DE THI CHON HSG TOAN 8

Trờng THCS Bắc Nghĩa
Đề kiểm tra chọn học sinh giỏi
Môn :Toán Lớp 8 Năm học: 2008 - 2009
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm)
Câu 1: (0,75 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:
( n
2
+ 3n 1) ( n + 2) n
3
+ 2 chia hết cho 5.
Câu 2: (1,25 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của mỗi biểu thức sau là số
nguyên:
Bài 2: (2 điểm)
Câu 1: (1 điểm) Chứng minh rằng:
Nếu = 2 và a + b + c = abc thì = 2
Câu 2: ( 1 điểm)
Cho ba số dơng x, y, z có tổng bằng 1
Chứng minh: 9
Bài 3: ( 3 điểm)
Câu 1: ( 1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 2: ( 2 điểm)
Cho biểu thức
a. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức đợc xác định
b. Tìm giá trị của x để giá trị của R = 0
c. Tìm giá trị của x để = 1
Bài 4: ( 3 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC. Qua A kẻ tia Ax vuông
góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đờng
thẳng kẻ qua E song song với AB cắt AI tại G.
Chứng minh:

a. AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi.
b. AKF đồng dạng CAF và AF
2
= FK . FC
c. Khi E thay đổi trên BC, chứng minh EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC
không đổi.
Trờng THCS Bắc Nghĩa
đáp án và biểu điễm chấm môn toán 8
Kì kiểm tra chọn học sinh giỏi
Năm học: 2008 - 2009
Bài 1: (2 điểm)
Câu 1: (0,75 điểm) Ta có (n
2
+ 3n 1) (n + 2) n
3
+ 2
= n
3
+ 3n
2
n + 2n
2
+ 6n 2 n
3
+ 2 0,25
điểm
= 5n
2
+ 5n 0,25 điểm
Cả hai số hạng của tổng chia hết cho 5 nên tổng chia hết cho 5. 0,25 điểm

Câu 2: (1,25 điểm)
(Với điều kiện x 3)
Để giá trị của biểu thức M là số nguyên thì phải là số nguyên. Muốn vậy x 3
phải là Ư(5). 0,25 điểm
Các Ư(5) = { - 5; - 1; 1; 5}
Nếu x 3 = - 5 => x = - 2
Nếu x 3 = - 1 => x = 2 0,5 điểm
Nếu x 3 = 1 => x = 4
Nếu x 3 = 5 => x = 8
Các giá trị x đều thỏa mãn điều kiện x 3
Vậy x { - 2; 2; 4; 8} 0,25 điểm
Bài 2: ( 2 điểm)
Câu 1: ( 1 điểm)
Bình phơng hai vế của ta đợc:
Suy ra: = 4 (Vì a + b + c = abc) 0,25 điểm
Do đó: 0,25 điểm
Câu 2: ( 1 điểm)
Vì x + y + z = 1 nên
0,5 điểm

Vậy: 3 + 2 + 2 + 2= 9
0,5 điểm
Dấu = xảy ra khi x = y = z =
Bài 3: ( 3 điểm)
Câu 1: ( 1 điểm)
A có GTNN khi và chỉ khi:
có GTLN khi và chỉ khi (x 4)
2
+ 6 có GTNN
(x 4)

2
+ 6 có GTNN là 6 khi x = 4 0,5 điểm
Vậy với x = 4 thì A có GTNN bằng:
Câu 2: ( 2 điểm)
a. ĐKXĐ: x 0; x 1; x - 1 0,5 điểm
b. Rút gọn đợc: R =
Vì x
2
+ 1 > 0 với mọi x. Do đó không có giá trị nào của x để R = 0. 0,5 điểm
c. = 1 nên R = 1 hoặc R = -1
- Nếu R = 1 thì = 1 Suy ra x
2
+ 1 = x + 1
Do đó: x( x 1) = 0 nên x = 0 hoặc x = -1
Vì 0; 1 không thỏa mãn điều kiện của x. 0,5 điểm
Vậy không có giá trị nào của x để R = 1.
- Nếu R = - 1 thì = - 1 Suy ra x
2
+ 1 = - x 1
Do đó x
2
+ x + 2 = 0 hay ( x + )
2
+ 1 = 0 0,5 điểm
Điều này không thể xảy ra.
Vậy không có giá trị nào của x để = 1
Bài 4: ( 3 điểm)
- Vẽ hình đúng (0,25 điểm)
a. ( 1 điểm)
ABE = ADF (g.c.g)

Suy ra AE = AF
AEF vuông cân ở A nên AI EF
IEG = IFK (g.c.g)
Suy ra IG = IK
Tứ giác EGFK có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng và vuông góc với
nhau nên là hình thoi.
b. ( 1 điểm)
Ta có: = = 45
0
chung
Vậy AKF đồng dạng CAF (g.g)
Suy ra: . Do đó AF
2
= KF . CF
c. (0,75 điểm)
Ta có EGFK là hình thoi (chứng minh câu a)
Nên KE = KF = KD + DF = KD + BE
Chu vi tam giác bằng
KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC không đổi.
B
E
C
A
G
I
K
D
F
x