BÀI tập sử DỤNG bđt AM GM (cauchy schwarz)

I. Sử dụng BĐT AM-GM
Bài 1: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x  y  2 . Chứng minh rằng xy  x 2  y 2   2
Bài 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x  y  2 . Chứng minh rằng x3 y 3  x3  y 3   2
Bài 3: Cho c  0 , a, b  c . Chứng minh rằng

c(a  c)  c(b  c)  ab

Bài 4: Cho x,y,z,t là các số thực dương. CMR:

x3
y3
z3
t3



1
x3  3 yzt y 3  3ztx z 3  3txy t 3  3xyz

Bài 5: Cho a,b,c,d là các số thực không âm thỏa mãn  a  b  c  b  c  d  c  d  a  d  a  b   0 .
Chứng minh rằng:

a
b
c
d



2
bcd

cd a
d ab
abc

Bài 6: Cho các số thực không âm a,b,c. CMR:
a) a3  b3  ab(a  b)
b)

1
1
1
1
 3 3
 3

(a, b, c  0)
3
3
a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc
3

8
9

c)  a  b  (b  c)(c  a)  (a  b  c)(ab  bc  ca )
d) (a  b)(b  c)(c  a)  8abc
e)Cho (a  b)(b  c)(c  a)  1 . CMR: ab  bc  ca 

3
4

Bài 7:
a) Cho các số thực dương a,b, c sao cho a  b  c  ab  bc  ca  6 . CMR a2  b2  c2  6 .
b)Cho các số thực dương a,b sao cho:

1 1
1
1
1
  2 . CMR: Q  4
 4

2
2
2
2
a b
a  b  2ab b  a  2a b 2

c) Cho các số thực dương a,b sao cho a  b  c  2 . CM: 2  a 2  b2   6     9  2  2   10
b a a b 
a

b

1

1

d) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  2 . Tìm GTNN P  2a  bc  2b  ac  2c  ab

e) Cho các số thực không âm a,b sao cho a2  b2  4 . Tìm GTLN của P 

ab
a  b2
2

II. KĨ THUẬT CÔ-SI CHỌN ĐIỂM RƠI
Bài 1: Cho x  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y  3 x 

1
2x
1
a

1
b

Bài 2: Cho a  10, b  10, c  1000 . Tính GTNN của biểu thức P  a   b   c 
Bài 3: Cho a, b, c  0, a  b  c  1 . Chứng minh rằng

1
c

ab  bc  ca  6

Bài 4: 1) Cho x  1, y  1. Chứng minh rằng x y  1  y x  1  xy

Chuyên đề BĐT-Bồi dưỡng HSG

GV: Nguyễn Thị Bảo Trâm

1 



1 

2) x  0, y  0, x  y  1 . Tìm GTNN của biểu thức A  1  2  1  2 
 x  y 
Bài 5: Cho số thực a  2 . Tìm GTNN của biểu thức A  a 

1
a

Bài 6: Cho số thực a  2 . Tìm GTNN của biểu thức A  a 

1
a2

Bài 7: Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a  b  1 . Tìm GTNN của biểu thức A  ab 
Bài 8: Cho số thực a  6 . Tìm GTNN của biểu thức A  a 2 

1
ab

18
a
3
a

Bài 9: Cho các số thực dương a,,b,c thỏa mãn a  2b  3c  20. Tìm GTNN của A  a  b  c  

9 4

2b c

Bài 10: Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn ab  12; bc  8 . CMR (a  b  c)  2     

 a b c  abc 12
1

1

1

8

121

Phân tích: Dự đốn GTNN của A đạt được khi ab  12, bc  8 tại a  3; b  4; c  2 . Khi đó áp dụng
Cauchy cho từng nhóm sau: 

a b 2  a c 2   b c 2  a c b 8 
, , , ; ; , , , , , , ,

 18 24 ab   9 6 ac   16 8 bc   9 6 12 abc 

Bài 12: Cho các số thực dưng a,b tùy ý. Tìm GTNN của biểu thức: A 

ab
ab

ab a  b

Bài 13:
1) Cho các số thực dương a,b,c tùy ý. Tìm GTNN của biểu thức

a
b
c
bc ca ab





bc ca ab
a
b
c
a
b
c
b  c c  a a  b 3  b  c c  a a  b  15
B






 



b  c c  a a  b 4a
4b
4c
4 a
b
c  2
1
1
1
1
2) Cho a, b  0, a  b  1 . Tìm GTNN của P  2 2 
,Q

2
2
a b
2ab
1 a  b
2ab
1
1
1
1
1
R 2


 4ab, S  3 3  2  2
2
a b
2ab
a  b a b ab
1 1 1
1
1
1


3) Cho x, y, z  0;    4. Tìm GTLN của P 
x y z
2x  y  z x  2 y  z x  y  2z
A

III.KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG ĐÁNH GIÁ TỪ TRUNG BÌNH CỘNG SANG
TRUNG BÌNH NHÂN
ab  bc  ca  6

Bài 1: Cho a, b, c  o; a  b  c  1 . Chứng minh rằng
Bài 2: Cho a, b, c  0; a  b  c  1 . Chứng minh rằng

3

a  b  3 b  c  3 c  a  3 18

Bài 3: Cho a,b,c dương và a  b  c  3 . Chứng minh rằng
Bài 4:Cho a,b,c là các số dương và

a  b  2c   3 b  c  2a   3 c  a  2b   3 3 3

1 1 1
1
1
1
   4 . CMR:


1
a b c
2a  b  c a  2b  c a  b  2c

Bài 5: Cho các số thực dương a,b,c bất kì. CMR:

Chuyên đề BĐT-Bồi dưỡng HSG

3

a
b
c


2
bc
ac
ba

GV: Nguyễn Thị Bảo Trâm


Bài 6: Cho a,b,c dương và a  b  c  3 . CMR:
Bài 7: Cho các số thực dương a,b,c. CMR:

ab
a  b  6c
2

2

bc



b  c  6a
2

2

ca



c  a 2  6b
2

2

ab
bc
ac


1
c  2 ab a  2 bc b  2 ac

Bài 8: Cho a,b,c là các số thực khơng âm bất kì thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  0 . CMR
a b  c 
b c  a 
c a  b


2
2
2
a  bc
b  ac
c 2  ab

Bài 9: Cho a,b,c dương và a  b  c  6 . CMR:

a
b3  1

Bài 10: Cho a,b,c dương và a  b  c  1. CMR:



b
c3  1



c

 2.

a3  1

bc
ac
ab
1


 .
a  bc
b  ca
c  ab 2

Bài 11: 1)Cho a,b,c dương và a  b  c  3 . CMR:

ab
c 3
2



bc
a 3
2



ca
b 3
2



3
2

2) Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x  y  2 . CM x 2 y 2  x 2  y 2   2
3) a) Cho các số a,b không âm thỏa mãn a2  b2  2 . CMR: a 3a  a  2b   b 3b  b  2a   6
b) Với ba số dương x,y,z thỏa mãn x  y  z  1 . Tìm GTLN của biểu thức
Q

x
y
z


x  x  yz y  y  zx z  z  xy

4)Cho x,y,z là các số thực dương. CMR

x2

y2
z2


1
x 2  2 yz y 2  2 zx z 2  2 xy

5)Cho x, y  0; x  y  1 . Chứng minh rằng 8  x 4  y 4  

1
5
xy

6)Cho các số a,b,c là các số dương thỏa mãn a  b  c  3 . CMR: a 2b  b 2 c  c 2 a 
7)Cho x, y  1 . Chứng minh rằng :

x

3

 y3    x2  y 2 
( x  1)( y  1)

9a 2b 2 c 2
1  2a 2b 2 c 2

8

8) Cho x, y, z  0; xy  yz  xz  1 . Tìm GTLN của P  x 2  y 2  2 z 2
9)Cho x, y, z  0; x  y  z  3 . Tìm GTNN của P  x 2  y 2  z 3

10) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a2  2b2  3c2  1 . Tìm GTLN của P  2a3  3b3  4c3
Bài 12: Cho các số thực dương a,b,c,d thảo mãn abc  bcd  cda  dab  1 . Tìm GTNN của
P  4  a 3  b 3  c 3   9d 3

IV.KỸ THUẬT AM-GM NGƯỢC DẤU
a3
b3
c3
d3
abcd
 2

Bài 1: CMR với mọi số thực dương a,b,c,d ta có: 2 2  2 2  2
2
2
a b b c c d
d a
2

Chuyên đề BĐT-Bồi dưỡng HSG

GV: Nguyễn Thị Bảo Trâm


Bài 2: CMR với mọi số thực không âm a,b,c và a  b  c  3 ta có:

a2
b2
c2



1
a  2b 2 b  2c 2 c  2a 2

Bài 3: CMR với mọi số thực không âm a,b,c và a  b  c  3 ta có:

a2
b2
c2


1
a  2b3 b  2c 3 c  2a 3

Bài 4: Cho a, b, c  0; a  b  c  3 . CMR:

a 1 b 1 c 1


3
b2  1 c2  1 a 2  1

Bài 5: Cho a, b, c, d  0; a  b  c  d  4 . CMR

a 1 b 1 c 1 d 1



4
b2  1 c2  1 d 2  1 a 2  1

Bài 6: Cho a, b, c, d  0; a  b  c  d  4 . CMR

1
1
1
1
 2
 2
 2
4
b 1 c 1 d 1 a 1
2

Bài 7: Cho các số thực dương a,b,c. Tìm GTLN của P 

bc
ac
ab


a  2 bc b  2 ac c  ab

a3
b3
c3
a bc
 2
 2


Bài 8: Cho các số thực dương a,b,c. CM: 2
2
2
2
a  ab  b b  bc  c c  ca  a
3

Bài 9: Cho các số thực dương a,b,c và a  b  c  3 . Chứng minh rằng
V

abc abc abc 9



a 2  abc b 2  abc c 2  abc 2

Bài 10: Cho số thực dương a,b và a  b  2. Tìm GTNN của M 

a2
b2

a 1 b 1

1
1
1
a 2  b2  c2 3





Bài 11: Cho các số thực dương a,b,c và a, b, c  2 . CM
2a 2b 2c
2
2

Bài 12: Cho các số thực dương x,y,z và xyz  1 . Chứng minh

x4 y
y4 z
z4x
3



2
2
2
x 1 y 1 z 1 2

Bài 13: Cho các số thực dương a,b,c và a  b  c  3 .Chứng minh

a
b
c
1
 3
 3

b  16 c  16 a  16 16

3

1
1 
 1
 2
 2 9
2
 a 1 b 1 c 1 

Bài 14: Cho a, b, c  1 . Chứng minh a  b  c   b(a  c)  c(a  b)  2 
Bài 15: Cho a, b, c  0; a  b  c  3 . Chứng minh

a
b
c
3
 3
 3

b  ab c  bc a  ac 2
3

a 3  b3 b3  c 3 c 3  a 3


9
Bài 16: Cho a, b, c  0; a  b  c  9 . Chứng minh
ab  9 bc  9 ac  9

Bài 17: Cho x, y, z  0; x  y  z  3 . Tìm GTNN của biểu thức P 

Chuyên đề BĐT-Bồi dưỡng HSG

x
y
z


2
2
1  y 1  z 1  x2

GV: Nguyễn Thị Bảo Trâm