skkn một số phương pháp xác định giới hạn dãy số

MỤC LỤC
Nội dung

Trang
2
2
2
2
3
3

1. Lời giới thiệu
2. Tên sáng kiến
3. Tác giả sáng kiến
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
6. Ngày sáng kiến được áp dụng
7. Mô tả bản chất của sáng kiến
7.1. Về nội dung sáng kiến
PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Phương pháp quy nạp toán học
1.2. Dãy số
PHẦN II: GIỚI HẠN DÃY SỐ
2.1.Tính giới hạn của dãy bằng cách xác định CTTQ của dãy
2.2.Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
dụng tính đơn điệu và bị chặn.
2.3.Phương pháp lượng giác hóa
2.4. Giới hạn của tổng
7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến
8. Những thông tin cần được bảo mật
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến

10. Đánh giá lợi ích thu được (kết quả thực hiện)
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng sáng
kiến lần đầu.

1

3
3
4
4
5
6
6
13
18
19
27
27
27
27
28


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Bài tốn tìm giới hạn dãy số là một trong các bài tốn có trong cấu trúc đề
thi trong các kỳ thi Học sinh giỏi khối 11 của Tỉnh qua các năm và trong cấu trúc
đề thi THPT Quốc Gia qua các năm kể từ khi Bộ GD&ĐT chuyển sang thi trắc
nghiệm. Trong đó xác định giới hạn của dãy bằng cách xác định CTTQ, lượng giác

hóa, sử dụng tính đơn điệu của dãy và giới hạn của dãy tổng được khai thác chủ
yếu. Trong năm học tôi được giao nhiệm vụ dạy Toán ở lớp đầu cao, dạy bồi
dưỡng Học sinh giỏi khối 11 nên việc nghiên cứu bài tốn tìm giới hạn dãy số là
bắt buộc. Khi dạy phần giới hạn dãy số tôi thấy một số vấn đề sau cần giải quyết.
Một là: Theo quan điểm của ngành Giáo dục và thời lượng chương trình
dạy học nên nội dung của chương dãy số đã được giảm tải đáng kể. Tuy nhiên việc
giảm tải chỉ tập trung vào bài tập cịn lí thuyết thì giảm tải khơng đáng kể vì đó là
u cầu tối thiểu. Nên khi giáo viên dạy lí thuyết chương này khá vất vả, học sinh
học lí thuyết cũng rất vất vả nhưng khi làm bài tập trong Sách giáo khoa học sinh
thấy rất đơn giản vì các bài tập hơi khó đã được giảm tải, các bài tập cịn lại đều
tương tự ví dụ đã có trong phần lí thuyết nên hầu hết học sinh làm bài theo cách rất
máy móc ít hiểu rõ vấn đề do đó khi đề bài chỉ thay đổi một chút là học sinh sẽ
cảm thấy khó khăn, chán ngán.
Hai là: Các vấn đề về dãy số ít xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh Đại
học nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này. Tài liệu tham khảo về
dãy số cũng rất ít do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm về dãy số
hoặc những học sinh có ý đinh ơn thi Học sinh giỏi rất khó tìm cho mình một cuốn
tài liệu dễ đọc.
Từ thực trạng của vấn đề trên, tôi chọn nghiên cứu sáng kiến “Một số
phương pháp xác định giới hạn dãy số” nhằm giúp học sinh có hứng thú
và giải quyết dễ dàng các bài tốn liên quan đến giới hạn dãy số.
2. Tên sáng kiến:
“ Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số”
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Đào Xuân Tiến
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Yên Lạc 2 – huyện Yên Lạc –
tỉnh Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại: 0986968630 Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

2


Đào Xuân Tiến – Trường THPT Yên Lạc 2 – huyện Yên Lạc – tỉnh Vĩnh
Phúc.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Sáng kiến “ Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số” được áp
dụng bồi dưỡng HSG khối 11 và ôn thi THPT Quốc Gia.
Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau:
Một là: Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn tồn diện về giới hạn dãy số
theo quan điểm của học sinh trung học phổ thông không chuyên. Hệ thống và phân
tích các bài tập về giới hạn dãy số một cách logic từ khó đến rất khó.
Hai là: Qua việc luyện tập các bài toán về giới hạn dãy số ta sẽ thấy nó là
các phép thế tuyệt đệp, nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạp
tổng quát là phép biến đổi điển hình của đại số và giải tích.
Ba là: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên cho các bài toán
về giới hạn dãy số chánh sự gượng ép máy móc.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
Ngày 28/02/2020
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1. Về nội dung sáng kiến

3


PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1.Phương pháp quy nạp toán học
n  N * ta ln có các đẳng thức sau :
1.
2.

3.

n(n  1)
2
n(n  1)( 2n  1)
12  22  ...  n 2 
6
1  2  ...  n 

13  23  ...  n3 

n 2 (n  1) 2
4

4.

12  3 2  ...  (2n  1) 2 

5.

22  42  ...  (2n) 2 

6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

n(4n 2  1)
3

2n(n  1)(2n  1)
.
3

1  3  5  ...  (2n  1)  n 2
n(n  1) n(n  1)(n  2)
1  3  6  10  ... 

, n �1.
2
6
1
1
1
n

 ... 

1.2 2.3
n(n  1) n  1
1
1
1
 ... 
2 n
2
n

Cho số thực x   1 . Chứng minh rằng : (1  x) n 1  nx , n  N *
Với mọi số tự nhiên n 3 , ta có : 2n  2n  1
Với mọi số tự nhiên n  2 , ta có :

1
1
1

 ... 
 n
2
3
n
1 1
1
n
b. 1    ...  N
2 3
2 1

a. 1 

1.3.5...(2n  1)
1
�
.
c. 2.4.6...2n
3n  1
13. Cho số thực x  k 2 , k  Z , n  N * , ta ln có :
nx

(n  1) x
sin .sin
2
2
a. sin x  sin 2 x  ...  sin .nx 
x
sin
2
(n  1) x
nx
sin
. cos
2
2
b. 1  cos x  cos 2 x  ...  cos.nx 
x
sin
2

4


1.2. Dãy số
1.2.1.Định nghĩa
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N * được gọi là một
dãy số vơ hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
u : N* � �
n � u (n)
Trong đó un  u (n) và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng
tổng quát của dãy số .

1.2.2. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
* Dãy số  un  gọi là dãy số tăng nếu un  un1 , n ��* .
* Dãy số  un  gọi là dãy số giảm nếu un  un1 , n ��* .
Vậy: Nếu un1  un  0, n ��* suy ra  un  là dãy số tăng.
*
Nếu un1  un  0, n �� suy ra  un  là dãy số giảm.

* Nếu tồn tại số M sao cho un �M , n ��* thì  un  bị chặn trên.

* Nếu tồn tại số m sao cho un �m , n ��* thì  un  bị chặn dưới.

* Nếu dãy số  un  bị chặn trên và bị chặn dưới thì gọi là dãy só bị chặn.
1.2.3.Một vài dãy số đặc biệt
* Cấp số cộng
* Dãy số  un  là cấp số cộng � un1  un  d , n  N * , trong đó (d �0) , d là số
khơng đổi gọi là công sai của cấp số cộng.
* Nếu dãy số  un  là cấp số cộng thì un  u1   n  1 d
* Nếu dãy số  un  là cấp số cộng thì tổng
Sn  u1  u2  ...  un 

n  2u1  (n  1)d 
n
.
 u1  un  
2
2

*Cấp số nhân
* Dãy số  un  là cấp số nhân � un1  un .q , n  N * , trong đó q là số khơng
đổi gọi là công bội của cấp số nhân.

n1
* Nếu dãy số  un  là cấp số nhân thì un  u1.q
* Nếu dãy số  un  là cấp số nhân vơi q �1, q �0
thì tổng

1  qn
S n  u1  u2  ...  un  u1.
1 q

5


PHẦN II. GIỚI HẠN DÃY SỐ
2.1.Tính giới hạn của dãy bằng cách xác định CTTQ của dãy
* Kiến thức sử dụng:
- Các công thức đối với các dãy số quen thuộc.
- Tính chất của các dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân.
* Bài tập vận dụng
1
1
1

 ... 
Bài 2.1.1. Cho dãy số un 
. Tìm giới hạn dãy số?
1.2 2.3
n(n  1)
Lời giải:
Ta có
1 1 1 1

1
1
1
un      ...  
 1
1 2 2 3
n n 1
n 1
Suy ra lim un  1.

12  32  52  ...  (2n  1) 2
u

. Tìm giới hạn dãy số?
Bài 2.1.2. Cho dãy số n
2 2  42  6 2  ...  (2n) 2
Lời giải:
Ta có
2n(2n  1)(4n  1)
2
2
2
2
1  2  3  ...  (2n)
(4n  1)
6
un  1  2


4

2
2
n(n  1)(2n  1) 2(n  1)
2  4  6  ...  (2n)
4.
6
Suy ra lim un  1 .

Pn
trong đó Pn là số hốn vị của n
Ann 2
k
phần tử, An là số chỉnh hợp chập k của n phần tử. Đặt S n  u1  u 2 ...  un
Tìm limSn .
Lời giải:
Ta có
Bài 2.1.3. Cho dãy số  un  xác định bởi un 

Pn  n !, Ann 2 

 n  2 ! � u
2!

n



n!.2!
2


 n  2  !  n  1  n  2 

�1
�
1
1
1
� Sn  2 � 

 ... 
�
2.3 3.4 4.5
 n  1  n  2  �
�

�
 n  2    n  1 �
3 2 43 5 4
� Sn  2 �


 ... 
�
3.4
4.5
 n  1  n  2  �
�2.3

6

1 1 1 1 1 1
1
1 �
�
� S n  2 �       ... 

2 3 3 4 4 5
n 1 n  2�
�
�
1
1 �
�
� Sn  2 � 
� lim S n  1
2 n  2�
�
�

u1  1
un
�
. Hãy tìm lim
un1  un  n; n �1
un1
�

Bài 2.1.4. Cho dãy số  un  thỏa mãn �

Lời giải:
Theo đề bài ta có u1  1
u2  u1  1
u3  u 2  2
… …
un  un 1   n  1
Cộng theo về n đẳng thức trên ta được
 n  1 n  1 n 2  n  2
un  1  1  2  3  ...   n  1  1 


2
2
1
� un1  un  n   n 2  n  2
2
1 2
1  2
2
u
n n2
n n 1
� lim n  lim 2
 lim
1 2
un1
n n2
1  2
n n
un

1
Vậy lim
un1
4n  1
Bài 2.1.5. Cho dãy số  un  xác định bởi un  n . Đặt S n  u1  u 2 ...  un
2
Tìm limSn .
Lời giải:
n 1
Ta có un  4. n  n
2 2

1 1
1� �
1 2
n�
�
� Sn  �  2  ...  n � 4 �  2  ...  n �
2 2
2 � �
2 2
2 �
�
1 1
1
+) Xét an   2  ...  n là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng thứ
2 2
2
1
1

cơng bội q 
2
2
n
�1 �
1 � �
n
1
2�
�1 �
�
� an  .
 1  � �� lim an  1
2 1 1
�2 �
2

nhất a1 

7


1 2
n 1 n
 2  ...  n 1  n
2 2
2
2
2 3
n 1 n

� 2bn  1  1  2  ...  n 2  n 1
2 2
2
2
1 1
1
n
� 2bn  bn  1   2  ...  n1  n
2 2
2
2
n
� �1 �� n
� bn  2 �
1  � �� n1
� �2 �� 2
Theo quy nạp ta dễ dàng chứng minh được: 2  n , n �5
+) bn 

n

� n �5, ta có 0 

2

n 1
n

�
lim

 0 � lim bn  2
2n n
2n

Vậy limSn  9
Bài 2.1.6. Cho dãy số  un  được xác định như sau:
u1  1, u2  3, un 2  2un 1  un  1, ( n  1, 2,...) .Tính

lim

un
.
n2

Lời giải:
Ta có un  2  un 1  un 1  un  1, n  1, 2,... suy ra  un  2  un 1 lập thành một cấp số
cộng có cơng sai bằng 1 nên un  2  un1  u2  u1  n.1  n  2 (1)
Từ (1) ta được un  u1  un  un 1  un 1  un  2  ...  u2  u1  n  n  1  ...  2
n  n  1
2
un 1
n  n  1 1
u
lim
 .
.
Vậy
lim n2  lim

n2 2

n
2n 2
2

� un  1  2  ...  n 

Bài 2.1.7.
Cho dãy số u1 

n
un
2
. Tìm giới hạn dãy số xn  un ?
và un 1 
2(2n  1)un  1
3
i 1

Lời giải:
1

Đặt Vn u  vn 
n

( 2n  1)(2n  1)
1
1
 un 

2

2n  1 2n  1

Suy ra lim xn 1
Bài 2.1.8.
Đặt f (n)  (n 2  n  1) 2  1 . Xét dãy số (un ) sao cho un 
Tính lim n un .
Lời giải:
Ta biến đổi f ( n)  (n 2  1)[( n  1) 2  1] (1)

8

f (1). f (3). f (5)... f (2n  1)
.
f (2). f (4). f (6)... f (2n)


Sử dụng (1) ta có:
f (2k  1) (4 k 2  4k  2)(4k 2  1) (2k  1) 2  1


f (2k )
(4k 2  1)(4k 2  4k  2) (2k  1) 2  1
12  1 32  1 (2n  1) 2  1
1
� un  2 . 2 ...
 2
.
2
3  1 5  1 (2n  1)  1 2n  2n  1
1

1
� lim n un  lim

.
2 1
2
2  2
n n
Bài 2.1.9.
u1  2
�
, n �1, n ��* .
Cho dãy (un ) xác định bởi � 2
n(n  1)un  u1  2u2  ...  ( n  1)un1
�
9
Tìm lim (n3  n).un .
2
Lời giải:
1
Ta có: u2 
3
u1  2u2  ...  nun  n3un
(1)
Với n �3, ta có
u1  2u2  ...  (n  1)un1  ( n  1) 3 un 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra nun  n3un  (n  1)3 un 1
( n  1)3
n 1 2 n
� un  3

un1  (
).
un1
n n
n
n 1
n 1 2 n  2 2 2 2 n n 1 3
� un  (
) (
) ...( ) .
.
... u2
n
n 1
3 n 1 n
4
4
� un  2
n (n  1)
9 3
1
Do đó: lim (n  n)un  lim18(1  )  18.
2
n
Bài 2.1.10.
Cho dãy (un ) biết un  [

1
1
1

1

 ... 
].
, n �2
n 1  n
n  n 1
2 1 n

Tìm lim un .
Lời giải:
1
 n 1  n
Ta có:
n 1  n

9


1
n  1 1
( 2  1  3  2  4  3  ...  n  1  n ) 
.
n
n
1
1
lim un  lim( 1  
)  1.
n

n

Do đó un 

Bài 2.1.11.
2.12  3.22  ...  (n  1).n 2
Cho dãy (un ) biết un 
. Tìm lim un .
n4
Lời giải:
(12  22  ...  n 2 )  (13  23  ...  n3 )
Ta có: un 
n4
1 n(n  1)(2n  1 n 2 ( n  1) 2
� un  4 [

]
n
6
4
n(n  1)(2n  1) n 2 (n  1) 2 1

]= .
Suy ra lim un  lim[
6n 4
4n 4
4
*Bài tập tự giải:
1
1

1

 ... 
. Tìm giới hạn dãy số?
Bài 1. Cho dãy số un 
1.2.3 2.3.4
n(n  1)(n  2)
HD:
k ��* ta có
�
1
1 (k  2)  k
1� 1
1
 .
 �

k (k  1)( k  2) 2 k (k  1)(k  2) 2 �
k (k  1) (k  1)(k  2) �
�

1
1 �1
1 �
 � 
1.2.3 2 �
1.2 2.3 �
�
1
1 �1

1 �
 � 
Khi k  2 �
2.3.4 2 �
2.3 3.4 �
�
1
1 �1
1 �
 � 
Khi k  3 �
3.4.5 2 �
3.4 4.5 �
�
…
�
1
1� 1
1
 �

Khi k  n �
n(n  1)(n  2) 2 �
n(n  1) (n  1)(n  2) �
�
Cộng n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được
�
1�
1
1

n 2  3n
un  � 

2�
2 (n  1)(n  2) �
� 4(n  1)(n  2)
1
Suy ra lim un  .
4
Khi k  1 �

10


Bài 2. Cho dãy số (un ) với
1
1
1
1
un 


 ... 
. Tìm giới hạn
2 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4
( n  1) n  n n  1
dãy số?
HD:
k ��* ta có

 k  1

1
1
k 1  k


k  k k 1
k k 1
k k 1 k 1  k

1

 k  1 k  k k  1
1
1
 
Khi k  1 �
2 2 1
1

Khi k  2 �
3 22 3
…
1
Khi k  n �
 n  1 n  n
�





1
1

k
k 1
1

2
1
1

2
3

n 1



1
1

n
n 1

Cộng n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được un  1 
Suy ra lim un  1.
Bài 3. Cho dãy số (un ) với un 

HD:

1
n 1

� un 

n 1 1
n 1

23  1 33  1 n3  1
.
...
. Tìm giới hạn dãy số?
23  1 33  1 n3  1

23  1 2  1 22  2  1
Ta có: 3

.
2  1 2  1 22  2  1
33  1 3  1 32  3  1

.
33  1 3  1 32  3  1
…
n3  1 n  1 n 2  n  1

.
n3  1 n  1 n 2  n  1

Ta có: (k  1)2  (k  1)  1  k 2  2k  1  k  1  1  k 2  k  1
2
2(n 2  n  1)
Suy ra un 
. Do đó lim un  .
3n( n  1)
3
1 
1 
1 
1
Bài 4. Cho dãy số un (1  2 )1  2 1  2 1  2  . Tìm giới hạn dãy số?
2  3   4  n 
1
HD: lim un  .
2

11


1
1
� 1
�1

 ... 
.
Bài 5. Cho dãy số un  �
. Tìm
3 5

2n  1  2 n  1 �
�1  3
� n
giới hạn dãy số?
2
.
2

HD: lim un 

Bài 6. Cho dãy số un  1 
Tìm giới hạn lim

un
?
n

1
1
1 2 

2
k
 k  1

HD: k �� ta có
*

k 2  k  1  2k  k  1  1
2



k 2  k  1

� 1

1 1
1 1
1
1


1



...

1


.
12 22
22 32
n 2  n  1 2

2

k 2  k  1   k  1  k 2

2

k 2  k  1

2

2

�
k  k  1  1�
�  k  k  1  1
 �2
2
k  k  1
k  k  1
2

1
1
1
1


1


k 2  k  1 2
k k 1

1 1

1 1


1


12 22
1 2
1 1
1 1
Khi k  2 � 1  2  2  1  
2 3
2 3
…
…
1
1
1
1
 1 
Khi k  n � 1  2 
2
n  n  1
n n 1
Cộng n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được
n  n  2
1
un  n  1 
� un 
n 1

n 1
un n(n  2)
 1.
Suy ra lim 
n n(n  1)
 u1 1

1
Bài 7. Cho dãy số (un ) xác định bởi 
 u n 1 u n  n(n  1) , n 1

1
Tính lim u n ( ĐS : lim u n (2  ) 2)
n
Khi k  1 � 1 

12


2.2.Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng
tính đơn điệu và bị chặn.
* Cơ sở lý thuyết:
a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.
b)Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn.
- Nếu dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện un �M , n ��* và tồn tại giới hạn lim un
thì lim un �M ; nếu dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện un �m, n ��* và tồn tại giới
hạn lim un thì lim un �m.
- Giả sử dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn thì lim un  lim un1  0.
Áp dụng tính chất trên ta có thể tính được giới hạn của các dãy cho bởi hệ
thức truy hồi. Dạng bài tập này khá phổ biến trong các đề thi HSG cấp tỉnh, các đề

thi Olympic 30/4, các đề thi HSG cấp Quốc gia và Quốc tế.
Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả khi giải quyết các bài tồn tìm giới hạn của dãy
số cho bởi hệ thức truy hồi. Sau đây ta xét một số ví dụ minh họa.
* Bài tập vận dụng
1
1
1

 ... 
2 n
Bài 2.2.1. Cho dãy số (un ) xác định bởi un  1 
2
3
n
, n �2 . Chứng minh dãy số (un ) là dãy số giảm, bị chặn dưới. Tính lim un .
Lời giải:
Ta có: un1  un  (2 n  2 n  1) 

2 n( n  1)  (2 n  2)  1
1

n 1
n 1

4n 2  4n  (2n  1)
 0, n �1 � un1  un , n �1
n 1
Do đó un là dãy số giảm.
1
1

1

 k 1  k �
 2( k  1  k )
Ta có:
2 k
k 1  k
k
Suy ra un  2( n  1  n  1)  2, n �1
Vậy (un ) bị chặn dưới. Ta có lim un  2.
 u1  2
Bài 2.2.2. Cho dãy số (un ) xác định bởi 
. Tính lim un .
 u n 1  2  u n , n 1
Lời giải:
Trước hết ta sẽ chứng minh dãy số (un ) tăng và bị chặn trên.
Chứng minh dãy (un ) tăng bằng quy nạp, tức là un1  un , n �1.
Khi n = 1 ta có u 2  2  u1  2 2  2 u1
Giả sử u k 1  u k , khi đó u k 2  2  u k 1  2  u k u k 1 u n , n 1

13


Nên (un ) bị chặn dưới bởi 2 . Ta sẽ chứng minh dãy (un ) bị chặn bởi 2 bằng quy
nạp, thật vậy.
Khi n=1 ta có u1  2  2
Giả sử u k  2, k 1 , khi đó u k 1  2  u k  2  2 4
Vậy dãy số (un ) bị chặn trên bởi 2. Do đó dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn, giả sử
lim un  a thì a  2 .Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có lim un1  lim
 a  1

2  u n . Hay a  2  a  a 2 a  2  
 a 2
Vì a  2 nên a = 2 . limun = 2.
Nhận xét:
*Với ví dụ này ta có thể tìm được CTTQ của dãy (un ) là

u n 2 cos n 1 , n 1 tuy nhiên việc xác định CTTQ của (un ) không phải là đơn
2
giản và mất nhiều thời gian. Với kĩ thuật tính giới hạn như bài giải trên, bài toán
được giải quyết gọn nhẹ.
* Tổng qt hóa bài tốn :
�
u1  a
�
u


Cho dãy số n xác định bởi �
.Với a là số thực dương
un1  un  a , n �1
�
cho trước. Hãy tìm lim un .
 u1 u 2 1
Bài 2.2.3. Cho dãy số (un ) xác định bởi 
. Tính limun
 u n 1  u n  u n  1 , n 2
Lời giải:
Nhận xét: Ta thấy u1 u 2 1, u3 1  1 2  u 2 ; u 4  u3  u 2  2  1  u3
Dự đoán dãy số (un ) là dãy dương và tăng
Ta chứng minh bằng quy nạp, tức là u n 1  u n , n 2

Rõ ràng u n  0, n 0 . Khi n = 2 ta có u 3 2  u 2 1
Giả sử u k 1  u k , n 2 . Ta có u k 1  u k 1  u k  u k  u k  1 u k 1 , k 2
Nên dãy số (un) là dãy số dương tăng  u n  u1 1, n 1
Hơn nữa, ta thấy n 3, u n  u n  1  u n  2  u n  u n 2. u n
2
Hay un  4un � un  4( do un  0) � .Nên (un ) bị chặn trên bởi 4
Do đó dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn. Giả sử limun = a, khi đó a �1

Từ hệ thức truy hồi suy ra limun+1 = lim u n  lim u n 1
Hay a  a  a  a 2 4a  . Do đó a 1  0 nên a = 4
Vậy lim un  4 .

14


 u1 2010
Bài 2.2.4. Cho dãy số (un ) xác định bởi  2
 u n  2u n .u n 1  2011 0, n 1

Chứng minh rằng dãy (un ) có giới hạn và tính giới hạn đó.
Lời giải:
Trước hết ta nhận xét rằng u n  0 , với mọi n.
Thật vậy, ta có u n = 2010 > 0. Giả sử u k  0, k 1 , ta chứng minh u k 1  0
u k2  2011
2
2
u
.
u


u

2011

0

u

Từ hệ thức truy hồi suy ra k k 1
k
k 1
2u k
u n2  2011 1 
2011 
 .
  u n 
Do đó ta có: u n 1 
2u n
2
u n 

Theo bất đẳng thức Cosi, ta có:
u 2  2011
2011
un1  n
� un .
 2011, n �1.
2un
un
un1 un 2  2011 1 2011 1 1


 
�   1.
Mặt khác ta có:
un
2un 2
2 2un 2 2 2
2011 2011 1
2011,
� n 1
(vì un  �
)
2un 2 2.2011 2
Nên (un ) là dãy số giảm và bị chặn bởi 2011 do đó dãy (un ) có giới hạn hữu
hạn. giả sử lim un  a , khi đó 0  a �2010
un 2  2011
a 2  2011
un 2  2011
�a
Và ta có un1 
. Suy ra lim un1  lim
2.un
2.un
2a
Do đó a  2011 . Vậy lim un  2011.
0  u 1
�
� n
Bài 2.2.5. Cho dãy số (un ) xác định bởi �
1 , n �1.

u
(1

u
)

n 1
n
�
�
4
a) CMR dãy (un ) là dãy số tăng
b) Tính lim un .
Lời giải:
a) Nhận xét rằng (un ) là dãy bị chặn
Hơn nữa 0  un  1 � un  0 và un1  0 .Theo bất đẳng thức Cosi, ta có
1
un1  (1  un ) �2 un 1 (1  un )  2
 1, n �1  un1 un
4
Do đó (un ) là dãy số tăng
b) Từ câu a) và nhận xét trên suy ra dãy (un ) có giới hạn. Giả sử lim un  a
thì a �0 . Do đó lim[un1 (1  un )]  lim un1.lim(1  un )  a(1  a) .

15


1
1
Mặt khác từ giả thiết suy ra lim[un1 (1  un )] � � a (1  a ) �

4
4
1
1
1
� a 2  a  �0 � (a  ) 2 �0 � a  . 
4
2
2
1
Vậy lim un  .
2
u1  0
�
�
1
a , n �1. Tính lim un
Bài 2.2.6. Cho dãy số (un ) xác định bởi �
u

(
u

)
n

1
n
�
2

u
n
�
Lời giải:
Nhận xét rằng (un ) bị chặn dưới bởi a
1
a
Thật vậy, theo bất đẳng thức Cosi ta có u2  (u1  ) � a
2
u1
Giả sử uk � a , k �2 , ta chứng minh uk 1 � a
Theo bất đẳng thức Cosi và giả thiết quy nạp ta có:
1
a
a
uk 1  (uk  ) � uk .  a . Do đó un � a , n �2 , nên (un ) bị chặn dưới
2
uk
uk
bởi

a.

un1 1
a
a
1
 
u  �
a�

, n 2
.
2 mà n
2
un
2 2un
2un
2a
un1 1
a
1 a
� �

1 un1 un , n 1 , nên (un ) là dãy giảm.
Do đó:
2
un
2 2un
2 2a
Mặt khác, ta có

Vậy dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn. Giả sử lim un   , khi đó   0
1
a
1
a
Từ hệ thức truy hồi suy ra: lim un1  lim (un  ) �   (  ) �   a .
2
un
2


Vậy lim un  a .
* Bài tập tương tự:
Bài 1. Cho dãy số u1 1 và un 1  un2  un  1 

un2  un  un  1 . Tìm giới hạn dãy

số?
HD: Ta có: un 1 

2un
un2  un  1  un2  un  1

0
2

Mặt khác:

2

1 3
 1 3

u  u n  1 + u  un  1   un      un   
2 4
 2 4

2
n

2
n

16


≥

2
1
1  3
3

 2

 u n    un    
2
2  2
2 


Do đó dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn. Suy ra limun = 0
1
2020
) . Tìm giới hạn dãy số ?
Bài 2. Cho dãy số u1= 2020 và un1  (un 
2
un
un2  6
Bài 3. Cho dãy số u1= 2020 và un 1 

. Tìm giới hạn dãy số ?
2u n  1

2n
Cho dãy số (un ) với un 
. Tìm giới hạn dãy số ?
n!
un 3  3un
u

Bài 4. Cho dãy số n1
.Tìm giới hạn dãy số?
3un 2  1
(un  1)3
0
HD: Ta có: un 1  1  2
3un  1
 2un3  2un
 0. Do đó dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại
Xét hiệu un 1  un 
3un2  1

giới hạn. Suy ra lim un  1.

n

 1
Bài 5. Cho dãy số un 1  1   . Tìm giới hạn dãy số ?
 n
2

2
Bài 6. Cho dãy số u1  b và un 1 u n  (1  2a )u n  a . Xác định a, b để dãy số có
giới hạn và tìm giới hạn dãy số ?
n  1  21 2 2
2n 
Bài 7. Cho dãy u n 1  n 1    ...   . Tìm giới hạn dãy số ?
2 1 2
n
 u1  1

Bài 8. Cho dãy (un ) thỏa mãn các điều kiện: 
1
u
(
1

u
)

, n 1
n

1
n

2

1
(ĐS: lim un  )
2

u1  0
�
�
1
2020 ,
Bài 9. Cho dãy (un ) xác định bởi �
u

(2
u

)
n

1
n
2
�
3
u
n
�
3
Tính lim un .
(ĐS: lim un  2020 )
Tính lim un .

17

2.3.Phương pháp lượng giác hóa
* Kiến thức sử dụng:
- Biểu diễn số hạng tổng quát của dãy số bằng công thức lượng giác để tính giới
hạn: cơng thức nhân đơi, nhân ba, các hằng đẳng thức lượng giác.
- Ý tưởng chính: Nhận dạng và dùng cơng thức lượng giác phù hợp để biểu diễn
các số hạng của dãy số. Chú ý các số hạng đầu là các giác trị lượng giác đặc biệt
nào ?
* Bài tập vận dụng
un
1
2
Bài 2.3.1. Cho dãy số u1 
và u n 1 2u n  1 . Tìm giới hạn lim
?
n
2
Lời giải:
1

1
2
Ta có: u1   cos , u2    cos ,...
2
3
2
3
Bằng phương pháp qui nạp suy ra un 1 cos
Vậy lim

2n 

3

un
0
n

u1  1
�
�
Bài 2.3.2. Cho dãy số �
1  un 2  1 . Tìm giới hạn dãy số ?
un1 
�
un
�
Lời giải:


Ta có: u1  1  tan , u2  2  1  tan ,...
4
8

Bằng phương pháp qui nạp suy ra un  tan n1
2
Vậy lim un  0.
un4
u
Bài 2.3.3.Cho dãy số u1 = 2 và un 1  4
. Tìm giới hạn dãy số n
2

n
un  8un  8
Lời giải:
1
8
8
1  2  4  an 1 1  8an2  8an4 2(2an2  1) 2  1
Ta có:
un 1
un un
1

4n 
a


cos
.
Mặt khác: 1
Ta có un 1 cos
2
3
3

Suy ra lim

un
0
n

Bài 2.3.4. Cho dãy số un 

2

2  2...  2

2  2  2 ...  2

18

. Tìm giới hạn dãy số un ?


Lời giải:
Chứng minh:. un  tan
*Bài tập tương tự:


.Vậy lim un  0.
2n1

2
1
Bài 1. Cho dãy số u1  và un 1  2  2 1  un . Tìm giới hạn dãy số 2nun ?

2

2

3  un

u
.Tìm giới hạn dãy số n ?
n
1  3un

Bài 2. Cho dãy số u1  3 và un 1 
Bài 3. Cho dãy số u1 

1
1
1
và un1  (un  un 2  n ) . Tìm giới hạn dãy số ?
2
2
4

2.4. Giới hạn dãy tổng các số hạng của một dãy cho trước.
* Kiến thức sử dụng:
Các bài tốn về tìm giới hạn của tổng ta thu gọn tổng đó bằng cách phân tích
hạng tử tổng quát thành hiệu các hạng tử nối tiếp nhau để các hạng tử có thể triệt
tiêu, cuối cùng đưa tổng đó về biểu thức chỉ cịn chứa xn , sau đó tìm limxn.
* Bài tập vận dụng
Bài 2.4.1.

 xn  n1 được xác định như sau: x  3, x  x  3x  4, n  1, 2,...
�
Chứng minh rằng  xn  n 1 là một dãy đơn điệu tăng và không bị chặn. Tìm giới hạn
�
của dãy số  yn  n 1 trong đó yn được xác định bởi cơng thức:
Cho dãy số

�

1

yn 

n 1

2
n

n

1
1
1

L 
, n  1, 2,K
x1  1 x2  1
xn  1

Lời giải:

Ta có xn 1  xn   xn  2  �0 suy ra dãy số  xn  n 1 là dãy đơn điệu tăng.
�

2

Chứng minh bằng quy nạp xn �n  2,  n  1, 2,K (*).
Thật vậy (*) đúng với n  1.
Giả sử (*) đúng với n  k �1 .
Thế thì xk 1  xk  xk  3  4 � k  2   k  1  4 �k  3.
Vậy (*) đúng với n  k  1.

19


Theo nguyên lý quy nạp suy ra xn �n  2 đúng với mọi n do đó dãy khơng bị
chặn.
Theo định nghĩa dãy ta có:
1
1
1
1
1
1
1



�


.
xk 1  2  xk  1  xk  2  xk  2 xk  1
xk  1 xk  2 xk 1  2

Bằng cách cộng các đẳng thức trên với k  1, 2,..., n ta được

1
1
yn 

x1  2 xn 1  2
1
1
� 1 �

Vì 0 
theo nguyên lý giới hạn kẹp � nlim
�
� 0 suy ra
�� x
xn 1  2 n
� n 1  2 �
lim yn  1.
n ��

Bài 2.4.2: Cho dãy ( xn ) (n = 1, 2, …) được xác định như sau:
x1  1 và

xn 1  xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)  1 với n = 1, 2, …

1
Đặt yn  �
i 1 xi  2
n

yn

(n = 1, 2, ….). Tìm lim
n ��

Lời giải:
Ta có x2  5 và xn  0 với mọi n = 1, 2, …
xn 1  xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)  1 

x

2
n

 3xn   xn2  3xn  2   1  xn2  3xn  1 (1)

Từ đó suy ra
xn 1  1 = xn2  3 xn  2 = ( xn  1)( xn  2)

1
xn 1  1



1

 x n 1  xn  2 



1
1


x n 1 xn  2

�

1
1
1


xn  2 xn  1 xn 1  1

n �
1
1
1 � 1
1
1
1


 
Do đó yn  �
= ��
�
xi  1 xi 1  1 � x1  1 xn 1  1 2 xn 1  1
i 1 xi  2
i 1 �

n

2
k 1
k
Từ (1) xk 1 = xk  3 xk  1  3xk �3.3  3

Ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp xn  3n1
yn 
Nên lim
n ��

(2)

1
(vì do (2) xn 1 > 3n)
2

. Ta có thể chứng minh limxn = � với cách khác:
Dễ thấy (xn) là dãy tăng, giả sử limxn = a (a �1)
Nên ta có a  a(a  1)(a  2)(a  3)  1
Suy ra a2 = a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 hay a4 + 6a3 + 10a2 + 6a +1 = 0

20


Rõ ràng phương trình này khơng có nghiệm thỏa mãn a �1. Vậy limxn = �

u1  1
�
�

Bài 2.4.3. Cho dãy số  un  xác định bởi �
un2
un1  un 
, n �1
�
2019
�
�u u
u �
Hãy tìm lim � 1  2  ...  n �
un1 �
�u2 u3
Lời giải:
2019  un1  un 
�1
un
un2
1 �


 2019 � 
Ta có
�
un1 un1 .un
un1 .un
�un un1 �

�

�1 1 �

u1
 2019 �  �
u2
�u1 u2 �
�1 1 �
u2
 2019 �  �
u3
�u2 u3 �
…
…
�1
un
1 �
 2019 � 
�
un1
�un un1 �

�1
� 1 �
u
u1 u1
1 �
  ...  n  2019 � 

2019
1
�
�

�
u 2 u2
un1
u
u
n 1 �
�1
� un1 �
�u u
�
u �
1 �
� lim � 1  1  ...  n � 2019 �
1  lim
�
un1 �
un1 �
�u2 u2
�
1
� u2  u1 �1
Theo đề bài � u1  1, u2  1 
2019
Giả sử uk 1  uk �1, k �1 (giả thiết quy nạp)
Ta sẽ chứng minh uk  2  uk 1 (*)
uk21
uk2
uk21  uk2
 uk 
� uk 1  uk 

 0 đúng
Theo đề bài, (*) � uk 1 
2019
2019
2019
(theo giả thiết quy nạp).
Vậy dãy số  un  tăng
�

Ta lại chứng minh  un  không bị chặn trên.

Giả sử  un  bị chặn trên �  lim un . Đặt limun  x
Mà un1

x 1 và lim un1  x

un
lim un
x2
 un 
� lim un1  lim un 
�x x
2019
2019
2019
2

2

� x  0 loại) suy ra giả sử  un  bị chặn trên là sai

Do đó lim un  �.

21


�u
�u2

Vậy lim � 1 

u1
u �
 ...  n � 2019
u2
un 1 �

Bài 2.4.4. Cho dãy ( xn ) (n = 1, 2, …) xác định bởi:
� 1
�x1  2
�
�
2
�x  xn 1  4 xn 1  xn 1
n
�
�
2

(n  2,3,...)

n
1
y

Chứng minh rằng dãy (yn) (n = 1, 2, …) với n � 2 có giới hạn hữu
i 1 xi

hạn, tìm giới hạn đó.
Lời giải:
Từ giả thiết ta có xn  0 n �1
Ta có xn  xn1 =

xn21  4 xn 1  xn 1
> 0 n �2
2

xn21  4 xn 1  xn 1  x
n 1 =
2

Do đó dãy ( xn ) tăng. Giả sử lim xn = a thì a > 0 và
a 2  4a  a �
a = 0 (vô lý)
a
2

Vậy lim xn = �
Từ xn =

xn21  4 xn 1  xn 1
2

xn2  ( xn  1) xn 1 �

n �2 suy ra
1
1
1


2
xn xn 1 xn

n �2

Do đó
n
�1
1
1 �1 1 � �1 1 �
1� 1 1 1
1
yn  � 2  2  �  � �  � ...  �  � 2    6 
x1 �x1 x2 � �x2 x3 �
xn
i 1 xi
�xn 1 xn � x1 x1 xn

n �2

1

Suy ra yn < 6 n �1 và dãy (yn) tăng vì yn = yn-1 + x > yn-1
n
Vậy (yn) có giới hạn hữu hạn và limyn = 6
u1  1
�
�
.
Bài 2.4.5. Cho dãy số (un) xác định như sau: �un1
2019

1

u
,
n

�
,
n
1
n
�u
�n

22


�u12019 u22019

un2019 �

 ... 
.
Tính lim �
�
u
u
u
3
n 1 �
� 2
Lời giải:
Ta có:
un1
1
1
u 2019
 1  un2019 � un1  un  un2020 � un1  un  un2020 � 
 n
un
un un 1 un 1
u12019 u22019
un2019 1
1
1

 ... 
 
1

Suy ra:
u2
u3
un1 u1 un1
un1
1
0
Chứng minh lim un   lim
un 1
�u12019 u22019
un2019 �

 ... 
Vậy lim �
� 1.
u
u
u
3
n 1 �
� 2
u1  5
�
n
1
�
2020
lim
?
Bài 2.4.6. Cho dãy số: �

un  3un  16 .Tính
�
2019
u

7
u

i 1 i
�n1 u 2019  u  11
n
n
�
Lời giải:
Ta có:
un2019  7   un  4 

1
1
1
un1  4  2019
�

 2019
un  7  (un  4)
un1  4 un  4 un
n
1
1
1

1


1
Suy ra: � 2019
 7 u1  4 un1  4
un1  4
i 1 ui
1
0
Chứng minh lim un   lim
un 1  4
n
1
lim
 1.
Vậy
�
2019
u

7
i 1 i
n
u1  1, u2  3
�
1
, n �2. Tìm lim � .
Bài 2.4.7. Cho dãy số (un ) xác định bởi �
un1  4un  3un1

i 1 ui
�
Lời giải:
Ta có: un1  un  3(un  un 1 )
Đặt vn  un  un1 , n �2.
v1  2
�
� vn  2.3n1. Do đó
Suy ra �
vn1  3vn
�

23


u2  u1  2.3
u3  u2  2.32
...
un  un1  2.3n1
� un  u1  2.(3  32  ...  3n1 ) � un  2.(3  32  ...  3n1 )  1  3n1
n
1 3
Do đó lim �  .
2
i 1 ui
Bài 2.4.8. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1  0 và un 1  un  4n  3, n �1 . Tìm
lim

un  u4 n  u42 n  ...  u42018 n
un  u2 n  u22 n  ...  u22018 n

?

Lời giải:
Ta có
u2  u1  4.1  3
u3  u2  4.2  3
...
un  un 1  4.  n  1  3

Cộng vế theo vế và rút gọn ta được
un  u1  4.  1  2  ...  n  1  3  n  1  4

n  n  1
 3  n  1  2n 2  n  3 , với mọi
2

n �1 .

Suy ra
u 2 n  2  2 n   2n  3
2

u 22 n  2  2 2 n   2 2 n  3
2

...
u22018 n  2  22018 n   22018 n  3
2

Và
u 4 n  2  4 n   4n  3
2

u 42 n  2  4 2 n   4 2 n  3
2

...
u42018 n  2  42018 n   42018 n  3
2

Do đó lim

un  u4 n  u42 n  ...  u42018 n
un  u2 n  u22 n  ...  u22018 n

24


2
1 3
4 3
42018 3
 2  2.42   2  ...  2  4 2018  
 2
n
n
n
n
n

n
 lim
2018
2
1 3
2 3
2
3
2   2  2.22   2  ...  2  2 2018  
 2
n n
n n
n
n

2

2  1  4  4  ...  4
2



2018

2  1  2  22  ...  22018




1  42019

2019
2019
4  1 4 1  2  1
 1 2019
.
1 2
3 22019  1
3
1 2
1

*Bài tập tương tự:
Bài 1. Cho dãy số (un ) với un1  un2  un  1, n ��* và u1  2 .
1 1
1
Tính lim(   ...  )?
u1 u2
un
1 2
*
Bài 2. Cho dãy số (un ) với un1  (un  un  9), n �� và u1  5 .
5
n
1
.
Tính lim �
i 1 ui  2
 u1 3

Bài 3. Cho dãy số (un ) xác định bởi: 

1 2
 un 1  2 un  un  2(n 1)
n

Tính lim 
n  
i 1

1
?
ui

u1  2
�
�
*
Bài 4. Cho dãy số (un ) xác định bởi: �
un 2  2019un , n ��
un1 
�
2020
�
n
ui
?
Tính nlim

 
i 1 ui 1  1
u1  a  1

�
, n �1 .
Bài 5. Cho dãy (un ) xác định bởi �
2
u

u
n

1
n
�
n
uk
Tính nlim
�
��
k 1 uk 1  1
 u1 a  1

u n2  u n  1
Bài 6. Cho dãy (un ) xác định bởi 
.
, n 1
 u n 1 
un


25