luận án tiến sĩ phân tích dao động phi tuyến bằng cách tiếp cận trung bình có trọng số

i

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu và kết quả được trình bày trong Luận án là trung thực và chưa từng được
ai cơng bố trong bất cứ cơng trình nào khác.
Nghiên cứu sinh

Đặng Văn Hiếu


ii

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Ninh
Quang Hải và TS. Dương Thế Hùng. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các
Thầy, người đã tận tâm giúp đỡ tôi trong q trình nghiên cứu.
Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh, người đã
luôn động viên, định hướng và tận tình chỉ bảo tơi trong q trình thực hiện Luận án
này. Tơi cũng xin cảm ơn GS. TS. Lê Minh Quý, người rất nhiệt tình giúp đỡ và chỉ
bảo tơi trong q trình thực hiện Luận án.
Trong q trình thực hiện Luận án, tơi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, tạo
điều kiện của Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa
học và Công nghệ Việt Nam. Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn chân thành về những sự
giúp đỡ đó.
Tơi cũng xin bày tỏ sự cảm ơn tới Ban Giám Hiệu - Trường Đại học Kỹ thuật
Công nghiệp – Đại học Thái Nguyên và đặc biệt là tới các đồng nghiệp của tôi ở
Khoa Kỹ thuật Ô tô & Máy động lực, đã tạo điều kiện tốt nhất cho tơi trong q
trình học tập và hồn thiện Luận án.
Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã luôn động viên tôi trong

suốt thời gian hoàn thành Luận án.
Tác giả luận án

Đặng Văn Hiếu


iii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN................................................................................................................................ i
LỜI CẢM ƠN..................................................................................................................................... ii
MỤC LỤC........................................................................................................................................... iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT........................................................ vii
DANH MỤC CÁC BẢNG........................................................................................................... xii
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ........................................................................ xiii
MỞ ĐẦU................................................................................................................1
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN.......................................................................................................... 5
1.1. Giới thiệu về dao động phi tuyến và một số phương pháp giải tích gần đúng.. 5
1.1.1. Giới thiệu về dao động phi tuyến............................................................................... 5
1.1.2. Một số phương pháp giải tích gần đúng................................................................... 8
1.1.2.1. Phương pháp nhiễu................................................................................................. 8
1.1.2.2. Phương pháp cân bằng điều hòa....................................................................... 8
1.1.2.3. Phương pháp khai triển tham số....................................................................... 9
1.1.2.4. Phương pháp năng lượng................................................................................... 10
1.2. Tình hình nghiên cứu dao động phi tuyến của dầm micro và nano....................11
1.3. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương.................................................................... 14
1.3.1. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương điều chỉnh..................................... 15
1.3.2. Tiêu chuẩn cực tiểu sai số thế năng........................................................................ 16
1.3.3. Tiêu chuẩn tuyến tính hóa từng phần...................................................................... 16
1.3.4. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương có đi........................................... 17

1.3.5. Tiêu chuẩn đối ngẫu...................................................................................................... 17
1.4. Trung bình có trọng số.......................................................................................................... 18
1.5. Tình hình nghiên cứu dao động phi tuyến trong nước.............................................. 20


iv
1.6. Định hướng nghiên cứu........................................................................................................ 21
Kết luận Chương 1.......................................................................................................................... 22
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HĨA TƯƠNG ĐƯƠNG CHO HỆ
DAO ĐỘNG TIỀN ĐỊNH VÀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CĨ TRỌNG SỐ.............23
2.1. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động tiền định...............23
2.2. Trung bình có trọng số.......................................................................................................... 25
2.2.1. Trung bình cổ điển........................................................................................................ 25
2.2.2. Trung bình có trọng số................................................................................................. 26
2.2.3. Một số tính chất của trung bình có trọng số......................................................... 28
2.2.3.1. Liên hệ với trung bình cổ điển......................................................................... 28
2.2.3.2. Tính bảo tồn của trung bình có trọng số.................................................... 28
2.2.3.3. Liên hệ với phép biến đổi Laplace................................................................ 29
Kết luận Chương 2.......................................................................................................................... 31
CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO...................32
3.1. Dao động phi tuyến Duffing................................................................................................ 32
3.1.1. Dao động Duffing bậc 3.............................................................................................. 35
3.1.2. Dao động Duffing bậc 5.............................................................................................. 38
3.1.3. Dao động Duffing bậc 7.............................................................................................. 40
3.1.4. Dao động Duffing bậc cao......................................................................................... 44
3.2. Dao động phi tuyến mở rộng.............................................................................................. 44
3.2.1. Dao động Duffing – điều hòa..................................................................................... 47
3.2.4. Dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi.................................................. 49
3.2.5. Dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ..................................................................... 54
3.3. Dao động phi tuyến với sự không liên tục..................................................................... 56

3.3.1. Trường hợp 1.................................................................................................................... 56


v
3.3.2. Trường hợp 2................................................................................................................... 58
Kết luận Chương 3.......................................................................................................................... 61
CHƯƠNG 4. DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA DẦM MICRO VÀ NANO............62
4.1. Dao động phi tuyến của dầm micro tựa trên nền đàn hồi......................................... 62
4.1.1. Lý thuyết ứng suất cặp sửa đổi................................................................................ 62
4.1.2. Phương trình chuyển động của dầm micro tựa trên nền đàn hồi.................63
4.1.3. Phân tích dao động tự do............................................................................................. 70
4.1.3. Các kết quả số và thảo luận........................................................................................ 72
4.1.3.1. Ảnh hưởng của tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu...................................... 77
4.1.3.2. Ảnh hưởng của tỉ số độ cứng chống uốn................................................... 79
4.1.3.3. Ảnh hưởng của tỉ số độ mảnh........................................................................ 82
4.2. Dao động của dầm nano chịu tác dụng của lực tĩnh điện........................................ 87
4.2.1. Lý thuyết độ dốc biến dạng phi cục bộ................................................................. 87
4.2.2. Mơ hình và phương trình chuyển động................................................................. 89
4.2.3. Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương......................................... 95
4.2.4. Áp dụng phương pháp biến phân............................................................................. 98
4.2.5. Các kết quả số và thảo luận........................................................................................ 99
4.2.5.1. Ảnh hưởng của tham số phi cục bộ............................................................. 102
4.2.5.2. Ảnh hưởng của tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu....................................... 104
4.2.5.3. Ảnh hưởng của tỉ số độ mảnh....................................................................... 105
4.2.5.4. Ảnh hưởng của lực nén dọc trục................................................................... 107
4.2.5.5. Ảnh hưởng của điện thế tác dụng................................................................ 108
Kết luận Chương 4....................................................................................................................... 109
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.................................................................................................. 111
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN........................ 113

vi
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................................... 115


vii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT



Góc lệch, tỉ số độ mảnh của dầm micro



Gia tốc góc của con lắc



Vận tốc góc của con lắc



Từ thơng



Hệ số; biên độ ban đầu của dầm micro



Hệ số, tham số phi cục bộ không thứ nguyên



Hệ số; tỉ lệ độ mảnh của dầm nano



Hệ số; mô đun trượt



Hệ số; tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu không thứ
nguyên



Hệ số; hằng số Lamé



Tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu không thứ nguyên

 , i

Các hệ số



Tần số của dao động

 NL

Tần số phi tuyến

L

Tần số tuyến tính



ratio



Tỉ số tần số
Mật độ khối lượng của dầm micro

 (1)

Ứng suất cổ điển

xx(2)

Ứng suất bậc cao

t xx

Ứng suất

xx




Hằng số điện môi của chân khơng
Tỉ số Poisson’s



Tốn tử vi phân

2

a

Tốn tử Hamilton
Hằng số

E

Mơ đun đàn hồi Young

v


viii
I

Bán kính quán tính

w

Dịch chuyển ngang của ống nano, dầm micro và
nano

x

Tọa độ dọc trục; dịch chuyển

m

Khối lượng trên một đơn vị chiều dài của ống; số
mũ dương

mf

Khối lượng trên một đơn vị chiều dài của chất
lỏng trong ống

V

Vận tốc của chất lỏng; thể tích; điện thế khơng thứ
ngun

P

Lực nén dọc trục

k

Hệ số nền đàn hồi

X, x, u

Các dịch chuyển

X , x , u,

Các vận tốc

X , x ,u

Các gia tốc

p

Giá trị trọng số; số mũ dương

A

Biên độ ban đầu; diện tích mặt cắt ngang của dầm

A, A

Biên độ ban đầu

T

Chu kỳ của dao động

A, B
i

i

,

C

Các hệ số

i

s

Tham số điều chỉnh

a, c,
d

Các hằng số

a , b , C1, C2,  , B
i

i

i

i

Các hệ số

m, n

Số mũ dương

l

Tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu

Us

Năng lượng biến dạng

b

Hằng số; chiều rộng của dầm micro và nano

h

Chiều dày của dầm micro và nano

kL

Tham số Winkler

kP

Tham số Pasternak


ix

k NL

Tham số nền phi tuyến

KL

Tham số Winkler không thứ nguyên

KP

Tham số Pasternak không thứ nguyên

KNL

Tham số nền phi tuyến không thứ nguyên

z

Tọa độ theo phương z

Ke

Động năng của dầm micro và nano

Uf

Năng lượng do lớp đàn hồi phi tuyến

W

Công sinh ra bởi ngoại lực

ext

Nx

Lực dọc

Mx

Mô men uốn

Mxy

Ứng suất do ứng suất cặp gây ra

x, w, , 

Các biến không thứ ngun

r

Bán kính qn tính

P

Lực nén dọc trục khơng thứ nguyên

S

Tỉ số độ mảnh

e a , ea

Các tham số phi cục bộ

V0

Điện thế tác dụng

P0

Lực nén dọc trục ban đầu

g0

Khoảng cách từ các bản tích điện đến dầm nano

N xx(1)

Lực dọc

M xx(1)

Mô men uốn

N xx( 2)

Lực dọc phi cổ điển

M xx( 2)

Mô men uốn phi cổ điển

P

Lực nén tới hạn

i

cr

V

Điện thế tới hạn
cr

F(t)

Hàm phụ thuộc thời gian

Oi (t)

Hàm trọng số tăng cơ bản

Pi (t)

Hàm trọng số giảm cơ bản

N(t)


x

h (t)
f X ( x)

Hàm trọng số trung lập

E (X)

Hàm hệ số trọng số

( )

Hàm mật độ xác suất

0 x, x*, e0 a ,

 x, x*,e a
1



1



Kỳ vọng toán học hay trung bình

q ( x, t)

Hàm gamma

w( x, t)

Các hàm kernel phi cục bộ

u ( x, t)

Lực phân bố ngang

Q (t),q ( t )

Dịch chuyển ngang của dầm micro và nano

( x )

Dịch chuyển dọc trục của dầm micro và nano

f ( x, t)

Hàm phụ thuộc thời gian, độ võng

c

w

Hàm dạng
Lực tĩnh điện

σij

Trung bình cổ điển

εij

Trung bình có trọng số

mij

 ij

Phần đối xứng của ten xơ ứng suất Cauchy
Ten xơ biến dạng

ui

Phần lệch của ten xơ ứng suất cặp

ωi

Ten xơ cong đối xứng

MEMS/NEMS

HPM
EBM

Các thành phần của véc tơ dịch chuyển
Các thành phần của véc tơ quay
Các hệ vi cơ điện tử (Micro-electromechanical
systems/ Nano-electromechanical systems)

Phương pháp nhiễu đồng luân (the Homotopy
Perturbation method)

VA

Phương pháp cân bằng năng lượng (the Energy
Balance method)
Phương pháp biến phân (the Variational
Approach)


xi
AFF

Công thức biên độ - tần số (Amplitude –
Frequency Formutaion)

MAFF

Công thức biên độ - tần số sửa đổi (Modifided
Amplitude – Frequency Formulation)

xii
DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1. Giá trị trung bình có trọng số của một số hàm điều hòa............................. 30
Bảng 3.1. So sánh các tần số xấp xỉ với tần số chính xác của dao động Duffing bậc
7.................................................................................................................................42
Bảng 3.2. Các tần số xấp xỉ của dao động Duffing bậc 9 (α1=10, α3=10, α5=10, α7=10

và α9=5)..................................................................................................................... 42
Bảng 3.3. Các tần số xấp xỉ của dao động Duffing bậc 11(α1=5, α3=10, α5=10, α7=10,

α9=5 và α11=10)......................................................................................................... 43
Bảng 3.4. Các tần số xấp xỉ của dao động Duffing bậc 13(α1=1, α3=10, α5=10, α7=10,

α9=5, α11=10 và α13=20)............................................................................................. 44
Bảng 3.5. Một vài ứng dụng khác nhau của dao động phi tuyến mở rộng................. 45
Bảng 3.6. So sánh các tần số xấp xỉ với tần số chính xác của dao động Duffing với
thế năng dạng giếng đôi ( A  2 )............................................................................. 50
Bảng 3.7. So sánh các tần số xấp xỉ với tần số chính xác của dao động Duffing với
thế năng dạng giếng đôi (1  A  2 )....................................................................... 53
Bảng 4.1. So sánh các tỉ số tần số của dầm vĩ mô..................................................... 73
Bảng 4.2. So sánh tỉ số tần số của dầm micro với hai đầu tựa bản lề........................ 75
Bảng 4.3. So sánh tỉ số tần số của dầm micro với hai đầu ngàm............................... 76
Bảng 4.4. Tỉ số tần số của dầm micro hai đầu tựa bản lề với S = 40......................... 82
Bảng 4.5. Tỉ số tần số của dầm micro hai đầu ngàm với S = 40................................ 83
Bảng 4.6. Tỉ số tần số của dầm micro hai đầu tựa bản lề với θ = 6.......................... 85
Bảng 4.7. Tỉ số tần số của dầm micro hai đầu tựa bản lề với θ = 6......................... 86
Bảng 4.8. So sánh các tần số xấp xỉ với tần số chính xác của MEMS..................... 100
Bảng 4.9. Các tần số xấp xỉ của NEMS .................................................................. 101

xiii
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Hình 1.1. Con lắc tốn học................................................................................................................ 5
Hình 1.2. Mạch điện với cuộn cảm và tụ điện........................................................................... 6
Hình 1.3. Mơ hình ống nano truyền tải chất lỏng..................................................................... 7
Hình 2.1. Đồ thị của các hàm trọng số: (a)-hàm trọng số tăng cơ bản, (b)-hàm trọng
số giảm cơ bản, và (c)- hàm trọng số tổ hợp h(t).................................................................... 27
2
2
Hình 2.2. Đồ thị của các hàm: cos(t ) , h(t ) cos(t ) , cos (t ) và h(t ) cos (t ) ................28

Hình 3.1. Sự thay đổi của sai số tương đối của các tần số xấp xỉ theo biên độ ban đầu

của dao động Duffing bậc 3 với α1=10 và α3=10................................................................... 36
Hình 3.2. Sự thay đổi của sai số tương đối của các tần số xấp xỉ theo biên độ ban đầu

của dao động Duffing bậc 3 với α1=10 và α3=100................................................................ 36
Hình 3.3. Sự thay đổi của tần số dao động theo tham số điều chỉnh s của dao động
Duffing bậc 3 với α1=10, α3=10 và A=1.................................................................................... 37
Hình 3.4. Hình 3.4. So sánh các nghiệm xấp xỉ với nghiệm chính xác của dao động
Duffing bậc 3 với A=1, α1=1 và α3=100.................................................................................. 37
Hình 3.5. Sự thay đổi của sai số tương đối của các tần số xấp xỉ theo biên độ ban đầu

của dao động Duffing bậc 5 với α1=1, α3=10 và α5=100..................................................... 39
Hình 3.6. Sự thay đổi của tần số dao động theo tham số điều chỉnh s của dao động
Duffing bậc 5 với α1=10, α3=100, α5=100 và A=10.............................................................. 39
Hình 3.7. So sánh các nghiệm xấp xỉ với nghiệm chính xác của dao động Duffing bậc

5 với A=5, α1=1, α3=10 và α5=100............................................................................................. 40
Hình 3.8. So sánh các nghiệm xấp xỉ với nghiệm chính xác của dao động Duffing bậc

7 với A=1, α1=1, α3=10, α5=10 và α7=10................................................................................ 41
Hình 3.9. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động Duffing với n=4,

A=0.15, α1=1, α3=10, α5=10, α7=10 và α9=5......................................................................... 42


xiv
Hình 3.10. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động Duffing với
n=5, A=0.2, α1=1, α3=10, α5=10, α7=10, α9=5 và α11=10.............................................. 43
Hình 3.11. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động Duffing với
n=6, A=0.1, α1=1, α3=10, α5=10, α7=10, α9=5, α11=10 và α13=20............................... 43
Hình 3.12. So sánh nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động Duffing – điều
hịa........................................................................................................................................................... 48
Hình 3.13. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động Duffing – điều
hòa với   0 ,   1, m  3 ,   1,   1 ,  1, n  1 và p  2.......................................... 48
Hình 3.14. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động Duffing – điều
hòa với  1,   0 , m  3,   1,   1 ,  1, n  1 và p  2........................................... 49
Hình 3.15. Thế năng của dao động Duffing với thế năng dạng giếng đơi....................50
Hình 3.16. So sánh các nghiệm xấp xỉ với nghiệm chính xác của dao động Duffing
với thế năng dạng giếng đơi (A=1.5).......................................................................................... 51
Hình 3.17. So sánh các nghiệm xấp xỉ với nghiệm chính xác của dao động Duffing
với thế năng dạng giếng đôi (A=1.4)........................................................................................... 53
Hình 3.18. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động phi tuyến với số

mũ hữu tỉ với a = 1, b = 10 và c = 1.......................................................................................... 56
Hình 3.19. So sánh các nghiệm giải tích so với nghiệm số của dao động phi tuyến với

số mũ hữu tỉ với a = 1, b = 10 và c = 10.................................................................................... 56
Hình 3.20. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động phi tuyến với
sự không liên tục với  10 ,  100 và A = 1.......................................................................... 58
Hình 3.21. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động phi tuyến với
sự không liên tục với  10 ,  100 và A = 10....................................................................... 58
Hình 3.22. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động phi tuyến với
sự không liên tục với   10 ,   10 và A  1........................................................................... 60
Hình 3.23. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động phi tuyến với
sự không liên tục với   10 ,   10 và A 10.......................................................................... 60
Hình 4.1. Mơ hình dầm micro tựa trên nền đàn hồi.............................................................. 64


xv
Hình 4.2. Sai số tương đối của các tần số xấp xỉ của dầm micro..................................... 73
Hình 4.3. Độ võng khơng thứ nguyên và quỹ đạo pha của dầm micro với hai đầu tựa
bản lề....................................................................................................................................................... 74
Hình 4.4. Độ võng khơng thứ nguyên và quỹ đạo pha của dầm micro với hai đầu
ngàm........................................................................................................................................................ 74
Hình 4.5. Sự thay đổi của tỉ số tần số và tần số phi tuyến của dầm micro hai đầu tựa
bản lề theo tham số chiều dài vật liệu với KL=50, KP=30 và KNL=50............................. 77
Hình 4.6. Sự thay đổi của tỉ số tần số và tần số phi tuyến của dầm micro hai đầu ngàm

theo tham số chiều dài vật liệu với KL=50, KP=30 và KNL=50.......................................... 78
Hình 4.7. Sự thay đổi của tỉ số tần số của dầm micro theo tham số Winkler với α = 3,

KP=10 và KNL= 100; (a) – hai đầu tựa bản lề, (b) – hai đầu ngàm................................... 78
Hình 4.8. Sự thay đổi của tỉ số tần số của dầm micro theo tham số Pasternak với α = 3,

KL =50 và KNL = 50; (a) – hai đầu tựa bản lề, (b) – hai đầu ngàm................................... 79

Hình 4.9. Sự thay đổi của tỉ số tần số của dầm micro theo tham số nền phi tuyến với
α=3, KL =100 và KP = 10; (a) – hai đầu tựa bản lề, (b) – hai đầu ngàm........................79
Hình 4.10. Sự thay đổi của tỉ số tần số của dầm micro theo tỉ số độ cứng chống uốn với

KL =10, KP =10, KNL =10 và S=20; (a) - hai đầu bản lề, (b) - hai đầu ngàm................80
Hình 4.11. Sự thay đổi của tỉ số tần số của dầm micro theo tham số Winkler với
KP=100, KNL =10, S =40 và α=1; (a) - hai đầu bản lề, (b) - hai đầu ngàm....................81
Hình 4.12. Sự thay đổi của tỉ số tần số của dầm micro theo tham số Pasternak với
KL=100, KNL=10 , S =40 và α=1; (a) - hai đầu bản lề, (b) - hai đầu ngàm....................81
Hình 4.13. Sự thay đổi của tỉ số tần số của dầm micro theo tham số nền phi tuyến với

KL=100, KP=100 , S=40 và α = 1; (a) - hai đầu bản lề, (b) - hai đầu ngàm..................83
Hình 4.14. Sự thay đổi của tỉ số tần số của dầm micro theo tỉ số độ mảnh với KL=30,

KP=50, KNL=30 và θ=6; (a) - hai đầu bản lề, (b) - hai đầu ngàm.................................... 84
Hình 4.15. Sự thay đổi của tỉ số tần số của dầm micro theo tham số Winkler với
KP=100, KNL=60, θ=6 và α=0.2; (a) - hai đầu bản lề, (b) - hai đầu ngàm...................84


xvi
Hình 4.16. Sự thay đổi của tỉ số tần số của dầm micro theo tham số Pasternak với
KL=50, KNL=100, θ=6 và α=0.2; (a) - hai đầu bản lề, (b) - hai đầu ngàm...................87
Hình 4.17. Sự thay đổi của tỉ số tần số của dầm micro theo tham số nền phi tuyến với

KL=80, KP=40, θ=6 và α=0.2; (a) - hai đầu bản lề, (b) - hai đầu ngàm........................87
Hình 4.18. Mơ hình dầm nano đặt giữa hai bản tích điện................................................... 89
Hình 4.19. Độ võng và quỹ đạo pha của NEMS thu được bởi các phương pháp khác
nhau với   0.1,   0.1, P 10 ,   0.3 ,   20 và V 10............................................. 100
Hình 4.20. Độ võng và quỹ đạo pha của NEMS thu được bởi các phương pháp khác
nhau với   0.2 ,   0.2 , P  5,   0.3 ,   30 và V 15............................................. 101

Hình 4.21. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo tham số phi
cục bộ với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu............................................... 102
Hình 4.22. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo biên độ ban
đầu với một vài giá trị nhỏ khác nhau của tham số phi cục bộ...................................... 103
Hình 4.23. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo biên độ ban
đầu với một vài giá trị khác nhau của tham số phi cục bộ............................................... 103
Hình 4.24. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo tham số tỉ lệ
chiều dài vật liệu với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu..........................104
Hình 4.25. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo biên độ ban
đầu với một vài giá trị khác nhau của tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu......................... 105
Hình 4.26. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo tỉ số độ mảnh
với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu.............................................................. 106
Hình 4.27. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo biên độ ban
đầu với một vài giá trị khác nhau của tỉ số độ mảnh.......................................................... 106
Hình 4.28. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo lực nén dọc
trục với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu..................................................... 107
Hình 4.29. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo biên độ ban
đầu với một vài giá trị khác nhau của lực nén dọc trục..................................................... 107


xvii
Hình 4.30. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo điện thế tác
dụng với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu................................................... 108
Hình 4.31. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo biên độ ban
đầu với một vài giá trị khác nhau của điện thế tác dụng.................................................. 109


1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài
Dao động là một hiện tượng hay gặp trong tự nhiên và kỹ thuật. Hiện tượng
dao động xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học, không chỉ trong vật lý và
cơ học, mà còn xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác như hóa học, sinh học, điện,
điện tử và thiên văn học. Các máy, các tòa nhà cao tầng, các cây cầu, các phương
tiện giao thông (ô tô, xe máy, tàu thủy, máy bay,...) là một số ví dụ về các hệ dao
động mà chúng ta thường gặp trong cơ khí, xây dựng và giao thông. Trong lĩnh vực
điện và điện tử, dao động của dòng điện trong các mạch điện cũng là ví dụ về hiện
tượng dao động. Trong lĩnh vực công nghệ cao, các hệ vi cơ điện tử (Microelectromechanical systems – MEMS/ Nano-electromechanical systems - NEMS)
cũng là ví dụ về các hệ dao động. Các cảm biến MEMS được thiết kế dựa trên
nguyên lý về hiện tượng dao động, hay đầu của kính hiển vi lực nguyên tử cũng sử
dụng hiện tượng dao động của ống nano để thăm dị mẫu vật. Nếu khơng được kiểm
sốt (điều khiển), dao động có thể dẫn đến những hư hỏng, thậm chí là những tình
huống thảm khốc. Chẳng hạn, dao động của máy công cụ hoặc máy công cụ bị rơ
(chuyển động lạch cạch) có thể dẫn đến việc gia cơng khơng chính xác các chi tiết.
Sự phá hủy kết cấu có thể xảy ra do các ứng suất động lớn phát sinh trong các trận
động đất hoặc các trận bão (hoặc lốc xoáy). Những rung động quá mức của các máy
cơng nghiệp có thể gây ra những dao động của các cấu trúc xung quanh, và khiến
chúng hoạt động kém hiệu quả, đồng thời tiếng ồn mà các máy này tạo ra có thể gây
khó chịu cho con người. Chính vì điều này, bài tốn dao động là một trong những
bài toán cấp thiết và thu hút được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu.
Về cơ bản, dao động có thể chia thành dao động tuyến tính và dao động phi
tuyến. Thực tế, hầu hết tất cả các dao động của các hệ kỹ thuật đều là phi tuyến, dao
động tuyến tính chỉ là sự lý tưởng hóa một hiện tượng dao động mà ta gặp. Một hiện
tượng dao động phi tuyến thường được mơ tả về mặt tốn học bởi một hoặc một số
phương trình vi phân thường hoặc đạo hàm riêng phi tuyến. Không giống như bài tốn
dao động tuyến tính, khi mà nghiệm chính xác có thể dễ dàng tìm được, bài tốn

2
dao động phi tuyến đa phần khơng có nghiệm chính xác. Chỉ một lớp rất nhỏ của
bài toán dao động phi tuyến là có lời giải chính xác. Các phương pháp số được xem
là một công cụ hiệu quả để phân tích đáp ứng của các bài tốn dao động phi tuyến.
Tuy nhiên, một nhược điểm thường thấy của các phương pháp số đó là mối quan hệ
biên độ - tần số của dao động, đặc trưng quan trọng nhất của bài tốn dao động phi
tuyến, thường khơng thể tìm được nếu sử dụng các phương pháp số. Do vậy, việc đề
xuất các phương pháp giải tích gần đúng cho chúng ta một cơng cụ hữu hiệu để có
thể quan sát được đầy đủ một hiện tượng dao động phi tuyến. Trong số các phương
pháp giải tích gần đúng có thể kể đến đó là phương pháp tuyến tính hóa tương
đương (the Equivalent Linearization method) [1], một phương pháp đơn giản nhưng
hiệu quả để phân tích các bài tốn dao động phi tuyến. Tuy nhiên, cũng như các
phương pháp giải tích gần đúng khác, phương pháp tuyến tính hóa tương đương với
trung bình cổ điển thường có những nhược điểm đó là khi tính phi tuyến của bài
tốn tăng sẽ dẫn đến kết quả của phương pháp này thường không chính xác, đơi khi
khơng thể chấp nhận được. Nhiều tác giả đã cố gắng cải thiện nhược điểm này của
phương pháp tuyến tính hóa tương đương, trong đó năm 2015, GS. Nguyễn Đông
Anh [2] đã đề xuất một phương pháp lấy trung bình mới của một hàm tiền định thay
vì sử dụng giá trị trung bình cổ điển, phương pháp trung bình này được gọi là trung
bình có trọng số. Giá trị trung bình có trọng số đã khắc phục được phần nào nhược
điểm của phương pháp tuyến tính hóa tương đương với trung bình cổ điển.
Với những phân tích ở trên, tác giả đã lựa chọn đề tài “Phân tích dao động
phi tuyến bằng cách tiếp cận trung bình có trọng số” để làm đề tài nghiên cứu.
2. Mục tiêu của luận án
Luận án phát triển một kỹ thuật kết hợp phương pháp tuyến tính hóa tương
đương và trung bình có trọng số để phân tích đáp ứng của một số hệ dao động phi
tuyến tự do không cản.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận án nghiên cứu bài tốn dao động phi tuyến tự do khơng cản của một số
hệ một bậc tự do như dao động Duffing, dao động Duffing-điều hòa, dao động phi

tuyến mở rộng, dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ, dao động phi tuyến với sự
không liên tục và dao động phi tuyến của các hệ liên tục như dầm micro và nano.


3
4. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng phương pháp giải tích kết hợp với phương pháp số để mơ
phỏng đáp ứng của các bài toán dao động phi tuyến. Phương pháp giải tích được sử
dụng trong Luận án tập trung chủ yếu vào phương pháp tuyến tính hóa tương đương
kết hợp với trung bình có trọng số.
5. Bố cục của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Luận án được chia làm 4 Chương, phần Kết luận và
kiến nghị, danh mục các cơng trình đã cơng bố của tác giả liên quan đến Luận án và
các Tài liệu kham khảo. Trong đó, nội dung chính của các Chương như sau:
Chương 1: “Tổng quan”. Chương này trình bày tổng quan về dao động phi
tuyến, một số phương pháp giải tích gần đúng, phương pháp tuyến tính hóa tương
đương và các phát triển của phương pháp này, phương pháp trung bình có trọng số
và một số ứng dụng, tình hình nghiên cứu bài toán dao động phi tuyến của dầm
micro và nano trên thế giới và tình hình nghiên cứu bài tốn dao động phi tuyến
trong nước trong những năm gần đây.
Chương 2: “Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động tiền
định và trung bình có trọng số”. Chương này trình bày những ý tưởng cơ bản của
phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến tiền định; đồng
thời, chương này cũng trình bày định nghĩa về giá trị trung bình có trọng số của hàm
tiền định và một số tính chất của trung bình có trọng số.
Chương 3: “Dao động phi tuyến của hệ một bậc tự do”. Trong chương này,
Luận án áp dụng phương pháp đề xuất trong Chương 2 để phân tích đáp ứng của
một số hệ dao động tự do phi tuyến không cản một bậc tự do, chẳng hạn như:
-

Dao động phi tuyến Duffing.

-

Dao động phi tuyến Duffing-điều hòa.

-

Dao động phi tuyến với thế năng dạng giếng đôi.

-

Dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ.

-

Dao động phi tuyến với sự không liên tục.


4
Chương 4: “Dao động phi tuyến của dầm micro và nano”. Chương này tập
trung phân tích hai bài tốn dao động phi tuyến của hệ liên tục đó là:
-

Dao động của dầm micro tựa trên nền đàn hồi theo lý thuyết ứng suất cặp
sửa đổi.

-

Dao động của dầm nano chịu tác dụng của lực tĩnh điện (bài toán dao

động phát sinh trong các hệ vi cơ điện tử MEMS/NEMS) theo lý thuyết
độ dốc biến dạng phi cục bộ.

Một số kết luận rút ra từ Luận án và kiến nghị cho các nghiên cứu tiếp theo
được tóm lược trong Phần Kết luận và kiến nghị.
Danh sách các cơng trình đã cơng bố có liên quan đến nội dung Luận án
được trình bày trong phần Danh mục cơng trình liên quan đến luận án.
Các tài liệu trích dẫn trong Luận án được trình bày trong phần Tài liệu tham
khảo.


5

CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN

1.1. Giới thiệu về dao động phi tuyến và một số phương pháp giải tích gần đúng

1.1.1. Giới thiệu về dao động phi tuyến
Chúng ta biết rằng dao động phi tuyến là một hiện tượng hay gặp trong nhiều
lĩnh vực. Dao động phi tuyến có thể xảy ra trong nhiều hệ thực từ những hệ có kích
thước vĩ mơ (macro) đến những hệ có kích thước vi mơ (micro/nano). Với kích thước
vĩ mơ, đó là dao động của các máy móc, các cây cầu, các tịa nhà cao tầng, các phương
tiện giao thơng,...Cịn với kích thước vi mơ, có thể kể đến đó là dao động của các ống
nano các bon, các hệ vi cơ điện tử (Micro-/Nano-electromechanical systems MEMS/NEMS),...Thông thường, một hiện tượng dao động thường được mơ tả về mặt
tốn học bởi một hoặc một hệ phương trình vi phân thường hoặc phương trình đạo hàm
riêng. Khi phương trình vi phân hoặc đạo hàm riêng mơ tả dao động của hệ là phi
tuyến, ta nói dao động là phi tuyến. Dao động tuyến tính thực tế chỉ là sự lý tưởng hóa
của một dao động phi tuyến mà chúng ta gặp trong thực tế và kỹ thuật.

Một ví dụ đơn giản nhất về dao động đó là chuyển động của con lắc toán học
bao gồm một vật (kích thước rất nhỏ) với khối lượng m được buộc vào đầu một sợi
dây với chiều dài L, đầu còn lại của sợi dây được buộc vào điểm cố định (Hình 1.1).
Khi đó, phương trình chuyển động của con lắc được cho bởi:

  2 sin   0,  2  L / g

Hình 1.1. Con lắc tốn học

(1.1)


6
Trong phương trình (1.1),  là góc lệch giữa sợi dây và phương thẳng đứng và g là
gia tốc trọng trường. Rõ ràng phương trình (1.1) là phương trình vi phân phi tuyến.
Dao động tuyến tính của con lắc tốn học là sự lý tưởng hóa của dao động phi tuyến
được mơ tả bởi phương trình (1.1) khi ta xem xét chuyển động nhỏ quanh vị trí cân
bằng θ = 0. Khi đó, ta có thể sử dụng xấp xỉ:
sin  

(1.2)

Với xấp xỉ (1.2), phương trình (1.1) trở thành phương trình tuyến tính như sau:

 2 0

(1.3)

Một hiện tượng dao động xuất hiện trong mạch điện gồm một cuộn tự cảm L
và tụ điện với điện dung C như mơ tả trong Hình 1.2. Phương trình dao động của

mạch điện có dạng:
d 2

d
t

2



i

0

(1.4)

C

trong đó,  là từ thơng, i là cường độ dòng điện, ta biết rằng:

i  a  b3

(1.5)

Hình 1.2. Mạch điện với cuộn cảm và tụ điện

Thay quan hệ (1.5) vào phương trình (1.4), ta được phương trình dao động xuất hiện
trong mạch điện như sau:

d 2 1 a b 3  0

2
dt C

(1.6)

Rõ ràng, phương trình (1.6) cũng là phương trình vi phân phi tuyến.
Hay một ví dụ về hiện tượng dao động của cấu trúc ở quy mơ vi mơ đó là dao
động của ống nano các bon truyền tải chất lỏng (carbon nanotubes conveying fluid),
dịch chuyển ngang của ống nano các bon được mơ tả bởi phương trình sau đây [3]:


7

E
I



4

w

x 4



(mmf )

2

w

t

 EA L w 2

 kw 
2





 2L 0





2
 2 w
2w
2 w
0
 dx   2  m f V
22mfV
t
x
x
x 

x



(1.7)

Hình 1.3. Mơ hình ống nano truyền tải chất lỏng

Trong phương trình (1.7), w là dịch chuyển ngang của ống nano, E là mô đun đàn hồi
của ống nano, A là diện tích mặt cắt ngang của ống, L là chiều dài của ống, I là mơ men
qn tính của diện tích mặt cắt ngang của ống, m là khối lượng trên một đơn vị chiều
dài của ống, mf là khối lượng trên một đơn vị chiều dài của chất lỏng trong ống,

V là vận tốc của chất lỏng và k là hệ số nền đàn hồi tuyến tính. Khác với các phương
trình (1.1) và (1.6), phương trình (1.7) là phương trình đạo hàm riêng phi tuyến.
Đối với dao động tuyến tính, nghiệm của bài tốn thỏa mãn ngun lý chồng
chất nghiệm và nghiệm giải tích chính xác dễ dàng tìm được. Cịn đối với dao động
phi tuyến, việc tìm nghiệm chính xác là rất khó và chỉ có thể thực hiện được đối với
một lớp rất nhỏ của bài toán này. Các phương pháp số được xem là một cơng cụ khá
hữu hiệu để phân tích đáp ứng của các bài toán dao động phi tuyến. Tuy nhiên, đặc
trưng quan trọng nhất của bài toán dao động phi tuyến đó là quan hệ biên độ - tần số
của dao động khơng thể tìm được nếu sử dụng các phương pháp số. Sự phát triển
của các phương pháp giải tích gần đúng đã cho chúng ta một công cụ hiệu quả để có
thể quan sát được đầy đủ đáp ứng của bài toán dao động phi tuyến. Một số phương
pháp giải tích để tìm nghiệm gần đúng của bài tốn dao động phi tuyến sẽ được giới
thiệu trong phần dưới đây.