12NC, trang 69).

Liên quan đến mặt cầu, chúng tôi nhận thấy chỉ có các TCTH sau đây:
1.1.1. Tổ chức tốn học O1: Viết phương trình mặt cầu
Kiểu nhiệm vụ (KNV) tương ứng T1: Viết phương trình mặt cầu khi
biết tâm và bán kính.
Trong đó, cả hai loại sách giáo khoa Cơ bản và Nâng cao đều giới thiệu
định lý như là một bước trong kỹ thuật để thực hiện KNV trên.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 (Sách giáo khoa HH12CB, trang 66)

Mặt cầu tâm I(x0; y0; z0), bán kính R có phương trình:
(x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2 (Sách giáo khoa HH12NC, trang 79)

Dưới đây, chúng tơi trình bày các ví dụ tiêu biểu để rút ra kỹ thuật, cơng
nghệ và lý thuyết tương ứng.
Ví dụ 1 (bài 6, trang 68, HH12CB): Lập phương trình mặt cầu trong hai
trường hợp sau đây:
a/ Có đường kính AB với A(4; - 3; 7), B(2; 1; 3)
b/ Đi qua điểm A(5; - 2; 1) và có tâm C(3; - 3; 1)
Lời giải mong đợi (trang 100, sách bài tập HH12CB):
a/ Mặt cầu có tâm là trung điểm I của đoạn AB.
4+2 −3+1 7+3

Ta có: 𝐼 = (

2

;

2

;

2

) = (3; −1; 5)

⃗⃗⃗⃗ | với ⃗⃗⃗⃗
Gọi r là bán kính mặt cầu, ta có: 𝑟 = |𝐼𝐴
𝐼𝐴 = (1; −2; 2)

Do đó: 𝑟 = √12 + (−2)2 + 22 = 3
Vậy mặt cầu có phương trình là: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 1)2 + (𝑧 − 5)2 = 9
⃗⃗⃗⃗⃗ | trong đó 𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ = (2; 1; 0)
b/ Mặt cầu cho trước có bán kính 𝑟 = |𝐶𝐴


8

Do đó: 𝑟 = √22 + 12 = √5
Vậy mặt cầu tâm C(3; - 3; 1) đi qua điểm A(5; - 2; 1) có phương trình là:
(𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 3)2 + (𝑧 − 1)2 = 5
Ví dụ 2 (bài 14, trang 82, HH12NC): Trong mỗi trường hợp sau, hãy
viết phương trình mặt cầu:
a/ Đi qua ba điểm A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0;12; 4) và có tâm nằm trên
mp(Oyz).
b/ Có bán kính bằng 2, tiếp xúc mặt phẳng (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox.
c/ Có tâm I(1; 2; 3) và tiếp xúc với mp(Oyz).
Lời giải mong đợi (booktoan.com)
a/ Vì tâm mặt cầu nằm trên mp(Oyz) nên ta gọi tâm mặt cầu là 𝐼 =
(0; 𝑏; 𝑐).
Vì mặt cầu đi qua A, B, C nên ta có hệ:
{

2
2
𝐴𝐼 = 𝐵𝐼
⇔ {𝐴𝐼 2 = 𝐵𝐼2
𝐵𝐼 = 𝐶𝐼
𝐵𝐼 = 𝐶𝐼

(𝑏 − 8)2 + 𝑐 2 = 16 + (𝑏 − 6)2 + (𝑐 − 2)2
⇔{
16 + (𝑏 − 6)2 + (𝑐 − 2)2 = (𝑏 − 12)2 + (𝑐 − 4)2
3𝑏 + 𝑐 = 26
𝑏=7
⇔{
⇔{
−𝑏 + 𝑐 = −2
𝑐=5
Vậy phương trình mặt cầu là: 𝑥 2 + (𝑦 − 7)2 + (𝑧 − 5)2 = 26
b/ Vì tâm mặt cầu nằm trên Ox nên ta gọi tâm mặt cầu là I(a; 0; 0).
Vì mặt cầu tiếp xúc với (Oyz) nên bán kính 𝑅 = 𝑑(𝐼, (𝑂𝑦𝑧)) = |𝑎|.
Theo đề bài ta có a = 2.
Vậy phương trình mặt cầu là: (𝑥 − 2)2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4
c/ Vì phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) và có tâm là I =
(1; 2; 3) nên ta có bán kính mặt cầu là: 𝑅 = 𝑑(𝐼, (𝑂𝑦𝑧)) = 1
Vậy phương trình mặt cầu là: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 + (𝑧 − 3)2 = 1.
Hai ví dụ trên giúp rút ra kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết của T1.


9
 Kỹ thuật τ1:
B1. Dùng các điều kiện đề bài đã cho để tìm tâm và bán kính của mặt cầu.
B2. Vận dụng định lý mà sách giáo khoa đã giới thiệu để viết phương
trình mặt cầu.
 Cơng nghệ θ1:
-

Định lý về dạng của phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính.

-

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng, giữa mặt cầu và điểm trong

không gian; hệ quả từ định lý về biểu thức tọa độ của các phép tốn vectơ
trong khơng gian; ứng dụng của tích vơ hướng trong khơng gian.
 Lý thuyết Θ1: Hình học giải tích trong khơng gian 3 chiều.
Ngồi ra, chúng tơi cịn nhận thấy có một ghi chú được giáo viên lưu ý
đối với học sinh để giúp giải nhanh bài tốn dù rằng điều này khơng được
sách giáo khoa giới thiệu.
Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c). Khi đó:
(S) tiếp xúc với (Oyz), (S) có bán kính 𝑅 = 𝑑(𝐼, (𝑂𝑦𝑧)) = |𝑎|
(S) tiếp xúc với (Oxy), (S) có bán kính 𝑅 = 𝑑(𝐼, (𝑂𝑥𝑦)) = |𝑐|
(S) tiếp xúc với (Oxz), (S) có bán kính 𝑅 = 𝑑(𝐼, (𝑂𝑥𝑧)) = |𝑏|

1.1.2. Tổ chức tốn học O2: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó
Kiểu nhiệm vụ tương ứng T2: Từ phương trình mặt cầu hoặc một số
điều kiện cho trước, tìm tâm và bán kính của mặt cầu.
Chúng tơi cũng tiến hành phân tích một số ví dụ để có thể tìm thấy kỹ
thuật, cơng nghệ và lý thuyết tương ứng.
Ví dụ 3 (ví dụ, trang 67, HH12CB): Xác định tâm và bán kính của mặt
cầu có phương trình: x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 6z + 5 = 0.
Lời giải do sách giáo khoa trình bày (trang 68, HH12CB):
Phương trình mặt cầu đã cho tương đương với phương trình sau:
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 + 3)2 = 32
Vậy mặt cầu đã cho có tâm I = ( - 2; 1; - 3), bán kính r = 3.


10

Tuy nhiên, với nội dung nhận xét về dạng khác của phương trình mặt
cầu mà cả hai sách giáo khoa đã giới thiệu, học sinh có thể tìm ra ngay tâm và
bán kính của mặt cầu mà khơng cần trải qua bước biến đổi như trên.
Người ta chứng minh được rằng phương trình dạng:
x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A2 + B2 + C2 – D > 0 là
phương trình của mặt cầu tâm I( - A; - B; - C) có bán kính 𝑟 =
√𝐴2 + 𝐵 2 + 𝐶 2 − 𝐷 .(HH12CB, trang 67)
Phương trình dạng: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 là phương trình của
mặt cầu khi và chỉ khi a2 + b2 + c2 – d > 0. Khi đó tâm mặt cầu là điểm I( - a; - a;
- a) và bán kính mặt cầu là R= √𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑑 .(HH12NC, trang 80)

Hơn nữa, chúng tôi cũng nhận thấy giáo viên đã cho học sinh ghi nhớ:
“Muốn tìm tọa độ tâm mặt cầu, lấy hệ số trước x, y, z lần lượt chia cho – 2” để
tìm nhanh tọa độ tâm I, từ đó áp dụng cơng thức tìm bán kính mặt cầu.
Lời giải mong đợi:
Mặt cầu đã cho có tâm I = ( - 2; 1; - 3),
bán kính 𝑟 = √(−2)2 + 12 + (−3)2 − 5 = 3
Ví dụ 4 (bài 5, câu b, trang 68, HH12CB): Tìm tâm và bán kính của mặt
cầu có phương trình sau đây: 3𝑥 2 + 3𝑦 2 + 3𝑧 2 − 6𝑥 + 8𝑦 + 15𝑧 − 3 = 0
Lời giải mong đợi:
3𝑥 2 + 3𝑦 2 + 3𝑧 2 − 6𝑥 + 8𝑦 + 15𝑧 − 3 = 0
8

⇔ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 2𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 − 1 = 0
3

4

5

Mặt cầu có tâm 𝐼 (1; − ; − ),
3
2
4 2

5 2

bán kính 𝑟 = √12 + (− ) + (− ) − (−1) =
3
2

19
6

Ví dụ 5 (bài 2, câu a, trang 91, HH12CB): Cho mặt cầu (S) có đường
kính AB biết rằng A(6; 2; - 5), B( - 4; 0; 7). Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của


11

mặt cầu (S).
Lời giải mong đợi (booktoan.com):
Tâm I của mặt cầu là trung điểm của đoạn AB, vậy I(1; 1; 1).
𝐴𝐵2 = 248⇒𝐴𝐵 = 2√62
Bán kính 𝑟 =

𝐴𝐵
2

= √62

Các ví dụ vừa trình bày rút ra kỹ thuật, cơng nghệ và lý thuyết của T2.
 Kỹ thuật τ2:
-

TH1. Nếu cho trước phương trình mặt cầu, biến đổi phương trình về
dạng (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 .

Vận dụng định lý mà sách giáo khoa đã giới thiệu để tìm tâm và bán kính
của mặt cầu.
-

TH2. Nếu khơng có phương trình mặt cầu, từ các điều kiện cho trước và

các tính chất liên quan đến mặt cầu, suy ra tâm và bán kính.
 Cơng nghệ θ2:
-

Định lý và nhận xét về dạng của phương trình mặt cầu khi biết tâm và

bán kính.
-

Hệ quả từ định lý về biểu thức tọa độ của các phép tốn vectơ trong

khơng gian; ứng dụng của tích vơ hướng trong khơng gian.
 Lý thuyết Θ2: Hình học giải tích trong không gian 3 chiều.
Ở nội dung này, chúng tôi nhận thấy O2 đóng vai trị là TCTH hỗ trợ
cho TCTH O1.
1.2. Các tổ chức toán học liên quan đến mặt phẳng trong sách giáo khoa

tốn 12 hiện hành
Sách Hình học 12 Cơ bản chỉ nhắc đến một cách sơ lược mục tiêu cần đạt
ở bài “Phương trình mặt phẳng”:
Trong hình học khơng gian ở lớp 11 ta đã biết một số cách xác định mặt phẳng,
chẳng hạn như xác định mặt phẳng bằng ba điểm không thẳng hàng, bằng hai


12
đường thẳng cắt nhau,... Bây giờ ta sẽ xác định mặt phẳng bằng phương pháp
tọa độ (HH12CB, trang 69).

Mục đích của bài “Phương trình mặt phẳng” được định hướng:
Biết cách lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và có vectơ
pháp tuyến cho trước.
Biết cách xác định vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng khi cho biết phương
trình tổng qt của mặt phẳng đó.
Nắm vững điều kiện để hai mặt phẳng song song hoặc vng góc bằng phương
pháp tọa độ (Sách giáo viên HH12CB, trang 68).

Cùng nội dung nói trên, sách giáo viên Hình học 12 Nâng cao đã mở rộng
và bổ sung mục tiêu cần đạt:
Khi cho phương trình của mặt phẳng, học sinh phải xác định được vectơ pháp
tuyến của nó, xác định được tọa độ của một số điểm của nó. Học sinh cần nhận
ra các trường hợp đặc biệt về vị trí của mặt phẳng (so với hệ trục tọa độ) căn cứ
trên phương trình của nó.
Biết cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và có vectơ
pháp tuyến cho trước, đồng thời biết cách đưa về trường hợp cơ bản đó để
viết phương trình mặt phẳng trong những trường hợp khác.
Có thể nhận biết nhanh chóng vị trí tương đối của hai mặt phẳng căn cứ vào
phương trình của chúng.

Nhớ và vận dụng được cơng thức tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt
phẳng và áp dụng vào các bài toán khác (Sách giáo viên HH12NC, trang 80).

Khi đề cập đến việc “biết cách đưa về trường hợp cơ bản đó để viết
phương trình mặt phẳng trong những trường hợp khác”, chúng tôi nhận thấy rõ
ràng đây không phải là các kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ “viết phương


13
trình mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và có vectơ pháp tuyến cho trước”
mà chúng tơi gọi đó là những “biến thể”.
1.2.1. Tổ chức tốn học O3: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Kiểu nhiệm vụ tương ứng T3: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Ví dụ 6 (Hoạt động 1, trang 70, HH12CB): Trong không gian Oxyz cho
ba điểm A(2; - 1; 3), B(4; 0; 1), C(- 10; 5; 3). Hãy tìm tọa độ một vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng (ABC).
Lời giải mong đợi (trang 69, sách giáo viên HH12CB):
Nhằm mục đích để học sinh làm quen với việc sử dụng tích có hướng để
tìm vectơ pháp tuyến. Để tìm vectơ pháp tuyến 𝑛⃗ của mặt phẳng (ABC) học
sinh phải làm như sau:
⃗⃗⃗⃗⃗ = (2; 1; −2), 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = (−12; 6; 0)
Tính 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = (12; 24; 24) và có thể chọn 𝑛⃗ = (1; 2; 2)
Suy ra 𝑛⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 ∧ 𝐴𝐶
Ví dụ 7 (Hoạt động 2, trang 72, HH12CB): Hãy tìm một vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng (α): 4x – 2y – 6z + 7 = 0.
Lời giải mong đợi (trang 69, sách giáo viên HH12CB):
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là 𝑛⃗ = (4; −2; −6).

Kỹ thuật, công nghệ, lý thuyết của T3 được nhận thấy sau hai ví dụ:
 Kỹ thuật τ3:
-

TH1. Nếu cho trước phương trình tổng quát của mặt phẳng, dựa vào

định nghĩa để chọn một vectơ pháp tuyến.
-

TH2. Nếu khơng có phương trình mặt phẳng nhưng biết mặt phẳng song

song hoặc chứa giá của hai vectơ không cùng phương, chọn vectơ pháp tuyến
là tích có hướng của hai vectơ này.
 Cơng nghệ θ3:
Định nghĩa vectơ pháp tuyến, phương trình tổng quát của mặt phẳng.
 Lý thuyết Θ3: Hình học giải tích trong khơng gian 3 chiều.


14
1.2.2. Tổ chức tốn học O4: Tính khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng
Kiểu nhiệm vụ tương ứng T4.1: Tính khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng.
Ví dụ 8 (trang 79, HH12CB): Tính khoảng cách từ điểm M(1; - 2; 13)
đến mặt phẳng (α): 2x – 2y – z + 3 = 0.
Lời giải mong đợi (trang 79, HH12CB):
Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta có:
𝑑(𝑀, (𝛼)) =

|2.1−2.(−2)−13+3|

√22 +(−2)2 +(−1)2

=

4
3

Cơng nghệ θ4.1 dựa trên định lý về khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng, lý thuyết Θ4.1 thuộc về Hình học Euclide trong khơng gian.
Ngồi ra, chúng tơi nhận thấy có các KNV có kỹ thuật giải tương tự, lý
thuyết như trên nhưng có thêm yếu tố cơng nghệ.
Kiểu nhiệm vụ T4.2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Kiểu nhiệm vụ T4.3: Tính khoảng cách giữa một đường thẳng và một
mặt phẳng song song với nó.
1.2.3. Tổ chức tốn học O5: Viết phương trình mặt phẳng
Ngồi ra sau khi nghiên cứu, chúng tơi nhận thấy có các biến thể được
sắp xếp thành các nhóm như sau:
Nhóm 1: Các kiểu nhiệm vụ yêu cầu viết phương trình mặt phẳng đi qua
một điểm và điều kiện để có thể tìm được ngay vectơ pháp tuyến.
Kỹ thuật, công nghệ, lý thuyết sử dụng để giải quyết các KNV này là:
 Kỹ thuật τ5.1:
B1. Từ điều kiện đề bài, chọn một vectơ có giá vng góc với đường
thẳng làm vectơ pháp tuyến.
B2. Viết phương trình mặt phẳng khi biết hai yếu tố xác định là điểm mà
mặt phẳng đi qua và vectơ pháp tuyến.


15
 Công nghệ θ5.1: Định nghĩa vectơ pháp tuyến, phương trình tổng quát
của mặt phẳng.

 Lý thuyết Θ5.1: Hình học giải tích trong khơng gian 3 chiều.
Dưới đây, chúng tơi trình bày các KNV có cùng kỹ thuật giải nói trên và
các ví dụ minh họa.
Kiểu nhiệm vụ T5.1.1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm
và có một vectơ pháp tuyến.
Ví dụ 9 (bài 1, câu a, trang 80, HH12CB): Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm M(1; - 2; 4) và nhận 𝑛⃗ = (2; 3; 5) làm vectơ pháp tuyến.
Lời giải mong đợi (sách giáo viên, trang 71, HH12CB):
Gọi (α) là mặt phẳng đi qua điểm qua điểm M(1; - 2; 4) và nhận 𝑛⃗ =
(2; 3; 5) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình của (α) có dạng:
2(𝑥 − 1) + 3(𝑦 + 2) + 5(𝑧 − 4) = 0 hay 2𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 − 16 = 0
Ví dụ 10 (bài 3, trang 80, HH12CB): Lập phương trình của các mặt
phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).
Lời giải mong đợi (trang 71, sách giáo viên HH12CB):
Phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oxz), (Oyz) lần lượt là:
𝑧 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0.
Kiểu nhiệm vụ T5.1.2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm
và song song với một mặt phẳng cho trước.
Ví dụ 11 (trang 76, HH12CB): Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua
điểm M(1; - 2; 3) và song song với mặt phẳng (β): 2x – 3y + z + 5 = 0.
Lời giải do sách giáo khoa trình bày:
Vì mặt phẳng (α) song song mặt phẳng (β) nên (α) có vectơ pháp tuyến
𝑛⃗ = (1; −2; 3). Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (1; - 2; 3), vậy (α) có phương
trình:
2(𝑥 − 1) − 3(𝑦 + 2) + 1(𝑧 − 3) = 0 hay 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 11 = 0