CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC

CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh 1
số phức
PHN I. CC DNG TON
VN 1
dạng đại số của số phức
Cộng, trừ, nhân, chia số phức
A. TểM TT KIN THC
1. Số phức
Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i
2
= -1 được gọi
là một số phức.
a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo, i được gọi là đơn vị ảo.
Tập các số phức được kí hiệu là .
Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R

.
Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo.
2. Hai số phức bằng nhau

'
z a+bi (a,b ), z' a'+b' i (a',b' ); z z'
'
a a
b b

3. Cộng, trừ hai số phức

z a+bi (a,b ), z' a'+b' i (a',b' )
z + z' (a + a' ) + (b + b') i, z z' (a - a') + (b - b' )i




Số đối của số phức z = a + bi là số phức ; - z = - a bi.
4. Nhân hai số phức
z a+bi (a,b ), z' a'+b' i (a',b' ); zz' ' ' ( ' ' )aa bb ab a b i



5. Môđun của số phức, số phức liên hợp
z = a +bi (a, b


) thì môđun của z là
2 2
z = a +b

z = a +bi (a, b


) thì số phức liên hợp của z là

z
= a - bi.
Ta có:


2
2 2
zz' = z z' , zz a b z , z + z' = z + z', zz'=z z', z = z


* z là số thực khi và chỉ khi z =
z

6. Chia cho số phức khác 0
Nếu z = a + bi (a, b


) khác không thì số phức nghịch đảo của z là
1
-1
z = z
2
z
.
Thương của z' cho z khác không là:

z' z'z
-1
z'z
z

zz

. Ta có:
'
' ' '
,
z
z z z
z z z z




.
7. Biểu diễn hình học của số phức
Số phức z = a + bi (a, b


) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay
còn gọi là mặt phẳng phức.
Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo
Số phức z = a + bi (a, b


) cũng được biểu diễn bởi vectơ
( ; )u a b


, do đó M(a; b) là điểm
biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b

) cũng có nghĩa là
OM

biểu diễn số phức đó.
Ta có:Nếu
,u v

theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì
CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh 2

u v

biểu diễn số phức z + z',
u v

biểu diễn số phức z z
-1
, k
( )u k



biểu diễn số phức
kz,

OM u z

, với M là điểm biểu diễn của z.
B. Các dạng bài tập
I. Xác định tổng, hiệu, tích, thương của các số phức
1) Phương pháp giải
p dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp
đối với các phép toán cộng và nhân.
2) Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm phân thực, phần ảo của các số phức sau
a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); b)
3 3
( 1 ) (2 )i i


Bài giải
a) Ta có: i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = ((0 + 2) + (1 - 4)i) + (- 3 + 2i) = (2 - 3) + (-3 + 2)i = -1 - i.
Vậy số phức đã cho có phần thực là - 1, phần ảo là - 1.
b) Sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân hai số phức ta có
3 3 2 2 3 3 3 3
( 1 ) ( 1) 3( 1) 3( 1) 2 2 , ( 2 ) ( 2) ( ) 8i i i i i i i i

Do đó nhận được kết quả của bài toán là 2 + 10i
Ví dụ 2: Tính
1
1 3
2 2
i

Bài giải
Ta có :

1 3 1 3
1 3
2 2 2 2
1 2 2
1 3 1 3
2 2 2 2
i i
i
i i







Ví dụ 3: Tính
2 3 2009
1 ...i i i i

Bài giải
Ta có:
2010 2 3 2009
1 (1 )(1 ... )i i i i i i
. Mà
2010
1 2i
. Nên
2
2 3 2009

1 ...
1
i i i i
i


,


2 3 2009
1 ... 1i i i i i
.
Ví dụ 4: Tính
100
(1 )i

Bài giải
Nhận thấy
2
(1 ) (1 )(1 ) 2i i i i
.
Suy ra
100 2 50 50 50 50 50
(1 ) ((1 ) ) ( 2 ) ( 2) ( ) 2i i i i
.

Ví dụ 5: Cho số phức
1 3
2 2
z i

.
Hãy chứng minh rằng:
;
1
2 2 3
1 0; 1.z z z z z
z

.
Bài giải
Do
1 3
2
2 2
z i
. Nên
1 3 1 3
2
1 ( ) ( ) 1 0
2 2 2 2
z z i i
;
CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh 3
Lại có
1 3
1 1 1 3
2 2
1 2 2

1 3
2 2
i
i
z
i



. Suy ra
1
2
z z
z

.
Hơn nữa ta có
3
1
z

.
Ví dụ 6: Tìm số phức z, nếu
2
0zz
.
Bài giải
Đặt z = x + yi, khi đó

2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
0 ( ) 0 2 0
0
0
0 (1 ) 0
0
0
0
2 0
(1 ) 0
0
0
0,
0
1
0 (do 1 0)
0
z x yi x y x y x y xyi
x
x
y y y y
x y x y
y
y
xy
x x

x x
x
x y
y
y
x x
y
z

0
0, 1
0, 1
0, 0
x y
x y
y x

Vậy có ba số phức thoả mãn điều kiện là z = 0; z = i; z = - i.
II. Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ
1) Phương pháp giải
Để biểu diễn một số phức cần dựa vào định nghĩa và các tính chất sau:
Nếu số phức z được biểu diễn bởi vectơ
u

, số phức z' được biểu diễn bởi vectơ
'u

, thì
z + z' được biểu diễn bởi
'u u

; z - z' được biểu diễn bởi
'u u

; - z được biểu diễn bởi

u

.
2) Các ví dụ.
Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những
điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau
a)
1 2z i
; b)
2 z i z
.
Bài giải
a) Đặt z = x + yi suy ra z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i. Nên hệ thức
1 2z i
trở thành

2 2 2 2
( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1) 4.x y x y


Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn giả thiết
là đường tròn tâm I(1; - 1) bán kính R = 2.
b) Gọi A (- 2 ; 0), B(0 ; 1). Khi đó
2 z i z

( 2)z z i
hay là
M(z)A = M(z)B. Vậy tập hợp các điểm M(z) là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Nhận xét: Với phần b ta có thể thức hiện cách giải như đã làm ở phần a. Tuy nhiên để
thể thực hiện cách giải như vậy là ta đã dựa váo nhận xét sau:

Nếu véctơ
u

của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ
u

là
u z


, và từ
đó nếu các điểm A, B theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì
'AB z z


.
CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh 4
Ví dụ 2: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện
3
2 3
2
z i

. Tìm số phức z có modul nhỏ
nhất.
Bài giải
Xét biểu thức
3

2 3
2
z i

(1). Đặt z = x + yi. Khi đó (1) trở thành


3 9
2 2
( 2) ( 3) ( 2) ( 3) .
2 4
x y i x y


Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm trên đường tròn ( ) tâm
I(2; -3) và bán kính R =
3
2
.
Ta có
z
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
điểm M nằm trên đường tròn ( ) và gần O nhất. Do đó M là giao điểm của ( ) và đường thẳng
OI, với M là giao điểm gần O hơn.
Ta có OI =
4 9 13
. Kẻ MH

Ox. Theo định lí talet có

3
13
9 6 13 9
2
13 3 13
3 2 2
13
MH OM
MH
OI




6 13 9 78 9 13
26
2 13
MH


.
Lại có
3
13
2 13 3 26 3 13
2
2 13
13 13
OH
OH

.
Vậy số phức cần tìm là :
26 3 13 78 9 13
13 26
z i


.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số phức z, w, ta có
z w z w
. Đẳng thức xảy ra khi
nào?
Bài giải
Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z, w, z + w.
Ta có
, ,z OA w OB z w OC
. Từ OC

OA + AC suy ra
z w z w
.
Hơn nữa OC = OA + AC khi và chỉ khi O, A, C thẳng hàng và A thuộc đoạn thẳng OC.
Khi O

A (hay z

0) điều đó có nghĩa là có số k

0 để
AC kOA

tức là w = kz. (Còn khi z
= 0, rõ ràng
z w z w
).
Vậy
z w z w
khi và chỉ khi z = 0 hoặc nếu z

0 thì tồn tại
k R


để w = kz.
c. bài tập
1. Chứng minh rằng với mọi số phức z, w ta đều có
z w z w
. Dấu bằng xảy ra khi nào?
2. Trong mặt phẳng phức, bốn điểm phân biệt A, B, C, D theo thứ tự biểu diễn các số phức z, w,
u, v thoả mãn các tính chất:
O
H
2
M
I
- 3
x

y
CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh 5
a)
1z w u v
;
b) z + w + u + v = 0.
3. Cho số phức z = m + (m - 3)i, m
R


a) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác thứ hai y = - x;
b) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên hypebol
2
y
x

;
c) Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ nhất.
4. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức
3
z
z i


.
5. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức
4 2 6
; (1 )(1 2 );

1 3
i i
i i
i i



.
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân;
b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.

VN 2
Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
A. Kiến thức cần nhớ
I. Định nghĩa căn bậc hai của số phức
Cho số phức w mỗi số phức z thoả mãn z
2

=
w được gọi là một căn bậc hai của số phức w.
a) Nếu w là số thực
+ w < 0 thì có hai căn bậc hai:
&wi wi


+ w

0 thì có hai căn bậc hai:
&w w

.
b) Nếu w là số phức khi đó ta thực hiện các bước:
+ Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy là một căn bậc hai của w tức là:
2
z w

khi đó ta có
hệ:
2 2
(1)
2 (2)
x y a
xy b






Bình phương 2 vế của (1) và (2) rồi cộng lại ta được
2 2 2 2
x y a b


Do vậy ta được hệ:
2 2
2 2 2 2
(1)
(2')
x y a

x y a b








Giải hệ tìm được
2
x
và
2
y
suy ra x và y để tìm z.
Chú ý: Theo (2) ta có nếu b > 0 thì x, y cùng dấu. Nếu b < 0 thì x, y trái dấu.
II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức
Cho PT:
2
0; (1) ( , , , 0)ax bx c a b c a


và có
2
4b ac


+ Nếu
0

pt có hai nghiệm là
1 2
;
2 2
b b
x x
a a



Trong đó

là một căn bậc hai của

.
+ Nếu

= 0 thì pt có nghiệm kép:
1 2
2
b
x x
a

.
B. Các dạng bài tập
I. Giải phương trình bậc nhất
1) Phương pháp giải
CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh 6
Biến đổi phương trình về dạng Az + B = 0, A, B
, 0
A


. Viết nghiệm
B
z
A


2) Ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình 2iz + 1 - i = 0
Bài giải
Nghiệm của phương trình là
(1 ) 1 1 1 1
2 2 2 2 2
i
z i
i i


.
II. Tính căn bậc hai và giảiphương trình bậc hai
1) Phương pháp giải
Sử dụng công thức tính căn bậc hai của số phức để tính căn bậc hai.
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm nghiệm của phương trình với chú
ý phải đưa về đúng dạng của phương trình.

2) Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
) 5 12 ) 8 6
) 33 56 ) 3 4
a i b i
c i d i



Bài giải
a) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -5 + 12i tức là


2
2 2
5 12 2 5 12x iy i x y ixy i


2 2 2
2 2
2 2 2
5 4
5
2 12
13 9
x y x
x y
xy
x y y

2
3
x
y







Do b = 12 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có
2
3
x
y

hoặc
2
3
x
y






Vậy -5 + 12i có 2 căn bậc hai là z
1
=2+3i và z
2
= -2-3i.
b) Tương tự ta gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 8+ 6i tức là


2
2 2
8 6 2 8 6x iy i x y ixy i


2 2 2
2 2
2 2 2
8 9

8
2 6
10 1
x y x
x y
xy
x y y












3
1
x
y

Do b= 6> 0 nên x và y cùng dấu từ đó có
3
1
x
y





hoặc
3
1
x
y






Vậy 8 + 6i có 2 căn bậc hai là

3+i và -3-i.
c) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 33 - 56i tức là


2
2 2
33 56 2 33 56x iy i x y ixy i

2 2 2
2 2
2 2 2
33 49
33
2 56
65 16
x y x
x y
xy
x y y












7
4
x
y

Do b = -56 < 0 nên x và y trái dấu từ đó có
7
4
x
y





hoặc
7
4
x
y






Vậy 2 căn bậc hai của 33 - 56i là

7- 4i và -7+i4.

d) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -3 +4i tức là


2
2 2
3 4 2 3 4x iy i x y ixy i