Toán học châu âu thế kỉ 5 16

NHÓM 6


V. TOÁN HỌC Ở CHÂU ÂU (TỪ THẾ KỈ THỨ V ĐẾN THẾ KỈ THỨ XVI)



Theo lịch sử thì thời kì chung cổ của Châu Âu bắt đầu từ năm 476 là năm đế chế La
Mã sụp đổ đến năm 1453 là năm quân Thổ Nhĩ Kỳ chiếm đánh thành chố
Constantionple.



Vào thế kỷ thứ XV,XVI hàng loạt các nước Tây Âu và Trng Âu đã có sự phát triển của
kĩ thuật,văn hóa và tư tưởng khá mạnh mẽ được gọi là thời kì phục hưng.



Số học(biểu tượng bởi một phụ nữ đứng giữa) dường như quyết định dứt khoát cuộc
tranh luận “Abaciste” đối lập “Algoriste”. Người phụ nữ quả nhiên nhìn về hướng
người làm tính dung chữ số “Ả Rập”( chữ số mà xiêm áo của người phụ nữ được trang
hồng); biểu tượng chiến thắng của phép tính hiện đại ở Tây Âu.


1.Tây Âu với nền toán học Ả Rập
Trong khoảng thế kỉ thứ V đến XI,trình độ hiểu biết tốn học ở châu Âu rất
thấp.Khơng thể tìm thấy những phát minh ,những cơng trình tốn học quan
trọng,ngay cả số người học tốn cũng rất hiếm.Những người có kiến thức
tốn học vượt lên thường là các thầy tu.
Việc mở trường học là tiền đề tổ chức cơ bản cho sự phát triển toán học ở
châu Âu.Một trong những trường học đầu tiên được tổ chức ở thành phố

Raimơ (Pháp)do Gerbert (940-1003).Về sau ơng trở thành Giáo hồng La
Mã có tên là Xinvéttơ II.
Ở trừng học của Gerbert ,người ta dạy 4 môn:triết học,tốn học,logic
học,thiên văn học.Về tốn họ trích dạy 1 vài đoạn trong bộ ‘’Cơ bản’’ cỏa
Owclit.

Gerbert 940-1003


Ở đó người ta dạy tính tốn tho nhiều truyề thống tính tốn khác nhau.Có phái chủ chương là sử
dụng bảng tính và cách đánh số La Mã theo cơ số 12
Vào thế kỉ XII ,châu Âu đã bắt đầu xuất hiện những trường đại học tổng hợp đầu tiên .Sớm nhất là
trường ở Bơlơnhơ ,Xalécnơ(Italia),sau đó có những trường đại học Tổng hợp ở
Paris(1200),Oxford(1214),Cambridge(1231),Praha (1347),Viên (1367)…..
Tình độ hiểu biết tốn học của những người tốt nghiệp đại học cịn rất thấp.Cho đến thế kỉ XVI,ở
trường đại học Paris người ta chỉ dạy 6 quyển đầu của bộ ‘’cơ bản’’ của Owclit.
Việc dịch sách toán tù tiếng Ả Rập được tăng cường trong các thế kỉ XII,XIII và việc nghiên cứu
các bản thảo tiếng Ả Rập để làm giàu học vấn toán học Châu Âu được tiếp tục trong các thế kỷ
XV –XVII .Bộ ‘’Cơ bản’’ Owclit được dịch lại nhiều lần .Cuối sách dịch không quên đưa vào bảng
số hình vng thiêng liêng.


2.Phibơnaxi(1170-1240)
Người ta thường gọi ơng là lêơna Pidơ
(Leonard de Pise).Ơng là nhà toán học châu Âu đầu tiên thộc thời kì
Trung Cổ.
Năm 1202,sau khi về q ,ơng đã viết ‘’sách dạy sử dụng bàn tính’’ gồm 15 phần và dày
459 trang. Trong 7 phần đầu ơng nói về 9 kí hiệu của Ấn độ dùng trong phép đếm và
cosnois đến kí hiệu số khơng.Các phần từ 8-11 gồm những úng dụng bn bán(quy tắc
tam suất,chia tỉ lệ ,các bài tốn xác định tuổi của tiền ….)

Phần 12-13 trình bà quy tắc giả thử đơn ,kép,tổng cấp số cộng, bình phương các số tự
nhiên, tìm nghiệm ngun của phương trình vơ định bậc 1.Phần 14 dạy cách tính căn thức
bậc 2,3 và phép tính biểu thức dưới dạng

(a ± b )


Phần 15 trình bày về đại số(giống với đại số của An Khơrétmi)những bài tốn liên quan đến phân số,những bài hình học áp dụng
định lí pitago.
Năm 1220 Ơng viết cuốn ‘’Hình học thực dụng’’trình bày biệc tính thể tích của đa giác , các vật thể ,hình cầu,trong đó có cả
những bài tốn về lượng giác.
Và ơng cịn có cơng trình có tiếng nữa là lý thuyết số.Nó nêu tính chất các số dẫn đến các tổng dạng :
Và cả việc tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình

n

n

n

k =1

k =1

k =0

∑ k ; ∑ k + 1; ∑ (2k + 1)

2 cùng2là tài liệu về
yCuối

= x + a; z 2 sự=tham
x 2 −giaacủa. ơng vào những cuộc thi tốn về việc giải những bài tốn khó.
Trong vịng hơn 200 năm các tác phẩm của Lêôna là mẫu mực của các cơng trình tốn học đối với người châu Âu.Nhưng sau các
thành tựu của ơng cho đến thời kì Phục Hưng khơng có thành tựu nào tương tự mà cải tiến kí hiệu đại số và hồn chỉnh mơn tam
giác lượng.


Bài toán gây nhiều chú ý cho các thế hệ tốn học là bài tốn sau:” Hỏi có mấy cặp thỏ được sinh ra vào cuối năm nếu bắt đầu bằng một cặp và
mỗi cặp sau mỗi tháng cho một cặp mới, cặp mới này sau 2 tháng lại bắt đầu sinh sản, giả sử thỏ không chết”

Uchất,
= Uchẳng
+ U n−2
. Dãy tăng này có nhiều tính
n
n−1 hạn.

Dãy số Phibơnaxi: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21……….với

*

Un

U n+1và

là nguyên tố cùng nhau

 Un 
5−1
*lim

=

÷
x→∞
2
 U n+1 

*U n+1.U n−1 = U n2 + ( −1)

(Số này được gọi là tỉ số vàng)
n

Với n

 


3.Việc cải tiến kí hiệu đại số và hình thành môn tam giác lượng

Người cùng thời với Phibonaxi, tướng Gioocđăng Nêmôra (sinh năm 1237)người Đôminic
đã biểu diễn các số tùy ý bằng chữ cái.
Giáo sư đại học tổng hợp Paris ,Nicolai Ôrét(1328-1382)đã mở rộng khái niệm lũy thừa
,đưa vào các số mũ phân, các quy tắc tính chúng bằng kí hiệu.
Ví dụ:
1

1

Cuối thế kỉ thứ XV,
trợ

lí trường Đại học Tổng hợp Paris SuKê đã đưa vào số mũ âm và số
3
3

27 ;3 ;......

mũ không và đã tham gia cải tiến kí hiệu đại số. Trong hệ kí hiệu này vẫn chưa có kí hiệu

Nicolai Ơrét(1328-1382)

đặc biệt cho ẩn số và phần lớn các kí hiệu được tạo nên bằng cách viết tắt các chữ.

Được kí hiệu là

4

24 + 37 − 20x−2

Rx4 24pRx237m202m


Trong thời kì Phục Hưng, đã xảy ra sự chuyển biến nhanh chóng từ đại số bằng
lời tới đại số kí hiệu bằng cách rút gọn các từ, rồi bằng cách đưa ra các kí hiệu.
Ví dụ:

Có nghiêm là :

x3 + 6x = 10

Được viết tắt là:

3

108 + 10 − 3 108 − 10

R xu cu R x108p 10/m R xu cu R x108 m10


4. Tactalia( Nicolo Tartaglia, 1500 – 1557 )

Cácđanô(Girolamo Cardano, 1501 - 1576)
Tacstaglia và Cácđanơ đã tìm được cách giải phương trình
Bậc 3 và bậc 4, điều mà bao nhiêu thế kỉ trước không thực hiện
Được
Năm 1535, Tasctalia lựa chọn dạng đại số vơ tỉ thích hợp
Để biểu diễn nghiệm của các phương trình dạng:

x = 3 u −Giả3 sửv

x3 + px = q(p > 0,q > 0)

rồi thay thế biểu thức ấy vào phương trình và đặt:

p = 33 uv

Ta có hệ:

u − v = q



p3
uv =

27
Coi u và v như các nghiệm của phương trình bậc 2, Tactaglia tìm được
2

3

2

3

 q  p q
 q  p q
u =  ÷ +  ÷ + ;v =  ÷ +  ÷ −
 2  3  2
 2  3  2
Sau đó tác giả có thể giải được các phương trình có dạng:

x3 = px + q(p > 0)


3
x = Nhờ
uphép
+ 3 thế
v
x3 = px + q(p > 0)

cuối cùng thơng báo rằng các phương trình có dạng
có thể đưa về dạng trên,nhưng ơng k nói phương án làm

Ơng khơng cơng bố kết quả của mình,vì ơng khơng khắc phục được trừng hợp bất
2

2
là: 3
  qkhả
 quy tức
p

 ÷ ÷ ≥  ÷
  2 ÷  3 



khơng biết có thỏa mãn hay khơng.

Từ năm 1539, khi Cácđanô nghe tới phát minh của Tactaglia, ông đã bỏ rất nhiều sức lực nhằm chiếm lĩnh điều bí mật mà
Tactaglia đã rất thận trọng và hoài nghi.
Năm 1545, Cácđanơ cơng bố cơng trình “Nghệ thuật vĩ đại hay là các quy tắc đại số (Ars magna sive de regulis algebraicis)” Từ
đó có nhiều người cơng nhận Cácđanơ là nhà đại sso xuất sắc nhất Châu Âu thời bấy giờ.
Ơng đã giả phương trình:

x + 6x = 20

Như vậy Cácđanô đã nêu một công thức tương 3đương với công thức của chúng ta ngày nay về nghiệm phương trình :
Là:

x3 − px = q
3

x=

3

2

3

2

 p   q q 3  p   q q
 ÷ + ÷ + −
 ÷ + ÷ −
3
2
2
   
 3   2 2


Bơmbenli( Rafael Bombelli, 1526 - 1573)
Ơng là một kĩ sư tài ba nước Ý và có lẽ trước khi ơng cho ra đời quyển “Đại
số”(1572) chưa có tác giả nào đề cập tới số ảo nhiều như ông.

Nghiệm của pt:

x3 = 15x + 4

là:

x = 3 2 + −121 − 3 2 − −121

Trong tác phẩm “Đại số”, Bôm – ben –li đã nêu các quy tắc tính tốn trên
các số ảo và phức, chẳng hạn (±i). (±i)=-1; (±i).( i)=1; và đã nhận xét rằng
mọi biểu thức chứa những” phần tử ngụy biện” của Cácđanô  đều biến đổi
được về dạng (a+bi).Với phương trình:

,Boombenli đã chứng tỏ

rằng trường hợp bất khả quy,nghiệm thực có thể coi là tổng của hai số phức
dạng (a+bi) và (a-bi).

x3 = 15x + 4


5.Viét(Francois Viét, 1540-1603)

Ơng là một nhà tốn học vĩ đại nước Pháp thời kỳ Phục Hưng Ơng viết “Nhập mơn giải tích”,một tác phẩm rất lớn và hết sức
súc tích về đại số mới.
Trong suốt cuộc đời mình, Viest chỉ làm toán một cách tài tử thuộc các lĩnh vực đại số, lượng giác, lý thuyết phương trình và
hình học.
Quan điểm của Viet như sau:việc giải quyết các phương trình bậc 3, bậc 4 dựa vào hiệu lực của phương pháp đại số.
Viet đã chuyển trường hợp bất khả quy đối với phương trình bậc 3 về bài tốn chia 3 góc.Ơng đã chứng tỏ rằng mọi phương
trình bất khả quy có thể biến đổi thành dạng: x3-3x = a . So sánh phương trình này với hệ thức lượng:

( 2 cos ϕ )

3

− 3cos ϕ = 2 cos 3ϕ

Ông xét phép biến đổi các phương trình thành tích các nhị thức;
n

Pn ( x ) = ∏ ( x − xk ) (n < 5, xk < 0)
k =1

Viest tìm thấy khai triển các hàm số lượng giác của các cung bội, bằng cách áp dụng liên tiếp các công thức đối với sin và cosin của tổng 2 góc:

m( m − 1)
cos m −2 x.sin 2 x + ...
1.2
m( m − 1)( m − 2)
sin mx = m.cos m −1 x sin −
cos m −3 x.sin 3 x + ...
1.2.3
cos mx = cos m x −


Ông nêu nhiều công thức mà ta đã quen biết,chẳng hạn:

cos mx = 2 cos x cos( m − 1) x − cos( m − 2) x
sin mx = 2 cos x sin( m − 1) x − sin( m − 2) x
sin mx = 2 sin x cos( m − 1) x + cos( m − 2) x
Lần đầu tiên trong lịch sử, Viet đã nêu ra bài toán tình tích vơ hạn, tuy Viet chưa chứng minh được sự hội tụ của tích vơ hạn mà chỉ kết luận
dựa vào trực giác.
Cho một tam giác đều n cạnh với diện tích là S n, nếu dựng đường trịn ngoại tiếp bán kính R và đường trịn nội tiếp bán kính r thì sau khi gấp

đơi số cạnh của tam giác ta được:

Sn
r
π
=
= cos .
S2 n 2 R
n

Ta có hình vng, n=4, Sn=2R . Gấp đơi dần số cạnh ta được:

S4
π S8
π
= cos ;
= cos ;....
S8
4 S16
8
2
Viet cho”chuyển qua giới hạn” và nói rằng với n=∞ thì sẽ có hình trịn,diện tích là S ∞=лR .
Nhân các đẳng thức trên vế với vế, Ơng tìm thấy;

2

π
2

π

= cos
=

900
900
900
. cos.
. cos
...hoặ
c
2
4
8

1
.
2

1
(1 +
2

1
).
2

1
(1 +
2

1
(1 +
2

1
) )...
2


Francois Viet, 1540-1603

Nicolo Tartaglia, 1500 – 1557

Rafael Bombelli, 1526 - 1573


THANK YOU !!