Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 28

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1

(TTT2 sè 26)

l

KÕt qu¶ :

l Có bạn đã “giải quyết” bài tốn này chỉ
bằng thơ ! Có bạn chỉ kết luận : “diện tích
hình được tơ màu... nhỏ hơn diện tích hình
vng ban đầu” ! Thực ra, bằng phương
pháp ghép hình (có nhiều cách) ta tính
được ngay diện tích hỡnh c tụ mu bng

diện tích hình vuông ban đầu.

l đi đến kết quả trên, các bạn hãy lần lượt
chứng minh các kết quả sau (xem hình vẽ):

+ DM₁// P₂M₂// BP₁; AN₁// Q₂N₂// Q₁C.
+ R₁R₂OU₂, S₁S₂OR₂, T₁T₂OS₂, U₁U₂OT₂
là các hình bình hành có diện tích bằng nhau
(ở cách chứng minh này, không cần thiết
phải chứng minh đây là các hình vuông).

+ ABS₁, BCT₁, CDU₁, DAR₁ là các tam
giác b»ng nhau, cã diƯn tÝch b»ng 1,5 lÇn
diƯn tÝch cđa mỗi hình bình hành kể trên
(kẻ qua A đường thẳng song song với
DM₁, cắt N₂Q₂ tại I.

suy ra ).

lCú thể sử dụng cách chứng minh trên để
chứng minh kết quả tổng quát : Một hình
bình hành có các cạnh đều được chia thành
n phần bằng nhau (n 2) rồi từ đó chia hình
bình hành thành (n + 1)2phần tương tự như
bài tốn trên, ta được các hình bình hành
nhỏ có diện tích bằng diện tích hình
bình hành ban đầu.

l Các bạn được thưởng kì này : Nguyễn

Văn Quang, 9C, THCS Tự Lập, Mê Linh,
Vĩnh Phúc ; Nguyễn Vũ Thái Liên, 8B,
THCS Phong Châu, TX. Phú Thọ ; Phan
Văn Quân, Làng trẻ em SOS, Việt Trì, Phú
Thọ; Nguyễn Huy Thắng, 8A₁, THCS Bình
Minh, TP. Hải Dương, Hải Dương; Nguyễn
Văn Hùng, 8C₅, THCS Chu Văn An, Ngơ
Quyền, Hải Phịng.

Anh Compa


21

n 1



1 1 2 2

DAR U U OT

S 1,5.S

 

2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2

AIU R U U OT Q Q U U 1 U U OT

S S ; S S

2



2 1 1

AIQ DU Q

S S ;

1
10

Có một mảnh đất hình tứ
giác lồi. Chỉ được sử dụng một
cuộn dây (dài theo ý bạn), bạn
có thể xác định một mảnh đất

hình bình hành có diện tích
bằng một nửa diện tích mnh
t ban u c khụng ?

mimôza

(Đà Lạt, Lâm Đồng)

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

Trong TTT2 số 26, chúng ta đã được
“xem” bạn Phan Ngọc Hiếu “chế biến” một
bài toán đơn giản thành nhiều bài toán hóc
búa khác. Khơng chịu dừng lại ở việc giải
tốn, luôn cố gắng suy nghĩ, tự tìm tịi,
sáng tạo là một đức tính tốt của bạn Hiếu
mà chúng ta nên học tập và rốn luyn.

Tôi xin được nối tiếp bài viết của bạn
Hiếu với ba mở rộng của bài toán 3.

Trc ht ta nhc lại bài toán 3:
Xét các số thực a, b, c có tổng là q. Tìm
giá trị nhỏ nhất của T (a m)2(b n)2

(c p)2với m, n, p, q là các hằng số.
Kết quả : giá trị nhá nhÊt cđa T lµ

và lời giải của bài
toán 3 dựa vào bất đẳng thức (BĐT)

víi mäi x, y, z.
lSư dụng các BĐT mở rộng của BĐT trên
là

(vi mi x, y, z
dương và n nguyên dương), ta gii quyt
ngay c hai bi toỏn sau.

Bài toán 3.1 :XÐt c¸c sè thùc x₁, x₂, ...,
x_n cã tỉng là q. Tìm giá trị nhỏ nhất cđa

T (x₁ y₁)2(x₂y₂)2... (x_ny_n)2
víi y₁, y₂, ..., y_n, q là các hằng số.

Bi toỏn 3.2 : Tỡm giỏ tr nhỏ nhất của
T  (a  m)k (b  n)k (c  p)ktrong đó
a b c q ; m, n, p, q là các hằng số ;
k nguyên dương ; a m, b n, c p dương.
l ở đây tơi muốn trình bày với các bạn
cách giải trực tiếp, khá đơn giản cho hai bài
tốn này (vì không phải chứng minh các
BĐT phụ).

Lêi giải bài toán 3.1 :Đặt z₁x₁y₁;
z₂ x₂ y₂ ; ... ; z_n  x_n  y_n. Suy ra
T z₁2z₂2... z_n2vµ z₁z₂... z_n
y₁y₂... y_nq h lµ mét h»ng sè.

Cộng theo từng vế của n BĐT trên ta có :
Đẳng thức xảy ra  n BĐT trên trở

thành đẳng thức z₁z₂... z_n

1 h 1 2 h 2 n h n

x y ; x y ; ... ; x y

n n n

      

h
n

2 2

1 2 n ₂

2h h h

T .(z z ... z ) n. .

n _n n

     

2 2

2 2

2 2h 2 h₂ n 2h n h₂

z .z ; ... ; z .z .

n _n n _n

   

2
2

1 2h 1 h₂

z .z ; tương tự ta có

n _n

  

2 ₂ 2

1 h 1 1h h₂

Ta cã z 0 z 2z . 0

n _{n n}

 _  _{ } _ _ _

 

 

n

n n n

x y z x y z

3 3

  _{ }   


 

2

2 2 2 1 2 n

1 2 n (a a ... a )

a a ... a ;

n

  

   

2

2 2 2 (x y z)

x y z

3

2

(m n p q)
3

lê hữu điền khuê

(Lớp 10 Toán, THPT Quốc học Huế)

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

3

trong ú h y₁y₂... y_nq.

Vậy giá trị nhá nhÊt cđa T lµ hay
Lời giải bài toán 3.2 :Đặt a m x > 0 ;
b  n  y > 0 ; c  p  z > 0. Suy ra
T xkykzkvµ x y z m  n p 

q h, với h là một hằng số dương.

Lại đặt

ta cã :

t u v 3 vµ

Ta sẽ chứng minh tkkt (k 1) (*).
Thật vậy, (*) tương đương với :

tk__kt__k_₁_₀__tk__t__k_₁__kt__t_₀
t(tk 11) (k 1)(t 1) 0

(t 1)[tk 1tk 2... t (k 1)] 0

(t 1)[(tk 11) (tk 21) ...(t 1)] 0
là BĐT đúng nên BĐT (*) đúng.

Tương tự, ukku (k 1) ; vkkv (k 1).
Suy ra N k(t u v) 3(k 1) 3

Đẳng thức xảy ra t u v 1

x y z

Vậy giá trị nhỏ nhất của T lµ :

lVới cách giải trên, ta cịn đi đến c bi
toỏn tng quỏt.

Bài toán 3.3 : Tìm giá trị nhá nhÊt cña

T  a₁k _ _a

2k  ...  ank trong đó
a₁, a₂, ..., a_ndương ; a₁a₂... a_nh
là một hằng số ; k nguyên dng.

Lời giải : Theo cách giải của bài toán 3.2

ta t

suy ra b₁b₂... b_nn ;

Ta tìm được giá trị nhỏ nhất của
Nb₁kb₂k... b_nk là n.
Suy ra

Đẳng thức xảy ra b₁b₂... b_n1

a₁a₂... a_n

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là

Nu giải bài toán 3.3 theo hướng của
bạn Hiếu thì ta phải chứng minh BĐT
nk 1(a₁ka₂k... a_nk) (a₁a₂... a_n)k
và phép chứng minh BĐT này bằng quy
nạp khơng đơn giản chút nào.

Chóc các bạn thành công trên con
đường tự tìm tòi, sáng tạo của mình !

k
h
n .
n
 
 
 
h.
n
k
h
T n .

n
 
  _{ }
k
n .T
h
 
 
 

1 2 n

1 n.a 2 n.a n n.a

b ; b ; ... ; b

h h h

  

k

m n p q

3. .
3
  
 
 
 

m n p q

a m ;

3
m n p q

b n ;

3
m n p q

c p.
3
  

  


  

_  

 _    _


h m n p q.
3    3

k k

k

3 _{.T 3} _{T 3.} h

h 3

m n p q

T 3. .

3
   
_{ }    _{ }
   
  

 
  _ _
k

k k k 3

N t u v .T.

h

 

   _{  }

 

3x 3y 3z

t 0 ; u 0 ; v 0

h h h

     

2

1 2 n

(y y ... y _{q) .}
n

   

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

4

(TTT2 sè 26)
(TTT2 sè 26)

l

KÕt qu¶ :

l

Kì này :

Thực ra khơng tồn tại điểm M trong hình
thoi (M khác giao điểm hai đường chéo hình
thoi đó) sao cho .

Ta cã thể chứng minh : nếu có điểm M ở
trong hình thoi ABCD mµ

thì M phải là giao điểm hai đường chéo
hình thoi ú.

Thật vậy, theo cách giải bài toán trên
TTT2 số 26 ta thấy từ suy ra
hay tam giác MBD cân tại M

nờn M thuộc AC (đường trung trực của đoạn
BD). Lập luận tương tự ta có M thuộc BD.

Do đó M là giao điểm hai đường chéo AC,
BD của hình thoi ABCD.

Như vậy ta có thể sửa lại đề toán trên
dưới dạng : Cho hình thoi ABCD, hãy tìm
các điểm M ở trong hình thoi đó sao cho

.

Nhận xét :Có ít bạn tham gia bình luận
kì này. Tòa soạn xin trao thưởng cho các
bạn sau có đáp án tốt hơn cả : Nguyễn Đức
Đồn, 9A₂, THCS bán cơng Hai Bà Trưng,
TX. Phúc Yên, Vĩnh Phúc ; Phan Tuấn
Hiệp, 9A₁, THCS Hồng Bàng, Hải Phịng;

§inh Thị Thanh Ngọc, 9C, THCS Đào Sư
Tích, Trực Ninh, Nam Định ; Võ Khánh
Trung, mẹ là Minh, Kế toán Trạm Thú y
huyện Lệ Thủy, Quảng Bình.

Anh Kính Lóp

  o

AMB CMD 180 

 

MBD MDB

 

ABM ADM

  o

AMB CMD 180 

  o

AMB CMD 180 

Một nhà máy dự
định sản xuất loại bể
nước bằng tơn có
dạng hình hộp đứng,
đáy là hình vng,
khơng nắp, có thể
tích 4 m3.

Người ta đã tính
tốn để xác định kích
thước của bể sao cho lượng tôn phải sử
dụng là ít nhất, cụ thể như sau :

Gọi cạnh đáy của bể là a và chiều cao của
bể là b (a, b dương và đơn vị tính là mét).

Nh­ vËy thĨ tÝch cđa bĨ lµ V = a2b = 4 và

diện tích tôn phải sử dụng là S = a2+ 4ab.

áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số
dương ta cú S = a2+ 4ab

Đẳng thức xảy ra a2= 4ab a = 4b.

Khi đó

th× S nhá nhÊt b»ng

Phải chăng với kích thước (*) thì lượng
tơn sử dụng đã là ít nht ?

đậu thị hoàng oanh

(THCS Mai Hùng, Quỳnh Lưu, Nghệ An)

3 3 2

2 4a b 8 4 (m ).
3

3
2

a 16
a 4b

(*)

16

a b 4 b
4

 


 

 _

 _ 

  

 _

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

5

l

KÕt qu¶ :

v

Kì này :

(TTT2 số 26)
Bài 1 :

Theo chân con mà bàn cờ

Thấy từng con chữ bất ngờ hiện ra :

Chào mừng Olympic Toán Tuổi thơ
lần thứ nhất tại Nam Định

Ch cỏi cũn thiếu... đó là
H chọn “chỗ ở” trong ba ơ này :

- Dßng 4, cét 3
- Dßng 7, cét 4
- Dßng 8, cét 1

(dòng đếm từ trên xuống, cột đếm từ trái sang).

Bµi 2 :

Chỉ cần đọc ngược bình thường
Từ phải sang trái tỏ tường câu sau :

“Chóc cc thi thµnh c«ng”

Xin gửi phần thưởng tới : Nhóm
Đơrêmon, 7G, THCS Nguyễn Trãi, Nghi
Xuân ; Trần Thị Tú Tâmvà Ngô Thị Thùy
Dương, 6A, THCS bán công Xuân Diệu,
Can Lộc, Hà Tĩnh; Trần Ngọc Khánh, số
nhà 39, đường Hàn Mặc Tử, khối 12,
phường Trung Đô, TP. Vinh ; Hồ Thị Thu
Hương, 8A, THCS Hà Huy Tp, TP. Vinh ;

Nhóm Trăng non, 7C, THCS Đặng Thai
Mai, TP. Vinh, Nghệ An.

Nguyễn Đăng Quang
(TTT2 số 26)

Bạn hÃy điền số thích hợp vào dấu chấm hỏi cho thật hợp lí.

Bài 1

Bài 2

Theo tinh thn chỉ đạo của Thứ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo Đặng Huỳnh Mai,
Ban tổ chức quyết định đổi tên “OLYMPIC Toán Tuổi thơ” thành “Giao lưu Toán Tuổi thơ”.
Xin thông báo với bạn đọc và trân trọng cảm ơn sự quan tâm của Thứ trưởng.

Hội đồng biên tập Toán Tui th

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

6

ngnd. vũ hữu bình(Hà Nội)

TèM THEM CÁCH GIẢI

CHO HAI BÀI TỐN THÚ VỊ

C¸ch 1 : Đặt Vẽ hình
bình hành BECK ta có CK BE CF, suy

ra tam giác CFK cân tại C

Mặt khác suy ra

Ta lại cã suy ra

Víi > , tõ (1) vµ (2) suy ra

BK < BF (3).
Mặt khác EBC và FCB có chung cạnh
BC, BE CF, suy ra CE > BF

BK > BF. Điều này mâu thuẫn với (3).
Với < , tương tự cũng dẫn đến điều vơ lí.
Vậy   hay ABC là tam giác cân tại A.

Cách 2 :Cách này sử dụng đến một bổ
đề (đề nghị các bạn tự chứng minh).

Bổ đề 1 :Nếu một tứ giác nội tiếp có hai
cạnh đối bằng nhau thì hai cạnh đối kia
song song và tứ giác đó là hình thang cân.

Trở lại bài tốn 1. Dựng điểm N sao cho
NB AF, NE AC (N và A cùng phía đối với
BE). Ta có NBE  AFC (c.c.c) suy ra

ANBE lµ tø giác nội tiếp.
Gọi I là giao điểm của BE và CF (AI là
phân giác của Dựng NK là phân
giác của (K BE). Ta cã AI NK.

Cịng v× suy ra

     

AIK ANK (EAI AEI) (ANB BNK)     

 

BNK IAC 
 

BNE FAC


BNE

FAC) ;

 

BNE FAC 

 
EBC FCB

 
BFK BKF
  



o
o

3
BKF BKC CKF 90

2 2

BKF 90 (2).

2 2

 

    

 

 

 _   _ 

 

 o

BKC 180    2 ,
  



o
o

3
BFK BFC CFK 90

2 2

BFK 90 (1).

2 2

 

    

 

 

 _   _ 

 

 o

BFC 180    2 ,

o

o

180 ₉₀ _.

2     2 2

   

 

CFK CKF

  


B 2 ; C 2 .   



Hai bài toán thú vị này đã được giới thiệu trong bài viết ca
TS. Nguyn Minh H trờn TTT2.

Bài toán 1 :Nếu tam giác ABC có các đường phân giác BE,
CF bằng nhau thì ABC là tam giác cân.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

7

(do ANBE là tứ giác

nội tiếp). Vậy ANKI cũng là tứ giác nội tiếp.
Mặt khác AI NK, từ bổ đề 1suy ra AN // KI.
Suy ra ANBE là hình thang nội tiếp nên
cũng theo bổ đề 1thì ANBE là hình thang
cân, do đó AB  NE. Mặt khác NE AC
(theo cách dựng điểm N) nên AB AC hay
ABC là tam giác cân tại A.

Cách 3 : Trước hết ta phát biểu và
chứng minh bổ đề 2.

Bổ đề 2 :Nếu hai tam giác ABC và MPQ
có BC  PQ, các đường phân giác
AD MK thì hai tam giác đó bằng nhau.

Chứng minh : Đặt các tam giác ABC và
MPQ sao cho PQ trùng với BC, A và M nằm
về cùng một phía đối với BC và nằm về cùng
một phía đối với đường trung trực của BC.

Do nªn B, M, A, C cùng
thuộc một đường tròn (O).

Gi NL l đường kính vng góc với BC
của (O), trong đó N là trung điểm của
không chứa A và M. Các đường thẳng AD,
MK đều đi qua N.

Ta sÏ chøng minh M trùng A.

Giả sử M không trùng A. Không mất tính
tổng quát, giả sử A, M cïng thuéc
kh«ng chøa N, C và M thuộc , thế thì

nên NM < NA.
Ta lại có MK AD nên NK < ND, vô lÝ.
VËy M trïng A, suy ra ABC  MPQ.

Bổ đề 2 chính là một bài tốn thi học
sinh giỏi tồn quốc lớp cuối cấp 2 năm
1979. Với bổ đề 2, ta giải được bài toán sau
mạnh hơn bài toán 1:

“Cho tam giác ABC, đường phân giác
AD, I là điểm bất kì thuộc đoạn AD. BI cắt
AC tại E, CI cắt AB tại F. Cho biết BE CF,
chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Cỏch gii nh sau (bạn đọc tự vẽ hình):
Các tam giác ABE, ACF có BE  CF,
AI là đường phân giác của
và suy ra ABE  ACF (theo

bổ đề 2) AB AC.

Cách 4 : Đề nghị các bạn viết lời giải
hồn chỉnh của bài tốn 1 theo cách này
qua các gợi ý dưới đây.

+ Bổ đề 3 :Cho tam giác ABC, đường phân

giác BE. Gọi d là đường phân giác của góc
ngồi đỉnh B. Gọi M, N theo thứ tự là hình
chiếu của A, C trên d.

Chứng minh rằng : BE.MQ = 2S_ABC.
+ Gọi d₁, d₂theo thứ tự là các đường phân
giác của góc ngồi đỉnh B và góc ngồi
đỉnh C. Kẻ AM và CQ vng góc với d₁. Kẻ
AN và BP vng góc với d₂.

+ MN // BC.

+ MNPQ là tứ giác nội tiếp.
+ BE.MQ CF.NP (dùng bổ đề 3).
+ MQ NP.

+ (dùng bổ 1).

+ ABC ACB. _{(Kì sau đăng tiếp)}

NMQ MNP

CAF


BAE
 

BAE CAF,

 

s® NBM s® NBA



AB



BL



BC
 

BMC BAC
 

A M,

  o

AEI ANB 180

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

8

Giới thiệu

CUỘC THI TOÁN HẰNG NĂM

BẬC TRUNG HỌC CỦA NƯỚC MĨ

ThS. Nguyễn Văn Nho(NXBGD)
(Tip theo kỡ trc)

Trong số này, chúng tôi xin tiếp tục giới
thiệu với các bạn bốn bài toán khác
của cuộc thi American high school
mathematics examinationnăm 1999.

Bi 1 : Độ lớn của chu vi một nửa hình
trịn (tính bằng cm) bằng độ lớn của diện
tích nửa hình trịn đó (tính bằng cm2). Vậy
bán kính của hình trịn đó (tính bằng cm) là
(A)  (B) (C) 1 (D) (E)

Bµi 2 : Cho tø gi¸c ABCD nội tiếp
đường tròn (O) đường kính BD.

Bit rằng AB  BC  7,5 cm và
Tính độ dài đường kính BD.
(A) 11 cm (B) 12 cm (C) 14 cm
(D) 15 cm (E) 26 cm.

Bài 3 : Giả sử p và q là các số nguyên
tố và phương trình x2 px q  0 có các

nghiệm nguyên dương phân biệt. Xét các
câu I, II, III, IV sau :

I. HiÖu số của các nghiệm là số lẻ.
II. Có ít nhất một nghiệm là số nguyên tố.
III. p2q là số nguyên tè.

IV. p q là số nguyên.
(A) Chỉ có câu I đúng
(B) Chỉ có câu II đúng

(C) Chỉ có câu II và câu III đúng
(D) Chỉ có câu I, câu II và câu IV đúng

(E) Tất cả các câu trên đều đúng.
Bài 4 :Một đám cỏ hình trịn có đường
kính là 12 m bị cắt thành một lối đi thẳng
có chiều rộng là 3 m, để lát sỏi. Một cạnh
của lối đi này là đường kính của đám cỏ.
Diện tích phần còn lại của đám cỏ là :

(A) m2(B) m2
(C) m2(D) m2
(E) 28 2 3m2.

36  3
30 9 3

20 5 3
10 3 3

 

ABC 2ADC.

4 2.


1
2
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

9

Bài 1. Trả lời :(D)

Ta có :

Bài 2. Trả lời :(C)

Giả sử đường tròn có bán kính là 1.
Gọi diện tích hình vuông nội tiếp cả
đường tròn là S ; diện tích hình vuông nội
tiếp nửa đường tròn là T. Ta cần tính tỉ số

Hỡnh vuông nội tiếp cả đường trịn có
hai đường chéo vng góc với nhau, chính
là hai đường kính của đường trịn. Từ đó ta
tính ngay được cạnh của hình vng này
là và suy ra S 2.

Xét hình vuông ABCD nội tiếp nửa
đường tròn (O).

Ta có : OA OB 1 ;
OD OC

Suy ra
Vậy

Bài 3. Trả lời :(B)

áp dụng định lí Pytago ta có :

OM OB  ;

OP OC 

 P có tọa độ mặt khác Q có
tọa độ (1 ; 0) từ đó ta viết được phương
trình đường thẳng đi qua hai điểm P ; Q.

Bµi 4. Tr¶ lêi :(C) 1,2.

Gọi x, y, z lần lượt là số phần bể mà mỗi
vòi A, B, C chảy được trong 1 giờ, ta có :

Từ đó suy ra

Nh­ vậy nếu hai vòi A và B cùng chảy
thì sẽ làm đầy bể trong giờ hay 1,2 giờ.6

5

1 1 5

x y 1 2 .

1,5 2 6

     

1 1

x y z 1; x z ; y z .

1,5 2

      

(0 ; 3),

2 2

1 ( 2)  3.

2 2

1 1  2
y 3x 3.

T 2.
S 5

2

2 1 2 4

BC BC 1 T BC .

2 5

 

_ _    

 

1_DC 1_BC.
2  2
2

T .
S
2.

5

3 2 ( 3 2)( 3 2) _{1 .}

3 3( 3 2) 3 6

 _   

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

10

Bài 1 :(3,0 điểm)

Trong h trc tọa độ Oxy, cho hàm số y (m 2)x2 (*)
1) Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm :

a) A(1 ; 3) b) c)

2) Thay m 0. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (*) với đồ thị hàm
số y x 1.

Bài 2 :(3,0 điểm)

Cho h phng trỡnh : ;
gọi nghiệm của hệ phương trình là (x ; y).

1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y khơng phụ thuộc vào m ;
2) Tìm giá trị của m thỏa mãn 2x27y 1 ;

3) Tìm các giá trị của m để biểu thức nhận giá tr
nguyờn.

Bài 3 :(3,0 điểm)

Cho tam giác vuông ABC ( 90o). Từ B dựng đoạn thẳng BD

về phía ngoài tam giác ABC sao cho BC BD và ; gọi
I là trung điểm của CD ; AI cắt BC tại E.

1) Chøng minh  ;

2) Chøng minh ABE là tam giác cân ;
3) Chứng minh AB.CD BC.AE.
Bài 4 :(1,0 điểm)

Tính giá trị của biĨu thøc víi

2 x ₄1.

x  x 1

5 3

4 2

x 4x 3x 9
A

x 3x 11

  



 



DBI



CAI

 

ABC CBD



A

2x 3y
x y

(m 1)x y m
x (m 1)y 2

  



   


1

C( ; 5)

2

B( 2 ; 1)

(Năm học 2004 - 2005)

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

11

Bµi 1 :(3,0 ®iĨm)

Giải các phương trình :

1) |x2__2x__3|__|x2__3x__2|_27.

2) .

Bài 2 :(1,0 điểm)

Cho ba s thc dng a, b, c và ab > c ; a3b3c31.
Chứng minh : a b > c 1.

Bài 3 :(2,0 điểm)

Cho a, b, c, x, y là các số thực thỏa mãn các đẳng thức sau :
x y a ; x3y3b3; x5y5c5.

Tìm đẳng thức liên hệ giữa a, b và c không phụ thuộc vào x, y.
Bài 4 :(1,5 điểm)

Chứng minh rằng phương trình (n 1)x22x n(n 2)(n 3) 0
có nghiệm là số hữu tỉ với mọi số nguyên n.

Bµi 5 :(2,5 ®iĨm)

Cho đường trịn tâm O và dây AB (AB khơng qua tâm O). M là
điểm trên đường tròn sao cho tam giác ABM là tam giác nhọn, đường
phân giác của và cắt đường tròn tâm O lần lượt
tại P và Q. Gọi I là giao điểm của AP và BQ.

1) Chøng minh MI vu«ng gãc víi PQ.

2) Chứng minh tiếp tuyến chung của đường tròn tâm P tiếp xúc với
MB và đường tròn tâm Q tiếp xúc với MA luôn song song với một
đường thẳng cố định khi M thay đổi.



MBA



MAB

2

1 1 1

x(x 2) _{(x 1)}_ 20

(Thêi gian : 150 phót)

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

12

THI GIẢI TỐN QUA THƯ

l

KÕt qu¶ :

Bài 1(26) : Cho k là số tự nhiên khác 0.
Số tự nhiên A gồm 2k chữ số 1 và số tự
nhiên B gồm k chữ số 2. Chứng minh rằng
A B là một số chính phương.

Lêi gi¶i :

Cách 1 :Ta có
Đặt ta có :

C 10kC ;
B 2C. Suy ra :

A B C 10kC C(10k1)

C¸ch 2 :

Ta có :
Tương tự,
Suy ra :

Vậy A B là số chính phương.

NhËn xÐt : Đây là bài toán của lớp 6.
Các bạn lớp 6 có nhiều cách giải và trình
bày tốt nhất là : Nguyễn Hải Triều, 6A,
THCS Hà Huy Tập, CÈm H­ng, CÈm Xuyªn ;

Lê Thị Kiều Oanh, THCS Bán Công Xuân
Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh ; Lê Trung Hiếu,
6A, THCS Phúc Thọ, Nghi Lộc ; Trương Thị
Hồng Nhung, 6A, THCS Lý Nhật Quang,

Đô Lương, Nghệ An ; Phùng Thanh Lam,
6A, THCS Yên Lạc, Yên Lạc ; Lê Thị Thu
Thủy, 6B, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường,
Vĩnh Phúc; Lê Thị Thu Huyền, 6/3, THCS
Lê Quý Đôn, TP. Hải Dương, Hải Dương ;

Nguyễn Linh Thùy, 6A₁, THCS Lâm Thao,
Lâm Thao, Phú Thọ; Phạm Hoàng Vũ, 6C,
THCS Lý Thường Kiệt, Hà Trung, Thanh
Hóa; Vũ Thị Hải Nhung, 6A, THCS thị trấn
Đối, Kiến Thụy, Hải Phòng; Phạm Bá Đức,
6A₃, THCS Trần Đăng Ninh, TP. Nam Định,
Nam Định ; Nguyễn Thị Thu Trang, 6D,
THCS thị trấn Đông Hưng, Thái Bình ;

Hồng Thu Hường, 6A₃, THCS Chu Mạnh
Trinh, Văn Giang, Hưng Yên; Nguyễn Phú
Đức, 6/5, THCS Nguyễn Du, TP. Pleiku, Gia
Lai; Ngô Thị Thu, 6B, THCS Nguyễn Cao,

Quế Võ, Bắc Ninh; Ngô Trần Việt Hà, 6A₄,
THCS Chu Văn An, TP. Thái Nguyên, Thái
Nguyên ; Ngô Minh Tâm, lớp 6, THCS
Khánh Thiện, Chiêm Hóa, Tuyên Quang;

Văn Thu Thảo, 6D, THCS Yên Thịnh,
TP. Yên Bái, Yên Bái ; Nguyễn Thúc Vũ
Hoàng, 6M, THCS Nguyễn Huệ, TX. Đông
Hà, Quảng Trị.

nguyễn anh quân
Bài 2(26) : Tìm các số tự nhiên a và b
khác 0 sao cho :

Lời giải :Đặt

Ta có x > 0 nên x2y2xy 

Do đó phương trình (1) trở thành :

x y a.

2 2

2 2

(x y)(x y _{xy) x y xy}
a

  

   

3 3 3 3

2 2 2 2

x y _{xy x} _y x y _x _y _xy

a a

 _{   }  _{  }

2
2

3_x x _y _0.
4 2  
3₂_ _{b x, 2}_ 3 _ _{b y.}_

3 3

3

4 _{4 b} _{4 4 b b} _{4 4 b b (1)}

a       

2

2k k k

2

10 2.10 1 10 1 _{(333...3) .}

9 3

 

  

  _  _

  k ch÷ sè

2k k

10 1 2(10 1)
A B

9 9

  

k

2(10 1)
B 222...2 .

9 

_{}

k ch÷ sè

2k

999...9 10 1

A 111...1 ;

9 9 

  




2k ch÷ sè

2k ch÷ sè

2
2

C´ 999...9 C´ 111...1 9 (3C)

(333...3) . Do đó A B là số chính phương.

     

 

 


k ch÷ sè k ch÷ sè

k ch÷ sè

A 111...1 111...1000...0 111...1 _{   } 

2k ch÷ sè k ch÷ sè k ch÷ sè k ch÷ sè

C 111...1_{}

k ch÷ sè

B 222...2 ;_{}

k ch÷ sè

A 111...1 ; _{}

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

13

Nh­ vËy (1) (2).

Nếu các số nguyên dương a, b thỏa mãn

(2) thì

Vì b là số nguyên, ta suy ra a34 chia hÕt
cho 3a a34 chia hÕt cho a 4 chia hÕt
cho a a {1, 2, 4}.

lVới a 1 suy ra 4 b 1 b 5.
l Với a  2 hoặc a  4 ta suy ra ngay b
không là số nguyên, không thỏa mãn đề bài.

Với a 1, b 5 ta có (3) đúng, tức là :
x3y33.x.y.a a3.

Ta cã a3x3y33xy.a

(a x y)(a2x2y2ax ay xy)



và a x > 0. Suy ra a x y, tức là (2) đúng.
Do đó (a ; b) (1 ; 5) là cặp số nguyên
dương duy nhất thỏa mãn phương trình (1).
Nhận xét :Tất cả các bạn gửi lời giải tới
tòa soạn đều dẫn đến đáp số (a ; b) (1 ; 5).
Nhưng không một bạn nào chứng minh
(3)  (1). Có nghĩa là các bạn đã không
kiểm tra xem (a ; b)  (1 ; 5) có là nghiệm
của phương trình (1) hay khơng !

Ngun Minh §øc

Bµi 3(26) :Cho 1  a 2 vµ 1 b 2.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức :

Lời giải :Ta có

lTìm giá trị lín nhÊt cđa P :

Ta thấy P  2 a b  1. Do đó giá trị
lớn nhất của P l 2 khi a b 1.

lTìm giá trị nhỏ nhất của P :
Vì 1 a 2 và 1 b 2 nªn :

a2b2ab a b.

Do a2b2ab  (a b)2 ab > 0 nªn
hay P 1.

Ta thÊy :
P 1

Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi
(a, b) {(1 ; 2) ; (2 ; 1) ; (2 ; 2)}.

Nhận xét : 1) Nhiều bạn lí luận “tử nhỏ
nhất và mẫu lớn nhất để phân thức nhỏ
nhất”. Lưu ý : đó là điều kiện đủ không phải
là điều kiện cần.

2) Các bạn có lời giải tốt : Nguyễn Mạnh
Hưng, THCS Từ Sơn, Bắc Ninh ; Nguyễn
Hùng Linh, 6/4, THCS Lê Văn Thiêm,
TX. Hà Tĩnh, Hà Tĩnh; Nguyễn Huy Thắng,
8A₁, THCS Bình Minh, TP. Hải Dương, Hải
Dương ; Nguyễn Phương Đăng Toàn, 9D,
THCS Thạch Thất, Thạch Thất, Hà Tây ;

Nguyễn Thành Hải, 9A₇, THCS Ngô Sĩ Liên,
TX. Bắc Giang, Bắc Giang; Nguyễn Quốc
Đại, 9A₇, THCS Trần Đăng Ninh, TP. Nam
Định, Nam Định; Nguyễn Quang Huy, 9B,
THCS Lương Thế Vinh, TP. Tuy Hòa, Phú
Yên; Nguyễn Sơn Tùng, 9B, THCS Nguyễn
Quang Bích, Tam Nơng, Phú Thọ ; Nhóm
Tốn 7, THCS Hữu Bằng, Kiến Thụy, Hải
Phịng; Nguyễn Văn Mạnh, 8A, THCS Tân
Lợi, TP. Bn Ma Thuột, Đắk Lắk.

LTN
a 1
b 2
a 2
b 1
a b 2.

  

 _ _



_{ } 

 
  


(a 1)(a 2) 0
(b 1)(b 2) 0
(a 2)(b 2) 0

  


_   
   


2 a b2 1

a b ab

 _

 

2
2

a 3a 2

(a 1)(a 2) 0

(b 1)(b 2) 0 b 3b 2
(a 2)(b 2) 0 ab 4 2a 2b

  
  
 _
 _ _{  } _ _
 
 _ _{ } _{  } _
 _
2

a b a b 1 1

P 1 1 2.

ab a b
(a b) ab

 

      

 

2

2 2 2 2

(a b) a b _.

(a b)(a ab b ) a ab b

 
 
    
2
3 3
(a b)
P
a b

 

2
3 3
(a b)
P .
a b






2 2 2



1(a x y) (a x) (a y) (x y)

2       

3
3

3
3

4 3 4 b .a a (3)
a 4

4 b .

3a

   

 _ 

   _ _

 

3 3 3 3

( 2 b 2 b ) a

3₂ _b 3₂ _{b a (2)}

    

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

14

Bài 4(26) :Cho tam giác ABC vuông tại
A, đường cao AH. Gọi giao điểm của các
đường phân giác của các tam giác HAB,
HAC lần lượt là I, K. Đường thẳng IK cắt AB,
AC lần lượt tại D, E.

Chøng minh rằng :

Lời giải :(Theo bạn Phan Công Lộc, 7D,
THCS thị trấn Kì Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh)

Trờn cnh AB, AC lần lượt lấy D’, E’ sao
cho AD’ AE’ AH. Gọi I’, K’ tương ứng là
giao điểm của D’E’ với các tia phân giác
của . Khi đó AI’H  AI’D’
(c.g.c), suy ra (do AD’E’
vuông cân tại A). Mặt khác nên
HI’ là tia phân giác của góc , suy ra I I’.
Chứng minh tương tự ta có K K’, và do
đó D D’, E E’, suy ra :

DE D’E’  .AD  .AH. (1)
Gäi M lµ trung ®iĨm cđa BC th×
. (2)
Tõ (1) vµ (2) ta có , hay

(đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AH AM

hay ABC vuông cân tại A.

Nhn xột :õy l mt bi toỏn khỏ quen
thuộc, hầu hết các bạn đều giải theo cách
trên. Những bạn sau trình bày lời giải đúng
và gọn : Lê Thế Tài, 9B, THCS Từ Sơn, Bắc
Ninh; Phạm Văn Phương, 9C, THCS Thủy
Sơn, Thủy Nguyên, Hải Phòng; Phạm Tiến

Định, 9C, THCS Phan Bội Châu, Tứ Kỳ, Hải
Dương ; Trần Thị Phương Ly, 9A, THCS
Tiên Lữ, Tiên Lữ, Hưng Yên; Trần Thị Thu
Hiền, Trại giống cây trồng TW Đồng Văn,
Duy Tiên, Hà Nam; Nguyễn Văn Lương, 7A,
THCS Đông Thọ, TP. Thanh Hóa, Thanh
Hóa; Trần Thanh Quý; Nguyễn Hạnh Thúy,
7D, THCS thị trấn Kỳ Anh, Kỳ Anh, Hà Tĩnh.
nguyễn văn Mạnh
Bài 5(26) :Cho hình vng ABCD. Điểm
E nằm trong hình vng sao cho ABE là
tam giác đều. Gọi F là giao điểm của AE và
BD ; K là giao điểm của DE và FC. Chứng
minh rằng : KC KF.

Lêi giải :

Lấy điểm L trên DE sao cho CL // FE.
DƠ thÊy tam gi¸c AED cân tại A và

. Vậy

Mặt khác :

VËy (1).

Ta có (góc có cạnh tương
ứng song song)

(vì ABE đều) (2).
Từ (1) và (2), với chú ý rằng DC BA BE
ta có : DCL  BEF suy ra CL FE.

VËy CL song song vµ bằng FE, suy ra
CLFE là hình bình hµnh KC KF.

(Xem tiÕp trang 25)

 

LCD FEB

 

 

LCD EAB

 

LDC FBE

   o o o

FBE ABE ABD 60   45 15 .

 o o o

LDC 90 75 15 .

   

 o

ADE 75

 o

DAE 30

DE 2
BC 2

2

DE BC

2



1
AH AM BC

2

 

2
2



BHA

 o

BHA 90

  o

I’HA IDA 45

HAB và HAC

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

15

trịnh khôi

(Hiệu trưởng trường THPT chuyên Bắc Ninh, Bắc Ninh)

Trước hết, xin nhắc lại một số tính chất
của tam giác vng đã được giới thiệu trong
chương trình sách giáo khoa.

Cho tam giác ABC vuông ở C, có đường
cao CH (H thuộc AB). Đặt AB c, AC  b,
BC a, CH h, AH b’, BH a’.

Các tính chất đã biết :

1) Các tam giác CAB, HAC, HCB đơi một
đồng dạng với nhau.

2)b2b’c ; a2a’c.

3)a2b2c2(định lí Py-ta-go).
4)h2a’b’ ;

Dưới đây chúng tơi nêu thêm một số tính
chất khác của tam giác vng, các bạn hãy
coi như đó là những bài tập ôn tập để chuẩn
bị cho các kì thi tốt nghiệp THCS và thi vào
các trường THPT.

Trong tam giác vng ABC nói trên, gọi
I, I₁, I₂lần lượt là tâm các đường tròn nội
tiếp các tam giác ABC, AHC, BHC và r, r₁,
r₂lần lượt là bán kính các đường trịn đó ;

CI₁và CI₂lần lượt cắt AB tại E và F ; đường
thẳng I₁I₂cắt AC, BC lần lượt tại G, K ; gọi
D là hình chiếu vng góc của I trờn AB.

ab

h .

c

Ta có thêm các tính chất sau :
5) 6)r r₁r₂h ;
7)r₁2r₂2r2; 8)AC AF ; BC BE ;
9) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
CEF ;

10)I là trực tâm của tam giác CI₁I₂;
11)EI₂// AI ; FI₁// BI ;

12)EI₂, FI₁và CH đồng quy tại điểm J là
trực tõm ca tam giỏc CEF ;

13)Các tứ giác EI₁II₂, FI₂II₁là những hình
thang cân ;

14)IE IF IC I₁I₂;
15)Tam giác DI₁I₂cân tại D ;
16)DI₁AC ; DI₂BC ;

17)H và D thuộc đường tròn ®­êng kÝnh I₁I₂;
18)CG CK CH 

19)C¸c ®iĨm E, F, I, I₁, I₂thuộc đường tròn
tâm D bán kính r ;

20)S_ABCAD BD ;
21)S_CEF

22)Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác
ACI₁và BCI₂tiếp xúc với nhau tại C và CI
là tiếp tuyến chung ;

23)Các tứ giác AI₁I₂B, AEIC, BFIC nội tiếp
đường tròn ;

24)Hai tam giỏc CAB, HI₁I₂ng dng ;

Các bạn hÃy thư chøng minh c¸c tÝnh
chÊt trên nhé. Kì sau tạp chí sẽ tiếp tục
đăng gợi ý chứng minh các tính chất trên và
bài tập áp dụng.

abr ;
c

EF
2

2 KG ;
2
a b c

r ;

c

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

16

Sau khi phá xong một vụ án nghiêm
trọng tại Mỹ, thám tử Sê-Lốc-Cốc vui vẻ
trở về nước trên con tàu Ti-ta-mic. Đây là
chiếc tàu thủy nhỏ nhưng khá sang
trọng. Tàu chỉ có 6 người khách, vài thủy
thủ và một người phục vụ.

Một buổi chiều, không khí bỗng trở nên
ngột ngạt khác thường. Thuyền trưởng
Đu-bai dự đốn sẽ có giơng. Sau bữa tối, ai
nấy đều về phòng mình vì cảm thấy khó
chịu. Một lúc lâu sau, quả nhiên, một cơn
giông mạnh ập đến. Sóng to, gió lớn khiến
tàu ngả nghiêng, chao đảo. Tuy nhiên, bằng
tay nghề điêu luyện của mình, thuyền
trưởng vẫn lái tàu an tồn. Khi trời đã tạm
yên ả trở lại cũng là lúc người phục vụ đến
gặp thám tử Sê-Lốc-Cốc và báo tin :

- Thưa ngài, bà Mi-na vừa bị mất hộp

nữ trang quý giá ! Xin ngài h·y gióp
chóng t«i !

- Chúng ta đến ngay chỗ bà ấy !
Cửa phòng bà Mi-na đang mở. Thấy
bà đang khóc, thám tử nhẹ nhàng nói :

- Bà hÃy bình tĩnh kể lại mọi chuyện
cho tôi nghe, hi vọng tôi sẽ giúp được.

- Võng... Lỳc ú khoảng 9 giờ, tức là
cách đây khoảng 30 phút. Tôi nghe tiếng
gõ cửa liền đứng lên mở. Vừa mở cửa, tơi

đã bị kẻ đó chụp ngay thứ gì vào mũi...
Tơi khơng biết gì nữa... Tơi vừa tỉnh lại
lúc nãy và phát hiện chiếc hộp đựng đồ
nữ trang mới mua ở Mỹ đã biến mất. Tôi
hốt hoảng báo ngay cho người phục vụ...
- Bà cố nhớ thêm các chi tiết khác nữa
đi, điều đó sẽ giúp tơi dễ dàng tìm ra kẻ
gian hơn đấy.

- Thưa thám tử, tơi chỉ kịp thấy kẻ đó
bịt mặt kín thơi ạ. - Bà Mi-na nói thêm.

Thuyền trưởng Đu-bai nói xen vào :
- Lúc đó tơi đang lái tàu, qua hệ thống
máy móc, thiết bị tôi biết các thủy thủ
đang ở ngun vị trí. Họ khơng thể là thủ

phạm được.

- Cịn tơi - cơ phục vụ nói - lúc ấy đang
dọn dẹp phịng ăn và nhà bếp. Tàu
nghiêng ngả mạnh quá, đồ đạc đổ lung
tung, tôi dọn mãi mới xong.

Ta đi hỏi các vị hành khách xem sao !
-Thám tử đề nghị với thuyền trưởng Đu-bai.

- Được thôi. Ngoài ngài và bà Mi-na,
chỉ còn cô Lin-dơ, cô May, ông Bach và
ông Pac. Chúng ta đi nào !

Cô Lin-dơ cho biết :

- ăn tối xong tôi về phòng nghe nhạc.
Máy nghe nhạc của tôi đây này.

Cô May kĨ :

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

17

- Lúc đó tơi đang viết thư cho cô bạn gái thân.
Lá thư vẫn đang ở trờn bn y .

- Tôi có thể nhìn qua bức thư được không ? Rất
xin lỗi cô, nhưng trách nhiệm nghề nghiệp buộc
tôi phải làm như vậy.

Cô May đưa lá thư cho thám tử. Ông nhìn qua
rồi thốt lên :

- Chữ cơ đẹp q ! Nét chữ trịn trịa, cẩn thận,
viết thẳng hàng, đều tăm tắp...

- Ngài quá khen ! Hồi bé cha mẹ tôi nghiêm
khắc lắm nên tôi mới viết được như vậy đấy ạ...

Vị hành khách tiếp theo là ơng Bach. Ơng kể :
- Tơi định ngủ nhưng không ngủ được nên dậy
đọc sách. Tôi mang theo mấy cuốn truyện tranh
rất thú vị... Lúc nào rảnh rỗi, ngài thử c m
xem, vui nhn lm...

Cuối cùng là ông Pac :

- Lúc đó tơi đang nhâm nhi chén rượu... Do thời
tiết khó chịu nên tơi khơng muốn làm gì cả mà...
đành lấy rượu làm vui...

Sau khi hỏi chuyện tất cả hành khách, thám tử
cùng thuyền trưởng trở về phòng của thám tử.
Thuyền trưởng than thở :

- Khã qu¸ nhØ ! Ai cịng có vẻ như không phải
là kẻ khả nghi...

- Ngi đừng lo... Có một kẻ trong số hành
khách đã khai gian đấy. Tôi biết rõ hắn là ai rồi...

- Thật thế sao ? Ngài quả là tài giỏi ! Hắn là
ai vậy ?

Thám tử im lặng, không trả lời khiến thuyền
trưởng Đu-bai cứ suy nghĩ mãi. Các thám tử “Tuổi
Hồng” hãy trả lời cho thuyền trưởng đi !

Phần lớn các “Thám tử Tuổi
Hồng” đều nhanh chóng phát
hiện điểm vơ lí trong lời khai
của tiểu thư Pa-li-ni : Cửa nhà
tắm đóng chặt, nước nóng già
xả ầm ầm trong thời gian khá
lâu, thế mà lại có thể nhìn rõ
qua gương khuôn mặt của tên
trộm ?! Trên thực tế, trong
trường hợp này tấm gương sẽ bị
mờ do hơi nước bám vào... Và
tiểu thư Pa-li-ni sẽ khơng tài
nào nhìn rõ được khuôn mặt
béo phị với hàm răng thưa của
tên trộm. Cơ tiểu thư có lẽ do
quá tham lam nên khi bịa
chuyện đã quên mất điều đơn
giản đó.

Phần thưởng kì này được
trao cho năm bạn sau đây :

Trương Thùy Linh, 8E, THCS

Văn Lang, Việt Trì, Phú Thọ ;

Ngun §øc Tn, 7D, THCS
Lê Quý Đôn, TX. BØm S¬n,

Thanh Hóa ; Phan Tuấn
Thông, 6A, THCS Phan Huy
Chú, Thạch Hà, Hà Tĩnh ; Lê
Thị Lãm Thúy, 8/1, THCS
Nguyễn Tri Phương, TP. Huế,

Thõa Thiªn-H ; Ngun
Hång HiÕu, 7A, THCS Ngun
Tù T©n, Ch©u ỉ, Bình Sơn,

Quảng NgÃi.

Phan Hng

l

Kt qu :

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

LTS :Sau khi đăng bài “Một giờ học hiệu
quả” với năm cách so sánh hai phân số
(n N, n > 1),
nhiều bạn đã tiếp tục gửi cho tịa soạn
thêm nhiều cách giải khác.

Xin giíi thiệu bốn cách giải của các học
sinh do thầy Nguyễn Công Minh (THCS
Nam Hoa, Nam Trực, Nam Định)gửi về và
cách giải của bạn Nguyễn Tuấn Thành

(9A, THCS Vừ Th Sỏu, TP. Hi Dng).

Cách 6 (của bạn Đoàn Xuân Ba):

Vì n > 1 nên n 1 > 0 và n(nn 11) >
n(nn1)

Cách 7 (của bạn Đặng Thị Thúy An):

Tng t như cách 6, ta suy ra A < B.

C¸ch 8 (của bạn Phạm Thị Huệ): Ta có

Vì n > 1 nn> nn 1

Cách 9 (của bạn Nguyễn Đức Mạnh):

mà nn 1nn 12nnnn 1(n 1)2> 0
(do n > 1), suy ra nn 1nn 1> 2nn

n2n 1  nn 1 nn 1> n2n 1 2nn

A < B (do B > 0).

Cách 10 (của bạn Nguyễn Tuấn Thành):

Do n > 1 suy ra :

B < 1 1 B > 0 1 A > 1 B B > A.

n n n 1

n 1 n 1 n 1

1 A n (n 1) n 1_. n n _1;
1 B n 1 n (n 1) n 1



  

 _   _  _

 _ _ _

n 1 n n 1 n 1

n n n

n 1 n n n (n 1)

1 B 1 .

n 1 n 1 n 1

 _ _   _

    

  

n n 1 n n

n 1 n 1 n 1

n 1 n n n (n 1)

1 A 1 ;

n 1 n 1 n 1


   
    
  
A 1
B
 

n n 2n n

n 1 n 1 2n n 1 n 1

A n 1 n 1_. n 1 2n _,
B n  1 n  1 n 1 n  n 

   

 

    

1 1 _{B A.}
A B

   

n n 1

1 1 _...
n n 

  

n
n 1

n 1

1 n 1 n 1

tương tự, ₁ 1.

B n _{1 1}
n


 
  

 _
n
n
n

n (n 1) ₁ n 1 _{1 ;}
1

n 1 ₁

n

 

   

 _

n 1 n 1 n n

n n

1 n 1 n n n 1

A _{n 1} _{n 1}

 _  _{  }

 

 

n 1

n n

1 n 1 1 n 1

B .

n _{n 1} n _{n(n 1)}

 _ _

   

 

n

n 1 n 1

1 n 1 1 n 1

A ;

n _n  ₁ n _n(n ₁₎

   

 

n 1 n

n 1 n 1 _{A B.}

n(n  1) n(n 1)

 

   

 

n

n n

(n 1) (n 1) 1 n 1

B .

n

n(n 1) n(n 1)

   

  

 

n 1

n 1 n 1

(n 1) (n 1) 1 n 1

A ;

n

n(n 1) n(n 1)



 

   

  

 

n n 1

n 1 n

n 1 n 1

A vµ B

n 1 n 1



 

 

 

18

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

19

l Người thách đấu : Nguyễn Đức
Phương, 12A₁, khối phổ thơng chun
Tốn - Tin, Đại học Sư phạm Hà Nội.
l Bài toán thách đấu : Cho tam giác
ABC nhọn, đường cao AH. Điểm M thuộc
đoạn BC. Đường thẳng qua A vng góc

với AM theo thứ tự cắt các đường thẳng
qua M vng góc với AB và AC tại E và F.
Chứng minh rằng : AH, BF, CE đồng quy.
lXuất xứ :Sáng tác.

lThời hạn nhận thách đấu :Trước ngày
15 - 07 - 2005.

TRẬN ĐẤU THỨ HAI MƯƠI

Bài tốn này khơng khó. Rất nhiều võ sĩ
nhận lời thách đấu. Trừ một võ sĩ cho lời
giải sai, các lời giải còn lại đều đúng. Tuy
nhiên, lời giải gọn, trình bày sáng sủa thì
chỉ có một. Đó là lời giải của võ sĩ Nguyễn
Thị Hồng, 8C, THCS Lê Hữu Lập, Hậu
Lộc, Thanh Hóa. Xin giới thiệu với bạn
đọc lời giải ca vừ s Hng.

Trên AE lấy điểm N sao cho MN // BC.
Theo gi¶ thiÕt : EAC
cân tại E AE = EC (1).

Cũng theo giả thiết :

BAE cân tại B MAN cân tại M (vì
MN // BE) AM = NM (2).

VËy ta cã :

Suy ra : KL // BC (định lí Ta-lét đảo).
Nhận xét : Rất nhiều bạn đã sử dụng
định lí Mênêlat, điều này khơng cần thiết.
Nguyễn Minh Hà

LM NM (v× MN // EC)
LC EC

AM (theo (1), (2))
AE

KM (tính chất đường phân giác).
KE

 

AEB EAC ECA 2ECA EAB   

 

EAC ECA

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

20

“Góc với đường trịn” là chương hình học
phẳng cuối cùng của cấp THCS. Về mặt
giáo dục tư duy, tuy vẫn giữ yêu cầu dự
đoán, quy nạp nhưng chú trọng nhiều hơn
đến lập luận suy diễn lôgic. Phần lớn các
hoạt động học tập trong chương này là các
thao tác lôgic nhận biết khái niệm, chứng
minh định lí, xây dựng công thức, thành lập
mệnh đề đảo, giải bài tốn quỹ tích, khái
qt hóa, đặc biệt hóa, phân tích, tổng hợp,
rèn luyện tư duy thuận nghịch.

Hoạt động tư duy được thể hiện bằng
ngôn ngữ, kể cả ngôn ngữ thông thường
mang nội dung tốn học và các dạng ngơn
ngữ toán học đặc trưng như ngơn ngữ kí
hiệu, ngơn ngữ hình vẽ, ... Do đó giáo dục
tư duy lơgic phải đi đơi với luyện kĩ năng sử
dụng và chuyển đổi ngôn ngữ.

Chương “Góc với đường trịn” có nhiều
thuận lợi cần khai thác để việc dạy học đạt
các u cầu nói trên. Sau đây là một số ví d.

Ví dụ 1 :

a) Xuất phát từ bài tập 23 SGK :

Cho đường trịn (O) và điểm M cố định
khơng nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai
đường thẳng a và b. Đường thẳng a cắt (O)
tại A, B. Đường thẳng b cắt (O) tại C, D.
Chứng minh MA.MB = MC.MD.

Phân tích giả thiết “Điểm M khơng nằm
trên đường trịn” suy ra hai trường hợp phải
xét là : M nằm bên trong (O), M nằm bên
ngoài (O). Đây là hoạt động phủ định lơgic.
Có ba khả năng loại trừ lẫn nhau. Phủ định
một khả năng, còn lại hai khả năng.

Từ đề tốn (ngơn ngữ thơng thường), học
sinh vẽ hình (ngơn ngữ hình vẽ) và viết giả
thiết, kết luận (ngơn ngữ kí hiệu). Việc

chuyển đổi ngôn ngữ như trên giúp học sinh
hiểu sâu đề bài để thuận lợi trong giải toán.

b) Giải xong bài tập, yêu cầu học sinh
phát biểu kết quả thành định lí. Việc chuyển
bài tập thành định lí, và ngược lại, chuyển
định lí thành bài tập là những hoạt động
ngôn ngữ thường xảy ra. Cần khéo gợi ý để
học sinh biến đổi đề bài tập thành một
mệnh đề tổng quát dạng “Nếu A thì B”.
Mong muốn học sinh thành lập được mệnh
đề sau :

“Nếu qua điểm M khơng nằm trên đường
trịn (O) kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O)

ĐƯỜNG DÂY NÓNG TỐN 9 ! ĐƯỜNG DÂY NĨNG TỐN 9 !

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

21

tại A, B và C, D thì MA. MB = MC.MD”.

Cũng nên hướng dẫn học sinh diễn đạt
đề bài tập một cách khác, như sau :

“Cho đường tròn (O) và điểm M cố định
khơng nằm trên đường trịn đó. Qua M kẻ

đường thẳng cắt đường tròn tại A và B.
Chứng minh tích MA.MB khơng phụ thuộc
vị trí đường thẳng”.

Nghệ thuật dạy học tốn ở trường THCS
được coi là trị chơi chuyển đổi ngôn ngữ,
làm rõ mối quan hệ giữa nội dung (toán
học) và hình thức (ngơn ngữ tốn học).
Trong ví dụ này, các cách diễn đạt có mức
độ khái quát hóa khác nhau.

c) Học sinh lại được rèn luyện đi theo con
đường đặc biệt hóa, từ trường hợp chung
đến trường hợp riêng khi chuyển từ bài tập
23 SGK sang bài tập 34 SGK dưới đây :

“Nếu qua điểm M nằm ngồi đường trịn,
kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB với
đường trịn đó thì MT2= MA.MB”.

Có được trường hợp riêng này khi điểm M
nằm ngồi đường trịn và một cát tuyến trở
thành tiếp tuyến.

d) Sử dụng kết quả của bài tập 34 SGK,
học sinh được vận dụng kiến thức vào thực
tế (từ tư duy trừu tượng trở về thực tiễn, từ lí
thuyết đến thực hành) với bài tập 35 SGK.

“Trên bờ biển có một ngọn hải đăng cao

40m. Với khoảng cách bao nhiêu km thì
người quan sát trên tàu bắt đầu trơng thấy
ngọn đèn này, biết rằng mắt người quan sát
ở độ cao 10m so với mực nước biển và bán
kính trái đất gần bằng 6400 km”.

VÝ dơ 2 :

Theo chương trình mới, SGK có giới thiệu
định lí đảo về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
cung (bài tập 30 SGK). Đây là dịp tốt để học
sinh học cách thành lập mệnh đề đảo đúng.

Trước hết, ta hãy nhắc lại định lí thuận :
“Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và
dây cung bằng nửa số đo của cung bị
chắn”. Định lí này được viết dưới dạng
“nếu Athì B ” như sau :

“Nếu một góc là góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung (A) thì số o gúc ú bng na

số đo của cung bị chắn (B)”.

Mệnh đề đảo dạng “nếu Bthì A ” sau đây
là sai.

“Nếu một góc có số đo bằng nửa số đo
của cung bị chắn (B) thì góc đó là góc tạo
bởi tia tiếp tuyến và dây cung (A)”. Vì góc

nội tiếp cũng thỏa mãn mệnh đề này.

Định lí đảo trong SGK được viết như sau :
“Nếu có đỉnh A nằm trên đường trịn,
một cạnh chứa dây cung AB, có số đo bằng
nửa số đo của cung AB căng dây đó và
cung này nằm bên trong góc thì cạnh Ax là
một tia tiếp tuyến của đường trịn”.

Lựa chọn cách phát biểu định lí theo kiểu
mơ tả, có hình vẽ kèm theo, như SGK đã
làm, nhằm giúp học sinh dễ hình dung và
tránh mọi sự hiểu nhầm có thể xảy ra.

Tuy nhiên có thể phát biểu gọn hơn bằng
cách thay cụm từ “cung AB căng dây đó và
cung này nằm bên trong góc” bằng cụm từ
“cung bị chắn AB căng dây đó” vì SGK đã
định nghĩa “cung nằm bên trong góc là
cung bị chắn”. Khi đó ta có định lí :

“Nếu có đỉnh A nằm trên đường tròn,
một cạnh chứa dây cung AB (mệnh đề P), có
số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn AB
căng dây đó (mệnh đề Q) thì cạnh Ax là mt
tia tip tuyn ca ng trũn (mnh R).

Định lí trên có cấu trúc :

P Q R hoặc P (Q R).

Cũng có thể phát biểu định lí đảo trên
dưới dạng bài tốn sau :

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn
(O). VÏ tia Ax sao cho tia BC n»m gi÷a hai
tia Bx vµ BA vµ . Chøng minh
r»ng Bx lµ tiếp tuyến của (O).

(Kì sau đăng tiếp)

CBx BAC

BAx

BAx

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

22

giải toán trên máy tính điện tử casio năm 2005

KT QU Kè TH T

phiu dỳ thi

Cuộc thi giải toán trên máy tính CASIO

Họ và tên : ...
Địa chỉ : ...
...

ẵậ thi kệ thử sŸu

(Bài giải gửi trước ngày 16-07-2005)

đơn vị tài trợ : công ty cổ phần xuất nhập khu bỡnh tõy

Bài 1.Tìm phần dư của 234567890 khi
chia cho 4567 :

234567890 4567 (53161,48237)
4567 53161 4567 (2203).

Tìm phần dư của 22031234 chia cho 4567 :











Bµi 1. TÝnh chÝnh xác giá trị của

A 14142135622.

Bài 2.Tìm chữ số thập phân thứ 18 sau
dấu phẩy của .

Lê Đức Lợi

(91, THCS Hồng Bàng, Q.5, TP. Hå ChÝ Minh)

Bµi 3.

Cho d·y sè a₁3, ... , .
3.1. LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh a_n_₁.
3.2. TÝnh a_nvíi n 2, 3, 4, ... , 10.
Ph¹m ThÕ Anh(9A, THCS Ngô Đồng,

Giao Thủy, Nam Định)

Bi 4. S dng mỏy tớnh bỏ túi để tính
kết quả của các tích ab trong bng sau :

Nguyễn Đình Thế

(THCS Ninh Xá, TX. Bắc Ninh, Bắc Ninh)

Bài 5.Tìm 12% của biết

Tạ Minh Hiếu

(THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc)

Bài 6.Tính giá trị phân số
.

6.1. Khơng biến đổi biểu thức, khơng sử
dụng phím .

6.2. Khơng biến đổi biểu thức, khơng sử
dụng phím và phím .

6.3. Khơng sử dụng các phím , , .
6.4. Không biến đổi biểu thức, không sử
dụng các phím , , , .

Lương Văn Bá

(THCS Nghĩa Lương, Tư Nghĩa, Quảng Ngãi)


1

x

)
(



)
(

1

x




1 1 _: 1 1
4 5 4 5

 _   _ 

   

   

2 2 8

2

16 8

a 10101 111 3 3670 ,
b (3 2AE : 502 ) : 324.

   

 

3_a b
4 3

3

n n

n 1 ₃

n

a a
a

1 a

  



</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

23

22031234 4567 (4824,...)

4567 4824 4567 (26).

VËy phÇn d­ cđa 2345678901234 khi
chia cho 4567 là 26.

Bài 2.Vì 376 6 62 4 nªn ta tÝnh
20042841(mod1975) ; 200448412231

2004122313416 ; 2004484164536
200460536 416 1776 (mod1975)
2004621776 841 516 (mod1975)
200462 351631171 (mod1975)
200462 611712591 (mod1975)
200462 6 4591 231 246 (mod1975).

VËy 2004376chia cho 1975 d­ 246.
Lêi b×nh :Calculatorcủa máy tính cá nhân
(có phím ) cho ngay kết quả :

Vào

và khai báo :

2004 376 1975 (246).
Bài 3. Bản đồ tỉ lệ 1/50000 tức là 1 cm
ứng với 50000 cm 500 m 0,5 km. Như vậy,
3,5 cm trên bản đồ ứng với 3,5 0,5 1,75 km
trờn thc t.

Bài 4.Đặt Q(x) P(x) (4x23).
Khi ấy Q(1) Q(2) Q(3) Q(4) 0.
Suy ra Q(x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4).
VËy P(x)  (x 1)(x  2)(x  3)(x 4)

(4x23).

Khai báo P(x) trên Casio FX 570MS :
1

2 3

4 4 3.

Tính P(5) : Bấm Máy hỏi X ?
Bấm 5 Kết quả : P(5) 121. Tương tự :
P(6) 261 ; P(7) 553 ; P(8) 1093.

Bµi 5.TÝnh : 2 2 2 2 2 2
2 2 2 (27) ; 2 2 2 (8) ;
2222 222 2 2 2 2 (1990).

Bài 6.Gọi mức tiêu thụ dầu hàng năm là A
đơn vị. Khi ấy lượng dầu là 50A. Gọi x_nlà lượng
dầu sử dụng vào năm thứ n, khi ấy x₁A.

Với tỉ lệ tăng 5% / năm thì x_n_₁1,05x_n.
Tổng lượng dầu sử dụng sau N năm là
x₁x₂... x_NA 1,05A ... 1,05N1A

 .

Để số dầu tiêu thụ hết thì
hay 1,05N50 0,05 1 3,5.

Bằng máy tính, dễ dàng tìm được :
1,05253,38 và 1,05263,55.
Vậy lượng dầu sẽ cạn kiệt sau khoảng 25
năm. Khoảng thời gian này ngắn gấp đôi

thời gian sử dụng với mức tiêu thụ là hằng
số hàng năm. Tuy nhiên, mức tăng trưởng
5% / năm trong sử dụng nguyên liệu là
hoàn toàn phù hợp với thực tế.

Nhận xét :1) Số lượng bài tham dự cuộc
thi khá lớn. Đặc biệt, lớp 8A₈, THCS Kế
Sách, huyện Kế Sách, Sóc Trăng đã gửi 33
bài dự thi. Nhiều bài giải hay hơn đáp án, do
khn khổ có hạn, bài gii ch trỡnh by mt
cỏch gii.

2) Danh sách được nhận giải kì này : Tập
thể lớp 8A₈, THCS Kế Sách, huyện Kế Sách,
Sóc Trăng; Nguyễn Thành Hải, 9A₇, THCS
Ngô Sĩ Liên, TX Bắc Giang, Bắc Giang ;

Nguyễn Thị Lan Hương, 9D, THCS Trung
Sơn, Gio Linh, Quảng Trị; Trần Thanh Loan,
8A, THCS Nguyễn Tri Phương, TP. Huế,
Thừa Thiên - Huế; Nguyễn Thị Hằng, THCS
An Châu, Đơng Hưng, Thái Bình; Lê Hà An,
8B, THCS Đặng Thai Mai, TP. Vinh, Nghệ
An ; Đào Thanh Tùng, 8A, THCS Lê Văn
Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh ; Trương Ngọc
Sơn, 10 Toán, THPT Nguyễn Trãi, Hải
Dương ; Nguyễn Công Dũng, 10C₃, THPT
Hùng Vương, Phú Thọ; Trần Văn Tuấn, 8A,
THCS Yên Lạc, huyện Yên Lạc, Vĩnh Phúc.

N

1,05 1A 50A
0,05 
N
1,05 1A
0,05




















CALC

2

x
X
ALPHA



)

X
ALPHA
(
)

X
ALPHA
(
)

X
ALPHA
(
)

X
ALPHA
(

Mod

x ^ y

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

24

Trên TTT2 số 10 và số 11, tác giả Nguyễn
Nho Vânđã từng chứng minh cho “vẻ đẹp” của
những con số “trong lâu đài Tốn học”. Tơi
muốn nhấn mạnh thêm rằng trong các số tự
nhiên còn ẩn tàng rất nhiều quy luật bất ngờ.
Kì này xin giới thiệu với các bạn một vài con số
đặc biệt với những tính chất thú vị của nó.

1. Sè 6174

Số 6174 có vẻ rất bình thường như mọi
số có bốn chữ số khác. Tuy nhiên nếu
“tị mị” một chút ta sẽ thấy nó cũng khá lí thú.

Trước tiên, viết số lớn nhất và số nhỏ
nhất có bốn chữ số được tạo bởi các chữ số
trong số 6174 rồi trừ cho nhau, kết quả
chính là số 6174 : 7641 1467 6174 ;

Các số có bốn chữ số khác đều khơng có
tính chất này, nhưng nếu lặp đi lặp lại thao
tác trên với các số đó thì kết quả cuối cùng
luôn là số 6174 (trừ các số có bốn chữ số
đều giống nhau), ví dụ :

Với số 1992 ta có : 9921 1299 8622 ;
8622 2268 6354 ; 6543 3456 3087 ;
8730  0378 8352 ; 8532 2358 6174
(qua 5 lần lặp, ta dừng lại ở kết quả 6174).
Với số 1938 ta có : 9831 1389 8442 ;

8442 2448 5994 ; 9954 4599 5355 ;
5553 3555 1998 ; 9981 1899 8082 ;
8820  0288 8532 ; 8532 2358 6174
(qua 7 lần lặp, ta dừng lại ở kết quả 6174).
Ta có thể chứng minh được rằng : Nếu lấy
hiệu của số lớn nhất và số nhỏ nhất được
lập ra từ bốn chữ số của một số có bốn chữ
số khơng đồng thời giống nhau, lặp lại thao
tác đó với hiệu tìm được thì sau khơng q 7
lần ta đều đi đến kết quả là số 6174.

Bài tập : Hãy xác định các số khác có
tính chất tương tự.

2. Sè 2538

Các bạn có thể kiểm tra tính chất sau
của những số có bốn chữ số khơng đồng
thời giống nhau :

Gọi bốn chữ số đó được viết theo thứ tự
tăng dần là a, b, c, d, ta xác định hiệu
Lặp đi lặp lại thao tác trên với
hiệu tìm được, bao giờ ta cũng đi đến số
2538. Kết quả này là không đổi khi ta tiếp
tục lặp lại thao tác trên.

Hãy xác định số lần lặp tối đa thao tác
trên để đi đến kết quả là số 2538.

3. Sè 37

Sè 37 cã rÊt nhiỊu tÝnh chÊt thó vÞ :

Tính chất 1 :Nhân 37 lần lượt với 3, 6, 9, 12,
15, 18, 21, 24, 27 ta đều được kết quả là số có
ba chữ số giống nhau (111, 222, ..., 999) ;

TÝnh chÊt 2 :(32_₇2₎_₃_₇₎__{37 ;}

TÝnh chÊt 3 :(3 7) 37 3373;

Tính chất 4 : Các số có 3n chữ số 9
(n N*) đều chia hết cho 37 (999 : 37 27 ;
999999 : 37  27027 ; 999999999 : 37 

27027027 ; ...) ;

TÝnh chất 5 : là số thập phân vô hạn
tuần hoàn với chu kì là (027) ;

Tớnh cht 6 :(Tiờu chuẩn chia hết cho 37)
Một số có 3n chữ số chia hết cho 37 khi và chỉ
khi tổng của n số có 3 chữ số là những chữ số
liên tiếp của số đã cho chia hết cho 37.

VÝ dô : Sè 123876 chia hÕt cho 37 v×
123 876 999 chia hÕt cho 37 ;

Số 562212959 không chia hết cho 37 vì

562 212 959 1733 không chia hết cho
37. Các bạn có thể kiểm tra trực tiếp các kết
quả trên.

1
37
badc cdab.

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

25

Thi giải tốn qua thư

Các bạn được thưởng kì này

Phan Công Lộc, 7D, THCS thị trấn Kì
Anh, Kì Anh ; Nguyễn Hùng Linh, 6/4,
THCS Lê Văn Thiêm, TX. Hà Tĩnh ; Lê
Thành Luân, 7C, THCS Tùng ảnh, Đức
Thọ, Hà Tĩnh; Lê Trung Hiếu, 6A, THCS
Phúc Thọ, Nghi Lộc, Nghệ An ; Nguyễn
Huy Thắng, 8A₁, THCS Bình Minh, TP. Hải
Dương, Hải Dương ; Nguyễn Sơn Tùng,
9B, THCS Nguyễn Quang Bích, Tam
Nơng, Phú Thọ; Nguyễn Văn Lương, 7A,
THCS Đơng Thọ, TP. Thanh Hóa, Thanh
Hóa; Phạm Văn Phương, 9C, THCS Thủy
Sơn, Thủy Nguyên ; Nguyễn Trọng Phú,
8A₂, THCS Võ Thị Sáu, Lê Chân, Hải
Phòng ; Phạm Bá Đức, 6A₃, THCS Trần
Đăng Ninh, TP. Nam nh, Nam nh ;

Đoàn Thùy Linh, 8A₃, THCS Chu Mạnh
Trinh, Văn Giang, Hưng Yên; Lê Thế Tài,
9B, THCS Từ Sơn, Bắc Ninh ; Nguyễn
Thành Hải, 9A₇, THCS Ngô Sĩ Liên,
TX. Bắc Giang, Bắc Giang.

(Tiếp theo trang 14)

Nhận xét :1) Bài tốn này khơng khó, rất
nhiều bạn tham gia giải và giải bằng nhiều
cách. Tuy nhiên nhiều bạn giải quá dài và
sử dụng các kiến thức cao hơn các kiến thức
đã sử dụng trong lời giải trên : tính tốn
nhiều ; dùng các kiến thức về tam giác đồng
dạng ; dùng các kiến thức về đường tròn.

2) Các bạn sau đây có lời giải tốt : Đoàn
Thùy Linh, 8A₃, THCS Chu M¹nh Trinh,
Văn Giang, Hưng Yên ; Lê Thành Luân,
7C, THCS Tùng ảnh, Đức Thọ ; Trần Văn
Thiện, 8B, THCS bán công Xuân Diệu, Can
Lộc, Hà TÜnh ; Ngun Träng Phó, 8A₂,
THCS Vâ Thị Sáu, Lê Chân, Hải Phòng ;

H Khng Duy, 8B, THCS thị trấn Bố Hạ,
n Thế, Bắc Giang.

ngun minh hµ

TÝnh chÊt 7 : NÕu sè chia hÕt cho
37 th× c¸c sè cịng chia hÕt cho
37 (c¸c sè này tạo bởi số khi ta hoán
vị vòng quanh các chữ số của nó).

Vớ d : Cỏc s 851, 518, 185 đều chia
hết cho 37.

4. Sè 41

Tính chất 1 : Tương tự như tính chất 7ở
trên, nếu số chia hết cho 41 thì tất
cả các số có năm chữ số tạo bởi số
bằng cách hốn vị vịng quanh các chữ số
của số đó đều chia hết cho 41 ;

Ví dụ : Các số 15498, 54981, 49815,
98154, 81549 đều chia hết cho 41 ;

Tính chất 2 : Các số có 5n chữ số 9
(99999 ; 9999999999 ; ...) đều chia hết cho 41.

TÝnh chất 3 : là số thập phân vô hạn
tuần hoàn với chu kì là (02439).

5. S i xng

S được gọi là số
đối xứng nếu các chữ số của nó thỏa mãn
điều kiện : a₁a_n; a₂a_n_₁; a₃a_n_₂; ...

Bây giờ với một số bất kì, bạn hãy cộng
số đó với số đảo ngược của nó (xác định
bởi các chữ số của số đã cho nhưng viết
theo thứ tự ngược lại) để được một số mới
rồi lại tiếp tục thực hiện như thế với số mới
này thì sau một số hữu hạn bước ta sẽ
được kết quả là một số đối xứng.

Ví dụ : Xét ba trường hợp :
a) 2001 1002 3003.

b) 75 57 132 ; 132 231 363.
c) 165 561 726 ; 726 627 1353 ;
1353 3531 4884.

Trong các trường hợp trên, ta lần lượt
cần 1, 2, 3 bước lặp để đi đến các kết quả
3003, 363, 4884, đều là các số đối xứng.

Nếu các bạn thực hiện với số 89 thì sau
24 bước lặp ta sẽ c kt qu l s i
xng 8813200023188.

Các bạn có thể chứng minh được các
tính chất trên không ? Hẹn gặp lại các bạn
trong một dịp khác.

1 2 3 n 2 n 1 n

a a a ... a a a 

1
41

abcde
abcde

abc
bca ; cab

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

26

Solution E2 : Since A’, B’ are the reflections of A and B across
the centroid G, we have : G is the common mid-point of AA’ and BB’.
It follows that ABA’B’ is a parallelogram. Therefore, AB // A’B’.

Similarly, we also have BC // B’C’, CA // C’A’.

Let I and J be the intersections of AA’ and B’C’ with BC
respectively. It easily follows from GCJ  GC’I since BC // B’C’, GC GC’, CGJ  C’GI
that GIC’  GJC.

Now we have IG GJ  AG, leading to AI  AJ.
It is easy to verify that AQP ABC with
the similarity ratio .

We deduce that S(AQP)  S(ABC) where
S(.) denotes the area of the polygon.

Using the same argument, we also obtain

S(BRS)  S(ABC), S(CMN)  S(ABC).

Thus, we have S(MNPQRS) S(ABC) 3. .S(ABC)  S(ABC)  2.2004 1336.
3

2
3
1

9
1

9
1

9

1
9
AI 1
AJ 3

1
3
1

2

Problem E4 :Prove that if a, b, c > 0 and a b c 1 then
(1 a)(1 b)(1 c) > 1536(abc)2_.

Proposed by Ho Cong Dung, Binh Thuan province.

Chú thích từ vựng và thuật ngữ :
lsimilarly :tương tự (trạng từ)

lfollow :kéo theo, dẫn tới (động từ)
largument :lập luận, lí lẽ (danh từ)
lcommon :chung (tính từ)

lrespectively :tương ứng (trạng từ)
lparallelogram :hình bình hành (danh từ)
lverify :kiểm tra (động từ)

lratio :tØ sè (danh tõ)

Nhận xét :Hầu hết các bạn đều tìm được kết quả đúng và rất cố gắng trong việc trình
bày bài làm của mình. Tuy nhiên trong cách diễn đạt tiếng Anh thì có nhiều điều chưa ổn.
Chẳng hạn, khơng thể dùng (góc) so le theo nghĩa “khơng bằng nhau” như trong đôi đũa
so le (unequal), hay dùng đồng vị theo nghĩa các nguyên tố đồng vị (isotopic) để diễn tả
góc đồng vị,... Nguyên nhân chắc là do các bạn tra loại từ điển Việt-Anh khơng có đầy đủ
nghĩa của các từ này (cặp góc so le trong - alternate interior angles ; cặp góc so le ngồi
- alternate exterior angles ; cặp góc đồng vị - corresponding angles). Các bạn có thể học
cách diễn đạt trong các sách toán tiếng Anh và phần nào trong chuyên mục này.

Rất tiếc một số bạn không ghi địa chỉ trên tờ bài làm. Lời giải của các bạn sau đây tương
đối tốt : Trịnh Văn Vương, 10T, THPT Lam Sơn, TP. Thanh Hóa, Thanh Hóa; Trần Thị Thu
Trà, 8/2, THCS Lê Văn Thiêm, TX. Hà Tĩnh, Hà Tĩnh; Nguyễn Thị Hạnh và Nguyễn Thị
Hồng Hạnh, 8A, THCS Nguyễn Trực, thị trấn Kim Bài, Thanh Oai, Hà Tây.

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

27

L¸y lầm lẫn lắm

sửa không khó
nhưng vÉn cã b¹n
sưa sai do không
hiểu nghĩa của từ.
Theo Từ điển từ l¸y,
NXBGD, 2004, LÐn
lót : giÊu giÕm,
vơng trém, kh«ng
c«ng khai, cã ý gian dèi. Do vËy tõ lÐn lót

dùng trong “Tên trộm lén lút lọt vào cửa
sau” là đúng. ấy vậy mà bạn PMA ở Hải
Dương lại viết :” Tên trộm lơ láolẻn vào cửa
sau”. Lơ láo : ngỡ ngàng, cảm thấy như bị
lạc vào nơi quá xa lạ, chưa biết phải xử sự
ra sao. Do vậy, lơ láo không thể diễn tả
hành động của tên trm. Lỏy lm ln lm

lập lại là :

Mưa to lai lángmặt hồ

ng i lt lộoquanh co khú tỡm
Bc tng loang llem nhem
Sỏo diu l lnghin trờn bu tri

Đêm rằm lấp lánhtrăng soi
Kẻ cắp len lỏiở nơi hội hè

Trăng lên lấp lãngän tre

Lập lịe đom đóm đêm hè tìm nhau
Hàng hóa lộng lẫysắc màu

Ngọn đèn leo létđêm thâu lặng tờ
Bụi đời lầm lũibơ vơ

Bọn trẻ lơ láođón chờ người thân

Long lanhsương sớm trong ngần
Trời đêm lồng lộngmn vàn vì sao

GÊc chÝn lủng lẳngtrên cao
Tên trộm lén lútlọt vào cửa sau.

Nm bn được trao giải kì này là : Trịnh
Thị Trang, 8A, THCS Lý Thường Kiệt, Hà
Trung, Thanh Hóa ; Võ Thị Mỹ Hòa, 7G,
THCS Trần Hưng Đạo, TX. Quảng Ngãi,
Quảng Ngãi; Hà Hoàng Anh, 5A, TH Đồng
Mỹ, TP. Đồng Hới, Quảng Bình ; Nguyễn
Mạnh Linh, 6A, THCS Nghi Lâm, Nghi Lộc,
Nghệ An; Đặng Tuấn Tiệp, 9B, THCS n
Phong, Bắc Ninh.

Phó B×nh

l

Kì này :

l

KÕt qu¶ :

(TTT2 sè 26)

Nhiều tỉnh thành với những đặc điểm
nổi bật của từng tỉnh được nhắc đến trong
bài thơ dưới đây. Tuy nhiên, tên các tỉnh bị
đặt sai vị trí hết rồi. Bạn hãy sắp xếp lại
cho đúng nhé !

Quảng Nam có đảo Trường Sa
Có thành Diên Khánh xưa xa hãy cịn

Bình Dương có giống nhãn ngon
“Thứ nhì Phố Hiến” hãy cịn tiếng tăm

Khánh Hịa đơng đúc người Chăm
Có làng Cà Ná khách thăm rộn ràng

Gia Lai cã phè Héi An

Rêu phong in dấu thời gian bên tường
Kiên Giang xanh những khu vườn

Næi tiếng măng cụt của vùng Lái Thiêu
Hưng Yên rợp bóng vải thiều

Của vùng Lục Ngạn quả nhiều quằn cây

Ninh Thuận giáp biển phía Tây
Có hòn Phụ Tử ngắm hoài Hà Tiªn

Bắc Giang nằm giữa Tây Nguyên
Hồ Tơ Nưng đẹp, hội cồng chiêng rộn ràng

Bắc Ninh có động Phượng Hồng
Có hồ Nỳi Cc lng chng trờn cao

Thái Nguyên nổi tiếng Chùa Dâu
Có làng quan họ hát câu trữ tình.

Trng Hi

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

28

Trần Đăng Khoa :

ó vit bỏo l khú ri. Muốn làm một nhà báo được dân yêu mến thì rất gian khổ, thậm
chí là nguy hiểm nữa. Những vụ việc tiêu cực, liên quan đến xã hội đen chẳng hạn, nhà
báo có dám phanh phui khơng ? Năm Cam đã từng sai quân tới đe dọa báo Thanh Niên,
đe dọa cả Tổng Biên tập. Làm báo cũng phải dũng cảm cháu ạ, nhiều khi cũng như các
chiến sĩ công an đi truy lùng kẻ cướp. Nhà báo không thể ngồi một chỗ mà phải đi. Điều
này khác với nhà văn, nhà văn có khi khơng cần đi thực tế. Chỉ cần có một ý tưởng, với
một người giàu trí tưởng tượng và có tài, chỉ ngồi trong phịng kín, cũng có thể “chế tác”
được một tác phẩm bất hủ. Hồi còn học tại trường Gorki, chú cứ bị ấn tượng mãi bởi câu
nói của một giáo sư, kiêm nhà văn nổi tiếng thế giới I. Ivanov, tác giả tiểu thuyếtTiếng gọi
vĩnh cửu vàTrên mảnh đất người đờirất hay đã được dịch sang Việt Nam : “Tại sao anh
cứ nhăm nhăm kiếm tìm ở thực tế. Trơng vào thực tế, chẳng khác gì anh cứ hong hóng đi
móc túi người khác ? Anh phải viết bằng tài năng và sự chiêm nghiệm của riêng anh chứ”.
Quả thế thật. Cuốn Đông-ki-sốt của Séc-van-téc đã được hơn 100 nhà học giả nổi tiếng

thế giới bầu là cuốn sách hay nhất của mọi thời đại. Thực chất, đó là cuốn sách bịa từ đầu
đến cuối, nghĩa là hư cấu hồn tồn. Đơn Ki-hơ-tê là một mẫu người thời đại. Lão cứ thích
can thiệp vào thiên hạ, cứ muốn mang đến cho thiên hạ một cái gì đó tốt đẹp, nhưng thực
chất lại gây ra bao nỗi rắc rối, lộn xộn, vì chống lại quy luật tự nhiên và anh chàng điên
khùng Đôn Ki-hô-tê này cũng phải nếm những trận đòn bò lê bò càng. Nhà văn có thể
chỉ tưởng tượng là viết được. Cịn nhà báo lại phải đi. Đi rất nhiều. Khơng đi không ra tác
phẩm. Hơn nữa, báo là cái hằng ngày. Cịn văn khơng cần tính cập nhật. Nhưng những
anh nhà báo giỏi vẫn có thể biến cái hằng ngày thành vĩnh cửu. Ta có một số nhà báo
như thế : như Ngô Tất Tố, Vũ Trọng Phụng ngày trước, và gần đây là ông Hữu Thọ và
một số nhà báo tài danh khác. Đọc những trang báo của các vị ấy, nhiều khi còn thấy thú
hơn đọc những cuốn tiểu thuyết nhạt phèo. Chú chúc cháu sẽ trở thành nh bỏo gii.

Chú Khoa ơi, cháu rất thích trở thành nhà báo.
Sau khi tốt nghiệp phổ thông, cháu muốn thi vào
khoa báo chí. Với tư cách là một nhà báo, chú thấy
viết báo khó nhất ở điều gì ? Báo với văn khác nhau
thế nào ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

29

l

Kỡ này :

l

KÕt qu¶ :

_{(TTT2 sè 26)}

Trên mỗi hàng ngang và trên cột dọc tô màu của ô chữ này là những từ liên quan đến
bóng đá. Bạn có tỡm c khụng ?

Võ Thái Thông

(9/4, THCS Ngô Gia Tự, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa)

(TTT2 s 26)
So vi ụ chữ hình học trong Vườn Anh kì

trước, ơ chữ các ngun tố hóa học kì này
đã thực sự hấp dẫn được rất đông các bạn
tham dự. Đa số các bạn đều đưa ra được
đáp án đúng. Chủ Vườn xin chúc mừng sự
tiến bộ của tất cả các bạn. Đặc biệt chúc
mừng những bạn có nhiều đáp án đúng
nhất được nhận quà kì này : Nguyễn Diệu

ánh Thùy Trang, 8A, THCS Vĩnh Tường,
Vĩnh Phúc ; Trần Thùy Dương, 8A₄,
THCS Nguyễn Trường Tộ, Hà Nội; Vũ Thị
Quế Thư, 8B, THCS Từ Sơn, Bắc Ninh ;

Nguyễn Thị Huyền, 8A₂, THCS Trưng
Vương, Mê Linh, Vĩnh Phúc ; Lê Phong
Vũ, 9A₁, THCS Nguyễn Viết Xuân, KRông
Pắc, k Lk.

Các hàng ngang từ trên xuống :

Hàng 1 vµ hµng 3 : cã thể điền các
nguyên tố : COPPER - §ång (Cu) ;
OXYGEN - Oxi (O) ; NICKEL - Niken (Ni) ;
SILVER - Bạc (Ag).

Hàng 2 : SELENIUM - Selen (Se) ;
CHLORINE Clo (Cl) ; POLONIUM

-Poloni (Po).

Hµng 4 : CALCIUM - Canxi (Ca) và rất
nhiều nguyên tố mang tên có đuôi là IUM
như Cd, Re, Ga, Y, Nb, Rh, Hf, U, Ho, Tm ...

Hµng 5 : LEAD Ch× (Pb) ; NEON
-Neon (Ne).

Hµng 6 : CARBON - Cácbon (C) ;
IODION - Iốt (I).

Hàng 7 :LITHIUM Liti (Li) ; YTTRIUM
-Ytri (Y).

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

30

(TTT2 sè 26)

Sao gì đỏ lửa đêm đen ?
Sao gì là thợ vốn quen đục, bào ?

Sao g× qt dän trêi cao ?

Sao gì đầy những hồ ao sơng ngịi ?
Sao gì ln dưới chân người ?
Sao gì may vỏ chng ri ụi tay ?

Sao gì chẳng phải con trai ?
Sao gì ăn cỏ kéo cày giỏi giang ?

Sao gì ra ruộng làm thần ?
Sao gì âm phủ âm thầm ngôi vua ?

Nguyễn Mai Linh

(M l Nguyn Thị Mừng, xóm Trại,
Đơng Phong, Bình Lãng, Tứ Kì, Hải Dương)

Thiên đình cung điện trên mây
Thiên lôi lưỡi búa trên tay hay cầm

Thiên tai trời giáng xung trn
Thiờn binh quõn tng rm rm bc i

Thiên tài công trạng mÃi ghi
Thiên thạch rơi xuống rất chi bất ngê

Thiên nhiên tạo hoá ban cho
Thiên la địa võng nỗi lo kẻ thù

Thiên lí hoa nở gần thu
Thiên thanh đội ýcực kì điển trai

Thiên thần xinh đẹp, đa tài
Thiên thu vnh cu lõu di bn i

Thiên văn nghiên cứu trên trêi

Thiên đường người chết được mời lên đây

Thảo dân cùng nghĩ giải khuây
Gửi nhanh, làm đúng Trẫm đây trao quà.

Ban thưởng : Nguyễn Xuân Ly, 8A,
THCS Lí Thường Kiệt, Hà Trung, Thanh
Hóa ; Vũ Huyền Trang, 9C, THCS BC
Ngô Gia Tự, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội;

Đào Thu Hường, 7A3, THCS Hai Bà
Trưng, TX. Phúc Yên, Vĩnh Phúc ;

Nguyễn Bình Minh, 228 Trần Hưng Đạo,
TX. Quảng Ngãi, Quảng Ngãi ; Trang
Hương Giang, 8B, THCS Hồn Lão, Bố
Trạch, Quảng Bình.

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Hỏi :Em thấy một số bài
toán trong các đề thi học
sinh giỏi lại lấy trong TTT
(chẳng hạn : bài 5 đề thi
HSG H.K, bài 5 đề thi HSG
H.Đ giống các thí dụ trong
mục “Dành cho các nhà
toán học nhỏ”). Như vậy ai
đọc rồi thì dễ đạt giải cao
trong các kì thi hở anh ?

TrÇn Qc Lt

(xóm 5, Sơn Hng,

Hng Sn, H Tnh)

Đáp :

Trỏch ai khi son thi
Khụng chịu biến hóa,

“ngun xi” bê vào
Làm cho trị phải xì xào
Có người “trúng tủ” giải cao

½m vỊ ?

Hỏi : Mẹ em bảo : “Con
gái không nên xem phim
đánh nhau”. Thế mà em lại
mê phim chng. ýanh th
no ?

Đào Nhật Linh

(9D, THCS thị trấn
Đông Hưng, Thái Bình)

Đáp :

Nu xem gii trớ m thụi
Theo anh em cứ việc ngồi
mà xem
Sợ rằng máu bỗng lên men

Ngứa tay đánh phải

người quen thì phiền.

Hái :“H¾n” sang nhà em
nhờ giải giúp bài toán khó.
Hôm sau hắn xung phong

lên bảng và được điểm cao.
Nhưng mà khi ra chơi “hắn”
tuyên bố là lời giải đó do
“hắn” nghĩ ra. “Hắn” là loại
người gì vậy ?

Trương Thị Hải Yến

(Thanh Quang, Thanh Miện,
Hải Dng)

Đáp :

Ngày xưa thì có Lý Thông
Ngày nay giống thế

cũng khơng ít người
Thơi em cũng cố mà cười
Giúp người cứ giúp,

mặc người quên ơn.

Hỏi : Em có một cơ em
gái kết nghĩa qua thư. Thời
gian đầu chúng em viết thư
đều đặn cho nhau. Sau hai
tháng bận bịu, em mới trở
lại viết thư nhưng cô em gái
không trả lời. Hôm em đi
“chát” gặp cô ấy trên
“mạng”. Em vừa hỏi thì cơ
ấy lại “ra” ln. Anh thy th
no ?

Cõy khụ vụ tỡnh
(Thng Trng,
khụng ghi thờm)

Đáp :

Viết đều thì... giết thời gian
Khơng viết thì lại làm tan

cảm tình
Cho nên ở tuổi học sinh
Xin em đừng lũng mỡnh...

dây dưa.

Hỏi :Em gửi rất nhiều bài
mà chưa được đăng. Anh ơi

vì sao vậy ?

Nguyễn Mạnh Hưng

(9B, THCS Từ Sơn, Bắc Ninh)

Đáp :

Ngày xưa anh cũng như em
Gửi bài đi cứ chờ xem bài mình
Ban đầu cứ trách linh tinh
Sau ngồi nghĩ : có lẽ mình

chưa... siªu...

Hỏi : Em đã tìm khắp nơi
mà khơng “thu thập” đủ các
số TTT từ trước tới nay. Anh
có giúp được em khụng ?

Nguyễn Thị Thúy Vinh

(P.9, TP. Tuy Hòa, Phú Yên)

Đáp :

Bao ngi cng ó b hi
Tỡm mua những số từ thời
đầu tiên

Anh có... anh cũng cho liền
Dưng mà... kho hết ! Ôi !
Phiền làm sao...
Nhắn tin :Bạn Phạm Thị
Thảo, TP. Điện Biên gửi gấp
địa chỉ rõ ràng về cho... anh
nhé !

Anh Phã Gì

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

32

Bµi 1(28) :BiÕt r»ng .

Chøng minh rằng A chia hết cho 9.

Hoàng Trọng Lâm

(THCS TT Phỳ Bài, Hương Thủy, Thừa Thiên - Huế)

100 ch÷ sè 9

A 654 999 ... 997 1965 _{} 

Bài 2(28) :Cho 5 số thực dương sao cho tổng của tất cả các
tích từng cặp hai số trong chúng bằng 2. Chứng minh rằng tồn
tại bốn trong năm số đó có tổng nhỏ hn 2.

Bùi Văn Chi

(THCS Lng Th Vinh, TP. Quy Nhn, Bỡnh nh)

Bài 3(28) :Tồn tại hay không các số nguyên a, b, c tháa m·n :
a(b c)(b c a)2c(a b)(a b c)21.

Nguyễn Khánh Nguyên (THCS Hồng Bàng, Hải Phßng)

Bài 4(28) : Giải phương trình x416x 8 0.

Trần Phương Nam (TP. Mĩ Tho, Tiền Giang)

Bài 5(28) : Một đường thẳng d chia tam giác ABC cho trước thành hai phần có diện
tích bằng nhau và chu vi bằng nhau. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của tam
giác ABC nm trờn ng thng d.

Văn Bửu Nam (THCS Nguyễn Du, Q.I, TP. Hå ChÝ Minh)

1(28) :Let . Prove that A is divisible by 9.

2(28) :Let there be given five positive real numbers such that the sum of all the
products of any two of the numbers is 2. Prove that there exist four numbers among
them such that their sum is less than 2.

3(28) :Are there integers a, b, c such that the following equality holds ?
a(b c)(b c a)2c(a b)(a b c)21.

4(28) :Solve the equation x4__16x_₈__0.

5(28) :A triangle ABC is divided into two parts of the same area and perimeter by a
line d. Prove that the incenter of ABC is on the line d.

100 digits 9

A 654 999 ... 99 7 1965 _{} 

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34></div>

<!--links-->