Nghiên cứu các thuật toán về cây khung và ứng dụng

.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG

TRẦN THỊ PHƢƠNG THẢO

NGHIÊN CỨU CÁC THUẬT TỐN VỀ CÂY KHUNG
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Thái Ngun, 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

LỜI CAM ĐOAN
Tên em là Trần Thị Phƣơng Thảo, học viên lớp Cao học K12E, chuyên
ngành Khoa học máy tính, khóa học 2013 – 2015. Em xin cam đoan luận văn:
“NGHIÊN CỨU CÁC THUẬT TOÁN VỀ CÂY KHUNG VÀ ỨNG DỤNG ”

Dƣới sự hƣớng dẫn của PGS TSKH. Nguyễn Xuân Huy - Trƣờng Đại học
Công nghệ thông tin và Truyền thơng, Đại học Thái Ngun , với các nội
dung trình bày đƣợc trích dẫn đầy đủ từ các nguồn tài liệu tham khảo chính
thống (báo khoa học, các sách có bản quyền), các nội dung trình bày trong
luận văn hồn tồn trung thực. Và đây là cơng trình nghiên cứu của bản thân
kết hợp với sự hƣớng dẫn của PGS TSKH.Nguyễn Xuân Huy tạo lập ra.
Nếu có nội dung nào sao chụp lại hoặc khơng phải do chính bản thân
tạo ra, em xin hoàn toàn chịu tránh nhiệm và chịu các hình thức kỷ luật.

Phú Thọ, ngày 4 tháng 10 năm 2015
HỌC VIÊN
Trần Thị Phƣơng Thảo

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

LỜI CẢM ƠN
Điều đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô Trƣờng Đại học
Công nghệ thông tin và Truyền thông Thái Nguyên trong thời gian vừa qua đã
cung cấp và truyền đạt chƣơng trình học với các mơn học có nội dung bổ ích.
Thơng qua chƣơng trình học, em đƣợc lĩnh hội nhiều về kiến thức chun
mơn, các phƣơng pháp tiếp cận bài tốn trong tin học.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TSKH. Nguyễn Xuân Huy,
ngƣời Thầy đã hƣớng dẫn, chỉ bảo, giám sát, theo dõi, cung cấp phƣơng pháp,
nguồn dữ liệu tiếp cận bài tốn để em có thể hồn thành đƣợc luận văn của
mình.
Em xin cảm ơn Ban Giám hiệu trƣờng THPT Trần Phú cùng các đồng
nghiệp trong Trƣờng, xin cảm ơn Trƣờng Đại học Công nghệ thông tin và
Truyền thông, Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để em hồn
thành chƣơng trình học tập và luận văn tốt nghiệp.
Điều cuối cùng em xin cảm ơn gia đình, bạn bè ln nhiệt tình ủng
hộ, động viên, giúp đỡ cả về vật chất lẫn tinh thần trong thời gian học tập
và nghiên cứu.
Trong quá trình thực hiện luận văn, mặc dù đã có rất nhiều cố gắng
nhƣng cũng khơng tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận đƣợc sự cảm
thơng và tận tình chỉ bảo của các Thầy, Cô và các bạn.
Em xin trân trọng cảm ơn!.

Phú Thọ, ngày 4 tháng 10 năm 2015.
HỌC VIÊN
Trần Thị Phƣơng Thảo

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU........................................................................................................1
1. Tính cấp thiết của đề tài.............................................................................1
2. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu..............................................................2
3. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................2
4. Hƣớng nghiên cứu của đề tài......................................................................3
5. Những nội dung nghiên cứu chính.............................................................3
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CÂY KHUNG..........................................4
1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM LIÊN QUAN TỚI ĐỒ THỊ...............................4
1.1.1 Định nghĩa đồ thị .................................................................................4
1.1.2. Các loại đồ thị ....................................................................................5
1.1.3. Bậc của đồ thị ...................................................................................6
1.2. ĐỒ THỊ CON, ĐỒ THỊ BỘ PHẬN.................................................8
1.2.1. Đồ thị con, đồ thị bộ phận .................................................................8
1.2.2. Đƣờng đi, chu trình trong đồ thị..........................................................8
1.3 TỔNG QUAN VỀ CÂY KHUNG........................................................10
1.3.1 Định nghĩa về cây...............................................................................10
1.3.2 Cây khung ..........................................................................................11
1.3.3 Cây khung cực tiểu.............................................................................12
1.3.4 Rừng khung, rừng khung cực tiểu......................................................13
1.3.4.1 Rừng khung.....................................................................................13
1.3.4.2 Rừng khung cực tiểu.......................................................................14

1.3.5 Cầu, cạnh trọng yếu...........................................................................15
1.3.6 Khớp...................................................................................................16
1.3.7 Liên thơng hóa...................................................................................16
1.4 BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRÊN MÁY TÍNH.............................................20

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

1.4.1 Ma trận kề và ma trận trọng số...........................................................21
1.4.2 Ma trận liên thuộc..............................................................................22
1.4.3 Danh sách kề......................................................................................23
CHƢƠNG 2: TÌM HIỂU MỘT SỐ THUẬT TOÁN VỀ CÂY KHUNG....25
2.1 GIỚI THIỆU KỸ THUẬT FIND UNION............................................25
2.2 THUẬT TỐN TÌM CÂY KHUNG, CÂY KHUNG CỰC TIỂU.......31
2.2.1 Thuật tốn tìm cây khung....................................................................31
2.2.2 Thuật tốn tìm cây khung cực tiểu.....................................................33
2.3 THUẬT TOÁN LIỆT KÊ CÁC CÂY KHUNG THÀNH PHẦN CỦA
RỪNG KHUNG...........................................................................................40
2.4 THUẬT TOÁN LIỆT KÊ CÁC CÂY KHUNG THÀNH PHẦN CỦA
RỪNG KHUNG CỰC TIỂU.......................................................................44
2.5 THUẬT TOÁN LIỆT KÊ CÁC CẦU...................................................48
2.6 THUẬT TOÁN LIỆT KÊ CÁC KHỚP................................................50
CHƢƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN CÂY KHUNG GIẢI
QUYẾT VẤN ĐỀ THỰC TẾ.............................................................54
3.1 BÀI TOÁN CÁP MẠNG.......................................................................54
3.2 BÀI TOÁN TUYẾN ĐƢỜNG QUAN TRỌNG TRONG QUÂN SỰ..59
3.3 CÀI ĐẶT CHƢƠNG TRÌNH................................................................64
KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN...................................................64
Tài liệu tham khảo:......................................................................................66

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

1

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Khái niệm về cây khung đƣợc CayLey đƣa ra năm 1857 [4].
Cây là đồ thị vơ hƣớng, liên thơng, khơng có chu trình.
Trong tin học, cây đƣợc dùng để xây dựng các thuật tốn, tổ chức các thƣ
mục, các thuật tốn tìm kiếm, lƣu trữ và nén dữ liệu,…[3,5]. Có rất nhiều bài
tốn vận dụng khái niệm về cây nhƣ: Sửa chữa đƣờng, định chiều các đƣờng
đi trong thành phố, tìm cây khung có nhiều lá nhất…
Cây khung của một đồ thị hữu hạn, vô hƣớng và liên thông là đồ thị con
liên thơng chứa mọi đỉnh và ít cạnh nhất [1,2,3,4,5,6,7]. Nếu đồ thị ban đầu có
n đỉnh thì cây khung của đồ thị này có n đỉnh và n - 1 cạnh. Nhiều bài tốn
trong thực tiễn địi hỏi phải xây dựng cây khung với các biến thể khác nhau,
thí dụ: Bài toán du lịch, bài toán kết nối mạng máy tính, bài tốn quản lý vốn
vay của địa phƣơng.
Một số biến thể của cây khung cũng đƣợc vận dụng nhiều trong thực tiễn
[3] Thí dụ: Một mạng giao thơng có nhiều cầu. Khi một cầu bị phá thì mạng
vẫn có thể liên thông. Một cầu đƣợc gọi là trọng yếu nếu nhƣ khi bỏ cầu đó
thì mạng mất liên thơng [3]. Trong chiến tranh đối phƣơng thƣờng quan tâm
phá những cầu trọng yếu. Trong một mạng máy tính đƣờng nối giữa hai máy
đƣợc xem là trọng yếu nếu đƣờng nối đó bị đứt thì mạng mất tính liên thơng.
Một đỉnh trong đồ thị liên thông đƣợc gọi là trọng yếu hay đỉnh khớp nếu
bỏ đỉnh đó và những cạnh liên thuộc thì đồ thị mất tính liên thơng [3].

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

2

Để xác định đƣợc các cầu trọng yếu hoặc đỉnh khớp ta cần dựa vào khái
niệm cây khung. Thí dụ, mọi cầu trọng yếu đều phải thuộc một cây khung nào
đó.
Với những lí do trên học viên chọn đề tài nghiên cứu các thuật toán về cây
khung và ứng dụng nhằm các mục đích sau:
- Tìm hiểu các khái niệm về đồ thị nói chung và đồ thị liên thơng nói riêng.
- Tìm hiểu sâu về cây khung và các thuật toán liên quan đến cây khung và các
biến thể của cây khung.
- Xây dựng một số ứng dụng cây khung giải quyết một số vấn đề thực tiễn:
Bài toán kết nối mạng, bài tốn quản lý giao thơng, bài toán quản lý cụm hải
đảo và các quần thể động thực vật.
2. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
a. Đối tượng nghiên cứu:
Tổng quan lý thuyết về cây khung.
Tìm hiểu một số thuật tốn về cây khung điển hình nhƣ: Tìm cây khung, tìm
cây khung cực tiểu, các bài tốn về rừng khung, liệt kê các cây khung, cầu
trọng yếu, đỉnh khớp…
Các ứng dụng của việc giải quyết các bài toán cây khung vào trong thực tế.
b. Phạm vi nghiên cứu:
Khảo sát, đánh giá tổng quan về lý thuyết cũng nhƣ các bài toán và các biến
thể của cây khung trong lớp các đồ thị hữu hạn.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các phƣơng pháp nghiên cứu chính sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

3

- Phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết: Tổng hợp tài liệu, hệ thống lại các kiến
thức, tìm hiểu các khái niệm, thuật toán sử dụng trong đề tài.
-

:

- Phƣơng pháp thực nghiệm: Điều tra chọn mẫu, xử lý thông tin,...
- Phƣơng pháp trao đổi khoa học, lấy ý kiến chuyên gia.
4. Hƣớng nghiên cứu của đề tài
- Tổng quan về lý thuyết đồ thị và cây khung.
- Nghiên cứu các thuật toán về cây khung.
- Ứng dụng của các bài toán cây khung trong thực tế.
- Cài đặt thử nghiệm chƣơng trình.
5. Những nội dung nghiên cứu chính
Nội dung chính của luận văn đƣợc chia thành ba chƣơng, cụ thể nhƣ sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

4

CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ CÂY KHUNG

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM LIÊN QUAN TỚI ĐỒ THỊ
( Các khái niệm cơ bản liên quan đến đồ thị được trình bày chi tiết trong tài
liệu [1,2,6])
1.1.1 Định nghĩa đồ thị
Đồ thị là một cấu trúc rời rạc bao gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh của
đồ thị. Các loại đồ thị khác nhau đƣợc phân biệt dựa trên kiểu và số lƣợng
cạnh nối hai đỉnh nào đó của đồ thị.
u
y

x

- Nếu cạnh u = (x,y) mà x và y là hai đỉnh phân biệt thì ta nói x, y là hai đỉnh
kề nhau.
- Nếu u = (x,x) thì u là cạnh có hai đỉnh trùng nhau ta gọi đó là một khuyên.
u
x
- Nếu u = (x,y) mà x,y là cặp đỉnh có phân biệt thứ tự hay có hƣớng từ x đến
y thì u là một cung, khi đó x là gốc còn y là ngọn hoặc x là đỉnh ra, y là đỉnh
vào.
xX

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

y

/>

5

- Khi giữa cặp đỉnh (x, y) có nhiều hơn một cạnh thì ta nói những cạnh cùng
cặp đỉnh là những cạnh song song hay là cạnh bội.

x

y

1.1.2. Các loại đồ thị
a. Đồ thị vô hướng
- Đồ thị G=<V,E> đƣợc gọi là đồ thị vô hƣớng nếu tất cả các cạnh u
mà cặp đỉnh thuộc nó u = (x,y) (trong đó x,y

V) khơng phân biệt thứ tự.

11

5

2
4

3

6

8

E

7

Hình 1.1: Đơn đồ thị vô hƣớng gồm 8 đỉnh 7 cạnh
b. Đồ thị có hướng
Đồ thị G = <V, E> đƣợc gọi là đồ thị có hƣớng nếu tất cả các cạnh u
cặp đỉnh thuộc nó u = (x, y) (trong đó x,y
hƣớng là đồ thị mà mọi u=(x, y)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

E mà

V) có phân biệt thứ tự. Đồ thị có

V đều là cung.

/>

6

5

2

4

3

6

8

1

7

Hình 1.2: Đơn đồ thị có hƣớng gồm 8 đỉnh và 7 cạnh
c. Đồ thị hỗn hợp
Đồ thị G=<V,E> đƣợc gọi là đồ thị hỗn hợp nếu tất cả các cạnh u

E mà

cặp đỉnh thuộc nó u = (x,y) có nhiều hơn một đƣờng đi.

1

3

2

5

4

1.1.3. Bậc của đồ thị
a. Bậc của đồ thị vơ hướng
6

4
4

5
1

3
3

2

Hình 1.3: Đơn đồ thị

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

7

Hình 1.3 là một đồ thị đơn với tập đỉnh V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và tập
cạnh E = 1,2 , {1,5}, {2,3}, {2,5}, {3,4}, {4,5}, 4,6
Bậc của đỉnh v trong đồ thị G, ký hiệu dG(v), là số cạnh liên thuộc với v, trong
đó, khuyên đƣợc tính hai lần. Một đỉnh có bậc 0 là đỉnh cơ lập. Đỉnh có bậc 1
là một đỉnh treo hay lá. Trong đồ thị ví dụ, các đỉnh 1 và 3 có bậc là 2, các
đỉnh 2, 4 và 5 có bậc bằng 3, đỉnh 6 có bậc 1.
Nếu tập cạnh E là hữu hạn thì tổng giá trị bậc của các đỉnh gọi là bậc của đồ
thị. Bậc của đồ thị bằng hai lần số cạnh. Số các đỉnh bậc lẻ luôn là số chẵn.
Bậc cực đại của đồ thị G, ký hiệu Δ(G), là bậc lớn nhất của các đỉnh trong đồ
thị; bậc cực tiểu, δ(G), là bậc nhỏ nhất của các đỉnh trong đồ thị.
b. Bậc của đồ thị có hướng

A

B

E

D

C

Hình 1.4: Đồ thị có hƣớng
Xét đồ thị cho trong hình 1.4 Ta có:
deg - (a)=1, deg - (b)=2, deg - (c)=2, deg - (d)=2, deg - (e) = 2.
deg + (a)=3, deg + (b)=1, deg + (c)=1, deg + (d)=2, deg + (e)=2.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

8

Bậc của một đỉnh v là số cạnh liên thuộc với v (trong đó, khun đƣợc tính
hai lần). Bậc của v đƣợc ký hiệu là

.

Trong một đồ thị có hƣớng, bậc trong của đỉnh v là số cung kết thúc tại v,
cịn bậc ngồi là số cung xuất phát từ v. Bậc trong và bậc ngoài của v đƣợc ký
hiệu là
Đỉnh với

. Do đó,

và

.

đƣợc gọi là đỉnh cơ lập. Đỉnh có

đƣợc gọi

là lá. Nếu mỗi đỉnh của đồ thị đều có bậc bằng nhau và bằng k thì đồ thị đƣợc
gọi là đồ thị chính quy bậc k và đồ thị đƣợc coi là có bậc bằng k.
Đỉnh có

đƣợc gọi là đỉnh phát, đỉnh có

là đỉnh

thu.
Trong đồ thị có hƣớng Γ, bậc ngoài dΓ+(v), số cung xuất phát từ đỉnh v, và bậc
trong dΓ-(v), số cung đi vào đỉnh v. Bậc dΓ(v) của đỉnh v bằng tổng bậc ngoài
và bậc trong của đỉnh đó. Bậc ngồi cực đại và cực tiểu đƣợc ký hiệu Δ+(Γ) và
δ+(Γ); bậc trong cực đại và cực tiểu, Δ-(Γ) và δ-(Γ). Trong ngữ cảnh rõ ràng,
có thể bỏ qua chỉ số dƣới Γ
1.2. ĐỒ THỊ CON, ĐỒ THỊ BỘ PHẬN
1.2.1. Đồ thị con, đồ thị bộ phận
Cho đồ thị G = (V,E .
- Nếu trong đồ thị đó ta bỏ đi một số đỉnh nào đó và các cạnh (cung) xuất phát
từ đỉnh đó thì phần còn lại của đồ thị đƣợc gọi là đồ thị con của đồ thị G đã
cho.
- Nếu trong đồ thị G ta bỏ đi một số cạnh nhƣng giữ ngun các đỉnh thì phần

cịn lại của đồ thị đƣợc gọi là đồ thị bộ phận của đồ thị G.
1.2.2. Đƣờng đi, chu trình trong đồ thị

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

9

Đƣờng đi có độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số nguyên dƣơng,
trên đồ thị vô hƣớng G = (V, E) là dãy x 0 , x 1 ,…, x n-1 , x n
trong đó u = x 0 , v = x n , (x i , x i+1 ) ∈ E, i = 0, 1, 2,…, n-1.
Đƣờng đi nói trên cịn có thể biểu diễn dƣới dạng dãy các cạnh:
(x 0 , x 1 ), (x 1 , x 2 ), …, (x n-1 , x n )
Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đƣờng đi. Đƣờng đi có
đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u = v) đƣợc gọi làchu trình . Đƣờng đi
hay chu trình đƣợc gọi là đơn nếu nhƣ khơng có cạnh nào bị lặp lại.

a

b

d

e

c

f

Hình 1.7

a

d

b

c

e

f

Hình 1.8

Hình 1.7 và 1.8: Đƣờng đi trên đồ thị.
Trên đồ thị vô hƣớng cho trong hình 1.7 : a, d, c, f, e là đƣờng đi đơn độ dài
4. Còn d, e, c, a không là đƣờng đi, do (c,e) không phải là cạnh của đồ thị.
Dãy b, c, f, e, b là chu trình độ dài 5. Đƣờng đi a, b, e, d, a, b có độ dài là 5
khơng phải là đƣờng đi đơn, do cạnh (a, b) có mặt trong nó 2 lần.
Khái niệm đƣờng đi và chu trình trên đồ thị có hƣớng đƣợc định nghĩa hồn
tồn tƣơng tự nhƣ trong trƣờng hợp đồ thị vô hƣớng, chỉ khác là ta có chú ý
đến hƣớng trên các cung.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

10

1.3 TỔNG QUAN VỀ CÂY KHUNG
1.3.1 Định nghĩa về cây : Cho đồ thị G = <V, E>, G đƣợc gọi là một cây nếu
G liên thơng và khơng có chu trình đơn, Đồ thị vơ hƣớng khơng có chu trình
đơn gọi là rừng (hợp của nhiều cây), với n = V > 1.
Khi đó sáu tính chất sau là tƣơng đƣơng
(1) G là đồ thị liên thông và không có chu trình
(2) G khơng có chu trình và có n - 1 cạnh
(3) G liên thơng và có n - 1 cạnh
(4) G khơng có chu trình và nếu thêm vào một cạnh nối 2 đỉnh
khơng kề nhau thì G xuất hiện duy nhất một chu trình.
(5) G liên thơng và nếu bỏ đi một cạnh tuỳ ý thì đồ thị nhận đƣợc
sẽ không liên thông.
(6) Mỗi cặp đỉnh trong G nối với nhau bằng một đƣờng duy nhất.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

11

Hình 1.17: Cây
1.3.2 Cây khung
Định nghĩa : Cây khung (cịn gọi là cây bao trùm) của một đồ thị n đỉnh, m
cạnh là cây gồm n đỉnh với số cạnh tối thiểu bảo tồn tính liên thơng của đồ
thị.
Cho đồ thị G = <V, E> với số đỉnh n lớn hơn 1.
Giả sử G' là đồ thị bộ phận của G (G' nhận đƣợc từ G bằng cách bỏ đi một số
cạnh nhƣng vẫn giữ nguyên đỉnh). Nếu G' = <V, E'> là một cây thì G' gọi là
cây bao trùm của G. Theo đúng tính chất về cây. G' là cây bao trùm phải có

n - 1 cạnh và là một đồ thị liên thơng khơng có chu trình.
Giả sử G = (V, E) là đồ thị vô hƣớng. Cây T = (V, F) với F

E gọi là cây

khung của đồ thị G. Tức là nếu nhƣ loại bỏ một số cạnh của G để đƣợc một
cây thì cây đó gọi là cây khung (hay cây bao trùm của đồ thị).
Dễ thấy rằng với một đồ thị vô hƣớng liên thơng có thể có nhiều cây khung.
Điều kiện cần và đủ để một đồ thị vơ hƣớng có cây khung là đồ thị đó phải
liên thơng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

12

Hình 1.18

Hình 1.20

Hình 1.19

Hình 1.21

Hình 1.18 đồ thị G.
Hình 1.19, 1.20, 1.21 cây khung của đồ thì G.
1.3.3 Cây khung cực tiểu
Định nghĩa : Cho đồ thị G vô hƣớng và liên thông với n đỉnh và m cạnh, cạnh
(u,v) có trọng số p(u,v) là một số dƣơng. Cây khung cực tiểu (còn gọi là cây

bao trùm ngắn nhất) của G là cây khung với tổng trọng số của các cạnh trong
khung là nhỏ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

nhất.

/>

13

Hình 1.22: Đồ thị G

5
8

1

3

7

6

8

5

2

2
2

4
4
6

3

Hình 1.23
Cây khung cực tiểu của đồ thị G có trọng số = 30.
1.3.4 Rừng khung, rừng khung cực tiểu
1.3.4.1 Rừng khung
Định nghĩa : Cho G là một đồ thị vô hƣớng gồm n đỉnh và m cạnh. Hãy xác
định các cây khung trong mỗi mảnh liên thơng của G. Tập hợp các cây khung
đó đƣợc gọi là rừng khung của đồ thị G.
Rừng là đồ thị mà mỗi thành phần liên thơng của nó là một cây.

4

3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

7

5

/>

14

2

8

6

1

Hình 1.24
Đồ thị vơ hƣớng có 8 đỉnh và 8 cạnh.

3

4

6

7

5

8

1

2

Hình 1.25

Rừng gồm 2 cây khung
1.3.4.2 Rừng khung cực tiểu
Định nghĩa: Cho đồ thị G vô hƣớng và liên thông với n đỉnh và m cạnh,
cạnh (u,v) có trọng số p(u,v) là một số dƣơng. Rừng khung cực tiểu của G là
rừng khung với tổng trọng số của các cạnh trong khung là nhỏ nhất.

9
4

7
3

5

7

9

5
2

5
6

8
3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

1

2
3

/>

15

Hình 1.26
Đồ thị có 8 đỉnh và 8 cạnh dạng x y p

7
4

3

5

7

5

2

5

3

3

6

8

2

1

Hình 1.27
Rừng khung cực tiểu
1.3.5 Cầu, cạnh trọng yếu
Định nghĩa : Một cạnh trong đồ thị G đƣợc gọi là cầu hoặc cạnh trọng yếu
nếu xóa cạnh đó đi (giữ lại các đỉnh ở hai đầu), sẽ làm tăng số thành phần liên
thông của đồ thị.
cầu phải là cạnh khung, nghĩa là phải thuộc một cây hoặc rừng khung.

5

4

6

3

2

1

7

8

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

16

Hình 1.28
Đồ thị có 8 đỉnh, 7 cạnh.
Đồ thị có 3 cầu (1,5), (2,5) và (3,7) (tô đậm)

1.3.6 Khớp
Một đỉnh v đƣợc gọi là điểm khớp của đồ thị G=(V,E) nếu loại bỏ v cùng các
cạnh liên thuộc với nó khỏi đồ thị sẽ làm tăng số thành phần liên thơng của đồ
thị.

Khớp

1.3.7 Liên thơng hóa
Đối với đồ thị vơ hƣớng G

( V, E .

G gọi là liên thông (connected) nếu luôn tồn tại đƣờng đi giữa mọi cặp đỉnh
phân biệt của đồ thị.
Nếu G khơng liên thơng thì chắc chắn nó sẽ là hợp của hai hay nhiều đồ thị
con liên thông, các đồ thị con này đôi một khơng có đỉnh chung. Các đồ thị
con liên thơng rời nhau nhƣ vậy đƣợc gọi là các thành phần liên thơng của đồ
thị đang xét.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

17

G2
G1

G3

Hình 1.29 : Đồ thị G và các thành phần liên thơng G1, G2, G3 của nó
Đơi khi, việc xố đi một đỉnh và tất cả các cạnh liên thuộc với nó sẽ tạo ra
một đồ thị con mới có nhiều thành phần liên thông hơn đồ thị ban đầu, các
đỉnh nhƣ thế gọi là đỉnh cắt hay điểm khớp.
Hoàn tồn tƣơng tự, những cạnh mà khi ta bỏ nó đi sẽ tạo ra một đồ thị có
nhiều thành phần liên thông hơn so với đồ thị ban đầu đƣợc gọi là một cạnh
cắt hay một cầu.

Khớp
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

Cầu
/>

18

Hình 1.30 : Khớp và cầu
a. Đồ thị vơ hướng liên thông

Định nghĩa: Đồ thị vô hƣớng G = (V, E) đƣợc gọi là liên thơng nếu ln tìm
đƣợc đƣờng đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.
Định lý 1: Nếu bậc của mọi đỉnh đồ thị vô hƣớng G=<V,E> khơng nhỏ
hơn một nửa số đỉnh thì đồ thị đó liên thông.
Định lý 2 : Đồ thị vô hƣớng liên thông là định hƣớng đƣợc khi và chỉ khi
mỗi cạnh của nó nằm trên ít nhất một chu trình.

a

b
H2

c

d
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

19

e
H1
g

f

Hình 1.31: Đồ thị G

H3

Hình 1.32: Đồ thị H

Trong hình 1.31 : Đồ thị G là liên thơng.
Trong hình 1.32 : Đồ thị H là không liên thông.
Ta gọi đồ thị con của đồ thị G = (V, E) là đồ thị H = (W, F), trong đó W ⊆ V
và F ⊆ E.

b. Đồ thị có hướng liên thơng
Đối với đồ thị có hƣớng có hai khái niệm liên thơng phụ thuộc vào việc ta có
xét đến hƣớng trên các cung hay khơng.

a

c

b

e

d

Hình 1.34 Đồ thị có hƣớng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

20

Định nghĩa 1 : Đồ thị có hƣớng G=<X,U> đƣợc gọi là liên thơng mạnh
nếu ln ln tìm đƣợc đƣờng đi giữa 2 đỉnh bất kỳ của nó.
Định nghĩa 2 : Đồ thị có hƣớng G=<X,U> đƣợc gọi là liên thông yếu nếu
đồ thị vô hƣớng tƣơng ứng (tức là đồ thị đã cho đƣợc thay các cung bởi các
cạnh) với nó là đồ thị liên thơng.
Rõ ràng nếu đồ thị là liên thơng mạnh thì nó cũng là liên thông yếu, nhƣng
điều ngƣợc lại là không luôn đúng, nhƣ chỉ ra trong ví dụ dƣới đây.

a

b

a

b

e

e
c
c

d

d

Hình 1.35 Đồ thị liên thông mạnh G và đồ thị liên thông yếu H.
Trong hình 1.35 đồ thị G là liên thơng mạnh, cịn H là liên thơng yếu nhƣng
khơng là liên thơng mạnh.
Định nghĩa 3: Nếu e = (u, v) là cung của đồ thị có hƣớng G thì ta nói hai đỉnh

u và v là kề nhau, và nói cung (u, v) nối đỉnh u với đỉnh v hoặc cũng nói cung

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>