Đề cương học kỳ 2 Toán 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Yên Hòa - Hà Nội - TOANMATH.com

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT N HỊA

---o0o---

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KỲ 2
NĂM HỌC 2020 – 2021

MÔN: TỐN

PHẦN I. GIẢI TÍCH
A. NGUN HÀM.

Vấn đề 1. Các câu hỏi lý thuyết.

Câu 1.Giả sử hàm số F x

 

là một nguyên hàm của hàm số f x

 

trên K. Khẳng định nào sau đây đúng.
A. Chỉ có duy nhất một hằng số C sao cho hàm số y F x ( )C là một nguyên hàm của hàm f trên

.
K

B. Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G x( )F x( )C với x
thuộc _K.

C. Chỉ có duy nhất hàm số y F x ( ) là nguyên hàm của f trên K.

D. Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì G x( )F x( )C với mọi x thuộc K và C bất kỳ.
Câu 2.Cho hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
A.



f x dx F x( )  ( )C. B.





f x dx( )



  f x( ).

C.





f x dx( )



 f x( ).

D.



f x dx( )



F x( ).
 _ _



Câu 3.Cho hai hàm số f x g x( ), ( ) là hàm số liên tục, có F x G x( ), ( ) lần lượt là nguyên hàm của f x g x( ), ( )
. Xét các mệnh đề sau:

(I). F x( )G x( ) là một nguyên hàm của f x( )g x( ).
(II). k F x. ( ) là một nguyên hàm của kf x( ) với k .
(III). F x G x( ). ( ) là một nguyên hàm của f x g x( ). ( ).
Các mệnh đúng là

A. (I). B. (I) và (II). C. Cả 3 mệnh đề. D. (II).
Câu 4.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai.

A.





_{f x}_{( )}__{g x dx}_{( )}



_



_{f x dx}_{( )} _



_{g x dx}_{( )} .

B. Nếu F x( ) và G x( ) đều là nguyên hàm của hàm số f x( ) thì F x( )G x( )C là hằng số.
C. _{F x}_{( )}_ _x là một nguyên hàm của _{f x}_{( ) 2 .}_ _x

D. _{F x}_{( )}__x2_{là một nguyên hàm của}_{f x}_{( ) 2 .}_ _x

Câu 5.Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng.
A.

2
2

1 1

2x 1 dx 2x 1 dx .

x x

 

 _ _  _{ }_

 _{ } _ _{ }  _{ } _ _

 _ _  _ _

    

   

     

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

B.

2

1 1

2x 1 dx 2 2x 1 dx.

x x

 _  _

 _{ } _ _  _{ } _

 _  _

   

 

   





C.

2

1 1 1

2x 1 dx 2x 1 dx. 2x 1 dx.

x x x

 _  _  _

 _{ } _ _  _{ } _  _{ } _

 _  _  _

 _  _  _

  

     







D.

2

2

2

1 1 2

2x 1 dx 4 x dx dx dx 4 xdx dx 4 dx.

x x x

 _

 _{ } _ _ _ _ _ _ _

 _

 

 















Câu 6.Cho hàm số f x

 

có đạo hàm liên tục trên khoảng



0;



. Khi đó f '

 

x dx
x



bằng:

A. 1

 

2f x C B. f x

 

C C. 2f x

 

C D. 2f x

 

C
Câu 7.Biết



f x x

 

d 3 cos 2x



x 5



C . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A.



_{f x x}

 

_{3 d} __{3 cos 6}_x



_x_{ }₅



_C B.



_{f x x}

 

_{3 d} __{9 cos 6}_x



_x_{ }₅



_C
C.



f x x

 

3 d 9 cos 2x



x 5



C D.



f x x

 

3 d 3 cos 2x



x 5



C
Câu 8.Biết



f x x

 

2 d sin2xlnx. Tìm nguyên hàm



f x x

 

d .

A.

 

_d _sin2 _ln
2
x

f x x   x C



. B.

 

_d _{2 sin}2 _{2 ln}

2
x

f x x   x C



.

C.



_{f x x}

 

_d __{2 sin}2_x__{2 ln}_x__{ln 2}__C. D.



_{f x x}

 

_d __{2 sin 2}2 _x__{2 ln}_x__{ln 2}__C.
Vấn đề 2. Nguyên hàm của hàm số đa thức.

Câu 9.Nguyên hàm của hàm số _{f x}

 

__x4 __x2_là

A. 1 5 1 3

5x 3x C B. x4  x2 C C. x5  x3 C . D. 4x3 2x C
Câu 10.Nguyên hàm của hàm số f x

 

x3 x2 là

A. 1 4 1 3

4x 3x C B. 3x2 2x C C. x3  x2 C D. x4  x3 C
Câu 11.Tìm nguyên hàm



x x



2 7 dx



15 ?

A. 1



2 7



16

2 x  C B.





16
2

1 ₇

32 x C

   C. 1



2 7



16

16 x  C D.





16
2

1 ₇

32 x  C
Câu 12.Nếu



f x x

 

d 4x3  x2 C thì hàm số _{f x}

 

bằng

A.

 

4 3
3
x

f x x  Cx. B. f x

 

12x2 2x C .
C. f x

 

12x2 2x. D.

 

4 3

3
x
f x x  .
Câu 13.Nguyên hàm của hàm số _x3 __x2_?

A. 3x2  2x C . B. 1 4 1 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Câu 14.Nguyên hàm của hàm số _{f x}_{( )}_ 1 3 ₂ 2 ₂₀₁₉

3x  x  x là
A. 1 4 2 3 2

12 3 2

x

x  x  C. B. 1 4 2 3 2 ₂₀₁₉

9 3 2

x

x  x   x C .
C. 1 4 2 3 2 ₂₀₁₉

12 3 2

x

x  x   x C . D. 1 4 2 3 2 ₂₀₁₉

9 3 2

x

x  x   x C .
Câu 15.Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số _{y x}_ 2019?
A. 2020 1

2020x  . B.

2020

2020x . C. y 2019x2018. D.

2020

1
2020x  .
Câu 16.Tìm nguyên F x

 

của hàm số f x

  

 x 1



x 2



x 3 ?



A.

 

4 ₆ 3 11 2 ₆

4 2

x

F x   x  x  x C. B. _{F x}

 

_{ }_x4 ₆_x3_₁₁_x2 _{ }₆_{x C} _.

C.

 

4 2 3 11 2 6

4 2

x

F x   x  x  x C. D. F x

 

 x3 6x211x2  6x C .
Câu 17.Họ các nguyên hàm của hàm số _{f x}

  

_ ₂_x _₃



5 là

A.

  



6

2 3

12
x

F x   C . B.

  



6

2 3

6
x

F x   C .
C. _{F x}

 

__{10 2}



_x _₃



4 __C. D. _{F x}

  

__{5 2}_x _₃



4 __C.
Câu 18.Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

 x x3



2 1



2019là

A.









2021 2020

2 ₁ 2 ₁

1

2 2021 2020

x x

 _ _ 

 

 _ 

 

 

 

. B.









2021 2020

2 ₁ 2 ₁

2021 2020

x  x 

 .

C.









2021 2020

2 ₁ 2 ₁

2021 2020

x x

C

 

  . D.









2021 2020

2 ₁ 2 ₁

1

2 2021 2020

x x

C

 _ _ 

 

 _ _

 

 

 

.

Câu 19.Biết rằng hàm số _{F x}

 

__mx3 _



₃_{m n x}_



2 _₄_x_₃ _{là một nguyên hàm của hàm số}

 

₃ 2 ₁₀ ₄

f x  x  x . Tính mn.

A. _mn _₁. B. _mn _₂. C. _mn _₀. D. _mn _₃.
Vấn đề 3. Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ.

Câu 20.Tìm nguyên hàm của hàm số _{f x}

 

_x2 2₂
x

  .

A.

 

_d 3 1
3
x

f x x C

x

  



. B.

 

_d 3 2

3
x

f x x C

x

  



.

C.

 

_d 3 1
3
x

f x x C

x

  



. D.

 

_d 3 2

3
x

f x x C

x

  



.

Câu 21.Tìm nguyên hàm của hàm số

 

1

5 2

f x
x


 .
A. d 1 ln 5 2

5xx 2  5 x C



B. d _{ln 5} ₂

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

C. d 1 ln 5 2
5xx 2  2 x C



D. d _{5 ln 5} ₂

5xx 2  x C



Câu 22.Tìm nguyên hàm của hàm số

 

4

2

2
x
f x
x

 .

A.

 

d 3 1
3
x

f x x C

x

  



. B.

 

d 3 2

3
x

f x x C

x

  



.

C.

 

d 3 1
3
x

f x x C

x

  



. D.

 

d 3 2

3
x

f x x C

x

  



.

Câu 23.Tìm nguyên hàm của hàm số

 

1
1 2
f x

x


 trên ;12

 _

_ _

 _

 _

 .
A. 1 ln 2 1

2 x C . B. 21 ln 1 2



 x



C. C. 1 ln 2 12 x C . D. ln 2x 1 C.
Câu 24.Cho hàm số 4

2

2 3

( ) x
f x

x


 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. ( ) 2 3 3

3 2

x

f x dx C

x

  



. B. ( ) 2 3 3

3
x

f x dx C

x

  



.

C. ( ) 2 3 3
3
x

f x dx C

x

  



. D. f x dx( ) 2x3 3 C

x

  



.

Câu 25.Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

 



3 2



2

2
x
f x
x



 trên khoảng



2;



là
A. 3 ln



2



2

2

x C

x

  

 B. 3 ln



x 2



x2 2C

C. _{3 ln}



₂



4
2

x C

x

  

 D.





4
3 ln 2

2

x C

x

  

 .

Câu 26.Cho F x

 

là một nguyên hàm của

 

1
1

f x

x


 trên khoảng



1;



thỏa mãn F e

 

 1 4
Tìm _{F x}

 

.

A. _{2 ln}

 

_x_{ }₁ ₂ B. _ln

 

_x_{ }₁ ₃ C. _{4 ln}

 

_x_₁ D. _ln

 

_x_{ }_{1 3}
Câu 27.Cho biết



21



13 2



ln 1 ln 2

x _{dx a x} _{b x} _C

x x

 _ _{ } _{ }

 



.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a 2b 8. B. a b 8. C. 2a b 8. D. a b 8.
Câu 28.Cho biết ₃1 dx aln

 

x 1 x 1



b x Cln

x x     



. Tính giá trị biểu thức: P 2a b .

A. 0. B. -1. C. 1

2. D. 1.

Câu 29.Cho biết ₂4 11 dx ln 2 ln 3

5 6

x _{a x} _{b x} _C

x x

 _ _{ } _{ }

 



. Tính giá trị biểu thức:

2 2

P a  ab b .

A. 12. B. 13. C. 14. D. 15.

Câu 30.Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số

 

₉ 1 ₅
3x
f x

x


</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

A.

 

4
4 4
1 1
x ln
36
3x 3
x

f x d C

x

   





B.

 

4

4 4
1 1
x ln
36
12x 3
x

f x d C

x

   





C.

 

x 1₄ 1 ln ₄ 4
36

3x 3

x

f x d C

x

   





D.

 

x 1₄ 1 ln ₄ 4

36

12x 3

x

f x d C

x

   





Câu 31.Tìm hàm số _{F x}

 

biết

 

3

4 ₁d

x

F x x

x






và _F

 

₀ _₁.

A. F x

 

ln



x4  1



1. B.

 

1ln



4 1



3

4 4

F x  x   .
C.

 

1 ln



4 ₁



₁

4

F x  x   . D. _{F x}

 

__{4 ln}



_x4 _{ }₁



₁_.

Câu 32.Biết

 





2017

2019

1 ₁ ₁

. , 1

1
1

b

x _x

dx C x

a x
x
 _ _{ }

 __{ } __   

 




với _{a b}_, __. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. _a _₂_b. B. _b_₂_a. C. _a _₂₀₁₈_b. D. _b_₂₀₁₈_a.
Câu 33.Đổi biến t x 1 thì ₄ d

( 1)

x _x

x



trở thành

A. t ₄1 d .t
t




B. (t 1) d .4 _t

t




C. t ₄1 d .t

t




D. t 1 d ._t

t




Câu 34._Cho





3 2
1
1
I dx
x x







2



2 ln 2 ln 1

a b x c x C

x


     . Khi đó S a b c   bằng

A. 1
4

 _. _B.3

4. C. 74. D. 2.

Vấn đề 4. Nguyên hàm của hàm số chứa căn.
Câu 35.Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

 2x1.

A.

 

2 2 1 2 1 .





3

f x dx  x x C



B.

 

1 2 1 2 1 .





3

f x dx  x x C



C.

 

1 2 1 .

3

f x dx   x C



D.

 

1 2 1 .

2

f x dx  x C



Câu 36.Nguyên hàm của hàm số

 

1
2 2 1
f x

x


 có dạng:
A.

 

d 1 2 1

2

f x x  x C



. B.



f x x

 

d  2x  1 C.
C.



_{f x x}

 

_d __{2 2}_x _{ }₁ _C. D.

 





1
d

2 1 2 1

f x x C

x x

 

 



.

Câu 37.Nguyên hàm của hàm số _{f x}

 

_ 3₃_x_₁_là

A. _{f x x}

 

_d _



₃_x__{1 3}



3 _x_{ }₁ _C



. B. _{f x x}

 

_d _ 3₃_x_{ }₁ _C



.

C.

 

_d 1 3₃ ₁

3

f x x  x C



. D.

 

_d 1



₃ _{1 3}



3 ₁

4

f x x  x x C

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Câu 38.Nguyên hàm của hàm số _{f x}

 

_ ₃_x _₂ là
A. 2 (3 2) 3 2

3 x  x C B. 1 (3 2) 3 23 x x C
C. 2 (3 2) 3 2

9 x x C D. 3_{2 3}_x1_₂ C

Câu 39.Họ nguyên hàm của hàm số _{f x}

 

_ ₂_x_₁ là
A. 1 2 1 2 1





3 x x C

    . B. 1 2 1

2 x C.
C. 2 2 1 2 1





3 x x  C. D. 1 2 1 2 13



x 



x C.
Câu 40.Khi tính nguyên hàm 3 d

1

x _x

x






, bằng cách đặt u  x 1 ta được nguyên hàm nào?
A.



2



u24 d



u. B.





u24 d



u. C.





u23 d



u. D.



2u u



2 4 d



u.
Câu 41.Biết





2

2 2

dx _{a x b x} _C

x x  x x    



với a, b là các số nguyên dương và C là

hằng số thực. Giá trị của biểu thức P a b  là:

A. _P _₂ B. _P _₈ C. _P _₄₆ D. _P _₂₂

Câu 42.Nguyên hàm _P _ _{x x}_.3 2 _₁_dx



là:

A. 3



2 1



3 2 1
8

P  x  x  C B. 3



2 1



2 1

8

P  x  x  C
C. 3 3 2 ₁

8

P  x  C D. 3



2 ₁



3 2 ₁

4

P  x  x  C
Câu 43.Nguyên hàm 1

1

R dx

x x






là:

A. 1_ln 1 1

2 x _{1 1}

R C

x
 

 

  B.

1_ln 1 1

2 x _{1 1}

R C

x
 

 

 

C. ln 1 1

1 1
x

R C

x
 

 

  D.

1 1
ln

1 1

x

R C

x
 

 

 
Câu 44.Nguyên hàm S 



x x3 2 9dx là:

A.









2

2 2

2 2

9 9

3 9 9

5

x x

S     x  x  C

B.









4

2 2

2 2

9 9

3 9 9

5

x x

S     x  x  C

C.









2 2

2

2 2

9 9

3 9 9

5

x x

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

D.





2

2 2

2

9 9

3 9

5

x x

S     x  C

Câu 45.Nguyên hàm



₂



3

1
1

I dx

x






là:

A. 3



1x2



2 C _B.

2

1

x _C

x 

 C.

_

₂

_

3

1

x _C

x



D. 1 x2 C
x

 _

Câu 46.Cho 3

2 ₁

x

I dx

x






. Bằng phép đổi biến u  x2 1, khẳng định nào sau đây sai?
A. _x2 __u2 _₁ B. _{xdx udu}_ C. _I _





_u2__{1 .}



_udu D. 3

3
u

I   u C

Câu 47.Cho

 



2



2 ₁ 2 1 5

x

f x x

x

  

 , biết F x

 

là một nguyên hàm của hàm số f x

 

thỏa mãn

 

0 6

F  . Giá trị của 3
4
F  _{ }_{ }_{ } là:
A. 125

16 B. 12616 C. 12316 D. 12716

Câu 48.Nguyên hàm

2 ₉ 2

dx
I

x x







là:

A. 9 2

9
x

I C

x


   B. 9 2

9
x

I C

x


 

C. 9 ₂ 2
9

x

I C

x


  D. 9 ₂ 2

9
x

I C

x


  

Câu 49.Nguyên hàm 3

2

1
x

I dx

x






là:

A. 1



2 2 1



2
3

I   x  x C B. 1



2 2 1



2

3

I  x  x C
C. 1



2 _{2 1}



2

3

I   x  x C D. 1



2 _{2 1}



2

3

I  x  x C
Vấn đề 5. Nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Câu 50.Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

2 sinx.

A.



_{2 sin}_xdx _{ }_{2 cos}_{x C}_ B.



_{2 sin}_xdx __{2 cos}_{x C}_
C.



_{2 sin}_xdx __sin2_{x C}_ D.



_{2 sin}_xdx __{sin 2}_{x C}_
Câu 51.Tìm nguyên hàm của hàm số _{f x}

 

__{cos 3}_x

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

C.



_{cos 3}_xdx __{sin 3}_{x C}_ D. _{cos 3} sin 3
3 x
xdx   C



Câu 52.Họ nguyên hàm của hàm số cos 3
6
y  __ x__

 là:
A.

 

1 sin 3

3 6

f x dx  __ x__C




B.

 

1 sin 3

3 6

f x dx   __ x __C




C.

 

1 sin 3

6 6

f x dx  __ x___C



D.

 

_{sin 3}

6

f x dx  __ x ___C



Câu 53.Phát biểu nào sau đây đúng?
A. _{sin 2} cos 2 _,

2 x

xdx  C C 



 B.



_{sin 2}_xdx __{cos 2}_{x C C}_ _, _ _

C.



_{sin 2}_xdx __{2 cos 2}_{x C C}_ _, __ D. _{sin 2} cos 2 _,
2 x

xdx  C C 





Câu 54.Biết



sin 2x cos 2x dx x



2 acos 4x C
b

   



, với a, b là các số nguyên dương, a

b là phân số
tối giản và C . Giá trị của a b bằng:

A. 5. B. 4. C. 2. D. 3.

Câu 55.Nguyên hàm F x

 

của hàm số f x

 

cos 3 cosx x, biết đồ thị y F x

 

đi qua gốc tọa độ là:
A.

 

sin 4 sin 2

4 x 2 x

F x   B.

 

sin 4 sin 2

8 x 2 x

F x  

C.

 

cos 4 cos 2

8 x 4 x

F x   D.

 

sin 8 sin 4

8 x 4 x

F x  

Câu 56.Biết



cos2x sin2x



5sin 4xdx cosm nx C
p

   



, với _{m n p}_{, ,} __ và C là hằng số thực. Giá

trị của biểu thức T m n p   là:

A. T 9 B. T 14 C. T 16 D. T 18

Câu 57.Nguyên hàm 2 sin
1 3 cos

x

M dx

x






là:

A. 1 ln 1 3cos





3

M   x C B. 2 ln 1 3cos

3

M   x C

C. 2 ln 1 3cos
3

M    x C D. 1 ln 1 3cos

3

M    x C
Câu 58.Gọi F x

 

là nguyên hàm của hàm số f x

 

sin 2 .cos 22 x 3 x thỏa 0

4
F   _{ }_{ }

  . Giá trị F



2019



là:

A.



₂₀₁₉



1
15

F    B. _F



₂₀₁₉_



_₀ C.



₂₀₁₉



2
15

F    D.



₂₀₁₉



1
15

F  

Câu 59.Tìm nguyên hàm F x

 

của hàm số f x

 

sinxcosx thoả mãn 2
2
F   _{ }_{ }

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

A. F x

 

 cosxsinx3 B. F x

 

 cosxsinx1
C. F x

 

 cosx sinx1 D. F x

 

cosxsinx 3

Câu 60.Cho hàm số thỏa mãn và f(0) 2020 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. _{f x}_{( )}_{ }_sin_x _₂₀₂₀ B. _{f x}_{( ) cos}_ _x _₂₀₂₀

C. f x( ) sin x2020. D. f x( ) 2020 cos  x
Câu 61.Nguyên hàm của hàm số f x( ) 3 sin cos 2x x là

A. _sin3_{x C}_ _. _B.__sin3_{x C}_ _. _C._cos3_{x C}_ _. _D.__cos3_{x C}_ _.

Câu 62.Tìm nguyên hàm của hàm số _{( )} sin
1 3 cos

x
f x

x


 .

A. ( )d 1ln 1 3 cos
3

f x x   x C



. B.



f x x( )d ln 1 3 cos x C .
C.



_{f x x}_{( )d} __{3 ln 1 3 cos}_ _{x C}_ . D. _{( )d} 1_{ln 1 3 cos}

3

f x x    x C



.

Câu 63.Tìm các hàm số _{f x}_{( )} biết '( ) cos ₂
(2 sin )x
f x

x


 .

A. ( ) sin ₂
(2 sin )

x

f x C

x

 

 . B.

1
( )

(2 cos )

f x C

x

 

 .

C. ( ) 1

2 sin

f x C

x

  

 . D.

sin
( )

2 sin
x

f x C

x

 

 .

Câu 64.Tìm họ nguyên hàm của hàm số _{f x}

 

__tan5_x.
A.

 

d 1tan4 1tan2 ln cos

4 2

f x x  x x  x C



.

B.

 

_d 1_tan4 1_tan2 _{ln cos}

4 2

f x x  x x x C



.

C.

 

d 1tan4 1tan2 ln cos

4 2

f x x  x x  x C



.

D.

 

d 1tan4 1tan2 ln cos

4 2

f x x  x x x C



.

Câu 65.Biết _{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

sin 2 cos
1 sin

x x

f x

x



 và F

 

0 2. Giá trị của F 2

 
 
 
 
 
là:

A. 2 2 8

3 B. 2 2 83 C. 4 2 83 D. 4 2 83

Câu 66.Cho nguyên hàm ₄sin 2 ₄
cos sinx

I dx

x x







. Nếu u cos 2x đặt thì mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

2

1
1

I du

u







B.

2

1

2 1

I du

u






C.

2

1 1

2 1

I du

u






D.

2

2
1

I du

u






 

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Câu 67.Cho





3









sin cos 1

cos 2

sin cos 2 sin cos 2

m
n

x x

x _dx _C

x x x x

 

  

   



, với m n,  và C là hằng số

thực. Giá trị của biểu thức A m n  là:

A. _A_₅ B. _A_₂ C. _A_₃ D. _A_₄

Vấn đề 6. Nguyên hàm của hàm số mũ, logarit.
Câu 68.Tìm nguyên hàm của hàm số _{f x}

 

_₇x_.

A. 7 d 7
ln 7

x

x _x _ __C



B.



7 dx x 7x1C

C. 7 d 7 1
1
x

x _x _C

x


 





D.



_{7 d}x _x __{7 ln 7}x __C

Câu 69.Họ nguyên hàm của hàm số f x( )e3xlà hàm số nào sau đây?
A. ₃_ex __C_. _B.1 3

3e x C . C. 13ex C . D. 3e3x C .
Câu 70.Nguyên hàm của hàm số _y __e2 1x _là

A. 2e2 1x C. B. e2 1x C . C. 1 e2 1

2 x C. D. 1 e2 x C .
Câu 71.Tính _{F x}_{( )}_ _{e dx}2



, trong đó _e_{là hằng số và}_e__{2, 718}.
A. _{( )} 2 2

2
e x

F x  C. B. _{( )} 3

3
e

F x  C. C. _{F x}_{( )}__{e x C}2 _ _. _D._{F x}_{( ) 2}_ _{ex C}_ _.

Câu 72.Hàm số F x

 

ex2 là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau:
A. _{f x}_{( ) 2}_ _xex2_. _B. ₂ 2

( ) x 1

f x x e  . C. _{f x}_{( )}__e2x_. _D.

2

( )
2

x
e
f x

x

 .

Câu 73.Nguyên hàm của hàm số _{f x}

 

__{2 2}x



x _₅



là
A. ₅ 2

ln 2
x

x  _ __C

  . B. x 5.2 ln 2x C.

C. 2 2 5

ln 2 ln 2

x x

x x C

 _

_ _ __

 _

 _

  . D.

2
1 5

ln 2
x

C
 _

 _

 _ __

  .

Câu 74.Cho _{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

1
2 x 3
f x

e


 thỏa mãn F

 

0 10. Hàm số F x

 

là:

A. 1



ln 2



3





10 ln 5

3 x ex    3 B. 31



x 10 ln 2



ex 3





C. 1 _{ln 2} 3 _{ln 5 ln 2}

3 x ex 2

  _

  _

    _ 

 _ __

 _ _

  D.









1 _{ln 2} ₃ ₁₀ ln 5 ln 2
3 x ex    3

Câu 75.Hàm số _{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên _ và: _{f x}

 

__2e2x __1,x f, 0

 

2. Hàm _{f x}

 

là
A. _y __2ex _₂_x_. _B._y __2ex _₂_. _C._y __e2x _{ }_x ₂_. _D._y __e2x _{ }_x ₁_.
Câu 76.Nguyên hàm của hàm số _{f x}

 

lnx

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

A. ln2

2x C B. 2

1 ln_{x C}
x

 _ _C.ln

2x C D. ln2x C
Câu 77.Nguyên hàm 1

ln 1

T dx

x x







là:

A. 1

2 ln 1

T C

x

 

 B. T 2 lnx 1 C

C. 2 ln 1 ln 1





3

T  x x C D. T  lnx  1 C
Câu 78.Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x

 

x2.ex31.

A.

 

d 3 .e 3 1
3 x
x

f x x _  _C



. B.



f x x

 

d 3ex31 C.
C. _{f x x}

 

_d __ex31 __C



. D.

 

_d 1_e3 1

3 x
f x x _  _C



.

Câu 79.Nguyên hàm của f x

 

sin 2 .x esin2x là
A. _{sin .}2_{x e}sin2x1__C_. _B.

2
sin 1

2

sin 1

x

e _C

x




 . C.

2
sin x

e C . D.

2
sin 1

2

sin 1

x

e _C

x




 .

Câu 80.Nguyên hàm của hàm số _{f x}

 

__ln



_x_ _x2 _₁



_là

A. F x

 

xln



x  x2  1



x2  1 C . B. F x

 

xln



x x2  1



x2  1 C .
C. F x

 

xln



x  x2  1



C . D. F x

 

x2ln



x  x2  1



C.

Câu 81.Xét nguyên hàm





2

ln

1 ln 1

x

V dx

x x



 



. Đặt u  1 1 ln x , khẳng định nào sau đây
sai?

A. dx



₂_u ₂



_du

x   B.









2

2 ₂

. 2 2

u u

V u du

u








C. 2 5 5 4 16 3 4 2

5 2 3

V  u  u  u  u C D. 5 4 16 3 4 2

5 2 3

u u

V    u  u C
Câu 82.Cho hàm số_{f x}

 

_₂_{x e}2 x32 _₂_xe2x_{, ta có}

 

3 ₂ ₂ ₂

d x x x

f x x me_  _nxe _pe _C



. Giá trị của

biểu thức m n p  bằng
A. 1

3 B. 2 C. 136 D. 76

Vấn đề 7. Nguyên hàm tổng hợp.
Câu 83.Họ nguyên hàm của hàm số _{f x}

 

_{ }_ex _x_là

A. ex  1 C B. ex  x2 C C. 1 2
2
x

e  x C D. 1 1 2
1ex 2x C

x   

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

A. 2 sin
2

x _ _{x C}_ _. _B. 2

cos 2
2

x _ _{x C}_ _. _C. 2 cos 2

2 x

x  C. D. 2 cos 2

2 2

x _ _{x C}_ _.
Câu 85.Tìm họ nguyên hàm của hàm số _{y x}2 ₃x 1

x

   .

A. 3 3 1₂ _,
3 ln 3

x

x _{C C}

x

   . B. 3 ₃ 1₂ _,

3 x

x _{C C}

x

   .

C. 3 3 ln ,

3 ln 3

x

x _ _ _{x C C}_ ___. _D. 3 ₃

ln ,
3 ln 3

x

x _ _ _{x C C}_ ___.
Câu 86.Họ nguyên hàm của hàm số _{f x}

 

_₃_x2 __sin_x_là

A. x3 cosx C . B. 6x cosx C . C. x3cosx C . D. 6xcosx C .
Câu 87.Công thức nào sau đây là sai?

A. _{ln d}_{x x} 1 _C
x
 



. B.

2

1 d tan
cos x x  x C



.

C.



sin dx x  cosx C . D.



e dx x  ex C .
Câu 88.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. cos 2 1sin 2
2
d

x x  x C



. B. e e 1

1
d

e
x

x x   C




.

C. 1 dx ln x C

x  



. D. 1

1
e

e dx _x x _C
x



 





.

Câu 89.Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

1 sinx
x

  là

A. lnxcosx C . B. 1₂ _cos_{x C}
x

   . C. _ln _x __cos_{x C}_ . D. _ln _x __cos_{x C}_ .
Câu 90.Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

ex 2017 2018₅e x

x

 _
 _
 _  __
 .

A. f x x

 

d 2017ex 2018₄ C
x

  



. B. f x x

 

d 2017ex 2018₄ C

x

  



.

C.

 

4

504, 5
d 2017 x

f x x e C

x

  



. D.

 

4

504, 5
d 2017 x

f x x e C

x

  



.

Câu 91.Họ nguyên hàm của hàm số 2 ₂
cos
x
x e
y e
x

 _
 _
 _  __

  là

A. ₂_ex __tan_{x C}_ _B.₂_ex __tan_{x C}_ _C.₂ 1
cos
x

e C

x

  D. ₂ 1

cos
x

e C

x

 

Câu 92.Hàm số _{F x}

 

__x2_{ln sin}



_x__cos_x



_{là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?}

A.

 

2 _.

sin cos
x
f x
x x



B.

 









2 _cos _sin

2 ln sin cos

sin cos

x x x

f x x x x

x x



  

 .

C.

 





2 _sin _cos

sin cos

x x x

f x

x x




</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

D.

 

2 ln sin



cos



2

sin x cos

f x x x x

x x

  

 .

Câu 93.Cho hàm số f x

 

2 .x ln 2
x

 . Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f x

 

?
A. F x

 

2 x C B. F x

 

2 2



x  1



C

C. _{F x}

 

__{2 2}



x _{ }₁



_C _D._{F x}

 

_₂ x1 __C

Câu 94.Tìm họ nguyên hàm của hàm số _{f x}

 

__{x e}2 x31

A. 5 2 3 1 d 1 4 2 ln

4

t t t t t t C

t

   

 _

_{ } _ _ _ _ _ _

 _

 _

 



.

B.



f x x

 

d 3ex31C.
C.

 

d 1 3 1

3 x
f x x _ e  _C



.

D.

 

d 3 3 1
3 x
x

f x x _ e  _C



.

Câu 95.Biết



xcos 2 dx x ax sin 2x b cos 2x C với a, b là các số hữu tỉ. Tính tích ab?
A. 1

8

ab . B. 1

4

ab . C. 1

8

ab  . D. 1

4
ab  .
Câu 96.Họ nguyên hàm của hàm số _{f x}

 

__{4 1 ln}_x



_ _x



là:

A. _{2 ln}_x2 _x_₃_x2_. _B._{2 ln}_x2 _{x x}_ 2_.

C. _{2 ln}_x2 _x _₃_x2 __C _. _D._{2 ln}_x2 _{x x}_{ }2 _C _.

Câu 97.Họ nguyên hàm của hàm số _{f x}_{( )}__{x e}_. 2x_{là :}
A. _{( )} 1 2 1

2 x 2

F x  e x__  __ C

 B.





2

1

( ) 2

2 x

F x  e x C
C. F x( ) 2 e x2x



 2



C D. ( ) 2 2 1

2
x

F x  e x__  ___ C
Câu 98.Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) 2 (1 x ex)là

A.



2x1



ex x2. B.



2x1



ex x2. C.



2x 2



ex x2. D.



2x2



ex x2.
Câu 99.Họ nguyên hàm của f x

 

x xln là kết quả nào sau đây?

A.

 

1 2ln 1 2

2 2

F x  x x  x C . B.

 

1 2ln 1 2

2 4

F x  x x  x C.
C.

 

1 2ln 1 2

2 4

F x  x x x C . D.

 

1 2ln 1

2 4

F x  x x x C .
Câu 100.Tất cả các nguyên hàm của hàm số

 

₂

s in
x
f x

x

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Câu 101.Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

x4 xex là
A. 1 5



_{1 e}



5x  x x C. B. 51x5  

 

x 1 ex C.
C. 1 5 e

5x x x C. D. 4x3  



x 1 e



x C.
Câu 102.Họ nguyên hàm của hàm số





2 _l ₁

2 n

x

x
x

y   x là
A.



2 1 ln



2

2
x

x x x C

x      . B.



2 1 ln



2

2
x

x x x C

x      .

C.



2 1 ln



2
2
x

x x x C

x      . D.



2 1 ln



2

2
x

x x x C

x      .

Câu 103.Cho hàm số _{f x}

 

thỏa mãn _{f x}_

 

__xex_và_f

 

₀ _₂_.Tính_f

 

₁ _.

A. _f

 

₁ _₃. B. _f

 

₁ __e. C. _f

 

₁ _{ }₅ _e. D. _f

 

₁ _{ }_{8 2}_e.
Câu 104.Gọi _{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số _{f x}

 

__x_ex_{. Tính}_{F x}

 

_biết_F

 

₀ _₁_.

A. _{F x}

  

_{  }_x _{1 e}



x _₂_. _B._{F x}

  

_{ }_x _{1 e}



x _₁_.
C. _{F x}

  

_{ }_x _{1 e}



x _₂_. _D._{F x}

  

_{  }_x _{1 e}



x _₁_.

Câu 105.Biết



_x_{cos 2 d}_{x x ax}_ _{sin 2}_{x b}_ _{cos 2}_{x C}_ với _a, _b là các số hữu tỉ. Tính tích _ab?
A. 1

8

ab . B. 1

4

ab . C. 1

8

ab  . D. 1

4
ab  .

Câu 106.Biết F x

  

x a



cos 3x 1 sin3 2019x

b c



    là một nguyên hàm của hàm số

  

2 sin 3



f x  x x, (với a, b, c). Giá trị của ab c bằng

A. ₁₄. B. ₁₅. C. ₁₀. D. ₁₈.

Câu 107.Cho hàm sốf x

 

2x e2 x32 2xe2x, ta có



f x x me

 

d  x32 nxe2x pe2x C. Giá trị
của biểu thức m n p  bằng

A. 1

3 B. 2 C. 136 D. 76

Câu 108. Cho hàm số F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) 2019 x



x2 4



x2 3x2 .



Khi đó số điểm
cực trị của hàm số F x( ) là

A. 5. B. 4. C. 3. D. 2.

Câu 109.Cho F x

 

là một nguyên hàm của hàm số f x

 

e xx2



34x



. Hàm số F x



2 x



có bao
nhiêu điểm cực trị?

A. 6. B. 5. C. 3. D. 4.

Vấn đề 8. Nguyên hàm của hàm ẩn

Câu 110.Hàm số _{F x}

 

nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số _{f x g x}

   

_. , biết _F

 

₁ _₃,

 

d 1

f x x x C 



và



g x x x

 

d  2 C₂.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Câu 111.Cho



f x x

 

d 4x3 2x C ₀. Tính I 



xf x

 

2 dx.
A. I 2x6  x2 C. B. 10 6

10 6

x x

I   C . C. I 4x6 2x2 C. D. I 12x2 2.
Câu 112.Cho hàm số _y _ _{f x}

 

thỏa mãn _{f x f x}_'

   

_. __x4 __x2_{. Biết}_f

 

₀ _₂_{. Tính}_f2

 

₂ _.

A. 2

 

₂ 313

15

f  . B. 2

 

₂ 332

15

f  . C. 2

 

₂ 324

15

f  . D. 2

 

₂ 323

15

f  .

Câu 113.Cho hai hàm số F x G x

   

, xác định và có đạo hàm lần lượt là f x g x

   

, trên . Biết rằng

   

_. 2_ln



2 ₁



F x G x x x  và

   

. ₂2 3 .
1
x
F x g x

x


 Họ nguyên hàm của f x G x

   

. là
A.



x2 1 ln

 

x2  1



2x2 C. B.



x21 ln

 

x2  1 2



x2 C.
C.



x2 1 ln

 

x2   1



x2 C. D.



x2 1 ln

 

x2   1



x2 C.

Câu 114.Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên , f x

 

   1 x , 0f

 

0 và thoả mãn

 

2 _{1 2}

 

₁

f x x   x f x  . Tính _f

 

₃ .

A. 9. B. 7. C. 3. D. 0.

Câu 115.Cho hàm số _{f x}_{( )} xác định trên đoạn __1;2__ thỏa mãn _f_{(0) 1}_ và _{f x f x}2_{( ). ( ) 1 2} _{ } _x_₃_x2.
Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f x( ) trên __1;2__ là

A. 3 3

1;2 1;2

min ( )_ _ f x 2 ;max ( )_ _ f x 43

 

   

     

. B. 3 3

1;2 1;2

min ( )_ _ f x 2 ;max ( )_ _ f x 40

 

   

     

C. 3 3

1;2 1;2

min ( )_ _ f x 2 ; max ( )_ _ f x 43

 

   

   

   . D. 3 3

1;2 1;2

min ( )_ _ f x 2 ; max ( )_ _ f x 40

 

   

   

   .

Câu 116.Cho hàm số _{f x}

 

liên tục trên _R thỏa mãn các điều kiện: _f

 

₀ __{2 2,} _{f x}

 

__0, _{ }_x _ và

    

_. ₂ _{1 1}



2

 

_,

f x f x  x  f x  x . Khi đó giá trị _f

 

₁ bằng

A. 26. B. 24. C. 15. D. 23.

Câu 117.Cho h/s _y __{f x}

 

liên tục trên



_0;_



thỏa mãn _{2 '}_{xf x}

   

__{f x} _₃_{x x}2 _;

 

₁ 1

2
f  . Tính

 

4

f ?

A. 24. B. 14. C. 4. D. 16.

Câu 118.Cho hàm số _{f x}

 

thỏa mãn

 

_{f x}_'

 

2 __{f x f x}

   

_{. ''} __x3 _₂_x_,_{ }_x __và_f

 

₀ _ _f _{' 0}

 

_₁_.

Tính giá trị của T  f2

 

2 .
A. 43

30. B. 1615. C. 1543. D. 2615.

Vấn đề 9. Các bài tốn ngun hàm có điều kiện.
Câu 119.Cho hàm số _{f x}_{( )} xác định trên _\ 1

2
 
 
 
 
 
 
 

 thỏa mãn

 

2 , 0 1, 1 2

 

 

2 1

f x f f

x

   

 . Giá trị

của biểu thức _f

   

_{ }₁ _f ₃ bằng

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Câu 120.Biết F x

 

là một nguyên hàm của hàm số f x

 

e2x và F

 

0 0. Giá trị của F

 

ln 3 bằng

A. 2. B. 6. C. 8. D. 4.

Câu 121.Biết _{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm _{f x}

 

__{cos 3}_x và 2

2 3

F   _{ }_{ }_{ } . Tính
9
F  _{ }_{ }_{ } .

A. 3 2

9 6

F   _{ }_{ } 

  B. F 9 3 26

 _ _

  
 
 

  C. F 9 3 66

 _ _

  
 
 

  D. F 9 3 66

 _ _

  
 
 
 
Câu 122.Cho hàm số f x

 

xác định trên R\ 1

 

thỏa mãn

 

1

1
f x

x

 

 , f

 

0 2017, f

 

2 2018.
Tính _S __f

   

₃ _{ }_f ₁ .

A. _S __{ln 4035}. B. _S _₄. C. _S __{ln 2}. D. _S _₁.
Câu 123.Cho hàm số _{f x}

 

thỏa mãn f x

 

ax2 b₃

x

   , _f

 

₁ _₃, _f

 

₁ _₂, 1 1

2 12

f    _{ }_{ }

  . Khi đó 2a b
bằng

A. 3
2

 . B. ₀. C. ₅. D. 3

2.
Câu 124.Gọi F x

 

là một nguyên hàm của hàm số f x

 

2x, thỏa mãn

 

0 1

ln 2

F  . Tính giá trị biểu
thức _{T F}_

   

₀ __F _{1 ...}_{ }_F

   

₂₀₁₈ __F ₂₀₁₉ .

A. 1009.22019 1
ln 2

T   . B. T 22019.2020.

C. 22019 1
ln 2

T   . D. 22020 1

ln 2
T   .
Câu 125.Cho _{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

2

1
cos
f x

x

 . Biết

4

F__ k__k

 với mọi k
. Tính F

     

0 F     F  ... F

 

10 .

A. 55. B. 44. C. 45. D. 0.

Câu 126.Biết _{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số _{f x}

 

__{sin .cos}3_x _x_và_F

 

₀ ___{. Tính}

2
F  _{ }_{ }_{ } .
A.

2

F    _{ }_{ } 

  . B. F      2 . C. F        2 14 . D. F       2 14 .
Câu 127.Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số

 

₄ 2 ₃1 ₂

2
x
f x

x x x




  trên khoảng



0;



thỏa
mãn

 

1 1

2

F  . Giá trị của biểu thức _{S F}_

     

₁ __F ₂ __F ₃ __F

 

₂₀₁₉ bằng
A. 2019

2020. B.

2019.2021

2020 . C.

1
2018

2020. D.

2019
2020

 .

Câu 128.Giả sử F x

 

là một nguyên hàm của f x

 

ln



x₂ 3



x



 sao cho F

   

 2 F 1 0. Giá trị của

   

1 2

F  F bằng
A. 10_{ln 2} 5_{ln 5}

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Câu 129.Gọi g x

 

là một nguyên hàm của hàm số f x

 

ln

 

x1 . Cho biết g

 

2 1 và g

 

3 a bln
trong đó a b, là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của T 3a2 b2

A. _T _₈. B. _T _{ }₁₇. C. _T _₂. D. _T _{ }₁₃.

Câu 130.Cho hàm số f x

 

liên tục trên _,f x

 

0 với mọi _x và thỏa mãn

 

₁ 1
2
f   ,

  

₂_x ₁

  

_{f x}2

f x   .Biết f

   

1 f 2 ... f

 

2019 a 1
b

     với a b, , ,

 

a b 1 .Khẳng định
nào sau đây sai?

A. a b  2019. B. ab2019. C. 2a b 2022. D. b2020.
Vấn đề 10. Một số bài toán ứng dụng của nguyên hàm.

Câu 131.Một chất điểm chuyển động với phương trình 1 2

2

S  t , trong đó _t là thời gian tính bằng giây
( )s và Slà quãng đường tính bằng mét ( ).m Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t₀ 5

 

s là:

A. _{5( / )}_{m s} B. 25( / )m s C. 2,5 ( / ).m s D. 10 ( / ).m s

Câu 132.Một ô tô đang chạy với vận tốc 10( / )m s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ơ tơ
chuyển động chậm dần đều với vận tốc _{v t}

 

_{ }_{10 2}_{t m s}



_/



, trong đó _t là khoảng thời gian tính bằng
giây kể từ lúc đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong ₈ giây cuối cùng.

A. 50 .m B. 25 .m C. 55 .m D. 10 .m

Câu 133.Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc

 

1 3 5 2



/ 2



24 16

a t   t  t m s , trong đó t là
khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát. Hỏi vào thời điểm _{5( / )}_{m s} sau khi xuất phát thì vận tốc của vận
động viên là bao nhiêu?

A. _{5,6 /}_{m s} B. _{6,51 ( / ).}_{m s} C. _{7,72 ( / )}_{m s} D. _{6, 8 ( / )}_{m s}

Câu 134.Số lượng của một loại vi khuẩn được tính theo cơng thức _{N x}

 

, trong đó x là số ngày kể từ thời
điểm ban đầu. Biết rằng _'

 

2000

1
N x

x


 và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Hỏi ngày thứ 12 số
lượng vi khuẩn gần nhất với kết quả nào sau đây?

A. 10130. B. 10120. C. 5154. D. 10132.

Câu 135.Cho _{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

1
1
x
f x

e


 thỏa mãn F

 

0  ln 2. Tập nghiệm
S của phương trình _{F x}

 

__ln



_ex _{ }₁



₃ là:

A. S  

 

3 B. S 

 

3 C. S   D. S  

 

3
Câu 136.Biết rằng _{F x}

 

là một nguyên hàm trên  của hàm số

 



₂2017



2018

1
x
f x

x


 thỏa mãn F

 

1 0
. Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x

 

.

A. 1

2

m   . B. 1 2₂₀₁₈2017
2

m  . C. 1 2₂₀₁₈2017
2

m  . D. 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Câu 137.Giả sử







1



2 23 d



3



1

 

1

x x

C

x x x x g x



  

   



(_C là hằng số).

Tính tổng các nghiệm của phương trình g x

 

0.

A. 1. B. 1. C. 3. D. 3.

Câu 138.Cho hàm số _{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

2 cos₂ 1
sin

x
f x

x


 trên khoảng

 

_0;_ . Biết
rằng giá trị lớn nhất của F x

 

trên khoảng

 

0; là 3. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. 3 3 4

6

F   _{ }_{ } 

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

B. TÍCH PHÂN.

Vấn đề 1. Tích phân hàm đa thức
Câu 1. Tính tích phân





0

1

2 1

I x dx







 .

A. _I _₀. B. _I _₁. C. _I _₂. D. 1

2
I   .

Câu 2. Tích phân







1

0

3x 1 x3 dx



bằng

A. 12. B. 9. C. 5. D. 6.

Câu 3. Tính tích phân

2

0

(2 1)
I 



x dx

A. I 5. B. I 6. C. I 2. D. I 4.
Câu 4. Với _{a b}_, là các tham số thực. Giá trị tích phân



2



0

3 2 1 d

b

x  ax x



bằng

A. _b3 __{b a b}2 _ _. _B._b3 __{b a b}2 _ _. _C._b3__ba2__b_. _D.₃_b2_₂_ab_₁_.

Câu 5. Biết rằng hàm số f x

 

mx n thỏa mãn

 

1

0

d 3

f x x 



,

 

2

0

d 8

f x x 



. Khẳng định nào

dưới đây là đúng?

A. m n 4. B. m n  4. C. m n 2. D. m n  2.
Câu 6. Cho



2



0

3 2 1 d 6

m

x  x x 



. Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây?
A.

 

1;2 . B.



;0



. C.

 

0;4 . D.

 

3;1 .
Câu 7. Cho _n_{là số nguyên dương khác}0, hãy tính tích phân





1

2
0

1 n d

I 



x x x theo _n.

A. 1

2 2

I
n


 . B. I  21n. C. I  2n11. D.

1

2 1

I
n


 .
Vấn đề 2. Tích phân hàm số hữu tỉ.

Câu 8.

2

1 2 3

dx
x



bằng

A. 1 ln35

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Câu 9. Cho

1

0

1 1 _d _{ln 2} _{ln 3}

1 2 x a b

x x

 _

 _ _ _ _

 _

 

   



với a b, là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

A. a 2b 0 B. a b 2 C. _a_{ }₂_b ₀ D. a b  2
Câu 10. Tính tích phân

2
1

1 1

e

I dx

x x

 _

 _

 __  __




A. I 1

e

 B. I 1 1

e

  C. I 1 D. I e

Câu 11. Tính tích phân

2

1

1 d
x

I x

x






.

A. I  1 ln 2. B. 7
4

I  . C. I  1 ln 2. D. I 2 ln 2.

Câu 12. Biết







2

1

d _{ln 2} _{ln 3} _{ln 5}

1 2 1

x _a _b _c

x x   



. Khi đó giá trị a b c  bằng

A. _₃. B. ₂. C. ₁. D. 0.

Câu 13. Biết

3

1

2 _{ln ,}

x _{dx a b c}
x

 _{ }



với _{a b c}_{, ,} ___,_c__9. Tính tổng _{S a b c}_{  } _.
A. _S _₇. B. _S _₅. C. _S _₈. D. _S _₆.

Câu 14. Biết





0 2

1

3 5 1 _ln2 _{, ,}

2 3

x x

I dx a b a b

x


 

   





 . Khi đó giá trị của a4bbằng

A. 50 B. ₆₀ C. ₅₉ D. ₄₀

Câu 15. Biết

5 ₂

3

1 d ln

1 2

x x _{x a} b

x   



với a, b là các số nguyên. Tính S a 2b.
A. _S _₂. B. _S _{ }₂. C. _S _₅. D. _S _₁₀.
Câu 16. Biết

2 ₂

2
0

5 _{2 d} _{ln 3} _{ln 5}

4 3

x x _{x a b} _c

x x

  _{ } _

 



,



a b c, , 



. Giá trị của abc bằng

A. 8. B. 10. C. 12. D. 16.

Câu 17. Tích phân

1

0

1 d
1

I x

x






có giá trị bằng

A. _{ln 2 1}_ . B. __{ln 2}. C. _{ln 2}. D. _{1 ln 2}_ .

Câu 18. Tính

3
2
2

d
1
x

K x

x




</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

A. _K __{ln 2}. B. 1 8_ln
2 3

K  . C. _K __{2 ln 2}. D. _{ln .}8

3
K 
Câu 19. Cho tích phân





1 ₇
5
2

0
d
1
x
I x
x





, giả sử đặt _t _{ }₁ _x2_{. Tìm mệnh đề đúng.}

A.

 

3
2
5
1
1
1 _d
2
t
I t
t






. B.

 

3
3
5

1
1
d
t
I t
t





.

C.

 

3
2
4
1
1
1 _d
2
t
I t
t






. D.

 

3
4
4
1
1

3 _d
2
t
I t
t





.

Câu 20. Có bao nhiêu số thực a để

1

2
0

1
x dx
a x 



.

A. 2 B. 1 C. 0 D. 3

Câu 21. Biết

1 ₂

2
0

2 3 3 _ln

2 1

x x _{dx a} _b

x  x  



với _{a b}_, là các số nguyên dương. Tính _{P a}_ 2 __b2_.

A. 13. B. 5. C. 4. D. 10.

Vấn đề 3. Tích phân hàm vơ tỉ.
Câu 22. Cho

21

5

ln 3 ln 5 ln 7
4

dx _a _b _c

x x    



, với a b c, , là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây
đúng?

A. _{a b}_{  }₂_c B. a b  2c C. a b c  D. _{a b}_{  }_c

Câu 23. Tính tích phân

2

2
1

2 1

I 



x x  dx bằng cách đặt _u __x2 _₁_{, mệnh đề nào dưới đây đúng?}

A.

3

0

I 



udu B.

2

1

1
2

I 



udu C.

3

0

2

I 



udu D.

2

1

I 



udu
Câu 24. Tích phân

1
0
d
3 1
x
x 



bằng

A. 4

3 . B. 32. C. 13. D. 23.

Câu 25. Biết

2

1 ( 1) 1

dx _dx _a _{b c}

x x x x    



với _{a b c}_{, ,} là các số nguyên dương. Tính

P a b c  

A. _P _₁₈ B. _P _₄₆ C. _P _₂₄ D. _P _₁₂

Câu 26. Cho tích phân

2 2

2
0

16 d

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

A. 4





0

8 1 cos 2 d

I t t







 . B. 4 2

0

16 sin d

I t t







.

C. 4





0

8 1 cos 2 d

I t t







 . D. 4 2

0

16 cos d

I t t



 



.

Câu 27. Biết

5

1

1 _{ln 3} _{ln 5}

1 3x1dx a b  c



( , ,a b c Q ). Giá trị của a b c  bằng
A. 7

3 . B. 53. C. 83 . D. 43 .

Câu 28. Cho biết

7 3

2
3
0

d
1

x _x m

n

x 





với m

n là một phân số tối giản. Tính m7n

A. 0. B. 1. C. 2. D. 91.

Câu 29. Cho

3

0

ln 2 ln 3
3

4 2 1

x _dx a _b _c

x   

 



với _{a b c}_{, ,} là các số nguyên. Giá trị a b c 
bằng:

A. ₉ B. ₂ C. ₁ D. 7

Câu 30. Tính 3

2
0

d
1

a _x _x

I x

x







.

A. _I _



_a2 _₁



_a2 _{ }_{1 1}. B. 1



2 1



2 1 1
3

I  _a  a   _

 .

C. 1



2 1



2 1 1
3

I  __a  a   __. D. _I _



_a2 _₁



_a2 _{ }_{1 1}_.

Câu 31. Giá trị của tích phân

1
2

0

d
1

x _x
x




bằng tích phân nào dưới đây?
A. 4 2

0

2 sin dyy




. B.

1

2 2

0

sin d
cosxx x



. C. 4 2

0

sin dy
cosy

y




. D. 2 2

0

2 sin dyy




.

Câu 32. Cho tích phân

1

2
0

d
4

x
I

x






nếu đổi biến số 2 sin , ;

2 2

x  t t  __  ___ thì ta được.
A. 3

0

d

I t







. B. 6

0

d

I t







. C. 4

0

d
I t t







. D. 6

0

dt
I

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Câu 33. Biết

1 3

2

0 1 15

x _dx a b c

x x




 



với _{a b c}_{, ,} là các số nguyên và b0. Tính
2

P a b  c.

A. P 3. B. P 7. C. P  7. D. P 5.
Câu 34. Giả sử

64

3
1

d _ln2

3
x

I a b

x x

  





với a b, là số nguyên. Khi đó giá trị a b là

A. 17. B. 5. C. 5. D. 17.

Câu 35. Biết

2

2
1

d 2 35

3 9 1

x _{x a b} _c

x x    



với _a, _b, _c là các số hữu tỷ, tính

2 7

P a   b c .
A. 1

9

 . B. 86

27. C. 2. D. 2767.

Câu 36. Biết





4

0

2 1d _{ln 2} _ln5 _{, ,}

3

2 3 2 1 3

x x _{a b} _c _{a b c}

x x

 _{ } _ _

  



 . Tính _T _₂_{a b c}_{ } .

A. _T _₄. B. _T _₂. C. _T _₁. D. _T _₃.
Vấn đề 4. Tích phân hàm lượng giác.

Câu 37. Cho hàm số f x

 

. Biết f

 

0 4 và f x'

 

2 sin2x  1, x , khi đó 4

 

0

d
f x x




bằng

A. 2 16 4 .
16

   _B. 2

4 .
16

  _C. 2

15 .
16

   _D. 2 ₁₆

16 .
16
  

Câu 38. Cho hàm số _{f x}_{( )}.Biết _f_{(0) 4}_ và _{f x}_{( ) 2 cos}_ 2_x _{  }_3, _x _, khi đó 4

0

( )
f x dx




bằng?

A. 2 8 8
8

   _. _B. 2 ₈ ₂

8

   _. _C. 2 ₆ ₈

8

   _. _D. 2 ₂

8
  _.

Câu 39. Giá trị của 2

0

sinxdx




bằng

A. 0. B. 1. C. -1. D.

2
_.

Câu 40. Giả sử 4

0

2
sin 3

2

I xdx a b







 



a b, 



. Khi đó giá trị của a b là
A. 1

6

 B. 1

6

 C. 3

10

 D. 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

Câu 41. Biết 2





0

3 sin cos _{11 ln2 ln3} _,

2 sinxx 3 cosx dxx 3 b c b c Q


 _ _ _ _





. Tính b

c?

A. 22

3 . B.

22
3

_. _C.22

3. D.

22
13

_.

Câu 42. Tính tích phân 3
0

cos .sin d
I 



 x x x.

A. 1

4

I   B. 1 4

4

I    C. _I _{ }_4 D. I 0
Câu 43. Cho tích phân 2

0

2 cos .sin d

I x x x







 . Nếu đặt t  2 cosx thì kết quả nào sau đây đúng?
A.

2

3

d

I 



t t. B.

3

2

d

I 



t t. C.

2

3

2 d

I 



t t. D. 2

0

d

I t t







.

Câu 44. Tính tích phân 4 2

4
0

sin _d
cos

x

I x

x






bằng cách đặt u tanx, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 4 2

0

d

I u u







. B.

2
2
0

1 d

I u

u





. C.

1
2
0

d

I  



u u. D.

1
2
0

d
I 



u u.
Câu 45. Cho tích phân 2

3

sin _d _{ln 5} _{ln 2}
cosxx 2 x a b




 





với a b, . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ₂_{a b}_{ }_0. B. _a_{ }₂_b _0. C. ₂_{a b}_{ }_0. D. _a_{ }₂_b _0.
Câu 46. Có bao nhiêu số a 

 

0;20 sao cho 5

0

2
sin sin 2 d

7
a

x x x 



.

A. 10. B.9. C.20. D._19.

Câu 47. Biết 6

0

d 3

1 sinx x a c b









, với _{a b}_, ___,_c___và_{a b c}_{, ,} _{là các số nguyên tố cùng nhau. Giá}
trị của tổng a b c  bằng

A. 5. B. ₁₂. C. ₇. D. _₁.

Câu 48. Cho tích phân số

2

3

s in d ln 5 ln 2
cosx x 2 x a b




 



</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

A. 2a b 0. B. a 2b 0. C. 2a b 0.. D. a 2b 0..
Câu 49. Cho

 

2

2
0

sin _d _ln4

cos 5 cos 6

x _{x a} _b

c

x x



 

 



, với _a, _b là các số hữu tỉ, _c_₀. Tính tổng _m.
A. S 3. B. S 0. C. S 1. D. S 4.

Vấn đề 5. Tích phân hàm mũ và logarit.
Câu 50. Cho F x

 

là một nguyên hàm của hàm số f x

 

lnx

x

 . Tính: I F e

   

F 1 ?
A. 1

2

I  B. I 1

e

 C. I 1 D. I e

Câu 51.

1
3 1
0

d
x
e  x



bằng

A. 1



4



3 e e B. e3 e C.



4



1

3 e e D. e4e

Câu 52. Cho





2
3 1
1

d

x p q

e  x m e_ _e



với m, p, q và là các phân số tối giản. Giá trị m p q 
bằng

A. ₁₀. B. ₆. C. 22

3 . D. 8.

Câu 53. Biết tích phân

ln 6

0

e _d _{ln 2} _{ln 3}

1 e 3

x

x x a b  c

 



, với a, b, c là các số nguyên. Tính

T a b c   .

A. T  1. B. T 0. C. T 2. D. T 1.
Câu 54. Biết

1

ln ₂

1 ln

e _x

dx a b

x  x  



với a b, là các số hữu tỷ. Tính S a b  .

A. _S _₁. B. 1

2

S  . C. 3

4

S  . D. 2

3
S  .

Câu 55. Cho

1

0

d _ln1

2
1

x

x _{a b} e

e


 





, với _a_, _b là các số hữu tỉ. Tính _{S a}_ 3 __b3_.

A. _S _{ }₂. B. _S _₀. C. _S _₁. D. _S _₂.
Câu 56. Cho tích phân

e

1

3 lnx _{1 d}

I x

x 





. Nếu đặt tlnx thì
A.

1

0

3 _{1 d}
et
t

I 



 t. B.

e

1

3t _{1 d}

I t

t





. C.





e

1

3 1 d

I 



t t. D.





1

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Câu 57. Cho





2
1

ln _{ln 3} _{ln 2}

3

ln 2

e _x _c

I dx a b

x x

   





, với a b c, , . Khẳng định nào sau đâu đúng.

A. a2   b2 c2 1. B. a2   b2 c2 11. C. a2   b2 c2 9. D. a2   b2 c2 3.

Câu 58. Biết n2





0

l d 1 ln ln ln

ex 3exx 4

I a b c

c

 _ 

  





với a, b, c là các số nguyên dương.

Tính P 2a b c  .

A. P  3. B. P  1. C. P 4. D. P 3
Vấn đề 6. Tích phân tổng hợp.

Câu 59. Biết rằng 2





1
2
0

d
2

x a b c

xe  x _ e _e



với a b c, , . Giá trị của a b c  bằng

A. ₄. B. ₇. C. ₅. D. ₆.

Câu 60. Biết





2
1

1 _ln

ln

e _x

dx ae b

x x x

 _ _





với a b, là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức

2 2_.

T a  ab b

A. 3. B. 1. C. 0. D. 8.

Câu 61. Biết





2

1

1
2

1 x x pq

x e dx me  n



, trong đó _{m n p q}_{, , ,} là các số nguyên dương và p

q là phân số
tối giản. Tính _{T m n p q}_{   } .

A. T 11. B. T 10. C. T 7. D. T 8.

Câu 62. Cho hàm số _y _ _{f x}

 

có đạo hàm trên _ đồng thời thỏa mãn _f

   

₀ _ _f ₁ _₅. Tính tích phân

 

 

1

0

d
f x
I 



f x e x.

A. I 10 B. I  5 C. I 0 D. I 5

Câu 63. Biết





4

2
0

ln 9 d ln 5 ln 3

I 



x x  x a b c trong đó _{a b c}_{, ,} là các số thực. Giá trị của biểu
thức _{T a b c}_{  } là:

A. T 11. B. T 9. C. T 10. D. T 8.

Câu 64. Cho





 

3

3
1

e 3 1 ln 3 2 1

d .e .ln e 1

1 ln

x x x

x a b c

x x

  

   





với a b c, , là các số nguyên và

ln e 1 . Tính _{P a}_ 2 _{ }_b2 _c2_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Câu 65. Biết





2
2
1

1 d ln ln
ln

x _x _{a b}

x x x

 _ _





với a, b là các số nguyên dương. Tính

2 2

P a  b ab.

A. 10. B. 8. C. 12. D. 6.

Câu 66. Cho





 

2
1

0

e

d .e ln e

e
x
x
x x

x a b c

x 


  





với a, b, c. Tính P a  2b c.

A. _P _₁. B. _P _{ }₁. C. _P _₀. D. _P _{ }₂.
Vấn đề 7. Tích phân dùng tính chất.

Câu 67. Biết

 

2

1

d 2

f x x 



và

 

2

1

d 6

g x x 



, khi đó

   

2

1

d
f x g x x

 _ 

 

 



bằng

A. 8. B. 4. C. 4. D. 8.

Câu 68. Biết tích phân

 

1

0

3
f x dx 



và

 

1

0

4
g x dx  



. Khi đó

   

1

0

f x g x dx

 _ 

 

 



bằng

A. 7. B. 7. C. 1. D. 1.

Câu 69. Biết 1

0 f x x( )d 2



và 1

0 g x x( )d  4



, khi đó 1

0 f x( )g x x( ) d



bằng

A. 6. B. 6. C. 2. D. 2.

Câu 70. Cho

 

1

0

d 2

f x x 



và

 

1

0

d 5

g x x 



, khi S bằng

A. _₈ B. ₁ C. _₃ D. ₁₂

Câu 71. Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng với mọi hàm _f , _g liên tục trên _K và _a, _b là
các số bất kỳ thuộc _K?

A. _{( ) 2 ( )d} _{( )d +2} _{( )d}

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 _  _

 

 







. B.

( )d
( )d
( )
( )d
b
b
a
b
a
a

f x x
f x x

g x

g x x








.

C. ( ). ( )d ( )d . ( )d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 _{ }

 

 







. D.

2
2_{( )d =} _{( )d}

b b

a a

f x x _ f x x_

 

 





.

Câu 72. Cho.

 

2

2

d 1

f x x





.,

 

4
2

d 4

f t t


 



. Tính

 

4

2

d
f y y



.

A. I 5. B. I  3. C. I 3. D. I  5.
Câu 73. Cho 2

 

0 f x dx 3



và 2

 

0 g x dx 7



, khi đó 2

 

 

0 f x 3g x dx

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

A. 16. B. 18. C. 24. D. 10.
Câu 74. Cho

1

0

( ) 1

f x dx  



,

3

0

( ) 5

f x dx 



. Tính

3

1

( )
f x



dx

A. 1. B. 4. C. 6. D. 5.

Câu 75. Cho

 

2

1

d 3

f x x  



và

 

3

2

d 4

f x x 



. Khi đó

 

3

1

d
f x x



bằng

A. 12. B. 7. C. 1. D. 12.

Câu 76. Cho hàm số f x

 

liên tục, có đạo hàm trên __1;2 ,__ f

 

 1 8; 2f

 

 1. Tích phân

 

2

1

'
f x dx




bằng

A. 1. B. 7. C. 9. D. 9.

Câu 77. Cho hàm số _{f x}

 

liên tục trên R và có

2 4

0 2

( )d 9; ( )d 4.
f x x  f x x 





Tính

4

0

( )d .
I 



f x x
A. I 5. B. I 36. C. 9

4

I  . D. I 13.

Câu 78. Cho

 

 

0 3

1 0

3 3.

f x dx f x dx


 





Tích phân

 

3

1

f x dx



bằng

A. 6 B. 4 C. 2 D. 0

Câu 79. Cho hàm số _{f x}

 

liên tục trên  và

 

4

0

d 10

f x x 



,

 

4

3

d 4

f x x 



. Tích phân

 

3

0

d
f x x



bằng

A. 4. B. 7. C. 3. D. 6.

Câu 80. Nếu

 

1

2 1

F x
x

 

 và F

 

1 1 thì giá trị của F

 

4 bằng
A. _{ln 7.} B. ₁ 1_{ln 7.}

2

 C. _{ln 3.} D. _{1 ln 7.}_

Câu 81. Cho hàm số _{f x}

 

liên tục trên  thoả mãn

 

8

1

d 9

f x x 



,

 

12

4

d 3

f x x 



,

 

8

4

d 5

f x x 



.

Tính

 

12

1

d
I 



f x x.

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

Câu 82. Cho hàm số f x

 

liên tục trên __0;10__ thỏa mãn

 

10

0

7
f x dx 



,

 

6

2

3
f x dx 



. Tính

 

 

2 10

0 6

P 



f x dx 



f x dx.

A. _P _₁₀. B. _P _₄. C. _P _₇. D. _P _{ }₆.
Câu 83. Cho _f , _g là hai hàm liên tục trên đoạn  _{ }_{ }1;3 thoả mãn:

 

 

3

1

3 d 10

f x g x x

 _  _
 
 



,

   

3
1

2f x g x xd 6

 _  _

 

 



. Tính

   

3

1

d
f x g x x

 _ 

 

 



.

A. 7. B. 6. C. 8. D. 9.

Câu 84. Cho hàm số f x

 

liên tục trên đoạn __0;10__ và

 

10

0

7
f x dx 



;

 

6

2

3
f x dx 



. Tính

 

 

2 10

0 6

P 



f x dx 



f x dx.

A. _P _₄ B. _P _₁₀ C. _P _₇ D. _P _{ }₄

Câu 85. Cho 2

 

0

d 5

f x x






. Tính 2

 

0

2 sin d 5

I f x x x



 





__  __  .

A. _I _₇ B. ₅

2

I    C. _I _₃ D. _I _{ }₅ _
Câu 86. Cho

 

2

1

d 2

f x x






và

 

2

1

d 1

g x x


 



. Tính

 

 

2

1

2 3 d

I x f x g x x



 





__   __ .

A. 17
2

I  B. 5

2

I  C. 7

2

I  D. 11

2
I 
Câu 87. Cho hai tích phân

 

5

2

d 8

f x x






và

 

2

5

d 3

g x x






. Tính

 

 

5

2

4 1 d

I f x g x x



 





__   __

A. 13. B. 27. C. 11. D. 3.

Câu 88. Cho

 

2

0

d 3

f x x 



,

 

2

0

d 1

g x x  



thì

 

 

2

0

5 d

f x g x x x

 _ _ 

 

 



bằng:

A. ₁₂. B. 0. C. ₈. D. ₁₀

Câu 89. Cho

 

5

0

d 2

f x x  



. Tích phân

 

5

2
0

4f x 3 dx x

 _ 

 

 



bằng

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

Câu 90. Cho hàm số f x

 

liên tục trên  và



 



2

2
0

3 d 10

f x  x x 



. Tính

 

2

0

d
f x x



.

A. ₂. B. _₂. C. ₁₈. D. _₁₈.

Câu 91. Cho

6

0

( ) 12
f x dx 



. Tính

2

0

(3 ) .
I 



f x dx

A. _I _₅ B. _I _₃₆ C. _I _₄ D. _I _₆

Câu 92. Số điểm cực trị của hàm số

 

2
2
2

2 d
1
x

x
t t
f x

t






là

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 93. Cho biết

 

5

1

d 15

f x x






. Tính giá trị của





2

0

5 3 7 d

P 



__f  x  __ x .

A. P 15. B. P 37. C. P 27. D. P 19.
Câu 94. Cho

 

4

0

0
d 2 18
f x x 



. Tính tích phân

  



2

0

d

2 4 2

I 



__f x f  x x__ .

A. _I _₀. B. _I _₂₀₁₈. C. _I _₄₀₃₆. D. _I _₁₀₀₉.
Câu 95. Cho _y __{f x}

 

là hàm số chẵn, liên tục trên ____6;6__. Biết rằng

 

2

1

d 8

f x x






;

 

3

1

2 d 3

f  x x 



. Giá trị của

 

6

1

d
I f x x







là

A. I 5. B. I 2. C. I 14. D. I 11.
Câu 96. Cho hàm số _{f x}

 

liên tục trên _ và

 

2

0

d 2018
f x x







, tính

 

2

0

d .
I 



 xf x x

A. _I _₁₀₀₈. B. _I _₂₀₁₉. C. I 2017. D. _I _₁₀₀₉.

Câu 97. Cho

 

2

1

d 2

f x x 



. Khi đó

 

4

1

d
f x

x
x



bằng

A. 1. B. 4. C. 2. D. 8.

Câu 98. Cho





2
2
1

1 d 2

f x  x x 



. Khi đó

 

5

2

d

I 



f x x bằng

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

Câu 99. Cho.f x

 

. liên tục trên  thỏa mãn f x

  

 f 10x



và

 

7

3

d 4

f x x 



. Tính

 

7

3

d
I 



xf x x.

A. ₈₀. B. ₆₀. C. ₄₀. D. ₂₀.

Câu 100. Cho

 

1

0

d 9

f x x 



. Tính 6





0

sin 3 cos 3 d

I f x x x







.

A. I 5. B. I 9. C. I 3. D. I 2.
Câu 101. Cho hàm f x

 

thỏa mãn

 

2017

0

d 1

f x x 



. Tính tích phân





1

0

2017 d
I 



f x x.

A. 1

2017

I  . B. I 0. C. I 2017. D. I 1.

Câu 102. Cho hàm số

 

2 _{3 ;}2 ₁

5 ; 1

x x x

y f x

x x

  



 _{   }

 . Tính

 

1





2

0 0

2 sin cos d 3 3 2 d

I f x x x f x x











 .

A. 71
6

I  . B. I 31. C. I 32. D. 32
3
I  .

Câu 103. Cho

 

2

1

d 2

I 



f x x  . Giá trị của 2





0

sin 3 cos 1
d

3 cos 1

xf x

x
x








bằng

A. ₂. B. 4

3

 . C. 4

3 . D. 2.

Câu 104. Biết

 

4

1

5
f x dx 



và

 

5

4

20
f x dx 



. Tính





 

2 ln2

2 2

1 0

4 3 x x

f x dx  f e e dx





.

A. 15
4

I  . B. _I _₁₅. C. 5

2

I  . D. _I _₂₅.

Câu 105. Cho _{f x}_{( )}là hàm số liên tục trên _thỏa mãn _{f x}_{( )}__f₍₂_{ }_x₎ _{x e}_{. ,}x2 _{ }_x __{. Tính tích}
phân

2

0

( )
I 



f x dx.

A. 4 1

4
e

I   . B. 2 1

2
e

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Câu 106. Cho hàm số f x

 

liên tục trên  thỏa mãn f x

 

2 3f x

 

,  x . Biết rằng

 

1

0

d 1

f x x 



. Tính tích phân

 

2

1

d
I 



f x x.

A. _I _₅ B. _I _₆ C. _I _₃ D. _I _₂

Câu 107. Cho hàm số _{f x}

 

liên tục trên _ thỏa

 

2018

0

d 2

f x x 



. Khi đó tích phân









2018

e 1

2
2

0

ln 1 d

1

x f x x

x







bằng

A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 108. Cho hàm số f x

 

liên tục trên  thỏa mãn 4





0

tan d 3

f x x







và

 

2
1

2
0

d 1.
1

x f x
x

x  



Tính

 

1

0

d .
I 



f x x s

A. _I _₂. B. _I _₆. C. _I _₃. D. _I _₄.
Câu 109. Cho hàm số f x

 

liên tục trên  và thỏa mãn





 

16
2

2

1
4

cot . sinx f x xd f x dx 1
x





 





.

Tính tích phân

 

1

1
8

4
d
f x

x
x



.

A. I 3. B. 3

2

I  . C. I 2. D. 5

2
I  .

Câu 110. Cho hàm số _{f x}

 

liên tục trên đoạn  _{ }_{ }_1;4 và thỏa mãn _{f x}

 

f



2 x 1



lnx
x
x



  . Tính tích

phân

 

4

3

d
I 



f x x.

A. _I _{ }_{3 2 ln 2}2 _. _B._I __{2 ln 2}2 _. _C._I __{ln 2}2 _. _D._I __{2 ln 2}_.

Câu 111. Cho hàm số f x

 

liên tục trên  thảo mãn: ₇_{f x}

 

__{4 4}_f



_{ }_x



₂₀₁₈_{x x}2 _₉,  x 

. Tính

 

4

0

d
I 



f x x.
A. 2018

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

C. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN.

Câu 1. Diện tích phần hình phẳng tơ đen trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào dưới đây?

A. 3





2

( ) ( ) d







f x g x x. B.





3

2

( ) ( )







g x f x dx.

C. 0





3





2 0

( ) ( ) d g( ) ( ) d



  



f x g x x



x f x x. D. 0





3





2 0

( ) ( ) ( ) ( )



  



g x f x dx



f x g x dx.

Câu 2. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

A. 3



2



1

4 3 d

  



x x x. B.





3
2
1

2 11 d

  



x x x. C.





3
2
1

2 11 d

 



x x x. D.





3
2
1

4 3 d

 



x x x.
Câu 3. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo cơng thức nào dưới đây?

A. 1



3 2



1

2

2 3 1 d



  



x x x. B. 1



3 2



1

2

2 2 3 d



  



x x x x.C. 1



3 2



1

2

2 3 1 d



 



x x x.D. 1



3 2



1

2

2 2 3 d



   



x x x x.

Câu 4. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

A. 3



3 2



1

5 9 7 d

  



x x x x.B.





3

3 2
1

5 9 7 d

   



x x x x.C.





3

3 2
1

9 9 d

   



x x x x.D.





3
3 2
1

9 9 d

  



x x x x.
Câu 5. Tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

 

 ;

 

 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

A. 7

3



S . B. 10

3



S . C. 11

3



S . D. 13

3



S .

Câu 6. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Ox Oy, và đường thẳng x2.
Tính S hình phẳng trên.

A. . B. . C. . D. .

Câu 7. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường yln₂x

x , y0, x1, xe. Mệnh đề

nào dưới đây đúng?

A. e ₂
1

ln
d



_

x

S x

x

 . B. e ₂

1

ln
d



_

x

S x

x . C.

2
e

2
1

ln
d

 
 



_ x_

S x

x . D.

2
e

2
1

ln
d

 

 _ _

 



x

S x

x

 .

Câu 8. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đườngysin 2 ;x ycosx và 0;
2

 

x x  là
A.

B. C. D.

Câu 9. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ; ; là:

A. B. C. D.

Câu 10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ; và là:

A. B. C. D.

Câu 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số _y_₄_{x x}_ 2_{và trục}_Ox

A. 11. B. 34

3 . C.

31

3 . D.

32
3 .

Câu 12. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường _y__x3_₁₁_x_₆_và_y_₆_x2_là

A. 52. B. 14. C. 1

4. D.

1
2.

Câu 13. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

 

: 1
1






x
H y

x và các trục tọa độ. Khi đó
giá trị của S bằng

A. S2 ln 2 1 . B. Sln 2 1 . C. Sln 2 1 . D. S2 ln 2 1 .

Câu 14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

 

_{: y} 1



2 ₈ ₇



3

   

P x x ,

 

: 7
3






x
H y

x.
A. 3, 455. B. 9 8 ln 2 . C. 3 ln 4 . D. 161 4 ln 3 8 ln 2

9   .

Câu 15. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị và là:
2x

y e
4 ₁

e  1



4 ₁



2 e 

4
1

2e





4

1 ₁

2 e 

1

4

.

1

6

.

3

2

.

1

2

.

2 1

y x y 6

x

 x3
4 6ln 6. 4 6 ln .2

3

 443.

24

25
.
6

x

y e y1 x1
2.



e e. e1. 1 .e

2 ₄ ₃

y x  x

y x

 

3

O 2 4 x

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

A. B. C. D.

Câu 16. Biết rằng parabol

 

_P _:_y2 _₂_x_{chia đường tròn}

 

_C _:_x2__y2 _₈_{thành hai phần lần lượt có diện tích}
là S1, S2 (như hình vẽ). Khi đó 2 1 

b
S S a

c

 với a b c, , nguyên dương và b

c là phân số tối giản. Tính

  

S a b c.

A. S13. B. S16. C. S15 D. S14.

Câu 17. Cho

 

H là hình phẳng giới hạn bởi parabol _y_ ₃_x2_{và nửa đường trịn tâm}

 

_H _{bán kính bằng}
2 nằm phía trên trục hồnh (phần tơ đậm trong hình vẽ bên). Diện tích của

 

H được tính theo công thức
nào dưới đây?

A. 1 2 2

0

2 3

 



_

_   _

S x x dx. B.

1

2 2
0

2.  4 3 



_

_   _

S x x dx.

C. 1 2 2

0

3 4

 



_

_   _

S x x dx. D.

1

2 2
0

4 3

 



_

_   _

S x x dx.

Câu 18. Bạn An xây một bể cá hình trịn tâm O bán kính 10 m_{và chia nó thành 2 phần như hình vẽ sau.}

Bạn An sẽ thả cá cảnh với mật độ 4 con cá cảnh trên _1m2_{ở phần bể giới hạn bởi đường tròn tâm}_O_và
Parabol có trục đối xứng đi qua O và chứa O. Gọi S là phần nguyên của diện tích phần thả cá. Hỏi bạn An
thả được bao nhiêu con cá cảnh trên phần bể có diện tích S, biết A B, 

 

O và AB12m?

A. 560. B. 650. C. 460. D. 640.

Câu 19. Lương giáo viên thấp nên thầy Nam chăn nuôi thêm 2 con bị. Do diện tích đất của nhà thầy hẹp
nên thầy xây chuồng bị như hình vẽ bên dưới và chia thành 2 phần bằng nhau để nhốt 2 con bị. Biết
ABCD là hình vng cạnh 4 mvà I là đỉnh của một Parabol có trục đối xứng là trung trực của BC và
parabol đi qua hai điểm A, D. Tiền xây chuồng bò hết 350000 đồng/_{1 m}2_{. Biết}_I_cách_BC_{một khoảng}_{5 m}_,
hãy tính số tiền chi phí thầy Nam bỏ ra để xây dựng chuồng bị (Làm trịn đến hàng nghìn)?

55
.

6

205
.
6

109
.
6

126
.
5

S1

x
y

S2

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

Câu 20. Một cái cổng hình parabol như hình vẽ. Chiều cao GH4m, chiều rộng AB4m, ACBD0, 9m
. Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tơ đậm giá là 1200000đồng/m2, cịn các

phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000đồng/m2.

Hỏi tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A. 11445000(đồng). B. 7368000(đồng). C. 4077000(đồng). D. 11370000(đồng)

Câu 21. Một gia đình có khu vườn hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 9 m và 4 m. Chủ
nhà muốn đào một chiếc ao hình Elip, hỏi diện tích lớn nhất của mặt ao bằng

A. 9 m2_. _B.₁₀__m2_. _C.81

4

 _m2_.. _D.₄__m2_.

Câu 22. Một vật chuyển động trong 6 giờ với vận tốc v km h



/



phụ thuộc vào thời gian t h

 

có đồ thị như
hình dưới. Trong khoảng thời gian 2 giờ từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị là một phần đường Parabol có
đỉnh I

 

3; 9 và có trục đối xứng song song với trục tung. Khoảng thời gian còn lại, đồ thị vận tốc là một
đường thẳng có hệ số góc bằng 1

4. Tính qng đường smà vật di chuyển được trong 6 giờ?

A. 130

 

3 km . B. 9

 

km . C. 40

 

km . D.

 

134

3 km .

Câu 23. Cho hàm số _{f x}_{( )}__ax4__bx3__cx2__{dx e}_ _{. Hàm số}_y_ _{f x}__{( )}_{có đồ thị như hình vẽ. Trong}
các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. a c 0. B. a b c d   0. C. a c b d   . D. b d c  0.

Câu 24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ; ; bằng . Khi đó
là:

A. B. C. D.

Câu 25. Cho Parabol

 

_P _:_y__x2_₁_{và đường thẳng}_{d y mx}_: _ _₂_với_m_{là tham số. Gọi}
0

m là giá trị của m
để diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

P và d là nhỏ nhất. Hỏi m₀ nằm trong khoảng nào?

cos

y mx x Ox x0;x 3



m

3.
 

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

A. ( 2; 1)
2

  . B. (0;1). C. ( 1; 1 )

2

 . D. ( ; 3)1
2 .

Câu 26. Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số _y_{  }_x2 ₄_x_{và trục hoành. Hai đường thẳng}



y m và y n chia ( )H thành 3 phần có diện tích bằng nhau( tham khảo hình vẽ). Giá trị của biểu thức

3 3

(4 ) (4 )

   

T m n bằng

A. 320

9



T . B. 512

15



T . C. . D. .

Câu 27. Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường: ; ; ; . Quay xung
quanh trục ta được khối trịn xoay có thể tích là.

A. . B. . C. . D. .

Câu 28. Gọi _{( )}_H là hình phẳng giới hạn bởi các đường _y _ _x_{.ln ,}_x trục _{Ox x}_, __1,_{x e}_ _. Tính thể
tích khối trịn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng _{( )}_H quanh trục _Ox_.

A. . B. . C. . D. .

Câu 29. Thể tích của khối trịn xuay được giới hạn bởi cos sin ;2 0; 0; ,
2
y  x x x y  x  x   là:
A. (3 4

4
  

B.

(5 4)
4

   _C. (3 4)

4

  _D. (3 4)

5
 

Câu 30. Tính thể tích vật thể trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi , trục và đường thẳng
quay xung quanh trục .

A. . B. . C. . D. .

Câu 31. Thể tích của khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng
quay quanh trục bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 32. Thể tích khối trịn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường
có giá trị bằng trong đó a, b là hai số thực nào dưới đây?

A. B. C. D.

Câu 33. Cho đồ thị . Gọi là hình phẳng giới hạn bởi , đường thẳng ,
trục . Cho là điểm thuộc , . Gọi là thể tích khối trịn xoay khi cho quay

405

T  75

2

T 

 

H

ysinx O x x0

x





 

H

O x

2

2



2



_

_2



2 ₁



4
e

 



1



3

e







1



3

e







2 ₁



4
e

 

ln

y



x

O x

2

x_ O x

2ln 2 1 2 ln 2







2 ln 2







2ln2 1

_

 

_{P y x}

_:

_

2

: 2

d y x O x

2 2

2 4

0 0

4x dx x dx









2



2



2

0
2

x x dx





 2 2 2 4

0 0

4x dx x dx









2



2



0
2

x x dx







e
x
y
x
x

y ln , 0, 



_b.e3 ₂



a

 _

a 27, b 5.  a 24, b 6.  a 27, b 6.  a 24, b 5. 

 

C y; _ f x( )_ x

 

H

 

C

x9

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

quanh , là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác quay quanh . Biết . Tính
diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi và . (Hình vẽ khơng thể thiện chính xác điểm ).

A. . B. . C. . D. .

Câu 34. Thể tích khối trịn xoay khi cho Elip quay quanh trục Ox:

A. B. C. D.

Câu 35. Thầy Nam dự định xây một bể bơi hình elip có độ dài trục lớn gấp hai lần trục bé và có diện tích
hình chữ nhật cơ sở bằng . Mỗi khối nước đổ vào bể có giá là đồng/ . Biết bể bơi sâu

. Hỏi thầy Nam cần bao nhiêu tiền để đổ nước vào bể? (Số tiền được làm trịn đến hàng nghìn).
A. 1 126 000 đồng. B. 1 367 000 đồng. C. 1 224 000 đồng. D. 1 046 000 đồng.
Câu 36. Thầy Nam mở trung tâm luyện thi Đại học và làm biển hiệu trung tâm hình chữ nhật có kích
thước như hình vẽ bên. Ở phần bên trái thầy đặt một hình elip tiếp xúc với 3 cạnh hình chữ
nhật và khoảng cách từ tâm hình elip cách chiều rộng biển trung tâm . Kinh phí làm biển hiệu là

đồng. Biết tiền cơng trang trí phần bên trong hình elip là đồng . Hỏi phần còn lại
làm bao nhiêu tiền trên (Làm trịn đến hàng nghìn)?

A. 260 000 đồng. B. 186 000 đồng. C. 168 000 đồng. D. 206 000 đồng.
Câu 37. Một tàu lửa đang chạy với vận tốc m/s thì người lái tàu đạp phanh; từ thời điểm đó, tàu
chuyển động chậm dần đều với vận tốc m/s. Trong đó khoảng thời gian tính bằng
giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, tàu còn di chuyển được:

A. . B. . C. . D.

Câu 38. Một ô tô đang chạy với vận tốc thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ơ tơ
chuyển động chậm dần đều với vận tốc , trong đó là khoảng thời gian tính bằng

giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính qng đường ơ tô đi được trong giây cuối cùng.

A. . B. . C. . D. .

O x

V

2 AOM O x ₁ 9 ₂

4

V  V

S

 

C

OM

M

x
y

I

y= x

A
M

O ₁

4 5
3

S 3 3

2

S 27 3

16

S

S



6

2 2
2 2 1

x y

a b 
2

4
.
3a b

2
4

.
3ab

2
2

.
3a b

2
2

.
3
 ab

2

128m

8500

1m

3

2 m 80%

3 m x 2 m

0, 5 m

900.000 100.000

/1m

2

2

1m

200

 

200 20

v t





t

t

1000 m. 500 m. 1500 m. 2000 m.

10 (m/s)

 

2 10 (m/s)

v t

  

t

t

8

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

Câu 39. Hai người , đang chạy xe ngược chiều nhau thì xảy ra va chạm, hai xe tiếp tục di chuyển
theo chiều của mình thêm một quãng đường nữa thì dừng hẳn. Biết rằng sau khi va chạm, một người di
chuyển tiếp với vận tốc v t₁( ) 6 3  t mét trên giây, người còn lại di chuyển với vận tốc v t₂( ) 12 4  t
mét trên giây. Tính khoảng cách hai xe khi đã dừng hẳn.

A. mét. B. mét. C. mét. D. mét.

Câu 40. Một vật chuyển động trong giờ với vận tốc phụ thuộc vào thời gian có đồ thị
vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần
của đường parabol có đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ
thị là một đoạn thẳng song song với trục hồnh. Tính qng đường mà vật di chuyển được trong giờ đó.

A. . B. . C. . D. .

D. SỐ PHỨC.

Vấn đề 1. Câu hỏi lý thuyết.

Câu 1. Cho hai số phức z a bi a b 



, _



và z a b i a b  



, _



. Điều kiện giữa a b a b, ,  , để
z z  là một số ảo là

A. b b  0. B. ' 0
' 0
a a
b b

 


  

 . C.

' 0
' 0
a a
b b

 


  

 . D. a a  0.

Câu 2. Cho số phức z a bi 



a b, _



tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Mô đun của z là một số thực dương.

B. _z2 _ _z2_.

C. Số phức liên hợp của z có mơ đun bằng mơ đun của số phức iz.

D. Điểm M



a b;



là điểm biểu diễn của z .

Câu 3. Cho số phức z a bi  với ,a b là các số thực bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Phần ảo của z là bi. B. Môđun của _z2_bằng 2 2

a b .

C. z z không phải là số thực. D. Số z và z có mơđun khác nhau.
Câu 4. Cho số phức z a bi



a b, _, ,a b0



. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. z z _. B. z2 z2. C. z z. 1 1. D. z z.  z2.
Câu 5. Cho hai số phức z và z. Trong các mệnh đề sai, mệnh đề nào sai?

A. z z   z  z. B. z z.   z z.  . C.z z. z z. . D.z z   z z.
A B

25 22 20 24

3

v



km / h



t

 

h

1

 

2;5

I

3

15

 

km

32

3

 

km

12

 

km

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

Câu 6. Cho số phức z a bi 



a b, _



. Khẳng định nào sau đây sai?

A. _z _ _a2__b2 _. _B._{z a bi}_{ } _. _C._z2_{là số thực.} _D._{z z}_. _{là số thực.}
Vấn đề 2. Các phép toán số phức.

Câu 7. Xác định phần ảo của số phức z18 12 i.

A. 12 . B. 18 . C. 12 . D. 12i.

Câu 8. Số phức liên hợp của số phức z 1 2i là

A.1 2 i B. 1 2i C.2i D. 1 2i

Câu 9. Tính mơđun của số phức z 4 3i.

A. z 7. B. z  7. C. z 5. D. z 25.
Câu 10. Cho số phức z1 1 i và z2  2 3i. Tìm số phức liên hợp của số phức w z 1 z2?

A. w 3 2i. B. w 1 4i. C. w  1 4i. D. w 3 2i.
Câu 11. Tính mơđun của số phức z 



1 2i



_2 i i



3 2 i



_.

A. z 4 10. B. z 4 5. C. z 160. D. z 2 10.
Câu 12. Biết 1

3 4 i a bi,



a b, 



. Tính ab.
A. 12

625. B.

12
625

 . C. 12

25

 . D. 12

25.
Câu 13. Cho số phức z 1 i. Khi đó _z3 _bằng

A. 2. B. 2 2. C. 4. D. 1.

Câu 14. Tính mơđun của số phức là nghịch đảo của số phức z 



1 2i



2.
A. 1

5 . B. 5. C.

1

25. D.

1
5.
Câu 15. Cho số phức 1 3

2 2

z   i. Tìm số phức _w_{  }₁ _{z z}2_.

A. 2 3i. B. 1. C. 0 . D. 1 3

2 2 i
  .

Câu 16. Tính

2018 2018

1 3 1 3

P  i   i

.

A.P2 B._P_₂1010 _C._P_₂2019 _D._P_₄

Câu 17. Tính S    1 i i2 ... i2017i2018

A. S  i. B. S  1 i. C. S  1 i. D. S i .
Câu 18. Tính S1009 i 2i23i3 ... 2017i2017.

A. S 2017 1009 i.  B. 1009 2017 . i C. 2017 1009 . i D. 1008 1009 . i

Câu 19. Cho các số phức z₁, z₂, z₃ thỏa mãn: z₁ 4, z₂ 3, z₃ 2 và 4z z_{1 2}16z z_{2 3}9z z_{1 3} 48.
Giá trị của biểu thức P z1 z2 z3 bằng:

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

Câu 20. Cho các số phức z₁, z₂, z₃ thỏa mãn 2 điều kiện z1  z2  z3 2017 và z1z2z3 0.
Tính 1 2 2 3 3 1

1 2 3
.
z z z z z z
P

z z z

 



 

A. P2017. B. P 1008, 5. C. _P __{2017 .}2 _D._P_6051.
Câu 21. Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 1 5i

z
  .

A. 5. B. 4. C. 6. D. 8.

Câu 22. Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1 z 3 1z.

A. 3 15. B. 6 5. C. 20. D. 2 20.

Câu 23. Trong các số phức z thỏa mãn z i   z 2 3i . Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất.
A. 27 6

5 5

z  i. B. 6 27

5 5

z   i. C. 6 27

5 5

z   i. D. 3 6
5 5
z  i.
Câu 24. Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện z 3 4i  5 và biểu thức

2 2

2

M  z  z i đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số phức z 2 i bằng

A. 5 . B. 9 . C. 25 . D. 5 .

Vấn đề 3. Phương trình bậc nhất - bậc hai trong tập số phức

Câu 25. Trên tập số phức, cho phương trình: _az2__{bz c}_{ }₀



_{a b c}_{, ,} __



_{. Chọn kết luận sai.}
A. Nếu b0 thì phương trình có hai nghiệm mà tổng bằng 0 .

B. Nếu _{ }_b2_₄_ac_₀_{thì phương trình có hai nghiệm mà mơđun bằng nhau.}
C. Phương trình ln có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau.

D. Phương trình ln có nghiệm.

Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn



2i z



  2 2 3i. Môđun của z là:

A. z 5. B. 5 3

3

z  . C. 5 5

3

z  . D. z  5.

Câu 27. Tìm mơ đun của số phức zthoả 3iz(3 i)(1 i)  2.
A. 2 2

3

z  . B. 3 2

2

z  . C. 3 3

2

z  . D. 2 3

3

z  .

Câu 28. Tính mơ đun của số phức z biết



_{1 2}_ _{i z}



2 _{ }_{3 4}_i_.

A. z  5. B. _z _ 4₅_. _C. _z __{2 5}_. _D. _z _₅_.
Câu 29. Phương trình _z2_₃_z_{ }_{9 0}_{có hai nghiệm phức}

1

z , z₂. Tính S z z _{1 2} z₁ z₂.
A. S  6. B. S 6. C. S 12. D. S  12.
Câu 30. Gọi z₁ và z₂ là hai nghiệm phức của phương trình _z2_₆_z_{ }_{11 0}_{. Giá trị của biểu thức}

1 2
3z  z bằng

A. 22 . B. 11. C. 2 11 . D. 11 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

A. T 0. B. _T _₂2019_. _C._T _₁_. _D._T _₂1010_.

Câu 32. Cho mlà số thực, biết phương trình _z2__mz_{ }_{5 0}_{có hai nghiệm phức trong đó có một nghiệm}
có phần ảo là 1. Tính tổng môđun của hai nghiệm.

A. 3 B. 5 C. 2 5 D. 4

Câu 33. Tìm tổng các giá trị của tham số thực a sao cho phương trình _z2_₃_{z a}_ 2_₂_a_₀_{có nghiệm}
phức z0 thỏa z0 2.

A. 0 . B. 2 . C. 6 . D. 4 .

Vấn đề 4. Điều kiện của bài tốn có chứa modul, số phức liên hợp…
Câu 34. Nếu 2 số thực x, y thỏa: x



3 2 i

 

y 1 4 i



 1 24i thì x y bằng

A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 3.

Câu 35. Tìm số thực m sao cho



_m2_{ }₁





_m_₁



_i_{là số ảo.}

A. m0. B. m1. C. m 1. D. m 1.
Câu 36. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn



1i z

 

 2 i z



13 2 i?

A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1.

Câu 37. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z   z z 1?

A. 0 . B. 1. C. 4. D. 3 .

Câu 38. Tìm số phức z thỏa mãn z  3 z 1 và



z2



z i



là số thực

A. z2 B. z  2 2i C. z 2 2i D. khơng có z

Câu 39. Cho số phức z a bi a b 



, _



thỏa mãn z 2 5i 5 và .z z 82. Tính giá trị củaP a b  .

A. 10 B. 8 C. 35 D. 7

Câu 40. Cho số phức z a bi 



a b, _



thỏa mãn z  1 3i z i0. Tính S a 3b.
A. 7

3

S  . B. S  5. C. S 5. D. 7

3
S   .

Câu 41. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn 1

1

z  _, z₂ 2_và z₁z₂ 3_{. Giá trị của} z₁z₂ _là

A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3.

Câu 42. Tìm mơđun của số phức z biết z  4



1 i



z  



4 3 iz



.
A. 1

2

z  . B. z 2. C. z 4. D. z 1.

Câu 43. Tính mơđun của số phức z thỏa mãn: 3 .z z2017



z z



48 2016 . i

A. z 4. B. z  2016. C. z  2017. D. z 2.
Câu 44. Cho số phức z thoả mãn1 i

z

 _{là số thực và} _z_{ }₂ _m_với_m_

. Gọi m₀ là một giá trị của m

để có đúng một số phức thoả mãn bài tốn. Khi đó:

A. ₀ 0;1
2
m _ _

 . B. 0

1_;1
2
m _ _

 . C. 0

3_;2
2
m _ _

 . D. 0
3
1;

2
m _ _

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

Vấn đề 5. Điểm biểu diễn của số phức

Câu 45. Giả sử A B, theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức

z

1,

z

2. Khi đó độ dài đoạn AB bằng

A. z2z1 . B. z2z1 . C. z1  z2 . D. z1  z2 .

Câu 46. Trong mặt phẳng phức, gọi M là điểm biểu diễn cho số phức

 

z z 2 với z a bi 



a b, _,b0



. Chọn kết luận đúng.

A. M thuộc tia Ox. B. M thuộc tia Oy.

C. M thuộc tia đối của tia Ox. D. M thuộc tia đối của tia Oy.
Câu 47. Điểm M



3; 1



là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?

A. z  1 3i B. z 1 3i C. z 3 i D. z  3 i

Câu 48. Điểm M trong hình vẽ dưới đây biểu thị cho số phức nào?

A. 3 2 i. B.  2 3i. C. 2 3 i. D. 3 2 i.

Câu 49. Trong hình vẽ dưới đây, M là điểm biểu diễn của số phức z.

Số phức z là

A. 2i. B. 1 2 i. C. 1 2 i. D. 2i.
Câu 50. Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z 



1 i



2i



?

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

Câu 51. Cho số phức z thoả mãn



2i z



 10 5i. Hỏi điểm biểu diễn số phức z là điểm nào trong các
điểm M, N , P, Q trong hình vẽ sau ?

A. Điểm Q. B. Điểm M . C. Điểm P. D. Điểm N .
Câu 52. Cho số phức . Trên mặt phẳng tọa độ , tìm điểm biểu diễn số phức .

A. . B. . C. . D. .

Câu 53. Cho số phức

z

thỏa mãn iz  2 i 0. Khoảng cách từ điểm biểu diễn của

z

_{trên mặt phẳng tọa}

độ Oxy đến điểm M



3; 4



là

A. 2 5 . B. 13 . C. 2 10 . D. 2 2.

Câu 54. Cho số phức

z

thỏa mãn điều kiện z 



2 3i z



 1 9i. Số phức w 5
iz

 có điểm biểu diễn là
điểm nào trong các điểm A B C D, , , ở hình vẽ sau?

A. Điểm D. B. Điểm C. C. Điểm B. D. Điểm A.
Câu 55. Số phức z được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy như hình vẽ:

Trong các hình dưới đây, hình nào có thể là điểm biểu diễn của số phức i
z
  ?
2

z i Oxy w iz



1; 2



M  M



2; 1



M

 

2;1 M

 

1; 2

x
O

1

1

y

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

A. B.

C. D.

Vấn đề 6. Vận dụng các tính chất hình học để giải toán về số phức

Câu 56. Cho A, B, C tương ứng là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các sốz₁ 1 2i,
2 2 5

z    i, z₃ 2 4i. Số phức z biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành là
A.  1 7i. B. 5i. C. 1 5 i. D. 3 5 i.

Câu 57. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn số phức z 3 4i; M' là điểm biểu diễn

cho số phức ' 1
2

i

z   z. Tính diện tích tam giác OMM'.
A. _' 25

4
OMM

S  . B. '

25
2
OMM

S  . C. '

15
4
OMM

S  . D. '

15
2
OMM

S  .

Câu 58. Cho các số phức z₁, z₂ thỏa mãn z₁ 3, z₂ 4, z₁z₂ 5. Gọi A, B lần lượt là các điểm
biểu diễn số phức z₁, z₂ trên mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích S của OAB với O là gốc tọa độ.
A. S 5 2. B. S 6. C. 25

2

S . D. S 12.
Câu 59. Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn z₁  z₂ 1. Khi đó z₁z₂2 z₁z₂2 bằng

A. 2. B. 4. C. 1. D. 0.

Câu 60. Cho A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z0, z1 khác 0 và thỏa mãn đẳng

thức 2 2
0  1  0 1

z z z z. Tam giác OAB là tam giác gì? Chọn phương án đúng nhất.

A. Đều B. Cân tại O C. Vuông tại O D. Vuông cân tại O
Câu 61. Cho hai số phức z z1, 2 thoả mãn z1 6, z2 2. Gọi M N, là các điểm biểu diễn cho z1và iz2.
Biết MON 60 . Tính 2 2

1 9 2
T  z  z .

A. T 18. B. T24 3. C. T 36 2. D. T36 3.
Câu 62. Trên mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z x yi  thỏa mãn

2 3

z   i z i là đường thẳng có phương trình là

A. y x 1. B. y  x 1. C. y  x 1. D. y x 1.

x
O

1

1

y



x

O

1

1

y



x
O

1

1

y



x
y



1

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

Câu 63. Cho số phức z x yi 



x y, _



thỏa mãn z  2 i z

 

1 i 0. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy, điểm M là điểm biểu diễn của số phức z. Hỏi M thuộc đường thẳng có phương trình nào sau
đây?

A. x y  5 0. B. x y  2 0. C. x y  2 0. D. x y  1 0.
Câu 64. Trên mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z i  iz là

A. Đường thẳng y2. B. Đường thẳng 1
2
y  .
C. Đường thẳng 1

2

y . D. Đường tròn tâm I

 

0; 1 .

Câu 65. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức zthỏa mãn: z  2 i 4 là đường trịn có tâm I
và bán kính R lần lượt là

A. I



 2; 1



;R4. B. I



 2; 1



;R2. C. I



2; 1



;R4. D. I



2; 1



;R2.
Câu 66. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4i 2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn
số phức w2z 1 i là hình trịn có diện tích là

A. S 9 . B. S 12 . C. S 16 . D. S 25 .

Câu 67. Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 3
1
z
z 
là

A. Đường tròn 2 2 9 9 ₀

4 8

x y  x  . B. Đường tròn 2 2 9 9 ₀

4 8

x y  x  .

C. Đường tròn 2 2 9 9 ₀

4 8

x y  x  . D. Đường tròn tâm 0;9
8
I_ _

  và
1
8
R .

Câu 68. Cho các số phức z thoả mãn z i 5. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức w iz  1 i là
đường trịn. Tính bán kính của đường trịn đó.

A. r20. B. r22. C. r4. D. r5.

Câu 69. Cho số phức z thỏa mãn



z 2 i z





  2 i



25. Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức

2 2 3

w z  i là đường tròn tâm I a b

 

; và bán kính c. Giá trị của a b c  bằng

A. 17 . B. 20 . C. 10 . D. 18 .

Câu 70. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z   2 z 2 10.
A. Đường tròn



x2

 

2 y2



2 100. B. Elip

2 2
1
25 4

x _ y _
.

C. Đường tròn



x2

 

2 y2



2 10. D. Elip

2 2
1
25 21

x _ y _

.

Câu 71. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện 1 2

1 2

  

 



 _


iz i

z z i ?

A. 2. B. 0. C. Có vơ số số. D. 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

A. 3 . B. 2. C. 4. D. 5 .
Câu 73. Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3. Tìm mơđun nhỏ nhất của số phức z 1 .i

A. 4. B. 2 2. C. 2. D. 2.

Câu 74. Cho các số phức z thoả mãn z 2. Đặt w 



1 2i z



 1 2i. Tìm giá trị nhỏ nhất của w.

A. 2 . B. 3 5 . C. 2 5 . D. 5 .

Câu 75. Cho số phức z thỏa mãn: z   2 1i z i . Trong mặt phẳng Oxy, z được biểu diễn bởi điểm
M. Tìm z sao cho độ dài đoạn MA ngắn nhất với A

 

1,3 .

A. 3i. B. 1 3 i. C. 2 3 i. D.  2 3i.
Câu 76. Nếu z là số phức thỏa z  z 2i thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức z i  z 4 là

A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5 .

Câu 77. Cho số phức z thỏa mãn 5 z i    z 1 3i 3 z 1 i. Tìm giá trị lớn nhất M của z 2 3i
?

A. 10
3

M  B. M  1 13 C. M 4 5 D. M 9
Câu 78. Cho số phức z₁, z₂ thỏa mãn z1 12 và z2 3 4i 5. Giá trị nhỏ nhất của z1z2 là

A. 0 . B. 2 C. 7 D. 17

Câu 79. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P z i
z


 , với z là số phức khác 0 và
thỏa mãn z 2. Tính tỷ số M

m .
A. M 5

m  B. 3

M

m  C.

3
4
M

m  D.

1
3
M

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT N HỊA

---o0o---

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KỲ 2
NĂM HỌC 2020 – 2021

MÔN: TỐN

PHẦN II. HÌNH HỌC

Vấn đề 1. Hệ tọa độ trong không gian.
Câu 1. Cho OA 2 i 4j6k và OB 9 i 7j4k. Vectơ AB có tọa độ là

A.



7;3;10



. B.



  7; 3; 10



. C.



11;11; 2



. D.



7; 3;10



.
Câu 2. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. Biết A



2;1; 1



, I



1;2;0



. Khi đó điểm B có tọa độ là

A.



1; 1; 1 



. B.



3;0; 2



. C.



0;3;1



. D.



1;1;1



.
Câu 3. Cho hình bình hành ABCD, biết A

 

1;1;1 , B



2;2;3



, C



 5; 2; 2



. Tọa độ điểm D là

A.



 2; 3;0



. B.



2;3; 4



. C.



2;3;0



. D.



 8; 1;4



.
Câu 4. Cho điểm A



3; 1;1



. Hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng



Oyz



là điểm

A. M



3;0;0



. B. N



0; 1;1



. C.P



0; 1;0



. D.P



0;0;1



.

Câu 5. Cho điểm M



1; 2;3



. Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên trục Oz. Điểm đối xứng với
M qua H có tọa độ:

A.



0;0;3



. B.



1;2; 3



. C.



  1; 2; 3



. D.



 1; 2;3



.

Câu 6. Cho hai điểm B(0;3;1), C( 3;6;4) . Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho MC2MB.
Tính tọa độ điểm M .

A. M( 1;4; 2)_ _ . B. M( 1;4;2)_ . C. M(1; 4; 2)_{ } . D. M( 1; 4;2)_{ } .
Câu 7. Cho A m



1;2



, B



2;5 2 m



và C m



3;4



. Tìm giá trị m để A, B, C thẳng hàng?

A. m 2. B. m2. C. m1. D. m3.

Câu 8. Cho ba điểm A



2; 1;1 ;

 

B 3; 2; 1 



. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng
(yOz)?

#A. 5; 3;0

2 2

 _ 

 

  B.



0; 3; 1 



C.



0;1;5



D.



0; 1; 3 



Câu 9. Cho véc tơ a_{  }



2; 2; 4 ,



b_{ }



1; 1;1 .



Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

A. a _{   }b



3; 3; 3 .



B. a và b cùng phương. C. b  3. D. a b..

Câu 10. Cho sáu điểm A



1; 2;3 ,

 

B 2; 1;1 ,_

 

C 3;3; 3 , , ,_



A B C   thỏa mãn    A A B B C C     0. Gọi



; ;



G a b c là trọng tâm tam giác A B C  . Giá trị 3



a b c 



bằng

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

Câu 11. Cho A



 1; 1;0



, B



3;1; 1



. Điểm M thuộc trục Oy_{và cách đều hai điểm}A, B_{có tọa độ là:}
A. 0; 9;0

4

M_  _

 . B.

9
0; ;0

2

M_ _

 . C.

9
0; ;0

2

M_  _

 . D.

9
0; ;0

4

M_ _
 .
Câu 12. Cho ba điểm A



1;1;1 ,

 

B 1;1; 0 ,

 

C 3;1; 1



. Điểm M a b c



; ;



trên mặt phẳng

 

Oxz cách đều 3
điểm A B C, , . Giá trị 3



a b c_{ }



bằng

A. 6. B. 1. C. _3. D. 1.

Câu 13. Cho hai điểm M(2;2;1), 8 4 8; ;
3 3 3
N_ __

 . Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN.

A. I(1;1;1). B. I(0;1;1). C. I(0; 1; 1)  . D. I(1;0;1).

Câu 14. Cho tam giác ABC có A



1;2; 1



, B



2; 1;3



, C



4;7;5



. Gọi D a b c



; ;



là chân đường phân
giác trong góc B của tam giác ABC. Giá trị của a b 2c bằng

A. 5. B. 4. C. 14. D. 15.

Câu 15. Cho hình hộp ABCD A B C D.     có A



0;0;0



, B a



;0;0



; D



0;2 ;0a



, A



0;0;2a



với a0. Độ
dài đoạn thẳng AC là:

A. a. B. 2 a . C. 3a . D. 3

2 a .
Câu 16. Góc giữa hai vectơ i và u 



3; 0;1



là

A. 120. B. 30. C. 60. D. 150.
Câu 17. Cho ba điểm A



 1; 2;3 ,

 

B 0;3;1 , 4; 2; 2

 



. Côsin của góc BAC bằng

A. 9
35


. B. 9

2 35. C.

9

35. D.

9
2 35


.

Câu 18. Cho A



1;2;0



, B



2; 1;1



. Tìm C có hồnh độ dương trên Ox sao cho tam giác ABC vuông
tại C.

A. C



3;0;0



. B. C



2;0;0



. C. C



1;0;0



. D. C



5;0;0



.

Câu 19. Cho ba điểm không thẳng hàng A



1; 2; 4



, B



1;1;4



, C



0;0;4



. Tam giác ABC là tam giác
gì?

A. Tam giác tù. B. Tam giác vuông. C. Tam giác đều. D. Tam giác nhọn.
Câu 20. Cho ba điểm M



2;3; 1



, N



1;1;1



, P



1;m1;3



. Tìm mthì tam giác MNPvng tại N

</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

A._a b ,3 _3 ,_a b _. B. _2 , a b_2 ,_a b _. C. _3 ,3 a b_3 ,_a b _. D.

 

, . .sin ,

a b a b a b
  

      .

Câu 22. Cho u



1;1; 2



, v 



1; ;m m2



. Khi đó ,  _{ }u v 14
   thì

A. 1, 11

5

m m . B. 1, 11
3

m m . C. m1,m3. D.

m



1

.

Câu 23. Cho (1; 2;0), (1;0; 1), (0; 1; 2), ( 2; ; ).A  B  C  D  m n Trong các hệ thức liên hệ giữa ,m n dưới đây,
hệ thức nào để bốn điểm , , ,A B C D đồng phẳng?

A. 2m n 13. B. 2m n 13. C. m2n13. D. 2m3n10.
Câu 24. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có A



0;1;1



, B



_1;0; 2



, C



_1;1;0



và



2;1; 2



D  . Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
A. 5

6. B. 5. C.

5

2. D.

5
3.

Câu 25. Cho tứ diện ABCDcóA



0;1; 1 ;

 

B 1;1;2 ;

 

C 1; 1;0 ;

 

D 0;0;1



. Tính độ dài đường cao AH

của hình chópA BCD. .

A.3 2. B.2 2. C. 2

2 . D.

3 2
2 .

Câu 26. Cho tứ diện ABCD có A



2; 1;1



, B



3;0; 1



, C



2; 1;3



, D Oy_ và có thể tích bằng 5 .
Tính tổng tung độ của các điểm D.

A. 6. B. 2. C. 7 . D. _4.

Câu 27. Cho hai điểm A



9; 3;4 ,

 

B a b c; ;



. Gọi M N P, , lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB
với các mặt phẳng



Oxy

 

, Oxz

 

, Oyz



. Biết các điểm M N P, , đều nằm trên đoạn AB sao cho

AM MN NP PB  . Giá trị của ab bc ca  bằng

A. 17. B. 17. C. 9. D. 12 .

Câu 28. Cho A



1; 2;3 ;

 

B 2;2; 4 ;

 

C 3; 3;2



. Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho:
MA MB MC 

  

ngắn nhất?

A. M



2;1;0



B. M



2; 1;0



C. M



0; 1;3



D. M



2;0;3



Câu 29. Cho ba điểm A



1; 2; 2 ,

 

B 3; 1; 2 , 

 

C 4;0;3



. Tọa độ điểm I trên mặt phẳng



Oxz



sao
cho biểu thức IA2IB3IC đạt giá trị nhỏ nhất là

A. 19;0;15

2 2

I_ _

 . B.

19 15

;0;

2 2

I_  _

 . C.

19 15

;0;

2 2

I_ _

 . D.

19 15

;0;

2 2

I_  _

 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

A. 3 1; ; 1
4 2
M _  _

 . B.

3 3
; ; 1
4 2
M _  _

 . C.

3 1
; ; 1
4 2
M _  _

 . D.

3 1
; ; 2
4 2
M _ _

 .

Câu 31. Cho A



1; 1;1



, B



0;1; 2



và điểm M thay đổi trên



Oxy



. Tìm giá trị lớn nhất của MA MB .

A. 14. B. 14. C. 6 . D. 6 .

Câu 32. Cho các điểm A



1; 2;3



, B



6; 5;8



và OM ai bk với a, b là các số thực luôn thay
đổi. Nếu MA_2MB đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của a b bằng

A. 25. B. 13 . C. 0 . D. 26 .

Vấn đề 2. Phương trình mặt phẳng trong hệ trục tọa độ _Oxyz.
Câu 33. Cho mặt phẳng

 

P x: 2z 1 0. Chọn câu đúng nhất trong các nhận xét sau:

A.

 

P đi qua gốc tọa độ O. B.

 

P song song với



Oxy



.
C.

 

P vng góc với trục Oz. D.

 

P song song với trục Oy.

Câu 34. Ba mặt phẳng x2y z  6 0, 2x y 3z13 0 , 3x2y3z16 0 cắt nhau tại điểm M .
Tọa độ của M là:

A.M



1;2; 3



. B.M



1; 2;3



. C.M



 1; 2;3



. D.M



1;2;3



.

Câu 35. Gọi m n, là hai giá trị thực thỏa mãn: giao tuyến của hai mặt phẳng

 

P_m :mx2y nz  1 0 và

 

Q_m :x my nz   2 0 vuông góc với mặt phẳng

 

 : 4x y 6z 3 0.

A. m n 0. B. m n 2. C. m n 1. D. m n 3.
Câu 36. Cho điểm H



2;1;2



, H là hình chiếu vng góc của gốc toạ độ O lên mặt phẳng

 

P , số đo
góc của mặt phẳng

 

P và mặt phẳng

 

Q x:   y 11 0.

A. ₆₀0_. _B.₃₀0_. _C.₄₅0_. _D.₉₀0

Câu 37. Cho các điểm A



2;0;0



, B



0;3;0



, C



0;0;6



, D



1;1;1



. Có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt
đi qua 3 trong 5 điểm O,

A

,

B

, C,

D

?

A. 10 . B. 5 . C. 7 . D. 6.

Câu 38. Mặt phẳng



Oxy



_{có phương trình là}

A. z0. B. x0. C. y0. D. x y 0.
Câu 39. Mặt phẳng song song với mặt phẳng



Oxz



và đi qua điểm (1;1;1)A có phương trình là

A. y 1 0. B. x y z   1 0. C. x 1 0. D. z 1 0.
Câu 40. Cho A



1; 1;5



, B



0;0;1



. Mặt phẳng

 

P chứa A B, và song song với trục Oycó phương
trình là

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>

A. 4x2y12z17 0 . B. 4x2y12z17 0 . C. 4x2y12z17 0 . D.
4x2y12z17 0 .

Câu 42. Cho điểm A



2; 4;1 ;

 

B 1;1;3



và mặt phẳng

 

P x: 3y2z 5 0. Một mặt phẳng

 

Q đi
qua hai điểm ,A B và vng góc với mặt phẳng

 

P có dạng ax by cz   11 0. Khẳng định nào sau là
đúng?

A.

a b c

  

5

. B.

a b c

  

15

. C.

a b c

   

5

. D.

a b c

   

15

.
Câu 43. Cho điểm A



2;0; 2



, B



0;3; 3



. Gọi

 

P là mặt phẳng đi qua

A sao cho khoảng cách từ

B

đến mặt phẳng

 

P là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng

 

P bằng
A. 1

14. B.

4

14. C.

2

14. D.

3
14.
Câu 44. Mặt phẳng

 

 đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với 2 mặt phẳng

 

P :x   y z 7 0,

 

Q : 3x2y12z 5 0 có phương trình là

A.

 

 : 2x3y z 0. B.

 



:10x15y5z20.
C.

 

 : 10x15y5z 2 0. D.

 

 : 2x3y z 0.

Câu 45. Cho 2 mặt phẳng ( ) : x y z   3 0;( ) : 2 x y z   1 0. Viết phương trình mặt phẳng (P)
vng góc với ( ) và ( ) và khoảng cách từ M



2; 3;1



đến mặt phẳng (P) bằng 14 . Có hai mặt phẳng
thỏa mãn là:

A.

 

P x1 2y3z16 0 và

 

P x2 2y3z12 0
B.

 

P1 2x y 3z16 0 và

 

P2 2x y 3z12 0
C.

 

P₁ 2x y 3z16 0 và

 

P₂ 2x y 3z12 0

D.

 

P x1 2y3z16 0 và

 

P2 2x y 3z12 0

Câu 46. Cho mặt phẳng (P):x2y2z10 0 . Phương trình mặt phẳng (Q) với (Q) song song với (P)
và khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 7

3 là

A. x2y2z 3 0;x2y2z17 0 . B. x2y2z 3 0;x2y2z17 0 .
C. x2y2z 3 0;x2y2z17 0 . D. x2y2z 3 0;x2y2z17 0 .
Câu 47. Phương trình của mp đi qua ba điểm (1; 0;0)A , (0; 1;0)B  , 0;0;1

2
C_ _

  là

A. x y 2z 1 0. B. x y 2z0. C. x y 2z 1 0. D. 1 0.
2

z

x y   
Câu 48. Viết phương trình mặt phẳng

 

P đi qua điểm G



1;2;3



và cắt ba trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại

, ,

A B C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC.
A. x2y3z14 0. B. 1

3 6 9

x_{  }y z

C. 1.

1 2 3

x_{  }y z

D. 1

6 3 9

</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>

Câu 49. Cho điểm M



1; 2;5



. Mặt phẳng

 

P đi qua điểm M cắt trục tọa độ Ox Oy Oz, , tại A B C, , sao
cho M là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng

 

P là

A. x y z   8 0. B. x2y5z30 0 . C. 0
5 2 1
x_{  }y z

. D. 1

5 2 1

x_{  }y z
.
Câu 50. Cho điểm (1; 2; 3)A . Gọi A , A , A1 2 3 lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên các mặt phẳng

(Oyz), ( Ozx ), (Oxy). Phương trình của mặt phẳng (A A A1 2 3) là:

A. 1

3  6 9

x y z _. _B. ₁

2  4 6

x y z _. _C. ₁

1  2 3

x y z _. _D. ₀

1  2 3

x y z _.

Câu 51. Cho điểm M' 4; 7; 5 ,



 

 

N 3; 9; 10 



và các đường thẳng d d d₁, , ₂ ₃ cùng đi qua điểm N và
lần lượt song song với Ox Oy Oz, , . Mặt phẳng

 

P' đi qua M' cắt d d d₁, , ₂ ₃ lần lượt tại ', ', 'A B C sao
cho M' là trực tâm A B C' ' '. Phương trình mặt phẳng

 

P' _là

A. x   2y 5z 35 0. B. x2y  5z 35 0. C. 0

4 7 5

x y z

  

  . D. 4 7 5 1

x y z

  

  .

Câu 52. Cho điiểm (3; 1;1)A  . Tính khoảng cách từ Ađến mặt phẳng Oxy.

A. 1. B. 3. C. 0. D. 2.

Câu 53. Cho mặt phẳng

 

P :16x12y15z 4 0 và điểm A



2 ; 1; 1 



. Gọi

H

là hình chiếu của
điểm

A lên mặt phẳng

 

P . Tính độ dài đoạn thẳng

AH

.

A.5. B. 11

5. C.

11

25. D.

22
5 .

Câu 54. Cho điểm M



1; 2;3



gọi , ,A B C lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm M lên các trục
, ,

Ox Oy Oz. Khi đó khoảng cách từ điểm O



0;0;0



đến mặt phẳng



ABC



có giá trị bằng
A. 1

2. B. 6 . C.

6

7. D.

1
14 .

Câu 55. Cho tứ diện ABCD với A



1; 2;3 ,

 

B 3;0;0 ,

 

C 0; 3;0 ,

 

D 0;0;6 .



Tính độ dài đường cao hạ
từ đỉnh A của tứ diện ABCD.

A. 9 . B. 1. C. 6 . D. 3 .

Câu 56. Cho hai mặt phẳng

 

P : 5x5y5z 1 0và

 

Q x y z:    1 0. Khoảng cách giữa hai mặt
phẳng

 

P và

 

Q bằng

A. 2 3

15 . B.

2

5. C.

2

15. D.

</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

Câu 57. Cho A



1;0;0



, B



0; ;0b



, C



0;0;c



,



b0,c0



và mặt phẳng

 

P y z:   1 0. Tính
S b c  biết mặt phẳng



ABC



vng góc với mặt phẳng

 

P và khoảng cách từ O đến



ABC



bằng
1

3.

A. S1. B. S 2. C. S0. D. 3

2
S  .
Câu 58. Xác định tọa độ điểm M là hình chiếu vng góc của điểm M



2;3;1



lên mặt phẳng

 



:x2y z 0
A. 2; ;35

2
M _

 . B. M



1;3;5



. C.

5 3

; 2;

2 2

M _

 . D. M



3;1;2



.

Câu 59. Trong không gian Oxyz, cho điểm A



3; 2;5



và mặt phẳng

 

P : 2x 3 y5z 13 0  . Tìm tọa
độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).

A. A' 1;8; 5







B. A' 2; 4;3







C. A' 7; 6; 4







D. A' 0;1; 3







Câu 60. Trong không gian , cho . Trực tâm tam giác có tọa độ
là

A. B. C. D.

Câu 61. Cho A



0;1; 2



, B



0;1;0



, C



3;1;1



và mặt phẳng

 

Q x:    y z 5 0. Xét điểm M thay đổi
thuộc

 

Q . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức _MA2 __MB2 __MC2_bằng

A.12 . B.0. C.8. D.10.

Câu 62. Cho mặt phẳng

 

 :x y z   4 0 và ba điểm A



1; 2;1



, B



0;1; 2



và C



0;0;3



. Điểm



; ;



M x y z thuộc

 

 sao cho MA 3MB4MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức
P x y z   .

A. 3 . B. 1

3

 . C. 5

3. D. 4.

Câu 63. Cho hai điểm A



2; 2; 4 ,

 

B 3;3; 1



và mặt phẳng

 

P : 2x y 2z 8 0. Xét

M

là điểm
thay đổi thuộc

 

P , giá trị nhỏ nhất của ₂_MA2_₃_MB2_bằng:

A. 135. B. 105. C. 108. D. 145.

Câu 64. Cho tứ diện có điểm , , , . Trên các cạnh ,
, lần lượt lấy các điểm , , thỏa: . Viết phương trình mặt phẳng

biết tứ diện có thể tích nhỏ nhất.

A. . B. .

C. . D. .

Oxyz A



1;0;0 ,

 

B 0; 2;0 ,

 

C 0;0;1



ABC

4 2 4
; ; .
9 9 9

 

 

 



2;1; 2 .





4; 2; 4 .



4 2 4
; ; .

9 9 9

 

 

 

ABCD A



1;1;1



B



2;0; 2



C



 1; 1;0



D



0;3;4



AB

AC AD B C D AB AC AD 4

AB AC AD



B C D  



AB C D  

</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>

Câu 65. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P x y z:    2 0 và hai điểm



3;4;1 ;

 

7; 4; 3



A B   . Điểm M a b c a



; ;



2



thuộc

 

P sao cho tam giác ABM vng tại M và có
diện tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị biểu thức T   a b c bằng:

A.T 6. B.T 8. C. T 4. D.T 0.

Câu 66. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;m;0),C(0;0;n) với m,n là các số
thực dương thoả mãn ₃_mn_₄ _m2__n2 _{. Mặt phẳng qua A vuông góc với OA cắt đường thẳng qua O}
vng góc với mặt phẳng ( ABC) tại điểm H. Tính OH ?

A. 5

4 B.

4

5 C.

3

4 D.

4
3
Vấn đề 3. Phương trình mặt cầu

Câu 67. Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn hệ thức



0



MA MB MC  a a
  

là
A.Mặt cầu bán kính .

3
a

R B. Đường trịn bán kính
3

a
R
C. Mặt cầu bán kính R a . D. Đoạn thẳng có độ dài bằng a.
Câu 68. Cho hai điểm A



2;1;0



, B



2; 1; 2



. Phương trình của mặt cầu có đường kính AB là

A. _x2__y2_{ }



_z ₁



2 _ ₂₄_. _B._x2__y2_{ }



_z ₁



2 _ ₆_.
C. _x2__y2_{ }



_z ₁



2 _₂₄_{. D.}_x2__y2_{ }



_z ₁



2_₆_.

Câu 69. Phương trình mặt cầu tâm I



1;2;0



và đi qua điểm A



2; 2;0



là

A.



_x_₁

 

2_ _y_₂



2__z2__100. _B.



_x_₁

 

2_ _y_₂



2__z2__5.
C.



_x_₁

 

2_ _y_₂



2__z2__10. _D.



_x_₁

 

2_ _y_₂



2__z2__25.

Câu 70. Gọi

 

S là mặt cầu đi qua 4 điểmA



2;0;0



, B



1;3;0



, C



1;0;3



, D



1; 2;3



. Tính bán kính R
của

 

S

A. R2 2. B. R3. C. R6. D. R 6.
Câu 71. Cho mặt cầu

 

_{S x}_: 2__y2_{ }_z2 ₂_x_₄_y_₆_z_₀_{cắt các trục}_{Ox Oy Oz}_, _, _{lần lượt tại các điểm}

, ,

A B C(khác O). Phương trình mặt phẳng



ABC



là

A. 1

2 4 6

x_{  }y z

. B. 1

2 4 6

x_{  }y z

. C. 0

2 4 6

x_{  }y z

. D. 1

2 4 6

x_{  }y z
.
Câu 72. Cho điểm I



1;2;3



và mp

 

P : 4x y z   1 0. Viết ptrình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với

 

P .

A. ₍_x_₁₎2_₍_y_₂₎2_₍_z_₃₎2 _₂_. _B.₍_x_₁₎2_{ }₍_y ₂₎2_{ }₍_z ₃₎2 _ ₂_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>

Câu 73. Cho mặt cầu

 

S :



_x_₃



2_{  }_y2



_z ₂



2__m2_₄_{. Tập các giá trị của}_m_{để mặt cầu}

 

_S _tiếp
xúc với mặt phẳng

 

Oyz là:

A.

 

5 . B.

 

 5 . C.

 

0 . D. .

Câu 74. Cho mặt cầu _{( ) :}_{S x}2__y2_{ }_z2 ₂_x_₆_y_{  }₈_z _{1 0}_{. Xác định bán kính R của mặt cầu ( )}

S và
viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại M



1;1;1



?

A. R5, ( ) : 4P y3z 7 0 B. R5, ( ) : 4P x3z 7 0
C. R5, ( ) : 4P y3z 7 0 D. R3, ( ) : 4P x3y 7 0
Câu 75. Cho mặt cầu

 

S tâm I



1; 2;3



bán kính R3 và hai điểm M



2;0;0



, N



0;1;0



.

 

X :x by cz d   0 là mặt phẳng qua MN và cắt

 

S theo giao tuyến là đường trịn có bán kính r lớn
nhất. Tính T b c d   .

A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.

Câu 76. Cho mặt cầu

 

_{S x}_: 2__y2_{ }



_z ₂



2_₁_{và mặt phẳng}

 

: 3x 4z 12 0

    . Khẳng định nào sau
đúng?

A. Mặt phẳng

 

 đi qua tâm mặt cầu

 

S .
B. Mặt phẳng

 

 tiếp xúc mặt cầu

 

S .

C. Mặt phẳng

 

 cắt mặt cầu

 

S theo một đường trịn.
D. Mặt phẳng

 

 khơng cắt mặt cầu

 

S .

Câu 77. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình _x2__y2__z2_₂_mx_₄_y_₂_z_₆_m_₀_{là phương}
trình của một mặt cầu trong khơng gian với hệ tọa độ Oxzy.

A. m

 

1;5 B.

C. m  



5; 1



D. m     



; 5

 

1;



Câu 78. Cho mặt cầu

  

S : x1

 

2 y2

 

2 z3



2 25. Mặt phẳng



Oxy



cắt mặt cầu

 

S theo một
thiết diện là đường tròn

 

C . Diện tích của đường trịn

 

C là

A. 8



B. 12



C. 16



D. 4



Câu 79. Cho I



1;1;1



và mặt phẳng

 

P : 2x y 2z 4 0. Mặt cầu

 

S tâm I cắt

 

P theo một
đường trịn bán kính r4. Phương trình của

 

S là

A.



x1

 

2 y1

 

2 z1



2 16. B.



x1

 

2 y1

 

2 z 1



25.
C.



x1

 

2 y1

 

2 z 1



29. D.



x1

 

2 y1

 

2 z 1



2 25.
Câu 80. Cho mặt phẳng

 

Q x: 2y z  5 0 và mặt cầu

  

_S _: _x_₁



2__y2_{ }



_z ₂



2__15.

 

P song
song với

 

Q và cắt mặt cầu

 

S theo giao tuyến là đường trịn có chu vi 6



đi qua điểm nào sau đây?



 



</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

A. A



0; 1; 5 



B. B



1; 2; 0



C. C



2; 2; 1



D. D



2; 2; 1



Câu 81. Cho mặt cầu

 

_{S x}_: 2__y2__z2_₆_x_₄_y_₂_z_{ }_{5 0}_{. Phương trình mặt phẳng}

 

_Q _{chứa trục}_Ox
và cắt

 

S theo giao tuyến là một đường trịn bán kính bằng 2 là

A.

 

Q : 2y z 0. B.

 

Q : 2x z 0. C.

 

Q :y2z0. D.

 

Q : 2y z 0.
Câu 82. Cho hai mặt phẳng song song

 



₁ : 2x y 2z 1 0,

 



₂ : 2x y 2z 5 0 và một điểm



1;1;1



A  nằm trong khoảng giữa của hai mặt phẳng đó. Gọi

 

S là mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với

   



1 ,



2 . Biết rằng khi

 

S thay đổi thì tâm I của nó nằm trên một đường trịn cố định

 



. Tính diện

tích hình tròn giới hạn bởi

 



.
A. 2

3 . B.

4

9 . C.

8

9. D.

16
9 .

Câu 83. Cho A



2;0;0 ,

 

B 0; 2;0 ,

 

C 0;0; 2



. Có tất cả bao nhiêu điểm M trong không gian thỏa mãn
M không trùng với các điểm A B C, , và   AMB BMC CMA   90 ?

A. 0 . B. 1. C. 2. D. 3 .

Câu 84. Cho hình chóp S ABCD. với S



1; 1;6



, A



1;2;3



, B



3;1;2



, C



4;2;3



, D



2;3;4



. Gọi I
là tâm mặt cầu

 

S ngoại tiếp hình chóp. Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng



SAD



.

A. 3 3
2

d . B. 6

2

d . C. 21

2

d . D. 3

2

d .
Câu 85. Cho mặt cầu

 

_{S x}_: 2__y2_{ }_z2 ₂_x_₂_y_₂_z_₀_{và điểm}_A



_2;2;0



_{. Viết phương trình mặt}

phẳng



OAB



, biết rằng điểm B thuộc mặt cầu

 

S , có hoành độ dương và tam giác OAB đều.
A. x y z  0. B. x y z  0. C. x y 2z0. D. x y 2z0.
Câu 86. Cho hai điểm A



3;1; 3



, B



0; 2;3



và mặt cầu

  

S

:

x



1



2



y

2

 



z

3



2



1

. Xét điểm M
thay đổi thuộc mặt cầu

 

S , giá trị lớn nhất của _MA2_₂_MB2_bằng

A. 102. B. 78. C. 84. D. 52.

Câu 87. Cho mặt phẳng

 

P x: 2y2z 3 0 và mặt cầu

 

S tâm I



5; 3;5



, bán kính R2 5. Từ
một điểm A thuộc

 

P kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu

 

S tại B. Tính OA biết AB4.

A. OA 11. B. OA5. C. OA3. D. OA 6.
Câu 88. Cho mặt phẳng

 

P có phương trình x y z  2 và mặt cầu

 

S có phương trình

2 2 2 ₂

x y z  . Gọi điểm M a b c



; ;



thuộc giao tuyến giữa

 

P và

 

S . Khẳng định nào sau đây là

khẳng định đúng?

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>

Câu 89. Cho mặt cầu

 

S1 có tâm I1



3;2;2



bán kính R12, mặt cầu

 

S2 có tâm I2



1;0;1



bán kính

21

R . Phương trình mặt phẳng

 

P đồng thời tiếp xúc với

 

S1 và

 

S2 và cắt đoạn I I1 2 có dạng
2x by cz d   0. Tính T b c d   .

A. 5. B. 1. C. 3. D. 2 .

Câu 90. Cho mặt cầu

 

_S _:_x2_



_y_₁

 

2_{ }_z ₁



2_₁_{và đường thẳng}

2

: .

x t

d y t
z t

 

 

  


Hai m phẳng

   

P

,

Q

chứa d tiếp xúc với mặt cầu tại T và T. Điểm

H a b c



; ;



là trung điểm đoạn TT, giá trị
T a b c   là

A. 0. B. 1

3. C.

2

3 . D. 1.

Vấn đề 4. Phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ Oxyz.
Câu 91. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm A



7; 2;1



và B



  5; 4; 3



,

mặt phẳng (P): 3x2y6z 3 0. Chọn đáp án đúng?

A. AB không đi qua điểm



1, 1, 1 



B. AB vng góc với mặt phẳng:
6x3y2z10 0

C. AB song song với đthẳng

1 12
1 6
1 4

x t

y t

z t

 


   


   


D. AB vng góc với đường thẳng
5

1 2
3

x

y t

z t



   


 


Câu 92. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng 1 1 2

2 1 3

x _ y _ z

 ?

A. Q



2;1; 3



. B. P



2; 1;3



. C. M



1;1; 2



. D. N



1; 1; 2



.

Câu 93. đường thẳng

1 2

: 2 3 ,

3

x t

d y t t

z t

 


   



  


 không đi qua điểm nào dưới đây?

A. Q(1;2;3). B. M(3; 1;2) . C. P(2; 2;3) . D. N( 1;5;4) .
Câu 94. Cho mặt phẳng

 



:x2y z  3 0và đường thẳng : 3 1 4

4 1 2

x y z

d     

 . Mmệnh đề nào

đúng?

A. d song song với

 



. B. d vng góc với

 



. C. d nằm trên

 



. D. d cắt

 



Câu 95. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, hai đường thẳng ₁: 1 1

2 3 1

x y z

d    

 ;

2

1 2 7

:

1 2 3

x y z

d     

 có vị trí tương đối là:

</div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59>

Câu 96. Cho ba điểm A



3; 1; 2 , 

 

B 4; 1; 1 ,  

 

C 2;0;2



và đường thẳng . Gọi M
là giao điểm của và mp . Độ dài đoạn OM bằng

A. B. C. D.

Câu 97. Cho ba điểm A



1; 2;1



, B



2; 1; 4



và C



1;1; 4



.Đường thẳng nào dưới đây vng góc với mp



ABC



A.

1 1 2

x _{ }y z

 . B. 2 1 1

x _{ }y z_. _C.

1 1 2

x _{ }y z_. _D.

2 1 1

x _{ }y z
 .
Câu 98. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A



1; 2; 3 ,

 

B 2; 3;1



.

A.

1

2 5

3 2

x

t

y

t

z

t

 



  



   



. B.

2

3 5

1 4

x

t

y

t

z

t

 



   



  



. C.

3

8 5

5 4

x

t

y

t

z

t

 



   



  



. D.

1

2 5

3 4

x

t

y

t

z

t

 



  



  



.

Câu 99. Viết phương trình tham số của đường thẳng (D) qua I



1;5; 2



và song song với trục Ox.

A.
1
5 ;
2
x t
y t
z
 

  

 


 B. 5 ;
2

x m
y m m
z m
 

  

 

 C.
2
10 ;
4
x t
y t t
z t
 

  

 


 D. Hai câu A và C đều
đúng

Câu 100. Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2;5) và vng góc với mặt
phẳng ( ) : 4 x3y2z 5 0 là

A. 1 2 5

4 3 2

x _ y _ z

. B. 1 2 5

4 3 2

x _ y _ z

 .

C. 1 2 5

4 3 2

x _ y _ z

   . D.

1 2 5

4 3 2

x _ y _ z

  .

Câu 101. Cho đường thẳng : 1 1 2

2 1 3

x y z

d      và mặt phẳng P: x y z   1 0. Viết phương
trình đường thẳng  đi qua (1;1; 2)A  , song song với mặt phẳng ( )P và vng góc với đường thẳng d.

A. : 1 1 2

2 5 3

x y z

  

 B.

1 1 2

:

2 5 3

x y z

  



C. : 1 1 2

2 5 3

x y z

  

  D.

1 1 2

:

2 5 3

x y z

  

 

Câu 102. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng

 



: 2x y 3z 7 0 và

 



:x2y z  2 0.
Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?

A. Q(2; 1;3) . B. M(1;0; 3) . C. P( 1;0;3) . D. N(1; 2;1) .

 

: 2 3

1 3 1

x y z

d    


 

d



ABC



</div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60>

Câu 103. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 1 1

1 1 2

x y z

d     

 và điểm



2;1; 0



A  . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa d?

A. x7y4z 9 0 B. x7y4z 8 0 C. x6y4z 9 0 D. x y 4z 3 0
Câu 104. Trong không gian Oxyz, cho điểm A



3; 2; 3



và hai đường thẳng ₁: 1 2 3

1 1 1

x y z

d     



và ₂: 3 1 5

1 2 3

x y z

d      . Phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2 có dạng:

A. 5x4y z 16 0 B. 5x4y z 16 0 C. 5x4y z 16 0 D. 5x4y z 16 0

Câu 105. Cho hai đường thẳng

 

₁

 

₂

3 2 3

: 1 ; : 2 2

2 1 4

x t x m

d y t d y m

z t z m

   
 

 _{ }  _{ }
 
 _{  }  _{ }
 

. Phương trình tổng quát của mặt

phẳng (P) chứa d1 và song song với d2 là:

A. x7y5z20 0 B. 2x9y5z 5 0 C. x7y5z0 D. x7y5z20 0
Câu 106. Cho đường thẳng ∆ có phương trình 1 1

2 1 1

x _{ }y z

 và mặt phẳng (P): 2x y 2z 1 0.
Phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ và tạo với (P) một góc nhỏ nhất là:

A. 2x y 2z 1 0 B. 10x7y13z 3 0 C. 2x y z  0 D.  x 6y4z 5 0
Câu 107. Cho mặt cầu ( ) : (S x1)2 (y 2)2 (z 3)29 và đường thẳng : 6 2 2

3 2 2

x y z

  

 .

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(4;3;4), song song với đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:
A. 2x y 2z19 0 B. x2y2z 1 0 C. 2x2y z 18 0 D. 2x y 2z10 0

Câu 108. Cho đường thẳng . Gọi là hình chiếu vng góc của trên mặt

phẳng tọa độ . Viết phương trình đường thẳng .

A. . B. . C. . D.

Câu 109. Cho đường thẳng . Phương trình nào dưới đây là phương trình hình
chiếu vng góc của lên mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .





2

: 3 2

1 3

x t

d y t t

z t
 

    


  


 d d



Oxz



d





2
0
1 3
x t
y t
z t
 

  

  







2
3 2
1 3
x t

y t t

z t

 

   

  







0
3 2
1 3
x

y t t

z t


    

  







2
3 2
0
x t

y t t

z

 

    

 



1 5 3

:

2 1 4

x y z

d     


d

 

P x:  5 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(61)</span><div class='page_container' data-page=61>

Câu 110. Phương trình đường thẳng d là hình chiếu vng góc của đường thẳng d trên mặt phẳng

 

P , biết

12 4

: 9 3

1

x t

d y t

z t

 


  

  


và

 

P : 3x5y z  2 0. Đường thẳng d là giao tuyến của hai mphẳng
nào?

A. 3x5y z  2 0 và 8x7y11z22 0 . B. 3x5y z  2 0 và 4x7y z 22 0 .
C. 3x5y z  2 0 và x y 11z22 0 . D. 3x5y z  2 0 và 8x3y z  2 0.
Câu 111. Cho mặt phẳng và đường thẳng . Đường thẳng
đối xứng với qua mặt phẳng có phương trình là

A. . B. .C. .D. .

Câu 112. Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng

. Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương cắt tại
điểm . Điểm thay đổi trong sao cho ln nhìn đoạn dưới góc . Khi độ dài
lớn nhất, đường thẳng đi qua điểm nào trong các điểm sau?

A. . B. . C. . D. .

Câu 113. Viết phương trình đường thẳng đi qua , vng góc và cắt đường thẳng
.

A. . B. .C. . D. .

Câu 114. Cho mặt phẳng và đường thẳng Viết phương
trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng đồng thời cắt và vng góc với đường thẳng

A. B. C. D.

Câu 115. Cho 2 đường thẳng ; và mp

. Đường thẳng vng góc với , cắt và lần lượt tại . Độ dài đoạn
là

A. . B. . C. . D. .

Câu 116. Cho đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương u(1;0; 2) và đi qua điểm
2

3 1 4

(1; 3; 2), d : .

1 2 3

x y z

M      

 Phương trình mặt phẳng ( )P cách đều hai đường thẳng d1 và d2có
dạng axby cz 11 0. _{Giá trị}a 2 b3c bằng

 

P x y z:    3 0 : 1 2

1 2 1

x y z

d    

 d'

d

 

P

1 1 1

1 2 7

x _ y _ z


1 1 1

1 2 7

x _ y _ z



1 1 1

1 2 7

x _ y _ z 1 1 1

1 2 7

x _ y _ z
Oxyz A



1; 2; 3



 

P : 2x2y z  9 0 d A u



3; 4; 4



 

P

B M

 

P M AB ₉₀0 _MB

MB



 2; 19;3





3;0;15





18; 2; 41





3; 20;7





1; 1;1



A 

4 2 5

:

1 1 1

x y z

d     


1 1 1

5 1 8

x _ y _ z


1 1 1

1 5 4

x _ y _ z


1 1 1

5 5 4

x _ y _ z


1 1 1

5 1 8

x _ y _ z


 

P x: 2y z  4 0 : 1 2.

2 1 3

x y z

d    



 

P d.

1 1 1

5 1 3

x _ y _ z

 

1 1 1

5 1 3

x _ y _ z


1 1 1

5 1 2

x _ y _ z


1 1 1

5 1 3

x _ y _ z


1

3 3 2

:

1 2 1

x y z

d     

  2

5 1 2

:

3 2 1

x y z

d     



 

P x: 2y3z 5 0

 

P d₁ d₂ A B,
AB

</div>
<span class='text_page_counter'>(62)</span><div class='page_container' data-page=62>

A. 42. B. 32. C. 11. D. 20.
Câu 117. Cho điểm , đường thẳng và mặt phẳng

. Điểm thuộc thỏa mãn đường thẳng _{vừa cắt vừa vuông góc với .}
Tọa độ điểm là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 118. Cho đường thẳng và mặt phẳng lần lượt có phương trình và

2 8 0

x y   z , điểm _A_{(2; 1; 3)}_ . Phương trình đường thẳng _ cắt _d và _{( )}_P lần lượt tại _M và _N
sao cho _A là trung điểm của đoạn thẳng _MN là

A. . B. .

C. . D. .

Câu 119. Cho mặt phẳng và hai điểm , . Viết phương
trình đường thẳng đi qua và song song với sao cho khoảng cách từ đến đường thẳng đó là
nhỏ nhất.

A. . B. . C. . D. .

Câu 120. Trong không gian Oxyz cho 2 điểmA



1;3;0



và B



2;1;1



và đường thẳng

 

: 1 1

2 1 2

x y z

  

 . Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B có tâm I thuộc đường thẳng

 

 ?
A.

2 2 2

2 13 3 521

5 10 5 100

x y z

 _  _ _  _ _  _

     

      B.

2 2 2

2 13 3 25

5 10 5 3

x y z

 _  _ _  _ _  _

     

     

C.

2 2 2

2 13 3 521

5 10 5 100

x y z

 _  _ _  _ _  _

     

      D.

2 2 2

2 13 3 25

5 10 5 3

x y z

 _  _ _  _ _  _

     

     

Câu 121. Trong mặt phẳng Oxyz, cho đường thẳng : 1

x t
d y

z t


  

  


và 2 mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có
phương trình x2y2z 3 0 ;x2y2z 7 0. Mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d), tiếp
xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình

A.



3

 

2 1

 

2 3



2 4
9

x  y  z  B.



3

 

2 1

 

2 3



2 4

9

x  y  z 

C.



3

 

2 1

 

2 3



2 4
9

x  y  z  D.



3

 

2 1

 

2 3



2 4

9

x  y  z 



1;2; 1



A  : 1 1 2

2 1 1

x y z

d     



 

P x y:    2z 1 0 B

 

P AB d

B



6; 7;0





3; 2; 1 





3;8; 3





0;3; 2



d

 

P 1 2

2 1 1

x _{ }y z

1 5 5

3 4 2

x _ y _ z 2 1 3

6 1 2

x _ y _ z

5 3 5

6 1 2

x _ y _ z 5 3 5

3 4 2

x _ y _ z

 

P x: 2y2z 5 0 A



3;0;1



B



0; 1;3



d A

 

P B

3 2
1

x t

y t

z
  


  

 


3 2
1

x t

y t
z

 

 

 


3 2
1

x t

y t

z
 

  

 


3 2
1

x t

y t
z

  


</div>
<span class='text_page_counter'>(63)</span><div class='page_container' data-page=63>

Câu 122. Trong không gian Oxyz, cho điểm I



1;3; 2



và đường thẳng : 4 4 3

1 2 1

x y z

  

 .
Phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I và cắt  tại hai điểm phân biệt A, B sao cho đoạn thẳng AB có
độ dài bằng 4 là:

A.

  

_S _: _x_₁

 

2_ _y_₃



2__z2 _₉ _B.

  

_S _: _x_₁

 

2_ _y_₃

 

2_{ }_z ₂



2_₉

C.

  

S : x1

 

2 y3

 

2 z 2



2 9 D.

  

S : x1

 

2 y3

 

2 z 2



2 9

Câu 123. Cho , mp và mặt cầu .

Gọi là đt đi qua , nằm trong và cắt tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất. Phương trình của
là

A. . B. . C. . D. .

Câu 124. Cho mặt cầu

 

S x: 2y2z22x4y6z m  3 0. Tìm m để

1

: 1

2

x t

d y t

z
 

  

 


cắt

 

S tại
hai điểm phân biệt

A. 31
2

m . B. 31

2

m . C. 31

2

m . D. 31

2
m .
Câu 125. Góc giữa hai đường thẳng ₁: 1 1

1 1 2

x y z

d    

 và 2

1 3

:

1 1 1

x y z

d    

 bằng:

A. 45o _{B. 90}o _{C. 60}o _{D. 30}o

Câu 126. Góc giữa đường thẳng

5
: 6
2
x t
d y
z t
 

 _

  


và mp

 

P :y z  1 0 là:

A.300 _B.600 _C.900 _D.450

Câu 127. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A



3;0;1 ,

 

B 6; 2;1



. Viết phương trình mặt phẳng
(P) đi qua A, B và (P) tạo với mp Oyz





góc



thỏa mãn cos 2

7
  ?

A. 2 3 6 12 0

2 3 6 0

x y z
x y z

   


   

 B.

2 3 6 12 0

2 3 6 1 0

x y z
x y z

   


    


C. 2 3 6 12 0

2 3 6 0

x y z
x y z

   


   

 D.

2 3 6 12 0

2 3 6 1 0

x y z
x y z

   


    


Câu 128. Cho điểm A(1;1;1) và hai đường thẳng
1
2 2
: 1
2
x t
d y
z t
 


 

   
 _;
2
5 3
: 1
3
x s
d y
z s
 

 

  
 _.

Gọi B,C là các điểm lần lượt di động trên d d1; 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =AB +BC +CA là:



0; 1; 5



E  

 

P : 2x2y z  3 0

  

 

2



2 ₂

: 4 1 25

S x  y z 

 E

 

P

 

S

</div>
<span class='text_page_counter'>(64)</span><div class='page_container' data-page=64>

A. 2 29 B._{2 985} C. 5 10 29 D. 5 10

Câu 129. Cho điểm và mặt cầu Gọi là đường tròn

giao tuyến của với ; điểm và di chuyển trên sao cho . Khi tứ diện
có thể tích lớn nhất thì đường thẳng có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 130. Cho điểm , mp và mặt cầu

. Gọi là đường thẳng đi qua , nằm trong và cắt tại
hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Biết có một vec-tơ chỉ phương . Tính

A. . B. . C. . D. .

Câu 131. Cho điểm , mặt phẳng và mặt cầu

Gọi là đường thẳng đi qua nằm trong mặt phẳng và cắt mặt
cầu tại hai điểm sao cho tam giác có diện tích lớn nhất với là tâm của mặt cầu .
Phương trình của là

A. . B. . C. . D. .

Câu 132. Cho điểm và mặt cầu Đường thẳng thay đổi, đi qua
điểm cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt Tính diện tích lớn nhất của tam giác

A. . B. . C. . D. .

Câu 133. Cho điểm , và mặt cầu . Gọi

là mặt phẳng đi qua và cắt theo một thiết diện là đường tròn . Đường thẳng cắt
tại hai điểm . Điểm thuộc đường tròn sao cho tam giác cân tại , là đường cao
ứng với cạnh . Khi thiết diện có diện tích nhỏ nhất thì phương trình của là

A. . B. . C. . D. .



0;1;9



A

  

S : x3

 

2 y4

 

2 z4



2 25.

 

C

 

S mp Oxy





B C

 

C BC2 5

OABC BC
21
4
5
28
3
5
0
  


  






x t
y t
z
21 4
28 3
0
 

  

 

x t
y t
z
21
3
5
28
4
5
0
  


  






x t
y t
z
21
4
5
28
3
5
0
  


  





x t
y t
z



2;1;3



E

 

P : 2x2y z  3 0

  

 

2

 

2



2

: 3 2 5 36

S x  y  z   E

 

P

 

S

 u



2018; ;y z0 0



T z0y0.
0

T  T  2018 T 2018 T 1009



0;1; 2



A 

 

P x y z:    1 0

 

_{S x}_: 2__y2_{ }_z2 ₂_x_₄_y_{ }_{7 0.} _ _A

 

_P

 

S B C, IB C I

 

S


: 1
2
x t
y
z t



  
   

: 1
2

x t
y t
z



   
  

: 1
2
x t
y t
z



   
  

: 1
2
x t
y
z t



  
   



1_; 3_;0
2 2
M__ __

 

 

2 2 2

: 8.

S x y z  d

,

M

 

S A B, . S OAB.

7

S  S 4 S 2 7 S2 2



1;1;1



A B



2; 2;2



 

_{S x}_: 2__y2__z2_₂_x_₂_y_₄_z__{10 0}_

 

_P
,

A B

 

S

 

C AB

 

C

,

E F C

 

C CEF C CH

</div>
<span class='text_page_counter'>(65)</span><div class='page_container' data-page=65>

Câu 134. Cho đường thẳng : 1 2

1 2 1

x y z

d    

 . Gọi

 

P là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với
mặt phẳng

 

Q : 2x y 2z 2 0 một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm A



1;2;3



cách

 

P một khoảng
bằng:

A. 3 . B. 5 3

3 . C.

7 11

11 . D.

4 3
3 .

Câu 135. Cho đường thẳng và hai điểm , . Tìm điểm M thuộc
đường thẳng d sao cho MA MB nhỏ nhất.

A. . B. . C. . D. .

Câu 136. Cho hai đường thẳng và . Xét điểm thay đổi. Gọi
lần lượt là khoảng cách từ đến và . Biểu thức đạt nhỏ nhất khi và chỉ khi

. Khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 137. Cho ba điểm không thẳng hàng Hai mặt cầu có phương trình

và cắt nhau theo đường trịn

Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa và tiếp xúc với ba đường thẳng

A. vô số B. C. D. Khơng có

Câu 138. Cho mặt cầu và đường thẳng . Hai mặt phẳng

chứa , tiếp xúc với tại và . Điểm là trung điểm của đoạn , giá trị
của biểu thức là

A. . B. . C. . D. .

Câu 139. Cho mặt cầu và đường thẳng .

Điểm nằm trên đường thẳng sao cho từ kẻ được ba tiếp tuyến

đến mặt cầu ( là các tiếp điểm) và , , . Tính

A. . B. . C. . D. .

1 2

: 1

x t

d y t

z t
 

  

 




1;0; 1



A  B



2;1;1





1;1;0



M 3 1; ;0

2 2
M_ _

 

5 1 1_{; ;}
2 2 2
M_ _

 

5 2 1_{; ;}
3 3 3
M_ _

 

1
:

1 1 1

x y z

   : 1

1 2 1

x y z


   M a b,

M   _a2_₂_b2





0 0; ;0 0

M M x y z x0y0

2

3 0

4

3 2



3;0;0 ,

 

0;3;0 ,



A B C



0;0;3 .



 

2 2 2

1 : 2 4 6 9 0

S x y  z x y z 

 

2 2 2

2 : 8 4 8 0

S x y  z x z 

 

C .

 

C

, , ?

AB BC CA

1 3

 

₂



 

2



2

: 1 1 1

S x  y  z 

2
:

x t

d y t

z t

 

 

  


   

P , Q d

 

S T T' H a b c



; ;



TT'
T   a b c

0 1

3

2

3 1

 

_{S x}_: 2__y2_{ }_z2 ₂_x_₄_y_₆_z_{ }_{13 0} _: 1 2 1

1 1 1

x y z

d     



; ; ,

 

0



M a b c a d M MA MB MC, ,

 

S A B C, , AMB600 _BMC_₆₀0 _CMA_₁₂₀0 _a3__b3__c3

3 3 3 173
9

a b c  3 3 3 112

9

a b c  _a3__b3__c3_{ }₈ 3 3 3 23

</div>
<span class='text_page_counter'>(66)</span><div class='page_container' data-page=66>

Vấn đề 5. Tọa độ hóa bài tốn hình trong Khơng gian

Câu 140. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, và
vng góc với đáy . Tính với là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 141. . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, cạnh bên vng góc với đáy.
Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tính của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC).

A. . B. . C. . D. .

Câu 142. Cho hình chóp có đáy là hình vng cạnh bằng , biết và
vng góc với mặt đáy . Gọi là trung điểm của . Gọi là góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 143. Cho hình chóp có đáy là hình vng cạnh , và vng góc với
đáy. Gọi là trung điểm và là điểm thuộc cạnh sao cho . Tính thể tích khối tứ

diện .

A. . B. . C. . D. .

.

S ABCD ABCD AB a , BC a 3,SA a SA

ABCD sin



 BD (SBC)

2
sin

4

 sin 7

8

  sin 3

5

  sin 3

2
 
2

SA a
cos

5
5

5

3

3
2

2
3
.

S ABCD ABCD a SO a SO



ABCD



M N, SA BC,



MN



SBD



cos



2
7

21
7

5
10

2
5
.

S ABCD ABCD a SA a SA

M SB N SD SN 2ND

ACMN

3
1
12

V  a 1 3

8

V  a 1 3

6

V  a 1 3

36

</div>

<!--links-->