Tìm hiểu một số phương pháp thám mã hệ mật mã khóa công khai ứng dụng trong bảo mật dữ liệu

i
...

đại học thái nguyên
Tr-ờng đại học CÔNG NGHệ THÔNG TIN Và TRUYềN THÔNG

V QUC THNH

TèM HIU MT S PHNG PHP
THM MÃ HỆ MẬT MÃ KHĨA CƠNG KHAI
ỨNG DỤNG TRONG BẢO MẬT DỮ LIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

th¸i nguyên - năm 2014

S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên

/>

ii

đại học thái nguyên
Tr-ờng đại học CÔNG NGHệ THÔNG TIN Và TRUYềN THÔNG

V QUC THNH

TèM HIU MT S PHNG PHP
THM MÃ HỆ MẬT MÃ KHĨA CƠNG KHAI
ỨNG DỤNG TRONG BẢO MẬT DỮ LIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH
Mã số: 60.48.01

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY MINH

Thái Nguyên, 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

iii

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin đƣợc gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS.Nguyễn Duy Minh,
ngƣời thầy đã giúp đỡ em trong suốt q trình làm khóa luận, đồng thời cũng là
ngƣời thầy đã hƣớng dẫn em những bƣớc đi đầu tiên để khám phá một lĩnh vực đầy
bí ẩn và thách thức – lĩnh vực an tồn và bảo mật dữ liệu.
Em xin đƣợc cảm ơn các thầy, các cô đã giảng dạy em trong suốt quá trình
học tập. Những kiến thức mà các thầy các cơ đã dạy sẽ mãi là hành trang giúp em
vững bƣớc trong tƣơng lai.
Em cũng xin đƣợc gửi lời cảm ơn đến tập thể lớp CK11G, một tập thể lớp
đoàn kết với những ngƣời bạn khơng chỉ học giỏi mà cịn ln nhiệt tình, những
ngƣời bạn đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng em xin đƣợc gửi lời cảm ơn sâu sắc tới gia đình em, những ngƣời
ln kịp thời động viên, khích lệ em, giúp đỡ em vƣợt qua những khó khăn trong
cuộc sống.
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2014
Học viên

Vũ Quốc Thịnh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

iv

ĐỊNH NGHĨA, VIẾT TẮT
Advanced Encryption Standard (AES)

Tiêu chuẩn tiên tiến

Asymmetric key cryptography

Mã hóa bất đối xứng

Authentication

Tính xác thực

Cipher text

Bản mã

Concatenate frequency of pairs

Tần số bộ đơi móc xích

Confidentiality

Tính bảo mật

Cryptannalysis

Thám mã

Cryptography

Mật mã

Cryptology

Mật mã học

Data Encryption Standard (DES)

Tiêu chuẩn mã hóa dữ liệu

Decryption

Giải mã

Encryption

Mã hóa

Frequency

Tấn số

Integrity

Tính tồn vẹn

Key seed

Mầm khóa

Most Likelihood Ratio (MLR)

Tỷ số hợp lý cực đại

Non – repudation

Tính khơng thể chối bỏ

Plain text

Bản rõ

Private key

Khóa bí mật

Public key

Khóa cơng khai

Relative frequency

Tần số tƣơng đối

Rivest, Shamir, & Adleman (RSA)
Symmetric - key cryptography

Mã hóa đối xứng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

v

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................. i
ĐỊNH NGHĨA, VIẾT TẮT ............................................................................................ iv
MỤC LỤC ....................................................................................................................... v
DANH MỤC HÌNH VẼ...............................................................................................viii
LỜI NĨI ĐẦU................................................................................................................. 1
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ MẬT MÃ KHĨA CƠNG KHAI VÀ THÁM MÃ . 3
1.1. Giới thiệu..........................................................................................................3
1.2. Các khái niệm cơ bản .......................................................................................3
1.2.1. Mật mã ......................................................................................................3
1.2.2. Mật mã học ................................................................................................4
1.2.3. Bản rõ ........................................................................................................4
1.2.4. Bản mã ......................................................................................................4
1.2.5. Mã hóa .......................................................................................................4
1.2.6. Giải mã ......................................................................................................4

1.2.7. Khái niệm hệ mật mã ................................................................................5
1.3. Phân loại các hệ mật mã ...................................................................................6
1.3.1. Mã hóa đối xứng .......................................................................................6
1.3.2. Mã hóa bất đối xứng .................................................................................7
1.4. Tiêu chuẩn đánh giá hệ mật mã......................................................................10
1.5. Hệ mật mã RSA .............................................................................................10
1.5.1. Mô tả hệ mật RSA ...................................................................................11
1.5.2. Thực thi hệ RSA......................................................................................13
1.5.3. Độ an toàn của hệ RSA ...........................................................................14
1.6. Thám mã .........................................................................................................15
1.6.1. Khái niệm ................................................................................................15
1.6.2. Các bƣớc cơ bản để tiến hành thám mã ..................................................19
1.7. Kết luận ..........................................................................................................26
CHƢƠNG 2: CÁC PHƢƠNG PHÁP THÁM MÃ HỆ MẬT MÃ KHĨA CƠNG
KHAI ............................................................................................................................. 27
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

vi
2.1. Tính an tồn của hệ mật mã ...........................................................................27
2.1.1. An tồn vơ điều kiện ...............................................................................27
2.1.2. An tồn đƣợc chứng minh .......................................................................27
2.1.3. An tồn tính tốn .....................................................................................27
2.2. Các kiểu thám mã ...........................................................................................28
2.2.1. Tấn cơng dạng 1: Tìm cách xác định khóa bí mật ..................................28
2.2.2. Tấn cơng dạng 2: Tìm cách xác định bản rõ ...........................................30
2.3. Một số sơ hở dẫn đến tấn cơng hệ mật RSA ..................................................32
2.3.1. Biết (n) tìm đƣợc p, q ............................................................................33
2.3.2. Biết số mũ giải a ......................................................................................33

2.3.3. Giao thức công chứng .............................................................................34
2.3.4. Giao thức số mũ công khai nhỏ ..............................................................35
2.3.5. Giao thức số mũ bí mật nhỏ ....................................................................37
2.3.6. Trƣờng hợp các tham số p-1 và q-1 có các ƣớc nguyên tố nhỏ ..............39
2.4. Kết luận ..........................................................................................................42
CHƢƠNG 3: THỬ NGHIỆM PHƢƠNG PHÁP THÁM MÃ VỚI HỆ RSA ............ 44
3.1. Mơ tả bài tốn tấn cơng RSA sử dụng modul chung .....................................44
3.2. Thuật tốn tấn cơng giao thức modul n chung ...............................................44
3.2.1. Kiểu tấn công thứ nhất: Tấn công dựa trên các số mũ mã hóa nguyên tố
cùng nhau ..........................................................................................................44
3.2.2. Kiểu tấn cơng thứ hai: Phân tích số modul n bằng cách tìm căn bậc hai
khơng tầm thƣờng của 1 mod n .........................................................................45
3.2.3. Kiểu tấn công thứ ba: Sử dụng khóa cơng khai và bí mật của mình để
sinh ra khóa bí mật của ngƣời dùng khác .........................................................47
3.3. Thử nghiệm chƣơng trình...............................................................................48
3.3.1. Cơ sở lý thuyết ........................................................................................48
3.2.2. Thuật tốn................................................................................................49
3.3.3. Đánh giá kết quả...................................... Error! Bookmark not defined.
3.3.4. Thử nghiệm .............................................................................................51
3.4. Kết luận ..........................................................................................................60
KẾT LUẬN ................................................................................................................... 61
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

vii
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ 62

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

viii

DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1: Q trình mã hóa và giải mã ........................................................................... 5
Hình 1.2: Mã hóa thơng điệp sử dụng khóa cơng khai P ............................................... 8
Hình 1.3: Giải mã thơng điệp sử dụng khóa riêng của ngƣời nhận ............................... 8
Hình 1.4: Mã hóa thơng điệp sử dụng khóa bí mật S để mã thơng điệp và................... 9
Hình 1.5: Giải mã thơng điệp sử dụng khóa bí mật S để giải mã thơng điệp và ........... 9
Hình 1.6: Sơ đồ biểu diễn thuật tốn mã hóa RSA ...................................................... 13
Hình 3.1: Lƣu đồ giải thuật thám mã RSA ................................................................... 50
Hình 3.2: Giao diện chính của chƣơng trình thám mã RSA ........................................ 52
Hình 3.3: Nhập các tham số RSA ................................................................................ 53
Hình 3.4: Tính khóa bí mật d1, d2 ................................................................................ 54
Hình 3.5: Mã hóa ........................................................................................................... 55
Hình 3.6: Mã hóa thơng điệp ........................................................................................ 56
Hình 3.7: Thám mã tìm ra khóa bí mật d1.................................................................... 57
Hình 3.8: Giải mã tìm ra bản rõ theo khóa d1 .............................................................. 58
Hình 3.9: Giải mã tìm ra thơng điệp ............................................................................. 59

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

1

LỜI NĨI ĐẦU
Từ khi con ngƣời có nhu cầu trao đổi thơng tin, thƣ từ với nhau thì nhu cầu
giữ bí mật và bảo mật tính riêng tƣ của những thơng tin, thƣ từ đó cũng nảy sinh.

Hình thức thơng tin trao đổi phổ biến sớm nhất là dƣới dạng các văn bản, để giữ bí
mật của thơng tin ngƣời ta đã sớm nghĩ đến cách che dấu nội dung các văn bản bằng
các biến dạng các văn bản đó để ngƣời ngồi đọc nhƣng khơng hiểu đƣợc, đồng thời
có cách khôi phục lại nguyên dạng ban đầu để ngƣời trong cuộc vẫn hiểu đƣợc; theo
cách gọi ngày nay thì dạng biến đổi của văn bản đƣợc gọi là mật mã của văn bản,
cách lập mã cho một văn bản đƣợc gọi là phép lập mã, cịn cách khơi phục lại
nguyên dạng ban đầu gọi là phép giải mã. Phép lập mã và phép giải mã đƣợc thực
hiện nhờ một chìa khóa riêng nào đó mà chỉ những ngƣời trong cuộc đƣợc biết và
nó đƣợc gọi là khóa lập mã. Ngƣời ngồi dù có lấy đƣợc bản mật mã trên đƣờng
truyền mà khơng có khóa mật mã thì cũng khơng thể hiểu đƣợc nội dung của văn
bản truyền đi.
Trong số các phƣơng pháp đảm bảo an tồn thơng tin thì phƣơng pháp mật
mã hóa (Cryptography) đƣợc sử dụng rộng rãi và đảm bảo an toàn nhất. Tuy nhiên
phƣơng pháp mật mã hóa khơng tốt (mặc dù việc quản lý khóa mã đƣợc giả thiết là
an tồn) thì rất nguy hiểm. Vậy làm thế nào để đánh giá đƣợc chất lƣợng của một hệ
mã là tốt? Có nhiều phƣơng pháp đánh giá chất lƣợng của một hệ mật nhƣ phƣơng
pháp Entropy của Shannon, nhƣng phƣơng pháp tốt nhất và trực quan nhất, đó là
phƣơng pháp phân tích trực tiếp bản mã khi khơng có khóa mã trong tay mà ngƣời
ta thƣờng gọi là thám mã (Cryptannalysis).
Hiện nay thám mã cũng là một lĩnh vực cũng thƣờng đƣợc quan tâm nghiên
cứu nhƣng ít khi đƣợc công khai, hoặc công khai không đầy đủ. Sự hiểu biết về các
phƣơng pháp thám mã hiện nay ở trong nƣớc nói chung đang cịn rất hạn chế. Tuy
đã có nhiều cơng trình nghiên cứu về thám mã nhƣng việc đƣa ra hệ quy trình thám
mã và chƣơng trình thám mã vẫn ở mức độ hẹp và khó khăn trong ứng dụng thực tế.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

2

Xuất phát từ thực tế đó, để góp phần tăng cƣờng độ an toàn cho các hệ mật
mã hiện đại nhằm góp phần bảo vệ an ninh thơng tin trong tình hình mới nên em đã
chọn đề tài “Tìm hiểu một số phương pháp thám mã hệ mật mã khóa công khai
ứng dụng trong bảo mật dữ liệu” nhằm nghiên cứu và ứng dụng.
Trong khuôn khổ đề tài đƣợc giao, luận văn đƣợc trình bày trong 3 chƣơng.
Có phần mở đầu, phần kết luận, phần mục lục, tài liệu tham khảo. Các nội dung cơ
bản của luận văn đƣợc trình bày nhƣ sau:
Chƣơng 1: “Tổng quan về mật mã khóa cơng khai và thám mã”. Ở chƣơng
này, luận văn trình bày chi tiết về lịch sử cũng nhƣ các khái niệm về các hệ mã
thuộc dòng mã truyền thống cũng nhƣ dòng mã đối xứng, mã bất đối xứng giúp
chúng ta hiểu cơ sở lý thuyết về các hệ mật mã. Vấn đề thám mã nói chung và thám
mã đối với hệ mật RSA cũng đƣợc em trình bày kỹ trong chƣơng này.
Chƣơng 2: “Các phƣơng pháp thám mã hệ mật mã khóa cơng khai”.
Trên cơ sở hiểu các hệ mật đƣợc trình bày ở chƣơng 1, để có cái nhìn tổng quan về
vấn đề thám mã đối với hệ mật RSA và trên cơ sở trình bày các phƣơng pháp thám
mã đã tổng kết lại các phƣơng pháp và đánh giá kết quả của phƣơng pháp nhƣ: các
tấn công cơ bản - modul chung, tấn công vào số mũ cơng khai hoặc số mũ bí mật
nhỏ, giao thức cơng chứng...
Chƣơng 3: “Thử nghiệm phƣơng pháp thám mã với hệ RSA”. Qua nghiên
cứu các phƣơng pháp thám mã trong chƣơng 2, chƣơng 3 đề xuất phƣơng pháp tấn
công giao thức sử dụng hệ mật mã RSA có modul n chung. Để minh chứng cho
phƣơng pháp này, luận văn xây dựng thuật tốn và cài đặt chƣơng trình thử nghiệm
trong hệ bảo mật.
Do mức độ phức tạp của công việc thám mã là rất lớn nên bài toán đặt ra với
giả thiết ngƣời thám mã biết đƣợc các thông tin và bản mã đƣợc mã hóa bởi RSA từ
bản rõ tƣơng ứng là một thông điệp dạng Text. Từ giả thiết này xây dựng thuật tốn
để xác định khóa mật K đã sử dụng để mã hóa cũng nhƣ tìm ra bản rõ tƣơng ứng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

3

CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ MẬT MÃ KHĨA CƠNG KHAI VÀ THÁM MÃ
1.1. Giới thiệu
Mật mã đã đƣợc con ngƣời sử dụng từ lâu đời. Các hình thức mật mã sơ khai đã
đƣợc tìm thấy từ khoảng bốn nghìn năm trƣớc trong nền văn minh Ai Cập cổ đại.Trải
qua hàng nghìn năm lịch sử, mật mã đã đƣợc sử dụng rộng rãi ở khắp nơi trên thế giới
từ Đông sang Tây để giữ bí mật cho việc giao lƣu thơng tin trong nhiều lĩnh vực hoạt
động giữa con ngƣời và các quốc gia, đặc biệt trong các lĩnh vực quân sự, chính trị,
ngoại giao. Mật mã trƣớc hết là một loại hoạt động thực tiễn, nội dung chính của nó là
để giữ bí mật thơng tin. Ví dụ muốn gửi một văn bản từ một ngƣời gửi A đến một
ngƣời nhận B, A phải tạo cho văn bản đó một bản mã mật tƣơng ứng và thay vì gửi văn
bản rõ thì A chỉ gửi cho B bản mã mật, B nhận đƣợc bản mã mật và khôi phục lại văn
bản rõ để hiểu đƣợc thông tin mà A muốn gửi cho mình. Do văn bản gửi đi thƣờng
đƣợc chuyển qua các con đƣờng cơng khai nên ngƣời ngồi có thể “lấy trộm” đƣợc,
nhƣng vì đó là bản mật mã nên khơng đọc hiểu đƣợc; Cịn A có thể tạo ra bản mã mật
và B có thể giải bản mã mật thành bản rõ để hiểu đƣợc là do hai ngƣời đã có một thoả
thuận về một chìa khóa chung, chỉ với khóa chung này thì A mới tạo đƣợc bản mã mật
từ bản rõ và B mới khôi phục đƣợc bản rõ từ bản mã mật. Khóa chung đó đƣợc gọi là
khóa mật mã. Để thực hiện đƣợc một phép mật mã, ta cịn cần có một thuật tốn biến
bản rõ cùng với khóa mật mã thành bản mã mật và một thuật toán ngƣợc lại biến bản
mật cùng với khóa mật mã thành bản rõ. Các thuật tốn đó đƣợc gọi tƣơng ứng là thuật
toán lập mã và thuật tốn giải mã. Các thuật tốn này thƣờng khơng nhất thiết phải giữ
bí mật, mà cái ln cần đƣợc giữ bí mật là khóa mật mã. Trong thực tiễn, có những
hoạt động ngƣợc lại với hoạt động bảo mật là khám phá bí mật từ các bản mã “lấy
trộm” đƣợc, hoạt động này thƣờng đƣợc gọi là mã thám hay phá khóa.
1.2. Các khái niệm cơ bản

1.2.1. Mật mã

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

4
Mật mã (Cryptography) là tập hợp mọi phƣơng pháp (hoặc quy tắc) biến đổi
nào đó nhằm chuyển các thơng báo (messages) dƣới dạng nhận thức đƣợc nội dung
(nhƣ chữ viết, tiếng nói, hình vẽ, hình ảnh…) thành dạng bí mật mà những ngƣời
ngồi cuộc khơng hiểu đƣợc nội dung nếu họ không biết đƣợc phƣơng pháp (hoặc
quy tắc) biến đổi đó.
1.2.2. Mật mã học
Mật mã học (Cryptology) là một bộ môn khoa học chuyên nghiên cứu về mật
mã và thám mã.
1.2.3. Bản rõ
Ta hiểu bản rõ (Plain text) tức là một bản thơng báo có mang nội dung thơng
tin mà ngƣời đọc có thể hiểu đƣợc nó nói cái gì hoặc là nó có ý nghĩa rõ ràng. Bản
rõ (bản thơng báo) có thể tồn tại dƣới dạng chữ viết, tiếng nói, hình vẽ, biểu bảng…
tƣơng ứng ta sẽ có khái niện mã ký tự, mã thoại, mã fax, mã dữ liệu…
Bản rõ thƣờng đƣợc dùng biểu diễn (viết) dƣới dạng một dãy các chữ cái
theo quy tắc cú pháp nào đó hoặc ký hiệu thuộc bảng chữ cái A hữu hạn đƣợc xác
định trƣớc. Để trình bày, ta ký hiệu M là không gian các bản rõ (message space). Ví
dụ: M có thể là gồm dãy nhị phân, các văn bản tiếng Việt, hoặc mã chƣơng trình
của máy tính…
1.2.4. Bản mã
Bản mã (Cipher text) thƣờng cũng đƣợc biểu diễn dƣới dạng một dãy các ký
hiệu có thể cũng thuộc A nhƣng không theo một quy tắc cú pháp nào cả. Ngƣời ta
nói rằng đó là dãy ngẫu nhiên. Ta ký hiệu tập tất cả các bản mã ứng với các bản rõ
m là C.

1.2.5. Mã hóa
Mã hóa (Encryption) là q trình chuyển đổi thơng tin từ bản rõ sang bản
mã. Trong q trình này thơng tin trong bản rõ sẽ đƣợc ẩn đi và do đó bất kỹ một
ngƣời nào đọc thông điệp này cũng không hiểu đƣợc trừ trƣờng hợp ngƣời đó có thể
giải mã (PlainText → CipherText)
1.2.6. Giải mã
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

5
Là q trình giải mã (Decryption) để lấy lại thơng tin ban đầu, ngƣợc với q
trình mã hóa (CipherText → PlainText).
1.2.7. Khái niệm hệ mật mã
Hệ mật mã đƣợc định nghĩa là một bộ năm (P, C, K, E, D), trong đó:
- P (Plain text) là một tập hợp hữu hạn các các bản rõ có thể, nó đƣợc gọi là
không gian bản rõ.
- C (Cipher text) tập hữu hạn các bản mã có thể, nó cịn đƣợc gọi là khơng
gian các bản mã. Mỗi phần tử của C có thể nhận đƣợc bằng cách áp dụng phép mã
hóa Ek lên một phần tử của P, với k ∈ K.
- K (Key) là tập hữu hạn các khóa có thể hay cịn gọi là khơng gian khóa.
Đối với mỗi phần tử k của K đƣợc gọi là một khóa. Số lƣợng của khơng gian khóa
phải đủ lớn để kẻ địch khơng có đủ thời gian để thử mọi khóa có thể (phƣơng pháp
vét cạn).
- E (Encryption) là tập các hàm lập mã
- D (Decryption) là tập các hàm giải mã.
Với mỗi k ∈ K, có một hàm lập mã ek ∈ E, ek : P → C và một hàm giải mã dk
∈ D, dk: C → P sao cho
dk(ek(x)) = x , ∀x ∈ P

Hình 1.1: Quá trình mã hóa và giải mã
Hệ mật hiện đại cần phải đáp ứng đƣợc những yêu cầu sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

6
- Tính bảo mật (Confidentiality): đảm bảo dữ liệu đƣợc truyền đi một cách
an tồn và khơng bị lộ nếu nhƣ ai đó cố tình muốn có đƣợc thơng điệp gốc ban đầu.
Chỉ những ngƣời đƣợc phép mới có khả năng đọc đƣợc nội dung thơng tin ban đầu.
- Tính xác thực (Authentication): giúp cho ngƣời nhận thông điệp các định
đƣợc chắc chắn thông điệp mà họ nhận là thông điệp gốc ban đầu. Kẻ giả mạo không
thể giả dạng một ngƣời khác hay nói cách khác khơng thể mạo danh để gửi thơng
điệp. Ngƣời nhận có khả năng kiểm tra nguồn gốc thơng điệp mà họ nhận đƣợc.
- Tính tồn vẹn (Integrity): ngƣời nhận thơng điệp có thể kiểm tra thơng điệp
khơng bị thay đổi trong q trình truyền đi. Kẻ giả mạo khơng thể có khả năng thay
thế dữ liệu ban đầu bằng dữ liệu giả mạo.
- Tính không thể chối bỏ (Non - repudation): ngƣời gửi, ngƣời nhận không
thể chối bỏ sau khi đã gửi hoặc nhận thông điệp.
1.3. Phân loại các hệ mật mã
Công nghệ thông tin phát triển, việc sử dụng máy tính gia tăng cùng với tốc độ
phát triển mạnh mẽ của Internet càng làm tăng nguy cơ bị đánh cắp các thông tin độc
quyền. Với mối đe dọa đó có nhiều biện pháp để đối phó song mã hóa là một phƣơng
pháp chính để có thể bảo vệ các giá trị của thơng tin điện tử. Có thể nói mã hóa là cơng
cụ tự động, quan trọng nhất cho an ninh mạng và truyền thơng. Có hai hình thức mã
hóa đƣợc sử dụng phổ biến là mã hóa đối xứng (symmetric - key cryptography) và mã
hóa bất đối xứng (asymmetric key cryptography).
1.3.1. Mã hóa đối xứng
Thuật tốn đối xứng hay cịn gọi là thuật tốn mã hóa cổ điển. Thuật tốn
này cịn có nhiều tên gọi khác nhƣ thuật tốn khóa bí mật, thuật tốn đơn giản, thuật

tốn một khóa.
Là thuật tốn mà tại đó khóa mã hóa có thể tính tốn ra đƣợc từ khóa giải mã.
Trong rất nhiều trƣờng hợp, khóa mã hóa và khóa giải mã là giống nhau.
Ƣu điểm:
- Xử lý nhanh
Nhƣợc điểm:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

7
- Các phƣơng pháp mã hóa cổ điển địi hỏi ngƣời mã hóa và ngƣời giải mã
phải cùng chung một khóa. Khi đó khóa phải giữ bí mật tuyệt đối, do vậy ta dễ dàng
xác định đƣợc một khóa nếu biết khóa kia.
- Hệ mã hóa đối xứng khơng bảo vệ đƣợc sự an tồn nếu có xác suất cao
khóa ngƣời gửi bị lộ. Trong hệ khóa phải đƣợc gửi đi trên kênh an tồn nếu kẻ địch
tấn cơng trên kênh này có thể phát hiện ra khóa.
- Vấn đề quản lý và phân phối khóa là khó khăn và phức tạp khi sử dụng hệ
mã hóa cổ điển. Ngƣời gửi và ngƣời nhận luôn luôn thống nhất với nhau về vấn đề
khóa. Việc thay đổi khóa là rất khó và rất dễ bị lộ.
- Khuynh hƣớng cung cấp khóa dài mà nó phải đƣợc thay đổi thƣờng xuyên
cho mọi ngƣời trong khi vẫn duy trì cả tính an tồn lẫn hiệu quả chi phí sẽ cản trở
rất nhiều tới sự phát triển của hệ mật mã cổ điển.
1.3.2. Mã hóa bất đối xứng
Để giải quyết vấn đề phân phối và thoả thuận khóa của mật mã khóa đối
xứng, năm 1976 Diffie và Hellman đã đƣa ra khái niệm về hệ mật mã khóa cơng
khai và một phƣơng pháp trao đổi cơng khai để tạo ra một khóa bí mật chung mà
tính an tồn đƣợc bảo đảm bởi độ khó của một bài toán toán học cụ thể (là bài tốn
tính “logarit rời rạc”). Hệ mật mã khóa cơng khai hay còn đƣợc gọi là hệ mật mã
phi đối xứng sử dụng một cặp khóa, khóa mã hóa cịn gọi là khóa cơng khai

(publickey) và khóa giải mã đƣợc gọi là khóa bí mật hay khóa riêng (private key).
Trong hệ mật này, khóa mã hóa khác với khóa giải mã. Về mặt tốn học thì từ khóa
cơng rất khó tính đƣợc khóa riêng. Biết đƣợc khóa này khơng dễ dàng tìm đƣợc
khóa kia. Khóa giải mã đƣợc giữ bí mật trong khi khóa mã hóa đƣợc cơng bố cơng
khai. Một ngƣời bất kỳ có thể sử dụng khóa cơng khai để mã hóa tin tức, nhƣng chỉ
có ngƣời nào có đúng khóa giải mã mới có khả năng xem đƣợc bản rõ.
Ngƣời gửi A sẽ mã hóa thơng điệp bằng khóa cơng của ngƣời nhận và ngƣời
nhận B sẽ giải mã thơng điệp với khóa riêng tƣơng ứng của mình.
Q trình này đƣợc mơ tả trong hình 1.2 và 1.3.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

8

Hình 1.2: Mã hóa thơng điệp sử dụng khóa cơng khai P

Hình 1.3: Giải mã thơng điệp sử dụng khóa riêng của người nhận
Việc phát minh ra phƣơng pháp mã công khai tạo ra một cuộc “cách mạng”
trong công nghệ an tồn thơng tin điện tử. Nhƣng thực tiễn triễn khai cho thấy tốc độ
mã hóa khối dữ liệu lớn bằng các thuật tốn mã hóa cơng khai chậm hơn rất nhiều so
với hệ mã hóa đối xứng. Ví dụ, để đạt đƣợc độ an toàn nhƣ các hệ mã đối xứng mạnh
cùng thời, RSA đòi hỏi thời gian cho việc mã hóa một văn bản lâu hơn gấp hàng ngàn
lần. Do đó, thay bằng việc mã hóa văn bản có kích thƣớc lớn bằng lƣợc đồ khóa cơng
khai thì văn bản này sẽ đƣợc mã hóa bằng một hệ mã đối xứng có tốc độ cao nhƣ
DES, IDEA,…sau đó khóa đƣợc sử dụng trong hệ mã đối xứng sẽ đƣợc mã hóa sử
dụng mật mã khóa cơng khai. Phƣơng pháp này rất khả thi trong việc mã và giải mã
những văn bản có kích thƣớc lớn nhƣ đƣợc mơ tả trong hình 1.4 và 1.5.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

9

Hình 1.4: Mã hóa thơng điệp sử dụng khóa bí mật S để mã thơng điệp và
khóa cơng khai P để mã khóa bí mật S.

Hình 1.5: Giải mã thơng điệp sử dụng khóa bí mật S để giải mã thơng điệp và
khóa riêng P để giải mã khóa bí mật S.
Ƣu và nhƣợc điểm của hệ mật mã khóa cơng khai
Vấn đề cịn tồn đọng của hệ mật mã khóa đối xứng đƣợc giải quyết nhờ hệ
mật mã khóa cơng khai. Chính ƣu điểm này đã thu hút nhiều trí tuệ vào việc đề
xuất, đánh giá các hệ mật mã công khai. Nhƣng do bản thân các hệ mật mã khóa
cơng khai đều dựa vào các giả thiết liên quan đến các bài tốn khó nên đa số các hệ
mật mã này đều có tốc độ mã dịch khơng nhanh lắm. Chính nhƣợc điểm này làm
cho các hệ mật mã khóa cơng khai khó đƣợc dùng một cách độc lập.
Một vấn đề nữa nảy sinh khi sử dụng các hệ mật mã khóa cơng khai là việc
xác thực mà trong mơ hình hệ mật mã đối xứng khơng đặt ra. Do các khóa mã cơng
khai đƣợc cơng bố một cách công khai trên mạng cho nên việc đảm bảo rằng “khóa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

10
đƣợc cơng bố có đúng là của đối tƣợng cần liên lạc hay khơng?” là một kẽ hở có thể
bị lợi dụng. Vấn đề xác thực này đƣợc giải quyết cũng chính bằng các hệ mật mã
khóa cơng khai. Nhiều thủ tục xác thực đã đƣợc nghiên cứu và sử dụng nhƣ
Kerberos, X.509… Một ƣu điểm nữa của các hệ mật mã khóa cơng khai là các ứng
dụng của nó trong lĩnh vực chữ ký số, cùng với các kết quả về hàm băm, thủ tục ký

để bảo đảm tính toàn vẹn của một văn bản đƣợc giải quyết.
1.4. Tiêu chuẩn đánh giá hệ mật mã
Để đánh giá một hệ mật mã ngƣời ta thƣờng đánh giá thông qua các tính chất sau:
Độ an tồn: Một hệ mật đƣợc đƣa vào sử dụng điều đầu tiên phải có độ an
tồn cao. Ƣu điểm của mật mã là có thể đánh giá đƣợc độ an tồn thơng qua độ an
tồn tính tốn mà khơng cần phải cài đặt. Một hệ mật đƣợc coi là an toàn nếu để phá
hệ mật mã này phải dùng n phép toán. Mà để giải quyết n phép tốn cần thời gian
vơ cùng lớn, khơng thể chấp nhận đƣợc.
Tốc độ mã và giải mã: Khi đánh giá hệ mật mã chúng ta phải chú ý đến tốc
độ mã và giải mã. Hệ mật tốt thì thời gian mã và giải mã nhanh.
Phân phối khóa: Một hệ mật mã phụ thuộc vào khóa, khóa này đƣợc truyền
cơng khai hay truyền khóa bí mật. Phân phối khóa bí mật thì chi phí sẽ cao hơn so
với các hệ mật có khóa cơng khai. Vì vậy đây cũng là một tiêu chí khi lựa chọn hệ
mật mã.
1.5. Hệ mật mã RSA
Có nhiều hệ thống khóa cơng khai đƣợc triển khai rộng rãi nhƣ hệ RSA, hệ
ElGamal sử dụng giao thức trao đổi khóa Diffie-Hellman và nổi lên trong những
năm gần đây là hệ đƣờng cong Elliptic. Trong số các hệ mật mã trên thì hệ RSA là
hệ đƣợc cộng đồng chuẩn quốc tế và công nghiệp chấp nhận rộng rãi trong việc
thực thi mật mã khóa cơng khai.
Hệ mật mã RSA, do Rivest, Shamir và Adleman tìm ra, đã đƣợc công bố lần
đầu tiên vào tháng 8 năm 1977 trên tạp chí Scientific American. Hệ mật mã RSA
đƣợc sử dụng rộng rãi trong thực tiễn đặc biệt cho mục đích bảo mật và xác thực dữ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

11
liệu số. Tính bảo mật và an tồn của chúng đƣợc bảo đảm bằng độ phức tạp của một
bài toán số học nổi tiếng là bài tốn phân tích số nguyên thành các thừa số nguyên tố.

Hệ mật mã RSA đƣợc sử dụng để cung cấp sự bảo mật và đảm bảo tính xác
thực của dữ liệu số. Hiện nay RSA đƣợc sử dụng trong nhiều hệ thống thƣơng mại.
Các dịch vụ web server và web browser sử dụng nó để đảm bảo an tồn việc truyền
thơng web, nó đƣợc sử dụng để đảm bảo bảo mật và xác thực của Email, đảm bảo
an toàn cho các phiên truy nhập từ xa và là bộ phận quan trọng của các hệ thống
thanh tốn thẻ tín dụng điện tử.
Tóm lại, RSA thƣờng đƣợc sử dụng trong các ứng dụng cần sự bảo đảm an
tồn và bảo mật dữ liệu số.
1.5.1. Mơ tả hệ mật RSA
Hệ mật mã RSA sử dụng các tính tốn trong Zn, trong đó n là tích của hai số
nguyên tố phân biệt p, q và (n) = (p-1)(q-1). Mơ tả hình thức của hệ mật này nhƣ sau:
Hệ mật mã RSA đƣợc mô tả nhƣ sau:
Cho n = p*q với p, q là số nguyên tố lớn. Đặt P = C = Zn
Chọn b nguyên tố cùng nhau với (n), (n) = (p-1)(q-1)
Ta định nghĩa K = {(n, b, a): a*b

1mod (n)}

Trong đó (n, b) là cơng khai, a là bí mật
Với mỗi K = (n, a, b), mỗi x ∈ P, y ∈ C, định nghĩa:
Hàm mã hóa:
y = xb mod n
Hàm giải mã:
x = ya mod n
trong đó (x, y

Zn).

Các giá trị n, b cơng khai cịn các giá trị p, q, a giữ bí mật.
Ta hãy kiểm tra xem các phép mã và giải mã có phải là các phép tốn nghịch

đảo của nhau hay khơng.
Vì ab

1(mod (n)) nên ta có ab = t. (n) + 1 với một số nguyên t

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1 nào đó.

/>

12

Giả sử x

Zn ;

a. Trƣờng hợp (x,n) =1
Khi đó ta có:

x

(n)

mod n = 1.

ya modn

(xb)a mod n

xt

(n)+1

((x

(n)

mod n

mod n)t ).x mod n

1t .x (mod n)
x (mod n)
b. Trƣờng hợp (x,n)= d>1

d = p hoặc d = q.

Giả sử d = p, khi đó x = hp với 0 < h < q và (h,n) = 1, suy ra:
ya modn

(xb)a mod n

Do (h,n) = 1 nên hab modn

(hab modn)( pab modn) modn

h

Bên cạnh đó,

pabmodn = pabmod(p.q)

pab mod q
p.p

(n)

p.p

(p). (q)

p.(p
Vậy ya modn

mod q

(p)

)

mod q

(q)

mod q

p

h.p modn = h.p = x.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

13

1.5.2. Thực thi hệ RSA
Chọn 2 số nguyên tố lớn p và q
(p<>q)

Tính n = p*q

Bản rõ m
Tính (n) = (p - 1)(q - 1)
Khóa cơng khai
(e, n)
Chọn khóa cơng khai e
(0 < e < (n), gcd (e, (n)) = 1
)

c = me mod n

Bản mã c

Tính khóa bí mật d
d = e-1 mod n
(dùng thuật tốn Euclide)

Khóa bí mật
(d, n)

m = cd mod n

Hình 1.6: Sơ đồ biểu diễn thuật tốn mã hóa RSA

Bản rõ gốc m
mm

Sau đây là một ví dụ về cách thức thực hiện của hệ RSA (tất nhiên khơng mật).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

14
Giả sử Bob chọn p = 101 và q = 113. Khi đó n = 11413 và (n) = 100 x 112
= 11200. Bob chọn ngẫu nhiên một số b và kiểm tra điều kiện UCLN ( (n), b) = 1
bằng thuật toán Euclide. Giả sử Bob chọn b = 3533, khi đó theo thuật tốn Euclid
mở rộng: b-1 = 6597 mod 11200.
Bởi vậy, số mũ bí mật để giải mã của Bob là a = 6597.
Bob sẽ công bố n = 11413 và b = 3533 trong một danh bạ khóa cơng khai.
Bây giờ, giả sử Alice muốn gửi bản rõ x = 9726 tới Bob. Cô ta sẽ tính:
97263533 mod 11413 = 5761
rồi gửi bản mã 5761 trên kênh.
Khi Bob nhận đƣợc bản mã 5761, anh ta sử dụng số mũ bí mật a để tính ra x:
57616597mod 11413 = 9726.
1.5.3. Độ an toàn của hệ RSA
a. Bài tốn phân tích số và việc phá hệ mật RSA
Cách tấn công dễ thấy nhất đối với hệ mật RSA là ngƣời thám mã sẽ cố gắng
phân tích n ra các thừa số nguyên tố n = p*q. Nếu thực hiện đƣợc phép phân tích
này thì có thể dễ dàng tính đƣợc (n) = (p - 1).(q - 1) và do đó tìm đƣợc thơng tin

cửa sập d tƣơng ứng với thơng tin mã hóa E bằng thuật tốn Euclude. Nhƣ vậy
chúng ta thấy ngay việc phá hệ mật RSA là dễ hơn bài tốn phân tích số ngun ra
thừa số nguyên tố tuy nhiên cũng chƣa có một kết quả nào chỉ ra rằng bài tốn phân
tích số là thực sự khó hơn cho nên ngƣời ta thƣờng thừa nhận rằng bài toán phá hệ
RSA là tƣơng đƣơng với bài tốn phân tích số ngun thành thừa số ngun tố.
Để đảm bảo tính khó phân tích ra thừa số của n = p*q thì yêu cầu đầu tiên là
p, q là các số nguyên tố lớn và là số nguyên tố “mạnh”. Khái niệm “mạnh” ở đây
chỉ bắt nguồn từ ý nghĩa khó phân tích do vậy nó sẽ đƣợc bổ xung cùng với kết quả
có đƣợc của khả năng phân tích số. Nói một cách khác là khái niệm “mạnh” bao
gồm sự loại trừ các lớp số nguyên tố mà với chúng tồn tại thuật tốn phân tích hiệu
quả, ta có thể biết đến một khái niệm sơ khai của tính “mạnh” đó là các số ngun
tố p mà p - 1 và p + 1 có chứa thừa số nguyên tố lớn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

15
Vì thế để hệ RSA đƣợc coi là an tồn thì nhất thiết n = p*q phải là một số đủ
lớn để việc phân tích nó sẽ khơng có khả năng về mặt tính tốn. Các thuật tốn phân
tích hiện thời có khả năng phân tích các số tới 130 chữ số thập phân. Vì vậy để đảm
bảo an tồn nên chọn các số p và q có khoảng 100 chữ số, khi đó n sẽ có tới 200 chữ
số. Ngoài ra các số p, q cần phải thoả mãn một số yêu cầu cụ thể nữa.
b. Việc tấn công hệ mật RSA khác phương pháp phân tích số.
Một kết quả thú vị là một thuật toán bất kỳ để tính số mũ giải mã d đều có
thể đƣợc dùng nhƣ một chƣơng trình con trong thuật tốn xác suất kiêu Las Vegas
để phân tích n.
Nhƣ vậy mặc dù rằng nếu d bị lộ thì việc phân tích n cũng khơng cịn ý nghĩa
theo quan điểm phá hệ mật tuy nhiên kết quả trên dù sao cũng cho ta một thuật tốn
phân tích số n khi biết d với xác suất thành cơng khơng q ½ của mỗi lần chọn số
ngẫu nhiên làm đầu vào cho thuật toán.

1.6. Thám mã
1.6.1. Khái niệm
Thám mã là q trình khơi phục lại bản rõ hoặc khóa khi chỉ có bản mã
tƣơng ứng cho trƣớc (khơng biết khóa và quy tắc mã/dịch) gọi là thám mã. Ngƣời
làm công tác thám mã đƣợc gọi là ngƣời mã thám (Cryptanalysist) hay gọi là mã
thám viên.
Tổ chức làm công tác thám mã đƣợc gọi là đơn vị mã thám. Mã thám là một
bộ phận không thể thiếu của ngành tình báo điện tử. Hầu hết các quốc gia đều có bộ
phận tình báo điện tử này, nhƣng sự phát triển và hiệu quả của nó lại phụ thuộc vào
trình độ khoa học - cơng nghệ của từng nƣớc. Nƣớc nào có trình độ khoa học - cơng
nghệ càng cao thì khả năng của cơng tác thám mã nói riêng, tình báo điện tử nói
chung càng mạnh.
Mục tiêu của thám mã: Mục tiêu của thám mã (phá mã) là tìm những điểm yếu
hoặc khơng an tồn tổng phƣơng pháp mật mã hóa.Thám mã có thể đƣợc thực hiện
bởi những kẻ tấn công ác ý, nhằm làm hỏng hệ thống; hoặc bởi những ngƣời thiết kế
ra hệ thống với ý định đánh giá độ an toàn của hệ thống.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

16
Để nghiên cứu thám mã đƣợc các bản mã truyền thống, ngƣời mã thám phải
nghiên cứu các đặc trƣng cơ bản của bản rõ. Nói một cách khác, trong mọi ngơn
ngữ tự nhiên đều có những đặc trƣng bất biến mà mã thám viên cần nắm vững để
phục vụ việc phân tích các bản mã. Đó là quy luật tần số, quy luật trùng lặp, quy
luật văn phong, v.v...
a. Tần số (Frequency)
Ngƣời ta định nghĩa tần số xuất hiện một ký tự, một nhóm ký tự, một từ hay
một vần v.v... trong một văn bản là số lần xuất hiện của ký tự, nhóm ký tự, từ, vần
đó trong văn bản đã cho.

Ngƣời ta có thể tính tần số từ một hoặc nhiều văn bản (thông báo) của một
loại ngôn ngữ nào đó để rút ra những quy luật riêng của ngơn ngữ đó. Có nhiều loại
tần số nhƣ: Tần số từng ký tự (tần số đơn), tần số từng cặp 2 ký tự (tần số bộ đôi).
Ngay tần số bộ đơi cũng có nhiều cách tính khác nhau nhƣ: Tần số bộ đơi thơng
thƣờng; Tần số bộ đơi móc xích (concatenate); Tần số bộ k ký tự (k = 1, 2, 3, 4...).
Ngồi ra cịn có: tần số từ, tần số vần chữ cái (ví dụ - tion, trong tiếng Anh), tần số
các nhóm nguyên âm, tần số các ký tự đứng đầu từ, tần số ký tự đứng cuối từ
Một điểm cần lƣu ý là mỗi loại ngôn ngữ tự nhiên khác nhau có các tần số
khơng giống nhau. Ngay trong một ngôn ngữ, các loại văn bản có tính chất văn học
sẽ có các tần số khơng hồn tồn giống nhau. Những tính chất đó ngƣời ta gọi là các
đặc trƣng ngôn ngữ.
Ta lƣu ý rằng, các văn bản khác nhau thƣờng có độ dài (số lƣợng các ký tự
trong văn bản đó) khác nhau. Do đó khái niệm tần số nhƣ định nghĩa trên có nhiều
trƣờng hợp rất khó trong thực hành. Vì vậy ngƣời ta đƣa ra khái niệm tần số tƣơng
đối (tần suất - relative frequency). Tần suất của một ký tự x nào đó trong văn bản là
số lần xuất hiện ký tự đó chia cho độ dài của văn bản đó. Cịn tần suất bộ đơi móc
xích xy nào đó trong một văn bản là số lần xuất hiện bộ đơi đó có trong văn bản
chia cho độ dài của văn bản trừ đi một. Ví dụ, giả sử văn bản có độ dài n, khi đó số
lƣợng bộ đơi móc xích là n-1 , nếu số lần xuất hiện cặp “nh” là m lần thì tần suất
của cặp “nh” sẽ là mnh / (n-1).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

17
b. Sự trùng lặp
Là một quy luật của bất cứ ngơn ngữ tự nhiên nào. Đó là đặc trƣng thứ 2 của
ngôn ngữ đƣợc thể hiện trên các văn bản thơng báo (sau đây gọi là bản rõ). Ngồi
quy luật tần số thì quy luật trùng lặp rất cần thiết và có thể nói chúng khơng thể
thiếu đối với cơng tác thám mã truyền thống.

c. Văn phong (Quy luật hành văn trong văn bản).
Trong thực tế, các loại văn bản khác nhau sẽ có văn phong khơng giống nhau
do phụ thuộc vào thói quen của từng ngƣời soạn thảo ra văn bản đó. Đây cũng là
quy luật đáng lƣu ý trong việc thám mã. Văn phong đƣợc chia thành các dạng:
- Dạng đầu văn bản (gọi là quy luật đầu điện):
Ví dụ: Cơng điện số…, báo cáo số…, kính gửi ông…, căn cứ Công văn số…,
phúc đáp Công văn số…
- Dạng thân văn bản (quy luật thân điện): Văn bản thƣờng có chia theo từng
mục hoặc khơng chia theo mục; Nội dung văn bản có khác nhau tuỳ theo từng loại
nội dung nhƣ ngoại giao, tình báo, quân sự, kinh tế, chính trị v.v...;
- Dạng cuối văn bản (quy luật cuối điện): Đoạn kết thúc một văn bản thƣờng
cũng có những quy luật: Mỗi ngƣời soạn thảo văn bản khác nhau sẽ có quy luật
khác nhau.
Ví dụ, thƣờng chấm hết thì có chữ stop, stopend; câu chào Salam và sau cùng
là tên, chức vụ, cấp bậc của ngƣời gửi thông báo, v.v... Những thông tin này đôi khi
rất quan trọng, giúp nhà mã thám thành công trong nhiệm vụ của mình.
d. Quy luật tình huống
Nhƣ đã đƣợc trình bày ở phần trƣớc, thám mã là tìm mọi biện pháp có thể để
khơi phục lại bản rõ và/hoặc khóa mã từ một số bản mã cho trƣớc. Điều này cho
thấy thám mã là một loại cơng việc khó khăn và phức tạp, nó vừa mang tính khoa
học lại vừa mang tính nghệ thuật. Rõ ràng, khoa học về mật mã càng phát triển thì
kỹ thuật thám mã càng gặp nhiều khó khăn.
Để chống lại việc thám mã của đối phƣơng, các nhà sản xuất mật mã phải
thiết kế các thuật toán mã hóa và các loại khóa mã sao cho các thơng tin về khóa mã
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>