Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chất phổ của một số lớp ánh xạ tuyến tính dương trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

La Hồ Tuấn Duy

TÍNH CHẤT PHỔ CỦA MỘT SỐ LỚP
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG TRONG
KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

La Hồ Tuấn Duy

TÍNH CHẤT PHỔ CỦA MỘT SỐ LỚP
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG TRONG
KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ
Chun ngành : Giải tích
Mã số

: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một cơng trình nghiên cứu, những trích dẫn nêu
trong luận văn đều chính xác và trung thực.
La Hồ Tuấn Duy


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin dành những lời đầu tiên của luận văn này để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
thầy Nguyễn Bích Huy, người Thầy hướng dẫn khoa học, đã đưa ra định hướng và giúp tơi
hồn thành văn luận này. Trong suốt quá trình học các học phần cũng như thực hiện luận
văn, Thầy luôn theo dõi, hướng dẫn tận tình để tơi nắm được kiến thức và hồn thiện luận
văn của mình.
Tơi cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa
Tốn – Tin, tất cả q Thầy, Cơ giảng dạy các học phần mà tôi đã được học trong q trình
học Cao học, cùng q Thầy, Cơ cơng tác ở phòng sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi để tôi học tập và nghiên cứu.
Đồng thời, tôi cũng xin cảm ơn quý Thầy, Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc
và góp ý giúp luận văn được hồn thiện.
Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến các bạn, các anh chị cùng lớp Giải tích khoa
Tốn khóa 28 về những sẻ chia và giúp đỡ trong thời gian học tập và làm luận văn.

La Hồ Tuấn Duy


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

A

Ánh xạ liên hợp của ánh xạ A .

r A

Bán kính phổ của ánh xạ A .

X

Không gian liên hợp của X .
A

B ,r
A

Phổ của ánh xạ A .
Quả cầu đóng tâm , bán kính r .
Tập dải của ánh xạ A .

Ti

Tập hợp các điểm trong của tập T .

Tc

Tập hợp các c điểm trong của tập T .


MỤC LỤC
Trang phụ bìa

Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU.................................................................................................................... 1
Chương 1. CÁC KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG ..................................................... 3
1.1. Khơng gian Banach với thứ tự sinh bởi nón.................................................... 3
1.2. Phổ của ánh xạ tuyến tính liên tục, ánh xạ compact........................................ 7
1.3. Phổ biên ........................................................................................................... 9
1.4. Ánh xạ đa trị, tính liên tục ............................................................................. 10
Chương 2. VECTƠ RIÊNG DƯƠNG................................................................... 13
2.1. Bán kính phổ của ánh xạ tuyến tính dương ................................................... 13
2.2. Sự tồn tại vectơ riêng dương ......................................................................... 16
2.3. Một số điều kiện đủ để tồn tại vectơ riêng dương ......................................... 17
2.4. Ánh xạ dương với nón minihedral................................................................. 19
2.5. Vectơ riêng dương của ánh xạ liên hợp......................................................... 23
Chương 3. MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ DƯƠNG
VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG CHÍNH CỦA ÁNH XẠ DƯƠNG ................. 28
3.1. Một số lớp ánh xạ tuyến tính dương đặc biệt ................................................ 28
3.2. Điều kiện để một ánh xạ tuyến tính dương là khơng phân tích được............ 28
3.3. Giá trị riêng chính của ánh xạ dương ............................................................ 30
Chương 4. BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ ................... 36
4.1. Sự tồn tại giá trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ đa trị .................................... 36
4.2. Các tính chất của cặp riêng dương ................................................................ 38
KẾT LUẬN ............................................................................................................. 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................... 43


1

MỞ ĐẦU

Các tốn tử tuyến tính liên tục là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của Giải tích hàm.
Nhiều Quá trình, Hệ thống trong Tự nhiên và Xã hội đưa đến việc nghiên cứu khơng
phải một ánh xạ tuyến tính đơn lẻ mà thông thường là một họ ánh xạ phụ thuộc các
tham số. Các tham số này đóng vai trò như các yếu tố trong Tự nhiên, Xã hội, ảnh
hưởng đến Quá trình hay Hệ thống đang xét. Ta quan tâm đến tính ổn định hoặc
khơng ổn định của Quá trình hay Hệ thống này theo sự biến đổi của các yếu tố ảnh
hưởng. Các thời điểm xảy ra đột biến, gãy đổ trong Quá trình hay Hệ thống có liên
quan đến các giá trị của tham số mà ta gọi là giá trị phổ của ánh xạ tuyến tính mơ tả
Q trình hay Hệ thống đó. Do đó, việc nghiên cứu tập phổ của các ánh xạ tuyến tính
được các nhà Tốn học quan tâm nghiên cứu từ rất sớm. Lý thuyết phổ là một nhánh
nghiên cứu quan trọng của Giải tích hàm và đã thu được các kết quả lý thuyết quan
trọng cũng như tìm được các ứng dụng có giá trị trong Lý thuyết phương trình vi
phân, Lý thuyết điều khiển và tối ưu, trong các bài toán kinh tế.
Theo sự phát triển nội tại của Toán học cũng như để ứng dụng giải quyết các bài toán
mới phát sinh trong Khoa học, Kỹ thuật và Xã hội mà Lý thuyết phổ có thể được phát
triển theo hai hướng. Hướng thứ nhất là tăng độ tổng quát của ánh xạ (ánh xạ compact
được mở rộng thành ánh xạ Fredholm, ánh xạ hạch, …) và các không gian (thay
không gian định chuẩn bằng các không gian đếm được chuẩn, không gian lồi địa
phương, …). Hướng thứ hai là nghiên cứu các ánh xạ trong các không gian đặc biệt
(có tính chất hình học tốt như khơng gian lồi đều, khơng gian có thứ tự).
Lý thuyết về các khơng gian với thứ tự sinh bởi nón và ánh xạ tác động trong chúng
được hình thành từ những năm 1940 trong các cơng trình nghiên cứu của M.Krein,
A.Rutman và được hoàn thiện cho đến ngày nay. Việc kết hợp các tính chất tơpơ của
ánh xạ với các tính chất về thứ tự của ánh xạ đó đã đưa đến những kết quả quan trọng
về phổ của ánh xạ như định lý nổi tiếng của Krein – Rutman với những ứng dụng có
giá trị trong Phương trình vi phân và Lý thuyết Điều khiển, … .


2
Mục tiêu của luận văn là giới thiệu một cách đầy đủ, chi tiết các tính chất đặc biệt về

phổ của một số lớp ánh xạ tuyến tính trong khơng gian Banach với thứ tự sinh bởi
nón, như lớp ánh xạ u0 – bị chặn, ánh xạ khơng phân tích được, ánh xạ liên hợp, ánh
xạ đa trị, … .
Đề tài có ý nghĩa về mặt đào tạo. Việc thực hiện đề tài giúp học viên hiểu sâu hơn và
toàn diện hơn các kiến thức đã học về Tôpô, Giải tích hàm, Giải tích phi tuyến, Giải
tích thực; biết vận dụng chúng trong học tập các vấn đề mới. Qua quá trình làm luận
văn, học viên cũng làm quen với công việc nghiên cứu khoa học.
Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho các sinh viên Đại học và học viên Cao
học khi học về Lý thuyết phổ của ánh xạ.
Nội dung của đề tài
Chương 1: Trình bày các kiến thức đã được sử dụng trong luận văn.
Chương 2: Trình bày về vectơ riêng dương của ánh xạ tuyến tính dương.
Chương 3: Trình bày về một số lớp ánh xạ dương và giá trị riêng chính của ánh xạ
dương
Chương 4: Trình bày về giá trị riêng của ánh xạ đa trị.


3

Chương 1. CÁC KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG
1.1. Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón
1.1.1. Nón và thứ tự sinh bởi nón
Định nghĩa 1.1.1
Cho X là khơng gian Banach trên trường số thực

.

1. Tập K  X được gọi là nón nếu thỏa các điều kiện sau:
i) K là tập đóng , K   ,
ii) K  K  K ,  K  K ,   0,

iii) K    K     .

 Nón K được gọi là thể nón nếu int K   .
 Tập K  X thỏa điều kiện i) và ii) gọi là cái nêm.
Ta kí hiệu K

K\

với

là phần tử không trong X .

2. Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi:
x  y  y  xK .

Mỗi x  K \   gọi là dương.
Mệnh đề 1.1.1
Giả sử "  " là thứ tự sinh bởi nón. Khi đó:
1. Nếu x  y thì x  z  y  z,  x   y với mọi z  X , với mọi   0 .
2. Nếu xn  yn với mọi n 



và lim xn  x,lim yn  y thì x  y .

3. Nếu  xn  là dãy tăng, hội tụ về x thì xn  x, với mọi n 



.

Chứng minh
1. Ta có:

  y  z    x  z   y  x  K , z  X nên x  z  y  z .
  y   x    y  x   K ,   0 nên  x   y .
2. Từ xn  yn , n 
Vậy x  y.



nên yn  xn  K . Do đó yn  xn  y  x  K (do K đóng).


4

3. Giả sử

xn 

xn  x, n 



tăng. Khi đó xn  xnm

 m, n   .


Cho m   ta được

.

1.1.2. Nón chuẩn
Định nghĩa 1.1.2
Nón K gọi là nón chuẩn nếu tồn tại N  0 sao cho   x  y thì x  N y .
Mệnh đề 1.1.2
Giả sử "  " là thứ tự sinh bởi nón chuẩn K trong X .
1. Nếu u  v thì đoạn u , v :  x  X : u  x  v bị chặn theo chuẩn.


2. Nếu xn  yn  zn , n 

và lim xn  a, lim zn  a thì lim yn  a .

3. Nếu  xn  đơn điệu và có dãy con hội tụ về a thì lim xn  a .
Chứng minh
1. x  u , v    x  u  v  u  x  u  N v  u  x  u  N v  u .
Vậy u , v bị chặn theo chuẩn.
2. Ta có:   yn  xn  zn  xn , n 



 yn  xn  N zn  xn , n 



Mà lim zn  xn  0 nên lim yn  xn  0 .
n

n 

Do đó lim yn  lim  yn  xn   xn   0  a  a .
n
n

  hội tụ,

3. Giả sử  xn  tăng và và có dãy con xnk

Vì xn  xn ( n cố định, k đủ lớn) nên xn  a, n 
k

Cho   0, chọn k0 để xnk  a 
0


N

lim xnk  a .

k 


.

thì ta có:

n  nk0  a  xn  a  xnk  a  xn  a  xnk   .
0

0

Vậy lim xn  a .
n

1.1.3. Nón chính qui
Định nghĩa 1.1.3
Nón K gọi là nón chính qui nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.

.


5
Mệnh đề 1.1.3
Nón chính qui là nón chuẩn.
Chứng minh
Giả sử K là nón chính qui nhưng khơng là nón chuẩn.
Khi đó:

n 
Đặt un 


Vì


n 1



, xn , yn :   xn  yn , xn  n2 yn

xn
y
1
, vn  n thì   un  vn , un  1, vn  2 .
xn
xn
n


vn   nên tồn tại v   vn .
n 1

Xét dãy Sn  u1  u2  ...  un , ta có:


 Sn  v1  v2  ...  vn   vn  v   Sn n bị chặn trên bởi v .
n 1

 Sn  Sn1  un     Sn n là dãy tăng.
Do K là nón chính qui nên dãy  Sn n hội tụ.
Do đó lim un  0 (mâu thuẫn do un  1, n 
n



).

1.1.4. Nón sinh
Định nghĩa 1.1.4
K là nón sinh nếu X  K  K hay x  X , u, v  K : x  u  v .

Mệnh đề 1.1.4
Nếu K là nón sinh thì tồn tại M  0 sao cho:
x  X , u , v  K : x  u  v, u  M x , v  M x .

Chứng minh
i) Đặt C  K  B  ,1  K  B  ,1 , ta chứng minh tồn tại r  0 : B  , r   C .
Ta có X 



nC . Thật vậy, do K là nón sinh nên x  X , u, v  K : x  u  v . Với

n 1

n  max  u , v  thì x  nC .


6
Do định lí Baire, n0 , G mở ,G   : G  n0 C .
1
1
1
1
Do C lồi, đối xứng nên C  C  C  C 
G
G (mở, chứa  ).

2
2
2n0
2n0

Do đó, r  0 : B  , r   C .
ii) Đặt B  B  ,1 . Ta chứng minh

r
BC.
2

1
r
Lấy a  B . Ta xây dựng dãy  xn  thỏa: xn  n C , n 
2
2

Thật vậy, vì



n

và a   xk 
k 1

r
2n 1

r
1
r
1
B  n C nên y  n B,   0, x  n C : y  x   .
n
2
2
2
2

Ta có:
r
1
r
a  B  x1  C : a  x1  2
2
2
2

r
1
r
B  x2  2 C : a  x1  x2  3
2
2
2
2

a  x1 

Tiếp tục quá trình trên ta được dãy  xn  có tính chất đã nêu.
Do xn 

1
1
1
C nên un , vn  K : xn  un  vn , un  n , vn  n .
n
2
2
2




n 1

n 1

Đặt u   un , v   vn


(Do


n 1

un   nên



u
n 1

n

hội tụ và u tồn tại, tương tự với v ).

Ta có u , v  K , u  1, v  1 .
n

Từ a   xk 
k 1

r
2

iii) x   , ta có
Đặt u 

n 1







n 1

n 1

n 1

 a   xn   un   vn  u  v  C . Vậy

r
BC.
2

rx
rx
 r
 u  v .
 B      C nên u, v  K  B  ,1 :
2 x
2 x
 2

2
2
2
x u, v  x v , M  thì u , v  K , x  u  v và u , v  M x .
r
r
r

.

7
1.1.5. Nón liên hợp
Định nghĩa 1.1.5
Cho X là khơng gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K . Ta định nghĩa nón liên hợp



của K là: K   f  X  : f  x   0, x  K



Mệnh đề 1.1.5

x0  K  f  x0   0, f  K 
Chứng minh

   Hiển nhiên do định nghĩa

K.

   Giả sử trái lại f  x0   0, f  K  nhưng x0  K . Do định lý tách tập lồi nên
g  X  : g  x0   g  y  , y  K .
1
Cố định x  K , ta có g  x0   g  tx  , t  0  g  x   g  x0  , t  0 .
t

Cho t   ta có g  x   0 . Vậy g  K  , nhưng g  x0   g  t   0 (mâu thuẫn).
1.1.6. Nón minihedral
Định nghĩa 1.1.6

Cho X là khơng gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K . Nón K được gọi là nón
minihedral nếu với mỗi cặp x, y  X thì tồn tại sup  x, y , inf  x, y .
Mệnh đề 1.1.6
Cho K là nón sinh, chuẩn, minihedral và xn  x, yn  y . Khi đó, ta có:

inf xn , yn   inf x, y
1.2. Phổ của ánh xạ tuyến tính liên tục, ánh xạ compact.
Cho X là không gian Banach trên trường

và A : X  X là ánh xạ tuyến tính liên

tục.
Định nghĩa 1.2.1
Số  

được gọi là giá trị riêng của A nếu tồn tại x  X , x   sao cho Ax   x.

Vectơ x được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  của A .


8
Nói cách khác,  

là một giá trị riêng của toán tử A nếu tồn tại x  X , x   sao

cho  A   I  x  0 .

 Nếu  là một giá trị riêng của tốn tử A thì tốn tử  A   I  khơng phải đơn ánh
vì tồn tại x   để  A   I  x  0 . Vậy toán tử  A   I  không khả nghịch.

 Ứng với một giá trị riêng, có vơ số vectơ riêng.
 Với mọi vectơ riêng x của f , V  x là không gian con bất biến một chiều của
f.

Định nghĩa 1.2.2
1. Số  

là một giá trị phổ của A nếu không tồn tại toán tử ngược bị chặn

1
 A   I  hay nói cách khác,  A   I  khơng đơn ánh hoặc khơng tồn ánh. Tập

hợp các giá trị phổ của A được gọi là phổ của tốn tử A , kí hiệu là   A  .
Như vậy:

 Nếu  là một giá trị riêng của tốn tử A thì     A  . Khi đó, ker  A   I  gọi
là không gian riêng của A . Mỗi x  ker  A   I  \   hay Ax   x, x   gọi là
vectơ riêng ứng với giá trị riêng  .
2. Số  không thuộc tập phổ   A  thì  được gọi là giá trị chính quy của toán tử
A , nghĩa là tồn tại toán tử tuyến tính, liên tục  A   I  . Tập
1

\   A  được gọi là

tập giải của A , kí hiệu là   A  .
3. Số r  A  sup   :     A gọi là bán kính phổ của A .
Định lý 1.2.1 (Xem [9])
Cho X là không gian Banach và A : X  X là ánh xạ tuyến tính liên tục.
Bán kính phổ của tốn tử A được tính bởi r  A  lim

n

n

An

hơn nữa thì

0    A  : r  A   0

Định lý 1.2.2 (Phổ của ánh xạ compact) (Xem [9])
Cho X là không gian Banach với dim X   và A là ánh xạ tuyến tính, hồn tồn
liên tục. Khi đó ta có:


9
1. 0    A  .
2. Nếu     A  \ 0 thì  là giá trị riêng của A .
3. Nếu   A  \ 0 là vơ hạn thì   A  \ 0  1 , 2 ,... và lim n  0 .
n

4.

Giả

sử

    A  \ 0 .

Đặt





X k  x  X :  A  I   x  0
k

thì

X1  X 2  ....  X n  ... ( X n tăng), dim X k   .
Tồn tại n0 sao cho: X 1

X2

...

X n0  X n0 1  ...

X n0 gọi là không gian con gốc (không gian con cơ bản) tương ứng với giá trị riêng

 và dim X n gọi là bội của  .
0

1.3. Phổ biên
Định nghĩa 1.3.1
Cho X là không gian Banach và A : X  X là ánh xạ tuyến tính, liên tục, có bán
kính phổ r  A  .
Tập     A :   r  A được gọi là phổ biên của A .
Định nghĩa 1.3.2

1. Không gian vectơ con đóng X 0 của khơng gian Banach X gọi là bù được nếu tồn
tại ánh xạ P : X  X 0 tuyến tính, liên tục sao cho P  x   x, x  X 0 , P  1.
2. Không gian vectơ con m chiều X 0 của X gọi là không gian Euclide nếu tồn tại
cơ sở

e1, e2 ,..., em

  1 , 2 ,..., m  

m

của X 0 sao cho 1e1  2e2  ...  mem

2

 12  22  ...  m2 ,

.

Định lý 1.3.1 (Xem [9])
Giả sử X là khơng gian Banach, khơng có khơng gian con Euclide 2 chiều bù được
và A : X  X là ánh xạ tuyến tính, hồn tồn liên tục, với r  A   A  1 . Khi đó,
mọi giá trị riêng thuộc phổ biên là một căn bậc nguyên của 1 .
Mệnh đề 1.3.1 (Xem [9])
Nếu K là thể nón, nón chuẩn, minihedral trong khơng gian Banach X thì tồn tại
song ánh tuyến tính, liên tục f : X  C  Q  sao cho f  K   K  .


10
Trong đó:

C  Q  là khơng gian các hàm liên tục trên tập compact Q .

K  là nón các hàm không âm trong C  Q  .

Định lý 1.3.2
Cho K là thể nón, nón chuẩn, minihedral trong không gian Banach X . A : X  X
là ánh xạ tuyến tính dương, hồn tồn liên tục, A  u   u với u  int K . Khi đó, mọi
giá trị riêng thuộc phổ biên của A là căn bậc nguyên của 1 .
Chứng minh
Áp dụng mệnh đề 1.3.1, coi X  C  Q  , K  K  và u  K , u  t   0, t  Q .
Xét B : C  Q   C  Q  , B  x  t  

1
A u  t  x  t   , t  Q, x  C  Q  .
u t  

Khi đó   A     B  và B  1 . Hơn nữa, không gian C  Q  khơng có khơng gian
con Euclide 2 chiều bù được nên áp dụng định lý 1.3.1 ta có điều phải chứng minh.

1.4. Ánh xạ đa trị, tính liên tục
Định nghĩa 1.4.1
Giả sử X , Y là hai tập hợp. Kí hiệu 2Y là tập tất cả các tập con của Y . Một ánh xạ đa
trị F từ X vào Y là một ánh xạ từ X vào 2Y .
Kí hiệu: F : X  2Y .
Định nghĩa 1.4.2
Cho  X , K  là một khơng gian Banach có thứ tự.
1. Với hai tập con A, B  2 X \  ta định nghĩa
(a) A 1 B nếu  x  A, y  B sao cho x  y  .
(b) A  2 B nếu  y  B, x  A sao cho x  y  .

(c) A 3 B nếu  x  A, y  B  x  y  .
Các kí hiệu “  k  ”,  k  1, 2  được sử dụng hoàn toàn tương ứng một cách tự nhiên.


11
2. Ánh xạ F : M  X  2 X \  được gọi là

k  –

tăng,

k  1,2 , nếu

x, y  M , x  y kéo theo F ( x) ( k ) F ( y ) , hơn nữa, nó được gọi là (3) – tăng nếu
x, y  M , x  y kéo theo F ( x) (3) F ( y ) .

3. Ánh xạ tuyến tính A : X  2 X \  được gọi là 1-thuần nhất dương nếu A thỏa
mãn:
(i) A( x)  A( y)  A( x  y) với mọi x, y  X .
(ii) A  tx   tA  x  với mỗi t  0, x  X .
Định nghĩa 1.4.3
Cho X , Y là các không gian Banach và F : D  X  2Y \ {} là ánh xạ đa trị.
1. Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên trên D nếu tập hợp  x  D : F  x   V  là
mở trong D , với mọi tập con mở V  Y .
2. Ánh xạ F

được gọi là nửa liên tục dưới trên

 x  D : F ( x)  V  

D nếu tập hợp

là mở trong D , với mọi tập con mở V  Y .

3. Ánh xạ F được gọi là compact nếu với bất kỳ tập con bị chặn B  D , tập hợp

F ( B) 

F ( x) là compact tương đối.
xB

4. Đồ thị của ánh xạ F được định nghĩa là tập hợp
GF   x, y   D  Y : y  F  x .

Mệnh đề 1.4.1 (Xem [8])
1. Giả sử rằng F là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên trên D nhận giá trị đóng và

xn  x, yn  F  xn  và yn  y . Khi đó y  F  x  .
2. Nếu ánh xạ đa trị F là nửa liên tục dưới trên D thì với bất kỳ dãy xn  x và với
mọi y  F  x  , tồn tại dãy con  xnk  và dãy  yk  sao cho yk  F ( xnk ) và yk  y .
3. Nếu ánh xạ đa trị F là compact và đồ thị của nó là tập đóng trong D  X thì F là
nửa liên tục trên trên D .


12
Định lý 1.4.1 (Xem [8])
Cho  X , K  là khơng gian Banach có thứ tự và F : K  2K \  là ánh xạ compact
nửa liên tục trên, nhận giá trị lồi, đóng. Giả sử rằng tồn tại ánh xạ 2 – tăng

B : K  2K \  thỏa mãn:

(i) B  x   2 F  x  với mọi x  K .
(ii) Tồn tại các số dương a, b và phần tử u  K \   sao cho btu  2 B  tu  với
mọi t  [0, a ] .
Khi đó tập nghiệm có dạng S   x  K \   :   0, x   F  x  là nhánh liên tục từ

 , nghĩa là, S G   với bất kỳ tập con mở bị chặn G chứa  .


13

Chương 2. VECTƠ RIÊNG DƯƠNG
2.1. Bán kính phổ của ánh xạ tuyến tính dương
Định nghĩa 2.1.1
Cho X là khơng gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K .
Một ánh xạ A : X  X gọi là dương nếu: x    A  x    hay A  K   K .
Bổ đề 2.1.1 (Xem [1])
Cho X là không gian Banach và A : X  X là ánh xạ tuyến tính, liên tục thỏa


A  1. Khi đó  I  A  tồn tại và  I  A   An .
1

1

n 0

Định lý 2.1.1
Cho K là nón chuẩn, sinh trong không gian Banach X , A : X  X là ánh xạ liên
tục, tuyến tính dương và r A

0 . Khi đó r  A     A  .

Chứng minh
Đặt r  r  A   0 .
Giả sử r    A  , khi đó tồn tại B   rI  A 

1

1



1
và lim  r   I  A  B trong
n 
n



L  X , X  , B là ánh xạ dương.

Lấy 0    r và  r    B  1 .
Khi đó,

 2.1

 I  A  rI  A     r  I   rI  A  I   r    B 


Do  r    B  1 nên  I   r    B     r    B k .

1

k

k 0

Từ  2.1 suy ra:

  I  A

1

  I   r    B 

1

 rI  A

1



   r    B k 1
k 0

 B   r    B 2  ...   r    B k 1  ...
k

k

14
Với mọi k  1,2,... ta có:   I  A   1I   2 A  ...    k Ak 1   I  A
1

   1 A   x      I  A 
k

1

1

 2.2 

 x  , x  K , k  1, 2,...

Do K là nón sinh nên y  X , u , v  K : y  u  v, u  a y , v  a y với a  0
không phụ thuộc vào y .

  1 A k  u      I  A 1  u 

Từ  2.2  ta có: 
k
1
  1 A   v      I  A   v 

Do K là nón chuẩn nên b  0 :
  1 A k  u   b    I  A 1  u   b   I  A 1 . u  ab   I  A 1 . y




k
   1 A  v   b    I  A 1  v   b   I  A 1 . v  ab   I  A 1 . y


Suy ra:

  A  y 
1

k

 2ab   I  A 

  1r  A  lim

k 

k

  A
1

k

1

. y , y  X    1 A   2ab   I  A 
k

1

M

 lim k M  1  r  A   .
k 

(mâu thuẫn với cách chọn  ).
Định lý 2.1.2
Cho X ; K là khơng gian Banach có thứ tự và K  K  X . A : X  X tuyến tính
dương, A hồn tồn liên tục và r  A   0 . Khi đó r  A     A  .
Chứng minh
Giả sử 1 , 2 ,..., k    A  và k  r  A  .
Giả sử m là tổng các bội của các giá trị riêng 1 , 2 ,..., k và X 0 là bao tuyến tính của
các khơng gian con gốc tương ứng với 1 , 2 ,..., k .
Khi đó, X 0 là không gian con của X thỏa A  X 0   X 0 và A0 là thu hẹp của A lên
X 0 có tập phổ là 1 , 2 ,..., k  .

Đặt K0  K  X 0 thì A0  K0   K0 .


15
Nếu K 0    thì K 0 là nón chuẩn, int  K0    xét trong khơng gian K0  K0 .
Do đó, theo định lý 2.1.1, A0 có giá trị riêng trùng với một trong các số 1 , 2 ,..., k
nên bằng r  A  .
Gọi X 1 là không gian con bù với X 0 và bất biến đối với A :
X  X1  X 0 , A  X1   X1

Gọi A1 là thu hẹp của A lên X 1 .
Khi đó, phổ của A1 là   A1     A \ 1 , 2 ,..., k  nên   A1  chứa trong đường

tròn bán kính q  r  A  .
Mỗi x  X , có duy nhất x  u  v với u  X 0 , v  X1 .
Xét ánh xạ P0 : X  X 0 , P0  x   u thì P0 là tuyến tính, liên tục.
Do K  K  X nên x0  K : u0  P0  x0    .
Chọn q  q1  q1  r  A  . Khi n đủ lớn: A1n  q1n , A0 n  q2 n .
Do đó: lim

A1n  x0  u0 
A0n  u0 

n 

Suy ra dãy

An  x0 

An  x0 

n

n
0

 lim A
n 

x u
x u
q 
. A . 0 0  0 0 .lim  1   0 .

u0
u0
 q2 
n
1

có dãy con hội tụ về giới hạn thuộc X 0 và do đó thuộc K 0 .

Định lý 2.1.3
Cho X là khơng gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K và chuỗi lũy thừa

  z   a0  a1z  ...  ak z k  ...  2.3  có bán kính hội tụ là r0 .
Nếu A là ánh xạ tuyến tính, liên tục có r  A   r0 thì tồn tại ánh xạ tuyến tính, liên
tục   A  a0 I  a1 A  ...  ak Ak  ... .
Giả sử ak  0, k và A là ánh xạ tuyến tính, liên tục, dương. K là nón chuẩn, sinh.
Khi đó: r   A     r  A .
Chứng minh
Đặt r  r0  r  A  , lấy    0; r  . Trong X có chuẩn  sao cho A   r  A   .


16
Từ r   A    A   a0  a1 A   ...  ak Ak  ...   r  A    .

Cho   0, ta có: r   A     r  A .
Dấu "  " khơng thể xảy ra vì theo định lý 2.1.1, r  A     A  . Mặt khác

  r  A     A .
2.2. Sự tồn tại vectơ riêng dương
Định lý 2.2.1
Cho X là khơng gian Banach sinh bởi nón K . Giả sử K  K  X , A : X  X là

ánh xạ tuyến tính dương, hồn toàn liên tục và r  A   0 . Khi đó r  A  là giá trị riêng
tương ứng với vectơ riêng thuộc K .
Chứng minh
Trong chứng minh định lý 2.1.2, ta chỉ ra được A có không gian con bất biến, hữu
hạn chiều X 0 .
 Các giá trị riêng của A0 là thu hẹp của A trên X 0 nằm trên đường tròn

 K0  K  X 0 có điểm trong xét trên khơng gian X 0 .

Trên tập hợp lồi đóng, bị chặn F   x  K0 : x  1 , xét ánh xạ:
B  x 

x . A0  x   1  x  y

x . A0  x   1  x  y

với y0  K0 , y   .

Ta có B là ánh xạ liên tục, B  F   F .
Theo định lý Brouwer, B có điểm bất động x0  F .
Do định nghĩa ánh xạ B thì x0  1 nên A0  x0   A0  x0   A0  x0  .x0
Suy ra x0 là vectơ riêng của A , tương ứng với giá trị riêng A0  x0   r  A0   r  A  .
Định lý 2.2.2
Cho X là khơng gian Banach sinh bởi nón K . Cho B : X  X là ánh xạ liên tục,
tuyến tính dương, k 



sao cho B k thỏa các điều kiện của định lý 2.2.1. Khi đó,

r  B  là giá trị riêng của B , tương ứng với vectơ riêng thuộc K .


17
Chứng minh
Đặt A  B k thì do định lý 2.2.1, tồn tại x0  K \   : A  x0   r  A x0 hay
B k  x0   r  B  x0 .
k

Đặt r  r  B  và y0  r k 1x0  r k 2 B  x0   ...  Bk 1  x0 
thì y0  r k 1 x0 nên y0  K \   và B  y0   r  B  y0 .
2.3. Một số điều kiện đủ để tồn tại vectơ riêng dương
Do định lý 2.2.1 nên điều kiện đủ để tồn tại vectơ riêng dương là r  A   0 nên ta tìm
điều kiện để r  A   0 .
Bổ đề 2.3.1
Giả sử A là ánh xạ tuyến tính, liên tục, dương và tồn tại u   K , tồn tại   0 sao
cho A  u    u . Khi đó r  A    .
Chứng minh
Giả sử r  A    .
Do r  A  lim

n

n

An nên khi n đủ lớn, ta có:   n An  qn , q   0;1 .

Từ A  u    u và A là ánh xạ tuyến tính dương, ta có:   n An  u   u .
Cho n   , ta có   u hay u K (trái giả thiết).
Vậy r  A    .

Bổ đề 2.3.2
Giả sử A là ánh xạ tuyến tính, liên tục, dương và tồn tại k 
cho Ak  u    u . Khi đó r  A  k  .
Chứng minh

 

1

Do bổ đề 2.3.1, ta có   r Ak  lim Akn n .
Do đó k   lim Akn
n

1
nk

 r  A .

n



,   0, u   K sao


18
Định nghĩa 2.3.1
Cho A, B là các ánh xạ tuyến tính, dương. B được gọi là một chặn dưới của A nếu:
B  x   A  x  , x  K .

Định lý 2.3.1
Cho A, B tuyến tính, dương. K  K  X , B là chặn dưới của A , A hoàn toàn liên
tục. Giả sử tồn tại p 



sao cho B p  x0   0 x0 , x0  K \   , 0  0 . Khi đó A có

trong K vectơ riêng với giá trị riêng r  A  p 0 .
Chứng minh
Kết hợp định lý 2.2.2 và bổ đề 2.3.2.
Định lý 2.3.2
Cho A là ánh xạ tuyến tính, liên tục, dương. K là nón compact địa phương. Khi đó
A có trong K vectơ riêng.
 K là nón compact địa phương nếu r  0 : K  B   r  compact
 f gọi là dương đều nếu a  0 sao cho f  x   a x , x  K .

Chứng minh
K compact địa phương nên f  X  ( f tuyến tính, liên tục trên X ) có tính chất

dương đều.
Đặt T   x : x  K , f  x   1 và xét ánh xạ: B  x  

x  A x
, x T .
1  f  A  x  

Với
x T  1  f  x  a x  x 

1
 1
 1
 x  K  B     T  K  B    .
a
 a
 a

Do T đóng nên T compact.
Ta có B liên tục, T là tập lồi compact, B T   T nên theo định lý Schauder, B có
điểm bất động trong T . Đó là vectơ riêng thuộc K của A .


19
2.4. Ánh xạ dương với nón minihedral
Định nghĩa 2.4.1
Tập T trong không gian Banach X gọi là lồi tốt nếu mọi dãy bị chặn  xn n  T và
mọi dãy  tn n mà tn  0, n 





và

 tn  1 thì
n 1



t x

n n

n 1

T .

Nhận xét: Tập lồi, đóng (mở) thì lồi tốt.
Chứng minh: Giả sử T là tập lồi, đóng,


tn  0, n 



,

t
n 1

n

 xn n

là dãy bị chặn trong T và

 1.



n

n 1

k 1

Đặt s   tn xn , sn   tk xk , sn  sn  rn xn1 với rn 



t

k  n 1

k

.

Do s  lim sn và sn  sn  rn xn1   (vì rn  0 và  xn  bị chặn) nên s  lim sn .
n

n

Do T lồi nên sn  T và do T đóng nên s  T .
Định nghĩa 2.4.2

x được gọi là c  điểm trong của tập T nếu: y  X ,   0 : x   y  T .
Kí hiệu: T i là tập hợp các điểm trong của T T i  int T  .
T c là tập hợp các

c  điểm trong của T .

Định lý 2.4.1

   T 

Giả sử T là tập lồi tốt, khi đó T i  T c  T

c

i

Định nghĩa 2.4.3
Cho X là khơng gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K . Giả sử u  K \   ,

A : X  X là tốn tử tuyến tính, dương.

 A được gọi là u  bị chặn trên nếu x  K ,   0 : A  x    u .

 A được gọi là u  bị chặn dưới nếu x  K ,   0 : A  x    u .
 A được gọi là u  bị chặn nếu nó u  bị chặn trên và dưới.