Sự ảnh hưởng của bộ tâm được chọn trong phương pháp không lưới RBF FD

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG

VŨ HUY HỒNG ĐƠ

SỰ ẢNH HƯỞNG CỦA BỘ TÂM ĐƯỢC CHỌN
TRONG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBF-FD

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Thái Nguyên - 2014


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG

VŨ HUY HỒNG ĐƠ

SỰ ẢNH HƯỞNG CỦA BỘ TÂM ĐƯỢC CHỌN
TRONG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBF-FD

Chuyên ngành : Khoa học máy tính
Mã số : 60 48 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS. ĐẶNG THỊ OANH

Thái Nguyên - 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan luận văn này hồn tồn do tơi thực hiện, dưới sự hướng dẫn của cơ
giáo TS. Đặng Thị Oanh. Trong luận văn có tham khảo tới các tài liệu trong phần
tài liệu tham khảo.


LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành bản luận văn này, bên cạnh sự nỗ lực cố gắng của bản thân còn có sự
hướng dẫn nhiệt tình của q thầy cơ, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình
và bạn bè trong suốt thời gian học tập nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô giáo TS. Đặng Thị Oanh, người đã hết
lòng giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành luận văn này.
Em xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn đến tồn thể quý thầy cô trong trường Đại
học Công nghệ thông tin và Truyền thông cũng như quý thầy cô đã tận tình truyền
đạt những kiến thức quý báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu và cho đến khi thực hiện luận văn.
Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, những người đã khơng
ngừng động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho em trong suốt thời gian
học tập và thực hiện luận văn.
Thái Nguyên, ngày

tháng

năm 2014

Sinh viên

Vũ Huy Hồng Đơ

2


Mục lục
LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

DANH MỤC CÁC BẢNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

DANH MỤC CÁC HÌNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

LỜI MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Chương 1. Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1. Bài toán nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2. Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3. Nội suy với hàm cơ sở bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.1. Hàm cơ sở bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.2. Nội suy hàm cơ sở bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4. Hàm xác định dương và ma trận xác định dương . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4.1. Ma trận xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4.2. Hàm xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4.3. Hàm bán kính xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.5. Bài toán Dirichlet với phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.5.1. Khái niệm phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3


1.5.2. Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.5.3. Phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet trong không gian 2 chiều .
26

1.6. Sự ổn định của ma trận hệ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Chương 2. Phương pháp khơng lưới RBF-FD giải phương trình Poisson . . .
30
2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2. Rời rạc hố phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.1. Rời rạc hoá phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.2. Phương pháp sai phân hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3. Phương pháp không lưới RBF-FD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.3.1. Véc tơ trọng số từ nội suy hàm cơ sở bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.3.2. Phương pháp RBF-FD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.4. Thuật toán chọn bộ tâm nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.4.1. Ý tưởng thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.4.2. Nội dung thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.4.3. Đánh giá độ phức tạp của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.4.4. Tham số hình dạng của hàm RBF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Chương 3. Sự ảnh hưởng của bộ tâm được chọn để nội suy đến độ chính xác
của phương pháp xấp xỉ RBF-FD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.1. Các bước cài đặt chương trình thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.2. Thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.2.1. Mục đích của thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.2.2. Mô tả thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.2.3. Giới thiệu kết quả thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.2.4. Bài toán 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

4


3.2.5. Bài toán 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.2.6. Bài toán 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.2.7. Bài toán 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.2.8. Bài toán 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

5


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
RBF: Radial Basis Function.
MQ: Multi Quadric.
IMQ: Inverse Multi Quadric.

Gauss: Gaussian.
W33: Wendland’C6 .
SPHH: Sai phân hữu hạn.
FD: Finite Difference.
FEM: Finite Element Methods.
rms: Root mean square.
Ω: Miền hình học.
Ξ: Tập các các tâm trong miền và trên biên Ω.
Ξint : Tập các tâm nằm trong miền Ω.
Ξζ : Bộ tâm gồm ξ và ζ . Ký hiệu: Ξζ = {ζ , ξ1 , ..., ξk } .
∂ Ξ: Tập các tâm nằm trên biên ∂ Ω.
ζ : Tâm thuộc Ξint .
ξ : Tâm địa phương của ζ và thuộc Ξ.
α: Góc giữa tia ζ ξi và tia ζ ξi+1 .
α: Góc lớn nhất giữa tia ζ ξi và tia ζ ξi+1 .
α: Góc nhỏ nhất giữa tia ζ ξi và tia ζ ξi+1 .
µ: Tổng bình phương các góc αi .
g: Hàm trên biên.
f: Hàm vế phải của phương trình Poisson.
w: véc tơ trọng số.
u: Nghiệm giải tích.
u:
˜ Nghiệm xấp xỉ.
Rn : Khơng gian n chiều.
6


λ : Giá trị riêng của ma trận.
φ : Hàm cơ sở bán kính.
Φ: Ma trận nội suy.

ε: Tham số hình dạng.
A: Ma trận của hệ phương trình đại số tuyến tính.
b: Véc tơ vế phải của hệ phương trình đại số tuyến tính.
x: Nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính.
A + δ A: Ma trận nhiễu.
b + δ b: Vế phải nhiễu của hệ phương trình đại số tuyến tính.
x + δ x: Nghiệm nhiễu.
E: Ma trận đơn vị.
X: Bộ tâm phân biệt từng đôi một.
k: Số các tâm ξi cần thiết trong tập Ξζ .
m: Số các tâm nằm trong lân cận của ζ với m > k.
v: Giới hạn góc đều mà có thể chấp nhận được.
s: Hàm nội suy cơ sở bán kính.

7


DANH MỤC CÁC BẢNG

Tên bảng

Diễn giải

Trang

Bảng 1

Danh mục các bảng

8

Bảng 2

Danh mục các hình

9

Bảng 1.1

Một số hàm cơ sở bán kính dùng trong báo cáo,

16

trong đó r = ||x − xk ||.
Bảng 1.2

Một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng ε > 0.

16

Bảng 3.1

Bảng kết quả sai số RMS của Bài toán 1

50

Bảng 3.2

Bảng kết quả sai số RMS của Bài toán 2

52

Bảng 3.3

Bảng kết quả sai số RMS của Bài toán 3

56

Bảng 3.4

Bảng kết quả sai số RMS của Bài toán 4

60

Bảng 3.5

Bảng kết quả sai số RMS của Bài toán 5

63

Bảng 1: Danh mục các bảng

8


DANH MỤC CÁC HÌNH

Tên hình

Diễn giải

Trang

Hình 1.5.1

Thanh vật chất đặt trên trục Ox từ x = a đến x = a + L = b

21

Hình 1.5.2

Bản mỏng vật chất Ω có đường biên là một

23

đường cong khép kín Γ , đặt trong mặt phẳng Oxy
Hình 3.1

Bộ tâm trên miền hình chữ nhật với k = 5, ... , 9

45

Hình 3.2

Miền hình quạt của Bài tốn 1

47

Hình 3.3

Bộ tâm của hai lần làm mịn lưới đầu tiên của Bài tốn 1

48

Hình 3.4

Đồ thị biểu diễn sai số RMS của Bài toán 1

49

Hình 3.5

Miền hình chữ nhật của Bài tốn 2

51

Hình 3.6

Bộ tâm của hai lần làm mịn lưới đầu tiên của Bài tốn 2

52

Hình 3.7

Đồ thị biểu diễn sai số RMS của Bài tốn 2

53

Hình 3.8

Miền hình ngũ giác của Bài tốn 3

55

Hình 3.9

Bộ tâm của hai lần làm mịn lưới đầu tiên của Bài tốn 3

56

Hình 3.10

Đồ thị biểu diễn sai số RMS của Bài tốn 3

57

Hình 3.11

Miền hình trịn của Bài tốn 4

59

Hình 3.12

Bộ tâm của hai lần làm mịn lưới đầu tiên của Bài tốn 4

60

Hình 3.13

Đồ thị biểu diễn sai số RMS của Bài tốn 4

61

Hình 3.14

Miền hình lục giác của Bài tốn 5

62

Hình 3.15

Bộ tâm của hai lần làm mịn lưới đầu tiên của Bài toán 5

62

Hình 3.16

Đồ thị biểu diễn sai số RMS của Bài tốn 5

64

Bảng 2: Danh mục các hình
9


LỜI MỞ ĐẦU

Nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài tốn biên của phương trình
vật lý tốn. Giải các bài tốn đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng của

thực tiễn. Trong một số ít trường hợp đơn giản, việc đó có thể làm được nhờ vào
nghiệm tường minh của bài toán dưới dạng các cơng thức sơ cấp, các tích phân hoặc
các chuỗi hàm. Tuy nhiên, trong các trường hợp bài tốn có hệ số biến thiên, bài
tốn phi tuyến, bài tốn trên miền có hình học phức tạp thì nghiệm tường minh của
bài tốn khơng có, hoặc có nhưng rất phức tạp. Khi đó, việc tìm nghiệm phải dựa
vào các phương pháp giải gần đúng.
Trong suốt thế kỷ XX một loạt các phương pháp số đã hình thành và phát triển
như các phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn v.v. . . đã
đem lại những đóng góp to lớn trong việc ứng dụng các phương pháp toán học vào
thực tiễn. Các phương pháp vừa nêu nói chung đều là các phương pháp lưới. Tuy
nhiên, các phương pháp này chưa thật hiệu quả khi áp dụng vào lớp các bài tốn
thực tế có cấu trúc phức tạp hình học phức tạp hoặc hàm có độ dao động lớn.
Vào khoảng những năm cuối của thế kỷ trước đã hình thành một xu hướng mới
của các phương pháp số, đó là phương pháp khơng lưới. Cũng như các phương pháp
lưới, lược đồ giải các bài toán biên bằng phương pháp khơng lưới cũng cần có tập
các tâm (trong phương pháp lưới, các tâm này là các nút lưới) nằm phía trong miền
Ξint và các tâm nằm trên biên ∂Ξ để tính tốn. Từ bộ tâm này ta xấp xỉ các toán tử
vi phân bằng tổ hợp các giá trị của hàm tại các nút:
n

Du(x) = ∑ wi (x)u(xi ),
i=1

trong đó véc tơ w = [w1 , w2 , ..., wn ]T gọi là véc tơ trọng số, để từ đó đưa bài tốn
biên cần giải về hệ các phương trình hữu hạn (khơng chứa các đạo hàm). Phương
pháp tìm các vectơ trọng số dựa trên các hàm cơ sở bán kính (RBF – Radial Basis
Function) gọi là phương pháp nội suy dữ liệu phân tán với các hàm cơ sở bán kính
10

(RBF – FD (Radial Basis Function – Finite Different)).
Để tính được véc tơ trọng số thì việc đầu tiên chúng ta phải chọn bộ tâm nội suy
Ξζ từ tập Ξ cho tính véc tơ trọng số. Chất lượng (độ chính xác) của nghiệm xấp xỉ
tìm được bằng phương pháp RBF-FD phụ thuộc rất lớn vào bộ tâm Ξζ . Vấn đề cốt
lõi là chọn bộ tâm này như thế nào và chọn bao nhiêu là đủ để chất lượng nội suy để
tính véc tơ trọng số là tốt nhất. Vì lý do trên, tác giả đã chọn đề tài: "sự ảnh hưởng
của bộ tâm được chọn trong phương pháp không lưới RBF-FD". Luận văn chỉ
tập trung vào việc khảo sát sự ảnh hưởng của số tâm được chọn Ξζ và giả sử rằng
bộ tâm Ξ = Ξint ∪ ∂Ξ được cho trước.
Phương pháp FEM (Finite Element Method) là phương pháp phổ biến được áp
dụng vào hầu hết các ngành khoa học cơng nghệ khi miền hình học của bài tốn
phức tạp và hàm có kỳ dị. Hiện nay, phương pháp FEM càng trở nên hiệu quả và
mềm dẻo hơn khi được thực hiện trên lưới thích nghi (adaptive mesh). Thích nghi ở
đây có nghĩa là tại những vị trí hàm có độ dao động lớn hoặc vị trí hình học ’xấu’,
số nút lưới được sinh ra nhiều hơn. Mật độ lưới được quyết định bởi cả độ dao động
của hàm và cấu trúc hình học. Lợi thế của lưới thích nghi là tại vị trí lỗi xảy ra lớn
thì số nút dày hơn. Việc này có một lợi thế lớn lao so với lưới đều là để đạt được sai
số cần thiết thì chỉ cần kích thước lưới nhỏ. Nghĩa là kích thước của ma trận hệ số
của bài tốn sẽ nhỏ đi nhiều. Lưới thích nghi là phương án tối ưu của phương pháp
FEM [1].
Từ bây giờ, chúng tôi sẽ gọi ’nút lưới’ là ‘tâm’. Mục tiêu của luận văn tập trung
vào việc chứng tỏ rằng nếu sử dụng phương pháp RBF-FD mà dùng bộ tâm Ξζ
không theo cách chọn của thuật toán chọn tâm trong [2] với số tâm xung quanh
ζ là 6 thì có thể cho kết quả không tốt. Chẳng hạn như nếu dùng bộ tâm Ξζ của
phương pháp FEM hoặc chọn 6 tâm gần ζ nhất thì có thể cho kết quả khơng tốt.
Vì vậy, trong các thử nghiệm sẽ dùng ngay bộ tâm Ξζ của phương pháp FEM cho
phương pháp RBF-FD và dùng thuật toán chọn tâm [2] cho phương pháp RBF-FD,
một cách độc độc lập. Hơn nữa, khi dùng thuật toán chọn tâm, chúng tôi sẽ khảo

11

sát xem chọn giá trị tham số k trong thuật tốn là bao nhiêu là đủ. Mục đích muốn
chứng tỏ thêm rằng mỗi phương pháp đều có bộ tâm Ξζ tối ưu riêng và hơn nữa
muốn sử dụng phương pháp RBF-FD thì cần phải dùng bộ tâm theo cách chọn của
thuật toán chọn tâm trong [2] với giá trị k = 6.
Nội dung luận văn bao gồm 3 chương: Chương 1, trình bày một số kiến thức cơ
sở liên quan đến luận văn; Chương 2, trình bày phương pháp khơng lưới RBF-FD
với phương trình Poisson và thuật tốn chọn tâm; Chương 3, trình bày sự ảnh hưởng
của bộ tâm đến độ chính xác của phương pháp xấp xỉ RBF-FD.
Do thời gian thực hiện luận văn khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên khi làm
luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự
góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm
ơn!
Thái Nguyên, ngày tháng năm

Vũ Huy Hồng Đơ

12


Chương 1

Kiến thức cơ sở
1.1.

Bài toán nội suy

Một trong các bài tốn cơ bản của giải tính số là nội suy hàm số [7]. Bài toán
này thường gặp trong các trường hợp sau:

i. Cần phục hồi hàm số f (x) đối với mọi điểm x thuộc khoảng [a, b] nếu chỉ biết
giá trị của nó tại một số điểm x0 , x1 , ..., xn ∈ [a, b]. Những giá trị này thường là các
giá trị quan sát, hoặc đo đạc được.
ii. Khi hàm f (x) cho bởi công thức quá phức tạp chẳng hạn
x2

f (x) =

3

(x + t) 2
dt
et + sin(xt)

cos(x)

và cần tính f (x)∀x ∈ [a, b]. Khi đó người ta tính gần đúng f (x) tại một số điểm rồi
xây dựng cơng thức nội suy để tính các giá trị khác.
iii. Ngoài ra, nội suy hàm số cịn được sử dụng để xây dựng các cơng thức tính
đạo hàm, tính tích phân số hoặc tìm gần đúng nghiệm của phương trình.
Bài tốn nội suy hàm một biến số được phát biểu như sau: Trên đoạn [a, b] cho
tập các điểm nút a ≤ x0 < x1 < ... < xn ≤ b và tại các điểm này cho các giá trị
13


f (xi ), i = 0, ..., n của hàm f (x). Cần xây dựng hàm g(x) dễ tính và trùng với hàm
f (x) tại các điểm nút trên tức là g(xi ) = f (xi ), i = 0, ..., n. Một số dạng hàm g(x)
thường được dùng để nội suy hàm số là:
- Đa thức đại số.
- Hàm hữu tỉ tức là phân thức đại số.

- Đa thức lượng giác.
- Hàm Spline tức là hàm đa thức từng mẩu.

1.2.

Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian Rd

Cho bộ dữ liệu (xi , yi ), i = 1, 2, ..., n, xi ∈ Rd , yi ∈ R, trong đó xi là các vị trí đo,
yi là các kết quả tại vị trí đo. Cho B1 , B2 , ..., Bn là các hàm cơ sở của không gian
tuyến tính các hàm d biến liên tục [13]. Ký hiệu:
n

F = span {B1 , B2 , ..., Bn } =

∑ Ck Bk , Ck ∈ R

;

k=1

bài toán nội suy: tìm hàm P f ∈ F sao cho:
P f (xi ) = yi , i = 1, 2, ..., n;

(1.2.1)

Vì P f ∈ F nên:
n

P f (xi ) =

∑ Ck Bk (x), x ∈ Rd ;

(1.2.2)

k=1

từ (1.2.1) và (1.2.2) ta có:
AC = y,

(1.2.3)

trong đó:



A=


B1 (x1 ) ... Bn (x1 )
...

...

...

B1 (xn ) ... Bn (xn )
14








(1.2.4)


C = (c1 , ..., cn )T , y = (y1 , ..., yn )T .
Hệ phương trình (1.2.3) và (1.2.4) có nghiệm duy nhất nếu det(A) = 0, câu hỏi đặt
ra là chọn cơ sở {B1 , B2 , ..., Bn } như thế nào để điều kiện trên được thỏa mãn? Trong
trường hợp này d = 1 thì ta có thể chọn cơ sở sau:
{B1 , B2 , ..., Bn } = 1, x, x2 , ..., xn−1 .
Định lý 1.2.1. Cho Ω ⊂ Rs , s ≥ 2 thỏa mãn điều kiện Ω chứa một điểm trong. Khi
đó khơng tồn tại Haar khơng gian các hàm liên tục nào trong Ω với số chiều ≥ 2
[13].
Trong đó, không gian Haar được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.2.1. Cho B ⊂ C(Ω) là không gian hữu hạn chiều các hàm tuyến tính
có cơ sở là {B1 , B2 , ..., BN }. Khi đó B là một Haar không gian trong Ω nếu
det(Bk (x j )) = 0
với bất kỳ dãy các điểm phân biệt x1 , x2 , ..., xN trong Ω [13].
Chú ý:
1) Chú ý răng sự tồn tại của một Haar không gian đảm bảo tính có thể đảo ngược
của ma trận nội suy (Bk (x j )), tức là tồn tại và duy nhất của một phép nội suy tại
các điểm x1 , x2 , ..., xN của không gian B.
2) Như đã nêu ở trên, đa thức đơn biến bậc N − 1 với các dữ liệu tại x1 , x2 , ..., xN
tạo nên một Haar không gian N chiều.
3) Định lý Mairhuber Curtis hàm ý rằng, không thể thực hiện duy nhất một phép
nội suy bởi đa thức (đa biến) bậc N tại các điểm tùy ý của R2 .
4) Định lý Mairhuber Curtis chỉ ra rằng, nếu muốn có một phép nội suy với các dữ
liệu rời rạc bởi đa thức đa biến thì cơ sở phải phụ thuộc vào các vị trí dữ liệu.

15


Chứng minh định lý 1.2.1 phản chứng
Cho s ≥ 2, giả sử B là Haar không gian với cơ sở {B1 , B2 , ..., BN }; N ≥ 2. Khi
đó theo định nghĩa Haar khơng gian
det(Bk (x j )) = 0

(1.2.5)

với bất kỳ tập các điểm phân biệt x1 , x2 , ..., xN .
Xét đường P đóng trong Ω chỉ nối 2 điểm x1 và x2 (điều này ln giả thiết được
vì điều kiện Ω chứa một điểm trong).
Ta có thể đổi vị trí của x1 , x2 bằng cách di chuyển chúng một cách liên tục dọc
theo P (mà khơng ảnh hưởng gì đến các x j cịn lại). Điều này có nghĩa là dịng 1 và
2 của định thức 1.2.5 được đổi chỗ và do đó định thức đổi dấu.
Từ điều kiện định thức trên là hàm liên tục của x1 và x2 ta suy ra det = 0 tại một
số điểm dọc P. Điều này mâu thuẫn.

1.3.

Nội suy với hàm cơ sở bán kính

1.3.1.

Hàm cơ sở bán kính

Định nghĩa 1.3.1. Một hàm Φ : Rd → R được gọi là hàm cơ sở bán kính (RBF) nếu
ở đó tồn tại một hàm Φ : [0, +∞) → R sao cho:
Φ(x) = Φ(||x||2 ),

trong đó ||x||2 là chuẩn Euclid [13].

Vì hàm Φ(x) vẫn là xác định dương khi r được nhân một số lớn hơn không, nên
một tham số hình dạng ε > 0 được đưa vào hàm Φ và ta có Bảng 1.2 tương ứng.

16


Tên hàm

Viết tắt

Multiquadric

MQ

Inverse multiquadric

IMQ

Định nghĩa
√
Φmq (r) = 1 + r2
√
Φimq (r) = 1/ 1 + r2

Gaussian

Gauss

Φg (r) = e−r

2

Bảng 1.1: Một số hàm cơ sở bán kính dùng trong luận văn, trong đó r = ||x − xk ||.
Tên hàm

Viết tắt

Multiquadric

MQ

Inverse multiquadric

IMQ

Định nghĩa
√
Φmq (r) = 1 + ε 2 r2
√
Φimq (r) = 1/ 1 + ε 2 r2

Gaussian

Gauss

Φg (r) = e−(εr)

2

Bảng 1.2: Một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng ε > 0.

1.3.2.

Nội suy hàm cơ sở bán kính

Ta ký kiệu:
Φk (x) = Φ(x − xk ) = Φ(||x − xk ||)với k = 1, 2, ..., n, x ∈ Rd

(1.3.1)

Khi đó, nội suy hàm số dựa trên các hàm cơ sở bán kính có nghĩa là tìm hàm:
n

n

P f (x) =

∑ Ck Φk (x) =

∑ Ck Φ(||x − xk ||)

k=1

k=1

thỏa mãn điều kiện nội suy (1.2.1).
Chú ý 1.3.1.
- Hàm cơ sở phải gắn liền với đối tượng nghiên cứu. Vì vậy, để giải phương trình

đạo hàm riêng thì các hàm cơ sở bán kính phải là các hàm khả vi liên tục và thậm
chí là khả vi liên tục vơ hạn lần.
- Để bài tốn nội suy có nghiệm duy nhất, ta cần chọn hàm Φ phù hợp sao cho
det(A) = 0.
17


1.4.

Hàm xác định dương và ma trận xác định dương

1.4.1.

Ma trận xác định dương

Định nghĩa 1.4.1. Ma trận A = (A jk ) có giá trị thực và đối xứng được gọi là xác
định dương nếu dạng toàn phương tương ứng không âm, nghĩa là:
(Ac)T c ≥ 0 với c = (c1 , c2 , ..., cn )T ∈ Rn .
Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi c = (0, 0, ..., 0)T [13].
Với cơ sở Bk , nếu Bài toán nội suy 1.3.1 tạo ra ma trận nội suy A xác định dương
thì hệ (1.2.3) có nghiệm duy nhất.

18


1.4.2.

Hàm xác định dương

Định nghĩa 1.4.2. Hàm Φ : Rd → R liên tục, được gọi là xác định dương trên Rd

nếu và chỉ nếu nó là hàm chẵn và với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một X =
{x1 , x2 , ..., xn } ⊂ Rd và mọi véc tơ C = (c1 , c2 , ..., cn ) ∈ Rn thì dạng tồn phương:
n

n

∑ ∑ c j ck Φ(x j − xk ) ≥ 0

(1.4.1)

j=1 k=1

và công thức (1.4.1) là đẳng thức khi và chỉ khi c là véc tơ 0 [13].
Định nghĩa 1.4.3. Hàm một biến Φ : [0, ∞] → R được gọi là xác định dương trên
Rd nếu hàm nhiều biến tương ứng Φ(x) = Φ(||x||), x ∈ Rd , là xác định dương [13].
Từ định nghĩa trên và tính chất của ma trận xác định dương ta thấy có thể sử
dụng các hàm xác định dương Bn = Φ(x − xk ) là hàm cơ sở và khi đó ta có:
n

P f (x) =

∑ ck Φ(x − xk ).

(1.4.2)

k=1

Ma trận nội suy A = [A jk ]nxn , với A jk = Bk (x j ) = Φ(x j − xk ); j, k = 1, ..., n.

1.4.3.

Hàm bán kính xác định dương

Định nghĩa 1.4.4. Một hàm được gọi là hàm bán kính xác định dương nếu nó vừa
là hàm bán kính vừa đồng thời xác định dương [13].
Giả sử Φ(x) là hàm xác định dương và được xác định theo công thức (1.3.1).
Khi đó ma trận của bài tốn nội suy theo hàm Φ(x) có dạng:


Φ(0)
... Φ(x1 − xn )




A=
,
...
...
...


Φ(xn − x1 ) ...
Φ(0)
Theo định nghĩa hàm xác định dương thì det(A) = 0.

19

(1.4.3)

1.5.

Bài tốn Dirichlet với phương trình Poisson

1.5.1.

Khái niệm phương trình đạo hàm riêng

Với mỗi hàm số một biến số y = y(x), ta có khái niệm đạo hàm y (x)) [10]
y(x + ∆x) − y(x)
,
∆x→0
∆x

y (x) = lim

Khái niệm phương trình vi phân y = f (x, y) và khái niệm bài tốn Cauchy:
Tìm hàm số y = y(x) xác định tại x ∈ [x0 , X] sao cho:
y = f (x, y), x0 < x ≤ X, y(x0 ) = η,
trong đó f (x, y)là hàm cho trước; x0 , X, η là những số cho trước.
Với hàm số nhiều biến số ta cũng gặp những khái niệm và những bài toán tương tự.
Xét hàm số hai biến số u = u(x, y):
- Đạo hàm riêng cấp 1 đối với x:
∂u
u(x + ∆x, y) − u(x, y)
= lim
),
∂ x ∆x→0
∆x

- Đạo hàm riêng cấp 1 đối với y:
u(x, y + ∆y) − u(x, y)
∂u
= lim
,
∂ y ∆x→0
∆y
- Đạo hàm riêng cấp hai:
∂ 2u
∂
=
∂ x2
∂x

∂u
,
∂x

∂ 2u
∂
=
∂ y2
∂y

∂u
,
∂y

∂ 2u
∂

=
∂ x∂ y ∂ x

∂u
,
∂y

∂ 2u
∂
=
∂ y∂ x ∂ y

∂u
.
∂x

20


Nếu các đạo hàm riêng

∂ 2u
∂ x∂ y

và

∂ 2u
∂ y∂ x

là những hàm liên tục thì chúng bằng nhau.

Phương trình:
∂ 2u
∂ 2u
∂u
∂u
∂ 2u
A(x, y) 2 +B(x, y)
+C(x, y) 2 +D(x, y) +E(x, y) +F(x, y)u = f (x, y),
∂x
∂ x∂ y
∂y
∂x
∂y
là phương trình đạo hàm riêng của u. Nó có cấp hai, nghĩa là chứa đạo hàm của
u cấp cao nhất là hai. Nó là một phương trình tuyến tính, nghĩa là bậc nhất đối với
u và các đạo hàm của u.

1.5.2.

Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson

Bài toán truyền nhiệt trong thanh vật chất
Xét một thanh vật chất đồng chất, dài L(cm), có thiết diện thẳng nhỏ khơng đổi là
S(cm2 ), có khối lượng riêng la ρ g/cm3 , có nhiệt dung là C (cal/g.oC). Xét một
bộ phận vật chất có thể tích V cm3 . Nếu bộ phận đó có nhiệt độ khơng đổi thì
nhiệt độ u(oC) và nhiệt lượng H(cal) của nó liên hệ với nhau theo công thức:
H = uρCV.

(1.5.1)

Người ta quan sát thấy khi thanh vật chất có vùng nóng vùng lạnh thì nhiệt lượng
có khả năng khuyếch tán từ vùng nóng sang vùng lạnh. Ta gọi suất khuếch tán nhiệt
là k(cm2 s).
Chú ý 1.5.1. Đôi khi người ta cũng gọi c = kρC là suất dẫn nhiệt [cal/(s.cm.oC)]
của vật chất.
Cả k và c đều là những tham số phản ánh khả năng truyền nhiệt của vật chất.
Bây giờ giả sử thanh vật chất bị cách nhiệt khỏi môi trường xung quanh, trừ tại hai
đầu mút. Hãy xét diễn biến theo thời gian của phân bố nhiệt độ trong thanh.Ta tưởng
tượng thanh vật chất đặt trên trục Ox từ x = a đến x = a + L = b như Hình 1.5.1:
Gọi u(x,t) là nhiệt độ của thanh tại điểm x ở thời điểm t.

21


Hình 1.5.1. Thanh vật chất đặt trên trục Ox từ x = a đến x = a + L = b
Nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao tới nơi có nhiệt độ thấp hơn. Sự lan truyền
nhiệt diễn ra dọc theo thanh vật chất tức là theo phương x. Nó tuân theo định luật
truyền nhiệt thực nghiệm của Fourier:
Luồng nhiệt q(cal/(cm2 .s)) theo phương x (tức là nhiệt lượng khuếch tán qua
một đơn vị diện tích của thiết diện thẳng nhỏ S trong một đơn vị thời gian) tỉ lệ với
vận tốc biến thiên của nhiệt độ u dọc theo phương x, tức là tỉ lệ với
q = −kρC

∂u
∂x :

∂u
,
∂x

(1.5.2)

dấu trừ (-) ở vế phải ý nói rằng nhiệt truyền theo chiều giảm của nhiệt độ.
Do có định luật bảo tồn nhiệt lượng nên có sự cân bằng nhiệt ở mỗi phân tố
nhỏ S∆x của thanh từ x đến x + ∆x trong thời gian ∆t. Sự cân bằng này diễn đạt bằng
công thức:
Nhiệt truyền vào phân tố - Nhiệt ra khỏi phân tố = Nhiệt tích lũy trong phân tố.
Nhiệt truyền vào phân tố là q(x,t)S∆t;
Nhiệt ra khỏi phân tố là q(x + ∆x,t)S∆t;
Nhiệt tích lũy trong phân tố là S∆xρC∆u, trong đó ∆u là biến thiên của nhiệt độ
trong thời gian ∆t.
Vậy có:
q(x,t)S∆t − q(x + ∆x,t)S∆t = S∆xρC∆u,
chia cho S∆x∆t ta được:
q(x,t)S∆t − q(x + ∆x,t)S∆t
∆u
= ρC ,
∆x
∆t
chuyển qua giới hạn (bằng cách cho ∆x → 0, ∆t → 0) ta có:
−

∂q
∂u
= ρC ,
∂x
∂t
22

áp dụng định luật Fourier (1.5.2) ta suy ra:
∂ 2u ∂ u
k 2 =
, a < x < b,t > 0, k = const > 0.
∂x
∂t

(1.5.3)

Phương trình (1.5.3) mơ tả hiện tượng truyền nhiệt trong thanh vật chất đồng
chất, gọi là phương trình truyền nhiệt của thanh, cịn gọi là phương trình truyền
nhiệt một chiều.
Chú ý 1.5.2. Khi k = const thì phương trình (1.5.3) có dạng:
∂u
∂ ∂u
(k ) =
, a < x < b,t > 0.
∂x ∂x
∂t

(1.5.4)

Nói chung k phụ thuộc x,t, u nghĩa là k = k(x,t, u) và phương trình truyền nhiệt
trong thanh vật chất có dạng:
∂u
∂u
∂
(k(x,t, u) ) =
, a < x < b,t > 0.

∂x
∂x
∂t

(1.5.5)

Tồng qt hơn, khi thanh vật chất cịn có một nguồn nhiệt (sinh hay hấp thụ
nhiệt) đặc trưng bởi hàm f (x,t) thì ta có phương trình:
∂
∂u
∂u
(k(x,t, u) ) + f (x,t) =
, a < x < b,t > 0.
∂x
∂x
∂t

(1.5.6)

Nếu và khơng phụ thuộc thì ta có phương trình truyền nhiệt tuyến tính:
∂u
∂
∂u
=
(k(x,t, u) ) − q(x,t)u + f (x,t), a < x < b,t > 0.
∂t
∂x
∂x

(1.5.7)

Nếu trong môi trường truyền nhiệt cịn có hiện tượng đối lưu thì có phương
trình:
∂u
∂
∂u
∂u
=
(k(x,t, u) ) + r(x,t) − q(x,t)u + f (x,t), a < x < b,t > 0, (1.5.8)
∂t
∂x
∂x
∂x
trong đó số hạng r(x,t) ∂∂ ux mơ tả hiện tượng đối lưu.
Bài tốn truyền nhiệt trong môi trường phẳng

23