BT Dao Ham (Full)

1. Đònh nghóa đạo hàm tại một điểm
• Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) và x
0

∈
(a; b):

0
0
0
x x
0
f(x) f(x )
f '(x ) lim
x x
→
−
=
−
=
x 0
y
lim
x
∆ →
∆
∆
(∆x = x – x
0
, ∆y = f(x
0

+ ∆x) – f(x
0
)
• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x
0
thì nó liên tục tại diểm đó.
2. Ý nghóa của đạo hàm
• Ý nghóa hình học:
+ f
′
(x
0
) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = f(x) tại
( )
0 0
M x ;f(x )
.
+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = f(x) tại
( )
0 0
M x ;f(x )
là:
y – y
0
= f
′
(x
0
).(x – x
0

)
• Ý nghóa vật lí:
+ Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác đònh bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm
t
0
là v(t
0
) = s
′
(t
0
).
+ Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t
0
là I(t
0
) = Q
′
(t
0
).
3. Qui tắc tính đạo hàm
• (C)' = 0 (x)′ = 1 (x
n
)′ = n.x
n–1

n N
n 1
 

∈
 ÷
>
 
( )
1
x
2 x
′
=
• (u ± v)′ = u′ ± v′ (uv)′ = u′v + v′u
2
u u v v u
v
v
′
 
′ − ′
=
 ÷
 
(v ≠ 0)
(ku)′ = ku′
2
1 v
v
v
′
 
′

= −
 ÷
 
• Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u
′
x
và hàm số y = f(u) có
đạo hàm tại u là y
′
u
thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là:
x u x
y y .u′ = ′ ′
4. Đạo hàm của hàm số lượng giác
•
x 0
sinx
lim 1
x
→
=
;
0
x x
sin u(x)
lim 1
u(x)
→
=
(với

0
x x
lim u(x) 0
→
=
)
• (sinx)′ = cosx (cosx)′ = – sinx
( )
2
1
tanx
cos x
′ =
( )
2
1
cot x
sin x
′ = −
5. Vi phân
•
dy df(x) f (x). x= = ′ ∆
•
0 0 0
f(x x) f(x ) f (x ). x+ ∆ ≈ + ′ ∆
6. Đạo hàm cấp cao
•
[ ]
f ''(x) f '(x)
′

=
;
[ ]
f '''(x) f ''(x)
′
=
;
(n) (n 1)
f (x) f (x)
−
′
 
=
 
(n ∈ N, n ≥ 4)
• Ý nghóa cơ học:
Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t
0
là a(t
0
) = f
′′
(t
0
).
Trang 1
CHƯƠNG V
đạo hàm
CHƯƠNG V
đạo hàm

VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng đònh nghóa
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
bằng đònh nghóa ta thực hiện các bước:
B1: Giả sử
∆
x là số gia của đối số tại x
0
. Tính
∆
y = f(x
0
+
∆
x) – f(x
0
).
B2: Tính
x 0
y
lim
x
∆ →
∆
∆
.
Bài 1: Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:
a)
2
y f(x) 2x x 2= = − + tại

0
x 1=
b)
y f(x) 3 2x= = −
tại x
0
= –3
c)
2x 1
y f(x)
x 1
+
= =
−
tại x
0
= 2 d)
y f(x) sinx= =
tại x
0
=
6
π
e)
3
y f(x) x= = tại x
0
= 1 f)
2
x x 1

y f(x)
x 1
+ +
= =
−
tại x
0
= 0
Bài 2: Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2
f(x) x 3x 1= − + b)
3
f(x) x 2x= − c)
f(x) x 1, (x 1)= + > −
d)
1
f(x)
2x 3
=
−
e)
f(x) sinx=
f)
1
f(x)
cosx
=

VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm.
Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp.
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
4 3
1
y 2x x 2 x 5
3
= − + −
b)
2
3 2
y x x x.
3
x
= − +
c)
3 2
y (x 2)(1 x )= − −
d)
2 2 2
y (x 1)(x 4)(x 9)= − − − e)
2
y (x 3x)(2 x)= + − f)
( )
1
y x 1 1
x
 
= + −

 ÷
 
g)
3
y
2x 1
=
+
h)
2x 1
y
1 3x
+
=
−
i)
2
2
1 x x
y
1 x x
+ −
=
− +
k)
2
x 3x 3
y
x 1
− +

=
−
l)
2
2x 4x 1
y
x 3
− +
=
−
m)
2
2
2x
y
x 2x 3
=
− −
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2 4
y (x x 1)= + + b)
2 5
y (1 2x )= − c)
3
2x 1
y
x 1
 
+

=
 ÷
−
 
d)
2
3
(x 1)
y
(x 1)
+
=
−
e)
2 2
1
y
(x 2x 5)
=
− +
f)
( )
4
2
y 3 2x= −

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2
y 2x 5x 2= − +

b)
3
3
y x x 2= − +
c)
y x x= +
d)
2
y (x 2) x 3= − +
e)
2
4x 1
y
x 2
+
=
+
f)
2
4 x
y
x
+
=

g)
3
x
y
x 1

=
−
h)
3
y (x 2)= −
i)
( )
3
y 1 1 2x= + −
Trang 2
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2
sinx
y
1 cosx
 
=
 ÷
+
 
b)
y x.cosx=
c)
3
y sin (2x 1)= +
d)
y cot 2x=
e)
2

y sin 2 x= +
f)
y sinx 2x= +
g)
3 5
2 1
y tan2x tan 2x tan 2x
3 5
= + +
h)
2 3
y 2sin 4x 3cos 5x= −
i)
2 3
y (2 sin 2x)= + k)
( )
2 2
y sin cos x tan x=
l)
2
x 1
y cos
x 1
 
+
=
 ÷
 ÷
−
 

Bài 5: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng:
a)
n n 1
(sin x.cosnx)' nsin x.cos(n 1)x
−
= + b)
n n 1
(sin x.sinnx)' n.sin x.sin(n 1)x
−
= +
c)
n n 1
(cos x.sinnx)' n.cos x.cos(n 1)x
−
= + d)
n n 1
(cos x.cosnx)' n.cos x.sin(n 1)x
−
= − +
VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = f(x)
1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x
0
, y
0
)
(C)∈
là:
0 0 0
y y f '(x )(x x )− = −
(*)

2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k:
+ Gọi x
0
là hoành độ của tiếp điểm. Ta có:
0
f (x ) k′ =
(ý nghóa hình học của đạo hàm)
+ Giải phương trình trên tìm x
0
, rồi tìm
0 0
y f(x ).=
+ Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*)
3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x
1
, y
1
) cho trước:
+ Gọi (x
0
, y
0
) là tiếp điểm (với y
0
= f(x
0
)).
+ Phương trình tiếp tuyến (d):
0 0 0
y y f '(x )(x x )− = −

(d) qua A
1 1 1 0 0 1 0
(x , y ) y y f '(x ) (x x ) (1)⇔ − = −
+ Giải phương trình (1) với ẩn là x
0
, rồi tìm
0 0
y f(x )=
và
0
f '(x ).
+ Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*).
4. Nhắc lại: Cho (
∆
): y = ax + b. Khi đó:
+
d
(d) ( ) k a⁄⁄ ∆ ⇒ =
+
d
1
(d) ( ) k
a
⊥ ∆ ⇒ = −
Bài 1: Cho hàm số (C):
2
y f(x) x 2x 3.= = − +
Viết phương trình tiếp với (C):
a) Tại điểm có hoành độ x
0

= 1.
b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0.
c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0.
d) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ.
Bài 2: Cho hàm số
2
2 x x
y f(x)
x 1
− +
= =
−
(C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4).
b) Viết phương trình ttiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1.
Bài 3: Cho hàm số
3x 1
y f(x)
1 x
+
= =
−
(C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
Trang 3
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d:
1
y x 100

2
= +
.
e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với ∆: 2x + 2y – 5 = 0.
Bài 4: Cho hàm số (C):
3 2
y x 3x .= −
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) tại điểm I(1, –2).
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thò (C) không đi qua I.
Bài 5: Cho hàm số (C):
2
y 1 x x .= − −
Tìm phương trình tiếp tuyến với (C):
a) Tại điểm có hoành độ x
0
=
1
.
2

b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0.
VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao
1. Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ... ta dùng công thức:
(n) n 1 /
y (y ) .
−
=
2. Để tính đạo hàm cấp n:
•
Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ... từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.

•
Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng.
Bài 1: Cho hàm số
f(x) 3(x 1)cosx= +
.
a) Tính
f '(x),f ''(x)
b) Tính
f ''( ), f '' ,f ''(1)
2
 
π
π
 ÷
 
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra:
a)
y cosx, y'''=
b)
4 3 2
y 5x 2x 5x 4x 7, y''= − + − + c)
x 3
y , y''
x 4
−
=
+

d)
2

y 2x x , y''= −
e)
y xsinx, y''=
f)
y xtan x, y''=

g)
2 3
y (x 1) ,y''= + h)
6 3 (4)
y x 4x 4, y= − + i)
(5)
1
y , y
1 x
=
−
Bài 3: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng:
a)
(n)
n
n 1
1 ( 1) n!
1 x
(1 x)
+
 
−
=
 ÷

+
+
 
b)
(n)
n.
(sinx) sin x
2
 
π
= +
 ÷
 
c)
(n)
n.
(cosx) cos x
2
 
π
= +
 ÷
 
Bài 4: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a)
1
y
x 2
=
+

b)
2
1
y
x 3x 2
=
− +
c)
2
x
y
x 1
=
−
d)
1 x
y
1 x
−
=
+
e)
2
y sin x= f)
4 4
y sin x cos x= +
Bài 5: Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:
a)
y xsinx
xy'' 2(y' sinx) xy 0


=

− − + =

b)
2
3
y 2x x
y y'' 1 0


= −

+ =


c)
2 2 2
y xtanx
x y'' 2(x y )(1 y) 0

=

− + + =

d)
2
x 3
y

x 4
2y (y 1)y''

−
=


+

′
= −

Trang 4
VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng
0
x x
sinu(x)
lim
u(x)
→
Ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi và sử dụng công thức
0
x x
sinu(x)
lim 1
u(x)
→
=
(với
0

x x
lim u(x) 0
→
=
)
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a)
x 0
sin3x
lim
sin2x
→
b)
2
x 0
1 cosx
lim
x
→
−
c)
2
x
2
1 sinx
lim
x
2
π
→

−
 
π
−
 ÷
 
d)
x
4
cosx sin x
lim
cos2x
π
→
−
e)
x 0
1 sinx cosx
lim
1 sin x cosx
→
+ −
− −
f)
x 0
tan2x
lim
sin5x
→
g)

x
2
lim x tan x
2
π
→
 
π
−
 ÷
 
h)
x
6
sin x
6
lim
3
cosx
2
π
→
 
π
−
 ÷
 
−
VẤN ĐỀ 6: Các bài toán khác
Bài 1: Giải phương trình

f '(x) 0=
với:
a)
f(x) 3cosx 4sinx 5x= − +
b)
f(x) cosx 3 s ón 2x 1= + + −
c)
2
f(x) sin x 2cosx= +
d)
cos4x cos6x
f(x) sinx
4 6
= − −
e)
3 x
f(x) 1 sin( x) 2cos
2
π +
= − π + +
f)
f(x) sin3x 3 cos3x 3(cosx 3sin x)= − + −
Bài 2: Giải phương trình
f '(x) g(x)=
với:
a)
4
f(x) sin 3x
g(x) sin6x


=

=

b)
3
f(x) sin 2x
g(x) 4cos2x 5sin4x

=

= −

c)
2 2
2
x
f(x) 2x cos
2
g(x) x x sinx

=



= −

d)
2
x

f(x) 4xcos
2
x
g(x) 8cos 3 2xsinx
2

=




= − −


Bài 3: Giải bất phương trình
f '(x) g'(x)>
với:
a)
3 2
f(x) x x 2, g(x) 3x x 2= + − = + +
b)
2
3 2 3
x
f(x) 2x x 3, g(x) x 3
2
= − + = + −
c)
3
2

f(x) , g(x) x x
x
= = −
Bài 4: Xác đònh m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R:
a)
3
2
mx
f '(x) 0 với f(x) 3x mx 5
3
> = − + −
b)
3 2
mx mx
f '(x) 0 với f(x) (m 1)x 15
3 2
< = − + + −
Trang 5